扩展Dicke模型中的基态量子关联

扩展Dicke模型的基态量子关联任琛霞, 苏晓强*（山西师范大学物理与信息工程学院，临汾041004）摘要：研究了单模腔场中相互作用双能级原子在非旋转波近似下的量子相变，在热力学极限下，利用平均场近似得到系统的约化基态能量，再通过约化基态能量及相稳定条件得到正常相与超辐射相的相边界。

在相变讨论的基础上进一步计算得到了任意两原子间的量子关联和经典关联，讨论了这些关联与相变间的关系。

关键词：扩展Dicke模型；量子关联；量子相变；中图分类号：O413Ground state correlation of the extended Dicke modelRen Chen-Xia and Su Xiao-Qiang*(College of Physics and Information Engineering, Shanxi Normal University, Linfen 041004,China)Abstract:The quantum phase transition of the coupled atoms in a single mode cavity were investigated without the rotating-wave approximation. In the thermodynamic limit, the scaled ground state energy was obtained by using of mean-field approach. The normal-superradiant phase boundary was obtained by minimizing the scaled ground state energy and the phase stability condition. Further, the ground state quantum discord and classical correlation were also obtained, and was found to closely relate to the phase transiton.Key words:extended Dicke model; quantum correlation; quantum phase transition;1.引言Dicke模型是量子光学中的重要模型，描述多个原子与量子光场间的相互作用。

1954年，Dicke指出[1][2]当原子与腔场间的耦合足够强时，原子集体相*基金项目：国家自然科学基金（11147110）；山西省青年科技研究基金（2011021003-3）。

作者简介：任琛霞（1988-），女，山西闻喜人，硕士研究生，主要从事量子相变方面的研究。

通讯作者：苏晓强（1982-），男，山西临汾人，山西师范大学物理与信息工程学院副教授，博士，主要从事量子信息方面的研究。

干辐射率会超过单个原子的自发辐射率，发生从正常相到超辐射相的二阶相变。

类似的相变过程也会出现在量子点[3]、耦合腔列[4]、冷原子[5]等很多其他的系统中。

2007年，陈刚等提出[6][7]腔场中的双组份BEC 可以等效成包含原子间相互作用的扩展的Dicke 模型，并且可以通过外加经典控制场来加以调控，使其展现出更为丰富的相变图像。

2010年，Baumann 等[8]在实验上观察到光学腔中BEC 的超辐射相变，引起研究人员极大的兴趣。

这些理论与实验进展使得相互作用原子系综的超辐射相变成为当前研究的热点。

作为一种量子系统特有的非定域关联，量子纠缠是量子信息处理过程中的重要资源。

而随着量子信息理论的发展，研究人员发现[9]纠缠并不能够包含所有的非经典关联，在可分态中也存在非经典的量子关联，而量子纠缠只是量子关联的一部分。

这种非纠缠的量子关联在一些量子信息处理过程如单量子比特确定性量子计算（DQC1）中起到重要的作用[10]。

近年来，研究人员发现量子信息科学领域的很多概念可以被用来表征量子相变过程。

量子保真度可以显示出[11]系统在量子相变点附近基态波函数的突变行为，进而确定相变点的位置。

而量子纠缠[12]和量子关联[13,14]也可以用来表征和探测量子相变，基态下两体关联的奇异行为同样预示着量子相变的发生。

因此，我们将在下面的章节中研究扩展Dicke 模型在基态下的两体关联，分析其与超辐射相变间的关系。

2.模型与相变考虑双能级原子都与同一单模腔场相耦合，原子间具有Ising 形式的相互作用，此扩展的Dicke 模型Hamiltonian 可以表示为：††011)()N NN iii i j z z z i i i j v H s a a a a s s s s N ωω+-==≠=+++++∑∑ （1） 其中，0ω为原子内部能级差，ω为单模光场频率，†()a a 是光子产生（湮灭）算符，λ和ν分别描述原子-腔场和原子-原子间的耦合。

引入了原子的集体算符：11N Ni i z z z z i i J sJ s ==≡≡∑∑，可以将系统的Hamiltonian 写成：††20)()z z v H J a a a a J J J Nωω+-=+++++ （2）其中，集体算符遵从一般的角动量对易关系[][],2z z J J J J J J ±±+-=±=，。

相应的，原子部分的波函数可以按照Dicke 态{},;j m m j j =-L 展开，这里所谓Dicke 态是2J 和z J 的共同本征态：2,,,,(1),z J j m m j m J j m j j j m ==+。

如果不考虑原子与腔场间的耦合（即0λ=），则原子部分的Hamiltonian 为：20A z Z v H J J Nω=+ （3） 具有Lipkin-Meshkov-Glick 模型[15]的形式，该模型在0v ω=处有一个对称相（正常相）到破缺相的相变点：020201()()z z J J v v v ωωω⎧=-<⎪⎨=->⎪⎩ （4）在热力学极限（N →∞）下，我们讨论正常相到超辐射相的相变，引入了角动量算符的Holstein-Primakoff 变换[16]:J b +=, J -=,†z J b b j =-，其中玻色算符满足对易关系†,1b b =⎡⎤⎣⎦。

代入（2）式中可以将Hamiltonian 写成：††††20())()()v H b b j a a a a b b b j N ωω=-++++-（5）考虑到超辐射相存在宏观激发，我们进一步引入两个新的平移算符††††,a c b d →+→，代入（5）式中并且将约化Hamiltonian 展开为： 121012H N H N H N H --=++ （6）其中，22220011()4()22H v ωβωαλαββ=-+-- （7） 参数α和β的取值可以通过令约化基态能量取极值00H α∂∂=和00H β∂=得到：00ααββ⎧=⎪⎪=⎧⎪⎨⎨=⎩⎪=⎪⎪⎩或者 （8）上式中的两组解分别对应着系统的正常相与超辐射相，为了得到相边界我们进一步引入Hessian 矩阵[17]，其矩阵元定义为i j ij X X H ∂∂∂∂=，其中，i X 表示系统的第i 个变量。

Hessian 矩阵可以用来判定相的稳定性，如果Hessian 矩阵是正定矩阵，则说明系统是稳定的。

利用式（7），我们可以得到扩展Dicke 模型的Hessian 矩阵为：2222042124214232122v v αβλβωλβλαββωβ⎛⎫- ⎪ ⎪ ⎪H =---⎪++-⎪⎪⎭ （9） 可以看到：=0αβ=这组解在λ<是正定的；而另一组解则在λ>c λ=. （10） 进一步，系统的Hamiltonian 也可以被相应的对角化为： ()()()()22222††2211222222014((1)..)211{()4()}22H e e e e c c N v λεεεεωβωωβωαβ-++-=+++---++-+-- （11）我们在图1中给出了基态能量及其导数随参数λ变化的曲线，可以看到在相变点基态能量和一阶导数连续，二阶导数不连续。

图1. 不同耦合参数v 下，基态能量及其一阶、二阶导数随λ变化的曲线，其中v 的取值分别为-0.8（虚线），0.4（点线），1.0（实线）和1.5（点划线）。

Fig 1. Scaled ground state energy, its first and second derivative as a function of the atom-field coupling constant λwith different atom-atom coupling v=-0.8(dashed line),0.4(dotted line), 1.0(solid line), 1.5(dotdashed line) respectively.我们也计算了相变的序参量，原子的平均激发†2b b N β=和平均光子数†2a aN u αβ==2所示，可以清晰的反映出系统从正常相到超辐射相的相变。

图2. 平均光子数（左）和原子的平均激发（右）关于耦合参数v 、λ变化的曲线。

Fig2. The curves of the mean photon number (left) and the square of atomic displacement(right) versus the coupling constant λand v.3.基态的量子纠缠与量子关联由于扩展Dicke 模型N 个原子的对称性，所以腔场中任意两个原子在基矢空间{}00,01,10,11中的约化密度矩阵总是可以表示成[18]以下对称的X 形式：1200000000v u y y u v ωρω*+-⎛⎫ ⎪ ⎪= ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭ (10) 其中矩阵元的具体表达式为： ()()()()22222222441,414,,4112,1z zz x y N N J N J v N N N J J u N N N N J J N y N N ω±+-+±-=--==--+-=- (11) 对于Dicke 模型，有22122N N J J αα⎛⎫==+ ⎪⎝⎭∑，代入上式中可以得到y ω=。

利用与文献[14]中相似的分析可以进一步得到系统约化密度矩阵的矩阵元：()()()4222222,1,1,1v y v u βωβββββ+-===-=-=- (12)对于形如式（10）中X 形式的密度矩阵，量子关联D 和经典关联C 的可以解析的表示[19]为：()()()()()()()()()()22222222224242ln 1ln 121ln 211ln 1ln 211ln 1112D M M M ln M ββββββββββββ⎡⎤⎡⎤=----+--⎣⎦⎣⎦⎡⎤⎡⎤++-+-+⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦-+++--⎡⎤⎣⎦ (13)()()()()()()2222ln 1ln 1ln 211ln 1112=-----++++--⎡⎤⎣⎦C M M M ln M ββββ (14) 这里为了表述简单，我们将含有2β的根式重写为：M = 图3中画出了量子关联D 和经典关联C 关于原子间相互作用v 和原子腔场耦合强度λ的三维图象。