孙会元固体物理基础第一章14电场中的自由电子

所以,电导率为
ne2
me
电阻率ρ定义为电导率的倒数，所以电阻率为：
1
me
ne2
由此可得弛豫时间：
me
ne2
me
ne2
材料的电阻率或电导率可实验测出，然后，
代入上式可计算弛豫时间.对于普通的金属,
的量级约为10-14秒.
由经典的玻耳兹曼统计可得电子的平均速率。
经典统计下电子的动能：
E
1 2
mev 2
rs
3/
4
n
1 3
3.交变电场情形金属的电导率
假设此时
E
E0eit ; vd
vd
eit
0
代入电子的动力学方程得
imevd
eE
mevd
me
dvd (t) dt
F
(t)
me
vd (t)
整理得
eE vd me (1 i )
imevd
eE
mevd
由 得到
J
nevd
ne2
me
•1
1 i
•E
E
ne2 • 1 0 me 1 i 1 i
v k / me eE / me
v k / me eE / me
上式就是电子在稳恒电场下获得的定向漂移 速度，对金属内每一个电子来说，都有这样的 漂移速度，由此可得电流密度：
J ne( v) ne2 E
me
所以，电导率为 ne2
me
可见与经典模型下的结果一致。由上式的推导 过程可知，费米球内所有的电子都参与了导电.
第四节 金属的电导率和热导率
本节主要内容： 一、特鲁德-洛仑兹近似下金属的电导率 二、索末菲近似下金属的电导率 三、金属的热导率
一、特鲁德-洛仑兹近似下金属的电导率
无论是经典的特鲁德-洛仑兹自由电子论，还 是量子的索末菲自由电子论，在解释金属的电 导和热导问题上都取得了成功,并成功解释了维 德曼—夫兰兹定律。首先我们看一下特鲁德-洛 仑兹自由电子论的结果。 1. 电场下经典的动力学方程
2.稳恒电场情形下金属的电导率 对于稳恒电场下，电子具有恒定的漂移速度
所以：dvd (t) 0, F eE
dt
me
dvd (t) dt
F (t )
me
vd (t)
把它们代入自由电子在外Hale Waihona Puke Baidu下的动力学方程
得到：
0
eE
me
vd
整理后得到电子的漂移速度为
vd
e E
me
ne2
相应的电流密度 J nevd me E 又 J E
3 2
kBT
所以电子的平均速率： v
3kBT me
由此可得到电子的平均自由程： l v
室温下电子的平均速率大约为107 cm/s。对于
普通的金属, 的量级约10-14s,所以l 约1 nm
由电子的密度我们容易得出电子的半径rs的大 小约为0.1 nm左右，差不多和经典下电子的平均 自由程在一个量级，显示了经典模型的局限性。
在恒定的外场作用下，电子受力为-eE
由牛顿第二定律
eE
me
dv dt
dk dt
此式说明在外电场的作用下，电子动量的改 变表现为k空间相应状态点的移动，即产生了 费米球的刚性移动。
在k空间移动的速度为 dk eE
dt
所以 dk eE dt
电子之间没有发生碰撞时，对上式积分得 k k (t) k (0) eE t
假定t时刻电子的平均动量为P(t)，经过dt时间 没有受到碰撞的电子对平均动量的贡献为 P(t+dt)。
则没有受到碰撞的电子对平均动量的贡献应 为t时刻电子的平均动量和dt时间后动量的变化 之和，再乘以未被碰撞的电子的几率。
所以有:
p(t dt) (1 dt )[ p(t) F(t)dt]
F(t)dt 是对于所有电子而言的，电场力对所
但是，如果我们具体分析在外电场的作用下 费米球的刚性移动过程，不难发现只有费米面 附近的很少一部分电子才对金属的电导有贡献.
如图所示，在外场作用下，费米球从红色 位置向蓝色位置平移。
ky E
kx
电子所占的比例为： k (eEF ) • 1 eEF eEF
kF
kF
kF mvF
所以参与导电的电子数目约为
有电子有作用，但是，有贡献的只是未发生碰 撞的电子.
整理得
p(t dt) (1 dt )[ p(t) F(t)dt]
p(t dt) p(t) F(t)dt p(t) dt F(t)dt dt
取一级近似
p(t dt) p(t) F(t)dt p(t) dt
从而有
dp p(t dt) p(t) F(t) p(t)
此式表明，在K空间，从0t 时刻，费米球中
心移动为 k
负号表示费米球沿与外场相反的方向移动
那么，在弛豫时间内费米球中心在k空间的位
移为:
k eE
费米球在外场作用下产生刚性移动示意图
ky
ky
E
kx
kx
t 0
t
从0 时刻,费米球中心逆电场方向移动为
k eE
考虑到动量的变化关系： p me v k 得电子在稳恒电场下逆电场方向的速度增量：
按照特鲁德-洛仑兹模型，电子遵循碰撞近似 和弛豫时间近似。碰后的电子无规取向,所以电 子对动量的贡献仅源于没有发生碰撞的那部分 电子。
定义驰豫时间，借以概括电子和金属离子的碰
撞特征.
驰豫时间,相当于相继两次散射间的平均时间
由弛豫时间τ的定义，dt时间内，电子受到碰 撞的几率为dt/τ，从而电子没有受到碰撞的几 率为(1-dt/τ)。
n (eE F )n
mevF
由于这些电子以费米速度逆电场方向运动，
则对电流的贡献为
J
envF
ne2 F
me
E
E
电导率 ne2 F
me
和前面得到的电导率形式
上一样，只是用F 代替
两种电导率形式上虽然一样，但是两者导电 的物理机理却不同。第一种形式认为费米球内 所有电子都参与了导电,电子数目多但速度缓慢； 第二种则认为只有费米面附近的电子参与了导 电,电子数目少但速度极大，取费米速度；所以, 两者效果一样，即电流密度一样。
0 为直流电导率
二、索末菲近似下金属的电导率
索末菲近似下，基态时金属中的自由电子费 米气体全部分布在费米球内。此时金属自由电 子具有确定的动量
p mev k
电子速度 v k / me
不加外场时，费米球的中心和k空间的原点重 合，整个费米球对原点对称。如果有一个电子 有速度v，就有另一个电子有速度-v，因此金属 内净电流为零。
dt
dt
所以，自由电子在外场下的动力学方程为：
dp F(t) p(t)
dt
设外场作用下电子的漂移速度(drift velocity)为
vd(t),则动量
p(t) mevd (t)
从而,自由电子在外场下的动力学方程变为
me
dvd (t) dt
F (t )
me
vd (t)
阻尼力
该方程又称为漂移速度理论