椭圆形结构任意弧长的计算问题

０．０６ ２．８ １．１ ４３．０ １．１４
２．１ 试验装置
在有机玻璃柱中进行。 所用反渗透膜为美国海德能公司生产 的 ＬＦＣＩ－ ４０４０ 膜 ， 反 渗 透 系 统 为 康 富 乐 净 水 器 厂 生 产 的
ＣａＣＯ ３ 计 ｍｇ／ Ｌ）
硫酸根 （ｍｇ／ Ｌ） 氯离子 （ｍｇ／ Ｌ） 氟离子 （ｍｇ／ Ｌ）
２ ２ α
β
为 Ｎ＝２ｎ 等分 ， 在每个等分区段上应用辛普生积分公式 ， 即 ：
"
ｘ２ ａ
２β
ＳＮ＝ （９）
２α
!（ａ ＋ｂ ）－ （ａ － ｂ ）ｃｏｓθ ｄθ
２ ２ ２ ２
ｈ ｆ（ｘ %# "ｆ（ｘ）ｄｘ ６
ｑ ｐ ｋ ＝１
Ｎ
ｋ－ １
）＋４ｆ ｘｋ－ １ ＋
&
ｈ ＋ｆ（ｘｋ ） ２
’ (
( 。
３
实际应用
可以把求椭圆周长问题看作是求任意一段弧长的特
例。公式 （ １１） 中 的 定 积 分 是 无 法 采 用 莱 布 尼 茨 公 式 （ ９） ￣ 的 ， 因为原函数不是初等函数。如果用数值积分到电脑上 去计算 ， 则是一个已经解决的问题。 但在实际应用中 ， 要进 行编程并在计算机中计算， 却面临着以下问题： 一是虽然 这个数值积分的编程不算复杂 ， 但愿意为此专门编程并调 试的工程技术人员却不多 ； 二是尽管也有现成的程序可购 买或下载， 但要较快地获取并学习应用并不方便； 三是如 果 不 用 数 值 积 分 ， 而 用 ＡｕｏＣＡＤ 作 图 并 测 算 ， 这 种 方 法 比 较花时间， 且计算精度与划分的区段大小有关， 难以估算 误差。 另外 ， 如果是预算人员用这种方法 ， 由于对 ＡｕｔｏＣＡＤ 操作不够熟悉 ， 所以比较困难 ； 四是计算机体积大 ， 携带不 方便。 此外 ， 对于处理这样一个计算问题来说 ， 启动和关闭 计算机的时间也是人们不愿接受的。 考 虑 到 ＣＡＳＩＯ 计 算 器 ｆｘ－ ３９００ Ｐｖ 及 以 上 型 号 也 能 进 行积分计算 ， 方便实用 ， 精度完全能满足工程需要。 下面就 以 （ ９） 式为例介绍这种办法。
由 （ ６） 式可得椭圆周长公式为 Ｌ＝４ａ ・ Ｅ（ｅ）， 只要将椭圆离 心率 ｅ 代入就可求出椭圆周长。 另 ， 如果设 λ＝
ｄｓ＝ "ｂ２＋（ａ２－ ｂ２）ｓｉｎ２θ ｄθ＝ "ａ２－ （ａ２－ ｂ２）ｃｏｓ２θ ｄθ （２）
再由椭圆性质 ： ａ２－ ｂ２＝ｃ２，
ａ－ ｂ ， 则： ａ＋ｂ
２
Ｌ＝π（ａ＋ｂ） １＋
１ １
# ｄｓ
０
２π
ｘ 故 Ｐ 点的离心角为 ： α＝ａｒｃｃｏｓ １ ａ
同理可求出 Ｑ 点的离心角 ： β＝ａｒｃｃｏｓ
＝ａ
#
０
２π
"１－ ｅ２ｃｏｓ２θ ｄθ＝４ａ
・ ２００７ ２
#
０
π ２
"１－ ｅ２ｃｏｓ２θ ｄθ （５）
ｘ２ ａ
用前述 （ １） ￣ （ ４） 任何一式并结合求曲线弧长的定积分公
１４
Ｚ Ｈ ＩＨ ＵＡＩ
【科 技 论 坛】
治 淮
式均能求得 ＰＱ 的弧长。 （ ４） 式 ， 得 ： 先考虑用第
器、 常数储存器、 统计寄存器是一组储存器 ， 共六个 ， 分别记为 该计算器计算定积分使用辛普生法 ， 将积分区间等分 Ｋ１￣Ｋ６。
２ ２
２ ＬＰＱ＝ ! ２ ２ ＝! ４
β
" !（ａ ＋ｂ ）－ （ａ － ｂ ）ｃｏｓ２θ ｄθ
Ｅ（ｋ）＝ （１）
２ ２
ｄｓ＝ "（ｘ＇） ＋（ｙ＇） ｄθ＝ "ａ ｓｉｎ θ＋ｂｃｏｓ θ ｄθ
２
π （２ｎ－ １）！ ・ １ ２ ２ １ ３ ２ｋ ） － …－ ｎ ２ １－ （ ２ ） ｋ － （ ２ ・ ４ ３ ２ ｎ！
!
４
$
%
２
ｋ － … （７） ２ｎ－ １
２ｎ
&
由 三 角 函 数 等 式 ｓｉｎ θ＋ｃｏｓ θ＝１ ， 消 去 一 个 三 角 函 数 ， 保留正弦函数或余弦函数得 ：
令 ψ＝
π － θ ， 则 ｄθ＝－ ｄψ，ｃｏｓθ＝ｓｉｎψ ， ２ π π 时 ， 有 ψ： →０ ， ２ ２
当积分区间 θ：０→
注意到积分与积分变量无关 ， 故 （ ５） 式又可记为 ：
Ｌ＝４ａ
１
椭圆周长公式的推导
椭圆参数方程 ：
#
０
π ２
"１－ ｅ２ｓｉｎ２θ ｄθ
（６）
! ｙ＝ｂｓｉｎθ
ｘ＝ａｃｏｓθ
目 前 ， 对 焦 化 废 水 处 理 的 新 技 术 主 要 有 Ｆｅｎｔｏｎ 试 剂 法、 催化湿式氧化技术、 超临界水氧化法、 利用烟道气处理 表１ 检测相 原水及反渗透出水的主要水质指标 反渗透 出水 检测相 原水 反渗透 出水
焦化废水、 固定化细胞技术、 超声波法等。 焦化废水回用系统 的研究在国内尚不多见 ， 笔者对此进行了研究和探讨。
查阅有关数学手册知 ， 积分
#
０
φ
"１－ ｋ２ｓｉｎ２θ ｄθ 称为
勒让德 （ Ｌｅｇｅｎｄｒｅ） 第 二 类 椭 圆 积 分 ， 记 为 Ｅ（ｋ，φ）， 其 中 ｋ 称 为模 数 ， 该 积 分 不 可 积 （ 不 能 用 有 限 个 初 等 函 数 进 行 复 合） ， 但可以展开为无穷级数 ， 但级数项仍含有定积分。 特殊地 ， 当
将 Ｐ 点坐标代入椭圆参数方程有 ：
２ ｄｓ＝ " "（ａ２＋ｂ２）－ （ａ２－ ｂ２）ｃｏｓ２θ ｄθ ２
以上 （ １） ￣ （ ４） 任 何 一 式 ， 结 合 求 曲 线 弧 长 的 定 积 分 公 式均能得到椭圆周长的表达式 ， 如用第 （ ３） 式得 ： Ｌ＝
ｘ ＝ａｃｏｓα ! ｙ ＝ｂｓｉｎα
２ 对 （ ９） 式 ， ｆ（ｘ）＝ ! （ａ２＋ｂ２）－ （ａ２－ ｂ２）ｃｏｓｘ ４ ! ｐ＝２α＝２ａｒｃｓｏｓ ｑ＝２β＝２ａｒｃｃｏｓ ｘ１ ａ ｘ２ ａ
π 令 ψ＝ － θ， 则 ： ２ ｘ ｘ ｄθ＝－ ｄψ ， ｓｉｎψ＝ｃｏｓθ＝ ，ψ＝ａｒｃｓｉｎ ａ ａ ｘ ｘ 故当积分区间 θ：ａｒｃｃｏｓ １ →ａｒｃｃｏｓ ２ ａ ａ ｘ ｘ 有 ψ：ａｒｃｓｉｎ １ →ａｒｃｓｉｎ ２ ａ ａ
如果用第 （ ３） 式 ， 得 ：
其中 ： ｈ —步长 ｈ＝
ｑ－ ｐ ； Ｎ ｑ－ ｐ １８０ ｈ ｆ （η），η∈ ｐ ， ｑ & ２ ’
４ （４）
ＬＰＱ＝ａ ＝ａ
" !１－ ｅ ｃｏｓ θ ｄθ
２ ２ α ａｒｃｃｏｓ
ＲＮ—截断误差 Ｒ Ｎ＝－ （１０）
#
"
ｘ ａｒｃｃｏｓ １ ａ
!１－ ｅ２ｃｏｓ２θ ｄθ
王海凤 （ 同济大学
【摘
王海兵
李义久 蚌埠
上海
２０００９２
淮河流域水资源保护局
２３３００１）
要】以宝钢焦化厂的二级生化出水为原水 ， 经过混凝沉淀的预处理 ， 二氧化氯催化氧化 － 反渗透脱 盐 法 深 度 处 理 ， 色 二氧化氯催化氧化 反渗透
度完全除去 ， 出水完全符合冷却水的水质标准 ， 实现了焦化废水的回用。 【关键词】废水回用
ＬＰＱ＝ａ
" !１－ ｅ ｓｉｎ θ ｄθ＝ａ "
２ ２ β
α
ａｒｃｓｉｎ
!１－ ｅ２ｓｉｎ２θ ｄθ （１１）
ａｒｃｓｉｎ
ｘ ｘ ＝ａ Ｅ（ｅ，ａｒｃｓｉｎ １ ）－ Ｅ（ｅ，ａｒｃｓｉｎ ２ ） ａ ａ
#
$
４
程序模块及实例
该 例 函 数 ｆ（ｘ）有 两 个 参 数 ａ、 ｂ， 由 于 该 计 算 器 在 定 义 函 表１ 程序说明表
（ＮＴＵ） Ｃａ２＋ （ｍｇ／ Ｌ）
ＣＯＤ Ｃ ｒ（ｍｇ／ Ｌ）
色度 （度 ）
数时 不 能 使 用 常 数 储 存 器 、 ＫＡＣ、 ＥＮＴ、 ＨＬＴ 等 功 能 ， 故 每 次只能定义一个确定的椭圆 ， 即 ａ、 ｂ 已知。作为例子 ， 设
６４－ ３λ ２ ６４－ １６λ
ｃｏｓ２θ＝
１＋ｃｏｓ２θ １－ ｃｏｓ２θ ， ｓｉｎ２θ＝ ２ ２
２
椭圆上任意一段弧长计算公式的推导
设 椭 圆 上 两 点 Ｐ（ｘ１，ｙ１） 和 Ｑ（ｘ２，ｙ２） 对 应 的 离 心 角 分 别 为
消去 （ １） 式中的三角平方项得 ：
α、 β ， 求 ＰＱ 的弧长。 （４）
其中 ： ａ—长半轴 ；
ｂ —短半轴 ； θ —离心角 θ∈［０ ， ２π） 。
则有微分 ： 弧微分为 ：
φ＝
ｄｘ＝－ ａｓｉｎθｄθ ! ｄｙ＝ｂｃｏｓθｄθ
２ ２ ２ ２
π 时 ， 记为 Ｅ 、 Ｅ（ｋ）， 其中 ｜ｋ｜＜１ ， 称为第 二 类 完 全 椭 圆 积 ２
分 ， 也是不可积的 ， 展开为级数为 ：
ｃ 及椭圆离心率的定义 ： ｅ＝ （０＜ｅ＜１）， ａ ｄｓ＝ａ "１－ ｅ２ｃｏｓ２θ ｄθ
或由倍角公式 （ 降幂公式） ：
’λ ４
＋
λ４ λ６ ２５λ８ ＋ ＋ ＋… ６４ ２５６ １６３８４
(
４
（８）
为方便读者应用 ， 再给出求椭圆周长的两个近似公式 ：
（３）
Ｌ≈π［１．５（ａ＋ｂ）－ "ａｂ ］， 或 Ｌ≈π（ａ＋ｂ）
ＴＤＳ
（ ｍｇ／ Ｌ） 余氯
ＲＯ５０ＧＰＤ 型。 ２．２ 实验方法
实验的流程 ： 原水 → 混凝沉淀 → 中间水箱 → 二 氧 化 氯 催化氧化 → 活性炭 → 储水箱 → 精密过滤 → 反渗透 → 产水。 向有机玻璃柱中加入 ３Ｌ 的原水 ， 在电动搅拌机快速搅 （ 聚 合 氯 化 铝） 溶 液 ３ｍＬ， 拌 下 向 其 投 加 浓 度 为 １０％ 的 ＰＡＣ 继续快速搅拌 １ｍｉｎ ， 然后慢速 （４０ｒ／ｍｉｎ 左右 ）搅 拌 ２ｍｉｎ ； 然 后 在中速 （ １００ ｒ／ｍｉｎ 左 右） 搅 拌 下 向 水 样 中 加 入 浓 度 为 ０．５ｇ／Ｌ 的 ＰＡＭ （ 聚 丙 烯 酰 胺） ９ｍＬ， 继 续 中 速 搅 拌 ２ｍｉｎ ， 静 置 ３０ｍｉｎ 后， 出水进入中间水箱， 作为下一步二氧化氯催化氧化实验 的进料液。 催化氧化实验以下流过滤柱式运行 ， 过滤柱为有机玻璃 制造 ， 直径 ２ｃｍ， 高 度 为 １００ｃｍ， 催 化 剂 填 料 层 高 度 为 ９０ｃｍ，