三角恒等变换学案练习

简单的三角恒等变换
(1)sin 2α＝________________；
(2)cos 2α＝______________＝________________－1＝1－________________；
(3)tan 2α＝________________________ (α≠k π2＋π4且α≠k π＋π
2
)．
(1)sin αcos α＝____________________⇒cos α＝sin 2α
2sin α
；
(2)降幂公式：sin 2α＝________________，cos 2α＝________________； 升幂公式：1＋cos α＝________________，1－cos α＝_____________； 变形：1±sin 2α＝sin 2α＋cos 2α±2sin αcos α＝________________________. 1．函数f (x )＝2sin x cos x 是 ( )
A ．最小正周期为2π的奇函数
B ．最小正周期为2π的偶函数
C ．最小正周期为π的奇函数
D ．最小正周期为π的偶函数 2．函数f (x )＝cos 2x －2sin x 的最小值和最大值分别为 ( )
A ．－3,1
B ．－2,2
C ．－3，32
D ．－2，3
2
3．函数f (x )＝sin x cos x 的最小值是 ( )
A ．－1
B ．－12 C.1
2
D ．1
4．已知A 、B 为直角三角形的两个锐角，则sin A ·sin B ( )
A ．有最大值12，最小值0
B ．有最小值1
2
，无最大值
C ．既无最大值也无最小值
D ．有最大值1
2
，无最小值
探究点一 三角函数式的化简
例1 求函数y ＝7－4sin x cos x ＋4cos 2x －4cos 4x 的最大值和最小值．
变式迁移1 (2011·泰安模拟)已知函数f (x )＝4cos 4x －2cos 2x －1
sin ⎝⎛⎭⎫π4＋x sin ⎝⎛⎭
⎫π4－x .
(1)求f ⎝⎛⎭
⎫－11π
12的值； (2)当x ∈⎣⎡⎭⎫0，π4时，求g (x )＝1
2
f (x )＋sin 2x 的最大值和最小值．
探究点二 三角函数式的求值
例2 已知sin(π4＋2α)·sin(π4－2α)＝14，α∈(π4，π2)，求2sin 2α＋tan α－1
tan α
－1的值．
变式迁移2 (1)已知α是第一象限角，且cos α＝5
13，求sin (α＋π
4)
cos (2α＋4π)
的值．
(2)已知cos(α＋π4)＝35，π2≤α<3π2，求cos(2α＋π
4
)的值．
探究点三 三角恒等式的证明
例3已知sin(2α＋β)＝3sin β，设tan α＝x ，tan β＝y ，记y ＝f (x )． (1)求证：tan(α＋β)＝2tan α； (2)求f (x )的解析表达式；
(3)若角α是一个三角形的最小内角，试求函数f (x )的值域．
变式迁移3 求证：sin 2x
(sin x ＋cos x －1)(sin x －cos x ＋1)
＝1＋cos x sin x .
转化与化归思想的应用
例 已知函数f (x )＝⎝⎛⎭⎫1＋1tan x sin 2x ＋m sin ⎝⎛⎭⎫x ＋π4sin ⎝⎛⎭⎫x －π4. (1)当m ＝0时，求f (x )在区间⎣⎡⎦⎤
π8，3π4上的取值范围；
(2)当tan α＝2时，f (α)＝3
5
，求m 的值．
【答题模板】
解 (1)当m ＝0时，f (x )＝⎝⎛⎭⎫1＋cos x sin x sin 2x
＝sin 2x ＋sin x cos x ＝1－cos 2x ＋sin 2x
2
＝12⎣
⎡⎦⎤2sin ⎝⎛⎭⎫2x －π4＋1，[3分] 由已知x ∈⎣⎡⎦⎤π8，3π4，得2x －π
4∈⎣⎡⎦⎤0，5π4，[4分] 所以sin ⎝⎛⎭⎫2x －π4∈⎣⎡⎦
⎤－2
2，1，[5分] 从而得f (x )的值域为⎣
⎢⎡⎦⎥⎤0，1＋22.[6分]
(2)f (x )＝sin 2x ＋sin x cos x －m
2
cos 2x
＝1－cos 2x 2＋12sin 2x －m 2cos 2x
＝12[sin 2x －(1＋m )cos 2x ]＋1
2
，[8分] 由tan α＝2，得sin 2α＝2sin αcos αsin 2α＋cos 2α＝2tan α1＋tan 2α＝4
5
， cos 2α＝cos 2α－sin 2αcos 2α＋sin 2α＝1－tan 2α1＋tan 2α
＝－3
5.[10分] 所以35＝12⎣⎡⎦⎤45＋35
(1＋m )＋1
2，[11分] 解得m ＝－2.[12分] 【突破思维障碍】
三角函数式的化简是指利用诱导公式、同角基本关系式、和与差的三角函数公式、二倍角公式等，将较复杂的三角函数式化得更简洁、更清楚地显示出式子的结果．化简三角函数式的基本要求是：(1)能求出数值的要求出数值；(2)使三角函数式的项数最少、次数最低、角与函数的种类最少；(3)分式中的分母尽量不含根式等．
1．求值中主要有三类求值问题：
(1)“给角求值”：一般所给出的角都是非特殊角，从表面来看是很难的，但仔细观察非特殊角与特殊角总有一定关系，解题时，要利用观察得到的关系，结合公式转化为特殊角并且消除非特殊角的三角函数而得解．
(2)“给值求值”：给出某些角的三角函数式的值，求另外一些角的三角函数值，解题关键在于“变角”，使其角相同或具有某种关系．
(3)“给值求角”：实质是转化为“给值求值”，关键也是变角，把所求角用含已知角的式子表示，由所得的函数值结合该函数的单调区间求得角．
2．三角恒等变换的常用方法、技巧和原则：
(1)在化简求值和证明时常用如下方法：切割化弦法，升幂降幂法，和积互化法，辅助元素法，“1”的代换法等．
(2)常用的拆角、拼角技巧如：2α＝(α＋β)＋(α－β)，α＝(α＋β)－β，α＝(α－β)＋β，
α＋β
2
＝⎝⎛⎭⎫α－β2＋⎝⎛⎭⎫β－α2，α2是α
4
的二倍角等． (3)化繁为简：变复角为单角，变不同角为同角，化非同名函数为同名函数，化高次为低次，化多项式为单项式，化无理式为有理式．
消除差异：消除已知与未知、条件与结论、左端与右端以及各项的次数、角、函数名称、结构等方面的差异．
班级 姓名
一、选择题
1．已知0<α<π，3sin 2α＝sin α，则cos(α－π)等于( )
A.13 B ．－13 C.16 D ．－16
2．已知tan(α＋β)＝2
5
，tan ⎝⎛⎭⎫β－π4＝14，那么tan ⎝⎛⎭⎫α＋π4等于( ) A.1318 B.1322 C.322 D.16
3．已知cos 2α＝1
2
(其中α∈⎝⎛⎭⎫－π4，0)，则sin α的值为( ) A.12 B ．－12 C.32 D ．－32
4．若f (x )＝2tan x －2sin 2x 2－1
sin x 2cos
x
2
，则f ⎝⎛⎭⎫
π12的值为( ) A ．－433
B ．8
C ．4 3
D ．－4 3
5．在△ABC 中，若cos 2B ＋3cos(A ＋C )＋2＝0，则sin B 的值是 ( )
A.12
B.22
C.32 D ．1
1．(2013·山西考前适应性训练)sin 20°cos 20°
cos 50°
＝( )
A ．2 B.2
2
C. 2
D.1
2
解析：选D.sin 20°cos 20°cos 50°＝12sin 40°cos 50°＝1
2sin 40°
sin 40°＝1
2
，故选D.
4．(2012·高考大纲全国卷)已知α为第二象限角，sin α＝3
5
，则sin 2α＝( )
A ．－2425
B ．－1225
C.1225
D.2425
解析：选A.∵α为第二象限角且sin α＝3
5
，
∴cos α＝－1－sin 2α＝－4
5
，
∴sin 2α＝2sin α·cos α＝2×35×⎝⎛⎭⎫－45＝－2425. 1．若sin α＝45
，则sin ⎝⎛⎭⎫α＋π4－2
2cos α＝( ) A.225 B ．－225
C.425 D ．－425
解析：选A.sin ⎝⎛⎭⎫α＋π4－22cos α＝sin αcos π4＋cos αsin π4－22cos α＝45×22＝225.故选A.
2．(2012·高考重庆卷)sin 47°－sin 17°cos 30°
cos 17°
＝( )
A ．－32
B ．－1
2
C.12
D.32
解析：选C.原式＝sin (30°＋17°)－sin 17°cos 30°
cos 17°
＝sin 30°cos 17°＋cos 30°sin 17°－sin 17°cos 30°cos 17°
＝sin 30°cos 17°cos 17°＝sin 30°＝12.
二、填空题(
6．已知α为第二象限的角，且sin α＝3
5
，则tan 2α＝________.
7．函数y ＝2cos 2x ＋sin 2x 的最小值是________．
8．若cos 2αsin ⎝⎛⎭
⎫α－π4＝－2
2，则cos α＋sin α的值为________．
7．已知sin(α－45°)＝－2
10
，0°＜α＜90°，则cos α＝________.
解析：∵0°＜α＜90°，∴－45°＜α－45°＜45°，
∴cos(α－45°)＝1－sin 2(α－45°)＝72
10
，
∴cos α＝cos[(α－45°)＋45°]
＝cos(α－45°)cos 45°－sin(α－45°)sin 45°＝45
.
答案：45
3．已知sin(α－β)cos α－cos(β－α)sin α＝35，β是第三象限角，则sin(β＋5π
4
)＝________.
解析：依题意可将已知条件变形为
sin[(α－β)－α]＝－sin β＝35，sin β＝－3
5
.
又β是第三象限角，因此有cos β＝－4
5
.
sin(β＋5π4)＝－sin(β＋π4
)
＝－sin βcos π4－cos βsin π4＝72
10.
答案：7210
4．(2013·温州调研)若sin α＋cos α
sin α－cos α
＝3，tan(α－β)＝2，则tan(β－2α)＝________.
解析：由条件知sin α＋cos αsin α－cos α＝tan α＋1
tan α－1
＝3，
∴tan α＝2.
∵tan(α－β)＝2，∴tan(β－α)＝－2， ∴tan(β－2α)＝tan[(β－α)－α] ＝tan (β－α)－tan α1＋tan (β－α)tan α＝－2－21＋(－2)×2＝43
. 答案：43
三、解答题
9．化简：(1)cos 20°cos 40°cos 60°cos 80°；
(2)3－4cos 2α＋cos 4α3＋4cos 2α＋cos 4α.
9．已知tan α＝2，求sin 2α＋cos 2(π－α)
1＋cos 2α
的值．
解：sin 2α＋cos 2
(π－α)1＋cos 2α
＝2sin αcos α＋cos 2α2cos 2α
＝2sin α＋cos α2cos α＝tan α＋12＝52.
10．设函数f (x )＝3sin x cos x －cos x sin ⎝⎛⎭⎫π2＋x －1
2. (1)求f (x )的最小正周期；
(2)当∈⎣⎡⎦
⎤0，π
2时，求函数f (x )的最大值和最小值．
11．已知函数f (x )＝2cos 2x ＋sin 2x －4cos x .
(1)求f (π
3
)的值；
(2)求f (x )的最大值和最小值．
5．已知sin(2α－β)＝35，sin β＝－1213，且α∈(π2，π)，β∈(－π
2
，0)，求sin α的值．
解：∵π
2＜α＜π，∴π＜2α＜2π.
又－π2＜β＜0，∴0＜－β＜π2
.
∴π＜2α－β＜5π
2.
而sin(2α－β)＝3
5＞0，
∴2π＜2α－β＜5π2，cos(2α－β)＝4
5
.
又－π2＜β＜0且sin β＝－1213
，
∴cos β＝5
13
，
∴cos 2α＝cos[(2α－β)＋β]
＝cos(2α－β)cos β－sin(2α－β)sin β ＝45×513－35×(－1213)＝5665
.
又cos 2α＝1－2sin 2α，∴sin 2α＝9
130
.
又α∈(π2，π)，∴sin α＝3130
130
.
答案 自主梳理
1．(1)2sin αcos α (2)cos 2α－sin 2α 2cos 2α 2sin 2α
(3)2tan α1－tan 2α 2.(1)12sin 2α (2)1－cos 2α2 1＋cos 2α2 2cos 2α2 2sin 2α
2 (sin α±cos α)2 自我检测
1．C 2.C 3.B 4.D 课堂活动区
例1 解题导引 化简的原则是形式简单，三角函数名称尽量少，次数尽量低，最好不含分母，能求值的尽量求值．本题要充分利用倍角公式进行降幂，利用配方变为复合函数，重视复合函数中间变量的范围是关键．
解 y ＝7－4sin x cos x ＋4cos 2x －4cos 4x ＝7－2sin 2x ＋4cos 2x (1－cos 2x ) ＝7－2sin 2x ＋4cos 2x sin 2x
＝7－2sin 2x ＋sin 22x ＝(1－sin 2x )2＋6，
由于函数z ＝(u －1)2＋6在[－1,1]中的最大值为z max ＝(－1－1)2＋6＝10，最小值为z min
＝(1－1)2
＋6＝6，
故当sin 2x ＝－1时，y 取得最大值10， 当sin 2x ＝1时，y 取得最小值6. 变式迁移1 解 (1)f (x ) ＝(1＋cos 2x )2－2cos 2x －1sin ⎝⎛⎭⎫π4＋x sin ⎝⎛⎭⎫π4－x
＝cos 22x
sin ⎝⎛⎭⎫π4＋x cos ⎝⎛⎭⎫π4＋x
＝2cos 22x sin ⎝⎛⎭⎫π2＋2x ＝2cos 22x cos 2x ＝2cos 2x ，
∴f ⎝⎛⎭⎫－11π12＝2cos ⎝⎛⎭⎫－11π6＝2cos π
6＝ 3. (2)g (x )＝cos 2x ＋sin 2x
＝2sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π4. ∵x ∈⎣⎡⎭⎫0，π4，∴2x ＋π4∈⎣⎡⎭⎫π4，3π4， ∴当x ＝π
8
时，g (x )max ＝2，
当x ＝0时，g (x )min ＝1.
例2 解题导引 (1)这类问题一般是先化简再求值；化简后目标更明确；
(2)如果能从已知条件中求出特殊值，应转化为特殊角，可简化运算，对切函数通常化为弦函数．
解 由sin(π4＋2α)·sin(π
4－2α)
＝sin(π4＋2α)·cos(π4
＋2α)
＝12sin(π2＋4α)＝12cos 4α＝14
， ∴cos 4α＝12，又α∈(π4，π2)，故α＝5π
12
，
∴2sin 2α＋tan α－1
tan α－1
＝－cos 2α＋sin 2α－cos 2α
sin αcos α
＝－cos 2α＋－2cos 2α
sin 2α
＝－cos 5π
6－2cos
5π6sin 5π6
＝532
.
变式迁移2 解 (1)∵α是第一象限角，cos α＝5
13
，
∴sin α＝12
13.
∴sin (α＋π4)cos (2α＋4π)
＝2
2
(sin α＋cos α)
cos 2α
＝2
2(sin α＋cos α)cos 2α－sin 2α
＝22cos α－sin α＝22513－12
13＝－132
14.
(2)cos(2α＋π4)＝cos 2αcos π4－sin 2αsin π
4
＝2
2(cos 2α－sin 2α)， ∵π2≤α<32π， ∴3π4≤α＋π4<74
π. 又cos(α＋π4)＝3
5>0，
故可知32π<α＋π4<74π，
∴sin(α＋π4)＝－4
5
，
从而cos 2α＝sin(2α＋π
2
)
＝2sin(α＋π4)cos(α＋π
4
)
＝2×(－45)×35＝－2425
. sin 2α＝－cos(2α＋π2
) ＝1－2cos 2(α＋π4
) ＝1－2×(35)2＝725
. ∴cos(2α＋π4)＝22(cos 2α－sin 2α)＝22×(－2425－725
) ＝－31250
. 例3 解题导引 本题的关键是第(1)小题的恒等式证明，对于三角恒等式的证明，我们要注意观察、分析条件恒等式与目标恒等式的异同，特别是分析已知和要求的角之间的关系，再分析函数名之间的关系，则容易找到思路．证明三角恒等式的实质就是消除等式两边的差异，有目的地化繁为简，左右归一或变更论证．对于第(2)小题同样要从角的关系入手，利用两角和的正切公式可得关系．第(3)小题则利用基本不等式求解即可．
(1)证明 由sin(2α＋β)＝3sin β，得sin[(α＋β)＋α]
＝3sin[(α＋β)－α]，
即sin(α＋β)cos α＋cos(α＋β)sin α＝3sin(α＋β)cos α－3cos(α＋β)sin α，
∴sin(α＋β)cos α＝2cos(α＋β)sin α，
∴tan(α＋β)＝2tan α.
(2)解 由(1)得tan α＋tan β1－tan αtan β＝2tan α，即x ＋y 1－xy
＝2x ， ∴y ＝x 1＋2x 2，即f (x )＝x 1＋2x 2
. (3)解 ∵角α是一个三角形的最小内角，
∴0<α≤π3
，0<x ≤3， 设g (x )＝2x ＋1x ，则g (x )＝2x ＋1x ≥22(当且仅当x ＝22
时取“＝”)． 故函数f (x )的值域为(0，24
]． 变式迁移3 证明 因为左边＝
2sin x cos x [sin x ＋(cos x －1)][sin x －(cos x －1)]
＝2sin x cos x sin 2x －(cos x －1)2
＝2sin x cos x sin 2x －cos 2x ＋2cos x －1
＝2sin x cos x －2cos 2x ＋2cos x ＝sin x 1－cos x
＝sin x (1＋cos x )(1－cos x )(1＋cos x )
＝sin x (1＋cos x )sin 2x ＝1＋cos x sin x
＝右边．
所以原等式成立．
课后练习区
1．D [∵0<α<π，3sin 2α＝sin α，
∴6sin αcos α＝sin α，又∵sin α≠0，∴cos α＝16
， cos(α－π)＝cos(π－α)＝－cos α＝－16
.] 2．C [因为α＋π4＋β－π4
＝α＋β， 所以α＋π4
＝(α＋β)－⎝⎛⎭⎫β－π4. 所以tan ⎝⎛⎭⎫α＋π4＝tan ⎣⎡⎦⎤(α＋β)－⎝⎛⎭⎫β－π4 ＝tan (α＋β)－tan ⎝⎛⎭⎫β－π41＋tan (α＋β)tan ⎝⎛⎭
⎫β－π4＝322.] 3．B [∵12
＝cos 2α＝1－2sin 2α， ∴sin 2α＝14
.又∵α∈⎝⎛⎭⎫－π4，0， ∴sin α＝－12
.] 4．B [f (x )＝2tan x ＋1－2sin 2x 212
sin x ＝2tan x ＋2cos x sin x ＝2sin x cos x ＝4sin 2x
∴f ⎝⎛⎭⎫π12＝4sin π6
＝8.] 5．C [由cos 2B ＋3cos(A ＋C )＋2＝0化简变形，得2cos 2B －3cos B ＋1＝0，
∴cos B ＝12
或cos B ＝1(舍)． ∴sin B ＝32
.] 6．－247
解析 因为α为第二象限的角，又sin α＝35
， 所以cos α＝－45，tan α＝sin αcos α＝－34
， 所以tan 2α＝2tan α1－tan 2α
＝－247. 7．1－ 2
解析 ∵y ＝2cos 2x ＋sin 2x ＝sin 2x ＋1＋cos 2x
＝sin 2x ＋cos 2x ＋1＝2sin ⎝
⎛⎭⎫2x ＋π4＋1， ∴当sin(2x ＋π4
)＝－1时，函数取得最小值1－ 2. 8.12
解析 ∵cos 2αsin ⎝⎛⎭⎫α－π4＝cos 2α－sin 2α22
(sin α－cos α) ＝－2(sin α＋cos α)＝－22
， ∴cos α＋sin α＝12
. 9．解 (1)∵sin 2α＝2sin αcos α，
∴cos α＝sin 2α2sin α
，…………………………………………………………………………(2分)
∴原式＝sin 40°2sin 20°·sin 80°2sin 40°·12·sin 160°2sin 80°
＝sin (180°－20°)16sin 20°＝116
.……………………………………………………………………(6分)
(2)原式＝3－4cos 2α＋2cos 22α－13＋4cos 2α＋2cos 22α－1
………………………………………………………(9分)
＝(1－cos 2α)2(1＋cos 2α)2＝(2sin 2α)2(2cos 2α)2＝tan 4α.………………………………………………………(12分)
10．解 f (x )＝3sin x cos x －cos x sin ⎝⎛⎭⎫π2＋x －12
＝32sin 2x －12
cos 2x －1 ＝sin ⎝⎛⎭⎫2x －π6－1.…………………………………………………………………………(4分)
(1)T ＝2π2
＝π，故f (x )的最小正周期为π.…………………………………………………(6分)
(2)因为0≤x ≤π2，所以－π6≤2x －π6≤5π6
. 所以当2x －π6＝π2，即x ＝π3
时，f (x )有最大值0， ……………………………………………………………………………………………(10分)
当2x －π6＝－π6，即x ＝0时，f (x )有最小值－32
.
……………………………………………………………………………………………(12分)
11．解 (1)f (π3)＝2cos 2π3＋sin 2π3－4cos π3
＝－1＋34－2＝－94
.………………………………………………………………………(4分)
(2)f (x )＝2(2cos 2x －1)＋(1－cos 2x )－4cos x
＝3cos 2x －4cos x －1
＝3(cos x －23)2－73
，x ∈R .………………………………………………………………(10分)
因为cos x ∈[－1,1]，
所以，当cos x ＝－1时，f (x )取得最大值6；
当cos x ＝23时，f (x )取得最小值－73
.…………………………………………………(14分)。