高考数学一轮复习 课时跟踪检测(四十九)直线与圆、圆与圆的位置关系 理(普通高中)

课时跟踪检测（四十九） 直线与圆、圆与圆的位置关系
(一)普通高中适用作业
A 级——基础小题练熟练快
1．已知点(a ，b )在圆C ：x 2
＋y 2
＝r 2
(r ≠0)的外部，则ax ＋by ＝r 2
与C 的位置关系是( ) A ．相切 B ．相离 C ．内含
D ．相交
解析：选D 由已知a 2
＋b 2
>r 2
，且圆心到直线ax ＋by ＝r 2
的距离为d ＝r 2a 2＋b 2
，则d <r ，
故直线ax ＋by ＝r 2
与C 的位置关系是相交．
2．与圆C 1：x 2
＋y 2
－6x ＋4y ＋12＝0，C 2：x 2
＋y 2
－14x －2y ＋14＝0都相切的直线有( ) A ．1条 B ．2条 C ．3条
D ．4条
解析：选A 两圆分别化为标准形式为C 1：(x －3)2
＋(y ＋2)2
＝1，C 2：(x －7)2
＋(y －1)2
＝36，则两圆圆心距|C 1C 2|＝
－
2
＋[1－－
2
＝5，等于两圆半径差，故两圆内
切．所以它们只有一条公切线．故选A.
3．若两圆x 2
＋y 2
＝m 和x 2
＋y 2
＋6x －8y －11＝0有公共点，则实数m 的取值范围是( ) A ．(0,1) B ．(121，＋∞) C ．[1,121]
D ．(1,121)
解析：选C x 2
＋y 2
＋6x －8y －11＝0化成标准方程为(x ＋3)2
＋(y －4)2
＝36.圆心距为d ＝
＋
2
＋－
2
＝5，若两圆有公共点，则|6－m |≤5≤6＋m ，解得1≤m ≤121.
故选C.
4．过点(3,1)作圆(x －1)2
＋y 2
＝r 2
的切线有且只有一条，则该切线的方程为( ) A ．2x ＋y －5＝0 B ．2x ＋y －7＝0 C ．x －2y －5＝0
D ．x －2y －7＝0
解析：选B 由题意知点(3,1)在圆上，代入圆的方程可得r 2
＝5，圆的方程为(x －1)
2
＋y 2
＝5，则过点(3,1)的切线方程为(x －1)·(3－1)＋y (1－0)＝5，即2x ＋y －7＝0.故选B.
5．直线y ＝kx ＋3与圆(x －3)2
＋(y －2)2
＝4相交于M ，N 两点，若|MN |≥23，则k 的取值范围是( )
A.⎝ ⎛⎦⎥⎤－∞，－34
B.⎣⎢⎡⎦⎥⎤－34，0
C.⎣⎢⎡⎦
⎥⎤－
33，33 D.⎣⎢⎡⎦
⎥⎤－23，0
解析：选 B 圆心(3,2)到直线y ＝kx ＋3的距离d ＝
|3k －2＋3|
k 2＋1
＝
|3k ＋1|
k 2＋1
，由
|MN |≥23，得23≤24－d 2，所以d 2≤1，即8k 2
＋6k ≤0⇒－34
≤k ≤0，故选B.
6．已知点P (x ，y )是直线kx ＋y ＋4＝0(k >0)上一动点，PA ，PB 是圆C ：x 2
＋y 2
－2y ＝0的两条切线，A ，B 是切点，若四边形PACB 的最小面积是2，则k 的值为( )
A ．3 B.
212
C ．2 2
D ．2
解析：选D 圆C ：x 2
＋y 2
－2y ＝0的圆心为(0,1)，半径r ＝1.由圆的性质，知S 四边形PACB
＝2S △PBC .∵四边形PACB 的最小面积是2，∴S △PBC 的最小值为1，则1
2rd min ＝1(d 是切线长)，
∴d min ＝2.∵圆心到直线的距离就是PC 的最小值，∴|PC |min ＝51＋k
2
＝d 2
＋1＝ 5.∵k >0，∴k ＝2.故选D.
7．圆x 2
＋y 2
＝50与圆x 2
＋y 2
－12x －6y ＋40＝0的公共弦的长度为________． 解析：两圆的公共弦长即两圆交点间的距离，将两圆方程联立，可求得弦所在直线为2x ＋y －15＝0，原点到该直线的距离为d ＝|－15|22
＋1
＝35，则公共弦的长度为2r 2－d 2
＝
250－
5
2
＝2 5.
答案：2 5
8．已知圆M ：(x －1)2
＋(y －1)2
＝4，直线l ：x ＋y －6＝0，A 为直线l 上一点，若圆M 上存在两点B ，C ，使得∠BAC ＝60°，则点A 的横坐标的取值范围为________．
解析：由题意知，过点A 的两直线与圆M 相切时，夹角最大，当∠BAC ＝60°时，MA ＝
MB sin ∠BAM ＝2sin 30°
＝4.设A (x ，6－x )，所以(x －1)2＋(6－x －1)2
＝16，解得x ＝1或x ＝5，
因此点A 的横坐标的取值范围为[1,5]．
答案：[1,5]
9．已知直线x －y ＋a ＝0与圆心为C 的圆x 2
＋y 2
＋2x －4y －4＝0相交于A ，B 两点，且
AC ⊥BC ，则实数a 的值为________．
解析：由x 2
＋y 2
＋2x －4y －4＝0得(x ＋1)2
＋(y －2)2
＝9， 所以圆C 的圆心坐标为C (－1,2)，半径为3，
由AC ⊥BC ，可知△ABC 是直角边长为3的等腰直角三角形， 故可得圆心C 到直线x －y ＋a ＝0的距离为32
2
，
由点到直线的距离公式可得|－1－2＋a |2
＝32
2，
解得a ＝0或a ＝6. 答案：0或6
10．在圆C ：x 2＋y 2
－2x －2y －7＝0上总有四个点到直线l ：3x ＋4y ＋m ＝0的距离是1，则实数m 的取值范围是____________．
解析：圆的标准方程为(x －1)2
＋(y －1)2
＝9.若圆上有四个点到直线3x ＋4y ＋m ＝0的距离是1，则圆心到直线的距离小于2，即d ＝|7＋m |
5
<2，解得－17<m <3.
答案：(－17,3)
B 级——中档题目练通抓牢
1．已知圆心(a ，b )(a <0，b <0)在直线y ＝2x ＋1上的圆，其圆心到x 轴的距离恰好等于圆的半径，在y 轴上截得的弦长为25，则圆的方程为( )
A ．(x ＋3)2
＋(y ＋5)2
＝25 B ．(x ＋2)2
＋(y ＋3)2
＝9
C.⎝ ⎛⎭⎪⎫x －232＋⎝ ⎛⎭⎪⎫y －732＝499
D.⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋232＋⎝ ⎛⎭⎪⎫y ＋732＝499
解析：选B 设圆的方程为(x －a )2
＋(y －b )2
＝r 2
(r >0)，则⎩⎨
⎧
r ＝|b |，
b ＝2a ＋1，
r 2
＝|a |2
＋
5
2
，
解得⎩⎪⎨⎪
⎧
a ＝－2，
b ＝－3，
r ＝3，
所以圆的方程为(x ＋2)2＋(y ＋3)2
＝9.故选B.
2．已知圆C ：(x －3)2＋(y －1)2
＝1和两点A (－t,0)，B (t,0)(t >0)，若圆C 上存在点P ，使得∠APB ＝90°，则实数t 的最小值为( )
A ．4
B ．3
C ．2
D ．1
解析：选 D 由∠APB ＝90°得，点P 在圆x 2
＋y 2
＝t 2
上，因此由两圆有交点得|t －1|≤|OC |≤t ＋1⇒|t －1|≤2≤t ＋1⇒1≤t ≤3，即t 的最小值为1.
3．已知△ABC 的三个顶点的坐标分别为A (－2,3)，B (－2，－1)，C (6，－1)，以原点为圆心的圆与此三角形有唯一的公共点，则圆的方程为( )
A ．x 2
＋y 2
＝1 B ．x 2
＋y 2
＝4 C ．x 2＋y 2
＝165
D ．x 2
＋y 2
＝1或x 2
＋y 2
＝37
解析：选D 如图所示，因为A (－2,3)，B (－2，－1)，C (6，－1)．
∴过A ，C 的直线方程为y ＋13＋1＝x －6－2－6
，化为一般式为x ＋2y －4＝
0.点O 到直线x ＋2y －4＝0的距离d ＝|－4|5
＝45
5>1，
又|OA |＝－
2
＋32
＝
13，|OB |＝－
2
＋－
2
＝5，|OC |＝
62
＋－
2
＝37.
∴以原点为圆心的圆若与三角形ABC 有唯一的公共点，则公共点为(0，－1)或(6，－1)，∴圆的半径分别为1或37，则圆的方程为x 2
＋y 2
＝1或x 2
＋y 2
＝37.
4．(2016·全国卷Ⅲ)已知直线l ：mx ＋y ＋3m －3＝0与圆x 2
＋y 2
＝12交于A ，B 两点，过A ，B 分别作l 的垂线与x 轴交于C ，D 两点．若|AB |＝23，则|CD |＝________.
解析：由直线l ：mx ＋y ＋3m －3＝0知其过定点(－3，3)，圆心O 到直线l 的距离为d ＝|3m －3|
m 2＋1
.
由|AB |＝23，得⎝ ⎛⎭
⎪⎫3m －3m 2
＋12
＋(3)2＝12， 解得m ＝－
33
. 又直线l 的斜率为－m ＝
33
， 所以直线l 的倾斜角α＝π
6
.
画出符合题意的图形如图所示，过点C 作CE ⊥BD ，则∠DCE ＝π
6.
在Rt △CDE 中，可得|CD |＝
|AB |cos π6
＝23×2
3＝4. 答案：4
5．设点M (x 0,1)，若在圆O ：x 2
＋y 2
＝1上存在点N ，使得∠OMN ＝45°，则x 0的取值范
围是________．
解析：由题意可知M 在直线y ＝1上运动，设直线y ＝1与圆x 2
＋y 2
＝1相切于点P (0,1)．当x 0＝0，即点M 与点P 重合时，显然圆上存在点N (±1，0)符合要求；当x 0≠0时，过M 作圆的切线，切点之一为点P ，此时对于圆上任意一点N ，都有∠OMN ≤∠OMP ，故要存在∠OMN ＝45°，只需∠
OMP ≥45°.特别地，当∠OMP ＝45°时，有x 0＝±1.结合图形可知，符合条件的x 0的取值范
围为[－1,1]．
答案：[－1,1]
6．已知圆C 经过点A (2，－1)，和直线x ＋y ＝1相切，且圆心在直线y ＝－2x 上． (1)求圆C 的方程；
(2)已知直线l 经过原点，并且被圆C 截得的弦长为2，求直线l 的方程． 解：(1)设圆心的坐标为C (a ，－2a )， 则
a －
2
＋－2a ＋
2
＝|a －2a －1|
2
.
化简，得a 2
－2a ＋1＝0，解得a ＝1. ∴C (1，－2)，半径r ＝|AC |＝
－
2
＋－2＋
2
＝ 2.
∴圆C 的方程为(x －1)2
＋(y ＋2)2
＝2.
(2)①当直线l 的斜率不存在时，直线l 的方程为x ＝0，此时直线l 被圆C 截得的弦长为2，满足条件．
②当直线l 的斜率存在时，设直线l 的方程为y ＝kx ，由题意得|k ＋2|1＋k
2
＝1，解得k ＝
－34
， ∴直线l 的方程为y ＝－3
4x ，即3x ＋4y ＝0.
综上所述，直线l 的方程为x ＝0或3x ＋4y ＝0.
7．已知以点C ⎝
⎛⎭
⎪⎫t ，2t 为圆心的圆与x 轴交于点O ，A ，与y 轴交于点O ，B ，其中O 为坐
标原点．
(1)求证：△OAB 的面积为定值；
(2)设直线y ＝－2x ＋4与圆C 交于点M ，N ，若|OM |＝|ON |，求圆C 的方程． 解：(1)证明：由题意知圆C 过原点O ， ∴半径r ＝|OC |. 又∵|OC |2＝t 2
＋4t
2，
∴设圆C 的方程为(x －t )2
＋⎝
⎛⎭
⎪⎫y －2t 2＝t 2＋4t
2.
令y ＝0，得x 1＝0，x 2＝2t ，则A (2t,0)． 令x ＝0，得y 1＝0，y 2＝4t
，则B ⎝ ⎛⎭
⎪⎫0，4t .
∴S △OAB ＝12|OA |·|OB |＝12×⎪⎪⎪⎪⎪⎪
4t ×|2t |＝4，
即△OAB 的面积为定值． (2)∵|OM |＝|ON |，|CM |＝|CN |， ∴OC 垂直平分线段MN . ∵k MN ＝－2，∴k OC ＝1
2，
∴直线OC 的方程为y ＝1
2x .
∴2t ＝1
2
t ，解得t ＝2或t ＝－2. 当t ＝2时，圆心C 的坐标为(2,1)，r ＝|OC |＝5， 此时圆心C 到直线y ＝－2x ＋4的距离d ＝15
<5，
圆C 与直线y ＝－2x ＋4相交于两点．
当t ＝－2时，圆心C 的坐标为(－2，－1)，r ＝|OC |＝5， 此时圆心C 到直线y ＝－2x ＋4的距离d ＝95
>5，
圆C 与直线y ＝－2x ＋4不相交． ∴圆C 的方程为(x －2)2
＋(y －1)2
＝5.
C 级——重难题目自主选做
1．已知点G (5,4)，圆C 1：(x －1)2
＋(y －4)2
＝25，过点G 的动直线l 与圆C 1相交于E ，
F 两点，线段EF 的中点为C ，且C 在圆C 2上．
(1)若直线mx ＋ny －1＝0(mn >0)经过点G ，求mn 的最大值； (2)求圆C 2的方程；
(3)若过点A (1,0)的直线l 1与圆C 2相交于P ，Q 两点，线段PQ 的中点为M .l 1与l 2：x ＋2y ＋2＝0的交点为N ，求证：|AM |·|AN |为定值．
解：(1)∵点G (5,4)在直线mx ＋ny －1＝0上，∴5m ＋4n ＝1,5m ＋4n ≥220mn (当且仅当5m ＝4n 时取等号)，
∴1≥80mn ，即mn ≤180，∴(mn )max ＝1
80.
(2)由已知得圆C 1的圆心为(1,4)，半径为5，
设C (x ，y )，则C 1C ―→＝(x －1，y －4)，CG ―→
＝(5－x,4－y )， 由题设知C 1C ―→·CG ―→
＝0，
∴(x －1)(5－x )＋(y －4)(4－y )＝0， 即(x －3)2
＋(y －4)2
＝4，
∴C 2的方程是(x －3)2
＋(y －4)2
＝4.
(3)证明：当直线l 1的斜率不存在时，直线l 1与圆C 2相切，当直线l 1的斜率为0时，直线l 1与圆C 2相离，故设直线l 1的方程为kx －y －k ＝0(k ≠0)．
由直线l 1与圆C 2相交，得|3k －4－k |k 2＋1
<2，解得k >3
4.
由⎩
⎪⎨
⎪⎧
x ＋2y ＋2＝0，
kx －y －k ＝0得N ⎝
⎛⎭
⎪⎫2k －22k ＋1，－3k 2k ＋1，
又直线C 2M 与l 1垂直，
由⎩
⎪⎨⎪
⎧
y ＝kx －k ，y －4＝－1
k x －得M ⎝ ⎛⎭⎪⎫k 2＋4k ＋31＋k
2，4k 2
＋2k 1＋k 2，
∴|AM |·|AN |＝
⎝ ⎛⎭⎪⎫k 2＋4k ＋
31＋k 2－12＋⎝ ⎛⎭⎪⎫4k 2
＋2k 1＋k 22· ⎝ ⎛⎭⎪⎫2k －22k ＋1－12＋⎝ ⎛⎭
⎪⎫－3k 2k ＋12＝
2|2k ＋1|1＋k 2
·1＋k 2
·31＋k 2
|2k ＋1|
＝6(定值)．
2.如图，在平面直角坐标系xOy 中，已知以M 为圆心的圆M ：x 2
＋y 2
－12x －14y ＋60＝0及其上一点A (2,4)．
(1)设圆N 与x 轴相切，与圆M 外切，且圆心N 在直线x ＝6上，求圆
N 的标准方程；
(2)设平行于OA 的直线l 与圆M 相交于B ，C 两点，且|BC |＝|OA |，求直线l 的方程； (3)设点T (t,0)满足：存在圆M 上的两点P 和Q ，使得TA ―→＋TP ―→＝TQ ―→
，求实数t 的取值范围．
解：圆M 的标准方程为(x －6)2
＋(y －7)2
＝25， 所以圆心M (6,7)，半径为5.
(1)由圆心N 在直线x ＝6上，可设N (6，y 0)． 因为圆N 与x 轴相切，与圆M 外切， 所以0＜y 0＜7，圆N 的半径为y 0， 从而7－y 0＝5＋y 0，解得y 0＝1.
因此，圆N 的标准方程为(x －6)2
＋(y －1)2
＝1.
(2)因为直线l ∥OA ， 所以直线l 的斜率为4－0
2－0＝2.
设直线l 的方程为y ＝2x ＋m ， 即2x －y ＋m ＝0， 则圆心M 到直线l 的距离
d ＝
|2×6－7＋m |5＝|m ＋5|
5
. 因为|BC |＝|OA |＝22
＋42
＝25， 而MC 2
＝d 2
＋⎝ ⎛⎭⎪⎫BC 22
， 所以25＝
m ＋
2
5
＋5，
解得m ＝5或m ＝－15.
故直线l 的方程为2x －y ＋5＝0或2x －y －15＝0. (3)设P (x 1，y 1)，Q (x 2，y 2)．
因为A (2,4)，T (t,0)，TA ―→＋TP ―→＝TQ ―→
，
所以⎩
⎪⎨
⎪⎧
x 2＝x 1＋2－t ，y 2＝y 1＋4. ①
因为点Q 在圆M 上，
所以(x 2－6)2
＋(y 2－7)2
＝25. ②
将①代入②，得(x 1－t －4)2
＋(y 1－3)2
＝25.
于是点P (x 1，y 1)既在圆M 上，又在圆[x －(t ＋4)]2
＋(y －3)2
＝25上， 从而圆(x －6)2
＋(y －7)2
＝25与圆[x －(t ＋4)]2
＋(y －3)2
＝25有公共点， 所以5－5≤
t ＋－6]2
＋
－
2
≤5＋5，
解得2－221≤t ≤2＋221.
因此，实数t 的取值范围是[2－221，2＋221 ]．。