6.1 平方根
6.1平方根(第1课时) 教学设计
6.1平方根(第1课时）教学目标1.了解算术平方根的概念，会用根号表示正数的算术平方根，并了解算术平方根的非负性;2.了解开方与乘方互为逆运算，会求某些非负数的算术平方根，能化简某些带根号的数，掌握计算根式范围的方法;3.通过学习算术平方根，提升学生的数感和符号感，发展抽象思维;4.通过解决实际生活中的问题，让学生体会数学与生活是紧密联系的.教学重点表示正数的算数平方根教学难点√2多大探究教学过程一、情景引入讲述数学史第一次数学危机：的出现，却在当时的数学界掀起了一场巨大风暴。
它直接动摇了毕达哥拉斯学派的数学信仰，使毕达哥拉斯学派为之大为恐慌。
实际上，这一伟大发现不但是对毕达哥拉斯学派的致命打击。
对于当时所有古希腊人的观念这都是一个极大的冲击。
这一结论的悖论性表现在它与常识的冲突上：任何量，在任何精确度的范围内都可以表示成有理数。
这不但在希腊当时是人们普遍接受的信仰，就是在今天，测量技术已经高度发展时，这个断言也毫无例外是正确的！可是为我们的经验所确信的，完全符合常识的论断居然被的存在而推翻了！这应该是多么违反常识，多么荒谬的事！它简直把以前所知道的事情根本推翻了。
更糟糕的是，面对这一荒谬人们竟然毫无办法。
这就在当时直接导致了人们认识上的危机，从而导致了西方数学史上一场大的风波，史称“第一次数学危机”。
二、新知探究活动一：算数平方根探究：问题1：学校要举行美术作品比赛，你想裁出一块面积为25 dm2的正方形画布，画上自己的得意之作参加比赛，这块正方形画布的边长应取多少?说一说，你是怎样算出来的？因为52=25，所以这个正方形画布的边长应取5 dm.问题2：完成表1：正方形的边长/dm 1 3 9 2 3正方形的面积/dm²1 9 81 49思考：你能从表1发现什么共同点吗？已知一个正数，求这个正数的平方，这是平方运算问题3：完成表2：正方形的面积/dm² 4 49 0.36964正方形的边长/dm 2 7 0.6 3 8思考：你能从表2发现什么共同点吗？表1与表2中两种运算有什么关系？已知一个正数的平方，求这个正数；互为逆运算归纳：一般地，如果一个正数x的平方等于a，即x²=a，那么这个正数x叫做a 的算术平方根。
人教版初中数学七年级下册6.1.3《平方根》课件(共15张PPT)_2
负数有平方根吗？
负数( 没有 )平方根．
探究二、平方根的表示方法
ɑ(ɑ≥0)的平方根表示为：
a
aa0
根号 被开方数
读作正、负根号ɑ
则：16的平方根可以写作： 16=±4
3 表示：__3_的__平__方__根_____
请你区别：（ ɑ ≥0 ）
α， α
aa0
， α分别表示什么意义?
（1）100 （2） 9
16
（3）0.25
解 （1）10210,0100的平方根是10 ;
（2）
3
2
9
,
4 16
9 16
的平方根是
3 4
;
（3）0.520.25, 0.25的平方根是 0.5.
归纳平方根的性质
aa0
正数的平方根有什么特点？
正数的平方根有( 两 )个，它们互为相反数；
0的平方根是多少？
x2
aa0
a
输出入x
输出入a
平方根的定义：
aa0
一般地，如果一个数的平方等于a，那么这 个数叫做a的平方根或二次方根．这就是说，
如果 x2 a，那么x 叫做a的平方根
探究一、平方根与开平方
x2
a
aa0
x2
a
输入x
输出a 输出x
输入a
平方
互为逆 运算
开平方
例题解析
aa0
例4 求下列各数的平方根
aa0
6.1 平方根
（第二课时）
学习目标
aa0
1、掌握平方根的概念与性质. 2、会通过开平方运算求一个非负数的平方根. 3、理解平方与开平方互为逆运算.
《6.1平方根》教学设计3.doc
±0.09是0.0081的平方根．
由此我们看到＋3与-3均为9的平方根，0的平方根是0，下面看这样一道题，填空：
( )2=-4
学生思考后，得到结论此题无答案．反问学生为什么?因为正数、0、负数的平方为非负数．由此我们可以得到结论，负数是没有平方根的．下面总结一下平方根的性质(可由学生总结，教师整理)．
2.平方根的性质
师：请大家思考以下问题.
(1)一个正数有几个平方根.
(2)0有几个平方根?
(3)负数呢？
生：第一个问题在前面已作过讨论，一个正数9有两个平方根3和－3；
因为只有零的平方为零，所以0有一个平方根是零.
因为任何数的平方都不是负数，所以负数没有平方根，例如－3没有平方根.
归纳总结：．一个正数有两个平方根，它们互为相反数；0有一个平方根，它是0本身；负数没有平方根．
三、典例解析
例题1.求下列各数的平方根：
例题2.求下列各式的值：
四、随堂练习
1.用正确的符号表示下列各数的平方根：
①26 ②247 ③0.2 ④3
2.求下列各数的平方根.
7；(4)(－13)2；(5)－(－4)3
(1)121；(2)0.01；(3)2
9
3.探究：
（1）对于任意数a，2a一定等于a吗？
（2）a中的被开方数a在什么情况下有意义，(a)2等于什么？
五、学习体会：
1、通过练习你掌握了什么?请写在下面：
2、这节课你还有什么疑惑？请写在下面。
人教初中数学七下 6.1 平方根(第1课时)算术平方根课件 【经典初中数学课件】
选择身高在哪个范围内的学生参加呢？
为了使选取的参赛选手身高比较整齐， 需要知道数据的分布情况，即在哪些身高范 围的学生比较多，哪些身高范围内的学生人 数比较少．为此可以通过对这些数据适当分 组来进行整理．
1．计算最大值和最小值的差
在上面的数据中，最小值是149， 最大值是172，它们的差是23，说明身 高的变化范围是23 cm．
身高/㎝
2.易于显示各组之间频数之间的差别
等距分组的频数分布直方图
小长方形面积＝ 组 频组距 数距 ＝频数
频数 （学生人数）
20
15
身高/㎝
2.易于显示各组之间频数之间的差别
等距分组的频数分布直方图
小长方形面积＝ 组 频组距 数距 ＝频数
频数 （学生人数）
20
15
10
5
0 149 152 155 158 161 164 167 170 173 身高/㎝
等距分组的频数分布直方图 如上
•
频数分布直方图是以小长方形的面
积来反映数据落在各个小组内的频数的大
计，
评估数学考试情况，经过整
理得到如下频数分布直方图， 60 学生人数
60
请回答下列问题：
50
（1）此次抽样调查 的样本容量是_____
40
30
28
28
20
15 10 10
14
5
0
分
0~35 36~47 48~59 60~71 72~83 84~95 96~107 108~120
小结
通过本节学习，我们了解了频数分布的意义及 获得一组数据的频数分布的一般步骤: (1)计算极差； (2) 决定组距和组数； (3) 决定分点； (4) 列出频数分布表； (5)画出频数分布直方图和频数折线图。
人教版七年级数学第六章实数6.1平方根
a
－a
表示的 a 的算术平方 a 的算术平方
意义
根
根的相反数
±a a 的平方根
感悟新知
特别解读 平方与开平方是互逆运算，平方的结果叫做幂，
而开平方的结果叫做平方根.
感悟新知
例6 求下列各数的平方根和算术平方根：
(1)121；(2)2 7 ；(3)－(－4)3；(4)
9
49 .
解题秘方：先根据平方运算找出平方等于这个数的
数，然后根据平方根和算术平方根的定义确定.
感悟新知
解：(1)因为(±11)2=121，
所以121 的平方根是±11，算术平方根是11.
(2)
27 9
25 9
，因为
5 3
2
25 , 9
所以2
7
的平方根是±
5
，算术平方根是
5
.
9
3
3
感悟新知
(3) －( －4)3=64，因为( ±8)2=64， 所以－ (－4)3 的平方根是±8，算术平方根是8.
感悟新知
解：(1)因为1＜ 3＜2，所以0＜ 3－1＜1.
所以 3－1＜ 1 . 22
(2)因为 401＞ 400=20，
所以 401－5＞ 400－5 20－5 3.75.
4
4
4
感悟新知
4-1. 比较下列各组数的大小.
(1)－ 10与－3.2;
(2) 6－1 与 2＋1；
2
2
(3) 99－7 与 8 . 25
1. 定义：一般地，如果一个数的平方等于 a，那么这个数 叫做a 的平方根或二次方根 . 这就是说，如果x2=a，那 么x 叫做a的平方根. 表示方法：非负数a 的平方根记为± a ，读作“正、 负根号a”.
七年级数学6.1平方根、立方根讲解与例题
6.1 平方根、立方根1．了解平方根、算术平方根、立方根的定义和性质，会用根号表示非负数的平方根、算术平方根、立方根．2．能利用平方根、算术平方根、立方根的定义和性质解题． 3．知道开方是乘方的逆运算，会用开方求某些非负数的平方根． 4．能运用算术平方根解决一些简单的实际问题．1．平方根(1)平方根的概念：一般地，如果一个数的平方等于a ，那么这个数叫做a 的平方根，也叫做二次方根．换句话说，如果x 2＝a ，那么x 叫做a 的平方根，例如22＝4，(－2)2＝4，则4的平方根是＋2和－2(也可合写为±2)，＋2和－2都是4的平方根．(2)平方根的性质：一个正数有两个平方根，它们互为相反数；0的平方根是0；负数没有平方根．(3)平方根的表示：正数a 有两个平方根，一个是a 的正的平方根，记作“a ”，读作“根号a ”，另一个是a 的负的平方根，记作“－a ”，读作“负根号a ”，这两个平方根合起来可记作“±a ”，读作“正、负根号a ”，其中a 叫做被开方数．【例1－1】求下列各数的平方根：(1)0.64；(2)3625；(3)⎝ ⎛⎭⎪⎫－322．分析：要求一个数的平方根，我们可以根据平方根的概念，首先找到一个数，使它的平方等于已知的数，然后就可以求出这个数的平方根．解：(1)∵(±0.8)2＝0.64，∴0.64的平方根是±0.8．(2)∵⎝ ⎛⎭⎪⎫±652＝3625，∴3625的平方根是±65.(3)∵⎝ ⎛⎭⎪⎫±322＝⎝ ⎛⎭⎪⎫－322，∴⎝ ⎛⎭⎪⎫－322的平方根是±32.求一个数的平方根，必须牢记正数有两个平方根，它们互为相反数，不会因为表达形式的改变而改变，如⎝ ⎛⎭⎪⎫－322是个正数，那么它有两个平方根，不要错误地认为它的平方根仅有－32.【例1－2】下列各数有平方根吗？如果有，求出它的平方根；若没有，请说明理由． (1)2516；(2)0；(3)－4；(4)－0.49；(5)(－3)2． 分析：解：(1)因为16是正数，所以16有两个平方根．由于⎝ ⎛⎭⎪⎫±542＝2516，所以2516的平方根是±54.(2)0只有一个平方根，是它本身．(3)因为－4是负数，所以－4没有平方根．(4)因为－0.49是负数，所以－0.49没有平方根．(5)因为(－3)2＝9，所以(－3)2为正数，有两个平方根．由于9的平方根是±3，所以(－3)2的平方根是±3．2．算术平方根的概念正数a 的正的平方根a 叫做a 的算术平方根.0的算术平方根是0.因此如果x 2＝a ，那么正数x 叫做a 的算术平方根．平方根与算术平方根的区别与联系(1)区别：①表示方法不同：正数a 的平方根表示为±a ；正数a 的算术平方根表示为a .②个数不同：一个正数的平方根有两个，它们互为相反数；一个正数的算术平方根只有一个．③性质不同：一个正数的平方根有两个，可以是负数；一个非负数的算术平方根一定是非负数．平方根等于本身的数只有一个数，这个数是0；算术平方根等于本身的数有两个：0和1．(2)联系：平方根包含算术平方根，算术平方根是平方根的一个；平方根和算术平方根都只有非负数才有．负数没有平方根和算术平方根；0的平方根和算术平方根都是0.【例2】求下列各数的算术平方根：(1)196；(2)179；(3)16.分析：根据算术平方根的定义，求正数a 的算术平方根，也就是求一个非负数x ，使x 2＝a ，则x 就是a 的算术平方根．(1)因为142＝196，所以196的算术平方根是14．(2)因为179＝169，⎝ ⎛⎭⎪⎫432＝169，所以169的算术平方根是43，即179的算术平方根是43.(3)因为要求的是16的算术平方根，所以要先算出16，再求算术平方根.16表示的是16的算术平方根，所以16＝4．由于22＝4，所以4的算术平方根是2，即16的算术平方根是2．解：(1)196＝14．(2)179＝169＝43.(3)因为16＝4,4的算术平方根是2，所以16的算术平方根是2．求正数a 的算术平方根，只需找出平方等于a 的正数．求一个分数的算术平方根或平方根，当这个分数是带分数时，要先化成假分数，再求这个数的算术平方根或平方根，不要出现11649＝147的错误．3．开平方(1)求一个数的平方根的运算叫做开平方．(2)用计算器求一个非负数的算术平方根及近似值．用计算器求一个非负数的算术平方根，只需直接按书写顺序按键即可．例如，用计算器求529与44.81的算术平方根：①在计算器上依次键入529＝，显示结果为23，因此529的算术平方根为529＝23．②在计算器上依次键入44.81＝，显示结果为6.940 271 88，如果要求精确到0.01，那么44.81≈6.94．(1)平方根是一个数，是开平方的结果；而开平方是和加、减、乘、除、乘方一样的一种运算，是求平方根的过程．(2)开平方是平方的逆运算．我们可以用平方运算来检验开平方的结果是否正确． (3)平方和开平方之间的关系，我们可以这样来理解：已知底数m 和指数2，求幂，是平方运算，即m 2＝(？)；已知幂a 和指数2，求底数，是开平方，即(？)2＝a .(4)选用的计算器不同，按键的顺序也不同，因此应该仔细阅读计算器的说明书，按照要求操作．【例3】求下列各式中未知数的值：(1)x 2＝25；(2)(2a ＋3)2＝16．分析：如果一个数的平方等于a ，那么这个数叫做a 的平方根，它有一正一负两个值．(1)因为x 2＝25，所以x 就是25的平方根，有两个，是±5；(2)将2a ＋3看成一个整体，根据平方根的定义易知2a ＋3就是16的平方根，是±4，即2a ＋3＝±4，在此基础上，分两种情况分别求出a 的值即可．解：(1)因为(±5)2＝25， 所以x ＝±5．(2)因为(±4)2＝16， 所以2a ＋3＝±4．当2a ＋3＝4时，解得a ＝12.当2a ＋3＝－4时，解得a ＝－72.故所求a 的值是12或－72.利用开平方解方程的方法是：先把方程化为x 2＝m (m ≥0)的形式，然后根据开平方得到x ＝±m .特别地，要注意整体思想的应用．4．立方根(1)立方根的概念：一般地，如果一个数的立方等于a ，那么这个数叫做a 的立方根(也叫做三次方根)．也就是说，如果x 3＝a ，那么x 叫做a 的立方根．(2)立方根的表示方法：数a 的立方根记为“3a ”，读作“三次根号a ”，其中a 是被开方数，3是根指数，这里的根指数“3”不能省略．【例4】求下列各数的立方根：(1)27；(2)－27；(3)338；(4)－0.064；(5)0；(6)－5．分析：求一个数a 的立方根，关键是求出满足等式x 3＝a 中x 的值，同时在学习了立方根的表示方法后，应用符号表示解题过程比语言叙述更为简洁．解：(1)因为33＝27，所以327＝3． (2)因为(－3)3＝－27，所以3－27＝－3．(3)因为338＝278，而⎝ ⎛⎭⎪⎫323＝278，所以3338＝32.(4)因为(－0.4)3＝－0.064， 所以3－0.064＝－0.4． (5)因为03＝0，所以30＝0. (6)－5的立方根是3－5.开方开不尽的数，保留根号，如本题(6)，－5的立方根是3－5.5．开立方(1)求一个数的立方根的运算叫做开立方． ①开立方与立方互为逆运算．我们可以根据这种关系求一个数的立方根或检验一个数是否是某个数的立方根．②被开立方的数可以是正数、负数和0；③求一个带分数的立方根时，必须把带分数化成假分数，再求它的立方根． (2)用计算器求一个数的立方根及近似值．用计算器求一个数的立方根的操作过程和求平方根操作过程基本相同，主要差别是先按2ndf 键，再按书写顺序按键即可．例如用计算器求31 845，在计算器上依次键入2ndf 31845＝，显示结果为12.264 940 82，若计算结果要求精确到0.01，则1 845的立方根为12.26，即31 845≈12.26．【例5】解方程：(1)125x 3－27＝0；(2)(5x －3)3＝343．分析：(1)把原方程变形为x 3＝27125后，可知x 是27125的立方根．(2)把5x －3看做整体，则易知它是343的立方根，其值可求，在此基础上可求x .解：因为125x 3－27＝0，所以x 3＝27125.故x ＝35.(2)因为(5x －3)3＝343，所以5x －3＝3343＝7， 即5x ＝10．故x ＝2．利用开立方解方程的方法：先把方程化为x 3＝m 的形式，然后根据开立方得到x ＝3m .特别地，要注意整体思想的应用．6．立方根的性质正数的立方根是一个正数，负数的立方根是一个负数，0的立方根是0. (1)立方根的符号与被开方数的符号一致； (2)一个数的立方根是唯一的； (3)3－a ＝－3a ，3a 3＝a ，(3a )3＝a . 【例6】下列语句正确的是( )． A ．64的立方根是2 B ．－3是27的立方根C ．125216的立方根是±56D ．(－1)2的立方根是－1解析：因为64＝8，而2的立方等于8，所以64的立方根是2，即A 正确，解答时不要把“求64的立方根”误解为“求64的立方根”；因为－3的立方是－27，所以－3是27的立方根是错误的；因为56的立方是125216，所以125216的立方根是56，因此C 是错误的；因为(－1)2＝1，它的立方根是1，而不是－1，所以D 是错误的．故本题选A ．答案：A(1)任何数都有立方根，而负数没有平方根；(2)任何数的立方根只有一个，而正数有两个平方根．7．用平方根与立方根的定义及性质解题已知一个数的平方根或立方根求原数是利用平方根与立方根的定义及性质解题中的常见题型．(1)一个正数的两个平方根互为相反数，而互为相反数的两个数的和为零． (2)对于立方根来说，任何数的立方根只有一个，根据立方根的定义可知，3－a ＝－3a ，也就是说，求一个负数的立方根时，只要先求出这个负数的绝对值的立方根，然后再取它的相反数即可．(3)当两个数相等时，这两个数的立方根相等．反之，当两个数的立方根相等时，这两个数也相等．这与平方根不同，在平方根的计算中，若两数的平方根相等或互为相反数时，这两个数相等；若这两个数相等时，则两数的平方根相等或互为相反数．【例7－1】已知2x －1和x －11是一个数的平方根，求这个数．分析：因为2x －1和x －11是一个数的平方根，根据平方根的定义，可知2x －1和x －11相等或互为相反数．当2x －1和x －11相等时，可列出方程2x －1＝x －11，当2x －1和x －11互为相反数时，可列出方程2x －1＋x －11＝0，从而求出x 的值，进一步可求出这个数．解：根据平方根的定义，可知2x －1和x －11相等或互为相反数．当2x －1＝x －11时，x ＝－10，所以2x －1＝－21，这时所求的数为(－21)2＝441；当2x －1＋x －11＝0时，x ＝4，所以2x －1＝7，这时所求的数为72＝49． 综上可知，所求的数为49或441．【例7－2】若32a －1＝－35a ＋8，求a 2 012的值．分析：根据立方根的唯一性和3－a ＝－3a ，可知2a －1与5a ＋8互为相反数，从而可构造出关于a 的一元一次方程2a －1＝－(5a ＋8)．进一步可求出a 2 012的值． 解：因为32a －1＝－35a ＋8，所以32a －1＝3－a ＋，即2a －1＝－(5a ＋8)．解得a ＝－1．故a 2 012＝(－1)2 012＝1． 8．非负性的应用非负数指的是正数和零，常用的非负数主要有： (1)绝对值|a |≥0；(2)平方a 2≥0；(3)算术平方根a 具有双重非负性： ①a 本身具有非负性，即a ≥0；②算术平方根a 的被开方数具有非负性，即a ≥0. 非负数有如下性质：若两个或多个非负数的和为0，则每个非负数均为0.在解决与此相关的问题时，若能仔细观察、认真地分析题目中的已知条件，并挖掘出题目中隐含的非负性，就可避免用常规方法造成的繁杂运算或误解，从而收到事半功倍的效果．与算术平方根和平方数的非负性相关的求值问题，一般情况下都是它们的和等于0的形式．此类问题可以分成以下几种形式：一是算术平方根、平方数、绝对值三种中的任意两种组成一题〔| |＋( )2＝0，| |＋ ＝0，( )2＋ ＝0〕，甚至同一道题目中出现这三个内容〔| |＋( )2＋ ＝0〕；二是题目中没有直接给出平方数，而是需要先利用数学公式把题目中的某些内容进行变形，然后再利用非负数的性质进行计算．【例8－1】如果y ＝2x －1＋1－2x ＋2，则4x ＋y 的平方根是__________．解析：因为2x －1≥0且1－2x ≥0，所以2x －1＝1－2x ＝0，即x ＝12.于是y ＝2x －1＋1－2x ＋2＝2．因此4x ＋y ＝4×12＋2＝4．故4x ＋y 的平方根为±2．答案：±2【例8－2】如果y ＝x 2－4＋4－x 2x ＋2＋2 012成立，求x 2＋y －3的值．分析：由算术平方根被开方数的非负性知x 2－4≥0,4－x 2≥0，因此，只有x 2－4＝0，即x ＝±2；又x ＋2≠0，即x ≠－2，所以x ＝2，y ＝2 012，于是得解．解：由题意可知x 2－4≥0且4－x 2≥0，因此x 2－4＝0，即x ＝±2． 又∵x ＋2≠0，即x ≠－2， ∴x ＝2，y ＝2 012．故x 2＋y －3＝22＋2 012－3＝2 013．【例8－3】已知a －1＋(b ＋2)2＝0，求(a ＋b )2 012的值．分析：a －1表示a －1的算术平方根，所以a －1为非负数．因为(b ＋2)2为偶次幂，所以(b ＋2)2为非负数．由于两个正数相加不能为0，所以这两项都为0，因此解方程求值即可．解：因为a －1≥0，(b ＋2)2≥0，且a －1＋(b ＋2)2＝0，所以a －1＝0，(b ＋2)2＝0， 解得a ＝1，b ＝－2．故(a ＋b )2 012＝(1－2)2 012＝1．9．利用方根探索规律(1)可以利用计算器探究被开方数扩大(或缩小)与它的算术平方根扩大(或缩小)的规律． 规律：如果将被开方数的小数点向左(右)每移动2位，则它的算术平方根的小数点就相应地向同一方向移动1位．即当被开方数扩大(或缩小)100倍时，其算术平方根相应地扩大(或缩小)10倍；当被开方数扩大(或缩小)10 000倍时，其算术平方根相应地扩大(或缩小)100倍….(2)可利用计算器探究被开方数扩大(或缩小)与它的立方根扩大(或缩小)的规律． 规律：如果将被开方数的小数点向左(右)每移动3位，则它的立方根的小数点就相应地向同一方向移动1位．即当被开方数扩大(或缩小)1 000倍时，其立方根相应地扩大(或缩小)10倍；当被开方数扩大(或缩小)1 000 000倍时，其立方根相应地扩大(或缩小)100倍….(3)还可利用方根为问题背景进行规律的探索． 【例9】(1)观察下列各式：1＋13＝213，2＋14＝314，3＋15＝415，…，请你将发现的规律用含自然数n (n ≥1)的等式表示出来__________．(2)借助计算器可以求出42＋32，442＋332，4442＋3332，…，观察上述各式特点，__________.解析：(1)第一个等式右边的2比左边被开方数里的1大1，被开方数13与左边被开方数的13相同且3比2大1；第二个等式右边的3比左边被开方数里的2大1，被开方数14与左边被开方数14相同且4比3大1，…，故有n ＋1n ＋2＝(n ＋1)1n ＋2(n ≥1)． (2)借助计算器，可以分别求得42＋32＝5，442＋332＝55，4442＋3332＝555，…，由此观察发现每个式子的结果都是由若干个5组成的，且5的个数为相应式子的左边4或35n 个.答案：(1)n ＋1n ＋2＝(n ＋1)1n ＋2(n ≥1) (2)5555n 个10．平方根与立方根的实际应用解实际问题时，首先要读懂题意，善于构造数学模型，将它转化为数学问题．与平方根、立方根有关的实际应用多以正方形、正方体等几何图形为问题背景设题，解答时，常常根据题意列出方程，然后再利用平方根与立方根的定义及性质解方程即可．注意求出的结果要符合实际问题的实际意义．【例10－1】计划用100块地板砖来铺设面积为16 m 2的客厅，求需要的正方形地板砖的边长．解：设地板砖的边长为x m ，根据题意，得100x 2＝16，即x 2＝0.16，所以x ＝±0.16＝±0.4．由于长度不能为负数，所以x ＝0.4(m)． 故地板砖的边长为0.4 m.【例10－2】一种形状为正方体的玩具名为“魔方”，(每个面由9个小正方体面组成)体积为216 cm 3，求组成它的每个小正方体的棱长．解：设小正方体的棱长为a cm ，则玩具的棱长为3a cm ，由题意得(3a )3＝216．于是27a3＝216，a 3＝8，a ＝2(cm)．故每个小正方体的棱长为2 cm.。
6.1平方根-七年级数学下册教材配套教学课件(人教版)
3．认识开平方运算 开平方：求一个数a的平方根的运算
4．例题解析
例1 求下列各数的平方根：
（1）100 ；（2） 9 ; （3）0.25 ; （4）2 1 ; （5）0 .
16
4
5．归纳数的平方根的特征
正数的平方根有什么特点？ 正数的平方根有两个，它们互为相反数； 0的平方根是多少？ 0的平方根就是0 ； 负数有平方根吗？ 负数没有平方根．
为什么？
6．例题解析
例3 判断下列各式计算是否正确，并说明理由．
(1) 4 2； (2) 4 2； (3) 4 2．
7．例题解析
1. 下列各中意义有(
c
)
A.1个
B.2个
C.3个
D.4个
2. 81的平方根是 ±9 ， 81 的平方根 是 ±3 .
概念吗？
1．归纳平方根的概念
一般地，如果一个数的平方等于a，那么这 个数叫做a的平方根或二次方根．这就是说，
如果 x2 a，那么x 叫做a的平方根．
例如：3和-3是 9的平方根，
简记 3是9的平方根．
2．平方根的表示
你能表示一个正数的平方根吗？
正数a的正的平方根可以表示用 a 表示； 正数a的负的平方根，可以用符号 a 表示， 正数a的平方根用符号 a 表示． 读作“正、负根号a ”．
就叫做 a 的平方根．a的平方根记为± a
2.平方根的性质： 正数有2个平方根，它们互为相反数； 0的平方根是0； 负数没有平方根。
6.1 平方根
1．归纳平方根的概念
如果一个数的平方等于9，这个数是多少？
由于 3 2 =9 ，
所以这个数是3或-3.
1．归纳平方根的概念
根据上面的研究过程填表：
6.1.3.第3课时 平方根
625 5 的平方根是 ± 16 2.
课件目录
首
页
末 页
第3课时
平方根
【点悟】 (1)任何一个正数的平方根都是一对相反数， 不能漏掉其中的一个； (2)对于求 a(a≥0)的平方根，先要对 a进行化简，再求它的平方根，即要正确 区分 a的平方根与 a 的平方根的差别．
课件目录
首
页
末 页
第3课时
平方根
12．王老师给同学们布置了这样一道习题：一个数的算术平方根为 2m－6， 它的平方根为± (m－2)．求这个数． 小张的解法如下： 依题意可知，2m－6 是 m－2 或者是－(m－2)两数中的一个．① 当 2m－6＝m－2 时，解得 m＝4，② 2m－6＝2×4－6＝2，③ 这个数为 4；
第3课时
平方根
2019年春人教版数学七年级下册课件
6.1 平方根
课件目录
首
页
末 页
第3课时
平方根
第六章
实数
6.1 平方根 第3课时 平方根
学习指南 知识管理
归类探究
当堂测评
分层作业
课件目录 首 页 末 页
第3课时
平方根
学习指南
教学目标
[教用专有]
1．理解平方根的概念，会求一个非负数的平方根． 2．能运用平方根进行计算求值．
所以±
13 136＝±
49 7 ＝ ± 36 6.
课件目录
首
页
末 页
第3课时
平方根
9．[2018· 广东]一个正数的平方根分别是 x＋1 和 x－5，则 x＝ ____ 2 .
七年级数学下册6.1.1算术平方根新版新人教版精选教学PPT课件
-1 3
二 、师生互动，课堂探究 （二）导入知识，解释疑难
（4）已知9的算术平方根为a，b的绝对值为4， 求a-b的值.
解：由题意知： a2=9，|b|=4， 则 a=3，b= ±4, 所以a-b=-1或7.
二 、师生互动，课堂探究
（三）创新提升 已知2a-1的算术平方根是3,3a+b-1的算术
0.16 , 111 , （ 3）2 , 0.25 .
25
=0.4 = 36 6 =3
25 5
=0.5
二 、师生互动，课堂探究
（二）导入知识，解释疑难
（3）3x-4为25的算术平方根，求x的值.
解：由题意知： (3x-4)2=25，
则 3x-4=±5，
即3x-4=5或3x-4=-5，
所以x=3，或x=
二 、师生互动，课堂探究 （一）提出问题，引发讨论
1.你能求出下列各数的平方吗？
0，-1.5，2.3，
1 5
，-3，3，1，1
2
.
(-3)2=9
32=9
(-3)2=32
二 、师生互动，课堂探究 （一）提出问题，引发讨论
2.若已知一个数的平方为下列各数，你能 把这个数的取值说出来吗？
25，0，4，4 ， 1 ， 1 ，1.69. 25 144 4
二 、师生互动，课堂探究
（二）导入知识，解释疑难
3.巩固练习
（1）求下列各式的值：
① 1.44 ；
=1.2
③ 0.81 0.04 ；
=0.9-0.2=0.7
② （0.1）2 ； =0.1
④ 12 1 . 4
= 49 7 42
二 、师生互动，课堂探究 （二）导入知识，解释疑难 （2）求下列各式的值：
初中七年级下册数学61 平方根(第3课时)课件q
（2）- 0.0625 -0.25 ; （3） 121 11 .
64 8
能力提升题
6.1 平方根/
1.a的一个平方根是3，则另一个平方根是 -3 ，a= 9 .
2.81的平方根是___9_， 81的算术平方根是__3__ .
3.3a-2和2a-3是一个正数的两个平方根，则这两个平方 根是__1_和_-_1_，这个数是_1__.
6.1 平方根/
例如： 4的平方根表示为 ： 4， 4 2
5的平方根表示为 ： 5，
25 的平方根表示为 ： 25， 25 5
36
36 36 6
0的平方根表示为: 0
规定 ： 0 0. 0 0
0的平方根为0.
6.1 平方根/
考 点 1 利用平方根的表示求平方根
分别求下列各数的平方根：
=±
5 3
.
（3）1.21. 有两个平方根
解: 由于1.12 1.21，
因此1.21的平方根是1.1与-1.1.
即± 1.21=± 1.1.
6.1 平方根/
求下列各数的平方根：
（1）81； （2）1265 ； （3）0.49. 解：(1)∵ (±9)2=81，
∴81的平方根为±9．即 81 9 .
4
+3
-3
9
6.1 平方根/
反之，已知一个数的平方，求这个数的运算是什么？
+1
？运算
-1
1
+2
-2
4
+3
-3
9
求一个数的平方根的运算叫作开平方.
6.1 平方根/
开平方与平方是什么关系？
根号
指数
平 方 运 算
6.1平方根(教案)
4.培养学生的数学运算能力：掌握求平方根的方法，提高学生的数学运算速度和准确性，培养良好的数学运算习惯。
5.增强学生的数学探究意识：鼓励学生主动探究平方根的性质和应用，培养他们独立思考和解决问题的能力，激发学生的数学学习兴趣。
1.理论介绍：首先，我们要了解平方根的基本概念。平方根是一个非负数a的算术平方根，即另一个非负数b，使得b的平方等于a。平方根在数学和实际生活中有广泛的应用，如几何图形的计算、物理学中的速度与加速度等。
2.案例分析：接下来，我们来看一个具体的案例。假设一个正方形的面积为9平方单位，我们需要求解其边长。通过求解9的平方根，我们得到边长为3单位。这个案例展示了平方根在实际中的应用，以及它如何帮助我们解决问题。
五、教学反思
在上完这节平方根的课程后，我思考了许多关于教学过程中的点点滴滴。首先，我发现同学们在理解平方根的定义时，普遍存在一定的困难。他们在接触负数没有平方根这一概念时，显得有些困惑。我意识到，这里需要通过更直观的方式，比如数轴的展示，来帮助学生建立起对平方根符号的理解。
在讲授过程中，我尝试用简单的例子和实际操作来阐述平方根的求法，同学们对此反应良好。但是，我也注意到，当涉及到估算平方根的精确度时，部分同学还是感到有些力不从心。这让我意识到，在今后的教学中，我需要加强对估算方法的教学，让学生能够更熟练地运用这些技巧。
在学生小组讨论环节，我尽量让自己成为一个引导者和协助者，让学生充分发挥他们的主观能动性。从成果分享来看，同学们对于平方根在实际生活中的应用有了更深入的认识。但同时，我也发现有些同学在表达自己的观点时，显得有些紧张和不自信。我想，在今后的教学中，我应该更多地鼓励学生，培养他们的表达能力和自信心。
七年级数学下册 6.1《平方根》（1）
6.1 平方根教学目标：(一)教学知识点1.了解数的算术平方根的概念，会用根号表示一个数的算术平方根.2.了解求一个正数的算术平方根与平方是互逆的运算，会利用那个互逆运算关系求某些非负数的算术平方根.3.了解算术平方根的性质.(二)能力训练要求1.增强概念形成进程的教学，提高学生的思维水平.2.鼓舞学生进行探讨和交流，培育他们的创新意识和合作精神.(三)情感与价值观要求1.让学生踊跃参与教学活动，培育他们对数学的好奇心和求知欲.2.训练学生动脑、动口、动手能力.教学重点：了解算术平方根的概念、性质，会用根号表示一个正数的算术平方根.教学难点：了解算术平方根的概念、性质.教学进程：Ⅰ.新课导入上节课咱们学习了无理数、了解到无理数产生的实际背景和引入的必要性，把握了无理数的概念，明白有理数和无理数的区别是：有理数是有限小数或无穷循环小数，无理数是无穷不循环小数.比如在a2=2中，2是有理数，而a是无理数.在前面咱们学过假设x2=a，那么a叫x的平方，反过来x叫a的什么呢？本节课咱们就来一路研究那个问题.Ⅱ.教学新课［师］在讲新课之前，咱们先回忆一下勾股定理，请同窗们回答.［生］勾股定理确实是在直角三角形中两条直角边的平方和等于斜边的平方.［师］下面请大伙儿依照勾股定量，结合图形完成填空. 依照以下图填空x2=_________y2=_________z2=_________w2=_________［师］请大伙儿试探后回答.［生］x 2=2,y 2=3,z 2=4,w 2=5.［师］请大伙儿再分析一下，x ，y ，z ，w 中哪些是有理数？哪些是无理数？［生］x ，y ，w 是无理数，z 是有理数.［师］什么缘故呢？［生］因为没有任何整数或分数的平方等于2，3，5，因此x ，y ，z 不是有理数，而22=4，因此z =2. ［师］这位同窗分析得超级正确，那么大伙儿能不能把上图中的x ，y ，z ，w 表示出来呢？请大伙儿认真看书后回答.［生］x =2,y =3,z =4,w =5.［师］假设一个正数x 的平方等于a ，即x 2=a ，那么那个正数x 就叫做a 的算术平方根.记为“a ”读作“根号a ”.这确实是算术平方根的概念.专门地规定0的算术平方根是0，即0=0. ［师］下面咱们依照算术平方根的概念求一些数的算术平方根.［例1］求以下各数的算术平方根： (1)900；(2)1；(3)6449；(4)14. 解：(1)因为302=900，因此900的算术平方根是30，即900=30；(2)因为12=1，因此1的算术平方根是1，即1=1；(3)因为,6449)87(2=因此6449的算术平方根是87，即876449=； (4)14的算术平方根是14.通过上面的例题，大伙儿试探一下，咱们在求算术平方根时是借助于哪一种运算来求的？［生］是通过平方来求的.［师］对.由此咱们能够看出一个正数的平方和求算术平方根是互为逆运算.而且咱们在例题中的步骤采取语言表达和符号表示相互补充的做法，目的是让大伙儿明白算术平方根的概念，和从计算中进一步体会一个正数的平方和求算术平方根是互为逆运算.在以后的步骤中能够简化.［例2］自由下落的物体的高度h (米)与下落时刻t (秒)的关系为h =4.9t 2.有一铁球从19.6米高的建筑物上自由下落，抵达地面需要多长时刻？解：将h =19.6代入公式h =4.9t 2得t 2=4,因此t =4=2(秒)即铁球抵达地面需要2秒.［师］下面大伙儿再观看一下适才咱们求出的算术平方根有什么特点. ［生甲］算术平方根是整数或分数，即为有理数. ［生乙］不对，那14是不是有理数？假设是那么是，分数仍是整数？ ［生丙］因为没有任何一个整数或分数的平方等于14，因此14不是有理数，而是无理数.［师］大伙儿的分析都有道理，我提示一下从符号方面考虑. ［生甲］噢，算术平方根是正数，如14,5,3,2，2.［生乙］不对，还有零呢.正数的算术平方根是正数，零的算术平方根为零.［师］超级正确，那负数的算术平方根是不是为负数呢？假设(－2)2=4.那么4=－2对吗？或4 =－2对吗？［生甲］不对.因为算术平方根的概念是一个正数的x 的平方等于a ，那个正数x 就叫做a 的算术平方根，因此算术平方根不可能是负数.［师］由此看来，概念中的a 和x 都为正数，即算术平方根是非负数，负数没有算术平方根.用式子表示为a (a ≥0)为非负数，这是算术平方根的性质.Ⅲ.课堂练习(一)P 32随堂练习一、2题.(二)补充练习. 一、填空题1.假设一个数的算术平方根是5，那么那个数是_________.2.94的算术平方根是_________. 3.正数_________的平方为971,25144的算术平方根为_________. 4.(－1.44)2的算术平方根为_________.5.81的算术平方根为_________，04.0=_________二、求以下各数的算术平方根，并用符号表示出来：(1)(7.4)2；(2)(－3.9)2；(3)2.25；(4)241. Ⅳ.课时小结本节课学习了算术平方根的概念，明白得了求一个正数的平方和求算术平方根是互为逆运算，求一个非零数的算术平方根，和算术平方根的性质，即算术平方根是非负数.Ⅴ.课后作业P33习题一、3.Ⅵ.活动与探讨1.一个正方形的面积变成原先的n倍时，它的边长变成原先的多少倍？2.一个正方形的面积为原先的100倍时，它的边长变成原先的多少倍？解：设原先的正方形边长为a，面积为S1，后来的正方形面积为S2.1.S1=a2，S2=na2(n a)2∴后来的边长(n a)为原先边长的n倍.2.S1=a2，S2=100a2=(10a)2∴后来的边长10a为原先边长的10倍.板书设计：一、算术平方根的定义算术平方根的性质二、举例三、练习四、作业。
七年级数学人教版下册课件6.1平方根
人教版-数学-七年级-下册
实数
6.1 平方根 课时3
知识回顾-课堂导入-新知探究-随堂练习-课堂小结-拓展提升
知识回顾
1.算术平方根的定义： 一般地，如果一个正数 x 的平方等于 a，即 x2=a，那么 这个正数 x 叫做 a 的算术平方根.
6
0
1
无
4
学习目标
1.了解平方根的概念，并理解平方与开平方的关系. 2.会求非负数的平方根．
课堂导入
填空： (1) 32= 9 ，(-3)2= 9 ；
(3) 0.82 = 0.64 ，(-0.8)2 = 0.64 . 反过来，如果已知一个数的平方，怎样求 这个数呢？
新知探究
知识点：平方根的定义及性质
思考 如果一个数的平方等于 9，这个数是多少？
新知探究
完成下列表格.
x2
1
16
36
49
4
跟踪训练
a-1=0→a=1
1 1+2-4=-1
b-2=0→b=2
c+4=0→c=-4
本题源于《教材帮》
随堂练习
求一个带分数的算 术平方根时,要先把 带分数化成假分数.
本题源于《教材帮》
随堂练习
x+2=0→x=-2
3y-6=0→y=2
-28
5+z=0→z=-5
-2-3×2+4×(-5)=-28
人教版-数学-七年级-下册
实数
6.1 平方根 课时2
知识回顾-课堂导入-新知探究-随堂练习-课堂小结-拓展提升
知识回顾
9 a2
a2+1 3
2
学习目标
1.会用计算器求算术平方根. 2.掌握算术平方根的估算及大小比较．
6.1平方根(原卷版)
七年级下册数学《第六章 实数》6.1 平 方 根◆1、算术平方根的定义：一般地，如果一个正数x 的平方等于a ，即 x 2=a ，那么这个正数x 叫做a 的算术平方根.a 的算术平方根记作：a ，读作:“根号a ”.即 x 2=a (x >0)x 叫做a 的算术平方根，记作：x =a .规定：0的算术平方根是0. 记作: 0=0.◆2、算术平方根的性质：算术平方根具有双重非负性.①被开方数一定是非负数，即a ≥0.②一个非负数的算术平方根也是非负数，即a ≥0.◆3、求一个正数的算术平方根与求一个正数的平方恰好是互逆的两种运算，因而，求一个数的算术平方根实际上可以转化为求一个正数的平方运算，但是，只有正数和0有算术平方根，负数没有算术平方根.◆4、被开方数越大，对应的算术平方根也越大.【注意】a根指数2，不要误认为根指数是1或没有，因此a 也读作：“二次根号a ”.◆求一个正数（非完全平方数）的算术平方根的近似值，一般采用逼近法，是指从两边确定取值范围，一点一点加强限制，使其所处范围越来越小，从而达到理想的精确程度.◆1、在求某些数的算术平方根时，有些数很大或很小，或不易求出算术平方根，为了提高计算速度，我们可以利用计算器，按照一定的按键顺序直接快速地求出这个数的算术平方根.◆2、大多数计算器都有键，用它可以求出一个正有理数的算术平方根(或其近似值).◆1、平方根的定义：一般地，如果一个数的平方等于a，那么这个数叫做a的平方根或二次方根. 这就是说，如果x2=a，那么x叫做a的平方根.◆2、开平方：求一个数a的平方根的运算，叫做开平方.开平方与平方互为逆运算，运用这种关系可以求一个数的平方根.◆3、平方根的表示方法：正数a的算术平方根可以表示为a，正数a的负的平方根，可以表示为-a.正数a的平方根可以用±a表示，读作“正、负根号a”．◆4、算术平方根与平方根的联系和区别：联系：（1）包含关系：平方根包含算术平方根，算术平方根是平方根的一种.（2）只有非负数才有平方根和算术平方根.（3） 0的平方根是0，算术平方根也是0.区别：（1）个数不同：一个正数有两个平方根，但正数算术平方根只有一个.（2）表示方法不同：正数a的算术平方根表示为a，正数a的平方根表示为a；◆5、平方根的性质：①正数有两个平方根，它们互为相反数；②0的平方根是0；③负数没有平方根.【例题1】求下列各数的算术平方根：（1）144；（2）0.49；（3）614；（4）（−32）2．【变式1-1】（2022秋•A．3B．﹣3C．±3D．5【变式1-2】（2022秋•A．4B．2C．±4D．±2【变式1-3】（2022秋•A．±6B．6C．D【变式1-4】（2022•=5，则a的值为（ ）A．10B C．25D．±25【变式1-5】（2022春•老河口市月考）设x＝﹣22，y=xy等于（ ）A．12B．﹣12C．6D．﹣6【变式1-6】求下列各式的值：（1（2（3（4【例题2】（2022秋•崇川区校级月考）已知a ，b 满足（a ﹣1）2+0，则a +b 的值是（ ）A ．﹣2B ．2C ．﹣1D ．0【变式2-1】（2022秋•(n−3)2=0，则m n 的值是 ．【变式2-2】（2022秋•薛城区校级月考）已知实数x ，y 满足|x +3|+0，则代数式（x +y ）2022的值为（ ）A ．1B ．﹣1C ．2018D ．﹣2018【变式2-3】已知a ，b0，则a 2022﹣b 2023＝ ．【变式2-4】（2022春•|b +a +b 的绝对值为（ ）A ．1B 1C 1D 【变式2-5】（2022秋•迎泽区校级月考）若x ，y 满足(x−5)2=0，则x y 的算术平方根为 ．【变式2-6】（2022秋•九龙坡区期末）已知a、b、c都是实数，+|2b−12|+(c+2a)2=0，则a−ca4b的值等于（ ）A．1B．−23C．2D．﹣2【例题3】已知：xy（x，y是两个连续整数），则x，y的值为（ ）A．x＝2，y＝3B．x＝3，y＝4C．x＝4，y＝5D．x＝5，y＝6【变式3-1】（2021秋•A．4与5之间B．5与6之间C．6与7之间D．7与8之间【变式3-2】（2022春•香洲区期末）如图，用边长为3的两个小正方形拼成一个面积为18的大正方形，则大正方形的边长最接近的整数是（ ）A．4B．5C．6D．7【变式3-3】（2021春•江津区校级月考）若x 、y 为两个连续的整数，且xy ，则x +y ＝ ．【变式3-4】（2022•南关区校级开学）已知x ，y 为两个连续的整数，且xy ，则5x +y 的值为 ．【例题4】通过估算，比较下列各组数的大小：（1）（2（3 1； （4 112．【变式4-1】比较下列各组数的大小：（111． （22．【变式4-2】比较下列各组数的大小（1（28；（30.5； （41．【例题5】（2022春•渝中区校级月考）7.149≈22.608，（ ）A ．71.49B ．226.08C ．714.9D ．2260.8【变式5-1】（2022春•≈1.414 4.472≈（ ）A ．44.72B ．14.14C ．141.4D ．447.2【变式5-2】（2021春•44.9614.22≈（ ）A ．4.496B ．1.422C ．449.6D ．142.2【变式5-3】（2022秋•≈2.0736≈6.5574，下列运算正确的是（ ）A0.65574B65.574C≈20.736D≈2073.6【变式5-4】（2022春•潍坊期中）（10.1732≈1.732≈17.32…发现规律：被开方数的小数点每向右移动 位，其算术平方根的小数点向 移动 位；（22.236 ， ；（32.449≈7.746【变式5-5】根据下表回答下列问题：x1616.116.216.316.416.516.616.716.816.917x 2256259.21262.44265.69268.96272.25275.56278.89282.24285.61289（1）289的算术平方根是 ， ；（2）±= ，275.56的平方根是 ；（3= ， ；（4a （x ＞0= （用含a 的式子表示）．【例题6】（2022春•连江县期末）某学校有一块长、宽分别为38m 和16m 的长方形空地，计划沿边建造一个长宽之比为5：3且面积为540m2的长方形标准篮球场，请判断该学校能否用这块长方形空地建造符合要求的篮球场？并说明理由．【变式6-1】（2021秋•鄄城县期末）交通警察通常根据刹车后车轮滑过的距离估计车辆行驶的速度，他们总结了一个经验公式：v＝v表示车速（单位：千米/时），d表示刹车后车轮滑过的距离（单位：米），f表示摩擦因数，在某次交通事故调查中，测得d＝25米，f＝1.44，而该路段的限速为80千米/时，肇事汽车当时的车速大约是多少？此车是否超速行驶？【变式6-2】（2022春•景县月考）球从空中落到地面所用的时间t（秒）和球的起始高度h（米）之间有关系式，t=120米，则球落地所用时间与下列最接近的是（ ）A．3秒B．4秒C．5秒D．6秒【变式6-3】（2021秋•阜城县期末）将尺寸如图的4块完全相同的长方形薄木块（厚度忽略不计）进行拼摆，恰好可以不重叠地摆放在如图的甲、乙两个方框内．已知小木块的宽为2，图甲中阴影部分面积为19，则图乙中AD的长为（ ）A．+2B C．D+2【变式6-4】（2022春•的小正方形纸片剪拼成一个大的正方形，（1）则大正方形的边长是 cm；（2）若将此大正方形纸片的局部剪掉，能否剩下一个长宽之比为3：2且面积为30cm2的长方形纸片，若能，求出剩下的长方形纸片的长和宽；若不能，请说明理由．【变式6-5】（2022春•兖州区期末）阅读下面对话，然后解答问题：你同意小明的说法吗？小丽能否用这块纸片裁出符合要求的纸片呢？请你通过计算说明．【例题7】（2022秋•泰山区期末）下列说法正确的是（ ）A ．125的平方根是15B ．﹣25的算术平方根是5C ．（﹣5）2的平方根是﹣5D ．0的平方根和算术平方根都是【变式7-1】（2022秋•莱州市期末）144的平方根是±12的数学表达式是（ ）A =12B =±12C ．12D ．12【变式7-2】（2022秋•陈仓区期中）下列语句中，错误的是（ ）A ．14的平方根是±12B 3C ．−12是14的一个平方根D ．9的平方根是±3【变式7-3】（2022秋•鄞州区校级月考）平方根是±13的数是（ ）A ．13B ．16C ．19D ．±19【变式7-4】（2022春•澄迈县期末）（﹣6）2的平方根是（ ）A ．6B ．±6C ．D ．36【变式7-5】（2022秋•城阳区期中）若x +4是4的一个平方根，则x 的值为（ ）A ．﹣2B ．﹣2或﹣6C ．﹣3D ．±2【变式7-6】（2022秋•薛城区校级月考）一个自然数的一个平方根是a ，则与它相邻的上一个自然数的平方根是（ ）A ．B ．a ﹣1C ．a 2﹣1D ．【例题8】求下列各数的平方根：（1）2549 （2）0.36 （3）（﹣9）2 （4【变式8-1】（2022•成武县开学）求下列各数的平方根：（1）121； （2）279； （3）（﹣13）2； （4）﹣（﹣4）3．【变式8-2】求下列各式的值：（1）（2）（3 （4）【例题9】（2022春•建安区期中）若a 是（﹣4）2的平方根，b 的一个平方根是2，则代数式a +b 的值为（ ）A ．8B ．0C ．8或0D ．4或﹣4【变式9-1】（2021秋•仁寿县期末）已知a 的平方根是2m ﹣2和4﹣m ，a 是（ ）A ．36B ．4C ．36或4D ．2【变式9-2】（2022•游仙区校级二模）若﹣3x m y 和5x 3y n 的和是单项式，则（m +n ）3的平方根是（ ）A ．8B ．﹣8C ．±4D ．±8【变式9-3】（2021秋•高新区校级月考）已知2a ﹣1的平方根是±3，b ，c满足|b ﹣1|+=0，求a +3b +c 的算术平方根．【变式9-4】（2021春•饶平县校级期中）若x，y +2y ﹣1＝0的平方根．【变式9-5】（2022春•横县期中）已知3b+3的平方根为±3，3a+b的算术平方根为5．（1）求a，b的值；（2）求4a﹣6b的平方根．【变式9-6】（2022春•芜湖期末）已知a+b﹣2的平方根是±3a+b﹣1的算术平方根是6，求a+4b的平方根．【例题10】（2022春•岳麓区校级月考）求下列各式中x 的值．（1）169x 2＝100； （2）（x +1）2＝81．【变式10-1】（2022春•武侯区月考）求下列各式中的x 的值：（1）9x 2﹣25＝0；（2）（x ﹣1）2+8＝72；（3）3（x +2）2﹣27＝0； （4）12（x ﹣5）2＝8．【变式10-2】（2021秋•新城区校级期中）求下列式子中的x ：（1）25（x−35）2＝49；（2）12（x+1）2＝32．【变式10-3】已知a，b满足|a﹣4|+0，解关于x的方程（a﹣3）x2﹣1＝5b．。
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
(C) ±6是(-6)2是平方根。
(D) 0.01是0.1的算术平方根.
作业
1、求下列各数的平方根:
(1) 0.0025
2
9 2 1 (2) (3) (5) (4) 169 16
2、解方程: 5 x 125 0 3、求下列各式的值：
(1)
81 (2) 144
归纳
如：3和-3都是9的平方根
(3) 9
2
∴9的平方根是±3 开平方的定义：求一个数a的平方根的 运算,叫做开平方.
探究
平方运算与开平方运算的关系
平方
+1 -1 +2 -2 +3 -3
1
开平方
1 4
4
9
9
+1 -1 +2 -2 +3 -3
平方与开平方互为逆运算
归纳
+1 -1 +2 -2 +3 -3
平方
1
开平方
1 4 9
4
9
+1 -1 +2 -2 +3 -3
1、正数有两个平方根，它们互为相反数； 2、0的平方根是0； 3、负数没有平方根。
归纳 平方根的表示方法: 如果x2=a (a≥0), 那么x = a.
a 读作“正负根号a”。 a 表示 a的正的平方根 a 表示a的负的平方根。 其中a叫做被开方数 .
0.0144 (3) 2.56
4、点拨训练
巩固 4、求下列各式的值: (1) 1 (3) 7 2
1 (5) 2 4
(2)
9 25
2
(4) (7)
1 (6) 2 4
方法：先定号, 再定值。
范例 例2、求下列方程:
81x 225 0
2
方法: 1、把x2当作一个整体,求出x2=a; 2、再根据平方根的定义求x.
巩固 5、求列方程:
A C
(1)
2
B D
0
3
2
1 100
巩固
3、若一个数的平方根与它算术平方根 的值相同，则这个数是（ ） A．1 B． 0 C．0或1 D． 1、0或-1
范例
例1、求下列各数的平方根及算数平方根: 64 (1) (2) 0.0001 49
(3) (3) 2
(4)
9
方法：逆用平方运算即求两个互为相 反数，使它的平方等于这个数。
规定：正数a的正的平方根 a 叫做a的算 数平方根；0的算数平方根是0.
x 4 x 4 x 2
2
x 2 x 2
2
巩固
1、下列等式正确的是( A )
16 4
B
16 4
(2) 2
2
C 0.01 0.1 D
巩固
2、下列各式中没有平方根的是( )
2
9平方分米
显然，括号里应是±3，但 －3不符题意。 ∴方桌面的边长应是3分米。
？分米
你还能举出类似的等式吗?
(1) ( 2 )2=4;
(2) ( 0.6 )2=0.36;
5 2 19 (3) ( )= ; (4) ( 9 )2=81; 16 4
平方根的定义:如果x2=a ， 那么x就叫 做a的平方根(二次方根).
检测
1. 填空 (1)0.36的平方根为
； ； ；
(2) 5的算术平方根为 (3)
9 的平方根为
1 2 3
(4) ( ) (5) 16
;
.
检测
2. 填空
(1) 5的平方根为 。 。
(2) 16 的算术平方根为
(3)
(5)
2
的平方根为
。
。
(4)算术平方根是它本身的数为
检测
3. 下列说话正确的是（ ） (A)25是5的算术平方根。
负数没有平方根
思考: 两题的结果是不是一样?为什么?
巩固 8、填空:
易错问题
; ;
(1) 196 的平方根是 196 14 (2) 196 的算术平方根是
196 14 平方根与算术平方根的区别 思考: 两题的结果是不是互为相反数?为什么?
小结
1、本节课你学了什么知识?
平方根的定义 平方根的表示 求一个非负数的平方根的方法 2、你有什么体会? 算术平方根与平方根的区别、联系
牛道口中学 2013.5
李振强
引入
要做一张边长是3分米的方桌面，它的面 积是多少？ 这个问题实际上就是求：
3 ?
2
答：9平方分米
乘方运算
3分米
这是已知底数和指数，求幂的运算
反过来，要做一张面积是3平方分米的方桌 面，它的边长是多少分米？ 实际上就是要求出一个 数，使它的平方等于9，即：
(
) 9
2 x 18 0
2
巩固 6、填空:
易错问题
;
(1) 81的平方根是
(2) 81的平方根是
;
9 思考: 两题的结果是不是一样吗?为什么?
巩固 7、填空:
易错问题
(1) 196 的平方根是 ; 2 (14) 196 196 14
(2) 196的平方根是
;
? 196
2