第五届全国大学生数学竞赛非数学类决赛试卷

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第五届数学竞赛决赛试题及答案

第五届数学竞赛决赛试题及答案第五届数学竞赛决赛试题及答案一、计算下面各题，并写出简要的运算过程（共15分，每小题5分）二、填空题（共40分，每小题5分）1.在下面的“□”中填上合适的运算符号，使等式成立：（1□9□9□2）×（1□9□9□2）×（19□9□2）=19922.一个等腰梯形有三条边的长分别是55厘米、25厘米、15厘米，并且它的下底是最长的一条边。

那么，这个等腰梯形的周长是__厘米。

3.一排长椅共有90个座位，其中一些座位已经有人就座了。

这时，又来了一个人要坐在这排长椅上，有趣的是，他无论坐在哪个座位上都与已经就座的某个人相邻。

原来至少有__人已经就座。

4.用某自然数a去除1992，得到商是46，余数是r。

a=__，r=__。

5.“重阳节”那天，延龄茶社来了25位老人品茶。

他们的年龄恰好是25个连续自然数，两年以后，这25位老人的年龄之和正好是2000。

其中年龄最大的老人今年____岁。

6.学校买来历史、文艺、科普三种图书若干本，每个学生从中任意借两本。

那么，至少____个学生中一定有两人所借的图书属于同一种。

7.五名选手在一次数学竞赛中共得404分，每人得分互不相等，并且其中得分最高的选手得90分。

那么得分最少的选手至少得____分，至多得____分。

（每位选手的得分都是整数）8.要把1米长的优质铜管锯成长38毫米和长90毫米两种规格的小铜管，每锯一次都要损耗1毫米铜管。

那么，只有当锯得的38毫米的铜管为____段、90毫米的铜管为____段时，所损耗的铜管才能最少。

三、解答下面的应用题（要写出列式解答过程。

列式时，可以分步列式，可以列综合算式，也可以列方程）（共20分，每小题5分）1.甲乙两个工程队共同修筑一段长4200米的公路，乙工程队每天比甲工程队多修100米。

现由甲工程队先修3天。

余下的路段由甲、乙两队合修，正好花6天时间修完。

问：甲、乙两个工程队每天各修路多少米？2.一个人从县城骑车去乡办厂。

全国大学生数学竞赛初赛2013年第五届《非数学专业》竞赛题目及答案解析高清无水印版

所求极限为
lim
r
I
a
(r
)
0,a ,a1, 2,a
1, 1.
1
1
1
第七题：(14 分)判断级数
2
n 的敛散性，若收敛，求其和。
(n 1)(n 2)
n 1
1
1
【参考解答】：(1) 记a 1 , u
a n
, n 1, 2, 。
n
2
n n (n 1)(n 2)
因为n 充分大时
x x 2y
【参考解答】：方程两边对x 求导，得 3x2 6xy 3x2y 6y2y 0 y 2y2 x2
令y(x) 0 x 0, x 2y 。将x 0, x 2y 代入所给方程，得 x 0, y 1; x 2 , y 1.
2y2 x2 2x 2xy 2y x2 2xy 4yy 2x
n
原式
lim
n
1
sin
1
4n 2
2n
exp
lim n
n
ln
1
sin
1
4n 2
2n
exp lim n sin n
n
exp lim
e4.
n 1 4n 2 2n
1 4n 2 2n
sin x
2．证明广义积分 0
d x 不是绝对收敛的。 x
(n1) | sin x |
【参考证明】：an n
d x . 只要证明
x
an 发散.
n 0
1
(n 1)
1
2
因为an (n 1) n
| sin x | d x
sin xdx
.
(n 1) 0

第五届全国大学生数学竞赛决赛考试内容

第五届全国大学生数学竞赛决赛考试内容具体考试内容为：
一、非数学专业：高等数学；线性代数（约占15%—20%）。

二、数学专业：
1、大二学生：在预赛所考内容的基础上增加常微分方程（数学分析、高等代数、解析几何、常微分方程所占比重分别为40%、30%、15%和15%左右）。

2、大三及以上年级学生：在大二学生考试内容（考分占总分80%）的基础上，增加实变函数、复变函数、抽象代数、数值分析、微分几何、概率论等内容。

新增课程每门出一个考题，由学生任选其中两题（考分约占总分20%）。

注：1、以上考题所涉及的各科内容，均不超出数学专业本科或理工科本科相应课程教学大纲规定的教学内容。

2、红色字体部分为新增考试内容。

全国大学生数学竞赛试题解答及评分标准非数学类

全国大学生数学竞赛试题解答及评分标准非数学类Standardization of sany group #QS8QHH-HHGX8Q8-GNHHJ8-HHMHGN#全国大学生竞赛历年试题名师精讲（非数学类）（2009——2013）第五届全国大学生数学竞赛预赛试卷（非数学类）一、解答下列各题（每小题6分共24分，要求写出重要步骤）1.求极限(lim 1sin nn →∞+.解因为()sin sin 2sin n ππ==……（2分）；原式lim 1exp lim ln 1sin nn n n →∞→∞⎡⎤⎛⎫⎛⎫=+=+⎢⎥ ⎢⎥⎝⎝⎣⎦………………………………………………………………………………………(2分)；14exp lim exp n n n e →∞⎛⎫⎛⎫=== ⎝⎝……(2分) 2.证明广义积分0sin xdx x +∞⎰不是绝对收敛的解记()1sin n n nx a dx xππ+=⎰，只要证明0n n a ∞=∑发散即可。

……………………（2分）因为()()()()10112sin sin 111n n n a x dx xdx n n n ππππππ+≥==+++⎰⎰。

…………（2分）而()021n n π∞=+∑发散，故由比较判别法0n n a ∞=∑发散。

……………………………………（2分）3.设函数()y y x =由323322x x y y +-=确定，求()y x 的极值。

解方程两边对x 求导，得22236360x xy x y y y ''++-= ………………（1分）故()2222x x y y y x+'=-，令0y '=，得()200x x y x +=⇒=或2x y =-………（2分）将2x y =-代入所给方程得2,1x y =-=，将0x =代入所给方程得0,1x y ==-，…………………………………（2分）又()()()()()2222222222422x xy y y x x x y yy x y yx''++--+-''=-()()()0,1,02,1,0200220010,1020x y y x y y y y ''====-==+---''''==-<=>-，故()01y =-为极大值，()21y -=为极小值。

历届全国大学生数学竞赛预赛试卷

历届全国⼤学⽣数学竞赛预赛试卷全国⼤学⽣数学竞赛预赛试卷（⾮数学类）2009年第⼀届全国⼤学⽣数学竞赛预赛试卷（⾮数学类）⼀、填空题（每⼩题5分，共20分）1．计算()ln(1)d yx y x y ++=??____________，其中区域D 由直线1=+y x 与两坐标轴所围成三⾓形区域.2．设)(x f 是连续函数，且满⾜220()3()d 2f x x f x x =--?，则()f x =____________.3．曲⾯2222x z y =+-平⾏平⾯022=-+z y x 的切平⾯⽅程是__________.4．设函数)(x y y =由⽅程29ln )(y y f e xe=确定，其中f 具有⼆阶导数，且1≠'f ，则=22d d xy________________. ⼆、（5分）求极限xenx x x x ne e e )(lim 20+++→Λ，其中n 是给定的正整数. 三、（15分）设函数)(x f 连续，10()()g x f xt dt =?，且A x x f x =→)(lim 0，A 为常数，求()g x '并讨论)(x g '在0=x 处的连续性.四、（15分）已知平⾯区域}0,0|),{(ππ≤≤≤≤=y x y x D ，L 为D 的正向边界，试证：（1）-=---Lx y Lx yx ye y xe x ye y xed d d d sin sin sin sin ；（2）2sin sin 25d d π?≥--Ly yx ye y xe.五、（10分）已知xxexe y 21+=，xx exe y -+=2，x xx e exe y --+=23是某⼆阶常系数线性⾮齐次微分⽅程的三个解，试求此微分⽅程.六、（10分）设抛物线c bx ax y ln 22++=过原点.当10≤≤x 时，0≥y ，⼜已知该抛物线与x 轴及直线1=x 所围图形的⾯积为31.试确定c b a ,,，使此图形绕x 轴旋转⼀周⽽成的旋转体的体积V 最⼩.七、（15分）已知)(x u n 满⾜1()()1,2,n xnn u x u x x e n -'=+=L ，且n eu n =)1(，求函数项级数∑∞=1)(n n x u 之和.⼋、（10分）求-→1x 时，与∑∞=02n n x 等价的⽆穷⼤量.2010年第⼆届全国⼤学⽣数学竞赛预赛试卷（⾮数学类）⼀、（25分，每⼩题5分）（1）设22(1)(1)(1)nnx a a a =+++L ，其中||1,a <求lim .n n x →∞（2）求21lim 1x xx ex -→∞+ ?.（3）设0s >，求0(1,2,)sx nn I e x dx n ∞-==?L .（4）设函数()f t有⼆阶连续导数，1(,)r g x y f r ??==，求2222g g x y ??+??. （5）求直线10:0x y l z -=??=?与直线2213:421x y z l ---==--的距离. ⼆、（15分）设函数()f x 在(,)-∞+∞上具有⼆阶导数，并且()0f x ''>，lim ()0x f x α→+∞'=>，lim ()0x f x β→-∞'=<，且存在⼀点0x ，使得0()0f x <.证明：⽅程()0f x =在(,)-∞+∞恰有两个实根.三、（15分）设函数()y f x =由参数⽅程22(1)()x t t t y t ψ?=+>-?=?所确定，且22d 3d 4(1)y x t =+，其中()t ψ具有⼆阶导数，曲线()y t ψ=与22132t u y e du e-=+在1t =出相切，求函数()t ψ. 四、（15分）设10,nn n k=>=∑，证明：（1）当1α>时，级数1nn na S α+∞=∑收敛；（2）当1α≤且()n s n →∞→∞时，级数1nn na S α+∞=∑发散. 五、（15分）设l 是过原点、⽅向为(,,)αβγ，（其中2221)αβγ++=的直线，均匀椭球2222221x y z a b c++≤（其中0c b a <<<，密度为1）绕l 旋转. （1）求其转动惯量；（2）求其转动惯量关于⽅向(,,)αβγ的最⼤值和最⼩值.六、(15分)设函数()x ?具有连续的导数，在围绕原点的任意光滑的简单闭曲线C 上，曲线积分422d ()d 0L xy x x y x y ?+=+??的值为常数.（1）设L 为正向闭曲线22(2)1x y -+=，证明422d ()d 0L xy x x yx y ?+=+??；（2）求函数()x ?；（3）设C 是围绕原点的光滑简单正向闭曲线，求422d ()d C xy x x y x y ?++??.2011年第三届全国⼤学⽣数学竞赛预赛试卷（⾮数学类）⼀、计算下列各题（本题共3⼩题，每⼩题各5分，共15分）（1）求11cos 0x x x -→??；（2）.求111lim ...12n n n n n →∞??++++++；（3）已知()2ln 1arctan tt x e y t e=+=-，求22d d y x .⼆、（本题10分）求⽅程()()24d 1d 0x y x x y y +-++-=的通解.三、（本题15分）设函数()f x 在0x =的某邻域内具有⼆阶连续导数，且()()()0,0,0f f f '''均不为0，证明：存在唯⼀⼀组实数123,,k k k ，使得()()()()12320230lim0h k f h k f h k f h f h→++-=. 四、（本题17分）设2221222:1x y z a b c∑++=，其中0a b c >>>，2222:z x y ∑=+，Γ为1∑与2∑的交线，求椭球⾯1∑在Γ上各点的切平⾯到原点距离的最⼤值和最⼩值.五、（本题16分）已知S 是空间曲线22310x y z ?+=?=?绕y 轴旋转形成的椭球⾯的上半部分（0z ≥）（取上侧），∏是S 在(,,)P x y z 点处的切平⾯，(,,)x y z ρ是原点到切平⾯∏的距离，,,λµν表⽰S 的正法向的⽅向余弦.计算：（1）()d ,,SzS x y z ρ??；（2）()3d Sz x y z S λµν++??六、（本题12分）设()f x 是在(,)-∞+∞内的可微函数，且()()f x mf x '<，其中01m <<，任取实数0a ，定义1ln (),1,2,...n n a f a n -==，证明：11()n n n a a ∞-=-∑绝对收敛.七、（本题15分）是否存在区间[]0,2上的连续可微函数()f x ，满⾜(0)(2)1f f ==，()1f x '≤，2()d 1f x x ≤?请说明理由.2012年第四届全国⼤学⽣数学竞赛预赛试卷（⾮数学类）⼀、（本⼤题共5⼩题，每⼩题6分，共30分）解答下列各题（要求写出重要步骤）.（1）求极限21lim(!)n n n →∞.（2）求通过直线2320:55430x y z l x y z +-+=??+-+=?的两个互相垂直的平⾯1π和2π，使其中⼀个平⾯过点(4,3,1)-.（3）已知函数(,)ax byz u x y e+=，且20ux y=.确定常数a 和b ，使函数(,)z z x y =满⾜⽅程20z z zz x y x y--+=?. （4）设函数()u u x =连续可微，(2)1u =，且3(2)d ()d Lx y u x x u u y +++?在右半平⾯与路径⽆关，求(,)u x y .（5）求极限1limx xx t +.⼆、（本题10分）计算20sin d x e x x +∞-?.三、（本题10分）求⽅程21sin2501x x x=-的近似解，精确到0.001. 四、（本题12分）设函数()y f x =⼆阶可导，且()0f x ''>，(0)0f =，(0)0f '=，求330() lim ()sin x x f u f x u→，其中u 是曲线()y f x =上点(,())P x f x 处的切线在x 轴上的截距. 五、（本题12分）求最⼩实数C ，使得满⾜10 ()d 1f x x =?的连续函数()f x都有1f dx C ≤?.六、（本题12分）设()f x 为连续函数，0t >.区域Ω是由抛物⾯22z x y =+和球⾯2222x y z t ++=(0)z >所围起来的部分.定义三重积分222()()d F t f x y z v Ω=++，求()F t 的导数()F t ''.七、（本题14分）设1n n a ∞=∑与1n n b ∞=∑为正项级数，证明：（1）若()111lim 0n n n n n a a b b →∞++->，则级数1n n a ∞=∑收敛；（2）若()111lim 0n n n n n a a b b →∞++-<，且级数1n n b ∞=∑发散，则级数1n n a ∞=∑发散. 2013年第五届全国⼤学⽣数学竞赛预赛试卷（⾮数学类）⼀、解答下列各题（每⼩题6分，共24分，要求写出重要步骤） 1.求极限(lim 1sin nn →∞+.2.证明⼴义积分0sin d xx x+∞不是绝对收敛的.3.设函数()y y x =由323322x x y y +-=确定，求()y x 的极值.4.过曲线0)y x =≥上的点A 作切线，使该切线与曲线及x 轴所围成的平⾯图形的⾯积为34，求点A 的坐标.⼆、（满分12分）计算定积分2sin arctan d 1cos xx x e I x xππ-?=+?.三、（满分12分）设()f x 在0x =处存在⼆阶导数(0)f ''，且()0lim 0x f x x →=.证明：级数11n f n ∞=??∑收敛.四、（满分12分）设(),()0()f x f x m a x b π'≤≥>≤≤，证明2sin ()d baf x x m≤. 五、（满分14分）设∑是⼀个光滑封闭曲⾯，⽅向朝外.给定第⼆型的曲⾯积分()()()333d d 2d d 3d d I x x y z y y z x z z x y ∑=-+-+-??.试确定曲⾯∑，使积分I 的值最⼩，并求该最⼩值.六、（满分14分）设22d d ()()a aC y x x y I r x y -=+?，其中a 为常数，曲线C为椭圆222x xy y r ++=，取正向.求极限lim ()a r I r →+∞.七、（满分14分）判断级数()()1111212n n n n ∞=+++++∑L 的敛散性，若收敛，求其和. 2014年第六届全国⼤学⽣数学竞赛预赛试卷（⾮数学类）⼀、填空题（共有5⼩题，每题6分，共30分）1.已知1x y e =和1x y xe =是齐次⼆阶常系数线性微分⽅程的解，则该⽅程是.2.设有曲⾯22:2S z x y =+和平⾯022:=++z y x L .则与L 平⾏的S 的切平⾯⽅程是.3.设函数()y y x =由⽅程21sin d 4y xt x t π-??=所确定.求d d x y x ==.4.设1(1)!nn k kx k ==+∑，则=∞→n n x lim .5.已知130()lim 1x x f x x e x →??++= ??，则=→20)(lim x x f x . ⼆、（本题12分）设n 为正整数，计算21d 1cos ln d d ne I x x x π-??=. 三、（本题14分）设函数()f x 在]1,0[上有⼆阶导数，且有正常数,A B 使得()f x A ≤，|"()|f x B ≤.证明：对任意]1,0[∈x ，有2 2|)('|B A x f +≤.四、（本题14分）（1）设⼀球缺⾼为h ，所在球半径为R .证明该球缺体积为2)3(3h h R -π，球冠⾯积为Rh π2；（2）设球体12)1()1()1(222≤-+-+-z y x 被平⾯6:=++z y x P 所截的⼩球缺为Ω，记球缺上的球冠为∑，⽅向指向球外，求第⼆型曲⾯积分d d d d d d I x y z y z x z x y ∑=++??.五、（本题15分）设f 在],[b a 上⾮负连续，严格单增，且存在],[b a x n ∈，使得-=b ann n dx x f a b x f )]([1)]([.求n n x ∞→lim .六、（本题15分）设2222212n n n nA n n n n =++++++L ，求??-∞→n n A n 4lim π. 2015年第七届全国⼤学⽣数学竞赛预赛试卷（⾮数学类）⼀、填空题（每⼩题6分，共5⼩题，满分30分）（1）极限2222sin sin sin lim 12n n n n n n n n πππ→∞??+++= ?+++ ?L . （2）设函数(),z zx y =由⽅程,0z z F x y y x ?++= ??所决定，其中(),F u v 具有连续偏导数，且0u v xF yF +≠则z zxy x y+=. （3）曲⾯221z x y =++在点()1,1,3M-的切平⾯与曲⾯所围区域的体积是.（4）函数()[)[)3,5,00,0,5x f x x ?∈-?=?∈??在(]5,5-的傅⽴叶级数在0x =收敛的是.（5）设区间()0,+∞上的函数()u x 定义域为()2xt u x e dt +∞-=?，则()u x 的初等函数表达式是.⼆、（12分）设M 是以三个正半轴为母线的半圆锥⾯，求其⽅程. 三、（12分）设()f x 在(),a b 内⼆次可导，且存在常数,αβ，使得对于(),x a b ?∈，有()()()f x f x f x αβ'=+，则()f x 在(),a b 内⽆穷次可导.四、（14分）求幂级数()()30211!nn n x n ∞=+-+∑的收敛域及其和函数.五、（16分）设函数()f x 在[]0,1上连续，且()()110,1f x dx xf x dx ==??.试证：（1）[]00,1x ?∈使()04f x >；（2）[]10,1x ?∈使()14f x =.五、（16分）设(),f x y 在221x y +≤上有连续的⼆阶偏导数，且2222xx xy yy f f f M ++≤.若()()()0,00,0,00,00x y f f f ===，证明：()221,4x y f x y dxdy +≤≤.2016年第⼋届全国⼤学⽣数学竞赛预赛试卷（⾮数学类）⼀、填空题（每⼩题5分，满分30分）1、若()f x 在点x a =可导，且()0f a ≠，则()1lim nn f a n f a →∞?+=__________. 2、若()10f =，()1f '存在，求极限()()220sin cos tan3lim1sin x x f x x xI ex→+=-.3、设()f x 有连续导数，且()12f =，记()2x z f e y =，若zz x=，求()f x 在0x >的表达式. 4、设()sin 2x f x e x =，求02n a π<<，()()40f .5、求曲⾯22 2x z y =+平⾏于平⾯220x y z +-=的切平⾯⽅程.⼆、（14分）设()f x 在[]0,1上可导，()00f =，且当()0,1x ∈，()01f x '<<，试证当()0,1a ∈，()()()230d d aaf x xf x x >?.三、（14分）某物体所在的空间区域为222:22x y z x y z Ω++≤++，密度函数为222x y z ++，求质量()222d d d M x y z x y z Ω=++.四、（14分）设函数()f x 在闭区间[]0,1上具有连续导数，()00f =，()11f =，证明：()10111lim 2nn k k n f x dx fn n →∞=-=- ? ?∑?. 五、（14分）设函数()f x 在闭区间[]0,1上连续，且()1d 0I f x x =≠?，证明：在()0,1内存在不同的两点12,x x ，使得()()12112f x f x I+=. 六、（14分）设()f x 在(),-∞+∞可导，且()()(2f x f x f x =+=.⽤Fourier 级数理论证明()f x 为常数.2017年第九届全国⼤学⽣数学竞赛预赛试卷（⾮数学类）⼀、1.已知可导函数f (x )满⾜?+=+xx tdt t f x xf 01sin )(2)(cos ，则()f x =_________.2．求??+∞→n n n 22sin lim π.3.设(,)w f u v =具有⼆阶连续偏导数，且==+u x cy v x cy -，，其中c 为⾮零常数.则21xx yy w w c -=_________. 4.设()f x 有⼆阶导数连续，且(0)'(0)0,"(0)6f f f ===，则240(sin )lim x f x x →=____.5.不定积分sin 2sin 2(1sin )x e xI dx x -=-?=________. 6.记曲⾯222z x y =+和z =围成空间区域为V ，则三重积分Vzdxdydz =___________.⼆、（本题满分14分)设⼆元函数(,)f x y 在平⾯上有连续的⼆阶偏导数.对任何⾓度α，定义⼀元函数()(cos ,sin )g t f t t =ααα.若对任何α都有(0)0dg dtα=且22(0)0d g dt α>.证明)0,0(f 是(,)f x y 的极⼩值. 三、(本题满分14分)设曲线Γ为在2221x y z ++=，1x z +=，0,0,0x y z ≥≥≥上从(1,0,0)A 到(0,0,1)B 的⼀段.求曲线积分?Γ++=xdz zdy ydx I.四、(本题满分15分)设函数()0f x >且在实轴上连续，若对任意实数t ，有||()1t x ef x dx +∞---∞≤?，则,()a b a b ?<，2()2bab a f x dx -+≤. 五、(本题满分15分)设{}n a 为⼀个数列，p 为固定的正整数。

最近五届全国大学生高等数学竞赛真题及答案(非数学类)

目录第一届全国大学生数学竞赛预赛试卷 ........................................................................................... 1 第二届全国大学生数学竞赛预赛试卷 ........................................................................................... 7 第三届全国大学生数学竞赛预赛试卷 ......................................................................................... 11 第四届全国大学生数学竞赛预赛试卷 ......................................................................................... 18 第五届全国大学生数学竞赛预赛试卷 .. (23)（参加高等数学竞赛的同学最重要的是好好复习高等数学知识，适当看一些辅导书及相关题目，主要是一些各大高校的试题。

）2009年第一届全国大学生数学竞赛预赛试卷一、填空题（每小题5分，共20分）1．计算=--++⎰⎰y x yx x yy x Dd d 1)1ln()(____________，其中区域D 由直线1=+y x 与两坐标轴所围成三角形区域.解: 令v x u y x ==+,，则v u y v x -==,，v u v u y x d d d d 1110det d d =⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=， v u uvu u u y x yx x yy x DDd d 1ln ln d d 1)1ln()(⎰⎰⎰⎰--=--++⎰⎰⎰⎰----=---=1021000d 1)ln (1ln d )d ln 1d 1ln (u uu u u u u u u u v v uuv u u u u u ⎰-=12d 1u uu （*）令u t -=1，则21t u -=dt 2d t u -=，42221t t u +-=，)1)(1()1(2t t t u u +-=-，⎰+--=0142d )21(2(*)tt t⎰+-=1042d )21(2t t t 1516513221053=⎥⎦⎤⎢⎣⎡+-=t t t 2．设)(x f 是连续函数，且满足⎰--=2022d )(3)(x x f x x f , 则=)(x f ____________.解: 令⎰=20d )(x x f A ，则23)(2--=A x x f ，A A x A x A 24)2(28d )23(202-=+-=--=⎰,解得34=A 。

全国大学生高等数学竞赛真题及答案(非数学类)-无答案

2009年第一届全国大学生数学竞赛预赛试卷一、填空题（每小题5分，共20分）1．计算=--++⎰⎰y x yx x yy x Dd d 1)1ln()(____________，其中区域D 由直线1=+y x 与两坐标轴所围成三角形区域.2．设)(x f 是连续函数，且满足⎰--=2022d )(3)(x x f x x f , 则=)(x f ____________.3．曲面2222-+=y x z 平行平面022=-+z y x 的切平面方程是__________. 4．设函数)(x y y =由方程29ln )(y y f e xe =确定，其中f 具有二阶导数，且1≠'f ，则=22d d x y________________. 二、（5分）求极限xenx x x x ne e e )(lim 20+++→ ，其中n 是给定的正整数.三、（15分）设函数)(x f 连续，⎰=10d )()(t xt f x g ，且A xx f x =→)(lim，A 为常数，求)(x g '并讨论)(x g '在0=x 处的连续性.四、（15分）已知平面区域}0,0|),{(ππ≤≤≤≤=y x y x D ，L 为D 的正向边界，试证：（1）⎰⎰-=---Lx y Lx yx ye y xe x ye y xed d d d sin sin sin sin ；（2）2sin sin 25d d π⎰≥--Ly yx ye y xe .五、（10分）已知xx e xe y 21+=，x x e xe y -+=2，xx x e e xe y --+=23是某二阶常系数线性非齐次微分方程的三个解，试求此微分方程.六、（10分）设抛物线c bx ax y ln 22++=过原点.当10≤≤x 时,0≥y ,又已知该抛物线与x 轴及直线1=x 所围图形的面积为31.试确定c b a ,,,使此图形绕x 轴旋转一周而成的旋转体的体积最小.七、（15分）已知)(x u n 满足),2,1()()(1 =+='-n e x x u x u x n n n, 且neu n =)1(, 求函数项级数∑∞=1)(n nx u之和.八、（10分）求-→1x 时, 与∑∞=02n n x等价的无穷大量.2010年第二届全国大学生数学竞赛预赛试卷一、（25分，每小题5分）（1）设22(1)(1)(1),nn x a a a =+++其中||1,a <求lim .n n x →∞（2）求21lim 1x x x e x -→∞⎛⎫+ ⎪⎝⎭。

全国大学生高等数学竞赛真题及答案(非数学类)无答案

2009年第一届全国大学生数学竞赛预赛试卷一、填空题（每小题5分，共20分）1．计算=--++⎰⎰y x yx x yy x Dd d 1)1ln()(____________，其中区域D 由直线1=+y x 与两坐标轴所围成三角形区域.2．设)(x f 是连续函数，且满足⎰--=2022d )(3)(x x f x x f , 则=)(x f ____________.3．曲面2222-+=y x z 平行平面022=-+z y x 的切平面方程是__________.4．设函数)(x y y =由方程29ln )(y y f e xe =确定，其中f 具有二阶导数，且1≠'f ，则=22d d xy________________.二、（5分）求极限xenx x x x ne e e )(lim 20+++→ ，其中n 是给定的正整数.三、（15分）设函数)(x f 连续，⎰=10d )()(t xt f x g ，且A xx f x =→)(lim，A 为常数，求)(x g '并讨论)(x g '在0=x 处的连续性.四、（15分）已知平面区域}0,0|),{(ππ≤≤≤≤=y x y x D ，L 为D 的正向边界，试证：（1）⎰⎰-=---Lx y Lx yx ye y xe x ye y xed d d d sin sin sin sin ；（2）2sin sin 25d d π⎰≥--Ly yx ye y xe .五、（10分）已知x x e xe y 21+=，xx exe y -+=2，xx x e e xe y --+=23是某二阶常系数线性非齐次微分方程的三个解，试求此微分方程.六、（10分）设抛物线c bx ax y ln 22++=过原点.当10≤≤x 时,0≥y ,又已知该抛物线与x 轴及直线1=x 所围图形的面积为31.试确定c b a ,,,使此图形绕x 轴旋转一周而成的旋转体的体积最小.七、（15分）已知)(x u n 满足),2,1()()(1 =+='-n e x x u x u x n n n, 且neu n =)1(, 求函数项级数∑∞=1)(n nx u之和.八、（10分）求-→1x 时, 与∑∞=02n n x 等价的无穷大量.2010年第二届全国大学生数学竞赛预赛试卷一、（25分，每小题5分）（1）设22(1)(1)(1),nn x a a a =+++其中||1,a <求lim .n n x →∞（2）求21lim 1x xx ex -→∞⎛⎫+ ⎪⎝⎭。

第五届全国大学生数学竞赛决赛试卷参考答案

第五届全国大学生数学竞赛决赛试卷参考答案（非数学类， 2014 ）一、解答下列各题（本题共 28 分，每小题 7 分） 1. 计算积分22220sin xtxdx dt tππ⎰⎰解：交换积分次序得22220sin xt xdx dt t ππ⎰⎰22222000sin 1sin 2t t dt xdx tdt t ππ==⎰⎰⎰22014sin 2tdt π=⋅⎰12222ππ=⋅⋅=２、设f(x)是区间[0,1]上的连续函数，且满足1()1,f x dx =⎰求一个这样的函数f(x)使得积分1220(1)()x f x dx +⎰取得最小值。

解：101()f x dx =⎰1(f x dx =⎰ ()11211222201(1)()1x f x dxdx x ⎛⎫≤+ ⎪+⎝⎭⎰⎰ ()11212220(1)()4x f x dxπ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭⎰()1122204(1)()x f x dxπ⇒+≥⎰，取24()(1)f x x π=+即可。

３、设F(x,y,z)和G(x,y,z)有连续偏导数，雅可比行列式(,)0(,)F G x z ∂≠∂，曲线(,,)0:(,,)0F x y z G x y z =⎧Γ⎨=⎩过点0000(,,).P x y z 记Γ在xoy 平面上的投影曲线为Ｓ，求Ｓ上过点00(,)x y 的切线方程。

解：由两方程定义的曲面在0000(,,)P x y z 的切面分别为 000000()()()()()()0x y z F P x x F P y y F P z z -+-+-= 000000()()()()()()0x y z G P x x G P y y G P z z -+-+-=上述两切面的交线就是Γ在P 0点的切线，该切线在xoy 面上的投影就是Ｓ过00(,)x y 的切线。

消去z-z 0,可得0000()()()()0x z x z P y z y z P F G G F x x F G G F y y --+--= 这里0x x -的系数是(,)0(,)F G x z ∂≠∂，故上式是一条直线的方程，就是所要求的切线。

5-第五届非数学类预赛参考答案

1+ 4n2( )⎰ ∑ n⎰ 第五届全国大学Th 数学竞赛预赛试卷评分细则一、(共 4 小题,每小题 6 分,共 24 分) 解答下列各题 .1. 求极限 lim 1+ sinπ n →∞1+ 4n 2)n解sin (π 1+ 4n2)= sin (π- 2n π = sinπ2n π + π(2 分)⎛ π⎫n原式= lim 1+ ⎪n →∞ ⎝⎡ 2n π + π ⎛1+ 4n 2 ⎭π ⎫⎤ = exp ⎢lim n ln 1+ sin ⎪⎥(2 分)⎢⎣n →∞⎝ 2n π + π 1+ 4n 2 ⎭⎥⎦ = ⎛ π⎫ exp lim n sin ⎪⎝ n →∞2n π + π 1+ 4n 2⎭⎛ π n⎫ 1 = exp lim ⎪ = e 4(2 分)⎝ n 2n π + π 1+ 4n 2 ⎭+∞sin x2 证明广义积分 ⎰ 0 dx 不是绝对收敛的. x(n +1)π| sin x |∞证. 记a n =⎰nπ dx , 只要证明∑ a n 发散. (2 分)n =01(n +1)π1π2因为 a n ≥(n +1)π∞2| sin x | dx = sin xdx = n π(n +1)π 0(n +1)π ∞.(3 分)而∑ n =0 发散, 故 a 发散. (1 分)+ 1)π n =03. 设函数 y = y (x ) 由 x 3 + 3x 2 y - 2y 3 = 2 所确定. 求 y (x ) 的极值.解方程两边对 x 求导，得3x 2 + 6xy + 3x 2 y '- 6y 2 y ' = 0故 y ' =x (x + 2 y )，令 y ' = 0 ，得 x (x + 2y ) = 0 ⇒ x = 0 或 x = -2y . 2 y 2 - x 2将 x = 0 和 x = -2y 代入所给方程，得(1 分)1+ 4n 2. (n x(2 y 2 - x 2 )(2x + 2xy '+ 2 y ) + (x 2 + 2xy )(4 yy '- 2x )(2 y 2 - x 2 )23 t 33 t 2⎨ y =1π(arctan e x + arctan e )⎰ 2 2 0⎧x = 0 ⎨ y = -1 和⎧x = -2.(2 分)y = 1 ⎩⎩又y ''== -1 < 0 ， x =0 y =-1y '=0y '' x =-2 = 1 > 0 . y '=0故 y (0) = -1为极大值， y (-2) = 1为极小值.(3 分)4．过曲线 y = 3 x (x ≥ 0) 上的点 A 作切线,使该切线与曲线及 x 轴所围成的平面图形的面积为3 , 求点 A 的坐标. 4解设切点 A 的坐标为(t ,3 t ),曲线过 A 点的切线方程为y - =1(x - t ) (2分)令 y = 0, 由上式可得切线与x 轴交点的横坐标x 0 = -2t∴平面图形的面积S = ∆Ax 0t 的面积-曲边梯形otA 的面积S = 1 3 t ⋅ 3t - ⎰t 3 x d x = 3 t 3 t = 3⇒ t = 1 ，∴ A 的坐标为(1,1).(4分)2 0 4 4二、 (12 分) 计算定积分 I = ⎰-πx s in x ⋅ arctan e x1 + cos 2xd x . 0 x s in x ⋅ arctane x π x s in x ⋅ arctan e x解 I = ⎰-π 1 + c os 2 x d x +⎰0 1 + cos 2x d x = π x s in x ⋅ arctan e - x π x sin x ⋅ arctan e x⎰0 1 + cos 2 x d x +⎰0 1 + cos 2 x d x(4 分)= π - x 0x sin x d x 1 + cos 2 x = π π x sin x d x(2 分)2 ⎰0 1 + cos 2 x⎛ π ⎫2π sin x = ⎪ ⎰0 2 dx ⎝ ⎭ 1 + cos x(4 分)⎛ π ⎫2= - ⎪ ⎝ ⎭3 arctan(cos x ) π = 8(2 分)三、(12 分)设 f (x ) 在 x = 0 处存在二阶导数 f ''(0) ，且limf (x ) = 0.证明：级数x →0xπn ⎪b ≤ ⎰=∑ n =1f⎛ 1 ⎫收敛. ⎝ ⎭证由于 f (x ) 在 x = 0 处连续，且limf (x )= 0 ，x →0xf (x )则f (0) = lim f (x ) = lim ⋅ x = 0 ，(２分) x →0 x →0 xf '(0) = lim f (x ) - f (0)= 0 .(２分)x →0 x - 0应用罗比达法则，lim f (x ) = lim f '(x ) = lim f '(x ) - f '(0) = 1 f ''(0).(３分)x →0 x 2 x →0 2x x →0 2(x - 0) 2所以lim = 1f ''(0) . (２分)n →0∞ 11 2n 2 ∞⎛ 1 ⎫ 由于级数∑ n 2 收敛，从而∑ f n ⎪ 收敛.(3 分)n =1n =1 ⎝ ⎭四、(10 分) 设| f (x ) |≤ π , f '(x ) ≥ m > 0 (a ≤ x ≤ b ) ，证明⎰ sin f (x ) d x ≤2.am证因为 f '(x ) ≥ m > 0 (a ≤ x ≤ b ) ，所以 f (x ) 在 [a ,b ] 上严格单增，从而有反函数. (2 分)设 A = f (a ) ， B = f (b ) ，ϕ 是 f 的反函数，则0 < ϕ'( y ) =又| f (x ) |≤ π ，则-π ≤ A < B ≤ π ，所以1 f '(x ) ≤ 1 ，(3 分)mbx =ϕ ( y ) B sin f (x ) d x ϕ'( y )sin y d y(3 分)⎰a=== ⎰Aπ 1 20 m sin y d y m(2 分)五、(１４分)设∑ 是一个光滑封闭曲面, 方向朝外. 给定第二型的曲面积分I = ⎰⎰(x 3 - x )dydz + (2 y 3 - y )dzdx + (3z 3 - z )dxdy .∑试确定曲面∑ , 使得积分 I 的值最小, 并求该最小值.解. 记∑ 围成的立体为V , 由高斯公式,I = ⎰⎰⎰(3x 2 + 6 y 2 + 9z 2 - 3)dv = 3⎰⎰⎰(x 2 + 2 y 2 + 3z 2 -1)dxdydz .(３分)VV∞6 6 6 3 3 3 ⎩22 2⎰aa ⎰ (u 2 + v 2 )a ⎩⎰ a2 为了使得 I 达到最小, 就要求V 是使得 x 2 + 2y 2 + 3z 2-1 ≤ 0 的最大空间区域, 即V = {(x , y , z ) | x 2 + 2 y 2 + 3z 2 ≤ 1}.(３分)所以V 是一个椭球, ∑ 是椭球V 的表面时, 积分 I 最小.⎧ x = u ⎪∂(x , y , z ) 1 为求该最小值, 作变换 ⎨ y = v / ⎪z = w / . 则= , 有 ∂(u , v , w )I = 3⎰⎰⎰ u 2+v 2+w 2≤1(u 2 + v 2 + w 2 -1)dudvdw .(4 分)使用球坐标变换, 我们有3 2ππ 1I = ⎰ d ϕ ⎰ d θ ⎰(r 2-1)r 2sin θ dr = - 0 0 0π . (４分)六、(14 分) 设 I a (r ) = ydx - xdy , 其中a 为常数, 曲线C 为椭圆 x + xy + y = r , 取正(x 2+ y 2 )a向. 求极限 lim I (r ) . r →+∞⎧⎪ x = (u - v ) / 解. 作变换⎨⎪⎩ y = (u + v ) / 曲线C 变为uov 平面上的,Γ : 3 u 2 + 1v2= r 2, 也是取正向(2 分)2 2且有 x 2 + y 2 = u 2 + v 2,ydx - xdy = vdu - udv ,I (r ) = vdu - u dv.(2 分)Γ⎧ 2⎪u = 作变换⎨ r cos θ3, 则有vdu - u dv = - 2 r 2d θ ⎪ v = I a (r ) = -2π2r sin θ 2 r 2 (-1a 2π)0 (2 cos d θd θ 2 θ / 3+ 2sin 2θ )a = - r-2a ( J 1,其中 J a =⎰ (2 cos2θ / 3 + 2sin 2 θ )a, 0 < J a < +∞ .(3 分) 因此当a > 1和a < 1, 所求极限分别为 0 和-∞ .(2 分)2 3 4 622C15= π3 . n+ ⎛ an -1 ⎝ n ⎨ ⎩∑ ∞ n1 1 n+∞⎰ 而当a = 1,2πJ 1 = ⎰2 c o 2s θd θ /+3 2 2s θπ / 2= 4 ⎰d t a n θ +2 / 3 θ2= 4 d t + 2(3 分)故所求极限为i n⎧ 0, 0a > 12 t a n 0t 2 / 3lim I r →+∞(r ) = ⎪ -∞, ⎪-2π , a < 1 . (2 分)a = 1∞1+ 1 + + 1 七、(14 分) 判断级数2 n 的敛散性, 若收敛，求其和. n =1(n +1)(n + 2)解: (1) 记 a = 1+ 1 ++ 1 ， u = a n , n = 1,2,3, .n2因为n 充分大时n n(n +1)(n + 2)0 < a = 1+ 1 + + 1< 1+n 1dx = 1+ ln n <, (3 分)n2 n ⎰1x所以 u ≤<1而∞1 收敛，所以∑ u 收敛. (2 分)n(n + 1)(n + 2)n 3/2∑3/2n =1n n =1（2） a k = 1+ ++ (k = 1,2,....)2 k 1+ 1 + + 1 n2 k n a k n ⎛ a k a k ⎫ S n = ∑ (k +1)(k + 2) =∑ (k +1)(k + 2) =∑ k + -+ 2 ⎪k =1 k =1k =1 ⎝ 1 k ⎭ = ⎛ a 1 - a 1 ⎫ + ⎛ a 2 - a 2 ⎫ +- a n -1 ⎫ + ⎛ a n- a n ⎫(2 分)2 3 ⎪ 3 4 ⎪ n +1 ⎪ n +1 n + 2 ⎪ ⎝ ⎭ ⎝ ⎭ ⎭ ⎝ ⎭= 1 a + 1 (a - a ) + 1 (a - a ) + + 1 (a - a ) - 1 a(2 分)2 13 2 14 3 2 n +1 n n -1n + 2 n= ⎛ 1 + 1 + 1 + +1 ⎫ - 1 a = 1- 1 - 1 a .(2 分)1⋅2 2⋅3 3⋅ 4 n ⋅ (n -1) ⎪ n + 2 n n n + 2 n⎝ ⎭因为0 < a n < 1+ ln n 所以0 <a n<1+ ln n 且 lim1+ ln n = 0. 所以lim a n= 0. n + 2 n + 2 n →∞ n + 2 n →∞ n + 2 于是 S = lim S = 1- 0 - 0 = 1 . 证毕。

第五届全国大学生数学竞赛非数学类决赛试卷

矩阵且 B E . 若秩 rank ( A B) 3 ，试求常数 a 的值.
姓名：
第 1 页（共 8 页）
第 2 页（共 8 页）
得
分
二、(12 分) 设 f ( x) C 4 (, ) , 且 f ( x) 满足
评阅人
f ( x h) f ( x) f ( x)h
x2 y 2 t 2 , 0 z 1 的表面 , 方向朝外 . 记第二型的曲面积分
I t Pdydz Qdzdx Rdxdy , 求极限 lim
t
t 0
It . t4
第 6 页（共 8 页）
得专业：
分
六、（12 分）设 A, B 为 n 阶正定矩阵，求证 AB 正定的充要条件是 AB BA .
x
f ( x) f ( x)
x 1 f (t ) dt 0 ，且 f (0) 1 ，试证: x 1 0
f ( x) 1 成立..ຫໍສະໝຸດ 第 4 页（共 8 页）
得
分
四、（12 分）设 D {( x, y) | 0 x 1, 0 y 1} ,
评阅人
I f ( x, y )dxdy , 其中函数 f ( x, y) 在 D 上有连续二阶偏导数.
n
A.
第 8 页（共 8 页）
第 9 页（共 8 页）
密
P0 ( x0 , y0 , z0 ) . 记在 xoy 平面上的投影曲线为 S . 求 S 上过点 ( x0 , y0 ) 的切线方程.
准考证号：
1 2 1 4 设矩阵 A 3 4 a ，其中 a 为常数，矩阵 B 满足关系式 AB A B E ，其中 E 是单位 1 2 2

全国大学生数学竞赛第五届试题

专业：考生座位号：线所在院校：封密准考证号：姓名：第五届全国大学生数学竞赛预赛试卷（非数学类，2013）考试形式：闭卷考试时间： 150 分钟满分： 100 分.注意：1、所有答题都须写在此试卷纸密封线右边，写在其它纸上一律无效. 2、密封线左边请勿答题，密封线外不得有姓名及相关标记. 3、如当题空白不够，可写在当页背面，并标明题号. 一、（本题共4小题，每小题各6分，共24分）解答下列各题. (1) 求极限 (lim 1sin n n →∞+. (2) 证明广义积分sin 0x dx x +∞⎰不是绝对收敛的. (3) 设函数()y y x =由323322x x y y +-=所确定, 求()y x 的极值. (4) 过曲线0)=≥y x 上的点A 作切线, 使该切线与曲线及x 轴所围成的平面图形的面积为34, 求点A 的坐标.专业：考生编号：线所在院校：封密准考证号：姓名：二、（本题12分）计算定积分2sin arctan d 1cos x x x e I x x ππ-⋅=+⎰.三、（本题12分）设()f x 在0x =处存在二阶导数，且0()lim 0.x f x x →= 证明：级数11n f n ∞=⎛⎫ ⎪⎝⎭∑收敛.四、（本题10分）设|()|,()0()f x f x m a x b π'≤≥>≤≤，证明 2sin ()d b a f x x m ≤⎰.专业：考生编号：线所在院校：封密准考证号：姓名：五、（本题14分）设∑是一个光滑封闭曲面, 方向朝外. 给定第二型曲面积分 ()()()33323I x x dydz y y dzdx z z dxdy ∑=-+-+-⎰⎰. 试确定曲面∑, 使得积分I 的值最小, 并求该最小值.六、（本题14分）设22()()a a C ydx xdy I r x y -=+⎰, 其中a 为常数, 曲线C 为椭圆222x xy y r ++=, 取正向. 求极限lim ()a r I r →+∞.专业：考生编号：线所在院校：封密准考证号：姓名：七、（本题14分）判断级数∑∞=+ ++++1)2)(1(1211nnnn的敛散性, 若收敛，求其和.。

桂林电子科技大学第五届数学竞赛试卷(非数学专业)

学院______________学号 _______________ 姓名联系方式座位号………………………………………………………………… 密封线内不得答题 ………………………………………………… 桂林电子科技大学第五届大学生数学竞赛试卷(非数学专业)（时长：120分钟，请直接在本卷上作答，请写好学院和学号）题号一二三四五六七八成绩满分 2010101015151010100得分一、填空题（每小题5分，共20分）1. ()nf x x =过点（1,1）的切线与x 轴的交点为(,0)n ξ，则lim ()n n f ξ→∞=________. 2. 当0x →时，()⎰+2021ln x dt t 是23x 的________ 阶无穷小.3. 有向曲线L 是以（1,0）为圆心，2为半径的正向圆周，则=+-⎰Lyx ydxxdy 224_______. 4. 直线11:011x y z L -==与直线22:210x y z L +==-之间的距离为________. 二、（10分）求极限nn n n n n 12222212111lim ⎥⎦⎤⎢⎣⎡⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+⎪⎭⎫ ⎝⎛+∞→ .三、（10分）设1)0(=g ，)(x g 有连续二阶导数，⎪⎩⎪⎨⎧=≠-=.0,,0,cos )()(x a x xx x g x f (1) 确定a 值，使得()f x 在0x =处连续; (2) 当()f x 连续时，讨论/()f x 的连续性.四、（10分）求定积分dx x n ⎰-π02sin 1 （n 为正整数）.五、（15分）设()f x 在[0,1]上连续，在（0,1）内可导，且0)(10=⎰dx x f ，证明：存在(0,1)ξ∈，使得 /()2()0f f ξξξ+=.六、（15分）若()dxdy y x yx f x t f D ⎰⎰⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+++=22221)(，0,0,:222≥≥≤+y x t y xD ，求().f t七、（10分）求椭球面2222321x y z ++=上点0000(,,)P x y z 处的切平面，使该切平面过已知直线L ：6321212x y z ---==-.八、（10分）（从下列两题中任选一题做，选多也只算一题的得分）1. 判定111(ln )n n nn ∞=+-∑的敛散性，并证明111 (2)lim 1ln n n n →∞+++=. 2. 设222:1,x y z Ω++≤ 证明：33428225.33x y z dv ππΩ≤+-+≤⎰⎰⎰。