[精品]2019新课标Ⅰ年高考数学总复习专题03导数分项练习含解析理0

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精编新版2019高考数学《导数及其应用》专题完整考题(含标准答案)

2019年高中数学单元测试卷导数及其应用学校：__________ 姓名：__________ 班级：__________ 考号：__________一、选择题1．设函数()()2,,f x ax bx c a b c R =++∈.若1x =-为函数()xf x e 的一个极值点，则下列图象不可能为()y f x =的图象是（）（2011浙江文10）2．设曲线11x y x +=-在点(32)，处的切线与直线10ax y ++=垂直，则a =（） A ．2 B ．12 C ．12- D ．2-(2008全国1理)D.由()3212211,','|,2,21121x x y y y a a x x x =+==+=-=--==---- 二、填空题3．设二次函数f (x )＝ax 2＋bx ＋c (a ，b ，c 为常数)的导函数为f′(x )．对任意x ∈R ，不等式f (x )≥f′(x )恒成立，则b 2a 2+c 2的最大值为 ▲ ．4．已知函数f (x )＝e x －ax 在区间(0，1)上有极值，则实数a 的取值范围是 ▲ ． 5．已知曲线y=x 2 （x ＞0）在点P 处切线恰好与圆C ：x 2+（y+1）2=1相切，则点P 的坐标为（，6）．（3分）6．如图，函数()y f x =的图像在点P 处的切线是l ，则(2)(2)f f '+= 。

xyO(2,0)P()y f x =()y f x '=1 （第10题7．函数y ＝x 3－3x 2＋1的单调递减区间为 ▲ ． 8．函数21ln 2y x x =-的单调递减区间为 __________________. 9．关于x 的不等式(21)ln 0ax x -≥对任意(0,)x ∈+∞恒成立，则实数a 的值为_____． 10．若函数32()4f x x x ax =+--在区间()1,1-恰有一个极值点，则实数a 的取值范围为。

专题03 函数与导数-2019年高考数学(理)新课标全国卷Ⅰ考点讲评与真题分析(解析版)

2019年新课标全国卷1理科数学考点讲评与真题分析3．函数与导数一、考试大纲1．函数(1)了解构成函数的要素,会求一些简单函数的定义域和值域；了解映射的概念.(2)在实际情境中,会根据不同的需要选择恰当的方法(如图像法、列表法、解析法)表示函数. (3)了解简单的分段函数,并能简单应用.(4)理解函数的单调性、最大值、最小值及其几何意义；结合具体函数,了解函数奇偶性的含义. (5)会运用函数图像理解和研究函数的性质. 2．指数函数(1)了解指数函数模型的实际背景.(2)理解有理指数幂的含义,了解实数指数幂的意义,掌握幂的运算.(3)理解指数函数的概念,理解指数函数的单调性,掌握指数函数图像通过的特殊点. (4)知道指数函数是一类重要的函数模型. 3．对数函数(1)理解对数的概念及其运算性质,知道用换底公式能将一般对数转化成自然对数或常用对数；了解对数在简化运算中的作用.(2)理解对数函数的概念，理解对数函数的单调性，掌握对数函数图像通过的特殊点. (3)知道对数函数是一类重要的函数模型.(4)了解指数函数错误！未找到引用源。

与对数函数log a y x =互为反函数(0a >，且1a ≠). 4．幂函数(1)了解幂函数的概念.(2)结合函数y x =，2y x =，3y x =，1y x=，y =的图像,了解它们的变化情况.5．函数与方程(1)结合二次函数的图像,了解函数的零点与方程根的联系,判断一元二次方程根的存在性及根的个数. (2)根据具体函数的图像,能够用二分法求相应方程的近似解. 6．函数模型及其应用(1)了解指数函数、对数函数以及幂函数的增长特征,知道直线上升、指数增长、对数增长等不同函数类型增长的含义.(2)了解函数模型(如指数函数、对数函数、幂函数、分段函数等在社会生活中普遍使用的函数模型)的广泛应用.7．导数概念及其几何意义(1)了解导数概念的实际背景. (2)理解导数的几何意义. 8．导数的运算(1)能根据导数定义求函数y C = (C 为常数)，y x =，2y x =，3y x =，1y x=，y =的导数.(2)能利用下面给出的基本初等函数的导数公式和导数的四则运算法则求简单函数的导数,能求简单的复合函数(仅限于形如()f ax b + 的复合函数)的导数.a法则1：[()g()]()g ()f x x f x x '''±=±；法则2：[()g()]()g()()g ()f x x f x x f x x '''⋅=+；法则3：2()()g()()g ()[](g()0)g()[g()]f x f x x f x x x x x ''-'=≠. 9．导数在研究函数中的应用(1)了解函数单调性和导数的关系；能利用导数研究函数的单调性,会求函数的单调区间(其中多项式函数一般不超过三次).(2)了解函数在某点取得极值的必要条件和充分条件；会用导数求函数的极大值、极小值(其中多项式函数一般不超过三次)；会求闭区间上函数的最大值、最小值(其中多项式函数一般不超过三次). 10．生活中的优化问题会利用导数解决某些实际问题. 11．定积分与微积分基本定理(1)了解定积分的实际背景,了解定积分的基本思想,了解定积分的概念. (2)了解微积分基本定理的含义.二、考点讲评与真题分析函数与导数部分在新课标全国卷中占比非常大，小题部分主要考查函数的性质：定义域、最值、单调性、奇偶性、周期性、对称性、平移、导数、切线、定积分、零点等，这是重点内容。

新高考数学(理)之数列专题03 等差数列(等差数列的和与性质)(解析版)

新高考数学（理）数列03 等差数列（等差数列的和与性质）一、具体目标：等差数列（1）理解等差数列的概念.（2）掌握等差数列的通项公式与前n 项和公式.（3）能在具体的问题情境中识别数列的等差关系关系，并能用有关知识解决相应的问题. （4）了解等差数列与一次函数的关系.等差数列的和与二次函数的关系及最值问题. 二、知识概述：一）等差数列的有关概念1.定义：等差数列定义：一般地，如果一个数列从第项起，每一项与它的前一项的差等于同一个常数，那么这个数列就叫等差数列，这个常数叫做等差数列的公差，公差通常用字母表示.用递推公式表示为或.2.等差数列的通项公式：；()d m n a a m n-+=.说明：等差数列（通常可称为数列）的单调性：为递增数列，为常数列，为递减数列.3.等差中项的概念：定义：如果，，成等差数列，那么叫做与的等差中项,其中 . ，，成等差数列. 4.等差数列的前和的求和公式：. 5.要注意概念中的“从第2项起”．如果一个数列不是从第2项起，而是从第3项或第4项起，每一项与2d 1(2)n n a a d n --=≥1(1)n n a a d n +-=≥1(1)n a a n d =+-A P d 0>0d =0d <a A b A a b 2a bA +=a Ab ⇔2a bA +=n 11()(1)22n n n a a n n S na d +-==+【考点讲解】它前一项的差是同一个常数，那么此数列不是等差数列． 6.注意区分等差数列定义中同一个常数与常数的区别．二）方法规律：1．等差数列的四种判断方法(1) 定义法：对于数列{}n a ，若d a a n n =-+1()n N ∈*(常数)，则数列{}n a 是等差数列； (2) 等差中项：对于数列{}n a ，若212+++=n n n a a a ()n N ∈*，则数列{}n a 是等差数列; (3)通项公式：n a pn q =+(,p q 为常数,n N ∈*)⇔是等差数列;(4)前n 项和公式：2n S An Bn =+(,A B 为常数, n N ∈*)⇔是等差数列;(5)是等差数列⇔n S n ⎧⎫⎨⎬⎩⎭是等差数列. 2．活用方程思想和化归思想在解有关等差数列的问题时可以考虑化归为1a 和d 等基本量，通过建立方程(组)获得解．即等差数列的通项公式及前n 项和公式，共涉及五个量1,,,,n n a d n a S ，知其中三个就能求另外两个,即知三求二，多利用方程组的思想，体现了用方程的思想解决问题,注意要弄准它们的值.运用方程的思想解等差数列是常见题型，解决此类问题需要抓住基本量1a 、d ，掌握好设未知数、列出方程、解方程三个环节，常通过“设而不求，整体代入”来简化运算． 3.特殊设法:三个数成等差数列，一般设为,,a d a a d -+；四个数成等差数列，一般设为3,,,3a d a d a d a d --++. 这对已知和,求数列各项,运算很方便.4．若判断一个数列既不是等差数列又不是等比数列，只需用123,,a a a 验证即可． 5.等差数列的前n 项和公式：若已知首项1a 和末项n a ，则1()2n n n a a S +=，或等差数列{a n }的首项是1a ，公差是d ，则其前n 项和公式为1(1)2n n n S na d -=+. 三）等差数列的性质： 1.等差数列的性质：（1）在等差数列中，从第2项起，每一项是它相邻二项的等差中项；1(1)n a a n d =+-11()(1)22n n n a a n n S na d +-==+{}n a（2）在等差数列中，相隔等距离的项组成的数列是等差数列，如：，，，，……；，，，，……；（3）在等差数列中，对任意，，，；（4）在等差数列中，若，，，且，则,特殊地，时，则，是的等差中项.（5）等差数列被均匀分段求和后，得到的数列仍是等差数列，即成等差数列.（6）两个等差数列{}n a 与{}n b 的和差的数列{}n n a b ±仍为等差数列．（7）若数列{}n a 是等差数列,则{}n ka 仍为等差数列．2．设数列是等差数列，且公差为，（Ⅰ）若项数为偶数，设共有项，则①-S S nd =奇偶； ②；（Ⅱ）若项数为奇数，设共有项，则①S S -偶奇(中间项)；②. 3.(),p q a q a p p q ==≠,则0p q a +=,m n m n S S S mnd +=++.4.如果两个等差数列有公共项，那么由它们的公共项顺次组成的新数列也是等差数列，且新等差数列的公差是两个原等差数列公差的最小公倍数．5.若与{}n b 为等差数列，且前n 项和分别为n S 与'n S ，则2121'm m m m a S b S --=. 四）方法规律：1. 等差数列的性质是等差数列的定义、通项公式以及前n 项和公式等基础知识的推广与变形，熟练掌握和灵活应用这些性质可以有效、方便、快捷地解决许多等差数列问题．2.等差数列的性质多与其下标有关，解题需多注意观察，发现其联系，加以应用, 故应用等差数列的性质解答问题的关键是寻找项的序号之间的关系．3.应用等差数列的性质要注意结合其通项公式、前n 项和公式．4.解综合题的成败在于审清题目，弄懂来龙去脉，透过给定信息的表象，抓住问题的本质，揭示问题的内在联系和隐含条件，明确解题方向、形成解题策略. 五）等差数列的和1. 等差数列的前n 项和公式{}n a 1a 3a 5a 7a 3a 8a 13a 18a {}n a m n N +∈()n m a a n m d =+-n ma a d n m-=-()m n ≠{}n a m n p q N +∈m n p q +=+m n p q a a a a +=+{}n a d 2n 1n n S a S a +=奇偶21n -n a a ==中1S nS n =-奇偶{}n a若已知首项1a 和末项n a ，则1()2n n n a a S +=，或等差数列{a n }的首项是1a ，公差是d ，则其前n 项和公式为1(1)2n n n S na d -=+. 2．等差数列的增减性：0d >时为递增数列，且当10a <时前n 项和n S 有最小值．0d <时为递减数列，且当10a >时前n 项和n S 有最大值．六）求等差数列前n 项和的最值，常用的方法：1.利用等差数列的单调性或性质，求出其正负转折项，便可求得和的最值．当10a >，0d <时，n S 有最大值；10a <，0d >时，n S 有最小值；若已知n a ，则n S 最值时n 的值（n N +∈）则当10a >，0d <，满足100n n a a +≥⎧⎨≤⎩的项数n 使得n S 取最大值，(2)当10a <，0d >时，满足100n n a a +≤⎧⎨≥⎩的项数n 使得n S 取最小值.2.利用等差数列的前n 项和：2n S An Bn =+(,A B 为常数, n N ∈*)为二次函数，通过配方或借助图像，二次函数的性质，转化为二次函数的最值的方法求解；有时利用数列的单调性（0d >,递增；0d <，递减）；3. 利用数列中最大项和最小项的求法：求最大项的方法：设为最大项，则有11n n n n a a a a -+≥⎧⎨≥⎩；求最小项的方法：设为最小项，则有11n n nn a a a a -+≤⎧⎨≤⎩.只需将等差数列的前n 项和1,2,3,n =L 依次看成数列{}n S ，利用数列中最大项和最小项的求法即可.4.在解含绝对值的数列最值问题时,注意转化思想的应用.1．【2019年高考全国I 卷理数】记n S 为等差数列{}n a 的前n 项和．已知4505S a ==，，则（） A ．25n a n =-B ． 310n a n =-C ．228n S n n =- D ．2122n S n n =- n a n a 【真题分析】【解析】由题知，41514430245d S a a a d ⎧=+⨯⨯=⎪⎨⎪=+=⎩，解得132a d =-⎧⎨=⎩，∴25n a n =-，24n S n n =-,故选A ．【答案】A2.【2018年高考全国I 卷理数】设n S 为等差数列{}n a 的前n 项和，若3243S S S =+，12a =，则5a =（）A ．12-B ．10-C ．10D ．12【解析】设等差数列的公差为d ，根据题中的条件可得3243332224222d d d ⨯⨯⎛⎫⨯+⋅=⨯++⨯+⋅ ⎪⎝⎭，整理解得3d =-，所以51421210a a d =+=-=-，故选B ．【答案】B3.【2017年高考全国III 卷理数】等差数列{}n a 的首项为1，公差不为0．若a 2，a 3，a 6成等比数列，则{}n a 前6项的和为（） A ．24-B ．3-C ．3D ．8【解析】设等差数列{}n a 的公差为d ，由a 2，a 3，a 6成等比数列可得2326a a a =，即()()()212115d d d +=++，整理可得220d d +=，又公差不为0，则2d =-，故{}n a 前6项的和为()()()6166166166122422S a d ⨯-⨯-=+=⨯+⨯-=-.故选A ．【答案】A4.【2017年高考浙江卷】已知等差数列{a n }的公差为d ，前n 项和为S n ，则“d >0”是“S 4 + S 6>2S 5”的 A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件【解析】由46511210212(510)S S S a d a d d +-=+-+=，可知当0d >时，有46520S S S +->，即4652S S S +>，反之，若4652S S S +>，则0d >，所以“d >0”是“S 4 + S 6>2S 5”的充要条件，选C ．【答案】C5.【2019年高考全国III 卷文数】记n S 为等差数列{}n a 的前n 项和，若375,13a a ==，则10S =___________. 【解析】设等差数列{}n a 的公差为d ，根据题意可得317125,613a a d a a d =+=⎧⎨=+=⎩得11,2a d =⎧⎨=⎩101109109101012100.22S a d ⨯⨯∴=+=⨯+⨯= 【答案】1006.【2019年高考全国III 卷理数】记S n 为等差数列{a n }的前n 项和，12103a a a =≠，，则105S S =___________．【解析】设等差数列{a n }的公差为d ,因213a a =，所以113a d a +=，即12a d =，所以105S S =11111091010024542552a d a a a d ⨯+==⨯+．【答案】47.【2019年高考北京卷理数】设等差数列{a n }的前n 项和为S n ，若a 2=−3，S 5=−10，则a 5=__________，S n的最小值为___________．【解析】法一：等差数列{}n a 中,53510S a ==-,得32,a =-又23a =-,所以公差321d a a =-=,5320a a d =+=,由等差数列{}n a 的性质得5n ≤时,0n a ≤,6n ≥时,n a 大于0,所以n S 的最小值为4S 或5S ,即为10-.法二：等差数列{}n a 中,53510S a ==-,得32,a =-又23a =-,所以公差321d a a =-=,5320a a d =+=,可得()()22224n a a n d n n =+-=-+-=-，()()()12818222n n a a n n n S n n +-===-，所以结合题意可知，n S 的最小值为4S 或5S ,即为10-. 【答案】 0，10-.8.【2019年高考江苏卷】已知数列*{}()n a n ∈N 是等差数列，n S 是其前n 项和.若25890,27a a a S +==，则8S 的值是___________．【解析】由题意可得：()()()25811191470989272a a a a d a d a d S a d ⎧+=++++=⎪⎨⨯=+=⎪⎩，解得：152a d =-⎧⎨=⎩，则8187840282162S a d ⨯=+=-+⨯=. 【答案】169.【2017课标II ，理15】等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，33a =，410S =，则11nk kS ==∑ 。

新版精编2019高考数学《导数及其应用》专题测试版题(含参考答案)

2019年高中数学单元测试卷导数及其应用学校：__________ 姓名：__________ 班级：__________ 考号：__________一、选择题1．已知函数)(()(x f x f x y ''=其中的图象如右图所示))(的导函数是函数x f ，下面四个图象中)(x f y =的图象大致是（）(2005江西理)2．已知函数2f (x )x cos x =-，则06005f (.),f (),f (.)-的大小关系是( ) （A ）00605f ()f (.)f (.)<<- (B) 00506f ()f (.)f (.)<-< (C) 06050f (.)f (.)f ()<-< (D) 05006f (.)f ()f (.)-<<二、填空题3．已知A 是曲线C 1：y ＝ax －2 (a ＞0)与曲线C 2：x 2＋y 2＝5的一个公共点．若C 1在A 处的切线与C 2在A 处的切线互相垂直，则实数a 的值是 ▲ ．4．定义在R 上的函数y ＝f (x )的图像经过坐标原点O ，且它的导函数y ＝f '(x ) 的图像是如图所示的一条直线，则y ＝f (x )的图像一定不经过第 ▲ 象限．5．设定义在R 上的函数x x x f sin 5)(+=, 则不等式f (x −1)＋f (1−x 2)＜0的解集为 _ ▲____（第14题6．若存在实常数k 和b ，使函数()f x 和()g x 对其定义域上的任意实数x 恒有：()f x kx b ≥+和()g x kx b ≤+，则称直线:l y kx b =+为()f x 和()g x 的“隔离直线”.已知2(),()2ln h x x x e x ϕ==，则可推知(),()h x x ϕ的“隔离直线”方程为 ▲ . 7．已知a ，b 为正实数，函数xbx ax x f 2)(3++=在[]1,0上的最大值为4，则)(x f 在[]0,1-上的最小值为 .8．曲线9y x=在点(3,3)M 处的切线方程为． 9．曲线y=2lnx 在点(e,2)处的切线与y 轴交点的坐标为_________.10．已知函数3221()(21)13f x x x a x a a =++-+-+，若()0f x '=在（1，3]上有解，则实数a 的取值范围为 ▲ ．11．直线b x y +=21是曲线)0(ln >=x x y 的一条切线，则实数b= ▲12．函数]32,32[sin 2ππ--=在区间x x y 上的最大值为 ▲ . 关键字：求导；求最值13．函数sin xy e x =⋅在[0,]π上的单调递增区间是．14．已知函数y = f (x )，x ∈[0，2π]的导函数y = f ' (x )的图象，如图所示，则y = f (x ) 的单调增区间为 ▲ ．15．曲线x x y ln 2-=在点)2,1(处的切线方程为 .16．已知函数qx px x x f --=23)(的图象与x 轴切于点)0,1(，则)(x f 的极大值和极小值分别为和。

三年高考高考数学真题分项汇编专题导数及其应用解答题文含解析.doc

专题04导数及其应用(解答题)1.[2019年高考全国I卷文数】已知函数/' (x) =2sinx-xcosx~x, f r (x)为f (x)的导数.(1)证明：f' (x)在区间(0, Jt )存在唯一零点；(2)若xG [0, “]时，f (x) 2ax,求a的取值范围.【答案】(1)见解析；(2).【解析】(1)设，贝9.当时，；当时，，所以在单调递增，在单调递减.又，故在存在唯一零点.所以在存在唯一零点.(2)由题设知，可得aWO.由(1)知，在只有一个零点，设为，且当时，；当时，，所以在单调递增，在单调递减.又，所以，当时，.又当时，axWO,故.因此，a的取值范围是.【名师点睛】本题考查利用导数讨论函数零点个数、根据恒成立的不等式求解参数范围的问题•对于此类端点值恰为恒成立不等式取等的值的问题，通常采用构造函数的方式，将问题转变成函数最值与零之间的比较，进而通过导函数的正负来确定所构造函数的单调性，从而得到最值.2.【2019年高考全国II卷文数】已知函数.证明：(1)存在唯一的极值点；(2)有且仅有两个实根，且两个实根互为倒数.【答案】(1)见解析；(2)见解析.【解析】(1)的定义域为(0, +).因为单调递增，单调递减，所以单调递增，又，,故存在唯一，使得.又当时，，单调递减；当时，，单调递增.因此，存在唯一的极值点.(2)由(1)知，又，所以在内存在唯一根.由得.又，故是在的唯一根.综上，有且仅有两个实根，且两个实根互为倒数.【名师点睛】本题主要考查导数的应用，通常需要对函数求导，用导数的方法研究函数的单调性、极值，以及函数零点的问题，属于常考题型.3.[2019年高考天津文数】设函数，其中.(I )若aWO,讨论的单调性；(II)若，(i)证明恰有两个零点；(ii)设为的极值点，为的零点，且，证明.【答案】(I)在内单调递增.；(II) (i)见解析；(ii)见解析.【解析】(I)解：由已知，的定义域为，且因此当aWO时，，从而，所以在内单调递增.(II)证明：(i)由(I )知.令，由，可知在内单调递减，又，且故在内有唯一解，从而在内有唯一解，不妨设为，贝山当时，，所以在内单调递增；当时，，所以在内单调递减，因此是的唯一极值点.令，则当时，，故在内单调递减，从而当时，，所以.从而又因为，所以在内有唯一零点.又在内有唯一零点1,从而，在内恰有两个零点.(ii)由题意，即从而，即.因为当时，，又，故，两边取对数，得，于是整理得.【名师点睛】本小题主要考查导数的运算、不等式证明、运用导数研究函数的性质等基础知识和方法. 考查函数思想、化归与转化思想.考查综合分析问题和解决问题的能力.4.[2019年高考全国III卷文数】己知函数.(1)讨论的单调性；(2)当0〈a〈3时，记在区间[0, 1]的最大值为必最小值为皿，求的取值范围.【答案】(1)见详解；(2).【解析】(1).令，得尸0或.若Q0,则当时，；当时，.故在单调递增，在单调递减；若沪0,在单调递增；若以0,则当时，；当时，.故在单调递增，在单调递减.(2)当时，由(1)知，在单调递减，在单调递增，所以在［0,1］的最小值为，最大值为或.于是所以当时，可知单调递减，所以的取值范围是.当时，单调递增，所以的取值范围是.综上，的取值范围是.【名师点睛】这是一道常规的导数题目，难度比往年降低了不少•考查函数的单调性，最大值、最小值的计算.5.［2019年高考北京文数】已知函数.(I )求曲线的斜率为1的切线方程；(II)当时，求证：；(III)设，记在区间上的最大值为％ (a),当M (a)最小时，求a的值.【答案】(I )与；(II)见解析；(III).【解析】(I )由得.令，即，得或.又,，所以曲线的斜率为1的切线方程是与，即与.(II)令.由得.令得或.的情况如下：所以的最小值为，最大值为.故，即.(III)由(II)知，当时，；当时，；当时，.综上，当最小时，.【名师点睛】本题主要考查利用导函数研究函数的切线方程，利用导函数证明不等式的方法，分类讨论的数学思想等知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力.6.[2019年高考浙江】己知实数，设函数(1)当时，求函数的单调区间；(2)对任意均有求的取值范围.注：e=2. 71828…为自然对数的底数.【答案】(1)的单调递增区间是，单调递减区间是；(2).【解析】(1)当时，.所以，函数的单调递减区间为(0, 3),单调递增区间为(3, +).(2)由，得.当时，等价于.令，则.设，贝y.(i)当时，，贝IJ记，则所以，.因此，.(ii)当时，.令，则，故在上单调递增，所以.由(i)得,.所以，.因此.由(i) (ii)知对任意，，即对任意，均有.综上所述，所求a的取值范围是.【名师点睛】导数是研究函数的单调性、极值(最值)最有效的工具，而函数是高中数学中重要的知识点，对导数的应用的考查主要从以下几个角度进行：(1)考查导数的几何意义，往往与解析几何、微积分相联系.(2)利用导数求函数的单调区间，判断单调性；已知单调性，求参数.(3)利用导数求函数的最值(极值)，解决生活中的优化问题.(4)考查数形结合思想的应用.7.[2019年高考江苏】设函数、为f 3的导函数.(1)若EFb=c, f (4) =8,求a 的值；(2)若a^b, I FC,且f 3和的零点均在集合中，求f(x)的极小值；(3)若，且/• (x)的极大值为必求证:辰.【答案】(1);(2)见解析；(3)见解析.【解析】(1)因为，所以.因为，所以，解得.(2)因为，从而.令，得或.因为都在集合中，且,所以.此时，.令，得或.列表如下:所以的极小值为.(3)因为，所以，因为，所以，则有2个不同的零点，设为. 由，得.列表如下：所以的极大值.解法一：.因此.解法二：因为，所以.令，则.令，得.列表如下:所以当时，取得极大值，且是最大值，故.所以当时，，因此.【名师点睛】本题主要考查利用导数研究函数的性质，考查综合运用数学思想方法分析与解决问题以及逻辑推理能力.8.[2018年高考全国III卷文数】已知函数.(1)求曲线在点处的切线方程；(2)证明：当时，.【答案】(1); (2)见解析.【解析】(1),.因此曲线在点处的切线方程是.(2)当时，.令，则.当时,，单调递减；当时,，单调递增；所以.因此.【名师点睛】本题考查函数与导数的综合应用，第一问由导数的几何意义可求出切线方程，第二问当时，，令，求出的最小值即可证明.9.[2018年高考全国I卷文数】已知函数.(1)设是的极值点，求，并求的单调区间；(2)证明：当时，.【答案】(1)在(0, 2)单调递减，在(2, +8)单调递增；(2)见解析.【解析】(1)f (x)的定义域为，f ' (x) =ae* _ .由题设知，f ' (2) =0,所以a=.从而f (x) =, f ' (x)=.当0〈x〈2 时，f ' (x) <0；当x>2 时，f ' (x) >0.所以f 3在(0, 2)单调递减，在(2, +8)单调递增.(2)当a三时，/' (x) 5*.设g (x)=,贝l|当0〈x〈l时，g f (x) <0；当x>l时，g，(x) >0.所以是g(x)的最小值点.故当x>0 时，g (x) 2g (1) =0.因此，当时，.【名师点睛】该题考查的是有关导数的应用问题，涉及的知识点有导数与极值、导数与最值、导数与函数的单调性的关系以及证明不等式问题，在解题的过程中，首先要确定函数的定义域，之后根据导数与极值的关系求得参数值，之后利用极值的特点，确定出函数的单调区间，第二问在求解的时候构造新函数，应用不等式的传递性证得结果.10.[2018年高考全国II卷文数】已知函数.(1)若，求的单调区间；(2)证明：只有一个零点.【答案】(1)在(-8, ) , (, +8)单调递增，在(，)单调递减；(2)见解析.【解析】(1)当a=3 时，f(X)=, f (x)=.令f' (x) =0解得尸或_¥=.当xW (-8, ) u (, +8)时，f' (x) >0；当xW (,)时，f' (x)〈0.故f(X)在(-8, ) , (, +OO)单调递增，在(，)单调递减.(2)由于，所以等价于.设=,则g ' (x)=》0,仅当尸0时g ' (x) =0,所以g(Q在(-8, +OO)单调递增.故g(X)至多有一个零点，从而f(X)至多有一个零点.又 /' (3a - 1)=,f (3a+l)=,故f 5有一个零点.综上，f 3只有一个零点.【名师点睛】(1)用导数求函数单调区间的步骤如下：①确定函数()的定义域；②求导数'();③由’（）＞0（或气）＜0）解出相应的的取值范围，当'（）＞耐，（）在相应区间上是增函数；当’（）＜勿寸，（）在相应区间上是减增函数.（2）本题第二问重在考查零点存在性问题，解题的关键在于将问题转化为求证函数（）有唯一零点，可先证明其单调，再结合零点存在性定理进行论证.11.【2018年高考北京文数】设函数.（I ）若曲线在点处的切线斜率为0,求a；（II ）若在处取得极小值，求a的取值范围.【答案】（I ）; （II）•【解析】（I ）因为，所以.由题设知，即，解得.（II）方法一：由（I）得.若a＞l,则当时，；当时，.所以在尸1处取得极小值.若，则当时，，所以.所以1不是的极小值点.综上可知，a的取值范围是.方法二：.（1）当沪0时，令得尸1.随x的变化情况如下表：.•.在尸1处取得极大值，不合题意.（2）当a＞0时，令得.%1当，即a=l时,,.•.在上单调递增，.•.无极值，不合题意.%1当，即0<3<1时，随X的变化情况如下表:•••在尸1处取得极大值，不合题意.%1当，即a〉l时，随x的变化情况如下表:在A=1处取得极小值，即3>1满足题意.(3)当a〈0时，令得.随x的变化情况如下表：在尸1处取得极大值，不合题意.综上所述，a的取值范围为.【名师点睛】导数类问题是高考数学中的必考题，也是压轴题，主要考查的形式有以下四个：①考查导数的几何意义，涉及求曲线切线方程的问题；②利用导数证明函数的单调性或求单调区间问题；③ 利用导数求函数的极值、最值问题；④关于不等式的恒成立问题.解题时需要注意以下两个方面：①在求切线方程问题时，注意区别在某一点和过某一点解题步骤的不同；②在研究单调性及极值、最值问题时常会涉及分类讨论的思想，要做到不重不漏；③不等式的恒成立问题属于高考中的难点，要注意问题转换的等价性.12.【2018年高考天津文数】设函数，其中，且是公差为的等差数列.(I)若求曲线在点处的切线方程；(II)若，求的极值；(III)若曲线与直线有三个互异的公共点，求d的取值范围.【答案】(I) x+尸0； (II)函数f(x)的极大值为6；函数f(x)的极小值为-6； (III) d的取值范围为.【解析】(I )解：由已知，可得f(x)=x(旷1) (x+l)=xj¥,故=3/-1,因此f(0)=0, =-1,又因为曲线尸f3在点(0, /■(()))处的切线方程为厂/<0)= (T),故所求切线方程为x+y=0.(II )解：由已知可得f(x)=(尸仍+3) (x~t2)3—9 lx~t為=X3-3hx + ^i尸&3+9 ti.故=3/-6 fo^-3122~9.令=0,解得x^tir,或A=fa+.当x变化时，，f(x)的变化如下表：所以函数的极大值为/(fo-) = (-) J-9X (-)=6；函数f(x)的极小值为Afe+) = ()3-9X ()=-6.(Ill)解：曲线y=f{x)与直线y=-(A^fe)-6有三个互异的公共点等价于关于x的方程^x~t2+d) (j*-t2) {x~t2 -4 +(旷紡+ 6=0有三个互异的实数解，令iFFti,可得u3+(l-d)屮6=0.设函数g(x)=f+(l-d)x+6,则曲线y=f{x)与直线尸-(旷&)-6有三个互异的公共点等价于函数y=g(x) 有三个零点.=3/+(W).当</Wl时，M0,这时在R上单调递增，不合题意.当/〉1时，=0,解得必=,应=.易得，£(X)在(-8, Xi)上单调递增，在［xi,应］上单调递减，在(&, +8)上单调递增.g(x)的极大值g(xJ=g()=>0.g(x)的极小值gg) =&()=-.若g(Q$0,由g(x)的单调性可知函数尸g(x)至多有两个零点，不合题意.若即，也就是，此时，且，从而由的单调性，可知函数在区间内各有一个零点，符合题意.所以，的取值范围是.【名师点睛】本小题主要考查导数的运算、导数的几何意义、运用导数研究函数的性质等基础知识和方法，考查函数思想和分类讨论思想，考查综合分析问题和解决问题的能力.13.[2018年高考浙江】已知函数f(x)= -lnx.(I)若/'(x)在尸卫，X2(XI H X2)处导数相等，证明：f(xj+f(x2)〉8-81n2；(II )若aW3-41n2,证明：对于任意Q0,直线y=kx+a与曲线y=f{x)有唯一公共点.【答案】(I)见解析；(II)见解析.【解析】(I )函数f (力的导函数，由得，因为，所以.由基本不等式得.因为，所以.由题意得.设，则，所以所以g(x)在E256, +8)上单调递增，故，即.(II )令沪，/?=,贝Uf(77?) - km~ a>\a\+k~ k~ a^O,f (n) - kn~ a〈W〈0,所以，存在及丘 5, n~)使/"(X。

2019年高考数学(理)真题汇编：专题03 导数及其应用

专题03 导数及其应用1、【2019高考全国Ⅲ理数】已知曲线e ln xy a x x =+在点(1,e)a 处的切线方程为2y x b =+，则( )A ．e,1a b ==-B ．e,1a b ==C ．1e 1,a b -==D ．1,e 1b a -==-2、【2019高考全国Ⅲ理数】设函数()sin()(0)5f x x ωωπ=+>，已知()f x 在[]0,2π有且仅有5个零点，下述四个结论： ①()f x 在(0,2)π有且仅有3个极大值点 ②()f x 在(0,2)π有且仅有2个极小值点 ③()f x 在(0,)10π单调递增 ④ω的取值范围是1229,510⎡⎫⎪⎢⎣⎭其中所有正确结论的编号是( ) A ．①④B ．②③C ．①②③D ．①③④3、【2019高考天津卷理数】已知R a ∈，设函数222,1()ln ,1x ax a x f x x a x x ⎧-+≤=⎨->⎩若关于x 的不等式()0f x ≥在R 上恒成立，则a 的取值范围为( ) A.[]0,1B.[]0,2C.[]0,eD.[]1,e4、【2019高考全国Ⅰ理数】曲线23()e xy x x =+在点(0,0)处的切线方程为_______. 5、【2019高考浙江卷】已知R a ∈，函数3()f x ax x =-，若存在R t ∈，使得2|(2)()|3f t f t +-≤，则实数a 的最大值是____. 6、【2019高考江苏卷】在平面直角坐标系xOy 中，P 是曲线4(0)y x x x=+>上的一个动点，则点P 到直线0x y +=的距离的最小值是__________7、【2019高考江苏卷】在平面直角坐标系xOy 中，点A 在曲线ln y x =上，且该曲线在点A 处的切线经过点(e,1)--(e 为自然对数的底数），则点A 的坐标是_________8、【2019高考北京卷理数】设函数f （x ）=e x+a e −x（a 为常数）．若f （x ）为奇函数，则a =________；若f （x ）是R 上的增函数，则a 的取值范围是___________．9、【2019高考全国Ⅰ理数】已知函数()sin ln(1)f x x x =-+，()f x '为()f x 的导数．证明：1.()f x '在区间(1,)2π-存在唯一极大值点； 2.()f x 有且仅有2个零点．10、【2019高考全国Ⅱ理数】已知函数()11ln x f x x x -=-+.1.讨论()f x 的单调性，并证明()f x 有且仅有两个零点；2.设0x 是()f x 的一个零点，证明曲线ln y x =在点00l (,)n A x x 处的切线也是曲线exy =的切线.11、【2019高考全国Ⅲ理数】已知函数32()2f x x ax b =-+. 1.讨论()f x 的单调性；2.是否存在,a b ，使得()f x 在区间[0,1]的最小值为1-且最大值为1？若存在，求出,a b 的所有值；若不存在，说明理由.12、【2019高考天津卷理数】设函数()e cos ,()xf x xg x =为()f x 的导函数.1.求()f x 的单调区间；2.当,42x ⎡⎤∈⎢⎥⎣π⎦π时，证明()()02f x g x x ⎛⎫π+-≥ ⎪⎝⎭；3.设n x 为函数()()1u x f x =-在区间2,242m m ⎛⎫+π+π ⎝π⎪⎭内的零点，其中N n ∈，证明20022sin cos n n n x x e x -ππ+-π<-.13、【2019高考浙江卷】已知实数0a ≠，设函数()=ln 0.f x a x x +>1.当34a =-时，求函数()f x 的单调区间；2.对任意21[,)e x ∈+∞均有()f x ≤ 求a 的取值范围. 注：e 2.71828=⋯为自然对数的底数.14、【2019高考江苏卷】设函数()()()(),,,R f x x a x b x c a b c =---∈、()f 'x 为()f x 的导函数．1.若a b c ==，(4)8f =，求a 的值；2.若,a b b c ≠=，且()f x 和'()f x 的零点均在集合{3,1,3}-中，求()f x 的极小值；3.若0,01,1a b c =<≤=，且()f x 的极大值为M ，求证:427M ≤． 15、【2019高考北京卷理数】已知函数321()4f x x x x =-+. （Ⅰ）求曲线()y f x =的斜率为1的切线方程；（Ⅱ）当[2,4]x ∈-时，求证：6()x f x x -≤≤；（Ⅲ）设()|()()|()F x f x x a a =-+∈R ，记()F x 在区间[2,4]-上的最大值为M （a ），当M （a ）最小时，求a 的值．答案以及解析1答案及解析：答案：D解析：详解：'ln 1,xy ae x =++1'|12x k y ae ===+= 1a e -∴=将(1,1)代入2y x b =+得21,1b b +==-，故选D ．2答案及解析：答案：D解析：()sin (0)5f x wx w π⎛⎫=+> ⎪⎝⎭，在[0,2]π有且仅有5个零点．02x ∴≤≤π，12555wx w ππ≤+≤π+，1229510w ≤<，④正确．如图213,,x x x 为极大值点为3个，①正确；极小值点为2个或3个．∴②不正确．当010x π<<时，5105w wx f πππ<+<+π，当2910w =时，2920491051001001002w +=+=<ππππππ． ∴③正确，故选D ．3答案及解析：答案：C解析：首先(0)0f ≥，即0a ≥，当01a ≤≤时，2222()22()22(2)0f x x ax a x a a a a a a a =-+=-+-≥-=->，当1a <时，(1)10f =>，故当0a ≥时，2220x ax a -+≥在(,1]-∞上恒成立；若ln 0x a x -≥在(1,)+∞上恒成立，即ln xa x≤在(1,)+∞上恒成立，令()ln xg x x =，则2ln 1'()(ln )x g x x -=，易知x e =为函数()g x 在(1,)+∞唯一的极小值点、也是最小值点，故max()()g x g e e ==，所以a e ≤。

2019版高考数学理科课标A版一轮复习习题：第三章导数

第三章导数及其应用命题探究解答过程 (解法一) (1)f(x)的定义域为(-∞,+∞),f '(x)=2ae 2x+(a-2)e x-1=(ae x-1)(2e x+1).其中2e x+1>0恒成立.(i)若a≤0,则f '(x)<0,所以f(x)在(-∞,+∞)上单调递减.(ii)若a>0,则由f '(x)=0得x=-ln a.当x∈(-∞,-ln a)时, f '(x)<0;当x∈(-ln a,+∞)时, f '(x)>0.所以f(x)在(-∞,-ln a)上单调递减,在(-ln a,+∞)上单调递增.(2)(i)若a≤0,由(1)知, f(x)至多有一个零点. (ii)若a>0,由(1)知,当x=-ln a 时, f(x)取得最小值,最小值为f(-ln a)=1-+ln a.①当a=1时,由于f(-ln a)=0,故f(x)只有一个零点; ②当a∈(1,+∞)时,由于1-+ln a>0,即f(-ln a)>0,故f(x)没有零点;③当a∈(0,1)时,1-+ln a<0,即f(-ln a)<0.又f(-2)=ae -4+(a-2)e -2+2>-2e -2+2>0,故f(x)在(-∞,-ln a)有一个零点. 设正整数n 0满足n 0>ln,则f(n 0)=(a+a-2)-n 0>-n 0>-n 0>0.由于ln>-ln a,因此f(x)在(-ln a,+∞)有一个零点. 综上,a 的取值范围为(0,1). (解法二) (1)同解法一(1).(2)若a≤0,则f(x)在R 上单调递减,至多只有一个零点,不符,舍去; 若a>0,当x→+∞时,f(x)→+∞;当x→-∞时,f(x)→+∞,要使f(x)有两个零点,只要f min (x)=f(-ln a)<0即可,即a·+(a -2)·-ln <0,即1--ln <0,令t=>0,则g(t)=1-t-ln t,且g(t)在(0,+∞)上单调递减,又g(1)=0,∴当t=>1,即0<a<1时,g(t)<0,即f(-ln a)<0.即f(x)有两个零点时,a的取值范围为(0,1)§3.1导数的概念及其运算考纲解读分析解读 1.理解导数概念,会求过曲线上某点的切线的斜率与切线方程,能将平行或垂直直线间的关系转化为导数关系.2.熟记常见基本初等函数的导数公式并结合导数的运算法则求简单函数的导数,会求简单复合函数的导数.3.利用导数的几何意义求曲线的切线斜率是高考热点,分值为5分左右,属于中低档题.五年高考考点一导数的概念及其几何意义1.(2016山东,10,5分)若函数y=f(x)的图象上存在两点,使得函数的图象在这两点处的切线互相垂直,则称y=f(x)具有T性质.下列函数中具有T性质的是( )A.y=sin xB.y=ln xC.y=e xD.y=x3答案 A2.(2014课标Ⅱ,8,5分)设曲线y=ax-ln(x+1)在点(0,0)处的切线方程为y=2x,则a=( )A.0B.1C.2D.3答案 D3.(2014大纲全国,7,5分)曲线y=xe x-1在点(1,1)处切线的斜率等于( )A.2eB.eC.2D.1答案 C4.(2016课标全国Ⅱ,16,5分)若直线y=kx+b是曲线y=ln x+2的切线,也是曲线y=ln(x+1)的切线,则b= .答案1-ln 25.(2015陕西,15,5分)设曲线y=e x在点(0,1)处的切线与曲线y=(x>0)上点P处的切线垂直,则P 的坐标为.答案(1,1)教师用书专用(6—8)6.(2014江西,13,5分)若曲线y=e-x上点P处的切线平行于直线2x+y+1=0,则点P的坐标是.答案(-ln 2,2)7.(2013福建,17,13分)已知函数f(x)=x-aln x(a∈R).(1)当a=2时,求曲线y=f(x)在点A(1, f(1))处的切线方程;(2)求函数f(x)的极值.解析函数f(x)的定义域为(0,+∞), f '(x)=1-.(1)当a=2时, f(x)=x-2ln x, f '(x)=1-(x>0),因而f(1)=1, f '(1)=-1,所以曲线y=f(x)在点A(1, f(1))处的切线方程为y-1=-(x-1),即x+y-2=0.(2)由f '(x)=1-=,x>0知:①当a≤0时, f '(x)>0,函数f(x)为(0,+∞)上的增函数,函数f(x)无极值;②当a>0时,由f '(x)=0,解得x=a.又当x∈(0,a)时, f '(x)<0,则f(x)在(0,a)上单调递减;当x∈(a,+∞)时, f '(x)>0,则f(x)在(a,+∞)上单调递增,从而函数f(x)在x=a处取得极小值,且极小值为f(a)=a-aln a,无极大值.综上,当a≤0时,函数f(x)无极值;当a>0时,函数f(x)在x=a处取得极小值a-aln a,无极大值.8.(2013北京,18,13分)设L为曲线C:y=在点(1,0)处的切线.(1)求L的方程;(2)证明:除切点(1,0)之外,曲线C在直线L的下方.解析(1)设f(x)=,则f '(x)=.所以f '(1)=1.所以L的方程为y=x-1.(2)证明:令g(x)=x-1-f(x),则除切点之外,曲线C在直线L的下方等价于g(x)>0(∀x>0,x≠1).g(x)满足g(1)=0,且g'(x)=1-f '(x)=.当0<x<1时,x2-1<0,ln x<0,所以g'(x)<0,故g(x)单调递减;当x>1时,x2-1>0,ln x>0,所以g'(x)>0,故g(x)单调递增.所以,g(x)>g(1)=0(∀x>0,x≠1).所以除切点之外,曲线C在直线L的下方.考点二导数的运算1.(2013江西,13,5分)设函数f(x)在(0,+∞)内可导,且f(e x)=x+e x,则f '(1)= .答案 22.(2017北京,19,13分)已知函数f(x)=e x cos x-x.(1)求曲线y=f(x)在点(0, f(0))处的切线方程;(2)求函数f(x)在区间上的最大值和最小值.解析(1)因为f(x)=e x cos x-x,所以f '(x)=e x(cos x-sin x)-1, f '(0)=0.又因为f(0)=1,所以曲线y=f(x)在点(0, f(0))处的切线方程为y=1.(2)设h(x)=e x(cos x-sin x)-1,则h'(x)=e x(cos x-sin x-sin x-cos x)=-2e x sin x.当x∈时,h'(x)<0,所以h(x)在区间上单调递减.所以对任意x∈有h(x)<h(0)=0,即f '(x)<0.所以函数f(x)在区间上单调递减.因此f(x)在区间上的最大值为f(0)=1,最小值为f =-.教师用书专用(3—4)3.(2016北京,18,13分)设函数f(x)=xe a-x+bx,曲线y=f(x)在点(2, f(2))处的切线方程为y=(e-1)x+4.(1)求a,b的值;(2)求f(x)的单调区间.解析(1)因为f(x)=xe a-x+bx,所以f '(x)=(1-x)e a-x+b.依题设,知即解得a=2,b=e.(2)由(1)知f(x)=xe2-x+ex.由f '(x)=e2-x(1-x+e x-1)及e2-x>0知, f '(x)与1-x+e x-1同号.令g(x)=1-x+e x-1,则g'(x)=-1+e x-1.所以,当x∈(-∞,1)时,g'(x)<0,g(x)在区间(-∞,1)上单调递减;当x∈(1,+∞)时,g'(x)>0,g(x)在区间(1,+∞)上单调递增.故g(1)=1是g(x)在区间(-∞,+∞)上的最小值,从而g(x)>0,x∈(-∞,+∞).综上可知, f '(x)>0,x∈(-∞,+∞).故f(x)的单调递增区间为(-∞,+∞).4.(2015北京,18,13分)已知函数f(x)=ln.(1)求曲线y=f(x)在点(0, f(0))处的切线方程;(2)求证:当x∈(0,1)时, f(x)>2;(3)设实数k使得f(x)>k对x∈(0,1)恒成立,求k的最大值.解析(1)因为f(x)=ln(1+x)-ln(1-x),所以f '(x)=+, f '(0)=2.又因为f(0)=0,所以曲线y=f(x)在点(0,f(0))处的切线方程为y=2x.(2)证明:令g(x)=f(x)-2,则g'(x)=f '(x)-2(1+x2)=.因为g'(x)>0(0<x<1),所以g(x)在区间(0,1)上单调递增.所以g(x)>g(0)=0,x∈(0,1),即当x∈(0,1)时, f(x)>2.(3)由(2)知,当k≤2时, f(x)>k对x∈(0,1)恒成立.当k>2时,令h(x)=f(x)-k,则h'(x)=f '(x)-k(1+x2)=.所以当0<x<时,h'(x)<0,因此h(x)在区间上单调递减.当0<x<时,h(x)<h(0)=0,即f(x)<k.所以当k>2时, f(x)>k并非对x∈(0,1)恒成立.综上可知,k的最大值为2.三年模拟A组2016—2018年模拟·基础题组考点一导数的概念及其几何意义1.(2018福建闽侯第六中学月考,8)设a为实数,函数f(x)=x3+ax2+(a-3)x的导数为f '(x),且f '(x)是偶函数,则曲线y=f(x)在点(2,f(2))处的切线方程为( )A.6x+y-12=0B.9x+y-16=0C.6x-y-12=0D.9x-y-16=0答案 D2.(2017湖北百所重点高中联考,4)已知函数f(x+1)=,则曲线y=f(x)在点(1,f(1))处的切线的斜率为( )A.1B.-1C.2D.-2答案 A3.(2017广东惠州第二次调研,14)已知直线y=x+1与曲线y=ln(x+a)相切,则a的值为. 答案 24.(人教A选2—2,一,1-2A,7,变式)已知函数f(x)=ax+1-e x(a∈R,e为自然对数的底数),若函数f(x)的图象在点(1,f(1))处的切线平行于x轴,则a= .答案 e考点二导数的运算5.(2018甘肃武威第六中学第二阶段过关考试,4)已知函数f(x)的导函数为 f '(x),且满足f(x)=2xf '(1)+ln x,则f '(1)=( )A.-eB.-1C.1D.e答案 B6.(2017山西名校联考,3)若函数f(x)的导函数的图象关于y轴对称,则f(x)的解析式可能为( )A.f(x)=3cos xB.f(x)=x3+x2C.f(x)=1+sin 2xD.f(x)=e x+x答案 C7.(2016安徽安庆二模,7)给出定义:设f '(x)是函数y=f(x)的导函数, f ″(x)是函数y=f '(x)的导函数,若方程f ″(x)=0有实数解x0,则称点(x0, f(x0))为函数y=f(x)的“拐点”.已知函数f(x)=3x+4sin x-cos x的拐点是M(x0, f(x0)),则点M( )A.在直线y=-3x上B.在直线y=3x上C.在直线y=-4x上D.在直线y=4x上答案 BB组2016—2018年模拟·提升题组(满分:35分时间:25分钟)一、选择题(每小题5分,共20分)1.(2018广东阳春第一中学月考,9)丹麦数学家琴生(Jensen)是19世纪对数学分析做出卓越贡献的巨人,特别是在函数的凹凸性与不等式方向留下了很多宝贵的成果,设函数f(x)在(a,b)上的导函数为f '(x),f '(x)在(a,b)上的导函数为f ″(x),若在(a,b)上,f ″(x)<0恒成立,则称函数f(x)在(a,b)上为“凸函数”,已知f(x)=-x3+x2在(1,4)上为“凸函数”,则实数t的取值范围是( )A.[3,+∞)B.(3,+∞)C. D.答案 C2.(2017广东惠州模拟,12)设曲线f(x)=-e x-x(e为自然对数的底数)上任意一点处的切线为l1,总存在曲线g(x)=3ax+2cos x上某点处的切线l2,使得l1⊥l2,则实数a的取值范围为( )A.[-1,2]B.(3,+∞)C. D.答案 D3.(2017江西新余第二次模拟,9)将函数g(x)=2cos x-·cos图象上各点的横坐标伸长为原来的2倍(纵坐标不变)后得到函数h(x)的图象,设f(x)=x2+h(x),则f '(x)的图象大致为()答案 A4.(2017河南洛阳期中,12)设点P,Q分别是曲线y=xe-x(e是自然对数的底数)和直线y=x+3上的动点,则P,Q两点间距离的最小值为( )A. B.C. D.答案 C二、填空题(每小题5分,共15分)5.(2018重庆梁平二调,15)曲线y=a(a>0)与曲线y=ln有公共点,且在公共点处的切线相同,则a 的值为.答案6.(2018河南联考,16)已知过点(0,-1)且与曲线y=f(x)=-x3+x2-6x(x>0)相切的直线有且仅有两条,则实数a的取值范围是.答案(2,+∞)7.(2017天津红桥期中,16)若在曲线f(x)=ax5+ln x上存在垂直于y轴的切线,则实数a的取值范围是.答案(-∞,0)C组2016—2018年模拟·方法题组方法利用导数的几何意义求曲线的切线方程1.(2018江苏丹阳高级中学期中,10)已知函数f(x)=x3.设曲线y=f(x)在点P(x1,f(x1))处的切线与该曲线交于另一点Q(x2,f(x2)),记f '(x)为函数f(x)的导数,则的值为.答案2.(2017河南百校联盟模拟,16)已知函数f(x)=-f '(0)e x+2x,点P为曲线y=f(x)在点(0, f(0))处的切线l上的一点,点Q在曲线y=e x上,则|PQ|的最小值为.答案3.(2016江西百所重点高中阶段性诊断,14)若曲线f(x)=在点(1,1)处的切线经过点A(a,0),B(0,b),则a与b的等差中项为.答案。

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2019年高中数学单元测试卷导数及其应用学校：__________ 姓名：__________ 班级：__________ 考号：__________一、选择题1．设0a >且1a ≠，则“函数()xf x a =在R 上是减函数 ”，是“函数3()(2)g x a x =-在R 上是增函数”的（A ）充分不必要条件（B ）必要不充分条件（C ）充分必要条件（D ）既不充分也不必要条件2．若()ln f x x x x 2=-2-4，则'()f x >0的解集为A. (,)0+∞B. -+10⋃2∞（，）（，）C. (,)2+∞D. (,)-10二、填空题3．若函数()2xf x e x k =--在R 上有两个零点，则实数k 的取值范围为_____________4．若32)1(+=+x x g ，则)(x g 等于5．已知函数f(x)，g(x)满足，f(5)=5，f ﹐(5)=3，g(5)=4，g ﹐(5)=1，则函数y=f(x)+2g(x)的图象在x=5处的切线方程为▲ . 6．1-⎰(x 2＋2 x ＋1)dx ＝_________________．137．对正整数n ，设曲线)1(x x y n -=在x ＝2处的切线与y 轴交点的纵坐标为n a ，则数列}1{+n a n的前n 项和的公式是 .8．曲线xe y =在x=1处的切线的斜率为；9．函数f (x )=x 3–3bx +3b 在（0，1）内有极小值，则b 的取值范围是___________________0<b <110．若函数ｆ（ｘ）＝ｘ3＋ａｘ－２在区间（-∞,＋∞）上是增函数，则实数ａ的取值范围为__________11．（文）已知函数13)(23++-=ax ax x x f 在区间),(+∞-∞内既有极大值，又有极小值，则实数a 的取值范围是12．如图，已知矩形ABCD 的一边在x 轴上，另两个顶点C ，D 落在二次函数2()4f x x x =- 上．求这个矩形面积的最大值。

专题03 导数(2)(第02期)-2021年高三数学(理)最新模拟调研试题精选分项汇编(解析版)

一．基础题组1.【河北衡水中学2017届上学期一调，8】定义在R 上的函数()f x 满足()()1f x f x '+>，()04f =，则不等式()e e 3x x f x >+（其中e 为自然对数的底数）的解集为（）A ．()0,+∞B ．()(),03,-∞+∞C ．()(),00,-∞+∞D ．()3,+∞【答案】A2.【河北衡水中学2017届上学期一调，9】若实数a ，b ，c ，d 满足()()2223ln 20b a a c d +-+-+=，则()()22a cb d -+-的最小值为（） A 2 B ．2C ．22D ．8【答案】D 【解析】考点：利用导数研究曲线在某点的切线方程及其应用．3.【河北衡水中学2017届上学期一调，11】设函数()32133f x x x x =+-，若方程()()210f x t f x ++=有12个不同的根，则实数t 的取值范围为（） A ．10,23⎛⎫-- ⎪⎝⎭B ．(),2-∞-C ．34,215⎛⎫-- ⎪⎝⎭D ．()1,2-【答案】C考点：根的存在性及根的个数判断．4.【湖北2017届百所重点校高三联考，3】已知函数()2111x f x x ++=+，则曲线()y f x =在点()()1,1f 处切线的斜率为（）A ．1B ．-1C ．2D ．-2 【答案】A考点：导数的几何意义及运用.5.【四川巴中市2017届“零诊”，5】函数x x x f sin )(=，)('x f 为)(x f 的导函数，则)('x f 的图象是（）【答案】D. 【解析】试题分析：'()sin cos f x x x x =+，∴'()f x 是奇函数，故排除B ，取x π=，'()0f ππ=-<，排除A ，取2x π=，'()102f π=>，排除C ，故选D.考点：导数的运用.6.【河北衡水中学2017届上学期一调，14】函数e x y mx =-在区间(]0,3上有两个零点，则m 的取值范围是_________．【答案】3e e,3⎛⎤ ⎥⎝⎦考点：利用导数研究函数的单调性及极值（最值）．7.【河北衡水中学2017届上学期一调，15】已知函数()3223f x x mx nx m =+++在1x =-时有极值0，则m n +=_________．【答案】11 【解析】试题分析：因为()3223f x x mx nx m =+++，所以()236f x x mx n '=++，所以(1)0(1)0f f -=⎧⎨'-=⎩2130360m n m m n ⎧-+-+=⇒⎨-+=⎩，解得29m n =⎧⎨=⎩或13m n =⎧⎨=⎩，当1,3m n ==时，函数()32331f x x x x =+++，则()223633(1)0f x x x x '=++=+≥，函数在R 单调递增，函数无极值，所以m n +=11．考点：利用导数研究函数的极值．二．能力题组1.【河北唐山市2017届上学期高三摸底考，12】设函数()()3213853f x x x a x a =-+---，若存在唯一的正整数0x ，使得()00f x <，则a 的取值范围是（） A ．11,156⎛⎤⎥⎝⎦ B ．11,154⎛⎤ ⎥⎝⎦ C ．11,64⎛⎤ ⎥⎝⎦ D ．15,418⎛⎤⎥⎝⎦【答案】A .考点：1、利用导数研究函数的单调性；2、利用导数研究函数的极值；3、导数的综合应用.2.【河北衡水中学2017届上学期一调，12】设曲线()e x f x x =--（e 为自然对数的底数）上任意一点处的切线为1l ，总存在曲线()32cos g x ax x =+上某点处的切线2l ，使得12l l ⊥，则实数a 的取值范围为（） A ．[]1,2- B ．()3,+∞ C ．21,33⎡⎤-⎢⎥⎣⎦ D ．12,33⎡⎤-⎢⎥⎣⎦【答案】D考点：利用导数研究曲线在某点的切线方程．3.【河南百校联考2017届高三9月质检，12】已知函数()2ln 2,03,02xx x x f x x x x ->⎧⎪=⎨+≤⎪⎩的图象上有且仅有四个不同的点关于直线1y =-的对称点在1y kx =-的图象上，则实数k 的取值范围是（）A ．1,12⎛⎫⎪⎝⎭ B ．13,24⎛⎫ ⎪⎝⎭ C ．1,13⎛⎫ ⎪⎝⎭ D ．1,22⎛⎫⎪⎝⎭【答案】A考点：函数零点(2)在研究函数性质特别是单调性、最值、零点时，要注意用好其与图象的关系，结合图象研究.4.【广西南宁二中、柳州高中、玉林高中2017届高三8月联考，12】设函数()f x 是定义在(0,)+∞上的可导函数，其导函数为'()f x ，且有'22()()f x xf x x +>，则不等式2(2014)(2014)4(2)0x f x f --->的解集为（）A ．(2012,)+∞B ．(0,2012)C ．(0,2016)D ．(2016,)+∞ 【答案】D 【解析】试题分析：由'22()()f x xf x x +>且0x >，得2'32()()0xf x x f x x +>>．令2()()g x x f x =(0)x >，则2'()2()()0g x xf x x f x '=+>，所以()g x 在(0,)+∞上单调递增．因为(2)4(2)g f =，(2014)g x -＝2(2014)(2014)x f x --，所以不等式2(2014)(2014)4(2)0x f x f --->等价于(2014)(2)g x g ->，所以20142x ->，解得2016x >，故选D ．考点：1、利用导数研究函数的单调性；2、不等式的解法．5.【河北省衡水中学2017届高三上学期第三次调，11】已知函数()21,g x a x x e e e ⎛⎫=-≤≤ ⎪⎝⎭为自然对数的底数与()2ln h x x =的图象上存在关于x 轴对称的点，则实数a 的取值范围是（） A ．211,2e ⎡⎤+⎢⎥⎣⎦ B ．21,2e ⎡⎤-⎣⎦ C ．2212,2e e ⎡⎤+-⎢⎥⎣⎦D ．)22,e ⎡-+∞⎣ 【答案】B6.【湖北2017届百所重点校高三联考，12】若存在两个正实数,x y ，使得等式()()324ln ln 0x a y ex y x +--=成立，其中e 为自然对数的底数，则实数a 的取值范围是（）A ．(),0-∞B ．30,2e ⎛⎤ ⎥⎝⎦C ．3,2e ⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭ D ．()3,0,2e ⎡⎫-∞+∞⎪⎢⎣⎭【答案】D 【解析】试题分析：由()()324ln ln 0x a y ex y x +--=可得0ln )42(3=-+x y e x y a ,令t xy=,则原方程可化为0ln )2(23=-+t e t a ,若0=a ,等式不成立,故0≠a ,所以t e t aln )2(23-=-,令t e t t h ln )2()(-=,则t e t t h 21ln )(/-+=,故021)(2//>+=t e t t h ,即tet t h 21ln )(/-+=是增函数,所以当e t >时, 02221ln )()(//>->-+=>t et e t e h t h ,函数t e t t h ln )2()(-=是单调递增函数,当et <<0时,02221ln )()(//<-<-+=<tet e t e h t h , 函数t e t t h ln )2()(-=是单调递减函数,所以当e t =时,函数t e t t h ln )2()(-=取最小值e e e e e h -=-=ln )2()(,即e a -≥-23,也即e a≤23.当0<a 时,成立;当0>a 时,则e a 23≥,综上所求实数a 的取值范围是),23[)0,(+∞-∞e ,应选D.考点：函数方程思想综合运用.【易错点晴】导数是研究函数的单调性和极值问题的重要工具,也高考和各级各类考试的重要内容和考点.解答本题时充分利用题设中提供的有关信息,先运用换元法将问题0ln )42(3=-+xye x y a 进行化归和转化为t e t aln )2(23-=-,再构造函数t e t t h ln )2()(-=运用求导法则求导,判断函数t e t t h ln )2()(-=的单调性,利用最小值建立不等式e a -≥-23,最后通过解不等式e a-≥-23求出a 的范围是),23[)0,(+∞-∞e.7.【四川巴中市2017届“零诊”，12】已知函数||)(xxe x f =，方程)(01)()(2R t x tf x f ∈=+-有四个实数根，则t 的取值范围为（）A ．),1(2+∞+e eB ．)1,(2e e +--∞C ．2),1(2-+-e eD ．)1,2(2ee + 【答案】A.考点：函数与方程.8.【广西南宁二中、柳州高中、玉林高中2017届高三8月联考，16】若直线y kx b =+是曲线ln 1y x =+的切线，也是曲线ln(2)y x =+的切线，则b =_________. 【答案】ln 29.【河北邯郸2017届9月联考，16】函数()ln f x x =在点00(,())P x f x 处的切线l 与函数()x g x e =的图象也相切，则满足条件的切点P 的个数有_______个. 【答案】2.考点：1、导数的几何意义；2、函数的图像及其性质.10.【江苏南通市如东县、徐州丰县2017届10月联考，12】定义在R 上的可导函数()f x ，已知()f x y e =′的图象如图所示，则()y f x =的增区间是 ▲ ．【答案】（﹣∞，2）【解析】考点：函数单调区间11.【江苏南通市如东县、徐州丰县2017届10月联考，13】若实数,,,a b c d 满足24ln 220b a a c d +-+-+=，则()()22a cb d -+-的最小值为 ▲ ．【答案】5考点：利用导数求最值【方法点睛】利用导数解答函数最值的一般步骤：第一步：利用f′(x)＞0或f′(x)＜0求单调区间；第二步：解f′(x)＝0得两个根x 1、x 2；第三步：比较两根同区间端点的大小；第四步：求极值；第五步：比较极值同端点值的大小．12.【江苏南通市如东县、徐州丰县2017届10月联考，14】已知函数()()31,ln 4f x x mxg x x =++=-.{}min ,a b 表示,a b 中的最小值，若函数()()(){}()min ,0h x f x g x x =>恰有三个零点，则实数m 的取值范围是 ▲ ．【答案】()53,44--xy 121 O【解析】试题分析：()23f x x m '=+，因为()10g =，所以要使()()(){}()min ,0h x f x g x x =>恰有三个零点，须满足()10,()0,03m f f m -><<，解得5153,43244m m m ->->⇒-<<-13.【四川巴中市2017届“零诊”，16】设函数222)2(ln )()(a x a x x f -+-=，其中0>x ，R a ∈，若存在0x 使得54)(0≤x f 成立，则实数a 的值是 . 【答案】15. 【解析】试题分析：由题意得，问题等价于min 4()5f x ≤，而()f x 的集合意义为函数2()ln (0)g x x x =>上任意一考点：1.导数的综合运用；2.数形结合的数学思想；3.转化的数学思想.三．拔高题组1.【江苏南通市如东县、徐州丰县2017届10月联考，17】(本小题满分14分)已知函数()1ln ,f x a x a R x=+∈． (1) 求函数()f x 的单调递减区间；(2) 当1,12x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦时，()f x 的最小值是0，求实数a 的值．【答案】(1) 0a ≤时，()f x 的单调递减区间为()0,+∞，0a >时，()f x 的单调递减区间为10,a ⎛⎫⎪⎝⎭．(2) 2ln 2a =考点：利用导数求函数单调区间，利用导数研究函数最值【思路点睛】导数与函数的单调性(1)函数单调性的判定方法：设函数y＝f(x)在某个区间内可导，如果f′(x)＞0，则y＝f(x)在该区间为增函数；如果f′(x)＜0，则y＝f(x)在该区间为减函数.2.【河南百校联考2017届高三9月质检，22】（本小题满分12分）设函数()ln af x x x x=+-．（1）当2a =-时，求()f x 的极值；（2）当1a =时，证明：()10x f x x e-+>在()0,+∞上恒成立．【答案】（1）()f x 在2x =处取得极大值()()2ln 23,f f x =-无极小值（2）详见解析考点：利用导数求函数极值，利用导数证明不等式【方法点睛】函数极值问题的常见类型及解题策略(1)知图判断函数极值的情况.先找导数为0的点，再判断导数为0的点的左、右两侧的导数符号. (2)已知函数求极值.求f ′(x )―→求方程f ′(x )＝0的根―→列表检验f ′(x )在f ′(x )＝0的根的附近两侧的符号―→下结论.(3)已知极值求参数.若函数f (x )在点(x 0，y 0)处取得极值，则f ′(x 0)＝0，且在该点左、右两侧的导数值符号相反.3.【河北邯郸2017届9月联考，21】（本小题满分12分）设函数22()(2)ln f x x ax x bx =-+，,a b R ∈.（Ⅰ）当1a =，1b =-时，设2()(1)ln g x x x x =-+，求证：对任意的1x >，2()()xg x f x x x e e ->++-；（Ⅱ）当2b =时，若对任意[1,)x ∈+∞，不等式22()3f x x a >+恒成立.求实数a 的取值范围. 【答案】（Ⅰ）详见解析；（Ⅱ）(,1)-∞. 【解析】试题分析：（Ⅰ）首先将所证问题“对任意的1x >，2()()xg x f x x x e e ->++-”转化为“2()()x g x f x x x e e ->++-”，进而转化为“ln 0x e x e +->”，然后令()ln xh x e x e =+-，并求出其导函数并判断其函数的单调性，进而得出所证的结果；（Ⅱ）首先将问题“对任意[1,)x ∈+∞，不等式22()3f x x a >+恒成立”转化为“22(24)ln 0x ax x x a -+->”，然后构造函数22()(24)ln p x x ax x x a =-+-，[1,)x ∈+∞，并求出导函数并进行分类讨论：当1a ≤时和当1a >时，并分别求出其导函数并判断其单调性，最后结合已知条件即可得出所求的结果．试题解析：（Ⅰ）当1a =，1b =-时，22()(2)ln f x x x x x =--，所以2()()xg x f x x x e e ->++-等价于ln 0x e x e +->. 令()ln xh x e x e =+-，则1'()0x h x e x=+>，可知函数()h x 在(1,)+∞上单调递增，所以()(1)h x h >，即ln x e x e +>，亦即ln 0x e x e +->，所以2()()xg x f x x x e e ->++-.所以()q a 在(1,)+∞上单调递减.又(1)0q =，所以()(1)0q a q <=与条件矛盾.综上可知，实数a 的取值范围为(,1)-∞.考点：1.利用导函数判断函数的单调性与极值；2.构造函数.【方法点睛】本题考查导致与函数单调性的关系、不等式的证明与恒成立问题，以及逻辑思维能力、等价转化能力、运算求解能力、分类讨论的思想与转化思想.利用导数处理不等式问题.在解答题中主要体现为不等式的证明与不等式的恒成立问题.常规的解决方法是首先等价转化不等式，然后构造新函数，利用导数研究新函数的单调性和最值来解决，当然要注意分类讨论思想的应用.4.【广西南宁二中、柳州高中、玉林高中2017届高三8月联考，21】（本小题满分12分）已知函数1()ln 1af x x ax x-=-+-（a R ∈）. （1）当12a ≤时，讨论函数()f x 的单调性；（2）设24()23g x x bx =-+，当13a =时，若对任意1(0,2)x ∈，存在2[1,3]x ∈，使12()()f x g x ≥，求实数b 的取值范围.【答案】（1）当0a ≤时，增区间为(1,)+∞，减区间为(0,1)；当102a <<时，增区间为1(1,)aa-，减区间为(0,1)和1(,)a a -+∞；当12a =时，减区间为(0,)+∞；（2）2b ≥．（2）当13a =时，由（1）知()f x 在(0,2)，min 2(1)3f f ==-，依题意有2min 2()3g x f ≤=-， ∵2[1,3]x ∈⇒2222b x x ≥+在2[1,3]x ∈上有解，令2()h x x x=+，知()h x 在2)单调递减，在2,3)单调递增， ∴min ()(2)22h x h ==∴min 2()222b h x b ≥=⇒，∴b 的取值范围为2b ≥或用min min ()()f x g x ≥，而min 2(1)3f f ==-，对min ()g x 分三种情况： ①min 172()(1)233b g x g b ≤⎧⎪⎨==-≤-⎪⎩⇒无解；②2min 1342()()33b g x g b b <<⎧⎪⎨==-≤-⎪⎩ ⇒23b ≤<；③min 3312()(3)633b g x g b ≤⎧⎪⎨==-≤-⎪⎩⇒3b ≤.综上：∴b 的取值范围为2b ≥考点：1、利用导数研究函数的单调性；2、不等式恒成立问题；3、函数的最值．5.【河北省衡水中学2017届高三上学期第三次调，20】（本小题满分12分）已知函数()()()()212ln f x a x x a R =---∈．（1）若曲线 ()()g x f x x =+上点()()1,g 1处的切线过点()0,2，求函数()g x 的单调减区间；（2）若函数()y f x =在10,2⎛⎫ ⎪⎝⎭上无零点，求a 的最小值．【答案】（1）()0,2；（2）24ln 2-．（2）因为()0f x <在区间10,2⎛⎫ ⎪⎝⎭上恒成立不可能，故要使函数()f x 在10,2⎛⎫ ⎪⎝⎭上无零点，只要对任意的()10,,02x f x ⎛⎫∈> ⎪⎝⎭恒成立，即对12ln 0,,221xx a x ⎛⎫∈>- ⎪-⎝⎭恒成立．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．8分令()2ln 12,0,12x I x x x ⎛⎫=-∈ ⎪-⎝⎭，则()()()()222212ln 2ln 211x x x x x I x x x --+-'==--．．．．．．．．．．．．．．．．．10分再令()212ln 2,0,2m x x x x ⎛⎫=+-∈ ⎪⎝⎭，则()()2221220x m x x x x--'=-+=<，故()m x 在10,2⎛⎫ ⎪⎝⎭上为减函数，于是()122ln 202m x m ⎛⎫>=->⎪⎝⎭，从而，()0I x '>，于是()I x 在10,2⎛⎫ ⎪⎝⎭上为增函数，所以()124ln 22I x I ⎛⎫<=- ⎪⎝⎭，故要使2ln 21xa x >--恒成立，只要[)24ln 2,a ∈-+∞，综上，若函数()f x 在10,2⎛⎫ ⎪⎝⎭上无零点，则a 的最小值为24ln 2-．．．．．．．．．．．．．．．．．．12分考点：1、函数的零点；2、导数的几何意义；3、利用导数研究函数的单调性．【方法点睛】利用导数解决不等式恒成立问题的“两种”常用方法（1）分离参数法：将原不等式分离参数，转化为不含参数的函数的最值问题，利用导数求该函数的最值，根据要求得所求范围.一般地，()f x a ≥恒成立，只需()min f x a ≥即可；()f x a ≤恒成立，只需max ()f x a ≤即可；（2）函数思想法：将不等式转化为某含待求参数的函数的最值问题，利用导数求该函数的极值（最值），然后构建不等式求解．6.【河北省衡水中学2017届高三上学期第三次调，21】（本小题满分12分）已知()(),,,1p x m q x a ==+，二次函数()1f x p q =+，关于x 的不等式()()2211f x m x m >-+-的解集为()(),1,m m -∞++∞，其中m 为非零常数，设()()1f xg x x =-．（1）求a 的值；（2）若存在一条与y 轴垂直的直线和函数()()ln x g x x x Γ=-+的图象相切，且切点的横坐标0x 满足0013x x -+>，求实数m 的取值范围；（3）当实数k 取何值时，函数()()()ln 1x g x k x ϕ=--存在极值？并求出相应的极值点．【答案】（1）2a =-；（2）12m >；（3）若0m >时，k ∈R ，函数()x ϕ极小值点为2x ；若0m <时，当2k m >-时，函数()x ϕ极小值点为2x ，极大值点为1x （其中2124k k mx +-+=，2224k k m x +++=）（2）由（1）得()()()2211111f x x x m mg x x x x x -++===-+---，∴()()()()21ln ln 1,11mmx g x x x x x x x x Γ=-+=-+Γ=---，∵存在一条与y 轴垂直的直线和()x Γ的图象相切，且切点的横坐标为0x ，∵0013x x -+>，∴02x >．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．5分令()()122h x x x x =+->，则()()()221111x x h x x x +-'=-=，当2x >时，()()()2211110x x h x x x +-'=-=>，∴()12h x x x =+-在()2,+∞上为增函数，从而()()00011+222h x x h x =->=，∴12m >．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．7分（3）()()()()()ln 11ln 11mx g x k x x k x x ϕ=--=-+---的定义域为()1,+∞，∴()()()()222211111x k x k m m k x x x x ϕ-++-+'=--=---方程()2210x k x k m -++-+= （*）的判别式()()222414k k m k m ∆=+--+=+．下面只需考虑0∆>的情况，由0∆>，得2k m <--或2k m >-，当2k m <--221224241,1k k m k k m x x +-++++=<=<，故()1,x ∈+∞时，()0x ϕ'>，∴函数()x ϕ在()1,+∞上单调递增，∴函数()x ϕ没有极值．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．11分当2k m >-221224241,1k k m k k m x x +-++++=>=>，则()11,x x ∈时，()()120;,x x x x ϕ'>∈时，()()20;,x x x ϕ'<∈+∞时，()0x ϕ'>，∴函数()x ϕ在()11,x 上单调递增，在()12,x x 上单调递减，在()2,x +∞上单调递增，此时函数()x ϕ存在极大值和极小值，极小值点2x ，有极大值点1x ．综上所述，若0m >时，k 可取任意实数，此时函数()x ϕ有极小值且极小值点为2x ；若0m <时，当2k m >-()x ϕ有极大值和极小值，此时极小值点为2x ，极大值点为1x （其中22122424k k m k k m x x +-++++==）．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．12分考点：1、不等式的解法；2、方程的根；3、导数的几何意义；4、函数极值与导数的关系．7.【江苏南通市如东县、徐州丰县2017届10月联考，18】(本小题满分16分)在互联网时代，网校培训已经成为青年学习的一种趋势，假设某网校的套题每日的销售量()h x （单位：千套）与销售价格x （单位：元/套）满足的关系式()()()h x f x g x =+（37x <<，m 为常数），其中()f x与()3x -成反比，()g x 与()7x -的平方成正比，已知销售价格为5元/套时，每日可售出套题21千套，销售价格为3.5元/套时，每日可售出套题69千套.(1) 求()h x 的表达式；(2) 假设网校的员工工资，办公等所有开销折合为每套题3元（只考虑销售出的套数），试确定销售价格x 的值，使网校每日销售套题所获得的利润最大．（保留1位小数）【答案】(1) ()()210473h x x x =+-- （37x <<）(2) 13 4.33x =≈(2) 由（1）可知，套题每日的销售量()()210473h x x x =+--，设每日销售套题所获得的利润为()F x 则()()()()()2210347104733F x x x x x x ⎡⎤=-+-=+--⎢⎥-⎣⎦32468364578x x x =-+- ………………………………………10分考点：利用导数求函数最值8.【江苏南通市如东县、徐州丰县2017届10月联考，20】(本小题满分16分)给出定义在()+∞,0上的两个函数2()ln f x x a x =-,()g x x a x =-.（1）若()f x 在1=x 处取最值．求a 的值；（2）若函数2()()()h x f x g x =+在区间(]0,1上单调递减，求实数a 的取值范围；（3）试确定函数()()()6m x f x g x =--的零点个数，并说明理由．【答案】(1) 2a = (2) a ≥2（3）两个零点．【解析】试题分析：(1) 开区间的最值在极值点取得，因此()f x 在1=x 处取极值，即(1)0f =′，解得2a = ，需验证(2) ()h x 在区间(]0,1上单调递减，转化为()0h x ′≤在区间(]0,1上恒成立，再利用变量分离转化为对应函数最值：241x a x +≥的最大值，根据分式函数求最值方法求得()241x F x x =+最大值2（3）先利用导数研究函数()x m 单调性：当()1,0∈x 时，递减，当()+∞∈,1x 时，递增；再考虑区间端点函数值的符号：()10m <， 4)0m e ->（， 4()0m e >，结合零点存在定理可得零点个数试题解析：(1) ()2a f x x x=-′ 由已知，(1)0f =′即: 20a -=, 解得：2a = 经检验 2a = 满足题意所以 2a = ………………………………………4分(2) ()2222()()()ln 2ln h x f x g x x a x x ax x a x x =+=-+-=-+（3）函数()()()6m x f x g x =--有两个零点．因为()22ln 26m x x x x x =--+所以())()2122222221x x x x x x x x m x x x x x --+=--+==′ ………12分当()1,0∈x 时，()0<'x m ，当()+∞∈,1x 时，()0>'x m所以()()min 140m x m ==-<， ……………………………………14分3241-e)(1+e+2e )(=0e m e -<（），8424812(21))0e e e m e e -++-=>（ 4442()1)2(7)0m e e e e =-+->（故由零点存在定理可知：函数()x m 在4(,1)e - 存在一个零点，函数()x m 在4(1,)e 存在一个零点，所以函数()()()6m x f x g x =--有两个零点． ……………………………………16分考点：函数极值与最值，利用导数研究函数零点，利用导数研究函数单调性【思路点睛】对于方程解的个数(或函数零点个数)问题，可利用函数的值域或最值，结合函数的单调性、草图确定其中参数范围．从图象的最高点、最低点，分析函数的最值、极值；从图象的对称性，分析函数的奇偶性；从图象的走向趋势，分析函数的单调性、周期性等．9.【湖南永州市2017届高三第一次模拟，21】（本小题满分12分）已知函数()x f x e ax a =+-，()2x g x xe =．（Ⅰ）讨论函数()y f x =的单调性；（Ⅱ）若不等式()()f x g x >有唯一正整数解，求实数a 的取值范围．【答案】（Ⅰ）当0a ≥时，()f x 在R 上单调递增，当0a <时，()f x 在()()ln ,a -+∞上单调递增，在()(),ln a -∞-上单调递减；（Ⅱ）32532e e ⎛⎫ ⎪⎝⎭，.（Ⅱ）由()()f x g x >得：()()121x a x e x ->-当1x =时，不等式显然不成立，又x 为正整数，所以1x >，()211x e x a x ->-，………………………………………………………………………………7分记()()211x e x x x ϕ-=-，则()()()223'1x e x x x x ϕ-=-，∴()x ϕ在区间312⎛⎫ ⎪⎝⎭，上单调递减，在区间32⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭，上单调递增，…………………………10分且32342e a ϕ⎛⎫=< ⎪⎝⎭，所以()()23a aϕϕ⎧<⎪⎨≥⎪⎩，解得3 25 32e e a<≤，综上所述，a的取值范围为32532ee⎛⎫⎪⎝⎭，．…………………………………………………………12分考点：导数的应用．【方法点睛】本题主要考查导数的两大方面的应用：（一）函数单调性的讨论：运用导数知识来讨论函数单调性时，首先考虑函数的定义域，再求出)('xf，有)('xf的正负，得出函数)(xf的单调区间；（二）函数的最值（极值）的求法：由确认的单调区间，结合极值点的定义及自变量的取值范围，得出函数)(xf极值或最值.10.【四川巴中市2017届“零诊”，21】(本小题满分12分)已知函数23)(bxaxxf+=在1=x处取得极值61.（1）求ba，的值；（2）若对任意的),0[+∞∈x，都有)1ln()('+≤xkxf成立(其中)('xf是函数)(xf的导函数)，求实数k的最小值；（3）证明：11ln(1)2nini=<++∑(*∈Nn).【答案】（1）31-=a，21=b；（2）1k=；（3）详见解析.考点：1.导数的综合运用；2.等价转化的数学思想.【思路点睛】1.可导函数在某点处取得极值的充要条件；2.用求导法、分类讨论思想探寻恒成立有关的逆向求参问题；3.用特殊赋值法构造“零件”不等式，然后通过叠加、放缩证明难度较大的数列不等式. 11.【河南濮阳市一高2017届高三上学期第二次检测，20】（本小题满分12分）已知函数()sin 2cos f x x a x x =++在点6x π=处取得极值. （1）求实数a 的值；（2）当7[,]66x ππ∈-时，求函数()f x 的最大值.【答案】（1）4a =；（2）536π+.（2）()sin 24cos f x x x x =++，22'()2cos 24sin 12(12sin )4sin 14sin 4sin 3(2sin 3)(2sin 1)f x x x x x x x x x =-+=--+=--+=-+-∵7[,]66x ππ∈-，∴5'()0(,)66f x x ππ<⇒∈，57'()0[,)(,]6666f x x ππππ>⇒∈-， ∴()f x 在[,]66ππ-，57[,]66ππ上都是增函数，在5[,]66ππ上是减函数，又353()23666f πππ=+=+，737733()23666f πππ=-=， 7()()43066f f πππ-=>， ∴7()()66f f ππ>，()f x 在7[,]66x ππ∈-536π+. 考点：1、利用导数研究函数的极值；2、利用导数研究函数的单调性及最值. 12.【江西九江地区2017届高三七校联考，20】（本小题满分12分）某店销售进价为2元/件的产品A ，假设该店产品A 每日的销售量y （单位：千件）与销售价格x （单位：元/件）满足的关系式2104(6)2y x x =+--，其中26x <<. （1）若产品A 销售价格为4元/件，求该店每日销售产品A 所获得的利润；（2）试确定产品A 销售价格x 的值，使该店每日销售产品A 所获得的利润最大.（保留1位小数点）【答案】（1）42（2）3.3（2）该店每日销售产品A 所获得的利润223210()(2)[4(6)]104(6)(2)456240278(26)2f x x x x x x x x x x =-+-=+--=-+-<<- 从而2'()121122404(310)(6)(26)f x x x x x x =-+=--<<.………………8分令'()0f x =，得103x =，且在10(2,)3上，'()0f x >，函数()f x 单调递增；在10(,6)3上，'()0f x <，函数()f x 单调递减，………………10分所以103x =是函数()f x 在(2,6)内的极大值点，也是最大值点，………………11分所以当10 3.33x =≈时，函数()f x 取得最大值. 故当销售价格为3.3元/件时，利润最大.………………12分考点：利用导数求函数最值13.【湖北2017届百所重点校高三联考，21】（本小题满分12分）已知函数()()1ln 0a x f x a x a x a a ⎛⎫=+--> ⎪⎝⎭．（1）求函数()f x 的单调区间和极值；（2）证明：当1,22a ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦时，函数()f x 没有零点（提示：ln 20.69≈）．【答案】(1)单调增区间为()2,a +∞，单调减区间为()20,a ，极小值为()()2222111ln f a a a a a ⎡⎤=+--⎣⎦；(2)证明见解析.（2）由（1）可知：当2x a =时，()f x 取得极小值，亦即最小值()()2222111ln f a a a a a ⎡⎤=+--⎣⎦，又因为122a ≤≤，所以2144a ≤≤，设()()111ln 44g x x x x x ⎛⎫=+--≤≤ ⎪⎝⎭，则()1ln g x x x '=-，．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．． 7分因为()g x '在1,44⎡⎤⎢⎥⎣⎦上单调递减，且()()10,20g g ''><，所以()g x '有唯一的零点()1,2m ∈，使得()g x 在1,4m ⎡⎫⎪⎢⎣⎭上单调递增，在(],4m 上单调递减，．．．．．9分又由于()156ln 20,456ln 2044g g -⎛⎫=>=-> ⎪⎝⎭，．．．．．．．．．．．．．．．．．．．10分所以()0g x >恒成立，从而()()2222111ln 0f a a a a a ⎡⎤=+-->⎣⎦恒成立，则()0f x >恒成立，考点：导数的知识和函数的零点等有关知识的综合运用．14.【湖北2017届百所重点校高三联考，22】（本小题满分12分）已知函数()()ln ,,0x ae b x f x a b R a x+=∈≠且．（1）若曲线()y f x =在点()()1,1f 处的切线与y 轴垂直，且()f x 有极大值，求实数a 的取值范围；（2）若1a b ==，试判断()f x 在()0,+∞上的单调性，并加以证明．（提示：2334169,94e e ><）．【答案】(1)(),0-∞；(2)证明见解析.（2）当1a b ==时，()ln x e x f x x+=，则()()211ln x e x x f x x -+-'=，设()()11ln x g x e x x =-+-，则()21x g x x e x ⎛⎫'=- ⎪⎝⎭，考点：导数的知识及函数的性质等有关知识的综合运用．【易错点晴】导数是研究函数的单调性和极值最值问题的重要而有效的工具.本题就是以含参数b a ,的函数解析式为背景,考查的是导数知识在研究函数单调性和极值等方面的综合运用和分析问题解决问题的能力.本题的第一问求解时借助题设中有极大值这一信息,对参数a 进行分类分析极大值取得的条件,从而求出参数a 的取值范围是(),0-∞；第二问中的推证过程中先构造函数()()11ln x g x e x x =-+-,然后再借助导数,运用导数的知识推证出()0g x >,进而得到()0f x '>,从而证得()f x 在()0,+∞上递增,使得问题简捷巧妙获解.。

《精品》2019年高考真题和模拟题分项汇编数学(理)专题03 导数及其应用 (解析版)

【当 x < 1时， f ( x ) = x 2 - 2ax + 2a ≥ 0 ⇔ 2a ≥ 恒成立，1 ⎛ 1 ⎫ = - 1 - x +- 2 ⎪ ≤ - 2 (1- x) ⋅ - 2 ⎪⎪ = 0 ， ⎝ ⎭ 1 - x D ．专题 03 导数及其应用1．【2019 年高考全国Ⅲ卷理数】已知曲线 y = a e x + x ln x 在点（1，a e ）处的切线方程为 y =2x +b ，则A ． a = e ，b = -1C ． a = e -1，b = 1B ．a=e ，b =1D ． a = e -1 ， b = -1【答案】D【解析】∵ y ' = ae x + ln x + 1,∴切线的斜率 k = y ' |x =1 = ae + 1 = 2 ，∴ a = e -1 ，将 (1,1)代入 y = 2 x + b ，得 2 + b = 1,b = -1 .故选 D ．【名师点睛】本题求解的关键是利用导数的几何意义和点在曲线上得到含有a ，b 的等式，从而求解，属于常考题型.⎧ x 2 - 2ax + 2a, x ≤ 1, 2． 2019 年高考天津理数】已知 a ∈ R ，设函数 f ( x ) = ⎨若关于 x 的不等式 f ( x ) ≥ 0⎩ x - a ln x,x > 1.在 R 上恒成立，则 a 的取值范围为A ． [0,1]B ． [0,2]C ． [0,e][1,e]【答案】C【解析】当 x = 1 时， f (1) = 1 - 2a + 2a = 1 > 0 恒成立；x2 x - 1x 2令 g ( x ) = ，x - 1x 2 (1- x - 1)2 (1- x)2 - 2(1- x) + 1则 g ( x ) = - =- =-1 - x 1 - x 1 - x⎛ ⎫ ⎝ ⎭3． 2019 浙江）已知a, b ∈ R ，函数 f ( x ) = ⎨ 1 1 ．若函数 y = f ( x ) - ax - b 恰有 ⎪⎩ 3当1 - x =1，即 x = 0 时取等号，1 - x∴ 2a ≥ g ( x)max = 0 ，则 a > 0 .当 x > 1 时， f ( x ) = x - a ln x ≥ 0 ，即 a ≤ xln x恒成立，令 h ( x ) = x ln x，则 h '( x ) = ln x - 1 (ln x)2 ，当 x > e 时， h '( x ) > 0 ，函数 h( x ) 单调递增，当 0 < x < e 时， h '( x ) < 0 ，函数 h( x ) 单调递减，则 x = e 时， h( x ) 取得最小值 h(e) = e ，∴ a ≤ h( x)min = e ，综上可知， a 的取值范围是[0,e] .故选 C.【名师点睛】本题考查分段函数的最值问题，分别利用基本不等式和求导的方法研究函数的最值，然后解决恒成立问题.⎧ x , x < 0 ⎪（x 3 - (a + 1)x 2 + ax, x ≥ 0 23 个零点，则A ．a <–1，b <0C ．a >–1，b <0B ．a <–1，b >0D ．a >–1，b >0【答案】C【解析】当 x ＜0 时，y ＝f （x ）﹣ax ﹣b ＝x ﹣ax ﹣b ＝（1﹣a ）x ﹣b ＝0，得 x，则 y ＝f （x ）﹣ax ﹣b 最多有一个零点；当 x ≥0 时，y ＝f （x ）﹣ax ﹣bx 3（a +1）x 2+ax ﹣ax ﹣b x 3（a +1）x 2﹣b ，y ' = x 2 - (a + 1)x ，当 a +1≤0，即 a ≤﹣1 时，y ′≥0，y ＝f （x ）﹣ax ﹣b 在[0，+∞）上单调递增，则 y ＝f （x ）﹣ax ﹣b 最多有一个零点，不合题意；当 a +1＞0，即 a >﹣1 时，令 y ′＞0 得 x ∈(a +1，+∞），此时函数单调递增，0)令 y ′＜0 得 x ∈[0，a +1），此时函数单调递减，则函数最多有 2 个零点.根据题意，函数 y ＝f （x ）﹣ax ﹣b 恰有 3 个零点⇔函数 y ＝f （x ）﹣ax ﹣b 在（﹣∞，0）上有一个零点，在[0，+∞）上有 2 个零点，如图：＞∴ ＜ 0 且，＜解得 b ＜0，1﹣a ＞0，b ＞（a +1）3，则 a >–1，b <0.故选 C ．【名师点睛】本题考查函数与方程，导数的应用.当 x ＜0 时，y ＝f （x ）﹣ax ﹣b ＝x ﹣ax ﹣b ＝（1﹣a ）x﹣b 最多有一个零点；当 x ≥0 时，y ＝f （x ）﹣ax ﹣bx 3（a +1）x 2﹣b ，利用导数研究函数的单调性，根据单调性画出函数的草图，从而结合题意可列不等式组求解．4．【2019 年高考全国Ⅰ卷理数】曲线 y = 3(x 2 + x)e x 在点 (0，处的切线方程为____________．【答案】 3x - y = 0【解析】 y ' = 3(2 x + 1)e x + 3( x 2 + x)e x = 3( x 2 + 3x + 1)e x ,所以切线的斜率 k = y ' |x =0 = 3 ，则曲线 y = 3( x 2 + x)e x 在点 (0,0) 处的切线方程为 y = 3x ，即 3x - y = 0 ．【名师点睛】准确求导数是进一步计算的基础，本题易因为导数的运算法则掌握不熟，而导致计算错误．求导要“慢”，计算要准，是解答此类问题的基本要求．y = x + ( x > 0) 切于 ( x 0 , x 0 +由1 - 4= -1 得 x = 2 （ x = - 2 舍去），.. ( x - x ) ，即 y - ln x =x- 1 ， x 将点 (-e, -1)代入，得 -1 - ln x5．【2019 年高考江苏】在平面直角坐标系 x Oy 中，P 是曲线 y = x +线 x + y = 0 的距离的最小值是 ▲.【答案】44 x( x > 0) 上的一个动点，则点 P 到直【解析】由 y = x + 4 4 ( x > 0) ，得 y ' = 1 - x x 2，设斜率为 -1的直线与曲线 4 x4 x 0) ，x 2 0 0 0∴曲线 y = x + 4 x( x > 0) 上，点 P( 2,3 2) 到直线 x + y = 0 的距离最小，最小值为2 +3 212 + 12 = 4 .故答案为 4 ．【名师点睛】本题考查曲线上任意一点到已知直线的最小距离，渗透了直观想象和数学运算素养采取导数法，利用数形结合和转化与化归思想解题.6．【2019 年高考江苏】在平面直角坐标系 xOy 中，点 A 在曲线 y=lnx 上，且该曲线在点 A 处的切线经过点（-e ，-1)(e 为自然对数的底数），则点 A 的坐标是▲ .【答案】 (e, 1)【解析】设出切点坐标，得到切线方程，然后求解方程得到横坐标的值，可得切点坐标设点 A (x , y 0 0又 y ' =1，x) ，则 y= ln x .当 x = x 0时， y ' = 1 x 0，则曲线 y = ln x 在点 A 处的切线为 y - y 0 =1 x0 = -e x- 1 ，若函数 f (x ) = e + a e 为奇函数，则 f (- x ) = - f (x ), 即 e x- x - x+ a e x =- e x + a e - x ，( )即 x 0 ln x 0 = e ，考察函数 H (x ) = x ln x ，当 x ∈ (0,1)时， H (x ) < 0 ，当 x ∈ (1, +∞)时， H (x ) > 0 ，且 H ' (x ) = ln x + 1 ，当 x > 1 时， H ' (x ) > 0, H (x )单调递增，注意到 H (e ) = e ，故 x 0 ln x 0 = e 存在唯一的实数根 x 0 = e ，此时 y 0 = 1 ，故点 A 的坐标为 (e,1).【名师点睛】导数运算及切线的理解应注意的问题：一是利用公式求导时要特别注意除法公式中分子的符号，防止与乘法公式混淆．二是直线与曲线公共点的个数不是切线的本质，直线与曲线只有一个公共点，直线不一定是曲线的切线，同样，直线是曲线的切线，则直线与曲线可能有两个或两个以上的公共点．7．【2019 年高考北京理数】设函数 f (x ) = e x + a e - x （a 为常数）．若 f （x ）为奇函数，则 a=________；若 f （x ）是 R 上的增函数，则 a 的取值范围是___________．【答案】 -1(-∞,0 ]【解析】首先由奇函数的定义得到关于a 的恒等式，据此可得 a 的值，然后利用 f '( x ) ≥ 0 可得 a 的取值范围.( )即 (a + 1) e x + e - x = 0 对任意的 x 恒成立，则 a +1 = 0 ，得 a = -1 .若函数 f (x ) = e x + a e - x 是 R 上的增函数，则 f '( x ) = e x - ae - x ≥ 0 在 R 上恒成立，即 a ≤ e 2x 在 R 上恒成立，又 e 2 x > 0 ，则 a ≤ 0 ，（1） f '( x ) 在区间 (-1, ) 存在唯一极大值点；当 x ∈ -1, ⎪ 时， g' ( x) 单调递减，而 g' (0) > 0, g' ( ) < 0 ，可得 g' ( x) 在 -1, ⎪ 有唯一零点，则当 x ∈ (-1,α ) 时， g' ( x) > 0 ；当 x ∈ α , ⎪ 时， g' ( x) < 0 .2 ⎭ 单调递减，故 g ( x) 在 -1, ⎪ 存在唯一极大值点，即 f ' ( x) ⎛ 在 -1, ⎪ 存在唯一极大值点.（ii ）当 x ∈ 0, ⎥ 时，由（1）知，f ' ( x) 在 (0, α ) 单调递增，在 α , ⎪ 单调递减，而 f ' (0)=0 ，f ' ⎪ < 0 ，，使得 f ' (β ) = 0 ，且当 x ∈ (0, β ) 时， f ' ( x) > 0 ；当 x ∈ β , ⎪ 时， f ' ( x) < 0 . 2 ⎭ ⎝ 2 ⎭⎛ 故 f ( x) 在 (0, β ) 单调递增，在 β , ⎪ 单调递减.即实数 a 的取值范围是 ( -∞,0 ] .【名师点睛】本题考查函数的奇偶性､单调性､利用单调性确定参数的范围.解答过程中，需利用转化与化归思想，转化成恒成立问题.注重重点知识､基础知识､基本运算能力的考查.8．【2019 年高考全国Ⅰ卷理数】已知函数 f ( x ) = sin x - ln(1+ x) ， f '( x ) 为 f ( x ) 的导数．证明：π2（2） f ( x ) 有且仅有 2 个零点．【答案】（1）见解析；（2）见解析.【解析】（1）设 g ( x ) = f ' ( x ) ，则 g ( x ) = cos x -11 + x 1 ， g' ( x ) = - sin x + .(1+ x)2⎛ π⎫ π ⎛ π⎫⎝2 ⎭2⎝2 ⎭设为 α .⎛ π⎫ ⎝2 ⎭所以 g ( x) 在 (-1,α ) 单调递增，在 α , ⎝π⎫ ⎪⎛ π⎫ ⎝ 2 ⎭⎛ π⎫ ⎝2 ⎭（2） f ( x ) 的定义域为 (-1, +∞) .（i ）当 x ∈ (-1,0] 时，由（1）知， f ' ( x ) 在 ( - 1,0) 单调递增，而 f ' (0) = 0 ，所以当 x ∈ (-1,0) 时，f ' ( x) < 0 ，故 f ( x ) 在 ( - 1,0) 单调递减，又 f (0)=0 ，从而 x = 0 是 f ( x ) 在 (-1,0] 的唯一零点.⎛ π⎤ ⎛ π⎫ ⎛π⎫ ⎝2 ⎦⎝2 ⎭ ⎝ 2 ⎭所以存在 β ∈ α , ⎝π⎫ ⎛ π⎫ ⎪⎛ π⎫ ⎝2 ⎭又 f (0)=0 ， f ⎪ = 1 - ln 1 + > 0 ，所以当 x ∈ 0, ⎥ 时， f ( x) > 0 .从而， f ( x) 在 0, ⎥ 没有⎝ 2 ⎭⎝2 ⎭ ⎝2 ⎦ ⎝ 2 ⎦, π⎥ 时，f ' ( x) < 0 ，所以 f ( x) 在 , π ⎪ 单调递减.而（iii ）当 x ∈ f ⎪ > 0，f (π) < 0 ，所以 f ( x) 在 ⎛π , π⎥有唯一零点. 9．【2019 年高考全国Ⅱ卷理数】已知函数 f (x ) = ln x - x + 1.+ > 0 ，所以 f ( x ) 在（0，1），（1，+∞）单调递增． e + 1 e2 + 1 e 2 -3 < 0 ， f (e 2 ) = 2 - < 1 ， f ( ) = - ln x + 1 = - f ( x ) = 0 ，故 f （x ）在（0，1）有唯一零点．x x x - 1 xx + 1 （2）因为1 = e - ln x，故点 B （–lnx ，）在曲线 y =e x 上． x⎛π⎫ ⎛ π⎫ ⎛ π⎤ ⎛ π⎤ ⎪零点.⎛π ⎤ ⎛π ⎫ ⎝ 2⎦⎝ 2⎭⎛π⎫ ⎝ 2 ⎭⎝ 2 ⎤⎦（iv ）当 x ∈ (π, +∞) 时， ln( x + 1) > 1 ，所以 f ( x ) <0，从而 f ( x ) 在 (π, +∞ ) 没有零点.综上， f ( x ) 有且仅有2个零点.【名师点睛】本题考查导数与函数极值之间的关系、利用导数解决函数零点个数的问题解决零点问题的关键一方面是利用零点存在性定理或最值点来说明存在零点，另一方面是利用函数的单调性说明在区间内零点的唯一性，二者缺一不可.x - 1 .（1）讨论 f(x)的单调性，并证明 f(x)有且仅有两个零点；（2）设 x 0 是 f(x)的一个零点，证明曲线 y=lnx 在点 A(x 0，lnx 0)处的切线也是曲线 y = e x 的切线.【答案】（1）函数 f ( x ) 在 (0,1) 和 (1, +∞) 上是单调增函数，证明见解析；（2）见解析.【解析】（1）f （x ）的定义域为（0，1）（1，+∞）．因为 f ' ( x ) =1 2 x ( x - 1)2因为 f （e ）=1 - =e -1 e 2 - 1 e 2 - 1> 0 ，所以 f （x ）在（1，+∞）有唯一零点 x 1，即f （x 1）=0．又 0 <1 1 1 1综上，f （x ）有且仅有两个零点．x 00 1x + 1 x x x - 1 1由题设知 f ( x ) = 0 ，即 ln x = 0 ，故直线 AB 的斜率 k = 0= 0 = ． - x xx - 1曲线 y =e x 在点 B(- ln x ,1x )处切线的斜率是，曲线 y = ln x在点 A( x ,ln x )处切线的斜率也是 . ⎩b = -1 ⎩b = 1, +∞ ⎪ 时， f '( x ) > 0；当 x ∈ 0, ⎪ 时， f '( x ) < 0．故 f ( x) 在 ⎝ 3 ⎭ ⎝ 3 ⎭(-∞,0), , +∞ ⎪ 单调递增，在 0, ⎪ 单调递减；(0, +∞) 时， f '( x ) > 0；当 x ∈ ,0 ⎪ 时， f '( x ) < 0．故 f ( x) 在 3 ⎭ ⎝3⎭⎛ -∞, ⎪ ,(0, +∞) 单调递增，在 ,0 ⎪ 单调递减.3 ⎭ ⎝⎝ 3 ⎭ a ⎫1 1 x + 1- ln x - 00 0 0 x - 1 - ln x - x x + 1 0 0 0 - 0 00 00 0 11x0 0 x0 0，所以曲线 y = ln x 在点 A( x 0 ,ln x 0 ) 处的切线也是曲线 y =e x 的切线．【名师点睛】本题考查了利用导数求已知函数的单调性、考查了曲线的切线方程，考查了数学运算能力10．【2019 年高考全国Ⅲ卷理数】已知函数 f ( x ) = 2 x 3 - ax 2 + b .（1）讨论 f ( x ) 的单调性；（2）是否存在 a, b ，使得 f ( x ) 在区间 [0,1] 的最小值为 -1且最大值为 1？若存在，求出 a, b 的所有值；若不存在，说明理由.⎧a = 0 ⎧a = 4【答案】（1）见解析；（2） ⎨ 或 ⎨.【解析】（1） f '( x ) = 6 x 2 - 2ax = 2 x (3x - a) ．令 f '( x ) = 0 ，得 x =0 或 x = a 3.若 a >0 ，则当 x ∈ (-∞,0)⎛ a ⎫ ⎛ a ⎫⎛ a ⎫ ⎛ a ⎫ ⎝ 3 ⎭ ⎝ 3 ⎭若 a =0， f ( x ) 在 (-∞, +∞) 单调递增；若 a <0 ，则当 x ∈ -∞, ⎝a ⎫ ⎛ a ⎫ ⎪⎛ ⎛ a ⎫（2）满足题设条件的 a ，b 存在.（i ）当 a ≤0时，由（1）知， f ( x ) 在[0，1]单调递增，所以 f ( x ) 在区间[0，l]的最小值为 f (0)=b ，最大值为 f (1) = 2 - a + b .此时 a ，b 满足题设条件当且仅当 b = -1 ， 2 - a + b = 1，即 a =0， b = -1 ．（iii）当0<a<3时，由（1）知，f(x)在[0，1]的最小值为f ⎪=-令f'(x)=1，即x2-2x+1=1，得x=0或x=.由g(x)=1（ii）当a≥3时，由（1）知，f(x)在[0，1]单调递减，所以f(x)在区间[0，1]的最大值为f(0)=b，最小值为f(1)=2-a+b．此时a，b满足题设条件当且仅当2-a+b=-1，b=1，即a=4，b=1．⎛a⎫⎝3⎭a327+b，最大值为b或2-a+b．若-若-a327a327+b=-1，b=1，则a=332，与0<a<3矛盾.+b=-1，2-a+b=1，则a=33或a=-33或a=0，与0<a<3矛盾．综上，当且仅当a=0，b=-1或a=4，b=1时，f(x)在[0，1]的最小值为-1，最大值为1．【名师点睛】这是一道常规的函数导数和不等式的综合题，题目难度比往年降低了不少，考查函数的单调性、最大值、最小值这种基本量的计算.11．【2019年高考北京理数】已知函数f(x)=14x3-x2+x．（Ⅰ）求曲线y=f(x)的斜率为1的切线方程；（Ⅱ）当x∈[-2,4]时，求证：x-6≤f(x)≤x；（Ⅲ）设F(x)=|f(x)-(x+a)|(a∈R)，记F(x)在区间[-2,4]上的最大值为M（a）．当M（a）最小时，求a的值．【答案】（Ⅰ）y=x与y=x-64；（Ⅱ）见解析；（Ⅲ）a=-3.2713【解析】（Ⅰ）由f(x)=x3-x2+x得f'(x)=x2-2x+1.44384388又f(0)=0，f()=，32788所以曲线y=f(x)的斜率为1的切线方程是y=x与y-=x-，27364即y=x与y=x-.27（Ⅱ）令g(x)=f(x)-x,x∈[-2,4].3x3-x2得g'(x)=x2-2x.4434(0, 27（Ⅱ）当 x ∈ ⎢ , ⎥ 时，证明 f ( x) + g ( x) - x ⎪ ≥ 0 ；4 2 （ Ⅲ ）设 x 为函数 u ( x) = f ( x)- 1在区间 2n π + ⎝,2n π + ⎪ 内的零点，其中 n ∈ N ，证明 2 sin x - cos x【答案】（Ⅰ） f ( x) 的单调递增区间为 ⎢2k π - , 2k π + ⎥ (k ∈ Z), f ( x) 的单调递减区间为令 g' ( x ) = 0 得 x = 0 或 x = 83g' ( x ), g ( x ) 的情况如下：.x-2 (-2,0) 0 8)38 3 8( , 4)g' ( x )g ( x )+ - +-6 0 - 64所以 g ( x ) 的最小值为 -6 ，最大值为 0 .故 -6 ≤ g ( x ) ≤ 0 ，即 x - 6 ≤ f ( x ) ≤ x .（Ⅲ）由（Ⅱ）知，当 a < -3 时， M (a) ≥ F (0) =| g (0) - a |= -a > 3 ；当 a > -3 时， M (a) ≥ F (-2) =| g (-2) - a |= 6 + a > 3 ；当 a = -3 时， M (a) = 3 .综上，当 M (a) 最小时， a = -3 .【名师点睛】本题主要考查利用导函数研究函数的切线方程，利用导函数证明不等式，分类讨论的数学思想等知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力.12．【2019 年高考天津理数】设函数 f ( x ) = e x cos x,g ( x ) 为 f (x )的导函数．（Ⅰ）求 f (x )的单调区间；⎡π π⎤ ⎛π ⎫ ⎣ ⎦⎝ 2⎭n⎛ π π⎫ 4 2 ⎭π e -2n π2n π + - x <n 0．⎡ ⎣3π π ⎤ 4 4 ⎦π 5π ⎤ ⎥⎦ (k ∈ Z) .（Ⅱ）见解析；（Ⅲ）见解析. ⎣【解析】（Ⅰ）由已知，有 f ' ( x) = e x (cos x - sin x) ．因此，当 x ∈ 2k π +, 2k π + ⎪ (k ∈ Z) 时，有 sin x > cos x ，得 f '( x) < 0 ，则 f (x ) 单调递减；当 x ∈ 2k π -, 2k π + ⎪ (k ∈ Z) 时，有所以， f (x )的单调递增区间为 ⎢2k π - , 2k π + ⎥ (k ∈ Z), f ( x) 的单调递减区间为 π 5π ⎤ 4 4 ⎥⎦⎣（Ⅱ）证明：记 h( x) = f ( x) + g ( x)⎛π- x ⎪．依题意及（Ⅰ），有 g ( x) = e x (cos x - sin x) ，从而 g' ( x) = -2e x sin x ．当 x ∈ , ⎪ 时， g'( x) < 0 ，故 h'( x) = f ' ( x) + g' ( x) - x ⎪ + g ( x)(-1) = g' ( x) - x ⎪ < 0 ．因此， h (x ) 在区间 ⎢ , ⎥ 上单调递减，进而 h( x) ≥ h⎪= f ⎪ = 0 ．所以，当 x ∈ ⎢ , ⎥ 时， f ( x) + g ( x) - x ⎪ ≥ 0 ．4 2 = 1 ．记 y = x - 2n π ，则 y ∈ , ⎪ ，⎝ 4 2 ⎭≥ y ．由（Ⅱ）知，当 x ∈ , ⎪ 时， g'( x) < 0 ，所⎝ 4 2 ⎭g (x ) 在 ⎡⎢ , ⎤⎥ 上为减函数，因此 g ( y ) ≤ g ( )y < ⎛ g ⎫⎪ = 0 ．又由（ Ⅱ ）知，⎣ 4 2 ⎦⎝ 4 ⎭⎡ ⎢2k π + , 2k π + 4 4⎛⎝π 5π ⎫ 4 4 ⎭sin x < cos x ，得 f ' ( x ) > 0 ，则 f (x )单调递增．⎛ ⎝3π π ⎫ 4 4 ⎭⎡⎣3π π⎤ 4 4 ⎦⎡ ⎢ 2k π +, 2k π + (k ∈ Z) ．⎫ ⎝ 2 ⎭⎛π π⎫ ⎝ 4 2 ⎭⎛π ⎫ ⎛π ⎫ ⎝ 2 ⎭ ⎝ 2 ⎭⎡ π π ⎤ ⎛ π ⎫ ⎛π⎫ ⎣ 4 2 ⎦⎝ 2 ⎭ ⎝ 2 ⎭⎡π π⎤ ⎛π ⎫ ⎣ ⎦⎝ 2⎭（Ⅲ）证明：依题意，u (x n ) = f (x )-1 = 0 ，即 e x n cos x nn n n n⎛π π⎫且 f (y n) = e y n cos y = e x n -2n π cos (x - 2n π) = e -2n π (n ∈ N ) ．n n由 f (y n) = e-2n π≤ 1 = f (y )及（Ⅰ），得 y 0 n 0 ⎛π π⎫以π π π11n 0f(y)+g(y) -y⎪≥0，故⎝2n⎭-y≤-=-≤=<2g(y)g(y)g(y)e y0(sin y-cos y)sin x-cos x f(y)2sin x-cos xf(x)的单调递增区间是(3,+∞),单调递减区间是(0,3)；（2） 0,4⎦【解析】（1）当a=-3f'(x)=-3n nπe-2nπ所以，2nπ+-x<．n00【名师点睛】本小题主要考查导数的运算、不等式证明、运用导数研究函数的性质等基础知识和方法．考查函数思想和化归与转化思想．考查抽象概括能力、综合分析问题和解决问题的能力．13．【2019年高考浙江】已知实数a≠0，设函数f(x)=a ln x+x+1,x>0.（1）当a=-34时，求函数f(x)的单调区间；（2）对任意x∈[1e2,+∞)均有f(x)≤x2a,求a的取值范围．注：e=2.71828…为自然对数的底数．【答案】（1）⎛2⎤⎥.⎝3时，f(x)=-ln x+1+x,x>0．441(1+x-2)(21+x+1)+=4x21+x4x1+x，所以，函数f(x)的单调递减区间为（0，3），单调递增区间为（3，+∞）．（2）由f(1)≤12a2，得0<a≤．4当0<a≤2x x21+x时，f(x)≤等价于-42a a2a-2ln x≥0．令t=1a，则t≥22．设g(t)=t2x-2t1+x-2ln x,t≥22，则g(t)=11+xx(t-1+)2--2ln x．x x12（i ）当 x ∈ ⎢ , +∞ ⎪ 时， 1 +⎡ 1p'( x ) = 271(1, +∞)7单调递减极小值p (1)（ii ）当 x ∈⎢ , ⎪ 时， g (t )…g 1 + ⎪⎣ e 7 ⎭x ⎭ 2 x⎝, ⎥ ，则 q' (x) = 令 q ( x) = 2 x ln x + ( x + 1), x ∈ ⎢ 故 q ( x) 在 ⎢⎡ 1 1 ⎤, ⎥ 上单调递增，所以 q ( x)…⎣ e 7 ⎦ q ⎪ ．由（i ）得， q ⎪ = -p ⎪ < - p (1)= 0 ．因此 g (t)…g1 + x ⎪⎭2 x⎣ 7 ⎭ ⎫ 1 x ≤ 2 2 ，则g (t ) ≥ g (2 2) = 8 x - 4 2 1 + x - 2ln x ．记 p ( x ) = 4 x - 2 2 1 + x - ln x, x ≥17，则21 2 x x + 1 - 2 x - x + 1- - =x x + 1 x x x + 1= ( x - 1)[1+ x ( 2 x + 2 - 1)]x x + 1( x + 1)( x + 1 + 2 x )故.x1 71( ,1)p'( x )-+p ( x )1 p ( )单调递增所以， p ( x ) ≥ p (1) = 0 ．因此， g (t ) ≥ g (2 2) = 2 p ( x ) ≥ 0 ．⎡ 1 1 ⎫ ⎛ 1 ⎫ -2 x ln x - ( x + 1)=2．2 ⎡ 1 1 ⎤ ⎣ e 2 7 ⎦⎛ 1 ⎫ ⎝ 7 ⎭ln x + 2 x + 1 > 0 ，⎛ 1 ⎫ ⎝ 7 ⎭2 7 ⎛ 1 ⎫ 2 7 7 ⎝ 7 ⎭ 7所以， q (x)<0 ．⎛ 1 ⎫ q ( x ) =- > 0 ．⎝13由（i ）（ii ）知对任意 x ∈⎢⎡ 1, +∞ ⎪ ， t ∈ [2 2, +∞ ), g (t )…0 ，, +∞ ⎪ ，均有 f ( x)…即对任意 x ∈ ⎢ ⎣ e ⎭（从而 f ' ( x) = 3( x - b ) x - f ' ( x ) = 0 ，得 x = b 或 x =⎪ ．令⎣ e 2 ⎫ ⎭⎡ 1 ⎫ 2 x 2a ．⎛ 综上所述，所求 a 的取值范围是 ⎝0, 2 ⎤⎥ ．4 ⎦【名师点睛】导数是研究函数的单调性、极值(最值)最有效的工具，而函数是高中数学中重要的知识点，对导数的应用的考查主要从以下几个角度进行：（1）考查导数的几何意义，往往与解析几何、微积分相联系．（2）利用导数求函数的单调区间，判断单调性；已知单调性，求参数． 3）利用导数求函数的最值(极值)，解决生活中的优化问题．（4）考查数形结合思想的应用．14．【2019 年高考江苏】设函数 f ( x ) = ( x - a)( x - b )( x - c), a, b , c ∈ R 、 f ' (x) 为 f （x ）的导函数．（1）若 a =b =c ，f （4）=8，求 a 的值；（2）若 a ≠b ，b =c ，且 f （x ）和 f ' (x) 的零点均在集合{ - 3,1,3} 中，求 f （x ）的极小值；（3）若 a = 0,0 < b … 1, c = 1 ，且 f （x ）的极大值为 M ，求证:M ≤ 4 27．【答案】（1） a = 2 ；（2）见解析；（3）见解析.【解析】（1）因为 a = b = c ，所以 f ( x ) = ( x - a)( x - b )( x - c) = ( x - a)3 ．因为 f (4) = 8 ，所以 (4 - a)3 = 8 ，解得 a = 2 ．（2）因为 b = c ，所以 f ( x ) = ( x - a)( x - b )2 = x 3 - (a + 2b ) x 2 + b (2a + b ) x - ab 2 ，⎛ ⎝2a + b ⎫ 2a + b3 ⎭ 3 ．因为 a, b ,2a + b 3都在集合{-3,1,3}中，且 a ≠ b ，2a + b所以 = 1,a = 3, b = -3 ．3此时 f ( x ) = ( x - 3)(x + 3)2 ， f ' ( x ) = 3( x + 3)( x - 1) ．令 f ' ( x ) = 0 ，得 x = -3 或 x = 1 ．列表如下：1433,x==[3x2-2(b+1)x+b] 1-⎝3()b+1⎫2b2-b+1b(b+1) -x+9⎭99⎪(b-b+1)≤b(b+1)xf'(x)(-∞,-3)+-3(-3,1)–1(1,+∞)+ f(x)极大值极小值所以f(x)的极小值为f(1)=(1-3)(1+3)2=-32．（3）因为a=0,c=1，所以f(x)=x(x-b)(x-1)=x3-(b+1)x2+bx，f'(x)=3x2-2(b+1)x+b．因为0<b≤1，所以∆=4(b+1)2-12b=(2b-1)2+3>0，则f'(x)有2个不同的零点，设为x,x12(x1<x)．2b+1-b2-b+1b+1+b2-b+1由f'(x)=0，得x=．12列表如下：x f'(x)(-∞,x)1+x1(x,x)12–x2(x,+∞)2+f(x)所以f(x)的极大值M=f (x)．1解法一：M=f(x)=x3-(b+1)x2+bx1111极大值极小值11⎛x1=-2(b2-b+1)(b+1)b(b+1)2++2792723 b(b+1)2(b-1)2(b+1)2=-+(b(b-1)+1)3 272727244+≤．因此M≤．27272727解法二：15令 g ( x) = x( x - 1)2 , x ∈ (0,1) ，则 g' ( x) = 3 x - ⎪ ( x - 1) ．1 ⎛ 1 ⎫ 4max = g ⎪=.因为 0 < b ≤ 1 ，所以 x ∈ (0,1) ．1当 x ∈ (0,1) 时， f ( x ) = x( x - b )( x - 1) ≤ x( x - 1)2 ．⎛ 1 ⎫ ⎝3 ⎭1令 g' ( x ) = 0 ，得 x = 3xg' ( x )g ( x )．列表如下：1 (0, )3+1 3极大值1( ,1) 3–所以当 x = 时， g ( x ) 取得极大值，且是最大值，故 g ( x ) 3 ⎝ 3 ⎭ 27 ．所以当 x ∈ (0,1) 时， f ( x ) ≤ g ( x ) ≤ 4 4，因此 M ≤ ．27 27【名师点睛】本题主要考查利用导数研究函数的性质，考查综合运用数学思想方法分析与解决问题以及逻辑推理能力．15．【河北省武邑中学 2019 届高三第二次调研考试数学】函数的单调减区间是A ．C ．，【答案】AB ．D ．【解析】，令，解得：.故选 A ．【名师点睛】本题考查了函数的单调性，考查导数的应用，是一道基础题16．【江西省南昌市 2019 届高三模拟考试数学】已知在上连续可导，为其导函数，且，则A ．C ．0【答案】CB ．D ．16联立①②，解得 f (x ) = - x 3 - x + ，则 f ' (x ) = - x 2- 1 ，∴ f (1) = - - 1 + = - ， f ' (1) = - -1 = - ，= - (x -1)，即10 x + 4 y - 5 = 0 . 【解析】∵ f (- x ) = e - x + e x - f '(1)(- x )(e - x - e x )= f ( x ) ，∴ f ( x ) 是偶函数，两边对 x 求导，得 - f '(- x ) = f '( x ) ，即 f '(- x ) = - f '( x ) ，则 f '( x ) 是 R 上的奇函数，则 f '(0) = 0 ，f '(-2) = - f '(2) ，即 f '(2) + f '(-2) = 0 ，则 f '(2) + f '(-2) - f '(0) f '(1) = 0 .故选 C ．【名师点睛】本题主要考查函数导数值的计算，根据条件判断函数的奇偶性是解决本题的关键，是中档题.17．【江西省新八校 2019 届高三第二次联考数学】若 f ( x ) + 3 f (- x ) = x 3 + 2 x + 1 对 x ∈ R 恒成立，则曲线y = f (x )在点 (1, f (1))处的切线方程为A ． 5x + 2 y - 5 = 0C ． 5x + 4 y = 0 【答案】BB ．10 x + 4 y - 5 = 0D ． 20 x - 4 y - 15 = 0【解析】f (x )+ 3 f (- x ) = x 3 + 2x + 1……①，∴ f (- x )+ 3 f (x ) = - x 3 - 2x + 1……②，1 1 32 4 21 1 5 3 524 4 2 2∴ 切线方程为： y + 5 5 4 2故选 B.【名师点睛】本题考查利用导数的几何意义求解在某一点处的切线方程，关键是能够利用构造方程组的方式求得函数的解析式.18．【云南省玉溪市第一中学 2019 届高三第二次调研考试数学】函数 f ( x ) = x 2 ln x 的最小值为17令 2ln x +1 = 0 ，解得 x = e2 ，则当 x ∈ (0,e 2 ) 时， f ( x ) 为减函数，当 x ∈ (e 2, +∞) 时， f ( x ) 为增函数， 2 处的函数值为最小值，且f (e ) = - A ． - ,1⎪⎛1⎫⎝ e ⎭B ． - , +∞ ⎪ D ． -∞, ⎪1 ⎫+ + +A ． -1 e B ． 1eC ． -12eD ．12e【答案】C【解析】由题得 x ∈ (0, +∞) ， f '( x ) = 2 x ln x + x = x(2ln x + 1) ，- 1- 1 - 1所以 x = e- 1 - 121 2e.故选 C.【名师点睛】本题考查用导数求函数最值，解此类题首先确定函数的定义域，其次判断函数的单调性，确定最值点，最后代回原函数求得最值.19．【四川省内江市 2019 届高三第三次模拟考试数学】若函数存在单调递增区间，则的取值范围是⎛ 1 ⎫ ⎝ e ⎭C ． (-1,+∞)【答案】B【解析】 f '( x ) = ax + lnx ，∴ f '( x ) > 0 在 x ∈ (0， ∞) 上成立，即 ax+ lnx ＞0 在 x ∈ (0， ∞) 上成立，⎝ e ⎭即 a ＞ - lnxx在 x ∈ (0， ∞) 上成立．lnx 1 - ln x令 g （x ） = - ，则 g ′（x ） = - ，x x 2 lnx∴g （x ） =- 在（0，e ）上单调递减，在（e ，+∞）上单调递增，x lnx 1∴g （x ） = - 的最小值为 g （e ）= - ，x e18【.1∴a ＞ - ．e故选 B ．【名师点睛】本题考查学生利用导数研究函数的单调性及转化化归思想的运用，属中档题．20．山西省太原市 2019 届高三模拟试题（一）数学】已知定义在上的函数满足，且，则的解集是A ． C ．【答案】A【解析】令=在上单调递减，且故等价为B ．D ．，即，故,即 x < ，则所求的解集为 .故选 A.【名师点睛】本题考查导数与单调性的应用，构造函数的思想，考查分析推理能力，是中档题21．【河南省焦作市 2019 届高三第四次模拟考试数学】已知，，关系为，则的大小A ．C ．【答案】D【解析】依题意，得 a = ln 3 3 =令，所以.B ．D ．ln3 lne 3ln2 ln8， b = e -1 = ， c = = 3 e 8 8.所以函数在上单调递增，在上单调递减，所以，且，即，所以.故选 D.19A ． -∞, ⎪⎛e ⎭ B ． (-∞,0 )C ． ⎢ , +∞ ⎪⎭D ． , +∞ ⎪设 h (x ) = ，则 h ' (x ) = x 设 g (x ) = - lnx - 1 ，则 g ' (x ) = - 【【名师点睛】本题主要考查了利用导数判断函数的单调性，构造出函数 f (x ) = lnx x是解题的关键，属于中档题.22．【安徽省毛坦厂中学 2019 届高三校区 4 月联考数学】已知，若关于的不等式恒成立，则实数的取值范围是1 ⎫ ⎝⎡ 1 ⎫ ⎛ 1 ⎫⎣ e⎝ e ⎭【答案】D【解析】由 f (x ) < 0 恒成立得 a > lnx + 1 e x恒成立，lnx + 1e x 1- lnx - 1 e x.1 1 1- < 0 恒成立，x x 2 x在上单调递减，又，当时，，即；当时，，即，在上单调递增，在上单调递减，，.故选 D.【名师点睛】本题考查利用导数求函数的最值，不等式恒成立问题，分离参数是常见的方法，属于中档题.23．辽宁省丹东市 2019 届高三总复习质量测试】若 x = 1 是函数 f ( x ) =极值点，则 a 的值为A ．-2B ．3C ．-2 或 3D ．-3 或 2【答案】B1 3x 3+ (a + 1)x 2 - ( a 2 + a - 3 )x 的【解析】 f (x ) =1 3 x 3 + (a + 1) x2 - (a 2 + a - 3)x ⇒ f '( x ) = x 2 + 2(a + 1) x - (a 2 + a - 3)，2 0( )( )( ).由题意可知 f '(1) = 0 ，即1 + 2(a + 1) - a 2 + a - 3 = 0 ⇒ a = 3 或 a = -2 ，当 a = 3 时， f '( x ) = x 2 + 2(a + 1)x - a 2 + a - 3 = x 2 + 8x - 9 = ( x + 9)( x - 1) ，当 x > 1 或 x < -9 时， f '( x ) > 0 ，函数单调递增；当 -9 < x < 1 时， f '( x ) < 0 ，函数单调递减，显然 x = 1 是函数 f (x )的极值点；当 a = -2 时， f '( x ) = x 2 + 2(a + 1) x - a 2 + a - 3 = x 2 - 2 x + 1 = ( x - 1)2 ≥ 0 ，所以函数 f ( x ) 是 R 上的单调递增函数，没有极值，不符合题意，舍去.故 a = 3 .故选 B ．【名师点睛】本题考查了已知函数的极值，求参数的问题.本题易错的地方是求出 a 的值，没有通过单调性来验证 x = 1 是不是函数的极值点，也就是说使得导函数为零的自变量的值，不一定是极值点24．【黑龙江省大庆市第一中学 2019 届高三下学期第四次模拟（最后一卷)考试】已知奇函数 f (x )是定义在 R 上的可导函数，其导函数为 f ' (x )，当 x > 0 时，有 2 f (x )+ xf ' (x ) > x 2 ，则不等式(x + 2018 )2 f (x+2018 )＋4 f (-2 ) < 0 的解集为A ． (-∞, -2016)C ． (-∞, -2018) 【答案】A【解析】设 g (x ) = x 2 f (x )，因为 f (x )为 R 上的奇函数，所以 g (- x ) = (- x )2 f (- x ) = - x 2 f (x ) ，即 g (x )为 R 上的奇函数对 g (x )求导，得 g ' (x ) = x ⎡⎣2 f (x )+ xf ' (x )⎤⎦ ，而当 x > 0 时，有 2 f (x )+ xf ' (x ) > x 2 ≥ 0 ，故 x > 0 时， g ' (x ) > 0 ，即 g (x )单调递增，B ． (-2016,-2012)D ． (-2016,0)【所以 g (x )在 R 上单调递增，则不等式 (x + 2018 )2 f (x+2018 )＋4 f (-2 ) < 0 即 (x + 2018)2 f (x+2018 ) < -4 f (-2 ) ，即 (x + 2018)2 f (x+2018 ) < 4 f (2 )，即 g (x + 2018) < g (2)，所以 x + 2018 < 2 ，解得 x < -2016.故选 A.【名师点睛】本题考查构造函数解不等式，利用导数求函数的单调性，函数的奇偶性，题目较综合，有一定的技巧性，属于中档题.25．重庆西南大学附属中学校 2019 届高三第十次月考数学】曲线 f ( x ) =线与直线 ax - y - 1 = 0 垂直，则 a = ________.1 【答案】 -21 2 x 2+ x ln x 在点 (1，f (1))处的切【解析】因为 f ( x ) = 1 2x 2+ x ln x ，所以 f '( x ) = x + ln x + 1 ，因此，曲线 f ( x ) =12x 2 + x ln x 在点 (1，f (1))处的切线斜率为 k = f '(1) = 1 + 1 = 2 ，又该切线与直线 ax - y - 1 = 0 垂直，所以 a = - 1 2.1故答案为 - .2【名师点睛】本题主要考查导数在某点处的切线斜率问题，熟记导数的几何意义即可求解，属于常考题型.⎧2x 2 , x ≤ 0, 26．【广东省深圳市高级中学 2019 届高三适应性考试（6 月）数学】已知函数 f ( x ) = ⎨ ⎩ e x , x > 0,[ f ( x )]2 = a 恰有两个不同的实数根 x , x ，则 x + x 的最大值是______．12 1 2【答案】 3ln 2 - 2【解析】作出函数 f (x )的图象如图所示，若方程不妨设 x < x ，则 2x 2 = e x 2 = a ，22f ' (x ) ；（3）解方程 f ' (x ) = 0, 求出函数定义域内的所有根；（4）判断 f ' (x ) 在 f ' (x ) = 0 的根 x 左（x 4 - ax 2 ， a ∈ R .由 ⎡⎣ f (x )⎤⎦ 2 = a ，可得 f ( x) =a ,∴ a > 1，即 a > 1 ，121令 a = t (t > 1) ，则 x = -t, x = ln t ，1 2∴ x + x = ln t -t12，令 g (t ) = ln t - t 4 - 2t，则 g '(t ) = ，2 4t∴ 当1 < t < 8 时， g ' (t ) > 0 ， g (t )在 (1,8 )上单调递增；当 t >8 时， g ' (t ) < 0 ， g (t )在 (8, +∞)上单调递减，∴ 当 t = 8 时， g (t )取得最大值，为 g (8) = ln8 - 2 = 3ln2 - 2 .故答案为 3ln 2 - 2 .【名师点睛】本题主要考查方程的根与图象交点的关系，考查了利用导数判断函数的单调性以及求函数的极值与最值，属于难题.求函数 f (x )的极值与最值的步骤：（1）确定函数的定义域；（2）求导数右两侧值的符号，如果左正右负（左增右减），那么 f (x )在 x 处取极大值，如果左负右正（左减右增），那么 f (x )在 x 处取极小值.（5）如果只有一个极值点，则在该点处取得极值也是最值； 6）如果求闭 0区间上的最值还需要比较端点处的函数值与极值的大小.27．【山东省烟台市 2019 届高三 3 月诊断性测试（一模）数学】已知函数 f ( x ) =（1）当 a = 1 时，求曲线 f ( x ) 在点 (2, f (2)) 处的切线方程；1 14 2（2）设函数g(x)=(x2-2x+2-a)e x-e f(x)，其中e=2.71828...是自然对数的底数，讨论g(x)的单调性并判断有无极值，有极值时求出极值．【答案】（1）6x-y-10=0；（2）当a≤0时，g(x)在(-∞,+∞)上单调递增，无极值；当a>0时，g(x)在(-∞,-a)和(a,+∞)单调递增，在(-a,a)单调递减，极大值为g(-a)=(2a+2)e-ae+a2，极小值为4g(a)=(-2a+2)e ae+a2. 4【解析】（1）由题意f'(x)=x3-ax，所以当a=1时，f(2)=2，f'(2)=6，因此曲线y=f(x)在点(2,f(2))处的切线方程是y-2=6(x-2)，即6x-y-10=0.（2）因为g(x)=(x2-2x+2-a)e x-e f(x)，所以g'(x)=(2x-2)e x+(x2-2x+2-a)e x-e f'(x)=(x2-a)e x-e(x3-ax)=(x2-a)(e x-e x)，令h(x)=e x-e x，则h'(x)=e x-e，令h'(x)=0得x=1，当x∈(-∞,1)时，h'(x)<0，h(x)单调递减，当x∈(1,+∞)时，h'(x)>0，h(x)单调递增，所以当x=1时，h(x)min=h(1)=0，也就说，对于∀x∈R恒有h(x)≥0.当a≤0时，g'(x)=(x2-a)h(x)≥0，g(x)在(-∞,+∞)上单调递增，无极值；当a>0时，令g'(x)=0，可得x=±a．当x<-a或x>a时，g'(x)=(x2-a)h(x)≥0，g(x)单调递增，当-a<x<a时，g'(x)<0，g(x)单调递减，因此，当x=-a时，g(x)取得极大值g(-a)=(2a+2)e-ae+a2；4当x=a时，g(x)取得极小值g(a)=(-2a+2)e ae+a2. 4综上所述：当a≤0时，g(x)在(-∞,+∞)上单调递增，无极值；当a>0时，g(x)在(-∞,-a)和(a,+∞)上单调递增，在(-a,a)上单调递减，函数既有极大值，又有极小值，极大值为g(-a)=(2a+2)e-ae+a2，4极小值为g(a)=(-2a+2)e ae+a2. 4【名师点睛】本题考查了函数的单调性，极值问题，考查导数的应用以及分类讨论思想，转化思想，是一道综合题．28．【陕西省2019届高三第三次联考数学】已知函数，，.（1）求函数的极值点；（2）若恒成立，求的取值范围.【答案】（1）极大值点为，无极小值点.（2）.【解析】（1）f(x)=lnx-ax的定义域为，，当时，，所以在上单调递增，无极值点；当时，解得，解得，所以在上单调递增，在上单调递减，所以函数有极大值点，为，无极小值点.（2）由条件可得恒成立，则当时，令恒成立，，则，令，则当时，，所以在上为减函数.又，所以在上，；在上，.所以在上为增函数，在上为减函数，所以，所以.【名师点睛】对于函数恒成立或者有解求参的问题，常用方法有：变量分离，参变分离，转化为函数最值问题；或者直接求函数最值，使得函数最值大于或者小于0；或者分离成两个函数，使得一个函数恒大于或小于另一个函数.29．【山东省济宁市2019届高三二模数学】已知函数.（1）若函数在上单调递减，求实数的取值范围；（2）若，求的最大值.【答案】（1）；（2）.【解析】（1）由题意知，在上恒成立，所以在上恒成立.令，则，所以在上单调递增，所以，所以.（2）当时，.则，令，则，所以在上单调递减.由于，，所以存在满足，即.当时，，；当时，，.所以在上单调递增，在上单调递减.所以，因为，所以，所以，所以..【名师点睛】本题主要考查利用导数研究函数的单调性，最值，零点存在性定理及其应用，分类讨论的数学思想等知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力30．【福建省龙岩市 2019 届高三 5 月月考数学】今年 3 月 5 日，国务院总理李克强作的政府工作报告中，提到要“惩戒学术不端，力戒学术不端，力戒浮躁之风”.教育部日前公布的《教育部 2019 年部门预算》中透露，2019 年教育部拟抽检博士学位论文约 6000 篇，预算为 800 万元.国务院学位委员会、教育部2014 年印发的《博士硕士学位论文抽检办法》通知中规定：每篇抽检的学位论文送 3 位同行专家进行评议，3 位专家中有 2 位以上（含 2 位）专家评议意见为“不合格”的学位论文，将认定为“存在问题学位论文”.有且只有 1 位专家评议意见为“不合格”的学位论文，将再送 2 位同行专家进行复评，2 位复评专家中有 1 位以上（含 1 位）专家评议意见为“不合格”的学位论文，将认定为“存在问题学位论文”.设每篇学位论文被每位专家评议为“不合格”的概率均为 p (0 < p < 1) ，且各篇学位论文是否被评议为“不合格”相互独立.（1）记一篇抽检的学位论文被认定为“存在问题学位论文”的概率为 f ( p ) ，求 f ( p ) ；（2）若拟定每篇抽检论文不需要复评的评审费用为 900 元，需要复评的评审费用为 1500 元；除评审费外，其它费用总计为 100 万元.现以此方案实施，且抽检论文为 6000 篇，问是否会超过预算？并说明理由.【答案】（1）；（2）若以此方案实施，不会超过预算.【解析】（1）因为一篇学位论文初评被认定为“存在问题学位论文”的概率为，一篇学位论文复评被认定为“存在问题学位论文”的概率为，所以一篇学位论文被认定为“存在问题学位论文”的概率为.（2）设每篇学位论文的评审费为元，则的可能取值为 900，1500.，，所以.令,.当时，，在上单调递增；.当时，，在上单调递减,所以的最大值为.所以实施此方案，最高费用为（万元）.综上，若以此方案实施，不会超过预算.【名师点睛】本题主要考查互斥事件的概率和独立重复试验的概率的求法，考查随机变量的期望的求法，考查利用导数求函数的最大值，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平和分析推理能力31．【北京市西城区 2019 届高三 4 月统一测试（一模）数学】设函数 e，其中．（1）当为偶函数时，求函数的极值；（2）若函数在区间上有两个零点，求的取值范围．【答案】（1）极小值，极大值；（2） e或 .ee【解析】（1）由函数是偶函数，得，即 ee对于任意实数都成立，所以.此时，则.由，解得.当 x 变化时，与的变化情况如下表所示：↘极小值 ↗ 极大值 ↘所以在，上单调递减，在上单调递增.所以有极小值，极大值.（2）由 e，得. e所以“在区间上有两个零点”等价于“直线与曲线，有且只有两e个公共点”..对函数求导，得. e由，解得，.当 x 变化时，与的变化情况如下表所示：↘极小值↗ 极大值 ↘所以在，上单调递减，在上单调递增.又因为e ，e ，，，所以当ee或时，直线与曲线e，有且只有两个公共点.eee即当 e 或时，函数在区间上有两个零点.ee【名师点睛】利用函数零点的情况求参数值或取值范围的方法：（1）利用零点存在的判定定理构建不等式求解.（2）分离参数后转化为函数的值域(最值)问题求解.（3）转化为两熟悉的函数图象问题，从而构建不等式求解。

高考复习专题03 导数及其应用选择填空题(含解析)三年高考试题

1．【2019年新课标3理科06】已知曲线y＝ae x+xlnx在点（1，ae）处的切线方程为y＝2x+b，则（）A．a＝e，b＝﹣1B．a＝e，b＝1C．a＝e﹣1，b＝1D．a＝e﹣1，b＝﹣12．【2019年新课标3理科07】函数y在[﹣6，6]的图象大致为（）A．B．C．⊈D．3．【2019年新课标1理科05】函数f（x）在[﹣π，π]的图象大致为（）A．B．C．D．4．【2018年新课标1理科05】设函数f（x）＝x3+（a﹣1）x2+ax．若f（x）为奇函数，则曲线y＝f（x）在点（0，0）处的切线方程为（）A．y＝﹣2x B．y＝﹣x C．y＝2x D．y＝x5．【2018年新课标2理科03】函数f（x）的图象大致为（）A．B．C．D．6．【2018年新课标3理科07】函数y＝﹣x4+x2+2的图象大致为（）A．B．C．D．7．【2018年浙江05】函数y＝2|x|sin2x的图象可能是（）A．B．C．D．8．【2017年新课标2理科11】若x＝﹣2是函数f（x）＝（x2+ax﹣1）e x﹣1的极值点，则f （x）的极小值为（）A．﹣1B．﹣2e﹣3C．5e﹣3D．19．【2017年新课标3理科11】已知函数f（x）＝x2﹣2x+a（e x﹣1+e﹣x+1）有唯一零点，则a ＝（）A．B．C．D．110．【2017年浙江07】函数y＝f（x）的导函数y＝f′（x）的图象如图所示，则函数y＝f（x）的图象可能是（）A．B．C．D．11．【2019年新课标1理科13】曲线y＝3（x2+x）e x在点（0，0）处的切线方程为．12．【2019年北京理科13】设函数f（x）＝e x+ae﹣x（a为常数）．若f（x）为奇函数，则a ＝；若f（x）是R上的增函数，则a的取值范围是．13．【2019年江苏10】在平面直角坐标系xOy中，P是曲线y＝x（x＞0）上的一个动点，则点P到直线x+y＝0的距离的最小值是．14．【2019年江苏11】在平面直角坐标系xOy中，点A在曲线y＝lnx上，且该曲线在点A 处的切线经过点（﹣e，﹣1）（e为自然对数的底数），则点A的坐标是．15．【2019年浙江16】已知a∈R，函数f（x）＝ax3﹣x．若存在t∈R，使得|f（t+2）﹣f（t）|，则实数a的最大值是．16．【2018年江苏11】若函数f（x）＝2x3﹣ax2+1（a∈R）在（0，+∞）内有且只有一个零点，则f（x）在[﹣1，1]上的最大值与最小值的和为．17．【2018年新课标2理科13】曲线y＝2ln（x+1）在点（0，0）处的切线方程为．18．【2018年新课标3理科14】曲线y＝（ax+1）e x在点（0，1）处的切线的斜率为﹣2，则a＝．19．【2017年江苏11】已知函数f（x）＝x3﹣2x+e x，其中e是自然对数的底数．若f（a ﹣1）+f（2a2）≤0．则实数a的取值范围是．1．【2019年新课标3理科06】已知曲线y＝ae x+xlnx在点（1，ae）处的切线方程为y＝2x+b，则（）A．a＝e，b＝﹣1B．a＝e，b＝1C．a＝e﹣1，b＝1D．a＝e﹣1，b＝﹣1【解答】解：y＝ae x+xlnx的导数为y′＝ae x+lnx+1，由在点（1，ae）处的切线方程为y＝2x+b，可得ae+1+0＝2，解得a＝e﹣1，又切点为（1，1），可得1＝2+b，即b＝﹣1，故选：D．2．【2019年新课标3理科07】函数y在[﹣6，6]的图象大致为（）A．B．C．⊈D．【解答】解：由y＝f（x）在[﹣6，6]，知f（﹣x），∴f（x）是[﹣6，6]上的奇函数，因此排除C又f（4），因此排除A，D．故选：B．3．【2019年新课标1理科05】函数f（x）在[﹣π，π]的图象大致为（）A．B．C．D．【解答】解：∵f（x），x∈[﹣π，π]，∴f（﹣x）f（x），∴f（x）为[﹣π，π]上的奇函数，因此排除A；又f（），因此排除B，C；故选：D．4．【2018年新课标1理科05】设函数f（x）＝x3+（a﹣1）x2+ax．若f（x）为奇函数，则曲线y＝f（x）在点（0，0）处的切线方程为（）A．y＝﹣2x B．y＝﹣x C．y＝2x D．y＝x【解答】解：函数f（x）＝x3+（a﹣1）x2+ax，若f（x）为奇函数，可得a＝1，所以函数f（x）＝x3+x，可得f′（x）＝3x2+1，曲线y＝f（x）在点（0，0）处的切线的斜率为：1，则曲线y＝f（x）在点（0，0）处的切线方程为：y＝x．故选：D．5．【2018年新课标2理科03】函数f（x）的图象大致为（）A．B．C．D．【解答】解：函数f（﹣x）f（x），则函数f（x）为奇函数，图象关于原点对称，排除A，当x＝1时，f（1）＝e0，排除D．当x→+∞时，f（x）→+∞，排除C，故选：B．6．【2018年新课标3理科07】函数y＝﹣x4+x2+2的图象大致为（）A．B．C．D．【解答】解：函数过定点（0，2），排除A，B．函数的导数f′（x）＝﹣4x3+2x＝﹣2x（2x2﹣1），由f′（x）＞0得2x（2x2﹣1）＜0，得x或0＜x，此时函数单调递增，由f′（x）＜0得2x（2x2﹣1）＞0，得x或x＜0，此时函数单调递减，排除C，也可以利用f（1）＝﹣1+1+2＝2＞0，排除A，B，故选：D．7．【2018年浙江05】函数y＝2|x|sin2x的图象可能是（）A．B．C．D．【解答】解：根据函数的解析式y＝2|x|sin2x，得到：函数的图象为奇函数，故排除A和B．当x时，函数的值也为0，故排除C．故选：D．8．【2017年新课标2理科11】若x＝﹣2是函数f（x）＝（x2+ax﹣1）e x﹣1的极值点，则f （x）的极小值为（）A．﹣1B．﹣2e﹣3C．5e﹣3D．1【解答】解：函数f（x）＝（x2+ax﹣1）e x﹣1，可得f′（x）＝（2x+a）e x﹣1+（x2+ax﹣1）e x﹣1，x＝﹣2是函数f（x）＝（x2+ax﹣1）e x﹣1的极值点，可得：f′（﹣2）＝（﹣4+a）e﹣3+（4﹣2a﹣1）e﹣3＝0，即﹣4+a+（3﹣2a）＝0．解得a＝﹣1．可得f′（x）＝（2x﹣1）e x﹣1+（x2﹣x﹣1）e x﹣1，＝（x2+x﹣2）e x﹣1，函数的极值点为：x＝﹣2，x＝1，当x＜﹣2或x＞1时，f′（x）＞0函数是增函数，x∈（﹣2，1）时，函数是减函数，x＝1时，函数取得极小值：f（1）＝（12﹣1﹣1）e1﹣1＝﹣1．故选：A．9．【2017年新课标3理科11】已知函数f（x）＝x2﹣2x+a（e x﹣1+e﹣x+1）有唯一零点，则a ＝（）A．B．C．D．1【解答】解：因为f（x）＝x2﹣2x+a（e x﹣1+e﹣x+1）＝﹣1+（x﹣1）2+a（e x﹣1）＝0，所以函数f（x）有唯一零点等价于方程1﹣（x﹣1）2＝a（e x﹣1）有唯一解，等价于函数y＝1﹣（x﹣1）2的图象与y＝a（e x﹣1）的图象只有一个交点．①当a＝0时，f（x）＝x2﹣2x≥﹣1，此时有两个零点，矛盾；②当a＜0时，由于y＝1﹣（x﹣1）2在（﹣∞，1）上递增、在（1，+∞）上递减，且y＝a（e x﹣1）在（﹣∞，1）上递增、在（1，+∞）上递减，所以函数y＝1﹣（x﹣1）2的图象的最高点为A（1，1），y＝a（e x﹣1）的图象的最高点为B（1，2a），由于2a＜0＜1，此时函数y＝1﹣（x﹣1）2的图象与y＝a（e x﹣1）的图象有两个交点，矛盾；③当a＞0时，由于y＝1﹣（x﹣1）2在（﹣∞，1）上递增、在（1，+∞）上递减，且y＝a（e x﹣1）在（﹣∞，1）上递减、在（1，+∞）上递增，所以函数y＝1﹣（x﹣1）2的图象的最高点为A（1，1），y＝a（e x﹣1）的图象的最低点为B（1，2a），由题可知点A与点B重合时满足条件，即2a＝1，即a，符合条件；综上所述，a，故选：C．10．【2017年浙江07】函数y＝f（x）的导函数y＝f′（x）的图象如图所示，则函数y＝f（x）的图象可能是（）A．B．C．D．【解答】解：由当f′（x）＜0时，函数f（x）单调递减，当f′（x）＞0时，函数f（x）单调递增，则由导函数y＝f′（x）的图象可知：f（x）先单调递减，再单调递增，然后单调递减，最后单调递增，排除A，C，且第二个拐点（即函数的极大值点）在x轴上的右侧，排除B，故选：D．11．【2019年新课标1理科13】曲线y＝3（x2+x）e x在点（0，0）处的切线方程为．【解答】解：∵y＝3（x2+x）e x，∴y'＝3e x（x2+3x+1），∴当x＝0时，y'＝3，∴y＝3（x2+x）e x在点（0，0）处的切线斜率k＝3，∴切线方程为：y＝3x．故答案为：y＝3x．12．【2019年北京理科13】设函数f（x）＝e x+ae﹣x（a为常数）．若f（x）为奇函数，则a ＝；若f（x）是R上的增函数，则a的取值范围是．【解答】解：根据题意，函数f（x）＝e x+ae﹣x，若f（x）为奇函数，则f（﹣x）＝﹣f（x），即e﹣x+ae x＝﹣（e x+ae﹣x），变形可得a＝﹣1，函数f（x）＝e x+ae﹣x，导数f′（x）＝e x﹣ae﹣x若f（x）是R上的增函数，则f（x）的导数f′（x）＝e x﹣ae﹣x≥0在R上恒成立，变形可得：a≤e2x恒成立，分析可得a≤0，即a的取值范围为（﹣∞，0]；故答案为：﹣1，（﹣∞，0]．13．【2019年江苏10】在平面直角坐标系xOy中，P是曲线y＝x（x＞0）上的一个动点，则点P到直线x+y＝0的距离的最小值是．【解答】解：由y＝x（x＞0），得y′＝1，设斜率为﹣1的直线与曲线y＝x（x＞0）切于（x0，），由，解得（x0＞0）．∴曲线y＝x（x＞0）上，点P（）到直线x+y＝0的距离最小，最小值为．故答案为：4．14．【2019年江苏11】在平面直角坐标系xOy中，点A在曲线y＝lnx上，且该曲线在点A 处的切线经过点（﹣e，﹣1）（e为自然对数的底数），则点A的坐标是．【解答】解：设A（x0，lnx0），由y＝lnx，得y′，∴，则该曲线在点A处的切线方程为y﹣lnx0，∵切线经过点（﹣e，﹣1），∴，即，则x0＝e．∴A点坐标为（e，1）．故答案为：（e，1）．15．【2019年浙江16】已知a∈R，函数f（x）＝ax3﹣x．若存在t∈R，使得|f（t+2）﹣f（t）|，则实数a的最大值是．【解答】解：存在t∈R，使得|f（t+2）﹣f（t）|，即有|a（t+2）3﹣（t+2）﹣at3+t|，化为|2a（3t2+6t+4）﹣2|，可得2a（3t2+6t+4）﹣2，即a（3t2+6t+4），由3t2+6t+4＝3（t+1）2+1≥1，可得0＜a，可得a的最大值为．故答案为：．16．【2018年江苏11】若函数f（x）＝2x3﹣ax2+1（a∈R）在（0，+∞）内有且只有一个零点，则f（x）在[﹣1，1]上的最大值与最小值的和为．【解答】解：∵函数f（x）＝2x3﹣ax2+1（a∈R）在（0，+∞）内有且只有一个零点，∴f′（x）＝2x（3x﹣a），x∈（0，+∞），①当a≤0时，f′（x）＝2x（3x﹣a）＞0，函数f（x）在（0，+∞）上单调递增，f（0）＝1，f（x）在（0，+∞）上没有零点，舍去；②当a＞0时，f′（x）＝2x（3x﹣a）＞0的解为x，∴f（x）在（0，）上递减，在（，+∞）递增，又f（x）只有一个零点，∴f（）1＝0，解得a＝3，f（x）＝2x3﹣3x2+1，f′（x）＝6x（x﹣1），x∈[﹣1，1]，f′（x）＞0的解集为（﹣1，0），f（x）在（﹣1，0）上递增，在（0，1）上递减，f（﹣1）＝﹣4，f（0）＝1，f（1）＝0，∴f（x）min＝f（﹣1）＝﹣4，f（x）max＝f（0）＝1，∴f（x）在[﹣1，1]上的最大值与最小值的和为：f（x）max+f（x）min＝﹣4+1＝﹣3．17．【2018年新课标2理科13】曲线y＝2ln（x+1）在点（0，0）处的切线方程为．【解答】解：∵y＝2ln（x+1），∴y′，当x＝0时，y′＝2，∴曲线y＝2ln（x+1）在点（0，0）处的切线方程为y＝2x．故答案为：y＝2x．18．【2018年新课标3理科14】曲线y＝（ax+1）e x在点（0，1）处的切线的斜率为﹣2，则a＝．【解答】解：曲线y＝（ax+1）e x，可得y′＝ae x+（ax+1）e x，曲线y＝（ax+1）e x在点（0，1）处的切线的斜率为﹣2，可得：a+1＝﹣2，解得a＝﹣3．故答案为：﹣3．19．【2017年江苏11】已知函数f（x）＝x3﹣2x+e x，其中e是自然对数的底数．若f（a ﹣1）+f（2a2）≤0．则实数a的取值范围是．【解答】解：函数f（x）＝x3﹣2x+e x的导数为：f′（x）＝3x2﹣2+e x2+20，可得f（x）在R上递增；又f（﹣x）+f（x）＝（﹣x）3+2x+e﹣x﹣e x+x3﹣2x+e x0，可得f（x）为奇函数，则f（a﹣1）+f（2a2）≤0，即有f（2a2）≤﹣f（a﹣1）由f（﹣（a﹣1））＝﹣f（a﹣1），f（2a2）≤f（1﹣a），即有2a2≤1﹣a，解得﹣1≤a，故答案为：[﹣1，]．。

《精品》2017-2019三年高考真题数学(理)分项汇编专题03导数及其应用(选择题、填空题)(原卷

专题03导数及其应用（选择题、填空题）1．【2019年高考全国Ⅲ卷理数】已知曲线y a e x x ln x在点（1，a e）处的切线方程为y=2x+b，则A．a e，b1B．a=e，b=1C．a e 1，b 1D．a e 1，b 12．【2018年高考全国Ⅰ卷理数】设函数f(x)x3(a 1)x2ax.若f(x)为奇函数，则曲线y f(x)在点(0,0)处的切线方程为y 2xA．y 2xC．3．【2017年高考全国Ⅱ卷理数】若x2是函数y xB．y xD．f(x)(x2ax 1)e x 1的极值点，则f(x)的极小值为A．1B．2e 3C．5e 3D．14．【2017年高考浙江】函数y=f(x)的导函数y f (x)的图象如图所示，则函数y=f(x)的图象可能是5．【2018年高考全国Ⅱ卷理数】函数f x e xex2x的图像大致为16．【2018 年高考全国Ⅲ卷理数】函数yx 4 x 2 2的图像大致为7．【2019 年高考天津理数】已知 aR ，设函数 f ( x )x 2 2a x 2a , x 1,x a ln x , x 1.若关于 x 的不等式 f ( x ) 0在 R上恒成立，则 a的取值范围为A ．C ．0,10,eB ．D ．0,21,e8．【2019 年高考浙江】已知恰有 3 个零点，则 A ．a <–1，b<0C ．a >–1，b<0x, x 0 a , b R ，函数 f ( x )1 1x 3 (a 1)x 2 ax , x 03 2B ．a <–1，b >0D ．a >–1，b >0．若函数y f ( x ) ax b9．【2017 年高考全国Ⅲ卷理数】已知函数f ( x ) x22 x a (ex 1ex 1)有唯一零点，则 a =A ．12B ．1 3C ．1 2D ．110．【2019 年高考全国Ⅰ卷理数】曲线y 3( x2x )ex在点(0，0) 处的切线方程为____________．211．【2018 年高考全国Ⅱ卷理数】曲线y 2ln( x 1) 在点 (0, 0) 处的切线方程为__________．12．【2018 年高考全国Ⅲ卷理数】曲线yax 1ex在点0,1处的切线的斜率为2，则 a ________．的距离的最小值是 13．【2019 年高考江苏】在平面直角坐标系 xOy 直线 x y 0中，P 是曲线 y x .4 x( x 0)上的一个动点，则点 P 到14．【2018 年高考全国Ⅰ卷理数】已知函数fx 2si n x sin2 x ，则 fx的最小值是_____________．15．【2019 年高考江苏】在平面直角坐标系 xOy中，点 A 在曲线 y =ln x 上，且该曲线在点 A 处的切线经过点（-e ，-1)(e 为自然对数的底数），则点 A 的坐标是.16．【2019 年高考北京理数】设函数fx exa ex（a 为常数）．若 f （x ）为奇函数，则 a =________；若 f （x ）是 R 上的增函数，则 a 的取值范围是___________．17．【2018 年高考江苏】若函数在内有且只有一个零点，则在上的最大值与最小值的和为．18．【2017 年高考江苏】已知函数f ( x )x 2 x e1e，其中 e 是自然对数的底数．若f (a 1)f (2 a 2) 0 ，则实数 a 的取值范围是．19．【2017 年高考山东理数】若函数e xf ( x ) （ e2.71828是自然对数的底数）在 f ( x )的定义域上单调递增，则称函数 f ( x )具有 M 性质.下列函数中所有具有 M 性质的函数的序号为.①f ( x ) 2x②f ( x ) 3x③f ( x ) x3④f ( x ) x223 xx3。

精选最新版2019高考数学《导数及其应用》专题完整题(含答案)

2019年高中数学单元测试卷导数及其应用学校：__________ 姓名：__________ 班级：__________ 考号：__________一、选择题1．已知二次函数2()f x ax bx c =++的导数为'()f x ，'(0)0f >，对于任意实数x 都有()0f x ≥，则(1)'(0)f f 的最小值为（）（2007江苏9） A ．3B ．52 C ．2 D ．322．若()ln f x x x x 2=-2-4，则'()f x >0的解集为A. (,)0+∞B. -+10⋃2∞（，）（，）C. (,)2+∞D. (,)-10(2011年高考江西卷理科4)二、填空题3．若3()3f x ax x =-在R 上是单调函数，则a 的取值范围为______.4．当h 无限趋近于0时，22(2)2h h+-无限趋近于常数A ，则常数A 的值为。

15．函数()ln f x x x =+的导数是'()f x = ▲ .6．]2,2[)(62)(23-+-=在是常数已知a a x x x f 上有最大值3，那么在]2,2[-上)(x f 的最小值是_7．在某条件下的汽车测试中，驾驶员在一次加满油后的连续行驶过程中从汽车仪表盘得到如下信息：注：油耗=加满油后已行驶距离加满油后已用油量，可继续行驶距离=当前油耗汽车剩余油量，平均油耗指定时间内的行驶距离指定时间内的用油量=.从上述信息可以推断在10∶00—11∶00这1小时内__②③__ (填上所有正确判断的序号) .①行使了80公里； ②行使不足80公里；③平均油耗超过9.6升/100公里； ④平均油耗恰为9.6升/100公里； ⑤平均车速超过80公里/小时．解题过程：实际用油为7.38.行驶距离为875.761006.938.7=⨯<，所以①错误，②正确. 设L 为已用油量，△L 为一个小时内的用油量，S 为已行驶距离，△S 为一个小时内已行的距离⎪⎩⎪⎨⎧=∆+∆+=6.95.9SS LL S L得S S V V ∆+=∆+6.96.9， S S V S ∆+=∆+6.96.95.9，S S V ∆+=∆6.91.0，6.96.91.0>+∆=∆∆SSS V . 所以③正确，④错误.⑤由②知错误.8．函数231()23f x x x =-在区间[]1,5-上的最大值是 3239．若32)1(+=+x x g ，则)(x g 等于三、解答题 10．设()ln af x x x x=+，32()3g x x x =--．（1）当2a =时，求曲线()y f x =在1x =处的切线方程；（2）如果存在12,[0,2]x x ∈，使得12()()g x g x M -≥成立，求满足上述条件的最大整数M ；（3）如果对任意的1,[,2]2s t ∈，都有()()f s g t ≥成立，求实数a 的取值范围．（2010杭州学军中学模拟）关键字：两函数；求切线方程；恒成立问题；求最值；11．设3=x是函数()()()R x e b ax x x f x ∈++=-32的一个极值点.（Ⅰ）求a 与b 的关系式（用a 表示b ），并求()x f 的单调区间；（Ⅱ）设0>a ，()xe a x g ⎪⎭⎫ ⎝⎛+=4252.若存在[]4,0,21∈εε使得()()121<-εεg f 成立，求a 的取值范围.[考查目的]本小题主要考查函数、不等式和导数的应用等知识，考查综合运用数学知识解决问题的能力.[解答过程]（Ⅰ）f `(x)＝－[x 2＋(a －2)x ＋b －a ]e 3－x ,由f `(3)=0，得－[32＋(a －2)3＋b －a ]e 3－3＝0，即得b ＝－3－2a ，则 f `(x)＝[x 2＋(a －2)x －3－2a －a ]e 3－x＝－[x 2＋(a －2)x －3－3a ]e 3－x ＝－(x －3)(x ＋a+1)e 3－x .令f `(x)＝0，得x 1＝3或x 2＝－a －1，由于x ＝3是极值点，所以x+a+1≠0，那么a ≠－4. 当a <－4时，x 2>3＝x 1，则在区间（－∞，3）上，f `(x)<0， f (x)为减函数；在区间（3，―a ―1）上，f `(x)>0，f (x)为增函数；在区间（―a ―1，＋∞）上，f `(x)<0，f (x)为减函数. 当a >－4时，x 2<3＝x 1，则在区间（－∞，―a ―1）上，f `(x)<0， f (x)为减函数；在区间（―a ―1，3）上，f `(x)>0，f (x)为增函数；在区间（3，＋∞）上，f `(x)<0，f (x)为减函数.（Ⅱ）由（Ⅰ）知，当a >0时，f (x)在区间（0，3）上的单调递增，在区间（3，4）上单调递减，那么f (x)在区间[0，4]上的值域是[min(f (0)，f (4) )，f (3)]，而f (0)＝－（2a ＋3）e 3<0，f (4)＝（2a ＋13）e －1>0，f (3)＝a ＋6，那么f (x)在区间[0，4]上的值域是[－（2a ＋3）e 3，a ＋6]. 又225()()4x g x a e =+在区间[0，4]上是增函数，且它在区间[0，4]上的值域是[a 2＋425，（a 2＋425）e 4]，由于（a 2＋425）－（a ＋6）＝a 2－a ＋41＝（21-a ）2≥0，所以只须仅须（a 2＋425）－（a ＋6）<1且a >0，解得0<a <23.故a 的取值范围是（0，23）.12．已知函数321()33f x x x x a =-+++．（1）求()f x 的单调减区间；（2）若()f x 在区间[]3,4-上的最小值为73，求a 的值．13．某种产品每件成本为6元，每件售价为x 元（x >6），年销量为u 万件，若已知u-8585与2)421(-x 成正比，且售价为10元时，年销量为28万件.(1）求年销售利润y 关于x 的函数关系式；(2）求售价为多少时，年利润最大，并求出最大年利润.14．已知函数x ax x f ln )(+=，),1(e x ∈，且)(x f 有极值． (1）求实数a 的取值范围；(2）求函数)(x f 的值域；(3）函数2)(3--=x x x g ，证明：),1(1e x ∈∀，),1(0e x ∈∃，使得)()(10x f x g =成立．15．已知函数f(x)=21x 2－ax+(a －1)ln x ，1a >。

精选最新版2019高考数学《导数及其应用》专题完整考题(含参考答案)

2019年高中数学单元测试卷导数及其应用学校：__________ 姓名：__________ 班级：__________ 考号：__________一、选择题1．曲线y=sin x 1M(,0)sin x cos x 24π-+在点处的切线的斜率为( )（A ）．21-（B ）．21 （C ）．22- （D ）．22（2011湖南文7）2．函数()()mnf x ax x =1-g 在区间〔0,1〕上的图像如图所示，则m ，n 的值可能是（A ）1,1m n == (B) 1,2m n == (C) 2,1m n == (D) 3,1m n ==（2011安徽理）B 【命题意图】本题考查导数在研究函数单调性中的应用，考查函数图像，考查思维的综合能力.难度大.二、填空题3．已知函数f (x )＝e x －ax 在区间(0，1)上有极值，则实数a 的取值范围是 ▲ ．4．已知函数()2()10f x ax a =+>，3()g x x bx =+。

（1）若曲线()y f x =与曲线()y g x =在它们的交点()1,c 处具有公共切线，求a ，b 的值；（2）当24a b =时，求函数()()f x g x +的单调区间，并求其在区间(],1-∞-上的最大值。

5．函数y ＝2xx 2＋1的极大值为______，极小值为______．[答案] 1 －1[解析] y ′＝2(1＋x )(1－x )(x 2＋1)2，令y ′>0得－1<x <1，令y ′<0得x >1或x <－1， ∴当x ＝－1时，取极小值－1，当x ＝1时，取极大值1.xyO(2,0)P ()y f x =()y f x '=1 （第7题图）6．已知函数()y f x =及其导函数()y f x '=的图象如图所示，则曲线()y f x =在点P 处的切线方程是 ▲7．设函数()x x x f ln 2+=，若曲线()x f y =在点()()1,1f 处的切线方程为b ax y +=，则=+b a 。

2019年高考真题和模拟题分项汇编数学(理)专题03 导数及其应用(原卷版)

专题03 导数及其应用1．【2019年高考全国Ⅲ卷理数】已知曲线e ln x y a x x =+在点（1，a e ）处的切线方程为y =2x +b ，则 A ．e 1a b ==-， B ．a=e ，b =1 C ．1e 1a b -==，D ．1e a -=，1b =-2．【2019年高考天津理数】已知a ∈R ，设函数222,1,()ln ,1.x ax a x f x x a x x ⎧-+≤=⎨->⎩若关于x 的不等式()0f x ≥在R 上恒成立，则a 的取值范围为 A ．[]0,1 B ．[]0,2 C ．[]0,eD ．[]1,e3．（2019浙江）已知,a b ∈R ，函数32,0()11(1),032x x f x x a x ax x <⎧⎪=⎨-++≥⎪⎩．若函数()y f x ax b =--恰有3个零点，则 A ．a <–1，b <0 B ．a <–1，b >0 C ．a >–1，b <0D ．a >–1，b >04．【2019年高考全国Ⅰ卷理数】曲线23()e xy x x =+在点(0)0，处的切线方程为____________． 5．【2019年高考江苏】在平面直角坐标系xOy 中，P 是曲线4(0)y x x x=+>上的一个动点，则点P 到直线0x y +=的距离的最小值是 ▲ .6．【2019年高考江苏】在平面直角坐标系xOy 中，点A 在曲线y =ln x 上，且该曲线在点A 处的切线经过点（-e ，-1)(e 为自然对数的底数），则点A 的坐标是 ▲ .7．【2019年高考北京理数】设函数()e e xxf x a -=+（a 为常数）．若f （x ）为奇函数，则a =________；若f （x ）是R 上的增函数，则a 的取值范围是___________．8．【2019年高考全国Ⅰ卷理数】已知函数()sin ln(1)f x x x =-+，()f x '为()f x 的导数．证明：（1）()f x '在区间(1,)2π-存在唯一极大值点；（2）()f x 有且仅有2个零点．9．【2019年高考全国Ⅱ卷理数】已知函数()11ln x f x x x -=-+.（1）讨论f (x )的单调性，并证明f (x )有且仅有两个零点；（2）设x 0是f (x )的一个零点，证明曲线y =ln x 在点A (x 0，ln x 0)处的切线也是曲线e xy =的切线.10．【2019年高考全国Ⅲ卷理数】已知函数32()2f x x ax b =-+.（1）讨论()f x 的单调性；（2）是否存在,a b ，使得()f x 在区间[0,1]的最小值为1-且最大值为1？若存在，求出,a b 的所有值；若不存在，说明理由.11．【2019年高考北京理数】已知函数321()4f x x x x =-+．（Ⅰ）求曲线()y f x =的斜率为1的切线方程；（Ⅱ）当[2,4]x ∈-时，求证：6()x f x x -≤≤；（Ⅲ）设()|()()|()F x f x x a a =-+∈R ，记()F x 在区间[2,4]-上的最大值为M （a ）．当M （a ）最小时，求a 的值．12．【2019年高考天津理数】设函数()e cos ,()xf x xg x =为()f x 的导函数．（Ⅰ）求()f x 的单调区间；（Ⅱ）当,42x ππ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦时，证明()()02f x g x x π⎛⎫+-≥ ⎪⎝⎭；（Ⅲ）设n x 为函数()()1u x f x =-在区间2,242n n ππ⎛⎫π+π+ ⎪⎝⎭内的零点，其中n ∈N ，证明20022sin c s e o n n n x x x -πππ+-<-．13．【2019年高考浙江】已知实数0a ≠，设函数()=ln 1,0.f x a x x x ++>（1）当34a =-时，求函数()f x 的单调区间；（2）对任意21[,)e x ∈+∞均有()xf x ≤ 求a 的取值范围．注：e=2.71828…为自然对数的底数．14．【2019年高考江苏】设函数()()()(),,,f x x a x b x c a b c =---∈R 、()f 'x 为f （x ）的导函数．（1）若a =b =c ，f （4）=8，求a 的值；（2）若a ≠b ，b =c ，且f （x ）和()f 'x 的零点均在集合{3,1,3}-中，求f （x ）的极小值；（3）若0,01,1a b c =<=…，且f （x ）的极大值为M ，求证:M ≤427．15．【河北省武邑中学2019届高三第二次调研考试数学】函数f(x)=x 2−2lnx 的单调减区间是A ．(0,1]B ．[1,+∞)C ．(−∞,−1]∪(0，1]D ．[−1,0)∪(0,1]16．【江西省南昌市2019届高三模拟考试数学】已知f(x)在R 上连续可导，f ′(x)为其导函数，且f(x)=e x +e −x −f ′(1)x ⋅(e x −e −x )，则f ′(2)+f ′(−2)−f ′(0)f ′(1)= A ．4e 2+4e −2 B ．4e 2−4e −2 C ．0D ．4e 217．【江西省新八校2019届高三第二次联考数学】若3()3()21f x f x x x +-=++对x ∈R 恒成立，则曲线()y f x =在点()()1,1f 处的切线方程为A ．5250x y +-=B ．10450x y +-=C ．540x y +=D ．204150x y --=18．【云南省玉溪市第一中学2019届高三第二次调研考试数学】函数2l ()n f x x x =的最小值为A ．1e- B ．1e C ．12e-D ．12e19．【四川省内江市2019届高三第三次模拟考试数学】若函数f(x)=12ax 2+xlnx −x 存在单调递增区间，则a 的取值范围是 A ．1,1e ⎛⎫- ⎪⎝⎭B ．1,e ⎛⎫-+∞ ⎪⎝⎭C ．()1,-+∞D ．1,e ⎛⎫-∞ ⎪⎝⎭20．【山西省太原市2019届高三模拟试题（一）数学】已知定义在(0,+∞)上的函数f(x)满足xf ′(x)−f(x)<0，且f(2)=2，则f (e x )−e x >0的解集是 A ．(−∞,ln2) B ．(ln2,+∞) C ．(0,e 2)D ．(e 2,+∞)21．【河南省焦作市2019届高三第四次模拟考试数学】已知a =ln √33，b =e −1，c =3ln28，则a,b,c 的大小关系为 A ．b <c <a B ．a >c >b C ．a >b >cD ．b >a >c22．【安徽省毛坦厂中学2019届高三校区4月联考数学】已知f (x )=lnx +1−ae x ，若关于x 的不等式f (x )<0恒成立，则实数a 的取值范围是 A ．1,e ⎛⎫-∞ ⎪⎝⎭B ．(),0-∞C ．1,e ⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭D ．1,e ⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭23．【辽宁省丹东市2019届高三总复习质量测试】若1x =是函数()3221()(1)33f x x a x a a x =++-+-的极值点，则a 的值为 A ．-2 B ．3 C ．-2或3D ．-3或224．【黑龙江省大庆市第一中学2019届高三下学期第四次模拟（最后一卷)考试】已知奇函数()f x 是定义在R 上的可导函数，其导函数为()f x '，当0x >时，有()()22f x xf x x '>+，则不等式()()()22018+2018420x f x f +-<＋的解集为A ．(),2016-∞-B ．()2016,2012--C ．(),2018-∞-D ．()2016,0-25．【重庆西南大学附属中学校2019届高三第十次月考数学】曲线21()ln 2f x x x x =+在点(1(1))f ，处的切线与直线10ax y --=垂直，则a =________.26．【广东省深圳市高级中学2019届高三适应性考试（6月）数学】已知函数22,0,()e ,0,x x x f x x ⎧≤=⎨>⎩若方程2[()]f x a =恰有两个不同的实数根12,x x ，则12x x +的最大值是______．27．【山东省烟台市2019届高三3月诊断性测试（一模）数学】已知函数4211()42f x x ax =-，a ∈R . （1）当1a =时，求曲线()f x 在点(2,(2))f 处的切线方程；（2）设函数2()(22)e e ()xg x x x a f x =-+--，其中e 2.71828...=是自然对数的底数，讨论()g x 的单调性并判断有无极值，有极值时求出极值．28．【陕西省2019届高三第三次联考数学】已知函数f(x)=lnx−ax，g(x)=x2，a∈R.（1）求函数f(x)的极值点；（2）若f(x)≤g(x)恒成立，求a的取值范围.29．【山东省济宁市2019届高三二模数学】已知函数f(x)=lnx−xe x+ax(a∈R).（1）若函数f(x)在[1,+∞)上单调递减，求实数a的取值范围；（2）若a=1，求f(x)的最大值.30．【福建省龙岩市2019届高三5月月考数学】今年3月5日，国务院总理李克强作的政府工作报告中，提到要“惩戒学术不端，力戒学术不端，力戒浮躁之风”.教育部日前公布的《教育部2019年部门预算》中透露，2019年教育部拟抽检博士学位论文约6000篇，预算为800万元.国务院学位委员会、教育部2014年印发的《博士硕士学位论文抽检办法》通知中规定：每篇抽检的学位论文送3位同行专家进行评议，3位专家中有2位以上（含2位）专家评议意见为“不合格”的学位论文，将认定为“存在问题学位论文”.有且只有1位专家评议意见为“不合格”的学位论文，将再送2位同行专家进行复评，2位复评专家中有1位以上（含1位）专家评议意见为“不合格”的学位论文，将认定为“存在问题学位论文”.设每篇学位论文被每位专家评议为“不合格”的概率均为(01)p p <<，且各篇学位论文是否被评议为“不合格”相互独立.（1）记一篇抽检的学位论文被认定为“存在问题学位论文”的概率为()f p ，求()f p ；（2）若拟定每篇抽检论文不需要复评的评审费用为900元，需要复评的评审费用为1500元；除评审费外，其它费用总计为100万元.现以此方案实施，且抽检论文为6000篇，问是否会超过预算？并说明理由.31．【北京市西城区2019届高三4月统一测试（一模）数学】设函数f(x)=m e x −x 2+3，其中m ∈R ．（1）当f(x)为偶函数时，求函数ℎ(x)=xf(x)的极值；（2）若函数f(x)在区间[−2 , 4]上有两个零点，求m的取值范围．。

【最易丢分的送分题】2019届高三数学(理)三轮：导数(含解析)

《最易丢分的送分题（数学）》2019届高三三轮【拣分必备】之3.导数1.已知函数y ＝f(x)的图象在点(1，f(1))处的切线方程是x －2y ＋1＝0，则f(1)＋2f ′(1)的值是( ) A.12 B ．1 C.32D ．2 [答案] D[解析] 由条件知，y ＝f(x)在点(1，f(1))处切线的斜率f ′(1)＝12，又点(1，f(1))在切线x －2y ＋1＝0上，[:[:∴f(1)＝1，∴f(1)＋2f ′(1)＝1＋2×12＝2. 2.(乌鲁木齐地区二诊)直线y ＝12x ＋b 与曲线y ＝－12x ＋lnx 相切，则b 的值为( ) A ．－2B ．－1C ．－12D ．1 [答案] B[解析] 设切点(a ，－12a ＋lna)，y ′＝－12＋1x， ∴－12＋1a ＝12，a ＝1，故切点(1，－12)在直线y ＝12x ＋b 上，有－12＝12＋b ，∴b ＝－1. 4.(皖南八校联考)直线y ＝kx ＋b 与曲线y ＝x 3＋ax ＋1相切于点(2,3)，则b 的值为( )A ．－3B ．9C ．－15D ．－7[:数理化][答案] C[解析] 将点(2,3)分别代入曲线y ＝x 3＋ax ＋1和直线y ＝kx ＋b ，得a ＝－3,2k ＋b ＝3.又k ＝y ′|x ＝2＝(3x 2－3)|x ＝2＝9，∴b ＝3－2k ＝3－18＝－15.5.(辽宁大连二十四中上学期期中考试)设函数f(x)＝sin ⎝⎛⎭⎪⎫ωx ＋π6－1(ω>0)的导函数f ′(x)的最大值为3，则f(x)图象的一条对称轴方程是( )A ．x ＝π9B ．x ＝π6C ．x ＝π3D ．x ＝π2 [答案] A[:[解析] f ′(x)＝ωcos ⎝ ⎛⎭⎪⎫ωx ＋π6的最大值为3，即ω＝3，∴f(x)＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫3x ＋π6－1. 由3x ＋π6＝π2＋k π得，x ＝π9＋k π3(k ∈Z)．故A 正确．6.(潍坊质检)已知函数f(x)＝x3＋ax2＋bx ＋c 在定义域x ∈[－2,2]上表示的曲线过原点，且在x ＝±1处的切线斜率均为－1.有以下①f(x)是奇函数；②若f(x)在[s ，t]内递减，则|t －s|的最大值为4；③若f(x)的最大值为M ，最小值为m ，则M ＋m ＝0；④若对∀x ∈[－2,2]，k ≤f ′(x)恒成立，则k 的最大值为2.其中正确A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个解析：由题意得函数过原点，则c ＝0.又f ′(x )＝3x2＋2ax ＋b.则必有⎩⎪⎨⎪⎧ f 13＋2a ＋b ＝－1，f 13－2a ＋b ＝－1. 解得⎩⎪⎨⎪⎧ a ＝0，b ＝－4.所以f(x)＝x3－4x.令f ′(x)＝3x2－4＝0得x ＝±233. 则函数在[－2,2]上的最小值是负数．由此得函数图象大致如图：B.答案：B[:。

新版精编2019高考数学《导数及其应用》专题完整题(含参考答案)

2019年高中数学单元测试卷导数及其应用学校：__________ 姓名：__________ 班级：__________ 考号：__________一、选择题1．22(1cos )x dx ππ-+⎰等于（）A ．πB . 2C . π-2D . π+2(2009福建理)2．函数y=12x 2-㏑x 的单调递减区间为（）A ．(-1,1]B ．(0,1]C ．[1,+∞)D ．(0,+∞) （2012辽宁文）3．设球的半径为时间t 的函数()R t 。

若球的体积以均匀速度c 增长，则球的表面积的增长速度与球半径A.成正比，比例系数为CB. 成正比，比例系数为2CC.成反比，比例系数为CD. 成反比，比例系数为2C 9.4．（2009天津卷理）设函数1()ln (0),3f x x x x =->则()y f x = A 在区间1(,1),(1,)e e 内均有零点。

B 在区间1(,1),(1,)e e 内均无零点。

C 在区间1(,1)e 内有零点，在区间(1,)e 内无零点。

D 在区间1(,1)e内无零点，在区间(1,)e 内有零点。

【考点定位】本小考查导数的应用，基础题。

二、填空题5．若3()3f x ax x =-在R 上是单调函数，则a 的取值范围为______.6．在实数集R 上定义运算：()().(),xx y x a y a f x e ⊗=-=为实常数若(),xg x ex -=+令()()().F x f x g x =⊗若函数))0(,0()(F P x F 在点处的切线斜率为1，则此切线方程为________________.7．已知(0)1,()(1)()f f n nf n n N +==-∈，则(4)f = ▲ . 8．函数2|32|y x x =-+的极大值为．9．已知曲线y=ax 2在x=1处切线的斜率是﹣4，则实数a 的值为10．（文科、艺体学生做）曲线2x y =的一条切线的斜率是4-，则切点坐标是 __ ___.（理科学生做）已知直线l ：y=－1及圆C ：x 2+(y －2)2=1，若动圆M 与l 相切且与圆C 外切，则动圆圆心M 的轨迹方程是 .11．(文)设()f x 是定义在(,0)(0,)ππ-⋃上的奇函数，其导函数为'()f x .当0x π<<时，0)(sin cos )(>⋅-⋅'x f x x x f , 则不等式0cos )(>⋅x x f 的解集为 12．若直线2+=kx y 与曲线3y x mx n =++相切于点)4,1(，则n = ▲ ．三、解答题13．已知函数()()2ln ,f x x a x x a R =+-∈ (1)若1,a =-求证()f x 有且仅有一个零点；(2）若对于[]1,2x ∈函数()f x 图像上任意一点处的切线的倾斜角都不大于4π，求实数a 的取值范围；(3）若()f x 存在单调递减区间，求实数a 的取值范围。