2017-2018版高中数学第三章指数函数和对数函数章末复习课学案北师大版必修1 (1)

第三章 指数函数和对数函数

学习目标 1.构建知识网络；2.进一步熟练指数、对数运算，加深对公式成立条件的记忆；3.以函数观点综合理解指数函数、对数函数、幂函数．

1．指数幂、对数式的运算、求值、化简、证明等问题主要依据指数幂、对数的运算性质，在进行指数、对数的运算时还要注意相互间的转化．

2．指数函数和对数函数的性质及图像特点是这部分知识的重点，而底数a 的不同取值对函数的图像及性质的影响则是重中之重，要熟知a 在(0,1)和(1，＋∞)两个区间取值时函数的单调性及图像特点．

3．应用指数函数y ＝a x

和对数函数y ＝log a x 的图像和性质时，若底数含有字母，要特别注意对底数a ＞1和0＜a ＜1两种情况的讨论．

4．幂函数与指数函数的主要区别：幂函数的底数为变量，指数函数的指数为变量．因此，当遇到一个有关幂的形式的问题时，就要看变量所在的位置从而决定是用幂函数知识解决，还是用指数函数知识去解决．

5．比较几个数的大小是幂函数、指数函数、对数函数性质应用的常见题型，在具体比较时，可以首先将它们与零比较，分出正数、负数；再将正数与1比，分出大于1还是小于1；然后在各类中两两相比较．

6．求含有指数函数和对数函数复合函数的最值或单调区间时，首先要考虑指数函数、对数函数的定义域，再由复合函数的单调性来确定其单调区间，要注意单调区间是函数定义域的子集．其次要结合函数的图像，观察确定其最值或单调区间．

7．函数图像是高考考查的重点内容，在历年高考中都有涉及．考查形式有知式选图、知图造式、图像变换以及用图像解题．函数图像形象地显示了函数的性质，利用数形结合有时起到事半功倍的效果．

类型一 指数、对数的运算

例1 化简：(1)2

93

2

-⨯÷

(2)2log 32－log 332

9＋log 38－25log 53.

反思与感悟指数、对数的运算应遵循的原则

指数式的运算首先注意化简顺序，一般负指数先转化成正指数，根式化为分数指数幂运算，其次若出现分式则要注意分子、分母因式分解以达到约分的目的．对数运算首先注意公式应用过程中范围的变化，前后要等价，熟练地运用对数的三个运算性质并结合对数恒等式，换底公式是对数计算、化简、证明常用的技巧．

跟踪训练1 计算80.25×4

2＋(

3

2×3)6＋log32×log2(log327)的值为________．

类型二数的大小比较

例2 比较下列各组数的大小．

(1)27,82；

(2)log20.4，log30.4，log40.4；

(3)

1

3

21

2

11 2,log,log.

33

反思与感悟数的大小比较常用方法：

(1)比较两数(式)或几个数(式)的大小问题是本章的一个重要题型，主要考查指数函数、对数函数、幂函数图像与性质的应用及差值比较法与商值比较法的应用．常用的方法有单调性法、图像法、中间搭桥法、作差法、作商法．

(2)当需要比较大小的两个实数均是指数幂或对数式时，可将其看成某个指数函数、对数函数或幂函数的函数值，然后利用该函数的单调性比较．

(3)比较多个数的大小时，先利用“0”和“1”作为分界点，即把它们分为“小于0”，“大于等于0小于等于1”，“大于1”三部分，再在各部分内利用函数的性质比较大小．

跟踪训练2 比较下列各组数的大小．

(1)log0.22，log0.049；

(2)a1.2，a1.3；

(3)30.4,0.43，log0.43.

类型三指数函数、对数函数、幂函数的综合应用

命题角度1 函数的性质及应用

例3 已知函数f(x)＝a·2x＋b·3x，其中常数a，b满足ab≠0.

(1)若ab>0，判断函数f(x)的单调性；

(2)若ab<0，求f(x＋1)>f(x)时的x的取值范围．

反思与感悟指数函数、对数函数、幂函数是使用频率非常高的基本初等函数，它们经过加、减、乘、除、复合、分段，构成我们以后研究的函数，使用时则通过换元、图像变换等手段化归为基本的指数函数、对数函数、幂函数来研究．

跟踪训练3 已知函数f(x)＝log a(1－x)＋log a(x＋3)(0

(1)求函数f(x)的定义域；

(2)若函数f(x)的最小值为－2，求a的值．

命题角度2 函数的图像及应用

例4 如图，函数f (x )的图像为折线ACB ，则不等式f (x )≥log 2(x ＋1)的解集是( )

A ．{x |－1＜x ≤0}

B ．{x |－1≤x ≤1}

C ．{x |－1＜x ≤1}

D ．{x |－1＜x ≤2}

反思与感悟 指数函数、对数函数、幂函数图像既是直接考查的对象，又是数形结合求交点，最值，解不等式的工具，所以要能熟练画出这三类函数图像，并会进行平移、伸缩，对称、翻折等变换．

跟踪训练 4 若函数y ＝log a x (a >0，且a ≠1)的图像如图所示，则下列函数图像正确的是( )

1．化简

a 100

2＋

a

为( ) A ．1 B ．2 C ．3 D ．0

2．在同一直角坐标系中，函数f (x )＝x a

(x >0)，g (x )＝log a x 的图像可能是( )

3．函数f (x )＝⎝ ⎛⎭

⎪⎫12x

与函数g (x )＝log 12

|x |在区间(－∞,0)上的单调性为( )

A ．都是增函数

B ．都是减函数

C ．f (x )是增函数，g (x )是减函数

D ．f (x )是减函数，g (x )是增函数

4．已知P ＝2－32，Q ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫253，R ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫123

，则P ，Q ，R 的大小关系是( )

A ．P ＜Q ＜R

B ．Q ＜R ＜P

C ．Q ＜P ＜R

D ．R ＜Q ＜P

5．函数f (x )＝2x

|log 0.5x |－1与x 轴交点的个数为( ) A ．1 B ．2 C ．3 D ．4

1．函数是高中数学极为重要的内容，函数思想和函数方法贯穿整个高中数学的过程，对本章的考查是以基本函数形式出现的综合题和应用题，一直是常考不衰的热点问题．

2．从考查角度看，指数函数、对数函数概念的考查以基本概念与基本计算为主；对图像的考查重在考查平移变换、对称变换以及利用数形结合的思想方法解决数学问题的能力；对幂函数的考查将会从概念、图像、性质等方面来考查．