数理08离散--A

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概率论与数理统计之离散型随机变量

n
电子科技大学
离散型随机变量
14.12.13
lim P{ X n k }
n
lk
k!
e , k 1,2,
l
证明略. 思考：你能从条件 lim npn l 0,
n
中分析出什么结论吗？注
n
lim npn l
即数列{ pn } 与 { 1 n } 是同阶的无穷小.故
即 10k 10 P{ X a } e 0.95 k 0 k!
a
电子科技大学
离散型随机变量
14
14.12.13
查表可得
10k 10 e 0.9166 0.95 k 0 k!
10k 10 e 0.9513 0.95 k 0 k!
15
这家商店在月底保证存货不少于15件就能以95%的概率保证下个月该种商品不会脱销.
p (1 p)
电子科技大学
离散型随机变量
k n
14.12.13
从n次试验中选出k 次试验有C 种不同的方式.
且各种方式的事件互不相容，由概率的有限可加性可得
Pn ( k )
结论成立.
k Cn
p (1 p)
k
n k
,
称随机变量X 服从二项分布 ,记为X ～ B(n, p). (0—1)分布可以看作X ～B(1, p).
14.12.13
故
F ( x ) P{ X x }
P[ { X xi }] P{ X xi }
xi x
xi x
二、贝努里试验和二项分布 E1：抛一枚硬币出现正反面; E2：检查一件产品是否合格; E3：射击，观察是否命中; 贝努里试验

离散数学知识点

绪论研究对象：离散量研究方法：解的存在性解的能行性研究内容：数理逻辑集合代数系统图论离散概率组合数学例题1、A、B、C、D四人参加四次长跑，问：“A在B前三次，B在C前三次，C在D前三次，D在A前三次”是否有解，若有求出，否则说明理由。

方法一： A A B C D n个元素的环形排列可拆成n个元素的B C D A 线性排列D B C D A BD A B CC方法二：集合Sa={X|A在B前} Sa∩Sb∩Sc={A B C D}Sb={X|B在C前} Sa∩Sb∩Sd={D A B C}Sc={X|C在D前} Sa∩Sc∩Sd={C D A B}Sd={X|D在A前} Sb∩Sc∩Sd={B C D A}例题2：在边长为1的正方形中任取五个点，则至少有两个点的距离≤√2/2。

“中点分隔”将边长为1的正方形分成四个边长为1/2的小正方形，从中任取五个小点，必有两个小点来自一个小正方形。

例题3：“布鲁英序列”----应用旋转鼓的设计，设旋转鼓有8个区域，旋转一圈可识别三位二进制数，如何确定磁粉位置。

（阴影0，非阴影1）0—1—1—1 000 0010001 0—1—1—1 010 0111 0 100 1011 110 1111思考题：四位二进制a1 a2 a3 a4例题4：有五位小姐排成一排，所有小姐姓不同，穿的衣服颜色不同，喝不同的饮料，养不同的宠物，吃不同的水果，已知：1.钱小姐穿红衣服2.翁小姐养了一只狗3.陈小姐喝茶4.穿绿衣服的小姐在穿白色衣服小姐的左边，穿绿衣服的小姐在喝咖啡5.吃西瓜的小姐养鸟6.穿黄衣服的小姐吃梨7.站中间的小姐喝牛奶8.赵小姐站最左边9.吃桔子的小姐站在养猫的小姐旁边10.养鱼的小姐旁边小姐吃梨11.吃苹果的小姐喝香槟12.江小姐吃香蕉13.赵小姐站在穿蓝色衣服小姐旁边14.喝开水的小姐站在吃桔子的小姐旁边问每位小姐怎么站，她们分别养什么宠物，吃什么水果，喝什么饮料，穿什么颜色衣服，姓什么。

离散数学习题

离散数学习题集合论1.A={?,1}，B={{a}}求A的幂集、A×B、A∪B、A+B。

2.A={1,2,3,4,5},R={(x,y)|x3.A={a,b,c},R={(a,a),(b,a)},求R-1,R2,R-I A,I A-R,r(R),s(R),t(R),st(R),ts(R)。

4.A={a,b,c},R= I A∪{(a,b),(b,a)}，求a和b关于R的等价类。

5.R是A上的等价关系，A/R={{1,2}，{3}},求A，R。

6.请分别判断以下结论是否一定成立，如果一定成立请证明，否则请举出反例。

①如果A∪B?C，则A?C或者B?C。

②如果A×B=A×C且A≠?，则B=C。

7.如果R是A上的等价关系，R2,r(R)是否一定是A上的等价关系？证明或举例。

8.已知A∩C?B∩C,A-C?B-C,证明：A?B。

9.证明：A X(B∩C)=(A X B)∩(A X C)10.证明：P(A)∪P(B)?P(A∪B)11.证明：R[sym] iff R=R-112.证明：r(R)=R∪I A,S(R)=R∪R-1,t(R)=R∪R2∪...13.证明：s(R∪S)=s(R)∪s(S)14.R是A上的关系，证明：如果R是对称的，则r(R)也是对称的。

15.I是整数集，R={(x,y)|x-y是3的倍数}，证明：R是I上的等价关系。

16.如果R是A上的等价关系，则A/R一定是A的划分。

17.R是集合A上的自反关系，S是A上的自反和对称关系，证明t(R∪S)是A上的等价关系。

18.I是正整数集合，R是I×I上的二元关系，R={<,>|xv=yu},证明：R是等价关系。

19.f:A→B，R是B上的等价关系，令S={|x∈A且y∈A且∈R}，证明：S是A上的等价关系。

20.R是集合A上的自反关系，S是A上的自反和对称关系，证明t(R∪S)是A上的等价关系。

离散数学练习-第1部分数理逻辑(解答)

5、下列命题公式为重言式的是（ D ），为矛盾式的是（ C ）
A、(P→Q)⋀Q⋀R
B、(P→P)→Q
C、(Q⋁R)⋀R
D、((P→Q)⋀(Q→R))→(P→R)
6、命题公式 (P→Q) 的主合取范式中含有（ D ）个极大项，主析取范式中含有（ B ）个极小项 A、0 B、1 C、2 D、3
7、下列式子不正确的是（ D ） A、∃xA(x) ⇔ ∀xA(x) B、∃x(A→B(x)) ⇔ A→∃xB(x) C、∀xA(x) ⇔ ∃xA(x) D、∀x(A(x)→B) ⇔ ∀xA(x)→B
以下方案任选一：①A不去,B不去,C去；②A不去,B去,C不去； ③A去,B不去,C去
9、证明下列谓词公式为永真式
(xF( x) yG( y)) (yG( y) xF( x))
证明：题中的谓词公式为 (P Q) (Q P) 的代换实例
(P Q) (Q P) (P Q) (Q P) (P Q) (P Q) 1 (A A 1)
(P Q R) (P Q R) (P Q R) (P Q R) (P Q R) (P Q R) (P Q R) (P Q R) m001 m000 m011 m111 m0 m1 m3 m（7 主析取范式） M2 M4 M5 M（6 主合取范式） (P Q R) (P Q R) (P Q R) (P Q R)
命题“并不是所有汽车都比火车跑得慢”可符号化为（ C ）
命题“说汽车都比火车快是不对的”可符号化为（ C ） A、∃x(F(x)∧∀y(G(y)→H(x,y))) B、∃x∃y(F(x)∧G(y)→H(x,y)) C、∀x∀y(F(x)∧G(y)→H(x,y)) D、∀x(F(x)∧∃y(G(y)→H(x,y)))

概率论与数理统计试题-a_（含答案）

概率论与数理统计试题-a_（含答案）深圳⼤学期末考试试卷参考解答及评分标准开/闭卷闭卷A/B 卷 A 课程编号 2219002801-2219002811课程名称概率论与数理统计学分 3命题⼈(签字) 审题⼈(签字) 年⽉⽇基本题6⼩题，每⼩题5分，满分30分。

在每⼩题给出的四个选项中，只有⼀（每道选择题选对满分，选0分）事件表达式A B 的意思是 ( ) 事件A 与事件B 同时发⽣ (B) 事件A 发⽣但事件B 不发⽣事件B 发⽣但事件A 不发⽣ (D) 事件A 与事件B ⾄少有⼀件发⽣ D ，根据A B 的定义可知。

假设事件A 与事件B 互为对⽴，则事件A B ( ) 是不可能事件 (B) 是可能事件发⽣的概率为1 (D) 是必然事件 A ，这是因为对⽴事件的积事件是不可能事件。

已知随机变量X ,Y 相互独⽴，且都服从标准正态分布，则X 2＋Y 2服从 ( ) ⾃由度为1的χ2分布 (B) ⾃由度为2的χ2分布⾃由度为1的F 分布 (D) ⾃由度为2的F 分布选B ，因为n 个相互独⽴的服从标准正态分布的随机变量的平⽅和服从⾃由度为n 的2分布。

已知随机变量X ,Y 相互独⽴，X ~N (2,4),Y ~N (-2,1), 则( ) X +Y ~P (4) (B) X +Y ~U (2,4) (C) X +Y ~N (0,5) (D) X +Y ~N (0,3)选C ，因为相互独⽴的正态变量相加仍然服从正态分布，⽽E (X +Y )=E (X )+E (Y )=2-2=0, (X +Y )=D (X )+D (Y )=4+1=5, 所以有X +Y ~N (0,5)。

样本(X 1,X 2,X 3)取⾃总体X ，E (X )=µ, D (X )=σ2, 则有( ) X 1+X 2+X 3是µ的⽆偏估计(B) 1233X X X ++是µ的⽆偏估计22X 是σ2的⽆偏估计(D)21233XXX+是σ2的⽆偏估计答：选B，因为样本均值是总体期望的⽆偏估计，其它三项都不成⽴。

勘察工程师概率论与数理统计知识点

勘察工程师概率论与数理统计知识点- 随机事件就是在一定条件下，可能出现也可能不出现，具有偶然性的事件。

就像抛硬币，你抛之前根本不知道是正面还是反面朝上，这就是个典型的随机事件。

在我们勘察工程师的工作里，很多情况都是随机事件呢。

比如说在某个地方勘察地下水位，你可能挖到这个深度是一个水位高度，但下次在同样的地方挖，因为一些不可控的因素，水位可能就不一样了。

2. 概率的定义概率简单说就是某个事件发生的可能性大小的一个数值表示。

它的取值范围是从0到1。

0就表示这个事件绝对不会发生，就像太阳从西边升起这种事，概率就是0；1呢就表示这个事件肯定会发生，像人总是要呼吸的，这概率就是1。

那对于我们勘察工程来说，如果在一片区域发现某种特定岩石结构的概率是0.3，这就意味着有百分之三十的可能性会遇到这种岩石结构。

3. 古典概型古典概型有两个重要的特点哦。

一是试验的样本空间只包含有限个元素，二是试验中每个基本事件发生的可能性相同。

就好比从一个盒子里摸球，盒子里有5个红球和5个白球，而且每个球被摸到的可能性是一样的，这就是古典概型。

在勘察工程里，我们有时候可以把在某个固定区域找到特定矿脉的情况近似看成古典概型。

假设这个区域有10个可能的矿脉点，每个点找到矿脉的可能性相同，那这就有点古典概型的味道了。

4. 条件概率条件概率就是在某个事件已经发生的条件下，另一个事件发生的概率。

比如说，我们已经知道在某个区域发生过地震（事件A），那么这个区域的地质结构发生某种特定变化（事件B）的概率就是条件概率。

用公式表示就是P(B A)。

在实际勘察中，如果我们先知道了这里有地下水污染（事件C），那么在这个前提下，某些特殊微生物群落存在（事件D）的概率就可以用条件概率来计算。

5. 全概率公式全概率公式可是个很有用的东西。

它可以把一个复杂事件的概率通过划分样本空间，转化为在不同情况下这个事件发生的概率之和。

就像我们要计算在一个很大的山区找到优质水源的概率，我们可以把这个山区根据不同的海拔高度或者植被覆盖情况划分成几个小区域，然后分别计算在每个小区域找到优质水源的概率，最后用全概率公式把这些概率综合起来得到在整个山区找到优质水源的概率。

概率论与数理统计自考题型

概率论与数理统计自考题型一、选择题（每题3分，共30分）1. 设随机变量X服从正态分布N(μ,σ²)，则P(X ≤ μ)等于（）A. 0B. 0.5C. 1D. 取决于μ和σ的值。

答案：B。

解析：正态分布的图像关于x = μ对称，所以P(X ≤ μ) = 0.5。

2. 若事件A与B相互独立，P(A) = 0.4，P(B) = 0.5，则P(A∪B)等于（）A. 0.7B. 0.8C. 0.6D. 0.9。

答案：A。

解析：因为A与B相互独立，所以P(A∪B)=P(A)+P(B)-P(A)P(B)=0.4 + 0.5 - 0.4×0.5 = 0.7。

3. 设离散型随机变量X的分布律为P(X = k)=ck，k = 1,2,3，则c的值为（）A. 1/6B. 1/3C. 1/2D. 2/3。

答案：A。

解析：根据离散型随机变量分布律的性质，所有概率之和为1，即c+2c+3c = 1，解得c = 1/6。

4. 对于二维随机变量(X,Y)，如果X与Y相互独立，则（）A. Cov(X,Y) = 0B. D(X + Y)=D(X)+D(Y)C. 以上两者都对D. 以上两者都不对。

答案：C。

解析：当X与Y相互独立时，Cov(X,Y) = 0，且D(X + Y)=D(X)+D(Y)。

5. 设总体X服从参数为λ的泊松分布，X₁,X₂,…,Xₙ是来自总体X的样本，则λ的矩估计量为（）A. XB. 1/XC. X²D. 1/X²。

答案：A。

解析：根据泊松分布的期望为λ，由矩估计法，用样本均值X估计总体的期望λ。

6. 样本方差S²是总体方差σ²的（）A. 无偏估计B. 有偏估计C. 极大似然估计D. 矩估计。

答案：A。

解析：样本方差S²是总体方差σ²的无偏估计。

7. 设总体X~N(μ,σ²)，其中μ未知，σ²已知，X₁,X₂,…,Xₙ是来自总体X的样本，则μ的置信区间为（）A. (X - zα/2(σ/√n),X + zα/2(σ/√n))B. (X - tα/2(s/√n),X + tα/2(s/√n))C. (X - zα/2(s/√n),X + zα/2(s/√n))D. (X - tα/2(σ/√n),X + tα/2(σ/√n))。

离散数学复习提纲

离散数学复习提纲一、基本内容数理逻辑部分1．理解命题概念，会判别语句是不是命题．理解五个联结词：否定、析取、合取、条件、和双条件及其真值表，会将简单命题符号化．具有确定真假意义的陈述句称为命题．命题必须具备：其一，语句是陈述句；其二，语句有唯一确定的真假意义.2．了解公式的概念(公式、赋值、成真指派和成假指派)和公式真值表的构造方法．能熟练地作公式真值表．理解永真式和永假式概念，掌握其判别方法．判定命题公式类型的方法：其一是真值表法，其二是等价演算法.3．了解公式等价概念，掌握公式的重要等价式和判断两个公式是否等价的有效方法：等价演算法、列真值表法和主范式方法．4．理解析取范式和合取范式、极大项和极小项、主析取范式和主合取范式的概念，熟练掌握它们的求法．命题公式的范式不惟一，但主范式是惟一的．命题公式A 有n 个命题变元，A 的主析取范式有k 个极小项，有m 个极大项，则 n m k 2=+ 求命题公式A 的析取(合取)范式的步骤．求命题公式A 的主析取(合取)范式的步骤．5．要理解并掌握推理理论的规则、重言蕴含式和等价式，掌握命题公式的证明方法：真值表法、直接证法、间接证法．重点：命题与联结词，公式与解释，真值表，公式的类型及判定，主析取(合取)范式，命题演算的推理理论.6．理解谓词、量词、个体词、个体域，会将简单命题符号化．原子命题分成个体词和谓词，个体词可以是具体事物或抽象的概念，分个体常项和个体变项．谓词用来刻划个体词的性质或之间的关系．量词分全称量词，存在量词.命题符号化注意：使用全称量词，特性谓词后用；使用存在量词，特性谓词后用．7．了解原子公式、谓词公式、变元(约束变元和自由变元)与辖域等概念．掌握在有限个体域下消去公式的量词和求公式在给定解释下真值的方法．由原子公式、联结词和量词构成谓词公式．谓词公式具有真值时，才是命题．在谓词公式中，会区分约束变元和自由变元．在非空集合D(个体域)上谓词公式A 的一个解释或赋值有3个条件．在任何解释下，谓词公式A 取真值1，A 为逻辑有效式(永真式)；公式A 取真值0，A 为永假式；至少有一个解释使公式A 取真值1，A 称为可满足式．在有限个体域下，消除量词的规则为：设D ＝{n a a a ,...,21}，则)(...)()()(21n a A a A a A x xA ∧∧∧⇔∀)(...)()()(21n a A a A a A x xA ∨∨∨⇔∃ 会求谓词公式的真值，量词的辖域，自由变元、约束变元，以及换名规则、代入规则等．掌握谓词演算的等价式和重言蕴含式．并进行谓词公式的等价演算．8．了解前束范式的概念，会求公式的前束范式的方法.若一个谓词公式F 等价地转化成B x Q x Q x Q k k ...2211，那么B x Q x Q x Q k k ...2211就是F 的前束范式．前束范式仍然是谓词公式．9．了解谓词逻辑推理的四个规则．会给出推理证明．谓词演算的推理是命题演算推理的推广和扩充，命题演算中基本等价式，重言蕴含式以及P ，T ，CP 规则在谓词演算中仍然使用．谓词逻辑的推理演算引入了US 规则(全称量词指定规则)，UG 规则(全称量词推广规则)，ES 规则(存在量词指定规则)，EG 规则(存在量词推广规则)等.集合论部分1．理解集合、元素、集合的包含、子集、相等，以及全集、空集和幂集等概念，熟练掌握集合的表示方法．具有确定的，可以区分的若干事物的全体称为集合，其中的事物叫元素．集合的表示方法：列举法和描述法.注意：集合的表示中元素不能重复出现，集合中的元素无顺序之分．掌握集合包含(子集)、真子集、集合相等等概念．注意：元素与集合，集合与子集，子集与幂集，空集与所有集合的关系：空集是惟一的，它是任何集合的子集．集合A 的幂集P(A)＝}{A x x ⊆， A 的所有子集构成的集合．若|A|＝n ，则|P(A)|=2n ．2．熟练掌握集合A 和B 的并、交，补集A 补集总相对于一个全集).差集A －B ，对称差等运算，并会用文氏图表示．掌握集合运算律(运算的性质).3．掌握用集合运算基本规律证明集合恒等式的方法．集合的运算问题：其一是进行集合运算；其二是运算式的化简；其三是恒等式证明．证明方法有二：(1)要证明A ＝B ，只需证明A 是B 的子集，又B 是A 的子集；(2)通过运算律进行等式推导．4．了解有序对和笛卡儿积的概念，掌握笛卡儿积的运算．有序对就是有顺序二元组，如<x, y>，x, y 的位置是确定的，不能随意放置．注意：有序对<a ，b><b, a>，以a, b 为元素的集合{a, b}={b, a}；有序对(a, a)有意义，而集合{a, a}是单元素集合，应记作{a}．集合A ，B 的笛卡儿积A ×B 是一个集合，规定A ×B ＝{<x,y>xA,yB}，是有序对的集合.笛卡儿积也可以多个集合合成，A1×A2×…×An ．5．理解关系的概念：二元关系、空关系、全关系、恒等关系.掌握关系的集合表示、关系矩阵和关系图，掌握关系的集合运算和求复合关系、逆关系的方法．二元关系是一个有序对集合，},{B y A x y x R ∈∧∈><=，记作xRy ．关系的表示方法有三种：集合表示法，关系矩阵：RA ×B ，R 的矩阵⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛==⎪⎩⎪⎨⎧/==⨯n j m i b R a Rb a r r M j i j i ij n m ij R ,...,2,1,...,2,101,)(. 关系图：R 是集合上的二元关系，若<ai, bj>R ，由结点ai 画有向弧到bj 构成的图形．空关系是唯一、是任何关系的子集的关系；全关系},,{A b a b a E A ∈><=A A ⨯≡；恒等关系},{A a a a I A ∈><=，恒等关系的矩阵MI 是单位矩阵．关系的集合运算有并、交、补、差和对称差．复合关系}),,(,{2121R c b R b a b c a R R R >∈<∧>∈<∃><=•=；复合关系矩阵：21R R R M M M ⨯=(按布尔运算)；有结合律：(RS)T ＝R(ST)，一般不可交换．逆关系},,{1R y x x y R >∈<><=-；逆关系矩阵满足：T R R M M =-1；6．理解关系的性质(自反性和反自反性、对称性和反对称性、传递性的定义以及矩阵表示或关系图表示)，掌握其判别方法(利用定义、矩阵或图，充分条件)，知道关系闭包的定义和求法．注：(1)关系性质的充分必要条件：① R 是自反的；②R 是反自反的；③R 是对称的；④R 是反对称的；⑤R 是传递的.(2)IA 具有自反性，对称性、反对称性和传递性．EA 具有自反性，对称性和传递性．故IA ，EA 是等价关系．具有反自反性、对称性、反对称性和传递性．IA 也是偏序关系．7．理解等价关系和偏序关系概念，掌握等价类的求法和作偏序集哈斯图的方法．知道极大(小)元，最大(小)元的概念，会求极大(小)元、最大(小)元、最小上界和最大下界．等价关系和偏序关系是具有不同性质的两个关系.⎩⎨⎧==+⎭⎬⎫⎩⎨⎧+偏序关系等价关系传递性反对称性对称性自反性知道等价关系图的特点和等价类定义，会求等价类．一个子集的极大(小)元可以有多个，而最大(小)元若有，则惟一.且极元、最元只在该子集内；而上界与下界可以在子集之外．由哈斯图便于确定任一子集的最大(小)元，极大(小)元．8．理解函数概念：函数(映射)，函数相等，复合函数和反函数．理解单射、满射和双射等概念，掌握其判别方法．函数是一种特殊的关系．集合A ×B 的任何子集都是关系，但不一定是函数．函数要求对于定义域A 中每一个元素a ，B 中有且仅有一个元素与a 对应，而关系没有这个限制．二函数相等是指：定义域相同，对应关系相同，而且定义域内的每个元素的对应值都相同．函数有：单射——若)()(2121a f a f a a ≠⇒≠；满射——f(A)=B 或,,A x B y ∈∃∈∀使得y=f(x)；双射——单射且满射．复合函数,:,:,:C A f g C B g B A f →→→ 则即))(()(x f g x f g = ．复合成立的条件是：)(Dom )(Ran g f ⊆．一般g f f g ≠，但f g h f g h )()(=. 反函数——若f ：AB 是双射，则有反函数f －1：BA ，},)(,,{1A a b a f B b a b f ∈=∈><=-，f f g f f g ==-----11111)(,)(重点：关系概念与其性质，等价关系和偏序关系，函数.图论部分1．理解图的概念：结点、边、有向图，无向图、简单图、完全图、结点的度数、边的重数和平行边等.理解握手定理．图是一个有序对<V ，E>，V 是结点集，E 是联结结点的边的集合．掌握无向边与无向图，有向边与有向图，混合图，零图，平凡图、自回路(环)，无向平行边，有向平行边等概念．简单图，不含平行边和环(自回路)的图、在无向图中，与结点v(V)关联的边数为结点度数deg (v)；在有向图中，以v(V)为终点的边的条数为入度deg －(v)，以v(V)为起点的边的条数为出度deg ＋(v)，deg(v)=deg+(v) +deg －(v)．无向完全图Kn 以其边数)1(21-=n n E ；有向完全图以其边数)1(-=n n E ．了解子图、真子图、补图和生成子图的概念．生成子图——设图G ＝<V, E>，若EE ，则图<V, E>是<V, E>的生成子图．知道图的同构概念，更应知道图同构的必要条件，用其判断图不同构.重要定理：(1) 握手定理设G=<V ，E>，有∑∈=V v E v 2)deg(； (2) 在有向图D ＝<V, E>中，∑∑∈+∈-=V v V v v v )(deg )(deg ；(3) 奇数度结点的个数为偶数个．2．了解通路与回路概念：通路(简单通路、基本通路和复杂通路)，回路(简单回路、基本回路和复杂回路)．会求通路和回路的长度．基本通路(回路)必是简单通路(回路)．了解无向图的连通性，会求无向图的连通分支．了解点割集、边割集、割点、割边等概念．了解有向图的强连通强性；会判别其类型．设图G ＝<V ，E>，结点与边的交替序列为通路．通路中边的数目就是通路的长度．起点和终点重合的通路为回路．边不重复的通路(回路)是简单通路(回路)；结点不重复的通路(回路)是基本通路(回路).无向图G 中，结点u, v 存在通路，u, v 是连通的，G 中任意结点u, v 连通，G 是连通图．P(G)表示图G 连通分支的个数．在无向图中，结点集VV ，使得P(G －V)>P(G)，而任意VV,有P （G －V ）＝P(G)，V 为点割集. 若V 是单元集，该结点v 叫割点；边集EE ，使得P(G －V)>P(G)，而任意EE ，有P （G －E ）＝P(G)，E 为边割集．若E 是单元集，该边e 叫割边(桥)．要知道：强连通−−→−必是单侧连通−−→−必是弱连通，反之不成立． 3．了解邻接矩阵和可达矩阵的概念，掌握其构造方法及其应用．重点：图的概念，握手定理，通路、回路以及图的矩阵表示．4．理解欧拉通路(回路)、欧拉图的概念，掌握欧拉图的判别方法．通过连通图G 的每条边一次且仅一次的通路(回路)是欧拉通路(回路)．存在欧拉回路的图是欧拉图.欧拉回路要求边不能重复，结点可以重复．笔不离开纸，不重复地走完所有的边，走过所有结点，就是所谓的一笔画．欧拉图或通路的判定定理(1) 无向连通图G 是欧拉图G 不含奇数度结点(即G 的所有结点为偶数度)；(2) 非平凡连通图G 含有欧拉通路G 最多有两个奇数度的结点；(3) 连通有向图D 含有有向欧拉回路D 中每个结点的入度＝出度．连通有向图D 含有有向欧拉通路D 中除两个结点外，其余每个结点的入度＝出度，且此两点满足deg －(u)－deg ＋(v)＝1．5．理解汉密尔顿通路(回路)、汉密尔顿图的概念，会做简单判断．通过连通图G 的每个结点一次，且仅一次的通路(回路)，是汉密尔顿通路(回路)．存在汉密尔顿回路的图是汉密尔顿图.汉密尔顿图的充分条件和必要条件(1) 在无向简单图G=<V ，E>中，V3，任意不同结点V v u G v u ≥+∈)deg()deg(,,，则G 是汉密尔顿图．(充分条件)(2) 有向完全图D ＝<V ，E>, 若3≥V ，则图D 是汉密尔顿图. (充分条件)(3) 设无向图G=<V ，E>，任意V1V ，则W(G －V1)V1(必要条件)若此条件不满足，即存在V1V ，使得P(G －V!)>V1,则G 一定不是汉密尔顿图(非汉密尔顿图的充分条件)．6．了解平面图概念，平面图、面、边界、面的次数和非平面图．掌握欧拉公式的应用．平面图是指一个图能画在平面上，除结点之外，再没有边与边相交．面、边界和面的次数)deg(r 等概念．重要结论：(1)平面图e r e E v V E V G r i i2)deg(,,,,1===>=<∑=则． (2)欧拉公式：平面图,,,,e E v V E V G ==>=< 面数为r ，则2=+-r e v (结点数与面数之和＝边数＋2)(3)平面图633,,,,-≤≥==>=<v e v e E v V E V G ，则若．会用定义判定一个图是不是平面图．7．理解平面图与对偶图的关系、对偶图在图着色中的作用，掌握求对偶图的方法．给定平面图G ＝〈V ，E 〉，它有面F1，F2，…，Fn ，若有图G*＝〈V*，E*〉满足下述条件：⑴对于图G 的任一个面Fi ，内部有且仅有一个结点vi*∈V*；⑵对于图G的面Fi，Fj的公共边ek，存在且仅存在一条边ek*∈E*，使ek*＝(vi*，vj*)，且ek*和ek相交；⑶当且仅当ek只是一个面Fi的边界时，vi*存在一个环ek*和ek相交；则图G*是图G的对偶图．若G*是G的对偶图，则G也是G*的对偶图．一个连通平面图的对偶图也必是平面图．8．掌握图论中常用的证明方法．重点：欧拉图和哈密顿图、平面图的基本概念及判别．9．了解树、树叶、分支点、平凡树、生成树和最小生成树等概念，掌握求最小生成树的方法．连通无回路的无向图是树．树的判别可以用图T是树的充要条件(等价定义)．注意：(1) 树T是连通图；(2)树T满足m＝n－1（即边数=顶点数-1）．图G的生成子图是树，该树就是生成树．每边指定一正数，称为权，每边带权的图称为带权图．G的生成树T的所有边的权之和是生成树T的权，记作W(T)．最小生成树是带权最小的生成树．10．了解有向树、根树、有序树、二叉树、二叉完全树、正则二叉树和最优二叉树等概念．了解带权二叉树、最优二叉树的概念，掌握用哈夫曼算法求最优二叉树的方法．有向图删去边的方向为树，该图为有向树．对非平凡有向树，恰有一个结点的入度为0(该结点为树根)，其余结点的入度为1，该树为根树．每个结点的出度小于或等于2的根树为二叉树；每个结点的出度等于0或2的根树为二叉完全树；每个结点的出度等于2的根树称为正则二叉树．有关树的求法：(1)生成树的破圈法和避圈法求法；(2)最小生成树的克鲁斯克尔求法；(3) 最优二叉树的哈夫曼求法重点：树与根树的基本概念，最小生成树与最优二叉树的求法.代数结构部分1. 二元运算（定义，封闭性）、运算表2.各种定律（交换、结合、幂等、分配、吸收、消去、幺元、零元、逆元）3·代数系统、子代数、积代数（定义、特殊元素、代数常数）4·同态与同构（同态等式、证明）5·半群、独异点6·群、子群、阿贝尔群、生成子群、元素的阶（周期）、循环群（定义与证明）·环、含幺环、零因子、无零因子环、整环、除环与域7·格（两种定义）、分配格、有界格、布尔格（判断）练习题数理逻辑部分（一）1．填空题(1) 公式(p∧⌝q)∨(⌝p∧q)的成真赋值为__________________；(2) 设p, r为真命题，q, s为假命题，则复合命题(p→q)↔(⌝r→s)的真值为________；(3) 设p, q均为命题，在_________________________条件下，p与q的排斥或也可以写成p与q的相容或；(4) 公式⌝(p↔q)与(p∧⌝q)∨(⌝p∧q)共同的成真赋值为____________；(5) 设A为任意的公式，B为重言式，则A∨B的类型为______________.2．将下列命题或语句符号化(1) 7不是无理数是不对的；(2) 小刘既不怕吃苦，又很钻研；(3) 只有不怕困难，才能战胜困难；(4) 只要别人有困难，老王就帮助别人，除非困难解决了；(5) 整数n是偶数当且仅当n能被2整除.3．求复合命题的真值p：2能整除5，q：旧金山是美国的首都，r：一年分四季.(1) ((p∨q)→r)∧(r→(p∧q))；(2) ((⌝q↔p)→(r∨p))∨((⌝p∧⌝q)∧r).4．判断推理是否正确设y=2|x|，x为实数. 推理如下：若y在x=0可导，则y在x=0连续. y在x=0连续. 所以，y在x=0可导.5．判断公式的类型(1) (⌝(p↔q)→((p∧⌝q)∨(⌝p∧q)))∨r;(2) (p∧⌝(q→p))∧(r∧q);(3) (p↔⌝r)→(q↔r).（二）1．填空题．(1)设A为含命题变项p、q、r的重言式，则公式A∨ ((p∧q)→r)的类型为___________；(2)设B为含命题变项p、q、r的矛盾式，则公式B∧((p↔q)→r)的类型为___________；(3)设p、q为命题变项，则(⌝p↔q)的成真赋值为________________；(4)设p、q为真命题，r、s为假命题，则复合命题(p↔r)↔(⌝q→s)的真值为___________；(5)矛盾式的主析取范式为_________________；(6)设公式A含命题变项p、q、r，又已知A的主合取范式为M0∧M2∧M3 ∧M5，则A的主析取范式为_______________________________．2．用等值演算法求公式的主析取范式或主合取范式(1)求公式p→((q∧r)∧(p∨(⌝q∧⌝r)))的主析取范式；(2)求公式⌝(⌝(p→q))∨(⌝q→⌝p)的主合取范式；(3)求公式((p∨q)∧(p→q))↔(q→p)的主析取范式，再由主析取范式求出主合取范式．3．用真值表求公式(p→q)↔r的主析取范式4．将公式p→(q→r)化成与之等值且仅含{⌝, ∧}中联结词的公式．5．用主析取范式判断⌝ (p↔q) 与((p∨q)∧(⌝(p∧q))是否等值．6. 用消解原理证明p∧(⌝p∨q)∧(⌝r) ∧(⌝p∨⌝q∨r)是矛盾式.（三）1．填空题(1)(A→B)∧⌝B⇒_____________为拒取式推理定律；(2) (A∨⌝B)∧B⇒______________为析取三段论推理定律；(3) (⌝A→B)∧(B→⌝C)⇒_________________为假言三段论推理定律；(4) (⌝A→⌝B)∧⌝A⇒________________为假言推理定律．2．判断推理是否正确，并证明之（方法不限）(1)如果王红学过英语和法语，则她也学过日语．可她没有过日语，但学过法语. 所以，她也没学过英语；(2)若小李是文科学生，则他爱看电影．小李不是文科学生. 所以, 他不爱看电影．（3）设y=2|x|，x为实数. 推理如下：若y在x=0可导，则y在x=0连续. y在x=0连续. 所以，y在x=0可导.3．在自然推理系统P中，用直接证明法构造下面推理的证明(1)前提：⌝(p∧⌝q), q→⌝r, r结论：⌝p(2)前提：p→r, q→s, p,q结论：r∧s4．在自然推理系统P中，用附加前提证明法证明下面推理．(1)前提：⌝p∨ (q→r), s→p, q结论：⌝r→⌝s(2)前提：⌝p→q, ⌝p∨r, q→s结论：⌝s→r5．在自然推理系统P中，用归谬法证明下面推理．前提：p→(q→r), p∧q结论：r∨s6．在自然推理系统P中，构造下面用自然语言给出的推理．若小张喜欢数学，则小李或小赵也喜欢数学．若小李喜欢数学，则他也喜欢物理．小张确实喜欢数学，可小李不喜欢物理. 所以, 小赵喜欢数学．（四）1.填空题2.(1) 设F(x)：x具有性质F，G(x)：x具有性质G. 命题“对所有的x而言，若x有性质F，则x就有性质G”的符号化形式为__________________________；(2) 设F(x)：x具有性质F，G(x)：x具有性质G. 命题“有的x既有性质F、又有性质G”的符号化形式为__________________________；(3) 设F(x)：x具有性质F，G(y)：y具有性质G. 命题“若所有的x都有性质F，则所有的y都有性质G”的符号化形式为__________________________；(4) 设F(x)：x具有性质F，G(y)：y具有性质G. 命题“若存在x具有性质F，则所有的y都没有性质G”的符号化性质为__________________________；(5) 设A为任意的一阶逻辑公式，若A中_________________，则称A为封闭的公式；(6) 在一阶逻辑中将命题符号化时，若没指明个体域，则使用________________个体域.2. 用0元谓词将下列命题符号化(1) 只要4不是素数，3就是素数；(2) 只有2是偶数，4才是偶数；(3) 5是奇数当且仅当5不能被2整除.3. 在一阶逻辑中将下列命题符号化(1) 所有的整数，不是负整数，就是正整数，或者是0；(2) 有的实数是有理数，有的实数是无理数；(3) 发明家都是聪明的并且是勤劳的．王前进是发明家. 所以, 王前进是聪明的并且是勤劳的．4．在一阶逻辑中，将下列命题符号化(1) 实数不都是有理数；(2) 不存在能表示成分数的无理数．5．在一阶逻辑中，将下列命题符号化(1) 若x与y都是实数且x>y，则x+2>y+2；(2) 不存在最大的自然数．6．证明题(1) 证明∀x(F(x)→G(x))∧∃y(H(y)∧⌝R(y))为可满足式、但不是永真式；(2) 证明(∀xF(x)∨∃yG(y))∧⌝∃yG(y) →∀xF(x)为永真式．（五）1．填空题．(1) ⌝∃x∀yF(x,y)的前束范式为_______________________；(2)由量词量词分配等值式，∃x(A(x)∨B(x))⇔________________；(3) 缩小量词的辖域, ∀x(F(x)→B)⇔ ________________；(4)公式((∀y⌝G(x)∧∀xF(x))∧∃yG(y))→∀xF(x)的类型为_____________________；(5)取解释I为：个体域为D={a}，F(x)：x具有性质F，在I下∀xF(x)↔∃xF(x)的真值为_________；(6)前提：∀x∃yF(x,y)结论：∃yF(y,y)以上推理是错误的，某学生却给出了如下证明：①∀x∃yF(x,y) 前提引入②∃yF(y,y) ①∀-此证明错在_____________________．2．在有限个体域内消去量词．(1)个体域D={1,2,3}，公式为∀x∀y(F(x)→G(y))(2)个体域D={a,b}，公式为∀x∃y(F(x,y)→G(y,x))3．求前束范式．(1)∀x(F(x,y)→∀y(G(x,y)→∃zH(x,y,z)))；(2) (∃xF(x,y)→∀yG(x,y,z))→∃zH(z).4．在自然推理系统N L中，构造下面推理的证明．(1)前提：∀x∀y(F(x)→G(y)), F(a)结论：∃xG(x)(2)前提：∀x(F(x)→∀y(G(y)∧H(x))), ∃xF(x)结论：∃x(F(x)∧G(x)∧H(x))5．在自然推理系统F中，构造下面用自然语言描述的推理．火车都比汽车快，汽车都比轮船快，a是火车，b是汽车，c是轮船．所以，a比b快，b比c快．（六）1. 填空题(1) 设A={2,a,{3},4}, B={∅, 4,{a},3}，则A⊕B=______________________________；(2) 设A={{{1,2}},{1}}，则P(A)=__________________________________________；(3) 设X,Y,Z为任意集合，且X⊕Y={1,2,3}, X⊕Z={2,3,4}，若2∈Y, 则一定有_______；A. 1∈ZB. 2∈ZC. 3∈ZD. 4∈Z(4) 下列命题中为真的是________________________________________________；A. {a,{b}}∈{{a,{b}}}B. ∅∈P(⋃{∅,{∅}})C.{a}⊆X⇔a∈XD. X⋃Y=Y⇔X=∅E. X-Y=X⇔X⊆~Y(5) 设[0,1]和(0,1)分别表示实数集上的闭区间和开区间，则下列命题中为真的是_____________________________________；A. {0,1}⊆ (0,1)B. {0,1}⊆ [0,1]C. (0,1)⊆[0,1]D. [0,1]⊆QE. {0,1}⊆Z(6) 设[a,b], (c,d)代表实数区间，那么([0,4]⋂[2,6])-(1,3)=_________________________.2. 简答题(1) 设E={1,2,...,12}，A={1,3,5,7,9,11}, B={2,3,5,7,11}，C={2,3,6,12}, D={2,4,8}，计算：A⋃B, A⋂C, C-(A⋃B), A-B, C-D, B⊕D.(2) 设A={{a},{a,b}}, 求⋃A, ⋂A, ⋃⋃A-⋂⋃A.(3) 设A, B, C为集合，判断下列集合等式是否为恒等式，并说明理由.(A⋃B⋃C)-(A⋃B) = C, A-(B-C) = (A-B) - (A-C)(4) 找出下列集合等式成立的充分必要条件, 并简单说明理由.(A-B)⊕(A-C)=∅3. 证明题(1) A⊆B⇒C-B⊆C-A；(2) A⋃B=E⇔~A⊆B⇔~B⊆A.4. 应用题（1）一个学校有507, 292, 312和344个学生分别选了微积分、离散数学、数据结构或程序设计语言课，且有14人选了微积分和数据结构课，213人选了微积分和程序设计语言课，211人选了离散数学和数据结构课，43人选了离散数学和程序设计语言课，没有学生同时选微积分和离散数学课，也没有学生同时选数据结构和程序设计语言课。

离散数学综合练习及答案

北京科技大学远程教育学院《离散数学》综合练习(一)参考答案数理逻辑一、判断下列句子是否是命题，若是命题判断真值，并将其符号化。

1、今天天气真好！解：不是命题。

2、王华和张民是同学。

解：是命题。

真值视实际情况而定。

p：王华和张民是同学。

3、我一边吃饭，一边看电视。

解：是命题。

真值视实际情况而定。

p：我吃饭。

q：我看电视。

p∧q 4、没有不呼吸的人。

解：是命题。

真值为1。

M(x)：x是人。

F(x)：x呼吸。

∀x(M(x)→F(x))二、求命题公式的真值表和成真赋值、成假赋值。

p→∧qr∧→(p])[(r)解：成真赋值：000，001，010，011，101，111；成假赋值100，110三、用真值表、等值演算两种方法判别公式类型。

1、r q q p →∧→])[( 解：rq q p r q q q p r q q p rq q p r q q p r q q p ∨⌝∧⌝∨⇔∨⌝∨⌝∧⌝∨⇔∨⌝∨⌝∧⇔∨⌝∨∨⌝⌝⇔∨∧∨⌝⌝⇔→∧→])[()]()[()()(])[(])[(可满足式2、))((p q p q ∧∨⌝⌝∨ 解：))((p q p q A ∧∨⌝⌝∨=1)()()())((⇔∨⌝∨∨⌝⌝⇔⌝∨∨⌝⌝∨⇔∧∨⌝⌝∨q p q p p q p q p q p q永真式四、求命题公式的主析取范式和成真赋值、成假赋值。

)(r q p →→ 解：∑=→→），，，，，，7543210()(r q p 成真赋值：000，001，010，011，100，101，111；成假赋值110 五、解释I 如下：D 是实数集，特定元素a =0；特定函数f (x ，y )=x -y ；特定谓词F (x ，y )：x<y 。

在解释I 下判别公式真、假。

1、)])(([x y x f F y x ，，⌝∀∀ 解：)])[()])(([)]([)])(([x y x y x x y x y x x y x F y x x y x f F y x ≥-∀∀⇔<-⌝∀∀⇔-⌝∀∀⇔⌝∀∀，，，真值为假2、)]()([)({z y f z x f F y x F z y x ，，，，→∀∀∀ 解：)]()()[()]}()([)({z y z x y x z y x z y f z x f F y x F z y x -<-→<∀∀∀⇔→∀∀∀，，，，真值为真六、1、求前束范式)()(y x yG x xF ，∀→⌝∃ 解：)]()([)()()()()()(y t G x F y x y t yG x xF y x yG x xF y x yG x xF ，，，，∨∀∃⇔∀∨∃⇔∀∨∃⇔∀→⌝∃2、证明：B x xA B x A x →∀⇔→∃)())(( 证明：Bx xA Bx xA B x A x B x A x B x A x →∀⇔∨⌝∀⇔∨⌝∃⇔∨⌝∃⇔→∃)()()())(())((七、写出下面推理的证明，要求写出前提、结论，并注明推理规则。

《离散数学》复习题及答案

《离散数学》试题及答案一、选择或填空（数理逻辑部分）1、下列哪些公式为永真蕴含式？( )(1)⌝Q=>Q→P (2)⌝Q=>P→Q (3)P=>P→Q (4)⌝P∧(P∨Q)=>⌝P答：（1），（4）2、下列公式中哪些是永真式？( )(1)(┐P∧Q)→(Q→⌝R) (2)P→(Q→Q) (3)(P∧Q)→P (4)P→(P∨Q)答：（2），（3），（4）3、设有下列公式，请问哪几个是永真蕴涵式?( )(1)P=>P∧Q (2) P∧Q=>P (3) P∧Q=>P∨Q(4)P∧(P→Q)=>Q (5) ⌝(P→Q)=>P (6) ⌝P∧(P∨Q)=>⌝P答：（2），（3），（4），（5），（6）4、公式?x((A(x)?B(y，x))??z C(y，z))?D(x)中，自由变元是( )，约束变元是( )。

答：x,y, x,z5、判断下列语句是不是命题。

若是，给出命题的真值。

( )(1)北京是中华人民共和国的首都。

(2) 陕西师大是一座工厂。

(3) 你喜欢唱歌吗？ (4) 若7+8＞18，则三角形有4条边。

(5) 前进！ (6) 给我一杯水吧！答：（1）是，T （2）是，F （3）不是（4）是，T （5）不是（6）不是6、命题“存在一些人是大学生”的否定是( )，而命题“所有的人都是要死的”的否定是( )。

答：所有人都不是大学生，有些人不会死7、设P：我生病，Q：我去学校，则下列命题可符号化为( )。

(1) 只有在生病时，我才不去学校 (2) 若我生病，则我不去学校(3) 当且仅当我生病时，我才不去学校(4) 若我不生病，则我一定去学校答：（1）P↔（4）QP→⌝P⌝Q→⌝（2）QP⌝→（3）Q8、设个体域为整数集，则下列公式的意义是( )。

(1) ?x?y(x+y=0) (2) ?y?x(x+y=0)答：（1）对任一整数x存在整数 y满足x+y=0（2）存在整数y对任一整数x满足x+y=0 9、设全体域D是正整数集合，确定下列命题的真值：(1) ?x?y (xy=y) ( ) (2) ?x?y(x+y=y) ( )(3) ?x?y(x+y=x) ( ) (4) ?x?y(y=2x) ( )答：（1） F （2） F （3）F （4）T10、设谓词P(x)：x是奇数，Q(x)：x是偶数，谓词公式?x(P(x)?Q(x))在哪个个体域中为真?( )(1) 自然数(2) 实数 (3) 复数(4) (1)--(3)均成立答：（1）11、命题“2是偶数或-3是负数”的否定是（）。

08年考研数学大纲(数1)

2008考研数学一大纲高等数学第一章：函数、极限、连续考试内容：函数的概念及表示法函数的有界性、单调性、周期性和奇偶性复合函数、反函数、分段函数和隐函数基本初等函数的性质及其图形初等函数函数关系的建立数列极限与函数极限的定义及其性质函数的左极限与右极限无穷小和无穷大的概念及其关系无穷小量的性质及无穷小量的比较极限的四则运算极限存在的两个准则：单调有界准则和夹逼准则两个重要极限:函数连续的概念函数间断点的类型初等函数的连续性闭区间上连续函数的性质考试要求：1．理解函数的概念，掌握函数的表示法，并会建立应用问题中的函数关系.2．了解函数的有界性、单调性、周期性和奇偶性．3．理解复合函数及分段函数的概念，了解反函数及隐函数的概念．4．掌握基本初等函数的性质及其图形，了解初等函数的概念.5．理解极限的概念，理解函数左极限与右极限的概念，以及函数极限存在与左、右极限之间的关系．6．掌握极限的性质及四则运算法则.7．掌握极限存在的两个准则，并会利用它们求极限，掌握利用两个重要极限求极限的方法．8．理解无穷小量、无穷大量的概念，掌握无穷小量的比较方法，会用等价无穷小量求极限．9．理解函数连续性的概念（含左连续与右连续），会判别函数间断点的类型．10．了解连续函数的性质和初等函数的连续性，理解闭区间上连续函数的性质（有界性、最大值和最小值定理、介值定理），并会应用这些性质．第二章：一元函数微分学考试内容：导数和微分的概念导数的几何意义和物理意义函数的可导性与连续性之间的关系平面曲线的切线和法线导数和微分的四则运算基本初等函数的导数复合函数、反函数、隐函数以及参数方程所确定的函数的微分法高阶导数一阶微分形式的不变性微分中值定理洛必达（L’Hospital）法则函数单调性的判别函数的极值函数图形的凹凸性、拐点及渐近线函数图形的描绘函数最大值和最小值弧微分曲率的概念曲率圆曲率半径考试要求：1. 理解导数和微分的概念，理解导数与微分的关系，理解导数的几何意义，会求平面曲线的切线方程和法线方程，了解导数的物理意义，会用导数描述一些物理量，理解函数的可导性与连续性之间的关系．2．掌握导数的四则运算法则和复合函数的求导法则，掌握基本初等函数的导数公式．了解微分的四则运算法则和一阶微分形式的不变性，会求函数的微分．3．了解高阶导数的概念，会求简单函数的高阶导数．4．会求分段函数的导数，会求隐函数和由参数方程所确定的函数以及反函数的导数.5．理解并会用罗尔(Rolle)定理、拉格朗日(Lagrange)中值定理和泰勒(Taylor)定理，了解并会用柯西(Cauchy)中值定理．6．掌握用洛必达法则求未定式极限的方法．7．理解函数的极值概念，掌握用导数判断函数的单调性和求函数极值的方法，掌握函数最大值和最小值的求法及其简单应用．8．会用导数判断函数图形的凹凸性(注：在区间（a,b）内，设函数f(x)具有二阶导数。

离散数学第一章第3节

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集合的对等关系是一个等价关系。可以用对等关系重新来刻画什么是集合的基数：集合按照对等关系分成等价类，每个等价类的共同的数量特征，称为该等价类中集合的基数。
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逆映射(inverse mapping)
定义.设A,B是两个集合，是A到B的1–1映射，则的逆关系 -1称为的逆映射.（有的书中称为反函数）对任意aＡ，都有 -1 ((a))＝a
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有限集合的情形
集合C={x,y,z},集合D={1,2,3}
C x y z
D 1 2 3
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把相当于有限集合的元素数的概念推广到一般集合，称之为集合的基数(势，浓度)。集合A的基数记为|A|。
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显然，集合A为有限集当且仅当它以某一非负整数为其基数，即存在一非负整数n使得A=n。即集合A的元素个数是n。把自然数集合的基数记为0（读作阿列夫零），于是凡是与自然数集合对等的集合A，其基数|A|=0
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数理学院school数理学院schoolphysics131集合的基数基数是集合的一个重要特征基数的研究是纯集合论研究的一个极其重要的方向但它作为离散数学课程的一部分只是为了使读者对基数概念有一个正确的认识并借此加深对映射概念的理解提高正确运用映射工具的能力获得一些特定的研究方法如对角线法

离散数学之命题符号化

--
15
联结词与复合命题(续)
4.蕴涵式与蕴涵联结词“”
定义设 p,q为二命题，复合命题 “如果p,则q” 称作p与q的蕴涵式，记作pq，并称p是蕴涵式的前件，q为蕴涵式的后件. 称作蕴涵联结词，并规定，pq为假当且仅当 p 为真 q 为假.
--
16
联结词与复合命题(续)
pq 的逻辑关系：q 为 p 的必要条件 “如果 p，则 q ” 的不同表述法很多：
00000000
00001111
00110011
01010101
FFFFFFFF ( 2 ) ( 2 ) ( 2 ) ( 2 ) ( 2 ) ( 2 ) ( 2 ) ( 2 ) 8 9 1 01 11 21 31 41 5
11111111
00001111
00110011
01010101
--
33
(4) 小元元只能拿一个苹果或一个梨.
(5) 王晓红生于1975年或1976年.
--
14
解令 p:2是素数, q:3是素数, r:4是素数, s:6是素数, 则 (1), (2), (3) 均为相容或. 分别符号化为: p∨r , p∨q, r∨s, 它们的真值分别为 1, 1, 0.
(4), (5) 为排斥或. 令 t :小元元拿一个苹果，u:小元元拿一个梨，则 (4) 符号化为 (t∧u) ∨(t∧u). 令v :王晓红生于1975年,w:王晓红生于1976年, 则 (5) 既可符号化为 (v∧w)∨(v∧w), 又可符号化为 v∨w .
例如：pq, pq, (pq)((pq)q) 等都对应
表中的
F (2) 13
--
32
2元真值函数对应的真值表

离散数学b和离散数学a

离散数学b和离散数学a离散数学是计算机科学中的基础学科，它研究的是离散化的数学对象和结构，与连续数学形成鲜明对比。

离散数学是计算机科学中的一颗明珠，也是计算机科学学习的重要组成部分。

离散数学又可以分为离散数学A和离散数学B两个部分，分别涵盖了不同的内容。

离散数学A主要包含了集合论、逻辑、数理逻辑、代数结构等基础数学知识。

在现代计算机科学中，集合论被广泛运用于描述和处理数据结构、算法和数据库等；而逻辑则是计算机科学的基石，是计算机程序正确性推理和代码验证的基础；数理逻辑则是数理化学、人工智能等领域的基础工具。

此外，代数结构也是离散数学A中的重要内容，它包括了研究和分类各种代数系统的内容，这些代数系统对计算机科学中的编码、密码学和数据传输等领域具有重要意义。

离散数学B则强调离散结构的理论和应用，包括了图论、布尔代数、关系代数等内容。

图论是离散数学B中最重要的内容之一，它研究的是由节点和边构成的图结构，广泛应用于计算机网络、社交网络和算法设计等领域。

布尔代数则是处理和运算逻辑值的一种代数系统，是计算机科学中逻辑运算和电路设计的基础工具。

关系代数是数据库系统中常用的数据操作和查询语言，研究的是关系数据和关系之间的运算。

离散数学在计算机科学中具有非常重要的作用。

它不仅提供了计算机科学领域所需的基础数学工具和方法，更重要的是培养了计算机科学家的抽象思维和分析解决问题的能力。

离散数学的学习可以帮助我们更好地理解计算机科学中的算法、数据结构和网络等概念，从而提高我们解决实际问题的能力。

对于计算机科学专业的学生来说，离散数学是一个必修课程，但它的学习对于其他理工科专业的学生也同样具有重要意义。

离散数学是一门高度抽象的数学学科，需要学生具备一定的数学思维和逻辑推理能力。

因此，在学习离散数学的过程中，我们应该注重培养自己的思维能力，通过反复演练和实际应用来提高我们的学习效果。

总结来说，离散数学A和离散数学B是计算机科学中重要的学科，它们涵盖了集合论、逻辑、代数结构、图论、布尔代数等内容，为我们提供了解决实际问题的数学工具和方法。

数理逻辑重要公式离散数学

关于全称量词的：
关于存在量词的:
x(A(x)B)xA(x)B x(A(x)B)xA(x)B x(A(x)B)xA(x)B x(BA(x))BxA(x)
x(A(x)B)xA(x)B x(A(x)B)xA(x)B x(A(x)B)xA(x)B x(BA(x))BxA(x)
量词分配等值式 x(A(x)B(x))xA(x)xB(x) x(A(x)B(x))xA(x)xB(x) 取式析取三段论假言三段论等价三段构造性二难
4
(AB)(AB)(AA) B 构造性二难（特殊形式）
(AB)(CD)( BD) (AC)
推理定破律坏性(续二难)
说明： A, B, C为元语言符号若某推理符合某条推理定律，则它自然是正确的 AB产生两条推理定律: A B, B A
等值公式
双重否定律 : AA
结合律:
(AB)CA(BC)
分配律:
基(A本B等)C值式A(BC)
A(BC)(AB)(AC)
A(BC) (AB)(AC)
交换律:
ABBA, ABBA
等幂律： AAA, AAA
1
德·摩根律 : (AB)AB
(AB)AB
吸收律: 零律:
A(AB)A, A(AB)A A11, A00
5
基本等值式
1、基本等值式:
命题逻辑中基本等值式的代换实例
2、消去量词等值式设D={a1,a2,…,an} xA(x)A(a1)A(a2)…A(an) xA(x)A(a1)A(a2)…A(an)
3、否定等值式 x(x)= x(x) x(x)= x(x)
6
量词辖域收缩与扩张等值式
设A(x)是含x自由出现的公式，B中不含x的出现

高等数理统计复试问题

1、在假设检验中，第一类错误是指：A. 原假设为真时拒绝原假设B. 原假设为假时接受原假设C. 原假设为真时接受原假设D. 原假设为假时拒绝原假设（答案）A2、下列哪个统计量不是用于衡量数据离散程度的？A. 方差B. 标准差C. 众数D. 变异系数（答案）C3、在回归分析中，如果模型中的解释变量之间存在高度相关性，这可能导致的问题是：A. 模型的解释力增强B. 参数的估计值不稳定C. 模型的预测精度提高D. 残差项减小（答案）B4、关于极大似然估计，下列说法错误的是：A. 极大似然估计是寻找使似然函数最大的参数值B. 极大似然估计通常在大样本情况下表现良好C. 极大似然估计不需要知道总体的分布形式D. 极大似然估计是一种点估计方法（答案）C5、在多元线性回归模型中，如果增加一个解释变量后，调整后的R方值减小，这说明：A. 新增解释变量与因变量高度相关B. 新增解释变量与其他解释变量高度相关C. 新增解释变量对模型的解释力没有贡献或贡献很小D. 新增解释变量提高了模型的预测精度（答案）C6、下列哪个不是贝叶斯统计与经典统计的主要区别？A. 贝叶斯统计认为参数是随机的，而经典统计认为参数是固定的B. 贝叶斯统计使用先验信息，而经典统计不使用C. 贝叶斯统计的推断基于后验分布，而经典统计基于样本分布D. 贝叶斯统计只适用于小样本情况，而经典统计适用于大样本情况（答案）D7、在主成分分析中，第一主成分的解释方差比例最大，这意味着：A. 第一主成分与所有原始变量的相关性都最高B. 第一主成分包含了原始数据最多的信息C. 第一主成分的方差最大，但不一定包含最多信息D. 第一主成分是由原始变量线性组合而成的唯一有效变量（答案）B8、在时间序列分析中，如果序列的自相关函数呈现出拖尾性，而偏自相关函数呈现出截尾性，这通常表明该序列适合建立：A. AR模型B. MA模型C. ARMA模型D. ARIMA模型（答案）A。

81数理释义详解

81数理释义详解1-81数理释义详解占卜星象1数理、（宇宙起源）：天地宇宙开泰的太极首领数。

（吉）基业：聪明、多学、成功、富贵、名誉、幸福、财帛、进田。

家庭：竹木成林、父母有荫、家庭圆满、子女多孝。

健康：“三才”善良者身体安康，可望长寿，否则不遇。

含意：万事万物的基本数。

为最大吉祥运的表示，属于健康幸福、富贵名誉、伟大成功的运数，可以享福终世。

因其数理过好，故是常人难以承当之数。

2数理、（一身孤节）：属未定的分离破灭数。

（凶）基业：劫财、破灭、灾危、破家、红艳、变迁、美貌。

家庭：亲情疏远。

夫妻应相互理解，则免别离之苦。

健康：凶变、病弱、短命也有之。

易患皮肤病、外伤、夭折。

含义：混沌未定之象，为最大凶恶的暗示。

意志不坚，无独立之气力，进退失自由，内外生波澜，困苦不安。

摇动、病患、遭难，甚至残废。

若伴有其他好数者可免致短命夭折。

其人辛苦一生，志望难达，破灭无常。

3数理、（吉祥）：进取如意的增进繁荣数。

（吉）基业：学术、技艺、祖业、丰盛、自立、建业、官禄。

家庭：家内施恩惠，可得贤妻，六亲和睦，须戒自私。

健康：松柏林立，健康良好，可望长寿。

含义：阴阳抱合，天地人形成，确定之象。

有吉祥福禄之暗示，为成功发达之兆。

智达明敏，艺精工巧，诸事如意，能成就功业，名利两全，有首领之资质，享自然之福。

荣进有望，福祉无穷。

4数理、（凶变）：身遭劫难凶变的万事休止数。

（凶）基业：美貌、香艳、破家、灾危、劫财、损家业。

家庭：六亲缘薄，兄弟如同画饼，热心相助者少。

健康：衰弱、外伤、皮肤病、夭折、发狂病死等。

含义：万物枯衰，破败死亡之象。

属破坏的凶变数、不足不全的灭亡之兆。

进退不自由，独立乏能力，大多辛苦困难。

病难灾厄相继，或者与其他凶运配合而致发狂病死、夭折、或者放荡、破灭，逆难，终成废人。

但孝子、节妇、怪杰等，也有出自数者。

5数理、（种竹成林）：福禄长寿的福德集门数。

（吉）基业：学者、祖业、文昌、福星、暗禄、官星、财钱。

家庭：上下敦睦，相互合作，可望圆满，子女多荫。

数理08离散--A

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