《数学分析专题》

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学科数学804数学教育概论是哪个学校的自命题

学科数学804数学教育概论是哪个学校的自命题珠海考试科目：（812）专业综合（1）《代数学基础》(上)，张英伯，王恺顺，北京师范大学出版社（2）《高等代数学》第三版，姚慕生，吴泉水，谢启鸿。

（3）《空间解析几何》（第四版），高红铸，王敬庚，傅若男，北京师范大学出版社（4）《解析几何》尤承业，北京大学出版社（5）《解析几何》（第三版），丘维声，北京大学出版社二、首都师范大学考试科目：（873）数学基础（1）《数学分析》高等教育出版社，第二、三版华东师范大学数学系；（2）《高等代数》高等教育出版社，第二、三版北京大学。

三、中央民族大学考试科目：（850）数学（微积分、线性代数）（不招收同等学力考生、双少生）四、天津师范大学考试科目：（904）数学教育理论（1）吴立宝，李春兰主编．《数学学科知识与教学能力（高中）》.北京师范大学出版社.2018；（2）张筱玮，潘超主编．《数学学科知识与教学能力（初中）》.北京师范大学出版社.2018五、河北北方学院考试科目：（904）数学分析与线性代数（1）《数学分析》华东师范大学数学系，高等教育出版社；（2）《线性代数》同济大学数学系，高等教育出版社。

六、太原师范学院考试科目：（824）数学教学论（不招收同等学力考生报名，要求本科阶段具有相同或相近专业背景）考试范围：数学教学论、现代数学教育观、数学教学反思、数学的基本特征、数学的文化价值、数学课程论的研究内容、数学课程的发展、义务教育数学课程标准（2011年版）和普通高中数学课程标准（2017年版）的基本理念及基本结构、数学有意义学习、数学建构主义学习、探究性学习理论、数学教学原则、数学教学方法、数学概念的教学、数学解题的教学、数学思想方法的教学、数学课堂教学的情境创设、数学课堂教学的提问、数学课堂教学语言、数学课的备课与说课、数学教育科研与写作。

七、山西师范大学考试科目：(829)教学技能与方法(只接收具有相同学科专业背景的考生)（1）教学技能（2015年）北京师范大学出版社陈旭远（2）教学技能（2013年）北京师范大学出版社张海珠八、内蒙古科技大学考试科目：（879）数学教学论九、内蒙古师范大学考试科目：(909)中学数学教学论（1）《数学教学论》曹一鸣张生春北京师范大学出版社2010（2）《中学数学教学论》代钦斯钦孟克陕西师范大学出版社2009。

9.8章定积分考研专题(共141张)

第19页，共141页。
解：n x | sin x | dx n (1)k1 k x sin xdx
0
(k 1)
k 1
n
(1)k1 (sin
x
x
c os x)
|k
(k 1)
k 1
n
(2k 1) n2。
k 1
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例7 定积分的计算
设F( y)
1
|
x
yx2
|
dx,
I
0
1
1 sin 2
x
dx
[
1 arctan( 2
2 tan x)]0
0
上述解法是错误的。理由在于题目所给导数关系
在x 处不成立，故不能直接利用N L公式。
2
第27页，共141页。
例8 定积分的计算
已知[ 1 arctan( 2
2
tan
x)]'
1
1 sin2
x
,
求积分I
1 0 1 sin2 x dx
(x
ln
|
sin
x
c os x
|)
C
所以： / 2 sin x dx 0 sin x cos x
1 2
(x
ln
|
sin
x
c os x
|)
|0
/2
/
4
第6页，共141页。
法三： / 2 sin x dx 0 sin x cosx
/ 2
x /2t
cost
/2
dt
c os x
dx
第7页，共141页。
注：
法一利用三角函数有理式的不定积分一般步骤，

《数学分析》课程标准

《数学分析》课程标准一．课程的地位与总体目标《数学分析》是师范院校数学与应用数学专业的主干课程，位于基础课程之首；其教学周期最长，一般需横跨三个学期；开设该课程，可使学生获得实数理论，极限论，微积分学以及级数论等方面的系统知识，接触现代数学的基本方法和基本技巧，提高学生分析问题和解决问题的能力，一方面为学习复变函数论，实变函数，常微分方程，概率论与数理统计等后续专业课程打好基础，另一方面也为学生走上工作岗位时能居高临下地把握中学数学教材作好必要的准备。

《数学分析》课程的设置，对于提高学生的专业技能和水平，培养学生的辨证思维观与创新素质等方面，都起到举足轻重的作用．根据本课程教学大纲的要求，通过本课程的教学，应达到以下目标：1．使学生掌握数学分析的基本概念，基本理论和基本方法，从而使学生具有知识系统化．2．加强学生的现代数学分析修养，培养学生分析问题和解决问题的能力．3．引导学生能居高临下地处理中学教学中的有关问题，以便他们胜任毕业后的教学工作．二．课程的内容标准第一章实数集与函数(一) 具体目标1．清楚实数的无限小数表示、序定义及不足近似与过剩近似 2．知道实数的性质，清楚实数绝对值的定义及性质 3．清楚区间与邻域的概念．4．掌握数集的上、下确界的定义，熟悉确界原理的条件、结论 5．深刻理解函数概念，掌握初等函数概念 6．清楚函数的四则运算、复合函数、反函数的概念 7．进一步了解函数几种表示方法和具体某些特殊的函数 (二) 典型例题例1 设, a b R ∈.证明：若+∈∀R ε有ε+<b a ，则b a ≤．例2 设Q S ⋂=)1,0(.试按定义验证：1sup =S ，inf 0S =．例3 设R B A ⊂≠,φ，满足：B y A x ∈∀∈∀,有y x ≤．证明：B A inf sup ≤．例4 验证：||)(3x x f =是初等函数．例5 证明：xx f 1)(=在]1,0(上无上界．例6 验证：3)(x x f =在R 上严格递增．(三) 课题学习课题：了解微积分学的发展简史．目的：增长学生的背景知识 (激发学生的学习兴趣)．方法：分组收集材料，写成专题材料，集中交流．(一) 具体目标1．理解和掌握数列极限的N -ε定义 2．学会用N -ε定义证明数列的极限3．熟练地利用收敛数列的性质及极限存在的充分条件求数列的极限（二）典型例题例l 证明：若[)+∞∈,2α，则01lim=∞→αn n ．例2 证明：若()1,1-∈q ，则0lim =∞→n n q ．例3 证明：若+∈R α，则1lim =∞→n n a ．例4 求数列{}nn 的极限．例5 求)1(lim n n n n -+∞→．例6 设[)+∞∈,2α，证明数列{}⎭⎬⎫⎩⎨⎧+++=αααn a n 12111收敛．例7 证明：nn n ⎪⎭⎫⎝⎛+∞→11lim 存在．(三) 课题学习课题：斯泽兹（Stolz ）定理及应用．目的：使学生掌握“∞∞”型及“00”型数列极限的计算及证明，为进一步学习极限打下坚实的基础．方法：习题课 (从a na a a a a nn n n =+++⇒=∞→∞→ 21limlim 引入)．(一) 具体目标1．理解和掌握各种趋势函数的极限的定义 2．学会用定义(尤其δε-定义)证明函数的极限3．能熟练地利用函数极限的性质，两个重用极限，求函数极限 4．能利用极限存在准则判定函数极限不存在 5．会利用归结原则求函数值列的极限 6．掌握无穷小量及其阶的概念 7．会求曲线的渐近线 (二) 典型例题例1 证明01lim=∞→xx ．例2 证明424lim22=--→x x x ．例3 求⎥⎦⎤⎢⎣⎡→x x x 1lim 0．例4 证明)1311(lim 31+-+→x x x ．例5 证明极限x x 1sin lim 0→不存在．例6 求20cos 1lim xxx -→．例7 求xx x 1)21(lim +→．例8 求21)1(21))1(1(lim n n n n n ---∞→-+．例9 求xxx 4sin arctan lim0→．例10 ,32)(23-+=x x x x f 求曲线)(x f y =的渐近线． (三) 课题学习课题：二十四种类型函数极限统一的δε-定义，结论叙述及证明．目的：使学生对函数极限有更全面更深刻的认识．方法：本章总结时，教师引导学生改进一些邻域记号±∞∞,的邻域规定，并一起完成统一的δε-定义等．第四章函数的连续性(一) 具体目标1．连续性的概念(1) 深刻理解函数在一点连续的概念 (2) 理解函数的单侧连续性 (3) 掌握间断点及其分类 (4) 理解函数在区间上连续性 2．连续函数性质(1) 理解掌握连续函数的局部性质——有界性、保号性；连续函数的有理运算 (2) 理解掌握复合函数的连续性、反函数的连续性 (3) 理解一致连续性定义(4) 闭区间上连续函数的性质——有界性、取得最大最小值性、介值性、一致连续性3．初等函数连续性理解掌握初等函数连续性 (二) 典型例题例1 按定义证明函数||)(x x f =在其定义域内连续．例2 指出函数||sin )(x xx f =的间断点并说明其类型．例3 证明：若f 在0x 点连续，则||f 与2f 也在点0x 连续．又问：若||f 与2f 在点0x 连续，那么f 在0x 点是否必连续？例4 设f 为区间I 上的单调函数．证明：若I x ∈0为f 的间断点，则0x 必是f 的第一类间断点．例5 试用一致连续的定义证明：若f ，g 都在区间I 上一致连续，则g f +也在I 上一致连续．例6 设f 在]2,0[a 上连续，且)2()0(a f f =. 证明：存在点],0[0a x ∈，使得)()(00a x f x f +=．例7 设函数f 在),(b a 连续，且+∞=-=+)0()0(b f a f ．证明f 在),(b a 内能取到最小值．(三) 课题学习课题1：闭区间上连续函数性质的条件是充分必要的吗?目的：促使学生自己动手总结解题技巧和注意点,使知识系统化．方法：与习题课和作业结合起来安排．课题2：证明函数连续的常用方法目的：促使学生自己动手总结解题技巧和方法,使知识系统化．方法：与习题课和作业结合起来安排．第五章导数和微分(一) 具体目标1．导数的概念(1) 深刻理解导数的概念，能准确的表述其定义(2) 明确导数的物理、几何意义(3) 能从定义出发求一些简单函数的导数(4) 了解导数与导函数的相互联系与区别(5) 明确导数与单侧导数、可导与连续的关系(6) 会求曲线上一点处的切线方程2．求导法则(1) 熟练掌握导数的四则运算法则(2) 会求函数的导数(3) 熟练的掌握复合函数的求导法则(4) 掌握对数的求导法(5) 熟练基本初等函数的函数公式，运用法则与熟练准确的求出初等函数的导数3．参变量函数的导数(1) 了解光滑曲线的概念(2) 会求由线方程给出的函数的导数4．高阶导数(1) 掌握高阶的定义(2) 会求函数的高阶导数(3) 会用莱布尼茨求函数的n阶导数(4) 会求由参数方程确定的二阶导数5．微分(1) 理解函数一定的微分的定义，并给出几何解释(2) 能从定义出发求某些函数的微分(3) 能熟练的运用基本微分表和微分运算公式求初等函数的微分(4) 明确函数在一定可导与一定可微的之间的一致性，并会利用导数求微分，利用微分求导数(5) 掌握高阶微分的定义，会求函数的高阶微分(6) 正确理解和运用一阶微分形式的不变性，并与高阶微分清楚的加以区分 (7) 会应用微分的实际意义解决某些计算问题 (二) 典型例题1．导数的概念例1 ⎪⎩⎪⎨⎧=≠=0001sin )(x x xx x f 其中m 为正整数，试讨论（1） m 为何值时，f 在0=x 连续；（2） m 为何值时，f 在0=x 可导；（3） m 为何值时，f '在0=x 连续．例2 证明：若)(x f 存在则，则)(2)()(lim 0000x f xx x f x x f x '=∆∆+-∆+→∆．2．求导法则例1 求下列函数的导数(1) )ln(arccos x y =． (2) xx x y =．(3) )())((21n a x a x a x y ---= ．例2 对下列各函数计算)1(),1(),(-'+''x f x f x f ．(1) 3)(x x f = (2) 3)1(x x f =+ (3) 3)1(x x f =+3．参变量函数的导数例1 设⎩⎨⎧-=-=)cos 1()sin (t a y t t a x ，求2|π=t dx dy．例2 设曲线方程为22,1t t y t x -=-=，求它在下列各处的切线方程与法线方程．(1) 1=t (2) 22=t 4．高阶导数例1 设f 为二阶导函数，求)(x f y =的二阶导数．例2 求函数b e y ax sin = (b a ,均为实数)的n 阶导数．例3 求由参数方程⎩⎨⎧==te y te x tt sin cos 所确定的函数的二阶导数． 5．微分例l 求函数21arcsin x y -=的微分．例2 设x e x v x x u ==)(,ln )(，求)(),(33xud uv d ．例3 利用微分求302.1的近似值． (三) 课题学习课题：求函数的高阶导数的技巧目的：促使学生自己动手总结解题技巧，使文字知识和技巧系统化。

数学分析I,II,III

中国海洋大学本科生课程大纲课程属性：学科基础课程性质：必修一、课程介绍1.课程描述：数学分析是以极限为工具研究函数的学科，是数学专业的一门重要基础课，共分三个学期讲授。

数学分析针对数学类专业一、二年级学生开设，它一方面为后继课程提供所需的基础知识，同时又为培养学生利用数学工具进行独立工作的能力提供必需的训练。

学生学好这门课程的基本内容和方法，对后继课程的学习具有关键性的作用。

通过本课程的学习，要求学生掌握一元函数微积分学、多元函数微积分学与级数理论中的基本概念、基本理论和基本运算，并培养学生对数学问题的思维能力、论证能力、运算技能和独立分析、解决问题的能力。

本课程主要内容包括：数学分析I——函数、极限和连续、实数基本定理、导数与微分、微分学基本定理及应用、不定积分。

数学分析II——定积分、定积分的应用和近似计算、数项级数、广义积分、函数项级数、幂级数、Fourier级数和Fourier变换、多元函数的极限与连续。

数学分析III——多元函数的偏导数和全微分，极值和条件极值，隐函数存在定理，含参量的积分和含参量的反常积分，多元函数各种积分的定义、性质和运算，场论初步。

2.设计思路：本课程是专业基础课，为数学专业一二年级新生设置，教学历时3个学期，教学内- 9 -容为学生专业发展的后继学习奠定必要的理论基础。

课程内容的选取基于该课程作为分析类课程的基础性地位。

课程内容主要包括三大模块：单变量微积分学、多变量微积分学、级数理论；三大模块相互联系，体现了数学分析研究的基本内容和方法。

单变量微积分学是数学分析中最基础的部分，内容是研究函数的微分、积分及其应用，重用极限与连续的工具。

主要包括函数、极限和连续、实数基本定理、导数与微分、微分学基本定理及应用、不定积分、定积分、定积分的应用和近似计算、广义积分。

多变量微积分学是在单变量微积分学的基础上，将研究的一元函数推广为更为广泛的多元函数上去。

内容包括多元函数的极限与连续、多元函数的偏导数和全微分、极值和条件极值、隐函数存在定理、含参量的积分和含参量的反常积分、多元函数各种积分的定义、性质和运算、场论初步。

国开(中央电大)本科《数学分析专题研究》网上形考(任务1至3)试题及答案

国开（中央电大）本科《数学分析专题研究》网上形考（任务1至3）试题及答案国开(中央电大)本科《数学分析专题研究》网上形考(任务1至3)试题及答案形考任务1 试题及答案题目1: , , 是三个集合, 若, 则有( )成立。

[答案] 题目2: , 则( )。

[答案] 题目3: 与自然数集N等势的集合称之为( )。

[答案]可列集题目4: 设是从到的映射, 则下列说法正确的是( )。

[答案] 题目5: 设, 是两个集合且, 则( )。

[答案]= 题目6: 设是中的关系, 若, 则称为( )。

[答案]反对称的题目7: 设是一集合, 对于, 规定, 则是一( )。

[答案]半序集题目8: 若集合, 则( )。

[答案] 题目9: 对整数加法来说, 整数集中( )。

[答案]零元和负元素都存在题目10: 对于复数集 , 下列说法正确的是( )。

[答案]它不能成为有序域题目11:1.设是中的关系, 若是_______, 对称的, 传递的, 则称是等价关系。

[答案]反身的 2.设是非空的实数集, 若存在实数, 满足1), 有；2)_______, 则称是数集的下确界。

[答案] 3.一个集合若不能与_______建立一个双射, 则称该集合为有限集。

[答案]其任一真子集 4.若集合上的运算满足_______, 则的左零元就是的右零元, 也就是的零元。

[答案]交换律 5.对于半序集合的元素, 若_______, 则称为的极大元。

[答案]任意的都不成立6.既约分数可以化成有限小数当且仅当只含有_______的因数。

[答案]2与5 7._______。

[答案] 8.设是非空有界实数集, 令 , 则_______。

[答案] 9.在自然数集中, 能进行减法运算当且仅当被减数_______减数。

[答案]> 10.若数列单调增加且有________, 则数列收敛。

[答案]上界题目12: 设集合A={1, 2, 3456.7, 8}, 关系D4为整除关系(1)写出集合A中的最大元, 最小元, 极大元, 极小元;(2)写出A的子集B={12, 4}的上界、下界、最小上界和最大下界。

数学分析专题选讲教案

数学分析专题选讲教案一、引言1.1 课程背景1.2 课程目标1.3 课程内容概述1.4 教学方法与手段二、函数极限与连续性2.1 函数极限的概念2.2 极限的性质与运算2.3 无穷小与无穷大2.4 函数的连续性2.5 连续函数的性质与应用三、导数与微分3.1 导数的概念3.2 导数的计算规则3.3 高阶导数3.4 隐函数与参数方程函数的导数3.5 微分学的基本定理与应用四、不定积分与定积分4.1 不定积分的基本概念与计算方法4.2 定积分的基本概念与计算方法4.3 定积分的性质与应用4.4 变限积分的导数4.5 定积分的推广与应用五、微分方程5.1 微分方程的基本概念5.2 常微分方程的解法5.3 线性微分方程5.4 微分方程的应用5.5 线性微分方程组六、级数6.1 级数的基本概念6.2 幂级数6.3 泰勒级数与麦克劳林级数6.4 级数的收敛性6.5 级数的应用七、多元函数微分学7.1 多元函数的基本概念7.2 多元函数的极限与连续性7.3 多元函数的偏导数7.4 全微分与高阶偏导数7.5 多元函数的极值及其判定八、重积分8.1 二重积分的基本概念与计算8.2 二重积分的性质与应用8.3 三重积分的基本概念与计算8.4 三重积分的性质与应用8.5 重积分的应用案例九、常微分方程组9.1 常微分方程组的概述9.2 常微分方程组的解法9.3 常微分方程组的解的存在性与唯一性9.4 常微分方程组的应用9.5 常微分方程组的数值解法十、泛函分析与线性空间10.1 泛函分析的基本概念10.2 线性空间与线性映射10.3 内积空间与正交关系10.4 希尔伯特空间与巴拿赫空间10.5 泛函分析在数学分析中的应用十一、微分几何11.1 微分几何基本概念11.2 曲线和曲面的切线与法线11.3 曲率、挠率和曲率张量11.4 测地线与测地线方程11.5 微分几何在物理学和工程学中的应用十二、偏微分方程12.1 偏微分方程的定义与分类12.2 偏微分方程的基本解法12.3 偏微分方程的解的存在性与唯一性12.4 偏微分方程的应用案例12.5 偏微分方程的数值解法十三、复变函数13.1 复数与复平面13.2 复变函数的基本概念13.3 复变函数的积分13.4 复变函数的级数13.5 复变函数在复平面上的应用十四、随机变量与概率积分14.1 随机变量及其分布14.2 随机变量的数字特征14.3 概率积分与变换14.4 随机过程的基本概念14.5 随机过程的应用十五、数值分析15.1 数值分析概述15.2 插值法与函数逼近15.3 数值微积分15.4 常微分方程的数值解法15.5 非线性方程与系统的数值解法重点和难点解析一、函数极限与连续性重点：函数极限的性质与运算，无穷小与无穷大的概念，函数的连续性及其性质。

对称性在二重积分计算中的应用

㊀㊀㊀１２５㊀㊀对称性在二重积分计算中的应用对称性在二重积分计算中的应用Һ陈楚申１㊀廖小莲２㊀（１．湖南工业大学数学与应用数学专业１８０２班，湖南㊀株洲㊀４１２０００；２．湖南人文科技学院数学与金融学院，湖南㊀娄底㊀４１７０００）㊀㊀ʌ摘要ɔ‘数学分析“是所有高校数学与应用数学专业的一门重要的基础课，二重积分是‘数学分析“的内容之一，解二重积分的常见方法是在直角坐标系或极坐标系下根据积分区域的类型将其转化为定积分后进行计算，但遇到比较复杂的积分计算或证明时，常规方法解题有局限性．我们如果能灵活运用积分区域和被积函数的对称性，那么许多积分的解题过程可以得到简化．本文着重讨论了对称性在二重积分计算中的应用，并借助实例分五种情况进行了讨论，指出了对称性解题的优点及应该注意的条件．ʌ关键词ɔ二重积分；对称性；应用ʌ基金项目ɔ湖南省普通高校教学改革研究项目（编号：湘教通２０１９２９１号Ｎｏ９２０）１㊀引㊀言二重积分是二元函数在平面区域上的积分，在‘数学分析“中占据着重要的地位，对我们学习诸如‘概率论与数理统计“等后续课程至关重要，其在几何㊁力学等多方面都有着广泛的应用．因此，灵活掌握二重积分的计算是十分必要的．我们知道，二重积分的计算是通过将该二重积分转化为定积分而实现的，但这个转化过程既要受积分区域的类型又要受被积函数的特点的约束．在直角坐标系下，我们将积分区域分为Ｘ－型区域和Ｙ－型区域，或者将区域的划分转化为Ｘ－型区域与Ｙ－型区域的和，然后再将二重积分化为先对ｙ后对ｘ和先对ｘ后对ｙ的累次积分．有时我们利用二重积分的变量变换公式，可使得被积函数简单化或积分区域简单化．除此之外，用极坐标来计算二重积分也是常见的办法．但是，有些二重积分，单纯用这些方法来计算，计算量会很大且容易出错．我们如果能够充分利用积分区域的对称性和被积函数的奇偶性，有时就可达到事半功倍的效果．因此，本文对对称性在二重积分计算中的应用进行较详细的探讨，并辅以实例来分析二重积分的具体计算过程．２㊀文献综述积分学是‘数学分析“课程中的重要内容，而二重积分是积分学的重要组成部分，是学习曲线积分㊁三重积分问题的基础．许多学者对二重积分的计算的问题进行了研究，并给出了一些好的计算方法和计算技巧．张云艳在文献［１］中举例说明了积分区城的轮换对称性在积分计算中的应用，指出我们在某些复杂的积分计算过程中，若能注意并充分利用积分区域轮换对称性或被积函数的奇偶对称性，往往可以简化计算过程，提高解题的效率．马志辉在文献［２］中对对称性在积分中的应用进行了研究，文章首先阐述了对称性在多元函数积分下的性质，并借助实例对对称性在积分中的应用进行了研究，主要考虑了两种情况：一是当且仅当积分区域和被积函数都具有对称性时，我们可以利用对称性简化积分的计算，二是当积分区域和被积函数具有轮换对称性时，我们也可以利用对称性简化二重积分的计算．葛淑梅在文献［３］中通过由类比一元连续函数在对称区间上定积分的计算方法，导出二元连续函数在对称区域上二重积分的计算方法，使得对称区域上难于计算的二重积分得以简化．在原被积函数不具备奇偶性计算困难的情况下，利用积分对积分区域的可加性，将其转换为几个容易计算的二重积分来计算．景慧丽㊁屈娜在文献［４］中介绍了二重积分的计算具有较大的开放性，针对一道二重积分的题目存在许多计算方法，并且对每种方法的使用技巧及使用范围进行了说明，这可以培养学生的思维发散性．刘红梅在文献［５］中对二重积分的求解进行了研究，通过证明和推导指出二重积分在区域对称以及函数奇偶下有简便算法，并通过具体的实例进行求解进一步证明，巧妙利用二重积分的对称性质能极大地简化二重积分问题，提高求解的效率．３㊀对称性在二重积分计算中的应用利用对称性计算二重积分∬Ｄｆ（ｘ，ｙ）ｄσ，既要考虑积分区域的对称性，又要考虑被积函数ｆ（ｘ，ｙ）关于某一自变量ｘ或ｙ的奇偶性，而且还要将被积函数的奇偶性与积分区域的对称性相结合进行考虑．我们如果能充分利用对称性来考虑二重积分问题，那么很多时候可以简化计算．３．１㊀平面区域Ｄ是关于ｙ轴对称的情形引理１㊀若二元函数ｆ（ｘ，ｙ）在平面区域Ｄ上连续，且平面区域Ｄ关于ｙ轴对称，则有如下结论：（１）当被积函数ｆ（ｘ，ｙ）关于自变量ｘ为奇函数时，即ｆ（－ｘ，ｙ）＝－ｆ（ｘ，ｙ），则二重积分∬Ｄｆ（ｘ，ｙ）ｄσ＝０；（２）当被积函数ｆ（ｘ，ｙ）关于自变量ｘ为偶函数时，即ｆ（－ｘ，ｙ）＝ｆ（ｘ，ｙ），则二重积分∬Ｄｆ（ｘ，ｙ）ｄσ＝２∬Ｄ１ｆ（ｘ，ｙ）ｄσ，其中Ｄ１是平面区域Ｄ的右半部分，即Ｄ１＝（ｘ，ｙ）ɪＤ｜ｘȡ０{}．例１㊀计算二重积分∬Ｄｘｓｉｎ（ｘ２＋ｙ２）ｄｘｄｙ，其中Ｄ＝（ｘ，ｙ）ｘ２＋ｙ２ɤ２ｙ{}．解㊀因为积分域Ｄ关于ｙ轴对称，被积函数ｆ（ｘ，ｙ）＝ｘｓｉｎ（ｘ２＋ｙ２）是关于ｘ的奇函数，所以由对称性得∬Ｄｘｓｉｎ（ｘ２＋ｙ２）ｄｘｄｙ＝０．３．２㊀平面区域Ｄ是关于ｘ轴对称的情形引理２㊀若二元函数ｆ（ｘ，ｙ）在平面区域Ｄ上连续，且平面区域Ｄ关于ｘ轴对称，则有如下结论：（１）当被积函数ｆ（ｘ，ｙ）关于自变量ｙ为奇函数时，即ｆ（ｘ，－ｙ）＝－ｆ（ｘ，ｙ），则二重积分∬Ｄｆ（ｘ，ｙ）ｄσ＝０；（２）当被积函数ｆ（ｘ，ｙ）关于自变量ｙ为偶函数时，即ｆ（ｘ，－ｙ）＝ｆ（ｘ，ｙ），则二重积分∬Ｄｆ（ｘ，ｙ）ｄσ＝２∬Ｄ２ｆ（ｘ，ｙ）ｄσ，其中Ｄ２是平面区域Ｄ的上半部分，即Ｄ２＝｛（ｘ，ｙ）ɪＤ｜ｙȡ０｝．㊀㊀㊀㊀㊀１２６㊀例２㊀计算二重积分∬Ｄ(ｘｙ２＋ｘｙｅｘ２＋ｙ２２)ｄｘｄｙ，其中Ｄ是由直线ｘ＝１，ｙ＝ｘ与ｙ＝－ｘ所围区域．解㊀由积分对区域的可加性，有∬Ｄｘｙ２＋ｘｙｅｘ２＋ｙ２２()ｄｘｄｙ＝∬Ｄｘｙ２ｄｘｄｙ＋∬Ｄｘｙｅｘ２＋ｙ２２ｄｘｄｙ．设区域Ｄ：０ɤｘɤ１，－ｘɤｙɤｘ，{区域Ｄ１：０ɤｘɤ１，０ɤｙɤｘ，{则区域Ｄ是关于ｘ轴对称的区域，且函数ｆ（ｘ，ｙ）＝ｘｙ２是关于ｙ的偶函数，函数ｇ（ｘ，ｙ）＝ｘｙｅｘ２＋ｙ２２是关于ｙ的奇函数，因此，由上面的引理知，∬Ｄｘｙ２ｄｘｄｙ＝２∬Ｄ１ｘｙ２ｄｘｄｙ，∬Ｄｘｙｅｘ２＋ｙ２２ｄｘｄｙ＝０，所以原二重积分∬Ｄ(ｘｙ２＋ｘｙｅｘ２＋ｙ２２)ｄｘｄｙ＝∬Ｄ１２ｘｙ２ｄｘｄｙ＝ʏ１０ｄｘʏｘ０２ｘｙ２ｄｙ＝２１５．３．３㊀平面区域Ｄ是关于ｙ轴以及ｘ轴均对称的情形引理３㊀若二元函数ｆ（ｘ，ｙ）在平面区域Ｄ上连续，且平面区域Ｄ关于ｙ轴以及ｘ轴均对称，则如果ｆ（ｘ，ｙ）关于变量ｘ，ｙ都是偶函数，即ｆ（－ｘ，ｙ）＝ｆ（ｘ，ｙ），且ｆ（ｘ，－ｙ）＝ｆ（ｘ，ｙ），则∬Ｄｆ（ｘ，ｙ）ｄσ＝４∬Ｄ３ｆ（ｘ，ｙ）ｄσ，其中Ｄ３是平面区域Ｄ在第一象限的部分，即Ｄ３＝（ｘ，ｙ）ɪＤ｜ｘȡ０，ｙȡ０{}．例３㊀计算二重积分：∬Ｄ（ｘ＋ｙ）ｄｘｄｙ，其中区域Ｄ的范围是ｘ＋ｙɤ１．解㊀区域Ｄ是关于两坐标轴都对称的区域，同时被积函数ｆ（ｘ，ｙ）＝ｘ＋ｙ关于变量ｘ，ｙ都是偶函数，由引理３知∬Ｄ（ｘ＋ｙ）ｄｘｄｙ＝４∬Ｄ１（ｘ＋ｙ）ｄｘｄｙ，其中Ｄ１为区域Ｄ中的第一象限所在的部分且Ｄ１是关于直线ｙ＝ｘ对称的，所以∬Ｄ（ｘ＋ｙ）ｄｘｄｙ＝４∬Ｄ１（ｘ＋ｙ）ｄｘｄｙ＝４∬Ｄ１（ｘ＋ｙ）ｄｘｄｙ＝４ʏ１０ｄｘʏ１－ｘ０（ｘ＋ｙ）ｄｙ＝４３．其中Ｄ１是平面区域Ｄ在第一象限的部分，即Ｄ１＝｛（ｘ，ｙ）ɪＤ｜ｘȡ０，ｙȡ０｝．３．４㊀平面区域Ｄ是关于原点对称的情形引理４㊀若二元函数ｆ（ｘ，ｙ）在平面区域Ｄ上连续，且平面区域Ｄ关于原点对称，则：（１）如果ｆ（ｘ，ｙ）关于变量ｘ为奇函数而关于ｙ是偶函数（或者ｆ（ｘ，ｙ）关于变量ｘ为偶函数而关于ｙ是奇函数），则∬Ｄｆ（ｘ，ｙ）ｄσ＝∬Ｄ１ｆ（ｘ，ｙ）ｄσ＋∬Ｄ１ｆ（－ｘ，－ｙ）ｄσ＝０；（２）如果ｆ（ｘ，ｙ）关于变量ｘ，ｙ都是偶函数（或者ｆ（ｘ，ｙ）关于变量ｘ，ｙ都是奇函数），则∬Ｄｆ（ｘ，ｙ）ｄσ＝２∬Ｄ１ｆ（ｘ，ｙ）ｄσ，其中Ｄ１为原点一侧的部分．例４㊀计算二重积分：Ｉ＝∬Ｄｘｙｄσ，其中平面区域Ｄ是由方程（ｘ２＋ｙ２）２＝２ｘｙ所确定的区域．解㊀因为区域Ｄ是关于原点对称的，且被积函数ｆ（ｘ，ｙ）＝ｘｙ关于变量ｘ为奇函数，关于变量ｙ也为奇函数，所以由引理４，有：Ｉ＝２∬Ｄ１ｘｙｄσ，其中Ｄ１为平面区域Ｄ的第一象限部分．下面利用极坐标计算此二重积分，得Ｉ＝２∬Ｄ１ｘｙｄσ＝２ʏπ２０ｃｏｓθｓｉｎθｄθʏｓｉｎ２θ０γ２ｄγ．（计算略）３．５㊀平面区域Ｄ具有轮换对称性的情形引理５㊀若二元函数ｆ（ｘ，ｙ）在平面区域Ｄ上连续，则：（１）如果积分区域Ｄ关于ｘ，ｙ具有轮换对称性，则∬Ｄｆ（ｘ，ｙ）ｄｘｄｙ＝∬Ｄｆ（ｙ，ｘ）ｄｘｄｙ＝１２∬Ｄ（ｆ（ｘ，ｙ）＋ｆ（ｙ，ｘ））ｄｘｄｙ．（２）如果区域Ｄ关于直线ｙ＝ｘ对称，则：①如果被积函数满足ｆ（ｘ，ｙ）＝ｆ（ｙ，ｘ），则∬Ｄｆ（ｘ，ｙ）ｄｘｄｙ＝２∬Ｄ１ｆ（ｘ，ｙ）ｄｘｄｙ．②如果被积函数满足ｆ（ｘ，ｙ）＝－ｆ（ｙ，ｘ），则∬Ｄｆ（ｘ，ｙ）ｄｘｄｙ＝０．其中Ｄ１为Ｄ位于直线ｙ＝ｘ上半部分的区域．例５㊀计算二重积分Ｉ＝∬Ｄｘ２－ｙ２ｘ＋ｙ＋３ｄｘｄｙ，其中区域Ｄ＝（ｘ，ｙ）丨ｘ＋ｙɤ１{}．解㊀因为在积分区域中ｘ与ｙ互换不影响积分结果，所以该积分具有轮换对称性，由引理５，我们可得：∬Ｄｘ２ｘ＋ｙ＋３ｄｘｄｙ＝∬Ｄｙ２ｘ＋ｙ＋３ｄｘｄｙ所以Ｉ＝∬Ｄｘ２ｘ＋ｙ＋３ｄｘｄｙ－∬Ｄｙ２ｘ＋ｙ＋３ｄｘｄｙ＝∬Ｄｘ２ｘ＋ｙ＋３ｄｘｄｙ－∬Ｄｘ２ｘ＋ｙ＋３ｄｘｄｙ＝０．小结：该题巧用了积分区域的轮换性简化了计算，解题十分容易，但如果用常规方法求解，计算量很大．二重积分是‘数学分析“中积分学的重要内容之一，是学习后续课程的基础．二重积分计算的方法灵活，常常是借助直角坐标系或极坐标系，将二重积分化为定积分进行计算，但遇到比较复杂的积分计算或证明时，常规方法解题有局限性．对于被积函数或者积分区域具有某种对称性的积分计算问题，我们如果能灵活运用对称性，那么许多积分的解题过程可以化繁为简㊁化难为易，提高解题效率．ʌ参考文献ɔ［１］张云艳．轮换对称性在积分计算中的应用［Ｊ］．毕节师范高等专科学校学报，２００２（０３）：９０－９２．［２］马志辉．对称性在积分计算中的应用［Ｊ］．高等数学研究，２０１７（０１）：１０２－１０５．［３］葛淑梅．对称区域上二重积分的简化计算方法［Ｊ］．焦作大学学报，２０１８（０１）：１０１－１０３．［４］景慧丽，屈娜．一个二重积分的计算方法探讨［Ｊ］．商丘职业技术学院学报，２０１８（０１）：７４－７６．［５］刘红梅．二重积分计算巧用对称性简化求解［Ｊ］．普洱学院学报，２０１８（０６）：４５－４７．。

数学中的整体思想

数学中的整体思想整体思想是数学解题中一种重要的思想方法，在解决某些问题时，从问题的整体特性出发，统筹考虑，全面把握，构建整体结构，利用问题的各方面条件寻求简洁的解法。

有些数学问题中的某些元素虽然是非本质的，但若根据题目需要，设法将其视为对象，从整体上把握，则可化难为易，化繁为简。

一、整体代入有些题目整体与局部之间存在着等量关系，若把整体视为一个“黑箱”，则可以省去对里面繁琐细节的研究，直接利用这些等量关系解题。

例1：一船在静水中的速度是15千米/小时，要经过150千米的河，并且逆流而上（水流速度为5千米/小时），问船往返共用多少时间？分析：此题若从局部考虑，要分顺水、逆水两种情况分别计算，而从整体考虑，因为船速与水速均已知，所以两地之间距离（150千米）也是一个已知量，所以可以省去对其中繁琐细节的研究，直接利用公式解决问题。

设船往返共用x小时。

则根据题意列方程：15x－5x＝150解得：x＝15二、整体换元有些题目整体与局部之间存在着等量关系，若把整体视为一个“黑箱”，视“黑箱”为新元，则可以省去对里面繁琐细节的研究，直接利用这些等量关系解题。

例2：设a、b是方程2x2－7x＋3＝0的两根，且a＞b＞0，求a＋b与ab的值。

分析：此题若从局部考虑，要解方程求出a、b的值再代入求值，而从整体考虑，因为a、b是方程2x2－7x＋3＝0的两根，所以a＋b与ab满足一定的等量关系（韦达定理），因此可以省去对其中繁琐细节的研究，直接利用公式解决问题。

因为a、b是方程2x2－7x＋3＝0的两根，所以有：a＋b＝－（－7）/2＝7/2；ab＝3/2三、整体构造有些题目整体与局部之间存在着等量关系，若把整体视为一个“黑箱”，根据题目的需要而恰到好处地构造这个“黑箱”，则可以省去对其中繁琐细节的研究，直接利用这些等量关系解题。

例3：已知二次函数y＝－x2＋mx－m2－0.5m＋4的最大值为－18/5，求此函数的解析式。

普林斯顿数学分析读本

目录分析
曲面积分和向量场是数学分析中研究曲面面积和向量场的学问，是解决许多实际问题的关键工具。在曲面积分和向量场部分，作者详细介绍了曲面积分和向量场的定义、性质和运算规则等。作者还介绍了曲面积分和向量场的几何意义和应用等。通过学习曲面积分和向量场，读者可以更好地理解向量场和几何对象的性质和应用。
阅读感受
我被这本书的深度和广度所震撼。它涵盖了从实数理论、极限、连续性、可微性到积分等基础概念，同时也深入探讨了级数、广义积分、微分方程等更高级的主题。每一章节都写得清晰明了，对每个概念都进行了深入的解释，并给出了大量的实例和练习题，帮助读者深入理解。
阅读感受
我对这本书的逻辑严密性印象深刻。数学分析是一门严谨的学科，需要严密的逻辑推理和证明。这本书在这方面做得非常好，每个定理和命题都有详细的证明和解释，让读者可以真正理解数学分析的精髓。
目录分析
重积分和曲线积分是数学分析中研究多变量积分和曲线积分的学问，是解决许多实际问题的关键工具。在重积分和曲线积分部分，作者详细介绍了二重积分、三重积分和曲线积分的定义、性质和运算规则等。作者还介绍了重积分和曲线积分的几何意义和应用等。通过学习重积分和曲线积分，读者可以更好地理解多变量积分的性质和应用。
精彩摘录
“可微性是指函数在某一点处的切线斜率存在且唯一。换句话说，函数在某一点处的变化率可以由一个确定的数值表示。” -这句话准确地定义了可微性的概念，是学习微积分的基础。
精彩摘录
“可积性是指定积分存在的条件。如果一个函数在某个区间上的不连续点数量有限，那么这个函数在该区间上就是可积的。” -这句话解释了可积性的概念，有助于理解定积分的计算方法。
内容摘要
作者讨论了导数的定义、求导法则以及导数在研究函数行为中的应用。第五章进入微分部分，重点介绍了微分的定义和性质，以及微分在近似计算和函数图像中的应用。还介绍了微分学的基本定理和求导法则。积分作为微分的逆运算，在第六章中进行了详细探讨。作者从定积分的定义出发，逐步引入了积分的基本性质和计算方法，并讨论了定积分在几何和物理问题中的应用。第七章到第十一章分别介绍了级数、多元函数、隐函数、微分形式、曲线积分与曲面积分等专题内容。这些章节的安排逻辑清晰，内容深入浅出，有助于读者深入理解数学分析的各个方面。《普林斯顿数学分析读本》是一本非常优秀的教材，适合于对数学分析感兴趣的读者使用。通过阅读这本书，读者可以全面了解数学分析的基础知识，掌握数学分析的基本思想和方法。无论是对数学专业的学生还是对数学有兴趣的读者来说，这本书都是一本非常有价值的参考书。

微积分和数学分析引论答案

微积分和数学分析引论答案【篇一：高数参考书】（国内教材大同小异）1高等数学第Ⅱ卷:一元微积分与微分方程，居余马等著，清华大学出版社2高等数学／西安交通大学高等数学教研室编．—2版．—北京：高等教育出版社，1986.23高等数学引论／华罗庚著．—北京：科学出版社，1984.7习题集1高等数学附册学习辅导与习题选解（同济五版）（注意：不是“高等数学习题全解指南”这本！）6 微积分／（美）m.r.施皮格尔=murray r. spiegel著；施建兵等译．—北京：科学出版社，20024，344页；30cm．—（全美经典学习指导系列）数学史与其他1古今数学思想／(美)克莱因著．—上海：上海科学技术出版社，1981.74 一个数学家的自白／(英)g. h. 哈代著；李泳评注＝a mathematicians apology．—长沙：湖南科学技术出版社，2007网站网易公开课维基百科【篇二：学习数学分析的一些建议和书籍】本帖最后由 ke.xigui 于 2009-5-21 21:49 编辑首先，只是觉得这篇东西写得很好，对学习数学分析的人可能有帮助，所以粘上来。

希望作者莫见怪。

旧版网站里许多有用的东西，但是现在找不到了，实在很可惜。

数学专业参考书整理推荐学数学要多看书，但是初学者很难知道那些书好，我从网上收集并结合自己的经验进行了整理：从数学分析开始讲起：数学分析是数学系最重要的一门课，经常一个点就会引申出今后的一门课，并且是今后数学系大部分课程的基础。

也是初学时比较难的一门课，这里的难主要是对数学分析思想和方法的不适应，其实随着课程的深入会一点点容易起来。

当大四考研复习再看时会感觉轻松许多。

数学系的数学分析讲三个学期共计15学分270学时。

将《数学分析》中较难的一部分删去再加上常微分方程的一些最简单的内容就是中国非数学专业的《高等数学》，或者叫数学一的高数部分。

记住以下几点：1，对于数学分析的学习，勤奋永远比天分重要。

-数学分析

开阔视野、拓展分析知识的空间.
四、教学评价
学生
同行
教学督导
获奖情况
任课老师责任教学同行认为主讲教师治学心强，备课认该课程的教学严谨、功底扎真，思路清晰，内容覆盖面广，实、经验丰富、逻辑性强，能结构清晰，逻年富力强、充吸引学生的注辑性强，理论满活力，师资意力。注重启与实际的结合，团队的年龄、发式教学，既提高学生解决学历和知识结教书又育人。问题的能力。构合理.
作业
二、教学内容设计
5.教学手段与方法
所谓第二课堂，是指除了传统的班级授课形式以外，积极组织学生以兴趣小组的形式进行专题讨论，积极鼓励学生自己走上讲台，一方面提高了学生自主学习的积极性，同时也给学生提供了一个锻炼自己的机会，从而为以后的实习奠定基础。
二、教学内容设计
6.考评体系
采用“多元考核方式”，将过程性评价与终结性评价有机结合.
极限理论中的相关证明，闭区间连续函数性质及其证明，定积分的应用、无穷级数理论中的相关证明；含参变量的广义积分等。
特点：物理知识背景广泛，理论性强，思维方法不易掌握和应用，证明、推理多且难度大，运算复杂。容易导致学生学习厌倦，丧失学习热情和信心，降低教学效果。
二、教学内容设计
5.教学手段与方法
第二十章曲线积分（12）
第六章微分中值定理及其应用（20）第二十一章重积分（18）
*第七章实数的完备性
第二十二章曲面积分（12）
第八章不定积分（12）
*第二十三章形上微积分学初阶
第九章定积分（12）
第十章定积分的应用（10）
第十一章反常积分（10）
其中带*为选学内容。

国内数学分析主要参考书目_数学分析书籍

国内数学分析主要参考书⽬_数学分析书籍花了半天时间，对国内部分⼤学所编数学分析(/⾼等数学/微积分)教材做了个汇总，发于此，肯定有很多遗漏，(期待有兴趣的⾍友帮我⼀起补充,补充格式:⼤学名，精确书名，编写作者....)。

国内部份⼤学常⽤数学分析(⾼数,微积分)教材总汇清华⼤学《数学分析教程》常庚哲.史济怀.《数学分析》(三册).何琛史济怀徐森林《数学分析》(三册).徐森林,.⾦亚东,.薛春华《数学分析讲义》(三册).陈天权《数学分析习题课讲义》谢惠民等北京⼤学《数学分析》沈燮昌著第⼀册，⽅企勤著第⼆册，廖可⼈、李正元著第三册《数学分析习题课教材》（第⼀版）《数学分析解题指南》（第⼆版）林源渠，⽅企勤《数学分析习题集》林源渠，⽅企勤等《数学分析新讲》张筑⽣(三册)《数学分析简明教程》邓东翱,尹⼩铃著《数学分析上、下册》彭⽴中、谭⼩江著复旦⼤学《数学分析》《数学分析》陈传璋，⾦福临，朱学炎，欧阳光中著第⼆版《数学分析》欧阳光中，朱学炎，⾦福临，陈传璋著第三版《数学分析》陈纪修等著《数学分析》欧阳光中，姚允龙著同济⼤学《⾼等数学》（同济⼤学数学系第六版,上、下册）《⾼等数学讲义》樊映川等编..华东师范⼤学《数学分析》华东师范⼤学数学系著《数学分析精读讲义》华东师范⼤学数学系著《数学分析习题精解》吴良森，⽑⽻辉等?中国科学技术⼤学《数学分析教程》常庚哲，史济怀著《简明微积分》龚昇《⾼等数学引论》华罗庚《数学分析》徐森林著《数学分析的⽅法及例题选讲》徐利治南开⼤学《数学分析上、下册》李成章，黄⽟民《在南开⼤学的演讲》陈省⾝南京⼤学《数学分析讲义》梅加强《数学分析教程》许绍浦等北京师范⼤学《简明数学分析（第⼀版）》王昆扬《简明数学分析（第⼆版）》郇中丹，刘永平，王昆扬《微积分学讲义（第⼆版）》邝荣⾬武汉⼤学《⾼等数学上、下册》（⾼等教育出版社，齐民友主编）《重温微积分》齐民友著吉林⼤学《数学分析》东北师范⼤学《数学分析讲义》刘⽟琏，傅沛仁著天津⼤学《⾼等数学上、下册》蔡⾼厅叶宗泽《⾼等数学试题精选与解答》（蔡⾼厅等编）内蒙古⼤学《微积分学简明教程》曹之江等著[ Last edited by hylpy on 2014-9-15 at 12:38 ]国内数学分析主要参考书⽬[1].刘⽟琏,傅沛仁,林玎,苑德馨,刘宁编.数学分析讲义(上),第四版.北京:⾼等教育出版社,2003.[2].刘⽟琏,傅沛仁,林玎,苑德馨,刘宁编.数学分析讲义(下),第四版.北京:⾼等教育出版社,2003.[3].刘⽟琏,扬奎元,吕风编.数学分析讲义学习辅导书(上),第⼆版,北京:⾼等教育出版社.2003.[4].刘⽟琏,扬奎元,吕风编.数学分析讲义学习辅导书(下),第⼆版,北京:⾼等教育出版社.2003.[5].华东师范⼤学数学系编.数学分析(上),第三版.北京:⾼等教育出版社,2002.[6].华东师范⼤学数学系编.数学分析(下),第三版.北京:⾼等教育出版社,2002.[7].吴良森,⽑⽻辉,韩⼠安,吴畏编著.数学分析学习指导书(上).北京:⾼等教育出版社.2004.[8].吴良森,⽑⽻辉,韩⼠安,吴畏编著.数学分析学习指导书(下).北京:⾼等教育出版社.2004.[9].吴良森,⽑⽻辉编著.数学分析习题精解(单变量部分).北京:科学出版社.2002.[10].吴良森,⽑⽻辉编著.数学分析习题精解(多变量部分).北京:科学出版社.2003.[11].薛宗慈,曾昭著,邝荣⾬,陈平尚编.数学分析习作课讲义(上).北京:北京师范⼤学出版社,1985.[12].薛宗慈,曾昭著,邝荣⾬,陈平尚编.数学分析习作课讲义(下).北京:北京师范⼤学出版社,1987.[13].谢惠民,恽⾃求,易法槐,钱定边编.数学分析习题课讲义(上).北京:⾼等教育出版社,2004.[14].谢惠民,恽⾃求,易法槐,钱定边编.数学分析习题课讲义(下).北京:⾼等教育出版社,2004.[15].徐利治,王兴华.数学分析的⽅法与例题选讲.北京:⾼等教育出版社,2002.[16].钱吉林等主编.数学分析解题精粹.武汉:崇⽂书局,2003.[17].裴礼⽂.数学分析中的典型问题与⽅法,第⼆版.北京: 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][140].伍胜健.数学分析第⼆版，(第⼀册),北京⼤学数学教学系列丛书,2009.[141].伍胜健.数学分析第⼆版，(第⼆册),北京⼤学数学教学系列丛书,2009.[142].伍胜健.数学分析第⼆版，(第三册),北京⼤学数学教学系列丛书,2009.国内数学分析主要参考书⽬本帖隐藏的内容[1].刘⽟琏,傅沛仁,林玎,苑德馨,刘宁编.数学分析讲义(上),第四版.北京:⾼等教育出版社,2003.[2].刘⽟琏,傅沛仁,林玎,苑德馨,刘宁编.数学分析讲义(下),第四版.北京:⾼等教育出版社,2003.[3].刘⽟琏,扬奎元,吕风编.数学分析讲义学习辅导书(上),第⼆版,北京:⾼等教育出版社.2003.[4].刘⽟琏,扬奎元,吕风编.数学分析讲义学习辅导书(下),第⼆版,北京:⾼等教育出版社.2003.[5].华东师范⼤学数学系编.数学分析(上),第三版.北京:⾼等教育出版社,2002.[6].华东师范⼤学数学系编.数学分析(下),第三版.北京:⾼等教育出版社,2002.[7].吴良森,⽑⽻辉,韩⼠安,吴畏编著.数学分析学习指导书(上).北京:⾼等教育出版社.2004.[8].吴良森,⽑⽻辉,韩⼠安,吴畏编著.数学分析学习指导书(下).北京:⾼等教育出版社.2004.[9].吴良森,⽑⽻辉编著.数学分析习题精解(单变量部分).北京:科学出版社.2002.[10].吴良森,⽑⽻辉编著.数学分析习题精解(多变量部分).北京:科学出版社.2003.[11].薛宗慈,曾昭著,邝荣⾬,陈平尚编.数学分析习作课讲义(上).北京:北京师范⼤学出版社,1985.[12].薛宗慈,曾昭著,邝荣⾬,陈平尚编.数学分析习作课讲义(下).北京:北京师范⼤学出版社,1987.[13].谢惠民,恽⾃求,易法槐,钱定边编.数学分析习题课讲义(上).北京:⾼等教育出版社,2004.[14].谢惠民,恽⾃求,易法槐,钱定边编.数学分析习题课讲义(下).北京:⾼等教育出版社,2004.[15].徐利治,王兴华.数学分析的⽅法与例题选讲.北京:⾼等教育出版社,2002.[16].钱吉林等主编.数学分析解题精粹.武汉:崇⽂书局,2003.[17].裴礼⽂.数学分析中的典型问题与⽅法,第⼆版.北京: 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数学与应用数学专业（本科）课程说明1．国家开放大学学习指南本课程1

数学与应用数学专业(本科)课程说明1．国家开放大学学习指南本课程1学分，18学时，开设一学期。

本课程是国家开放大学（中央广播电视大学）在本科、专科、“一村一名大学生计划”的所有专业中开设的一门统设必修课。

本课程的教学目的是使接受国家开放大学远程教育的学生在进入专业（课程）学习之前，了解和熟悉远程教育新的学习环境，建立与远程教育模式相适应的新学习理念，了解并尽快适应远程教育教与学的方式，掌握基本的学习技能，逐步培养自主学习的习惯和能力。

本课程的主要内容：以完成学习任务的过程为导向，从学习者如何完成国家开放大学规定的专业学习任务的角度，让学习者学会如何完成一门课程的学习、一个专业的学习，同时描述国家开放大学的基本学习方式，说明国家开发大学的学习环境，解释国家开发大学学习平台上基本术语的含义，使学生能使用学习平台的基本工具辅助完成学习活动，并且了解国家开放大学学生相关事务与管理规定，使学生初具备利用现代远程技术在国家开放大学进行学习的能力。

2．数学分析专题研究本课程4学分，72学时，开设一学期。

本课程分为六个部分。

第一部分是集合与映射，包括集合及其运算，关系与映射，等价关系，序关系，基数；第二部分介绍数集，包括整数理论和实数理论等；第三部分介绍函数及其性质，特别是初等函数与超越函数；第四部分介绍指数函数与对数函数，以及深入地分析其性质；第五部分专题研究三角函数，及其公理化体系；第六部分专题研究极值问题，包括凸函数与极值，泛函数值与欧拉方程以及等周问题。

通过本课程的学习，使学员对实数理论，初等函数有一个系统的认识，能居高临下地看待中学数学中的教学内容，并指导中学数学教学。

3．英语II(1)(2)本课程6学分，108学时，开设一学年。

该课程为广播电视大学公共英语课。

通过语音、语法、词汇等知识的学习和读、听、说、写基本技能训练，培养学生运用英语的能力，侧重培养学生的阅读能力，为学生进一步学习和运用英语打好基础。

数学分析专题选讲教案

数学分析专题选讲教案一、第一章：极限与连续性1.1 极限的概念定义：函数f(x)当x趋近于某一值a时，如果存在一个实数L，使得f(x)趋近于L，称f(x)在x=a处极限为L。

性质：保号性、传递性、三角不等式性质。

1.2 极限的计算极限的基本性质：0.9^n→0（n→∞）、(1+1/n)^n→e（n→∞）。

极限的运算法则：lim (f(x)+g(x)) = lim f(x) + lim g(x)、lim (cf(x)) = c lim f(x)、lim (f(g(x))) = lim f(t) lim g(x)。

1.3 连续性的概念定义：函数f(x)在点x=a处连续，如果满足f(a)=lim f(x)（x→a）且对于任意ε>0，存在δ>0，使得当0<|x-a|<δ时，有|f(x)-f(a)|<ε。

1.4 连续性的性质与判定连续函数的基本性质：保号性、可积性、可微性。

连续函数的判定：函数在某一点的极限存在且等于函数在该点的函数值，则函数在该点连续。

二、第二章：导数与微分2.1 导数的定义定义：函数f(x)在点x=a处的导数，记为f'(a)或df/dx|_{x=a}，表示函数在x=a 处的瞬时变化率。

导数的几何意义：函数图像在点x=a处的切线斜率。

2.2 导数的计算基本求导法则：常数倍法则、幂函数求导、指数函数求导、对数函数求导、三角函数求导。

高阶导数：f''(x)、f'''(x)等。

2.3 微分的概念与计算概念：微分表示函数在某一点的切线与x轴之间的距离，记为df(x)/dx|_{x=a}。

微分的计算：dx表示自变量的增量，微分的结果为切线的斜率乘以dx的值。

三、第三章：泰勒公式与微分中值定理3.1 泰勒公式的概念与计算概念：泰勒公式是一种将函数在某一点展开成多项式的公式，用于逼近函数在某一点的值。

泰勒公式：f(x)在某一点a处的泰勒公式为f(x)=f(a)+f'(a)(x-a)+f''(a)(x-a)^2++f^n(a)(x-a)^n+R_n(x)。

陈纪修教授《数学分析》九讲学习笔记与心得

陈纪修教授《数学分析》九讲学习笔记与心得云南分中心⋅昆明学院⋅周兴伟此次听陈教授的课，收益颇多。

陈教授的这些讲座，不仅是在教我们如何处理《数学分析》中一些教学重点和教学难点，更是几堂非常出色的示范课。

我们不妨来温习一下。

第一讲、微积分思想产生与发展的历史法国著名的数学家H.庞加莱说过：“如果我们想要预见数学的将来，适当的途径是研究这门科学的历史和现状。

” 那么，如果你要学好并用好《数学分析》，那么，掌故微积分思想产生与发展的历史是非常必要的。

陈教授就是以这一专题开讲的。

在学校中，我不仅讲授《数学分析》，也讲授《数学史》，所以我非常赞同陈教授在教学中渗透数学史的想法，这应该也是提高学生数学素养的有效途径。

在这一讲中，陈教授脉络清晰，分析精当，这是我自叹不如的。

讲《数学史》也有些年头，但仅满足于史料的堆砌，没有对一些精彩例子加以剖析。

如陈教授对祖暅是如何用“祖暅原理”求出球的体积的分析，这不仅对提高学生的学习兴趣是有益的（以疑激趣、以奇激趣），而且有利于提高学生的民族自豪感（陈教授也提到了这一点）。

在这一讲中，陈教授对weierstrass的“ε−N”、“ε−δ”语言的评述是“它实现了静态语言对动态极限过程的刻画”。

这句话是非常精当的，如果意识不到这一点，你就很难理解这一点。

在此我还想明确一点：《数学分析》的研究对象是函数，主要是研究其分析性质，即连续性、可微性及可积性，而使用的工具就是极限。

如果仔细盘点一下，在《数学分析》中，无论是数、函数、数列、函数列，数项级数，函数项级数等相关问题，无不用到这一语言，你应该能理解陈教授的“对于数学类学生来说，没有“ε−N”、“ε−δ”语言，在《数学分析》中几乎是寸步难行的”这一观点。

第二讲、实数系的基本定理在这一讲中，陈教授从《实变函数》中对集合基数的讨论展开，对实数系的连续性作了有趣的讨论。

首先是从绅士开party的礼帽问题，带我们走进了“无穷的世界”。

我在开《数学赏析》时有一个专题就是“无穷的世界”，我给学生讲礼帽问题、也讲希尔伯特无穷旅馆问题，但遗憾的是，当我剖析“若无穷旅馆住满了人，再来两个时，可将住１号房间的移往３号房间，住２号房间的移往４号房间，从而空出两个房间”时，学生对我“能移”表示怀疑。

专题07 追击相遇问题 (原稿版)

专题07 追击相遇问题专题导航常考点追及相遇问题的分类、解题思路以及解题方法分析................................................. 错误!未定义书签。

考点拓展练习 .. (6)常考点追及相遇问题的分类、解题思路以及解题方法分析【典例1】火车A以速度v1匀速行驶，司机发现前方同轨道上相距S处有另一火车B沿同方向以速度v2（对地，且v1＞v2）做匀速运动，司机立即紧急刹车，火车A做加速度大小为a1的匀减速直线运动．问：（1）要使两车不相撞，a1应满足什么条件？（2）若火车A开始刹车时，火车B的司机也同时开始紧急刹车，其加速度大小为a2，为了使火车A，B不发生相碰，则开始刹车时，火车A、B之间的距离S应满足什么条件？【典例2】2021年1月22日，历时4年多建设的成都天府国际机场迎来国内6家航空公司的试飞，一架川航空客A330﹣300“大运号”彩绘机以40m/s的速度安全降落在机场西一的平直跑道上，并立即以0.8m/s2的加速度匀减速滑行。

求：（1）着地后45s末的速度大小；（2）着地后60s内的位移大小。

【技巧点拨】一．追及和相遇问题的解题思路(1)在解决追及、相遇类问题时，要紧抓“一图、三式”，即：过程示意图，时间关系式、速度关系式和位移关系式，最后还要注意对结果的讨论分析．(2)解决追及问题的思路流程：二．追及中的三个关系（1）位移关系:x后= x前+ Δx(同地出发x后= x前)；（2）时间关系:t先=t后+ Δ t(同时出发t相等)；（3）速度关系：慢追快距离增；快追慢距离减。

①一定能追上（例如加速追匀速）追上前，速度相等时，二者距离有最大值。

①不一定能追上（例如减速追匀速）①.如果追不上，当速度相等时，二者距离有最小值；①.如果恰好追上，则追上时，速度恰好相等；①.如果追上时，追者速度大于被追者，那么会出现两次相遇的问题。

三．追及和相遇问题的四种解题方法(1)物理分析法：抓好“两物体能否同时到达空间某位置”这一关键，认真审题，挖掘题中的隐含条件，在头脑中建立起一幅物体运动的图景．(2)相对运动法：巧妙地选取参考系，然后找出两物体的运动关系．(3)数学分析法：设相遇时间为t，根据条件列方程，得到关于t的一元二次方程，用判别式进行讨论，若Δ>0，即有两个解，说明可以相遇两次；若Δ＝0，说明刚好追上或相遇；若Δ<0，说明追不上或不能相碰．(4)图象分析法：将两者的速度－时间图象在同一坐标系中画出，然后利用图象分析求解．四．追及相遇的图像问题①t 1时刻速度相等，相距最远； ①t 2时刻有交点，表示相遇。

数学分析专题研究学习辅导

数学分析专题研究学习辅导第一章集合与映射自我测试题(一) 填空题1. 填写下列集合之间的关系：（1）{2, 3} {2, 3} ; （2）{4, 9 } {9, 10, 4}；（3）{5, 7} {5, 8} ; （4）∅{1, 3}2. 设集合A B12312，则A∪B = ，A∩B = ，A–{,,},{,}==B.3. (A∪B )∩B = ，A∪(A∩B ) = .4. 设集合A= {1, 2 }，B = {a, b, c}，则B ⨯A= .5. 设集合A = {a，b，c，d}，A上的二元关系R ={(a , a)，(a , b)，(b , d)}，S ={(a , d)，(b , c)，(b , d)，(c , b)}，则S R = ，R 2 = .6. 设集合A = {1，2，3，4}，A上的二元关系R ={(1 , 1)，(1 , 3)，(2 , 1)，(3 , 3)，(3 , 4)，(4 , 3)}，则逆关系R–1= .7. 设集合A ={a, b}，B = {1, 2}，则从A到B的所有映射是，其中双射的是.8．若集合A上的运算f满足，则f的左零元，就是f的右零元，也就是f的零元.9. 设集合A = {1 , 2 , 3 , 4 }上的等价关系R = {(1 , 2)，(2 , 1)，(3 , 4)，(4 , 3)}⋃I A. 那么A中各元素的等价类为.10．设X,Y为集合，如果存在一个从X到Y上的，则称X与Y为等势的，记作X≈Y.(二) 单项选择题1. 设A = { {a}, 3, 4, 2}，那么下列命题中错误的是（）.（A）{a}∈A（B）{2, {a}, 3, 4}⊂A（C）{a}⊂A（D）{∅}⊂A2. 设集合A = {1, a }，则A2= ( ).（A）{{1}, {a}}（B）{∅,{1}, {a}}（C）{{1}, {a}, {1, a }}（D）{∅, {1}, {a}, {1, a }}3. 由集合运算的定义，下列命题正确的是（）.（A）(A-B )∪B =A（B）(A∩B )- A =∅（C）A△A= A（D）(A∪B )- A = B4. 设A，B，C为任意三个集合，下列命题正确的是（）.（A）（B∪C）⨯A = （B⨯A）∪（C ⨯A）；（B）（A⨯B）⨯C = A⨯（B⨯C）；（C）A⨯（B∩C）=（B⨯A）∩（C ⨯A）；（D）A⨯B = B⨯A .5. 设集合A = {1，2，3，4}，A上的二元关系R ={(1 , 2)，(1 , 4)，(2 , 4)，(3 , 3)}，S ={(1 , 4)，(2 , 3)，(2 , 4)，(3 , 2)}，则关系（）= {(1 , 4)，(2 , 4)}.（A ） R ∪S （B ） R ∩S （C ） R -S （D ） S -R6. 设R 为实数集，函数f ：R →R ，f (x ) = - x 2 +2x - 1，则f 是（）.（A ）单射而非满射（B ）满射而非单射（C ）双射（D ）既不是单射也不是满射7. 设函数f ：R →R ，f (x ) = 2x + 1；g ：R →R ，g (x ) = x 2. 则（）有反函数.（A ） g f （B ） f g （C ） f （D ） g8. 设集合A ={ a , b }上的二元关系R = {(a , a )，(b , b )}，则R （）.（A ）是等价关系但不是序关系（B ）是序关系但不是等价关系（C ）既是等价关系又是序关系（D ）. 既不是等价关系也不是序关系9. 对于半序集(X ，＜)，若满足（），则称(X ，＜)为全序集.（A ）反对称性（B ）可比性（C ）反对称性且可比性（D ）反对称性或可比性10．设集合A ={1 , 2 , … , 10 }，序关系＜是A 上的整除关系，则半序集<A ，＜>中的元素10是集合A 的（）.（A ）极大元（B ）极小元（C ）最大元（D ）最小元参考答案(一) 填空题1．（1）= （2）⊂ （3）≠ （4）⊂2. {1, 2, 3} ，{1, 2}，{3}.3. B ， A .4. {(a , 1)，(a , 2)，(b , 1)，(b , 2)，(c , 1)，(c , 2)}5. {(a , d )，(a , c )}, {(a , a )，(a , b )，(a , d )}6. {(1 , 1)，(3 , 1)，(1 , 2)，(3 , 3)，(4 , 3)，(3 , 4)}7. 1f ={(a , 1)，(b , 1)}；2f ={(a , 2)，(b , 2)}；3f ={(a , 1)，(b , 2)}；4f ={(a ,2)，(b , 1)}；43,f f .8．交换律9. [1]R =[2]R ={1, 2}，[3]R =[4]R ={3, 4}；10．双射(二) 单项选择题1. C2. D3. B4. A5. B6. D7. C8. C9. C10．A。

数学书籍推荐—数学分析篇

引言早就有一种想法：把一些非常好的数学书籍尽量全面地推荐给广大数学爱好者和吧友们。

这是由于以下原因：一是在我们高等数学吧不断有吧友发贴询问推荐一些（高等）数学方面比较好的书籍，可能其中有部分是初学者，因而急需一些有经验的学长推荐些好书，以便不走弯路。

二来恰好笔者也有类似经历，初接触高等数学方面的书籍时，也不知有啥好坏或者稂莠之别，后来在一些这些书的内容中了解到、在网上一些学长的贴子中看到很多“经典”和比较“好”的教材、参考书、课外书籍等，于是在广泛查阅、拜读之后，把我所看过的和所知道的一些很好的书目记录下来，提供朋友们参考。

希望能给大家有所帮助。

实际上所谓的“好书”和经典书，并不限于数学方面，其他学科方面的有，相信大家也看过不少，这里只说数学方面的。

以下结合本人经验和一些学长的见解，共写有二十一个专题，每个专题都有该学科的简介或者是小结；相应的介绍书籍则是按【教材】、【习题集】、【辅导书】、【提高】四个方面来写，而且每本书后有简评供参考。

最后附录介绍几个常用数学软件。

============注：1)打引号或书名号的课程名词被认为是指书籍或课程名，否则是指这一数学学科类(领域)。

2)以下推荐的书籍一般不标注版本，因为随时有新版出版的可能，并且不一定新版就比旧版的好一些，有时还不如旧版的。

最好多结合几个版本来看（有三个以上版本的不要看第一版，结合看最新版和倒数几个旧版），这样能学到更多。

这是笔者的经验。

如果书后标有版本号的，一般是指比较好的版本。

3)关于出版社的问题，这个不必要过多追究，因为大部分书不会用一个以上的出版社出版，况且不同出版社出版同一本书，只是版式和符号的样式不同而已，内容不会有别。

4)书比较多，不可能每本(或者选取大多数自己喜欢的)都买，除非你非常有钱，或者是个数学书籍收藏家。

要知道，大学及其以上的教材、教参等都很贵，动辄每本二三十以上，四五十的也不少。

因此，“少而精”地买到正版的就行，其余的可以到大学图书馆借阅(大部分我都是借阅的，我可买不起^-^)。

幂指函数极限的计算

毕业论文题目：幂指函数极限的计算学院：数学与信息科学学院姓名：何晓岭指导教师：魏喜凤幂指函数极限的计算【摘要】函数极限是《数学分析》中的一个重点知识,也是微积分学的基础，因此，掌握好函数极限的求解方法是学好《数学分析》的关键. 而在函数极限的计算中，有关幂指函数极限计算的题目类型多、难度大且灵活多变.为此，首先给出了幂指函数的定义，其次讨论幂指函数确定式(B A型)和不确定式（00型、1∞型、0∞型）的极限问题，最后整理总结了幂指函数极限的计算方法,并通过实例说明这些方法的实用性.【关键词】幂指函数；极限；确定式；不确定式；计算方法The Calculation of the Power Exponent Function Limit【Abstract】The limit function is a key knowledge of mathematical analysis, and calculus based, therefore, it is important for the learning of mathematical analysis to master the methods of solving the limit of function .But in the calculation of the function limit, the subjects of calculation about power exponent function are various,difficult and flexible. so, we first give the definition of the exponential function, followed by a discussion of limit problem of power exponent function to determine the type and uncertain type, finally summarize the methods of power exponential function limit, and explain the practicability of these methods by actual examples.【Key Words】power exponent function; limit; determine type; uncertain type; methods to solve problem目录1 引言 (1)2 幂指函数的定义 (1)2.1指数函数 (1)2.2幂函数 (1)2.3幂指函数 (1)3 幂指函数的极限 (1)3.1确定式 (3)3.2不确定式 (3)4 幂指函数极限的计算方法 (3)4.1直接法 (3)4.2重要极限 (4)4.3对数解法 (5)4.4等价无穷小代换 (8)5 结论 (9)参考文献 (9)致谢 (11)1引言函数极限问题是《数学分析》中的一个重点知识，是微积分学的基础，因此，掌握好函数极限的求解方法是学习中的关键一环，使许多问题得以解决.其中，幂指函数极限的计算是难点，因为幂指函数的运算题目类型多，而且技巧性强、灵活多变，对于幂指函数求极限问题,许多学生不能对各种题型加以区分从而找不到快速正确的解题方法，影响做题的正确性.分析发现，这一问题的原因是许多学生对幂指函数的概念和定理理解不深刻，把幂指函数与幂函数、指数函数混为一谈，对题目中出现的题型及解题方法没有整理总结找到其中的解题技巧.因此，对幂指函数极限的计算问题，有必要给出幂指函数的定义、讨论幂指函数极限的类型并对解题方法进行整理总结，让更多的学习者很好地认识幂指函数，增强对求极限的多种技能技巧的理解和合理运用求极限技巧的能力，从而提高解题的正确性及效率，提高分析问题的能力和解决问题的能力.2 幂指函数的定义2.1指数函数一般地，形如函数(0,1)x y a a a 叫作指数函数，其中x 是自变量，定义域为R .2.2 幂函数一般地，形如函数()y x x R α=∈叫作幂函数，其中x 是自变量，定义域为(0,).2.3 幂指函数设()u x 、()v x 是定义在区域D 上的两个函数，形如()()v x y u x =的函数叫作区域D 上的幂指函数，其中()0u x >.以上给出指数函数、幂函数以及幂指函数的定义，目的是更好地理解幂指函数，不能将幂指函数与指数函数、幂函数混为一谈，幂指函数具有幂函数和指数函数的两重特性.3 幂指函数的极限对自变量0,x x x →→∞情形下的幂指函数()()v x y u x =的极限问题进行探讨：求幂指函数的极限时，因为()0u x >，可以把它改写为指数函数()()ln ()()v x v x u x y u x e ==，再由指数函数的连续性即知幂指函数的极限lim (()ln ())()()ln ()lim ()lim x x v x u x v x v x u x x x x x u x ee→→→==,其中假设所写出的极限存在.这样，就把求幂指函数的极限0()lim ()v x x x u x →转化为求极限0lim(()ln ())x x v x u x →.所以，很自然地考察lim ()x x u x →和0lim ()x x v x →，而对于极限0lim ()x x u x →和0lim ()x x v x →，若至少有一个不存在（不包括极限为无穷的情况），则幂指函数()()v x y u x =的极限问题极为复杂，且在实际问题中几乎不出现，没有其研究意义.因此，假设0lim ()0x x u x A →=≥, 0lim ()x x v x B →=(包括A 、B 为无穷的情形).下面，将给出讨论：（1）01,A B <<≠∞; 则0()lim ()v x B x x u x A →=.(2) 01,A B <<=∞; 则0()0,,lim (),,Bv x Bx x B A B u x B A B →⎧=+∞=+∞⎧⎪==⎨⎨+∞=-∞=-∞⎪⎩⎩. （3）1,A B =≠∞; 则0()lim ()11v x B B x x u x A →=== .（4）1,A B ==∞时，0()lim ()v x x x u x →是不确定式.（5）1,A B <<+∞≠∞; 则0()lim ()v x B x x u x A →=.（6）1,A B <<+∞=∞; 则0(),,lim ()0,,Bv x B x x B A B u x B A B →⎧+∞=+∞=+∞⎧⎪==⎨⎨=-∞=-∞⎪⎩⎩ . （7）,0A B =+∞=时, 0()lim ()v x x x u x →是不确定式.（8）,0A B =+∞<<+∞时, 0()lim ()v x B x x u x A →= .,0A B =+∞-∞<<时, 0()lim ()v x B x x u x A →=.(9) ,A B =+∞=+∞; 则0()lim ()v x B x x u x A →=+∞=.(10),A B =+∞=-∞; 则0()lim ()0v x B x x u x A →==.（11)0,0A B =<<+∞时，0()lim ()0v x B x x u x A →==.0,0A B =-∞<<时，0()lim ()v x B x x u x A →=+∞=.（12）0,A B ==+∞; 则0()lim ()00v x B x x u x A +∞→=== .（13）0,A B ==-∞; 则0()lim ()0v x B x x u x A -∞→==+∞=.（14）0,0A B ==时，0()lim ()v x x x u x →是不确定式 .上述情况（4）记作1∞ 型、（7）记作0∞ 型、（14）记作00 型，1∞ 型、0∞ 型、00 型三种形式为幂指函数极限问题的不确定式，其余情况为幂指函数极限问题的确定式.自变量x →∞时，幂指函数的极限类型与0x x →的极限类型有相同的情况，就不再列出.注1 若A 为小于1的非负数，而B 为无穷时，则极限0()lim ()v x x x u x →并不是不确定式. 其中包括易误认为是不定式的0∞型，因为，当指数趋于无穷大时有00+∞=，而当指数趋于负无穷大时有0-∞=+∞ .注2 对于幂指函数()()v x y u x =的不确定式极限问题，它的底数部分()u x 与指数部分()v x 的极限过程是同步进行的，也就是说，它是一个整体的极限，而不能简单地理解为其底函数部分与指数函数部分分别单独求极限，更不能有求极限的先后次序.4 幂指函数极限的计算方法 4.1直接法直接法求极限主要用于幂指函数极限的确定式类型.当幂指函数的底数部分和指数部分二者的极限都存在，且底函数()u x 的极限大于零时，即当lim ()0x x u x A →=> ，0lim ()x x v x B →=（B 为正常极限）时，则利用指数函数的连续性得0lim ()()lim ()(lim ())x x v x v x B x x x x u x u x A →→→== .有一道求极限的问题121lim()3x x x x -→∞++ ，如果对底数部分和指数部分分别求极限11lim 1,lim 32x x x x x →∞→∞+-==∞+ ，则由1的任何次幂都等于1得121lim()113x x x x-∞→∞+==+的解法是错误的.错误之一在于对幂指函数底数和指数部分分别求极限，不理解只有当0lim ()0x x u x A →=>，0lim ()x x v x B →=（B 为正常极限）时，才可以用直接法求极限，错误之二在于认为不管幂的值α为多少都有11α=，其实，1的任何次幂都等于1指的是1的有限次幂.下面结合实例理解直接法求幂指函数的极限：例4.1.1 求极限01lim(2x x x→++.解因为011lim022x x x →+=>+ ，01x →= 为正常极限 ,所以用直接法就得到极限011lim(22x x x →+=+.例4.1.2 求极限 11lim(2x x x→++.解因为112lim023x x x →+=>+ ，112x x →→==为正常极限,所以用直接法就得到极限11lim(2x x x →+=+4.2重要极限利用重要极限求极限主要针对幂指函数极限问题的不确定式1∞型.（1）1lim(1)x x e x→∞+= （4.2.1）等价于同时成立以下两个极限：1lim (1)x x e x→+∞+=1lim (1)x x e x→-∞+=（2）将（4.2.1）可变型为：10lim(1)xx x e →+= （4.2.2）（3）在（4.2.1）的基础上可以用下列方法解决许多1∞型的不确定式问题，就是对于lim ()0,lim ()xaxaf xg x 的情况，有1lim(()())()()()()lim(1())lim[(1())]x af xg x g x f x f x g x xaxaf x f x e （4.2.3）于是只要计算lim(()())x af xg x → 即可.例4.2.1 求极限101lim()1x x x x→+- .解这是一个1∞型不确定式极限，可用重要极限求解,将1()1x f x x +=- 化为2()11x f x x =+- ，则指数部分需出现12xx- ，所以利用重要极限得1122210012lim()lim(1)11x x x x x x x xe x x-⋅-→→+=+=--. 例4.2.2 求极限2221lim()1x x x x →∞+- .解法1 将括号内的分子分母同时除以2x 后即可利用（4.2.1）如下求极限：22122222111lim()lim(1)(1)1x x x x x e e e x x x→∞→∞+=+-=⋅=- . 解法2 这是一个1∞型不确定式极限，用（4.2.3）的方法就得到222222lim212212lim()lim(1)11x x x x x x x x e e x x →∞-→∞→∞+=+==--. 4.3 对数解法对幂指函数()()(()0)v x y u x u x =>，等式两边可以同时取对数，便得到()ln ln(())()ln ()v x y u x v x u x == ,通过求ln y 的极限0lim ln lim(())ln ()x x x x y v x u x →→= ，便可以得到幂指函数的极限0lim ln ()ln lim ()lim x x yv x y x x x x u x e e →→→==.对数解法解决幂指函数极限的不确定式00型、1∞型、0∞型，这三种不确定式极限一般经过对数变换后，均可化为00型或∞∞型的不定式极限，我们在题目中解决不定式极限00型、∞∞型用到更多的方法是洛必达法则.我们在转化为00型或∞∞型不定式极限后利用洛必达法则求极限时，应注意以下几点内容：定理4.3.1【1】若函数()f x 和()g x 满足: （ⅰ）0lim ()0lim ()0x x x x f x g x →→=== ;（ⅱ）()f x 和()g x 在0x 的某空心邻域0()U x 内可导，且()0g x '≠ ; （ⅲ）0()lim()x x f x A g x →'=' (A 可为实数，也可为∞ ) 则 00()()limlim ()()x x x x f x f x A g x g x →→'==' 定理4.3.2【1】若函数()f x 和()g x 满足：（ⅰ）0lim ()lim ()x x x x f x g x ++→→=∞==∞（ⅱ）()f x 和()g x 在0x 的右邻域0()U x + 内可导，且()0g x '≠ （ⅲ）0()lim()x x f x A g x →'=' (A 可为实数，也可为,±∞∞ ) 则 00()()lim lim ()()x x x x f x f x A g x g x ++→→'==' 以上以导数为工具研究不定式极限的方法称为洛必达法则. 注1 在定理4.3.1中，如果0()lim()x x f x g x →''仍是00型不定式极限，只要有可能，我们可再次利用洛必达法则，即考察极限0()lim()x x f x g x →''是否存在，这时()f x ' 和()g x ' 在0x 的某邻域须满足相应的条件【1】.定理4.3.2中，若有可能，也可再次利用洛必达法则.注2 由洛必达法则条件的充分性可得，若极限0()lim()x x f x g x →''不存在，并不能说明0()lim()x x f x g x → 存在，在利用洛必达法则求极限时若遇到此类情况，我们应另找其他的方法来求极限.注3 不能对任何比式极限都按洛必达法则求解，首先必须注意它是不是不定式极限，其次看是否满足洛必达法则的其他条件【1】.注4 在利用洛必达法则之后，如果题目变得越来越复杂，则说明题目不适合用洛必达法则求极限，我们应分析题目，寻找其他合适的方法.例4.3.1 求极限1ln 0lim (sin )kxx x ++→ （k 为常数）.解这是一个00型不确定式极限，令1ln (sin )kxy x +=，两边取对数，得1ln ln sin ln ln[(sin )]1ln k xk xy x x+==+ ,0ln sin lim 1ln x k x x +→+是∞∞型不定式极限，由 0000cos ln sin sin lim ln lim limlim cos 11ln sin x x x x k xk x x x y k x k x xx++++→→→→===⋅=+ ，（洛必达法则）得到 0lim ln ln 1ln 0lim(sin )lim lim x k yyk xx x x x y e ee +→++++→→→====(0,k k ≠为常数).当0k =时上面所得的结果仍然成立.例4.3.2 求极限xx xx cos 110)sin (lim -→. 解这是一个1∞型不确定式极限，令xxx y cos 11)sin (-=，两边取对数，得1sin ln ln 1cos x y x x =-，因为0x →时，2~cos 12x x -，所以 2000sin sin lnlnlimln limlim 1cos 2x x x x xx x y x x →→→==- , 20sin lnlim2x x x x → 是00型不定式极限，下一步可用洛必达法则，由 2200x cos sin sin lnsin limlim 2x x x x x xx x x x x →→-⋅= 20xcosx sin limsin x x x x →-=30cos sin limx x x x x →-=20-sin lim 3x x xx →=13得到31cos 110)sin (lim --→=e xx xx .例4.3.3 求极限xx x x ln 12)1(lim +++∞→.解这是一个0∞型不确定式极限，令1ln ()xy x =+ ，两边取对数，得1ln ln ln(xy x =+=,ln(lim ln x x x →+∞是∞∞型不定式极限由ln(limlim 1ln x x x xx→+∞→+∞+==，（洛必达法则）得到1lim ln ln ln lim ()lim lim x yy xx x x x y e e e →+∞→+∞→+∞→+∞+====.4.4等价无穷小代换定理4.4【7】设()u x 和()v x 为0x 去心邻域内的连续函数，()u x 、()v x 均是变化过程0x x →时的无穷小量并且()~()u x x α、()~()v x x β，则有()()lim ()lim ()v x x x x x x u x x βα→→=.推论1 设()u x 和()v x 为0x 去心邻域内的连续函数，()u x 是变化过程0x x →时的无穷小量并且()~()u x x α，则有0()()lim ()lim ()v x v x x x x x u x x α→→=.推论2 设()u x 和()v x 为0x 去心邻域内的连续函数，()v x 是变化过程0x x →时的无穷小量并且()~()v x x β，则有0()()lim ()lim ()v x x x x x x u x u x β→→= .例4.4.1 求极限x x x tan 0)(sin lim +→.解 0lim sin 0,lim tan 0x x x x ++→→== ，此问题为00 型不确定式极限，因为x x x x ~tan ,~sinx 0时，+→，所以由定理4.4，tan 0lim(sin )lim x xx x x x ++→→=, 令x y x = ,两边取对数，得ln ln ln 1xy x x x==，由00ln lim ln lim 01x x x x x x++→→== ,得到 0lim ln tan 00lim(sin )1x y x x x e e +→+→===. 例4.4.2 求极限sin 01lim ()x x x+→ . 解 001lim ,lim sin 0x x x x ++→→=+∞= ，此问题为0∞ 型不确定式极限，因为0x +→时，sin ~x x ，所以由推论2，sin 0011lim()lim()x x x x x x++→→=, 令1()x y x= ，两边取对数，得ln ln ln 1xy x x x =-=- ,由 00ln lim ln lim 01x x xx x x++→→-=-= ,得到 sin 01lim ()x x x +→=1. 等价无穷小代换应用到幂指函数极限的计算时，通常会结合洛必达法则及对数法，使得计算快捷简便.注：当0→x 时，有下列常用的一组等价无穷小：x x ~sin ； x x ~tan ； x x ~arcsin ； x x ~arctan ； x e x ~1-； x x ~)1ln(+；2~cos 12x x -； a x a x ln ~1-； n x x n ~11-+；x x αα~1)1(-+ .5 结论通过对幂指函数与指数函数、幂函数概念上的对比分析，对幂指函数极限类型的归纳总结以及对计算方法的整理分析，我们更好地认识了幂指函数，对其每一极限类型适用的计算方法也已经掌握，对以后的学习会有很大的帮助.但值得我们注意的是，在求解幂指函数的极限时，题目中不可能只会用到一种计算方法，计算过程中可能会用到几种方法，比如说例4.4.1、例4.4.2用到等价无穷小代换和对数解法，我们在求解时应该对每一步仔细分析，掌握计算的技巧,找到正确快速的解题方法.参考文献[1]华北师范大学数学系.数学分析(上册)[M].第三版.北京:高等教育出版社，2001：56-131.[2]邵剑,李大侃.高等数学专题梳理与解读[M].上海：同济大学出版社，2008：37-38.[3]沐定夷.谢惠民.吉米多维奇数学分析习题集学习指引（第一册）[M].北京:高等教育出版社，2010:116-118.[4]裴礼文.数学分析中的典型问题与方法[M].北京:高等教育出版社,2001.[5]冯加才.幂指函数的极限问题[J].焦作工学院学报，1999,18(5).[6]康佳鑫.浅谈应用洛必达法则求不定式极限[J].哈尔滨师范大学自然科学学报，2015,31(2).[7]陈茜，舒慧颖.浅谈幂指函数的极限问题[J].衡水学院学报，2011,13（4）.[8]钱吉林.数学分析题解精粹[M].第二版.湖北：湖北辞书出版社，2003.致谢这篇文章包含了许多老师和同学的宝贵建议，同时也有来自参考著作中的启示，如高等教育出版社出版的数学分析、冯加才老师的幂指函数的极限问题等，还要感谢我的指导老师——魏老师的亲切关怀和悉心指导，她严谨的科学态度、精益求精的工作作风，深深地感染和激励着我从课题的选择到论文的最终完成，魏老师都始终给予我细心的指导和不懈的支持，在此谨致以诚挚的谢意和崇高的敬意.。