2019年高考数学一轮复习学案)： 第6章 不等式、推理与证明 第5节 综合法、分析法、反证法学案 理 北师大版

第五节综合法、分析法、反证法
[考纲传真] (教师用书独具)1.了解直接证明的两种基本方法——分析法和综合法；了解分析法和综合法的思考过程和特点；2.了解间接证明的一种基本方法——反证法；了解反证法的思考过程和特点．
(对应学生用书第101页)
[基础知识填充]
1．综合法、分析法
2.
(1)反证法的定义：在假定命题结论的反面成立的前提下，经过推理，若推出的结果
与定义、公理、定理矛盾，或与命题中的已知条件相矛盾，或与假定相矛盾，从而说明命题结论的反面不可能成立，由此断定命题结论成立的方法叫反证法．
(2)反证法的证题步骤：
①作出否定结论的假设；②进行推理，导出矛盾；③否定假设，肯定结论．
[基本能力自测]
1．(思考辨析)判断下列结论的正误．(正确的打“√”，错误的打“×”)
(1)分析法是从要证明的结论出发，逐步寻找使结论成立的充要条件．( )
(2)用反证法证明结论“a＞b”时，应假设“a＜b”．( )
(3)反证法是指将结论和条件同时否定，推出矛盾．( )
(4)在解决问题时，常用分析法寻找解题的思路与方法，再用综合法展现解决问题的
过程．( )
[答案] (1)× (2)× (3)× (4)√
2．用分析法证明时出现：欲使①A ＞B ，只需②C ＜D ，这里①是②的( )
A ．充分条件
B ．必要条件
C ．充要条件
D ．既不充分也不必要条件
B [由题意可知②⇒①，故①是②的必要条件．]
3．用反证法证明命题：“已知a ，b 为实数，则方程x 2
＋ax ＋b ＝0至少有一个实根”时，要做的假设是( )
A ．方程x 2
＋ax ＋b ＝0没有实根 B ．方程x 2＋ax ＋b ＝0至多有一个实根 C ．方程x 2＋ax ＋b ＝0至多有两个实根 D ．方程x 2＋ax ＋b ＝0恰好有两个实根
A [“方程x 2
＋ax ＋b ＝0至少有一个实根”的反面是“方程x 2
＋ax ＋b ＝0没有实根”，故选A.]
4．设a ，b ，c 都是正数，则a ＋1b ，b ＋1c ，c ＋1
a
三个数( )
A ．都大于2
B ．都小于2
C ．至少有一个不大于2
D ．至少有一个不小于2
D [∵⎝
⎛⎭⎪⎫a ＋1b ＋⎝
⎛⎭⎪⎫b ＋1c ＋⎝
⎛⎭
⎪⎫c ＋1a
＝⎝
⎛⎭⎪⎫a ＋1a ＋⎝
⎛⎭⎪⎫b ＋1b ＋⎝
⎛⎭
⎪⎫c ＋1c ≥6， 当且仅当a ＝b ＝c 时取等号， ∴三个数中至少有一个不小于2.]
5．(教材改编)在△ABC 中，三个内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，且A ，B ，C 成等差数列，a ，b ，c 成等比数列，则△ABC 的形状为__________三角形．
等边 [由题意2B ＝A ＋C ， 又A ＋B ＋C ＝π，∴B ＝π3
，又b 2
＝ac ，
由余弦定理得b 2
＝a 2
＋c 2
－2ac cos B ＝a 2
＋c 2
－ac ， ∴a 2
＋c 2
－2ac ＝0，即(a －c )2
＝0，∴a ＝c ， ∴A ＝C ，∴A ＝B ＝C ＝π
3，
∴△ABC 为等边三角形．]
(对应学生用书第102页)
(2017·江苏高考)对于给定的正整数k ，若数列{a n }满足：a n －k ＋a n －k ＋1＋…＋a n －1＋
a n ＋1＋…＋a n ＋k －1＋a n ＋k ＝2ka n ，对任意正整数n (n >k )总成立，则称数列{a n }是“P (k )数
列”．
(1)证明：等差数列{a n }是“P (3)数列”；
(2)若数列{a n }既是“P (2)数列”，又是“P (3)数列”，证明：{a n }是等差数列． [证明] (1)因为{a n }是等差数列，设其公差为d ，则
a n ＝a 1＋(n －1)d ，
从而，当n ≥4时，
a n －k ＋a n ＋k ＝a 1＋(n －k －1)d ＋a 1＋(n ＋k －1)d
＝2a 1＋2(n －1)d ＝2a n ，k ＝1,2,3，
所以a n －3＋a n －2＋a n －1＋a n ＋1＋a n ＋2＋a n ＋3＝6a n ， 因此等差数列{a n }是“P (3)数列”．
(2)数列{a n }既是“P (2)数列”，又是“P (3)数列”，因此， 当n ≥3时，a n －2＋a n －1＋a n ＋1＋a n ＋2＝4a n ，①
当n ≥4时，a n －3＋a n －2＋a n －1＋a n ＋1＋a n ＋2＋a n ＋3＝6a n .② 由①知，a n －3＋a n －2＝4a n －1－(a n ＋a n ＋1)，③
a n ＋2＋a n ＋3＝4a n ＋1－(a n －1＋a n )．④
将③④代入②，得a n －1＋a n ＋1＝2a n ，其中n ≥4， 所以a 3，a 4，a 5，…是等差数列，设其公差为d ′.
在①中，取n ＝4，则a 2＋a 3＋a 5＋a 6＝4a 4，所以a 2＝a 3－d ′， 在①中，取n ＝3，则a 1＋a 2＋a 4＋a 5＝4a 3，所以a 1＝a 3－2d ′， 所以数列{a n }是等差数列．
证明：(1)ab ＋bc ＋ac ≤1
3
；
(2)a 2b ＋b 2c ＋c 2
a
≥1.
【导学号：79140209】
[证明] (1)由a 2
＋b 2
≥2ab ，b 2
＋c 2
≥2bc ，c 2
＋a 2
≥2ac ， 得a 2
＋b 2
＋c 2
≥ab ＋bc ＋ca ， 由题设得(a ＋b ＋c )2
＝1， 即a 2
＋b 2
＋c 2
＋2ab ＋2bc ＋2ca ＝1. 所以3(ab ＋bc ＋ca )≤1， 即ab ＋bc ＋ca ≤1
3
.
(2)因为a 2b ＋b ≥2a ，b 2c ＋c ≥2b ，c 2
a ＋a ≥2c ，
故a 2b ＋b 2c ＋c 2
a ＋(a ＋
b ＋
c )≥2(a ＋b ＋c )， 即a 2b ＋b 2c ＋c 2
a ≥a ＋
b ＋
c . 所以a 2b ＋b 2c ＋c 2
a
≥1.
已知函数f (x )＝3x
－2x ，求证：对于任意的x 1，x 2∈R ，均有
f (x 1)＋f (x 2)
2
≥f ⎝
⎛⎭
⎪⎫x 1＋x 22.
求证：
1a ＋b ＋1b ＋c ＝3
a ＋
b ＋c
. [证明] 要证1a ＋b ＋1b ＋c ＝3a ＋b ＋c
， 即证
a ＋
b ＋
c a ＋b ＋a ＋b ＋c b ＋c ＝3，也就是c a ＋b ＋a
b ＋c
＝1， 只需证c (b ＋c )＋a (a ＋b )＝(a ＋b )(b ＋c )， 需证c 2
＋a 2
＝ac ＋b 2
，
又△ABC 三内角A ，B ，C 成等差数列， 故B ＝60°， 由余弦定理，得
b 2＝
c 2＋a 2－2ac cos 60°，
即b 2
＝c 2
＋a 2
－ac ，故c 2
＋a 2
＝ac ＋b 2
成立． 于是原等式成立．
设a >0，b >0，且a ＋b ＝1a ＋1
b
.证明：
(1)a ＋b ≥2；
(2)a 2
＋a <2与b 2
＋b <2不可能同时成立．
[证明] 由a ＋b ＝1a ＋1b ＝a ＋b
ab
，a >0，b >0，得ab ＝1.
(1)由基本不等式及ab ＝1， 有a ＋b ≥2ab ＝2，即a ＋b ≥2.
(2)假设a 2
＋a <2与b 2
＋b <2同时成立，则由a 2
＋a <2及a >0，得0<a <1； 同理，0<b <1，从而ab <1，这与ab ＝1矛盾． 故a 2
＋a <2与b 2＋b <2不可能同时成立．
(1)求数列{a n }的通项公式a n 与前n 项和S n ；
(2)设b n ＝S n
n
(n ∈N ＋)，求证：数列{b n }中任意不同的三项都不可能成为等比数列.
【导学号：79140210】
[解] (1)设等差数列{a n }的公差为d .
由已知得⎩⎨
⎧
a 1＝2＋1，
3a 1＋3d ＝9＋32，
所以d ＝2，故a n ＝2n －1＋2，S n ＝n (n ＋2)． (2)证明：由(1)得b n ＝S n n
＝n ＋2，
假设数列{b n }中存在三项b p ，b q ，b r (p ，q ，r ∈N ＋，且互不相等)成等比数列，则b 2
q ＝b p b r . 即(q ＋2)2
＝(p ＋2)(r ＋2)， 所以(q 2
－pr )＋2(2q －p －r )＝0，
因为p ，q ，r ∈N ＋，所以⎩
⎪⎨
⎪⎧
q 2
－pr ＝0，2q －p －r ＝0，
所以⎝
⎛⎭
⎪⎫p ＋r 22
＝pr ，(p －r )2＝0，
所以p ＝r ，与p ≠r 矛盾，
所以数列{b n }中任意不同的三项都不可能成等比数列．。