2005年全国高中数学联赛天津赛区预赛(含解答)

sin A sin B sin C
2ab
∴
(cot
A
+
cot
B)
tan
C
=
c2 ab
⋅
a
2
2ab + b2 − c2
= a2
2c2 + b2 − c2
2c2 = 6c2 − c2
=
2 5
．
2、∵ f (ab) = af (b) + bf (a) ，∴ f (−x) = f (−1⋅ x) = (−1) f (x) + xf (−1) ．
4、将放入 A、B 两个文件的相邻抽屉记为“AB”，将放入 C、D 两个文件的相邻抽屉记为
“CD”，将放入文件 E 的抽屉记为“E”．于是，“AB”，“CD”，“E”及两个空抽屉可视为五
个元素，则这五个元素的全排列为 A55 ，由于文件 A、B 及文件 C、D 的排列数均为 A22 ，而 两个空抽屉又是两个相同的元素， 故满足条件的所有不同的方法的种数是 A55 ⋅ A22 ⋅ A22 =240（种）．
（B） 2 5
（C） 1 7
（D） 2 7
2、已知 f (x) 是定义在 R 上的不恒为 0 的函数，若对于任意的 a 、 b ∈ R 都满足
f (ab) = af (b) + bf (a) ，则函数 f ( x)
（A）是奇函数
（B）是偶函数
（C）既是奇函数又是偶函数
（D）既不是奇函数又不是偶函数
3、设由正整数有序数对（ x ， y ）组成如下数列：（1，1），（1，2），（2，1），（1，3），
又∵ f (−1) = f (−1⋅1) = (−1) × f (1) + 1× f (−1) = − f (1) + f (−1) ，得 f (1) =0．
而 f (1) = f ((−1) × (−1)) = (−1) × f (−1) + (−1) × f (−1) = −2 f (−1) ，
（C） 3
（D）1
A1
B1
2
2
2
6、设集合 M = { a a = x + y , 2x + 2y = 2t ，其中 x, y,t, a 均 t
F
D
C
为整数}， 则集合 M 中所有元素的和等于
（A）1 （B）4
（C）7
（D）8
A
EB
二、填空题（本题共 6 小题，每小题 5 分，满分 30 分）
7、已知定点 A(4, 7) ，若动点 P 在抛物线 y2 = 4x 上，且点 P 在 y 轴上的射影为点 M ，则
sin A sin B cosC
sin A ⋅ sin B
cos C
= sin( A + B) ⋅ sin C = sin2 C ⋅ 1 ． sin A ⋅ sin B cosC sin A ⋅ sin B cosC
∵ a = b = c ， cosC = a2 + b2 − c2 ，且已知 a2 + b2 = 6c2 ，
PA − PM 的最大值是_____．
( ) 8 、 已 知 函 数 f (x) 是 定 义 在 (−∞, 3] 上 的 减 函 数 ， 且 对 于 x ∈ R ， f a2 − sin x ≤ ( ) f a +1+ cos2 x 恒成立，则实数 a 的取值范围是__________．
9、在数列 {an} 中，已知 a1 = 2, an + an+1 = 1 （ n ∈N*），若 Sn 为数列 {an} 的前 n 项和，则
动点，直线 PA、PA1 分别与同一条一条准线 l 交于 M、M1 两点，试证明：以线段 MM1 为直
径的圆必经过椭圆外的一个定点． 15、若 P 是一个由数字 1，2，3，4，5，6，7，8，9 组成的 2n 位正整数，并同时满足如下 两个条件： ① 数字 1，2，3，…， n 在 P 中各出现两次； ② 每两个相同的数字 i （ i =1，2，3，…， n ）之间恰有 i 个数字． 此时，我们称这样的正整数 P 为“好数”．例如，当 n =3 时， P 可以是 312132． 试确定满足条件的正整数 n 的值；并各写出一个相应的好数 P ．
∴ f (−1) =0．∴ f (−x) = − f (x) ．又 f (x) 在 R 上不恒为 0， ∴ f (x) 是奇函数．
3、按 x + y 的值分群．
当 x + y =2 时，为第一群；
当 x + y =3 时，为第二群；
…
当 x + y = m + n 时，为第 m + n －1 群．
∵该数列的前 m + n －2 群共有有序数对
（C）第 (m + n −1)(m + n) + m 位 2
（D）第 (m + n − 2)(m + n −1) + m 位 2
4、将 A、B、C、D、E 五种不同的文件放入一排编号依次为 1，2，3，4，5，6，7 的七个
抽屉内，每个抽屉至多放一种文件．若文件 A、B 必须放入相邻的抽屉内，文件 C、D 也必
10、如图，建立平面直角坐标系．则
A(− 1 , 3 ) ， B(0,0) ， C(1,0) ， D(1 , 3 ) ．
22
22
设 E(a,0) （ a > 1 ），有
直线 CD 的方程为 y = − 3(x −1) ，
y A
2 5、如图，延长 CE 、 D1F 、 DA ，
在正方体 ABCD − A1B1C1D1 中，由 E、F分别是AB、AA1 的中点，
可知 CE 、 D1F 、 DA 三线交于一点 G ．连结 B1G ．
设正方体 ABCD − A1B1C1D1 的棱长为 1， 根据平面几何的知识， 可得 B1C = 2, B1G = 3,CG = 5, 满足 B1C 2 + B1G2 = CG2 ． ∴ B1C ⊥ B1G ． 同理， B1D1 ⊥ B1G ．
[1+ (m + n − 2)](m + n − 2) = (m + n − 2)(m + n −1) ．
2
2
而对于有序数对（ m ， n ），当 x = m 时，为第 m + n －1 群中的第 m 位，
∴有序数对（ m ， n ）在该数列的第 (m + n − 2)(m + n −1) + m 位． 2
（ Ⅱ ） 若 存 在 实 数 a ,b (a < b) ， 使 得 函 数 f (x) 的 定 义 域 是 [a, b] ， 值 域 是
[ma, mb] (m ≠ 0) ，求实数 m 的取值范围．
14、已知椭圆
x2 a2
+
y2 b2
=1（a
>b
> 0 ），其长轴为
A1 A ，P
是椭圆上不同于的
A1 、 A 的一个
有 a2 ≤ (3 + sin x)min = 2 ，解得 − 2 ≤ a ≤ 2 ；
若 a2 − a ≥ 1 + cos2 x + sin x = 2 + sin x − sin2 x = −(sin x − 1 )2 + 9 对 x ∈R 恒成立， 24
有
a2
−
a
≥
[−(sin
x
−
1 )2 2
+
S2003 − 2S2004 + S2005 的值是_____．
A
D
10、如图，菱形 ABCD 的边长为 1， ∠ABC = 120D ，
若 E 是 BC 延长线上任意一点， AE 交 CD 于点 F ，
JJJG JJJG 则向量 BF 与 ED 的夹角的大小等于_____度．
B
F
C
E
11、已知，如图（甲）正方体八个顶点分别赋值为 a,b,c, d,e, f , g, h ，然后将与每个顶点相
邻的正方体的三个顶点所赋值的算术平均值 a,b,c, d,e, f , g, h 记在另一个正方体的相应顶点
处，如图（乙）．
d
c
a
b
d
c
a
b
h
g
h
g
e
f
（甲）
e
f
（乙）
若 a = 9,b = 8,c = 11, d = 10,e = 13, f = 12, g = 15, h = 14 ，则 a + g 的值为_____． 12、已知二次函数 f (x) 满足 f (−1) = 0 ，且 x ≤ f (x) ≤ 1 (x2 +1) 对一切实数 x 恒成立，那么
须放入相邻的抽屉内，则文件放入抽屉内的满足条件的所有不同的方法有
（A）60 种
（B）120 种 （C）240 种 （D）480 种
5、已知正方体 ABCD − A1B1C1D1 中， E、F分别是AB、AA1 的中点，则平面 CEB1 与平面
D1FB1 所成二面角的平面角的正弦值为
D1
C1
（A） 1 （B） 2
简略参考答案
1、B 2、A 3、D 4、C 5、C 6、D
7、5 8、[− 2,1 − 10 ] 9、3 10、120 11、20 12、 1 ( x + 1)2
2
4
详细参考解答
一、选择题
1、在△ ABC 中，
(cot A + cot B) tan C = (cos A + cos B ) sin C = cos Asin B + sin Acos B ⋅ sin C