吉林省长春市普通高中2016届高三质量监测(四)数学(理)试题 (解析版)

2016年吉林省吉林市高考数学四模试卷(理科)(解析版).

2016年吉林省吉林市高考数学四模试卷（理科）一、选择题：本大题共12题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．已知集合A={x|x2﹣5x+6＜0}，B={x||x|≤2}，则∁R A∩B=（）A．A B．C R A C．B D．C R B2．在复平面内，复数z=对应的点位于（）A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限3．抛物线y=﹣2x2的焦点坐标是（）A．（﹣，0）B．（﹣1，0）C．（0，﹣）D．（0，﹣）4．若变量x，y满足约束条件则z=x﹣2y的最大值为（）A．4 B．3 C．2 D．15．已知lga+lgb=0，函数f（x）=a x与函数g（x）=﹣log b x的图象可能是（）A． B． C． D．6．“牟合方盖”是我国古代数学家刘徽在研究球的体积的过程中构造的一个和谐优美的几何体．它由完全相同的四个曲面构成，相对的两个曲面在同一个圆柱的侧面上，好似两个扣合（牟合）在一起的方形伞（方盖）．其直观图如图1，图2中四边形是为体现其直观性所作的辅助线．当其正视图和侧视图完全相同时，它的正视图和俯视图分别可能是（）A．a，b B．a，c C．c，b D．b，d7．已知实数x∈{1，2，3，4，5，6，7，8}，执行如图所示的程序框图，则输出的x不小于121的概率为（）A．B．C．D．8．下列命题正确的个数是（）①对于两个分类变量X与Y的随机变量K2的观测值k来说，k越小，判断“X与Y有关系”的把握程度越大；②在相关关系中，若用y1=c1e拟合时的相关指数为R12，用y2=bx+a拟合时的相关指数为R22，且R12＞R22，则y1的拟合效果好；③利用计算机产生0～1之间的均匀随机数a，则事件“3a﹣1＞0”发生的概率为；④“a＞0，b＞0”是“+≥2”的充分不必要条件．A．1 B．2 C．3 D．49．已知A（x1，y1）是单位圆O上任意一点，将射线OA绕点O逆时针旋转，与单位圆O交于点B（x2，y2），若x=my1﹣2y2（m＞0）的最大值为2，则m的值为（）A．1 B．2 C．2D．310．过双曲线C：x2﹣的左顶点P作斜率为1的直线l，若l与双曲线C的两条渐近线分别相交于点Q，R，且，则双曲线C的离心率是（）A．B． C．D．11．△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，已知A=，a=且bsin（+C）﹣csin（+B）=a，则△ABC的面积为（）A．B．C．D．12．设函数f（x）在R上存在导数f′（x），对任意的x∈R，有f（﹣x）+f（x）=x2，且x ∈（0，+∞）时，f′（x）＞x．若f（2﹣a）﹣f（a）≥2﹣2a，则实数a的取值范围为（）A．[1，+∞）B．（﹣∞，1]C．（﹣∞，2]D．[2，+∞）二．填空题：本大题共4个小题，每小题5分．13．2016年1月1日我国全面二孩政策实施后，某中学的一个学生社团组织了一项关于生育二孩意愿的调查活动．已知该中学所在的城镇符合二孩政策的已婚女性中，30岁以下的约2400人，30岁至40岁的约3600人，40岁以上的约6000人．为了解不同年龄层的女性对生育二孩的意愿是否存在显著差异，该社团用分层抽样的方法从中抽取了一个容量为N 的样本进行调查，已知从30岁至40岁的女性中抽取的人数为60人，则N=．14．二项式（x2+）6展开式中的常数项为．15．已知四边形ABCD中，•=0，||=1，||=2，•=0，则||的最大值为．16．在半径为2的球面上有A 、B 、C 、D 四点，若AB=CD=2，则四面体ABCD 的体积的最大值为．三．解答题：解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．17．已知公差不为零的等差数列{a n }中，a 3=7，且a 2，a 4，a 9成等比数列．（Ⅰ）求数列{a n }的通项公式；（Ⅱ）数列{b n }满足b n =（），设其前n 项和为S n ，求证：≤S n ＜．18．某学校为倡导全体学生为特困学生捐款，举行“一元钱，一片心，诚信用水”活动，学生在购水处每领取一瓶矿泉水，便自觉向捐款箱中至少投入一元钱．现统计了连续5天的售出（Ⅱ）期中考试以后，学校决定将诚信用水的收益，以奖学金的形式奖励给品学兼优的特困生，规定：特困生考入年级前200名，获一等奖学金500元；考入年级201﹣500名，获二等奖学金300元；考入年级501名以后的特困生将不获得奖学金．甲、乙两名学生获一等奖学金的概率均为，获二等奖学金的概率均为，不获得奖学金的概率均为．（1）在学生甲获得奖学金条件下，求他获得一等奖学金的概率；（2）已知甲、乙两名学生获得哪个等级的奖学金是相互独立的，求甲、乙两名学生所获得奖学金总金额X 的分布列及数学期望附： =， =﹣， =6， =146，x i y i =4420，x i 2=182．19．梯形BDEF 所在平面垂直于平面ABCD 于BD ，EF ∥BD ，EF=DE=BD ，BD=BC=CD=AB=AD=2，DE ⊥BC ．（Ⅰ）求证：DE ⊥平面ABCD ；（Ⅱ）求平面AEF 与平面CEF 所成的锐二面角的余弦值．20．在平面直角坐标系中，已知A 1（﹣2，0），A 2（2，0），B 1（x ，2），B 2（x ，﹣2），P（x ，y ），若实数λ使得λ2•=•（O 为坐标原点）．（Ⅰ）求点P 的轨迹C 的方程，并讨论点P 的轨迹类型；（Ⅱ）当λ=时，是否存在过点B（0，2）的直线l与（Ⅰ）中点P的轨迹C相交于不同的两点E，F （E在B，F之间），且＜＜1？若存在，求出该直线的斜率k的取值范围；若不存在，请说明理由．21．设函数f（x）=x2﹣bx+alnx．（Ⅰ）若b=2，函数f（x）有两个极值点x1，x2，且x1＜x2，求实数a的取值范围；（Ⅱ）在（Ⅰ）的条件下，证明：f（x2）＞﹣；（Ⅲ）若对任意b∈[1，2]，都存在x∈（1，e）（e为自然对数的底数），使得f（x）＜0成立，求实数a的取值范围．请考生在22、23、24三题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分．[选修4-1：几何证明选讲]22．已知在△ABC中，AD为∠BAC的平分线，以C为圆心，CD为半径的半圆交BC的延长线于点E，交AD于点F，交AE于点M，且∠B=∠CAE，FE：FD=4：3．（Ⅰ）求证：AF=DF；（Ⅱ）求∠AED的余弦值．[选修4-4坐标系与参数方程]23．在直角坐标系中，以原点O为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，已知曲线C的极坐标方程为ρ2﹣4ρcosθ+1=0，直线l的参数方程为：（t为参数），点A的极坐标为（2，），设直线l与曲线C相交于P，Q两点．（Ⅰ）写出曲线C的直角坐标方程和直线l的普通方程；（Ⅱ）求|AP|•|AQ|•|OP|•|OQ|的值．[选修4-5：不等式选讲]24．已知函数f（x）=|x﹣1|．（1）解不等式f（x）+f（x+4）≥8；（2）若|a|＜1，|b|＜1，且a≠0，求证：f（ab）＞|a|f（）．2016年吉林省吉林市高考数学四模试卷（理科）参考答案与试题解析一、选择题：本大题共12题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．已知集合A={x|x2﹣5x+6＜0}，B={x||x|≤2}，则∁R A∩B=（）A．A B．C R A C．B D．C R B【考点】交、并、补集的混合运算．【分析】分别求出A与B中不等式的解集，确定出A与B，求出A补集与B的交集即可．【解答】解：由A中不等式变形得：（x﹣2）（x﹣3）＜0，解得：2＜x＜3，即A=（2，3），∴∁R A=（﹣∞，2]∪[3，+∞），由B中不等式解得：﹣2≤x≤2，即B=[﹣2，2]，则∁R A∩B=[﹣2，2]=B，故选：C．2．在复平面内，复数z=对应的点位于（）A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限【考点】复数代数形式的乘除运算；复数的代数表示法及其几何意义．【分析】利用两个复数代数形式的除法，虚数单位i的幂运算性质化简复数z等于﹣1﹣3i，它在复平面内对应点的坐标为（﹣1，﹣3），从而得出结论．【解答】解：∵复数===﹣1﹣3i，它在复平面内对应点的坐标为（﹣1，﹣3），故复数对应的点位于在第三象限，故选C．3．抛物线y=﹣2x2的焦点坐标是（）A．（﹣，0）B．（﹣1，0）C．（0，﹣）D．（0，﹣）【考点】抛物线的简单性质．【分析】抛物线y=﹣2x2的方程化为：．即可得出．【解答】解：抛物线y=﹣2x2的方程化为：．∴焦点坐标为．故选：C．4．若变量x，y满足约束条件则z=x﹣2y的最大值为（）A．4 B．3 C．2 D．1【考点】简单线性规划．【分析】作出题中不等式组表示的平面区域，得到如图的△ABC及其内部，再将目标函数z=x﹣2y对应的直线进行平移，观察直线在y轴上的截距变化，可得当x=2且y=0时，z达到最大值2．【解答】解：作出不等式组表示的平面区域，得到如图的△ABC及其内部，其中A（2，0），B（1，1），C（3，1）．设z=F（x，y）=x﹣2y，将直线l：z=x﹣2y进行平移，观察直线在x轴上的截距变化，可得当l经点A时，目标函数z达到最大值，=F（2，0）=3．∴z最大值故选：C5．已知lga+lgb=0，函数f（x）=a x与函数g（x）=﹣log b x的图象可能是（）A． B． C． D．【考点】对数函数的图象与性质；指数函数的图象与性质．【分析】先求出a、b的关系，将函数g（x）进行化简，得到函数f（x）与函数g（x）的单调性是在定义域内同增同减，再进行判定．【解答】解：∵lga+lgb=0∴ab=1则b=从而g（x）=﹣log b x=log a x，f（x）=a x与∴函数f（x）与函数g（x）的单调性是在定义域内同增同减结合选项可知选B，故答案为B6．“牟合方盖”是我国古代数学家刘徽在研究球的体积的过程中构造的一个和谐优美的几何体．它由完全相同的四个曲面构成，相对的两个曲面在同一个圆柱的侧面上，好似两个扣合（牟合）在一起的方形伞（方盖）．其直观图如图1，图2中四边形是为体现其直观性所作的辅助线．当其正视图和侧视图完全相同时，它的正视图和俯视图分别可能是（）A．a，b B．a，c C．c，b D．b，d【考点】简单空间图形的三视图．【分析】相对的两个曲面在同一个圆柱的侧面上，好似两个扣合（牟合）在一起的方形伞（方盖）．根据三视图看到方向，可以确定三个识图的形状，判断答案．【解答】解：∵相对的两个曲面在同一个圆柱的侧面上，好似两个扣合（牟合）在一起的方形伞（方盖）．∴其正视图和侧视图是一个圆，∵俯视图是从上向下看，相对的两个曲面在同一个圆柱的侧面上∴俯视图是有2条对角线且为实线的正方形，故选：A．7．已知实数x∈{1，2，3，4，5，6，7，8}，执行如图所示的程序框图，则输出的x不小于121的概率为（）A．B．C．D．【考点】程序框图．【分析】由程序框图的流程，写出前三项循环得到的结果，得到输出的值与输入的值的关系，令输出值大于等于121得到输入值的范围，利用几何概型的概率公式求出输出的x不小于121的概率．【解答】解：经过第一次循环得到x=3x+1，n=2，经过第二循环得到x=3（3x+1）+1，n=3，经过第三次循环得到x=3[3（3x+1）+1]+1，n=3此时输出x，输出的值为27x+13，令27x+13≥121，得x≥4，由几何概型得到输出的x不小于121的概率为：．故选：B．8．下列命题正确的个数是（）①对于两个分类变量X与Y的随机变量K2的观测值k来说，k越小，判断“X与Y有关系”的把握程度越大；②在相关关系中，若用y1=c1e拟合时的相关指数为R12，用y2=bx+a拟合时的相关指数为R22，且R12＞R22，则y1的拟合效果好；③利用计算机产生0～1之间的均匀随机数a，则事件“3a﹣1＞0”发生的概率为；④“a＞0，b＞0”是“+≥2”的充分不必要条件．A．1 B．2 C．3 D．4【考点】命题的真假判断与应用．【分析】①根据独立性检验的进行判断，②根据相关关系相关指数为R22，的意义进行判断，③根据几何概型的概率公式进行求解．④根据充分条件和必要条件的定义进行判断．【解答】解：①根据两个分类变量X与Y的随机变量k2的观测值k来说，k2越大，判断“X 与Y有关系”的把握程度越大，故①错误，②在相关关系中，若用y1=c1e拟合时的相关指数为R12，用y2=bx+a拟合时的相关指数为R22，且R12＞R22，则y1的拟合效果好；正确③利用计算机产生0～1之间的均匀随机数a，由3a﹣1＞0得a＞，则事件“3a﹣1＞0”发生的概率P==；故③正确，④当“a＞0，b＞0”时“+≥2成立，当a＜0，b＜0时， +≥2也成立，则“a＞0，b＞0”是“+≥2”的充分不必要条件，故④错误，故正确的是②③，故选：B．9．已知A（x1，y1）是单位圆O上任意一点，将射线OA绕点O逆时针旋转，与单位圆O交于点B（x2，y2），若x=my1﹣2y2（m＞0）的最大值为2，则m的值为（）A．1 B．2 C．2D．3【考点】三角函数的化简求值；任意角的三角函数的定义．【分析】设A（cosα，sinα），则B（cos（α+），sin（α+）），则my1﹣2y2=msinα﹣2sin（α+），整理后利用辅助角公式化积，再由x=my1﹣2y2（m＞0）的最大值为2列关于m的等式求得m的值．【解答】解：A（x1，y1）是单位圆上任一点，设A（cosα，sinα），则B（cos（α+），sin（α+）），即y1=sinα，y2=sin（α+），则my1﹣2y2=msinα﹣2sin（α+）=msinα﹣2（）=（m﹣1）sinα﹣cosα=sin（α+β），∵m＞0，my1﹣2y2的最大值为2，∴，解得m=2．故选：B．10．过双曲线C：x2﹣的左顶点P作斜率为1的直线l，若l与双曲线C的两条渐近线分别相交于点Q，R，且，则双曲线C的离心率是（）A．B． C．D．【考点】双曲线的简单性质．【分析】先由双曲线线方程可得P的坐标和直线l的方程与双曲线的渐近线联立求得Q和R的横坐标，进而根据且，求得b的值，进而根据c=求得c，最后根据离心率公式答案可得．【解答】解：由题可知P（﹣1，0）所以直线L的方程为y=x+1，两条渐近线方程为y=﹣bx或y=bx联立y=x+1和y=﹣bx得Q的横坐标为x Q=﹣同理得R的横坐标为x R=，∵，∴（﹣1，0）+（，y R）=2（﹣，y Q），∴﹣1+=﹣⇒b=3，c==，∴e==，故选B ．11．△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，已知A=，a=且bsin （+C ）﹣csin （+B ）=a ，则△ABC 的面积为（）A ．B ．C ．D ．【考点】三角函数的化简求值；正弦定理．【分析】由已知化简整理求得sin （B ﹣C ）=1，结合角的范围得到B ，C 的值，再利用正弦定理求得b ，代入三角形面积公式求得答案．【解答】解：由bsin （+C ）﹣csin （+B ）=a ，A=，得：sinBsin （）﹣sinCsin （）=sinA ．sinB （+）﹣sinC （sinB +cosB ）=，整理得sinBcosC ﹣cosBsinC=1，即sin （B ﹣C ）=1，∵A=，∴B +C=，①即0＜B ＜，0＜C ＜，∴﹣＜﹣C ＜0，则﹣＜B ﹣C ＜，从而B ﹣C=．②联立①②解得B=，C=．sin =，sin =．由，得=．∴．故选：C．12．设函数f（x）在R上存在导数f′（x），对任意的x∈R，有f（﹣x）+f（x）=x2，且x ∈（0，+∞）时，f′（x）＞x．若f（2﹣a）﹣f（a）≥2﹣2a，则实数a的取值范围为（）A．[1，+∞）B．（﹣∞，1]C．（﹣∞，2]D．[2，+∞）【考点】导数的运算．【分析】令g（x）=f（x）﹣x2，由g（﹣x）+g（x）=0，可得函数g（x）为奇函数．利用导数可得函数g（x）在R上是增函数，f（2﹣a）﹣f（a）≥2﹣2a，即g（2﹣a）≥g（a），可得2﹣a≥a，由此解得a的范围．【解答】解：∵f（﹣x）+f（x）=x2，∴f（x）﹣x2+f（﹣x）﹣x2=0，令g（x）=f（x）﹣x2，∵g（﹣x）+g（x）=f（﹣x）﹣x2+f（x）﹣x2=0，∴函数g（x）为奇函数．∵x∈（0，+∞）时，f′（x）＞x．∴x∈（0，+∞）时，g′（x）=f′（x）﹣x＞0，故函数g（x）在（0，+∞）上是增函数，故函数g（x）在（﹣∞，0）上也是增函数，由f（0）=0，可得g（x）在R上是增函数．f（2﹣a）﹣f（a）≥2﹣2a，等价于f（2﹣a）﹣≥f（a）﹣，即g（2﹣a）≥g（a），∴2﹣a≥a，解得a≤1，故选：B．二．填空题：本大题共4个小题，每小题5分．13．2016年1月1日我国全面二孩政策实施后，某中学的一个学生社团组织了一项关于生育二孩意愿的调查活动．已知该中学所在的城镇符合二孩政策的已婚女性中，30岁以下的约2400人，30岁至40岁的约3600人，40岁以上的约6000人．为了解不同年龄层的女性对生育二孩的意愿是否存在显著差异，该社团用分层抽样的方法从中抽取了一个容量为N 的样本进行调查，已知从30岁至40岁的女性中抽取的人数为60人，则N=200．【考点】分层抽样方法．【分析】根据分层抽样的定义即可得到结论．【解答】解：由题意可得=，故N=200．故答案为：200．14．二项式（x2+）6展开式中的常数项为3．【考点】二项式定理的应用．【分析】在二项展开式的通项公式中，令x的幂指数等于0，求出r的值，即可求得常数项，【解答】解：二项式（x2+）6展开式的通项公式为T r+1=•（x2）6﹣r•x﹣r=（）6﹣r••x12﹣3r，令12﹣3r=0，求得r=4，故展开式中的常数项为（）2•=3，故答案为：3．15．已知四边形ABCD中，•=0，||=1，||=2，•=0，则||的最大值为．【考点】平面向量数量积的运算．【分析】如图所示，•=0，•=0，可得AB⊥BC，AD⊥DC．因此四边形ABCD内接于圆O．可得||的最大值为直径AC．【解答】解：如图所示，∵•=0，•=0，∴AB⊥BC，AD⊥DC．∴四边形ABCD内接于圆O．可得⊙O的直径AC==．则||的最大值为直径．故答案为：．16．在半径为2的球面上有A、B、C、D四点，若AB=CD=2，则四面体ABCD的体积的最大值为．【考点】球内接多面体；棱柱、棱锥、棱台的体积．【分析】过CD作平面PCD，使AB⊥平面PCD，交AB于P，设点P到CD的距离为h，则当球的直径通过AB与CD的中点时，h最大为2，从而得到四面体ABCD的体积的最大值即可．【解答】解：过CD作平面PCD，使AB⊥平面PCD，交AB与P，设点P到CD的距离为h，则有V=×2×h××2，当球的直径通过AB与CD的中点时，h最大为2，则四面体ABCD的体积的最大值为．故答案为：．三．解答题：解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．17．已知公差不为零的等差数列{a n}中，a3=7，且a2，a4，a9成等比数列．（Ⅰ）求数列{a n}的通项公式；（Ⅱ）数列{b n}满足b n=（），设其前n项和为S n，求证：≤S n＜．【考点】数列的求和；数列递推式．【分析】（I）设等差数列{a n}的公差为d≠0，由a3=7，且a2，a4，a9成等比数列．可得a1+2d=7，=（a1+d）（a1+8d），联立解得即可得出．（Ⅱ）由（Ⅰ）知：b n=（）==4×．再利用等比数列的前n项和公式、数列的单调性即可得出．【解答】（I）解：设等差数列{a n}的公差为d≠0，∵a3=7，且a2，a4，a9成等比数列．∴a1+2d=7，=a2•a9，即=（a1+d）（a1+8d），联立解得d=3，a1=1．∴数列{a n}的通项公式a n=3n﹣2．（Ⅱ）证明：由（Ⅰ）知：b n=（）==4×．∴S n==∈．∴≤S n＜．18．某学校为倡导全体学生为特困学生捐款，举行“一元钱，一片心，诚信用水”活动，学生在购水处每领取一瓶矿泉水，便自觉向捐款箱中至少投入一元钱．现统计了连续5天的售出（Ⅰ）若某天售出箱水，求预计收益是多少元？（Ⅱ）期中考试以后，学校决定将诚信用水的收益，以奖学金的形式奖励给品学兼优的特困生，规定：特困生考入年级前200名，获一等奖学金500元；考入年级201﹣500名，获二等奖学金300元；考入年级501名以后的特困生将不获得奖学金．甲、乙两名学生获一等奖学金的概率均为，获二等奖学金的概率均为，不获得奖学金的概率均为．（1）在学生甲获得奖学金条件下，求他获得一等奖学金的概率；（2）已知甲、乙两名学生获得哪个等级的奖学金是相互独立的，求甲、乙两名学生所获得奖学金总金额X的分布列及数学期望附：=，=﹣，=6，=146，x i y i=4420，x i2=182．【考点】线性回归方程；离散型随机变量及其分布列；离散型随机变量的期望与方差．【分析】（Ⅰ）求出、，从而求出回归方程，将x=8代入求出即可；（Ⅱ）设事件A为“学生甲获得奖学金”，事件B为“学生甲获得一等奖学金”，求出概率即可；（Ⅲ）计算对应的P（X）的值，求出其分布列和期望值即可．【解答】解：（Ⅰ）===20…=﹣x=146﹣20×6=26…∴=20x=26，当x=8时，=20×8+26=186（元）即某天售出8箱水的预计收益是186元…（Ⅱ）（1）设事件A为“学生甲获得奖学金”，事件B为“学生甲获得一等奖学金”，则P===，即学生甲获得奖学金的条件下，获得一等奖学金的概率为…（2）X的取值可能为0，300，500，600，800，1000P（X=0）=×=，P（X=300）=××=，P（X=500）=××=，P（X=600）==，P（X=800）=××=，P（X=1000）==，XX的数学期望E（X）=0×+300×+500×+600×+800×+1000×=600（元）…19．梯形BDEF所在平面垂直于平面ABCD于BD，EF∥BD，EF=DE=BD，BD=BC=CD=AB=AD=2，DE⊥BC．（Ⅰ）求证：DE⊥平面ABCD；（Ⅱ）求平面AEF与平面CEF所成的锐二面角的余弦值．【考点】二面角的平面角及求法；直线与平面垂直的判定．【分析】（Ⅰ）连接AC，交BD于O，推导出AC⊥BD，从而AC⊥平面BDEF，进而DE ⊥AC，再由DE⊥BC，能证明DE⊥平面ABCD．（Ⅱ）分别以OA，OB，OC为x轴，y轴，z轴建立空间直角坐标系，利用向量法能求出平面AEF与平面CEF所成的锐二面角的余弦值．【解答】证明：（Ⅰ）连接AC，交BD于O，∵BD=BC=CD，且AB=AD，∴AC⊥BD，∵平面BDEF⊥平面ABCD，交线为BD，且AC⊂平面ABCD，∴AC⊥平面BDEF，∵DE⊂平面BDEF，∴DE⊥AC，又DE⊥BC，且AC∩BC=C，∴DE⊥平面ABCD．…解：（Ⅱ）∵EF∥BD，EF=BD，且O是BD中点，∴ODEF是平行四边形，∴OF∥DE，∴OF⊥平面ABCD，…分别以OA，OB，OC为x轴，y轴，z轴建立空间直角坐标系，A（1，0，0），C（﹣，0，0），E（0，﹣1，1），F（0，0，1），=（﹣1，0，1），=（0，1，0），=（），设平面AEF的法向量=（x，y，z），则，取x=1，得=（1，0，1），…设平面CEF的法向量，则，取a=1，得=（1，0，﹣），…∴cos＜＞===．即平面AEF与平面CEF所成的锐二面角的余弦值为．…20．在平面直角坐标系中，已知A1（﹣2，0），A2（2，0），B1（x，2），B2（x，﹣2），P（x，y），若实数λ使得λ2•=•（O为坐标原点）．（Ⅰ）求点P的轨迹C的方程，并讨论点P的轨迹类型；（Ⅱ）当λ=时，是否存在过点B（0，2）的直线l与（Ⅰ）中点P的轨迹C相交于不同的两点E，F （E在B，F之间），且＜＜1？若存在，求出该直线的斜率k的取值范围；若不存在，请说明理由．【考点】轨迹方程；平面向量数量积的运算．【分析】（Ⅰ）由题设条件，知（1﹣λ2）x2+y2=4（1﹣λ2），由此进行分类讨论能得到P点的轨迹类型．（Ⅱ）当λ=时，点P的轨迹C的方程为=1．S△OBE：S△OBF=|x1|：|x2|，由＜＜1，即＜＜1．设直线EF直线方程为y=kx+2，联立方程可得，：（1+2k2）x2+8kx+4=0，由此能够推导出直线的斜率的取值范围．【解答】解：（Ⅰ）由λ2•=•得：λ2（x2﹣4）=x2﹣4+y2，即（1﹣λ2）x2+y2=4（1﹣λ2）为点P的轨迹C的方程…①λ=±1时方程为y=0轨迹为一条直线，…②λ=0时方程为x2+y2=4轨迹为圆，…③λ∈（﹣1，0）∪（0，1）时方程为+=1轨迹为椭圆，…④λ∈（﹣∞，﹣1）∪（1，+∞）时方程为﹣=1轨迹为双曲线 …（Ⅱ）当λ=时，点P 的轨迹C 的方程为=1 …设E （x 1，y 1），F （x 2，y 2），∴S △OBE ：S △OBF =|x 1|：|x 2|由＜＜1，即＜＜1，由题意可得x 1，x 2同号，∴＜＜1… 由题意得直线EF 的斜率存在，设其方程为y=kx +2代入椭圆方程得：（1+2k 2）x 2+8kx +4=0∵△=64k 2﹣16（1+2k 2）＞0，∴k 2＞，x 1+x 2=﹣，x 1x 2=…设，则，∴，∴，，∵，∴即，∴，∴k ∈（，）∪（，）为所求…21．设函数f （x ）=x 2﹣bx +alnx ．（Ⅰ）若b=2，函数f （x ）有两个极值点x 1，x 2，且x 1＜x 2，求实数a 的取值范围；（Ⅱ）在（Ⅰ）的条件下，证明：f （x 2）＞﹣；（Ⅲ）若对任意b ∈[1，2]，都存在x ∈（1，e ）（e 为自然对数的底数），使得f （x ）＜0成立，求实数a 的取值范围．【考点】利用导数研究函数的极值；利用导数求闭区间上函数的最值．【分析】（Ⅰ）求出f （x ）的导数，结合二次函数的性质求出a 的范围即可；（Ⅱ）求出f （x 2）=﹣2x 2+（2x 2﹣2）lnx 2，令F （t ）=t 2﹣2t +（2t ﹣2t 2）lnt ，（＜t ＜1），得到F （t ）=2（1﹣2t ）lnt ，根据函数的单调性求出F （t ）＞F （），从而证出结论；（Ⅲ）令g （b ）=﹣xb +x 2+alnx ，b ∈[1，2]，得到在x ∈（1，e ）上g （b ）max =g （1）=﹣x +x 2+alnx ＜0有解，令h （x ）=﹣x +x 2+alnx ，通过讨论a 的范围，求出函数的单调性，从而确定a 的范围即可．【解答】解：（Ⅰ）由已知，b=2时，f （x ）=x 2﹣2x +alnx ，f （x ）的定义域为（0，+∞），求导数得：f ′（x ）=，∵f （x ）有两个极值点x 1，x 2，f ′（x ）=0有两个不同的正根x 1，x 2，故2x 2﹣2x +a=0的判别式△=4﹣8a ＞0，即a ＜，且x 1+x 2=1，x 1•x 2=＞0，所以a 的取值范围为（0，）；（Ⅱ）由（Ⅰ）得，＜x 2＜1且f ′（x 2）=0，得a=2x 2﹣2，∴f （x 2）=﹣2x 2+（2x 2﹣2）lnx 2，令F （t ）=t 2﹣2t +（2t ﹣2t 2）lnt ，（＜t ＜1），则F （t ）=2（1﹣2t ）lnt ，当t ∈（，1）时，F ′（t ）＞0，∴F （t ）在（，1）上是增函数∴F （t ）＞F （）=，∴f （x 2）＞﹣；（Ⅲ）令g （b ）=﹣xb +x 2+alnx ，b ∈[1，2]，由于x ∈（1，e ），所以g （b ）为关于b 的递减的一次函数，根据题意，对任意b ∈[1，2]，都存在x ∈（1，e ）（e 为自然对数的底数），使得f （x ）＜0成立，则x ∈（1，e ）上g （b ）max =g （1）=﹣x +x 2+alnx ＜0有解，令h （x ）=﹣x +x 2+alnx ，则只需存在x 0∈（1，e ）使得h （x 0）＜0即可，由于h ′（x ）=，令ω（x ）=2x 2﹣x +a ，x ∈（1，e ），ω′（x ）=4x ﹣1＞0， ∴ω（x ）在（1，e ）上单调递增，∴ω（x ）＞ω（1）=1+a ，①当1+a ≥0，即a ≥﹣1时，ω（x ）＞0，∴h ′（x ）＞0，∴h （x ）在（1，e ）上是增函数，∴h （x ）＞h （1）=0，不符合题意，②当1+a ＜0，即a ＜﹣1时，ω（1）=1+a ＜0，ω（e ）=2e 2﹣e +a ，（ⅰ）若ω（e ）＜0，即a ≤2e 2﹣e ＜﹣1时，在x ∈（1，e ）上ω（x ）＞0恒成立即h ′（x ）＜0恒成立，∴h （x ）在（1，e ）上单调递减，∴存在x0∈（1，e），使得h（x0）＜h（1）=0，符合题意，（ⅱ）若ω（e）＞0，即2e2﹣e＜a＜﹣1时，在（1，e）上存在实数m，使得ω（m）=0，∴在（1，m）上，ω（x）＜0恒成立，即h′（x）＜0恒成立∴h（x）在（1，e）上单调递减，∴存在x0∈（1，e），使得h（x0）＜h（1）=0，符合题意，综上所述，当a＜﹣1时，对任意b∈[1，2]，都存在x∈（，1e）（e为自然对数的底数），使得f（x）＜0成立．请考生在22、23、24三题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分．[选修4-1：几何证明选讲]22．已知在△ABC中，AD为∠BAC的平分线，以C为圆心，CD为半径的半圆交BC的延长线于点E，交AD于点F，交AE于点M，且∠B=∠CAE，FE：FD=4：3．（Ⅰ）求证：AF=DF；（Ⅱ）求∠AED的余弦值．【考点】与圆有关的比例线段．【分析】（Ⅰ）欲证AF=DF，可以证明△AEF≌△DEF得出；（Ⅱ）求∠AED的余弦值，即求ME：DM，由已知条件，勾股定理，切割线定理的推论可以求出．【解答】证明：（Ⅰ）∵AD平分∠BAC，∴∠BAD=∠DAC．∵∠B=∠CAE，∴∠BAD+∠B=∠DAC+∠CAE．∵∠ADE=∠BAD+∠B，∴∠ADE=∠DAE．∴EA=ED．∵DE是半圆C的直径，∴∠DFE=90°．∴AF=DF．…解：（Ⅱ）连结DM，∵DE是半圆C的直径，∴∠DME=90°．∵FE：FD=4：3，∴可设FE=4x，则FD=3x．由勾股定理，得DE=5x．∴AE=DE=5x，AF=FD=3x∵AF•AD=AM•AE∴3x（3x+3x）=AM•5x∴AM=3.6x∴ME=AE﹣AM=5x﹣3.6x=1.4x在Rt△DME中，cos∠AED==．…[选修4-4坐标系与参数方程]23．在直角坐标系中，以原点O为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，已知曲线C的极坐标方程为ρ2﹣4ρcosθ+1=0，直线l的参数方程为：（t为参数），点A的极坐标为（2，），设直线l与曲线C相交于P，Q两点．（Ⅰ）写出曲线C的直角坐标方程和直线l的普通方程；（Ⅱ）求|AP|•|AQ|•|OP|•|OQ|的值．【考点】参数方程化成普通方程；简单曲线的极坐标方程．【分析】（Ⅰ）利用极坐标与直角坐标互化直接写出曲线C的直角坐标方程，消去参数即可得到直线l的普通方程；（Ⅱ）点A的直角坐标为（3，），设点P，Q对应的参数分别为t1，t2，点P，Q的极坐标分别为（），（）．将（t为参数）与（x﹣2）2+y2=3联立，得：t1t2=1，|AP||AQ|=1，转化求解|AP|•|AQ|•|OP|•|OQ|的值．【解答】解：（Ⅰ）曲线C的直角坐标方程为：x2+y2﹣4x+1=0，即（x﹣2）2+y2=3…直线l的普通方程为x﹣y=0 …（Ⅱ）点A的直角坐标为（3，），设点P，Q对应的参数分别为t1，t2，点P，Q的极坐标分别为（），（）．将（t为参数）与（x﹣2）2+y2=3联立得：t2+2t+1=0，由韦达定理得：t1t2=1，|AP||AQ|=1 …将直线的极坐标方程θ=（ρ∈R）与圆的极坐标方程ρ2﹣4ρcosθ+1=0联立得：，由韦达定理得：ρ1ρ2=1，即|OP||OQ|=1 …所以，|AP||AQ||OP||OQ|=t1t2|ρ1ρ2|=1．…[选修4-5：不等式选讲]24．已知函数f（x）=|x﹣1|．（1）解不等式f（x）+f（x+4）≥8；（2）若|a|＜1，|b|＜1，且a≠0，求证：f（ab）＞|a|f（）．【考点】绝对值不等式的解法；不等式的证明．【分析】（Ⅰ）根据f（x）+f（x+4）=|x﹣1|+|x+3|=，分类讨论求得不等式f（x）+f（x+4）≥8的解集．（Ⅱ）要证的不等式即|ab﹣1|＞|a﹣b|，根据|a|＜1，|b|＜1，可得|ab﹣1|2﹣|a﹣b|2＞0，从而得到所证不等式成立．【解答】解：（Ⅰ）f（x）+f（x+4）=|x﹣1|+|x+3|=，当x＜﹣3时，由﹣2x﹣2≥8，解得x≤﹣5；当﹣3≤x≤1时，f（x）≤8不成立；当x＞1时，由2x+2≥8，解得x≥3．所以，不等式f（x）+f（x+4）≤4的解集为{x|x≤﹣5，或x≥3}．（Ⅱ）f（ab）＞|a|f（），即|ab﹣1|＞|a﹣b|．因为|a|＜1，|b|＜1，所以|ab﹣1|2﹣|a﹣b|2=（a2b2﹣2ab+1）﹣（a2﹣2ab+b2）=（a2﹣1）（b2﹣1）＞0，所以|ab﹣1|＞|a﹣b|，故所证不等式成立．2016年8月23日。

2016年吉林省吉林市高考数学四模试卷(理科)(解析版)

2016年吉林省吉林市高考数学四模试卷（理科）一、选择题：本大题共12题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．已知集合A={x|x2﹣5x+6＜0}，B={x||x|≤2}，则∁R A∩B=（）A．A B．C R A C．B D．C R B2．在复平面内，复数z=对应的点位于（）A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限3．抛物线y=﹣2x2的焦点坐标是（）A．（﹣，0）B．（﹣1，0）C．（0，﹣）D．（0，﹣）4．若变量x，y满足约束条件则z=x﹣2y的最大值为（）A．4 B．3 C．2 D．15．已知lga+lgb=0，函数f（x）=a x与函数g（x）=﹣log b x的图象可能是（）A． B． C． D．6．“牟合方盖”是我国古代数学家刘徽在研究球的体积的过程中构造的一个和谐优美的几何体．它由完全相同的四个曲面构成，相对的两个曲面在同一个圆柱的侧面上，好似两个扣合（牟合）在一起的方形伞（方盖）．其直观图如图1，图2中四边形是为体现其直观性所作的辅助线．当其正视图和侧视图完全相同时，它的正视图和俯视图分别可能是（）A．a，b B．a，c C．c，b D．b，d7．已知实数x∈{1，2，3，4，5，6，7，8}，执行如图所示的程序框图，则输出的x不小于121的概率为（）A．B．C．D．8．下列命题正确的个数是（）①对于两个分类变量X与Y的随机变量K2的观测值k来说，k越小，判断“X与Y有关系”的把握程度越大；②在相关关系中，若用y1=c1e拟合时的相关指数为R12，用y2=bx+a拟合时的相关指数为R22，且R12＞R22，则y1的拟合效果好；③利用计算机产生0～1之间的均匀随机数a，则事件“3a﹣1＞0”发生的概率为；④“a＞0，b＞0”是“+≥2”的充分不必要条件．A．1 B．2 C．3 D．49．已知A（x1，y1）是单位圆O上任意一点，将射线OA绕点O逆时针旋转，与单位圆O交于点B（x2，y2），若x=my1﹣2y2（m＞0）的最大值为2，则m的值为（）A．1 B．2 C．2D．310．过双曲线C：x2﹣的左顶点P作斜率为1的直线l，若l与双曲线C的两条渐近线分别相交于点Q，R，且，则双曲线C的离心率是（）A．B． C．D．11．△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，已知A=，a=且bsin（+C）﹣csin（+B）=a，则△ABC的面积为（）A．B．C．D．12．设函数f（x）在R上存在导数f′（x），对任意的x∈R，有f（﹣x）+f（x）=x2，且x ∈（0，+∞）时，f′（x）＞x．若f（2﹣a）﹣f（a）≥2﹣2a，则实数a的取值范围为（）A．[1，+∞）B．（﹣∞，1]C．（﹣∞，2]D．[2，+∞）二．填空题：本大题共4个小题，每小题5分．13．2016年1月1日我国全面二孩政策实施后，某中学的一个学生社团组织了一项关于生育二孩意愿的调查活动．已知该中学所在的城镇符合二孩政策的已婚女性中，30岁以下的约2400人，30岁至40岁的约3600人，40岁以上的约6000人．为了解不同年龄层的女性对生育二孩的意愿是否存在显著差异，该社团用分层抽样的方法从中抽取了一个容量为N 的样本进行调查，已知从30岁至40岁的女性中抽取的人数为60人，则N=．14．二项式（x2+）6展开式中的常数项为．15．已知四边形ABCD中，•=0，||=1，||=2，•=0，则||的最大值为．16．在半径为2的球面上有A 、B 、C 、D 四点，若AB=CD=2，则四面体ABCD 的体积的最大值为．三．解答题：解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．17．已知公差不为零的等差数列{a n }中，a 3=7，且a 2，a 4，a 9成等比数列．（Ⅰ）求数列{a n }的通项公式；（Ⅱ）数列{b n }满足b n =（），设其前n 项和为S n ，求证：≤S n ＜．18．某学校为倡导全体学生为特困学生捐款，举行“一元钱，一片心，诚信用水”活动，学生在购水处每领取一瓶矿泉水，便自觉向捐款箱中至少投入一元钱．现统计了连续5天的售出（Ⅱ）期中考试以后，学校决定将诚信用水的收益，以奖学金的形式奖励给品学兼优的特困生，规定：特困生考入年级前200名，获一等奖学金500元；考入年级201﹣500名，获二等奖学金300元；考入年级501名以后的特困生将不获得奖学金．甲、乙两名学生获一等奖学金的概率均为，获二等奖学金的概率均为，不获得奖学金的概率均为．（1）在学生甲获得奖学金条件下，求他获得一等奖学金的概率；（2）已知甲、乙两名学生获得哪个等级的奖学金是相互独立的，求甲、乙两名学生所获得奖学金总金额X 的分布列及数学期望附： =， =﹣， =6， =146，x i y i =4420，x i 2=182．19．梯形BDEF 所在平面垂直于平面ABCD 于BD ，EF ∥BD ，EF=DE=BD ，BD=BC=CD=AB=AD=2，DE ⊥BC ．（Ⅰ）求证：DE ⊥平面ABCD ；（Ⅱ）求平面AEF 与平面CEF 所成的锐二面角的余弦值．20．在平面直角坐标系中，已知A 1（﹣2，0），A 2（2，0），B 1（x ，2），B 2（x ，﹣2），P（x ，y ），若实数λ使得λ2•=•（O 为坐标原点）．（Ⅰ）求点P 的轨迹C 的方程，并讨论点P 的轨迹类型；（Ⅱ）当λ=时，是否存在过点B（0，2）的直线l与（Ⅰ）中点P的轨迹C相交于不同的两点E，F （E在B，F之间），且＜＜1？若存在，求出该直线的斜率k的取值范围；若不存在，请说明理由．21．设函数f（x）=x2﹣bx+alnx．（Ⅰ）若b=2，函数f（x）有两个极值点x1，x2，且x1＜x2，求实数a的取值范围；（Ⅱ）在（Ⅰ）的条件下，证明：f（x2）＞﹣；（Ⅲ）若对任意b∈[1，2]，都存在x∈（1，e）（e为自然对数的底数），使得f（x）＜0成立，求实数a的取值范围．请考生在22、23、24三题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分．[选修4-1：几何证明选讲]22．已知在△ABC中，AD为∠BAC的平分线，以C为圆心，CD为半径的半圆交BC的延长线于点E，交AD于点F，交AE于点M，且∠B=∠CAE，FE：FD=4：3．（Ⅰ）求证：AF=DF；（Ⅱ）求∠AED的余弦值．[选修4-4坐标系与参数方程]23．在直角坐标系中，以原点O为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，已知曲线C的极坐标方程为ρ2﹣4ρcosθ+1=0，直线l的参数方程为：（t为参数），点A的极坐标为（2，），设直线l与曲线C相交于P，Q两点．（Ⅰ）写出曲线C的直角坐标方程和直线l的普通方程；（Ⅱ）求|AP|•|AQ|•|OP|•|OQ|的值．[选修4-5：不等式选讲]24．已知函数f（x）=|x﹣1|．（1）解不等式f（x）+f（x+4）≥8；（2）若|a|＜1，|b|＜1，且a≠0，求证：f（ab）＞|a|f（）．2016年吉林省吉林市高考数学四模试卷（理科）参考答案与试题解析一、选择题：本大题共12题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．已知集合A={x|x2﹣5x+6＜0}，B={x||x|≤2}，则∁R A∩B=（）A．A B．C R A C．B D．C R B【考点】交、并、补集的混合运算．【分析】分别求出A与B中不等式的解集，确定出A与B，求出A补集与B的交集即可．【解答】解：由A中不等式变形得：（x﹣2）（x﹣3）＜0，解得：2＜x＜3，即A=（2，3），∴∁R A=（﹣∞，2]∪[3，+∞），由B中不等式解得：﹣2≤x≤2，即B=[﹣2，2]，则∁R A∩B=[﹣2，2]=B，故选：C．2．在复平面内，复数z=对应的点位于（）A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限【考点】复数代数形式的乘除运算；复数的代数表示法及其几何意义．【分析】利用两个复数代数形式的除法，虚数单位i的幂运算性质化简复数z等于﹣1﹣3i，它在复平面内对应点的坐标为（﹣1，﹣3），从而得出结论．【解答】解：∵复数===﹣1﹣3i，它在复平面内对应点的坐标为（﹣1，﹣3），故复数对应的点位于在第三象限，故选C．3．抛物线y=﹣2x2的焦点坐标是（）A．（﹣，0）B．（﹣1，0）C．（0，﹣）D．（0，﹣）【考点】抛物线的简单性质．【分析】抛物线y=﹣2x2的方程化为：．即可得出．【解答】解：抛物线y=﹣2x2的方程化为：．∴焦点坐标为．故选：C．4．若变量x，y满足约束条件则z=x﹣2y的最大值为（）A．4 B．3 C．2 D．1【考点】简单线性规划．【分析】作出题中不等式组表示的平面区域，得到如图的△ABC及其内部，再将目标函数z=x﹣2y对应的直线进行平移，观察直线在y轴上的截距变化，可得当x=2且y=0时，z达到最大值2．【解答】解：作出不等式组表示的平面区域，得到如图的△ABC及其内部，其中A（2，0），B（1，1），C（3，1）．设z=F（x，y）=x﹣2y，将直线l：z=x﹣2y进行平移，观察直线在x轴上的截距变化，可得当l经点A时，目标函数z达到最大值，=F（2，0）=3．∴z最大值故选：C5．已知lga+lgb=0，函数f（x）=a x与函数g（x）=﹣log b x的图象可能是（）A． B． C． D．【考点】对数函数的图象与性质；指数函数的图象与性质．【分析】先求出a、b的关系，将函数g（x）进行化简，得到函数f（x）与函数g（x）的单调性是在定义域内同增同减，再进行判定．【解答】解：∵lga+lgb=0∴ab=1则b=从而g（x）=﹣log b x=log a x，f（x）=a x与∴函数f（x）与函数g（x）的单调性是在定义域内同增同减结合选项可知选B，故答案为B6．“牟合方盖”是我国古代数学家刘徽在研究球的体积的过程中构造的一个和谐优美的几何体．它由完全相同的四个曲面构成，相对的两个曲面在同一个圆柱的侧面上，好似两个扣合（牟合）在一起的方形伞（方盖）．其直观图如图1，图2中四边形是为体现其直观性所作的辅助线．当其正视图和侧视图完全相同时，它的正视图和俯视图分别可能是（）A．a，b B．a，c C．c，b D．b，d【考点】简单空间图形的三视图．【分析】相对的两个曲面在同一个圆柱的侧面上，好似两个扣合（牟合）在一起的方形伞（方盖）．根据三视图看到方向，可以确定三个识图的形状，判断答案．【解答】解：∵相对的两个曲面在同一个圆柱的侧面上，好似两个扣合（牟合）在一起的方形伞（方盖）．∴其正视图和侧视图是一个圆，∵俯视图是从上向下看，相对的两个曲面在同一个圆柱的侧面上∴俯视图是有2条对角线且为实线的正方形，故选：A．7．已知实数x∈{1，2，3，4，5，6，7，8}，执行如图所示的程序框图，则输出的x不小于121的概率为（）A．B．C．D．【考点】程序框图．【分析】由程序框图的流程，写出前三项循环得到的结果，得到输出的值与输入的值的关系，令输出值大于等于121得到输入值的范围，利用几何概型的概率公式求出输出的x不小于121的概率．【解答】解：经过第一次循环得到x=3x+1，n=2，经过第二循环得到x=3（3x+1）+1，n=3，经过第三次循环得到x=3[3（3x+1）+1]+1，n=3此时输出x，输出的值为27x+13，令27x+13≥121，得x≥4，由几何概型得到输出的x不小于121的概率为：．故选：B．8．下列命题正确的个数是（）①对于两个分类变量X与Y的随机变量K2的观测值k来说，k越小，判断“X与Y有关系”的把握程度越大；②在相关关系中，若用y1=c1e拟合时的相关指数为R12，用y2=bx+a拟合时的相关指数为R22，且R12＞R22，则y1的拟合效果好；③利用计算机产生0～1之间的均匀随机数a，则事件“3a﹣1＞0”发生的概率为；④“a＞0，b＞0”是“+≥2”的充分不必要条件．A．1 B．2 C．3 D．4【考点】命题的真假判断与应用．【分析】①根据独立性检验的进行判断，②根据相关关系相关指数为R22，的意义进行判断，③根据几何概型的概率公式进行求解．④根据充分条件和必要条件的定义进行判断．【解答】解：①根据两个分类变量X与Y的随机变量k2的观测值k来说，k2越大，判断“X 与Y有关系”的把握程度越大，故①错误，②在相关关系中，若用y1=c1e拟合时的相关指数为R12，用y2=bx+a拟合时的相关指数为R22，且R12＞R22，则y1的拟合效果好；正确③利用计算机产生0～1之间的均匀随机数a，由3a﹣1＞0得a＞，则事件“3a﹣1＞0”发生的概率P==；故③正确，④当“a＞0，b＞0”时“+≥2成立，当a＜0，b＜0时， +≥2也成立，则“a＞0，b＞0”是“+≥2”的充分不必要条件，故④错误，故正确的是②③，故选：B．9．已知A（x1，y1）是单位圆O上任意一点，将射线OA绕点O逆时针旋转，与单位圆O交于点B（x2，y2），若x=my1﹣2y2（m＞0）的最大值为2，则m的值为（）A．1 B．2 C．2D．3【考点】三角函数的化简求值；任意角的三角函数的定义．【分析】设A（cosα，sinα），则B（cos（α+），sin（α+）），则my1﹣2y2=msinα﹣2sin（α+），整理后利用辅助角公式化积，再由x=my1﹣2y2（m＞0）的最大值为2列关于m的等式求得m的值．【解答】解：A（x1，y1）是单位圆上任一点，设A（cosα，sinα），则B（cos（α+），sin（α+）），即y1=sinα，y2=sin（α+），则my1﹣2y2=msinα﹣2sin（α+）=msinα﹣2（）=（m﹣1）sinα﹣cosα=sin（α+β），∵m＞0，my1﹣2y2的最大值为2，∴，解得m=2．故选：B．10．过双曲线C：x2﹣的左顶点P作斜率为1的直线l，若l与双曲线C的两条渐近线分别相交于点Q，R，且，则双曲线C的离心率是（）A．B． C．D．【考点】双曲线的简单性质．【分析】先由双曲线线方程可得P的坐标和直线l的方程与双曲线的渐近线联立求得Q和R的横坐标，进而根据且，求得b的值，进而根据c=求得c，最后根据离心率公式答案可得．【解答】解：由题可知P（﹣1，0）所以直线L的方程为y=x+1，两条渐近线方程为y=﹣bx或y=bx联立y=x+1和y=﹣bx得Q的横坐标为x Q=﹣同理得R的横坐标为x R=，∵，∴（﹣1，0）+（，y R）=2（﹣，y Q），∴﹣1+=﹣⇒b=3，c==，∴e==，故选B ．11．△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，已知A=，a=且bsin （+C ）﹣csin （+B ）=a ，则△ABC 的面积为（）A ．B ．C ．D ．【考点】三角函数的化简求值；正弦定理．【分析】由已知化简整理求得sin （B ﹣C ）=1，结合角的范围得到B ，C 的值，再利用正弦定理求得b ，代入三角形面积公式求得答案．【解答】解：由bsin （+C ）﹣csin （+B ）=a ，A=，得：sinBsin （）﹣sinCsin （）=sinA ．sinB （+）﹣sinC （sinB +cosB ）=，整理得sinBcosC ﹣cosBsinC=1，即sin （B ﹣C ）=1，∵A=，∴B +C=，①即0＜B ＜，0＜C ＜，∴﹣＜﹣C ＜0，则﹣＜B ﹣C ＜，从而B ﹣C=．②联立①②解得B=，C=．sin =，sin =．由，得=．∴．故选：C．12．设函数f（x）在R上存在导数f′（x），对任意的x∈R，有f（﹣x）+f（x）=x2，且x ∈（0，+∞）时，f′（x）＞x．若f（2﹣a）﹣f（a）≥2﹣2a，则实数a的取值范围为（）A．[1，+∞）B．（﹣∞，1]C．（﹣∞，2]D．[2，+∞）【考点】导数的运算．【分析】令g（x）=f（x）﹣x2，由g（﹣x）+g（x）=0，可得函数g（x）为奇函数．利用导数可得函数g（x）在R上是增函数，f（2﹣a）﹣f（a）≥2﹣2a，即g（2﹣a）≥g（a），可得2﹣a≥a，由此解得a的范围．【解答】解：∵f（﹣x）+f（x）=x2，∴f（x）﹣x2+f（﹣x）﹣x2=0，令g（x）=f（x）﹣x2，∵g（﹣x）+g（x）=f（﹣x）﹣x2+f（x）﹣x2=0，∴函数g（x）为奇函数．∵x∈（0，+∞）时，f′（x）＞x．∴x∈（0，+∞）时，g′（x）=f′（x）﹣x＞0，故函数g（x）在（0，+∞）上是增函数，故函数g（x）在（﹣∞，0）上也是增函数，由f（0）=0，可得g（x）在R上是增函数．f（2﹣a）﹣f（a）≥2﹣2a，等价于f（2﹣a）﹣≥f（a）﹣，即g（2﹣a）≥g（a），∴2﹣a≥a，解得a≤1，故选：B．二．填空题：本大题共4个小题，每小题5分．13．2016年1月1日我国全面二孩政策实施后，某中学的一个学生社团组织了一项关于生育二孩意愿的调查活动．已知该中学所在的城镇符合二孩政策的已婚女性中，30岁以下的约2400人，30岁至40岁的约3600人，40岁以上的约6000人．为了解不同年龄层的女性对生育二孩的意愿是否存在显著差异，该社团用分层抽样的方法从中抽取了一个容量为N 的样本进行调查，已知从30岁至40岁的女性中抽取的人数为60人，则N=200．【考点】分层抽样方法．【分析】根据分层抽样的定义即可得到结论．【解答】解：由题意可得=，故N=200．故答案为：200．14．二项式（x2+）6展开式中的常数项为3．【考点】二项式定理的应用．【分析】在二项展开式的通项公式中，令x的幂指数等于0，求出r的值，即可求得常数项，【解答】解：二项式（x2+）6展开式的通项公式为T r+1=•（x2）6﹣r•x﹣r=（）6﹣r••x12﹣3r，令12﹣3r=0，求得r=4，故展开式中的常数项为（）2•=3，故答案为：3．15．已知四边形ABCD中，•=0，||=1，||=2，•=0，则||的最大值为．【考点】平面向量数量积的运算．【分析】如图所示，•=0，•=0，可得AB⊥BC，AD⊥DC．因此四边形ABCD内接于圆O．可得||的最大值为直径AC．【解答】解：如图所示，∵•=0，•=0，∴AB⊥BC，AD⊥DC．∴四边形ABCD内接于圆O．可得⊙O的直径AC==．则||的最大值为直径．故答案为：．16．在半径为2的球面上有A、B、C、D四点，若AB=CD=2，则四面体ABCD的体积的最大值为．【考点】球内接多面体；棱柱、棱锥、棱台的体积．【分析】过CD作平面PCD，使AB⊥平面PCD，交AB于P，设点P到CD的距离为h，则当球的直径通过AB与CD的中点时，h最大为2，从而得到四面体ABCD的体积的最大值即可．【解答】解：过CD作平面PCD，使AB⊥平面PCD，交AB与P，设点P到CD的距离为h，则有V=×2×h××2，当球的直径通过AB与CD的中点时，h最大为2，则四面体ABCD的体积的最大值为．故答案为：．三．解答题：解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．17．已知公差不为零的等差数列{a n}中，a3=7，且a2，a4，a9成等比数列．（Ⅰ）求数列{a n}的通项公式；（Ⅱ）数列{b n}满足b n=（），设其前n项和为S n，求证：≤S n＜．【考点】数列的求和；数列递推式．【分析】（I）设等差数列{a n}的公差为d≠0，由a3=7，且a2，a4，a9成等比数列．可得a1+2d=7，=（a1+d）（a1+8d），联立解得即可得出．（Ⅱ）由（Ⅰ）知：b n=（）==4×．再利用等比数列的前n项和公式、数列的单调性即可得出．【解答】（I）解：设等差数列{a n}的公差为d≠0，∵a3=7，且a2，a4，a9成等比数列．∴a1+2d=7，=a2•a9，即=（a1+d）（a1+8d），联立解得d=3，a1=1．∴数列{a n}的通项公式a n=3n﹣2．（Ⅱ）证明：由（Ⅰ）知：b n=（）==4×．∴S n==∈．∴≤S n＜．18．某学校为倡导全体学生为特困学生捐款，举行“一元钱，一片心，诚信用水”活动，学生在购水处每领取一瓶矿泉水，便自觉向捐款箱中至少投入一元钱．现统计了连续5天的售出（Ⅰ）若某天售出箱水，求预计收益是多少元？（Ⅱ）期中考试以后，学校决定将诚信用水的收益，以奖学金的形式奖励给品学兼优的特困生，规定：特困生考入年级前200名，获一等奖学金500元；考入年级201﹣500名，获二等奖学金300元；考入年级501名以后的特困生将不获得奖学金．甲、乙两名学生获一等奖学金的概率均为，获二等奖学金的概率均为，不获得奖学金的概率均为．（1）在学生甲获得奖学金条件下，求他获得一等奖学金的概率；（2）已知甲、乙两名学生获得哪个等级的奖学金是相互独立的，求甲、乙两名学生所获得奖学金总金额X的分布列及数学期望附：=，=﹣，=6，=146，x i y i=4420，x i2=182．【考点】线性回归方程；离散型随机变量及其分布列；离散型随机变量的期望与方差．【分析】（Ⅰ）求出、，从而求出回归方程，将x=8代入求出即可；（Ⅱ）设事件A为“学生甲获得奖学金”，事件B为“学生甲获得一等奖学金”，求出概率即可；（Ⅲ）计算对应的P（X）的值，求出其分布列和期望值即可．【解答】解：（Ⅰ）===20…=﹣x=146﹣20×6=26…∴=20x=26，当x=8时，=20×8+26=186（元）即某天售出8箱水的预计收益是186元…（Ⅱ）（1）设事件A为“学生甲获得奖学金”，事件B为“学生甲获得一等奖学金”，则P===，即学生甲获得奖学金的条件下，获得一等奖学金的概率为…（2）X的取值可能为0，300，500，600，800，1000P（X=0）=×=，P（X=300）=××=，P（X=500）=××=，P（X=600）==，P（X=800）=××=，P（X=1000）==，XX的数学期望E（X）=0×+300×+500×+600×+800×+1000×=600（元）…19．梯形BDEF所在平面垂直于平面ABCD于BD，EF∥BD，EF=DE=BD，BD=BC=CD=AB=AD=2，DE⊥BC．（Ⅰ）求证：DE⊥平面ABCD；（Ⅱ）求平面AEF与平面CEF所成的锐二面角的余弦值．【考点】二面角的平面角及求法；直线与平面垂直的判定．【分析】（Ⅰ）连接AC，交BD于O，推导出AC⊥BD，从而AC⊥平面BDEF，进而DE ⊥AC，再由DE⊥BC，能证明DE⊥平面ABCD．（Ⅱ）分别以OA，OB，OC为x轴，y轴，z轴建立空间直角坐标系，利用向量法能求出平面AEF与平面CEF所成的锐二面角的余弦值．【解答】证明：（Ⅰ）连接AC，交BD于O，∵BD=BC=CD，且AB=AD，∴AC⊥BD，∵平面BDEF⊥平面ABCD，交线为BD，且AC⊂平面ABCD，∴AC⊥平面BDEF，∵DE⊂平面BDEF，∴DE⊥AC，又DE⊥BC，且AC∩BC=C，∴DE⊥平面ABCD．…解：（Ⅱ）∵EF∥BD，EF=BD，且O是BD中点，∴ODEF是平行四边形，∴OF∥DE，∴OF⊥平面ABCD，…分别以OA，OB，OC为x轴，y轴，z轴建立空间直角坐标系，A（1，0，0），C（﹣，0，0），E（0，﹣1，1），F（0，0，1），=（﹣1，0，1），=（0，1，0），=（），设平面AEF的法向量=（x，y，z），则，取x=1，得=（1，0，1），…设平面CEF的法向量，则，取a=1，得=（1，0，﹣），…∴cos＜＞===．即平面AEF与平面CEF所成的锐二面角的余弦值为．…20．在平面直角坐标系中，已知A1（﹣2，0），A2（2，0），B1（x，2），B2（x，﹣2），P（x，y），若实数λ使得λ2•=•（O为坐标原点）．（Ⅰ）求点P的轨迹C的方程，并讨论点P的轨迹类型；（Ⅱ）当λ=时，是否存在过点B（0，2）的直线l与（Ⅰ）中点P的轨迹C相交于不同的两点E，F （E在B，F之间），且＜＜1？若存在，求出该直线的斜率k的取值范围；若不存在，请说明理由．【考点】轨迹方程；平面向量数量积的运算．【分析】（Ⅰ）由题设条件，知（1﹣λ2）x2+y2=4（1﹣λ2），由此进行分类讨论能得到P点的轨迹类型．（Ⅱ）当λ=时，点P的轨迹C的方程为=1．S△OBE：S△OBF=|x1|：|x2|，由＜＜1，即＜＜1．设直线EF直线方程为y=kx+2，联立方程可得，：（1+2k2）x2+8kx+4=0，由此能够推导出直线的斜率的取值范围．【解答】解：（Ⅰ）由λ2•=•得：λ2（x2﹣4）=x2﹣4+y2，即（1﹣λ2）x2+y2=4（1﹣λ2）为点P的轨迹C的方程…①λ=±1时方程为y=0轨迹为一条直线，…②λ=0时方程为x2+y2=4轨迹为圆，…③λ∈（﹣1，0）∪（0，1）时方程为+=1轨迹为椭圆，…④λ∈（﹣∞，﹣1）∪（1，+∞）时方程为﹣=1轨迹为双曲线 …（Ⅱ）当λ=时，点P 的轨迹C 的方程为=1 …设E （x 1，y 1），F （x 2，y 2），∴S △OBE ：S △OBF =|x 1|：|x 2|由＜＜1，即＜＜1，由题意可得x 1，x 2同号，∴＜＜1… 由题意得直线EF 的斜率存在，设其方程为y=kx +2代入椭圆方程得：（1+2k 2）x 2+8kx +4=0∵△=64k 2﹣16（1+2k 2）＞0，∴k 2＞，x 1+x 2=﹣，x 1x 2=…设，则，∴，∴，，∵，∴即，∴，∴k ∈（，）∪（，）为所求…21．设函数f （x ）=x 2﹣bx +alnx ．（Ⅰ）若b=2，函数f （x ）有两个极值点x 1，x 2，且x 1＜x 2，求实数a 的取值范围；（Ⅱ）在（Ⅰ）的条件下，证明：f （x 2）＞﹣；（Ⅲ）若对任意b ∈[1，2]，都存在x ∈（1，e ）（e 为自然对数的底数），使得f （x ）＜0成立，求实数a 的取值范围．【考点】利用导数研究函数的极值；利用导数求闭区间上函数的最值．【分析】（Ⅰ）求出f （x ）的导数，结合二次函数的性质求出a 的范围即可；（Ⅱ）求出f （x 2）=﹣2x 2+（2x 2﹣2）lnx 2，令F （t ）=t 2﹣2t +（2t ﹣2t 2）lnt ，（＜t ＜1），得到F （t ）=2（1﹣2t ）lnt ，根据函数的单调性求出F （t ）＞F （），从而证出结论；（Ⅲ）令g （b ）=﹣xb +x 2+alnx ，b ∈[1，2]，得到在x ∈（1，e ）上g （b ）max =g （1）=﹣x +x 2+alnx ＜0有解，令h （x ）=﹣x +x 2+alnx ，通过讨论a 的范围，求出函数的单调性，从而确定a 的范围即可．【解答】解：（Ⅰ）由已知，b=2时，f （x ）=x 2﹣2x +alnx ，f （x ）的定义域为（0，+∞），求导数得：f ′（x ）=，∵f （x ）有两个极值点x 1，x 2，f ′（x ）=0有两个不同的正根x 1，x 2，故2x 2﹣2x +a=0的判别式△=4﹣8a ＞0，即a ＜，且x 1+x 2=1，x 1•x 2=＞0，所以a 的取值范围为（0，）；（Ⅱ）由（Ⅰ）得，＜x 2＜1且f ′（x 2）=0，得a=2x 2﹣2，∴f （x 2）=﹣2x 2+（2x 2﹣2）lnx 2，令F （t ）=t 2﹣2t +（2t ﹣2t 2）lnt ，（＜t ＜1），则F （t ）=2（1﹣2t ）lnt ，当t ∈（，1）时，F ′（t ）＞0，∴F （t ）在（，1）上是增函数∴F （t ）＞F （）=，∴f （x 2）＞﹣；（Ⅲ）令g （b ）=﹣xb +x 2+alnx ，b ∈[1，2]，由于x ∈（1，e ），所以g （b ）为关于b 的递减的一次函数，根据题意，对任意b ∈[1，2]，都存在x ∈（1，e ）（e 为自然对数的底数），使得f （x ）＜0成立，则x ∈（1，e ）上g （b ）max =g （1）=﹣x +x 2+alnx ＜0有解，令h （x ）=﹣x +x 2+alnx ，则只需存在x 0∈（1，e ）使得h （x 0）＜0即可，由于h ′（x ）=，令ω（x ）=2x 2﹣x +a ，x ∈（1，e ），ω′（x ）=4x ﹣1＞0， ∴ω（x ）在（1，e ）上单调递增，∴ω（x ）＞ω（1）=1+a ，①当1+a ≥0，即a ≥﹣1时，ω（x ）＞0，∴h ′（x ）＞0，∴h （x ）在（1，e ）上是增函数，∴h （x ）＞h （1）=0，不符合题意，②当1+a ＜0，即a ＜﹣1时，ω（1）=1+a ＜0，ω（e ）=2e 2﹣e +a ，（ⅰ）若ω（e ）＜0，即a ≤2e 2﹣e ＜﹣1时，在x ∈（1，e ）上ω（x ）＞0恒成立即h ′（x ）＜0恒成立，∴h （x ）在（1，e ）上单调递减，∴存在x0∈（1，e），使得h（x0）＜h（1）=0，符合题意，（ⅱ）若ω（e）＞0，即2e2﹣e＜a＜﹣1时，在（1，e）上存在实数m，使得ω（m）=0，∴在（1，m）上，ω（x）＜0恒成立，即h′（x）＜0恒成立∴h（x）在（1，e）上单调递减，∴存在x0∈（1，e），使得h（x0）＜h（1）=0，符合题意，综上所述，当a＜﹣1时，对任意b∈[1，2]，都存在x∈（，1e）（e为自然对数的底数），使得f（x）＜0成立．请考生在22、23、24三题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分．[选修4-1：几何证明选讲]22．已知在△ABC中，AD为∠BAC的平分线，以C为圆心，CD为半径的半圆交BC的延长线于点E，交AD于点F，交AE于点M，且∠B=∠CAE，FE：FD=4：3．（Ⅰ）求证：AF=DF；（Ⅱ）求∠AED的余弦值．【考点】与圆有关的比例线段．【分析】（Ⅰ）欲证AF=DF，可以证明△AEF≌△DEF得出；（Ⅱ）求∠AED的余弦值，即求ME：DM，由已知条件，勾股定理，切割线定理的推论可以求出．【解答】证明：（Ⅰ）∵AD平分∠BAC，∴∠BAD=∠DAC．∵∠B=∠CAE，∴∠BAD+∠B=∠DAC+∠CAE．∵∠ADE=∠BAD+∠B，∴∠ADE=∠DAE．∴EA=ED．∵DE是半圆C的直径，∴∠DFE=90°．∴AF=DF．…解：（Ⅱ）连结DM，∵DE是半圆C的直径，∴∠DME=90°．∵FE：FD=4：3，∴可设FE=4x，则FD=3x．由勾股定理，得DE=5x．∴AE=DE=5x，AF=FD=3x∵AF•AD=AM•AE∴3x（3x+3x）=AM•5x∴AM=3.6x∴ME=AE﹣AM=5x﹣3.6x=1.4x在Rt△DME中，cos∠AED==．…[选修4-4坐标系与参数方程]23．在直角坐标系中，以原点O为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，已知曲线C的极坐标方程为ρ2﹣4ρcosθ+1=0，直线l的参数方程为：（t为参数），点A的极坐标为（2，），设直线l与曲线C相交于P，Q两点．（Ⅰ）写出曲线C的直角坐标方程和直线l的普通方程；（Ⅱ）求|AP|•|AQ|•|OP|•|OQ|的值．【考点】参数方程化成普通方程；简单曲线的极坐标方程．【分析】（Ⅰ）利用极坐标与直角坐标互化直接写出曲线C的直角坐标方程，消去参数即可得到直线l的普通方程；（Ⅱ）点A的直角坐标为（3，），设点P，Q对应的参数分别为t1，t2，点P，Q的极坐标分别为（），（）．将（t为参数）与（x﹣2）2+y2=3联立，得：t1t2=1，|AP||AQ|=1，转化求解|AP|•|AQ|•|OP|•|OQ|的值．【解答】解：（Ⅰ）曲线C的直角坐标方程为：x2+y2﹣4x+1=0，即（x﹣2）2+y2=3…直线l的普通方程为x﹣y=0 …（Ⅱ）点A的直角坐标为（3，），设点P，Q对应的参数分别为t1，t2，点P，Q的极坐标分别为（），（）．将（t为参数）与（x﹣2）2+y2=3联立得：t2+2t+1=0，由韦达定理得：t1t2=1，|AP||AQ|=1 …将直线的极坐标方程θ=（ρ∈R）与圆的极坐标方程ρ2﹣4ρcosθ+1=0联立得：，由韦达定理得：ρ1ρ2=1，即|OP||OQ|=1 …所以，|AP||AQ||OP||OQ|=t1t2|ρ1ρ2|=1．…[选修4-5：不等式选讲]24．已知函数f（x）=|x﹣1|．（1）解不等式f（x）+f（x+4）≥8；（2）若|a|＜1，|b|＜1，且a≠0，求证：f（ab）＞|a|f（）．【考点】绝对值不等式的解法；不等式的证明．【分析】（Ⅰ）根据f（x）+f（x+4）=|x﹣1|+|x+3|=，分类讨论求得不等式f（x）+f（x+4）≥8的解集．（Ⅱ）要证的不等式即|ab﹣1|＞|a﹣b|，根据|a|＜1，|b|＜1，可得|ab﹣1|2﹣|a﹣b|2＞0，从而得到所证不等式成立．【解答】解：（Ⅰ）f（x）+f（x+4）=|x﹣1|+|x+3|=，当x＜﹣3时，由﹣2x﹣2≥8，解得x≤﹣5；当﹣3≤x≤1时，f（x）≤8不成立；当x＞1时，由2x+2≥8，解得x≥3．所以，不等式f（x）+f（x+4）≤4的解集为{x|x≤﹣5，或x≥3}．（Ⅱ）f（ab）＞|a|f（），即|ab﹣1|＞|a﹣b|．因为|a|＜1，|b|＜1，所以|ab﹣1|2﹣|a﹣b|2=（a2b2﹣2ab+1）﹣（a2﹣2ab+b2）=（a2﹣1）（b2﹣1）＞0，所以|ab﹣1|＞|a﹣b|，故所证不等式成立．2016年8月23日。

吉林省吉林市高考数学四模试卷理(含解析)

2016年吉林省吉林市高考数学四模试卷（理科）一、选择题：本大题共12题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．已知集合A={x|x2﹣5x+6＜0}，B={x||x|≤2}，则∁R A∩B=（）A．A B．C R A C．B D．C R B2．在复平面内，复数z=对应的点位于（）A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限3．抛物线y=﹣2x2的焦点坐标是（）A．（﹣，0）B．（﹣1，0）C．（0，﹣）D．（0，﹣）4．若变量x，y满足约束条件则z=x﹣2y的最大值为（）A．4 B．3 C．2 D．15．已知lga+lgb=0，函数f（x）=a x与函数g（x）=﹣log b x的图象可能是（）A． B． C． D．6．“牟合方盖”是我国古代数学家刘徽在研究球的体积的过程中构造的一个和谐优美的几何体．它由完全相同的四个曲面构成，相对的两个曲面在同一个圆柱的侧面上，好似两个扣合（牟合）在一起的方形伞（方盖）．其直观图如图1，图2中四边形是为体现其直观性所作的辅助线．当其正视图和侧视图完全相同时，它的正视图和俯视图分别可能是（）A．a，b B．a，c C．c，b D．b，d7．已知实数x∈{1，2，3，4，5，6，7，8}，执行如图所示的程序框图，则输出的x不小于121的概率为（）A．B．C．D．8．下列命题正确的个数是（）①对于两个分类变量X与Y的随机变量K2的观测值k来说，k越小，判断“X与Y有关系”的把握程度越大；②在相关关系中，若用y1=c1e拟合时的相关指数为R12，用y2=bx+a拟合时的相关指数为R22，且R12＞R22，则y1的拟合效果好；③利用计算机产生0～1之间的均匀随机数a，则事件“3a﹣1＞0”发生的概率为；④“a＞0，b＞0”是“+≥2”的充分不必要条件．A．1 B．2 C．3 D．49．已知A（x1，y1）是单位圆O上任意一点，将射线OA绕点O逆时针旋转，与单位圆O交于点B（x2，y2），若x=my1﹣2y2（m＞0）的最大值为2，则m的值为（）A．1 B．2 C．2 D．310．过双曲线C：x2﹣的左顶点P作斜率为1的直线l，若l与双曲线C的两条渐近线分别相交于点Q，R，且，则双曲线C的离心率是（）A．B． C．D．11．△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，已知A=，a=且bsin（+C）﹣csin（+B）=a，则△ABC的面积为（）A．B．C．D．12．设函数f（x）在R上存在导数f′（x），对任意的x∈R，有f（﹣x）+f（x）=x2，且x ∈（0，+∞）时，f′（x）＞x．若f（2﹣a）﹣f（a）≥2﹣2a，则实数a的取值范围为（）A．[1，+∞）B．（﹣∞，1] C．（﹣∞，2] D．[2，+∞）二．填空题：本大题共4个小题，每小题5分．13．2016年1月1日我国全面二孩政策实施后，某中学的一个学生社团组织了一项关于生育二孩意愿的调查活动．已知该中学所在的城镇符合二孩政策的已婚女性中，30岁以下的约2400人，30岁至40岁的约3600人，40岁以上的约6000人．为了解不同年龄层的女性对生育二孩的意愿是否存在显著差异，该社团用分层抽样的方法从中抽取了一个容量为N的样本进行调查，已知从30岁至40岁的女性中抽取的人数为60人，则N= ．14．二项式（x2+）6展开式中的常数项为．15．已知四边形ABCD中，•=0，||=1，||=2，•=0，则||的最大值为．16．在半径为2的球面上有A、B、C、D四点，若AB=CD=2，则四面体ABCD的体积的最大值为．三．解答题：解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．17．已知公差不为零的等差数列{a n}中，a3=7，且a2，a4，a9成等比数列．（Ⅰ）求数列{a n}的通项公式；（Ⅱ）数列{b n}满足b n=（），设其前n项和为S n，求证：≤S n＜．18．某学校为倡导全体学生为特困学生捐款，举行“一元钱，一片心，诚信用水”活动，学生在购水处每领取一瓶矿泉水，便自觉向捐款箱中至少投入一元钱．现统计了连续5天的售（Ⅱ）期中考试以后，学校决定将诚信用水的收益，以奖学金的形式奖励给品学兼优的特困生，规定：特困生考入年级前200名，获一等奖学金500元；考入年级201﹣500名，获二等奖学金300元；考入年级501名以后的特困生将不获得奖学金．甲、乙两名学生获一等奖学金的概率均为，获二等奖学金的概率均为，不获得奖学金的概率均为．（1）在学生甲获得奖学金条件下，求他获得一等奖学金的概率；（2）已知甲、乙两名学生获得哪个等级的奖学金是相互独立的，求甲、乙两名学生所获得奖学金总金额X的分布列及数学期望附： =， =﹣， =6， =146， x i y i=4420， x i2=182．19．梯形BDEF所在平面垂直于平面ABCD于BD，EF∥BD，EF=DE=BD，BD=BC=CD=AB=AD=2，DE⊥BC．（Ⅰ）求证：DE⊥平面ABCD；（Ⅱ）求平面AEF与平面CEF所成的锐二面角的余弦值．20．在平面直角坐标系中，已知A1（﹣2，0），A2（2，0），B1（x，2），B2（x，﹣2），P（x，y），若实数λ使得λ2•=•（O为坐标原点）．（Ⅰ）求点P的轨迹C的方程，并讨论点P的轨迹类型；（Ⅱ）当λ=时，是否存在过点B（0，2）的直线l与（Ⅰ）中点P的轨迹C相交于不同的两点E，F （E在B，F之间），且＜＜1？若存在，求出该直线的斜率k的取值范围；若不存在，请说明理由．21．设函数f（x）=x2﹣bx+alnx．（Ⅰ）若b=2，函数f（x）有两个极值点x1，x2，且x1＜x2，求实数a的取值范围；（Ⅱ）在（Ⅰ）的条件下，证明：f（x2）＞﹣；（Ⅲ）若对任意b∈[1，2]，都存在x∈（1，e）（e为自然对数的底数），使得f（x）＜0成立，求实数a的取值范围．请考生在22、23、24三题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分．[选修4-1：几何证明选讲]22．已知在△ABC中，AD为∠BAC的平分线，以C为圆心，CD为半径的半圆交BC的延长线于点E，交AD于点F，交AE于点M，且∠B=∠CAE，FE：FD=4：3．（Ⅰ）求证：AF=DF；（Ⅱ）求∠AED的余弦值．[选修4-4坐标系与参数方程]23．在直角坐标系中，以原点O为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，已知曲线C的极坐标方程为ρ2﹣4ρcosθ+1=0，直线l的参数方程为：（t为参数），点A的极坐标为（2，），设直线l与曲线C相交于P，Q两点．（Ⅰ）写出曲线C的直角坐标方程和直线l的普通方程；（Ⅱ）求|AP|•|AQ|•|OP|•|OQ|的值．[选修4-5：不等式选讲]24．已知函数f（x）=|x﹣1|．（1）解不等式f（x）+f（x+4）≥8；（2）若|a|＜1，|b|＜1，且a≠0，求证：f（ab）＞|a|f（）．2016年吉林省吉林市高考数学四模试卷（理科）参考答案与试题解析一、选择题：本大题共12题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．已知集合A={x|x2﹣5x+6＜0}，B={x||x|≤2}，则∁R A∩B=（）A．A B．C R A C．B D．C R B【考点】交、并、补集的混合运算．【分析】分别求出A与B中不等式的解集，确定出A与B，求出A补集与B的交集即可．【解答】解：由A中不等式变形得：（x﹣2）（x﹣3）＜0，解得：2＜x＜3，即A=（2，3），∴∁R A=（﹣∞，2]∪[3，+∞），由B中不等式解得：﹣2≤x≤2，即B=[﹣2，2]，则∁R A∩B=[﹣2，2]=B，故选：C．2．在复平面内，复数z=对应的点位于（）A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限【考点】复数代数形式的乘除运算；复数的代数表示法及其几何意义．【分析】利用两个复数代数形式的除法，虚数单位i的幂运算性质化简复数z等于﹣1﹣3i，它在复平面内对应点的坐标为（﹣1，﹣3），从而得出结论．【解答】解：∵复数===﹣1﹣3i，它在复平面内对应点的坐标为（﹣1，﹣3），故复数对应的点位于在第三象限，故选C．3．抛物线y=﹣2x2的焦点坐标是（）A．（﹣，0）B．（﹣1，0）C．（0，﹣）D．（0，﹣）【考点】抛物线的简单性质．【分析】抛物线y=﹣2x2的方程化为：．即可得出．【解答】解：抛物线y=﹣2x2的方程化为：．∴焦点坐标为．故选：C．4．若变量x，y满足约束条件则z=x﹣2y的最大值为（）A．4 B．3 C．2 D．1【考点】简单线性规划．【分析】作出题中不等式组表示的平面区域，得到如图的△ABC及其内部，再将目标函数z=x ﹣2y对应的直线进行平移，观察直线在y轴上的截距变化，可得当x=2且y=0时，z达到最大值2．【解答】解：作出不等式组表示的平面区域，得到如图的△ABC及其内部，其中A（2，0），B（1，1），C（3，1）．设z=F（x，y）=x﹣2y，将直线l：z=x﹣2y进行平移，观察直线在x轴上的截距变化，可得当l经点A时，目标函数z达到最大值，∴z最大值=F（2，0）=3．故选：C5．已知lga+lgb=0，函数f（x）=a x与函数g（x）=﹣log b x的图象可能是（）A． B． C． D．【考点】对数函数的图象与性质；指数函数的图象与性质．【分析】先求出a、b的关系，将函数g（x）进行化简，得到函数f（x）与函数g（x）的单调性是在定义域内同增同减，再进行判定．【解答】解：∵lga+lgb=0∴ab=1则b=从而g（x）=﹣log b x=log a x，f（x）=a x与∴函数f（x）与函数g（x）的单调性是在定义域内同增同减结合选项可知选B，故答案为B6．“牟合方盖”是我国古代数学家刘徽在研究球的体积的过程中构造的一个和谐优美的几何体．它由完全相同的四个曲面构成，相对的两个曲面在同一个圆柱的侧面上，好似两个扣合（牟合）在一起的方形伞（方盖）．其直观图如图1，图2中四边形是为体现其直观性所作的辅助线．当其正视图和侧视图完全相同时，它的正视图和俯视图分别可能是（）A．a，b B．a，c C．c，b D．b，d【考点】简单空间图形的三视图．【分析】相对的两个曲面在同一个圆柱的侧面上，好似两个扣合（牟合）在一起的方形伞（方盖）．根据三视图看到方向，可以确定三个识图的形状，判断答案．【解答】解：∵相对的两个曲面在同一个圆柱的侧面上，好似两个扣合（牟合）在一起的方形伞（方盖）．∴其正视图和侧视图是一个圆，∵俯视图是从上向下看，相对的两个曲面在同一个圆柱的侧面上∴俯视图是有2条对角线且为实线的正方形，故选：A．7．已知实数x∈{1，2，3，4，5，6，7，8}，执行如图所示的程序框图，则输出的x不小于121的概率为（）A．B．C．D．【考点】程序框图．【分析】由程序框图的流程，写出前三项循环得到的结果，得到输出的值与输入的值的关系，令输出值大于等于121得到输入值的范围，利用几何概型的概率公式求出输出的x不小于121的概率．【解答】解：经过第一次循环得到x=3x+1，n=2，经过第二循环得到x=3（3x+1）+1，n=3，经过第三次循环得到x=3[3（3x+1）+1]+1，n=3此时输出x，输出的值为27x+13，令27x+13≥121，得x≥4，由几何概型得到输出的x不小于121的概率为：．故选：B．8．下列命题正确的个数是（）①对于两个分类变量X与Y的随机变量K2的观测值k来说，k越小，判断“X与Y有关系”的把握程度越大；②在相关关系中，若用y1=c1e拟合时的相关指数为R12，用y2=bx+a拟合时的相关指数为R22，且R12＞R22，则y1的拟合效果好；③利用计算机产生0～1之间的均匀随机数a，则事件“3a﹣1＞0”发生的概率为；④“a＞0，b＞0”是“+≥2”的充分不必要条件．A．1 B．2 C．3 D．4【考点】命题的真假判断与应用．【分析】①根据独立性检验的进行判断，②根据相关关系相关指数为R22，的意义进行判断，③根据几何概型的概率公式进行求解．④根据充分条件和必要条件的定义进行判断．【解答】解：①根据两个分类变量X与Y的随机变量k2的观测值k来说，k2越大，判断“X与Y有关系”的把握程度越大，故①错误，②在相关关系中，若用y1=c1e拟合时的相关指数为R12，用y2=bx+a拟合时的相关指数为R22，且R12＞R22，则y1的拟合效果好；正确③利用计算机产生0～1之间的均匀随机数a，由3a﹣1＞0得a＞，则事件“3a﹣1＞0”发生的概率P==；故③正确，④当“a＞0，b＞0”时“+≥2成立，当a＜0，b＜0时， +≥2也成立，则“a＞0，b＞0”是“+≥2”的充分不必要条件，故④错误，故正确的是②③，故选：B．9．已知A（x1，y1）是单位圆O上任意一点，将射线OA绕点O逆时针旋转，与单位圆O交于点B（x2，y2），若x=my1﹣2y2（m＞0）的最大值为2，则m的值为（）A．1 B．2 C．2 D．3【考点】三角函数的化简求值；任意角的三角函数的定义．【分析】设A（cosα，sinα），则B（cos（α+），sin（α+）），则my1﹣2y2=msinα﹣2sin（α+），整理后利用辅助角公式化积，再由x=my1﹣2y2（m＞0）的最大值为2列关于m的等式求得m的值．【解答】解：A（x1，y1）是单位圆上任一点，设A（cosα，sinα），则B（cos（α+），sin（α+）），即y1=sinα，y2=sin（α+），则my1﹣2y2=msinα﹣2sin（α+）=msinα﹣2（）=（m﹣1）sinα﹣cosα=sin（α+β），∵m＞0，my1﹣2y2的最大值为2，∴，解得m=2．故选：B．10．过双曲线C：x2﹣的左顶点P作斜率为1的直线l，若l与双曲线C的两条渐近线分别相交于点Q，R，且，则双曲线C的离心率是（）A．B． C．D．【考点】双曲线的简单性质．【分析】先由双曲线线方程可得P的坐标和直线l的方程与双曲线的渐近线联立求得Q和R的横坐标，进而根据且，求得b的值，进而根据c=求得c，最后根据离心率公式答案可得．【解答】解：由题可知P（﹣1，0）所以直线L的方程为y=x+1，两条渐近线方程为y=﹣bx或y=bx联立y=x+1和y=﹣bx得Q的横坐标为x Q=﹣同理得R的横坐标为x R=，∵，∴（﹣1，0）+（，y R）=2（﹣，y Q），∴﹣1+=﹣⇒b=3，c==，∴e==，故选B．11．△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，已知A=，a=且bsin（+C）﹣csin（+B）=a，则△ABC的面积为（）A．B．C．D．【考点】三角函数的化简求值；正弦定理．【分析】由已知化简整理求得sin（B﹣C）=1，结合角的范围得到B，C的值，再利用正弦定理求得b，代入三角形面积公式求得答案．【解答】解：由bsin（+C）﹣csin（+B）=a，A=，得：sinBsin（）﹣sinCsin（）=sinA．sinB（+）﹣sinC（sinB+cosB）=，整理得sinBcosC﹣cosBsinC=1，即sin（B﹣C）=1，∵A=，∴B+C=，①即0＜B＜，0＜C＜，∴﹣＜﹣C＜0，则﹣＜B﹣C＜，从而B﹣C=．②联立①②解得B=，C=．sin=，sin=．由，得=．∴．故选：C．12．设函数f（x）在R上存在导数f′（x），对任意的x∈R，有f（﹣x）+f（x）=x2，且x ∈（0，+∞）时，f′（x）＞x．若f（2﹣a）﹣f（a）≥2﹣2a，则实数a的取值范围为（）A．[1，+∞）B．（﹣∞，1] C．（﹣∞，2] D．[2，+∞）【考点】导数的运算．【分析】令g（x）=f（x）﹣x2，由g（﹣x）+g（x）=0，可得函数g（x）为奇函数．利用导数可得函数g（x）在R上是增函数，f（2﹣a）﹣f（a）≥2﹣2a，即g（2﹣a）≥g（a），可得 2﹣a≥a，由此解得a的范围．【解答】解：∵f（﹣x）+f（x）=x2，∴f（x）﹣x2+f（﹣x）﹣x2=0，令g（x）=f（x）﹣x2，∵g（﹣x）+g（x）=f（﹣x）﹣x2+f（x）﹣x2=0，∴函数g（x）为奇函数．∵x∈（0，+∞）时，f′（x）＞x．∴x∈（0，+∞）时，g′（x）=f′（x）﹣x＞0，故函数g（x）在（0，+∞）上是增函数，故函数g（x）在（﹣∞，0）上也是增函数，由f（0）=0，可得g（x）在R上是增函数．f（2﹣a）﹣f（a）≥2﹣2a，等价于f（2﹣a）﹣≥f（a）﹣，即g（2﹣a）≥g（a），∴2﹣a≥a，解得a≤1，故选：B．二．填空题：本大题共4个小题，每小题5分．13．2016年1月1日我国全面二孩政策实施后，某中学的一个学生社团组织了一项关于生育二孩意愿的调查活动．已知该中学所在的城镇符合二孩政策的已婚女性中，30岁以下的约2400人，30岁至40岁的约3600人，40岁以上的约6000人．为了解不同年龄层的女性对生育二孩的意愿是否存在显著差异，该社团用分层抽样的方法从中抽取了一个容量为N的样本进行调查，已知从30岁至40岁的女性中抽取的人数为60人，则N= 200 ．【考点】分层抽样方法．【分析】根据分层抽样的定义即可得到结论．【解答】解：由题意可得=，故N=200．故答案为：200．14．二项式（x2+）6展开式中的常数项为 3 ．【考点】二项式定理的应用．【分析】在二项展开式的通项公式中，令x的幂指数等于0，求出r的值，即可求得常数项，【解答】解：二项式（x2+）6展开式的通项公式为T r+1=•（x2）6﹣r•x﹣r=（）6﹣r••x12﹣3r，令12﹣3r=0，求得r=4，故展开式中的常数项为（）2•=3，故答案为：3．15．已知四边形ABCD中，•=0，||=1，||=2，•=0，则||的最大值为．【考点】平面向量数量积的运算．【分析】如图所示，•=0，•=0，可得AB⊥BC，AD⊥DC．因此四边形ABCD内接于圆O．可得||的最大值为直径AC．【解答】解：如图所示，∵•=0，•=0，∴AB⊥BC，AD⊥DC．∴四边形ABCD内接于圆O．可得⊙O的直径AC==．则||的最大值为直径．故答案为：．16．在半径为2的球面上有A、B、C、D四点，若AB=CD=2，则四面体ABCD的体积的最大值为．【考点】球内接多面体；棱柱、棱锥、棱台的体积．【分析】过CD作平面PCD，使AB⊥平面PCD，交AB于P，设点P到CD的距离为h，则当球的直径通过AB与CD的中点时，h最大为2，从而得到四面体ABCD的体积的最大值即可．【解答】解：过CD作平面PCD，使AB⊥平面PCD，交AB与P，设点P到CD的距离为h，则有 V=×2×h××2，当球的直径通过AB与CD的中点时，h最大为2，则四面体ABCD的体积的最大值为．故答案为：．三．解答题：解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．17．已知公差不为零的等差数列{a n}中，a3=7，且a2，a4，a9成等比数列．（Ⅰ）求数列{a n}的通项公式；（Ⅱ）数列{b n}满足b n=（），设其前n项和为S n，求证：≤S n＜．【考点】数列的求和；数列递推式．【分析】（I）设等差数列{a n}的公差为d≠0，由a3=7，且a2，a4，a9成等比数列．可得a1+2d=7，=（a1+d）（a1+8d），联立解得即可得出．（Ⅱ）由（Ⅰ）知：b n=（）==4×．再利用等比数列的前n项和公式、数列的单调性即可得出．【解答】（I）解：设等差数列{a n}的公差为d≠0，∵a3=7，且a2，a4，a9成等比数列．∴a1+2d=7， =a2•a9，即=（a1+d）（a1+8d），联立解得d=3，a1=1．∴数列{a n}的通项公式a n=3n﹣2．（Ⅱ）证明：由（Ⅰ）知：b n=（）==4×．∴S n==∈．∴≤S n＜．18．某学校为倡导全体学生为特困学生捐款，举行“一元钱，一片心，诚信用水”活动，学生在购水处每领取一瓶矿泉水，便自觉向捐款箱中至少投入一元钱．现统计了连续5天的售（Ⅱ）期中考试以后，学校决定将诚信用水的收益，以奖学金的形式奖励给品学兼优的特困生，规定：特困生考入年级前200名，获一等奖学金500元；考入年级201﹣500名，获二等奖学金300元；考入年级501名以后的特困生将不获得奖学金．甲、乙两名学生获一等奖学金的概率均为，获二等奖学金的概率均为，不获得奖学金的概率均为．（1）在学生甲获得奖学金条件下，求他获得一等奖学金的概率；（2）已知甲、乙两名学生获得哪个等级的奖学金是相互独立的，求甲、乙两名学生所获得奖学金总金额X的分布列及数学期望附： =， =﹣， =6， =146， x i y i=4420， x i2=182．【考点】线性回归方程；离散型随机变量及其分布列；离散型随机变量的期望与方差．【分析】（Ⅰ）求出、，从而求出回归方程，将x=8代入求出即可；（Ⅱ）设事件A为“学生甲获得奖学金”，事件B为“学生甲获得一等奖学金”，求出概率即可；（Ⅲ）计算对应的P（X）的值，求出其分布列和期望值即可．【解答】解：（Ⅰ） ===20…=﹣x=146﹣20×6=26…∴=20x=26，当x=8时， =20×8+26=186（元）即某天售出8箱水的预计收益是186元…（Ⅱ）（1）设事件A为“学生甲获得奖学金”，事件B为“学生甲获得一等奖学金”，则P===，即学生甲获得奖学金的条件下，获得一等奖学金的概率为…（2）X的取值可能为0，300，500，600，800，1000P（X=0）=×=，P（X=300）=××=，P（X=500）=××=，P（X=600）==，P（X=800）=××=，P（X=1000）==，…X的数学期望E（X）=0×+300×+500×+600×+800×+1000×=600（元）…19．梯形BDEF所在平面垂直于平面ABCD于BD，EF∥BD，EF=DE=BD，BD=BC=CD=AB=AD=2，DE⊥BC．（Ⅰ）求证：DE⊥平面ABCD；（Ⅱ）求平面AEF与平面CEF所成的锐二面角的余弦值．【考点】二面角的平面角及求法；直线与平面垂直的判定．【分析】（Ⅰ）连接AC，交BD于O，推导出AC⊥BD，从而AC⊥平面BDEF，进而DE⊥AC，再由DE⊥BC，能证明DE⊥平面ABCD．（Ⅱ）分别以OA，OB，OC为x轴，y轴，z轴建立空间直角坐标系，利用向量法能求出平面AEF与平面CEF所成的锐二面角的余弦值．【解答】证明：（Ⅰ）连接AC，交BD于O，∵BD=BC=CD，且AB=AD，∴AC⊥BD，∵平面BDEF⊥平面ABCD，交线为BD，且AC⊂平面ABCD，∴AC⊥平面BDEF，∵DE⊂平面BDEF，∴DE⊥AC，又DE⊥BC，且AC∩BC=C，∴DE⊥平面ABCD．…解：（Ⅱ）∵EF∥BD，EF=BD，且O是BD中点，∴ODEF是平行四边形，∴OF∥DE，∴OF⊥平面ABCD，…分别以OA，OB，OC为x轴，y轴，z轴建立空间直角坐标系，A（1，0，0），C（﹣，0，0），E（0，﹣1，1），F（0，0，1），=（﹣1，0，1），=（0，1，0），=（），设平面AEF的法向量=（x，y，z），则，取x=1，得=（1，0，1），…设平面CEF的法向量，则，取a=1，得=（1，0，﹣），…∴cos＜＞===．即平面AEF与平面CEF所成的锐二面角的余弦值为．…20．在平面直角坐标系中，已知A1（﹣2，0），A2（2，0），B1（x，2），B2（x，﹣2），P（x，y），若实数λ使得λ2•=•（O为坐标原点）．（Ⅰ）求点P的轨迹C的方程，并讨论点P的轨迹类型；（Ⅱ）当λ=时，是否存在过点B（0，2）的直线l与（Ⅰ）中点P的轨迹C相交于不同的两点E，F （E在B，F之间），且＜＜1？若存在，求出该直线的斜率k的取值范围；若不存在，请说明理由．【考点】轨迹方程；平面向量数量积的运算．【分析】（Ⅰ）由题设条件，知（1﹣λ2）x2+y2=4（1﹣λ2），由此进行分类讨论能得到P点的轨迹类型．（Ⅱ）当λ=时，点P的轨迹C的方程为=1．S△OBE：S△OBF=|x1|：|x2|，由＜＜1，即＜＜1．设直线EF直线方程为y=kx+2，联立方程可得，：（1+2k2）x2+8kx+4=0，由此能够推导出直线的斜率的取值范围．【解答】解：（Ⅰ）由λ2•=•得：λ2（x2﹣4）=x2﹣4+y2，即（1﹣λ2）x2+y2=4（1﹣λ2）为点P的轨迹C的方程…①λ=±1时方程为y=0轨迹为一条直线，…②λ=0时方程为x2+y2=4轨迹为圆，…③λ∈（﹣1，0）∪（0，1）时方程为+=1轨迹为椭圆，…④λ∈（﹣∞，﹣1）∪（1，+∞）时方程为﹣=1轨迹为双曲线 …（Ⅱ）当λ=时，点P 的轨迹C 的方程为=1 …设E （x 1，y 1），F （x 2，y 2），∴S △OBE ：S △OBF =|x 1|：|x 2|由＜＜1，即＜＜1，由题意可得x 1，x 2同号，∴＜＜1…由题意得直线EF 的斜率存在，设其方程为y=kx+2 代入椭圆方程得：（1+2k 2）x 2+8kx+4=0∵△=64k 2﹣16（1+2k 2）＞0，∴k 2＞，x 1+x 2=﹣，x 1x 2=…设，则，∴，∴，，∵，∴即，∴，∴k ∈（，）∪（，）为所求…21．设函数f （x ）=x 2﹣bx+alnx ．（Ⅰ）若b=2，函数f （x ）有两个极值点x 1，x 2，且x 1＜x 2，求实数a 的取值范围；（Ⅱ）在（Ⅰ）的条件下，证明：f （x 2）＞﹣；（Ⅲ）若对任意b ∈[1，2]，都存在x ∈（1，e ）（e 为自然对数的底数），使得f （x ）＜0成立，求实数a 的取值范围．【考点】利用导数研究函数的极值；利用导数求闭区间上函数的最值．【分析】（Ⅰ）求出f （x ）的导数，结合二次函数的性质求出a 的范围即可；（Ⅱ）求出f （x 2）=﹣2x 2+（2x 2﹣2）lnx 2，令F （t ）=t 2﹣2t+（2t ﹣2t 2）lnt ，（＜t ＜1），得到F （t ）=2（1﹣2t ）lnt ，根据函数的单调性求出F （t ）＞F （），从而证出结论；（Ⅲ）令g（b）=﹣xb+x2+alnx，b∈[1，2]，得到在x∈（1，e）上g（b）max=g（1）=﹣x+x2+alnx ＜0有解，令h（x）=﹣x+x2+alnx，通过讨论a的范围，求出函数的单调性，从而确定a的范围即可．【解答】解：（Ⅰ）由已知，b=2时，f（x）=x2﹣2x+alnx，f（x）的定义域为（0，+∞），求导数得：f′（x）=，∵f（x）有两个极值点x1，x2，f′（x）=0有两个不同的正根x1，x2，故2x2﹣2x+a=0的判别式△=4﹣8a＞0，即a＜，且x1+x2=1，x1•x2=＞0，所以a的取值范围为（0，）；（Ⅱ）由（Ⅰ）得，＜x2＜1且f′（x2）=0，得a=2x2﹣2，∴f（x2）=﹣2x2+（2x2﹣2）lnx2，令F（t）=t2﹣2t+（2t﹣2t2）lnt，（＜t＜1），则F（t）=2（1﹣2t）lnt，当t∈（，1）时，F′（t）＞0，∴F（t）在（，1）上是增函数∴F（t）＞F（）=，∴f（x2）＞﹣；（Ⅲ）令g（b）=﹣xb+x2+alnx，b∈[1，2]，由于x∈（1，e），所以g（b）为关于b的递减的一次函数，根据题意，对任意b∈[1，2]，都存在x∈（1，e）（e为自然对数的底数），使得f（x）＜0成立，则x∈（1，e）上g（b）max=g（1）=﹣x+x2+alnx＜0有解，令h（x）=﹣x+x2+alnx，则只需存在x0∈（1，e）使得h（x0）＜0即可，由于h′（x）=，令ω（x）=2x2﹣x+a，x∈（1，e），ω′（x）=4x﹣1＞0，∴ω（x）在（1，e）上单调递增，∴ω（x）＞ω（1）=1+a，①当1+a≥0，即a≥﹣1时，ω（x）＞0，∴h′（x）＞0，∴h（x）在（1，e）上是增函数，∴h（x）＞h（1）=0，不符合题意，②当1+a＜0，即a＜﹣1时，ω（1）=1+a＜0，ω（e）=2e2﹣e+a，（ⅰ）若ω（e）＜0，即a≤2e2﹣e＜﹣1时，在x∈（1，e）上ω（x）＞0恒成立即h′（x）＜0恒成立，∴h（x）在（1，e）上单调递减，∴存在x0∈（1，e），使得h（x0）＜h（1）=0，符合题意，（ⅱ）若ω（e）＞0，即2e2﹣e＜a＜﹣1时，在（1，e）上存在实数m，使得ω（m）=0，∴在（1，m）上，ω（x）＜0恒成立，即h′（x）＜0恒成立∴h（x）在（1，e）上单调递减，∴存在x0∈（1，e），使得h（x0）＜h（1）=0，符合题意，综上所述，当a＜﹣1时，对任意b∈[1，2]，都存在x∈（，1e）（e为自然对数的底数），使得f（x）＜0成立．请考生在22、23、24三题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分．[选修4-1：几何证明选讲]22．已知在△ABC中，AD为∠BAC的平分线，以C为圆心，CD为半径的半圆交BC的延长线于点E，交AD于点F，交AE于点M，且∠B=∠CAE，FE：FD=4：3．（Ⅰ）求证：AF=DF；（Ⅱ）求∠AED的余弦值．【考点】与圆有关的比例线段．【分析】（Ⅰ）欲证AF=DF，可以证明△AEF≌△DEF得出；（Ⅱ）求∠AED的余弦值，即求ME：DM，由已知条件，勾股定理，切割线定理的推论可以求出．【解答】证明：（Ⅰ）∵AD平分∠BAC，∴∠BAD=∠DAC．∵∠B=∠CAE，∴∠BAD+∠B=∠DAC+∠CAE．∵∠ADE=∠BAD+∠B，∴∠ADE=∠DAE．∴EA=ED．∵DE是半圆C的直径，∴∠DFE=90°．∴AF=DF．…解：（Ⅱ）连结DM，∵DE是半圆C的直径，∴∠DME=90°．∵FE：FD=4：3，∴可设FE=4x，则FD=3x．由勾股定理，得DE=5x．∴AE=DE=5x，AF=FD=3x∵AF•AD=AM•AE∴3x（3x+3x）=AM•5x∴AM=3.6x∴ME=AE﹣AM=5x﹣3.6x=1.4x在Rt△DME中，cos∠AED==．…[选修4-4坐标系与参数方程]23．在直角坐标系中，以原点O为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，已知曲线C的极坐标方程为ρ2﹣4ρcosθ+1=0，直线l的参数方程为：（t为参数），点A的极坐标为（2，），设直线l与曲线C相交于P，Q两点．（Ⅰ）写出曲线C的直角坐标方程和直线l的普通方程；（Ⅱ）求|AP|•|AQ|•|OP|•|OQ|的值．【考点】参数方程化成普通方程；简单曲线的极坐标方程．【分析】（Ⅰ）利用极坐标与直角坐标互化直接写出曲线C的直角坐标方程，消去参数即可得到直线l的普通方程；（Ⅱ）点A的直角坐标为（3，），设点P，Q对应的参数分别为t1，t2，点P，Q的极坐标分别为（），（）．将（t为参数）与（x﹣2）2+y2=3联立，得：t1t2=1，|AP||AQ|=1，转化求解|AP|•|AQ|•|OP|•|OQ|的值．【解答】解：（Ⅰ）曲线C的直角坐标方程为：x2+y2﹣4x+1=0，即（x﹣2）2+y2=3…直线l的普通方程为x﹣y=0 …（Ⅱ）点A的直角坐标为（3，），设点P，Q对应的参数分别为t1，t2，点P，Q的极坐标分别为（），（）．将（t为参数）与（x﹣2）2+y2=3联立得：t2+2t+1=0，由韦达定理得：t1t2=1，|AP||AQ|=1 …将直线的极坐标方程θ=（ρ∈R）与圆的极坐标方程ρ2﹣4ρcosθ+1=0联立得：，由韦达定理得：ρ1ρ2=1，即|OP||OQ|=1 …所以，|AP||AQ||OP||OQ|=t1t2|ρ1ρ2|=1．…[选修4-5：不等式选讲]24．已知函数f（x）=|x﹣1|．（1）解不等式f（x）+f（x+4）≥8；（2）若|a|＜1，|b|＜1，且a≠0，求证：f（ab）＞|a|f（）．【考点】绝对值不等式的解法；不等式的证明．【分析】（Ⅰ）根据f（x）+f（x+4）=|x﹣1|+|x+3|=，分类讨论求得不等式f（x）+f（x+4）≥8的解集．（Ⅱ）要证的不等式即|ab﹣1|＞|a﹣b|，根据|a|＜1，|b|＜1，可得|ab﹣1|2﹣|a﹣b|2＞0，从而得到所证不等式成立．【解答】解：（Ⅰ）f（x）+f（x+4）=|x﹣1|+|x+3|=，当x＜﹣3时，由﹣2x﹣2≥8，解得x≤﹣5；当﹣3≤x≤1时，f（x）≤8不成立；当x＞1时，由2x+2≥8，解得x≥3．所以，不等式f（x）+f（x+4）≤4的解集为{x|x≤﹣5，或x≥3}．（Ⅱ）f（ab）＞|a|f（），即|ab﹣1|＞|a﹣b|．因为|a|＜1，|b|＜1，所以|ab﹣1|2﹣|a﹣b|2=（a2b2﹣2ab+1）﹣（a2﹣2ab+b2）=（a2﹣1）（b2﹣1）＞0，所以|ab﹣1|＞|a﹣b|，故所证不等式成立．- 21 -。

吉林省长春市2016届普通高中高三质量监测(四)理综试卷(含答案)

长春市普通高中2016届高三质量监测（四）理科综合能力测试本试卷分为第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，共16页。

考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。

注意事项：1．答题前，考生先将自己的姓名、准考证号码填写清楚，将条形码准确粘贴在考生信息条形码粘贴区。

2．选择题必须使用2B铅笔填涂；非选择题必须使用0.5毫米黑色字迹的签字笔书写，字体工整、笔迹清楚。

3．请按照题号顺序在各题目的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效；在草稿纸、试题卷上答题无效。

4．作图可先使用铅笔画出，确定后必须用黑色字迹的签字笔描黑。

5．保持卡面清洁，不要折叠，不要弄破、弄皱，不准使用涂改液、修正带、刮纸刀。

可能用到的相对原子质量：H—1 C—12 N—14 O—16 Al—27 Fe—56Cu—64 Au—197第Ⅰ卷一、选择题：本题共13小题，每小题6分。

在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1．下列关于细胞核的叙述，正确的是A．核仁与某种RNA的合成有关 B．核膜由两层磷脂分子组成C．细胞核内的液体叫做细胞液D．DNA通过核孔进出细胞核2．最新研究发现，如果限制人体内谷氨酰胺（一种非必需氨基酸）的含量，肿瘤细胞会因为无法正常吸收葡萄糖而导致代谢受抑制。

下列叙述错误的是A．恶性肿瘤细胞膜上的糖蛋白数量比正常细胞少B．谷氨酰胺可能是合成葡萄糖载体蛋白的原料C．人体不能合成谷氨酰胺，只能从外界环境获取D．切断肿瘤细胞的“糖路”，可“饿死”肿瘤细胞3．寨卡病毒是RNA病毒，可直接以其基因组RNA作为mRNA指导蛋白质的合成。

下列叙述正确的是A．寨卡病毒可在人体内环境中繁殖B．寨卡病毒基因的遗传遵循分离定律C．寨卡病毒RNA彻底水解的产物有6种D．寨卡病毒RNA经过转录和翻译合成蛋白质4．下图表示一株小麦叶片叶绿体内C3相对含量在一天24h内的变化过程。

下列叙述错误的是A．与B点相比，C点叶绿体中C5含量较高B．CD段C3含量升高可能是由晴转阴导致的C．与F点相比，G点叶绿体中ATP和[H]含量较高D．D→I段植物体内有机物的含量先下降后上升5．下列关于生物体内物质运输的叙述，正确的是A．细胞呼吸时丙酮酸要转运到线粒体内才能被利用B．细胞吸收离子的速率与细胞呼吸强度成正比C．细胞通过胞吞和胞吐运输的一定是大分子物质D．植物顶端优势的形成与生长素的极性运输有关6．下列关于过敏反应和自身免疫病的叙述，错误的是A．都会发生特异性免疫过程B．都不会破坏组织细胞C．都与免疫系统的防卫功能有关D．都会引起机体功能紊乱7．下列说法正确的是A．乙醇用作医用消毒剂时，无水乙醇消毒效果最好B．高锰酸钾溶液可以杀死埃博拉病毒，其消毒原理与漂白粉消毒饮用水的原理不同C．公益调查《柴静雾霾调查：穹顶之下》发布，其中雾霾中的PM2.5属于胶体D．天津港爆炸案中对剧毒的氰化钠(NaCN) 喷洒双氧水处理，利用了双氧水的氧化性8．设N A为阿伏加德罗常数的值，下列叙述中正确的是A．N A个Fe(OH)3胶体粒子的质量为107gB．标准状况下，1L液态水中含有的H+数目为10-7N AC．14g分子式为C n H2n的链烃中含有的碳碳双键的数目为N A/nD．1 mol冰醋酸和l mo1乙醇经酯化反应可生成H2O分子数为N A9．短周期主族元素X、Y、Z、W原子序数依次增大，X最外层电子数是次外层2倍，Y是非金属性最强的元素，Z原子半径在同周期元素中最大，W可与Z形成离子化合物Z2W。

吉林省长春市普通高中2016届高三质量监测(一)数学(理科)试题

吉林省长春市普通高中2016届高三质量监测（一）数学（理科）试题一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分）1. 已知集合{012}A =，，，{|,,}B z z x y x A y A ==+∈∈，则B = A. {}0,1,2,3,4 B. {}0,1,2 C. {}0,2,4 D. {}1,22. 复数1+1ii-（i 是虚数单位）的虚部为 A. i B. 2i C. 1 D. 23.抛物线24y x =-的准线方程为 A. 1y =-B. 1y =C. 1x =-D. 1x =4. 已知向量a ，b 满足(5,10)=-a +b ，(3,6)-=a b ，则a,b 夹角的余弦值为 A.C.5.下列说法中正确的是A.“(0)0f =”是“函数()f x 是奇函数”的充要条件；B. 若2000:,10p x x x ∃∈-->R .则2:,10p x x x ⌝∀∈--<R ；C. 若p q ∧为假命题,则,p q 均为假命题；D. “若6πα=,则1sin 2α=”的否命题是“若6πα≠,则1sin 2α≠”. 6. 若实数,x y 满足2211x y y x y x -⎧⎪-+⎨⎪+⎩≥≥≤，则2z x y =-的最小值为A. 2-B. 1-C. 1D. 27.执行如图所示的程序框图,输出20152016s =.那么判断框内应填A. 2015?k ≤B. 2016?k ≤C. 2015?k ≥D. 2016?k ≥8.在ABC ∆中, 2,3AB AC ==,BC 边上的中线2AD =,则ABC ∆的面积为A.4C.4D.169. 已知几何体的三视图如图所示，则该几何体的表面积为A. 4+B. 6C. 2+D. 2+10.已知函数3||x x y e=,则其图像为A. B.C. D. 11. 函数()sin()cos()66f x x x ππ=++，给出下列结论: ① ()f x 的最小正周期为 π ②()f x 的一条对称轴为6x π=③()f x 的一个对称中心为(,0)6π④ ()6f x π-是奇函数其中正确结论的个数是A. 1B. 2C. 3D. 412.设函数()f x 在R 上的导函数为()f x ',且22()()f x xf x x '+>.下面的不等式在R 上恒成立的是A. ()0f x >B. ()0f x <C. ()f x x >D. ()f x x <二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分） 13. 61(2)x x-的展开式中常数项是___________.14. 已知随机变量ξ服从正态分布()2N m σ，，若(3)(4)P P ξξ-=≤≥，则m=________.15.已知三棱锥S ABC -中, SA BC ==SB AC ==,SC AB ==则该三棱锥的外接球表面积为________.16.如图,等腰梯形ABCD 中, 2AB DC = ,32AE EC =.一双曲线经过C ,D ,E 三点,且以A ,B 为焦点,则该双曲线离心率是 ________.三、解答题17.(本小题满分12分)已知数列{}n a 的前n 项和为n S ,12a = ,且满足112()n n n a S n +*+=+∈N . (1)证明数列2n n S ⎧⎫⎨⎬⎩⎭为等差数列; (2)求12n S S S +++ .18.(本小题满分12分)为了调查某高中学生每天的睡眠时间,现随机对20名男生和20名女生进行问卷调查,结果如下: 女生:男生:(1)从这20名男生中随机选出3人,求恰有一人睡眠时间不足7小时的概率;(2)完成下面2()0.150.100.050.0250.0100.0050.0012.072 2.7063.841 5.024 6.6357.87910.828P K k k ≥（22()()()()()n ad bc K a b c d a c b d -=++++，其中n a b c d =+++）19.(本小题满分12分)如图，在三棱柱111ABC A B C -中，1AA ⊥平面ABC ，90BAC ∠=︒，2AB AC ==，13AA =.(1)过BC 的截面交1A A 于P 点,若PBC ∆为等边三角形,求出点P 的位置; (2)在(1)条件下,求平面PBC 与平面11PB C 所成二面角的大小. 20. (本小题满分12分)设点A ,B 的坐标分别为(2,0)-,(2,0),直线AP ,BP 相交于点P ,且它们的斜率之积是14-. (1)求点P 的轨迹C 的方程;(2) D ,E ,F 为曲线C 上的三个动点, D 在第一象限, E ,F 关于原点对称,且||||DE DF =,问DEF ∆的面积是否存在最小值?若存在,求出此时D 点的坐标;若不存在,请说明理由.21. (本小题满分12分)已知函数()1xf x e ax =--. (1)判断函数()f x 的单调性;(2)若()ln(1)ln xg x e x =--,当(0,)x ∈+∞时,不等式(())()f g x f x <恒成立,求实数a 的取值范围.请考生在22、23、24三题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分. 22. (本小题满分10分) 选修4—1：几何证明选讲.已知ABC ∆中, AB AC =,以点B 为圆心,以BC 为半径的圆分别交AB ,AC 于两D ,E 两点,且EF 为该圆的直径.(1)求证: 2A F ∠=∠; (2)若112AE EC ==.求BC 的长. 23. (本小题满分10分) 选修4—4：坐标系与参数方程.已知曲线C 的参数方程为sin x y θθ⎧=⎪⎨=⎪⎩（θ为参数）,直线l 的极坐标方程为sin()4πρθ+=(1)写出曲线C 的普通方程和直线l 的直角坐标方程;(2)设点P 为曲线C 上的动点,求点P 到直线l 距离的最大值. 24.(本小题满分10分) 选修4—5：不等式选讲. 已知函数()|||5|f x x a x =-+-. (1)若不等式()3f x ≥恒成立,求a 的取值范围;(2)当2a =时,求不等式2()815f x x x -+≥的解集.长春市普通高中2016届高三质量监测（一）数学（理科）试题参考答案及评分标准一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分）简答与提示：1.A 【命题意图】本题考查集合中元素的计算与集合的性质.【试题解析】A 题意可知，集合{|,,}{0,1,2,3,4}B z z x y x A y A ==+∈∈=，故选A. 2.C 【命题意图】本题考查复数的除法运算与复数虚部的概念.【试题解析】C21(1)21(1)(1)2i i ii i i i ++===--+，虚部为1，故选C. 3.D 【命题意图】本题考查抛物线的准线的概念，是对学生的基础知识的直接考查. 【试题解析】D 由题意，抛物线24y x =-的准线为1x =，故选D. 4.D 【命题意图】本题主要对向量的基本运算进行考查.【试题解析】D ()()(4,2)2a b a b a ++-==-，()()(1,8)2a b a b b +--==- ，则,a b的夹角余弦值为cos ||||a b a b θ⋅===⋅ . 故选D. 5.D 【命题意图】本题是对逻辑问题的综合考查，全面考查考生对各种逻辑问题的理解.【试题解析】D 选项A 中，由奇函数定义可知，“(0)0f =”是“函数()f x 是奇函数”的既不充分也不必要条件；选项B 中，若p ：0x ∃∈R ，20010x x -->，则p ⌝：x ∀∈R ，210x x --≤；选项C 中，若p q∧为假命题，只能判定,p q中至少有一个为假命题；选项D 的说法正确，故选D. 6.B 【命题意图】本题考查线性规划以及目标函数的几何意义等知识. 【试题解析】B 图为可行域，而目标函数2z x y =-可化为2y x z =-，即z -为该直线在y 轴上的截距，当直线过(0,1)时，截距取得最大值，此时z 取得最小值为1-，故选B.7.A 【命题意图】本题考查程序框图的基本运作过程，同时通过程序框图也对数列中的裂项求和进行考查. 【试题解析】A 由程序框图，当2015k =时，还应该进入循环，而当2016k =时，不再进入循环，故应填2015k ≤，故选A.8.C 【命题意图】本题主要考查解三角形，以及利用余弦定理搭建三角形中边与角的关系式.【试题解析】C 由题意，设CD BD x ==，根据余弦定理可得，2294944cos 23232x x C x x+-+-==⋅⋅⋅⋅，可得x =且cos C =sin C =，故1sin 24ABC S AC BC C =⋅⋅= ，故选C. 9.B 【命题意图】本题主要考查考生对三视图的理解，以及简单几何体表面积的计算.【试题解析】B的投影为斜边的中点，据此可求得该几何体的表面积为6故选B.10.A 【命题意图】本题考查对图像特征的理解，以及利用求导等手段发现函数特点的方法.【试题解析】A 函数3||x x y e=为奇函数，且0|0x y ='=，可推出在原点处切线的斜率为0，故选A.11.B 【命题意图】本题考查三角变换公式，以及sin()y A x ωϕ=+中各个量对函数图像的影响.【试题解析】B 由题1()sin()cos()sin(2)6623f x x x x πππ=++=+，可知①④正确，故选B. 12.A 【命题意图】本题是利用导数考查抽象函数的特征问题，目的在于考核考生对导数的理解，包括函数的特征点，以及导数对函数图像的影响等.【试题解析】A 当0x =时，可得()0f x >；当0x >时，将22()()f x xf x x '+>的两侧同时乘以x 可得232()()xf x x f x x '+>，即23[()]0x f x x '>>，则2()x f x 在0x >时单调递增，即22()0(0)0x f x f >⋅=，所以()0f x >；当0x <时，将22()()f x xf x x '+>的两侧同时乘以x 可得232()()xf x x f x x '+<，即23[()]0x f x x '<<，则2()x f x 在0x <时单调递减，即22()0(0)0x f x f >⋅=，所以()0f x >，综上可得到()0f x >. 故选A.二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分）简答与提示：13. 160-【命题意图】本题考查二项展开式系数问题.【试题解析】常数项为333461(2)()160T C x x=-=-.14.12【命题意图】本题考查正态分布的基本知识，特别是正态分布2(,)N μσ中各个量的意义.【试题解析】由正态分布的性质可知，34122m -+==.15.14π【命题意图】本题考查了球的内接几何体问题，特别涉及到了长方体，以及长方体的局部几何体的外接球问题. 【试题解析】由条件，可将三棱锥S ABC -放入如图所示的长方体中，设其长宽高分别为,,a b c ，有22213,a b SC +==22222210,5c b SB a c SA +==+==，得到22214a b c ++=，所以长方体的体表面积为14π.本题通过平面几何的性质考查双曲线的标准方程以及离心率，对学生的运算求解能力提出很高要求，是一道较难题.【试题解析】设双曲线的标准方程为22221x y a b-=(0,0)a b >>，0(,0),(,)2c A c C y -，由23AE EC = ，得022(,)55y c E -，从而满足2202222022144412525y c a b y c a b ⎧-=⎪⎪⎨⎪-=⎪⎩，消去202y b ，解得227c a =三、解答题17.(本小题满分12分)【命题意图】本题考查数列通项公式及其前n 项和公式的求法，其中涉及错位相减法在数列求和问题中的应用. 【试题解析】 (1) 证明：由条件可知，112n n n n S S S ++-=+，即1122n n n S S ++-=，整理得11122n n n n S S ++-=，所以数列{}2nnS 是以1为首项，1为公差的等差数列. （6分）(2) 由(1)可知，112nn S n n =+-=，即2n n S n =⋅，令12n n T S S S =+++ AB C S cba212222n n T n =⋅+⋅++⋅①21212(1)22n n n T n n += ⋅++-⋅+⋅ ②①-②，212222n n n T n +-=+++-⋅ ，整理得12(1)2n n T n +=+-⋅. （12分）18.(本小题满分12分)【命题意图】本小题主要考查学生对概率知识的理解，以及统计案例的相关知识，同时考查学生的数据处理能力.【试题解析】解：(1) 设所求事件概率为P ，则121283202895C C P C ==. （6分）(2)20(126148)400.440 2.7062026142091k ⨯-⨯==≈<⨯⨯⨯所以没有90%的把握认为“睡眠时间与性别有关”（12分）19.(本小题满分12分) 【命题意图】本小题以三棱柱为载体，考查立体几何的基础知识. 本题通过分层设计，考查了二面角等知识，考查学生的空间想象能力、推理论证能力和运算求解能力.【试题解析】解：（1）由题意PC PB ==，在三棱柱中，由1AA ⊥平面ABC且2AB AC ==可得，2PA =，故点P 的位置为1AA 的三等分点，且靠近1A 处.（4分）（2）以A 为坐标原点，CA 方向为x 轴，AB 方向为y 轴，1AA 方向为z 轴，建立如图所示的空间直角坐标系，有11(0,0,2),(0,2,0),(2,0,0),(0,2,3),(2,0,3)P B C B C --设平面11PB C 的一个法向量为(,,)n x y z =，有1100n PB n PC ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩ ，得2020x z y z +=⎧⎨+=⎩，令2z =-，得(1,1,2)n =- ，同理可得平面PBC 的一个法向量为(1,1,1)m =，可得0m n ⋅=，所以平面PBC 与平面11PB C 所成角为直二面角，大小为90︒.（12分）20.(本小题满分12分)【命题意图】本小题考查椭圆的标准方程的求取，直线和椭圆的位置关系及函数最值的求法，考查学生的逻辑思维能力和运算求解能力.【试题解析】(1) 设点P 的坐标为(,)x y ，由题意可知14PA PB k k ⋅=-，即1224y y x x ⋅=-+-，因此点P 的轨迹方程为2214x y +=(2)x ≠±. （5分） (2) 由题意知OD EF ⊥，设:EF y kx =(0)k <，1:OD y x k=-设111122(,),(,),(,),E x y F x y D x y --由2214x y y kx⎧+=⎪⎨⎪=⎩，消去y 得22(14)4k x +=，所以1||2|EF x ==同理可得2x =，||OD ==所以1||||2DEF S OD EF ∆===当21112k =+，即21,1k k ==-时，DEF S ∆取最小值，此时(55D . （12分） 21.(本小题满分12分)【命题意图】本小题主要考查函数与导数的知识，具体涉及到导数的运算，用导数来研究函数的单调性等，以及函数图像的判定，考查学生解决问题的综合能力.【试题解析】解：(1) ()1x f x e ax =--，()x f x e a '=-，当0a ≤时，()0f x '>，则()f x 在R 上单调递增；当0a >时，令()0xf x e a '=-=，得ln x a =，则()f x 在(,ln ]a -∞上单调递减，在(ln ,)a +∞上单调递增. （4分）(2) 不妨先证明0()g x x <<(0)x >，即0ln(1)ln x e x x <--<，先证ln(1)ln 0x e x -->，即1xe x >+，显然成立.再证ln(1)ln xe x x --<，只需证1xxe xe -<，设()1x x h x xe e =-+，则()0x x x xh x e xe e xe '=+-=>，即()(0)0h x h >=，0()g x x <<得证.由当0a ≤时，则()f x 在R 上单调递增，可知(())()f g x f x <，当01a <≤时，ln 0a ≤，又()f x 在(ln ,)a +∞上单调递增，(())()f g x f x <，当1a >时，()f x 在(0,ln )a 上单调递减，(())()f g x f x >与条件不符.综上1a ≤. （12分）22. (本小题满分10分)【命题意图】本小题主要考查平面几何的证明，具体涉及到三角形相似等内容. 本小题重点考查考生对平面几何推理能力.【试题解析】 (1) 因为AC AB =，所以ABC ACB ∠=∠，又因为BC BE =，所以BEC ECB ∠=∠，所以BEC ABC ∠=∠，所以2A EBC F ∠=∠=∠. （5分）(2) 由(1)可知ABC ∆∽BEC ∆，从而EC BCBC AC=，由1,2,3AE EC AC ===，得BC .（10分）23.(本小题满分10分)【命题意图】本小题主要考查极坐标系与参数方程的相关知识，具体涉及到极坐标方程与平面直角坐标方程的互化、利用曲线的参数方程的几何意义求解曲线上点到直线的距离等内容. 本小题考查考生的方程思想与数形结合思想，对运算求解能力有一定要求.【试题解析】 (1) 曲线C 的普通方程为2213x y +=，直线l 的直角坐标方程为40x y +-=.（5分）(2) 设点P坐标为,sin )θθ，点P 到直线l的距离)3d πθ==+所以点P 到直线l距离的最大值为（10分）24.(本小题满分10分)【命题意图】本小题主要考查不等式的相关知识，具体涉及到绝对值不等式解法等内容. 本小题重点考查考生的化归与转化思想.【试题解析】 (1) 由于()|||5||5|f x x a x a =-+-≥-，所以()3|5|3f x a ≥⇔-≥，解得2a ≤或8a ≥. （5分）(2) 72,2()|2||5|3,2527,5x x f x x x x x x -<⎧⎪=-+-=≤≤⎨⎪->⎩，原不等式等价于2272815x x x x <⎧⎨-≥-+，或2253815x x x ≤≤⎧⎨≥-+⎩，或2527815x x x x >⎧⎨-≥-+⎩ 解得25x ≤≤{|25x x ≤≤.（10分）。

长春市普通高中高三质量监测(四) 数学文科.docx

高中数学学习材料鼎尚图文*整理制作长春市普通高中2016届高三质量监测（四）数学文科第Ⅰ卷（选择题，共60分）一、选择题（本大题包括12小题，每小题5分，共60分，每小题给出的四个选项中，只有．．一项．．是符合题目要求的，请将正确选项涂在答题卡上） 1. 已知集合{421,5}A =--，，，，{|2}B x y x ==+，则A B 中元素的个数为A. 1B. 2C. 3D. 42. 已知复数z 满足 52z i=-，则||z = A. 2 B. 5 C. 3 D. 53. 设,a b ∈R ，则“22log log a b >”是“21a b->”的A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件 4.已知直线m n ,与平面αβ，，下列命题中错误．．的是 A.若 m n αα,⊥⊥，则m n //B. 若 m n ββ,//⊥，则m n ⊥C.若 m n αβαβ,,⊥⊥⊥，则m n ⊥D. 若 m n n α//,⊂，则m α//5. 执行如图所示的程序框图，若输出k 的值为8，则判断框内可填入的条件是A. 34s ≤B. 56s ≤C. 1112s ≤D. 2524s ≤ 6. 祖暅原理：“幂势既同，则积不容异”.“幂”是截面积，“势”是几何体的高，意思是两个同高的几何体，如在等高处截面的面积恒相等，体积相等.已知某不规则几何体与如图所示的几何体满足“幂势同”，则该不规则几何体的体积为A. 42π-B. 483π-C. 8π-D. 82π-7. 函数()sin()(000)2f x A x A πωϕωϕ=+>><<,,的部分图象如图所示，则2()9f π=A. 3B. 1C. 2D. 28. 已知等比数列{}n a 单调递减，满足154910a a a a =+=2,，则数列{}n a 的公比q =A. 13-B. 13C. 23D. 39.函数2ln y x x =+的大致图像为10. 如图，从高为h 的气球()A 上测量待建规划铁桥()BC 的长，如果测得桥头()B 的俯角是α，桥头()C 的俯角是β，则桥BC 的长为A. sin()sin sin hαβαβ- B. cos()sin sin h αβαβ- C. sin()cos cos h αβαβ- D. cos()cos cos h αβαβ-11. 棱长为1的正四面体ABCD 中，E 为棱AB 上一点（不含A B ,两点），点E 到平面ACD 和平面BCD 的距离分别为,a b ，则11a b+的最小值为A. 2B. 23C. 763D. 2612. M 为双曲线2222:1(00)x y C a b a b-=>>,右支上一点，A 、F 分别为双曲线的左顶点和右焦点，且MAF ∆为等边三角形，则双曲线C 的离心率为A.4B. 51-C. 2D. 6第Ⅱ卷（非选择题，共90分）本卷包括必考题和选考题两部分，第13题—21题为必考题，每个试题考生都必须作答，第22题—24题为选考题，考生根据要求作答.二、填空题(本大题包括4小题，每小题5分，共20分，把正确答案填在答题卡中的横线上). 13.已知2=|a |=|b |，2⋅-=-（）a b a ，则a 与b 的夹角为_______14. 等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，已知100S =，1525S =，则使n S 取最小值的n 等于 .15. 已知圆C 的圆心在直线210x y +-=上，且经过原点和点(1,5)--，则圆C 的方程为 ___________.16. 下列说法中正确的有：___________.（将你认为正确的命题序号全部填在横线上）①电影院调查观众的某一指标，通知“每排（每排人数相等）座位号为14的观众留下来座谈”是系统抽样；②推理过程“因为指数函数xy a =是增函数，而2xy =是指数函数，所以2xy =是增函数”中，小前提是错误的；③对命题“正三角形与其内切圆切于三边中点”可类比猜想：正四面体与其内切球切于各面中心；④在判断两个变量y 与x 是否相关时，选择了3个不同的模型，它们的相关指数2R 分别为：模型1为098.，模型2为080.，模型3为050..其中拟合效果最好的是模型1；三、解答题（本大题包括6小题，共70分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）. 17.（本小题满分12分）已知函数()cos()sin 6f x x x π=+-.（1）利用“五点法”列表，并画出()f x 在5[]33ππ-,上的图象；（2）a b c ,,分别是锐角ABC ∆中角A B C ,,的对边.若3a =，3()2f A =，求ABC ∆面积的取值范围.18. （本小题满分12分）某便携式灯具厂的检验室，要检查该厂生产的某一批次产品在使用时的安全性。

2016年吉林省吉林市高考数学四模试卷理科解析版

2016年吉林省吉林市高考数学四模试卷（理科）12560分，在每小题给出的四个选项中，只有题，每小题一、选择题：本大题共分，共一项是符合题目要求的．25x60B=xx2x1A=xAB= ∩） ||{| |﹣≤+（＜}}，，则{?．已知集合R AA BCA CB DCB ．．．．RR2z=）对应的点位于（．在复平面内，复数 C DA B．第四象限．第二象限．第一象限．第三象限2 3y=2x）．抛物线的焦点坐标是（﹣C0D0 A0B10）．．（，（）．（﹣，），﹣）．（﹣，﹣2yxyz=x4），满足约束条件．若变量则﹣的最大值为（1DC2 A4 B3 ．．．．x xlgb=0fx=agx=log5lga）（的图象可能是（）﹣．已知与函数+，函数（）bC D BA．．．．6”“是我国古代数学家刘徽在研究球的体积的过程中构造的一个和谐优美的几何牟合方盖．好似两个扣合相对的两个曲面在同一个圆柱的侧面上，体．它由完全相同的四个曲面构成，21中四边形是为体现其直观性所作（牟合）在一起的方形伞（方盖）．其直观图如图，图）的辅助线．当其正视图和侧视图完全相同时，它的正视图和俯视图分别可能是（dcbb Dc b BAaaC，，．，．．．，x1x72875436不小，执行如图所示的程序框图，则输出的，}．已知实数∈{，，，，，，121）于的概率为（第1页（共22页）DB C A．．．．8）．下列命题正确的个数是（2YYKXkkX”“①有关系的观测值的随机变量越小，与对于两个分类变量来说，与判断的把握程度越大；2a=bxyy=ceR②拟合时的相关指，用拟合时的相关指数为在相关关系中，若用+2111222 RyRR的拟合效果好；，且＞数为，则1122001a3a1”“③；～﹣之间的均匀随机数发生的概率为，则事件＞利用计算机产生20a0b””“④“的充分不必要条件．是，＞≥＞+4D2C3A1B．．．．OyOOA9Ax逆时针旋转上任意一点，将射线绕点，与单位，．已知）是单位圆（11myxx=my2ym02OB），），若﹣（，则圆＞交于点的值为（（）的最大值为22123 D2 C2A1B．．．．2ClP10Cx1l的两的左顶点与双曲线作斜率为﹣，若．过双曲线的直线：CQR）的离心率是（条渐近线分别相交于点，则双曲线，，且ADBC ．．．．A=A11ABCCa=bsinBCacb，已知所对的边分别为，，．△且，（+）中，角，，=aABCcsinB），则△的面积为（﹣+（）BCA D．．．．2x=xxffxf12xRfxRx′，且（）在（上存在导数（﹣（．设函数）），对任意的+∈，有）a22aaaf2xf0 xf′∞）﹣）﹣的取值范围为（（．若）≥（∈（，+）时，﹣，则实数（）＞B 1ACD2 21 ∞∞∞∞]．]．．[，+，+．[，））（﹣（﹣，54分．二．填空题：本大题共个小题，每小题11320161日我国全面二孩政策实施后，某中学的一个学生社团组织了一项关于生．年月30岁以下的育二孩意愿的调查活动．已知该中学所在的城镇符合二孩政策的已婚女性中，600024003036004040人．为了解不同年龄层的女性岁以上的约约岁的约人，岁至人，N对生育二孩的意愿是否存在显著差异，该社团用分层抽样的方法从中抽取了一个容量为N=304060 ．人，则的样本进行调查，已知从岁至岁的女性中抽取的人数为62 x14． + ）展开式中的常数项为．二项式（ABCD=0 15 =2=0=1??中，，则|，|的最大值．已知四边形|，||，|．为第2页（共22页）ABCDCDAB=CD=2162AB的体积的、．在半径为、的球面上有，则四面体、四点，若．最大值为三．解答题：解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．17aa=7aaa 成等比数列．，且．已知公差不为零的等差数列{，}中，，9n234a Ⅰ的通项公式；}（）求数列{nbb=nSS Ⅱ．项和为}满足＜，求证：（）（，设其前）数列{≤nnnn18“”活动，学生一元钱，一片心，诚信用水．某学校为倡导全体学生为特困学生捐款，举行5天的售出便自觉向捐款箱中至少投入一元钱．现统计了连续在购水处每领取一瓶矿泉水，和收益情况，如表：x6 6 5 7 6 （单位：箱）售出水量y 150 125 165 142 148 （单位：元）收益8 Ⅰ箱水，求预计收益是多少元？）若某天售出（Ⅱ期中考试以后，学校决定将诚信用水的收益，以奖学金的形式奖励给品学兼优的特（）200500201500名，获元；考入年级困生，规定：特困生考入年级前﹣名，获一等奖学金300501名以后的特困生将不获得奖学金．甲、元；考入年级二等奖学金乙两名学生获一等．，不获得奖学金的概率均为奖学金的概率均为，获二等奖学金的概率均为1 ）在学生甲获得奖学金条件下，求他获得一等奖学金的概率；（2）已知甲、乙两名学生获得哪个等级的奖学金是相互独立的，求甲、乙两名学生所获得（X 的分布列及数学期望奖学金总金额2=182x =4420 xy == =6 =146．，附：，，，，﹣iii19EFBDEF=DE=BDBD=BC=CD=BDEFABCDBD，∥梯形，于，所在平面垂直于平面．AB=AD=2DEBC ．，⊥DEABCD Ⅰ；（求证：）⊥平面AEFCEF Ⅱ所成的锐二面角的余弦值．（与平面）求平面20A20A20Bx2Bx2P，，﹣，），．在平面直角坐标系中，已知（﹣），），（（，），（21122= O xy?λ?λ．（为坐标原点）（，，若实数）使得PCP Ⅰ的轨迹类型；的轨迹的方程，并讨论点（）求点第3页（共22页）CP02l =BⅠⅡλ相交于不））的直线当）中点（与（时，是否存在过点的轨迹（，kF1EF EB的取同的两点之间），，且（＜在＜，？若存在，求出该直线的斜率值范围；若不存在，请说明理由．2 fx=xalnxbx21．（﹣）+．设函数axxxxx b=2fⅠ的取值范围；）有两个极值点＜，函数，（（），求实数若，且2121fxⅠⅡ；在（（（）的条件下，证明：））＞﹣20xef2 b1x1eⅢ）＜（为自然对数的底数）），使得若对任意，∈[（，]，都存在）∈（（a的取值范围．成立，求实数4-1242223：、选修、则按所做的第一题记分．三题中任选一题作答，如果多做，请考生在[]几何证明选讲BCCCD22ABCADBAC的延为圆心，为∠为半径的半圆交．已知在△的平分线，以中，3B=FAEMCAEFEFD=4EAD．，交，于点长线于点，且∠，交：于点∠：AF=DFⅠ；）求证：（AEDⅡ的余弦值．（）求∠4-4][选修坐标系与参数方程Cx23O轴的正半轴为极轴建立极坐标系，已知曲线为极点，．在直角坐标系中，以原点2Alt1=04cosθρρ的的参数方程为：（的极坐标方程为+，点﹣，直线为参数）2QCPl两点．相交于与曲线极坐标为（，，），设直线Cl Ⅰ的普通方程；的直角坐标方程和直线（写出曲线）OP APAQOQ???Ⅱ的值．|||求|||||（）4-5][选修：不等式选讲x24fx=1．（﹣）||．已知函数8xx1ff4；（）解不等式+（）+（）≥ba21abf01aaf．＜＜（）若||，||，且≠，求证：（）＞||（）第4页（共22页）2016年吉林省吉林市高考数学四模试卷（理科）参考答案与试题解析12560分，在每小题给出的四个选项中，只有题，每小题一、选择题：本大题共分，共一项是符合题目要求的．25x60B=xx2AB=1A=xx ∩）?{（．已知集合||{||≤﹣ +}＜，则}，R AA BCA CB DCB ．．．．RR交、并、补集的混合运算．【考点】ABABAB的交集即可．与【分析】分别求出补集与与，求出中不等式的解集，确定出Ax2x30 ，﹣中不等式变形得：（（﹣）＜）【解答】解：由2x3A=23 ，＜（＜），即，解得：A=23 ∞∞∪，），，]+∴?[（﹣R B2x2B=22 ，≤，，即由]中不等式解得：﹣[≤﹣AB=22=B ∩，，[﹣则?]R C ．故选：z=2）．在复平面内，复数对应的点位于（ D B CA．第四象限．第二象限．第一象限．第三象限复数代数形式的乘除运算；复数的代数表示法及其几何意义．【考点】3iz1i，等于﹣的幂运算性质化简复数利用两个复数代数形式的除法，虚数单位【分析】﹣13，从而得出结论．，﹣它在复平面内对应点的坐标为（﹣）13i===，﹣解：∵复数﹣【解答】31 ，故复数，﹣对应的点位于在第三象限，）它在复平面内对应点的坐标为（﹣C．故选2 2x3y=）．抛物线的焦点坐标是（﹣B10 00 CD0A ），）（．（），﹣．（﹣，）．（﹣．，﹣抛物线的简单性质．【考点】2 y=2x．即可得出．﹣的方程化为：【分析】抛物线2 2xy=．的方程化为：解：抛物线【解答】﹣．∴焦点坐标为C．故选：第5页（共22页）z=x2y4xy）．若变量的最大值为（，满足约束条件则﹣12 DB3 CA4 ．．．．简单线性规划．【考点】ABC及其内部，再将目标函数作出题中不等式组表示的平面区域，得到如图的△【分析】zy=0x=2z=x2yy达﹣且对应的直线进行平移，观察直线在时，轴上的截距变化，可得当2．到最大值表示的平面区域，【解答】解：作出不等式组ABC及其内部，得到如图的△31C20B11A．，，），（（），，其中）（z=x2yxy=x2ylz=F进行平移，，﹣）（﹣：，将直线设x轴上的截距变化，观察直线在zlA达到最大值，经点时，目标函数可得当=3z=F20．，（）∴最大值C故选：x logxf=axgx=5lgalgb=0）（）﹣+与函数，函数的图象可能是（（）．已知bC DA B．．．．对数函数的图象与性质；指数函数的图象与性质．【考点】xabgxxgf）的单先求出【分析】）与函数、的关系，将函数（（）进行化简，得到函数（调性是在定义域内同增同减，再进行判定．lgb=0 lga+【解答】解：∵b=ab=1则∴x xfxx=loglog=xg=a与，）（﹣（）从而ab第6页（共22页）fxgx ）的单调性是在定义域内同增同减）与函数∴函数（（B ，结合选项可知选B 故答案为6“”是我国古代数学家刘徽在研究球的体积的过程中构造的一个和谐优美的几何牟合方盖．体．它由完全相同的四个曲面构成，相对的两个曲面在同一个圆柱的侧面上，好似两个扣合12中四边形是为体现其直观性所作（牟合）在一起的方形伞（方盖）．其直观图如图，图的辅助线．当其正视图和侧视图完全相同时，它的正视图和俯视图分别可能是（）d bcb DAab Bac C，．，，．．，．简单空间图形的三视图．【考点】（方在一起的方形伞好似两个扣合（牟合）【分析】相对的两个曲面在同一个圆柱的侧面上，．根据三视图看到方向，可以确定三个识图的形状，判断答案．盖）解：∵相对的两个曲面在同一个圆柱的侧面上，好似两个扣合（牟合）在一起的方【解答】．形伞（方盖）∴其正视图和侧视图是一个圆，∵俯视图是从上向下看，相对的两个曲面在同一个圆柱的侧面上2条对角线且为实线的正方形，∴俯视图是有A．故选：x783456x712不小，，，，执行如图所示的程序框图，则输出的，．已知实数∈{}，，，121）的概率为（于DB C A．．．．程序框图．【考点】得到输出的值与输入的值的关系，写出前三项循环得到的结果，【分析】由程序框图的流程，x121不小于得到输入值的范围，利用几何概型的概率公式求出输出的令输出值大于等于121的概率．1n=2x=3x，，+【解答】解：经过第一次循环得到1x=33x1n=3，+）+经过第二循环得到（，1n=3x13xx=331，此时输出]+，经过第三次循环得到[（++）1327x，+输出的值为1211327xx4，≥+令≥，得第7页（共22页）x121．不小于的概率为：由几何概型得到输出的B．故选：8）．下列命题正确的个数是（2YKXkkXY”①“有关系越小，来说，对于两个分类变量判断与的观测值的随机变量与的把握程度越大；2ay=bxy=ceR②拟合时的相关指在相关关系中，若用拟合时的相关指数为，用+2111222 RyRR的拟合效果好；数为＞，则，且1122001a3a1”“③；，则事件＞利用计算机产生发生的概率为～﹣之间的均匀随机数20b0a”“”④“的充分不必要条件．，+＞是≥＞4DC3A1B2．．．．命题的真假判断与应用．【考点】①根据独立性检验的进行判断，【分析】2 R②，的意义进行判断，根据相关关系相关指数为2③根据几何概型的概率公式进行求解．④根据充分条件和必要条件的定义进行判断．22XXYkkk“①判断【解答】解：根据两个分类变量的观测值与越大，的随机变量来说，Y①”错误，与的把握程度越大，故有关系2ay=bxy=ceR②拟合时的相关指，用+在相关关系中，若用拟合时的相关指数为2111222 yRRR的拟合效果好；正确，且数为，则＞112210aa013a③，＞﹣～之间的均匀随机数＞，由得利用计算机产生13a0P==③“”正确，；故＞则事件发生的概率﹣20ab0“”④“成立，，时当＞＞≥+020ab也成立，时， +，＜≥当＜20ab0④““””错误，≥＞则的充分不必要条件，故是＞，+②③，故正确的是B．故选：OyxOOAA9，与单位）是单位圆上任意一点，将射线逆时针旋转绕点．已知（，11OBm2m2y0x=myyx），则的值为（（，若，圆交于点（）﹣＞）的最大值为22123B1 A 2D2 C．．．．三角函数的化简求值；任意角的三角函数的定义．【考点】第8页（共22页）2sin2y=msinsincossinBcosmyAααααα﹣（+）【分析】设，（，则（，﹣+），则）（）21m2x=my2ym0α列关于）（，整理后利用辅助角公式化积，再由+＞﹣）的最大值为（21 m的值．的等式求得sincossinBcosAxyAααα，）【解答】解：，则（，+）是单位圆上任一点，设（（（），11α，）（）+=sinyy =sinαα+（，），即212sin 2y=msinmyαα+则）﹣﹣（212 =msinα（﹣）sin=mcos 1αα﹣﹣）（=sinβα，+（）2m0my2y，﹣∵＞的最大值为，21m=2．∴，解得B．故选：2ClPx10C1l的两的左顶点，若：作斜率为﹣与双曲线．过双曲线的直线QRC），则双曲线条渐近线分别相交于点，的离心率是（，且D CA B ．．．．双曲线的简单性质．【考点】RPQl和【分析】先由双曲线线方程可得的方程与双曲线的渐近线联立求得的坐标和直线cbc=，最后根据的横坐标，进而根据且，求得的值，进而根据求得离心率公式答案可得．Ly=x10P1，+）所以直线的方程为解：由题可知【解答】（﹣，y=bxbxy=或两条渐近线方程为﹣Qy=y=x1bxx=﹣+和﹣得联立的横坐标为QxR=，同理得的横坐标为R，∵1y0=2 y），），（﹣），+∴（﹣，（QR第9页（共22页）=b=3c=1=，?∴﹣﹣+，e==，∴B．故选CcA=a=bsina11ABCABCb），已知且，，+，所对的边分别为，．△，中，角（=acsinBABC），则△﹣的面积为（（+）D B CA．．．．三角函数的化简求值；正弦定理．【考点】CBBsinC=1的值，再利用正弦，结合角的范围得到）【分析】由已知化简整理求得（，﹣b，代入三角形面积公式求得答案．定理求得=aCbsincsinBA=，）﹣，（++解：由【解答】）（sinCsin=sinAsinBsin （．））﹣得：（sinC sinBcosBsinB=（+）﹣+（），cosBsinC=1sinBcosC，﹣整理得sin=1BC，（﹣即）A=，∵BC=①，∴+0CB0，＜，＜＜即＜C0，＜﹣＜∴﹣BC，﹣＜则﹣＜C=B ②﹣．从而B=C= ①②解得，．联立sin=，sin=．第10页（共22页）=．由，得．∴C．故选：2x=xfxfx12fxRfxxR′，且（﹣（，有（））．设函数，对任意的（+）在∈上存在导数）a2aafa2 0fxxf2′∞））﹣（的取值范围为（（∈（）≥，+﹣）时，﹣（）＞，则实数．若12A1 BCD2∞∞∞∞]（﹣，．[，，++），．）．]．[（﹣导数的运算．【考点】2xggx=fxx=0gxgx）为奇函数．利）【分析】令（﹣（）（（））﹣+，可得函数，由（aaRf2afa22ag2ggx，上是增函数，）≥（﹣，即）﹣）（用导数可得函数（（）在）≥（﹣﹣2aaa的范围．≥可得﹣，由此解得222 fxx=0fxfx=xfxx，+（﹣，∴）+（（）﹣））﹣【解答】解：∵（﹣222 gxfxx=fxgx=fxxx=0gx，（（﹣））﹣（）﹣）﹣令），∵（（﹣+）+（gx）为奇函数．∴函数（x0xxf′∞．∈（+，）＞）时，（∵g0x0gx0x=fxx∞′∞′）上是增函数，（）在（）+）时，（（）﹣，∴＞∈（+，，故函数R0xf0=0gxg∞上是增函数．）上也是增函数，由（（（）在）在（﹣，）故函数，可得a2af2af22afaf，）﹣﹣）﹣（（）≥）﹣﹣≥，等价于（（﹣g212agaaaa，），∴﹣（，解得即≥（﹣≤）≥B．故选：54分．二．填空题：本大题共个小题，每小题11201613日我国全面二孩政策实施后，某中学的一个学生社团组织了一项关于生年．月30岁以下的育二孩意愿的调查活动．已知该中学所在的城镇符合二孩政策的已婚女性中，600036003024004040人．为了解不同年龄层的女性岁至岁的约岁以上的约人，约人，N对生育二孩的意愿是否存在显著差异，该社团用分层抽样的方法从中抽取了一个容量为403060N=200．岁的女性中抽取的人数为人，则的样本进行调查，已知从岁至分层抽样方法．【考点】根据分层抽样的定义即可得到结论．【分析】=N=200 ．解：由题意可得【解答】，故200．故答案为：62 14x3．．二项式（+）展开式中的常数项为页（共11第22页）二项式定理的应用．【考点】r0 x即可求得常数项，，的幂指数等于求出【分析】在二项展开式的通项公式中，令的值，r2626r﹣﹣=xTx=x??））（展开式的通项公式为（【解答】解：二项式（）+r+13r6r12﹣﹣x??，3r=0r=412，令，求得﹣2 =3?，）故展开式中的常数项为（3．故答案为：=0=0 =115ABCD=2 ??的最大值，|||，则|，．已知四边形中，||，．为平面向量数量积的运算．【考点】ABBCAD DCABCD =0=0??．因此四边形，可得，如图所示，，⊥【分析】⊥OAC ．||内接于圆的最大值为直径．可得解：如图所示，【解答】=0 =0 ??，∵，ABBCADDC ．⊥∴⊥，ABCDO ．内接于圆∴四边形OAC== ．可得⊙的直径．则的最大值为直径||．故答案为：162ABCDAB=CD=2ABCD的体积的．在半径为的球面上有、、，则四面体、四点，若．最大值为球内接多面体；棱柱、棱锥、棱台的体积．【考点】CDPCDABPCDABPPCDh，，交于【分析】过作平面到，使，设点⊥平面的距离为h2ABCDABCD的体积的最的中点时，，则当球的直径通过与最大为从而得到四面体大值即可．CDPCDABPCDABP ，作平面，交解：过，使与⊥平面【解答】PCDh ，的距离为设点到V=2h2 ，××则有××ABCDh2 ，当球的直径通过与最大为的中点时，ABCD．则四面体的体积的最大值为页（共第1222页）．故答案为：三．解答题：解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．aa17aa=7a成等比数列．．已知公差不为零的等差数列{，且}中，，，9n342 aⅠ的通项公式；）求数列（{}nSSbb=nⅡ．，求证：≤（（））数列{，设其前}满足＜项和为nnnn数列的求和；数列递推式．【考点】2d=7aaaIad0a=7a，成等比数列．【分析】（可得）设等差数列{，}的公差为且≠，由+，，1234n9a8d =ad，联立解得即可得出．+（（+））11n=4b==ⅠⅡ项和公（×）由（（）知：）．再利用等比数列的前n式、数列的单调性即可得出．Iad0aa=7aa成等比数列．，且，【解答】（，∵）解：设等差数列{}的公差为，≠9n432=aad8da2d=7a =a?，（++，即）∴+（，）19121 =1d=3a．，联立解得1 2=3naa．﹣∴数列{}的通项公式nn=4==bⅠⅡ．））知：×（（）证明：由（nS==．∴∈nS．≤＜∴n18”“活动，学生．某学校为倡导全体学生为特困学生捐款，举行一元钱，一片心，诚信用水5天的售出在购水处每领取一瓶矿泉水，便自觉向捐款箱中至少投入一元钱．现统计了连续和收益情况，如表：x 6 7 6 6 5 （单位：箱）售出水量y150 165 142 125 148 （单位：元）收益8Ⅰ箱水，求预计收益是多少元？若某天售出（）Ⅱ期中考试以后，学校决定将诚信用水的收益，以奖学金的形式奖励给品学兼优的特）（500500200201名，获困生，规定：特困生考入年级前名，获一等奖学金﹣元；考入年级第13页（共22页）300501名以后的特困生将不获得奖学金．甲、考入年级二等奖学金乙两名学生获一等元；．奖学金的概率均为，获二等奖学金的概率均为，不获得奖学金的概率均为1）在学生甲获得奖学金条件下，求他获得一等奖学金的概率；（2）已知甲、乙两名学生获得哪个等级的奖学金是相互独立的，求甲、乙两名学生所获得（X的分布列及数学期望奖学金总金额2 =182=146 = = =6 xy=4420 x．，，﹣附：，，，iii线性回归方程；离散型随机变量及其分布列；离散型随机变量的期望与方差．【考点】x=8Ⅰ代入求出即可；）求出、，从而求出回归方程，将【分析】（BA”Ⅱ“”“，求出概率即）设事件为学生甲获得一等奖学金学生甲获得奖学金为，事件（可；PXⅢ）的值，求出其分布列和期望值即可．（（）计算对应的===20…Ⅰ）【解答】解：（206=26=x=146…×﹣﹣=20x=26，∴=20826=186 x=8（元）×当+时，8186…元即某天售出箱水的预计收益是1 AB””Ⅱ““，则，事件学生甲获得奖学金学生甲获得一等奖学金（）设事件为为（）===P，…即学生甲获得奖学金的条件下，获得一等奖学金的概率为1000 600300X20500800，，，，（），的取值可能为===PX=300X=0P=，××，（×（））P=P=X=600=X=500=，）××，）=P==X=800X=1000P=，××（（），）X的分布列为即1000 600 500 3000 X 800页）22页（共14第P…X的数学期望=600600300500EX=08001000…（元）（×）+×+×+×+×+×BD19EFABCDBDBD=BC=CD=BDEFBDEF=DE=，，于梯形．所在平面垂直于平面∥，BCDEAB=AD=2．，⊥ABCD DEⅠ；）求证：（⊥平面AEFCEFⅡ所成的锐二面角的余弦值．（求平面）与平面二面角的平面角及求法；直线与平面垂直的判定．【考点】DEBDEFACBDOACBDACⅠ，进而，推导出【分析】（，从而）连接⊥，交于⊥平面ACDEBCDEABCD．⊥⊥平面⊥，能证明，再由zxOCyOAOBⅡ轴建立空间直角坐标系，利用向量法能求出（轴，）分别以为，轴，，CEFAEF 所成的锐二面角的余弦值．与平面平面OACBDⅠ，【解答】证明：（，交）连接于BD=BC=CDAB=ADACBD，，且⊥∵，∴ACABCDBDBDEFABCD，?⊥平面平面，交线为∵平面，且ACBDEF，∴⊥平面ACBDEFDEDE，平面⊥，∴∵? BCACABCD BC=CDEDE…∩．，且又，∴⊥⊥平面BDODEFEF=EFBDBDOⅡ是平行四边形，，且∥，中点，∴解：（是）∵OFOFDEABCD…，∥∴⊥平面，∴OAzxyOBOC轴建立空间直角坐标系，轴，分别以，为，轴，1E001F0100C0A10，）（，﹣，，），，，，）（（，，，），（﹣10=0=110=，（（﹣，，，）（，），），AEFzyx=，），，设平面的法向量（1=x=101…，，（，得，），取则CEF，的法向量设平面第15页（共22页）10a=1=…，，﹣则，取，，得）（===cos．∴＞＜AEFCEF…．即平面所成的锐二面角的余弦值为与平面P0A20Bx22Bx20A2，（（，，），．在平面直角坐标系中，已知）（﹣（，），，﹣，）22112 O= xy?λ?λ．为坐标原点）（使得，，若实数）（CP PⅠ的轨迹类型；的方程，并讨论点（）的轨迹求点C= B02lPⅠⅡλ相交于不时，是否存在过点与（（的轨迹，（）中点））的直线当kEBF1EF 的取在，？若存在，求出该直线的斜率之间）同的两点，且，＜（＜值范围；若不存在，请说明理由．轨迹方程；平面向量数量积的运算．【考点】2222P=4x1y 1λⅠλ点+﹣由题设条件，知（）﹣（（【分析】）），由此进行分类讨论能得到的轨迹类型．xSP=C=1S=xλⅡ，由|：（）当|时，点|的轨迹|的方程为：．OBFOBE△△2122k11EF1y=kx2）（++，联立方程可得，＜＜，即＜＜．设直线直线方程为：2 8kx4=0x，由此能够推导出直线的斜率的取值范围．++22222 x= 44y=xλⅠλ??，﹣（﹣解：【解答】（）由）+得：2222CP 1xy1=4…λλ的方程（﹣的轨迹）为点即（﹣）+ y=01=…①λ轨迹为一条直线，时方程为±22 y=4x=0…②λ轨迹为圆，时方程为+第16页（共22页）1=1010…③λ∪轨迹为椭圆，∈（﹣，，）+（）时方程为1=1 1…∞∞∪④λ轨迹为双曲线﹣（）时方程为，∈（﹣+，﹣）C=1 =P…λⅡ的方程为的轨迹）当时，点（xSExyFxyS=x|，|），|（|设（，，∴）：：OBFOBE △△212112x111x…＜，由题意可得＜由＜＜，，即＜＜同号，∴212 y=kxEF+的斜率存在，设其方程为由题意得直线224=0 x2k18kx+代入椭圆方程得：（+）+222 0k=64k1162k，）＞∵△+＞﹣，∴（=xxxx=…，+﹣2211，，则设，∴，∴，，∴∵，即，∴k…∪）为所求，，）（∴∈（2 bxalnxx21f=x．+．设函数﹣（）b=2xxxxaxfⅠ的取值范围；＜，求实数（）有两个极值点，（）若，函数，且2211f xⅠⅡ；）的条件下，证明：（）在（）＞﹣（20efe1x21xb Ⅲ）＜（）为自然对数的底数）（，使得，都存在]若对任意（）∈[，∈（，a的取值范围．成立，求实数利用导数研究函数的极值；利用导数求闭区间上函数的最值．【考点】xfaⅠ的范围即可；）求出（【分析】（）的导数，结合二次函数的性质求出第17页（共22页）22lntt=t2t2t2tfx=2x2x2lnxFⅡ＜）（，）求出﹣（﹣）（﹣）+（+﹣（）（，令2222Ft=212tlntFt1 Ft，从而证出结论；（（﹣（）＜）））＞，得到，根据函数的单调性求出（）2=egb=g=xbx1alnxb12x1gbⅢ﹣﹣）上+（（+∈（，（，）∈[），）（]）令，得到在max22aalnx=xxxxalnx0hx 的范围，求出函数的单调性，从而﹣++（++）＜，通过讨论有解，令a的范围即可．确定2 alnxfxb=2fx=x02x∞Ⅰ，【解答】解：（（）由已知，+时，+（）的定义域为（），）﹣，=fx′，（）求导数得：xx=0fxxxfx′，∵，（））有两个极值点（，有两个不同的正根，21212 2xa2xa=0=48a0，故＜﹣﹣，即+＞的判别式△a0xx=0=1xx?；的取值范围为（）＞且，+，所以，21122=0a=2xxx1f′ⅠⅡ，，得（）得，＜﹣＜）（且）由（2222lnxx=2x2xf，）﹣﹣+（∴）（222222 t2t1Ft=tlnt2t2t，令＜（））），﹣（+（＜﹣lnt=2t12tF，）（（）则﹣1tt1F0Ft′）上是增函数）时，）在（（（∈（，）＞，，∴当=tFF，∴（（）＞）xf；∴）＞﹣（22 2gb=xbxbalnx1Ⅲ，[）令]（+），﹣，+∈（gx1ebb的递减的一次函数，，），所以由于）为关于∈（（0b12xefx1e）＜为自然对数的底数），]，都存在，使得∈（（，根据题意，对任意（∈[）成立，2 xxalnx01x1egb=g=有解，+则＜∈（），）上+（﹣）（max2 x0=xx1alnxxehhx 即可，﹣，+（+令（）使得），则只需存在）＜∈（002 =4x10x=2xxh=x1xaxeω′ω′，﹣（∈（（）），令（，））﹣，+由于＞，1ex1x=1aωωω，（）∴）＞（）在（+，）上单调递增，∴（0h10ax0x1a′①ω，）＞，∴≥﹣（时，当（+≥）＞，即=01exh1hxh，不符合题意，（（∴）＞（）在（），）上是增函数，∴2 e0=11aa101a=2eeaωω②，，（﹣当+＜，即）＜﹣时，（）++＜2 1x2eae0e10xeωⅰω恒成立）＞（）若（）＜，即≤﹣＜﹣时，在∈（，）上（xhh0x1e′）上单调递减，）在（恒成立，∴即（）＜（，第18页（共22页）x1ehxh1=0 ，符合题意，（（∴存在∈（）＜，）），使得002ea11e02emm=0 eωⅱω，）上存在实数﹣＜（＜﹣（，使得）若时，在（（））＞，，即1mx0hx0 ′ω恒成立，）＜）上，∴在（恒成立，即（（）＜hx1e ）上单调递减，（，）在（∴x1ehxh1=0 ，符合题意，∈（）＜，）），使得（（∴存在00a1b12x1ee为自然对数的底数）（∈（，∈[，，）综上所述，当]＜﹣，都存在时，对任意fx0 成立．（使得）＜2223244-1：[选修请考生在三题中任选一题作答，、如果多做，、则按所做的第一题记分．]几何证明选讲22ABCADBACCCDBC的延．已知在△的平分线，以中，为半径的半圆交为∠为圆心，EADFAEMB=CAEFEFD=43 ．长线于点∠，交：于点，且∠，交，于点：AF=DF Ⅰ；（）求证：AED Ⅱ的余弦值．（）求∠与圆有关的比例线段．【考点】DEFAF=DFAEFⅠ得出；，可以证明△）欲证≌△【分析】（DMMEAEDⅡ，由已知条件，勾股定理，切割线定理的推论可）求∠：的余弦值，即求（以求出．ADBACⅠ，平分∠（）∵【解答】证明：BAD=DAC．∠∴∠B=CAE，∠∵∠DACCAEBADB=．∴∠++∠∠∠BBADADE=，+∵∠∠∠DAEADE=．∠∴∠EA=ED．∴CDE的直径，∵是半圆DFE=90°．∴∠AF=DF…．∴DMⅡ，）连结解：（DEC的直径，∵是半圆DME=90°．∴∠3FEFD=4，∵：：FD=3xFE=4x．∴可设，则DE=5x．由勾股定理，得AF=FD=3x AE=DE=5x，∴AE AD=AMAF??∵5x=AM3x3x3x?）+∴（第19页（共22页）AM=3.6x∴ME=AEAM=5x3.6x=1.4x ﹣∴﹣cosAED==RtDME…．△∠在中，4-4][选修坐标系与参数方程COx23轴的正半轴为极轴建立极坐标系，已知曲线为极点，．在直角坐标系中，以原点2At4cos1=0lθρρ的为参数）的参数方程为：+﹣（，直线，点的极坐标方程为CPQ2l两点．相交于与曲线极坐标为（，，），设直线ClⅠ的普通方程；写出曲线）的直角坐标方程和直线（OPOQAQ AP??Ⅱ?的值．||（|）|求||||参数方程化成普通方程；简单曲线的极坐标方程．【考点】C Ⅰ的直角坐标方程，消去参数即）（利用极坐标与直角坐标互化直接写出曲线【分析】l的普通方程；可得到直线Q A3PQttPⅡ的极点对应的参数分别为的直角坐标为（，，），设点（），，，点2122=32ytx．将））+，（（为参数）与（坐标分别为（﹣）OQOPAPtt=1AQ=1APAQ???的值．||联立，得：|||，||||||，转化求解|2122 4xxy1=0CⅠ，即+﹣的直角坐标方程为：【解答】解：（+）曲线22 2y=3x…+﹣）（xly=0 …﹣直线的普通方程为QPtPA3QtⅡ的极坐，点对应的参数分别为）点，的直角坐标为（，），设点，，（21．，（）标分别为（）222 2t1=0xt2y=3t，﹣联立得：）+++将（为参数）与（=1 AQAP=1tt …|由韦达定理得：，|||212 cos=41=0Rθρθρρ联立得：）与圆的极坐标方程将直线的极坐标方程（∈﹣+第20页（共22页）OQ=1 =1OP…ρρ|，由韦达定理得：，即|||21 t=1OPOQ=tAPAQ…ρρ．所以，||||||||||2211 4-5]选修：不等式选讲[ 1x=x24f．）﹣（|．已知函数| 8fx41fx；（）≥（））解不等式+（+abafb1a0f2a1．＜）＞，且|≠|，求证：（））若|（|＜，|（|绝对值不等式的解法；不等式的证明．【考点】=34=x1xfxfxⅠ，分类讨论求得）|+||+【分析】（|）根据（﹣）++（8xfx4f的解集．）+不等式+（（）≥220baa1ba1b1ab1abⅡ，﹣|||＜|，|||＜，可得|（要证的不等式即）|﹣﹣﹣|＞|﹣＞|，根据从而得到所证不等式成立．3=fx4=x1xfxⅠ，++）|+|（|）+（|【解答】解：（）﹣5x32x28x；＜﹣≥时，由﹣≤﹣﹣当，解得83x1fx不成立；≤（≤）≤当﹣时，2x28x3x1．+，解得当≥＞≥时，由35xxfxfx44x．，或所以，不等式}（{）+|（+≥）≤≤﹣的解集为aabfafab1bⅡ．|（）＞|＞|，即（）||﹣﹣|（）a1b1，|因为||＜＜，|2222222210ba1abab=ab2ab12abb=a1，﹣））＞（|所以|﹣|﹣﹣|（（﹣﹣+）﹣（）﹣+ 1abba，故所证不等式成立．|||所以﹣|＞﹣第21页（共22页）2320168日年月第22页（共22页）。

吉林省长春市普通高中2016届高三第一次质量监测(一)数学(理)试题(扫描版)

长春市普通高中2016届高三质量监测（一）数学（理科）试题参考答案及评分标准一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分）1. A2. C3. D4. D5. D6. B7. A8. C9. B 10. A 11. B 12. A 简答与提示：1. 【命题意图】本题考查集合中元素的计算与集合的性质.【试题解析】A 题意可知，集合{|,,}{0,1,2,3,4}B z z x y x A y A ==+∈∈=，故选A.2. 【命题意图】本题考查复数的除法运算与复数虚部的概念.【试题解析】C21(1)21(1)(1)2i i ii i i i ++===--+，虚部为1，故选C. 3. 【命题意图】本题考查抛物线的准线的概念，是对学生的基础知识的直接考查. 【试题解析】D 由题意，抛物线24y x =-的准线为1x =，故选D. 4. 【命题意图】本题主要对向量的基本运算进行考查.【试题解析】D ()()(4,2)2a b a b a ++-==-，()()(1,8)2a b a b b +--==-，则,a b的夹角余弦值为cos ||||20a b a b θ⋅===⋅⋅. 故选D. 5. 【命题意图】本题是对逻辑问题的综合考查，全面考查考生对各种逻辑问题的理解.【试题解析】D 选项A 中，由奇函数定义可知，“(0)0f =”是“函数()f x 是奇函数”的既不充分也不必要条件；选项B 中，若p ：0x ∃∈R ，20010x x -->，则p ⌝：x ∀∈R ，210x x --≤；选项C 中，若p q ∧为假命题，只能判定,p q 中至少有一个为假命题；选项D 的说法正确，故选D.6. 【命题意图】本题考查线性规划以及目标函数的几何意义等知识.【试题解析】B 图为可行域，而目标函数2z x y =-可化为2y x z =-，即z -为该直线在y 轴上的截距，当直线过(0,1)时，截距取得最大值，此时z 取得最小值为1-，故选B.7. 【命题意图】本题考查程序框图的基本运作过程，同时通过程序框图也对数列中的裂项求和进行考查.【试题解析】A 由程序框图，当2015k =时，还应该进入循环，而当2016k =时，不再进入循环，故应填2015k ≤，故选A.8. 【命题意图】本题主要考查解三角形，以及利用余弦定理搭建三角形中边与角的关系式.【试题解析】C 由题意，设CD BD x ==，根据余弦定理可得，2294944cos 23232x x C x x +-+-==⋅⋅⋅⋅，可得2x =且cos C =sin C ，故1sin 2ABCSAC BC C =⋅⋅=，故选C. 9. 【命题意图】本题主要考查考生对三视图的理解，以及简单几何体表面积的计算.【试题解析】B棱锥，且顶点在底面上的投影为斜边的中点，据此可求得该几何体的表面积为6故选B.10. 【命题意图】本题考查对图像特征的理解，以及利用求导等手段发现函数特点的方法.【试题解析】A 函数3||x x y e=为奇函数，且0|0x y ='=，可推出在原点处切线的斜率为0，故选A.11. 【命题意图】本题考查三角变换公式，以及sin()y A x ωϕ=+中各个量对函数图像的影响.【试题解析】B 由题1()sin()cos()sin(2)6623f x x x x πππ=++=+，可知①④正确，故选B.12. 【命题意图】本题是利用导数考查抽象函数的特征问题，目的在于考核考生对导数的理解，包括函数的特征点，以及导数对函数图像的影响等.【试题解析】A 当0x =时，可得()0f x >；当0x >时，将22()()f x xf x x '+>的两侧同时乘以x 可得232()()xf x x f x x '+>，即23[()]0x f x x '>>，则2()x f x 在0x >时单调递增，即22()0(0)0x f x f >⋅=，所以()0f x >；当0x <时，将22()()f x xf x x '+>的两侧同时乘以x 可得232()()xf x x f x x '+<，即23[()]0x f x x '<<，则2()x f x 在0x <时单调递减，即22()0(0)0x f x f >⋅=，所以()0f x >，综上可得到()0f x >. 故选A.二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分）13. 160- 14. 1215. 14π16. 简答与提示：13. 【命题意图】本题考查二项展开式系数问题.【试题解析】常数项为333461(2)()160T C x x=-=-.14. 【命题意图】本题考查正态分布的基本知识，特别是正态分布2(,)N μσ中各个量的意义.【试题解析】由正态分布的性质可知，34122m -+==.15. 【命题意图】本题考查了球的内接几何体问题，特别涉及到了长方体，以及长方体的局部几何体的外接球问题. 【试题解析】由条件，可将三棱锥S ABC -放入如图所示的长方体中，设其长宽高分别为,,a b c ，有22213,a b SC +== 22222210,5c b SB a c SA +==+==，得到22214a b c ++=，AB C S cba14π. 16. 【命题意图】本题通过平面几何的性质考查双曲线的标准方程以及离心率，对学生的运算求解能力提出很高要求，是一道较难题.【试题解析】设双曲线的标准方程为22221x y a b-=(0,0)a b >>，0(,0),(,)2c A c C y -，由23A E E C =，得022(,)55y c E -，从而满足2202222022144412525y c a b y c a b ⎧-=⎪⎪⎨⎪-=⎪⎩，消去202y b，解得227c a =三、解答题17. (本小题满分12分)【命题意图】本题考查数列通项公式及其前n 项和公式的求法，其中涉及错位相减法在数列求和问题中的应用. 【试题解析】 (1) 证明：由条件可知，112n n n n S S S ++-=+，即1122n n n S S ++-=，整理得11122n n n nS S ++-=，所以数列{}2nn S 是以1为首项，1为公差的等差数列. （6分） (2) 由(1)可知，112nn S n n =+-=，即2n n S n =⋅，令12n n T S S S =+++ 212222n n T n =⋅+⋅++⋅ ①21212(1)22n n n T n n += ⋅++-⋅+⋅ ②①-②，212222n n n T n +-=+++-⋅，整理得12(1)2n n T n +=+-⋅. （12分）18. (本小题满分12分)【命题意图】本小题主要考查学生对概率知识的理解，以及统计案例的相关知识，同时考查学生的数据处理能力.【试题解析】解：(1) 设所求事件概率为P ，则121283202895C C P C ==. （6分）(2)20(126148)400.440 2.7062026142091k ⨯-⨯==≈<⨯⨯⨯所以没有90%的把握认为“睡眠时间与性别有关”（12分）19. (本小题满分12分) 【命题意图】本小题以三棱柱为载体，考查立体几何的基础知识. 本题通过分层设计，考查了二面角等知识，考查学生的空间想象能力、推理论证能力和运算求解能力. 【试题解析】解：（1）由题意PC PB ==，在三棱柱中，由1AA ⊥平面ABC且2AB AC ==可得，2PA =，故点P 的位置为1AA 的三等分点，且靠近1A 处.（4分）（2）以A 为坐标原点，CA 方向为x 轴，AB 方向为y 轴，1AA 方向为z 轴，建立如图所示的空间直角坐标系，有11(0,0,2),(0,2,0),(2,0,0),(0,2,3),(2,0,3)P B C B C --设平面11PB C 的一个法向量为(,,)n x y z =，有1100n PB n PC ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩，得2020x z y z +=⎧⎨+=⎩，令2z =-，得(1,1,2)n =-，同理可得平面PBC 的一个法向量为(1,1,1)m =，可得0m n ⋅=，所以平面PBC 与平面11PB C 所成角为直二面角，大小为90︒.（12分）20. (本小题满分12分)【命题意图】本小题考查椭圆的标准方程的求取，直线和椭圆的位置关系及函数最值的求法，考查学生的逻辑思维能力和运算求解能力.【试题解析】(1) 设点P 的坐标为(,)x y ，由题意可知14PA PB k k ⋅=-，即1224y y x x ⋅=-+-，因此点P 的轨迹方程为2214x y +=(2)x ≠±. （5分） (2) 由题意知OD EF ⊥，设:EF y kx =(0)k <，1:OD y x k=-设111122(,),(,),(,),E x y F x y D x y --由2214x y y kx⎧+=⎪⎨⎪=⎩，消去y 得22(14)4k x +=，所以1||2|EF x ==同理可得2x =，||OD ==所以1||||2DEF S OD EF ∆===当21112k =+，即21,1k k ==-时，DEFS ∆取最小值，此时D . （12分） 21. (本小题满分12分)【命题意图】本小题主要考查函数与导数的知识，具体涉及到导数的运算，用导数来研究函数的单调性等，以及函数图像的判定，考查学生解决问题的综合能力.【试题解析】解：(1) ()1x f x e ax =--，()x f x e a '=-，当0a ≤时，()0f x '>，则()f x 在R 上单调递增；当0a >时，令()0x f x e a '=-=，得ln x a =，则()f x 在(,ln ]a -∞上单调递减，在(ln ,)a +∞上单调递增. （4分） (2) 不妨先证明0()g x x <<(0)x >，即0ln(1)ln x e x x <--<，先证ln(1)ln 0x e x -->，即1xe x >+，显然成立. 再证ln(1)ln x e x x --<，只需证1xxe xe -<，设()1x x h x xe e =-+，则()0x x x x h x e xe e xe '=+-=>，即()(0)0h x h >=，0()g x x <<得证.由当0a ≤时，则()f x 在R 上单调递增，可知(())()f g x f x <，当01a <≤时，ln 0a ≤，又()f x 在(ln ,)a +∞上单调递增，(())()f g x f x <，当1a >时，()f x 在(0,ln )a 上单调递减，(())()f g x f x >与条件不符.综上1a ≤. （12分）22. (本小题满分10分)【命题意图】本小题主要考查平面几何的证明，具体涉及到三角形相似等内容. 本小题重点考查考生对平面几何推理能力.【试题解析】 (1) 因为AC AB =，所以ABC ACB ∠=∠，又因为BC BE =，所以BEC ECB ∠=∠，所以BEC ABC ∠=∠，所以2A EBC F ∠=∠=∠. （5分）(2) 由(1)可知ABC ∆∽BEC ∆，从而EC BCBC AC=，由1,2,3AE EC AC ===，得BC =（10分）23. (本小题满分10分)【命题意图】本小题主要考查极坐标系与参数方程的相关知识，具体涉及到极坐标方程与平面直角坐标方程的互化、利用曲线的参数方程的几何意义求解曲线上点到直线的距离等内容. 本小题考查考生的方程思想与数形结合思想，对运算求解能力有一定要求.【试题解析】 (1) 曲线C 的普通方程为2213x y +=，直线l 的直角坐标方程为40x y +-=. （5分）(2) 设点P 坐标为,sin )θθ，点P 到直线l 的距离)3d πθ==+所以点P 到直线l距离的最大值为（10分）24. (本小题满分10分)【命题意图】本小题主要考查不等式的相关知识，具体涉及到绝对值不等式解法等内容. 本小题重点考查考生的化归与转化思想.【试题解析】 (1) 由于()|||5||5|f x x a x a =-+-≥-，所以()3|5|3f x a ≥⇔-≥，解得2a ≤或8a ≥.（5分）(2) 72,2()|2||5|3,2527,5x x f x x x x x x -<⎧⎪=-+-=≤≤⎨⎪->⎩，原不等式等价于2272815x x x x <⎧⎨-≥-+⎩，或2253815x x x ≤≤⎧⎨≥-+⎩，或2527815x x x x >⎧⎨-≥-+⎩解得25x ≤≤{|25x x ≤≤.（10分）。

吉林省长春市普通高中2016届高三质量监测(四)理综物理试题含答案

长春市普通高中2016届高三质量监测（四）理科综合能力测试第Ⅰ卷二、选择题：本题共8小题，每小题6分.在每小题给出的四个选项中，第14~18小题只有一项符合题目要求，第19~21小题有多项符合题目要求。

全部选对的得6分,选对但不全的得3分，有选错的得0分.14．a、b两个质点相对于同一参考系在同一直线上运动的t x-图象如图所示。

关于质点a、b的运动，下列说法正确的是A．质点a比质点b晚1 s开始运动B．a、b两个质点运动的出发点相距5mC．在0～3 s时间内，质点a、b的位移相同D．质点a运动的速率比质点b运动的速率大15．如图所示，质量为m的木块在水平恒力F作用下静止在斜面体上，斜面体倾角为α，质量为M，静止在水平桌面上。

下列说法正确的是A．木块受到的摩擦力方向沿斜面向下B．木块对斜面体的压力大小是αmgcosC．桌面对斜面体的摩擦力大小是零D．桌面对斜面体的支持力大小是g m(+M)16．如图所示，电路中三个电阻R1、R2和R3的阻值分别为R、2R 和4R.当开关S1断开,S2闭合时，电源输出功率为P；当开关S1闭合，S2断开时,电源输出功率也为P；则电源电动势和内阻分别为A．PR3，R23,R4B．PRC．PR9，R29，R4D．PR17．2016年2月11日，美国科学家宣布探测到引力波的存在,引力波的发现将为人类探索宇宙提供新视角，这是一个划时代的发现。

在如图所示的双星系统中，A、B两个天体在相互之间的引力作用下绕AB连线上的某一点O做匀速圆周运动,已知天体A的质量约为太阳质量的25倍，天体B的质量约为太阳质量的40倍,两天体之间的距离L=2×102km，太阳质量M=2×1030kg,万有引力常量G=6。

67×10—11N·m2／kg2。

若两天体在环绕过程中辐射出引力波的频率与两天体做圆周运动的频率具有相同的数量级，则根据上述信息估算该引力波频率的数量级是（可近似认为102≈π）A．108 Hz B．104 HzC．106 Hz D．102 Hz18．现代科学研究中常要用到高速电子，电子感应加速器就是利用感生电场使电子加速的设备。

吉林省长春市普通高中2016届高三教学质量监测理数试题解析(解析版)

第Ⅰ卷（共60分）一、选择题：本大题共12个小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.已知集合{012}A =，，，{|,,}B z z x y x A y A ==+∈∈，则B =( ) A. {}0,1,2,3,4 B. {}0,1,2 C. {}0,2,4 D. {}1,2【答案】A 【解析】试题分析：题意可知，集合{|,,}{0,1,2,3,4}B z z x y x A y A ==+∈∈=，故选A. 考点：集合中元素的计算与集合的性质. 2.复数1+1ii-（i 是虚数单位）的虚部为( ) A. i B. 2i C. 1 D. 2 【答案】C 【解析】试题分析：21(1)21(1)(1)2i i ii i i i ++===--+，虚部为1，故选C. 考点：复数的除法运算与复数虚部的概念. 3.抛物线24y x =-的准线方程为( ) A. 1y =- B. 1y = C. 1x =- D. 1x =【答案】D 【解析】试题分析：由题意，抛物线24y x =-的准线为1x =，故选D. 考点：抛物线的准线的概念.4.已知向量a ，b 满足(5,10)=-a +b ，(3,6)-=a b ，则a,b 夹角的余弦值为( )A.C.【答案】D 【解析】试题分析：()()(4,2)2a b a b a ++-==-，()()(1,8)2a b a b b +--==-，则,a b的夹角余弦值为cos ||||20a b a b θ∙===∙⨯故选D. 考点：向量的基本运算. 5.下列说法中正确的是( )A.“(0)0f =”是“函数()f x 是奇函数”的充要条件；B. 若2000:,10p x x x ∃∈-->R .则2:,10p x x x ⌝∀∈--<R ；C. 若p q ∧为假命题,则,p q 均为假命题；D. “若6πα=,则1sin 2α=”的否命题是“若6πα≠,则1sin 2α≠”. 【答案】 D 【解析】试题分析：选项A 中，由奇函数定义可知，“(0)0f =”是“函数()f x 是奇函数”的既不充分也不必要条件；选项B 中，若p ：0x ∃∈R ，20010x x -->，则p ⌝：x ∀∈R ，210x x --≤；选项C 中，若p q ∧为假命题，只能判定,p q 中至少有一个为假命题；选项D 的说法正确，故选D. 考点：对逻辑问题的综合考查.6.若实数,x y 满足2211x y y x y x -⎧⎪-+⎨⎪+⎩≥≥≤，则2z x y =-的最小值为( )A. 2-B. 1-C. 1D. 2【答案】B 【解析】试题分析：图为可行域，而目标函数2z x y =-可化为2y x z =-，即z -为该直线在y 轴上的截距，当直线过(0,1)时，截距取得最大值，此时z 取得最小值为1-，故选B.考点：线性规划.7.执行如图所示的程序框图,输出20152016s =.那么判断框内应填( )A. 2015?k ≤B. 2016?k ≤C. 2015?k ≥D. 2016?k ≥ 【答案】A考点：程序框图.8.在ABC ∆中, 2,3AB AC ==,BC 边上的中线2AD =,则ABC ∆的面积为( )A.【答案】C 【解析】试题分析：由题意，设CD BD x ==，根据余弦定理可得，2294944cos 23232x x C x x +-+-==⋅⋅⋅⋅，可得x =且cos C =sin C =1sin 2ABCS AC BC C =⋅⋅=C.考点：解三角形.9.已知几何体的三视图如图所示，则该几何体的表面积为( )A. 4+B. 6+C. 2+D. 2+【答案】B【解析】的三棱锥，且顶点在底面上的投影为斜边的中点，据此可求得该几何体的表面积为6故选B.考点：三视图.10.已知函数3||xxye=,则其图像为( )【答案】A 【解析】试题分析：函数3||x x y e=为奇函数，且0|0x y ='=，可推出在原点处切线的斜率为0，故选A.考点：函数图象. 11.函数()sin()cos()66f x x x ππ=++，给出下列结论: ① ()f x 的最小正周期为 π ②()f x 的一条对称轴为6x π=③()f x 的一个对称中心为(,0)6π④ ()6f x π-是奇函数其中正确结论的个数是( ) A. 1B. 2C. 3D. 4【答案】B考点：三角变换.12..设函数()f x 在R 上的导函数为()f x ',且22()()f x xf x x '+>.下面的不等式在R 上恒成立的是( )A. ()0f x >B. ()0f x <C. ()f x x >D. ()f x x <【答案】A 【解析】试题分析：当0x =时，可得()0f x >；当0x >时，将22()()f x xf x x '+>的两侧同时乘以x 可得232()()xf x x f x x '+>，即23[()]0x f x x '>>，则2()x f x 在0x >时单调递增，即22()0(0)0x f x f >⋅=，所以()0f x >；当0x <时，将22()()f x xf x x '+>的两侧同时乘以x 可得232()()xf x x f x x '+<，即23[()]0x f x x '<<，则2()x f x 在0x <时单调递减，即22()0(0)0x f x f >⋅=，所以()0f x >，综上可得到()0f x >. 故选A.考点：利用导数考查抽象函数的特征问题.第Ⅱ卷（共90分）二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）13.61(2)x x-的展开式中常数项是___________. 【答案】-160 【解析】试题分析：常数项为333461(2)()160T C x x=-=-.考点：二项展开式系数问题.14.已知随机变量ξ服从正态分布()2N m σ，，若(3)(4)P P ξξ-=≤≥，则m =________. 【答案】12【解析】试题分析：由正态分布的性质可知，34122m -+==. 考点：正态分布.15.已知三棱锥S ABC -中, SA BC ==,SB AC ==SC AB ==则该三棱锥的外接球表面积为________. 【答案】14π 【解析】试题分析：由条件，可将三棱锥S ABC -放入如图所示的长方体中，设其长宽高分别为,,a b c ，有22213,a b SC +== 22222210,5c b SB a c SA +==+==，得到22214a b c ++=，所以长方体的体对角14π.考点：球的内接几何体问题.16. 如图,等腰梯形ABCD 中, 2AB DC =,32AE EC =.一双曲线经过C ,D ,E 三点,且以A ,B 为焦点,则该双曲线离心率是 ________.【解析】试题分析：设双曲线的标准方程为22221x y a b -=(0,0)a b >>，0(,0),(,)2c A c C y -，由23AE EC =，得22(,)55y c E -，从而满足2202222022144412525y c a b y c a b ⎧-=⎪⎪⎨⎪-=⎪⎩，消去202y b ，解得227c a =. 考点：双曲线的标准方程以及离心率.三、解答题（本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.） 17.(本小题满分12分)已知数列{}n a 的前n 项和为n S ,12a = ,且满足112()n n n a S n +*+=+∈N . (1)证明数列2n n S ⎧⎫⎨⎬⎩⎭为等差数列; (2)求：12n S S S +++.【答案】（1）证明详见解析；（2）12(1)2n n T n +=+-⋅. 【解析】试题分析：本题考查数列通项公式及其前n 项和公式的求法，其中涉及错位相减法在数列求和问题中的应用，考查学生的分析问题解决问题的能力、转化能力、计算能力.第一问，利用1n n n a S S -=-，由112()n n n a S n +*+=+∈N 将11n n n a S S ++=-，经整理得数列2n n S ⎧⎫⎨⎬⎩⎭为等差数列；第二问，先利用第一问的结论，利用等差数列的通项公式，得到n S ，再利用错位相减法求和，在计算过程中需用等比数列的前n 项和公式求和化简.试题解析：(1) 证明：由条件可知，112n n n n S S S ++-=+，即1122n n n S S ++-=，整理得11122n n n n S S ++-=，所以数列{}2nnS 是以1为首项，1为公差的等差数列. （6分）(2) 由(1)可知，112nn S n n =+-=，即2n n S n =⋅，令12n n T S S S =+++212222n n T n =⋅+⋅++⋅①21212(1)22n n n T n n += ⋅++-⋅+⋅ ②①-②，212222n n n T n +-=+++-⋅，整理得12(1)2n n T n +=+-⋅. （12分）考点：数列通项公式、等比数列的前n 项和公式，错位相减法. 18.(本小题满分12分)为了调查某高中学生每天的睡眠时间,现随机对20名男生和20名女生进行问卷调查,结果如下: 女生:男生:(1)从这20名男生中随机选出3人,求恰有一人睡眠时间不足7小时的概率; (2)完成下面2×2列联表,并回答是否有90%的把握认为“睡眠时间与性别有关”？2()0.150.100.050.0250.0100.0050.0012.072 2.7063.841 5.024 6.6357.87910.828P K k k ≥（22()()()()()n ad bc K a b c d a c b d -=++++，其中n a b c d =+++）【答案】（1）2895；（2）没有把握. 【解析】试题分析：本小题主要考查学生对概率知识的理解，以及统计案例的相关知识，同时考查学生的数据处理能力，考查学生的分析问题解决问题的能力、转化能力、计算能力.第一问，在睡眠时间不足7小时的人中选1人，在剩余睡眠时间够7小时的人中选2人，即12128C C ，再计算概率；第二问，利用2k 的公式计算，再查表进行比较大小即可判断.试题解析：(1) 设所求事件概率为P ，则121283202895C C P C ==. （6分）(2)220(126148)400.440 2.7062026142091k ⨯-⨯==≈<⨯⨯⨯所以没有90%的把握认为“睡眠时间与性别有关”（12分）考点：概率、统计案例. 19.(本小题满分12分)如图，在三棱柱111ABC A B C -中，1AA ⊥平面ABC ，90BAC ∠=︒，2AB AC ==，13AA =. (1)过BC 的截面交1A A 于P 点,若PBC ∆为等边三角形,求出点P 的位置; (2)在(1)条件下,求平面PBC 与平面11PB C 所成二面角的大小.【答案】（1）点P 的位置为1AA 的三等分点，且靠近1A 处；（2）大小为90︒. 【解析】试题分析：本小题以三棱柱为载体，考查立体几何的基础知识. 本题通过分层设计，考查了二面角等知识，考查学生的空间想象能力、推理论证能力和运算求解能力.第一问，在直角三角形ABC 中计算出BC ，在等边三角形PBC 中计算出PC 和PB ，最后在三角形PAC 中，计算PA ，从而得到点P 的位置；第二问，先根据图中的垂直关系建立空间直角坐标系，通过计算，得到平面11PB C 和平面PBC 的法向量，由于0m n ⋅=，利用向量垂直的充要条件，得到m n ⊥，即平面PBC 与平面11PB C 所成角为直二面角，大小为90︒.试题解析：（1）由题意PC PB ==1AA ⊥平面ABC且2AB AC ==可得，2PA =，故点P 的位置为1AA 的三等分点，且靠近1A 处. （4分）（2）以A 为坐标原点，CA 方向为x 轴，AB 方向为y 轴，1AA 方向为z 轴，建立如图所示的空间直角坐标系，有11(0,0,2),(0,2,0),(2,0,0),(0,2,3),(2,0,3)P B C B C -- 设平面11PB C 的一个法向量为(,,)n x y z =，有1100n PB n PC ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩，得2020x z y z +=⎧⎨+=⎩，令2z =-，得(1,1,2)n =-，同理可得平面PBC 的一个法向量为(1,1,1)m =，可得0m n ⋅=，所以平面PBC 与平面11PB C 所成角为直二面角，大小为90︒.考点：线线垂直、线面垂直、二面角、向量法. 20.(本小题满分12分)设点A ,B 的坐标分别为(2,0)-,(2,0),直线AP ,BP 相交于点P ,且它们的斜率之积是14-. (1)求点P 的轨迹C 的方程;(2) D ,E ,F 为曲线C 上的三个动点, D 在第一象限, E ,F 关于原点对称,且||||DE DF =,问DEF ∆的面积是否存在最小值?若存在,求出此时D 点的坐标;若不存在,请说明理由.【答案】（1）2214x y +=(2)x ≠±；（2）DEF S ∆取最小值，此时D .【解析】试题分析：本小题考查椭圆的标准方程的求取，直线和椭圆的位置关系及函数最值的求法，考查学生的逻辑思维能力和运算求解能力.第一问，利用直线AP ,BP 的斜率之积是14-，得到x 与y 的关系式，经过整理即可得到点p 的轨迹方程；第二问，直线与椭圆方程联立，消参，利用两点间距离公式以及韦达定理，得到||OD 和||EF 的长，代入到三角形面积公式中，利用配方法求面积的最小值. 试题解析：(1) 设点P 的坐标为(,)x y ，由题意可知14PA PB k k ⋅=-，即1224y y x x ⋅=-+-，因此点P 的轨迹方程为2214x y +=(2)x ≠±. （5分）(2) 由题意知OD EF ⊥，设:EF y kx =(0)k <，1:OD y x k=-设111122(,),(,),(,),E x y F x y D x y -- 由2214x y y kx ⎧+=⎪⎨⎪=⎩，消去y 得22(14)4k x +=，所以1|||2|EF x ==同理可得2x =||OD ==所以1||||2DEF S OD EF ∆===当21112k =+，即21,1k k ==-时，DEF S ∆取最小值，此时D . （12分）考点：椭圆的标准方程及其几何性质；直线与椭圆的位置关系.21.(本小题满分12分)已知函数()1xf x e ax =--.(1)判断函数()f x 的单调性;(2)若()ln(1)ln x g x e x =--,当(0,)x ∈+∞时,不等式(())()f g x f x <恒成立,求实数a 的取值范围.【答案】（1）详见解析；（2）1a ≤.【解析】试题分析：本小题主要考查函数与导数的知识，具体涉及到导数的运算，用导数来研究函数的单调性等，以及函数图像的判定，考查学生的分析问题解决问题的综合能力、转化能力、计算能力.第一问，对()f x 求导，对a 进行讨论，分0a ≤和0a >两种情况，利用'()0f x >和'()0f x <进行判断；第二问，将当(0,)x ∈+∞时,不等式(())()f g x f x <恒成立,转化为()g x x <和()g x x >，下面先证明0()g x x <<(0)x >，分左右两部分，证明再结合第一问的单调区间判断a 的取值范围.试题解析：(1) ()1x f x e ax =--，()xf x e a '=-，当0a ≤时，()0f x '>，则()f x 在R 上单调递增；当0a >时，令()0xf x e a '=-=，得ln x a =，则()f x 在(,ln ]a -∞上单调递减，在(ln ,)a +∞上单调递增. （4分）(2) 不妨先证明0()g x x <<(0)x >，即0ln(1)ln x e x x <--<，先证ln(1)ln 0x e x -->，即1x e x >+，显然成立.再证ln(1)ln x e x x --<，只需证1x x e xe -<，设()1x x h x xe e =-+，则()0x x x x h x e xe e xe '=+-=>，即()(0)0h x h >=，0()g x x <<得证.由当0a ≤时，则()f x 在R 上单调递增，可知(())()f g x f x <，当01a <≤时，ln 0a ≤，又()f x 在(ln ,)a +∞上单调递增，(())()f g x f x <，当1a >时，()f x 在(0,ln )a 上单调递减，(())()f g x f x >与条件不符.综上1a ≤. （12分）考点：导数的运算、利用导数求函数的最值、利用导数判断函数的单调性.请考生在22、23、24三题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分.22.(本小题满分10分) 选修4—1：几何证明选讲.已知ABC ∆中, AB AC =,以点B 为圆心,以BC 为半径的圆分别交AB ,AC 于两D ,E 两点,且EF 为该圆的直径.(1)求证: 2A F ∠=∠;(2)若112AE EC ==.求BC 的长.【答案】（1）证明详见解析；（2）BC =.考点：平面几何的证明、三角形相似.23.(本小题满分10分) 选修4—4：坐标系与参数方程.已知曲线C 的参数方程为sin x y θθ⎧=⎪⎨=⎪⎩（θ为参数）,直线l 的极坐标方程为sin()4πρθ+=. (1)写出曲线C 的普通方程和直线l 的直角坐标方程;(2)设点P 为曲线C 上的动点,求点P 到直线l 距离的最大值.【答案】（1）2213x y +=，40x y +-=；（2）【解析】试题分析：本小题主要考查极坐标系与参数方程的相关知识，具体涉及到极坐标方程与平面直角坐标方程的互化、利用曲线的参数方程的几何意义求解曲线上点到直线的距离等内容. 本小题考查考生的方程思想与数形结合思想，对运算求解能力有一定要求. 第一问，利用平方关系消参，得到曲线C 的普通方程，利用22x y ρ=+，cos x ρθ=，sin y ρθ=，转化，得到直线l 的直角坐标方程；第二问，利用点到直线的距离公式列出表达式，再利用两角和的正弦公式化简，求三角函数的最值即可得到结论. 试题解析：(1) 曲线C 的普通方程为2213x y +=，直线l 的直角坐标方程为40x y +-=. （5分）(2) 设点P 坐标为,sin )θθ，点P 到直线l 的距离)3d πθ==+所以点P 到直线l距离的最大值为（10分）考点：参数方程与普通方程的转化、极坐标方程与直角坐标方程的转化、点到直线的距离.24.(本小题满分10分) 选修4—5：不等式选讲.已知函数()|||5|f x x a x =-+-.(1)若不等式()3f x ≥恒成立,求a 的取值范围;(2)当2a =时,求不等式2()815f x x x -+≥的解集.【答案】（1）2a ≤或8a ≥；（2）{|25x x ≤≤.【解析】试题分析：本小题主要考查不等式的相关知识，具体涉及到绝对值不等式解法等内容. 本小题重点考查考生的化归与转化思想. 第一问，利用不等式的性质得|||5||5|x a x a -+-≥-，所以不等式()3f x ≥恒成立,可以转化为|5|3a -≥，解绝对值不等式即可得到a 的取值范围；第二问，先把函数()f x 写成分段函数，再利用零点分段法，断开，分别解不等式组，即可得到不等式的解集.试题解析：(1) 由于()|||5||5|f x x a x a =-+-≥-，所以()3|5|3f x a ≥⇔-≥，解得2a ≤或8a ≥. （5分） (2) 72,2()|2||5|3,2527,5x x f x x x x x x -<⎧⎪=-+-=≤≤⎨⎪->⎩，原不等式等价于2272815x x x x <⎧⎨-≥-+⎩，或2253815x x x ≤≤⎧⎨≥-+⎩，或2527815x x x x >⎧⎨-≥-+⎩解得25x ≤≤+{|25x x ≤≤+.（10分）考点：绝对值不等式、不等式的性质.：。

吉林省长春市普通高中2016届高三教学质量监测数学(文)试题含解析

第Ⅰ卷(共60分）一、选择题：本大题共12个小题,每小题5分，共60分。

在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.1。

已知集合{012}A =，，，{|,,}B z z x y x A y A ==+∈∈，则B =（ ) A 。

{}0,1,2,3,4 B 。

{}0,1,2 C 。

{}0,2,4 D 。

{}1,2 【答案】A 【解析】试题分析:题意可知，集合{|,,}{0,1,2,3,4}B z z x y x A y A ==+∈∈=，故选A 。

考点：集合中元素的计算与集合的性质. 2。

复数1+1i i-(i 是虚数单位）等于（）A 。

1 B. 2 C 。

i D 。

2i【答案】C 【解析】试题分析：21(1)21(1)(1)2i i ii i i i ++===--+，故选C 。

考点：复数的除法运算。

3。

抛物线24y x =-的准线方程为( ）A.1y =- B 。

1y = C. 1x =-D 。

1x =【答案】D 【解析】试题分析：由题意，抛物线24yx =-的准线为1x =，故选D 。

考点：抛物线的准线的概念。

4.已知向量a ,b 满足(5,10)=-a +b ，(3,6)-=a b ，则a b •= （） A.12-B 。

20-C 。

12 D.20【答案】D 【解析】试题分析：()()(4,2)2a b a b a ++-==-，()()(1,8)2a b a b b +--==-，则41620a b ⋅=+=，故选D.考点：向量的基本运算。

5.下列说法中正确的是（）A 。

“(0)0f ="是“函数()f x 是奇函数”的充要条件；B 。

若2000:,10p xx x ∃∈-->R.则2:,10p x xx ⌝∀∈--<R ；C. 若p q ∧为假命题，则,p q 均为假命题;D. “若6πα=，则1sin 2α=”的否命题是“若6πα≠,则1sin 2α≠".【答案】 D 【解析】试题分析:选项A 中，由奇函数定义可知，“(0)0f ="是“函数()f x 是奇函数”的既不充分也不必要条件;选项B 中，若p ：0x ∃∈R ，20010x x -->，则p ⌝：x ∀∈R ，210xx --≤;选项C 中，若p q ∧为假命题,只能判定,p q 中至少有一个为假命题;选项D 的说法正确，故选D 。

吉林省长春市2017届高三质量监测(四)数学(理)试题含详解

长春市普通高中2017届高三质量监测（四）数学理科第Ⅰ卷（选择题，共60分）一、选择题（本大题包括12小题，每小题5分，共60分，每小题给出的四个选项中，只有一项．．．．是符合题目要求的，请将正确选项涂在答题卡上） 1. i 为虚数单位，则234i i i i +++=A. 0B. iC. 2iD. 1- 2. 已知集合2{|412}A x x x x =-+>+，1{|28}x B x -=<,则R ()A B = ðA. {|4}x x ≥B.{|4}x x >C. {}|2x x -≥D. {}|24x x x <-≥或3. 已知函数22,1()21,1x x x f x x ⎧-<-⎪=⎨--⎪⎩≥，则函数()f x 的值域为A. [1,)-+∞B. (1,)-+∞C. 1[,)2-+∞ D. R 4. 下面四个残差图中可以反映出回归模型拟合精度较好的为A. 图1B. 图2C. 图3D. 图45.公元263年左右，我国古代数学家刘徽用圆内接正多边形的面积去逼近圆的面积求圆周率π，刘徽称这个方法为“割圆术”，并且把“割圆术”的特点概括为“割之弥细，所失弥少，割之又割，以至于不可割，则与圆周合体而无所失矣”下图是根据刘徽的“割圆术”思想设计的一个程序框图.若运行该程序，则输出的n 的值为：1.732≈，sin150.2588︒≈，sin 7.50.1305︒≈）A.B. C.D. 246.将函数()cos 2sin 2f x x x =-的图象向左平移8π个单位后得到函数()F x 的图象，则下列说法中正确的是 A. ()F x 是奇函数，最小值是2- B. ()F x 是偶函数，最小值是2-C. ()F x 是奇函数，最小值是()F x 是偶函数，最小值是7. 某几何体的三视图如图所示，则该几何体的表面积为+ C. 4+ D. 4+8. 二项式102)x - A. 152 B.152- C. 15 D. 15- 9. 据统计，某城市的火车站春运期间日接送旅客人数X （单位：万）服从正态分布2~(6,0.8)X N ，则日接送人数在6万到6.8万之间的概率为（(||)0.6826P X μσ-<=,(||2)0.9544P X μσ-<=,(||3)0.9974P X μσ-<=）A. 0.6826B. 0.9544C. 0.9974D. 0.341310. 球面上有A ，B ，C 三点，球心O 到平面ABC 的距离是球半径的13，且AB =AC BC ⊥，则球O 的表面积是A. 81πB. 9πC. 814π D. 94π11. 已知1F ，2F 是双曲线C ：22221(0,0)x y a b a b-=>>的两个焦点，P 是双曲线C 上一点，若12||||6PF PF a +=，且12PF F ∆最小内角的大小为30︒，则双曲线C 的渐近线方程是0y ±=B. 0x =C. 20x y ±= D . 20x y ±=12.已知函数22()(ln )x e f x k x x x=-+，若2x =是函数()f x 的唯一极值点，则实数k 的取值范围为A. (,]e -∞B. [0,]eC. (,)e -∞D. [0,)e第Ⅱ卷（非选择题，共90分）本卷包括必考题和选考题两部分，第13题—21题为必考题，每个试题考生都必须作答，第22题—23题为选考题，考生根据要求作答.二、填空题(本大题包括4小题，每小题5分，共20分，把正确答案填在答题卡中的横线上).13. 已知实数,x y 满足条件2201x y x y x ⎧⎪+-⎨⎪⎩≥≥≤，则2z y x =-的最小值为___________.14. 若非零向量,a b满足||2||||a b a b ==+ ，则向量a 与b 夹角的余弦值为___________.15. 已知在锐角△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别是a ，b ，c ，2sin a B =，2b =，3c =，AD 是角A 的平分线，D 在BC 上，则BD =______.16. 有甲、乙二人去看望高中数学张老师，期间他们做了一个游戏，张老师的生日是m 月n 日，张老师把m 告诉了甲，把n 告诉了乙，然后张老师列出来如下10个日期供选择：2月5日，2月7日，2月9日，5月5日，5月8日，8月4日，8月7日，9月4日，9月6日，9月9日.看完日期后，甲说“我不知道，但你一定也不知道”，乙提听了甲的话后，说“本来我不知道，但现在我知道了”，甲接着说，“哦，现在我也知道了”.请问张老师的生日是___________.三、解答题（本大题包括6小题，共70分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）. 17.（本小题满分12分）等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，数列{}n b 是等比数列，满足13a =，11b =，22S 10b +=，5232a b a -=. (1)求数列{}n a 和{}n b 的通项公式；(2) 若2,,n n nn S c b n ⎧⎪=⎨⎪⎩为偶数为奇数，设数列{}n c 的前n 项和为n T ，求2n T .18. （本小题满分12分）某市对大学生毕业后自主创业人员给予小额贷款补贴，贷款期限分为6个月、12个月、18个月、24个月、36个月五种，对于这五种期限的贷款政府分别补贴200元、300元、300元、400元、400元，从2016100 (1)某大学2017年毕业生中共有3人准备申报此项贷款，计算其中恰有两人选择贷款期限为12个月的概率； (2)设给某享受此项政策的自主创业人员补贴为X 元，写出X 的分布列；该市政府要做预算，若预计2017年全市有600人申报此项贷款，则估计2017年该市共要补贴多少万元.19. （本小题满分12分）如图，四棱柱1111ABCD A BC D -中，底面ABCD 为菱形， 1AA ⊥底面ABCD ，E 为1B D 的中点.A （1）证明：平面ACE ⊥平面ABCD ；（2）若二面角D AE C --为60︒，11AA AB ==，求三棱锥C AED -的体积.20. （本小题满分12分）如图，在矩形ABCD 中，||=4AB ，||2AD =，O 为AB 中点，P ,Q 分别是AD 和CD 上的点，且满足①||||||||AP DQ AD DC =，②直线AQ 与BP 的交点在椭圆E ：22221(0)x y a b a b +=>>上.(1)求椭圆E 的方程;(2)设R 为椭圆E 的右顶点，M 为椭圆E 第一象限部分上一点，作MN 垂直于y 轴，垂足为N ，求梯形ORMN 面积的最大值.21. （本小题满分12分）已知函数2()ax f x x e =.（1）当0a <时，讨论函数()f x 的单调性；（2）在(1)条件下，求函数()f x 在区间[0,1]上的最大值；（3）设函数ln ()2xxg x e x=-，求证：当1a =，对(0,1)x ∀∈，g()()2x xf x ->恒成立. 请考生在22、23中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分. 22. （本小题满分10分）选修4—4：坐标系与参数方程选讲.在平面直角坐标系中，以原点O 为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线1C 的极坐标方程为22(13sin )4ρθ+=，曲线2C ：22cos 2sin x y θθ=+⎧⎨=⎩（θ为参数）. （1）求曲线1C 的直角坐标方程和2C 的普通方程；（2）极坐标系中两点1020(,),(,)2A B πρθρθ+都在曲线1C 上，求221211ρρ+的值.23. （本小题满分10分）选修4—5：不等式选讲.(1)已知函数()|1|||f x x x a =++-（0a >），若不等式()5f x ≥的解集为{}|23x x x -或≤≥，求a 的值；(2) 已知实数,,a b c +∈R ，且a b c m ++=，求证：11192a b b c c a m+++++≥.长春市普通高中2017届高三质量监测（四）数学（理科）参考答案与评分标准一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分）1. A 【命题意图】本题考查复数的基本概念及运算.【试题解析】A 由21i =-可知，原式110i i =--+=. 故选A. 2. B 【命题意图】本题考查集合交、补运算.【试题解析】B 由{|24}A x x x =<->或，{|4}B x x =<，故(){|4}A B x x =>R ð . 故选B.3. B 【命题意图】本题考查分段函数的图像与性质.【试题解析】B 根据分段函数的()f x 的图像可知，该函数的值域为(1,)-+∞. 故选B.4. A 【命题意图】本题考查统计学中残差图的概念.【试题解析】A 根据残差图显示的分布情况即可看出图1显示的残差分布集中，拟合度较好，故选A. 5. D 【命题意图】本题依据中华传统文化算法割圆术考查程序框图.【试题解析】D 运行算法可获得结果24，故选D.6. C 【命题意图】本题主要考查三角变换公式与三角函数的图像与性质.【试题解析】C由()cos 2sin 2)4f x x x x π=-=+，则())))2842F x x x x πππ=++=+=. 故选C.7. D 【命题意图】本题考查三视图.【试题解析】D 由图形补全法，将图形补全为长方体，进而获得该几何体的直观图，再求得该几何体的表面积为：1111224442222S =⨯⨯⨯⨯+⨯⨯⨯=+故选D.8. B 【命题意图】本题考查二项式相关问题.【试题解析】B102)x -773102()C x -=故选B. 9. D 【命题意图】本题主要考查正态分布的相关知识.【试题解析】D0.6826(6 6.8)0.34132P x <==≤. 故选D. 10. B 【命题意图】本题主要考查球内的几何体的相关性质.【试题解析】B 由题可知AB 为△ABC 的直径，令球的半径为R ，则22()(3R R =+，可得32R =，则球的表面积为249S R ππ==. 故选B. 11. A 【命题意图】本题考查双曲线的定义.【试题解析】A 不妨设12||||PF PF >，则1212||||2||||6PF PF aPF PF a-=⎧⎨+=⎩，则1||4PF a =，2||2PF a =，且12||2F F c =，即2||PF 为最小边，即1230PFF ∠=，则△12PFF为直角三角形，且2c =，即渐近线方程为y =，故选A.12. A 【命题意图】本题是考查函数与导数的应用问题.【试题解析】A 已知22()(ln )x e f x k x x x=-+，则32()()x x f x e kx x -'=-，当0x >时，0xe kx -≥恒成立，因此k e ≤. 故选A.二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分）简答与提示：13. 2-【命题意图】本题考查线性规划的相关知识.【试题解析】由题意可先画出可行域，再由目标函数的几何意义，判断最优解为(1,0) 故，z 的最小值为2-.14. 14-【命题意图】本题考查向量的运算和几何意义. 【试题解析】由题意2222||||||||2=+=++a a b a b ab ，则220=ab+|b |，即22||||cos ||θ⋅=-a b b ，故1cos 4θ=-.15. 【命题意图】本题考查解三角形的问题.【试题解析】由正弦定理可得2sin sin A B B ，可得3A π=，由余弦定理可得BC =再根据角分线定理可知，BD =.16. 8月4日【命题意图】本题考查学生的逻辑推理能力.【试题解析】根据甲说“我不知道，但你一定也不知道”，可排除5月5日、5月6日、9月4日、9月6日、9月9日；乙听了甲的话后，说“本来我不知道，但现在我知道了”，可排除2月7日、8月7日；甲接着说“哦，现在我也知道了”，现在可以得知张老师生日为8月4日. 三、解答题17.(本小题满分12分)【命题意图】本题考查等差数列、等比数列的相关知识. 【试题解析】(1)设等差数列{}n a 的公差为d ，等比数列{}n b 的公比为q .11225233,1,10,2a b b S a b a ==+=-=Q33103+4232q d d q d ì+++=ïï\íï-=+ïî （2分） 2,2d q \== （4分）121,2n n n a n b -\=+=（6分）（2）由（1）知，(321)(2)2n n n S n n ++==+ （8分）111,22,n n n n n c n -ìïï-ï+\=íïïïïî为奇数为偶数（9分） 135********(1)(2222)3352121n n T n n -\=-+-+鬃?-++++鬃?-+21121321n n ++=-+. （12分）18. (本小题满分12分)【命题意图】本小题主要考查学生对概率统计知识的理解，同时考查学生的数据处理能力.【试题解析】(1)由题意知，每人选择贷款期限为12个月的概率为25，（2分）所以3人中恰有2人选择此贷款的概率为2232336()55125P C =鬃=（6分）(2)由题意知，享受补贴200元的概率为115P =,享受补贴300元的概率为235P =，享受补贴400元的概率为315P =，即随机变量X 的分布列为（9分）（10分）200900400()300555E X \=++=，600300180000w =?元.所以，2017年政府需要补贴全市600人补贴款18万元. （12分）19.(本小题满分12分)【命题意图】本题以四棱柱为载体，考查平面与平面垂直，以及二面角、体积等问题. 【试题解析】（Ⅰ）证明：连接BD ，设AC 与BD 的交点为F ，连接EF ，因为E 为1B D 中点，F 为BD 中点，所以1//EF BB ，所以EF ⊥平面ABCD ，又因为EF 在平面ACE 内，所以平面ACE ⊥平面ABCD . （6分）（Ⅱ）由于四边形ABCD 是菱形，所以以F 为坐标原点，分别以FC ，FD ，FE 为,,x y z 轴，建立空间直角坐标系，设FA a =，FD b =，有221a b +=，(,0,0)A a -，(,0,0)C a ，(0,,0)D b ，1(0,0,)2E ，有1(,0,)2AE a = ，(,,0)AD a b = ，设平面ADE 的法向量为1(,,2)n b a ab =-- ，平面ACE 的法向量为2(0,1,0)n =，（8分）由题意知121212||1cos60|cos ,|2||||n n n n n n ⋅=<>==⋅，解得2a b ==. （10分）所以菱形ABCD 为正方形，所以三棱锥C ADE -的体积1113212V EF AD CD =⨯⨯⨯⨯=. （12分）20.(本小题满分12分)【命题意图】本小题考查椭圆的标准方程及面积最值问题，考查学生的逻辑思维能力和运算求解能力. 【试题解析】（Ⅰ）设AQ 于BP 交点C 为(,)x y ，1(2,)P y -，1(,2)Q x ，由题可知，111122,,242224y x y y y x x x +===++--，（4分）从而有422y x x y-+=-，整理得2214x y +=，即为椭圆方程.（6分）（Ⅱ）(2,0)R ，设00(,)M x y ，有0y = 从而所求梯形面积001(2)2S x y =+=（8分）令02,24t x t =+<<，S = 令342324,1244(3)u t t u t t t t '=-=-=-，（10分）当(2,3)t ∈时，344u t t =-单调递增，当(3,4)t ∈时，344u t t =-单调递减，所以当3t =时S （12分） 21.(本小题满分12分)【命题意图】本小题主要考查函数与导数的知识，具体涉及到导数的运算，用导数来研究函数的单调性等，考查学生解决问题的综合能力.【试题解析】（Ⅰ）2()(2)ax f x e ax x '=+，令()0f x '=可得，0x =或2x a=-.（2分）又0a <，则可知()f x 在(,0)-∞和2(,)a -+∞上单调递减；在2[0,]a-上单调递增. （4分）（Ⅱ）在（Ⅰ）条件下，当21a-≥，即20a -<≤时，()f x 在[0,1]上单调递增，则()f x 最大值为(1)a f e =；（6分）当21a -<，即2a <-时，()f x 在2[0,]a -单调递增，在2(,)a-+∞上单调递减，则()f x 的最大值为2224()f e a a--=. （9分）（Ⅲ）要证()()2g x xf x ->，即证3ln (2)2xx x e x->+，（10分）令3()(2)x h x x e =-，则322()(32)(1)(22)x x h x x x e e x x x '=--+=-++-，又(0,1)x ∈，可知在(0,1)x ∈内存在极大值点，又(0)2h =，(1)h e =，则()h x 在(0,1)x ∈上恒大于2，（11分）而ln 2x x+在(0,1)x ∈上恒小于2，因此()()2g x xf x ->在(0,1)x ∈上恒成立. （12分）22. (本小题满分10分)【命题意图】本小题主要考查极坐标系与参数方程的相关知识，具体涉及到极坐标方程与平面直角坐标方程的互化.【试题解析】（Ⅰ）由题意可知221:1,4x C y +=222:(2)4C x y -+=. （5分）（Ⅱ）由点,A B 在曲线1C 上，则2120413sin ρθ=+，2220413sin ()2ρπθ=++，2021113sin 4θρ+=，2022113cos 4θρ+=，因此2200221213sin 13cos 115444θθρρ+++=+=.（10分） 23.(本小题满分10分)【命题意图】本小题主要考查含绝对值不等式以及不等式证明的相关知识，本小题重点考查考生的化归与转化思想.【试题解析】（Ⅰ）因为0a >，所以21,1()|1|||=1,121,x a x f x x x a a x a x a x a -+-<-⎧⎪=++-+-<⎨⎪-+⎩≤≥，又因为不等式()5f x ≥的解集为{|2x x -≤或3}x ≥，解得2a =.（5分）（Ⅱ）111()()1112a b b c c a a b b c c aa b b c c a m ++++++++++++=+++ 1112b c c a a b c a a b b c a b a b b c b c c a c a m++++++++++++++++++++=3922b c a b c a b c a b c a a b b c b c c a c a a b m m++++++++++++++++++≥=（10分）。

吉林省长春市普通高中2016届高三质量监测(二)数学理试题-Word版含答案

长春市普通高中2016届高三质量监测(二）数学理科（试卷类型C ）第Ⅰ卷（选择题，共60分)一、选择题(本大题包括12小题，每小题5分,共60分，每小题给出的四个选项中，只有一．．．项．是符合题目要求的，请将正确选项涂在答题卡上） 1. 复数1z ，2z 在复平面内对应的点关于直线y x =对称，且132z i =+，则12z z ⋅=A 。

1213i +B 。

1312i +C 。

13i -D 。

13i2. 设集合2{|30}A x x x =-<，{|2}B x x =<,则A B =A 。

{}|23x x <<B 。

{}|20x x -<< C. {}|02x x << D .{}|23x x -<< 3。

运行如图所示的程序框图，则输出的S 值为A. 99212- B 。

99212+ C 。

1010212- D. 1010221+4. 若实数,a b ∈R 且a b >，则下列不等式恒成立的是A. 22a b >B. 1a b > C 。

22a b> D. lg()0a b ->5. 几何体三视图如图所示，则该几何体的体积为A. 323B. 2163π- C 。

403 D. 8163π- 6。

已知变量X 服从正态分布(24)N ，，下列概率与(X 0)P ≤相等的是A 。

(X 2)P ≥B 。

(X 4)P ≥C 。

(0X 4)P ≤≤D 。

1(X 4)P -≥7. 已知AB 为圆:O 22(1)1x y -+=的直径，点P 为直线10x y -+=上任意一点,则PA PB ⋅的最小值为A 。

1B 。

2 C. 2 D. 228. 设等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，10a >且65911a a =，当n S 取最大值时，n 的值为 A 。

9 B. 10 C. 11 D. 129. 小明试图将一箱中的24瓶啤酒全部取出，每次小明在取出啤酒时只能取出三瓶或四瓶啤酒,那么小明取出啤酒的方式共有种.A 。

【精选高中试题】吉林省长春市高三质量监测(四)数学(理)试题Word版含答案

长春市普通高中2017届高三质量监测（四）数学（理科）一选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每个小题给出的四个选项中，有且只有一项符合题目要求.1.i 为虚数单位，则234i i i i +++=A. 0B. iC. 2iD.1-2.已知集合{}{}21|412,|28x A x x x x B x -=-+>+=<，则()R AC B =A. {}|4x x ≥B. {}|4x x >C. {}|2x x ≥-D.{}|24x x x <-≥或3.已知函数()2x 2,1=2-1,x -1x x f x ⎧-<-⎪⎨≥⎪⎩，则函数()f x 的值域为A. [)1,-+∞B. ()1,-+∞C. 1,2⎡⎫-+∞⎪⎢⎣⎭D.R 4. 下面四个残差图中可以反映出回归模型拟合精度较好的为A. 图1B. 图2C. 图3D. 图35.公元263年左右，我国古代数学家刘徽用圆内接正多边形的面积去逼近圆的面积求圆周率π，刘徽称这个方法为“割圆术”，并且把“割圆术”的特点概括为“割之弥细，所失弥少，割之又割，以至于不可割，则与圆周合体而无所失矣”.右图是根据刘徽的“割圆术”思想设计的一个程序框图.运行该程序，则输出的n 的值为：（参考数据：1.732,sin150.2588,sin 7.50.1305=≈≈）A. 48B. 36C. 30D. 24 6.将函数()cos2sin 2f x x x =-的图象向左平移8π个单位后得到函数()F x 的图象，则下列说法中正确的是A. ()F x 是奇函数，最小值为-2B. ()F x 是偶函数，最小值为-2C. ()F x 是奇函数，最小值为D. ()F x 是偶函数，最小值为 7.某几何体的三视图如图所示，则该几何体的表面积为A. 6+B. 4+C.4+D.4+8.二项式1022x ⎛⎫- ⎪ ⎪⎝⎭A. 152B. 152- C. 15 D. -159.据统计，某城市的火车站春运期间日接送旅客人数X （单位：万）服从正态分布()26,0.8X N ，则日接送人数在6万到6.8万之间的概率为（()()()0.6826,20.9544,30.9974P X P X P X μσμσμσ-<=-<=-<=） A. 0.6826 B. 0.9544 C. 0.9974 D.0.3413 10.球面上有A,B,C 三点，球心O 到平面ABC 的距离是球半径的13，且AB AC BC =⊥，则球O 的表面积是A. 81πB. 9πC.814πD.94π11.已知12,F F 是双曲线()2222:10,0x y C a b a b-=>>的两个焦点，P 是双曲线C 上的一点，若126PF PF a +=，且12PF F ∆的最小内角的大小为30，则双曲线C 的渐近线方程为A.0y ±= B.0x ±= C. 20x y ±= D.20x y ±=12.已知函数()22ln x e f x k x x x ⎛⎫=-+ ⎪⎝⎭，若2x =是函数()f x 的唯一极值点，则实数k 的取值范围为A. (],e -∞B. []0,eC. (),e -∞D.[)0,e二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.13. 已知实数,x y 满足约束条件2201x y x y x ≥⎧⎪+-≥⎨⎪≤⎩，则2z y x =-的最小值为 .14. 若非零向量,a b 满足2,a b a b ==+，则向量,a b 夹角的余弦值为 .15. 已知锐角三角形ABC 中，角A,B,C 的对边分别为a,b,c ，2sin ,2,3a B b c ===，AD 是角A 的平分线，D 在BC 上，则BD = .16. 有甲、乙两人去看望高中数学张老师，期间他们做了一个游戏，张老师的生日是m 月n 日，张老师把m 告诉了甲，把n 告诉了乙，然后张老师列出了如下10个日期供选择：2月5日，2月7日，甲说：“我不知道，但你一定也不知道”，乙听了甲的话后说，“本来我不知道，但现在我知道了”，甲接着说“哦，现在我也知道了”，请问：张老师的生日是 .三、解答题：本大题共6小题，共70分.解答应写出必要的文字说明或推理、验算过程. 17.（本题满分12分）等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，数列{}n b 是等比数列，满足11225233,1,10,2.a b b S a b a ==+=+=，（1）求数列{}n a 和{}n b 的通项公式；（2）若2,,n n nn S c b n ⎧⎪=⎨⎪⎩为奇数为偶数，设数列{}n c 的前n 项和为n T ，求2n T .18.（本题满分12分）某市对大学生毕业后自主创业人员给予小额贷款补贴，贷款期限分为6个月，12个月，18个月，24个月，36个月五种，对于这五种期限的贷款政府分别补贴200元、300元、300元、400元、400元，从2016年享受此项政策的自主创业人员中抽取了100人进行调查统计，选取贷款期限的频数如下表：以上表中各种贷款期限的频率作为2017年自主创业人员选择各种贷款期限的概率.（1）某大学2017年毕业生中共有3人准备申报此项贷款，计算其中恰有两人选择贷款期限为12个月的概率；（2）设给某享受此项政策的自主创业人员补贴为X 元，写出X 的分布列；该市政府要做预算，若预计2017年全市有600人申报此项贷款，则估计2017年该市共要补贴多少万元.19.（本题满分12分）如图，四棱柱1111ABCD A B C D -中，底面ABCD 是菱形，1AA ⊥平面ABCD ，E 为1B D 的中点.（1）证明：平面ACE ⊥平面ABCD ；（2）若二面角D AE C --为60，11,AA AB ==求三棱锥C AED -的体积.20.（本题满分12分）如图，在矩形ABCD 中，4,2,AB AD O ==为AB 的中点，,P Q 分别是AD ,CD 的上的点，且满足：①AP DQ AD DC=;②直线AQ 与BP 的交点在椭圆()2222:10x y E a b a b +=>>上. （1）求椭圆E 的方程；（2）设R 为椭圆E 的右顶点，M 为椭圆E 第一象限部分上一点，作MN 垂直于y 轴，垂足为N,求梯形ORMN 的面积的最大值.21.（本题满分12分）已知函数()2.axf x x e =（1）当0a <时，讨论函数()f x 的单调性；（2）在（1）的条件下，求函数()f x 在区间[]0,1上的最大值；（3）设函数()ln 2x xg x e x=-，求证：当1a =时，对()()()0,1,2x g x xf x ∀∈->恒成立.请考生在第22、23两题中任选一题作答，如果多做，则按照所做的第一题计分. 22.（本题满分10分）选修4-4：极坐标与参数方程在平面直角坐标系xoy 中，以坐标原点O 为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线1C 的极坐标方程为，曲线222cos :2sin x C y θθ=+⎧⎨=⎩（θ为参数）.的极坐标方程为，曲线（为参数）.（1）求曲线1C 的直角坐标方程和2C 的普通方程；（2）极坐标系中两点()1020,,,2A B πρθρθ⎛⎫+⎪⎝⎭都在曲线1C 上，求221211ρρ+的值.23.（本题满分10分）选修4-5：不等式选讲（1）已知函数()()10f x x x a a =++->，若不等式()5f x ≥的解集为{}|23x x x ≤-≥或，求a 的值；（2）已知实数,,a b c R +∈，且a b c m ++=，求证：1119.2a b a c c b m++≥+++长春市普通高中2017届高三质量监测（四）数学（理科）参考答案与评分标准一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分）1. A2. B3. B4. A5. D6. C7. D 8. B 9. D 10. B 11. A 12. A简答与提示：1.【命题意图】本题考查复数的基本概念及运算.【试题解析】A 由错误！未找到引用源。

吉林省长春市高三数学质量监测试题(四)理(扫描版)

吉林省长春市2017届高三数学质量监测试题（四）理(扫描版）长春市普通高中2017届高三质量监测（四)数学（理科)参考答案与评分标准一、选择题(本大题共12小题,每小题5分，共60分）1. A 2。

B 3. B 4。

A 5。

D6. C7。

D 8. B 9。

D 10。

B 11. A12。

A 简答与提示：1. 【命题意图】本题考查复数的基本概念及运算。

【试题解析】A 由21i =-可知,原式110i i =--+=. 故选A 。

2. 【命题意图】本题考查集合交、补运算.【试题解析】B 由{|24}A x x x =<->或，{|4}B x x =<, 故(){|4}A B x x =>R. 故选B 。

3. 【命题意图】本题考查分段函数的图像与性质.【试题解析】B 根据分段函数的()f x 的图像可知，该函数的值域为(1,)-+∞. 故选B 。

4. 【命题意图】本题考查统计学中残差图的概念.【试题解析】A 根据残差图显示的分布情况即可看出图1显示的残差分布集中,拟合度较好，故选A 。

5. 【命题意图】本题依据中华传统文化算法割圆术考查程序框图.【试题解析】D 运行算法可获得结果24，故选D 。

6. 【命题意图】本题主要考查三角变换公式与三角函数的图像与性质.【试题解析】C 由()cos2sin 2)4f x x x x π=-=+，则())))2842F x x x x πππ=++=+=。

故选C 。

7.【命题意图】本题考查三视图。

【试题解析】D 由图形补全法,将图形补全为长方体，进而获得该几何体的直观图，再求得该几何体的表面积为：1111224442222S =⨯⨯⨯⨯+⨯⨯⨯=+故选D.8. 【命题意图】本题考查二项式相关问题。

【试题解析】B 102)x -773102()C x -=故选B. 9. 【命题意图】本题主要考查正态分布的相关知识.【试题解析】D 0.6826(6 6.8)0.34132P x <==≤. 故选D 。