利用均值不等式求最值

令u x y , 只需a umax即可
变式： x 0, y 0, x 2 2xy m( x y) 恒成立， 求 m 的取值范围.
x 2 2 xy 提示 : 原不等式等价于m x y
例7：一批救灾物资随 26辆汽车从某市以 vkm/h的速度直达灾区，已知两地公路线 长400km, 为了安全，两辆车的间距不得 v 2 小于( ) km, 试求这批物资到达灾区最少 20 需要多少小时。
高三数学第一轮复习----
台州市书生中学 ----高三数学备课组
例 1、 判断下列函数中， 最小值为 2 的函数是 （
B）
A. y tan x cot x B. y e e
x
x
C. y x D. y
回顾
2
1
xห้องสมุดไป่ตู้
1
x 2
x 2
2
4 分析: y= x+ 1+ 5, x+ 1
t
v 400 25 20 v
2
400 v 2 v 16
400 v 10 v 16
小结： 本节课我们主要复习了利用均值不等 式求函数最值：
1、应注意其使用条件（一正二定三相等） 2、应注意合理使用均不等式的几个变形式
2 2 a b ab , 2
a b的最小值是16
变式：过 P(1,9) 作直线 l ,分别交 x，y 正半轴，于 A,B 两点 （1）当 l 在两坐标轴的截距之和最小时，求 l 的方程？
( 2 ) 当 ABC 的面积取得最小值时，求此时 l 的方程
2 b 2 a , b R 且 a 1, 例 5、若 3
ab ab ( a b )2 2
变形
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道没有送年丫鬟回府？”“回爷，您，您是说……”秦顺儿心中这叫壹个叫苦不迭：爷没说要自己亲自护送年丫鬟回年府啊？爷怎么壹遇到 年丫鬟的事情就这么小题大做？难道这就是主子们常说的，关心则乱？第壹卷 第105章 平安王爷对秦顺儿办差不力极为不满！虽然他确实 没有明示过要他亲自护送，可是这奴才不是壹直很机灵吗？怎么这么点儿事儿都想不到？天色已晚，这壹路上连个护送的人都没有，只有两 个手无缚鸡之力的丫鬟丫环，他怎么能放心得下？秦顺儿这差事怎么越办越糊涂了？秦顺儿眼见着爷的脸色由惊异万分转眼间就变得怒上心 头，壹看大势不好，赶快跪了下来：“爷请息怒，爷请息怒，奴才这就差人去年府打探壹下，壹会儿就给您报个平安回来。”“你还差什么 人，你还不亲自去办？还杵在这里干什么？还不赶快滚！”秦顺儿赶快退了下去，思前想后，他还是叫来了壹个小太监，两人片刻未停，急 奔年府。按照秦顺儿的安排，由小太监壹个人先出面，扣响了年府的大门。而秦顺儿自己则躲在远远的地方，静观情形变化。年府的看门家 仆听到扣门声，忙不迭打开门，抬眼壹看，居然是个太监，诧异不已：“请问，这位公公是？”“本公公是雍亲王府的，奉侧福晋的吩咐， 前来寻问壹声，贵府丫鬟是否已经回来，侧福晋放心不下，特差本公公前来询问。”“噢，公公是侧福晋派来的啊。麻烦您给侧福晋回个话 儿，我家丫鬟已经回府了，壹切都好，让侧福晋不要挂念。”“好，知道了，告辞。”“公公请留步，待小的回去禀报壹下，请公公上座， 歇口气，喝口茶。”“不用，不用，知道平安就好，侧福晋还急着等本公公的回信呢。”“公公来府，也不小坐壹番，连口茶也不喝，府里 实在是惭愧。”“不必客气，本公公确实有急事在身，告辞了。”得到年丫鬟平安回了年府的消息，秦顺儿这颗心总算是踏实了下来，不过 吃壹堑长壹智，经此壹事，秦顺儿充分认清了这个年丫鬟在爷心目中的地位，并暗下决心，以后只要是年丫鬟的事情，壹定要精着十二万分 的心，切不可再有闪失。壹听到屋外的脚步声，王爷立即从书上抬起了眼睛，果然是秦顺儿，他想也没想，呼地壹下子站起了身：“怎么样？ 平安回去了？”“回爷，年丫鬟妥妥当当地回府了。”“你怎么打探的？”“奴才问了年府看门的家仆，就说侧福晋放心不下年丫鬟，差奴 才去问壹声。”听着秦顺儿的回复，王爷的这颗心总算是踏实下来，继而对秦顺儿这么机灵地办差很是赏识，总算是将功补过。于是心情大 好的他又顺口问了壹句：“刚才年丫鬟在怡然居的时候，侧福晋都说了些什么？”“回爷，侧福晋说的，奴才都听不懂。”“噢？侧福晋说 的难道不是人话吗？怎么你这奴才连人话都
2 a b ab ( ) 2
2 2 2 a b a b ( ) , 2 2
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均值不等式及其变形. ①a2+b2≥2ab(a、b ∈R)
ab a 2 b 2 2 变形 2 2 2 ( a b ) a b 2 2
②a,b∈R+时,a+b≥2
y 4 5 1
例 2、设 a ,b R ,且a b 2, 则 3 3 的最小值是 _______ 6 ？
a b
例 3、设 a, b R

, 且 ab a b 2,
9, 则 ab 的取值范围是______,
a b 的取值范围是______? 6,
4 练习：已知 x 1 ,求 y x 6 的最值 x 1
又由x 1, 得- x 1 0,
4 4 ( x 1) 2 ( x 1) 4 ( x 1) ( x 1)
(x 5)(x 2) 变式：设 x 1 ,求 y 的最值 x 1
1 变式：已知 a 0, b 0, a, b 的等差中项为 1，且 a , a 1 b ,则 的最小值为_________? b
1 9 例 4： a 0, b 0, 且 1, 求a b最小值. a b
1 9 9a b 9a b 解 : a b (a b)( ) 10 10 2 10 6 16 a b b a b a 9a b 由 , 即3a b, 故当且仅当 a 4, b 12 时等号成立 b a
求a 1 b2 的最大值及 此时 a, b 的值.
b2 1 2 分析: 原式= ( ) a 3 3 3
b2 1 a2 2 3 3 3 3 3 2
注意:在利用均值不等式时,我们常要
进行 “拆”或“凑”项处理
例 6、 x 0, y 0, x y 1,且 x y a 恒成立， 求 a 的取值范围.