黑龙江省哈师大附中2014-2015学年高一上学期期中数学试卷 Word版含解析

2014-2015学年黑龙江省哈师大附中高一（上）期中数学试卷一、选择题：本大题共12个小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是符合题目要求的．1．（5分）已知全集U={0，1，2}且∁U A={2}，则集合A的真子集共有（）A．3个B．4个C．5个D．6个2．（5分）函数y=a x﹣1+2（a＞0，a≠1）一定经过的定点是（）A．（0，1）B．（1，1）C．（1，2）D．（1，3）3．（5分）已知函数，则f（1）﹣f（3）=（）A．﹣2 B．7C．27 D．﹣74．（5分）设α∈，则使函数y=xα为奇函数且在（0，+∞）为增函数的所有α的值为（）A．1，3 B．﹣1，1，2 C．，1，3 D．﹣1，1，35．（5分）设x＞y＞1，0＜a＜1，则下列关系正确的是（）A．x﹣a＞y﹣a B．a x＜ay C．a x＜a y D．log a x＞log a y6．（5分）为了得到函数f（x）=log2（﹣2x+2）的图象，只需把函数f（x）=log2（﹣2x）图象上所有的点（）A．向左平移2个单位长度B．向右平移2个单位长度C．向左平移1个单位长度D．向右平移1个单位长度7．（5分）如果lg2=m，lg3=n，则等于（）A．B．C．D．8．（5分）函数y=（）x+1的图象关于直线y=x对称的图象大致是（）A．B．C．D．9．（5分）已知函数，则函数的定义域为（）A．[0，+∞）B．[0，16]C．[0，4]D．[0，2]10．（5分）关于x的方程有解，则a的取值范围是（）A．0＜a≤1 B．﹣1＜a≤0 C．a≥1 D．a＞011．（5分）定义在R上的奇函数f（x），满足f（1）=0，且在（0，+∞）上单调递增，则xf （x）＞0的解集为（）A．{x|x＜﹣1或x＞1} B．{x|0＜x＜1或﹣1＜x＜0}C．{x|0＜x＜1或x＜﹣1} D．{x|﹣1＜x＜0或x＞1}12．（5分）函数f（x）=log 2（2x）的最小值为（）A．0B．C．D．二、填空题：本大题共4个小题，每小题5分，共20分.把答案填在答题卡上.13．（5分）已知幂函数f（x）=k•xα（k，α∈R）的图象过点（，），则k+α=．14．（5分）化简25+lg5lg2+lg22﹣lg2的结果为．15．（5分）已知函数f（x）=log2（2﹣ax）在[﹣1，+∞）为单调增函数，则a的取值范围是．16．（5分）由方程2x|x|﹣y=1所确定的x，y的函数关系记为y=f（x），给出如下结论：（1）f（x）是R上的单调递增函数；（2）f（x）的图象关于直线x=0对称；（3）对于任意x∈R，f（x）+f（﹣x）=﹣2恒成立．其中正确的结论为（写出所有正确结论的序号）．三、解答题：解答题应写出文字说明、证明过程或演算步骤，解答过程书写在答题卡的对应位置.17．（10分）设A={x|x2﹣ax+a2﹣19=0}，B={x|x2﹣5x+6=0}，C={x|x2+2x﹣8=0}．（1）若A=B，求实数a的值；（2）若∅⊊A∩B，A∩C=∅，求实数a的值．18．（12分）有甲、乙两种商品，经销这两种商品所能获得的利润分别是p万元和q万元．它们与投入资金x万元的关系是：p=x，q=．今有3万元资金投入经营这两种商品，为获得最大利润，对这两种商品的资金分别投入多少时，能获取最大利润？最大利润为多少？19．（12分）已知函数f（x）=ax2﹣|x|+2a﹣1（a为实常数）（1）判断f（x）的奇偶性，并给出证明；（2）若a＞0，设f（x）在区间[1，2]上的最小值为g（a），求g（a）的表达式．20．（12分）已知函数f（x）=log4（ax2+2x+3）（1）若f（1）=1，求f（x）的单调区间；（2）是否存在实数a，使f（x）的最小值为0？若存在，求出a的值；若不存在，说明理由．21．（12分）已知定义在R上的函数f（x）=2x﹣．（1）若f（x）=，求x的值；（2）若2t f（2t）+mf（t）≥0对于t∈[1，2]恒成立，求实数m的取值范围．22．（12分）已知函数f（x）=log9（9x+1）+kx（k∈R）为偶函数．（1）求k的值；（2）解关于x的不等式．2014-2015学年黑龙江省哈师大附中高一（上）期中数学试卷参考答案与试题解析一、选择题：本大题共12个小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是符合题目要求的．1．（5分）已知全集U={0，1，2}且∁U A={2}，则集合A的真子集共有（）A．3个B．4个C．5个D．6个考点：子集与真子集．专题：计算题．分析：根据题意，易得A={1，0}，由集合的元素数目与集合子集数目的关系，可得其子集的数目，排除其本身这个子集后可得其真子集的数目，即可得答案．解答：解：根据题意，全集U={1，2，0}，且C U A={2}，则A={1，0}，A的子集有22=4个，其中真子集有4﹣1=3个；故选A．点评：本题考查集合的元素数目与集合子集数目的关系：若A中有n个元素，则A有2n个子集．2．（5分）函数y=a x﹣1+2（a＞0，a≠1）一定经过的定点是（）A．（0，1）B．（1，1）C．（1，2）D．（1，3）考点：指数函数的单调性与特殊点．专题：函数的性质及应用．分析：利用a0=1（a＞0且a≠1）即可得出．解答：解：令x=1，则y=a0+2=3，∴函数y=a x﹣1+2（a＞0，a≠1）一定经过的定点（1，3）．故选：D．点评：本题考查了指数函数的性质，属于基础题．3．（5分）已知函数，则f（1）﹣f（3）=（）A．﹣2 B．7C．27 D．﹣7考点：函数的值．专题：计算题．分析：根据函数的解析式求f（1）=f（1+3）=f（4）=17，及f（3）=10，代入式子求值．解答：解：∵，∴f（1）=f（1+3）=f（4）=17，f（3）=10，则f（1）﹣f（3）=7，故选B．点评：本题考查了分段函数求值问题，关键是看准自变量的范围，再代入对应的关系式求值．4．（5分）设α∈，则使函数y=xα为奇函数且在（0，+∞）为增函数的所有α的值为（）A．1，3 B．﹣1，1，2 C．，1，3 D．﹣1，1，3考点：幂函数的图像．专题：函数的性质及应用．分析：先看幂指数的符号与单调性对应，再结合幂指数的定义域、解析式判断奇偶性．解答：解：因为函数是R+上的增函数，所以指数大于0，又因为是奇函数，所以指数为1或3，结合1，3都大于0，所以y=x与y=x3都是R+上的增函数．故α的值为1，3．故选A．点评：要结合指数的符号判断幂函数在第一象限的单调性，结合定义域、幂指数分子、分母的奇偶性研究函数的奇偶性．5．（5分）设x＞y＞1，0＜a＜1，则下列关系正确的是（）A．x﹣a＞y﹣a B．a x＜ay C．a x＜a y D．log a x＞log a y考点：指数函数单调性的应用；对数函数的单调性与特殊点．专题：转化思想．分析：由y=a x（0＜a＜1）减函数，结合x＞y＞1，根据减函数的定义可得结论．解答：解：∵y=a x（0＜a＜1）减函数又∵x＞y＞1∴a x＜a y故选C点评：本题主要考查指数函数，幂函数和对数函数的图象和性质，主涉及了利用其单调性来比较数的大小，还考查了转化思想．6．（5分）为了得到函数f（x）=log2（﹣2x+2）的图象，只需把函数f（x）=log2（﹣2x）图象上所有的点（）A．向左平移2个单位长度B．向右平移2个单位长度C．向左平移1个单位长度D．向右平移1个单位长度考点：函数的图象与图象变化．专题：函数的性质及应用．分析：先将函数f（x）=log2（﹣2x+2）化成y=log2[﹣2（x﹣1）]，然后和函数y=log2（﹣2x）比较看x的变化．解答：解：函数f（x）=log2（﹣2x+2）化成y=log2[﹣2（x﹣1）]，和函数y=log2（﹣2x）相比，x的变化是减1，根据左加右减，所以将函数y=log2（﹣2x）的图象向右平移1个单位得到f（x）=log2（﹣2x+2）的图象．故选D．点评：本题考查了图象在x轴方向上的平移变换，一般是先研究x的变化，需要先将函数式适当变形再来判断，根据“左加右减”进行．7．（5分）如果lg2=m，lg3=n，则等于（）A．B．C．D．考点：换底公式的应用．专题：函数的性质及应用．分析：利用对数的运算法则、换底公式、lg2+lg5=1即可得出．解答：解：∵lg2=m，lg3=n，∴===．故选：C．点评：本题考查了对数的运算法则、换底公式、lg2+lg5=1，属于基础题．8．（5分）函数y=（）x+1的图象关于直线y=x对称的图象大致是（）A．B．C．D．考点：反函数；指数函数的图像变换．专题：综合题；数形结合．分析：函数y=（）x+1的图象关于直线y=x对称的图象，即为函数y=（）x+1反函数的图象，求出函数的反函数后，分析其反函数的性质，并逐一分析四个答案，即可得到答案．解答：解：∵函数y=（）x+1反函数为其图象过（2，0）点，且在定义域（1，+∞）为减函数分析四个答案发现只能A满足要求故选A点评：本题考查的知识点是反函数及对数函数的图象，其中根据已知函数的解析式，求出其反函数的解析式是解答本题的关键．9．（5分）已知函数，则函数的定义域为（）A．[0，+∞）B．[0，16]C．[0，4]D．[0，2]考点：函数的定义域及其求法．专题：计算题；函数的性质及应用．分析：由4﹣x2≥0，解得，﹣2≤x≤2，即y=f（2﹣x）的定义域是[﹣2，2]，可求2﹣x的值域，即函数f（x）的定义域，再令∈[0，4]，即可求得函数y=f（）的定义域．解答：解：由4﹣x2≥0，解得，﹣2≤x≤2，即y=f（2﹣x）的定义域是[﹣2，2]，则2﹣x∈[0，4]，即函数f（x）的定义域为[0，4]，令∈[0，4]，解得x∈[0，16]．则函数y=f（）的定义域为[0，16]．故选B．点评：本题考查抽象函数定义域的求法，属中档题，注意理解函数f（x）的定义域与函数f[g（x）]定义域的区别．10．（5分）关于x的方程有解，则a的取值范围是（）A．0＜a≤1 B．﹣1＜a≤0 C．a≥1 D．a＞0考点：根的存在性及根的个数判断．专题：函数思想；函数的性质及应用．分析：转化为函数y=，根据函数的单调性可知：0＜≤1，即0＜a+1≤1，求解即可．解答：解：∵关于x的方程有解，∴函数y=，根据指数函数的单调性可知：0＜≤1，∴方程有解只需：即﹣1＜a≤0，故选：B点评：本题考察了函数的性质，方程的根，属于容易题．11．（5分）定义在R上的奇函数f（x），满足f（1）=0，且在（0，+∞）上单调递增，则xf （x）＞0的解集为（）A．{x|x＜﹣1或x＞1} B．{x|0＜x＜1或﹣1＜x＜0}C．{x|0＜x＜1或x＜﹣1} D．{x|﹣1＜x＜0或x＞1}考点：函数奇偶性的性质．专题：函数的性质及应用．分析：先确定函数f（x）在（﹣∞，0）上单调递增，且f（﹣1）=0，再将不等式等价变形，即可得到结论．解答：解：∵定义在R上的奇函数f（x）在（0，+∞）上单调递增，且f（1）=0，∴函数f（x）在（﹣∞，0）上单调递增，且f（﹣1）=0，∴不等式xf（x）＞0等价于或∴x＞1或﹣1≤x＜﹣1∴不等式xf（x）＞0的解集为{x|x＞1或x＜﹣1}．故选A．点评：本题考查函数单调性与奇偶性的结合，关键利用函数上奇函数得到对称区间得单调性，经常考查，属于基础题．12．（5分）函数f（x）=log 2（2x）的最小值为（）A．0B．C．D．考点：函数的最值及其几何意义．专题：函数的性质及应用．分析：利用换元法，结合对数函数的运算法则和二次函数的性质即可得到结论．解答：解：由条件可知函数的定义域为（0，+∞），则f（x）=log 2（2x）=log2x•（）=log2x•（2+2log2x），设t=log2x，则函数等价为y=t（1+t）=t2+t=（t+）2﹣，故当t=﹣时，函数取得最小值﹣，故选：C点评：本题主要考查函数最值的求解，根据对数的运算法则，利用换元法是解决本题的关键．二、填空题：本大题共4个小题，每小题5分，共20分.把答案填在答题卡上.13．（5分）已知幂函数f（x）=k•xα（k，α∈R）的图象过点（，），则k+α=．考点：幂函数的概念、解析式、定义域、值域．专题：函数的性质及应用．分析：利用幂函数的定义求出k，利用函数的图象经过的点求出α，即可得到结果．解答：解：因为幂函数f（x）=k•xα（k，α∈R）由幂函数的定义可知k=1，幂函数f（x）=k•xα（k，α∈R）的图象过点（，），所以，，∴k+α==．故答案为：．点评：本题考查函数解析式的应用，基本知识的考查．14．（5分）化简25+lg5lg2+lg22﹣lg2的结果为25．考点：对数的运算性质．专题：函数的性质及应用．分析：利用对数的运算法则、lg2+lg5=1即可得出．解答：解：原式=+lg5lg2+lg22﹣lg2=25+lg2（lg5+lg2）﹣lg2=25．点评：本题考查了对数的运算法则、lg2+lg5=1，属于基础题．15．（5分）已知函数f（x）=log2（2﹣ax）在[﹣1，+∞）为单调增函数，则a的取值范围是（﹣2，0）．考点：函数单调性的性质．专题：函数的性质及应用．分析：由题意可得y=2﹣ax在[﹣1，+∞）为单调增函数，且为正值，故有，由此求得a的范围．解答：解：由于函数f（x）=log2（2﹣ax）在[﹣1，+∞）为单调增函数，可得y=2﹣ax在[﹣1，+∞）为单调增函数，且为正值，故有，求得﹣2＜a＜0，故答案为：（﹣2，0）．点评：本题主要考查函数的单调性的性质，复合函数的单调性，属于基础题．16．（5分）由方程2x|x|﹣y=1所确定的x，y的函数关系记为y=f（x），给出如下结论：（1）f（x）是R上的单调递增函数；（2）f（x）的图象关于直线x=0对称；（3）对于任意x∈R，f（x）+f（﹣x）=﹣2恒成立．其中正确的结论为（1）（3）（写出所有正确结论的序号）．考点：函数解析式的求解及常用方法．专题：数形结合；函数的性质及应用．分析：由方程2x|x|﹣y=1所确定的x，y的函数关系记为y=f（x），f（x）=2x|x|﹣1═，，分别画出当x≥0和x＜0的函数图象，它们分别是抛物线的一部分．如图所示．结合观察图象可得答案．解答：解：由方程2x|x|﹣y=1所确定的x，y的函数关系记为y=f（x），则f（x）=2x|x|﹣1=，分别画出当x≥0和x＜0的函数图象，它们分别是抛物线的一部分．如图所示．观察图象可知：（1）f（x）是R上的单调递增函数；正确；（2）图象不关于x=0对称，（2）错误；（3）图象关于点Q（0，﹣1）对称，故对于任意x∈R，f（x）+f（﹣x）=﹣2恒成立；正确；故答案为：（1）（3）．点评：本小题主要考查分段函数、函数单调性的应用、函数对称性的应用、带绝对值的函数等基础知识，考查运算求解能力，考查数形结合思想、化归与转化思想．属于基础题．三、解答题：解答题应写出文字说明、证明过程或演算步骤，解答过程书写在答题卡的对应位置.17．（10分）设A={x|x2﹣ax+a2﹣19=0}，B={x|x2﹣5x+6=0}，C={x|x2+2x﹣8=0}．（1）若A=B，求实数a的值；（2）若∅⊊A∩B，A∩C=∅，求实数a的值．考点：集合关系中的参数取值问题．专题：计算题．分析：（1）先根据A=B，化简集合B，根据集合相等的定义，结合二次方程根的定义建立等量关系，解之即可；（2）先求出集合B和集合C，然后根据A∩B≠∅，A∩C=∅，则只有3∈A，代入方程x2﹣ax+a2﹣19=0求出a的值，最后分别验证a的值是否符合题意，从而求出a的值．解答：解：（1）由题意知：B={2，3}∵A=B∴2和3是方程x2﹣ax+a2﹣19=0的两根．由得a=5．（2）由题意知：C={﹣4，2}∵∅⊂A∩B，A∩C=∅∴3∈A∴3是方程x2﹣ax+a2﹣19=0的根．∴9﹣3a+a2﹣19=0∴a=﹣2或5当a=5时，A=B={2，3}，A∩C≠∅；当a=﹣2时，符合题意故a=﹣2．点评：本题主要考查了子集与交集、并集运算的转换，以及两集合相等的定义，同时考查了验证的数学方法，属于基础题．18．（12分）有甲、乙两种商品，经销这两种商品所能获得的利润分别是p万元和q万元．它们与投入资金x万元的关系是：p=x，q=．今有3万元资金投入经营这两种商品，为获得最大利润，对这两种商品的资金分别投入多少时，能获取最大利润？最大利润为多少？考点：函数模型的选择与应用．专题：应用题．分析：如果设对乙商品投入资金x万元，则对甲投入资金为（3﹣x）万元，获取的利润为y 万元；那么y=p+q，代入可得关于x的解析式，利用换元法得到二次函数f（t），再由二次函数的图象与性质，求导y的最大值，和对应的t、x．解答：解：设对乙商品投入资金x万元，则对甲投入资金为（3﹣x）万元，此时获取利润为y万元；则由题意知，．令，则y=﹣t2++=（其中0≤t≤）；根据二次函数的图象与性质知，当t=时，y有最大值，为；又t=，得=，∴x==2.25（万元），∴3﹣x=0.75（万元）；所以，对甲投入资金0.75万元，对乙投资2.25万元时，获取利润最大，为万元．点评：本题考查了换元法的应用，运用换元法解题时，要注意换元前后函数自变量取值范围的变化，以免出错．19．（12分）已知函数f（x）=ax2﹣|x|+2a﹣1（a为实常数）（1）判断f（x）的奇偶性，并给出证明；（2）若a＞0，设f（x）在区间[1，2]上的最小值为g（a），求g（a）的表达式．考点：函数奇偶性的判断；函数恒成立问题．专题：计算题；函数的性质及应用．分析：（1）f（x）为偶函数．运用奇偶性的定义，先判断定义域是否关于原点对称，再计算f（﹣x），与f（x）比较，即可得到结论；（2）写出f（x）的表达式，求得对称轴方程，讨论对称轴与区间的关系，根据单调性，即可得到最小值．解答：解：（1）f（x）为偶函数．理由如下：定义域为R，关于原点对称，f（﹣x）=ax2﹣|﹣x|+2a﹣1=ax2﹣|x|+2a﹣1=f（x）则f（x）为偶函数；（2）x∈[1，2]⇒f（x）=ax2﹣x+2a﹣1，对称轴为x=，时，f（x）min=f（1）=3a﹣2，时，f（x）min=f（2）=6a﹣3；（ⅲ）当1＜＜2，即时，．综上．点评：本题考查函数的奇偶性的判断，考查二次函数在闭区间上的最值，注意讨论对称轴与区间的关系，考查运算能力，属于中点他和易错题．20．（12分）已知函数f（x）=log4（ax2+2x+3）（1）若f（1）=1，求f（x）的单调区间；（2）是否存在实数a，使f（x）的最小值为0？若存在，求出a的值；若不存在，说明理由．考点：对数函数图象与性质的综合应用；二次函数的性质．专题：计算题．分析：（1）根据f（1）=1代入函数表达式，解出a=﹣1，再代入原函数得f（x）=log4（﹣x2+2x+3），求出函数的定义域后，讨论真数对应的二次函数在函数定义域内的单调性，即可得函数f（x）的单调区间；（2）先假设存在实数a，使f（x）的最小值为0，根据函数表达式可得真数t=ax2+2x+3≥1恒成立，且真数t的最小值恰好是1，再结合二次函数t=ax2+2x+3的性质，可列出式子：，由此解出a=，从而得到存在a的值，使f（x）的最小值为0．解答：解：（1）∵f（x）=log4（ax2+2x+3）且f（1）=1，∴log4（a•12+2×1+3）=1⇒a+5=4⇒a=﹣1可得函数f（x）=log4（﹣x2+2x+3）∵真数为﹣x2+2x+3＞0⇒﹣1＜x＜3∴函数定义域为（﹣1，3）令t=﹣x2+2x+3=﹣（x﹣1）2+4可得：当x∈（﹣1，1）时，t为关于x的增函数；当x∈（1，3）时，t为关于x的减函数．∵底数为4＞1∴函数f（x）=log4（﹣x2+2x+3）的单调增区间为（﹣1，1），单调减区间为（1，3）（2）设存在实数a，使f（x）的最小值为0，由于底数为4＞1，可得真数t=ax2+2x+3≥1恒成立，且真数t的最小值恰好是1，即a为正数，且当x=﹣=﹣时，t值为1．∴⇒⇒a=因此存在实数a=，使f（x）的最小值为0．点评：本题借助于一个对数型函数，求单调性与最值的问题，着重考查了函数的单调性与值域和二次函数的图象与性质等知识点，属于中档题．21．（12分）已知定义在R上的函数f（x）=2x﹣．（1）若f（x）=，求x的值；（2）若2t f（2t）+mf（t）≥0对于t∈[1，2]恒成立，求实数m的取值范围．考点：函数恒成立问题；函数的值．专题：函数的性质及应用．分析：（1）解方程即可；（2）将m分离出来，然后求等号另一边关于x的函数的最值，借助于单调性求该函数的最值．解答：解：（1）由．（2x﹣2）（2x+1）=0∵2x＞0⇒2x=2⇒x=1．（2）由m（2t﹣2﹣t）≥﹣2t（22t﹣2﹣2t），又t∈[1，2]⇒2t﹣2﹣t＞0，m≥﹣2t（2t+2﹣t）即m≥﹣22t﹣1．只需m≥（﹣22t﹣1）max令y=﹣22t﹣1，易知该函数在t∈[1，2]上是减函数，所以．综上m≥﹣5．点评：本题的第二问要仔细体会将不等式恒成立问题转化为函数的最值问题来解得基本思路，要注意总结．同时要注意利用换元法在此类问题时，中间变量t的范围．22．（12分）已知函数f（x）=log9（9x+1）+kx（k∈R）为偶函数．（1）求k的值；（2）解关于x的不等式．考点：函数奇偶性的性质；指、对数不等式的解法．专题：函数的性质及应用．分析：（1）转化为log9﹣log9（9x+1）=2kx恒成立求解．（2）利用（3x﹣a）（3x﹣）＞0，分类讨论求解．解答：解：（1）∵f（x）为偶函数，∴f（﹣x）=f（x），即log9（9﹣x+1）﹣kx=log9（49+1）+kx，∴log9﹣log9（9x+1）=2kx，∴（2k+1）x=0，∴k=﹣，（2），（I）①a＞1时⇒3x＞a或⇒{x|x＞log3a或，②0＜a＜1时或3x＜a，{x|x＞log或x＜log3a}，③a=1时⇒3x≠1，{x|x≠0}．点评：本题考查了函数的性质，不等式的解法，属于中档题．。