§2.9.3 函数的应用举例
函数的简单应用课件
函数的表示方法
函数的表示方法有多种，包括解析法、表格法、图象法等 。解析法是用数学表达式来表示函数关系，表格法和图象 法则通过数据或图形直观地展示函数关系。
解析法表示函数关系最为精确，但有时较为复杂；表格法 和图象法则较为直观，但有时不够精确。在实际应用中， 根据需要选择合适的表示方法。
函数的性质
三角函数的基本性质
三角函数具有对称性、单调性、有界性等基本性质。
三角函数的图像
01
02
03
正弦函数图像
正弦函数的图像是一个周 期为2π的波浪线。
余弦函数图像
余弦函数的图像与正弦函 数图像关于y轴对称。
正切函数图像
正切函数的图像在每一个 区间(π/2 + kπ, (3π/2) + kπ)，k∈Z上都是直线。
量之间的关系。
分式函数在日常生活中的应用
03
分式函数在日常生活中也有很多应用，例如时间、距离和速度
之间的关系可以用分式函数表示。
05
三角函数的应用
三角函数的定义
三角函数定义
三角函数是数学中研究三角形边角关系的函数，包括正弦、余弦 、正切等。
三角函数周期性
三角函数具有周期性，即它们的图像会重复出现。
函数的性质包括奇偶性、单调性、周期性等。奇偶性描述函数图像关于原点的对 称性；单调性描述函数在某一区间内的增减性；周期性描述函数图像的重复性。
了解函数的性质有助于更好地理解函数的本质和特点，为进一步应用函数打下基 础。
02
一次函数的应用
一次函数的定义
一次函数：一般形式为 y = kx + b（k ≠ 0），其中 k 为斜率
收入与工作量的关系
如果一个人的收入 I 与他完成 的工作量 W 成正比，那么 I = kW。
生活中函数的例子
生活中函数的例子一、函数的传统定义：设有两个变量x、y,如果对于x在某一范围内的每一个确定的值,y都有唯一确定的值与它对应,那么就称y是x的函数,x叫做自变量.我们将自变量x取值的集合叫做函数的定义域,和x对应的y的值叫做函数值,函数值的集合叫做函数的值域.函数的近代定义：设A,B都是非空集合,f：x→y是从A到B的一个对应法则,那么从A到B的映射f：A→B就叫做函数,记作y=f(x),其中x∈A,y∈B,集合A叫做函数f(x)的定义域.若集合C是函数f(x)的值域,显然有C⊆B.符号y=f(x)即是“y是x的函数”的数学表示,应理解为：x是自变量,它是法则所施加的对象；f是对应法则,它可以是一个或几个解析式,可以是图象、表格,也可以是文字描述；y是自变量的函数值,当x为允许的某一具体值时,相应的y值为与该自变量值对应的函数值,当f用解析式表示时,则解析式为函数解析式.y=f(x)仅仅是函数符号,不是表示“y等于f与x的乘积”,f(x)也不一定是解析式. 对函数概念的理解函数的两个定义本质是相同的,只是叙述概念的出发点不同,传统定义是从运动变化的观点出发,而近代定义是从集合、映射的观点出发。
二、实际生活中的应用问题1、商品定价问题例1 某种品牌的彩电降价30%以后,每台售价为a元,则该品牌的彩电每台原价为多少？2、商品降价问题例2 某商品进价是1000元,售价是1500元.由于销售情况不好,商店决定降价出售,但又要保证利润为5% ,求商店应降价多少元出售. 3、存款利率问题例3 国家规定存款利息的纳税办法是：利息税＝利息×20% ,储户取款时由银行代扣代收.若银行一年定期储蓄的年利率为2.25% ,某储户取出一年到期的本金及利息时,扣除了利息税36元,则银行向该储户支付的现金是多少元?4、支付稿酬问题例4 国家规定个人发表文章或出书获得稿费的纳税计算方法是：（1）稿费不高于800元的,不纳税；（2）稿费高于800元又不高于4000元的应交超过800元那一部分稿费的14% 的税；（3）稿费高于4000元的应交全部稿费的11% 的税.王老师曾获得一笔稿费,并交税280元,算一算王老师这笔稿费是________ 元.5、股票问题例5 下表是某一周甲、乙两种股票每天的收盘价（每天交易结束时的价格）星期一星期二星期三星期四星期五甲12 12.5 12.9 12.45 12.75乙13.5 13.3 13.9 13.4 13.75某人在该周内持有若干甲、乙两种股票,若按两种股票每天的收盘价计算（不计手续费、税费等）,该人帐户上星期二比星期一多获利200元,星期三比星期二多获利1300元,试问该人持有甲、乙两种股票各多少股?6、人员考核问题例6 某企业对应聘人员进行英语考试,试题由50道选择题组成,评分标准规定：每道题的答案选对得3分,不选得0分,选错倒扣1分.已知某人有5道题未作,得了103分,问这人选错了多少道题?7、货物运费问题例7 一批货物要运往某地,货主准备租用运输公司得甲、乙两种货车,已知过去两次租用这两种货车的情况如下表：第一次第二次甲种货车辆数 2 5乙种货车辆数 3 6累计运货吨数15.5 35现租用该公司3辆甲种货车和5辆乙种货车,一次刚好运完这批货物.如果按每吨付运费30元计算,问货主应付运费多少元?8、小康生活问题例8 改革开放以来,某镇通过多种途径发展地方经济.1995年该镇国民生产总值2亿元.根据测算,该镇年国民生产总值为5亿元,可达到小康水平.若从1996年开始,该镇年国民生产总值每年比上一年增加0.6亿元,该镇经过几年可达到小康水平?9、校舍建设问题例9 光明中学现有校舍面积20000平方米,为改善办学条件,计划拆除部分旧校舍,建造新校舍,使新建校舍的面积是拆除旧校舍的3倍还多1000平方米.这样,计划完成后的校舍总面积可比现有校舍面积增加20% .已知拆除旧校舍每平方米需费用80元,建造新校舍每平方米需费用700元,问完成该计划需多少费用?10、水资源问题例10 某地现有人口500万,水资源120亿米 .若该地人口每年增加4万,水资源每年减少1.2亿米 .试问：经过多少年后,每万人拥有的水资源是0.2亿米?11、水土流失问题例11 目前,包括长江、黄河等七大流域在内,全国水土流失面积达到367万平方千米,其中长江与黄河流域的水土流失总面积占全国的32.4% ,而长江流域的水土流失问题更为严重,它的水土流失面积比黄河流域的水土流失面积还要多29万平方千米,问长江流域的水土流失面积是多少?12、飞机票价问题例12 有一旅客携带了30千克行李从南京禄口国际机场乘飞机去天津,按民航规定,旅客最多可免费携带20千克行李,超重部分每千克按飞机票价的1.5% 购买行李票.现该旅客购了120元的行李票,则他的飞机票价应是多少元?三、其他实例1、《中华人民共和国所得税法》规定,公民全月工资,薪金所得不超过800元的部分不纳税,超过800元的为全月应纳税所得额,此项税款按下表分段累计计算:全月应纳税所得额税率不超过500的部分5%超过500元至2000元的部分10%超过2000元至5000元的部分15%…………某人一月份应交纳此项款26.78元,则他们当月工资,薪金所得等于( )A、800～900元 B 、900～1200元C、1200～1500元 D 、1500～2800元分析:本题的关键词语为"全月应纳税所得额解:由表格可知全月应纳税所得额为500元时应纳税500×5%=25(元) 由题可知某人一月份纳税26.78元,26.78-25=1.78(元)为超过500元的全月应纳税所得额所上交纳款,依表格这部分薪金所得为1.78÷10%=17.8元,故此月份工资为800+500+17.8=1317.8元故选C。
3.3函数的实际应用举例
【课题】3.3函数的实际应用举例【教学目标】知识目标：（1）理解分段函数的概念；（2）理解分段函数的图像；（3）了解实际问题中的分段函数问题．能力目标：（1）通过函数的实际应用，培养计算技能和解决问题能力；（2）通过现代信息技术应用的学习，培养计算工具使用技能.情感目标：（1）参与数学建模过程，体会数学知识的应用。
（2）参与小组合作学习，树立团结协作意识。
【教学重点】（1）分段函数的概念；（2）分段函数的图像．【教学难点】（1）建立实际问题的分段函数关系；（2）分段函数的图像．【教学设计】（1）结合学生生活实际，利用生活的实例为载体，创设情境，激发兴趣；（2）提供给学生素材后，给予学生充分的时间和空间，让学生在发现、探究、讨论、交流等活动中形成知识；（3）提供数学交流的环境，培养合作意识．【教学备品】教学课件．【课时安排】2课时．(90分钟)【教学过程】教学过程教师行为学生行为教学意图时间*揭示课题3.3函数的实际应用举例介绍了解用日过程行为行为意图间*创设情景兴趣导入问题我国是一个缺水的国家，很多城市的生活用水远远低于世界的平均水平．为了加强公民的节水意识，某城市制定每户月用水收费（含用水费和污水处理费）标准：用水量不超过103m部分超过103m 部分收费（元／3m）1.302.00 污水处理费（元／3m）0.300.80那么，每户每月用水量x （3m ）与应交水费y （元）之间的关系是否可以用函数解析式表示出来？分析由表中看出，在用水量不超过10（3m ）的部分和用水量超过10（3m ）的部分的计费标准是不相同的．因此，需要分别在两个范围内来进行研究．解决分别研究在两个范围内的对应法则，列出下表：用水量x /3m010x ,10x 水费y /元1.30.3yx1.6102.00.810y x 书写解析式的时候，必须要指明是哪个范围的解析式，因此写作 1.6,010,2.812,10.x x y f xx x,归纳这个函数与前面所见到的函数不同，在自变量的不同取值范围内，有不同的对应法则，需要用不同的解析式来表示．说明巡视指导引导讲解强调总结思考讨论交流领会理解强化了解常生活场景中的问题带领学生进入分段函数的研究注意引导学生理解实际的问题的意思解析式的建立是难点需要仔细讲解分析10*动脑思考探索新知概念过程行为行为意图间在自变量的不同取值范围内，有不同的对应法则，需要用不同的解析式来表示的函数叫做分段表示的函数，简称分段函数．定义域分段函数的定义域是自变量的各个不同取值范围的并集．如前面水费问题中函数的定义域为0,1010,0,．函数值求分段函数的函数值0f x 时，应该首先判断0x 所属的取值范围，然后再把0x 代入到相应的解析式中进行计算．如前面水费问题中求某户月用水8（3m ）应交的水费8f 时，因为0810，所以81.6812.8f （元）．注意分段函数在整个定义域上仍然是一个函数，而不是几个函数，只不过这个函数在定义域的不同范围内有不同的对应法则，需要用相应的解析式来表示．总结归纳介绍强调讲解说明思考理解记忆明确求解领会带领学生总结上述讨论得到分段函数的相关知识点20*巩固知识典型例题例1设函数221,0,,0.x x yf xx x,（１）求函数的定义域；（２）求2,0,1f f f 的值．分析分段函数的定义域是自变量的各不同取值范围的并集．求分段函数的函数值0f x 时，应该首先判断0x 所属的取值范围，再把0x 代入到相应的解析式中进行计算．解（1）函数的定义域为,00,,．（2）因为20,，故2224f ；因为0,0，故02011f ；因为1,0，故12113f．说明引领复习讲解强调观察思考回忆主动求解理解通过例题进一步领会分段函数的本质意义25*运用知识强化练习教材练习 3.3及时了解过程行为行为意图间1.设函数221,20,1,3.x x yf xx x,（1）求函数的定义域；（2）求2,0,1f f f的值．提问巡视指导思考动手求解交流学生知识掌握的情况30*动脑思考探索新知分段函数的作图因为分段函数在自变量的不同取值范围内，有着不同的对应法则，所以作分段函数的图像时，需要在同一个直角坐标系中，要依次作出自变量的各个不同的取值范围内相应的图像，从而得到函数的图像．说明讲解思考理解记忆建立分段函数的数形结合35*巩固知识典型例题例2某考生计划步行前往考场，出发0.5 h 走了2km，估计步行不能准时到达，于是他改乘出租车又经过0.25h 提前赶到了考场，设出租车的平均速度为30 km/h ．（1）写出考生经过的路程S 与时间t 的函数关系；（2）作出函数图像；（3）求考生出行0.6 h 时所经过的路程．解（1）考生步行的速度为240.5V（km/h ）故步行时的路程为4S t ．改乘出租车后为230(0.5)3013Stt．故考生经过的路程s 与时间t 的函数关系为4,00.5,3013,0.5.t tSt t ≤≤≤0.75（2）在同一个直角坐标系中，作出函数4S t（[0,0.5)x ）与函数3013St （[0.5,0.75]x ）的图像．说明分析引领讲解观察思考主动求解领会注意分析实际问题中数据的含义例题在讲解过程中要特别注意强调不同取值范过程行为行为意图间St9.520.750.5O（3）由于0.6[0.5,0.75]，故考生出行0.6 h 所经过的路程为300.6135S （km ）．说明因为分段函数是一个函数，应将不同取值范围的图像作在同一个平面直角坐标系中．链接软件演示利用几何画板作分段函数图像。
函数的应用ppt课件ppt课件
算法是计算机科学中的核心概念之一。函数可以用来设计和实现各种算 法，通过比较不同算法的性能和效率，可以找到最优的解决方案。
03
软件工程
在软件工程中，函数是实现软件功能的基本单元之一。通过合理地组织
函数之间的关系和调用逻辑，可以提高软件的可维护性和可扩展性。
函数在工程学中的应用
机械工程
在机械工程中，函数可以用来描述机械系统的运动规律和特性。例如，通过分析曲线的变化趋势和特征，可以优化机 械系统的设计和性能。
函数与其他数学领域的结合
函数与几何的结合
探索函数图像的几何性质，如对称性、周期性等，加深对函数性 质的理解。
函数与代数的结合
利用代数技巧和方法研究函数的性质，如求导、积分等，进一步拓 展函数的应用范围。
函数与概率统计的结合
将概率统计的思想和方法应用于函数分析，研究随机过程和随机函 数的性质。
函数在交叉学科中的应用
电磁学
在电磁学中，电场和磁场可以用函数来表示，通过分析这 些函数的性质和变化规律，可以了解电磁波的传播和电磁 力的作用机制。
函数在计算机科学中的应用
01 02
数据处理
在计算机科学中，数据处理和分析是核心任务之一。函数可以用来表示 和处理数据，通过分析数据的变化规律和特征，可以挖掘出有价值的信 息。
1 2
函数在物理中的应用
利用函数描述物理现象和规律，如波动方程、热 传导方程等。
函数在经济中的应用
分析经济数据的规律和趋势，预测经济发展趋势 ，为决策提供依据。
3
函数在生物医学中的应用
研究生物体内各种生理指标的变化规律，为医学 研究和临床诊断提供支持。
函数在人工智能领域的应用
01
3.3函数的实际应用举例
【课题】3.3函数的实际应用举例
【教学目标】
知识目标：
（1）理解分段函数的概念；
（2）理解分段函数的图像；
（3）了解实际问题中的分段函数问题．
能力目标：
（1）通过函数的实际应用，培养计算技能和解决问题能力；
（2）通过现代信息技术应用的学习，培养计算工具使用技能.
情感目标：
（1）参与数学建模过程，体会数学知识的应用。
（2）参与小组合作学习，树立团结协作意识。
【教学重点】
（1）分段函数的概念；
（2）分段函数的图像．
【教学难点】
（1）建立实际问题的分段函数关系；
（2）分段函数的图像．
【教学设计】
（1）结合学生生活实际，利用生活的实例为载体，创设情境，激发兴趣；
（2）提供给学生素材后，给予学生充分的时间和空间，让学生在发现、探究、讨论、交流等活动中形成知识；
（3）提供数学交流的环境，培养合作意识．
【教学备品】
教学课件．
【课时安排】
2课时．(90分钟)
【教学过程】。
常用函数公式及用法
常用函数公式及用法函数在数学中是一种重要的工具，它将一个或多个输入值映射到输出值。
函数的应用十分广泛，包括数学、物理、经济学等领域。
下面将介绍一些常用的函数公式及其用法。
一、线性函数线性函数是最简单的一类函数，它的表达式为y = ax + b，其中a和b是常数。
线性函数的图像是一条直线，斜率为a，截距为b。
线性函数在各种科学和工程问题中有很多应用，比如经济学中的供求关系和物理学中的速度和加速度等。
二、二次函数二次函数的表达式为y = ax^2 + bx + c，其中a、b和c是常数，a≠0。
二次函数的图像是一条抛物线。
二次函数在几何学和物理学中有广泛的应用，比如描述抛射物的运动轨迹和分析电磁波在镜面上的反射等。
三、指数函数指数函数的表达式为y=a^x，其中a是正常数。
指数函数的图像是一条递增或递减的曲线，具有指数增长或指数衰减的特点。
指数函数在自然科学和经济学中有广泛的应用，比如放射性衰变、人口增长和利润增长等。
四、对数函数对数函数是指数函数的反函数，表示为y = loga(x)，其中a是正常数且a≠1、对数函数的图像是一条递增曲线，它与指数函数互为反函数。
对数函数在计算和控制论中有广泛的应用，比如简化复杂计算和描述信号传输的强度等。
五、三角函数三角函数包括正弦函数、余弦函数和正切函数等，它们与三角形的角度和边长相关联。
三角函数在几何学和物理学中都有广泛的应用，比如测量角度、解决三角形的边长和角度、描述振动和波动等。
三角函数的表达式和图像具有周期性的特点。
六、指数增长函数指数增长函数的表达式为y = ab^x，其中a和b是正常数，且b>1、指数增长函数的图像呈现出指数级的增长趋势，常用于描述人口增长、细胞分裂和资本增长等。
七、对数增长函数对数增长函数是指数增长函数的反函数，表示为y = logb(x)，其中b是正常数且b>1、对数增长函数可以用于描述信息传输速度和事件发展速度等。
八、常数函数常数函数的表达式为y=c，其中c是常数。
导数的定义和求导规则
导数的定义和求导规则一、导数的定义1.1 极限的概念：当自变量x趋近于某一数值a时，函数f(x)趋近于某一数值L，即称f(x)当x趋近于a时的极限为L，记作：lim (x→a) f(x) = L1.2 导数的定义：函数f(x)在点x=a处的导数，记作f’(a)或df/dx|_{x=a}，表示函数在某一点的瞬时变化率。
定义如下：二、求导规则2.1 常数倍法则：如果u(x)是可导函数，c是一个常数，则cu(x)也是可导函数，且(cu(x))’ = c*u’(x)。
2.2 幂函数求导法则：如果u(x) = x^n，其中n为常数，则u’(x) = n*x^(n-1)。
2.3 乘积法则：如果u(x)和v(x)都是可导函数，则(u(x)v(x))’ = u’(x)v(x) +u(x)v’(x)。
2.4 商法则：如果u(x)和v(x)都是可导函数，且v(x)≠0，则(u(x)/v(x))’ =(u’(x)v(x) - u(x)v’(x))/(v(x))^2。
2.5 和差法则：如果u(x)和v(x)都是可导函数，则(u(x) + v(x))’ = u’(x) + v’(x)，(u(x) - v(x))’ = u’(x) - v’(x)。
2.6 链式法则：如果y = f(u)，u = g(x)，则y关于x的导数可以表示为dy/dx = (dy/du) * (du/dx)。
2.7 复合函数求导法则：如果y = f(g(x))，则y关于x的导数可以表示为dy/dx = (df/dg) * (dg/dx)。
2.8 高阶导数：如果f’(x)是f(x)的一阶导数，则f’‘(x)是f’(x)的一阶导数，以此类推。
2.9 隐函数求导法则：如果方程F(x,y) = 0表示隐函数，则y关于x的导数可以表示为(dy/dx) = -F_x / F_y，其中F_x和F_y分别是F(x,y)对x和y的偏导数。
三、导数的应用3.1 函数的单调性：如果f’(x) > 0，则f(x)在区间内单调递增；如果f’(x) < 0，则f(x)在区间内单调递减。
中职函数的应用ppt课件ppt课件
函数在日常生活中的应用
总结词
描述函数在日常生活中常见的一些应用场景，如天气 预报、股票价格、健康管理等。
详细描述
函数在日常生活中有着广泛的应用。例如，天气预报 中的气温、湿度和气压等数据可以用函数来表示，通 过分析这些函数的走势，可以预测未来的天气情况。 此外，股票价格的变化也可以通过函数来描述，投资 者可以通过分析这些函数的走势来做出投资决策。在 健康管理中，各种生理指标如心率、血压等也可以通 过函数来监测和分析，帮助人们更好地了解自己的身 体状况。
常数，$a neq 0$。
一次函数在中职数学中主要应 用于解决实际问题，如路程、
速度、时间等问题。
一次函数还可以用于预测和建 模，例如预测商品的销售量或
人口增长等。
一次函数还可以与其他函数进 行比较和转换，进一步研究函
数的性质和图像。
反比例函数
反比例函数是形如$y = frac{k}{x}$的 函数，其中$k$是常数且$k neq 0$ 。
函数的奇偶性
如果对于函数f(x)的定义域内的任意一个数x，都有f(-x)=f(x)，则称f(x)为偶函数；如果对 于函数f(x)的定义域内的任意一个数x，都有f(-x)=-f(x)，则称f(x)为奇函数。
02
常见函数类型及其应用
一次函数
01
02
03
04
一次函数是形如$y = ax + b$的函数，其中$a$和$b$是
强化问题解决策略
教授学生如何分析问题、 选择合适的函数模型、求 解并验证结果。
培养创新思维
鼓励学生尝试不同的方法 来解决实际问题，培养其 创新思维和解决问题的能 力。
拓展知识面
介绍一些扩展的函数知识 ，如分段函数、隐函数等 ，让学生了解更多函数在 实际问题中的应用。Leabharlann THANKS感谢观看
原电池电动势和电极电势的测定
实验九 原电池电动势和电极电势的测定1 目的要求(1) 测定Cu-Zn 原电池的电动势及Cu 、Zn 电极的电极电势。
(2) 学会几种电极和盐桥的制备方法。
(3) 掌握可逆电池电动势的测量原理和EM-3C 型数字式电位差计的操作技术。
2 基本原理凡把化学能转变为电能的装置称为化学电源(或电池、原电池)。
电池是由两个电极和连通两个电极的电解质溶液组成的。
如图2.9.1所示。
把Zn 片插入ZnSO 4溶液中构成Zn 电极，把Cu 片插在CuSO 4溶液中构成Cu 电极。
用盐桥(其中充满电解质)把这两个电极连接起来就成为Cu-Zn 电池。
可逆电池应满足如下条件:(1) 电池反应可逆，亦即电池电极反应可逆。
(2) 电池中不允许存在任何不可逆的液接界。
(3) 电池必须在可逆的情况下工作，即充放电过程必须在平衡态下进行，亦即允许通过电池的电流为无限小。
因此在制备可逆电池、测定可逆电池的电动势时应符合上述条件，在精确度不高的测量中，常用正负离子迁移数比较接近的盐类构成“盐桥”来消除液接电位。
用电位差计测量电动势也可满足通过电池电流为无限小的条件。
在电池中，每个电极都具有一定的电极电势。
当电池处于平衡态时，两个电极的电极电势之差就等于该可逆电池的电动势，按照我们常采用的习惯，规定电池的电动势等于正、负电极的电极电势之差。
即：E=ϕ+-ϕ- (2.9.1) 式中：E 是原电池的电动势。
ϕ+ 、ϕ-分别代表正、负极的电极电势。
其中：还原氧化ααϕϕln0ZF RT -=++ (2.9.2) 还原氧化ααϕϕlnZF RT -=--(2.9.3)在式(2.9.2)、(2.9.3)中：ϕ+、ϕ-分别代表正、负电极的标准电极电势。
R=8.134J.mol -1.K -1。
T 是绝对温度。
Z 是反应中得失电子的数量。
F=96500C ，称法拉第常数。
α氧化为参与电极反应的物质的还原态的活度。
对于Cu-Zn 电池，其电池表示式为：Zn|ZnSO 4(m 1)||CnSO 4(m 2)|Cu其电极反应为：⎩⎨⎧+→→+++++e Zn Zn Cu e Zn Cu 2)(2)(Cu 2222αα负极反应：正极反应：其电池反应为：)()(2222+++++→+Zn Cu Zn Cu Cu Zn αα其电动势为： Zn Zn Cu Cu E ,,22++-=ϕϕ (2.9.4)+++-=2221ln20,,Cu CuCu CuCu F RT αϕϕ (2.9.5) +++-=2221ln20,,Zn ZnZn ZnZnF RT αϕϕ (2.9.6) 在式2.9.5和2.9.6中，Cu 2+, Zn 2+的活度可由其浓度m i 和相应电解质溶液的平均活度系数γ±计算出来。
【北师大版数学】步步高2012版大一轮复习课件：2.9_函数模型及其应用
!
(1)分别将 A、B 两种产品的利润表示为投资的函数关系 分别将 、
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式； (2)已知该企业已筹集到 18 万元资金，并将全部投入 A， 已知该企业已筹集到 万元资金， ， B 两种产品的生产 两种产品的生产. 若平均投入生产两种产品，可获得多少利润？ ①若平均投入生产两种产品，可获得多少利润？ ②问：如果你是厂长，怎样分配这 18 万元投资，才能使 如果你是厂长， 万元投资， 该企业获得最大利润？其最大利润约为多少万元？ 该企业获得最大利润？其最大利润约为多少万元？ 思维启迪
(1)根据函数模型，建立函数解析式．(2)根据 根据函数模型，建立函数解析式． 根据 根据函数模型 资金分配情况，建立利润解析式． 资金分配情况，建立利润解析式．
老 师 都 说 好 !
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解
(1)设甲、乙两种产品分别投资 x 万元 ≥0)，所获 设甲、 万元(x≥ ， 设甲
老 师 都 说 好 !
新 课 标 资 源 网 Nhomakorabea探究提高
(1)在实际问题中， 在实际问题中， 在实际问题中 有很多问题的两变量之间
的关系是一次函数模型，其增长特点是直线上升(自变 的关系是一次函数模型，其增长特点是直线上升 自变 或直线下降(自变量的系数小于 ， 量的系数大于 0)或直线下降 自变量的系数小于 0)，构 或直线下降 建一次函数模型，利用一次函数的图像与单调性求解． 建一次函数模型，利用一次函数的图像与单调性求解． (2)有些问题的两变量之间是二次函数关系，如面积问 有些问题的两变量之间是二次函数关系， 有些问题的两变量之间是二次函数关系 利润问题、产量问题等．构建二次函数模型， 题、利润问题、产量问题等．构建二次函数模型，利用 二次函数图像与单调性解决． 二次函数图像与单调性解决． (3)在解决二次函数的应用问题时，一定要注意定义域． 在解决二次函数的应用问题时，一定要注意定义域． 在解决二次函数的应用问题时
3.3函数的实际应用举例
探索新知
问题1：该函数的定义域是什么？ 定义域为 ： (0,10] (10,) (0,) 关键词：并 问题2：求出某用户用水12m3，应交的水费是多少？ 因为12>10，所以利用 f ( x) 2.8 x 12
得： f (12) 2.8 12 12 21.6(元） 关键词：判断、代入
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运用知识 强化练习
耒阳市出租车的收费情况： 当行程不超过2千米时，收费4元，行 程超过2千米时，在收费4元的基础上，超 过2千米的部分每千米收费1.5元， （1）试求车费y（元）与行程x（km)之 间的函数关系式； (2)学校与高铁站的路程为10千米，与新步 步高路程为1.5千米，如果从学校坐出租车 到高铁站，应付多少车费？从学校到新步 步高要付多少车费？
自变量的各 不同取值范
首先判断x所属的 取值范围，再把x 代入到相应的解析
围的并集
式中进行计算
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演 示
应用知识
强化练习
教材56页练习3.3.
1.设函数
2 x 1, y f x 2 1 x ,
2 x „ 0, 0 x 3.
（１）求函数的定义域； （２）求 f 2 , f 0 , f 1 的值．
创设情景 兴趣导入
用水量
x/m
3
0 x 10
y 1.3 0.3 x
x 10
水费
y /元
y 1.6 10 2.0 0.8 x 10
书写解析式的时候，必须要指明是哪个范围的解析式．
0 x 10 ， 1.6 x, f ( x) 2.8 x 12, x 10.
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动脑思考
2021版《3年高考2年模拟》高考数学(浙江版理)检测：2.9 函数的模型及其应用 Word版含答案
§2.9函数的模型及其应用Ａ组基础题组1.(2021浙江重点中学协作体适应性测试,4)已知0<a<1,则a2、2a、log2a的大小关系是( )A.a2>2a>log2aB.2a>a2>log2aC.log2a>a2>2aD.2a>log2a>a22.(2021福建泉州一中期中,5,5分)给出四个函数,分别满足:①f(x+y)=f(x)+f(y),②g(x+y)=g(x)g(y),③h(xy)=h(x)+h(y),④m(xy)=m(x)m(y).下列为四个函数的图象,对应正确的是( )A.①甲,②乙,③丙,④丁B.①乙,②丙,③甲,④丁C.①丙,②甲,③乙,④丁D.①丁,②甲,③乙,④丙3.(2021湖北,5,5分)小明骑车上学,开头时匀速行驶,途中因交通堵塞停留了一段时间,后来为了赶时间加快速度行驶.与以上大事吻合得最好的图象是( )4.(2021陕西,3,5分)如图,某港口一天6时到18时的水深变化曲线近似满足函数y=3sin+k,据此函数可知,这段时间水深(单位:m)的最大值为( )A.5B.6C.8D.105.(2022北京,8,5分)加工爆米花时,爆开且不糊的粒数占加工总粒数的百分比称为“可食用率”.在特定条件下,可食用率p与加工时间t(单位:分钟)满足函数关系p=at2+bt+c(a,b,c是常数),下图记录了三次试验的数据.依据上述函数模型和试验数据,可以得到最佳加工时间为( ) A.3.50分钟 B.3.75分钟 C.4.00分钟 D.4.25分钟6.(2021浙江五校第一次联考)一个容器装有细沙acm3,细沙从容器底部一个微小的小孔渐渐地漏出,tmin后剩余的细沙量为y=ae-bt(cm3),经过8min后发觉容器内还有一半的沙子,则再经过min,容器中的沙子只有开头时的八分之一.7.(2022杭州学军中学其次次月考,13,4分)不等式2x-1>m(x2-1)对满足|m|≤2的一切实数m都成立,则x的取值范围是.8.(2021湖南师大附中月考)某市居民自来水收费标准如下:每户每月用水不超过4吨时,每吨为1.8元;当超过4吨时,超过部分按每吨3元收费.已知某个月甲、乙两户共交水费y元,并且该月甲、乙两户的用水量分别为5x、3x吨.(1)求y与x的函数关系式;(2)若该月甲、乙两户共交水费26.4元,分别求出该月甲、乙两户的用水量和水费.9.(2022上海普陀调研测试,21,14分)某中学为了落实“阳光运动一小时”活动,方案在一块直角三角形ABC 的空地上修建一个占地面积为S平方米的矩形AMPN健身场地.如图,点M在AC上,点N在AB上,且P点在斜边BC上,已知∠ACB=60°且|AC|=30米,|AM|=x米,x∈[10,20].(1)试用x表示S,并求S的取值范围;(2)若在矩形AMPN以外(阴影部分)铺上草坪.已知:矩形AMPN健身场地每平方米的造价为元,草坪每平方米的造价为(k为正常数)元.设总造价T关于S的函数为T=f(S),试问:如何选取AM的长,才能使总造价T最低?B组提升题组1.(2022湖南,8,5分)某市生产总值连续两年持续增加,第一年的增长率为p,其次年的增长率为q,则该市这两年生产总值的年平均增长率为( )A. B.C. D.-12.(2021北京,8,5分)汽车的“燃油效率”是指汽车每消耗1升汽油行驶的里程,下图描述了甲、乙、丙三辆汽车在不同速度下的燃油效率状况.下列叙述中正确的是( )A.消耗1升汽油,乙车最多可行驶5千米B.以相同速度行驶相同路程,三辆车中,甲车消耗汽油最多C.甲车以80千米/小时的速度行驶1小时,消耗10升汽油D.某城市机动车最高限速80千米/小时.相同条件下,在该市用丙车比用乙车更省油3.(2021浙江重点中学协作体摸底)一高为H,满缸水量为V的鱼缸截面如图所示,其底部破了一个小洞,满缸水从洞中流出.若鱼缸水深为h时,水的体积为V1,则函数V1=f(h)的大致图象可能是图.4.(2021浙江杭州九中期末)某汽车运输公司购买了一批豪华大客车投入营运,据市场分析每辆客车营运的总利润y(单位:10万元)与营运年数x(x∈N*)为二次函数关系(如图所示),则每辆客车营运年时,其营运的年平均利润最大.5.求实数a的范围,使得关于x的方程x2-ax+2=0在[1,3]上有解.6.(2022杭州学军中学其次次月考,18,14分)已知集合P=,y=log2(ax2-2x+2)的定义域为Q.(1)若P∩Q≠⌀,求实数a的取值范围;(2)若方程log2(ax2-2x+2)=2在内有解,求实数a的取值范围.7.(2021江苏,17,14分)某山区外围有两条相互垂直的直线型大路,为进一步改善山区的交通现状,方案修建一条连接两条大路和山区边界的直线型大路,记两条相互垂直的大路为l1,l2,山区边界曲线为C,方案修建的大路为l,如图所示,M,N为C的两个端点,测得点M到l1,l2的距离分别为5千米和40千米,点N到l1,l2的距离分别为20千米和2.5千米,以l2,l1所在的直线分别为x,y轴,建立平面直角坐标系xOy,假设曲线C符合函数y=(其中a,b为常数)模型.(1)求a,b的值;(2)设大路l与曲线C相切于P点,P的横坐标为t.①请写出大路l长度的函数解析式f(t),并写出其定义域;②当t为何值时,大路l的长度最短?求出最短长度.8.(2022超级中学原创猜测卷六文,20,15分)某市为迎接元旦的到来,拟在市观光巡游区建筑一个花坛,已知用钢管焊接而成的花坛围栏如图所示,它的外框是一个等腰梯形PQRS,内部是一段抛物线和一根横梁,抛物线的顶点与梯形上底边的中点均是焊接点O,梯形的腰紧靠在抛物线上,且两腰的中点是梯形的腰、抛物线与横梁的焊接点A,B,抛物线与梯形下底边的两个焊接点为C,D.已知梯形的高是40米,C,D两点间的距离是40米.(1)求横梁AB的长度;(2)求制作梯形外框的用料长度.(注:钢管的粗细等因素忽视不计,≈1.41)Ａ组基础题组1.B 由于当0<a<1时,a2∈(0,1),2a>1,log2a<0,所以2a>a2>log2a,故选B.2.D 由题图可知丁是正比例函数图象,满足①;甲是指数型函数图象,满足②;乙是对数型函数图象,满足③;丙是幂函数图象,满足④.故选D.3.C 小明匀速运动时,所得图象为一条直线,且距离学校越来越近,故排解A.因交通堵塞停留了一段时间,与学校的距离不变,故排解D.后来为了赶时间加快速度行驶,故排解B.故选C.4.C 由于函数y=3sin+k的最小值为2,所以-3+k=2,得k=5,故这段时间水深的最大值为3+5=8(m),选C.5.B 由已知得解得∴p=-0.2t2+1.5t-2=-+,∴当t==3.75时p最大,即最佳加工时间为3.75分钟.故选B.6.答案16解析当t=0时,y=a,当t=8时,y=ae-8b=a,∴e-8b=,容器中的沙子只有开头时的八分之一,即y=ae-bt=a,e-bt==(e-8b)3=e-24b,则t=24,24-8=16. 7.答案解析构造函数f(m)=(x2-1)m-(2x-1),则f(m)是关于m的一次函数,要使2x-1>m(x2-1)对任意|m|≤2恒成立,即f(m)<0对任意m∈[-2,2]恒成立,只需解得x∈.8.解析(1)当甲的用水量不超过4吨,即5x≤4时,乙的用水量也不超过4吨,y=(5x+3x)×1.8=14.4x;当甲的用水量超过4吨,乙的用水量不超过4吨,即3x≤4且5x>4时,y=4×1.8+3x×1.8+3(5x-4)=20.4x-4.8; 当乙的用水量超过4吨,即3x>4时,y=1.8×8+3(5x-4+3x-4)=24x-9.6.所以y=(2)y=f(x)在各段区间上均为单调递增函数,当x∈时,y max=f<26.4;当x∈时,y max=f<26.4;当x∈时,令24x-9.6=26.4,解得x=1.5.所以甲户用水量为5x=7.5吨,水费为4×1.8+3.5×3=17.7(元);乙户用水量为3x=4.5吨,水费为4×1.8+0.5×3=8.7(元).9.解析(1)在Rt△PMC中,|MC|=30-x米,∠PCM=60°,∴|PM|=|MC|·tan∠PCM=(30-x)米,则S=x(30-x),x ∈[10,20],于是200≤S≤225.(2)矩形AMPN健身场地造价T1=37k元,又△ABC的面积为450平方米,∴草坪造价T2=(450-S)元,又T=T1+T2,∴f(S)=25k,200≤S≤225.∵+≥12,当且仅当=,即S=216时等号成立,此时x(30-x)=216,解得x=12或x=18,∴选取AM的长为12米或18米时总造价T最低.B组提升题组1.D 设两年前的年底该市的生产总值为a,则其次年年底的生产总值为a(1+p)(1+q).设这两年生产总值的年平均增长率为x,则a(1+x)2=a(1+p)(1+q),由于连续两年持续增加,所以x>0,因此x=-1,故选D.2.D 对于A选项:由题图可知,当乙车速度大于40km/h时,乙车每消耗1升汽油,行驶里程都超过5km,则A错; 对于B选项:由题意可知,以相同速度行驶相同路程,燃油效率越高,耗油越少,故三辆车中甲车耗油最少,则B 错;对于C选项:甲车以80千米/小时的速度行驶时,燃油效率为10km/L,则行驶1小时,消耗了汽油80×1÷10=8(升),则C错;对于D选项:当行驶速度小于80km/h时,在相同条件下,丙车的燃油效率高于乙车,则在该市用丙车比用乙车更省油,则D对.综上,选D.3.答案②解析当h=0时,V1=0,可排解①③;由于鱼缸中间粗两头细,所以当h在四周时,体积变化较快;当h小于时,体积增加得越来越快;当h大于时,体积增加得越来越慢.故填②.4.答案 5解析由题图可得营运总利润y=-(x-6)2+11,则营运的年平均利润为=-x-+12,∵x∈N*,∴≤-2+12=2,当且仅当x=,即x=5时取“=”.∴当x=5时,营运的年平均利润最大.5.解析①当x=1是方程的解时,a=3.②当x=3是方程的解时,a=.③设f(x)=x2-ax+2,则函数在(1,3)内有唯一零点的条件为或解得3<a<或a=2.④当方程x2-ax+2=0在(1,3)上有两解时,设f(x)=x2-ax+2,则解得2<a<3.综上,实数a的取值范围是2≤a≤.6.解析(1)由已知得Q={x|ax2-2x+2>0},若P∩Q≠⌀,则说明在内至少有一个x值,使不等式ax2-2x+2>0成立,即在内至少有一个x值,使a>-成立,令u=-,则只需a>u min,又u=-2+,当x∈时,∈,从而u∈,∴a的取值范围是a>-4.(2)∵方程log2(ax2-2x+2)=2在内有解,∴ax2-2x+2=4,即ax2-2x-2=0在内有解,即存在x∈,使a=+=2-,∵≤2-≤12,∴≤a≤12,即a的取值范围是.7.解析(1)由题意知,点M,N的坐标分别为(5,40),(20,2.5).将其分别代入y=,得解得(2)①由(1)知,y=(5≤x≤20),则点P的坐标为,y'=-,设在点P处的切线l交x,y轴分别于A,B点,l的方程为y-=-(x-t),由此得A,B.故f(t)==,t∈[5,20].②设g(t)=t2+,则g'(t)=2t-.令g'(t)=0,解得t=10.当t∈(5,10)时,g'(t)<0,g(t)是减函数;当t∈(10,20)时,g'(t)>0,g(t)是增函数.从而,当t=10时,函数g(t)有微小值,也是最小值,所以g(t)min=300,此时f(t)min=15.答:当t=10时,大路l的长度最短,最短长度为15千米.8.解析(1)建立如图所示的平面直角坐标系,设梯形的下底边与y轴交于点M,抛物线的方程为x2=2py(p<0). 由题意得D(20,-40),代入抛物线的方程得p=-5,所以抛物线的方程为x2=-10y. 当y=-20时,x=±10,即A(-10,-20),B(10,-20),所以|AB|=20≈28.2.故横梁AB的长度约为28.2米.(2)由题意得梯形的腰QR的中点是梯形的腰QR与抛物线唯一的公共点,设直线RQ的方程为y+20=k(x-10)(k<0),由得x2+10kx-100(2+k)=0,则Δ=100k2+400(2+k)=0,解得k=-2,所以直线RQ的方程为y=-2x+20.从而得Q(5,0),R(15,-40).所以|OQ|=5,|MR|=15,|RQ|=30,所以梯形的周长为2×(5+15+30)=100≈141(米),故制作梯形外框的用料长度约为141米.。
【精编】九年级上册数学 人教版 二次函数的应用
二次函数的应用教学目标：1.掌握二次函数解析式的应用；2.学会建立二次函数模型解决问题；3.掌握二次函数中动点综合问题。
教学重难点：建立二次函数模型解决问题、二次函数中动点综合问题一、销售问题例1.某商场以每件30元的价格购进一种商品，试销中发现，这种商品每天的销售量m(件)与每件的销售价x(元)满足一次函数：m＝162－3x．(1)写出商场卖这种商品每天的销售利润y与每件的销售价x间的函数关系式；(2)如果商场要想每天获得最大的销售利润，每件商品的售价定为多少最合适？最大销售利润为多少？例2.某商品现在的售价为每件60元，每星期可卖出300件，市场调查反映：每涨价1元，每星期少卖出10件；每降价1元，每星期可多卖出20件，已知商品的进价为每件40元，如何定价才能使利润最大？例3.（山东青岛）某市政府大力扶持大学生创业．李明在政府的扶持下投资销售一种进价为每件20元的护眼台灯．销售过程中发现，每月销售量y（件）与销售单价x（元）之间的关系可近似的看作一次函数：=-+．y x10500（1）设李明每月获得利润为w（元），当销售单价定为多少元时，每月可获得最大利润？（2）如果李明想要每月获得2000元的利润，那么销售单价应定为多少元？（3）根据物价部门规定，这种护眼台灯的销售单价不得高于32元，如果李明想要每月获得的利润不低于2000元，那么他每月的成本最少需要多少元？（成本＝进价×销售量）针对练习11.（四川南充，18，8分）某商场购进一种每件价格为100元的新商品,在商场试销发现:销售单价x(元/件)与每天销售量y（件）之间满足如图所示的关系：（1）求出y与x之间的函数关系式；（2）写出每天的利润W与销售单价x之间的函数关系式；若你是商场负责人，会将售价定为多少，来保证每天获得的利润最大，最大利润是多少？元/件)2.（本题9分）牡丹花会前夕，我市某工艺厂设计了一款成本为10元/件的投放市场进行试销．经过调查，y 与x 的函数关系，并求出函数关系式；（2）当销售单价定为多少时，工艺厂试销该工艺品每天获得的利润最大？最大利润是多少？（利润=销售总价-成本总价）（3）菏泽市物价部门规定，该工艺品销售单价最高不能．．超过35元/件，那么销售单价定为多少时，工艺厂试销该工艺品每天获得的利润最大？二、抛物线型问题例4.某校九年级的一场篮球比赛中，如图所示，队员甲正在投篮，已知球出手时离地面高920m ，与篮圈中心的水平距离为7 m ，当球出手后水平距离为4 m 时到达最大高度4 m ．设篮球的运动轨迹为抛物线，篮圈距地面3 m ．(1)请你建立适当的平面直角坐标系，并判定此球能否准确投中？ (2)此时，若对方队员乙在甲面前1 m 处跳起盖帽拦截，已知乙的 最大摸高为2.9 m ，那么他能否获得成功？例5.某公司草坪的护栏是由50段形状相同的抛物线组成的，为牢固起见，每段护栏需按间距0.4 m 加设不锈钢管(如图a)做成的立柱，为了计算所需不锈钢管立柱的总长度，设计人员利用图b 所示的坐标系进行计算．(1)求该抛物线的函数关系式； (2)计算所需不锈钢管立柱的总长度．针对练习2.1.某跳水运动员在进行10 m 跳台跳水训练时，身体(看成一点)在空中的运动路线是如图所示的一条抛物线．在跳某个规定动作时，正常情况下，该运动员在空中的最高处距水面3210m ，入水处距池边的距离为4 m ，同时运动员在距水面高度5 m 以前，必须完成规定的翻腾动作，并调整好入水姿势时，否则就会出现失误．(1)求这条抛物线的函数关系式；(2)在某次试跳中，测得运动员在空中的运动路线是(1)中的抛物线， 且运动员在空中调整好入水姿势时，距池边的水平距离为533m ， 问此次跳水会不会失误？并通过计算说明理由．2.如图所示，某隧道设计为双向回车道，车道宽22 m ，要求通过车辆限高4.5 m ，隧道全长2.5 km ，隧道的拱线近似地看成是抛物线形状，若最大拱高为6 m ，求隧道应设计的拱长是多少．三、简单的几何问题例 6. 如图，在矩形ABCD 中，6cm AB =，12cm BC =，点P 从A 出发沿AB 边向点B 以1cm/s 的速度移动，同时点Q 从点B 出发沿BC 边以2cm/s 的速度移动，分别到达B ，C 两点后就停止运动． （1）设运动开始后第s t 时，五边形APQCD 的面积为2cm S ，试写出S 与t 的函数关系式，并指出自变量t 的取值范围．（2）第几秒五边形APQCD 的面积最小？是多少？23例7.Rt△ABC以1m/s的速度沿BC方向从矩形移出，直到AB与CD重合，AB＝32m，∠ACB=30°，设x s时，三角形与矩形重合部分面积为y2m．(1) 经过多少秒，AB与CD重合？；(2) 写出y与x之间的函数关系式(3)经过多少秒，阴影部分的面积S最大，最大面积是多少？巩固练习1.用8m长木条，做成如图的窗框（包括中间棱），若不计损耗，窗户的最大面积为2m．2. 用长8m的铝合金条制成如图形状的矩形窗框，为了使窗户的透光面积最大，那么这个窗户的最大透光面积是（）Ａ．264m25Ｂ．24m3Ｃ．28m3Ｄ．24m3.某瓜果基地市场部为指导该基地某种蔬菜的生产和销售，在对历年市场行情和生产情况进行了调查的基础上，对今年这种蔬菜上市后的市场售价和生产成本进行预测，提供了两个方面的信息，如图1，图2．注：图1、图2中的每个实心黑点所对应的纵坐标分别指相应月份的售价和成本，生产成本6月份最低；图1的图像是线段，图2的图像是抛物线．请你根据图像提供的信息说明：(1)在3月份出售这种蔬菜，每千克的收益是多少元？(2)哪个月出售这种蔬菜，每千克的收益最大？说明理由．4.某通讯器材公司销售一种市场需求较大的新型通讯产品．已知每件产品的进价为40元，每年销售该种产品的总开支 （不含进价）总计120万元．在销售过程中发现，年销售量y （万件）与销售单价x （元）之间存在着如图所示的一次函数关系．（1）求y 关于x 的函数关系式；（2）试写出该公司销售该种产品的年获利z （万元）关于销售单价x （元）的函数关系式（年获利＝年销售额－年销售产品总进价－年总开支）．当销售单价x 为何值时，年获利最大？并求这个最大值； （3）若公司希望该种产品一年的销售获利不低于40万元，借助（2）中函数的图象，请你帮助该公司确定销售单价的范围．在此情况下，要使产品销售量最大，你认为销售单价应定为多少元？5.某工厂大门是一抛物线型水泥建筑物，如图所示，大门地面宽AB ＝4 m ，顶部C 离地面高度为4.4 m ．现有一辆满载货物的汽车欲通过大门，货物顶部距地面2.8 m ，装货宽度为2.4 m ．请判断这辆汽车能否顺利通过大门．6.如图所示，一位篮球运动员在离篮圈水平距离为4 m处跳起投篮，球沿一条抛物线运行，当球运行的水平距离为2.5 m时，达到最大高度3.5 m，然后准确落入篮框内．已知篮圈中心离地面距离为3.05 m．(1)建立如图所示的直角坐标系，求抛物线所对应的函数关系式；(2)若该运动员身高1.8 m，这次跳投时，球在他头顶上方0.25 m处出手．问：球出手时，他跳离地面多高？尝试中考1.（沈阳）某市对火车站进行了大规模的改建，改建后的火车站除原有的普通售票窗口外，新增了自动打印车票的无人售票窗口．某日，从早8点开始到上午11点，每个普通售票窗口售出的车票数y1（张）与售票时间x（小时）的正比例函数关系满足图①中的图象，每个无人售票窗口售出的车票数y2（张）与售票时间x（小时）的函数关系满足图②中的图象．（1）图②中图象的前半段（含端点）是以原点为顶点的抛物线的一部分，根据图中所给数据确定抛物线的表达式为，其中自变量x的取值范围是；（2）若当天共开放5个无人售票窗口，截至上午9点，两种窗口共售出的车票数不少于1450张，则至少需要开放多少个普通售票窗口？（3）上午10点时，每个普通售票窗口与每个无人售票窗口售出的车票数恰好相同，试确定图②中图象的后半段一次函数的表达式．思维拓展有一种螃蟹，从海上捕获后不放养，最多只能存活两天．如果放养在池塘内，可以延长存活时间，但每天也有一定数量的蟹死去．假设放养期内蟹的个体质量基本保持不变，现有一经销商，按市场价收购这种活蟹1000 kg放养在池塘内，此时市场价为每千克30元，据测算，此后每千克活蟹的市场价每天可上升1元，但是，放养一天需支出各种费用为400元，且平均每天还有10 kg蟹死去，假定死蟹均于当天全部销售出，售价都是每千克20元．(1)设x天后每千克活蟹的市场价为p元，写出p关于x的函数关系式；(2)如果放养x天后将活蟹一次性出售，并记1 000 kg蟹的销售总额为Q元，写出Q关于x的函数关系式；(3)该经销商将这批蟹放养多少天后出售，可获最大利润(利润＝Q－收购总额)？。
高等代数课件(北大三版)--第二章--多项式
2.2.4 系数所在范围对整除性旳影响
二、教学目旳
1．掌握一元多项式整除旳概念及其性质。
2．熟练利用带余除法。
三、要点、难点
多项式旳整除概念，带余除法定理
2.2.1 多项式旳整除概念
设F是一种数域. F [x]是F上一元多项式环.
2.2.2 多项式整除性旳某些基本性质
证 设f (x) = g (x) 那么它们有完全相同旳项, 因而对R旳任何c都有f (c) = g (c)这就是说, f (x) 和g (x)所拟定旳函数相等.反过来设f (x) 和g (x)所拟定旳函数相等.令 u (x) = f (x) – g (x)那么对R旳任何c都有u (c) = f (c) – g (c) = 0这就是说, R中旳每一种数都是多项式u (x)旳根. 但R有无穷多种数, 所以u (x)有无穷多种根.根据定理2.6.3只有零多项式才有这个性质.所以有 u (x) = f (x) – g (x) = 0 , f (x) = g (x) .
f (c)与它相应. 于是就得到R到R旳一种映射. 这个映射是由多项式f (x)所拟定旳,叫做R上一种多项式函数.
综合除法
由此得出
表中旳加号一般略去不写.
例1
用x + 3除
作综合除法:
所以商式是
而余式是
证
假如f (x)是零次多项式,那么f (x)是R中一种不等于零旳数, 所以没有根. 所以定理对于n = 0成立.于是我们能够对n作数学归纳法来证明这一定理.设c∈R是f (x)旳一种根.那么 f (x) = (x – c) g (x)这里g (x) ∈R [x]是一种n – 1次多项式.假如d∈R是f (x)另一种根, d≠c那么 0 = f (d) = (d – c) g (d)因为d – c≠0 , 所以g (d) = 0. 因为g (x)旳次数是 n – 1 ,由归纳法假设, g (x)在R内至多有n – 1个不同旳根.所以f (x)在R中至多有n个不同旳根.
中值定理及函数应用
拉格朗日中值定理的名称来源于法国数学家拉格朗日，他在18世纪中叶证明了 这一定理。该定理是微分学中的基本定理之一，是解决各种问题的关键工具。
柯西中值定理
总结词
柯西中值定理是微分学中的又一重要定理，它指出如果两个函数在闭区间上连续，在开区间上可导，且在该区间 内至少存在一点，使得两个函数的导数之比等于这两个函数在该点的函数值之比，则在该区间内至少存在一点， 使得该点的导数等于两个函数在该点的函数值的商的导数。
中值定理及函数应用
目 录
• 中值定理简介 • 中值定理的应用 • 函数的应用 • 中值定理与函数的应用实例 • 中值定理与函数的应用前景
01 中值定理简介
罗尔定理
总结词
罗尔定理是微分学中的基本定理之一，它指出如果一个函数 在闭区间上连续，在开区间上可导，且在区间的两端取值相 等，则在开区间内至少存在一点，使得该点的导数为零。
极值的计算
通过求导数，找到导数为0的点，然后判断该点两侧的函数值变化情况，确定是否为极值 点，并计算出极值。
函数的单调性
单调性的概念
单调性是指函数在某个区间内单调增加或单调减少的性质。
单调性的判定
通过一阶导数来判断函数的单调性，当一阶导数大于0时，函 数在该区间内单调增加；当一阶导数小于0时，函数在该区间
在物理学中，中值定理的应用非常广泛。例 如，在研究热力学中的热传导和热辐射时， 可以利用中值定理来推导一些重要的结论。
03 函数的应用
函数的极值
极值的概念
极值是函数在某点附近取得的最大或最小值，它反映了函数在某一点上的变化率。
极值的判定
通过一阶导数和二阶导数来判断函数的极值，当一阶导数等于0且二阶导数大于0时，函 数在该点取得极小值；当一阶导数等于0且二阶导数小于0时，函数在该点取得极大值。
2.9函数的应用举例(1)
=a(1+r)2 3期后的本利和为：y3= a(1+r)2 + a(1+r)2 ·r
复利函数式: y= a(=1a+(1r+)rx)3 (a—本金,r—利息, x—x 期期后数，本,y利本…和利…为和：y)= a(1+r)x
引例 （《课本》P88练习1）
2．解答应用题的基本步骤： (1)合理、恰当假设；设 (2)抽象概括数量关系,并能用数学语言 表示． 列 (3)分析、解决数学问题；解 (4)数学问题的解向实际问题的还原．答
例1.按复利计算利息的一种储蓄，本金为a元，每期利率为r，设 本利和为y，存期为x，写出本利和y 随存期x 变化的函数关系式。 如果存入本金1000元，每期利率为2.25%，试计算5期后本利和 是多少？
作业
《课本》P89习题1、2、3、4(注意解题格式)
预习 1.《课本》P86例2 2.《教测》在实际问题中,常常遇到有关平均增长率(减少率)问 题,如果原来产值的基础数为N,平均增长率(减少率) 为p，则对于时间x的总产值y,可以用 公式y= N(1+p)x或y= a(1-p)x表示。
练习：《课本》P88练习3、4、2
实际问题
小结
抽象概括 数 学 模 型
推理运算
实际问题的解
还原说明 数学模型的解
2.9函数的应用举例
本单元学习目标
通过函数的实际应用,大家应掌握函数的 思想方法,即通过求出或构造出函数,再应用 函数解题的思想方法,并培养运用函数的知 识解决某些简单实际问题的能力.
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§2.9.3 函数的应用举例
教学目标
1．使学生适应各学科时的横向联系
2．能够建立一些物理问题的数学模型
3．培养学生分析问题、解决问题的能力
教学重点
数学建模的方法
教学难点
实际问题抽象为数学问题
教学方法 自学辅导法
教具准备
投影片2张（例5，例6）
教学过程
（I ）复习回顾
上一节课，我们主要学习了有关增长率的数学模型，这种模型在有关产量、产值、粮食、人口等等增长问题常被用到，这一节，我们学习有关物理问题的数学模型。
（Ⅱ）讲授新课
例5：设在海拔x m 处的大气压强是y Pa ，y 与x 之间的函数关系式是kx
ce y =，其中c,k 为常量。
已知某地某天在海平面的大气压为 1.01×105Pa ，1000m 高空的大气压为0.90×105Pa ，求600m 高空的大气压强（结果保留3个有效数字）。
分析：解决此题，应排除题中专业术语的干扰，抽象概括出数量关系，准确地转化成数学表达式。
解：将,1001.1,05⨯==y x 51090.0,1000⨯==y x
分别代入函数式kx
ce y =，得
⎪⎩⎪⎨⎧=⨯=⨯k k ce
ce 100050.51090.01001.1 解之得⎪⎩⎪⎨⎧⨯-=⨯=-)(1015.11001.145由计算器处得k c ∴函数式x e y 41015.151001.1-⨯-⨯⨯=
将x =600代入上述函数式得
60010
15.1541001.1⨯⨯--⨯⨯=e y
由计算器算得 )(10943.05Pa y ⨯=
答：在600m 高空的大气压约为0.943×105Pa
评述：
（1） 此题利用数学横型解决物理问题；
（2） 需由已知条件先确定函数式；
（3） 此题实质为已知处变量的值，求对应的函数值的数学问题；
（4） 此题要求学生能借助计算器进行比较复杂的运算。
例6：在测量某物理量的过程中，因仪器和观察的误差，使得n 次测量分别得到n a a a ,,21 共n 个数据，我们规定所测量的物理量的“最佳近似值”a 是这样一个量：与其他近似值比较a 与各数据差的平方和最小，依此规定，从n a a a a ,,,221 推出的a = 。
分析：此题应排除物理因素的干扰，抓准题中的数量关系，将问题转化成函数求最值问题。
解由题意可知，所求a 应使
221)()(n a a a a y -++-= 最小
由于)()(22
22212212n n a a a a a a a na y +++++-=
若把a 看作自变量，则y 是关于a 的二次函数，于是问题转化为求二次函数的最小值。
因为n>0，二次函数)(a f 图象开口方向向上。
当)(121n a a a n
a ++=
时，y 有最小值 所以)(121n a a a n a ++=即为所求 评述：此题在高考中是具有导向意义的试题，它以物理知识和简单数学知识为基础，并以物理学科中的统计问题为背景，给出一个新的定义，要求学生读懂题目，抽象其中的数量关系，将文字语言转化为符号语言，即
22221)()()(n a a a a a a y -++-+-= 然后运用函数的思想、方法去解决问题，解题关键是将函数式化成以a 为自变量的二次函数形式，这是函数思想在解决实际问题中的应用。
（Ⅲ）课堂练习
课本P 93习题2.9 5
(Ⅳ)课时小结
师：通过本节学习，进一步熟悉数学建模的方法，能运用数学模型解决一定的关于物理的实际问题，提高解决数学应用题的应变能力。
（V ）课后作业
一、课本P 93习题2.9 6
二、1．预习内容：P 94～P 95
2．预习提纲：
（1）实习作业的要求；
（2）实习报告的内容。
板书设计
教学后记。