孙会元固体物理基础第一章14电场中的自由电子
合集下载
《固体物理》课程教学大纲
《固体物理》课程教学大纲课程名称：固体物理课程类别：专业必修课适用专业：物理学考核方式：考试总学时、学分：56 学时 3.5 学分其中实验学时：0 学时一、课程性质、教学目标固体物理学是应用物理和物理类专业的一门基础课程，是继四大力学之后的一门基础且关键的课程。
主要内容是固体的结构及组成粒子（原子、离子、电子等）之间的相互作用与运动规律，阐明固体的性能、用途以及其与微观图像的联系，以晶格振动、固态电子论和固体的能带理论为主要内容。
课程教学目标为：课程教学目标1：通过固体物理学的整个教学过程，使学生理解晶体微观结构和宏观性质的联系。
课程教学目标2：熟悉固体无论晶格结构，基本键和作用，晶格振动的物理图像，固体电子论和能带理论等基本概念和物理图像。
课程教学目标3：了解固体物理领域的一些新进展，为以后的专业课和研究生阶段学习打好基础。
课程教学目标与毕业要求对应的矩阵关系注：以关联度标识，课程与某个毕业要求的关联度可根据该课程对相应毕业要求的支撑强度来定性估计，H表示关联度高；M表示关联度中；L表示关联度低。
二、课程教学要求本课程教学的基本结构要求：本课程以晶体结构、晶体结合、晶格振动、能带理论、金属和半导体电子理论、外场中晶体电子的运动规律为基本结构，内容有晶格周期性、晶格的对称性、晶体四种结合方式、简谐振动、声子、晶格振动的热容理论、晶格振动模式密度、布洛赫定理、弱周期场近似、紧束缚近似、能态密度、准经典运动、回旋共振、德哈斯-范阿尔芬效应、电子热容等。
执行本大纲应注意的问题：1.注意本课程与量子力学和热统的紧密联系，尤其是注意量子力学课程进度；2．注意讲清本课程中的基本概念和基本理论，在保持课程的科学性及系统性的基础上，应突出重点、难点，并努力反映本学科的新成就，新动向；3．因学时有限，而内容较多，因此有一部分内容要求学生自学。
学生自学部位不占总学时，但仍然是大纲要求掌握内容。
学生自学部分，采用由教师提示，学生课后自学并提出问题，老师课后解答的方式；4．注重学生思考问题，培养学生思维和研究精神。
清华大学固体物理：第一章 自由电子论
1 金属中自由电子的量子态
金属中的传导电子好比理想气体，相互之间没有相互作用，各自独立地在平均势场中运动，通常取
平均势场为能量零点。要使自由电子逸出体外，必须克服电子的脱出功，因此金属中自由电子的能态，
可以从在一定深度的势阱中运动的粒子能态估算，通常设势阱深度是无限的，设金属中自由电子的平均
势能为零，金属外电子的平均势能为无穷大，则金属中自由电子的薛定谔方程为：
(1) 在两次碰撞间隙，忽略给定电子和其它电子及离子的相互作用。没有外加电磁场时，电子作匀速直 线运动，在有外加电磁场时，电子受电磁力，运动遵从牛顿运动定律。忽略其它电子和离子产生的复杂 的附加场。在两次碰撞间隙，忽略电子－电子之间的相互作用称为独立电子近似；忽略电子－离子之间 的相互作用称为自由电子近似。
x21 x y22 y
0 0
d
2 3 z
dz 2
k z2 3
z
0
(1.2.4)
这样问题简化为三个一维无限深势阱中粒子的量子态。设金属体是边长为 L 的立方体，周期性边界条件
为：
x L, y, z x, y, z x, y L, z x, y, z x, y, z L x, y, z
i
0
0 1
2
2
(1.1.26)
介质的复数折射率定义为：
n~ ~r12 n i
(1.1.27)
这里 n 是通常的折射率， 是消光系数。在光学实验中，通常不直接测量 n 和 ，而是测量反射率 R 和
吸收系数。它们之间的关系为：
R
n n
12 12
2 2
(1.1.28)
低频时 1 ， ~r i r " ，因此：
H Ex
孙会元固体物理基础第一章1.2自由电子气体的热性质
1 f ( ) 0 1 2
随着T的增加，f(i)发生变化的能量范围变 宽,但在任何情况下,此能量范围约在 kBT 范围内,且随T0K而无限地变窄。
3) (f / ) 是关于（ -）的偶函数，而且具 有类似于函数的性质,仅在附近kBT的范围内 才有显著的值. 即
第二节 费米分布和自由电子气体的热性质
一
化学势和费米能量随温度的变化 自由电子费米气体的比热容
二
1.2.1 化学势和费米能量随温度的变化 T0K时,自由电子费米气体在有限温度下的 宏观状态可以用电子在其本征态上的分布定量 描述.其平衡统计分布函数就是费米---狄拉克 分布函数,亦即费米分布函数.
3.费米分布函数的特点
f (i ) (i ) kBT e 1
1
1) 由费米分布函数表达式和它的物理意义可 知:
0 f (i ) 1
特别是当T=0 K时
1 f () 0
亦即,≤μ时的所有状态都被占据,而 >态上电 子占据率为零.所以,在基态T=0K时,化学势相当 于占据态和非占据态的分界线,这和前面费米能 量的定义相当,所以基态时的化学势和基态费米 能量相等.
一、费米---狄拉克分布（费米分布函数） 1. 表达式：
f (i ) (i ) kBT e 1
1
是N电子热力学
体系的化学势
2.物理意义
费米分布函数给出了体系在热平衡态时,能量 为i的单电子本征态被一个电子占据的概率.根 据泡利原理,一个量子态只能容纳一个电子,所 以费米分布函数实际上给出了一个量子态的平 均电子占据数.
4.化学势随温度的变化 化学势的计算要由下式积分确定，式中，g() 为自由电子费米气体单位体积的能态密度
随着T的增加，f(i)发生变化的能量范围变 宽,但在任何情况下,此能量范围约在 kBT 范围内,且随T0K而无限地变窄。
3) (f / ) 是关于（ -）的偶函数，而且具 有类似于函数的性质,仅在附近kBT的范围内 才有显著的值. 即
第二节 费米分布和自由电子气体的热性质
一
化学势和费米能量随温度的变化 自由电子费米气体的比热容
二
1.2.1 化学势和费米能量随温度的变化 T0K时,自由电子费米气体在有限温度下的 宏观状态可以用电子在其本征态上的分布定量 描述.其平衡统计分布函数就是费米---狄拉克 分布函数,亦即费米分布函数.
3.费米分布函数的特点
f (i ) (i ) kBT e 1
1
1) 由费米分布函数表达式和它的物理意义可 知:
0 f (i ) 1
特别是当T=0 K时
1 f () 0
亦即,≤μ时的所有状态都被占据,而 >态上电 子占据率为零.所以,在基态T=0K时,化学势相当 于占据态和非占据态的分界线,这和前面费米能 量的定义相当,所以基态时的化学势和基态费米 能量相等.
一、费米---狄拉克分布（费米分布函数） 1. 表达式：
f (i ) (i ) kBT e 1
1
是N电子热力学
体系的化学势
2.物理意义
费米分布函数给出了体系在热平衡态时,能量 为i的单电子本征态被一个电子占据的概率.根 据泡利原理,一个量子态只能容纳一个电子,所 以费米分布函数实际上给出了一个量子态的平 均电子占据数.
4.化学势随温度的变化 化学势的计算要由下式积分确定，式中，g() 为自由电子费米气体单位体积的能态密度
固体物理基础孙会元知识点总结
固体物理基础孙会元知识点总结固体物理，听起来是不是有点高深莫测？就像一座神秘的城堡，等
待着我们去探索。
孙会元老师关于固体物理基础的知识点，那可真是一座知识的宝库！咱们先来聊聊晶体结构。
晶体就像是排列整齐的士兵方队，每个原子
都有自己特定的位置和规律。
你想想，要是这些原子不乖乖站好，那
整个晶体不就乱套了？
再说说晶体的结合。
这就好比是搭积木，不同的积木拼接方式会产
生不同的结构和性质。
离子晶体就像是用强力胶水粘在一起，牢固得很；共价晶体则像手牵手的小伙伴，彼此紧密相连；金属晶体呢，就
像是一群自由的舞者，欢快地跳跃。
还有晶体的振动和热学性质。
这就好像是一群调皮的小精灵在跳舞，温度一高，它们就跳得更欢啦。
能态和电子运动，这可是固体物理中的重头戏。
电子在晶体中的运动，就像是在迷宫里找出口，有的路通畅，有的路却充满了障碍。
固体物理中的能带理论，这就像是给电子们划分了不同的“班级”，
每个“班级”都有自己的特点和规则。
你说，要是不把这些知识点好好总结，不就像在黑暗中摸索，找不到前进的方向吗？我们把这些知识点梳理清楚，就像是给自己点亮了一盏明灯，照亮了探索固体物理世界的道路。
所以啊，认真总结孙会元老师的固体物理基础知识点，才能在这个神奇的领域里游刃有余，发现更多的奥秘，难道不是吗？。
固体物理基础课程-1
Eph
h ph
hc
ph
~
E2
E1
元素能级数据库与能谱/光谱分析——化学组成的无损分析
“全元素”分析——无需指定分析元素； 分析精度比较低，低
试样要求低，而且为无损检测；
含量元素往往分析
SEM/TEM中都配备能谱分析仪
不出来
原因：物质波，波函数模的平方代表粒子出现的几率密度
电子能级
电子的状态：取决于四个量子数(n，l，m，ms )
孤立原子与固体材料的内层电子的电子能级情况如何？ 1) 氢原子的电子能级： －13.6/n2 (eV)
2) 类氢离子的电子能级： － 13.6 x Z2 /n2 (eV) 3) 多电子原子中电子的能级：
固体物理基础C
第一部分 固体材料中电子态
固体材料内能——微观角度观察
出发点：固体材料是大量原子相互结合的产物 材料能量：其中所有原子能量之和
内能 = 核能 + 核外电子能量 + 振动能
能量的基准：不涉及核反应时，所有原子核的能量为0——基准
注意：涉及核能时，核外电子能量往往远远低于核能，可忽略！
0K下 U(0K)取决于核外电子能量： 为所有组成原子中各电子所 处能级的能量之和
n0为粒子波传播方向上的单位矢量，也就是粒子运动的方向p it r k Aexp iEt r p
A为振幅，t为时间，r为空间 位置矢量，i为虚数单位。
依据量子理论微观粒子的状态完全由波函数Ψ r, t 描述。 一般波函数 Ψ r, t 的物理意义：粒子出现的几率密度
—各量子数都有影响：元素周期性排布
—非全满电子亚层中电子填充的洪特(Hund)法则 比如：Fe原子，核外26个电子，如何排布？ 1s22s22p63s23p63d64s2
孙会元主编固体物理基础序言PPT学习教案
第1页/共10页
热导系数K 、扩散系数D 、电导系数取决于 晶体的内禀性质.输运理论的任务就是要从微观 上揭示这些唯象系数与内禀性质的关系.
Ju KT Jn Dn
Je E
唯象关系
上述唯象关系的形式意味着输运过程是一个 扩散过程.因而,输运过程中粒子会在漂移的过 程中不断受到碰撞,不会简单的从一端径直到达 另一端.
第5页/共10页
非平衡分布函数 fn(r,k ,t) 的定义是在t时刻 ，在单位体积晶体内位置r 附近找到一个波矢k为 的电子的几率。也就是说， 对于单位体积的样
品，fn (r , k ,t)drdk / 8 3 为时刻t, 在第n个能带
中，在r , k处drdk 相空间体积内一种自旋的平均
电子数。在本章中仅考虑一个能带，也就是导带
中的情况。因而可以去掉带指标n. 借助于分布函数，电流密度(单位时间内垂
直通过单位面积的载流子(电子或空穴)数)可以 表示为更普遍的一种形式。
第6页/共10页
则电流密度借助于分布函数的表达式：
Je
2e
f
1
8 3
dt
drdk
2e
dr dt
f
1
8 3 dk
1
4
3
ev(k ) fdk;
其中v(k )相当于群速度。
数、电荷数等广延量的流动.
假设沿晶体的某个方向存在温度梯度T、浓
度梯度n 、电势梯度 =-E,则输运过程中的热
流通量Ju、粒子流通量Jn 、电流通量Je 等与相 应的梯度之间存在如下的唯象关系:
Ju KT
--热导现象,K为热导系数
Jn Dn
--扩散现象,D为扩散系数
Je E --电导现象,为电导系数
孙会元 固体物理基础 第一章 1.5霍尔效应和磁阻
Jy = 0时的电场Ey称为霍尔电场，把Jy = 0代入 方程组，得： c eB B Ey Jx Jx Jx 2 0 me ne ne
me
B 可以理解为与电子所受洛伦兹力 Ey J x 相平衡的电场 ne Ey 得 R 1 按照霍尔系数的定义 RH H J x Bz ne
所以垂直磁电阻为零
但是实验表明电阻率的变化一般不为零,有时还 很大.这进一步反映出自由电子模型的局限性
电子由于受洛伦兹力的作用，沿z方向将螺 旋式前进。其轨迹在 xy平面上的投影为圆,角 频率为 c eB 这就是叫回旋频率(cyclotron m frequency)的原因。 实际上，电子运动时总受到散射(磁致电 阻的产生)，当 c 1 时，电子走圆周的很 小部分既受到散射，然后重新开始。
当磁场增大，使得 c 1 时，电子在相继 的两次散射间可完成多次圆周运动。
以上表明散射程度随磁场而变化，由此 可以理解在与电流垂直的磁场作用下，在电 流方向电阻的变化原因
在能带论之后，我们会认识到这种运动是 量子化的。而且这种现象是研究费米面的重 要手段。
4.隧道磁电阻TMR---Tunnel Magnetoresistance 有隧道节 5.各向异性磁电阻AMR--- Anisotropic Magnetoresistance 与技术磁化相联系 对于我们教材中的垂直磁电阻情况，表示在 与电流垂直的磁场作用下，在电流方向电阻的 B 变化，也就是电阻率的变化 z
me B eE x ev y B vx 0 y me 整理得 eE y evx B v y 0 FB v I FE me vz 0 x J x nevx 电流密度 J nev E
孙会元 固体物理基础 第一章 1.6光学性质
第六节 金属的光学性质
本节主要内容: 研究自由电子在交变场中的行为. 主要有光吸收、光学常数和光反射
§1.6 金属的光学性质
金属一般都具有金属光泽，许多金属可以
用来制作镜子，这表明金属对于可见光具有很
好的反射特性。
我们知道光波属于电磁波。因而为了讨论金
属的光学行为，需要借助电动力学中的波动方
程，并定义出复数介电常量、复数折射率和吸
I0e c
I 0e z
2n2 为吸收系数
c
吸收系数 2n2
c
k
c
(n1
in2 )
吸收系数对于频率的依赖关系 ()称为吸收谱
与虚部n2有关，这就是为什么需要考虑 吸收的影响时，要用复数介电常数之故,同时，
也是把虚部n2叫消光系数的原因。
令
I
2n2 z
I0e c
收系数等物理量 光波在自由电子气中传播 满足的波动方程为
2E
0
E t
00
2E t 2
0
E为电磁波；
0为真空磁导率 0为真空介电常数 为电导率
一. 复数介电常量和复数折射率
1. 复数介电常量
假设入射金属的电磁波是
E
E ei(k r t) 0
2E
0
E t
k
[0 (0
1
i )] 2
矢 的 折
k
[0 ( 0
i
1
)] 2
0 [ 00 (
i
0
1
)] 2
射 率 表
1 0 ( 00 ) 2 (
本节主要内容: 研究自由电子在交变场中的行为. 主要有光吸收、光学常数和光反射
§1.6 金属的光学性质
金属一般都具有金属光泽，许多金属可以
用来制作镜子，这表明金属对于可见光具有很
好的反射特性。
我们知道光波属于电磁波。因而为了讨论金
属的光学行为，需要借助电动力学中的波动方
程，并定义出复数介电常量、复数折射率和吸
I0e c
I 0e z
2n2 为吸收系数
c
吸收系数 2n2
c
k
c
(n1
in2 )
吸收系数对于频率的依赖关系 ()称为吸收谱
与虚部n2有关，这就是为什么需要考虑 吸收的影响时，要用复数介电常数之故,同时，
也是把虚部n2叫消光系数的原因。
令
I
2n2 z
I0e c
收系数等物理量 光波在自由电子气中传播 满足的波动方程为
2E
0
E t
00
2E t 2
0
E为电磁波；
0为真空磁导率 0为真空介电常数 为电导率
一. 复数介电常量和复数折射率
1. 复数介电常量
假设入射金属的电磁波是
E
E ei(k r t) 0
2E
0
E t
k
[0 (0
1
i )] 2
矢 的 折
k
[0 ( 0
i
1
)] 2
0 [ 00 (
i
0
1
)] 2
射 率 表
1 0 ( 00 ) 2 (
固体物理基础参考解答
当 T > 0 K 时，费米分布函数有
⎧
⎪1
f
(ε
)
=
⎪ ⎨0
⎪ ⎪
1
⎩2
ε << µ ε >> µ
ε =µ
下图给出了在基态 T=0K 和较低温度下 T > 0 K 时的费米分布函数。
基态和较低温度下的费米分布函数
从
− ∂f ∂ε
=
1 kBT
1 e(ε −µ ) kBT
1 + 1 e-(ε −µ ) kBT
对于自由电子气体，能量为
εn (k ) =
2k 2 2m
∇kεn (k )
=
2
m
k
；
k
=
1
(2mε
)
1 2
三维下，对应等能面为球面，所以单位体积的能态密度为：
∫ g (ε ) = 2
n
(2π )3
dsε
=2
4π k 2 =
1
(2m3
)
1 2
ε
1 2
∇k εn (k ) 8π 3 2k / m π 2 3
米波矢、费米能量、费米速度、费米温度等。
5. 如何理解金属自由电子气体的简并性？
答 ：在 统 计 物 理 中 ，把 体 系 与 经 典 行 为 的 偏 离 ，称 为 简 并 性 (degeneracy)。在
绝对零度时电子仍有相当大的平均能量，这与经典的结果是截然不同的。按照经
典 的 自 由 电 子 气 体 (Drude)的 模 型 ，电 子 在 T=0 时 的 平 均 能 量 为 零 。因 此 ，在 T=0K
如此对全部电子气来说要出现沿磁感应强度 B 方向的净磁矩，因而，出现了泡利
孙会元 固体物理基础 第一章 1.1 模型及基态性质
由于波矢k 取值是量子化的，它是描述金属 中单电子态的适当量子数，所以，在k 空间中 许可的 k 值是用分立的点来表示的。每个点表
示一个允许的单电子态。
金属中自由电子波矢：
2πn y 2πnz 2πn x kx ,k y , kz L L L
nx, ny, nz 取值为任意整数
从而，相关的电子的费米能量F 、费米动量 pF、费米速度F、费密温度TF等都可以表示为 电子密度n的函数,这也就是前面我们所提到的 自由电子气体模型可用电子密度n来描述，而 且，n是仅有的一个独立参量的原因。
k (3 n) F 2m 2m
2 2 F 2 2
2
3
;
kF F pF kF ; vF ; TF m kB
所以，代表点（单电子态）在 k 空间是均
匀分布的。
由波矢的取值特点，可以看出：
1) 在波矢空间每个(波矢)状态代表点占有的 体积为： 3 2 2 2 2 3 (2 ) k kx k y kz ( ) L L L L V (2) 波矢空间状态密度(单位体积中的状态代 表点数): 1 1 L3 V k 3 k ( 2 )3 (2 ) 8 3 L
将周期性边界条件代入电子的波函数得：
x L, y, z x, y, z x, y L, z x, y, z x, y, z L x, y, z
2πnx kx L ; 2πn y ; k y L 2πnz kz L ;
由此可得每个电子的平均能量为：
2 5 F
上述求解是在k 空间进行的，涉及到矢量积 分，在一些实际问题中，比较麻烦，为此， 人们常把对 k 的积分化为对能量的积分，从
固体物理 第一章第四节 电场中的自由电子 一、准经典模型 二、电子的动力学方程 三、金属的电导率
所以，附加速度
则电流密度
v
eE m
ne2 J nqv E E m
ne2 m
所以，电导率为
b).另一种说法认为，只有费米面附近的电子 ky 才对金属的电导有贡献 E 如图所示，在外场作用下， 费米球从红色位置向蓝色 位置平移。
kx
由于I区和II区均位于原来的 红色球内,且关于 ky – kz 面对 称。所以它们的传导作用被抵 消。只剩下费米面附近未被
由于驰豫时间，相当于相继两次散射间的 平均时间，则单位时间内电子与金属离子的碰 撞几率为-1
dt 时间内，电子受到碰撞的几率为 dt 1 2.模型的适用性 由于金属中电子的平均自由程(mean free path) 的室温值约10 nm(低温下会更长一些),远大于 量子力学中测不准原理得到的坐标不确定度,因 此,在很多问题中,经典近似是很好的近似。
所以，自由电子在外场下的动力学方程为
设外场作用下电子的漂移速度(drift velocity) 为vd(t),则动量 p(t ) mvd (t ) 从而，自由电子在外场下的动力学方程变为
dvd (t ) vd (t ) m F (t ) m dt
阻尼力
下面我们利用该方程讨论电子的输运行为
那么，在弛豫时间内费米球中心在k空间的 位移为: eE k
费米球在外场作用下产生刚性移动示意图
ky
ky
kx
E
kx
t0
t
k
eE
从0 时刻,费米球中心逆电场方向移动为 讨论：
1). 不加外场时，费米球的中心和K空间的原 点重合；整个费米球对原点对称。此时，如果 有一个电子有速度V,就有另一个电子有速度-V, 因此金属内净电流为零。
孙会元 固体物理基础 第一章 1.7 自由电子气体模型的局限性
3).驰豫时间近似，认为电子受到的碰撞和散 射由驰豫时间简单描述。 [驰豫时间，相当于相继两次散射间的平均时 间，单位时间内电子与金属离子的碰撞几率为 -1 ] 为了弥补自由电子气论的不足，上述三条 基本假定都过于简单，因而，均应该放弃。
但是，基于数学上的考虑和实际结果的分 析，人们发现只对上述模型的第一条假定进行 改进，亦即，考虑离子实系统对电子的作用， 就已经可以解决许多自由电子理论不能解决的 问题了。
上述不足说明,自由电子模型把实际情况给理 想化的太过分了.仅仅使用电子密度这样唯一一 个参量来描述金属根本不可能解释二价金属镁的 导电性比一价金属铜的导电性还要差的实验事实.
无论经典的还是量子的金属自由电子气体模型， 都包含如下的基本假定： 金属自由电子气体模型的基本假定为： 1).自由电子近似，忽略了电子和离子实之间 的相互作用 2).独立电子近似，忽略了电子和电子之间的 相互作用
该模型对于上述诸多问题都给出了比较满意 的解释，标志着这一模型的魅力所在，因而至 今仍被使用。 二、该模型的不足之处和改进方法 尽管该模型能够解释以上诸多金属的性质，但 是对于物质为什么会分为导体、绝缘体、半导 体以及类金属等则根本无法解释。还有，除去 一价金属以外，在定量计算方面和实验结果的 偏离极大。如比热、磁致电阻、霍尔系数等。 对于某些金属的正的霍尔系数也不能用该模型 给出解释。
2
23
3
Rn
Ze
r Rn
r
O
e
由于我们在模型的修改中，没有修改单电 子近似的假设，所以，单电子的薛定谔方程仍 然适用，即: 2 2 [ V (r )] (r ) (r ) 2m 只不过势能项来源于所有离子实对该电子的 作用，所以 V (r ) en (r Rn )
test 5 answer
《固体物理基础》试题 5 答案---孙会元
一、判断下列说法是否正确，并简要说明理由。(每小题 3 分，共 15 分) 1．不正确；复式晶格不一定是由不同原子组成的.如金刚石。 2．不正确。自由电子的费米面是球形的 . 能带论模型中的费米面不一定是球形 的。 3．不正确。位错属于线缺陷. 4．正确；分子晶体中的电子一般形成满带结构，均为非导体。 5．正确； 剩余电阻率是由杂质原子和电子散射引起的,杂质原子基态和最低激发 态之间的能量间隔一般远大于 kBT, 从而导致电子和杂质原子散射产生的电 阻与温度无关。 二、名词解释（每小题 3 分，共 15 分） 1．肖脱基缺陷就是晶体内部的空格点,可以认为是由于原子因热涨落脱离格点, 跳到晶体表面而产生的。肖脱基缺陷也叫空位。 2．费米面是 K 空间中能量等于费米能量的等能面,在绝对零度下,它将被电子占 K K K 据的状态与不被电子占据的状态分开.3．以单胞的三条棱 a , b , c 为坐标系所决定 的指数,称为米勒指数(Miller indices).常用 ( hkl ) 表示, h, k , l 是互质的整数. 4．离子晶体就是由正、负离子的库仑相互作用而形成的晶体,这种相互作用称为 离子键.如氯化钠晶体.5. 把遵从周期势单电子薛定谔方程的电子,或用布洛赫波 函数描述的电子称为布洛赫电子(Bloch electron);布洛赫波函数可以理解为受 周期性势场调制的平面波,相应的描述晶体电子行为的这种波称为布洛赫波.布
位移量,其通解为： unq = Aei ( qna −ωt ) 将通解代入方程,整理得： mω 2 = β (2 − e − iaq − eiaq ) ⇒ mω 2 = 4β sin 2
1 ⎛ 4β ⎞ 2 所以: ω (q ) = ⎜ ⎟ sin qa 2 ⎝ m ⎠
一、判断下列说法是否正确，并简要说明理由。(每小题 3 分，共 15 分) 1．不正确；复式晶格不一定是由不同原子组成的.如金刚石。 2．不正确。自由电子的费米面是球形的 . 能带论模型中的费米面不一定是球形 的。 3．不正确。位错属于线缺陷. 4．正确；分子晶体中的电子一般形成满带结构，均为非导体。 5．正确； 剩余电阻率是由杂质原子和电子散射引起的,杂质原子基态和最低激发 态之间的能量间隔一般远大于 kBT, 从而导致电子和杂质原子散射产生的电 阻与温度无关。 二、名词解释（每小题 3 分，共 15 分） 1．肖脱基缺陷就是晶体内部的空格点,可以认为是由于原子因热涨落脱离格点, 跳到晶体表面而产生的。肖脱基缺陷也叫空位。 2．费米面是 K 空间中能量等于费米能量的等能面,在绝对零度下,它将被电子占 K K K 据的状态与不被电子占据的状态分开.3．以单胞的三条棱 a , b , c 为坐标系所决定 的指数,称为米勒指数(Miller indices).常用 ( hkl ) 表示, h, k , l 是互质的整数. 4．离子晶体就是由正、负离子的库仑相互作用而形成的晶体,这种相互作用称为 离子键.如氯化钠晶体.5. 把遵从周期势单电子薛定谔方程的电子,或用布洛赫波 函数描述的电子称为布洛赫电子(Bloch electron);布洛赫波函数可以理解为受 周期性势场调制的平面波,相应的描述晶体电子行为的这种波称为布洛赫波.布
位移量,其通解为： unq = Aei ( qna −ωt ) 将通解代入方程,整理得： mω 2 = β (2 − e − iaq − eiaq ) ⇒ mω 2 = 4β sin 2
1 ⎛ 4β ⎞ 2 所以: ω (q ) = ⎜ ⎟ sin qa 2 ⎝ m ⎠
固体物理电场中的自由电子23页PPT
固体物理电场中的自由ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ子
1、战鼓一响，法律无声。——英国 2、任何法律的根本；不，不成文法本 身就是 讲道理 ……法 律，也 ----即 明示道 理。— —爱·科 克
3、法律是最保险的头盔。——爱·科 克 4、一个国家如果纲纪不正，其国风一 定颓败 。—— 塞内加 5、法律不能使人人平等，但是在法律 面前人 人是平 等的。 ——波 洛克
拉
60、生活的道路一旦选定，就要勇敢地 走到底 ，决不 回头。 ——左
56、书不仅是生活，而且是现在、过 去和未 来文化 生活的 源泉。 ——库 法耶夫 57、生命不可能有两次，但许多人连一 次也不 善于度 过。— —吕凯 特 58、问渠哪得清如许，为有源头活水来 。—— 朱熹 59、我的努力求学没有得到别的好处， 只不过 是愈来 愈发觉 自己的 无知。 ——笛 卡儿
1、战鼓一响，法律无声。——英国 2、任何法律的根本；不，不成文法本 身就是 讲道理 ……法 律，也 ----即 明示道 理。— —爱·科 克
3、法律是最保险的头盔。——爱·科 克 4、一个国家如果纲纪不正，其国风一 定颓败 。—— 塞内加 5、法律不能使人人平等，但是在法律 面前人 人是平 等的。 ——波 洛克
拉
60、生活的道路一旦选定，就要勇敢地 走到底 ，决不 回头。 ——左
56、书不仅是生活，而且是现在、过 去和未 来文化 生活的 源泉。 ——库 法耶夫 57、生命不可能有两次，但许多人连一 次也不 善于度 过。— —吕凯 特 58、问渠哪得清如许，为有源头活水来 。—— 朱熹 59、我的努力求学没有得到别的好处， 只不过 是愈来 愈发觉 自己的 无知。 ——笛 卡儿
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
n (eE F )n
mevF
由于这些电子以费米速度逆电场方向运动，
则对电流的贡献为
J
envF
ne2 F
me
E
E
电导率 ne2 F
me
和前面得到的电导率形式
上一样，只是用F 代替
两种电导率形式上虽然一样，但是两者导电 的物理机理却不同。第一种形式认为费米球内 所有电子都参与了导电,电子数目多但速度缓慢； 第二种则认为只有费米面附近的电子参与了导 电,电子数目少但速度极大，取费米速度；所以, 两者效果一样，即电流密度一样。
有电子有作用，但是，有贡献的只是未发生碰 撞的电子.
整理得
p(t dt) (1 dt )[ p(t) F(t)dt]
p(t dt) p(t) F(t)dt p(t) dt F(t)dt dt
取一级近似
p(t dt) p(t) F(t)dt p(t) dt
从而有
dp p(t dt) p(t) F(t) p(t)
第四节 金属的电导率和热导率
本节主要内容： 一、特鲁德-洛仑兹近似下金属的电导率 二、索末菲近似下金属的电导率 三、金属的热导率
一、特鲁德-洛仑兹近似下金属的电导率
无论是经典的特鲁德-洛仑兹自由电子论，还 是量子的索末菲自由电子论，在解释金属的电 导和热导问题上都取得了成功,并成功解释了维 德曼—夫兰兹定律。首先我们看一下特鲁德-洛 仑兹自由电子论的结果。 1. 电场下经典的动力学方程
此式表明，在K空间，从0t 时刻，费米球中
心移动为 k
负号表示费米球沿与外场相反的方向移动
那么，在弛豫时间内费米球中心在k空间的位
移为:
k eE
费米球在外场作用下产生刚性移动示意图
ky
ky
E
kx
kx
t 0
t
从0 时刻,费米球中心逆电场方向移动为
k eE
考虑到动量的变化关系： p me v k 得电子在稳恒电场下逆电场方向的速度增量：
按照特鲁德-洛仑兹模型，电子遵循碰撞近似 和弛豫时间近似。碰后的电子无规取向,所以电 子对动量的贡献仅源于没有发生碰撞的那部分 电子。
定义驰豫时间，借以概括电子和金属离子的碰
撞特征.
驰豫时间,相当于相继两次散射间的平均时间
由弛豫时间τ的定义，dt时间内，电子受到碰 撞的几率为dt/τ，从而电子没有受到碰撞的几 率为(1-dt/τ)。
所以,电导率为
ne2
me
电阻率ρ定义为电导率的倒数，所以电阻率为：
1
me
ne2
由此可得弛豫时间：
me
ne2
me
ne2
材料的电阻率或电导率可实验测出，然后，
代入上式可计算弛豫时间.对于普通的金属,
的量级约为10-14秒.
由经典的玻耳兹曼统计可得电子的平均速率。
经典统计下电子的动能：
E
1 2
mev 2
但是，如果我们具体分析在外电场的作用下 费米球的刚性移动过程，不难发现只有费米面 附近的很少一部分电子才对金属的电导有贡献.
如图所示，在外场作用下，费米球从红色 位置向蓝色位置平移。
ky E
kx
电子所占的比例为： k (eEF ) • 1 eEF eEF
kF
kF
kF mvF
所以参与导电的电子数目约为
v k / me eE / me
v k / me eE / me
上式就是电子在稳恒电场下获得的定向漂移 速度，对金属内每一个电子来说，都有这样的 漂移速度，由此可得电流密度：
J ne( v) ne2 E
me
所以，电导率为 ne2
me
可见与经典模型下的结果一致。由上式的推导 过程可知，费米球内所有的电子都参与了导电.
0 为直流电导率
二、索末菲近似下金属的电导率
索末菲近似下，基态时金属中的自由电子费 米气体全部分布在费米球内。此时金属自由电 子具有确定的动量
p mev k
电子速度 v k / me
不加外场时，费米球的中心和k空间的原点重 合，整个费米球对原点对称。如果有一个电子 有速度v，就有另一个电子有速度-v，因此金属 内净电流为零。
假定t时刻电子的平均动量为P(t)，经过dt时间 没有受到碰撞的电子对平均动量的贡献为 P(t+dt)。
则没有受到碰撞的电子对平均动量的贡献应 为t时刻电子的平均动量和dt时间后动量的变化 之和，再乘以未被碰撞的电子的几率。
所以有:
p(t dt) (1 dt )[ p(t) F(t)dt]
F(t)dt 是对于所有电子而言的，电场力对所
3 2
kBT
所以电子的平均速率： v
3kBT me
由此可得到电子的平均自由程： l v
室温下电子的平均速率大约为107 cm/s。对于
普通的金属, 的量级约10-14s,所以l 约1 nm
由电子的密度我们容易得出电子的半径rs的大 小约为0.1 nm左右，差不多和经典下电子的平均 自由程在一个量级，显示了经典模型的局限性。
rs
3/
4n1 3来自3.交变电场情形金属的电导率
假设此时
E
E0eit ; vd
vd
eit
0
代入电子的动力学方程得
imevd
eE
mevd
me
dvd (t) dt
F
(t)
me
vd (t)
整理得
eE vd me (1 i )
imevd
eE
mevd
由 得到
J
nevd
ne2
me
•1
1 i
•E
E
ne2 • 1 0 me 1 i 1 i
2.稳恒电场情形下金属的电导率 对于稳恒电场下，电子具有恒定的漂移速度
所以：dvd (t) 0, F eE
dt
me
dvd (t) dt
F (t )
me
vd (t)
把它们代入自由电子在外场下的动力学方程
得到：
0
eE
me
vd
整理后得到电子的漂移速度为
vd
e E
me
ne2
相应的电流密度 J nevd me E 又 J E
dt
dt
所以，自由电子在外场下的动力学方程为：
dp F(t) p(t)
dt
设外场作用下电子的漂移速度(drift velocity)为
vd(t),则动量
p(t) mevd (t)
从而,自由电子在外场下的动力学方程变为
me
dvd (t) dt
F (t )
me
vd (t)
阻尼力
该方程又称为漂移速度理论
在恒定的外场作用下，电子受力为-eE
由牛顿第二定律
eE
me
dv dt
dk dt
此式说明在外电场的作用下，电子动量的改 变表现为k空间相应状态点的移动，即产生了 费米球的刚性移动。
在k空间移动的速度为 dk eE
dt
所以 dk eE dt
电子之间没有发生碰撞时，对上式积分得 k k (t) k (0) eE t