2020年中考数学选择填空压轴题汇编平移旋转对称三大变换含解析

平移旋转对称三大变换

1.（2020•安徽）在数学探究活动中，敏敏进行了如下操作：如图，将四边形纸片ABCD沿过点A的直线折

叠，使得点B落在CD上的点Q处．折痕为AP；再将△PCQ，△ADQ分别沿PQ，AQ折叠，此时点C，D落在AP上的同一点R处．请完成下列探究：

（1）∠PAQ的大小为30 °；

（2）当四边形APCD是平行四边形时，的值为．

【解答】解：（1）由折叠的性质可得：∠B＝∠AQP，∠DAQ＝∠QAP＝∠PAB，∠DQA＝∠AQR，∠CQP＝∠PQR，∠D＝∠ARQ，∠C＝∠QRP，

∵∠QRA+∠QRP＝180°，

∴∠D+∠C＝180°，

∴AD∥BC，

∴∠B+∠DAB＝180°，

∵∠DQR+∠CQR＝180°，

∴∠DQA+∠CQP＝90°，

∴∠AQP＝90°，

∴∠B＝∠AQP＝90°，

∴∠DAB＝90°，

∴∠DAQ＝∠QAP＝∠PAB＝30°，

故答案为：30；

（2）由折叠的性质可得：AD＝AR，CP＝PR，

∵四边形APCD是平行四边形，

∴AD＝PC，

∴AR＝PR，

又∵∠AQP＝90°，

∴QR AP，

∵∠PAB＝30°，∠B＝90°，

∴AP＝2PB，AB PB，

∴PB＝QR，

∴，

故答案为：．

2.（2020•天水）如图，在边长为6的正方形ABCD内作∠EAF＝45°，AE交BC于点E，AF交CD于点F，连

接EF，将△ADF绕点A顺时针旋转90°得到△ABG．若DF＝3，则BE的长为 2 ．

【解答】解：

法一：由题意可得，

△ADF≌△ABG，

∴DF＝BG，∠DAF＝∠BAG，

∵∠DAB＝90°，∠EAF＝45°，

∴∠DAF+∠EAB＝45°，

∴∠BAG+∠EAB＝45°，

∴∠EAF＝∠EAG，

在△EAG和△EAF中，

，

∴△EAG≌△EAF（SAS），

∴GE＝FE，

设BE＝x，则GE＝BG+BE＝3+x，CE＝6﹣x，∴EF＝3+x，

∵CD＝6，DF＝3，

∴CF＝3，

∵∠C＝90°，

∴（6﹣x）2+32＝（3+x）2，

解得，x＝2，

即BE＝2，

法二：设BE＝x，连接GF，如下图所示，

∵四边形ABCD为正方形，

∴∠ABE＝∠GCF＝90°，

∵△ADF绕点A顺时针旋转90°得到△ABG，∴∠CAF＝90°，GA＝FA，

∴△GAF为等腰直角三角形，

∵∠EAF＝45°，

∴AE垂直平分GF，

∴∠AEB+∠CGF＝90°，

∵在Rt△AEB中，∠AEB+∠BAE＝90°，

∴∠BAE＝∠CGF，

∴△BAE～△CGF，

∴，

∵CF＝CD﹣DF＝6﹣3＝3，GC＝BC+BG＝BC+DF＝6+3＝9，

∴，

∴x＝2，

即BE＝2，

故答案为：2．

3.（2020•深圳）如图，矩形纸片ABCD中，AB＝6，BC＝12．将纸片折叠，使点B落在边AD的延长线上的

点G处，折痕为EF，点E、F分别在边AD和边BC上．连接BG，交CD于点K，FG交CD于点H．给出以下结论：

①EF⊥BG；

②GE＝GF；

③△GDK和△GKH的面积相等；

④当点F与点C重合时，∠DEF＝75°，

其中正确的结论共有（）

A．1个B．2个C．3个D．4个

【解答】解：如图，连接BE，设EF与BG交于点O，

∵将纸片折叠，使点B落在边AD的延长线上的点G处，∴EF垂直平分BG，

∴EF⊥BG，BO＝GO，BE＝EG，BF＝FG，故①正确，

∵AD∥BC，

∴∠EGO＝∠FBO，

又∵∠EOG＝∠BOF，

∴△BOF≌△GOE（ASA），

∴BF＝EG，

∴BF＝EG＝GF，故②正确，

∵BE＝EG＝BF＝FG，

∴四边形BEGF是菱形，

∴∠BEF＝∠GEF，

当点F与点C重合时，则BF＝BC＝BE＝12，

∵sin∠AEB，

∴∠AEB＝30°，

∴∠DEF＝75°，故④正确，

由题意无法证明△GDK和△GKH的面积相等，故③错误；

故选：C．

4.（2020•随州）如图，已知矩形ABCD中，AB＝3，BC＝4，点M，N分别在边AD，BC上，沿着MN折叠矩形

ABCD，使点A，B分别落在E，F处，且点F在线段CD上（不与两端点重合），过点M作MH⊥BC于点H，连接BF，给出下列判断：

①△MHN∽△BCF；

②折痕MN的长度的取值范围为3＜MN；

③当四边形CDMH为正方形时，N为HC的中点；

④若DF DC，则折叠后重叠部分的面积为．

其中正确的是①②③④．（写出所有正确判断的序号）

【解答】解：①如图1，由折叠可知BF⊥MN，

∴∠BOM＝90°，

∵MH⊥BC，

∴∠BHP＝90°＝∠BOM，

∵∠BPH＝∠OPM，

∴∠CBF＝∠NMH，

∵∠MHN＝∠C＝90°，

∴△MHN∽△BCF，

故①正确；

②当F与C重合时，MN＝3，此时MN最小，当F与D重合时，如图2，此时MN最大，

由勾股定理得：BD＝5，