高中数学北师大版选修2-3学案1.5.1 二项式定理 Word版含解析

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1.5.1二项式定理教案高中数学选修2-3 北师大版

§5 二项式定理5.1二项式定理●三维目标1．知识与技能(1)使学生参与并探讨二项式定理的形成过程，掌握二项式系数、字母的幂次、展开式项数的规律．(2)能够应用二项式定理对所给出的二项式进行正确的展开．2．过程与方法(1)在学生对二项式定理形成过程的参与、探讨过程中，培养学生观察猜想、归纳的能力及分类讨论解决问题的能力．(2)培养学生的化归意识和知识迁移的能力．3．情感、态度与价值观(1)通过学生自主参与和二项式定理的形成过程培养学生解决数学问题的信心．(2)通过学生自主参与和二项式定理的形成过程培养学生体会教学内在和谐对称美．(3)培养学生民族自豪感，在学习知识的过程中进行爱国主义教育．●重点难点重点：使学生参与并深刻体会二项式定理的形成过程，掌握二项式系数、字母的幂次、展开式系数的规律；能够利用二项式定理对给出的二项式进行展开．难点：二项式定理的发现．二项式定理形式很重要．教学中一定要注意这一点，其关键是让学生掌握二项式定理的形成过程，让学生明确为何可以用组合数来表示二项式定理中各项的系数，这样才能够使学生掌握重点，也有利于突破教学难点．(教师用书独具)●教学建议掌握并能运用二项式定理，让学生主动探索展开式的由来是关键．“学习任何东西最好的途径是自己去发现”正所谓“学问之道，问而得，不如求而得之深固也”．本节课的教法贯穿启发式教学原则，以启发学生主动学习，积极探究为主，创设一个以学生为主体，师生互动，共同探索的教与学的情境．在教学中不仅要重视知识的结果，而且重视知识的发生、发现和解决过程．●教学流程创设问题情境，引出问题：今天是星期一，再过30天后的那一天是星期几？⇒引导学生结合初中所学过的公式观察、比较、分析，再提出新问题由(a＋b)2＝a2＋2ab＋b2，(a＋b)3＝a3＋3a2b＋3ab2＋b4，提出(a＋b)4＝？(a＋b)5＝…⇒通过引导，让学生发现该问题与组合知识有关，逐步引导学生去发现各项及各项系数值的求法．⇒得出定理，深化认识：请学生总结二项式定理中展开式的系数、指数、项数的特点；二项式展开式的结构特征等．⇒巩固应用，由得出的二项式定理，让学生解答例1、例2、例3及相应变式训练．⇒归纳整理，进行课堂小结，布置作业．⇒完成当堂双基达标，巩固所学知识.1．(a＋b)1＝？【提示】(a＋b)1＝a＋b.2．(a＋b)2＝？【提示】(a＋b)2＝a2＋2ab＋b2.3．在问题2中，如何用组合知识来解释a2，ab，b2的系数．【提示】∵(a＋b)2＝(a＋b)(a＋b)，∴a2相当于从2个因式中的都不取b只取a即C02＝C22＝1；ab相当于从2个因式中一个取a，另一个取b，即C12＝2；b2相当于从2个因式中都不取a只取b，即C22＝C02＝1.4．由问题3类比(a＋b)3展开式．【提示】(a＋b)3＝C03a3＋C13a2b＋C23ab2＋C33b3.5．由问题4、3求(a＋b)n的展开式．【提示】(a＋b)n＝C0n a n＋C1n a n－1b＋…＋C r n a n－r b r＋…＋C n n b n.(a ＋b )n ＝C 0n a n ＋C 1n a n －1b ＋…＋C r n a n －r b r ＋…＋C n n b n . 这个公式称为二项式定理，等号右边的式子称为(a ＋b )n 的二项展开式，(a ＋b )n 的二项展开式有n ＋1项，其中各项的系数C r n (r ＝0,1,2…，n )称为二项式系数，C r n a n －r b r 称为二项展开式的第r ＋1项，又称为二项式通项．1．二项式定理右边的各项的次数等于多少？【提示】各项的次数都等于二项式的幂指数n .2．二项式定理右边的展开式共有多少项？【提示】 n ＋1项．(b ＋a )n ＝C 0n b n ＋C 1n b n －1a ＋C 2n b n －2a 2＋…＋C r n b n －r a r ＋…＋C n n a n .(1)求(3x ＋1x)4的展开式； (2)求值C 1n ＋3C 2n ＋9C 3n ＋…＋3n －1C n n . 【思路探究】(1)直接利用二项式定理展开，也可以先化简再展开；(2)先化成二项展开式的形式，然后逆用二项式定理求解．【自主解答】 (1)法一 (3x ＋1x )4 ＝(3x )4＋C 14(3x )31x ＋C 24(3x )2(1x)2＋ C 34(3x )(1x )3＋C 44(1x)4 ＝81x 2＋108x ＋54＋12x ＋1x2. 法二 (3x ＋1x )4＝(3x ＋1x)4＝1x 2(1＋3x )4 ＝1x2[1＋C 143x ＋C 24(3x )2＋C 34(3x )3＋C 44(3x )4] ＝1x 2(1＋12x ＋54x 2＋108x 3＋81x 4)。

2017-2018学年高中数学北师大版选修2-3教学案：第一章5第一课时二项式定理含解析

§5二项式定理第一课时二项式定理错误!（a＋b)2＝a2＋2ab＋b2;（a＋b)3＝a3＋3a2b＋3ab2＋b3；(a＋b）4＝a4＋4a3b＋6a2b2＋4ab3＋b4；(a＋b)5＝a5＋5a4b＋10a3b2＋10a2b3＋5ab4＋b5.根据上述规律归纳出（a＋b）n（n∈N＋,n≥2）的展开式，并思考下列问题．问题1:（a＋b)n展开式中共有多少项?提示：n＋1项．问题2：（a＋b）n展开式中系数有什么特点？提示:依次为组合数C错误!，C错误!,C错误!，…,C错误!。

问题3：（a＋b）n展开式中每项的次数有什么特点？项的排列有什么规律？提示：每一项的次数和是一样的，都是n次，并且是按a的降幂排列，b的升幂排列．二项式定理二项式定理（a＋b)n＝C错误!a n＋C错误!a n－1b＋…＋C错误!a n－r b r＋…＋C错误!b n叫作二项式定理二项展开式公式右边的式子叫作（a＋b）n的二项展开式二项式系数各项的系数C错误!（r＝0，1，2，…，n）叫作二项式系数二项展开式的通项式中C错误!a n－r b r叫作二项展开式的通项在二项式定理中，若a＝1，b＝x，则（1＋x）n＝1＋C1，n x＋C错误! x2＋…＋C r，n x r＋…＋x n.（1)(a＋b）n的展开式中共有n＋1项,字母a的幂指数按降幂排列,字母b的幂指数按升幂排列,每一项的次数和为n.（2）通项公式T r＋1＝C错误!a n－r b r是第r＋1项而不是r项．错误!二项式定理的正用、逆用［例1］（1）求错误!4的展开式；（2）化简(x－1）5＋5(x－1）4＋10(x－1)3＋10（x－1)2＋5（x－1)．［思路点拨] （1)直接运用公式将其展开，也可先变形,后展开；（2)根据所给式子的形式，考虑逆用二项式定理．[精解详析] （1）法一：错误!4＝C04（3x)4＋C14（3x)3·错误!＋C错误!(3错误!)2·错误!2＋C错误!(3错误!）·错误!3＋C错误!·错误!4＝81x2＋108x＋54＋12x＋错误!。

2017-2018学年高二数学选修2-3教学案：1.5.1 二项式定理

1．5.1二项式定理[对应学生用书P19]问题1：我们在初中学习了(a＋b)2＝a2＋2ab＋b2，试用多项式的乘法推导(a＋b)3，(a＋b)4的展开式．提示：(a＋b)3＝a3＋3a2b＋3ab2＋b3，(a＋b)4＝a4＋4a3b＋6a2b2＋4ab3＋b4.问题2：上述两个等式的右侧有何特点？提示：展开式中的项数是n＋1项，每一项的次数为n.问题3：你能用组合的观点说明(a＋b)4是如何展开的吗？提示：因(a＋b)4＝(a＋b)(a＋b)(a＋b)(a＋b)．由多项式乘法法则知，从四个a＋b中选a 或选b是任意的．若有一个选b，则其余三个都选a，其方法有C14种，式子为C14a3b；若有两个选b，则其余两个选a，其方法有C24种，式子为C24a2b2.问题4：能用类比方法写出(a＋b)n(n∈N*)的展开式吗？提示：能，(a＋b)n＝C0n a n＋C1n a n－1b＋…＋C n n b n.1．二项式定理公式(a＋b)n＝C0n a n＋C1n a n－1b＋…＋C r n a n－r b r＋…＋C n n b n(n∈N*)，叫做二项式定理，右边的多项式叫做(a＋b)n的二项展开式，它一共有n＋1项．2．二项展开式的通项C r n a n－r b r叫做二项展开式的第r＋1项(也称通项)，用T r＋1表示，即T r＋1＝C r n a n－r b r.3．二项式系数C r n(r＝0,1,2，…，n)叫做第r＋1项的二项式系数．1．(a＋b)n中，n∈N*，a，b为任意实数．2．二项展开式中各项之间用“＋”连接．3．二项式系数依次为组合数C0n，C1n，…，C r n，…，C n n.4．(a＋b)n的二项展开式中，字母a的幂指数按降幂排列，从第一项开始，次数由n逐次减1直到0；字母b的幂指数按升幂排列，从第一项开始，次数由0逐次加1直到n.[对应学生用书P19][例1] (1)(a ＋2b )4；(2)⎝⎛⎭⎫2x －32x 25. [思路点拨] 可直接利用二项式定理展开，对于(2)也可以先化简再展开． [精解详析] (1)根据二项式定理(a ＋b )n ＝C 0n a n ＋C 1n a n －1b ＋…＋C r n a n －r b r ＋…＋C n n b n，得(a ＋2b )4＝C 04a 4＋C 14a 32b ＋C 24a 2(2b )2＋C 34a (2b )3＋C 44(2b )4＝a 4＋8a 3b ＋24a 2b 2＋32ab 3＋16b 4.(2)法一：⎝⎛⎭⎫2x －32x 25＝C 05(2x )5＋C 15(2x )4⎝⎛⎭⎫－32x 2＋C 25(2x )3⎝⎛⎭⎫－32x 22＋C 35(2x )2⎝⎛⎭⎫－32x 23＋C 45(2x )·⎝⎛⎭⎫－32x 24＋C 55⎝⎛⎭⎫－32x 25 ＝32x 5－120x 2＋180x －135x 4＋4058x 7－24332x 10.法二：⎝⎛⎭⎫2x －32x 25＝(4x 3－3)532x 10＝132x 10[C 05(4x 3)5＋ C 15(4x 3)4·(－3)＋…＋C 45(4x 3)·(－3)4＋C 55·(－3)5] ＝132x10(1 024x 15－3 840x 12＋5 760x 9－4 320x 6＋1 620x 3－243) ＝32x 5－120x 2＋180x －135x 4＋4058x 7－24332x10.[一点通] 形式简单的二项式展开时可直接由二项式定理展开，展开时注意二项展开式的特点：前一个字母是降幂，后一个字母是升幂．含负号的二项展开式形如(a －b )n 的展开式中会出现正负间隔的情况．1．写出(1＋2x )4的展开式．解：(1＋2x )4＝C 04×14×(2x )0＋C 14×13×(2x )1＋C 24×12×(2x )2＋C 34×11×(2x )3＋C 44×10×(2x )4＝1＋8x ＋24x 2＋32x 3＋16x 4. 2．求⎝⎛⎭⎫x －12x 4的展开式．解：法一：⎝⎛⎭⎫x －12x 4＝C 04()x 4－C 14()x 3·12x＋C 24(x )2·⎝⎛⎭⎫12x 2－C 34x ·⎝⎛⎭⎫12x 3＋C 44⎝⎛⎭⎫12x 4＝x 2－2x ＋32－12x ＋116x 2. 法二：⎝⎛⎭⎫x －12x 4＝⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －12x 4＝116x2(2x －1)4 ＝116x2(16x 4－32x 3＋24x 2－8x ＋1) ＝x 2－2x ＋32－12x ＋116x 2.[例2] 已知二项式⎝⎭⎫x 2＋12x 10.(1)求展开式中的第5项； (2)求展开式中的常数项．[思路点拨] (1)直接利用通项公式求解； (2)利用通项公式T r ＋1＝C r n an －r b r ⎝⎛⎭⎫a ＝x 2，b ＝12x ，设第r ＋1项为常数项，令x 的指数等于0即可求出r .[精解详析] (1)⎝⎛⎭⎫x 2＋12x 10的展开式的第5项为T 5＝C 410·(x 2)6·⎝⎛⎭⎫12x 4＝C 410·⎝⎛⎭⎫124· x 12·⎝⎛⎭⎫1x 4＝1058x 10. (2)设第r ＋1项为常数项，则T r ＋1＝C r 10·(x 2)10－r ·⎝⎛⎭⎫12x r ＝C r 10·x 20－52r ·⎝⎛⎭⎫12r(r ＝0,1,2，…，10)，令20－52r ＝0，得r ＝8，所以T 9＝C 810·⎝⎛⎭⎫128＝45256，即第9项为常数项，其值为45256.[一点通](1)二项展开式的通项T r ＋1＝C r n an －r b r表示二项展开式中的任意项，只要n 与r 确定，该项也随之确定．对于一个具体的二项式，通项T r ＋1依赖于r ，公式中的二项式的第一个量a 与第二个量b 的位置不能随便交换，且它们的指数和一定为n .(2)利用二项式的通项公式求二项展开式中具有某种特征的项是关于二项式定理的一类典型题型．常见的有求二项展开式中的第r 项、常数项、含某字母的r 次方的项等．其通常解法就是根据通项公式确定T r ＋1中r 的值或取值范围以满足题设的条件．3．(x －2y )6 展开式中的第4项为________．解析：由二项展开式的通项得，(x －2y )6展开式中的第4项为C 36x6－3·(－2y )3＝－160x 3y 3. 答案：－160x 3y 34．二项式⎝⎛⎭⎫x 3＋1x 2n 的展开式中含有非零常数项，则正整数n 的最小值为________．解析：二项展开式的通项是T r ＋1＝C r n x 3n －3r x －2r ＝C r n x 3n －5r，令3n －5r ＝0，得n ＝5r 3(r ＝0,1,2，…，n )，故当r ＝3时，n 有最小值5.答案：55．求⎝ ⎛⎭⎪⎫x －124x 8的展开式中的有理项．解：⎝⎛⎭⎪⎫x －124x 8的展开式的通项为T r ＋1＝C r 8(x )8－r⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫－124x r ＝⎝⎛⎭⎫－12r C r 8x 16－3r 4(r ＝0,1,2，…，8)，为使T r ＋1为有理项，r 必须是4的倍数，所以r ＝0,4,8，故共有3个有理项，分别是T 1＝⎝⎛⎭⎫－120C 08x 4＝x 4， T 5＝⎝⎛⎭⎫－124C 48x ＝358x ，T 9＝⎝⎛⎭⎫－128C 88x －2＝1256x 2.[例3] 已知二项式⎝⎛⎭⎫3x －23x 10. (1)求展开式中第4项的二项式系数；(2)求展开式中第4项的系数．[思路点拨] 利用二项式的通项直接求第4项的二项式系数及第4项的系数． [精解详析] ⎝⎛⎭⎫3x －23x 10的二项展开式的通项是 T r ＋1＝C r 10()3x 10－r ·⎝⎛⎭⎫－23x r (r ＝0,1，…，10)． (1)第4项的二项式系数为C 310＝120. (2)第4项的系数为C 31037⎝⎛⎭⎫－233＝－77 760. [一点通] 要注意区分二项式系数与指定某一项的系数的差异，前者只与二项式的指数及项数有关，与二项式无关，它是一个组合数C r n ；后者与二项式、二项式的指数及项的字母和系数均有关．6．(x －1)－(x －1)2＋(x －1)3－(x －1)4＋(x －1)5的展开式中，x 2的系数等于________．解析：x 2的系数是四个二项展开式中4个含x 2的系数和，则有－C 02(－1)0＋C 13(－1)1－C 24(－1)2＋C 35(－1)3＝－(C 02＋C 13＋C 24＋C 35)＝－20.答案：－207．在二项式(1－x 2)20的展开式中，第4r 项和第r ＋2项的二项式系数相等，则r ＝________.解析：第4r 项与第r ＋2项的二项式系数分别为C 4r －120和C r ＋120，由题设得C 4r －120＝C r ＋120.由组合数性质得4r －1＝r ＋1或4r －1＝20－(r ＋1)． 4r －1＝r ＋1没有整数解．由4r －1＝20－(r ＋1)，得r ＝4，所以r ＝4. 答案：48．求(2x 2＋1x)9的展开式中第3项的二项式系数及第4项的系数．解：通项公式为T r ＋1＝C r 9(2x 2)9－r ·⎝⎛⎭⎫1x r ＝29－r ·C r 9x 18－3r ，故第3项的二项式系数为C 29＝36，第4项的系数为 26C 39＝5 376.1．求二项展开式特定项的一般步骤2.求二项展开式的特定项应注意的问题通项公式的主要作用是求展开式中的特定项，常见的题型有：①求第r 项；②求含x r (或x p y q )的项；③求常数项；④求有理项．其中求有理项时一般根据通项公式所得到的项，其所有的未知数的指数恰好都是整数的项．解这类问题必须合并通项公式中同一字母的指数，根据具体要求，令其属于整数，再根据整数的整除性来求解．另外，若通项中含有根式，一般把根式化为分数指数幂，以减少计算中的错误．3．二项式系数与项的系数的区别二项式系数C r n 与展开式中对应项的系数不一定相等，二项式系数一定为正，而项的系数有时可以为负．[对应课时跟踪训练(八)]一、填空题1．(a ＋2b )10展开式中第3项的二项式系数为________．解析：第3项的二项式系数为C 210＝10！8！×2！＝45.答案：452．(四川高考改编)在x (1＋x )6的展开式中，含x 3项的系数为________．解析：只需求(1＋x )6的展开式中含x 2项的系数即可，而含x 2项的系数为C 26＝15. 答案：153．二项式⎝⎛⎭⎫x 3－1x 25的展开式中的常数项为________．解析：∵T r ＋1＝C r 5(－1)r x 15－5r，令15－5r ＝0，∴r ＝3. 故展开式中的常数项为C 35(－1)3＝－10.答案：－104．若(x ＋1)n ＝x n ＋…＋ax 3＋bx 2＋nx ＋1(n ∈N *)，且a ∶b ＝3∶1，那么n ＝________.解析：a ＝C n －3n ，b ＝C n －2n，又∵a ∶b ＝3∶1，∴C n －3n C n －2n ＝C 3n C 2n ＝31，即n (n －1)(n －2)·26n (n －1)＝3，解得n ＝11.答案：115.⎝⎛⎭⎫x 2＋1x 9的展开式中有理项共有________项．(用数作答) 解析：由T r ＋1＝C r 9(x 2)9－r ⎝⎛⎭⎫1x r ＝C r 9x 18－3r, 依题意需使18－3r 为整数，故18－3r ≥0，r ≤6，即r ＝0,1,2,3,4,5,6共7项．答案：7 二、解答题6．求()x －2y 37的第4项，指出第4项的二项式系数与第4项的系数分别是什么？解：∵T 4＝C 37()x 7－3(－2y 3)3＝C 37x 2(－2)3y 9＝－280x 2y 9，∴第四项的二项式系数为C 37＝35，第四项的系数为－280. 7．若⎝⎛⎭⎫x －a x 26展开式的常数项为60，则常数a 的值．解：二项式⎝⎛⎭⎫x －a x 26展开式的通项公式是T r ＋1＝C r 6x 6－r ()－a r x －2r ＝C r 6x6－3r()－a r . 当r ＝2时，T r ＋1为常数项，即常数项是C 26a ，根据已知C 26a ＝60，解得a ＝4.8．已知⎝⎛⎭⎫x ＋12x n的展开式中，前三项的系数成等差数列，求展开式中含x 项的系数及二项式系数．解：⎝⎛⎭⎫x ＋12x n展开式的通项公式为 T r ＋1＝C r n ·()x n －r ⎝⎛⎭⎫12x r ＝⎝⎛⎭⎫12r C r n x n －2r2.由题意知，C 0n ，12C 1n ，14C 2n 成等差数列，则C 1n ＝C 0n ＋14C 2n ，即n 2－9n ＋8＝0，解得n ＝8或n ＝1(舍去)．∴T r ＋1＝⎝⎛⎭⎫12r C r 8x 4－r .令4－r ＝1，得r ＝3.∴含x 项的系数为⎝⎛⎭⎫123C 38＝7，二项式系数为C 38＝56.。

数学(北师大版选修2-3)课件1.5.1二项式定理

(2)原式＝C0n(x＋1)n＋C1n(x＋1)n－1(－1)＋C2n(x＋1)n－2(－1)2 ＋…＋Cnr (x＋1)n－r(－1)r＋…＋Cnn(－1)n＝[ (x＋1)＋(－1)] n＝xn．
二项式系数与项的系数
(1)求二项式2
x－1x6 的展开式中第
6
项的二项式
系数和第 6 项的系数；
(2)求x－1x9 的展开式中 x3 的系数．
第一章计数原理
§ 5 二项式定理
5．1 二项式定理
学习目标
重点难点
1.理解二项式定理是代数乘法公式
的推广．
1.重点是二项式定理、
2．掌握二项式定理，并能利用计数推导及通项公式．
原理证明二项式定理．
2．难点是利用计数原
3．会用二项式定理解决与二项式展理推导出二项展开式.
开式有关的简单问题.
阅读教材：5.1二项式定理的有关内容，完成下列问题． 1．二项式定理一般地，对于任意正整数n，都有(a＋b)n＝ _C_0n_a_n＋__C_1n_a_n_－_1b_＋__…__＋__C__rna_n_－_r_b_r＋__…__＋__C_nn_b_n_____(n∈N＋)．这个公式称为二项式定理．等号右边的多项式称为(a＋b)n 的二项展开式，(a＋b)n的二项展开式共有n＋1项，其中各项的系数_C_nr___(r＝0,1,2，…，n)称为二项式系数．
1．(1)求(x＋2y)4 的展开式；
(2)
化
简：
C0n(x
＋
1)n
－C
1 n
(x＋
1)n
－
1＋
C2n
(x
＋
1)n
－2
－
…
＋(

高中数学北师大版选修2-3同步导学案1.5.1 二项式定理

§二项式定理二项式定理．能用计数原理证明二项式定理．(难点)．会用二项式定理解决与二项展开式有关的简单问题．(难点)[基础·初探] 教材整理二项式定理阅读教材～“例”以上部分，完成下列问题．．二项式定理：(＋)＝.【答案】＋－＋…＋－＋…＋．二项式系数：.【答案】(＝，…，)．二项式通项：，即二项展开式的第项．【答案】－＋．在二项式定理中，如果设＝，＝，则得到公式：(＋)＝.【答案】＋＋＋…＋＋…＋判断(正确的打“√”，错误的打“×”)()(＋)展开式中共有项．( )()在公式中，交换，的顺序对各项没有影响．( )()－是(＋)展开式中的第项．( )()(－)与(＋)的二项式展开式的二项式系数相同．( )【解析】()×因为(＋)展开式中共有＋项．()×因为二项式的第＋项－和(＋)的展开式的第＋项－是不同的，其中的，是不能随便交换的．()×因为－是(＋)展开式中的第＋项．()√因为(－)与(＋)的二项式展开式的二项式系数都是.【答案】()×()×()×()√[质疑·手记]预习完成后，请将你的疑问记录，并与“小伙伴们”探讨交流：疑问：解惑：疑问：解惑：疑问：解惑：[小组合作型]()()化简：(＋)－(＋)－＋(＋)－－…＋(－)(＋)－＋…＋(－).【精彩点拨】()二项式的指数为，且为两项的和，可直接按二项式定理展开；()可先把＋看成一个整体，分析结构形式，逆用二项式定理求解．【自主解答】()＝()＋()·＋…＋＝－＋－＋－.()原式＝(＋)＋(＋)－(－)＋(＋)－(－)＋…＋(＋)－(－)＋…＋(－)＝[(＋)＋(－)]＝.．展开二项式可以按照二项式定理进行．展开时注意二项式定理的结构特征，准确理解二项式的特点是展开二项式的前提条件．．对较复杂的二项式，有时先化简再展开会更简便．．对于化简多个式子的和时，可以考虑二项式定理的逆用．对于这类问题的求解，要熟悉公式的特点、项数，各项幂指数的规律以及各项的系数．[再练一题]．()求的展开式；。

北师大版高中数学选修2-3：第一章第5节《二项式定理》教案

教材内容:选修2-3第一章第五节《二项式定理》教学目标1.知识与技能：（1）通过利用计数原理证明二项式定理；（2）理解并掌握二项式定理及二项式展开式，并能简单应用.（3）能区分二项式系数与二项式展开式项的系数。

2.过程与方法：通过学生参与和探究二项式定理的形成过程，培养学生观察、分析、类比、概括的能力，以及化归的意识与知识迁移的能力，体会从特殊到一般的思维方式，并形成从特殊到一般的归纳，然后证明，最后再应用的思想意识。

3. 情感、态度与价值观：培养学生的自主探究意识、创新精神，体验二项式定理的发现和创造历程，体会数学语言的简洁和严谨。

二、教学重点、难点重点：理解用计数原理分析(a+b)2、(a+b)3、(a+b)4的展开式的形成过程，并依此方法得到二项展开式。

推导出二项式定理，二项展开式的通项公式，区别二项式系数及项的系数。

难点：①二项展开式中会有哪几种类型的项？②展开式中各项的系数如何确定？一、情境设置提供一段父女对话视频，将《二项式定理》的实际应用之整除问题抛，并希望在这堂课中揭晓答案。

引起学生注意，在接下课程中要学习的内容与应用。

二、复习引导计数原理：分类计数与分步计数（a+b ）2的计算结果，分类计数原理：第一类，都取a ，1种；第二类，取不同，2种；第三类，都取b ，1种；共4种。

分步计数原理:第一步，第一次取数有两种方法；第二步，第二次取数有两种方法，所以一共22=4种.三、类比推理（a+b ）3展开并整理后有多少项？展开过程如何？分步记数原理：222=8分类记数原理：第一类，三次都不取b ，种；第二类，任一次取b,其他两次取a,种；第三类，任两次取b,其他一次取a,种；第四类，全都取b ，种，即共种.4项。

谁能最快写出（a+b ）4展开整理后的多项式，并说出各项系数和？四、突破新知（a+b ）n 展开并整理后，有哪些项？怎么得到？=+n b a )(n n n r r n r n n n n n b C b a C b a C a C +⋅⋅⋅++⋅⋅⋅++--110思考：二项式展开式中二项式系数、各项次数规律、项数规律、通项(r =0,1,2,…,n )公式。

2020-2021学年北师大版数学选修2-3学案：1.5.1 二项式定理 Word版含解析

§5 二项式定理 5．1 二项式定理授课提示：对应学生用书第19页[自主梳理]二项式定理二项式定理概念公式(a ＋b )n ＝________________________(n ∈N *)叫作二项式定理二项式系数r ＋1项的二项式系数C r n (r ＝0,1,2，…，n )二项式通项 C r n an －r b r叫作二项展开式的第________项(也称通项)，用T r ＋1表示，即T r ＋1＝C r n ·a n －r ·b r 二项展开式 C 0n a n ＋C 1n ·a n －1·b ＋…＋C r n an －r ·b r ＋…＋C n n ·b n [双基自测]1．设P ＝1＋5(x ＋1)＋10(x ＋1)2＋10(x ＋1)3＋5(x ＋1)4＋(x ＋1)5，则P 等于( ) A ．x 5 B ．(x ＋2)5 C ．(x －1)5D ．(x ＋1)52.⎝⎛⎭⎫2x －1x 25的二项展开式为________． [自主梳理]C 0n a n ＋C 1n a n －1b ＋…＋C r n a n －r b r ＋…＋C n nb n r ＋1 [双基自测]1．B P ＝C 05·15·(x ＋1)0＋C 15·14·(x ＋1)1＋C 25·13·(x ＋1)2＋C 35·12·(x ＋1)3＋C 45·1·(x ＋1)4＋C 55·10·(x ＋1)5＝(1＋x ＋1)5＝(x ＋2)5.2．32x 5－80x 2＋80x －40x 4＋10x 7－1x 10 ⎝⎛⎭⎫2x －1x 25＝C 05(2x )5－C 15(2x )4·1x 2＋C 25(2x )3·⎝⎛⎭⎫1x 22－C 35(2x )2·⎝⎛⎭⎫1x 23＋C 45(2x )·⎝⎛⎭⎫1x 24－C 55·⎝⎛⎭⎫1x 25＝32x 5－80x 2＋80x －40x 4＋10x 7－1x 10.授课提示：对应学生用书第20页探究一二项式定理的正用、逆用[例1] (1)求(3 x ＋1x)4的展开式； (2)化简(x －1)5＋5(x －1)4＋10(x －1)3＋10(x －1)2＋5(x －1)． [解析] (1)解法一 (3 x ＋1x)4 ＝C 04(3 x )4＋C 14(3 x )3·1x ＋C 24(3 x )2·(1x )2＋C 34(3 x )·(1x )3＋C 44·(1x )4 ＝81x 2＋108x ＋54＋12x ＋1x 2.解法二 (3 x ＋1x )4＝(3x ＋1)4x 2＝1x 2(81x 4＋108x 3＋54x 2＋12x ＋1) ＝81x 2＋108x ＋54＋12x ＋1x2.(2)原式＝C 05(x －1)5＋C 15(x －1)4＋C 25(x －1)3＋C 35(x －1)2＋C 45(x －1)＋C 55(x －1)0－1＝[(x －1)＋1]5－1＝x 5－1.1．熟练掌握二项式(a ＋b )n 的展开式，是解答好与二项式有关问题的前提条件．当二项式较复杂时，可先将式子化简，然后再展开．2．逆用二项式定理可将多项式化简，对于这类问题的求解，要熟悉公式的特点、项数、各项幂指数的规律以及各项的系数．1．化简(2x ＋1)5－5(2x ＋1)4＋10(2x ＋1)3－10(2x ＋1)2＋5(2x ＋1)－1.解析：原式＝C 05(2x ＋1)5－C 15(2x ＋1)4＋C 25(2x ＋1)3－C 35(2x ＋1)2＋C 45(2x ＋1)－C 55(2x ＋1)0＝(2x ＋1－1)5＝(2x )5＝32x 5.探究二求二项展开式中的特定项[例2] 求(x －3x )9展开式中的有理项． [解析] 二项式的展开式的通项为 T r ＋1＝C r 9(x 12)9－r (－x 13)r ＝(－1)r C r9x 27－r 6. 令27－r6∈Z ，且r ＝0,1,2，…，9. 得r ＝3或r ＝9.当r ＝3时，T 4＝(－1)3C 39x 4＝－84x 4.当r ＝9时，T 10＝(－1)9C 99x 3＝－x 3.所以(x －3x )9展开式中的有理项是：第4项，－84x 4；第10项，－x 3.二项式中的特定项(1)常数项二项展开式的某一项为常数项，就是这项中不含“变元”，一般采用令通项中变元的指数为零的方法求得．(2)有理项求展开式的有理项，应写出它的通项公式，令未知量的指数为整数，便能求出适合题意的有理项．(3)中间项对于展开式的中间项，若n 是偶数，则二项展开式的中间项为第n2＋1项；若n 是奇数，则二项展开式的中间项有两项：第n ＋12项和第n ＋12＋1项．2．已知(x －124x)n 的展开式中，前三项系数的绝对值依次成等差数列．(1)证明：展开式中没有常数项； (2)求展开式中所有有理项．解析：依题意，前三项系数的绝对值分别是 1，C 1n (12)，C 2n (12)2，且2C 1n ×12＝1＋C 2n(12)2，即n 2－9n ＋8＝0，解得n ＝8(n ＝1舍去)，T r ＋1＝C r 8(x )8－r (－124x )r ＝(－12)r C r 8x 8－r 2x －r 4 ＝(－1)r C r 82r x 16－3r 4.(1)证明：若T r ＋1为常数项，当且仅当16－3r 4＝0，即3r ＝16，∵r ∈N ，∴这不可能，∴展开式中没有常数项．(2)若T r＋1为有理项，当且仅当16－3r4为整数．∵0≤r≤8，r∈N，∴r＝0,4,8，即展开式中的有理项共有三项，它们是T1＝x4，T5＝358x，T9＝1256x－2.探究三二项式系数与项的系数[例3]已知在(3x－123x)n的展开式中，第5项的二项式系数与第3项的二项式系数的比是14∶3.(1)求n的值；(2)求含x2的项的系数；(3)求展开式中所有的有理项．[解析](1)依题意，得C4n∶C2n＝14∶3.化简，得(n－2)·(n－3)＝56.解得n＝10或n＝－5(不合题意，舍去)，∴n的值为10.(2)通项为T r＋1＝C r10x10－r3(－12)r x－r3＝C r10(－12)r x10－2r3(r＝0,1，…，10)．令10－2r3＝2，得r＝2.∴所求的系数为C210·(－12)2＝454.(3)由题意，得⎩⎪⎨⎪⎧10－2r3∈Z，0≤r≤10，r∈Z，∴r＝2,5,8.∴第3项、第6项与第9项为有理项，它们分别为C210(－12)2x2，C510(－12)5，C810(－12)8x－2.二项式系数与系数的区别前者只与二项式的指数及第几项有关，与二项式无关，它是一个组合数C r n；后者与二项式、二项式的指数及项中字母的系数均有关．3．已知二项式⎝⎛⎭⎫3x －23x 10. (1)求展开式中第4项的二项式系数； (2)求展开式中第4项的系数．解析：⎝⎛⎭⎫3x －23x 10的二项展开式的通项是T k ＋1＝C k 10(3x )10－k ⎝⎛⎭⎫－23x k (k ＝0,1，…，10)． (1)第4项的二项式系数为C 310＝120. (2)第4项的系数为C 31037⎝⎛⎭⎫－233＝－77 760.转化思想在多项展开式中的应用[典例] 求(1＋x ＋x 2)8展开式中x 5的系数．[解析] 解法一 (1＋x ＋x 2)8＝[1＋(x ＋x 2)]8，所以T r ＋1＝C r 8(x ＋x 2)r ，则x 5的系数由(x ＋x 2)r来决定，T ′k ＋1＝C k r x r －k x 2k ＝C k r xr ＋k，令r ＋k ＝5，解得⎩⎪⎨⎪⎧ r ＝5，k ＝0，或⎩⎪⎨⎪⎧ r ＝4，k ＝1，或⎩⎪⎨⎪⎧r ＝3，k ＝2.所以展开式中x 5的系数为C 58·C 05＋C 48·C 14＋C 38·C 23＝504.解法二 (1＋x ＋x 2)8＝[(1＋x )＋x 2]8＝C 08(1＋x )8＋C 18·(1＋x )7·x 2＋C 28(1＋x )6·(x 2)2＋C 38(1＋x )5·(x 2)3＋…＋C 78(1＋x )(x 2)7＋C 88(x 2)8，则展开式中x 5的系数为C 08·C 58＋C 18·C 37＋C 28·C 16＝504. 解法三 (1＋x ＋x 2)8＝(1＋x ＋x 2)(1＋x ＋x 2)…(1＋x ＋x 2)(共8个)，这8个因式中乘积展开式中形成x 5的来源有三个：(1)有2个括号各出1个x 2，其余6个括号恰有1个括号出1个x ，这种方式共有C 28·C 16种；(2)有1个括号出1个x 2，其余7个括号中恰有3个括号各出1个x ，共有C 18·C 37种； (3)没有1个括号出x 2，恰有5个括号各给出1个x ，共有C 58种．所以x 5的系数是C 28·C 16＋C 18·C 37＋C 58＝504.[感悟提高] 对于三项式展开或两个二项式乘积的展开问题，所用解法一般为二项式定理展开，或将三项式转化为二项式．(1)⎝⎛⎭⎫x 2＋1x 2－23的展开式为________． (2)⎝⎛⎭⎫a ＋1a 2＋110展开式中的常数项为________．解析：(1)因为x 2＋1x 2－2＝x 2－2＋1x 2＝⎝⎛⎭⎫x －1x 2，所以⎝⎛⎭⎫x 2＋1x 2－23＝⎝⎛⎭⎫x －1x 6＝C 06x 6＋C 16x 5⎝⎛⎭⎫－1x ＋C 26x 4⎝⎛⎭⎫－1x 2＋C 36x 3⎝⎛⎭⎫－1x 3＋C 46x 2⎝⎛⎭⎫－1x 4＋C 56x ⎝⎛⎭⎫－1x 5＋C 66⎝⎛⎭⎫－1x 6＝x 6－6x 4＋15x 2－20＋15x 2－6x 4＋1x 6.(2)因为⎝⎛⎭⎫a ＋1a 2＋110＝⎣⎡⎦⎤1＋⎝⎛⎭⎫a ＋1a 210，所以其通项为C r 10⎝⎛⎭⎫a ＋1a 2r(r ＝0,1，…，10)，要求原式中的常数项，则应先求出⎝⎛⎭⎫a ＋1a 2r 的展开式中的常数项．因为二项展开式的第k ＋1项为C k r a r －k ⎝⎛⎭⎫1a 2k ＝C k r a r －3k(k ＝0,1,2，…，r )，由题意，令r －3k ＝0，即r 是k 的3倍．又r ∈N ，且r ≤10，所以r ＝0,3,6,9，此时k ＝0,1,2,3.当r ＝0时，k ＝0，系数为C 010＝1；当r ＝3时，k ＝1，系数为C 13C 310＝360；当r ＝6时，k ＝2，系数为C 26C 610＝C 26C 410＝3 150；当r ＝9时，k ＝3，系数为C 39C 910＝C 39C 110＝840.所以原式的展开式中对应常数项为1＋360＋3 150＋840＝4 351. 答案：(1)x 6－6x 4＋15x 2－20＋15x 2－6x 4＋1x 6(2)4 351莘莘学子，最重要的就是不要去看远方模糊的，而要做手边清楚的事。

高中数学新北师大版精品教案《北师大版高中数学选修2-3 5.1二项式定理》6

《二项式定理》导学案【使用说明】阅读本节的内容，限时30分钟完成导学案：独立自学、合作交流、质疑探究。

【学习目标】知识：能用计数原理证明二项式定理，会用二项式定理解决与二项展开式有关的简单问题能力：初步培养学生有顺序地、全面地思考问题的意识。

情感：经历探索二项式定理推导的过程，感受数学的内在规律，发现数学的内在美，激发学生学好数学的信心。

【学习重点难点】重点：用计数原理分析2)(b a +的展开式，得到二项式定理。

难点：用计数原理分析二项式的展开过程，发现二项式展开成单项式之和时各项系数的规律。

【学习过程】一．独立自学问题引入：1664年冬，牛顿研读沃利斯博士的《无穷算术》… 探究=+n b a ）（？知识点一：二项式定理的证明：请用类比的方法，仿照已给出的3)(b a +的展开式方法，尝试给出4)(b a +的展开式 ))(())(()(223b a b ba ab a b a b a b a b a ++++=+++=+）（32222223b ab ab b a ab b a ba a +++++++= （用乘法法则展开）322333b ab b a a +++= （合并同类项）（1）3)(b a +是3个)(b a +相乘，展开式在未合并同类项前共有多少项？（2）3)(b a +展开式合并同类项后，其各项有哪些种形式？各项的次数都等于_________，（3）在3)(b a +展开式中，有几种情况相乘均可得到b a 2项？这里的字母b a ,各来自哪个括号？我们可以将此问题改编成一个排列组合的命题：有3个括号，每个括号中有两个字母，一个是a ，一个是b 每个括号只能取一个字母，从中任取两个a ，一个b ，然后相乘，共有多少种方法数？（4）请用类似的分析方法，求出下面二项展开式中的各项系数=++++=+))()()((4b a b a b a b a b a ）（ +4a +b a 3 +22b a +3ab 4b（5）根据以上展开式，你能猜想一下n b a )(+的展开式，并说明在此展开式中如何用到了分类计数原理和分步计数原理？=+n b a ）（ +n a +-b a n 1 +⋅⋅⋅+-22b a n +⋅⋅⋅+-r r n b a )(*N n b n ∈我们把上面的展开式叫二项式定理。

2018版高中数学北师大版选修2-3学案：第一章5.1二项式定理

C IIAH I R计数原理5二项式定理5.1 二项式定理［学习目标1 1•能用计数原理证明二项式定理2掌握二项式定理及其展开式的通项公式.3•会用二项式定理解决与二项展开式有关的简单问题.|f问题导学------------------------------知识点二项式定理思考1 我们在初中学习了(a+ b)2= a2+ 2ab+ b2,试用多项式的乘法推导(a + b)3, (a+ b)4 的展开式. 思考2上述两个等式的右侧有何特点?思考3能用类比方法写出(a + b)n(n€ N + )的展开式吗?二项式定理公式(a+ b)n= ，称为二项式定理二项展开式等号右边的式子叫作(a + b)n的二项展开式二项式系数各项的系数叫作二项式系数二项式通项式中叫作二项展开式的第r+1项，又叫作二项式通项在二项式定理中，若a= 1, b= x,则(1 + x)n= 1 + C^x+ Vx2+…+ c n x r+・・・ + x n.题型探究类型一二项式定理的正用、逆用1例1 (1)求(3 .x+ )4的展开式.引申探究1 5将本例(1)改为求(2x-孑)的展开式.⑵化简：c0(x+ 1)n-c n(x+ 1)n-1+ C2(x+ 1)n-2—…+ (—1)k c S(x+ 1)n-"+•••+ (—1)n C n反思与感悟(1)(a + b)n的二项展开式有n + 1项，是和的形式，各项的幕指数规律是：①各项的次数和等于n.②字母a按降幕排列，从第一项起，次数由n逐项减1直到0 ；字母b按升幕排列，从第一项起，次数由0逐项加1直到n.(2)逆用二项式定理可以化简多项式，体现的是整体思想•注意分析已知多项式的特点，向二项展开式的形式靠拢.跟踪训练 1 化简(2x + 1)5- 5(2x+ 1)4+ 10(2x+ 1)3- 10(2x+ 1)2+ 5(2x+ 1) —1.类型二二项展开式通项的应用命题角度1二项式系数与项的系数例2 已知二项式(3 X-鈔(1) 求展开式第4项的二项式系数；(2) 求展开式第4项的系数；⑶求第4项.反思与感悟⑴二项式系数都是组合数C n(r € {0,1,2 ,…，n}),它与二项展开式中某一项的系数不一定相等，要注意区分“二项式系数”与二项式展开式中“项的系数”这两个概念. (2)第r + 1项的系数是此项字母前的数连同符号，而此项的二项式系数为C n.例如，在(1 + 2x)7 的展开式中，第四项是T4= C717- 3(2x)3，其二项式系数是C?= 35,而第四项的系数是C323=280.跟踪训练2已知x- 2 n展开式中第三项的系数比第二项的系数大162.(1)求n的值；⑵求展开式中含x3的项，并指出该项的二项式系数.命题角度2展开式中的特定项已知在6项为常数项.(1)求n;⑵求含x2的项的系数；(3)求展开式中所有的有理项.反思与感悟(1)求二项展开式的特定项的常见题型①求第r 项，T r = C l- 1a n-r + 1b r-1.②求含x r的项(或x p y q的项).③求常数项.④求有理项.(2)求二项展开式的特定项的常用方法①对于常数项，隐含条件是字母的指数为②对于有理项，一般是先写出通项公式, 题必须合并通项公式中同一字母的指数，0(即0次项).其所有的字母的指数恰好都是整数的项. 解这类问根据具体要求，令其属于整数，再根据数的整除性来求解.③对于二项展开式中的整式项，其通项公式中同一字母的指数应是非负整数, 求解方式与求有理项一致.2⑵已知n 为等差数列一4, -2,0，…的第六项，则（x + ~）n 的二项展开式的常数项是 __________入当堂训练1. （x + 2）8的展开式中X 6的系数是（） A . 28B . 56 D . 224A . — 6B . — 3C . 3D . 64 . 1 —2C 1+ 4C 2 — 8C 3+ 16C 4+-+ (— 2)n C 的值为( )亠n n A . 1 B . — 1 C . (— 1) D . 35 . ( x +2)n 展开式第9项与第10项二项式系数相等，求 x 的一次项系数.规律与方法 -- --------------------------------跟踪训练3 （i ）若卜一a 9的展开式中 x 3的系数是一84,则a = C . 1122. 2 12二项式（x + X ）的展开式中的常数项是A .第6项B .第7项C .第8项D .第9项 3的展开式中含X 至的项的系数为30，则a 等于（3.已知求展开式的一些特殊项，通常都是由题意列方程求出计算时r，再求所需的某项；有时需先求要注意n和r的取值范围及它们之间的大小关系.问题导学知识点思考 1 (a + b)3= a 3+ 3a 2b + 3ab 2+ b 3, (a + b)4= a 4+ 4a 3b + 6a 2b 2+ 4ab 3+ b 4.思考2 (a + b)3的展开式有4项，每项的次数是 3; (a + b)4的展开式有5项，每一项的次数为4. 思考 3 能,(a + b)n = c ¥a n + C ?)a n 1b +…+ c S a n k b k +…+ C ：b n (n € N +).梳理 c S a n + c ]a n 1b +…+ C n a n r b r + …+ C ；b n C ；(r = 0,1,2,…,n)r n — r. r C n a b题型探究C ；&)4= 81x 2+ 108x + 54 +12+ X 2.1 4 1 12 23 34 4 1 2 3 4 1 -2(1 + 3x) = -2[1 + C 4 3x + C 4(3x) + C 4(3x) + C 4(3x) ] = -2(1 + 12x + 54x + 108x + 81x ) = ~2 + x x x x 12 2 ■+ 54 + 108x + 81x . x0 n1 n1 2 n22 k nkk(2)解原式=C n (x + 1) + C n (x + 1) — (— 1) + C n (x + 1) — ( — 1) + …+ C n (X + 1) — (— 1) + … + C n (— 1) = [(x + 1) + (— 1)] = X.引申探究解方法一 (2x —負)5= C 0(2x)5 - C 5(2x)4 X 2 + C 2(2X )3 (頁)2-C 5(2x)2 (負)3 + C ；(2x)(支)4 —5= 32x 5— 80x 2+ 80 — 40 + 10 —入. X X X X 方法二 (2x — 2)5= [X 2(2x 3— 1)]5=— -10(1 — 2x 3)5=—爲1 — C 5(2X 3)+ C^X 3)2— C 5(2x 3)3+ c 5X X X X 跟踪训练 1 解原式=C 0(2x + 1)5— C 1(2x + 1)4 + C 5(2x + 1)3— C 5(2x + 1)2+ C 4(2x + 1) — C 50 5 5 5(2x + 1)0= [(2x + 1) — 1]5= (2x)5= 32x 5.答案精析例1 (1)解方法 1 (3.X + x )4 = (3迄)4+ ^(3近)3(卡)+ C 4(3VX)2(±)2+ C ；(3VX)(卡)3 + 方法 1 4 3x + 14 (3 ― ■ X )=(2x 3)4- C 5(2x 3)5]=—十+ 乎 40 ―卩+ 80 2 5 —80x + 32x . x例 2 解(3：jx— 3X)10的展开式的通项是T r+1 = C lo(3r.Jx)10-r( —3X)r= 10」r_ r 10 r 2 r 2~C io3 —(—3) • 2(r = 0,1,2,…，10).(1)展开式的第4项(r = 3)的二项式系数为C lo= 120.⑵展开式的第4项的系数为C3o37( —|)3=—77 760.⑶展开式的第4项为T4= T3+1=—77 760,x. 跟踪训练2解(1)因为T3=C2(血n-2(-X；= 4C*X 2,T2=c n( .x)^1 — 2=—2C n x2,依题意得4c n+ 2C]= 162，所以2c n + c]= 81,所以n2= 81, n = 9.(2)设第r + 1项含x3项，则T r +1 =/ 、9_J3rc9(jx)9-r[— x；=(—D r c9x丁 ,9—3r所以七产=3, r = 1,所以第二项为含x3的项，T2=—2CX3=— 18x3.二项式系数为C1 = 9.例3解通项公式为T r+1 = C n x 3 ( —3) xn -2r=c n(—3)r x3.n —2r(1) •••第6项为常数项，.••当r = 5时，有= °，即卩n = 10.n —2r zo 1 ⑵令—=2,得r = 2(n —6) = 2,•••所求的系数为C?0( —3)2= 405.3 则 10— 2r = 3t ，即 k = 5 —空上. ••• r € Z ,「. t 应为偶数. 令 t = 2,0, — 2，即 k = 2,5,8. •••第3项，第6项与第9项为有理项，它们分别为 405X 2,— 61 236,295 245x 跟踪训练3 (1)1 (2)160 当堂训练 1. C 2.D 3.A 4.C 8 9 5.解由题意知，C n = C n . •- n = 17. 17 -r r 17 工 r • T r + 1 = C 17X 丁 2r -x^ = C 17 2r x 丁一3. =C ：7 即 T 10 = C ?7 29 x. 其一次项系数为C ?7 29. (3)由题意得, 『10 — 2r € 3 0< k w 10, | k € Z . 10 — 2r 3 =t(t € Z ), 17 — r 23 = 1，解得 r = 9. 3。

高中数学新北师大版精品教案《北师大版高中数学选修2-3 5.1二项式定理》8

二项式定理教学设计高中数学北师大版选修2-3 第一章计数原理 §5.1一、教学内容分析高考中二项式定理的试题几乎年年有，多数试题的难度也与课本习题相当，是容易题和中等难度的试题，考察的题型稳定，通常以选择题或填空题出现.二、教学目标 1. 知识与技能：（1）理解并掌握二项式定理，并能简单应用。

（2）能利用组合的方法证明二项式定理。

2. 过程与方法：通过学生参与和探究二项式定理的形成过程，培养学生观察、分析、概括的能力，以及化归的意识与方法迁移能力，体会从特殊到一般的思维方式。

3. 情感、态度与价值观：培养学生的自主探究意识，合作精神，体验二项式定理的发现和创造历程，体会数学语言的简洁和严谨.三、教学重点、难点重点：探究并归纳用组合数的方法得到展开式的形成过程，并由此得到二项式定理难点：1.展开式中的项的特点；2.展开式中各项系数的确定.四、教学过程（一）提出问题，引入课题引入：1.我们初中就接触过一些乘法分配律，如：()2b a +、()3b a +，那你们还记得这些式子的展开式是什么吗？ 2.()()()2222b ab a b a b a b a ++=++=+，()3b a +也可以由()()()b a b a b a ++=+23得到()3223333b ab b a a b a +++=+，那你们能快速的得到()4b a +展开式是什么吗？()nb a +的展开式又是什么？（二）引导探究，找出规律1.()2b a +展开过程的再认识.问题一：利用初中的乘法分配律()2b a +在展开的过程到底是怎么样的？问题二：()2b a +展开式在合并同类项之前共有几项？每一项是怎么构成的？学生思考回答后解答：问题一：()()()()()bb ba ab aa b a b b a a b a b a b a +++=+++=++=+2问题二：从上述过程可以发现，每一项都是两个字母的乘积，而它们分别来自两个不同的因式在合并同类项前，由分步乘法计数原理知它共有2×2=4项，而且每一项都形如()2,1,02=-r b a r r 问题三：那()2b a +的展开式能不能用排列组合的方法去取得能？老师引导，一起探究：22r r -02当1=r 时，ab b a r r =-2，意思是一个()b a +选b 另一个()b a +选a ，即212=C ，有两个ab当2=r 时，22b b a r r =-，意思是2个()b a +中都选b ，不选a ，即122=C 只有一个2b最终得到展开式()222221220222b ab a b C ab C a C b a ++=++=+2. 通过类比，总结()3b a +展开式的特征及推导展开式过程老师引导，学生总结：①从上述过程可以发现，每一项都是两个字母的乘积，而它们分别来自两个不同的因式在合并同类项前，由分步乘法计数原理知它共有2×2×2=8项，而且每一项都形如()3,2,1,03=-r b a r r30212233最终得到展开式()3223333b ab b a a b a +++=+思考()4b a +的展开式是什么？()nb a +呢？（三）形成定理，说明定理探究：仿照上述过程，推导()n b a +的展开式因为()nb a +是n 个因式()b a +的乘积，展开是可以每个因式中取b a 或，由乘法计数原理，共有n 2种取法，所以共有n 2项（包括同类项），每一项均为()3,2,1,03=-r b a r r 的形式。

高中数学北师大版选修2-3学案：1.5.2 二项式系数的性质 Word版含解析

5.2二项式系数的性质1．了解杨辉三角．2．掌握二项式系数的性质．(重点)3．会用赋值法求系数和．(难点)[基础·初探]教材整理二项式系数的性质阅读教材P26～P27“练习”以上部分，完成下列问题．1．杨辉三角的特点(1)在同一行中每行两端都是1，与这两个1等距离的项的系数________．(2)在相邻的两行中，除1以外的每一个数都等于它“肩上”的两个数的________，即C r n＋1＝________.【答案】(1)相等(2)和C r－1＋C r nn为偶数时，中间一项的二项式系数n1．已知(a ＋b )n 展开式中只有第5项的二项式系数最大，则n 等于( ) A ．11 B ．10 C ．9D ．8【解析】 ∵只有第5项的二项式系数最大， ∴n2＋1＝5，∴n ＝8. 【答案】 D2．如图1-5-1，在由二项式系数所构成的杨辉三角形中，第______行中从左至右第14个与第15个数的比为2∶3.图1-5-1【解析】由已知C 13nC 14n ＝23，即n ！(n －13)！·13！×(n －14)！·14！n ！＝23，化简得14n －13＝23，解得n ＝34. 【答案】 34[质疑·手记]预习完成后，请将你的疑问记录，并与“小伙伴们”探讨交流：疑问1：解惑：疑问2：解惑：疑问3：解惑：[小组合作型]的数组成一个锯齿形数列：1,2,3,3,6,4,10,5，….记其前n项和为S n，求S19的值．图1-5-2【精彩点拨】由图知，数列中的首项是C22，第2项是C12，第3项是C23，第4项是C13，……，第17项是C210，第18项是C110，第19项是C211.【自主解答】S19＝(C22＋C12)＋(C23＋C13)＋(C24＋C14)＋…＋(C210＋C110)＋C211＝(C12＋C13＋C14＋…＋C110)＋(C22＋C23＋…＋C210＋C211)＝(2＋3＋4＋…＋10)＋C312＝(2＋10)×92＋220＝274.“杨辉三角”问题解决的一般方法观察—分析；试验—猜想；结论—证明，要得到杨辉三角中蕴含的诸多规律，取决于我们的观察能力，观察能力有：横看、竖看、斜看、连续看、隔行看，从多角度观察．如表所示：[再练一题]1．(2016·南充高二检测)如图1-5-3所示，满足如下条件： ①第n 行首尾两数均为n ；②表中的递推关系类似“杨辉三角”．则第10行的第2个数是________，第n 行的第2个数是________．图1-5-3【解析】由图表可知第10行的第2个数为： (1＋2＋3＋…＋9)＋1＝46，第n 行的第2个数为：[1＋2＋3＋…＋(n －1)]＋1＝n (n －1)2＋1＝n 2－n ＋22.【答案】 46 n 2－n ＋22设(1012 2 017)． (1)求a 0＋a 1＋a 2＋…＋a 2 017的值； (2)求a 1＋a 3＋a 5＋…＋a 2 017的值； (3)求|a 0|＋|a 1|＋|a 2|＋…＋|a 2 017|的值．【精彩点拨】先观察所求式子与展开式各项的特点，利用赋值法求解．【自主解答】 (1)令x ＝1，得a 0＋a 1＋a 2＋…＋a 2 017＝(－1)2 017＝－1.① (2)令x ＝－1，得a 0－a 1＋a 2－…－a 2 017＝32 017.② ①－②得2(a 1＋a 3＋…＋a 2 017)＝－1－32 017， ∴a 1＋a 3＋a 5＋…＋a 2 017＝－1－32 0172.(3)∵T r ＋1＝C r 2 017(－2x )r ＝(－1)r·C r 2 017·(2x )r ， ∴a 2k －1＜0(k ∈N ＋)，a 2k ＞0(k ∈N ＋)． ∴|a 0|＋|a 1|＋|a 2|＋|a 3|＋…＋|a 2 017| ＝a 0－a 1＋a 2－a 3＋…－a 2 017＝32 017.1．解决二项式系数和问题思维流程．2．“赋值法”是解决二项展开式中项的系数常用的方法，根据题目要求，灵活赋给字母不同值．一般地，要使展开式中项的关系变为系数的关系，令x ＝0可得常数项，令x ＝1可得所有项系数之和，令x ＝－1可得偶次项系数之和与奇次项系数之和的差．[再练一题]2．已知(2x －1)10＝a 0＋a 1x ＋a 2x 2＋…＋a 9x 9＋a 10x 10，则a 2＋a 3＋…＋a 9＋a 10的值为( )A ．－20B ．0C ．1D ．20【解析】令x ＝1，得a 0＋a 1＋a 2＋…＋a 9＋a 10＝1，再令x ＝0，得a 0＝1，所以a 1＋a 2＋…＋a 9＋a 10＝0，又易知a 1＝C 910×21×(－1)9＝－20，所以a 2＋a 3＋…＋a9＋a10＝20.【答案】 D[探究共研型]探究1等距离的项的系数相等，你可以得到二项式系数的什么性质？【提示】对称性，因为C m n＝C n－mn，也可以从f(r)＝C r n的图象中得到．探究2计算C k nC k－1n，并说明你得到的结论．【提示】C k nC k－1n＝n－k＋1k.当k<n＋12时，C k nC k－1n>1，说明二项式系数逐渐增大；同理，当k>n＋12时，二项式系数逐渐减小．探究3二项式系数何时取得最大值？【提示】当n是偶数时，中间的一项取得最大值；当n是奇数时，中间的两项相等，且同时取得最大值．已知f(x)＝(3x2＋3x2)n展开式中各项的系数和比各项的二项式系数和大992.(1)求展开式中二项式系数最大的项；(2)求展开式中系数最大的项．【精彩点拨】求二项式系数最大的项，利用性质知展开式中中间项(或中间两项)是二项式系数最大的项；求展开式中系数最大的项，必须将x，y的系数均考虑进去，包括“＋”“－”号．【自主解答】令x＝1，则二项式各项系数的和为f(1)＝(1＋3)n＝4n，又展开式中各项的二项式系数之和为2n.由题意知，4n－2n＝992.∴(2n)2－2n－992＝0，∴(2n＋31)(2n－32)＝0，∴2n ＝－31(舍去)或2n ＝32，∴n ＝5.(1)由于n ＝5为奇数，所以展开式中二项式系数最大的项为中间两项，它们分别是T 3＝C 25()3(3x 2)2＝90x 6， T 4＝C 35()2(3x 2)3＝270.(2)展开式的通项公式为T r ＋1＝C r 53r ·．假设T r ＋1项系数最大，则有⎩⎨⎧C r 53r ≥C r －15·3r －1，C r 53r ≥C r ＋15·3r ＋1， ∴⎩⎪⎨⎪⎧5！(5－r )！r ！×3≥5！(6－r )！(r －1)！，5！(5－r )！r ！≥5！(4－r )！(r ＋1)！×3，∴⎩⎪⎨⎪⎧3r ≥16－r ，15－r ≥3r ＋1.∴72≤r ≤92，∵r ∈N ＋，∴r ＝4. ∴展开式中系数最大的项为T 5＝C 45(3x 2)4＝405.1．求二项式系数最大的项，根据二项式系数的性质，当n 为奇数时，中间两项的二项式系数最大；当n 为偶数时，中间一项的二项式系数最大．2．求展开式中系数最大项与求二项式系数最大项是不同的，需根据各项系数的正、负变化情况，一般采用列不等式组，解不等式的方法求得．[再练一题]3．已知(a 2＋1)n展开式中的各项系数之和等于⎝⎛⎭⎪⎫165x 2＋1x 5的展开式的常数项，而(a 2＋1)n 的展开式的系数最大的项等于54，求a 的值．【解】由⎝ ⎛⎭⎪⎫165x 2＋1x 5，得T r ＋1＝C r 5⎝⎛⎭⎪⎫165x 25－r ⎝ ⎛⎭⎪⎫1x r ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1655－r ·C r 5·，令T r ＋1为常数项，则20－5r ＝0，所以r ＝4，常数项T 5＝C 45×165＝16.又(a 2＋1)n 展开式中的各项系数之和等于2n ，由此得到2n ＝16，n ＝4.所以(a 2＋1)4展开式中系数最大项是中间项T 3＝C 24a 4＝54，所以a ＝±3.[构建·体系]1．(1＋x )2n ＋1的展开式中，二项式系数最大的项所在项数是( ) A ．n ，n ＋1 B ．n －1，n C ．n ＋1，n ＋2D ．n ＋2，n ＋3【解析】该展开式共2n ＋2项，中间两项为第n ＋1项与第n ＋2项，所以第n ＋1项与第n ＋2项为二项式系数最大的项．【答案】 C2．已知C 0n ＋2C 1n ＋22C 2n ＋…＋2n C n n ＝729，则C 1n ＋C 3n ＋C 5n 的值等于( )A ．64B ．32C ．63D ．31【解析】 C 0n ＋2C 1n ＋…＋2n C n n ＝(1＋2)n ＝3n＝729， ∴n ＝6，∴C 16＋C 36＋C 56＝32.【答案】 B3．若(x ＋3y )n 的展开式中各项系数的和等于(7a ＋b )10的展开式中二项式系数的和，则n 的值为________．【解析】 (7a ＋b )10的展开式中二项式系数的和为C 010＋C 110＋…＋C 1010＝210，令(x ＋3y )n 中x ＝y ＝1，则由题设知，4n ＝210，即22n ＝210，解得n ＝5.【答案】 54．已知(a －x )5＝a 0＋a 1x ＋a 2x 2＋…＋a 5x 5，若a 2＝80，则a 0＋a 1＋a 2＋…＋a 5＝________. 【导学号：62690023】【解析】 (a －x )5展开式的通项为T k ＋1＝(－1)k C k 5·a 5－k x k ，令k ＝2，得a 2＝(－1)2C 25a 3＝80，解得a ＝2，即(2－x )5＝a 0＋a 1x ＋a 2x 2＋…＋a 5x 5，令x ＝1，得a 0＋a 1＋a 2＋…＋a 5＝1.【答案】 15．在⎝ ⎛⎭⎪⎫x －2x 28的展开式中，(1)求系数的绝对值最大的项； (2)求二项式系数最大的项； (3)求系数最大的项； (4)求系数最小的项．【解】 T r ＋1＝C r 8(x )8－r ⎝ ⎛⎭⎪⎫－2x 2r ＝(－1)r C r 82r.(1)设第r ＋1项系数的绝对值最大．则⎩⎨⎧C r 8·2r≥C r ＋18·2r ＋1，C r 8·2r ≥C r －18·2r －1，∴⎩⎪⎨⎪⎧18－r ≥2r ＋1，2r ≥19－r .解得5≤r ≤6.故系数绝对值最大的项是第6项和第7项． (2)二项式系数最大的项为中间项，即为第5项．所以T 5＝C 48·24·＝1 120x －6.(3)由(1)知，展开式中的第6项和第7项系数的绝对值最大，而第6项的系数为负，第7项的系数为正．则系数最大的项为T 7＝C 68·26·x －11＝1 792x －11. (4)系数最小的项为 T 6＝(－1)5C 58·25＝－1 792.我还有这些不足：(1) (2)我的课下提升方案： (1) (2)学业分层测评(建议用时：45分钟)[学业达标]一、选择题1．在(a －b )20的二项展开式中，二项式系数与第6项的二项式系数相同的项是( )A ．第15项B ．第16项C ．第17项D ．第18项【解析】第6项的二项式系数为C 520，又C 1520＝C 520，所以第16项符合条件．【答案】 B2．(2016·吉林一中期末)已知⎝ ⎛⎭⎪⎫x 2＋1x n 的展开式的二项式系数之和为32，则展开式中含x 项的系数是( )A ．5B ．20C ．10D ．40【解析】根据题意，该二项式的展开式的二项式系数之和为32，则有2n ＝32，可得n ＝5，T r ＋1＝C r 5x 2(5－r )·x －r ＝C r 5x10－3r，令10－3r ＝1，解得r ＝3，所以展开式中含x 项的系数是C 35＝10，故选C. 【答案】 C3．设(1＋x ＋x 2)n ＝a 0＋a 1x ＋a 2x 2＋…＋a 2n x 2n ，则a 0＋a 2＋a 4＋…＋a 2n 等于( )A ．2nB.3n －12 C ．2n ＋1D.3n ＋12【解析】令x ＝1，得3n ＝a 0＋a 1＋a 2＋…＋a 2n －1＋a 2n ，① 令x ＝－1，得1＝a 0－a 1＋a 2－…－a 2n －1＋a 2n ，② ①＋②得3n ＋1＝2(a 0＋a 2＋…＋a 2n )， ∴a 0＋a 2＋…＋a 2n ＝3n ＋12.故选D. 【答案】 D4．(2016·信阳高二检测)已知(1＋2x )8展开式的二项式系数的最大值为a ，系数的最大值为b ，则ba 的值为( ) 【导学号：62690024】A.1285B.2567C.5125D.1287【解析】 a ＝C 48＝70，设b ＝C r 82r，则⎩⎨⎧C r 82r ≥C r －182r －1，C r 82r ≥C r ＋182r ＋1，得5≤r ≤6，所以b ＝C 6826＝C 2826＝7×28，所以b a ＝1285.故选A. 【答案】 A5．在(x －2)2 010的二项展开式中，含x 的奇次幂的项之和为S ，当x ＝2时，S 等于( )A ．23 015B ．－23 014C ．23 014D ．－23 008【解析】因为S ＝(x －2)2 010－(x ＋2)2 0102，当x ＝2时，S ＝－23 0152＝－23 014.【答案】 B 二、填空题6．若(1－2x )2 016＝a 0＋a 1x ＋…＋a 2 016x 2 016(x ∈R )，则a 12＋a 222＋…＋a 2 01622 016的值为________．【解析】令x ＝0，得a 0＝1.令x ＝12，得a 0＋a 12＋a 222＋…＋a 2 01622 016＝0，所以a 12＋a 222＋…＋a 2 01622 016＝－1.【答案】－17．若n 是正整数，则7n ＋7n －1C 1n ＋7n －2C 2n ＋…＋7C n －1n 除以9的余数是________．【解析】 7n ＋7n －1C 1n ＋7n －2C 2n ＋…＋7C n －1n ＝(7＋1)n －C n n ＝8n －1＝(9－1)n －1＝C 0n 9n (－1)0＋C 1n 9n －1(－1)1＋…＋C n n 90(－1)n －1，∴n 为偶数时，余数为0；当n 为奇数时，余数为7.【答案】 7或08．在“杨辉三角”中，每一个数都是它“肩上”两个数的和，它开头几行如图1-5-4所示．那么，在“杨辉三角”中，第________行会出现三个相邻的数，其比为3∶4∶5.第0行 1 第1行 1 1 第2行 1 2 1 第3行 1 3 3 1 第4行 1 4 6 4 1第5行 1 5 10 10 5 1图1-5-4【解析】根据题意，设所求的行数为n ，则存在正整数k ，使得连续三项C k －1n ，C k n ，C k ＋1n，有C k －1n C k n＝34且C k nC k ＋1n ＝45.化简得k n －k ＋1＝34，k ＋1n －k ＝45，联立解得k ＝27，n ＝62.故第62行会出现满足条件的三个相邻的数．【答案】 62 三、解答题9．已知(1＋2x －x 2)7＝a 0＋a 1x ＋a 2x 2＋…＋a 13x 13＋a 14x 14. (1)求a 0＋a 1＋a 2＋…＋a 14； (2)求a 1＋a 3＋a 5＋…＋a 13. 【解】 (1)令x ＝1，则a 0＋a 1＋a 2＋…＋a 14＝27＝128.① (2)令x ＝－1，则a 0－a 1＋a 2－a 3＋…－a 13＋a 14＝(－2)7＝－128.② ①－②得2(a 1＋a 3＋…＋a 13)＝256，所以a 1＋a 3＋a 5＋…＋a 13＝128.10．已知⎝ ⎛⎭⎪⎫14＋2x n 的展开式中前三项的二项式系数的和等于37.求展开式中二项式系数最大的项的系数．【解】由C 0n ＋C 1n ＋C 2n＝37，得1＋n ＋12n (n －1)＝37，得n ＝8.⎝ ⎛⎭⎪⎫14＋2x 8的展开式共有9项，其中T 5＝C 48⎝ ⎛⎭⎪⎫144(2x )4＝358x 4，该项的二项式系数最大，系数为358. [能力提升]1．若(2－x )10＝a 0＋a 1x ＋a 2x 2＋…＋a 10x 10，则(a 0＋a 2＋…＋a 10)2－(a 1＋a 3＋…＋a 9)2＝( )A ．1B ．－1C ．2D ．－2【解析】令x＝1，得a0＋a1＋a2＋…＋a10＝(2－1)10，令x＝－1，得a0－a1＋a2－a3＋…＋a10＝(2＋1)10，故(a0＋a2＋…＋a10)2－(a1＋a3＋…＋a9)2＝(a0＋a1＋a2＋…＋a10)(a0－a1＋a2－a3＋…＋a10)＝(2－1)10(2＋1)10＝1.【答案】 A2．把通项公式为a n＝2n－1(n∈N＋)的数列{a n}的各项排成如图1-5-5所示的三角形数阵．记S(m，n)表示该数阵的第m行中从左到右的第n个数，则S(10,6)对应于数阵中的数是()13 5791113151719……图1-5-5A．91 B．101C．106 D．103【解析】设这个数阵每一行的第一个数组成数列{b n}，则b1＝1，b n－b n－1＝2(n－1)，∴b n＝(b n－b n－1)＋(b n－1－b n－2)＋…＋(b2－b1)＋b1＝2[(n－1)＋(n－2)＋…＋1]＋1＝n2－n＋1，∴b10＝102－10＋1＝91，S(10,6)＝b10＋2×(6－1)＝101.【答案】 B3．(2016·孝感高级中学期中)若(x2＋1)(x－3)9＝a0＋a1(x－2)＋a2(x－2)2＋a3(x －2)3＋…＋a11(x－2)11，则a1＋a2＋a3＋…＋a11的值为________．【解析】令x＝2，得－5＝a0，令x＝3，得0＝a0＋a1＋a2＋a3＋…＋a11，所以a1＋a2＋a3＋…＋a11＝－a0＝5.【答案】 54．已知f(x)＝(1＋x)m＋(1＋2x)n(m，n∈N＋)的展开式中x的系数为11.(1)求x2的系数取最小值时n的值；(2)当x2的系数取得最小值时，求f(x)展开式中x的奇次项的系数之和.【导学号：62690025】【解】 (1)由已知C 1m ＋2C 1n ＝11，所以m ＋2n ＝11，x 2的系数为C 2m ＋22C 2n ＝m (m －1)2＋2n (n －1)＝m 2－m 2＋(11－m )·⎝ ⎛⎭⎪⎫11－m 2－1＝⎝ ⎛⎭⎪⎫m －2142＋35116. 因为m ∈N ＋，所以m ＝5时，x 2的系数取得最小值22，此时n ＝3. (2)由(1)知，当x 2的系数取得最小值时，m ＝5，n ＝3，所以f (x )＝(1＋x )5＋(1＋2x )3，设这时f (x )的展开式为f (x )＝a 0＋a 1x ＋a 2x 2＋a 3x 3＋a 4x 4＋a 5x 5，令x ＝1，a 0＋a 1＋a 2＋a 3＋a 4＋a 5＝25＋33，令x ＝－1，a 0－a 1＋a 2－a 3＋a 4－a 5＝－1，两式相减得2(a 1＋a 3＋a 5)＝60，故展开式中x 的奇次项的系数之和为30.。

2020-2021学年北师大版数学选修2-3学案：1.5.2 二项式系数的性质 Word版含解析

5.2二项式系数的性质授课提示：对应学生用书第22页[自主梳理]二项式系数的性质对称性在(a ＋b )n 展开式中，与首末两端______的两个二项式系数相等，即C m n ＝________增减性与最大值增减性：当k ＜n ＋12时，二项式系数是逐渐增大的；当k ＞n ＋12时，二项式系数是逐渐减小的.最大值：当n 为偶数时，中间一项的二项式系数C n2n 最大，当n 为奇数时，中间两项的二项式系数C n －12n ，C n ＋12n 相等，且同时取得最大值各二项式系数的和 ①C 0n ＋C 1n ＋C 2n ＋…＋C n n ＝______；②C 0n ＋C 2n ＋C 4n ＋…＝C 1n ＋C 3n ＋C 5n ＋…＝______[双基自测]1.⎝⎛⎭⎫x －1x 10的展开式中，系数最大的项是( ) A ．第六项 B ．第三项 C ．第三项和第六项 D ．第五项和第七项2．C 110＋C 210＋…＋C 1010的值为________．[自主梳理]等距离 C n －mn2n 2n －1 [双基自测]1．D 展开式第六项系数为－C 510，第五项和第七项系数为C 410、C 610，且C 410＝C 610. 2．1 023 ∵(1＋1)10＝C 010＋C 110＋C 210＋…＋C 1010，∴C 110＋C 210＋…＋C 1010＝210－1＝1 023.授课提示：对应学生用书第22页探究一赋值法求多项式系数和[例1] 若(3x －1)7＝a 7x 7＋a 6x 6＋…＋a 1x ＋a 0，求 (1)a 1＋a 2＋…＋a 7； (2)a 1＋a 3＋a 5＋a 7； (3)a 0＋a 2＋a 4＋a 6； (4)|a 0|＋|a 1|＋|a 2|＋…＋|a 7|. [解析] (1)令x ＝0，则a 0＝－1，令x ＝1，则a 7＋a 6＋…＋a 1＋a 0＝27＝128.① ∴a 1＋a 2＋…＋a 7＝129.(2)令x ＝－1，则－a 7＋a 6－a 5＋a 4－a 3＋a 2－a 1＋a 0＝(－4)7，② 由①－②2得：a 1＋a 3＋a 5＋a 7＝12[128－(－4)7]＝8 256. (3)由①＋②2得： a 0＋a 2＋a 4＋a 6＝12[128＋(－4)7]＝－8 128.(4)解法一 ∵(3x －1)7展开式中a 0，a 2，a 4，a 6均小于零，a 1，a 3，a 5，a 7均大于零， ∴|a 0|＋|a 1|＋|a 2|＋…＋|a 7|＝a 1＋a 3＋a 5＋a 7－(a 0＋a 2＋a 4＋a 6) ＝8 256－(－8 128)＝16 384.解法二 |a 0|＋|a 1|＋|a 2|＋…＋|a 7|即为(1＋3x )7展开式中各项的系数和， ∴|a 0|＋|a 1|＋|a 2|＋…＋|a 7|＝(1＋3)7＝47＝16 384.求展开式中的系数或展开式中的系数的和、差的关键是给字母赋值，赋值的选择则需根据所求的展开式系数和特征来确定．一般地对字母赋的值为1或－1，但在解决具体问题时要灵活掌握．1．在二项式(2x －3y )9的展开式中，求： (1)二项式系数之和； (2)各项系数之和； (3)所有奇数项系数之和； (4)各项系数绝对值的和．解析：设(2x －3y )9＝a 0x 9＋a 1x 8y ＋a 2x 7y 2＋…＋a 9y 9.(1)二项式系数之和为C 09＋C 19＋C 29＋…＋C 99＝29＝512.(2)令x ＝1，y ＝1，得a 0＋a 1＋a 2＋…＋a 9＝(2－3)9＝－1，即各项系数和为－1.(3)由(2)得a 0＋a 1＋a 2＋…＋a 9＝－1，① 令x ＝1，y ＝－1，得a 0－a 1＋a 2－a 3＋…＋a 8－a 9＝59，② ①＋②得a 0＋a 2＋a 4＋a 6＋a 8＝59－12，即所有奇数项系数之和为59－12.(4)T r ＋1＝C r 9(2x )9－r(－3y )r ＝(－1)r C r 9·29－r 3r x 9－r y r ，因此当r ＝1,3,5,7,9时，T r ＋1的系数小于0，即a 1，a 3，a 5，a 7，a 9均小于0. ∴|a 0|＋|a 1|＋|a 2|＋…＋|a 9| ＝a 0－a 1＋a 2－…＋a 8－a 9＝59.探究二增减性与最值问题[例2] 已知：(x 23＋3x 2)n 的展开式中，各项系数和比它的二项式系数和大992.(1)求展开式中二项式系数最大的项； (2)求展开式中系数最大的项． [解析] 令x ＝1，则展开式中各项系数和为(1＋3)n ＝22n ，又展开式中二项式系数和为2n ， ∴22n －2n ＝992，∴n ＝5.(1)∵n ＝5，展开式共6项，二项式系数最大的项为第3、4两项， ∴T 3＝C 25(x 23)3(3x 2)2＝90x 6， T 4＝C 35(x 23)2(3x 2)3＝270x 223. (2)设展开式中第r ＋1项系数最大，则T r ＋1＝C r 5(x 23)5－r (3x 2)r ＝3r C r 5x 10＋4r 3， ∴⎩⎪⎨⎪⎧3r C r 5≥3r －1C r －153r C r 5≥3r ＋1C r ＋15⇒72≤r ≤92，∴r ＝4.即展开式中第5项系数最大， T 5＝C 45(x 23)5－4(3x 2)4＝405x 263.(1)根据二项式系数的性质，当n 为奇数时，中间两项的二项式系数最大；当n 为偶数时，中间一项的二项式系数最大．(2)求展开式中系数最大项与求二项式系数最大项是不同的，需根据各项系数的正、负变化情况，一般采用列不等式(组)，解不等式(组)的方法求解．一般地，如果第r ＋1项的系数最大，则与之相邻两项(第r 项，第r ＋2项)的系数均不大于第r ＋1项的系数，由此列不等式组可确定r 的范围，再依据r ∈N 来确定r 的值，即可求出最大项．2．(1＋2x )n 的展开式中第6项与第7项的系数相等，求展开式中二项式系数最大的项和系数最大的项．解析：T 6＝C 5n (2x )5，T 7＝C 6n (2x )6，依题意有C 5n 25＝C 6n 26⇒n ＝8.∴(1＋2x )8的展开式中，二项式系数最大的项为 T 5＝C 48·(2x )4＝1 120x 4. 设第r ＋1项系数最大，则有⎩⎪⎨⎪⎧C r 8·2r ≥C r －18·2r －1C r 8·2r ≥C r ＋18·2r ＋1⇒5≤r ≤6.∴r ＝5或r ＝6. ∵r ∈{0,1,2，…，8}，∴系数最大的项为T 6＝1 792x 5，T 7＝1 792x 6.探究三证明与组合数有关的恒等式[例3] 求证：C 0n C 1n ＋C 1n C 2n ＋…＋C n －1n C n n ＝(2n )！(n －1)！(n ＋1)！. [证明] (1＋x )2n 展开式中x n －1的系数为C n －12n＝(2n )！(n －1)！(n ＋1)！，又(1＋x )2n ＝(1＋x )n (x ＋1)n＝(C 0n ＋C 1n x ＋C 2n x 2＋…＋C n －1n x n －1＋C n n x n )(C 0n x n ＋C 1n x n －1＋…＋C n －1n x ＋C n n)， ∴等式右边积中x n －1的系数为C 0n C 1n ＋C 1n C 2n ＋…＋C n －1n C n n .∵两种展开式x n－1的系数应相等，∴C 0n C 1n ＋C 1n C 2n ＋…＋C n －1n C n n ＝(2n )！(n －1)！(n ＋1)！.解决组合恒等式的问题，关键在于构造不同的二项式，利用二项式的不同展开方法，比较系数得到相应的恒等式．有时取二项式中字母为某些特殊值也可得到相应的组合恒等式．3．求证：(C 0n )2＋(C 1n )2＋(C 2n )2＋…＋(C n n )2＝(2n )！n ！n ！. 证明：已知(1＋x )2n ＝(1＋x )n ·(1＋x )n ＝(C 0n ＋C 1n x ＋C 2n x 2＋…＋C n n x n )(C 0n ＋C 1n x ＋C 2n x 2＋…＋C n nx n )，(C 0n ＋C 1n x ＋C 2n x 2＋…＋C n n x n )(C 0n ＋C 1n x ＋C 2n x 2＋…＋C n n x n )中x n 的系数为第一个因式中x r 的系数与第二个因式中x n －r 的系数的乘积的和．因为x r 的系数C r n 与x n －r 的系数C n －rn 相等，所以(C 0n ＋C 1n x ＋C 2n x 2＋…＋C n n x n )(C 0n ＋C 1n x ＋C 2n x 2＋…＋C n n x n )中x n 的系数为(C 0n )2＋(C 1n )2＋(C 2n )2＋…＋(C n n )2.又(1＋x )2n 的展开式中x n 的系数为C n 2n ，因此有(C 0n )2＋(C 1n )2＋(C 2n )2＋…＋(C n n )2＝C n 2n ＝(2n )！n ！n ！.混淆各项的系数和与各项的二项式系数和致误[典例] 在(1－2x )7的展开式中，各项的二项式系数和为________；各项的系数和为________；各项系数的绝对值之和为________．[解析] 各项的二项式系数和为27＝128；令x ＝1，则得各项的系数和为(1－2)7＝－1；令x ＝－1，则得各项系数的绝对值之和为(1＋2)7＝2 187. [答案] 128 －1 2 187[错因与防范] 1.这类问题，极易忽略一些条件或混淆一些概念导致题目解答错误．2．设a ，b 为常数，则(ax ＋b )n 的展开式中各项的二项式系数和为C 0n ＋C 1n ＋C 2n ＋…＋C n n ＝2n .在(ax ＋b )n 的展开式中令x ＝1，则得(ax ＋b )n 的展开式中各项的系数和为(a ＋b )n . 3．求展开式的系数和关键是给字母赋值，赋值的选择则需根据所求的展开式系数和特征来定．(1)⎝⎛⎭⎫x ＋a x ⎝⎛⎭⎫2x －1x 5的展开式中各项系数的和为2，则该展开式中常数项为( ) A ．－40 B ．－20 C ．20D ．40(2)(x 2＋x －1)9(2x ＋1)4的展开式中所有x 的奇次幂的系数之和等于________，所有x 的偶次幂(包括x 0)的系数之和等于________．解析：(1)对于⎝⎛⎭⎫x ＋a x ⎝⎛⎭⎫2x －1x 5，可令x ＝1，得1＋a ＝2，所以a ＝1. ⎝⎛⎭⎫2x －1x 5的展开式的通项T r ＋1＝C r 5(2x )5－r ·⎝⎛⎭⎫－1x r＝C r 525－r ·(－1)r ·x 5－2r . 要得到展开式的常数项，则x ＋1x 的x 与⎝⎛⎭⎫2x －1x 5展开式的1x 相乘，x ＋1x 的1x 与⎝⎛⎭⎫2x －1x 5展开式的x 相乘，故令5－2r ＝－1，得r ＝3，令5－2r ＝1，得r ＝2，从而可得常数项为C 35×22×(－1)3＋C 25×23×(－1)2＝40.(2)设(x 2＋x －1)9(2x ＋1)4＝a 0＋a 1x ＋a 2x 2＋a 3x 3＋…＋a 22·x 22.令x ＝1，得a 0＋a 1＋a 2＋…＋a 22＝81；令x ＝－1，得a 0－a 1＋a 2－…－a 21＋a 22＝－1，所以所有x 的奇次幂的系数之和等于12[81－(－1)]＝41，所有x 的偶次幂的系数之和等于12[81＋(－1)]＝40. 答案：(1)D (2)41 40莘莘学子，最重要的就是不要去看远方模糊的，而要做手边清楚的事。

2016-2017学年高二数学北师大版选修2-3学案：1.5.1二项式定理Word版含解析

1
( ) 3 x＋
1．(1)求
x 4 的展开式；
(2)化简： 1＋2C1n＋ 4C2n＋… ＋2nCn.
1
( ) 3 x＋
【解】 (1)法一：
x 4＝ C04(3 x)4＋C14(3 x)3
1
1
1
1
( ) ( ) ( ) ·x＋C24(3 x)2· x 2＋C34(3 x) x 3＋C4 x 4
[再练一题 ]
1
( ) x3＋
2．(1)(2015 安·徽高考 )
x 7 的展开式中 x5 的系数是 ________．(用数字
填写答案 )
1
( ) 2x－
(2)二项式
2x 6 的展开式中的常数项为 ________．
二项式系数与项的系数问题
1
( ) 2 x－
(1)求二项式
x 6 的展开式中第 6 项的二项式系数和第 6 项的
系数；
1
( ) x－
(2)求 x 9 的展开式中 x3 的系数．
【精彩点拨】利用二项式定理求展开式中的某一项，可以通过二项展开
式的通项公式进行求解．
【自主解答】 (1)由已知得二项展开式的通项为 Tr＋1
[质疑 ·手记 ] 预习完成后，请将你的疑问记录，并与 “ 小伙伴们 ”探讨交流：疑问 1：解惑：疑问 2：解惑：疑问 3：解惑：
[ 小组合作型 ] 二项式定理的正用、逆用
3
( ) 2x－
(1)用二项式定理展开
2x2 5；
(2)化简： C0n(x＋1)n－C1n(x＋1)n－1＋C2n(x＋1)n－2－…＋ (－1)kCkn(x＋ 1)
n－k＋… ＋(－ 1)nCn.

2019-2020北师大版高中数学选修2-3备课：1.5二项式定理

§5　二项式定理备课资源参考教学建议1.高考对二项式定理的考查,主要涉及利用二项式通项求展开式的特定项,利用二项展开式性质求系数或与系数有关的问题,利用二项式定理进行近似计算.题型以选择、填空题为主,少有综合性的大题.2.本节重点是二项式定理、二项式系数的性质,及它们的简单应用;难点是用计数原理分析二项式的展开过程,发现二项式展开成单项式之和时各项系数的规律.备选习题1(1+2x )3(1-x )4展开式中x 2的系数为 .解析:(1+2x )3(1-x )4展开式中x 2的系数有以下几种情况:(1+2x )3中出现常数项,则展开式中x 2的系数即为(1-x )4中x 2的系数=6;(1+2x )3中出现x 项,则(1-x )4中应出现x 项,因此·2·(-1)=-C 24C 13C 1424;(1+2x )3中出现x 2项,(1-x )4中出现常数项,此时·22·1=12.C 23∴(1+2x )3·(1-x )4展开式中x 2的系数为6-24+12=-6.答案:-62已知的展开式中第三项与第五项的系数之比为-,其中i 2=-1,则展开式中常数(x 2-ix )n 314项的值是多少?解:设的展开式的第r+1项为T r+1,(x 2-ix )n 则T r+1=·(x 2)n-r ·C r n (-i x)r =·(-i)r ·.C r n x 2n -5r 2由已知第三项与第五项的系数比为-,314得=-,C 2n ·(-i )2C 4n ·(-i )4314即,C 2n C 4n =314解得n=10.由2n-=0得r=8,则展开式中的常数项为·(-i)8==45.5r 2C 810C 810=C 2103已知(1-2x+3x 2)7=a 0+a 1x+a 2x 2+…+a 13x 13+a 14x 14.(1)求a 0+a 1+a 2+…+a 14;(2)求a 1+a 3+a 5+…+a 13.解:(1)令x=1,则a 0+a 1+a 2+…+a 14=27=128.①(2)令x=-1,则a 0-a 1+a 2-a 3+…-a 13+a 14=67.②①-②得2(a 1+a 3+…+a 13)=27-67=-279 808.∴a 1+a 3+a 5+…+a 13=-139 904.。

2019-2020北师大版高中数学选修2-3练习：1.5二项式定理 Word版含解析.pdf

§5　二项式定理课后作业提升1.的展开式中含x 的正整数指数幂的项数是( )(x -13x )10A.0B.2C.4D.6解析:∵T r+1=)10-r C r 10(x (-13x )r=··x -r C r 10x 10-r2(-13)r =,C r 10(-13)r x 5-32r 由∈N +,知r=0或2.(5-32r )故展开式中第1、第3项x 的指数为正整数.答案:B2.若的展开式中各项系数之和为64,则展开式的常数项为()(3x -1x )nA.-540B.-162C.162D.540解析:令x=1得2n =64,则n=6.T r+1=(3)6-r C r 6x (-1x )r=(-1)r 36-r x 3-r ,C r 6令3-r=0,得r=3.故常数项为-27=-540.C 36答案:A3. 已知(1+ax )(1+x )5的展开式中x 2的系数为5,则a=( )A.-4B.-3C.-2D.-1解析:因为(1+x )5的二项展开式的通项为x r (0≤r ≤5,r ∈Z ),则含x 2的项为x 2+ax ·C r 5C 25C 15x=(10+5a )x 2,所以10+5a=5,a=-1.答案:D4.(1+x )8(1+y )4的展开式中x 2y 2的系数是( )A .56B .84C .112D .168解析:因为(1+x )8的展开式中x 2的系数为,(1+y )4的展开式中y 2的系数为,所以x 2y 2的系数C 28C 24为=168.故选D .C 28C 24答案:D5.的展开式中x 3的系数为 .(用数字作答) (x 2+1x )6解析:T r+1=·(x 2)6-r ··x 12-3r ,C r 6(1x )r =C r 6∴要求展开式中x 3的系数,即12-3r=3,∴r=3,即T 4=·x 3=20x 3,C 36∴x 3的系数为20.答案:206.若的展开式中x 3的系数是-84,则a=.(x -a x )9解析:的展开式的通项为(x -a x )9T r+1=x 9-r =(-1)r a r x 9-2r .C r 9(-a x )r C r 9令9-2r=3,得r=3.所以x 3的系数为(-1)3a 3=-84.C 39所以a 3=1.所以a=1.答案:17.求的展开式中,(2x -1x )6(1)第3项的二项式系数及系数;(2)含x 2的项.解:(1)第3项的二项式系数为=15,C 26又T 3=(2)4=24·x ,C 26x (-1x )2C 26所以第3项的系数为24=240.C 26(2)T k+1=(2)6-k =(-1)k 26-k ·x 3-k ,C k 6x (-1x )k C k 6令3-k=2,得k=1.所以含x 2的项为第2项,且T 2=-192x 2.8.已知的展开式中的倒数第三项的系数为45.求:(41x +3x 2)n(1)含x 3的项;(2)系数最大的项.解:已知展开式中倒数第三项的系数为45,则=45,即=45,n 2-n-90=0.C n -2n C 2n解得n=-9(舍去)或n=10.(1)T k+1=)10-k ()k =,C k 10(x -14x 23C k 10x -10-k 4+2k 3令-=3,解得k=6.10-k 4+2k 3故含有x 3的项是第7项,且T 7=x 3=210x 3.C 610(2)∵的展开式共11项,系数最大的项是第6项,(41x +3x2)10∴T 6=)5·()5=252.C 510(x -14x 23x 2512。

2020-2021学年数学北师大版选修2-3学案：1.5二项式定理

§5二项式定理知识点一二项式定理[填一填](a＋b)n＝C0n a n＋C1n a n－1b＋…＋C r n a n－r b r＋…＋C n n b n.这个公式称为二项式定理，等号右边的式子称为(a＋b)n的二项展开式．(a＋b)n的二项展开式共有n＋1项，其中各项的系数C r n(r＝0,1,2，…，n)称为二项式系数，C r n a n－r b r称为二项展开式的第r＋1项，又称为二项式通项．在二项式定理中，如果设a＝1，b＝x，则得到公式：(1＋x)n＝1＋C1n x＋C2n x2＋…＋C r n x r＋…＋x n.[答一答]1．如何记忆二项式定理？提示：记忆二项式定理的关键是记住二项式的通项，T r＝C r n a n－＋1r b r，其中T r为二项展开式的第r＋1项，a，b的指数和为n.＋12．在二项展开式中，二项式系数与项的系数是否是同一概念？提示：二项式系数与项的系数不是同一概念．如(a＋bx)n(a，b是常数)的二项展开式，第r＋1项的二项式系数为C r n，它是一个正数，而第r＋1项的系数为C r n a n－r b r，其值可正可负．知识点二二项式系数的性质[填一填](1)在二项展开式中，与首末两端“等距离”的两项的二项式系数相等．(2)如果二项式的幂指数是偶数，中间一项的二项式系数最大；如果二项式的幂指数是奇数，中间两项的二项式系数相等并且最大．(3)二项式系数的和等于2n，即C0n＋C1n＋C2n＋…＋C n n＝2n.(4)二项式展开式中，偶数项的二项式系数和等于奇数项的二项式系数和，即C1n＋C3n＋C5n＋…＝C0n＋C2n＋C4n＋…＝2n－1.[答一答]3．如何证明C0n－C1n＋C2n－C3n＋…＋(－1)n＋1C n n＝0.提示：令二项展开式中的a＝1，b＝－1，即可得到要证明的结论．1．一个二项展开式的某一项的二项式系数与这一项的系数有何区别？二项式系数与项的系数是两个不同的概念．二项式系数仅与二项式的指数及项数有关，项的系数与二项式、二项式的系数与项数均有关，比如：在(3x－23x)10的二项展开式中，通项是T r＋1＝C r10(3x)10－r(－23x)r(r＝0,1,2，…，10)，展开式的第4项的二项式系数为C310＝120，第4项的系数为C31037(－23)3＝－77 760.2．二项展开式：(a＋b)n＝C0n a n＋C1n a n－1b＋…＋C r n a n－r b r＋…＋C n n b n 的特点(1)它有n＋1项；(2)各项的次数和都等于二项式的次数n；(3)字母a按降幂排列，次数由n递减到0；字母b按升幂排列，次数由0递增到n；(4)二项展开式中，系数C r n(r＝0,1,2，…，n)叫作(第r＋1项的)二项式系数，它们依次为C0n，C1n，C2n，…，C n n，这是一组仅与二项式的次数n有关的n＋1个组合数，而与a、b无关．3．应用通项公式T r＋1＝C r n a n－r b r应注意的问题(1)它是(a＋b)n的展开式的第r＋1项，这里r＝0,1,2，…，n；(2)字母a，b是一种“符号”，实际上它们可以是数、式及其他的什么，只要具备二项式的形式，就可以用定理写出展开式； (3)展开式是对(a ＋b )n 这个标准形式而言的，还可以对等式进行变形，例如，对于(b －a )n ，我们有T r ＋1＝(－1)r C r n bn －r a r . 4．二项展开式的性质(1)如果n 是偶数，则中间一项(第n 2＋1项)的二项式系数最大；如果n 为奇数，则中间两项(第n ＋12项与第n ＋12＋1项)的二项式系数相等并且最大．(2)所有二项式系数的和等于2n ，即C 0n ＋C 1n ＋…＋C n n ＝2n ，也就是令a ＝b ＝1，代入二项式定理而得．(3)奇数项的二项式系数的和与偶数项的二项式系数的和相等，即C 0n ＋C 2n ＋…＝C 1n ＋C 3n ＋…＝2n －1. 也就是先令二项式定理中等式左右两边的a ＝b ＝1，再令等式左右两边中的a ＝1，b ＝－1得到两个等式，两个式子相加即可得偶数项的二项式系数和，两个式子相减即可得奇数项的二项式系数和，比较可得它们相等且等于2n －1.题型一二项式定理的应用[例1] 用二项式定理展开(2x －32x 2)5.[思路探究]设a ＝2x ，b ＝－32x 2—⎪⎪⎪⎪ ――→思路一直接利用二项式定理展开――→思路二先化简再展开[解] 方法一：(2x －32x 2)5＝C 05(2x )5(－32x 2)0＋C 15(2x )4·(－32x2)1＋C 25(2x )3(－32x 2)2＋C 35(2x )2(－32x 2)3＋C 45(2x )1(－32x 2)4＋C 55(2x )0(－32x 2)5＝32x 5－120x 2＋180x －135x 4＋4058x 7－24332x 10. 方法二：(2x －32x 2)5＝(4x 3－32x 2)5＝132x 10(4x 3－3)5＝132x 10[C 05(4x 3)5(－3)0＋C 15(4x 3)4(－3)1＋C 25(4x 3)3(－3)2＋C 35(4x 3)2(－3)3＋C 45(4x 3)1(－3)4＋C 55(4x 3)0(－3)5]＝32x 5－120x 2＋180x －135x 4＋4058x 7－24332x 10.规律方法 (1)运用二项式定理展开二项式，要记准展开式的结构特征，对于较复杂的二项式，化简后再展开会更简捷；(2)逆用二项式定理可将多项式化简，对于这类问题的求解，要熟悉公式的特点、项数、各项幂指数的规律以及各项的系数．有时需要先对化简式进行恒等变形，使之符合二项展开式的结构特征，再进行化简．化简下列各式：(1)C 1n ＋C 2n 6＋C 3n 62＋…＋C n n 6n －1； (2)(x －1)5＋5(x －1)4＋10(x －1)3＋10(x －1)2＋5(x －1)．解：(1)原式＝16(C 0n ＋C 1n 6＋C 2n 62＋C 3n 63＋…＋C n n 6n －1)＝16[(1＋6)n －1]＝16(7n －1)．(2)原式＝C 05(x －1)5＋C 15(x －1)4＋C 25(x －1)3＋C 35(x －1)2＋C 45(x －1)＋C 55－1＝[(x －1)＋1]5－1＝x 5－1.题型二求展开式中的特定项[例2] (1)⎝⎛⎭⎪⎪⎫x 2－13x 8的展开式中的常数项是________； (2)若⎝ ⎛⎭⎪⎫x －a x 9的展开式中x 3的系数是－84，则a ＝________； (3)(x －3x )9的展开式中含x 的有理项共有________项．[思路探究] 写出通项并化简成系数乘字母的形式，根据不同的需要建立方程或不等式即可解决问题． [解析] (1)展开式的通项为T r ＋1＝C r 8⎝ ⎛⎭⎪⎫x 28－r ⎝⎛⎭⎪⎪⎫－13x r ＝(－1)r ·⎝ ⎛⎭⎪⎫128－r C r 8x 8－r － 13 r ＝(－1)r ⎝ ⎛⎭⎪⎫128－r C r 8x 8－43r (0≤r ≤8，r ∈N )．令8－43r ＝0，得r ＝6，∴常数项为T 7＝(－1)6⎝⎛⎭⎪⎫128－6C 68＝7. (2)展开式的通项为T r ＋1＝C r 9x 9－r (－a )r ⎝ ⎛⎭⎪⎫1x r ＝C r 9·(－a )r x 9－2r (0≤r ≤9，r ∈N )．当9－2r ＝3时，解得r ＝3.根据题意得C 39(－a )3＝－84，解得a ＝1.(3)展开式的通项为T r ＋1＝C r 9(x )9－r (－1)r (3x )r ＝C r 9·(－1)r x 27－r 6(0≤r ≤9，r ∈N )．要求含x 的有理项，只需使27－r 6∈Z ，则4＋3－r 6∈Z 即可，所以r ＝3或9.当r ＝3时，27－r 6＝4，T 4＝(－1)3C 39x 4＝－84x 4；当r ＝9时，27－r 6＝3，T 10＝(－1)9C 99x 3＝－x 3.即展开式中含x 的有理项共有2项．[答案] (1)7 (2)1 (3)2规律方法求二项展开式的特定项的关键是抓住二项式通项．在求解时，需要把系数和字母分离出来(应注意符号)，根据题目指定的字母的指数所具有的特征，列出方程或不等式．在这里首先应熟悉几个名词：(1)常数项，即字母的指数为零的项；(2)有理项；(3)第m 项，此时r ＋1＝m .(1)(4x －2－x )6(x ∈R )展开式中的常数项是( C )A ．－20B ．－15C ．15D ．20解析：(1)(4x －2－x )6的展开式的通项为T r ＋1＝C r 6(22x )6－r ·(－2－x )r ＝(－1)r C r 6(2x )12－3r ，当r ＝4时，12－3r ＝0，故展开式的第5项是常数项，即T 5＝(－1)4C 46＝15.故选C.(2)在⎝ ⎛⎭⎪⎫x 2－2x 6的二项展开式中，x 2的系数为( C ) A ．－154B.154 C ．－38 D.38解析：⎝⎛⎭⎪⎫x 2－2x 6的展开式的通项为T r ＋1＝C r 6⎝ ⎛⎭⎪⎫x 26－r ⎝ ⎛⎭⎪⎫－2x r ＝C r 6⎝ ⎛⎭⎪⎫126－r (－2)r x 3－r ，当r ＝1时，为含x 2的项，其系数是C 16⎝ ⎛⎭⎪⎫125(－2)＝－38.故选C.(3)求(x －3x )6展开式中的有理项．解：(x －3x )6的展开式的通项为T r ＋1＝C r 6(x 12)6－r ·(－x 13)r ＝(－1)r C r 6x 18－r 6. 要求有理项，只需令18－r 6∈Z ，则3－r 6∈Z ，又r ＝0,1,2，…，6，所以r ＝0或r ＝6.当r ＝0时，18－r 6＝3，T 1＝(－1)0C 06x 3＝x 3；当r ＝6时，18－r 6＝2，T 7＝(－1)6C 66x 2＝x 2.所以展开式中的有理项为x 3，x 2.题型三展开式中的系数问题[例3] (1)若(1－3x )9＝a 0＋a 1x ＋a 2x 2＋…＋a 9x 9(x ∈R )，则|a 1|＋|a 2|＋…＋|a 9|的值为________．(2)已知(x ＋1)2 009＝a 0＋a 1x ＋a 2x 2＋…＋a 2 009x 2 009，则a 0＋a 1＋a 2＋…＋a 1 004＝( )A ．22 009B ．22 008C ．21 005D ．21 004[解析] (1)在(1－3x )9展开式中奇数项为正，偶数项为负．故|a 1|＋|a 2|＋…＋|a 9|＝－a 1＋a 2－a 3＋…－a 9.令x ＝－1，得a 0－a 1＋a 2－a 3＋…－a 9＝49.令x ＝0，得a 0＝1.故|a 1|＋|a 2|＋…＋|a 9|＝49－1.(2)(x ＋1)2 009＝C 02009x 2 009＋C 12 009x 2 008＋…＋C r 2 009x 2 009－r ＋…＋C 2 0092 009＝a 2 009x 2 009＋a 2 008x 2 008＋…＋a 0，∴a 0＋a 1＋…＋a 1 004＝C 2 0092 009＋C 2 0082 009＋…＋C 1 0052 009＝12×22 009＝22 008. [答案] (1)49－1 (2)B规律方法二项式定理给出的是一个恒等式，对于a ，b 的一切值都成立．因此，可将a ，b 设定为一些特殊的值．在使用赋值法时，令a ，b 等于多少，应就具体情况而定，有时取“1”，有时取“－1”，也有时要取其他值．一般地，若f (x )＝a 0＋a 1x ＋a 2x 2＋…＋a n x n ，则f (x )展开式各项系数之和为f (1)，偶数项系数之和为a 0＋a 2＋a 4＋…＝f (1)＋f (－1)2，奇数项系数之和为a 1＋a 3＋a 5＋…＝f (1)－f (－1)2.已知(1－2x )7＝a 0＋a 1x ＋a 2x 2＋…＋a 7x 7，求：(1)a 1＋a 2＋…＋a 7；(2)a 1＋a 3＋a 5＋a 7；(3)|a 0|＋|a 1|＋|a 2|＋…＋|a 7|.解：(1)令x ＝0可得：(1－0)7＝a 0，则a 0＝1.令x ＝1可得：(1－2×1)7＝a 0＋a 1＋a 2＋…＋a 7，即a 0＋a 1＋a 2＋…＋a 7＝(－1)7＝－1，所以a 1＋a 2＋…＋a 7＝－1－a 0＝－2.(2)由(1)得x ＝1时，a 0＋a 1＋a 2＋…＋a 7＝(－1)7＝－1 ①.令x ＝－1得a 0－a 1＋a 2－…－a 7＝(1＋2)7＝37 ②.①－②得2(a 1＋a 3＋a 5＋a 7)＝－1－37，即a 1＋a 3＋a 5＋a 7＝－1－372＝－1 094.(3)方法一：由于偶次项系数是正数，奇次项系数是负数，所以|a 0|＋|a 1|＋|a 2|＋…＋|a 7|＝a 0－a 1＋a 2－…－a 7.由(2)中②式知|a 0|＋|a 1|＋|a 2|＋…＋|a 7|＝37＝2 187.方法二：依据(1＋2x )7与(1－2x )7的关系可知(1＋2x )7＝|a 0|＋|a 1|x ＋|a 2|x 2＋…＋|a 7|x 7.令x ＝1可得|a 0|＋|a 1|＋|a 2|＋…＋|a 7|＝37＝2 187.题型四求系数最大项问题[例4] (1＋2x )n 的展开式中第6项和第7项的系数相等，求展开式中二项式系数最大的项和系数最大的项．[思路探究] 根据已知条件可求出n ，再根据n 的奇偶性，确定出二项式系数最大的项．[解] T 6＝C 5n (2x )5，T 7＝C 6n (2x )6，依题意有C 5n 25＝C 6n ·26⇒n ＝8. 所以(1＋2x )8的展开式中，二项式系数最大的项为T 5＝C 48·(2x )4＝1 120x 4.设第r ＋1项系数最大，则有⎩⎪⎨⎪⎧C r 8·2r ≥C r －18·2r －1，C r 8·2r ≥C r ＋18·2r ＋1⇒5≤r ≤6. 所以r ＝5或r ＝6(因为r ∈{0,1,2，……，8})．所以系数最大的项为T 6＝1 792x 5，T 7＝1 792x 6.规律方法本题考查系数最大项问题．常利用列方程或不等式组的方法求解．(1)求二项式系数最大的项，根据二项式系数的性质，n 为奇数时，中间两项的二项式系数最大，n为偶数时，中间一项的二项式系数最大；(2)求展开式中系数最大项与求二项式系数最大项是不同的，需根据各项系数的正、负变化情况，一般采用列不等式组、解不等式组的方法求得．在(x－y)11的展开式中，求：(1)通项T r＋1；(2)二项式系数最大的项；(3)项的系数绝对值最大的项；(4)项的系数最大的项；(5)项的系数最小的项；(6)二项式系数的和．解：(1)T r＋1＝(－1)r C r11x11－r y r.(2)二项式系数最大的项为中间两项：T6＝－C511x6y5，T7＝C611x5y6.(3)项的系数绝对值最大的项也是中间两项：T6＝－C511x6y5，T7＝C611x5y6.(4)因为中间两项系数的绝对值相等，一正一负，第7项为正，故项的系数最大的项为T7＝C611x5y6.(5)项的系数最小的项为T6＝－C511x6y5.(6)二项式系数的和为C011＋C111＋C211＋…＋C1111＝211.题型五二项式定理的应用[例5](1)求证：1＋2＋22＋…＋25n－1能被31整除(n∈N＋)；(2)求S＝C127＋C227＋…＋C2727除以9的余数．[解](1)∵1＋2＋22＋…＋25n－1＝25n－12－1＝25n－1＝32n－1＝(31＋1)n－1＝C0n×31n＋C1n×31n－1＋…＋C n－1n×31＋C n n－1＝31(C0n×31n－1＋C1n×31n－2＋…＋C n－1n)，显然上式括号内为整数．∴原式能被31整除．(2)S＝C127＋C227＋…＋C2727＝227－1＝89－1＝(9－1)9－1＝C09×99－C19×98＋…＋C89×9－C99－1＝9(C09×98－C19×97＋…＋C89)－2＝9(C09×98－C19×97＋…＋C89－1)＋7，显然上式括号内的数是正整数，故S被9除的余数为7.规律方法有关整除性问题是二项式定理的应用之一，其关键在于如何把底数写成除数(或与除数密切关联的数)与某数的和或差的形式，再用二项式定理展开，只考虑后面(或前面)一、二项就可以了．另外在求余数时，注意其结果不能为负值，如(2)中不能说余数为－2，而应为7.(1)9192被100除所得的余数为(B)A．1B．81C．－81D．992解析：利用9192＝(100－9)92的展开式，或利用(90＋1)92的展开式．解法一：9192＝(100－9)92＝C092·10092－C192·10091·9＋C292·10090·92－…－C9192·100·991＋C9292992.展开式中前92项均能被100整除，只需求最后一项除以100的余数．由992＝(10－1)92＝C0921092－…＋C9092102－C919210＋1.前91项均为能被100整除，后两项和为－919，因原式为正，可从前面的数中分离出1 000，结果为1 000－919＝81，∴9192被100除可得余数为81，故选B.解法二：(90＋1)92＝C092·9092＋C192·9091＋…＋C9092·902＋C9192·90＋C9292.前91项均能被100整除，剩下两项为92×90＋1＝8 281，显然8 281除以100所得余数为81，故选B.(2)求证：3n>(n＋2)·2n－1(n∈N＋，且n>2)．证明：利用二项式定理3n＝(2＋1)n展开证明．因为n∈N＋，且n>2，所以3n＝(2＋1)n展开至少有四项．(2＋1)n ＝2n ＋C 1n ·2n －1＋…＋C n －1n ·2＋1≥2n ＋n ·2n －1＋2n ＋1>2n ＋n ·2n －1＝(n ＋2)·2n －1，所以3n >(n ＋2)·2n －1.——多维探究系列—— 搭配理解二项式问题求几个二项式积的展开式中某项的系数或特定项时，一般要根据这几个二项式的结构特征进行分类搭配，分类时要抓住一个二项式逐项分类，分析其他二项式应满足的条件，然后再求解结果．此法易出现分类搭配不全，运算失误等错误．[例6] (x ＋a x )·(2x －1x )5的展开式中各项系数的和为2，则该展开式中常数项为( )A ．－40B ．－20C ．20D ．40[解析] 法一：令x ＝1，由已知条件得1＋a ＝2，则a ＝1. (2x －1x )5＝C 05(2x )5＋C 15(2x )4(－1x )＋C 25(2x )3·(－1x )2＋C 35(2x )2(－1x )3＋C 45(2x )·(－1x )4＋(－1x )5＝32x 5－80x 3＋80x －401x ＋10×1x 3－1x 5. 则常数项为40.法二：令x ＝1得1＋a ＝2，∴a ＝1.又(2x －1x )5的通项T r ＋1＝C r 525－r(－1)r ×x 5－2r , 故分两类： (1)x ＋1x 的x 与(2x －1x )5展开式的1x 相乘． (2)x ＋1x 的1x 与(2x －1x )5展开式的x 相乘．故令5－2r ＝－1得r ＝3，令5－2r ＝1得r ＝2.从而常数项为C 35×22×(－1)3＋C 25×23×(－1)2＝40.[答案] D1．在(1－x 3)(1＋x )10的展开式中，x 5的系数是( D ) A ．－297 B ．－252 C ．297D ．207解析：分两类，1－x 3中常数项与(1＋x )10展开式的x 5相乘，1－x 3中－x 3与(1＋x )10展开式的x 2相乘．故x 5的系数为207.2．(1＋x 3)(x ＋1x 2)6展开式中的常数项为35.解析：(x ＋1x 2)6的通项公式为T r ＋1＝C r 6x 6－r ·(1x 2)r＝C r 6x 6－3r ，(1＋x 3)(x ＋1x 2)6的展开式中的常数项由两部分组成：①由6－3r ＝0，得r ＝2，C 26＝15；②由6－3r ＝－3，得r ＝3，C 36＝20.相加得15＋20＝35.1．已知(2x 3＋1x )n的展开式中的常数项是第7项，则正整数n 的值为( B )A ．7B ．8C ．9D ．10解析：T 7＝C 6n (2x 3)n －6⎝⎛⎭⎪⎫1x 6＝C 6n ·2n －6·x 3n －24，令3n －24＝0，得n ＝8.2．已知C 0n ＋2C 1n ＋22C 2n ＋…＋2n C n n ＝729，则C 1n ＋C 3n ＋…的值等于( B )A ．64B ．32C ．63D ．31解析：由已知得3n ＝729，∴n ＝6.∴C 1n ＋C 3n ＋…＝C 16＋C 36＋C 56＝32.3．使(3x ＋1x x)n (n ∈N ＋)的展开式中含有常数项的最小的n 为( B )A ．4B ．5C ．6D ．7解析：由二项式的通项公式得T r ＋1＝C r n 3n －rxn －52r ，若展开式中含有常数项，则n －52r ＝0，即n ＝52r ，所以n 最小值为5.选B.4．在(x ＋43y )20的展开式中，系数为有理数的项共有6项．解析：展开式的通项T r ＋1＝C r 20x 20－r ·(43y )r ＝C r 20x 20－r y r ·3r4.由r ＝0,1,2，…，19,20，r4∈N ，得r ＝0,4,8,12,16,20. 所以系数为有理数的项共有6项．5.⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋2x 25的展开式中x 2的系数是10；其展开式中各项系数之和为243.(用数字作答)解析：T r ＋1＝C r 5x 5－r ·(2x －2)r ＝C r 5·2r ·x 5－3r . 令5－3r ＝2，则r ＝1.则x 2项的系数为C 15·21＝10.令x ＝1，则⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋2x 25＝35＝243，即为各项系数之和． 6．若(25x ＋3)3＝a 0＋a 1x ＋a 2x 2＋a 3x 3，求(a 0＋a 2)2－(a 1＋a 3)2的值．解：令x ＝1，得a 0＋a 1＋a 2＋a 3＝(25＋3)3，令x ＝－1，得a 0－a 1＋a 2－a 3＝(3－25)3， ∴原式＝(a 0＋a 1＋a 2＋a 3)(a 0－a 1＋a 2－a 3) ＝(3＋25)3·(3－25)3＝－173.莘莘学子，最重要的就是不要去看远方模糊的，而要做手边清楚的事。

高中数学第一章计数原理1.5.1二项式定理教案北师大版选修2-3(2021年整理)

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5。

1 二项式定理一、复习引入：⑴22202122222()2a b a ab b C a C ab C b +=++=++; ⑵33223031222333333()33a b a a b ab b C a C a b C ab C b +=+++=+++ ⑶4()()()()()a b a b a b a b a b +=++++的各项都是4次式，即展开式应有下面形式的各项:4a ，3a b ，22a b ,3ab ，4b ,展开式各项的系数：上面4个括号中，每个都不取b 的情况有1种,即04C 种，4a 的系数是04C ；恰有1个取b 的情况有14C 种，3a b 的系数是14C ，恰有2个取b 的情况有24C 种，22a b 的系数是24C ，恰有3个取b 的情况有34C 种，3ab 的系数是34C ，有4都取b 的情况有44C 种,4b 的系数是44C ，∴40413222334444444()a b C a C a b C a b C a b C b +=++++．二、学生自学学生自学课本第23—24页内容，理解以下内容,填写优化设计14页“知识梳理"。

1、二项式定理:01()()n n nr n r rn nnn n n a b C a C a b C a b C b n N -*+=+++++∈2、二项式定理的证明(选讲）（a+b ）n是n 个（a+b ）相乘,每个（a+b ）在相乘时,有两种选择,选a 或b ，由分步计数原理可知展开式共有2n项（包括同类项)，其中每一项都是a k b n-k的形式,k=0，1，…，n ；对于每一项a k b n-k，它是由k 个(a+b ）选了a ，n —k 个(a+b ）选了b 得到的，它出现的次数相当于从n 个（a+b ）中取k 个a 的组合数，将它们合并同类项,就得二项展开式，这就是二项式定理。

高中高中数学北师大版选修2-3练习课件1.5.1 二项式定理精选ppt课件

A．1
B．－1
C．(－1)n
D．3n
解析：逆用公式，将1看作公式中的a，－2 看作公式中的b，可得原式＝(1－2)n＝(－1)n.
答案：C
2．化简(x－1)5＋5(x－1)4＋10(x－1)3＋10(x －1)2＋5(x－1)＝________.
解析：注意逆用二项式定理即可．原式＝C05(x－1)5＋C15(x－1)4＋C25(x－1)3＋C35(x－1)2＋ C45(x－1)＋C55－1＝[(x－1)＋1]5－1＝x5－1.
答案：x5－1
知识点二
求展开式的特定项
3．(x－2y)6展开式中的第4项为________．
解析：由二项展开式的通项得，(x－2y)6 展开式中的第 4 项为 C36x6－3·(－2y)3＝－160x3y3.
答案：－160x3y3
4．[2013·江西高考](x2－x23)5 展开式中的常数项为(
C68·(2x2)8－6·(－ 1 )6＝112x2. 3 x
法二：在(2x2－ 1 )8 展开式中的倒数第 3 项就是( 1 －
3
3
x
x
2x2)8 展开式中的第 3 项，T3＝C28·( 1 )8－2×(2x2)2＝112x2. 3 x
课后提升训练
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再见
(1)第 5 项的二项式系数及第 5 项的系数；
(2)倒数第 3 项．
解：(1)T5＝C48·(2x2)8－4·(－
1 3
)4＝C48·24·x230，
x
∴第 5 项的二项式系数是 C48＝70，第 5 项的系数是 C48 ×24＝1120.
(2)法一：展开式中的倒数第 3 项即为第 7 项，T7＝

高中数学北师大选修2-3 1.5.1二项式定理

(a b)(a b) C21
展开式：
(a b)2 C20a2 C21ab C22b2
探究2 推导 (a b)3的展开式.
(a
b)3
(a b)(a b)(a b)
请用分步乘法计数原理解释一下？问：合并同
项的形式：a 3
a2b
ab2
b 3 类项后的展开式中，共
项的系数：C30 C31
(a b)n Cn0a n Cn1a n1b Cn2a n2b2
(
1)k
C
k n
a
n
k
b
k
(1)n Cnnbn
例、求(2 x 1 )6的展开式. x
解：先将原式化简，再展开．
(2
x
1 x
)6
2x
1 6 x
1 x3
(2x
1)6
=
1 x3
[(2x)6
C61(2x)5
C62 (2 x)4
(a b)n ?(n N * )
(a
b)2
C
0 2
a
2
C21ab
C 22 b 2
(a b)3 C30a3 C31a2b C32ab2 C33b3
(a b)4 C40a4 C41a3b C42a2b2 C43ab3 C44b4
(a b)n Cn0an Cn1an1b Cn2an2b2
n
k 1
即通项为展开式的第k 1项。
通项公式
Tk 1
C
k n
a
n
k
b
k
(a
b)n
Cn0a n
Cn1an1b
C
k n
a
n
k
b