初一数学宝典

S S 1 22010 ， 2
∴ 1 22010
⹻
S 2 22009 ．
14. 观察下列各式：
① 41 2 1 (1 2)2 ；② 4 2 3 1 (2 3)2 ；③ 4 3 4 1 (3 4)2
（1）根据你观察、归纳、发现的规律，写出 4 2012 2013 1 可以看成哪个数的平方？
培
点 ②右边 a2 b2 2ab a2 b2 2ab 4ab 左边
③
݇⹻
④∵（a+b）2﹣4ab＝a2+b2+2ab﹣4ab＝（a﹣b）2≥0
∴݇⹻
支 （2）①如图 1 作等腰直角 ABC 边长为 a ，作等腰直角 DEC ，边长为 b ，
新
则 SABC a 2 ， SDEC b 2 ，长方形 BCDF 的面积为 ab
(x y)2 ( y 2)2 0 ，
(x y)2 0 ， ( y 2)2 0 ， x 2 ， y 2 ； 2x y 2 2 2 2 ； （2） a2 b2 6a 8b 25 0 ， a2 6a 9 b2 8b 16 0 (a 3)2 (b 4)2 0
D． (a 3)(a 2) a2 a 6
新D 、原式 a2 a 6 ，符合题意，
故选： D ． 2【. 17-18 玄武期末】每年四月北京很多地方杨絮、柳絮如雪花般漫天飞舞，人们不堪其扰．据
测定，杨絮纤维的直径约为 0.000 010 5 米，将 0.000 010 5 用科学记数法可表示为 ( )
6x 9，
当 x 1 时，原式 6 1 9 6 ．
2
2
点
支 13．已知 S 1 21 22 23 22009 ，请你计算右边的算式求出 S 的值．
【解答】解： S 1 21 22 23 22009 ， 21 S 21 22 23 22010 ，
新S 21S 1 22010 （相同项正负相消），
4
优
培 12.【17-18 建邺期末】先化简，再求值：(x 3)(x 1) (x 2)(x 2) 2(x 1)2 ，其中 x 1 ． 2
【解答】解： (x 3)(x 1) (x 2)(x 2) 2(x 1)2
x2 2x 3 x2 4 2(x2 2x 1)
x2 2x 3 x2 4 2x2 4x 2
新3m4．
10.【16-17 玄武期末】计算：
（1） 22 21 ( 8)2 ( 4 ) (3 )0 ；
5
5
（2） ( 3 ab2 3ab)(1 ab)
4
3
【解答】解：（1）原式 4 1 64 ( 5) 1 ， 2 25 4
2 16 1 ， 5
1； 5
（2）原式 1 a2b3 a2b2 ． 4
11.【16-17 育英二外期末】先化简，再求值：
(a 2b)2 (a b)(a b) 2(a b)(a 3b) ，其中 a 1 ， b 3 ．
4 【解答】解：原式 a2 4ab 4b2 a2 b2 2a2 8ab 6b2 4ab 3b2 ， 当 a 1 ， b 3 时，原式 3 27 30 ．
（2）已知 ABC 的三边长 a 、b 、c ，且满足 a2 b2 6a 8b 25 0 ，求 ABC 的最大边 c
的范围；
Байду номын сангаас
（3）已知 a b 4 ， ab c2 6c 13 0 ，则 a b c
．
【解答】解：（1） x2 2xy 2y2 4y 4 0 ，
x2 2xy y2 y2 4y 4 0 ，
．
支 【解答】解：4x2 mxy 9y2 是一个完全平方式，
mxy 2 2x 3y ， ⹻ 或 ⹻．
新4【. 16-17 育英二外期末】已知 (a b)2 16 ，(a b)2 4 ，则 a2 b2
【解答】解：(a b)2 16 ， (a b)2 4 ，
，ab
(a b)2 (a b)2 2(a2 b2 ) 16 4 20 ， (a b)2 (a b)2 4ab 16 4 12 ． a2 b2 10 ， ab 3 ．
．
故答案为：10，3．
5.【16-17 育英二外期末】对于有理数 a ，b ，定义 min{a ，b}的含义为：当
时，min{a ，
b} b ．当 a b 时， min{a ， b} a ．
例如： min{2 ， 4} 4 ， min{1， 1} 1 ．
（1） min{2 ， 3}
．
（2）求 min{x2 2 ， 0}．
2
2
由图形可得：长方形 BCDF 的面积比 ABC 和 DEC 的面积和少了 AEF 的面积
⹻
⹻
∴
݇
⹻⹻
②如图
2，作边长为 a
b 的正方形，可得 S正方形ABCD
(a b)2 ，则 SABO
(a b)2 4
(a b)2 2
，
SAEG
a2 2
， SBEF
b2 2
优
培 由图形可得 AEG 的面积与 BEF 的面积和比 ABO 的面积多个 FGO 的面积
新解：m2 2mn 2n2 8n 16 0 ，
(m2 2mn n2 ) (n2 8n 16) 0 ，(m n)2 (n 4)2 0 ， (m n)2 0 ， (n 4)2 0 ， n 4 ， m 4 ． 根据你的观察，探究下面的问题：
（1）已知 x2 2xy 2y2 4y 4 0 ，求 2x y 的值；
(b 2)2 (c 3)2 0 ，
新b 2 ，c 3 ，
a b 4 2 4 2 ，
a bc 223 3；
故答案为：3．
2.【17-18 鼓楼期末】利用拼图可以解释等式的正确性，也可以解释不等式的正确性．
（1）如图，4 块完全相同的长方形围成一个正方形．
①用不同的代数式表示图中阴影部分的面积，你能得到怎样的等式？
݇⹻
⹻
⹻
⹻
⹻݇⹻
自主练习 1.【16-17 玄武期末】下列运算正确的是 (
A． a6 a3 a2
点) B． (2ab2 )2 4ab4
支 C．(a 2)2 a2 4
【解答】解： A、原式 a3 ，不符合题意； B 、原式 4a2b4 ，不符合题意； C 、原式 a2 4a 4 ，不符合题意；
① ②得： 2(a2 b2 ) 10 ， 则 a2 b2 5 ，
培 故答案为：5
9.【17-18 秦淮期末】计算： （1） ( 1 )2 0 (3)2
点 2
支 （2） 2m33m (2m2)2 m6 m2
【解答】解：（1）原式 4 1 9 12 ； （2）原式 6m4 4m4 m4
（3）已知 min{2k 5 ， 1} 1 ，求 k 的取值范围．
（4）已知 min{5 ， 2m 4n m2 n2} 5 ．直接写出 m ， n 的值． 【解答】解：（1） min{2 ， 3} 2 ． 故答案为：2； （2） ⹻ ，
优
培 x2 20．
min{x2 1， 0} 0 ．
左边 右边，
优
培 4n(n 1) 1 (2n 1)2 ；
（3）利用前面的规律，可知
4( 1 x2 x)( 1 x2 x 1) 1 ( 1 x2 x 1 x2 x 1)2 (x2 2x 1)2 (x 1)4 ，
A．1.05 105
B． 1.05 105
C． 0.105104
D． 10.5 106
【解答】解：0.000 010 5 1.05 105 ．
故选： B ．
3．【16-17 栖霞期末】下列各式中，能用完全平方公式进行计算的是 ( )
A． (a b)(a b) B． (a b)(a b) C． (a b)(a b) 【解答】解： A、原式 a2 b2 ，不符合题意；
D． (a b)(a b)
B 、原式 (a b)2 a2 2ab b2 ，符合题意；
C 、原式 b2 a2 ，不符合题意； D 、原式 b2 a2 ，不符合题意， 故选： B ．
优
4.【16-17 秦淮期末】若 a2 b2 3 ， ab 1 ，则 (a b)2 的值为 (
．
【解答】解：(x 1)(x n) x2 ax 4
x2 (n 1)x n x2 ax 4
n 1 a n 4
解得： a 3 故答案为： 3
优
8.【15-16 秦淮期末】若 (a b)2 7 ， (a b)2 3 ，则 a2 b2
．
【解答】解：已知等式整理得：(a b)2 a2 b2 2ab 7 ①，(a b)2 a2 b2 2ab 3 ②，
A．3
B．4
【解答】解：a2 b2 3 ， ab 1 ，
C．5
培) D．9
点 (a b)2 a2 b2 2ab 3 2 5
故选： C ．
5.【17-18 鼓楼期末】若 an 10 ， bn 2 ，则 (ab)n
．
支 【解答】解：an 10，bn 2，
an bn (ab)n 10 2 20 ． 故答案为：20．
(a 3)2 0 ， (b 4)2 0 ，
培优
a 3，b 4； 43 c 43， 1 c 7 ， c 是最大边，
点
，
答： ABC 的最大边 c 的范围是：
；
（3） a b 4 ，
a b 4，
代入得： b(b 4) c2 6c 13 0 ，
支 b2 4b 4 c2 6c 9 0 ，
．
【解答】解：（1）当 2 x 3 1 时， x 2 ，此时 (4 3)25 1 ，等式成立；
（2）当 2x 3 1 时， x 1 ，此时 (2 3)15 1，等式成立；
点 （3）当 x 5 0 时， x 5 ，此时 (10 3)0 1，等式成立．
综上所述， x 的值为：2，1 或 5 ． 故答案为：2，1 或 5 ． 3.【17-18 玄武期末】如果 4x2 mxy 9y2 是一个完全平方式，则 m