竞赛中的三角函数例题选讲

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高中数学竞赛专题讲座——竞赛中的三角恒等问题

高中数学竞赛专题讲座9——竞赛中的三角恒等问题（第一张）林国夫整理姓名__________班级_____________学号____________常用的三角恒等公式1.和角与差角公式:sin()sin cos cos sin αβαβαβ±=±;cos()cos cos sin sin αβαβαβ±= ;tan tan tan()1tan tan αβαβαβ±±=,相关变式：①和差为积：sin sin 2sincos22αβαβαβ+-+=；sin sin 2sin cos 22αβαβαβ-+-=；cos cos 2coscos 22αβαβαβ+-+=；cos cos 2sin sin 22αβαβαβ+--=- ②积化和差：1sin sin [cos()cos()]2αβαβαβ⋅=--+；1sin cos [sin()sin()]2αβαβαβ⋅=++- 1cos cos [cos()cos()]2αβαβαβ⋅=++-；1sin cos [sin()sin()]2αβαβαβ=++-；tan tan tan()(1tan tan ),αβαβαβ+=+- tan tan tan()(1tan tan )αβαβαβ-=-+③辅助角公式：sin cos )a b αααϕ+=+，其中sin ϕϕ=或者sin cos )a b αααφ+=-，其中sin φφ==注意特殊角的三角函数：11sin,cos ,sin 62623232ππππ====. 2.二倍角公式：sin 22sin cos ααα=；2222cos 2cos sin 2cos 112sin ααααα=-=-=-；22tan tan 21tan ααα=-.降次公式： ;22cos 1sin ,2cos 1sin 2;22cos 1cos ,2cos 1cos 22222αααααααα-=-=+=+= 万能公式：222222tan 1tan sin 22sin cos ,cos 2cos sin 1tan 1tan αααααααααα-===-=++22tan tan 21tan ααα=-. 3.三倍角公式3sin 33sin 4sin ααα=-；3cos34cos 3cos ααα=-sin 3sin()sin sin()334ππαααα-⋅⋅+=；cos3cos()cos cos()334ππαααα-⋅⋅+=.tan tan tan tan tan tan tan()1tan tan tan tan tan tan αβγαβγαβγαββγγα++-⋅⋅++=-⋅-⋅-⋅4.三角恒等的高次问题24sin sin()sin()033ππααα++++=；222243sin sin ()sin (332ππααα++++=； 444249sin sin ()sin (338ππααα++++=2222sin sin cos cos sin()sin()αββααβαβ-=-=+⋅- 2222cos sin cos sin cos()cos()αββααβαβ-=-=+⋅-5.三角的求和问题00021212sincos()sin()sin()222cos()2sin 2sin22nnn k k k d k k x kd x d x d x kd d d ===+-⋅++-++===∑∑∑ 211(1)sin()sin()sin cos()22222sin sin22n n d ndx d x d x d d +++-+⋅+=.00021212sin sin()cos()cos()222sin()2sin 2sin22n n n k k k d k k x kd x d x d x kd d d ===-+⋅++-++===∑∑∑ 21(1)cos()cos()sin sin()22222sin sin22d n n d ndx x d x d d ++--+⋅+=. 一.有关三倍角公式及其应用例1 有关三倍角公式及其应用（1）3sin 33sin 4sin ααα=-；（2）3cos34cos 3cos ααα=- （3）sin 3sin()sin sin()334ππαααα-⋅⋅+=；（4）cos3cos()cos cos()334ππαααα-⋅⋅+=.求解下列各式：sin18,sin18sin 54,sin 36sin 72︒︒︒︒︒.例2 设实数(1,2,,)i x i n = 满足111x -≤≤ ，且321133223111343434n n n n x x x x x x x x x x x ++⎧=-⎪=-⎪⎪⎨⎪=-⎪⎪=⎩ ，求(1,2,,)i x i n = .例3 求值：23cos cos cos 777πππ-+例4 求23tantan tan777πππ，22223tan tan tan 777πππ++，2222222233tan tan tan tan tan tan 777777ππππππ⋅+⋅+⋅ 22223cot cot cot 777πππ++的值. 练习一：1.求函数()cos 46cos317cos 230cos f x x x x x =+++的值域.2.求函数()cos34cos 28cos ,f x x x x x R =++∈的最小值.3.求证：cos33cos 1(3cot cot 3)sin 32ααααα+=-.4.证明：cos 7π为无理数.5.已知数列{}n a 满足13133,2n n n a a a a +=-=，求数列{}n a 的通项公式.二.利用三角恒等公式求解三角值的各种方法与技巧例5.求下列三角函数的值（1）cot104cos10︒︒-（2）证明：11sin 2cos cos 2cos 4cos 22sin n nn αααααα+= .（3）求值：(1tan1)(1tan 2)(1tan 45)︒︒︒+++= ____________.（4）证明：1sin()sin 2sin sin()sin[(1)]sin 2n nd d d n d d αααα-+⋅+++++-=.拓展：1sinsin 22sin sin 2sin sin 2n nn αααααα+⋅+++=.拓展：2sin sin sin 3sin 5sin(21)sin n n αααααα+++-= .拓展：sin(1)sin sin 2sin 4sin 6sin 2sin n n n αεααααα++++=拓展：23(1)sin sin sin sin cot 2n n n n n nπππππ-++++= .（5）证明：1cos()sin 2cos cos()cos[(1)]sin 2n nd d d n d d αααα-+⋅+++++-=拓展：1cossin 22cos cos 2cos3cos sin2n nn ααααααα+⋅++++=高中数学竞赛专题讲座9——竞赛中的三角恒等问题（第二张）林国夫整理姓名__________班级_____________学号____________拓展：cos(1)sin cos 2cos 4cos 6cos 2sin n n n ααααααα+⋅++++=拓展：cos sin cos cos3cos5cos(21)sin n n n ααααααα⋅++++-= .（6）①求sin1sin 2sin 3sin88sin 89︒︒︒︒︒⋅⋅⋅⋅ 的值②sin1sin 3sin 5sin 87sin89︒︒︒︒︒⋅⋅⋅⋅③44sin 2sin 4sin 6sin88sin 902︒︒︒︒︒⋅⋅⋅⋅= . （7）39cos cos cos 131313πππ++（8）4444357cos cos cos cos 16161616ππππ+++ （9）55557coscos cos 999πππ++ 三.三角恒等变形中的裂项相消法例6 利用三角恒等求证下列各式：（1）证明：1111cot cot 2sin 2sin 4sin 8sin 2nnx x x x x x++++=- .（2）证明：223311111tan tan tan tan cot cot 2222222222n n n n x x x x xx +++++=- .（3）化简：111sin 45sin 46sin 47sin 48sin133sin134︒︒︒︒︒︒+++（4）化简：111sin1sin 2sin 2sin 3sin89sin 90︒︒︒︒︒︒+++（5）化简：2sin 24sin 46sin 6178sin178︒︒︒︒++++（6）化简：111cos33cos33sin 3k k nk kk x xx --=+=∑_______________.（2）由于1111121cos33cos311cot 3cot 3(3cot 3cot 3)(3sin 323233k k k k k kk k k k k x x x x x x x -------+=-=-⋅四.三角恒等中的递推思想例7（利用递归思想求解）证明：对任何的正整数n ，tan 15cot 15nn︒︒+为一个正偶数.练习二：1.(2011江苏)已知1cos 45θ=，则44sin cos θθ+= ．2.（2011山西）2000sin 130sin 70cos80+= ．3. 求sin 20sin 40sin80cos 20cos 40cos80︒︒︒︒︒︒+的值________________ 4.设,,αβγ是公差为3π的等差数列，求tan tan tan tan tan tan S αββγγα=++的值____ 5.（2011江西）sin 6sin 42sin 66sin 78︒︒︒︒= ． 6.求71cos15k k π=∏的值_______________ 7. 求111..._____sin 45sin 46sin 46sin 47sin89sin 90+++=︒︒︒︒︒︒.8.求441(1tan )k k ︒=+∏的值.9.求512cos11k k π=∑的值.10.求57coscos cos 999πππ++的值五.自主招生中的三角恒等问题1.（2017年北京大学博雅计划5）35(1cos )(1cos cos 777πππ+++的值为（） A.98 B. 78 C. 34D.前三个答案都不对 2.（2017年北京大学优特数学测试3）9tan102tan 204tan 40tan 80︒︒︒︒++-=________.3.（2010清华大学特色试题）求444sin 10sin 50sin 70︒︒︒++的值.4.（2015年清华大学金秋营1）已知函数31()4sin cos 2sin cos cos 42f x x x x x x =--，则()f x 的单调递减区间为_________________.5.（2017年北京大学自主招生试题4）3(1cos )(1cos )55ππ++的值为___________.6.（2016年北京大学生命科学冬令营试题5）设322παπ<<，则=_______. 7.（2016年北京大学博雅计划试题7）210cos cos cos 111111πππ 的值为( ) A.116-B.132-C.164- D.前三个答案都不对 8.（2017年清华大学附加科目测试试题5）55557cos cos cos 999πππ++9.（2016年清华大学领军计划13）设24x π=，则sin sin cos 4cos3cos3cos 2x x x x x x+ sin sin cos 2cos cos x xx x x++=_______________.10.（2016年北京大学生命科学冬令营试题16）设7πα=，则222sin sin 2sin 3ααα++的值为_______________.11.（2016年北京大学博雅计划7）210coscos cos 111111πππ⋅= ______________.12.（2015年北京大学化学体验营3）求证：（1）2468101cos cos cos cos cos 11111111112πππππ++++=-. （2）32tan 4sin 1111ππ+=.13.（2014年北京大学全国优秀中学生体验营3）证明：若n 为不小于2的自然数，t R ∈且sin 02t ≠，则2111sin 2(12cos )sin 2n k k p nt pt t -==⎛⎫ ⎪+=⎪ ⎪⎝⎭∑∑.。

三角函数例题及解析

三角函数例题及解析
1按照计算的一般顺序进行
首先，弄清题意，看看有没有简单方法、得数保留几位小数等特别要求;
其次，观测题目特点，看一看几步运算，有没有方便快捷算法;
再次，确定运算顺序。

在此基础上利用有关法则、定律进行计算;
最后，必须仔细检查，看看存有非为删、凿删、记错现象。

2解题模型
第一步，观测未知与未明与否为同一个角，若相同，则利用同角的基本关系解，若相
同则展开第二步。

第二步，观察已知与未知是否为同倍角，若相同，则求两角的和差为特殊值，利用已
知角表示未知角化为同角问题，进行第一步，若不同则进行第三步。

第三步，因为未知与未明不是同倍角。

所以可以将低倍角平分再再降次增高角的倍数，或者进行高倍角减少角的倍数，角同倍数后展开第二步。

3函数思想
锐角的正弦、余弦、正弦、余切都就是三角函数，其中都蕴含着函数的思想。

比如，
任一锐角a与它的正弦值就是一一对应的关系.也就是说，对于锐角a任一确认的一个度数，sina都存有惟一确认的值与之对应；反之，对于sina在0、1之间任一确认的一个值，锐角a都存有惟一确认的一个度数与之对应。

高一三角函数竞赛题（含答案）

竞赛试题选讲：三角函数一1．已知锐角α终边上一点A 的坐标为(2sin3，-2cos3),则角α的弧度数为的弧度数为（）A ．3 B ．π-3 C ．3-2p D ． 2p-3 2．若f (sin x )=cos2x ，则(cos )f x 等于（等于（）． A ．－cos2xB ．cos2xC ．－sin2xD ．sin2x答．Ａ ∵f (sin x )=cos2x ，∴(cos )=(sin())=cos2()=cos(2)=cos 222f x f x x x x p pp ----3．已知：集合þýüîíìÎ-==Z k k x x P ,3)3(sin |p ，集合，集合þýüîíìÎ--==Z k ky y Q ,3)21(sin |p ，则P 与Q 的关系是（）．A ．P ÌQ B ．P ÉQ C ．P=Q D ．P ∩Q=φ 答．Ｃ∵(21)(3)(3)sinsin[8]sin333k k k pp p p ----=-+=，∴Ｐ＝Ｑ，∴Ｐ＝Ｑ4．化简sin(2)cos(2)tan(24)p p -+---所得的结果是（所得的结果是（））Ａ．2sin 2 Ｂ．０Ｂ．０Ｃ．2sin 2- Ｄ．－１Ｄ．－１答．Ｃ答．Ｃ sin(2)cos(2)tan(24)=sin 2(cos 2)tan 22sin 2p p -+---+-=- 5．设99.9,412.721-==a a ，则21,a a 分别是第分别是第象限的角象限的角若集合一、二若集合一、二 07.4122,2pp <-<得1a 是第一象限角；是第一象限角；9.994,2pp p <-+<得2a 是第二象限角是第二象限角6．|,3A x k x k k Z pp p p ìü=+££+Îíýîþ，{}|22B x x =-££，则B A =___[2,0][,2]3p-7．某时钟的秒针端点A 到中心点O 的距离为5cm ，秒针均匀地绕点O 旋转，当时间0t =时，点A 与钟面上标12的点B 重合，将,A B 两点的距离()d cm 表示成()t s 的函数，则d =π10sin60t，其中[0,60]t Î。

高中数学竞赛讲义（7）解三角形

高中数学竞赛讲义（七）高中数学竞赛讲义（七）──解三角形──解三角形一、基础知识在本章中约定用A，B，C分别表示△ABC的三个内角，a, b, c分别表示它们所对的各边长，为半周长。

1．正弦定理：=2R（R为△ABC外接圆半径）。

推论1：△ABC的面积为S△ABC=推论2：在△ABC中，有bcosC+ccosB=a.推论3：在△ABC中，A+B=，解a满足，则a=A.正弦定理可以在外接圆中由定义证明得到，这里不再给出，下证推论。

先证推论1，由正弦函数定义，BC边上的高为bsinC，所以S△ABC=；再证推论2，因为B+C=-A，所以sin(B+C)=sinA，即sinBcosC+cosBsinC=sinA，两边同乘以2R得bcosC+ccosB=a；再证推论3，由正弦定理，所以，即sinasin(-A)=sin(-a)sinA，等价于[cos(-A+a)-cos(-A-a)]= [cos(-a+A)-cos(-a-A)]，等价于cos( -A+a)=cos(-a+A)，因为0<-A+a，-a+A<. 所以只有-A+a=-a+A，所以a=A，得证。

2．余弦定理：a2=b2+c2-2bccosA，下面用余弦定理证明几个常用的结论。

（1）斯特瓦特定理：在△ABC中，D是BC边上任意一点，BD=p，DC=q，则AD2= （1）【证明】因为c 2=AB 2=AD 2+BD 2-2AD ·BDcos ，所以c 2=AD 2+p 2-2AD ·pcos ① 同理b 2=AD 2+q 2-2AD ·qcos ， ②因为ADB+ADC=，所以cos ADB+cosADC=0，所以q ×①×①+p +p +p×②得×②得qc 2+pb 2=(p+q)AD 2+pq(p+q)+pq(p+q)，即，即AD 2=注：在（注：在（11）式中，若p=q p=q，则为中线长公式，则为中线长公式（2）海伦公式：因为b 2c 2sin 2A=b 2c 2 (1-cos 2A)=b 2c 2[(b+c)-a 2][a 2-(b-c) 2]=p(p-a)(p-b)(p-c).这里所以S △ABC =二、方法与例题 1．面积法。

竞赛讲座(三角函数及其应用教师版)

三角函数及其应用三角是代数与几何联系的“桥梁”，同时三角也是解决某些代数、几何问题的工具． ☆三角与代数☆ 【例1】求证：20720sin 31<︒<．证明：证法1：由)2,0(,sin π∈<x x x ，20799sin20sin <<=︒ππ，由)6,0(,3sin ππ∈>x x x ，31939sin 20sin =⨯>=︒πππ．证法2：2320sin 420sin 360sin 3=︒-︒=︒，设x =︒20sin ，则023343=+-x x ，设2334)(3+-=x x x f ，21,0312)(2±==-='x x x f ，∴函数)(x f y =单调区间)21,(--∞↗，)21,21(-↘，),21(+∞↗，又∵2120sin 0<︒<，及0231274)31(>+-=f ，02757.13)207(<-=f ，∴20720sin 31<︒<．【补充】求证：9210tan 61<︒<【练习】N n ∈，2≥n ，求证：321cos 31cos 21cos>⋅⋅n ．证明：∵121311110<<<<-<<n n ， ∴kk 11sin0<<， ∴n k k k k k k k ,,3,2,)1)(1(111sin 11cos 2222=+-=->-=． ∴)11()4543()3432()2321()1cos 31cos 21(cos2nn n n n +⋅-⋅⋅⋅⋅⋅>⋅⋅ 2)32(21121>>+=n n ，∴321cos 31cos 21cos>⋅⋅n ．【例2】C B A ,,为锐角△ABC 的三个内角，求证：233sin sin sin 2≤++<C B A ．证法1：因为x y sin =在区间)2,0(π上为上凸函数，由琴生(Jensen)不等式得2333sin3sin sin sin =++≤++C B A C B A ，又由)2,0(,2sin ππ∈>x x x 得，2)(2sin sin sin =++>++C B A C B A π．证法2：C BA CB A B AC B A sin 2sin 2sin 2cos 2sin2sin sin sin ++≤+-+=++ .233)46(332)2sin 1)(2sin 33(332)2sin 1(2cos 2)2sin 1(2cos 24322=≤+-=+=+=C C C C C CC B A ,,为锐角△ABC 的三个内角，不妨设C B A ≥≥，∴C B A C B A <-+<,，2cos 2cos ,22CB AC B A >-<-， ∴C CB AC B A B A C B A sin 2cos 2sin 2sin 2cos 2sin 2sin sin sin ++>+-+=++ 2sin cos 1sin 2cos 22>++=+=C C C C．【练习】C B A ,,为锐角△ABC 的三个内角，求证：23cos cos cos 1≤++<C B A ．证明：C B A B A C B A cos 2cos 2cos 2cos cos cos +-+=++C BA cos 2cos 2++≥ 2323)212(sin 22sin 212sin 222≤+--=-+=C C C ，2)(cos 2cos 2)2cos(2cos B A B A B A +-+=-++πππ，2cos 2cos 2cos cos BA B A B A -+=+，<-2B A 2)(B A +-π， ∴2cos 2)(cos 2cos CB A B A =+->-π，∴C CC B A B A B A sin 2cos 2sin 22cos 2cos2cos cos =>-+=+， ∴1cos sin cos cos cos >+>++C C C B A ．【例3】已知1),1,0(,,=++∈ca bc ab c b a ，求证：4331111222≤+++++<cc b b a a ．证明：方法1：由已知1),1,0(,,=++∈ca bc ab c b a ，可设2tan ,2tan ,2tanC c B b A a ===，其中C B A ,,为锐角△ABC 的三个内角，则A A A a a sin 212tan 12tan122=+=+，B B B b b sin 212tan 12tan 122=+=+，C C C c c sin 212tan 12tan122=+=+，原不等式等价于233sin sin sin 2≤++<C B A ，证法见例2．方法2：))()(())((122c b c a b a acab c a b a a bc ac ab a a a a ++++=++=+++=+，=+++++222111c c b b a a ))()((2c b c a b a +++，只需证433))()((21≤+++<c b c a b a ，即2))()((938<+++≤c b c a b a ．由1),1,0(,,=++∈ca bc ab c b a ，可知3≥++c b a ，只需证加强不等式))()((9))((8c b c a b a ca bc ab c b a +++≤++++，即)2(9)3(8222222222222b c a c a b c b c a b a abc b c a c a b c b c a b a abc ++++++≤++++++，即≤abc 6b c a c a b c b c a b a 222222+++++，由均值可知显然成立．【练习】已知abc c b a c b a =++>,0,,，求证：231111111222≤+++++<cb a ．提示：设C c B b A a tan ,tan ,tan ===，原不等式等价于23cos cos cos 1≤++<C B A ．【变式】已知1),,0(,,=+++∞∈ca bc ab c b a ，求证：231111222≤+++++<cc b b a a ．提示：设2tan ,2tan ,2tan C c B b A a ===，原不等式等价于232sin 2sin 2sin 1≤++<C B A ．（或将c b a ,,分别替换为cb a 1,1,1将变为上面练习．）【例4】设12π≥≥≥z y x ，且2π=++z y x ，求乘积z y x cos sin cos 的最大值和最小值．)12,245.(83246cos 142cos 1cos 21cos )sin(21cos )]sin()[sin(21cos sin cos 2πππ===+=+≤+==+≤--+=z y x z zz y x z y x y x z y x)12,3.(81432cos142cos 1cos 21)sin(cos 21)]sin()[sin(cos 21cos sin cos 2πππ====+≥+==+≥-++=z y x x xz y x z y z y x z y x 【练习】设C B A ,,是三角形的三个内角，求证：3233sin 3sin 3sin 2≤++<-C B A ，并确定其中的等号何时成立．解析：不妨设︒≥60A ，则︒≤+120C B ，从而︒≤+<-≤︒180)(23||230C B C B ，由此可得)(23c o s )(23c o s C B C B +>-．再由0)(23s i n ≥+C B ，得到)(23cos )(23sin 2)(23cos )(23sin 2C B C B C B C B ++≥-+，即)(3sin 3sin 3sin C B C B +≥+，于是2)(3sin 3sin 3sin 3sin 3sin -≥++≥++C B A C B A ，为使23sin 3sin 3sin -=++C B A ，必须满足1)(3sin 3sin -=+=C B A ，0)(23sin =+C B ，这是不可能的，从而23sin 3sin 3sin ->++C B A ．另一方面，由︒≥60A 可知，)(23cos )(23sin 23sin 3sin 3sin 3sin C B C B A C B A -++=++)(23sin 23sin C B A ++≤A A 23cos 23sin -=A A 23cos )123(sin 2-=33)23sin 1)(323sin 3(312)23sin 1)(123(sin 2A A A A -+=-+=323)46(3124=≤．当且仅当,1)(23cos ),23sin 1()323sin 3(=--=+C B A A即︒==︒=20,140C B A 时，等号成立．【例5】对于任意的正数x 、y 、z 、及△ABC 三内角A 、B 、C ，总有：C xy B zx A yz z y x cos 2cos 2cos 2222++≥++．证明：0)sin sin ()cos cos (sin sin 2sin sin )cos cos (cos cos 2cos cos cos 2)cos cos (cos 2cos 2cos 2),,(22222222222222222≥-+--=-++--=----++--=---++=B z C y C y B z x C B yz B z C y C y B z x C B yz C y B z A yz z y C y B z x Cxy B zx A yz z y x z y x f ∴C xy B zx A yz z y x cos 2cos 2cos 2222++≥++．【补充】求证：02cos 22cos 22cos 2222≥+++++C xy B zx A yz z y x【变式】求证：)(21cos cos cos zxy y zx x yz C z B y A x ++≤++ 求证：23cos cos cos ≤++C B A 求证：C ab B ca A bc c b a cos 2cos 2cos 2222++=++求证：C B A B A C A C B C B A cos sin sin 2cos sin sin 2cos sin sin 2sin sin sin 222++=++求证：)(21cos cos cos cabb ac a bc C c B b A a ++≤++ 【练习】给定正整数n ，求最小的正数λ，使得对于任何=i θ),,2,1)(2,0(n i =π，只要2212tan tan tan nn =⋅⋅⋅θθθ ，就有n θθθcos cos cos 21+++ 不大于λ．解析：1°当2,1=n 时，=λ33n ，当1=n 时，33cos ,2tan 11==θθ，当2=n 时，,2tan tan 21=θθ设x =12tan θ，则x4tan 22=θ， xx 41111tan 11tan 11cos cos 221221+++=+++=+θθθθ x x xx x x x x x x x x 45345214545242411112++-+++=+++++++=⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛+++设]31,0(451∈=++t xx ，则341234111122≤++-=⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛+++t t x x ， =+21cos cos θθ33241111≤+++xx，当2=x 即21θθ=时取等号． 2°当3≥n 时，1-=n λ，先证1cos cos cos 21-<+++n n θθθ ①不妨设n θθθθ≥≥≥≥ 321，要证明①式成立，只要证2cos cos cos 321<++θθθ，②2212tan tan tan n n =⋅⋅⋅θθθ ，故22tan tan tan 321≥⋅⋅θθθ．2sin 1sin 1cos 22ii i θθθ-<-=，32322232sin sin 22sin sin 2cos cos θθθθθθ-≤+-<+，322212322212tan tan 81cos 1,tan tan 8tan θθθθθθ+≥∴≥， 32223222323222321sin sin cos cos 8sin sin tan tan 8tan tan cos θθθθθθθθθθθ+=+≤，)sin sin cos cos 811(sin sin 2cos cos cos 3222322232321θθθθθθθθθ+--<++2cos cos cos 321<++θθθ，⇔1sin sin cos cos 832223222≥+θθθθ⇔)tan 1)(tan 1(sec sec tan tan 8322232223222θθθθθθ++=≥+ ⇔7tan tan 3222≤+θθ ③．若③式成立，则②式成立．AB CP若③式不成立，即7tan tan 3222>+θθ，从而27tan tan 2212>≥θθ，32cos cos 21<≤θθ，21322cos cos cos 321<+<++θθθ．从而①式得证．现证1-=n λ为最小的．事实上，若10-<<n λ，则取11<-=n a λ，从而存在,,,2,1)2,0(n i i =∈πθ使得)1,,2,1(1tan ,cos 2-=-==n i a a a i i θθ，1221(2tan --=n nn a aθ从而2212tan tan tan nn =⋅⋅⋅θθθ ，但λθθθθθθ=+++>+++-12121cos cos cos cos cos cos n n ，当3≥n 时，最小的正数λ为1-n ．综上所求最小正数⎪⎩⎪⎨⎧≥-==)3(,1)2,1(,33n n n n λ．【练习】设8,0,0,0=>>>abc c b a ，求证：21111111<+++++<cb a ．☆三角与几何☆【例6】已知点P 是锐角△ABC 内一点，使得∠PAB =∠PBC =∠PCA ．求证：C B A PAB cot cot cot cot ++=∠．证明：证法1：设z PC y PB x PA ===,,，∠PAB =∠PBC =∠PCA =θ则θcos 2222xc c x y -+= θcos 2222ya a y z -+= θcos 2222zb b z x -+=)(cos 2222cx bz ay c b a ++=++θ，又)(sin 21cx bz ay S ABC++=∆θ，∴ABCS c b a ∆++=4cot 222θ， Rabc c b a R a bc a c b CC B B A A C B A 4422sin cos sin cos sin cos cot cot cot 222222⨯++=⋅-+=++=++∑，RabcC ab S ABC 4sin 21==∆，∴C B A PAB cot cot cot cot ++=∠．证法2：由角元式赛瓦（Ceva ）定理得1)sin(sin )sin(sin )sin(sin =-⋅-⋅-θθθθθθC B A ，1)cos cot )(sin cos cot )(sin cos cot (sin =---C C B B A A θθθ，01)cos (cot )cos cos sin (cot )cos sin sin (cot )sin (23=--+-∏∑∑∏A C B A C B A A θθθ由C B A C B A C B A C B A sin sin sin sin cos cos cos sin cos cos cos sin =++， C B A C B A C B A C B A cos cos cos 1cos sin sin sin cos sin sin sin cos +=++得 0)1)cos ((cot )sin (cot )1)cos ((cot )sin (23=+-++-∏∏∏∏A A A A θθθ0)1))(cot 1)cos ((cot )sin ((2=++-∏∏θθA A ， 0)1)cos ((cot )sin (=+-∏∏A A θ，CB A CB A CB AC B A C B A AA cot cot cot sin sin sin cos sin sin sin cos sin sin sin cos sin 1)cos (cot ++=++=+=∏∏θ 证法3：（平面几何证法）略【练习】设P 为△ABC 内或边界上一点，点P 到三边的距离为PD 、PE 、PF ．求证：)(2PF PE PD PC PB PA ++≥++．BPF C PE B PF C PE B PF C PE C B PEPF C B PEPF PF PE C B PEPF PF PE EF A PA sin sin )cos cos ()sin sin (sin sin 2cos cos 2)cos(2sin 222222+≥-++=+-+=+-+== ∴A BPF A C PE PA sin sin sin sin +≥，同理B C PD B A PF PB sin sin sin sin +≥，CAPE C B PD PC sin sin sin sin +≥， )(2)sin sin sin sin ()sin sin sin sin ()sin sin sin sin (PF PE PD B AA B PF C A A C PE C B B C PD PC PB PA ++≥+++++≥++ 【补充】H 为锐角△ABC 的垂心，F E D ,,为垂足，求证：（1）垂足△DEF 的周长)(21cos cos cos c b a C c B b A a ++≤++=；（2）H 为垂足△DEF 的内心；（3）九点圆半径为外接圆半径的一半。

【高中数学竞赛专题大全】竞赛专题3 三角函数(50题竞赛真题强化训练)解析版+原卷版

【高中数学竞赛专题大全】竞赛专题3 三角函数（50题竞赛真题强化训练）一、单选题1．（2018·吉林·高三竞赛）已知()sin 2cos xf x x=+，则对任意x ∈R ，下列说法中错误的是（） A ．()1sin 3f x x ≥B ．()f x x ≤C ．()f x ≤D ．()()0f x f x ππ++-=【答案】A 【解析】【详解】由()1sin 3f x x ≥得sin (1cos 01cos 0x x x ），-≥-≥，所以该式不一定成立，sinx 有可能是负数，所以选项A 错误； ()sin sin 2cos x f x x x x =≤≤+.所以选项B 正确；()sin 2cos x f x x=+=sin 0||cos (2)x x ---表示单位圆上的点和（-2,0）所在直线的斜率的绝对值，数形结合观察得到()f x ≤C 正确； ()()f x f x ππ++-=sin sin 002-cos 2-cos 2-cos x x x x x-+==，所以选项D 正确.故答案为A2．（2018·四川·高三竞赛）函数()()()sin 1cos 12sin 2x x y x R x--=∈+的最大值为（）.A ．2B ．1C ．12+D【答案】B 【解析】【详解】因为()sin cos sin cos 122sin cosxx x x x y x ⋅-++=+⋅，令sin cos 4t x x x π⎛⎫⎡=+=+∈ ⎪⎣⎝⎭，则()21sin cos 12x x t ⋅=-，于是()()22211112.2121t t t y t t --+==-++- 令()(21t g t t t =+，则()()22211t g t t '-=+. 由()0g t '=知1t =-或1.因为(()()111,1,22g g g g =-=-==()g t 的最小值是()112g -=-，所以y 的最大值是11122⎛⎫--= ⎪⎝⎭.故答案为:B3．（2019·全国·高三竞赛）函数[][]sin cos sin cos y x x x x =⋅++的值域为（）（[]x 表示不超过实数x 的最大整数）. A ．{}2,1,0,1,2-- B ．{}2,1,0,1-- C ．{}1,0,1- D ．{}2,1,1--【答案】D 【解析】【详解】1sin224y x x π⎤⎡⎤⎛⎫=++ ⎪⎥⎢⎥⎣⎦⎝⎭⎦..下面的讨论均视k Z ∈. （1）当222k x k πππ≤≤+时，1y =；（2）当32224k x k ππππ+<≤+时，1y =-；（3）当3224k x k ππππ+<<+时，2y =-；（4）当2x k ππ=+或322k ππ+时，1y =-；（5）当3222k x k ππππ+<<+时，2y =-；（6）当372224k x k ππππ+<<+时，2y =-；（7）当72224k x k ππππ+≤<+时，1y =-. 综上，{}2,1,1y ∈--. 故答案为D4．（2010·四川·高三竞赛）已知条件43p =和条件4:sin cos 3q αα+=．则p 是q 的（）． A ．充分但不必要条件 B ．必要但不充分条件 C ．充要条件 D ．既不充分也不必要条件【答案】C 【解析】【详解】sin cos αα+，所以，p 是q 的充要条件．5．（2018·全国·高三竞赛）在ABC ∆中，A B C ∠≤∠≤∠，sin sin sin cos cos cos A B CA B C++=++则B 的取值范围是（）.A ．,32ππ⎛⎫ ⎪⎝⎭B ．0,2π⎛⎫ ⎪⎝⎭C ．3π D ．,43ππ⎛⎫ ⎪⎝⎭【答案】C 【解析】【详解】由条件有)sin sin sin cos cos cos A B C A B C ++=++2sincos sin 22A C A C B +-⇒︒+ 2cos cos cos 22A C A C B +-⎫=︒+⎪⎭2sin cos222A C A C A C ++-⎛⎫⇒- ⎪⎝⎭ sin B B =. 利用辅助角公式有2sin cossin 3223A C A C B ππ+-⎛⎫⎛⎫-=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭2sin cos 262B A C π-⎛⎫⇒- ⎪⎝⎭ 2sin cos 2626B B ππ⎛⎫⎛⎫=-- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭60602sin cos cos 0222B A C B -︒--︒⎛⎫⇒-= ⎪⎝⎭606060sinsin sin 0244B AC B B A C -︒-+-︒-+-︒⇒︒︒=，所以，600B ∠-︒=或者600A C B ∠-∠+∠-︒=或者600B A C ∠-∠+∠-︒=, 即60B ∠=︒或者60C ∠=︒或者60A ∠=︒,亦即A B C ∠∠∠、、中有一个为60︒.若60B ∠<︒,则60A B ∠≤∠<︒，所以，只能60C ∠=︒，此时，180A B C ∠+∠+∠<︒,矛盾；若60B ∠>︒，则60C B ∠≥∠>︒,所以，只能60A ∠=︒，从而，180A B C ∠+∠+∠>︒，亦矛盾. 选C. 二、填空题6．（2018·江西·高三竞赛）若三个角x 、y 、z 成等差数列，公差为π3，则tan tan tan tan tan tan x y y z z x ++=______．【答案】3- 【解析】【详解】根据π3x y =-，π3z y =+，则tan x =tan z =所以tan tan x y tan tan y z 22tan 3tan tan 13tan y z x y -=-．则229tan 3tan tan tan tan tan tan 313tan y x y y z z x y-++==--．故答案为-37．（2018·广东·高三竞赛）已知△ABC 的三个角A 、B 、C 成等差数列，对应的三边为a 、b 、c ，且a 、c成等比数列，则2:ABC S a ∆=___________.【解析】【详解】因为A 、B 、C 成等差数列，2B A C =+，3180B A B C =++=︒，因此60B =︒.又因为a 、c成等比数列，所以c qa =，b =由正弦定理()sin sin 120a qa A A ==︒-，整理得22sin A q =221A q q=-，()()232235420q q q q ⎡⎤-+++-=⎣⎦. 所以2q =，1sin 2A =，30A =︒，90C =︒.故212ABC S ab ∆==，所以2:ABC S a ∆=8．（2019·全国·高三竞赛）设锐角α、β满足αβ≠，且()()22cos cos 1tan tan 2αβαβ++⋅=，则αβ+=__________．【答案】90 【解析】【详解】由已知等式得()()()()22222tan tan 1tan tan 21tan 1tan αβαβαβ+++⋅=++，()()2tan tan tan tan 10αβαβ-⋅-=.但锐角αβ≠，故tan tan 10αβ⋅-=()cos 090αβαβ⇒+=⇒+=︒.故答案为909．（2021·全国·高三竞赛）函数sin 1tan tan 2x y x x ⎛⎫=+⋅ ⎪⎝⎭的最小正周期为____________．【答案】2π 【解析】【详解】解析：当=2,x k k Z π∈时，sin 1tan tan 02x y x x ⎛⎫=+⋅= ⎪⎝⎭，当2,x k k Z π≠∈时，sin 1cos sin 1tan cos sin x x y x x x x -⎛⎫=+⋅= ⎪⎝⎭，其中2x k ππ≠+且2x k ππ≠+，画出图象可得函数周期为2π．故答案为：2π.10．（2021·浙江金华第一中学高三竞赛）设()()πcos 2243x f x x x =++为定义在R 上的函数．若正整数n 满足()12021nk f k ==∏，则n 的所有可能值之和为______．【答案】12121 【解析】【详解】()cos cos cos 2222()41(1)(3)xxxf k k k k k πππ=++=++,111()(11)(13)(21)(23)nk f k --==++++⨯∏00(431)(433)m m ⨯-+-+11(421)(423)m m --⨯-+-+0011(411)(413)(41)(43)m m m m ⨯-+-+++,考虑cos2x π的周期为4,分四种情况考虑(1)当43k m =-(m 为正整数)时,4311111001()(21)(23)(41)(43)(443)(431)(433)m k f k m m m ---==++++⨯-+-+-+∏13(41)2021m -=⨯-=,所以416063,436061m n m -==-=;(2)当42k m =-时，42111()3(41)2021m k f k m ---==⨯+=∏,无正整数解;(3)当41k m =-时，41111()3(41)2021m k f k m ---==⨯+=∏,无正整数解;(4)当4k m =时，41111()3(43)2021m k f k m --==⨯+=∏,此时46060n m ==，综上,6060n =或6061n =, 故答案为：12121.11．（2021·全国·高三竞赛）在ABC 中，1155,tantantan222AC AC B =+-=，则+BC AB 的值为__________．【答案】7 【解析】【详解】解析：记ABC 中A 、B 、C 所对的边分别是a 、b 、c ，如图，设内切圆的半径为r ，则tan22A r b c a =+-，tan 22C r a b c =+-，tan 22B r a c b =+-，故5()b c a a b c a c b +-++-=+-，故()57a c b +=，即7a c +=，故答案为：712．（2021·全国·高三竞赛）已知ABC 满足2sin sin 2sin A B C +=，则59sin sin A C+的最小值是_______．【答案】16 【解析】【详解】解析：2sin sin 2sin sin 2(sin sin )A B C B C A +=⇒=-2sincos 4sin cos 2222A C A C C A A C ++-+⇒⋅=⋅sin 2sin tan 3tan 2222A C C A C A+-⇒=⇒=．令tan 2A t =，则222259595527326sin sin 22191t t t t A C t t t t +++=+=+++216416t t +=≥=．当113,tan ,tan 22222A C t ===时，tan02A C+>，所以180A C +<︒，故min5916sin sin A C ⎛⎫+= ⎪⎝⎭．故答案为：1613．（2020·浙江·高三竞赛）已知,,0,2παβγ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，则cos 2cos cos cos()2cos()αβγαγβγ++-+-+的最大值为___________.【答案】【解析】【详解】()cos cos 2sin sin 2sin 222γγγααγα⎛⎫-+=+≤ ⎪⎝⎭，同理()cos cos 2sin2γββγ-+≤，故cos 2cos cos cos()6sin22cos()cos αβγαγβγγγ++-+-++≤，而22cos 2sin 3116sin 6sin 12sin 222222γγγγγ⎛⎫+++=--+ -⎪=⎝⎭，因为0sin 2γ≤≤23112sin 222γ⎛⎫--+≤ ⎪⎝⎭当且仅当,24ππγαβ===时，各等号成立，故答案为：14．（2021·全国·高三竞赛）已知三角形ABC 的三个边长a b c 、、成等比数列，并且满足a b c ≥≥.则A ∠的取值范围为___________.【答案】2[,)33ππ【解析】【详解】由条件2b ac =，结合余弦定理222cos 2a c b B ac+-=，则有11cos (1)22a c B c a =+-≥，从而(0,]3B π∈，而A 是最大角，从而2,33A ππ⎡⎫∈⎪⎢⎣⎭.故答案为：2,33ππ⎡⎫⎪⎢⎣⎭. 15．（2021·全国·高三竞赛）设02πθ<<，且333cos sin 1(cos sin 1)m θθθθ++=++，则实数m 的取值范是___________.【答案】14⎫⎪⎣⎭ 【解析】【详解】解析：333cos sin 1(cos sin 1)m θθθθ++=++ ()223(cos sin )cos cos sin sin 1(cos sin 1)θθθθθθθθ+-++=++.令cos sin x θθ=+，则4x πθ⎛⎫=+∈ ⎪⎝⎭，且21sin cos 2x θθ-=，于是2323321112232231(1)2(1)2(1)2(1)2(1)2x x x x x x x m x x x x x ⎛⎫--+ ⎪+-+--⎝⎭=====-+++++，为然m是上的减函数，所以()(1)f f m f ≤<，即14m ⎫∈⎪⎣⎭.故答案为：41,24⎡⎫⎪⎢⎣⎭. 16．（2021·浙江·高三竞赛）在ABC 中，30B C ∠=∠=︒，2AB =.若动点P ，Q 分别在AB ，BC 边上，且直线PQ 把ABC 的面积等分，则线段PQ 的取值范围为______.【答案】【解析】【分析】【详解】如图所示，设,BP x BQ y ==,所以113sin 30222BPQBBCSxy S ︒===,所以23xy =由余弦定理可得,2222222312266PQ x y xy x y x x=+-=+-=+-, 易得[1,2]x ∈,所以2[1,4]x ∈, 所以2367PQ ≤≤,则PQ 的取值范围为[436,7]-. 故答案为：[436,7]-.17．（2021·浙江·高三竞赛）若π3,π44x ⎛⎫∈- ⎪⎝⎭，则函数4sin cos 3sin cos x x y x x +=+的最小值为______.【答案】22【解析】【分析】【详解】令(sin cos 224t x x x π⎛⎫=+=+∈ ⎪⎝⎭， ()22213211222t t y t tt t-++===+≥当且仅当12t t =即2t =.故答案为：2218．（2021·全国·高三竞赛）已知等腰直角PQR 的三个顶点分别在等腰直角ABC 的三条边上，记PQR 、ABC 的面积分别为PQR S、ABCS，则PQR ABCS S的最小值为__________．【答案】15【解析】【分析】【详解】（1）当PQR 的直角顶点在ABC 的斜边上，如图1所示，则P ，C 、Q ，R 四点共圆，180APR CQR BQR ∠=∠=︒-∠，所以sin sin APR BQR ∠=∠．在APR △、BQR 中分别应用正弦定理得,sin sin sin sin PR AR QR BRA APRB BQR==∠∠．又45,A B PR QR ∠=∠=︒=，故AR BR =，即R 为AB 的中点．过R 作RH AC ⊥于H ，则12PR RH BC ≥=，所以22221124PQR ABCBC SPR SBC BC ⎛⎫ ⎪⎝⎭=≥=，此时PQR ABCS S 的最小值为14．（2）当PQR 的直角顶点在ABC 的直角边上，如图2所示．设1,(01),02BC CR x x BRQ παα⎛⎫==≤≤∠=<< ⎪⎝⎭，则90CPR PRC BRQ α∠=︒-∠=∠=．在Rt CPR 中，sin sin CR xPR αα==，在BRQ 中， 31,,sin 4x BR x RQ PR RQB QRB B ππαα=-==∠=-∠-∠=-，由正弦定理，11sin 3sin sin sin cos 2sin sin sin 44x RQ RB x x B RQB απαααπα-=⇔=⇔=∠+⎛⎫- ⎪⎝⎭，因此222111122sin 2cos 2sin PQRx SPR ααα⎛⎫⎛⎫=== ⎪ ⎪+⎝⎭⎝⎭．这样，()()2222111cos 2sin 512cos sin PQR ABCS Sαααα⎛⎫=≥= ⎪+++⎝⎭，当且仅当arctan 2α=时取等号，此时PQR ABCS S的最小值为15．故答案为：15.19．（2021·全国·高三竞赛）满足方程223cos cos 22cos cos2cos4,[0,2]4x x x x x x π+-=∈的实数x 构成的集合的元素个数为________．【答案】14 【解析】【分析】【详解】将方程变形为，1cos2cos44cos cos2cos42x x x x x +-=-．两边同乘2sin x ，运用积化和差和正弦的倍角公式，得：(sin3sin )(sin5sin3)sin8sin x x x x x x -+--=-，即sin5sin8x x =，故58(21),x x k k π+=+∈Z 或852,x x k k π=+∈Z ，即21,13k x k π+=∈Z 或2,3k x k π=∈Z ．又因为在方程两边同时乘sin x 时，所以引入了增根,x k k π=∈Z （代入原方程检验可得）．再结合[0,2]xπ，得所求结果为14．故答案为：14.20．（2021·全国·高三竞赛）设ABC 的三内角A 、B 、C 所对的边长分别为a 、b 、c ，若2b c a +-=，则2222sin sin 2sin sin sin 22222C B A B Cb c bc +-值为_________．【答案】1 【解析】【分析】【详解】2222sin sin 2sin sin sin 22222C B A B Cb c bc +- 2211(1cos )(1cos )12(cos cos cos 1)22b Cc B bc A B C =-+--++- 22(2)(cos cos 1114)(cos cos 22)b c bc b C b c B c c B b C =++-+-+221(2cos )4b c bc A ++-22221111(2)()142242b c a b c bc ba ca a +-=++--+==．故答案为：1.21．（2021·全国·高三竞赛）ABC 中，A 、B 、C 的对边分别为a 、b 、c ，O 是ABC 的外心，点P 满足OP OA OB OC =++，若3B π=，且4BP BC ⋅=，则ABC 的面积为_________．【答案】【解析】【分析】【详解】由OP OA OB OC =++，得OP OA OB OC -=+，即AP OB OC =+．注意到()OB OC BC +⊥，所以AP BC ⊥．同理，BP AC ⊥，所以P 是ABC 的垂心， ()BP BC BA AP BC BA BC ⋅=+⋅=⋅，所以cos 4ac B =，8ac =，所以1sin 2ABC S ac B ==△故答案为：22．（2021·全国·高三竞赛）设ABC 的三个内角分别为A 、B 、C ，并且sin cos sin A B C 、、成等比数列，cos sin cos A B C 、、成等差数列，则B 为____________. 【答案】23π【解析】【分析】【详解】依题意，2sin sin cos ,cos cos 2sin A C B A C B =+=，前一式积化和差可得2cos()2cos cos A C B B -=-，后一式和差化积可得cos2cos 22A C B-=，所以22cos()2cos18cos 14cos 322A CB AC B --=-=-=+，联立两式得1cos 2B =-或3（舍去），所以23B π=. 故答案为：23π. 23．（2021·全国·高三竞赛）如果三个正实数x y 、、z 满足2225x xy y ++=，22144y yz z ++=，22169z zx x ++=，则xy yz zx ++=_________.【答案】【解析】【分析】【详解】易知三个等式可化为2222222222cos1205,2cos12012,2cos12013.x y xy y z yz z x zx ⎧+-︒=⎪+-︒=⎨⎪+-︒=⎩构造Rt ABC ，其中13,5,12AB BC CA ===.设P 为ABC 内一点，使得,,,120PB x PC y PA z BPC CPA APB ===∠=∠=∠=︒. 因BPCCPAAPBABCSSSS++=，则11()sin12051222xy yz zx ++︒=⨯⨯，所以xy yz zx ++=故答案为：24．（2021·全国·高三竞赛）设()cos ()cos 30xf x x =︒-，则()()()1260f f f ︒+︒++︒=_________．【解析】【分析】【详解】因为()cos ()cos 30xf x x =︒-，所以：()()()()cos 60cos ()60cos 30cos 30x xf x f x x x ︒-+︒-=+︒--︒()()()()cos cos 602cos30cos 30cos 30cos 30x x x x x +︒-︒-︒===-︒-︒令：()()()1259s f f f =︒+︒++︒，① ()()()()595821s f f f f =︒+︒++︒+︒，②①+②得：：()()()()()()2159258591s f f f f f f =︒+︒+︒+︒++︒+︒=⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎣⎦⎣⎦⎣⎦所以s =()()()59312592f f f +++=．又()()1cos6060cos 3060f ︒︒==︒=︒-，则()()()()125960f f f f ︒+︒++︒+︒==． 25．（2021·全国·高三竞赛）已知cos cos 1x y +=，则sin sin xy -的取值范围是________. 【答案】⎡⎣【解析】【分析】【详解】设sin sin x y t -=，易得2cos in sin 1cos s 2y x y t x --=，即21cos()2t x y -+=. 由于()1cos 1x y -≤+≤，所以21112t --≤≤，解得t≤故答案为：⎡⎣.26．（2020·全国·高三竞赛）在ABC中，6,4AB BC ==，边AC 66sin cos 22A A+的值为_______．【答案】211256．【解析】【分析】由中线长公式计算出AC 的长度，然后运用余弦定理计算出cos A 的值，化简后即可求出结果. 【详解】记M 为AC 的中点，由中线长公式得()222242BM AC AB BC +=+，可8AC ==．由余弦定理得2222228647cos 22868CA AB BC A CA AB +-+-===⋅⋅⋅，所以66224224sin cos sin cos sin sin cos cos 22222222A A A A A A A A ⎛⎫⎛⎫+=+-+ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭22222sin cos 3sin cos 2222A A A A ⎛⎫=+- ⎪⎝⎭231sin 4A =-213211cos 44256A =+=．故答案为：211256【点睛】关键点点睛：解答本题关键是能够熟练运用中线长公式、余弦定理、倍角公式等进行计算，考查综合能力.27．（2019·江苏·高三竞赛）已知函数()4sin 23cos 22sin 4cos f x x x a x a x =+++的最小值为－6，则实数a 的值为________ .【答案】【解析】【详解】令sin 2cos x x t +=，则[t ∈， ∴224sin 23cos 25t x x =++，∴2()()225,[f x g t t at t ==+-∈，当2a-≤a ≥函数的最小值为：(((22256g a =⨯+⨯⨯-=-，解得：a =当2a-a ≤-函数的最小值为：22256g a =⨯+⨯⨯-=-，解得：a =，不合题意，舍去；当2a-<a -< 函数的最小值为：22256222a a a g a ⎛⎫⎛⎫⎛⎫-=⨯-+⨯-⨯-=- ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，解得：a =.故答案为：28．（2019·福建·高三竞赛）在△ABC中，若AC =AB =25tan 12π=，则BC =____________ .【解析】【详解】5tan 12π=，得2sin 56tan 122cos 6A A πππ⎛⎫+ ⎪⎝⎭=⎛⎫+ ⎪⎝⎭，即5tan tan 612A ππ⎛⎫+= ⎪⎝⎭，所以5,612A k k πππ+=+∈Z . 结合0A π<<，得5,6124A A πππ+==. 所以由余弦定理，得：2222cos BC AC AB AC AB A =+-⋅⋅⋅22222cos4π=+-⋅2=所以BC29．（2018·全国·高三竞赛）设 A B C ∠∠∠、、是ABC 的三个内角.若sin ,A a =cos B b =,其中,a ＞0,0b >,且221a b +≤,则tan C =______.【解析】【详解】因为cos 0B b =>,所以,B ∠为锐角,sin B又221a b +≤,则sin sin A a B =≤. 于是()sin sin A B π-≤. 若A ∠为钝角,则A π-∠为锐角.又B ∠为锐角,则A B A B ππ-∠≤∠⇒∠+∠≥矛盾.从而,A ∠为锐角,且cos A .故sin tan cos A A A ==sin tan cos B B B ==则tan tan tan tan tan 1A B C A B +==⋅-30．（2018·全国·高三竞赛）在ABC ∆中，已知a 、b 、c 分别是A ∠、B 、C ∠的对边．若4cos a b C b a +=，()1cos 6A B -=，则cos C ______．【答案】23【解析】【详解】由题设及余弦定理知222222422a b a b c a b c b a ab+-+=⋅⇒+=()()2221cos21cos22sin sin sin 1cos cos 22A BC A B A B A B --⇒=+=+=-+⋅-()2111cos 1cos 21cos 66C C C =+⇒+=-2cos 3C ⇒=或34-．而()3cos cos 2sin sin 0cos 4C A B A B C ++=⋅>⇒=-（舍去）．因此，2cos 3C =． 31．（2018·全国·高三竞赛）若对任意的ABC ∆，只要()+p q r p q R 、+=∈，就有222sin sin sin p A q B pq C +>，则正数r 的取值范围是______.【答案】01r <≤ 【解析】【详解】设的三边长分别为a 、b 、c . 则222sin sin sin p A q B pq C +>①22211a b c q p⇔+>. 若1r ≤，则()22221111a b q p a b q p qp ⎛⎫+≥++ ⎪⎝⎭ ()22a b c ≥+>；若1r >，令2rp q ==. 当a b =，C π∠→时，2221 22a b rc +→<，式①不成立.综上，01r <≤.32．（2018·全国·高三竞赛）在锐角ABC ∆中，cos cos sin sin A B A B +--的取值范围是______. 【答案】()2,0- 【解析】【详解】由02A B C π<∠∠∠<、、 22A B AB πππ⇒<∠+∠⇒∠-∠，2B A π∠>-∠.则0cos sin 1A B <<<，0cos sin 1B A <<<故2cos cos sin sin 0A B A B -<+--<. 所以取值范围是()2,0-.33．（2019·全国·高三竞赛）已知单位圆221x y +=上三个点()11,A x y ，()22,B x y ，()33,C x y满足1231230x x x y y y ++=++= .则222222123123x x x y y y ++=++=__________.【答案】32【解析】【详解】设1cos x α=，2cos x β=，3cos x γ=，1sin y α=，2sin y β= 3sin y γ=. 由题设知ABC ∆的外心、重心、垂心重合，其为正三角形.故()222313cos cos cos cos2cos2cos2222αβγαβγ++=+++=， ()222313sin sin sin cos2cos2cos2222αβγαβγ++=-++=. 故答案为3234．（2021·全国·高三竞赛）在ABC 中，2cos 3cos 6cos A B C +=，则cos C 的最大值为_______________．【解析】【分析】【详解】令cos ,cos ,cos A x B y C z ===，则236x y z +=，即223y z x =-．因为222cos cos cos 2cos cos cos 1A B C A B C +++=，所以22222212233x z x z x z x z ⎛⎫⎛⎫+-+=-- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，整理得222134********z x z z x z ⎛⎫⎛⎫-+-+-= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，()2228134Δ44510393z z z z ⎛⎫⎛⎫=----≥ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，化简得2413(1)(1)4039z z z z ⎛⎫+-+-≥ ⎪⎝⎭，于是24134039z z +-≤，得z ≤ 所以cos C．16. 35．（2021·全国·高三竞赛）已知正整数n p 、，且2p ≥，设正实数12,,,n m m m 满足1111npi im ==+∑，则12n m m m 的最小值为_______．【答案】(1)mp n - 【解析】【分析】【详解】令2tan ,0,,1,2,,2p i i i m x x i n π⎛⎫=∈= ⎪⎝⎭．由题设可得22212cos cos cos 1n x x x +++=，于是：2222121cos cos cos sin n n x x x x -+++=，222221221cos cos cos cos sin n n n x x x x x --++++=，……2222231cos cos cos sin n x x x x +++=，将上述各式利用均值不等式得：2221(1)cos sin n n n x x --≤， 22221(1)cos sin n n n x x ---≤，……2231(1)cos sin n n x x -≤，再把上述n 个不等式相乘，得()2222221212(1)cos cos cos sin sin sin n n n n x x x x x x -≤，即22212tan tan tan (1)n n x x x n ≥-．由于2tan ,1,2,,p i i m x i n ==，故12(1)n pn m mm n ≥-，当且仅当1(1)p i m n =-时上式等号成立．故答案为：(1)mp n -.36．（2021·全国·高三竞赛）设锐角ABC 的三个内角、、A B C ，满足sin sin sin A B C =⋅，则tan tan tan A B C ⋅⋅的最小值为_______．【答案】163【解析】【分析】【详解】由题设可知，0,,2A B C π<<，则cos 0,cos 0B C >>．又由A B C π++=及sin sin sin A B C =⋅ 得()()sin sin sin B C B C π-+=⋅，即()sin sin sin B C B C +=⋅，则sin cos cos sin sin sin B C B C B C +=⋅， ① 由cos 0,cos 0B C >>，①式两边同时除以cos cos B C ⋅，可得tan tan tan tan B C B C +=⋅．设tan tan B C s +=，则tan tan B C s ⋅=，由0,2B C π<<知，tan 0,tan 0B C >>，则0s >．于是有()tan tan B s B s ⋅-=，故2tan tan 0B s B s -+=，从而有22(tan )(4)244s s sB s s -=-=-．又2(tan )02s B -≥，得(4)04s s -≥，而0s >．所以4s ≥．故4s ≥．tan tan tan tan(())tan tan A B C B C B C π⋅⋅=-+⋅⋅2tan tan tan tan 1tan tan 1B C s B C B C s +=-⋅⋅=-⋅-．因为4s ≥，于是求tan tan tan A B C ⋅⋅的最小值转化为求函数2()(4)1x f x x x =≥-的最小值．考虑函数221()(4),()(1)2(4)111x x f x x f x x x x x x =≥==-++≥---，即()f x 在[)4,+∞上单调递增，从而()()4,4x f x f ≥≥．因此()f x 的最小值在4x =时取得，为2416(4)413f ==-．由tan tan tan tan 4B C B C +=⋅=得，tan tan 2B C ==，从而4tan 3A =，故当4tan 3A =，tan tan 2BC ==时，tan tan tan A B C ⋅⋅取得最小值163．故答案为：163. 37．（2019·贵州·高三竞赛）在△ABC 中，0,0GA GB GC GA GB ++=⋅=.则(tan tan )tan tan tan A B CA B+⋅=____________ .【答案】12 【解析】【详解】设△ABC 中角A 、B 、C 所对的边分别为a 、b 、c .由0,0GA GB GC GA GB ++=⋅=，知G 为△ABC 的重心. 又GA ⊥GB ，所以22222222211221122GA GB c GA GB a GB GA b ⎧⎪+=⎪⎪⎪⎛⎫⎛⎫+=⎨ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎪⎪⎛⎫⎛⎫⎪+= ⎪ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭⎩.得到2225a b c +=.故：(tan tan )tan (sin cos cos sin )sin tan tan sin sin cos A B C A B A B C A B A B C++=⋅2sin sin sin cos C A B C =()22222abc ab a b c =+-2222212c a b c ==+-. 故答案为：12．38．（2019·江西·高三竞赛）△ABC 的三个内角A 、B 、C 满足：A =3B =9C ，则cos cos A B +cos cos cos cos B C C A +=____________ .【答案】14-【解析】【详解】设,3,9C B A θθθ===，由39θθθπ++=得13πθ=，所以cos cos cos cos cos cos S A B B C C A =++9339coscos cos cos cos cos 131313131313ππππππ=++112642108cos cos cos cos cos cos 2131313131313ππππππ⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫=+++++ ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦. 注意括号中的诸角度构成公差为213π的等差数列，两边同乘4sin 13π，得到 246810124sin2sincos cos cos cos cos cos 1313131313131313S ππππππππ⎛⎫⋅=+++++⎪⎝⎭35375sin sin sin sin sin sin 131313131313ππππππ⎛⎫⎛⎫⎛⎫=-+-+-+ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭971191311sin sin sin sin sin sin 131313131313ππππππ⎛⎫⎛⎫⎛⎫-+-+- ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭ sin13π=-.所以，14S =-.故答案为：14-．三、解答题39．（2021·全国·高三竞赛）在ABC 中，三内角A 、B 、C 满足tan tan tan tan tan tan A B B C C A =+，求cos C 的最小值．【答案】23【解析】【分析】【详解】由tan tan tan tan tan tan A B B C C A =+，得： sin sin sin sin sin sin cos cos cos cos cos cos A B B C C AA B B C C A =+sin (sin cos sin cos )cos cos cos C B A A B A B C +=sin sin()cos cos cos C A B A B C+=2sin cos cos cos C A B C=，所以2sin sin cos sin A B C C =．由正余弦定理，得22222a b c abc ab+-=，所以2222222sin 223,cos sin sin 333C c a b ab a b c C A B ab ab ab ++====≥=，当且仅当a b =时等号成立，所以cos C 的最小值为23．40．（2021·全国·高三竞赛）解关于实数x 的方程：{}202020201arctan k x x k==∑（这里{}[][],x x x x =-为不超过实数x 的最大整数）【答案】{}0 【解析】【分析】【详解】（1）当0x <时，{}202020201arctan 0(1,2,,2020),arctan 0k x x k x k k =<=<≤⋅⋅⋅∑，此时原方程无解．（2）当0x =时，有{}202020001arctan0k x x k===∑．（3）当01x <<时，令arct ()1)2an (0x xf x x =-<<，则211()0(01)12f x x x '=-><<+，故()f x 在()0,1上递增．有()()00f x f >=，即arctan 2x x > 于是，此时{}202020204202020201111125arctan 2224k k k x x x xx x x k k k =====>>=>∑∑∑，即1x >，矛盾．故无解．（4）当1≥x 时，注意到111123tan(arctan arctan )112316++==-，且由110arctan arctan arctan1arctan1232π<+<+=，知11arctan arctan 234+=π．则{}20202020202011111arctan arctan arctan1arctan arctan 1232k k x x k k π===≥>++=>∑∑，与{}202001x <<，矛盾．故此时无解．由（1）（2）（3）（4），知原方程的解集为{}0．41．（2021·全国·高三竞赛）已知点(2cos ,sin ),(2cos ,sin ),(2cos ,sin )A B C ααββγγ，其中,,[0,2)αβγπ∈，且坐标原点O 恰好为ABC 的重心，判断ABCS是否为定值，若是，求出该定值；若不是，请说明理由．【答案】三角形ABC【解析】【分析】【详解】先证明一个引理：若()()1122,,,,(0,0)A x y B x y C ，则122112ABCS x y x y =-．因为()()1122,,,CA x y CB x y ==，所以21cosCA CB C CA CBx⋅==⨯所以sin C ==所以：1sin 2ABCSCACB C =⋅⋅ 12211122x y x y ==-回到原题，连结OA 、OB 、OC ，则： ABCOABOBCOACSSSS=++112cos sin 2sin cos 2cos sin 2sin cos 22αβαββγβγ=-+- 12cos sin 2sin cos 2αγαγ+- sin()sin()sin()αββγαγ=-+-+-．由三角形的重心为原点得sin sin sin 0,2cos 2cos 2cos 0.αβγαβγ++=⎧⎨++=⎩即sin sin sin ,cos cos cos .αβγαβγ+=-⎧⎨+=-⎩ 所以两式平方相加可得1cos()2αβ-=-，所以sin()αβ-=，同理sin()sin()βγαγ-=-=，所以sin()sin()sin()3ABCSαββγαγ=-+-+-==故三角形ABC 42．（2019·上海·高三竞赛）已知,0,2A B π⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，且sin sin A B =()sin A B +，求tanA 的最大值.【答案】43【解析】【详解】由题设等式可得sin sin (sin cos cos sin )A B A B A B =+，所以tan sin (tan cos sin )A B A B B =+. 令tan t A =，则2sin cos sin t t B B B =+，于是2sin 21cos2t t B B =+-，21)t B θ--，这里θ是锐角，sin θ=.所以2|21|1t t -+，注意到t >0，可得43t. 当413arctan ,arcsin 3225A B π⎛⎫==+ ⎪⎝⎭时，题设等式成立.所以，tanA 的最大值为43.43．（2018·全国·高三竞赛）在ABC ∆中，证明：coscos cos cos cos cos 222222cos cos cos 222B C C A A BA B C ⋅⋅⋅++≥ABC ∆为正三角形时，上式等号成立.【答案】见解析【解析】【详解】如图，对ABC ∆，作其相伴111A B C ∆. 则11cos 2B E B B O =，111cos 2C G C A C =，111cos 2C G A B C =. 故11111111111111coscos 22cos2B E C G B C B O A C B E B C A C G B O A C B C ⋅⋅⋅==⋅. 由O 、E 、1C 、F 四点共圆得11111B E B C B O B F ⋅=⋅则111cos cos 22cos 2B C B F A AC ⋅=.类似地，111coscos 22cos 2B C C G A A B ⋅=，111cos cos 22cos2B C A E A B C ⋅= 记111A B C ∆的三边111111B C C A A B 、、分别为111a b c 、、，相应边上的高111A E B F C G 、、分别为123h h h 、、，且其面积为S 、则312222222111111111cos cos 222111222cos2B C h h h S S S S A a b c a b c a b c ⋅⎛⎫∑=++=++=++ ⎪⎝⎭.其中，“∑”表示轮换对称和.由熟知的不等式222111111334a b c S++≥，得coscos 33222cos 2B CA ⋅∑≥. 当且仅当ABC ∆为正三角形时，上式等号成立.44．（2019·全国·高三竞赛）在△ABC 中，若cos cos 2sin sin A BB A+=，证明:∠A ＋∠B ＝90° 【答案】见解析【解析】【详解】由sin cos sinB sin sin sin sinB 0A A cosB A B A ⇒⋅+⋅-⋅-⋅=()()sin cos sin sinB cosB sinA 0A A B ⇒-+-=()()sinA sin 90sinB sinB sin 90sinA 0A B ⎡⎤⎡⎤⇒︒--+︒--=⎣⎦⎣⎦909090902sinA cossin 2sin cos sin 2222A B A B B A B AB ︒-+︒--︒-+︒--⇒⋅⋅+⋅⋅ 902sin sin cos 45?sin cos 450222A B A B A B A B ⎡⎤︒----⎛⎫⎛⎫⎛⎫⇒⋅︒-+⋅︒+= ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦=0902A B ︒--⎛⎫⇒ ⎪⎝⎭sin cos sin sin cos sin 02222A B A B A B A B A B ⎡⎤----⎛⎫⎛⎫++-= ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦.()()90cos sin sin sin sin sin 0222A B A B A B A B A B ︒----⎛⎫⎡⎤⇒++-= ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦222cos sin 2sin cos 02222A B A B A B A B -+-+⋅+⋅>sin cos sin sin cos sin 02222A B A B A B A B A B ⎡⎤----⎛⎫⎛⎫++-= ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦. 90sin 02A B ︒--⎛⎫⇒= ⎪⎝⎭ 90A B ⇒∠+∠=︒()10A a a a ⎛⎫> ⎪⎝⎭，. 45．（2018·全国·高三竞赛）已知ABC 的三个内角满足2A C B ∠+∠=∠,cos cos A C +=cos 2A C -的值.【解析】【详解】由题设知60,B ∠= 120A C ∠+∠=︒. 设2A Cα∠-∠=,则2A C α∠-∠=,于是,60,60A C αα∠=+∠=-. 故()()cos cos cos 60cos 602cos60cos cos A C αααα+=++-=⋅=.()()()260cos 6032cos2cos120cos cos604αααα+⋅-⎫==+︒=-⎪⎭.故223cos cos 2cos 04αααα⎫=--⇒+-=⎪⎭()(32cos 0αα⇒+=.若3cos 1αα+⇒=<-舍，从而,2cos 0cos αα=⇒=. 46．（2018·全国·高三竞赛）已知函数()()()3333sin cos sin cos f x x x m x x =+++在0,2x π⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦有最大值2.求实数m 的值.【答案】1m =- 【解析】【详解】注意到，()()233sin cos sin cos sin cos 3sin cos x x x x x x x x ⎡⎤+=++-⋅⎣⎦()()()223sin cos sin cos sin cos 12x x x x x x ⎧⎫⎡⎤=++-+-⎨⎬⎣⎦⎩⎭.令sin cos 4t x x x π⎛⎫⎡=+=+∈ ⎪⎣⎝⎭. 则()()()223333931222f x t t t mt m t t g t ⎡⎤⎛⎫=--+=-+∆ ⎪⎢⎥⎣⎦⎝⎭.由()233322g t m t ⎡⎤⎛⎫=-+ ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦'，有以下两种情形.（1）32m ≥. 由()0g t '>，知()max 92322g t g m ⎫==-+=⎪⎭ 230m ⇒-<，矛盾.（2）32m <. 若32132m -<-，即0m <时，()()max 1321g t g m m ==+=⇒=-；若32132m -≤≤-3012m ⎛≤≤ ⎝⎭时， ()max271523248g t g m m ==⇒=-⇒=-，矛盾；若3232m ->-33122m ⎛<< ⎝⎭时，()max 3 222g t g m ⎫==+=⎪⎭34m ⇒=-. 综上，1m =-.47．（2019·全国·高三竞赛）求(),f xy =【答案】42 【解析】【详解】注意到，2cos472cos 26x x +=+ ()2222cos 16x =-+ ()428cos cos 1x x =-+，同理，()42cos478cos cos 1y y y +=-+，而22cos4cos48sin sin 6x y x y +-⋅+ ()()22cos47cos478sin sin 8x x x y =+++-⋅-()428cos cos 1x x =-++ ()428cos cos 1y y -+- ()()2281cos 1cos 8x y ---()44228cos cos 8cos cos x y x y =+-⋅，()()42424422,8cos cos 1cos cos 1cos cos cos cos f x y x x y y x y x y =-++-+++-⋅，如图，作边长为1的正SAB ∆、SBC ∆、SCD ∆，在SB 、SC 上分别取点X 、Y 使得2cos SX x =，2cos SY y =，联结AX 、AY ，则(),f x y ()8AX XY YD =++，其最小值就是线段ASD 的长度，即当2x y π==时，min 2842f ==.48．（2021·全国·高三竞赛）求证：对任意的n +∈N ，都有21111arctan arctan arctanarctan 37114n n n π++++=+++．【答案】证明见解析. 【解析】【详解】由于1111tan arctan 1412111n n n n n π-⎛⎫+-== ⎪++⎝⎭+⨯+，只需证： 2111arctan arctan arctanarctan 3712nn n n +++=+++．设*(),2nf n n n =∈+N ，注意到：21()(1)12111()(1)1121n n f n f n n n n n f n f n n n n n ----++==-+-+++⋅++，即21tan[arctan ()arctan (1)]tan arctan 1f n f n n n ⎛⎫--= ⎪++⎝⎭，又由于()f n 、(1)f n -、211n n ++均大于0，则21[arctan ()arctan (1)],,arctan 0,2212f n f n n n πππ⎛⎫⎛⎫--∈-∈ ⎪ ⎪++⎝⎭⎝⎭，从而21arctanarctan ()arctan (1)1f n f n n n =--++．所以2111arctan arctan arctan371n n +++=++arctan ()arctan (0)arctan 2nf n f n -=+，所以对任意的n +∈N ，都有21111arctan arctan arctanarctan 37114n n n π++++=+++．49．（2021·全国·高三竞赛）设αβγ、、是锐角，满足αβγ+=，求证：cos cos cos 1αβγ++-≥【答案】证明见解析【解析】【详解】2cos cos cos 12coscos2sin 222αβαβγαβγ+-++-=⋅- 2cos cos sin sin 2222γαβγαβ-+⎛⎫=⋅-⋅ ⎪⎝⎭.由于0,224αβγπ+⎛⎫=∈ ⎪⎝⎭，所以cos cos cos sin 2222αβαβγγ-+>=>. 由恒等式()()222222()()ac bd ad bc a b c d ---=--可知，如果0a b >>且0c d >>，则ac bd -≥cos cossinsin2222γαβγαβ-+⋅≥-⋅===所以cos cos cos 1αβγ++-≥50．（2019·河南·高二竞赛）锐角三角形ABC 中，求证：cos()cos()cos()8cos cos cos B C C A A B A B C ---.【答案】证明见解析【解析】【详解】原不等式等价于cos()cos()cos()8cos cos cos B C C A A B A B C---.在三角形ABC 中，tan tan tan tan tan tan A B C A B C ++=， cos()sin sin cos cos cos sin sin cos cos B C B C B C A B C B C -+=-tan tan 1tan tan 1B C B C +=-tan (tan tan 1)tan tan A B C B C +=+2tan tan tan tan tan A B CB C++=+.令tan tan tan tan tan tan A B xB C y C A z+=⎧⎪+=⎨⎪+=⎩，则原不等式等价于()()()8z x y z x y yxz +++. 而上式左边228zx yxz⋅=，故原不等式得证【高中数学竞赛专题大全】竞赛专题3 三角函数（50题竞赛真题强化训练）一、单选题1．（2018·吉林·高三竞赛）已知()sin 2cos xf x x=+，则对任意x ∈R ，下列说法中错误的是（） A ．()1sin 3f x x ≥B ．()f x x ≤C ．()f x ≤D ．()()0f x f x ππ++-=2．（2018·四川·高三竞赛）函数()()()sin 1cos 12sin 2x x y x R x--=∈+的最大值为（）.A ．2B ．1C ．12+D3．（2019·全国·高三竞赛）函数[][]sin cos sin cos y x x x x =⋅++的值域为（）（[]x 表示不超过实数x 的最大整数）. A ．{}2,1,0,1,2-- B ．{}2,1,0,1-- C ．{}1,0,1-D ．{}2,1,1--4．（2010·四川·高三竞赛）已知条件43p =和条件4:sin cos 3q αα+=．则p 是q 的（）． A ．充分但不必要条件 B ．必要但不充分条件 C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件5．（2018·全国·高三竞赛）在ABC ∆中，A B C ∠≤∠≤∠，sin sin sin cos cos cos A B CA B C++=++则B 的取值范围是（）.A ．,32ππ⎛⎫ ⎪⎝⎭B ．0,2π⎛⎫ ⎪⎝⎭C ．3π D ．,43ππ⎛⎫ ⎪⎝⎭二、填空题6．（2018·江西·高三竞赛）若三个角x 、y 、z 成等差数列，公差为π3，则tan tan tan tan tan tan x y y z z x ++=______．。

竞赛中的三角函数例题选讲附答案

竞赛中的三角函数例题选讲【内容综述】一．三角函数的性质 1．正，余弦函数的有界性对任意角，，2．奇偶性与图象的对称性正弦函数，正切函数和余切函数都是奇函数，它们的图象关于原点对称，并且y=sinx 的图象还关于直线对称：余弦函数是偶函数，从而y=cosx 的图象关于y轴对称，并且其图象还关于直线对称 3．单调性 y=sinx 在上单调递增，在上单调递减：y=cosx 在上单调递增，在上单调递减；y=tanx 在上都是单调递增的；y=cotx 在上都是单调递减的。

4．周期性y=sinx 与y=cosx 的最小正周期是2π，y=tanx 与y=cosxr 的最小正周期是π。

【例题分析】例1 已知圆222k y x =+至少覆盖函数的一个最大值点与一个最小值点，求实数k 的取值范围。

解因为是一个奇函数，其图象关于原点对称，而圆222k y x =+也关于原点对称，所以，图222k y x =+只需覆盖的一个最值点即可。

令，可解得的图象上距原点最近的一个最大值点，依题意，此点到原点的距离不超过|k|，即综上可知，所求的K 为满足的一切实数。

例2 已知，且求 cos(x+2y)的值。

解原方程组可化为因为所以令，则在上是单调递增的，于是由得 f(x)=f(-2y)得 x=-2y即 x+2y=0例3 求出（并予以证明）函数解首先，对任意，均有这表明，是函数f(x)的一个周期其次，设，T是f(x)的一个周期，则对任意，均有在上式中，令x=0，则有。

两边平方，可知即sin2T=0，这表明，矛盾。

综上可知，函数的最小正周期为。

例3 求证：在区间内存在唯一的两个数，使得sin(cosc)=c, cos(sind)=d证，构造函数f(x)=cos(sinx)-xf(x)在区间内是单调递减的，由于f(0)=cos(sin0)-0=1>0.故存在唯一的，使f(d)=0，即cos(sind)=d对上述两边取正弦，并令c=sind，有sin(cos(sind))=sindsin(cosc)=c显然，由于y=sinx在是单调递增的，且d是唯一的，所以c也是唯一的，且例4 已知对任意实数x，均有求证：证首先，f(x)可以写成①其中是常数，且，在①式中，分别令和得②③②+③，得又在①式中分别令，得④⑤由④+⑤，得【能力训练】（A组）1．求函数的单调递增区间2．已知是偶函数，，求3．设，，试比较的大小。

竞赛中的三角函数(讲义)

商南县高级中学2019届高一数学奥赛讲义：竞赛中的三角函数2019年4月14日班级姓名一、例题讲解：例1.已知圆222k y x =+至少覆盖函数k xx f πsin 3)(= 的一个最大值点与一个最小值点，求实数k 的取值范围？例2.求函数x x x f cos sin )(+=的周期，并予以证明。

例3. 求值：︒︒-︒+︒80sin 40sin 50cos 10cos 22例4.已知sinx+siny+sinz=cosx+cosy+cosz=0,求S=tan(x+y+z)+tanxtanytanz 的值二、真题演练：1、（2000一试2）设sin α＞0,cos α＜0,且sin 3α＞cos 3α,则3α的取值范围是( ) A ．(2k π+6π,2k π+3π), k ∈Z B ．(32πk +6π,32πk +3π),k ∈Z C ．(2k π+65π,2k π+π),k ∈Z D ．(2k π+4π,2k π+3π) (2k π+65π,2k π+π),k ∈Z2、（2001一试3）在四个函数ｙ＝ｓｉｎ｜ｘ｜、ｙ＝ｃｏｓ｜ｘ｜、ｙ＝｜ｃO ｔｘ｜、ｙ＝ｌｇ｜ｓｉｎｘ｜中，以π为周期、在（0，π／2）上单调递增的偶函数是（）．Ａ．ｙ＝ｓｉｎ｜ｘ｜Ｂ．ｙ＝ｃｏｓ｜ｘ｜Ｃ．ｙ＝｜ｃO ｔｘ｜Ｄ．ｙ＝ｌｇ｜ｓｉｎｘ｜3、（2003一试4）若x∈[－5π12 ，－π3]，则y=tan(x+2π3)－tan(x+π6)+cos(x+π6)的最大值是（） A ．125 2 B ． 116 2 C ． 116 3 D ． 12534、（2004一试1）设锐角θ使关于x 的方程x2+4xcos θ+cot θ=0有重根，则θ为 ( )A ．π6B ．π12或5π12C ．π6或5π12D ．π125、（2000一试7）arcsin(sin2000︒)=__________.6、（2002一试12）不等式sin 2x+acosx+a 2≥1+cosx 对一切x∈R 恒成立的负数a 的取值范围？7、（2006一试7）设x x x x x f 44cos cos sin sin )(+-=，则)(x f 的值域？8、（2011一试4）如果)cos (sin 7sin cos 3355θθθθ-<-，)2,0[πθ∈，那么θ的取值范围？9、（2011一试9）已知函数0,,2132cos 21sin )(≠∈+-+-=a R a a a x x a x f （１）若对任意R x ∈，都有0)(≤x f ，求a 的取值范围；（２）若2≥a ，且存在R x ∈，使得0)(≤x f ，求a 的取值范围．三、作业巩固：1．求函数)23sin(2x y -=π的单调递增区间2．已知)cos()sin(3)(θθ-++=x x x f 是偶函数，πθ<<0，求θ3．已知)cos(sin )(t x x x f ++=为偶函数，且t 满足不等式t 2-3t-4<0，求t 值4.（2008一试8）设)cos 1(22cos )(x a x x f +-=的最小值为21-，则=a ？。

高中数学竞赛(07-10)试题之三角函数教师版

高中数学竞赛（07-10年）试题分类汇总——三角、向量一、选择题1.（07全国）设函数f (x )=3sin x +2cos x +1。

若实数a 、b 、c 使得af (x )+bf (x−c )=1对任意实数x 恒成立，则a cb cos 的值等于（） A. 21- B. 21 C. −1 D. 1解：令c=π，则对任意的x ∈R ，都有f (x )+f (x−c )=2，于是取21==b a ，c=π，则对任意的x ∈R ，af (x )+bf (x−c )=1，由此得1cos -=acb 。

一般地，由题设可得1)sin(13)(++=ϕx x f ，1)sin(13)(+-+=-c x c x f ϕ，其中20π<<ϕ且32tan =ϕ，于是af (x )+bf (x−c )=1可化为1)sin(13)sin(13=++-+++b a c x b x a ϕϕ，即0)1()cos(sin 13cos )sin(13)sin(13=-+++-+++b a x c b c x b x a ϕϕϕ，所以 0)1()cos(sin 13)sin()cos (13=-+++-++b a x c b x c b a ϕϕ。

由已知条件，上式对任意x ∈R 恒成立，故必有⎪⎩⎪⎨⎧=-+==+)3(01)2(0sin )1(0cos b a c b c b a ，若b =0，则由(1)知a =0，显然不满足(3)式，故b≠0。

所以，由(2)知sin c =0，故c=2kπ+π或c=2kπ(k ∈Z )。

当c=2kπ时，cos c =1，则(1)、(3)两式矛盾。

故c=2kπ+π(k ∈Z )，cos c =−1。

由(1)、(3)知21==b a ，所以1cos -=ac b 。

2.（08全国）ABC ∆中，边,,a b c 成等比数列，则sin cot cos sin cot cos A C A B C B++的取值范围是（ C ）A. (0,)+∞B. 1)2C.D. )+∞[解] 设,,a b c 的公比为q ，则2,b aq c aq ==，而sin cot cos sin cos cos sin sin cot cos sin cos cos sin A C A A C A CB C B B C B C++=++ sin()sin()sin sin()sin()sin A C B B bq B C A A aππ+-=====+-．因此，只需求q 的取值范围．因,,a b c 成等比数列，最大边只能是a 或c ，因此,,a b c 要构成三角形的三边，必需且只需a b c +>且b c a +>．即有不等式组22,a aq aq aq aq a ⎧+>⎪⎨+>⎪⎩即2210,10.q q q q ⎧--<⎪⎨+->⎪⎩解得11,2211.22q q q ⎧<<⎪⎪⎨⎪><-⎪⎩或q <<，因此所求的取值范围是． 3．（08江苏）如果111C B A ∆的三个内角的余弦值分别是222C B A ∆的三个内角的正弦值，那么答：[B]A. 111C B A ∆与222C B A ∆都是锐角三角形B. 111C B A ∆是锐角三角形，222C B A ∆是钝角三角形C. 111C B A ∆是钝角三角形，222C B A ∆是锐角三角形D. 111C B A ∆与222C B A ∆都是钝角三角形解两个三角形的内角不能有直角；111C B A ∆的内角余弦都大于零，所以是锐角三角形；若222C B A ∆是锐角三角形，则不妨设cos 1A =sin 2A =cos ⎪⎭⎫⎝⎛-12A π， cos 1B =sin 2B =cos ⎪⎭⎫⎝⎛-22A π， cos 1C =sin 2C =cos ⎪⎭⎫⎝⎛-12C π.则212A A -=π，212B B -=π，212C C -=π，即 )(23222111C B A C B A ++-=++π，矛盾. 选B. 4.（08河北）已知cos cos 1x y +=，则sin sin x y -的取值范围是（）．A []11-，B []2-，2C 0⎡⎣ D⎡⎣答案：D ．解：设sin sin x y t -=，易得21cos cos sin sin 2t x y x y --=，即()21cos 2t x y -+=．由于()1cos 1x y -≤+≤，所以21112t --≤≤，解得t ≤≤5.（08湖南）设)2008sin(sin 0=a ，)2008sin(cos 0=b ，)2008cos(sin 0=c ，)2008cos(cos 0=d ,则d c b a ,,,的大小关系是（）Ａ．d c b a <<< Ｂ．c d a b <<< Ｃ．a b d c <<< Ｄ．b a c d <<<解：因为00002818036052008++⨯=，所以，0)28sin(sin )28sin sin(00<-=-=a ；0)28sin(cos )28cos sin(00<-=-=b ；0)28cos(sin )28sin cos(00>=-=c ；0)28cos(cos )28cos cos(00>=-=d ．又0028cos 28sin <，故.c d a b <<<故选B.6.（08江西）若对所有实数x ，均有sin sin cos cos cos 2kkkx kx x kx x ⋅+⋅=，则k =（）.A 、6；B 、5；C 、4；D 、3．解：记()sin sin cos cos cos 2k k k f x x kx x kx x =⋅+⋅- ，则由条件，()f x 恒为0，取2x π=，得()sin12k k π=-，则k 为奇数，设21k n =-，上式成为sin 12n ππ⎛⎫-=- ⎪⎝⎭，因此n 为偶数，令2n m =，则41k m =-，故选择支中只有3k =满足题意．二、填空题1.（08江西）0sin 20sin 40sin80⋅⋅= .解：()8sin 20sin 40sin804cos 20cos60sin80⋅⋅=-()0004sin80cos202sin802sin100sin 602sin80=-=+-02sin 60==所以0sin 20sin 40sin 80⋅⋅=2.（08湖北）设集合⎭⎬⎫⎩⎨⎧-∈==)34,3(,21|sin |ππx x x E ，则E 的真子集的个数为 15 3.（08湖北）若1|lg |<ϕ，则使函数)cos()sin()(ϕϕ-+-=x x x f 为奇函数的ϕ的个数为3 ．4．（08湖北）在△ABC 中，已知B ∠的平分线交AC 于K ．若BC =2，CK =1，223=BK ，则△ABC 的面积为16715．5．（08湖北）已知=，=，过O 作直线AB 的垂线，垂足为P ．若3||,3||==，6π=∠AOB ，y x +=，则=-y x -2 ．6．（07全国）在△ABC 和△AEF 中，B 是EF 的中点，AB =EF =1，BC =6，33=CA ，若2=⋅+⋅，则与的夹角的余弦值等于________解：因为2=⋅+⋅AF AC AE AB ，所以2)()(=+⋅++⋅BF AB AC BE AB AB ，即22=⋅+⋅+⋅+。

全国高中数学竞赛专题-三角函数

三角恒等式与三角不等式一、基础知识定义1 角：一条射线绕着它的端点旋转得到的图形叫做角。

角的大小是任意的。

若旋转方向为逆时针方向，则角为正角，若旋转方向为顺时针方向，则角为负角，若不旋转则为零角。

定义2 角度制：把一周角360等分，每一等分为一度。

弧度制：把等于半径长的圆弧所对的圆心角叫做一弧度。

360度=2π弧度。

若圆心角的弧长为L ，则其弧度数的绝对值|α|=rL,其中r 是圆的半径。

定义3 三角函数：在直角坐标平面内，把角α的顶点放在原点，始边与x 轴的正半轴重合，在角的终边上任意取一个不同于原点的点P ，设它的坐标为（x ,y ），到原点的距离为r,则正弦函数s in α=ry,余弦函数co s α=r x ,正切函数tan α=xy，余切函数cot α=y x ，正割函数se c α=x r ,余割函数c s c α=.y r定理1 同角三角函数的基本关系式，倒数关系：tan α=αcot 1,s in α=αcsc 1，co s α=αsec 1；商数关系：tan α=αααααsin cos cot ,cos sin =；乘积关系：tan α×co s α=s in α,cot α×s in α=co s α；平方关系：s in 2α+co s 2α=1, tan 2α+1=se c 2α, cot 2α+1=c s c 2α.定理2 诱导公式（Ⅰ）s in (α+π)=-s in α, co s(π+α)=-co s α, tan (π+α)=tan α, cot (π+α)=cot α;（Ⅱ）s in (-α)=-s in α, co s(-α)=co s α, tan (-α)=-tan α, cot (-α)=cot α;（Ⅲ）s in (π-α)=s in α, co s(π-α)=-co s α, tan =(π-α)=-tan α, cot (π-α)=-cot α;（Ⅳ）s in ⎪⎭⎫⎝⎛-απ2=co s α, co s ⎪⎭⎫ ⎝⎛-απ2=s in α, tan ⎪⎭⎫⎝⎛-απ2=cot α（奇变偶不变，符号看象限）。

竞赛→高中竞赛→专项训练→[全国通用][竞赛相关][试题试卷]高中数学竞赛专题讲座——三角函数与向量

x=log b (4x-4)的根，则△ABC （B ）都是方程 logsin Ax=log b (4x-4)得：x 2-4x+4=0，所以 x 1=x 2=2，故 C=2A ，sinB=2sinA ，10．若△ A B C 的最长边为1 ，则高中数学竞赛专题讲座——三角函数与向量一、三角函数部分1．(集训试题△)在 ABC 中，角 A 、B 、C 的对边分别记为 a 、b 、c(b ≠1)，且 C ，Asin B bA ．是等腰三角形，但不是直角三角形B ．是直角三角形，但不是等腰三角形C ．是等腰直角三角形D ．不是等腰三角形，也不是直角三角形解：由 log b因 A+B+C=180°，所以 3A+B=180°，因此 sinB=sin3A ，∴3sinA-4sin 3A=2sinA ，∵sinA(1-4sin 2A)=0，又 sinA ≠0，所以 sin 2A= 14 ，而 sinA>0，∴sinA=12.因此 A=30°,B=90°,C=60°。

故选 B 。

2．（2006 吉林预赛）已知函数 y=sinx+acosx 的图象关于 x=5π/3 对称，则函数 y=asinx+cosx 的图象的一条对称轴是（C ） A ．x=π/3 B ．x=2π/3 C ．x=11π/6 D ．x=π3．2006 年南昌市）若三角形的三条高线长分别为 12,15,20,则此三角形的形状为( B )A ．锐角三角形B ．直角三角形C ．钝角三角形D ．形状不确定4．（2006 年南昌市）若 a = sin θ + tan θ , b = co s θ + co t θ ,则以下诸式中错误的是( B )A ． sin θ = ab- 1B ． co s θ =1 - abb + 1C ． tan θ + co t θ = ( a+ b + 1) 2 + 1 - 2 ab( a + 1)( b + 1)a + 1D ． tan θ - co t θ = ( a- b )( a + b + 2 )( a + 1)( b + 1)5．（2006 安徽初赛）已知△ABC 为等腰直角三角形，∠C = 90 °，D 、E 为 AB 边上的两个点，且点 D 在 AE 之间，∠DCE = 45°，则以 AD 、DE 、EB 为边长构成的三角形的最大角是（） A ．锐角 B ．钝角 C ．直角 D ．不能确定6．（2006 陕西赛区预赛）若 s in 3 θ - c o s 3 θ ≥ c o s θ - s in θ , 0 ≤ θ < 2 π ，则角θ 的取值范围是(C)A ． [ 0 , π]B ． [ π, π ]C ． [ π , 5 π ]D ． [ π,3π)4444427．（2006 年江苏）在△ A B C 中， ta n A =最短边的长为（ D ）12， c o s B = 3 10A ．45B ．35C ．25D ．5555 523=为周期的周期函数 , 而 3⋅cos +CC22A +B-CB1 1 1 ⎛∑ 1 + a α x + a 1 + a + a 1 + a + a 8．(2005 年浙江 )设 f ( x ) =12 ， f ( x ) = sin x + cos 2 x ， f ( x ) = sinx2+ cos 2 x ，f ( x ) = sin x 2 ，上述函数中，周期函数的个数是（ B ）4A ．1 【解】：f ( x ) =1B ．2C ．3D ．42 是以任何正实数为周期的周期函数； f ( x ) 不是周期函数。

三角函数及解直角三角形竞赛试题

《三角函数及解直角三角形》1．三角函数定义：如图R t △ABC 中，∠C ＝90° 正弦：斜边的对边A A ∠=sin ；c a A =sin余弦：斜边的邻边A A ∠=cos ；c b A =cos 正切：的邻边的对边A tan ∠∠=A A ；ba A =tan 根据定义，写出∠B 的三个三角函数值=B sin ___________；=B cos ____________；=B tan _______________；cabBCA2．三角函数之间关系（1）同角三角函数关系AA A cos sin tan =；1cos sin 22=+A A 模仿写出：=B tan ____________；1cos sin 22=+B B （2）互余角三角函数关系（A ＋B ＝90）B A cos sin =；B A sin cos =；tanA ·tanB ＝1一个角的正弦等于它余角的余弦；一个角的余弦等于它的余角的正弦3．特殊角的三角函数值30°、45°、60°4．会设计并根据三角函数关系计算15°、75°角的三角函数DC BA5．根据表格中数据总结正弦、余弦、正切的增减性当0°≤α≤90°时，sin α随α的增大而_______；cos α随α的增大而_______；tan α随α的增大而_______ 6．已知一个三角函数值，求其他三角函数值。

（根据三角函数关系）例题：sin A ＝52，求cosA 、tanA注意：（1）正弦、余弦、正切、都是在直角三角形中给出的，要避免应用时对任意的三角形随便套用定义；（2）ｓｉｎＡ不是ｓｉｎ与Ａ的乘积，是三角形函数记号，是一个整体。

“ｓｉｎＡ”表示一个比值，其他三个三角函数记号也是一样的；（3）锐角三角函数值与三角形三边长短无关，只与锐角的大小有关。

（4）当０°≤α≤９０°时，０≤αsin ≤１，０≤αcos ≤１。

竞赛中的三角函数例题选讲

學科：奧數教學內容：競賽中的三角函數例題選講【內容綜述】一．三角函數的性質 1．正，余弦函數的有界性對任意角，，2．奇偶性與圖像的對稱性正弦函數，正切函數和餘切函數都是奇函數，它們的圖像關於原點對稱，並且y=sinx 的圖像還關於直線對稱：余弦函數是偶函數，從而y=cosx 的圖像關於y軸對稱，並且其圖像還關於直線對稱 3．單調性 y=sinx 在上單調遞增，在上單調遞減：y=cosx 在上單調遞增，在上單調遞減；y=tanx 在上都是單調遞增的；y=cotx在上都是單調遞減的。

4．週期性y=sinx 與y=cosx 的最小正週期是2π，y=tanx 與y=cosxr 的最小正週期是π。

【例題分析】例1 已知圓222k y x =+至少覆蓋函數的一個最大值點與一個最小值點，求實數k 的取值範圍。

解因為是一個奇函數，其圖像關於原點對稱，而圓222k y x =+也關於原點對稱，所以，圖222k y x =+只需覆蓋的一個最值點即可。

令，可解得的圖像上距原點最近的一個最大值點，依題意，此點到原點的距離不超過|k|，即綜上可知，所求的K 為滿足的一切實數。

例2 已知，且求 cos(x+2y)的值。

解原方程組可化為因為所以令，則在上是單調遞增的，於是由得 f(x)=f(-2y)得 x=-2y即 x+2y=0例3 求出（並予以證明）函數解首先，對任意，均有這表明，是函數f(x)的一個週期其次，設，T是f(x)的一個週期，則對任意，均有在上式中，令x=0，則有。

兩邊平方，可知即sin2T=0，這表明，矛盾。

綜上可知，函數的最小正週期為。

例3 求證：在區間記憶體在唯一的兩個數，使得sin(cosc)=c, cos(sind)=d證，構造函數f(x)=cos(sinx)-xf(x)在區間內是單調遞減的，由於f(0)=cos(sin0)-0=1>0.故存在唯一的，使f(d)=0，即cos(sind)=d對上述兩邊取正弦，並令c=sind，有sin(cos(sind))=sindsin(cosc)=c顯然，由於y=sinx在是單調遞增的，且d是唯一的，所以c也是唯一的，且例4 已知對任意實數x，均有求證：證首先，f(x)可以寫成①其中是常數，且，在①式中，分別令和得②③②+③，得又在①式中分別令，得④⑤由④+⑤，得【能力訓練】（A組）1．求函數的單調遞增區間2．已知是偶函數，，求3．設，，試比較的大小。

初中奥林匹克数学竞赛知识点总结及训练题目-锐角三角函数

初中数学竞赛辅导讲义---锐角三角函数古希腊数学家和古代中国数学家为了测量的需要，他们发现并经常利用下列几何结论：在两个大小不同的直角三角形中，只要有一个锐角相等，那么这两个三角形的对应边的比值一定相等．正是古人对天文观察和测量的需要才引起人们对三角函数的研究，1748年经过瑞士的著名数学家欧拉的应用，才逐渐形成现在的sin 、cos 、tg 、ctg 的通用形式．三角函数揭示了直角三角形中边与锐角之间的关系，是数形结合的桥梁之一，有以下丰富的性质：1．单调性；2．互余三角函数间的关系； 3．同角三角函数间的关系．平方关系：sin 2α+cos 2α=1；商数关系：tg α=ααcos sin ，ctg α=ααsin cos ；倒数关系：tg αctg α=1．【例题求解】【例1】已知在△ABC 中，∠A 、∠B 是锐角，且sinA ＝135，tanB=2，AB=29cm ，则S △ABC = ．思路点拨过C 作CD ⊥AB 于D ，这样由三角函数定义得到线段的比，sinA=135=AC CD ，tanB=2=BDCD，设CD=5m ，AC ＝13m ，CD ＝2n ，BD ＝n ，解题的关键是求出m 、n 的值．注：设△ABC 中，a 、b 、c 为∠A 、∠B 、∠C 的对边，R 为△ABC 外接圆的半径，不难证明：与锐角三角函数相关的几个重要结论： (1) S △ABC =C ab B ac A bc sin 21sin 21sin 21==；（2）R CcB b A a 2sin sin sin ===．【例2】如图，在△ABC 中．∠ACB ＝90°，∠ABC ＝15°，BC=1，则AC=( ) A ．32+ B ．32- C ．0.3D ．23-思路点拨由15°构造特殊角，用特殊角的三角函数促使边角转化．注：（1）求(已知)非特角三角函数值的关是构造出含特殊角直角三角形．（2）求(已知)锐角角函数值常根据定转化为求对应线段比，有时需通过等的比来转换．【例3】如图，已知△ABC 是等腰直角三角形，∠ACB ＝90°，过BC 的中点D 作DE ⊥AB 于E ，连结CE ，求sin ∠ACE 的值．思路点拨作垂线把∠ACE 变成直角三角形的一个锐角，将问题转化成求线段的比．【例4】如图，在△ABC 中，AD 是BC 边上的高，tanB=cos ∠DAC ， (1)求证：AC ＝BD ； (2)若sinC=1312，BC=12，求AD 的长．思路点拨 (1)把三角函数转化为线段的比，利用比例线段证明； (2) sinC=ACAD=1312，引入参数可设AD=12k ，AC ＝13k ．【例5】已知：在Rt △ABC 中，∠C=90°，sinA 、sinB 是方程02=++q px x 的两个根． (1)求实数p 、q 应满足的条件；(2)若p 、q 满足(1)的条件，方程02=++q px x 的两个根是否等于Rt △ABC 中两锐角A 、B 的正弦?思路点拨由韦达定理、三角函数关系建立p 、q 等式，注意判别式、三角函数值的有界性，建立严密约束条件的不等式，才能准确求出实数p 、q 应满足的条件．学历训练1．已知α为锐角，下列结论①sin α+cos α=l ；②如果α>45°，那么sin α>cos α；③如果cos α>21，那么α<60°； ④αsin 11)-(sin 2-=α．正确的有．2．如图，在菱形ABCD 中，AE ⊥BC 于E ，BC=1，cosB135，则这个菱形的面积为． 3．如图，∠C=90°，∠DBC=30°，AB ＝BD ，利用此图可求得tan75°= ．4．化简(1)263tan 27tan 22-+οο= ．(2)sin 2l °+sin 22°+…+sin 288°+sin 289°= ．5．身高相等的三名同学甲、乙、丙参加风筝比赛．三人放出风筝线长、线与地面夹角如下表(假设风筝线是拉直的)，则三人所放的风筝中( )A ．甲的最高B ．丙的最高C ．乙的最低D ．丙的最低6．已知 sin αcos α=81，且0°<α<45°则co α-sin α的值为( )A ．23 B ．23- C ．43 D ．43-7．如图，在△ABC 中，∠C ＝90°，∠ABC ＝30°，D 是AC 的中点，则ctg ∠DBC 的值是( )A ．3B ．32C ．23 D ．43 8．如图，在等腰Rt △ABC 中．∠C ＝90°，AC ＝6，D 是AC 上一点，若tan ∠DBA=51，则AD 的长为( )A ．2B ．2C ． 1D ．229．已知关于x 的方程0)1(242=++-m x m x 的两根恰是某直角三角形两锐角的正弦，求m 的值．10．如图，D 是△ABC 的边AC 上的一点，CD=2AD ，AE ⊥BC 于E ，若BD ＝8，sin ∠CBD=43，求AE 的长． 11．若0°<α<45°，且sin αcon α=1673，则sin α= ．12．已知关于x 的方程0)cos 1(2sin 423=-+⋅-ααx x 有两个不相等的实数根，α为锐角，那么α的取值范围是．13．已知是△ABC 的三边，a 、b 、c 满足等式))((4)2(2a c a c b -+=，且有035=-c a ，则sinA+sinB+sinC 的值为．14．设α为锐角，且满足sin α=3cos α，则sin αcos α等于( ) A ．61 B ．51 C ．92 D ．103 15．如图，若两条宽度为1的带子相交成30°的角，则重叠部分(图中阴影部分)的面积是( ) A ．2 B ．23C ．1D ．2116．如图，在△ABC 中，∠A ＝30°，tanB=23，AC=32，则AB 的长是( ) A ．33+ B ．322+ C ．5 D ．29 17．己在△ABC 中，a 、b 、c 分别是∠A 、∠B 、∠C 的对边，且c=35，若关于x 的方程0)35(2)35(2=-+++b ax x b 有两个相等的实根，又方程0sin 5)sin 10(22=+-A x A x 的两实根的平方和为6，求△ABC 的面积．18．如图，已知AB=CD=1，∠ABC ＝90°，∠CBD °=30°，求AC 的长．19．设 a 、b 、c 是直角三角形的三边，c 为斜边，n 为正整数，试判断n n b a +与n c 的关系，并证明你的结论．20．如图，已知边长为2的正三角形ABC 沿直线l 滚动．(1)当△ABC 滚动一周到△A l B 1C 1的位置，此时A 点所运动的路程为，约为 (精确到0.1，π=3.14)(2)设△ABC 滚动240°，C 点的位置为C ˊ，△ABC 滚动480°时，A 点的位置在A ˊ，请你利用三角函数中正切的两角和公式tan(α+β)=(tanα+tanβ)÷(1-tanα·tanβ)，求出∠CACˊ+∠CAAˊ的度数．参考答案。

竞赛辅导三角函数

系统复习三角函数基础知识
熟练掌握三角函数的定义、性质、图像和变换，以及三角恒等式与公式。
总结归纳解题方法
针对不同题型，总结归纳相应的解题方法和技巧，形成自己的解题思路。
多做练习题
通过大量的练习，加深对知识点的理解和记忆，提高解题速度和准确性。
关注竞赛动态
了解竞赛的考试形式、难度和重点，有针对性地进行备考。
THANKS
感谢观看
正切函数是奇函数，即tan(-x)=-tanx。
三角函数图像变换
平移变换
伸缩变换
反射变换
通过加减常数可以改变三角函数的相位和垂直
位置。
通过乘以常数可以改变三角函数的周期和振幅。
通过取反或绝对值等操作可以改变三角函数的
形状和对称性。
复合变换
通过组合以上变换可以得到更复杂的三角函数
图像。
03
余弦定理的应用
余弦定理在解三角形中主要用于求解三角形的边或角，特别是在已知三边或已知两边及夹角的情况下。此外，余弦定理还可用于判断三角形的形状（如锐角、直角或钝角三角形）。
面积公式及其应用
面积公式的表述
在任意三角形ABC中，面积$S = frac{1}{2}bcsin A = frac{1}{2}acsin B = frac{1}{2}absin C$。
三角函数求值与化简
同角三角函数关系式
平方关系
01
$sin^2alpha + cos^2alpha = 1$
商数关系
02
$tanalpha = frac{sinalpha}{cosalpha}$
互补角关系
03
$sin(90^circ - alpha) = cosalpha$，$cos(90^circ - alpha)

三角函数竞赛试题与方法

三角函数竞赛试题与方法二、方法与例题 1．结合图象解题。

例1 求方程s inx =lg |x |的解的个数。

【解】在同一坐标系内画出函数y =s inx 与y =lg |x |的图象（见图），由图象可知两者有6个交点，故方程有6个解。

2．三角函数性质的应用。

例2 设x ∈(0, π), 试比较co s(s inx )与s in (co s x )的大小。

【解】若⎪⎭⎫⎢⎣⎡∈ππ,2x ，则co s x ≤1且co s x >-1，所以co s ⎥⎦⎤ ⎝⎛-∈0,2πx ，所以s in (co s x ) ≤0,又0<s inx ≤1, 所以co s(s inx )>0，所以co s(s inx )>s in (co s x ). 若⎥⎦⎤⎝⎛-∈2,0πx ，则因为s inx +co s x =2cos 22sin 222=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+x x (s inxco s 4π+s in 4πco s x )=2s in (x +4π)≤2<2π，所以0<s inx <2π-co s x <2π，所以co s(s inx )>co s(2π-co s x )=s in (co s x ).综上，当x ∈(0,π)时，总有co s(s inx )<s in (co s x ).例3 已知α，β为锐角，且x ·（α+β-2π）>0，求证：.2sin cos sin cos <⎪⎭⎫ ⎝⎛+⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛xxαββα【证明】若α+β>2π，则x >0，由α>2π-β>0得co s α<co s(2π-β)=s in β,所以0<βαsin cos <1，又s in α>s in (2π-β)=co s β, 所以0<αβsin cos <1，所以.2sin cos sin cos sin cos sin cos 0=⎪⎭⎫⎝⎛+⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛<⎪⎭⎫ ⎝⎛+⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛αββααββαxx若α+β<2π，则x <0，由0<α<2π-β<2π得co s α>co s(2π-β)=s in β>0, 所以βαsin cos >1。

高中数学竞赛专题讲座竞赛讲座33三角函数

比赛讲座 33－三角函数几何中的两个基本量是：线段的长度和角的大小. 三角函数的实质就是用线段长度之比来表示角的大小，进而将两个基本量联系在一同，使我们能够借助三角变换或三角计算来解决一些较难的几何问题. 三角函数不单是一门风趣的学识，并且是解决几何问题的有力工具. 1．角函数的计算和证明问题在解三角函数问题以前，除了熟知初三教材中的相关知识外，还应当掌握：（1）三角函数的单一性当a为锐角时，sina与tga的值随a的值增大而增大；cosa与ctga 随 a 的值增大而减小；当 a 为钝角时，利用引诱公式转变为锐角三角函数议论.注意到 sin45 °=cos45°=, 由 (1) 可知 , 当时 0＜ a＜45°时 ,cosa ＞ sina; 当 45°＜ a＜90°时 ,cosa ＜ sina.(2)三角函数的有界性 |sina| ≤1,|cosa| ≤1,tga 、 ctga 可取随意实数值（这一点可直接利用三角函数定义导出） .例 1（ 1986 年全国初中数学比赛备用题）在△ABC 中，假如等式sinA+cosA=建立，那么角A是（）（A）锐角（B）钝角（C）直角剖析对 A 分类，联合sinA 和 cosA 的单一性用列举法议论.解当 A=90°时， sinA 和 cosA=1；当 45°＜ A＜90°时 sinA ＞，cosA＞0，∴s inA+cosA＞当 A=45°时， sinA+cosA=当 0＜ A＜45°时， sinA ＞ 0,cosA ＞∴sinA+cosA＞∵1,都大于.∴裁减（ A）、（ C），选（ B） .例 2（ 1982 年上海初中数学比赛题）ctg67 °30′的值是（）（A）-1（B）2-（C）-1（D）（ E）剖析结构一个有一锐角恰为67°30′的 Rt△，再用余切定义求之.D 使 AD=AC，连DC，则解如图 36-1 ，作等腰 Rt△ABC，设∠ B=90°， AB=BC=1.延伸 BA到AD=AC= ，∠ D=22.5°, ∠DCB=67.5°. 这时，ctg67 °30′=ctg ∠DCB=∴选 (A).例 3(1990 年南昌市初中数学比赛题 ) 如图 , 在△ ABC中, ∠A所对的 BC边的边长等于 a, 旁切圆⊙O的半径为 R, 且分别切 BC及 AB、 AC的延伸线于 D， E，F. 求证 :R≤a·O′, 分别切三边于G,H,K. 由对称性知GE=KF(如图36-2).设 GB=a，证明作△ ABC的内切圆BE=x， KC=y,CF=b. 则x+a=y+b,①且 BH=a,BD=x,HC=y,DC=b.于是 ,x-a=y-b.②①+②得 ,x=y. 进而知 a=b.∴G E=BC=a.设⊙ O′半径为r. 明显 R+r≤OO′ ( 当 AB=AC)时取等 .作 O′M⊥EO 于 M,则 O′M=GE=a,∠OO′M=∴R+r≤两式相加即得R≤.例 4（ 1985 年武汉等四市初中联赛题）凸4n+2 边形 A A A A（ n 为自然数）各内角都是1234n+230°的整数倍，已知对于x 的方程：x 212=0①+2xsinA +sinAx2+2xsinA 2+sinA 3=0②x2+2xsinA 3+sinA 1=0③都有实根，求这凸4n+2 边形各内角的度数 .解∵各内角只好是、、、，∴正弦值只好取当 sinA 1=时，∵ sinA2≥sinA 3≥∴方程①的鉴别式△1 =4（sin2A1-sinA 2）≤440方程①无实根，与已知矛盾，故sinA 1≠.当 sinA 1=时，sinA2≥，sinA3≥，∴方程①的鉴别式△=4（ sin A -sinA） =0.1212方程①无实根，与已知矛盾，故sinA 1=.综上所述，可知sinA 1=1， A1=.同理， A2=A3=.这样其他4n-1 个内角之和为这些角均不大于又 n 为自然数，∴n=1, 凸 n 边形为 6 边形 , 且A4+A5 +A6=4×2.解三角形和三角法定理推论设a、 b、 c、 S 与 a′、 b′、 c′、 S′. 若我们在正、余弦定理以前介绍上述定理和推论是为了在解三角形和用三角函数解几何题时有更大的自由 .（1）解三角形例 5（第 37 届美国中学生数学比赛题）在图 36-3 中，AB是圆的直径， CD是平行于 AB的弦，且AC和 BD订交于 E，∠ AED=α , △CDE和△ ABE的面积之比是 ( ).22(A)cos α (B)sin α (C)cos α (D)sinα (E)1-sin α解如图，由于AB∥DC,AD=CB,且△ CDE∽△ ABE,BE=AE,所以连接 AD，由于 AB是直径，所以∠ ADB=在直角三角形ADE中， DE=AEcosα .∴应选 (C).例 6(1982年上海初中数学比赛题) 如图 36-4, 已知 Rt△斜边 AB=c,∠A=α , 求内接正方形的边长.解过 C作 AB的垂线 CH，分别与GF、 AB 交于 P、 H，则由题意可得又∵△ ABC∽△ GFC，∴，即（2）三角法.利用三角知识（包含下一讲介绍的正、余弦定理）解几何问题的方法叫三角法. 其特色是将几何图形中的线段，面积等用某些角的三角函数表示，经过三角变换来达到计算和证明的目的，思路简单，进而减少几何计算和证明中技巧性很强的作协助线的困难 .例 7（ 1986 年全国初中数学比赛搜集题）如图36-5 ，在△ ABC中， BE、 CF是高，∠ A=，则△ AFE 和四边形FBCE的面积之比是（）（A）1∶2（ B）2∶3（ C）1∶1（ D）3∶4解由 BE、 CF 是高知 F、B、 C、 E 四点共圆，得AF·AB=AE·AC.在 Rt△ABE中，∠ ABE=，∴S△AFE∶S FBCE=1∶1.应选(C).例 8(1981年上海中学生数学比赛题) 在△ ABC中∠C为钝角 ,AB 边上的高为h, 求证 :AB ＞2h.证明如图 36-6,AB=AD+BD=h(ctgA+ctgB)①∵∠C是钝角 , ∴∠ A+∠B＜, ∴ctgB ＞ ctg(- A)=tgA. ②由①、②和代数基本不等式，得例9（第一组对边与一条对角线之长的和为18 届国际数学比赛题）已知面积为32cm2的平面凸四边形中16cm.试确立另一条对角线的全部可能的长度.解如图36-7 ，设四边形ABCD面积S 为32cm2，并设AD=y,AC=x,BC=z. 则x+y+z=16(cm)由但 S=32，∴ sin θ =1,sin=1, 且 x-8=0. 故θ = =且x=8,y+z=8. 这时易知另一条对角线BD的长为此处无图例 10(1964年福建中学数学比赛题) 设 a、b、c 是直角三角形的三边， c 为斜边，整数n≥3, 求证 :a n+b n＜ c n.剖析如图为三角不等式34-8,sin注意到nα+cosRt△ABC的边角关系nα＜ 1 来议论 .:a=csinα＞ 0,b=ccosα＞ 0, 可将不等式转变证明设直角三角形一锐角∠BAC= α ( 如图 ),则。

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