圆的知识结合中考题型讲解

课题

圆的知识结合中考题型讲解

教学目标1．理解直线和圆相交，相切，相离的概念，掌握直线和圆的位置关系的判定和性质。

2．掌握切线的判定和性质，并能应用它们证明有关问题。

3.会用尺规作三角形的内切圆，掌握三角形和多边形的内切圆、圆的外切三角形和圆的外切多边形、三角形内心的概念。

重点、难点切线定理是重点也是难点直线和圆的位置关系是重点

考点及考试要求1．在切线的定义中，要准确理解“直线和圆有唯一公共点”的含义，它是指有一个并且只有一个公共点，与“直线和圆有一个公共点”的含义不同，避免出现“直线和圆有一个公共点时叫直线和圆相切”的错误。

2．由直线和圆的三种位置关系可以直观的得到圆心到直线的距离d与圆半径r的数量关系：

教学内容

知识框架

一、基本内容及应注意的问题：

1在切线的定义中，要准确理解“直线和圆有唯一公共点”的含义，它是指有一个并且只有一个公共点，与“直线和圆有一个公共点”的含义不同，避免出现“直线和圆有一个公共点时叫直线和圆相切”的错误。

2由直线和圆的三种位置关系可以直观的得到圆心到直线的距离d与圆半径r的数量关系：

(1) 直线l和⊙Ｏ相交⇔d＜r，

(2) 直线l和⊙Ｏ相切⇔d＝r，

(3) 直线l和⊙Ｏ相离⇔d＞r；

这三个结论，既可以作为直线和圆的各种位置关系的判定，又可作为性质。

3．直线和圆的位置关系既可以用它们的交点的个数来区分，也可以用圆心到直线的距离与圆的半径的大小来区分，两种方式是一致的。

1．对于切线的判定定理，必须分清定理的题设和结论，“经过半径的外端”和“垂直于这条半径”这两个条件缺一不可，否则便不是圆的切线。

2．切线的性质有一个定理和两个推论，其中定理用途较广泛，必须熟练掌握。实际上，(1) 垂直于切线；(2) 过切点；(3) 过圆心。这三个条件中，知道任意两个，就可以得出第三个。

3．在运用切线的判定和性质定理时，常常需要添加辅助线，一般规律为：

(1) 已知一条直线是某圆的切线时，切点的位置一般是确定的。在写已知条件时，应交待直线和圆相切于哪一点，辅助线常常是连结圆心和切点，得到半径，从而得出“切线垂直于半径”的结论。

(2) 要证明某直线是圆的切线时，如果已知直线过圆上某一点，则可以作出这一点的半径，证明直线垂直于半径；如果直线与圆的公共点没有确定，常常过圆心作直线的垂线，证明圆心到直线的距离等于半径。

7．判定一条直线是圆的切线有三种方法：

(1) 和圆有且只有一个公共点的直线是圆的切线；

(2) 和圆心距离等于该圆半径的直线是圆的切线；

(3) 过半径的外端且垂直于这条半径的直线是圆的切线。

其中(1) 是切线的定义；(2) 和(3) 本质相同，表达形式不同。解题时，可根据题目的特点选择适当的判定方法。

8．切线的性质主要有如下五个：

(1) 切线和圆有且只有一个公共点；

(2) 切线和圆心的距离等于该圆的半径；

(3) 圆的切线垂直于过切点的半径；

(4) 经过圆心垂直于切线的直线必过切点；

(5) 经过切点垂直于切线的直线必过圆心。

其中，(1) 是切线的定义；(2) 是判定方法的逆命题；(3)、(4)、(5)即为课本上的性质定理及其推论。

9．任意三角形都有且只有一个内切圆（因为圆心是唯一确定的，半径只有一个定长），而任意多边形不一定有内切圆。

1．三角形的内心是用“三角形的内切圆的圆心”来定义的，由于三角形的内心就是三角形三个内角平分线的交点，所以当三角形的内心已知时，过三角形顶点和内心的射线，必平分三角形的内角。

考点一：

典型例题

例题：

例1．已知：如图（1）A B是⊙O的直径，CB⊥AB，AC交⊙O于E，D是的BC的中点，

求证：直线DE是⊙O的切线。

证明：连结OE、BE，

∵AB是⊙O的直径，∴∠AEB=90O，

∴BE⊥AC，则∠BEC=90O，

又∵D是BC的中点，

∴DE=BD=1

2

BC，∴∠DBE=∠DEB

∵OE=OB ∴∠OBE=∠OEB

因此：∠DBE+∠OBE=∠DEB+∠OEB

即：∠OED=∠OBD

∵BC⊥AB 即：∠OBD=90O

∴∠OED=90O

则DE是⊙O的切线。

评析：(1) 此例是由直径、圆周角、直角三角形斜边上的中线、切线的判定等知识构成的命题。(2) 证一条直线是圆的切线,常用的两个判定方法是：直线过圆上一已知点时，作过这点的半径转证直线垂直于这条半径；直线和圆的公共点的位置未知时，过圆心作到直线的距离，转证此距离等于圆的半径。此例显然用的是第一种方法。（3）此题的分析思路：要证DE是圆的切线，而E在圆上，据圆的切线的定义则E是切点，所以应连结OE，转证DE⊥OE。

例2．已知：如图（2）所示，在直角梯形ABCD中，AD⊥CD于D，BC⊥CD于D，且AD+CB=AB，以斜腰AB为直径作⊙O，

求证：CD是⊙O的切线。

图（2）

分析：要证CD是⊙O的切线，切点在什么位置呢？无法判定，因此应该用证明切线的第二种方法，作圆心到直线的距离OE，转而证OE等于圆的半径。

证明：过O作OE⊥CD于E，

∵AD⊥CD，BC⊥CD

∴AD||OE||BC

∵O是AB中点，则E是CD中点。

∴OE是梯形ABCD的中位线，

∴OE=1

2

(AD+BC)

又∵AD+BC＝AB

∴OE=1

2 AB。

则DC是⊙O的切线。

例3．如图（3）所示，在直角梯形ABCD中，∠A=∠B=90O，E为AB上的一点，ED 平分∠ADC，EC平分∠BCD。

求证：以AB为直径的圆与DC相切。图（3）

分析：要证以AB为直径的圆与DC相切，只需证AB的中点到DC的距离等于1

2 AB。

证明：过点E作EF⊥CD于F。

ED平分∠ADC

DA⊥EA于A ⇒EA=EF E为AB中点EF⊥DF于F ⇒

同理可证：EF=EB EF=1

2

AB

⇒以AB为直径的圆与CD相切。

例4．如图（3）所示，已知△ABC中，以AB为直径作⊙O交BC于D，过D作⊙O 的切线FE，交AC于E，且AE⊥DE。

求证：AB=AC

图（4）

证明：连结OD

∵DE切⊙O于D，则OD⊥DE

∵AE⊥DE，∴OD∥AC 则∠C=∠ODB