第二讲矩阵
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(5)反对称矩阵 AT = − A,即 a ij = − a ji .
5.方阵的逆矩阵
(1)A 可逆 ⇔ 存在方阵 B,使 AB = BA = E ⇔ A ≠ 0.
(2) A 可逆,则 A −1 若
−1 −1
A* . = A
= A .
−1
(3) A ) (
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= A,
A
−1
(4) kA ) (
−1
1 −1 = A k
( k ≠ 0 ), ( AB ) −1 = B −1 A −1 .
⎛ A1 (5) A = ⎜ 若 ⎜ ⎝
⎛ A1− 1 ⎞ ⎟ , 且 A1 和 A2 可逆 , 则 A − 1 = ⎜ ⎜ A2 ⎟ ⎠ ⎝
Ps , 其中 P1 , P2 ,
⎞ ⎟. −1 ⎟ A2 ⎠
(6)A 可逆 ⇔ A = P1 P2
1 E ( i ( k )) = E ( i ( )), k
−1
E ( i , j ( k )) −1 = E ( i , j ( − k )).
( 5) 设 P 是初等矩阵 , 则 PA 相当于对矩阵 A 作一次同类型的 初等行变换 . ( 6) 设 Q 是初等矩阵 , 则 AQ 相当于对矩阵 A 作一次同类型的 初等列变换 .
( 2) 初等倍乘矩阵 E ( i ( k )) : 由单位矩阵的第 i 行 (列 ) 乘非零
数 k 得到 .
( 3) 初等倍加矩阵 E ( i , j ( k )) : 由单位矩阵的第 j 行 (第 i 列) 乘数
k 加到第 i 行 (第 j 列 ) 上得到 .
( 4) 初等矩阵的转置和逆还 是初等矩阵 , 且 E ( i , j ) −1 = E ( i , j ),
, Ps 是初等矩阵 .
6.方阵的伴随矩阵
(1) A = ( a ij ) n× n , 则 A* = ( A ji ) n× n . 若
(2)AA * = A* A = A E .
(3) A* )T = ( AT )* . (
* n −1
(4)A = A
.
(5) kA )* = k n −1 A* , ( AB )* = B * A* . (
(6) A 可逆 , 则 ( A −1 )* = ( A* ) −1 . 若
⎧ n , 秩 ( A) = n; ⎪ * (7)秩 ( A ) = ⎨1 , 秩 ( A) = n − 1; ⎪ 0 , 秩 ( A ) < n − 1. ⎩
7.初等矩阵及其性质
(1) 初等交换矩阵 E ( i , j ) : 由单位矩阵交换第 i , j 行 (列 ) 得到 .
第二讲 一、考试要点
矩阵
1.矩阵的概念,矩阵的线性运算,矩阵的乘法,方阵的幂. 2.方阵乘积的行列式. 3.矩阵的转置. 4.逆矩阵的概念和性质,矩阵可逆的充要条件. 5.伴随矩阵. 6.矩阵的初等变换,初等矩阵. 7.分块矩阵及其运算.
二、基本内容与结论 1.矩阵的代数运算
(1)设 A = (a ij ) m×n,B = (bij ) m×n,则 A + B = (a ij + bij ) m×n .
⎛ A11 (6) A = ⎜ 若 ⎜A ⎝ 21
3.方阵的行列式
(1) kA = k n A .
(2) AB = A B .
(3) A T = A .
k k
(4) A = A .
一般情况下 A + B ≠ A + B .
注意
4.特殊矩阵
(1) 单位矩阵 E 和数量矩阵 kE .
(2) 对角矩阵 diag ( k1 , k 2 ,
AB ≠ BA;
AB = 0 推不出 A = 0 或 B = 0;
AB = AC 推不出 B = C ,
但是,矩阵乘法满足结合律和分配律.
( 2 ) AB = 0 ⇔ B 的列向量是方程组 AX = 0 的解向量 . ( 3 ) AB = C ⇔ C 的列向量可由 A 的列向量线性表示 .
2.矩阵的转置
(1) A = ( a ij ) m × n ,则 A T = ( a ji ) n× m . 若
( 2)( A T ) T = A .
( 3)( A + B ) T = A T + B T .
( 4)( kA ) T = kA T .
( 5)( AB ) T = B T A T .
T ⎛ A11 A12 ⎞ ⎟ 是分块矩阵 , 则 AT = ⎜ T ⎜A A22 ⎟ ⎠ ⎝ 12 T A21 ⎞ ⎟. T ⎟ A22 ⎠
( 7 ) 设 P 是初等矩阵 , A 是方阵 , 则 P T AP 相当于先对矩阵 A 作一 次初等列变换 , 然后再作一次相应的初 等行变换 . ( 8 ) 对矩阵施行初等变换不 改变矩阵的秩 . ( 9 ) 倍加变换不改变方阵的 行列式 .
8.分块矩阵的初等变换
⎛A (1) 初等易行变换:⎜ ⎜C ⎝
a12 a 22 0
, k n ).
a1 n ⎞ ⎛ a11 ⎟ ⎜ a 2 n ⎟ ⎜ a 21 ⎟和⎜ ⎟ ⎜ a nn ⎟ ⎜ a n1 ⎠ ⎝ 0 a 22 an2 0 ⎞ ⎟ 0 ⎟ ⎟. ⎟ a nn ⎟ ⎠
⎛ a11 ⎜ ⎜ 0 (3)三角矩阵 ⎜ ⎜ ⎜ 0 ⎝
(4)对称矩阵 AT = A,即 a ij = a ji .
(2) A 是 n 阶矩阵 , 则 若
1 ( E + A) = E + mA + m ( m − 1) A 2 + 2
m
+ Am .
E − A m = ( E − A)( E + A + A 2 + E + A 3 = ( E + A)( E − A + A 2 ).
+ A m −1 ).
(3) A 可逆 , 则 ( A E ) ⎯初等行变换 → ( E A −1 ). 若 ⎯ ⎯⎯
( 4 ) 对分块矩阵施行初等变 换不改变矩阵的秩 . ( 5 ) 对分块矩阵施行初等倍 加变换不改变方阵的行 列式 .
9.其它重要结论和方法
(1) A, B 是 n 阶方阵 , 且 AB = BA , 则 若 ( A + B ) 2 = A 2 + 2 AB + B 2, A 2 − B 2 = ( A + B )( A − B ).
(4) 矩阵方程 AX = B 的解法:若 A 可逆,则 ( A B ) ⎯初等行变换 → ( E X ) = ( E A −1 B ). ⎯ ⎯⎯
(5) 矩阵方程 XA = B 的解法:若 A 可逆,则 ⎛ A ⎞ 初等列变换 ⎛ E ⎞ ⎛ E ⎞ ⎜ ⎟ ⎯⎯ ⎯⎯→ ⎜ ⎟ = ⎜ ⎜ B⎟ ⎜ X ⎟ ⎜ BA −1 ⎟ . ⎟ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠
B ⎞ ⎛C ⎟→⎜ D⎟ ⎜ A ⎠ ⎝
D⎞ ⎟. B⎟ ⎠
⎛A ⎜ ( 2) 初等倍乘变换: ⎜C ⎝
B ⎞ ⎛ PA ⎟→⎜ D⎟ ⎜ C ⎠ ⎝
PB ⎞ ⎟. D ⎟ ⎠ B + PD ⎞ ⎟. D ⎟ ⎠
⎛ A B ⎞ ⎛ A + PC ⎜ ( 3) 初等倍加变换: ⎜C D⎟ → ⎜ C ⎟ ⎜ ⎝ ⎠ ⎝
(2)设 A = ( a ij ) m × n , k 是常数,则 kA = ( ka ij ) m × n .
s k =1
(3)设 A = ( a ij ) m × s , B = ( bij ) s× n ,则 AB = ( ∑ a ik bkj ) m× n .
注意
(1)矩阵乘法是有条件的,且不满足交换律和消去律,即