几种特殊的四边形比较
四边形的性质
四边形的性质四边形是平面几何中的一种基本图形，具有独特的性质和特征。
本文将探讨四边形的定义、分类以及一些重要的性质。
一、四边形的定义和分类四边形是由四个线段组成的多边形，其中每个顶点都与相邻的两个顶点相连。
四边形的四条边和四个内角共同决定了其性质和特点。
常见的四边形包括矩形、正方形、平行四边形、菱形和梯形等。
这些四边形根据边长和角度的关系可以进一步分类。
1. 矩形：具有四个直角（内角为90度）的四边形。
矩形的对边相等且平行。
2. 正方形：是一种特殊的矩形，具有四个边相等的特点。
正方形的内角也都为90度。
3. 平行四边形：对边分别平行且相等的四边形。
它们的内角和分别互补。
4. 菱形：对边相等的四边形，具有两对对边平行的特点。
菱形的内角相等。
5. 梯形：至少有一对对边平行的四边形。
梯形的底边平行且较长。
以上是常见的四边形分类，根据特定的性质和关系可以进一步理解和研究四边形的性质。
二、1. 内角和性质：四边形的内角和等于360度。
即四个内角的度数之和为360度。
2. 对角线性质：四边形的对角线是连接两个相对顶点的线段。
在一些特殊的四边形中，对角线具有特殊的性质。
- 矩形：对角线相等且互相垂直。
- 正方形：对角线相等且互相垂直，同时也是其对角线的中垂线。
- 平行四边形：对角线互相平分。
- 菱形：对角线互相平分，同时也是其对角线的垂直平分线。
3. 边长性质：四边形的边长可以帮助我们判断其类型，不同类型的四边形具有不同的边长性质。
- 矩形和正方形：四个边相等。
- 平行四边形：相邻边相等。
- 菱形：四个边相等。
- 梯形：没有边相等的特点。
4. 平行性质：平行四边形特有的性质是其对边是平行的。
平行四边形中的内角互补。
三、四边形的重要性质四边形作为平面几何中的基本图形，具有一些重要的性质和特征，这些性质在几何推理和问题解决中有着重要的应用。
1. 周长：四边形的周长是其所有边长的和。
2. 面积：不同类型的四边形面积计算方式不同，在提供边长和角度信息的情况下，可以通过相应的公式计算。
特殊四边形性质及判定方法总结
特殊四边形性质和判定方法
1、平行四边形：
性质：1、对边相等；
2、对角相等；
3、对角线相互平分。
判定：1、两组对边分别平行；
2、两组对边分别相等；
3、一组对边平行且相等；
4、两组对角分别相等；
5、对角线相互平分。
2、菱形：
性质：1、菱形具有平行四边形的一切性质；
2、菱形的对角线互相垂直且平分，并且每一条对角线平分一组对角；
3、菱形的四条边都相等；
4、菱形既是轴对称图形（两条对称轴分别是其两条对角线所在的直线），也是中心对称图形（对称中心是其中心，即两对角线的交点）。
判定：1、邻边相等+平行四边形；
2、对角线相互垂直+平行四边形；
3、四边相等的四边形。
3、矩形：
性质：1、矩形具有平行四边形的一切性质；
2、矩形的对角线相等且互相平分；
3、矩形的四个角相等，且为90度；
4、矩形是轴对称图形，它有两条对称轴，它也是中心对称图形，对称中心是对角线的交点。
判定：1、一个直角+平行四边形；
2、对角线相等+平行四边形；
3、有三个角为直角的四边形；
4、正方形：
性质：1、正方形具有平行四边形、菱形、矩形的一切性质；
2、对角线垂直平分；
3、既是中心对称图形，又是轴对称图形（有四条对称轴）。
判定：1、一个直角+菱形；
2、邻边相等+矩形；
3、对角线相互垂直+矩形；
（注：1、重点关注平行四边形；
2、正方形判定方法多种多样，但是之间互相可以转化，所以这里只例举部分判定方法）。
四边形的分类与性质
四边形的分类与性质四边形是几何中最基本的多边形之一，由四条线段组成。
它是日常生活中常见的图形，具有不同的分类和特征。
本文将对四边形的分类和性质进行详细阐述，以帮助读者更好地理解和应用于实际问题中。
一、四边形的分类四边形可以根据其边长、角度以及对角线等特征进行分类。
下面将介绍几种常见的四边形分类：1.平行四边形平行四边形是指具有对边平行的四边形。
它的特征是相对的两边和对角线的长度相等，相邻的两个角也相等。
平行四边形可以进一步分为矩形、正方形和菱形。
2.矩形矩形是具有四个直角的平行四边形。
它的特点是两对对边相等且平行，对角线的长度相等。
矩形的性质还包括相邻角互补，对角线相互垂直等。
3.正方形正方形是一种特殊的矩形，它有四个相等的边和四个相等的直角。
正方形的对角线相互垂直且长度相等。
正方形的性质还包括对角线平分内外角等。
4.菱形菱形是具有四个边长相等的平行四边形。
它的特点是对角线互相垂直且长度相等。
菱形的性质还包括相邻角互补，对边平分内外角等。
5.梯形梯形是指至少有一对对边是平行的四边形。
根据其两边的长度关系，梯形可以分为等腰梯形和不等腰梯形。
梯形的性质还包括对角线的长度关系以及内角和外角之和等。
二、四边形的性质除了不同种类的四边形具有各自独特的性质外，还存在一些普遍适用于所有四边形的性质。
以下是几个常见的四边形性质：1.内角和任意四边形的内角和等于360度。
这意味着四边形的四个内角之和始终等于这个固定值。
2.对边关系在平行四边形中，对边相等且平行。
对角线将平行四边形分为两个相等的三角形。
3.对角线关系任意四边形的对角线将其分为两个相等的三角形。
这些三角形可能是等边、等腰或一般三角形。
4.面积计算可以通过不同的方法计算四边形的面积。
例如，矩形和正方形的面积可以通过长度和宽度的乘积计算，菱形的面积可以通过对角线长度的乘积再除以2计算。
三、应用实例四边形的分类和性质在实际生活和工作中有广泛的应用。
以下是几个例子：1.建筑设计建筑师需要了解不同种类的四边形，如平行四边形、矩形和正方形等。
中考总复习：特殊的四边形--知识讲解(提高)
中考总复习：特殊的四边形—知识讲解（提高）【考纲要求】1. 会识别矩形、菱形、正方形以及梯形；2.掌握矩形、菱形、正方形的概念、判定和性质，会用矩形、菱形、正方形的性质和判定解决问题．3.掌握梯形的概念以及了解等腰梯形、直角梯形的性质和判定，会用性质和判定解决实际问题．【知识网络】【考点梳理】考点一、几种特殊四边形性质、判定考点二、中点四边形相关问题1. 中点四边形的概念：把依次连接任意一个四边形各边中点所得的四边形叫做中点四边形．2. 若中点四边形为矩形，则原四边形满足条件对角线互相垂直；若中点四边形为菱形，则原四边形满足条件对角线相等；若中点四边形为正方形，则原四边形满足条件对角线互相垂直且相等． 【要点诠释】中点四边形的形状由原四边形的对角线的位置和数量关系决定．考点三、重心1.线段的中点是线段的重心；三角形三条中线相交于一点，这个交点叫做三角形的重心；三角形的重心与顶点的距离等于它与对边中点的距离的2倍.平行四边形对角线的交点是平行四边形的重心。
【典型例题】类型一、特殊的平行四边形的应用1.（2012•湛江）如图，设四边形ABCD 是边长为1的正方形，以对角线AC 为边作第二个正方形ACEF 、再以对角线AE 为边作笫三个正方形AEGH ，如此下去…．若正方形ABCD 的边长记为a 1，按上述方法所作的正方形的边长依次为a 2，a 3，a 4，…，a n ，则a n =___________．【思路点拨】求a 2的长即AC 的长，根据直角△ABC 中AB 2+BC 2=AC 2可以计算，同理计算a 3、a 4．由求出的【解析】∵a 2=AC ，且在直角△ABC 中，AB 2+BC 2=AC 2，【总结升华】考查了正方形的性质，以及勾股定理在直角三角形中的运用，考查了学生找规律的能力，本题中找到a n 的规律是解题的关键． 举一反三：【高清课堂: 多边形与特殊平行四边形 例4】 【变式】(2011德州)长为1，宽为a 的矩形纸片（121<<a ），如图那样折一下，剪下一个边长等于矩形宽度的正方形（称为第一次操作）；再把剩下的矩形如图那样折一下，剪下一个边长等于此时矩形宽度的正方形（称为第二次操作）；如此反复操作下去．若在第n 此操作后，剩下的矩形为正方形，则操作终止．当n=3时，a 的值为________．【答案】5或4. 2．（2015秋•宝安区校级期中）如图，在菱形ABCD 中，对角线AC 、BD 相交于点O ，AC=6，BD=8，点P 是AC 延长线上的一个动点，过点P 作PE⊥AD，垂足为E ，作CD 延长线的垂线，垂足为E ，则|PE ﹣PF|= ．【思路点拨】延长BC 交PE 于G ，由菱形的性质得出AD ∥BC ，OA=OC=AC=3，OB=OD=BD=4，AC ⊥BD ，∠ACB=∠ACD ，由勾股定理求出AD ，由对顶角相等得出∠PCF=∠PCG ，由菱形的面积的两种计算方法求出EG ，由角平分线的性质定理得出PG=PF ，得出PE ﹣PF=PE ﹣PG=EG 即可． 【答案】4.8．【解析】解：延长BC 交PE 于G ，如图所示： ∵四边形ABCD 是菱形，∴AD ∥BC ，OA=OC=AC=3，OB=OD=BD=4，AC ⊥BD ，∠ACB=∠ACD ， ∴AD==5，∠PCF=∠PCG ，∵菱形的面积=AD •EG=AC •BD=×6×8=24， ∴EG=4.8， ∵PE ⊥AD ， ∴PE ⊥BG ， ∵PF ⊥DF ， ∴PG=PF ，∴PE ﹣PF=PE ﹣PG=EG=4.8． 故答案为：4.8．【总结升华】本题考查了菱形的性质、勾股定理、角平分线的性质定理、菱形面积的计算等知识；本题综合性强，有一定难度，通过作辅助线证出PG=PF是解决问题的关键．类型二、梯形的应用3．（2011•资阳）如图，在梯形ABCD中，已知AD∥BC，∠B=90°，AB=7，AD=9，BC=12，在线段BC 上任取一点E，连接DE，作EF⊥DE，交直线AB于点F．（1）若点F与B重合，求CE的长；（2）若点F在线段AB上，且AF=CE，求CE的长；（3）设CE=x，BF=y，写出y关于x的函数关系式（直接写出结果可）．【思路点拨】（1）先证明四边形ABED为矩形，CE=BC-AD，继而即可求出答案；（2）设AF=CE=x，则HE=x-3，BF=7-x，再通过证明△BEF∽△HDE，根据对应边成比例，然后代入求解即可；（3）综合（1）（2）两种情况，然后代入求出解析式即可．【答案与解析】（1）∵F与B重合，且EF⊥DE，∴DE⊥BC，∵AD∥BC，∠B=90°，∴∠A=∠B=90°，∴四边形ABED为矩形，∴BE=AD=9，∴CE=12-9=3．（2）作DH⊥BC于H，则DH=AB=7，CH=3．设AF=CE=x，∵F在线段AB上，∴点E在线段BH上，CH=3，CE=x，∴HE=x-3，BF=7-x，∵∠BEF+90°+∠HED=180°，∠HDE+90°+∠HED=180°，∴∠BEF=∠HDE，【总结升华】本题考查直角梯形的知识，同时考查了矩形的判定与性质、相似三角形的判定与性质，是一道小的综合题，注意对这些知识的熟练掌握并灵活应用．举一反三：【变式】（2011•台湾）如图为菱形ABCD与正方形EFGH的重迭情形，其中E在CD上，AD与GH相交于I 点，且AD∥HE．若∠A=60°，且AB=7，DE=4，HE=5，则梯形HEDI的面积为（）.Ａ．Ｂ．Ｃ．10-Ｄ．10+【答案】B.类型三、特殊四边形与其他知识结合的综合运用【高清课堂:多边形与特殊平行四边形例7】4.（2014秋•莒南县期末）正方形ABCD边长为2，点E在对角线AC上，连接DE，将线段DE绕点D顺时针旋转90°至DF的位置，连接AF，EF．（1）证明：AC⊥AF；（2）设AD2=AE×AC，求证：四边形AEDF是正方形；（3）当E点运动到什么位置时，四边形AEDF的周长有最小值，最小值是多少？【思路点拨】（1）由已知条件及正方形的性质易证△CDE≌△ADF，所以可得∠ECD=∠DAF=45°，CE=AF，进而可得∠CAF=90°，即AC⊥AF；（2）若AD2=AE×AC，再由条件∠CAD=∠EAD=45°，易证△EAD∽△DAC，所以∠AED=∠ADC=90°，即有∠AED=∠EDF=∠EAF=90°，又DE=DF，继而证明四边形AEDF为正方形；（3）当E点运动到AC中点位置时，四边形AEDF的周长有最小值，由（2）得CE=AF，则有AE+AF=AC=2，又DE=DF，所以四边形AEDF的周长l=AE+AF+DE+DF=4+2DE，则DE最小四边形的周长最小，问题得解．【答案与解析】解：（1）∵四边形ABCD是正方形，∴∠CDA=90°，CD=AD，ED=FD，∠CAD=45°，∵将线段DE绕点D顺时针旋转90°至DF的位置，∴∠EDF=90°，∴∠CDE=∠ADF，在△CDE和△ADF中，，∴△CDE≌△ADF，∴∠ECD=∠DAF=45°，CE=AF，∴∠CAF=90°，即AC⊥AF；（2）∵AD2=AE×AC，∴∵∠CAD=∠EAD=45°，∴△EAD∽△DAC，∴∠AED=∠ADC=90°，即有∠AED=∠EDF=∠EAF=90°，又DE=DF，∴四边形AEDF为正方形（3）当E点运动到AC中点位置时，四边形AEDF的周长有最小值，理由如下：由（2）得CE=AF，则有AE+AF=AC=2，又DE=DF ，则当DE 最小时，四边形AEDF 的周长l=AE+AF+DE+DF=4+2DE 最小，当DE⊥AC 时，E 点运动到AC 中点位置时，此时DE=2四边形AEDF 的周长最小值为8．【总结升华】本题用到的知识点有正方形的性质、全等三角形的判定和性质、相似三角形的判定和性质以及四边形周长最小值的问题、动点问题，题目的综合性较强，难度中等，是一道不错的中考题压轴题．5．（2012•自贡）如图所示，在菱形ABCD 中，AB=4，∠BAD=120°，△AEF 为正三角形，点E 、F 分别在菱形的边BC 、CD 上滑动，且E 、F 不与B 、C 、D 重合． （1）证明不论E 、F 在BC 、CD 上如何滑动，总有BE=CF ；（2）当点E 、F 在BC 、CD 上滑动时，分别探讨四边形AECF 和△CEF 的面积是否发生变化？如果不变，求出这个定值；如果变化，求出最大（或最小）值．【思路点拨】（1）先求证AB=AC ，进而求证△ABC 、△ACD 为等边三角形，得∠4=60°，AC=AB 进而求证△ABE ≌△ACF ，即可求得BE=CF ； （2）根据△ABE ≌△ACF 可得ABES=ACFS,故根据S 四边形AECF =AECS+ACFS =AECS+ABES=ABCS即可解题；当正三角形AEF 的边AE 与BC 垂直时，边AE 最短．△AEF 的面积会随着AE 的变化而变化，且当AE 最短时，正三角形AEF 的面积会最小，又根据CEFS=S 四边形AECF -AEFS，则△CEF 的面积就会最大．【答案与解析】（1）证明：连接AC ，如下图所示，∵四边形ABCD 为菱形，∠BAD=120°，∠1+∠EAC=60°，∠3+∠EAC=60°， ∴∠1=∠3， ∵∠BAD=120°， ∴∠ABC=60°，∴△ABC 和△ACD 为等边三角形， ∴∠4=60°，AC=AB ，∴在△ABE 和△ACF 中，134AB AC ABC ∠=∠⎧⎪=⎨⎪∠=∠⎩，6.的速度沿FG方向移动，移动开始前点A与点F重合，在移动过程中，边AD始终与边FG重合，连接CG，过点A作CG的平行线交线段GH于点P，连接PD．已知正方形ABCD的边长为1cm，矩形EFGH 的边FG，GH的长分别为4cm，3cm，设正方形移动时间为x（s），线段GP的长为y（cm），其中0≤x ≤2.5．（1）试求出y关于x的函数关系式，并求当y=3时相应x的值；（2）记△DGP的面积为S1，△CDG的面积为S2．试说明S1-S2是常数；（3）当线段PD所在直线与正方形ABCD的对角线AC垂直时，求线段PD的长．举一反三：【变式】如图，E是矩形ABCD边BC的中点，P是AD边上一动点，PF⊥AE，PH⊥DE，垂足分别为F，H．（1）当矩形ABCD的长与宽满足什么条件时，四边形PHEF是矩形？请予以证明；（2）在（1）中，动点P运动到什么位置时，矩形PHEF变为正方形？为什么？【答案】（1）AD=2AB．证明：∵四边形ABCD是矩形，∴AD=BC，AB=CD；∵E是BC的中点，∴AB=BE=EC=CD；则△ABE、△DCE是等腰Rt△；∴∠AEB=∠DEC=45°；∴∠AED=90°；四边形PFEH中，∠PFE=∠FEH=∠EHP=90°，故四边形PFEH是矩形；（2）点P是AD的中点时，矩形PHEF变为正方形；理由如下：由（1）可得∠BAE=∠CDE=45°；∴∠FAP=∠HDP=45°；又∵∠AFP=∠PHD=90°，AP=PD，∴Rt△AFP≌Rt△DHP；∴PF=PH；在矩形PFEH中，PF=PH，故PFEH是正方形．.。
特殊的四边形（归纳）
特殊的平行四边形知识点一：矩形的定义要点诠释：有一个角是直角的平行四边形叫做矩形。
（嘿嘿嘿）知识点二：矩形的性质要点诠释：矩形具有平行四边形所有的性质。
此外，它还具有如下特殊性质：1.矩形的四个角都是直角；2.矩形的对角线相等；推论：直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半。
3.矩形是轴对称图形也是中心对称图形。
知识点三：矩形的判定方法要点诠释：1. 用矩形的定义：一个角是直角的平行四边形是矩形；2.有三个角是直角的四边形是矩形；3.对角线相等的平行四边形是矩形；4.对角线互相平分且相等的四边形是矩形。
知识点四：菱形的定义要点诠释：有一组邻边相等的平行四边形叫做菱形.知识点五：菱形的性质要点诠释：菱形具有平行四边形一切性质，此外，它还具有如下特殊性质：1.菱形的四条边相等。
2.菱形的两条对角线互相垂直，且每一条对角线平分一组对角。
3.菱形是轴对称图形也是中心对称图形，两条对角线所在的直线是它的两条对称轴。
知识点六：菱形的判定办法要点诠释：1.用菱形的定义：有一组邻边相等的平行四边形是菱形；2.四条边都相等的四边形是菱形；3.对角线垂直的平行四边形是菱形；4.对角线互相垂直平分的四边形是菱形。
知识点七：正方形的定义要点诠释：有一组邻边相等且有一个角是直角的平行四边形叫做正方形。
知识点八：正方形的性质要点诠释：1.正方形的四个角都是直角，四条边都相等；2.正方形的对角线相等，并且互相垂直平分，每条对角线平分一组对角；3.正方形既是轴对称图形也是中心对称图形。
知识点九：正方形的判定方法要点诠释：1.正方形的定义：有一组邻边相等且有一个角是直角的平行四边形叫做正方形。
2.有一组邻边相等的矩形是正方形；3.有一个角是直角的菱形是正方形.归纳整理，形成认知体系1．复习概念，理清关系2．集合表示，突出关系3．性质判定，列表归纳平行四边形矩形菱形正方形性质边对边平行且相等对边平行且相等对边平行，四边相等对边平行，四边相等角对角相等四个角都是直角对角相等四个角都是直角对角线互相平分互相平分且相等互相垂直平分，且每条对角线平分一组对角互相垂直平分且相等,每条对角线平分一组对角判定·两组对边分别平行；·两组对边分别相等；·一组对边平行且相等;·两组对角分别相等；·两条对角线互相平分.·有三个角是直角;·是平行四边形且有一个角是直角;·是平行四边形且两条对角线相等.·四边相等的四边形；·是平行四边形且有一组邻边相等；·是平行四边形且两条对角线互相垂直。
几种特殊四边形的性质
边
角
对角线
对称性
平行四边形
对边平行且相等
对角相等
两条对角线互相平分
中心对称
矩形
对边平行且相等
四个角都是直角
两条对角线互相平分且相等
轴对称
中心对称
菱形
对边平行，四边相等
对角相等
两条对角线互相垂直平分，每条对角线平分一组对角
轴对称
中心对称
正方形
对边平行，四边相等
四个角都是直角
两条对角线互相垂直平分且相等，每条对角线平分一组对角
轴对称
中心对称
等腰梯形
两低平行，两腰相等
同一线上的两个角相等
两条对角线相等
轴对称
特殊的四边形常用的判定方法
平行 四边形
等腰梯形
矩形 菱形
正方形
你能说出这些图形的 判定方法吗?
平行四边形
常用判定方法：
1 、定义: 两组对边分别平行的四边形是平行四边形.
2、判定一: 一组对边平行且相等的四边形是平行四边形.
3、判定二: 两条对角本互相平分的四边形是平行四边形.
4、判定三: 两组对边分别相等的四边形是平行四边形.
角
对角线 对称性 面积
矩 对边 相邻的
形 的 性 质
平行 两个角 且相等 互补；
四个 角都
两条对 轴对称， S＝ 角线互 中心对称 长×宽 相平分
且相等
是直角
菱形的性质
平行四边形 有一组邻边相等
菱形
菱边
角 对角线
形 的 性 质
对边 相邻的 平行， 两个角
四条边 互补； 都相等 对角
相等
两条对 角
线互相 平
分，每 条
对称性 面积
轴对称， S＝ab 中心对称 (a、b是
菱形的 两条对角 线的长)
想一想, A
D
O
B
C
填一填
正边
角 对角线 对称 性 面积
方 对边 相邻的 两条对角
形 平行， 两个角 线互相垂 轴对称， S＝
的 四条边 互补； 直平分， 中心对称 长×宽
性 质
都相等 四个角 每条对角 都是 线平分一 直角 组对角
平行四边形是正方形； 2、判定一：
有一组邻边相等的矩形是正方形； 3、判定二:
有一个角是直角的菱形是正方形。
书山有路勤为径 学海无涯苦作舟
同学们努力吧!
矩形
1、定义: 有一个角是直角的平行四边形是矩形；
人教版初中数学中考总复习：特殊的四边形--知识讲解(基础)
第十九讲特殊的四边形【考纲要求】1. 会识别矩形、菱形、正方形以及梯形；2.掌握矩形、菱形、正方形的概念、判定和性质，会用矩形、菱形、正方形的性质和判定解决问题．3.掌握梯形的概念以及了解等腰梯形、直角梯形的性质和判定，会用性质和判定解决实际问题．【知识网络】【考点梳理】考点一、几种特殊四边形性质、判定四边形性质判定边角对角线矩形对边平行且相等四个角是直角相等且互相平分1、有一个角是直角的平行四边形是矩形；2、有三个角是直角的四边形是矩形；3、对角线相等的平行四边形是矩形中心、轴对称图形菱形四条边相等对角相等，邻角互补垂直且互相平分，每一条对角线平分一组对角1、有一组邻边相等的平行四边形是菱形；2、四条边都相等的四边形是菱形；3、对角线互相垂直的平行四边形是菱中心、轴对称图形.形正方形四条边相等四个角是直角相等、垂直、平分，并且每一条对角线平分一组对角1、邻边相等的矩形是正方形2、对角线垂直的矩形是正方形3、有一个角是直角的菱形是正方形4、对角线相等的菱形是正方形中心、轴对称图形等腰梯形两底平行，两腰相等同一底上的两个角相等相等1、两腰相等的梯形是等腰梯形；2、在同一底上的两个角相等的梯形是等腰梯形；3、对角线相等的梯形是等腰梯形.轴对称图形【要点诠释】矩形、菱形、正方形都是特殊的平行四边形，它们具有平行四边形的一切性质.考点二、梯形1．解决梯形问题常用的方法：（1）“平移腰”：把梯形分成一个平行四边形和一个三角形（图1）；（2）“作高”：使两腰在两个直角三角形中（图2）；（3）“平移对角线”：使两条对角线在同一个三角形中（图3）；（4）“延腰”：构造具有公共角的两个三角形（图4）；（5）“等积变形”，连结梯形上底一端点和另一腰中点，并延长与下底延长线交于一点，构成三角形（图5）．图1 图2 图3 图4 图5【要点诠释】解决梯形问题的基本思想和方法就是通过添加适当的辅助线，把梯形问题转化为已经熟悉的平行四边形和三角形问题来解决．在学习时注意它们的作用，掌握这些辅助线的使用对于学好梯形内容很有帮助．2.特殊的梯形1）等腰梯形：两腰相等的梯形叫做等腰梯形．性质：（1）等腰梯形的同一底边上的两个角相等；等腰梯形的两条对角线相等．（2）同一底边上的两个角相等的梯形是等腰梯形．（3）等腰梯形是轴对称图形，它的对称轴是经过两底中点的一条直线．2）直角梯形：有一个角是直角的梯形叫做直角梯形．考点三、中点四边形相关问题1.中点四边形的概念：把依次连接任意一个四边形各边中点所得的四边形叫做中点四边形．2.若中点四边形为矩形，则原四边形满足条件对角线互相垂直；若中点四边形为菱形，则原四边形满足条件对角线相等；若中点四边形为正方形，则原四边形满足条件对角线互相垂直且相等．【要点诠释】中点四边形的形状由原四边形的对角线的位置和数量关系决定．【典型例题】类型一、特殊的平行四边形的应用1. 在平行四边形ABCD中，AC、BD交于点O，过点O作直线EF、GH，分别交平行四边形的四条边于E、G、F、H四点，连结EG、GF、FH、HE.（1）如图①，试判断四边形EGFH的形状，并说明理由；（2）如图②，当EF⊥GH时，四边形EGFH的形状是；（3）如图③，在（2）的条件下，若AC=BD，四边形EGFH的形状是；（4）如图④，在（3）的条件下，若AC⊥BD，试判断四边形EGFH的形状，并说明理由.【思路点拨】中点四边形的形状由原四边形的对角线的位置和数量关系决定．【答案与解析】（1）四边形EGFH是平行四边形；证明：∵平行四边形ABCD的对角线AC、BD交于点O，∴点O是平行四边形ABCD的对称中心；∴EO=FO，GO=HO；∴四边形EGFH是平行四边形；（2）菱形；（提示：菱形的对角线垂直平分）（3）菱形；（提示：当AC=BD时，对四边形EGFH的形状不会产生影响，故结论同（2））（4）四边形EGFH是正方形；证明：∵AC=BD，∴平行四边形ABCD是矩形；又∵AC⊥BD，∴平行四边形ABCD是正方形，∴∠BOC=90°，∠GBO=∠FCO=45°，OB=OC；∵EF⊥GH，∴∠GOF=90°；∴∠BOG=∠COF；∴△BOG≌△COF（ASA）；∴OG=OF，∴GH=EF；由（3）知四边形EGFH是菱形，又EF=GH，∴四边形EGFH是正方形．【总结升华】主要考查了平行四边形、菱形、矩形、正方形的判定和性质以及全等三角形的判定和性质；熟练掌握各特殊四边形的联系和区别是解答此类题目的关键．2．动手操作：在一张长12cm、宽5cm的矩形纸片内，要折出一个菱形．小颖同学按照取两组对边中点的方法折出菱形EFGH（见方案一），小明同学沿矩形的对角线AC折出∠CAE=∠CAD，∠ACF=∠ACB 的方法得到菱形AECF（见方案二）．（1）你能说出小颖、小明所折出的菱形的理由吗？（2）请你通过计算，比较小颖和小明同学的折法中，哪种菱形面积较大？【思路点拨】（1）、要证所折图形是菱形，只需证四边相等即可．（2）、按照图形用面积公式计算S=30和S=35.21，可知方案二小明同学所折的菱形面积较大． 【答案与解析】（1）小颖的理由：依次连接矩形各边的中点所得到的四边形是菱形， 小明的理由：∵ABCD 是矩形， ∴AD ∥BC ，则∠DAC=∠ACB ， 又∵∠CAE=∠CAD ，∠ACF=∠ACB ， ∴∠CAE=∠CAD=∠ACF=∠ACB ， ∴AE=EC=CF=FA ， ∴四边形AECF 是菱形． （2）方案一：S 菱形=S 矩形-4S △AEH =12×5-4×12×6×52=30（cm ）2， 方案二：设BE=x ，则CE=12-x ， ∴AE=22BE AB +=225x +由AECF 是菱形，则AE 2=CE 2∴x 2+25=（12-x ）2， ∴x=11924， S 菱形=S 矩形-2S △ABE =12×5-2×12×5×11924≈35.21（cm ）2， 比较可知，方案二小明同学所折的菱形面积较大．【总结升华】本题考查了矩形的性质和菱形的判定，以及图形面积的计算与比较． 举一反三：【变式】如图，点O 是矩形ABCD 的中心，E 是AB 上的点，沿CE 折叠后，点B 恰好与点O 重合，若BC=3，则折痕CE 的长为 （ ）.A.B．C．4 D．5【答案】A.类型二、梯形的应用3.（•黄州区校级模拟）如图，△ABC中，∠BAC=90°，延长BA至D，使AD=AB，点E、F分别是边BC、AC的中点．（1）判断四边形DBEF的形状并证明；（2）过点A作AG∥BC交DF于G，求证：AG=DG．【思路点拨】（1）利用梯形的判定首先得出四边形DBEF为梯形，进而得出四边形HFEB是平行四边形，得出BE=FD进而得出答案；（2）利用四边形DBEF为等腰梯形，得出∠B=∠D，利用AG∥BG，∠B=∠DAG，得出答案．【答案与解析】（1）解：四边形DBEF为等腰梯形，理由如下：如图，过点F作FH∥BC，交AB于点H，∵FH∥BC，点F是AC的中点，点E是BC的中点，∴AH=BH=AB，EF∥AB，显然EF＜AB＜AD，∴EF≠AD，∴四边形DBEF为梯形，∵AD=AB，∴AD=AH，∴CA是DH的中垂线，∴DF=FH，∵FH∥BC，EF∥AB，∴四边形HFEB是平行四边形，∴FH=BE，∴BE=FD，故四边形DBEF为等腰梯形；（2）证明：∵四边形DBEF为等腰梯形，∴∠B=∠D，∵AG∥BG，∠B=∠DAG，∴∠D=∠DAG，∴AG=D G．【总结升华】此题主要考查了等腰梯形的判定以及其性质和平行四边形的判定与性质等知识，得出BE=FD 是解题关键．举一反三：【变式】如图，梯形ABCD中，AD∥BC，点E在BC上，AE=BE，点F是CD的中点，且AF⊥AB，若AD=2.7，AF=4，AB=6，则CE的长为（）.C. 2.5D.2.3A.22B. 231类型三、特殊四边形与其他知识结合的综合运用4. （•北京）在▱ABCD中，过点D作DE⊥AB于点E，点F 在边CD上，DF=BE，连接AF，BF．（1）求证：四边形BFDE是矩形；（2）若CF=3，BF=4，DF=5，求证：AF平分∠DAB．【思路点拨】（1）根据平行四边形的性质，可得AB与CD的关系，根据平行四边形的判定，可得BFDE 是平行四边形，再根据矩形的判定，可得答案；（2）根据平行线的性质，可得∠DFA=∠FAB，根据等腰三角形的判定与性质，可得∠DAF=∠DFA，根据角平分线的判定，可得答案．【答案与解析】（1）证明：∵四边形ABCD是平行四边形，∴AB∥CD．∵BE∥DF，BE=DF，∴四边形BFDE是平行四边形．∵DE⊥AB，∴∠DEB=90°，∴四边形BFDE是矩形；（2）解：∵四边形ABCD是平行四边形，∴AB∥DC，∴∠DFA=∠FAB．在Rt△BCF中，由勾股定理，得BC===5，∴AD=BC=DF=5，∴∠DAF=∠DFA，∴∠DAF=∠FAB，即AF平分∠DAB．【总结升华】本题考查了平行四边形的性质，利用了平行四边形的性质，矩形的判定，等腰三角形的判定与性质，利用等腰三角形的判定与性质得出∠DAF=∠DFA是解题关键．5．已知：如图，在菱形ABCD中，F为边BC的中点，DF与对角线AC交于点M，过M作ME⊥CD于点E，∠1=∠2．（1）若CE=1，求BC的长；（2）求证：AM=DF+ME．【思路点拨】（1）根据菱形的对边平行可得AB∥CD，再根据两直线平行，内错角相等可得∠1=∠ACD，所以∠ACD=∠2，根据等角对等边的性质可得CM=DM，再根据等腰三角形三线合一的性质可得CE=DE，然后求出CD的长度，即为菱形的边长BC的长度；（2）先利用“边角边”证明△CEM和△CFM全等，根据全等三角形对应边相等可得ME=MF，延长AB交DF于点G，然后证明∠1=∠G，根据等角对等边的性质可得AM=GM，再利用“角角边”证明△CDF和△BGF 全等，根据全等三角形对应边相等可得GF=DF，最后结合图形GM=GF+MF即可得证．【答案与解析】（1）解：∵四边形ABCD是菱形，∴AB∥CD，∴∠1=∠ACD，∵∠1=∠2，∴∠ACD=∠2，∴MC=MD，∵ME⊥CD，∴CD=2CE，∵CE=1，∴CD=2，∴BC=CD=2；（2）证明：如图，∵F为边BC的中点，∴BF=CF=12BC，∴CF=CE，在菱形ABCD中，AC平分∠BCD，∴∠ACB=∠ACD，在△CEM和△CFM中，∵CE CFACB ACDCM CM=⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，∴△CEM≌△CFM（SAS），∴ME=MF，延长AB交DF于点G，∵AB∥CD，∴∠G=∠2，∵∠1=∠2，∴∠1=∠G，∴AM=MG，在△CDF和△BGF中，∵2GBFG CFDBF CF∠=∠⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，∴△CDF≌△BGF（AAS），∴GF=DF，由图形可知，GM=GF+MF，∴AM=DF+ME．【总结升华】本题考查了菱形的性质，全等三角形的判定与性质，等角对等边的性质，作出辅助线构造出全等三角形是解题的关键．6 . 如图，己知ABC的顶点B、C为定点，A为动点(不在直线BC上)．是点B关于直线AC的对称点，是点C关于直线AB的对称点．连结、、、．(1)猜想线段与'的数量关系，并证明你的结论；(2)当点A运动到怎样的位置时，四边形为菱形?这样的位置有几个?请用语言对这样的位置进行描述；(不用证明)(3)当点A在线段BC的垂直平分线l(BC的中点及到BC的距离为的点除外)上运动时，判断以点B、C、、为顶点的四边形的形状，画出相应的示意图．(不用证明)【思路点拨】本题考查轴对称的基本性质，综合考查菱形、正方形、等腰梯形的判定．在运动变化过程中，认识图形之间的内在联系．【答案与解析】（1）猜想：BC′=CB′∵B′是点B关于直线AC的对称点∴AC垂直平分B B′∴BC= CB′同理BC= BC′∴B C′=C B′（2）要使BCB′C′是菱形,根据菱形的性质，对角线互相垂直平分∵B′是点B关于直线AC的对称点，C′是点C关于直线AB的对称点∴AC垂直平分B B′,AB垂直平分C C′,∴B B′、C C′应该同时过A点∴∠BAC=90°∴只要AB⊥AC即可满足要求，这样的位置有无数个.（3）如图，当A是BC的中点时，没有形成四边形；当A到BC时,∵l是BC的垂直平分线,∴∠ACB=∠ABC=30°,∴∠BAC=120°,∴∠BOC=60°,∴BC=C B′= B′C′=B C′.∴BC B′C′为菱形,当BC的中点及到BC BC的点除外时,∵∠BOC= B′O C′,OB=OC O B′=O C′,∴∠OBC=∠OCB=∠O B′C′=∠O C′B′,∴BC∥B′C′.∵B C′不平行C B′，B C′=C B′,四边形BC B′ C′为等腰梯形．【总结升华】本题可以很好的培养观察推理能力，按照要求画出图形可以更清楚的解题．举一反三：【变式】（2012•襄阳）如图，在梯形ABCD中，AD∥BC，E为BC的中点，BC=2AD，EA=ED=2，AC与ED相交于点F．（1）求证：梯形ABCD是等腰梯形；（2）当AB与AC具有什么位置关系时，四边形AECD是菱形？请说明理由，并求出此时菱形AECD的面积．【答案】（1）证明：∵AD∥BC，∴∠DEC=∠EDA，∠BEA=∠EAD，又∵EA=ED，∴∠EAD=∠EDA，∴∠DEC=∠AEB，又∵EB=EC，∴△DEC≌△AEB，∴AB=CD，∴梯形ABCD是等腰梯形．（2）当AB⊥AC时，四边形AECD是菱形．证明：∵AD∥BC，BE=EC=AD，∴四边形ABED和四边形AECD均为平行四边形．∴AB=ED，∵AB⊥AC，∴AE=BE=EC，∴四边形AECD是菱形．过A作AG⊥BE于点G，∵AE=BE=AB=2，∴△ABE是等边三角形，∴∠AEB=60°，∴AG=3，∴S菱形AECD=EC•AG=2×3=23.第十九讲特殊的四边形一、选择题1.（•天水）如图，将矩形纸片ABCD折叠，使点D与点B重合，点C落在C′处，折痕为EF，若AB=1，BC=2，则△ABE和BC′F的周长之和为（）A．3 B．4 C．6 D．82.如图，有一矩形纸片ABCD，AB=10，AD=6，将纸片折叠，使AD边落在AB边上，折痕为AE，再将△AED以DE为折痕向右折叠，AE与BC交于点F，则△CEF面积为( )．A．4 B．6 C．8 D．103．如图所示，在矩形ABCD中，AB=3，AD=4，P是AD上的一点，PE⊥AC，垂足为E，PF⊥BD，垂足为F，则PE+PF的值为( )．A．B．C．2 D．第3题第4题4.如图，E、F、G、H分别是四边形ABCD四条边的中点，要使EFGH为矩形，四边形应该具备的条件是（）.A．一组对边平行而另一组对边不平行B．对角线相等C．对角线相互垂直 D．对角线互相平分5.如图，正方形ABCD中，O是对角线AC、BD的交点，过O点作OE⊥OF分别交AB、BC于E、F，若AE=4，CF=3，则EF等于（）.A.7B.5C.4D.3第5题第6题6.如图，在矩形ABCD中，DE⊥AC于E，且∠ADE：∠EDC=3：2，则∠BDE的度数为（）.A．15° B．18° C．36° D．54°二、填空题7.（春•西城区期末）直角△ABC中，∠BAC=90°，D、E、F分别为AB、BC、AC的中点，已知DF=3，则AE= ．8. 如图，菱形ABCD中，于E，于F，，则等于___________．9. 正方形ABCD中，E为BC上一点，BE=，CE=，P在BD上，则PE+PC的最小值可能为__________．10.如图，M为正方形ABCD中BC边的中点，将正方形折起，使点A与M重合，设折痕为EF，若正方形的面积为64，则△AEM的面积为____________．11.如图，△ABC是以AB为斜边的直角三角形，AC=4，BC=3，P为AB上一动点，且PE⊥AC于E，PF⊥BC 于F，则线段EF长度的最小值是_______________.第10题第11题第12题12.如图，在直角梯形ABCD中，AD∥BC，∠ABC=90°，∠C=60°，BC=2AD=23，点E是BC边的中点，△DEF是等边三角形，DF交AB于点G，则△BFG的周长为________．三、解答题13．如图1，图2，四边形ABCD是正方形，M是AB延长线上一点．直角三角尺的一条直角边经过点D，且直角顶点E在AB边上滑动(点E不与点A，B重合)，另一条直角边与∠CBM的平分线BF相交于点F．(1)如图1，当点E在AB边的中点位置时：①猜想DE与EF满足的数量关系是__________；②连接点E与AD边的中点N，猜想NE与BF满足的数量关系是__________；③请证明你的上述两个猜想．(2)如图2，当点E在AB边上的任意位置时，请你在AD边上找到一点N，使得NE=BF，进而猜想此时 DE 与EF有怎样的数量关系．14. 如图，在梯形ABCD中，AD//BC，AB=CD=3cm，∠A=120°，BD⊥CD，(1)求BC、AD的长度；(2)若点P从点B开始沿BC边向点C以2cm/秒的速度运动，点Q从点C开始沿CD边向点D以1cm/秒的速度运动，当P、Q分别从B、C同时出发时，写出五边形ABPQD的面积S与运动时间t之间的关系式，并写出t的取值范围(不包含点P在B、C两点的情况)；(3)在(2)的前提下，是否存在某一时刻t，使线段PQ把梯形ABCD分成两部分的面积比为1：5？若存在，求出t的值；若不存在，请说明理由．15. （•青岛模拟）已知正方形ABCD的边长为a，两条对角线AC、BD相交于点O，P是射线AB上任意一点，过P点分别作直线AC、BD的垂线PE、PF，垂足为E、F．（1）如图1，当P点在线段AB上时，PE+PF的值是否为定值？如果是，请求出它的值；如果不是，请加以说明．（2）如图2，当P点在线段AB的延长线上时，求PE﹣PF的值．16.如图，十三个边长为正整数的正方形纸片恰好拼成一个大矩形（其中有三个小正方形的边长已标出字母x，y，z）．试求满足上述条件的矩形的面积最小值．【答案与解析】一．选择题1．【答案】C．【解析】将矩形纸片ABCD折叠，使点D与点B重合，点C落在C′处，折痕为EF，由折叠特性可得，CD=BC′=AB，∠FC′B=∠EAB=90°，∠EBC′=∠ABC=90°，∵∠ABE+∠EBF=∠C′BF+∠EBF=90°∴∠ABE=∠C′BF在△BAE和△BC′F中，∴△BAE≌△BC′F（ASA），∵△ABE的周长=AB+AE+EB=AB+AE+ED=AB+AD=1+2=3，△ABE和△BC′F的周长=2△ABE的周长=2×3=6．故选：C．2．【答案】C.3．【答案】A.4．【答案】C.5．【答案】B.【解析】可证△OEB≌△OFC，则EB=FC=3，AE=BF=4，32346．【答案】B.【解析】由题意∠ADE=54°，∠CDE＝36°，∠DCE=54°，∠BDE=54°-36°=18°.二．填空题7．【答案】3．【解析】如图，∵在直角△ABC中，∠BAC=90°，D、F分别为AB、AC的中点，∴DF是△ABC的中位线，∴DF=BC．又∵点E是直角△ABC斜边BC的中点，∴AE=BC，∵DF=3，∴DF=AE．故填：3．8．【答案】60°.9．【答案】.10．【答案】10.【解析】提示：设AE=x=EM ,BE=8-x,MB=4,在Rt△BEM中由勾股定理解得x=5,从而算出面积.11.【答案】125.【解析】连接PC．∵PE⊥AC，PF⊥BC，∴∠PEC=∠PFC=∠C=90°；又∵∠ACB=90°，∴四边形ECFP是矩形，∴EF=PC，∴当PC最小时，EF也最小，即当CP⊥AB时，PC最小，∵AC=4，BC=3，∴AB=5，∴12AC•BC=12AB•PC，∴PC=125．∴线段EF长的最小值为125；故答案是：125．12．【答案】3+3.【解析】首先由已知AD∥BC，∠ABC=90°点E是BC边的中点，推出四边形ABED是矩形，所以得到直角三角形CED，所以能求出CD和DE，又由△DEF是等边三角形，得出DF，由直角三角形AGD可求出AG、DG，进而求得FG，再证△AGD≌△BGF，得到BF=AD，从而求出△BFG的周长．三.综合题13．【解析】（1）①DE=EF；②NE=BF；③∵四边形ABCD为正方形，∴AD=AB，∠DAB=∠ABC=90°，∵N，E分别为AD，AB中点，∴AN=DN=12AD，AE=EB=12AB，∴DN=BE，AN=AE，∵∠DEF=90°，∴∠AED+∠FEB=90°，又∵∠ADE+∠AED=90°，∴∠FEB=∠ADE，又∵AN=AE，∴∠ANE=∠AEN，又∵∠A=90°，∴∠ANE=45°，∴∠DNE=180°-∠ANE=135°，又∵∠CBM=90°，BF平分∠CBM，∴∠CBF=45°，∠EBF=135°，∴△DNE≌△EBF（ASA），∴DE=EF，NE=BF．（2）在DA上截取DN=EB（或截取AN=AE），连接NE，则点N可使得NE=BF．此时DE=EF．证明方法同（1），证△DNE≌△EBF．14．【解析】（1）在Rt△BCD中，CD=3cm，∠C=60°, ∴∠DBC=30°,∴BC=2CD=6cm.由已知得：梯形ABCD是等腰梯形,∴∠ABC=∠C=60°,∴∠ABD=∠ABC-∠DBC=30°.∵AD∥BC，∴∠ADB=∠DBC=30°,∴∠ABD=∠ADB,∴AD=AB=3cm.（2）当P、Q分别从B、C同时出发运动t秒时，BP=2t，CQ=t, ∴PC=6-2t,过Q作QE⊥BC于E，则QE=CQsin60°=32t,∴S梯形ABCD-S△PCQ=2734-34（6-2t）t=34（2t2-6t+27）（0＜t＜3）.（3）存在时刻t，使线段PQ把梯形ABCD分成两部分的面积比为1：5.∵S梯形ABCD=2734，S△ABD=12×3×32×3,∴S△ABD=13×S梯形ABCD,∴五边形ABPQD的面积不可能是梯形ABCD面积的16.∴S△PCQ：S五边形ABPQD=1：5，即S五边形ABPQD=56S梯形ABCD∴34（2t2-6t+27）=56×2734,整理得：4t2-12t+9=0,∴t=32，即当t=32秒时，PQ把梯形ABCD分成两部分的面积比为1：5．15．【解析】解：（1）是定值，∵四边形ABCD为正方形，∴AC⊥BD．∵PF⊥BD，∴PF∥AC，同理PE∥BD．∴四边形PFOE为矩形，故PE=OF．又∵∠PBF=45°，∴PF=BF．∴PE+PF=OF+FB=OB=acos45°=a．（2）∵四边形ABCD为正方形，∴AC⊥BD．∵PF⊥BD，∴PF∥AC，同理PE∥BD．∴四边形PFOE为矩形，故PE=OF．又∵∠PBF=45°，∴PF=BF．∴PE﹣PF=OF﹣BF=OB=acos45°=a．16.【解析】已有三个小正方形的边长为x，y，z，我们通过x，y，z表示其余正方形的边长依次填在每个正方形中，它们是x+y，x+2y，x+3y，4y，x+7y，2x+y，2x+y+z，4x+4y-z，4x+4y-2x及5x-2y+z．因矩形对边相等，所以得11x+3y=7x+16y-z及8x+8y-3z=6x+5y+z．化简上述的两个方程得到z=13y-4x，4z=2x+3y，消去z得18x=49y．因为18与49互质，所以x、y的最小自然数解是x=49，y=18，此时z=38．以x=49，y=18，z=38代入矩形长、宽的表达式11x+3y及8x+8y-3z，得长、宽分别为593和422．此时得最小面积值是593×422=250246．。
特殊四边形知识与考点解析
特殊四边形知识考点解析1．多边形的分类：2．平行四边形、菱形、矩形、正方形、等腰梯形的定义、性质、判别：（1）平行四边形定义：两组对边分别平行的四边形叫做平行四边形。
平行四边形不相邻两个顶点连成的线段叫对角线。
性质：平行四边形对边相等。
平行四边形对角相等, 邻角互补.平行四边形的对角线互相平分。
若两条直线互相平行，则其中一条直线上任意两点到另一条直线的距离相等，这个距离称为平行线之间的距离。
推论：夹在两条平行线间的平行线段相等。
判定：两组对边分别平行的四边形是平行四边形。
两组对边分别相等的四边形是平行四边形。
一组对边平行且相等的四边形是平行四边形。
两组对角分别相等的四边形是平行四边形.两条对角线互相平分的四边形是平行四边形。
（2）菱形：定义：一组邻边相等的平行四边形叫做菱形。
菱形的性质：菱形的四条边都相等，两条对角线互相垂直平分，每一条对角线平分一组对角。
菱形的判别方法：一组邻边相等的平行四边形是菱形。
对角线互相垂直的平行四边形是菱形.对角线互相垂直平分的四边形是菱形。
四条边都相等的四边形是菱形。
菱形的面积等于两条对角线乘积的一半（面积计算，即S 菱形=L1.L2/2）。
（3）矩形：定义：有一个内角是直角的平行四边形叫做矩形。
矩形的性质：矩形的对角线相等；四个角都是直角。
矩形的判别方法：有一个角是直角的平行四边形是矩形。
对角线相等的平行四边形是矩形；对角线相等且平分的四边形是矩形；有三个角是直角的四边形是矩形。
直角三角形斜边上的中线等于斜边长的一半；在直角三角形中30°所对的直角边是斜边的一半。
（4）正方形：定义：一组邻边相等的矩形叫做正方形。
正方形的性质：正方形具有平行四边形、菱形、矩形的一切性质。
正方形的四个角都是直角，四条边都相等，正方形的两条对角线相等，并且互相垂直平分，每条对角线平分一组对角。
（5）梯形：定义：一组对边平行而另一组对边不平行的四边形叫做梯形。
一组对边平行且不相等的四边形叫做梯形。
几种四边形的性质、判定的比较
几种四边形的定义、性质、判定的比较
有三个角是直角的四边形是矩形。
．对角线相等的平行四边形是矩形。
菱形的对角线互相垂直，并且每条对角线平分一组对角。
．四条边都相等的四边形是菱形。
．对角线互相垂直的平行四边形是菱形。
．正方形的两条对角线相等并且互相垂直平分，每条对角线平分一
．对角线互相垂直的矩形是正方形。
．对角线相等的菱形是正方形。
．对角线相等并且互相垂直平分的四边形是正方形。
两腰相等的梯形叫做等腰梯形。
等腰梯形在同一底上的两个内角相等。
ABCD
°
AB CD
ABCD
°
ABCD
AB=BC
AB= BC= CD=DA
BAD与∠BCD ，
ADC
ABCD
AB=BC=CD=DA
ABCD
BD ABCD
ABCD
ABCD
ABCD
ABCD
ABCD
ABCD
ABCD
AB=DC。
几种特殊平行四边形的性质和判定
3.一组对边平行且相等
4.两组对角分别相等
5.两条对角线互相平分
1.有三个角是直角的四边形
2.有一个角是直角的平行四边形
3.对角线相等的平行四边形
1.四边相等的四边形
2.每条对角线平分一组对角的四边形
3.对角线互相垂直的平行四边形
4.有一组邻边相等的平行四边形
1.有一个角是直角的菱形
2.对角线相等的菱形
3.有一组邻边相等的矩形
4.对角线互相垂直的矩形
对称性
只是中心对称图形
既是轴对称图形，又是中心对称图形
面积
S=底×高
S=底×高
S=底×高=对角线乘积的一半
S=边长×边长
几种特殊平行四边形的性质和判定
平行四边形
矩形
菱形
正方形
性质
边
对边平行且相等
对边平行且相等
对边平行，四边相等
对边平行，四边相等
角对角相等对角相等并且个角都是直角对角相等四个角都是直角
对角线
互相平分
互相平分且相等
互相垂直平分，且每条对角线平分一组对角
互相垂直平分且相等,每条对角线平分一组对角
判
定
1.两组对边分别平行
数学特殊四边形的归纳总结
数学特殊四边形的归纳总结在数学中，四边形是指由四条线段组成的图形。
然而，有一些特殊的四边形具有独特的性质和特征。
本文将对几种常见的数学特殊四边形进行归纳总结，包括矩形、正方形、菱形、平行四边形和梯形。
一、矩形矩形是一种特殊的四边形，它具有以下性质：1. 两组对边相等且平行。
2. 对角线相等。
3. 内角为直角（90度）。
矩形是一种常见的四边形，它有许多实际应用，如建筑设计中的房间布局和绘画中的画框。
二、正方形正方形是一种特殊的矩形，它具有以下性质：1. 所有边相等且平行。
2. 所有角为直角（90度）。
3. 对角线相等且相互平分。
正方形是一种非常对称且稳定的四边形，它在几何学和工程学中经常被使用。
三、菱形菱形是一种特殊的四边形，它具有以下性质：1. 所有边相等。
2. 对角线相互垂直且相等。
菱形是一种具有双重对称性的四边形，它在纺织品设计和室内装饰中经常出现。
四、平行四边形平行四边形是一种特殊的四边形，它具有以下性质：1. 对边相等且平行。
2. 对角线不相交。
3. 相对角相等。
平行四边形是一种常见的四边形，它在计算机图形学和建筑设计中得到广泛应用。
五、梯形梯形是一种特殊的四边形，它具有以下性质：1. 有两条平行边。
2. 其他两条边不平行。
3. 对角线不相交。
梯形是一种常见的四边形，它在建筑设计和地形测量中具有重要意义。
综上所述，数学特殊四边形包括矩形、正方形、菱形、平行四边形和梯形，每种特殊四边形都有独特的性质和特征。
熟练掌握这些特殊四边形的性质，对于解决与几何学相关的问题和应用具有重要意义。
无论是在学习数学知识还是日常生活中，这些特殊四边形都有广泛的应用和重要性。
四边形认识不同类型的四边形
四边形认识不同类型的四边形在几何学中，四边形是指由四个边和四个顶点组成的形状。
它是较为常见的几何图形之一，并且可以根据边的长度、角的大小以及对称性等特征进行分类。
本文将介绍四边形的不同类型，帮助读者更好地认识和理解这些形状。
1. 矩形：矩形是一种拥有两对对边相等且四个内角均为直角的四边形。
它具有对称性，也可以视为特殊的平行四边形。
矩形的特点是对角线相等且相交于中点，它的面积可以通过长乘以宽得到。
2. 正方形：正方形是一种特殊的矩形，拥有四条边长度相等且四个内角均为直角的四边形。
它具有对称性和旋转对称性，对角线相等且相交于中点，所有边长和角度均相等。
正方形的面积可以通过边长的平方计算得到。
3. 平行四边形：平行四边形是指具有两对平行边的四边形。
它的特点是对边相等且对角交相对等。
平行四边形的面积可以通过底边乘以高得到。
4. 梯形：梯形是指具有一对平行边的四边形。
它的特点是一对对边平行，而另一对对边不平行。
梯形的面积可以通过上底与下底之和乘以高的一半进行计算。
5. 菱形：菱形是指四条边长度相等的四边形。
它具有对称性和旋转对称性，对角线相等且互相垂直。
菱形的面积可以通过对角线之积的一半计算得到。
通过了解以上五种不同类型的四边形，我们可以发现它们之间存在一些特定的性质和关系。
例如，矩形和正方形都是特殊的平行四边形，而梯形则是同时具有平行和非平行边的四边形。
菱形则可以看作是正方形的一种更为一般化的形式。
此外，研究四边形的特性还可以进一步拓展到更复杂的图形，例如五边形、六边形等。
通过对这些形状的研究，我们可以深入理解几何学中的各种属性和规律，并且应用到实际生活中的问题中。
总结起来，四边形是几何学中一类重要的图形，其不同类型的四边形具有各自特定的属性。
熟悉并理解这些特性能够帮助我们更好地应用几何学知识，并且在实际问题中得到有效的解决。
因此，深入认识不同类型的四边形对于学习和掌握几何学知识来说是至关重要的一步。
四边形的分类与比较
四边形的分类与比较四边形是指拥有四条边的几何图形，它们在形状和属性上有所不同。
通过对四边形的分类与比较，我们可以深入了解它们的特点和应用。
本文将以清晰、准确和有条理的方式，分析和比较几种常见的四边形。
矩形是最常见的四边形之一，它有两组平行且相等的边，并且四个内角皆为直角。
这个特点使得矩形非常适合用于建筑和工程方面。
例如，在建造房屋时，利用矩形的稳定性和方便的计算属性可以准确测量和布置不同部分的区域。
此外，矩形的对角线相等，这在某些应用中也很有用。
正方形是一种特殊类型的矩形，它的四条边相等且都是直角。
由于它具有对称性和均匀性质，正方形在各个领域具有广泛的应用。
在几何学中，正方形是研究平面图形的基本形状之一。
在日常生活中，正方形的特点使其成为制作图案、设计拼图和棋盘等游戏的理想选择。
与矩形和正方形不同，菱形的四条边都相等，但它的内角并不是直角。
一个菱形有两条对角线，它们互相垂直且平分对方的角。
菱形常被用于许多设计和装饰中，它的对称性和独特形状能够吸引观众的目光。
此外，由于菱形的对角线平分了角度，所以当我们需要确定两个线段的中点时，可以利用菱形来进行精确定位。
梯形是指有一对平行边但没有相等边的四边形。
梯形的特点使其在不同的工程和建筑项目中非常有用。
例如，在铺砖或者修建坡道时，梯形的自然形状可以更好地适应地面的倾斜情况。
此外，梯形的特殊属性还允许我们计算梯形的面积和周长。
这对于规划土地使用或者测量土地价值等方面非常重要。
通过对四边形的分类和比较，我们可以更好地理解它们的特点和应用。
在现实生活和学术研究中，四边形的不同类型都得到了广泛的应用。
矩形和正方形具有稳定性和计算便捷性，菱形具有对称性和吸引力，梯形则适应性强且应用广泛。
无论是在建筑、设计、计算还是其他领域，对这些四边形的深入理解都是至关重要的。
总结起来，通过四边形的分类与比较，我们可以充分了解它们在几何学和实际生活中的特点和应用。
无论是矩形、正方形、菱形还是梯形，它们都有各自独特的特征，为我们的学习和生活带来了诸多便利和乐趣。
特殊四边形性质和判定(记忆)
矩形 菱形 正方形 等腰梯形
定义
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性质
两组对边分别平行的四 边形叫做平行四边形
边：对边平行且相等 角：对角相等，邻角互补 对角线：对角线互相平分 对称性：中心对称图形
判定
两组对边分别平行的四边形是平行四边形。 两组对边分别相等的四边形是平行四边形。 一组对边平行且相等的四边形平行四边形。 对角线互相平分的四边形是平行四边形。
每一条对角线平分一组对角。 对称性：既是中心对称图形，
也是轴对称图形
有一组邻边相等且有一个角是直角的平行四边 形是正方形。 有一个角是直角的菱形是正方形。 有一组邻边相等的矩形是正方形。
两腰相等的梯形叫做等 腰梯形
边：两腰相等 角：同一底上的两底角相等 对角线：对角线相等 对称性：轴对称图形
两腰相等的梯形是等腰梯形。 在同一底上的两个底角相等的梯形是等腰梯形。
每一条对角线平分一组对角。 对称性：既是中心对称图形，
也是轴对称图形
有一组邻边相等的平行四边形是菱形。 四条边相等的四边形是菱形。 对角线互相垂直的平行四边形是菱形。
有一组邻边相等且有一 个角是直角的平行四边 形叫做正方形。
边：对边平行，四条边都相等 角：四个角都是直角 对角线：对角线互相垂直平分且相等，
图形 平行四边形
矩形 菱形
定义
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性质
正方形 等腰梯形
判定
有一个角是直角的平行 四边形叫做矩形。
边：对边平行且相等 角：四个角都是直角 对角线：对角线互相平分且相等 对称性：既是中心对称图形，
也是轴对称图形
有一个角是直角的平行四边形是矩形。 有三个角是直角的四边形是矩形。 对角线相等的平行四边形是矩形。
四边形的种类
四边形的种类四边形是一种具有四条边和四个内角的几何形状。
根据边长和角度的关系，可以将四边形分为不同的种类。
本文将介绍常见的四边形种类，包括矩形、正方形、平行四边形、菱形和梯形。
一、矩形矩形是一种具有四个直角（内角为90度）的四边形。
它的相邻边相等且平行。
矩形拥有许多特性和性质，例如：1. 对角线相等：矩形的两条对角线相等。
2. 同位角相等：矩形的同位角（对应角）相等。
3. 邻位角补角：矩形的邻位角（相邻内角）为补角。
二、正方形正方形是一种特殊的矩形，它的四条边相等且四个内角都为直角。
正方形有以下特点：1. 对角线相等：正方形的两条对角线相等且互相平分。
2. 同位角相等：正方形的同位角（对应角）相等。
3. 邻位角补角：正方形的邻位角（相邻内角）为补角。
4. 对称性：正方形具有对称性，对称轴为其中任意一条对角线或边。
三、平行四边形平行四边形是一种具有对边平行的四边形。
它的相邻边相等但不一定垂直。
平行四边形有以下性质：1. 对角线分割：平行四边形的对角线将其分割为两个相等的三角形。
2. 同位角相等：平行四边形的同位角（对应角）相等。
3. 对角线互相平分：平行四边形的两条对角线互相平分。
四、菱形菱形是一种具有四条边相等的平行四边形。
除了具有平行四边形的特性外，菱形还有以下性质：1. 对角线互相垂直：菱形的两条对角线互相垂直。
2. 对角线分割：菱形的对角线将其分割为两个相等的三角形。
3. 对称性：菱形具有对称性，对称轴为其任意一条对角线。
五、梯形梯形是一种具有一对平行边的四边形。
它的两条非平行边可以不等长。
梯形的特点和性质包括：1. 平行边性质：梯形的两条平行边分别为上底和下底，它们平行且不等长。
2. 邻边角补角：梯形的邻边角（相邻内角）为补角。
3. 对角线比例：梯形的非平行边和对角线之间有一定的等比关系。
在实际应用中，这些四边形种类都有各自的特殊用途和性质。
例如，矩形和正方形常用于建筑物设计和几何问题求解；平行四边形和菱形在几何图形的排列和平行线的研究中发挥重要作用；梯形则常见于房屋屋顶设计和渠道斜坡的形状。
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3.是中心对称图形和轴对称图形
1.两腰相等，两低互相平行
2.同一底上的两角相等，同一腰上的两角互补；
3.对角线相等
4.是轴对称图形
判定
1.两组对边分别平行的四边形
2.两组对边分别相等的四边形
3.一组对边平行且相等的四边形
4.对角线互相平分的四边形
几种特殊的四边形比较
名称
平行四边形
菱形
矩形
正方形
等腰梯形
含义
两组对边分别平行的四边形
一组邻边相等的四边形
有一个角是直角的平行四边形
一组邻边相等的矩形
两腰相等的梯形
对角线
互相平分
对角线互相平分且互相垂直，每一条对角线平分一组对角
互相平分
相等
互相平分；互相垂直；每条对角线平分一组对角
相等
性质
1.对角相等，邻角互补
3.对角线相等的梯形[增加]
注意
两组对角分别相等的四边形是平行四边形
菱形面积公式=1/2
1.是特殊的菱形和特殊的矩形；2.正方形是有一个角是直角的菱形
一组对边平行而另一组对边不平行的四边形叫梯形。一条腰和底垂直的梯形叫直角梯形。梯形的同一腰上的两个角互补
解题方法
作对角线是解决平行四边形的有关问题的常用方法
1.常用对角线垂直[直角三角形]来解题
Байду номын сангаас2.四边相等解周长
1.两条对角线将矩形四个直角三角形、四个等腰三角形
2.善于利用直角三角形斜边的中线等于斜边的一半来解题
1.正方形分别由两个和四个全等的等腰直角三角形
2.判定某四边形为正方形，可先判定其为矩形或菱形，再证明一组邻边相等或有一个角为直角
将等腰梯形的问题通过作辅助线转化为平行四边形和三角形解题
2.对边相等且平行
3.对角线互相平分
4.是中心对称图形，中心是对角线的交点，不是轴对称图形
1是中心对称图形，也是轴对称图形
2.对角相等、对边相等，对角线互相平分
3.四边相等
4.对角线互相垂直平分，每一条对角线平分一组对角
1.四个角都是直角
2.对角线相等且互相平分
3.是中心对称图形和轴对称图形
1四边相等、四角相等
1.一组邻边相等的平行四边形
2.对角线互相垂直的平行四边形
3.对角线互相垂直平分的四边形
4.四条边都相等的四边形
1.有一个角是直角的平行四边形
2.四个角都是直角的四边形
3.对角线相等且互相平分的四边形
4.对角线相等的平行四边形
1.有一个角为直角的菱形
2.一组邻边相等的矩形
1.两腰相等的梯形
2.在同一底上的两个角相等的梯形
梯形作图：1.过同一底的两个端点，作另一底的垂线，将梯形转化为一个矩形和两个直角三角形；2.过一顶点，作一腰的平行线，将梯形转化为一个平行四边形或一个平行四边形和一个三角形；3.过一腰的中点，作另一腰的平行线，将梯形转化为一个平行四边形；4过一顶点，作一对角线的平行线，将梯形转化为一平行四边形和一个三角形；5.连接一顶点和一腰的中点，并延长，将梯形转化为三角形；6，延长两腰转化为三角形。