4粗糙集与数据约简

R X
Card R X 1 0.25 Card R X 4
体温r3 正常 高 很高 正常 高 很高 决策属 性D 流感 否 是 是 否 否 是


4.2.1、粗糙集的基本概念
例：右表是考生情况调查表，其中U为被调查对象，即论 域；R为高考成绩(A－优，B－良，C－中，D－差)；X为 升学情况(+为上，/为未上)。 根据高考成绩和升学情况进行分类时： 按成绩：U/R={{1,6},{2},{3,5},{4}}={Y1,Y2,Y3,Y4} 按升学：U/X={{2,3,5,6},{1,4}}={X1,X2} 分别计算出下近似集、上近似集、边界域和近似精度： R-(X1)=Y2∪Y3={2,3,5} R-(X2)=Y4={4} R-(X1)=Y2∪Y3∪Y1 ={2,3,5,6,1} R-(X2)=Y1∪Y4={4,6,1} Bnd(X1)=Y1={1,6} Bnd(X2)=Y1={1,6}
4.1、不确定性理论
经典集合、模糊集合、粗糙集的关系
经典集合认为一个集合完全有其元素所决定，一个元素要么属于这个集合， 要么不属于这个集合。其隶属函数μ X(x)∊{0,1}是二值逻辑。 模糊集合认为事物具有中介过渡性质，而非突然改变，集合中每一个元素 的隶属函数μ X(x)∊[0,1]，即在闭区间[0,1]可以任意取值，隶属函数可以 是连续光滑的，因此模糊集合对不确定信息的刻划是精细而充分的。但隶 属函数不可计算，凭人的主观经验给定。 粗糙集合把用于分类的知识引入集合。一个元素x是否属于集合X，需要根 据现有知识来判定，可分为三个情况：①x肯定不属于X；②x肯定属于X； ③x可能属于也可能不属于X。到达属于哪种情况依赖于我们所掌握的关于 论域的知识。粗糙集的隶属函数为阶梯 状，对不确定性信息的描述是粗糙的， 1.0 但粗糙隶属函数是可计算的。粗糙集主 0.8 0.6 要用于对信息系统进行约简和分类。
4.2 粗糙集的基本理论与方法
1
粗糙集的基本概念
2
粗糙集的基本思想
3
粗糙集的基本特点
4.2.2、粗糙集的基本思想
RS的基本思想
RS认为知识就是将论域中的对象进行分类的能力。对对象的认知程度取决 于所拥有的知识的多少，知识越多，则分类能力越强。知识越少，则对象 间的区分越模糊。 在没有掌握所有关于对象域的知识的情况下，为了刻画模糊性，RS使用了 一对称为下近似与上近似的精确概念来表示每个不精确概念，即使用一对 逼近来描述对象域上的集合。下近似和上近似的差是一个边界集合，它包 含了所有不能确切判定是否属于给定类的对象。这种处理可以定义近似的 精确度，能够很好的近似分类，得到可以接受质量的分类。 在RS中，论域中的对象可用多种知识来描述(通常描述为属性)。当两个不 同的对象由相同的属性来描述时，这两个对象在系统中被归于同一类，它 们的关系称之为不可分辨关系或等价关系。不可分辨关系是RS理论的基石， 它反映了论域知识的颗粒性。 影响分类能力的属性很多，不同的属性重要程度不同，其中某些属性起决 定性作用；属性的取值不同对分类能力也会产生影响。RS理论提出知识的 约简方法、在保留基本知识、对对象的分类能力不变的基础上，消除重复、 冗余属性和属性值，实现了对知识的压缩和再提炼。
随机性：因为事物的因果关系不确定，从而导致事件发生的结果不确定性。 用概率来度量。概率表示事件发生可能性的大小。概率论的运用是从随机 性中去把握广义的因果律——概率规律。 模糊性：因为事件在质上没有明确的含义，在量上没有明确的界限，导致 事件呈现“亦此亦彼”的性态，是事物类属的不确定性，用隶属度来度量。 隶属度表示事物多大程度属于某个分类。模糊集合论的运用从模糊性中去 确立广义的排中律——隶属规律。 粗糙性：因为描述事件的知识（或信息）不充分、不完全，导致事件间的 不可分辨性。粗糙集把那些不可分辨的事件都归属一个边界域。因此，粗 糙集中的不确定性是基于一种边界的概念，当边界域为一空集时，则问题 变为确定性的。
4.2.1、粗糙集的基本概念
知识表达系统
一个知识表达系统或信息系统S可以表示为有序四元组 S={U,R,V,f} 其中，U={x1,x2,…,xn}为论域，它是全体样本的集合； R＝C∪D 为属性集合，其中子集C是条件属性集，反映对象的特征，D为决策 属性集，反映对象的类别； V Vr 为属性值的集合，V 表示属性r的取值范围； r rR f:U×R→V 为一个信息函数，用于确定U中每一个对象x的属性值，即任一 xi∊U，r∊R，则f(xi,r)=Vr
4.2.1、粗糙集的基本概念
基本集合
由论域中相互不可分辨的对象组成的集合称之为基本集合，它是组成论域 知识的颗粒。 决策属 属性 条件属性C 性D 例如：考虑条件属性：头疼和 对象 头疼r1 肌肉疼r2 体温r3 流感 肌肉疼。对于x1,x2,x3这三个 x1 是 是 正常 否 对象是不可分辨的。x4,x6在这 x2 是 是 高 是 两个属性上也是不可分辨的。 x3 是 是 很高 是 由此构成的不可分辨集{x1,x2, x4 否 是 正常 否 x3},{x4,x6},{x5}被称为基本 x5 否 否 高 否 x6 否 是 很高 是 集合。 设论域U为有限集，R是U的等价关系簇，则K={U,R}称为知识库，知识库的 知识粒度由不可分辨关系Ind(R)的等价类反映。
属性 对象 x1 x2 x3 x4 x5 x6 头疼r1 是 是 是 否 否 否 条件属性C 肌肉疼r2 是 是 是 是 否 是 体温r3 正常 高 很高 正常 高 很高 决策属性D 流感 否 是 是 否 否 是
4.2.1、粗糙集的基本概念
不可分辨关系
在粗糙集中，论域U中的对象可用多种信息（知识）来描述。当两个不同 的对象由相同的属性来描述时，这两个对象在该系统中被归于同一类，它 们的关系称之为不可分辨关系 。 即对于任一属性子集 B⊆R，如果对象 xi,xj∊U，∀r∊B，当且仅当f(xi,r)=f(xj,r)时，xi和xj是不可分辨的，简记 为Ind(B)。不可分辨关系称为等价关系。 例如：只用黑白两种颜色把空间中的一些物体划分成两类：{黑色物体}、 {白色物体}，那么同为黑色的物体就是不可分辨的，因为描述它们特征属 性的信息是相同的，都是黑色。如果引入方、圆的属性，可将物体进一步 划分为4类：{黑色方物体}、{黑色圆物体}、{白色方物体}、{白色圆物 体}。这时，如果有两个同为黑色方物体，则它们还是不可分辨的。 不可分辨关系这一概念在RS中十分重要，它反映了我们对世界观察的不精 确性。 另一方面，不可分辨关系反映了论域知识的颗粒性。知识库中的知识越多， 知识的颗粒度就越小，随着新知识不断加入到知识库中，粒度会不断减小， 直致将每个对象区分开来。但知识库中的知识粒度越小，则导致信息量增 大，存储知识库的费用越高。
4.2.1、粗糙集的基本概念
下近似集和上近似集
下近似集：根据现有知识R，判断U中所有肯定属于集合X的对象所组成的 集合，即 R-(X)={x∊U,[x]R ⊆X} 其中， [x]R 表示等价关系R下包含元素x的等价类。 上近似集：根据现有知识R，判断U中一定属于和可能属于集合X的对象所 组成的集合，即 R－(X)={x∊U,[x]R ∩X≠φ } 其中， [x]R 表示等价关系R下包含元素x的等价类。 给定知识表达系统S={U,R,V,f}，对于每个样本子集X ⊆U和等价关系R，所 有包含于X的基本集的并（逻辑和）为R-(X)；所有与X的交(逻辑积)不为空 集的基本集的并为R－(X)。
4.2.1、粗糙集的基本概念
粗糙度（近似精确度）
对于知识R（即属性子集），样本子集X的不确定程度可以用粗糙度α R(X) 来表示为
R X
Card R X Card R X


α R(X)亦称近似精确度，式中Card表示集合的基数（集合中元素的个数）。 0≤α R(X)≤1， 如 果 α R(X)＝1， 则 称 集 合 X 相 对 于 R 是 确 定 的 ， 如 果 α R(X)<1则称集合X相对于R是粗糙的，α R(X)可认为是在等价关系R下逼近 集合X的精度。
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第4章 粗糙集与数据约简
1
2
不确定性理论
粗糙集的基本理论与方法
3
4 5 6
知识的约简
决策表的约简
粗糙集数据约简的具体实现与应用
粗糙集的研究现状与展望
4.1、不确定性理论
自然界和人类的社会活动的各种现象：确定性现象和不确定性现象。 确定性现象：在一定条件下必然会出现的现象。 不确定性的分类：
U 1 2 3 4 5 6 R C B A D A C X / + + / + +
α R(X1)=Card(R-(X1))/Card(R-(X1))=3/5 α R(X2)=Card(R-(X2))/Card(R-(X2))=1/3
根据 R-(X1) R-(X2) R-(X1) if R 高考成绩(A,B) 高考成绩(D) 高考成绩(A,B,C) Then X 一定(+)能上 一定(/)不能上 可能(+)能上 根据 R-(X2) Bnd(X1) Bnd(X2) if R 高考成绩(C,D) 高考成绩(C) 高考成绩(C) Then X 可能(/)不能上 可能(+)也可能(/) 可能(+)也可能(/)
4.2.1、粗糙集的基本概念
正域、负域和边界域
正域：Pos(X)=R-(X)，即根据知识R，U中能完全确定地归入集合X的元素的 集合。 负域：Neg(X)=U-R-(X)，即根据知识R，U中不能确定一定属于集合X的元素 的集，它们是属于X的补集。 边界域：Bnd(X)= R-(X) - R-(X) ，边界域是某种意义上论域的不确定域， 根据知识R，U中既不是肯定归入集合X，又不能肯定归入集合~X，的元素 构成的集合。 边界域为集合X的上近似与下近似之差，如果Bnd(X)是空集，则称集合X关 于R是清晰的；反之，如果Bnd(X)不是空集，则称集合X为关于R的粗糙集。 因此，粗糙集中的“粗糙”（不确定性）主要体现在边界域的存在。集合 X的边界域越大，其确定性程度就越小。
知识与分类
在粗糙集理论中，知识被认为是一种分类能力。人们的行为基本是分辨现 实的或抽象的对象的能力。 假定我们起初对论域内的对象（或称元素、样本、个体）已具有必要的信 息或知识，通过这些知识能够将其划分到不同的类别。若我们对两个对象 具有相同的信息，则它们是不可区分的，即根据已有的信息不能将其划分 开。 粗糙集理论的核心是等价关系，通常用等价关系替代分类，根据这个等价 关系划分样本集合为等价类。 从知识库的观点看，每个等价类被称为一个概念，即一条知识（规则)。 即，每个等价类唯一地表示了一个概念，属于一个等价类的不同对象对该 概念是不可区分的。
0.4 0.2 0.0
0.2
0.4
0.6
0.8
1.0
第4章 粗糙集与数据约简
1
不确定性理论
2 3
4 5 6
粗糙集的基本理论与方法
知识的约简
决策表的约简
粗糙集数据约简的具体实现与应用
粗糙集的研究现状与展望
4.2 粗糙集的基本理论与方法
1
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粗糙集的基本概念
2
粗糙集的基本思想
3
粗糙集的基本特点
4.2.1、粗糙集的基本概念
4.2.1、粗糙集的基本概念
例：以医疗信息表为例，对于属性子集 属性 条件属性C R={头疼,肌肉疼}={r1,r2},计算样本子 对象 头疼r1 肌肉疼r2 集X={x1,x2,x5}的上近似集、下近似集、 x1 是 是 x2 是 是 正域、边界域。 x3 是 是 解： x4 否 是 ①计算论域U的所有R基本集： x5 否 否 U|Ind(R)={{x1,x2,x3},{x4,x6},{x5}} x6 否 是 令R1={x1,x2,x3} R2={x4,x6} R3={x5} ②确定样本子集X与基本集的关系 X∩R1={x1,x2}≠φ X∩R2=φ X∩R3={x5}≠φ ③计算R-(X)、R－(X)、Pos(X)、Bnd(X)： R-(X)=R3={x5} R－(X)=R1∪R3={x1,x2,x3,x5} Pos(X)=R-(X)={x5} Bnd(X)=R－(X)-R-(X)={x1,x2,x3} ④计算近似精确度：