数字信号处理,第十三讲z平面变换法

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Z变换

n=−∞
n2
−n
−∞ ≤ n ≤ n
m n =m
2
X ( z) =
m= − n
m=− n2
∑ x(−m)z
∞
=
n=− n2
∑ x(−n) z
16
∞
n
若：
lim n x ( −n ) z < 1
n n →∞
则：
lim
n →∞
n
x( −n ) < z
1
n
−1
收敛半径
z<
lim
n →∞
x( −n )
= Rx2
1. 有限序列：在有限区间内x(n)
X (z) = ∑x(n)z
n=n1
收敛域为
n2
−n
n1 ≤ n ≤ n2
0< z <∞
12
例如： n1 = −2, 则：
n2 = 3
收敛域
X ( z ) = ∑ x(n)z = ∑ x(n) z
−n n = n1 n = −2
1 2 z <∞ −1 −2 常数
n
逆变换
= ⎡ 2 ( 2 ) − 1⎤ u ( n ) ⎣ ⎦
40
6.5 Z变换的基本性质
•线性 •位移性 •序列线性加权（ Z 域微分） •序列指数加权（ Z 域尺度变换） •初值定理和终值定理 •时域卷积和 Z 域卷积定理
41
基本性质
线性：表现为叠加性和均匀性
若：
Z [x ( n ) ] = X ( z )
1、 Z变换式的一般形式
b0 + b1 z + " br −1 z + br z X ( z) = k −1 k a0 + a1 z + " + ak −1 z + ak z

数字信号处理基础-Z变换

(3) ZT[δ (n +1)] = ∑δ (n +1)z−n + ∑δ (n +1)z−n
n=−∞ n=0
> 0 z ≠ 0 > 0 z = 0, ) < 0 < 0, z z≠ ≠ )∞ −1 0
∞
= z1 + 0 = z (0 ≤ z < ∞)
光机电一体化技术研究所
ZT [u ( n )] = ∑ u ( n ) z
k k k →∞ −1
< 1或 z < 2
z < lim 2 = 2
k k k →∞
第二项仅含有Z的负幂的无穷级数 1 −k lim k ( z ) < 1或 z > lim k k →∞ k →∞ 3
k
∴ F ( z )的绝对收敛域为 2 > z >
光机电一体化技术研究所
1 3
光机电一体化技术研究所
×
1 Rx1 = 3
1
Re[z ]
3
1 (2) x(n) = − u (−n − 1) 3
1 −1 X ( z) = − ∑ z n = −∞ 3
−1 n n=− m ∞ −m
n
左边序列
1 −1 = − ∑ z m =1 3 ∞ 1 z m j Im[z ] = 1 − ∑ (3 z ) = 1 − = −1 1 1 − 3z m=0 z− Rx2 3 Re[z ] lim n (3 z ) n < 1 • ×
1
2
3
4
n
光机电一体化技术研究所
Z变换定义，典型序列的Z变换变换定义，典型序列的变换变换定义

z变换公式

z变换公式在信号处理领域中，z变换是一种将离散时间序列转换为复频域的工具。

它在数字信号处理、控制系统分析和通信工程等领域中广泛应用。

本文将详细介绍z变换的概念、特性以及常见的z变换公式。

一、z变换的概念z变换是对离散时间信号进行频域分析的一种方法。

它类似于傅里叶变换，但傅里叶变换只适用于连续时间信号，而z变换适用于离散时间信号。

通过将离散时间序列表示为z的幂级数形式，可以将离散时间信号在复频域中进行表示和分析。

z变换的定义如下：X(z) = Z{x(n)} = ∑[ x(n) * z^(-n)] （1）其中，x(n)是离散时间序列，X(z)是x(n)的z变换。

二、z变换的特性与傅里叶变换类似，z变换也具有线性性、时移性、共轭性和卷积性质。

下面对每个特性进行详细讨论。

1. 线性性z变换具有线性性质，即对于任意常数a和b以及离散时间序列x1(n)和x2(n)，有以下公式成立：Z{a * x1(n) + b * x2(n)} = a * X1(z) + b * X2(z) （2）其中，X1(z)和X2(z)分别是x1(n)和x2(n)的z变换。

2. 时移性z变换具有时移性质，即对于离散时间序列x(n - k)，其z变换为Z{x(n - k)} = z^(-k) * X(z)。

3. 共轭性z变换具有共轭性质，即如果x(n)的z变换为X(z)，则x*(-n)的z 变换为X*(1/z*)，其中，*表示共轭。

4. 卷积性质z变换具有卷积性质，即对于离散时间序列x1(n)和x2(n)的卷积序列y(n) = x1(n) * x2(n)，其z变换为Y(z) = X1(z) * X2(z)，其中，*表示乘法运算。

三、常见的z变换公式根据z变换的定义和特性，可以得到一些常见的z变换公式，下面将逐个进行介绍。

1. 常数序列对于常数序列x(n) = C，其z变换为X(z) = C * (1 - z^(-1)) / (1 - z^(-1))。

第三章Z变换(数字信号处理)

n2
X (z) x(n)zn
n
第三章序列的Z变换
当 n2≤0
n2
n2
n2
X (Z ) x(n)Z n x(n)Z n x(n) Rn
n
n
n
当 n2>0
n2
0
n2
x(n)Z n x(n)Z n x(n)Z n
n
n
n 1
第二项为有限长序列，在整个Z平面收敛（ z=∞点不收敛）。第一项根据前式的论述，当
第三章序列的Z变换
n 0, x(n) Re s[F(z), a] Re s[F(z), a1]
a(
(1 a2 z a)(
)zn z
a
1
)
(
z
a)
za
a(
(1 a2 z a)(
)zn z
a
1
)
(
z
a1)
z a 1
an (an ) an an
最后将x(n)表示成
x(n)=(a-n-an)u(-n-1)
(1 a2 )zn (z a) (z a)(1 az)
za
a(
(1 a2 z a)(
)zn z
a
1
)
(
z
a
1 )
z a 1
an an
最后表示成： x(n)=(an-a-n)u(n)。
(2) 收敛域|z|<|a|
这种情况原序列是左序列，无须计算n≥0情况，当n≥0时，围线积分c内没有极点，因此x(n)=0。 n<0 时， c内只有一个极点z=0，且是n阶极点，改求c外极点留数之和
Z R 时收敛因此左序列的收敛域是半径为R+的圆内区域

数字信号处理3z变换的基本性质与定理

dz
dz n
n
dz
x(n)(n)zn1 z1 nx(n)zn
n
n
z1ZT [nx(n)]
ZT [nx(n)] z dX (z) dz
Rx z Rx
课件
6
5、共轭序列
若 ZT [x(n)] X (z) Rx z Rx 则 ZT [x*(n)] X *(z* ) Rx z Rx
n
n
x(n)( z 1 ) n
n
X
1 z
1
1
1
Rx
z
Rx
Rx
z
Rx
课件
8
7、初值定理
对于因果序列x(n)，有 lim X (z) x(0)
z
证：因为x(n)为因果序列
X (z) x(n)zn x(n)zn
n
n0
x(0) x(1)z1 x(2)z2 K
lim X (z) x(0) z
课件
15
例：已知LSI系统的单位抽样响应：
h(n) bnu(n) abn1u(n 1)，
求系统输入x(n) anu(n)的响应。解：X (z) ZT [x(n)] ZT [anu(n)] z
za
za
H (z) ZT [h(n)] ZT [bnu(n) abn1u(n 1)]
ZT [bnu(n)] aZT [bn1u(n 1)]
则 ZT [nx(n)] z d X (z)
dz
Rx z Rx
同理： ZT [n2 x(n)] ZT [n nx(n)]
z d {ZT[nx(n)]} dz
z
d dz
z
dX (z) dz
课件
5

第三章Z变换(数字信号处理)

X(z) x(n)zn
n
n 2
当 n2≤0
当 n2>0
X ( Z ) x ( n ) Z x ( n ) Z x ( n ) R
n n n n n n
n 2
n 2
n 2
n
x ( n ) Z x ( n ) Z x ( n ) Z
n n x ( n ) Re s a a 0 R
综合以上二步可得
x ( n ) au ( n )
n
例 3.7已知
换x(n)。
2 1 a ，求其反变 Xz ( ) ,a 1 1 ( 1 a z ) ( 1 a z)
解：该例题没有给定收敛域，为求出唯一的原序列x(n)，必须先确定收敛域。分析X(z)，得到其极点分布如图3.5所示。图中有二个极点z=a和z=a-1，这样收敛域有三种选法，它们是 (1) |z|>|a-1|，对应的x(n)是右序列； (2) |a|<|z|<|z-1|，对应的x(n)是双边序列；
3 序列的Z变换
3.1 Z变换的定义序列x(n)的Z变换定义为
X(z) x(n)zn
n
(3.1)
式中z是一个复变量，它所在的复平面称为z平面。注意在定义中，对n求和是在±∞之间求和，可以称为双边Z变换。还有一种称为单边Z变换的定义，如下式
X(z) x(n)zn
2. 右序列
右序列是在 n≥n1 时，序列值不全为零，而其它 n<n1 ，序列值全为零。
X(Z) x(n )Zn
nn 1
ROC：分析：当 n 1 ≥0 时

第三章--Z变换(数字信号处理)

R
综合以上二步可得 x(n) anu(n)
例 3.7已知换x(n)。
第三章序列的Z变换
X (z)
1 a2 (1 az)(1 az1) ,
a
1，
求其反变
解：该例题没有给定收敛域，为求出唯一旳原序列x(n)，必须先拟定收敛域。分析X(z)，得到其极点分布如图3.5所示。图中有二个极点z=a和z=a-1，这么收敛域有三种选法，它们是
n n1
设x(n)为有界序列，因为是有限项求和，除0与∞
两点是否收敛与n1、 n2取值情况有关外，整个z平面均收敛。假如n1<0，则收敛域不涉及∞点；如n2>0，则收敛域不涉及z=0点；假如是因果序列，收敛域涉及
z=∞点。详细有限长序列旳收敛域表达如下：
第三章序列的Z变换
第三章序列的Z变换
n 0, x(n) Re s[F (z), a] Re s[F (z), a1]
a(
(1 a2 z a)(
)zn z
a
1
)
(
z
a
)
za
(1 a2 )zn a(z a)(z a1) (z
a1)
z a 1
an (an ) an an
最终将x(n)表达成
nn1
nn1
n0
第一项为有限长序列，设n1≤-1，其收敛域为0≤|z|＜ ∞。第二项为因果序列，其收敛域为Rx-<|z|≤∞， Rx是第二项最小旳收敛半径。将两收敛域相与，其收敛域为Rx- <|z|<∞。假如x(n)是因果序列，收敛域定为Rx- <|z|≤∞。推论：如序列x(n)旳Z变换旳收敛域包括∞点，则x(n) 是因果序列

z变换公式

z变换公式什么是z变换z变换是一种离散信号处理中常用的数学工具，用于描述数字信号在复平面上的变换。

它通过将离散时间序列转换为连续时间函数，可以对离散信号进行频域分析和滤波等操作。

z变换的定义如下：假设x[n]是一个离散时间序列，其中n为整数，z为复平面上的变量。

那么x[n]的z变换X(z)定义为：X(z) = ∑(n=-∞ to ∞) x[n] * z^(-n)其中，∑表示求和，x[n]表示离散时间序列的值，z^(-n)表示z的幂次方。

z变换的性质z变换具有多种性质，这些性质对于分析和操作离散信号非常有用。

以下是一些常见的z变换性质：如果x1[n]和x2[n]是两个离散时间序列，a和b是常数，那么有：a * x1[n] +b * x2[n] 的z变换为 a * X1(z) + b * X2(z)其中，X1(z)和X2(z)分别为x1[n]和x2[n]的z变换。

位移性质如果x[n]的z变换为X(z)，那么x[n - n0]的z变换为 z^(-n0) * X(z)。

这个性质表示，对离散时间序列进行向右或向左位移，相当于在z变换域中乘以一个因子 z^(-n0)。

延迟性质如果x[n]的z变换为X(z)，那么x[n - 1]的z变换为 z^(-1) * X(z)。

这个性质表示，对离散时间序列进行一阶延迟，相当于在z 变换域中乘以一个因子 z^(-1)。

如果x[n]的z变换为X(z)，那么a^n * x[n]的z变换为X(z/a)。

这个性质表示，对离散时间序列进行放缩操作，相当于在z 变换域中对变换函数进行放缩。

z变换的逆变换类似于傅里叶变换，z变换也有逆变换，可以将频域函数逆变换回时域函数。

如果X(z)是一个z变换，那么其逆变换x[n]可以通过下面的公式计算：x[n] = (1/2πj) * ∮(C) X(z) * z^(n-1) * dz其中，∮(C)表示沿着包围复平面单位圆的逆时针方向进行积分，j表示虚数单位。

第三章 Z变换(数字信号处理)

(1 a2 )zn (z a) (z a)(1 az)
za

a(
(1 a2 z a)(
)zn z
a
1
)
(
z

a
1 )
z a 1
an an
最后表示成： x(n)=(an-a-n)u(n)。
(2) 收敛域|z|<|a|
这种情况原序列是左序列，无须计算n≥0情况，当n≥0时，围线积分c内没有极点，因此x(n)=0。 n<0 时， c内只有一个极点z=0，且是n阶极点，改求c外极点留数之和
n0
(3.2)
第三章序列的Z变换
这种单边Z变换的求和限是从零到无限大，因此对于因果序列，用两种Z变换定义计算出的结果是一样的。本书中如不另外说明，均用双边Z变换对信号进行分析和变换。
(3.1)式Z变换存在的条件是等号右边级数收敛，要求级数绝对可和，即

x(n)zn
第三章序列的Z变换
例 3.3求x(n)=anu(n)的Z变换及其收敛域
解：

X (z)
n

anu(n)zn
n0
anzn

1 1 azn
在收敛域中必须满足|az-1|<1，因此收敛域为|z|>|a|。
3. 左序列
左序列是在n≤n2时，序列值不全为零，而在n>n2，序列值全为零的序列。左序列的Z变换表示为
nn1
nn1
nn1
第三章序列的Z变换

1

x(n)Z n x(n)Z n x(n)Z n
nn1
nn1

信号中z变换

信号中z变换信号处理中的Z变换是一种重要的分析工具和数学工具，用于解析离散时间信号和系统。

它是时域和频域之间的转换工具，可以将离散时间域信号转换为Z域中的复频率函数。

在掌握Z 变换之前，我们首先需要了解离散时间信号和系统的基本概念。

离散时间信号是在离散时间点上取样的连续时间信号。

在数学上，离散时间信号可以表示为序列的形式，例如{x[n]}或{x(n)}，其中n表示时间的离散取样点，x[n]表示在该时刻的取样值。

离散时间系统是对离散时间信号进行处理或变换的数学操作或函数。

Z变换是对离散时间序列进行分析和处理的重要工具。

它将离散时间序列表示为复频率函数的形式，其中复频率可以是复平面内的任意点。

在Z变换中，离散时间序列可以看作是离散时间信号在Z域中的投影。

Z域中的复频率函数可以提供离散时间序列的频域特性和系统的频率响应等信息。

Z变换的定义如下：X(z) = ∑[x[n]*z^(-n)], n在负无穷到正无穷之间其中，X(z)表示信号x[n]的Z变换，z是复变量，n是离散时间序列的索引。

Z变换的性质和定理是分析离散时间信号和系统的重要工具。

一些常用的Z变换性质和定理如下：1. 线性性质：Z变换是线性的，即对于任意常数a和b以及两个离散时间信号x[n]和y[n]，有X(az[n] + by[n]) = aX(z) +bY(z)。

2. 移位性质：如果对离散时间序列进行延迟或提前操作，Z变换会乘以复杂指数。

即如果x[n]的Z变换为X(z)，那么x[n-k]的Z变换为z^(-k)X(z)。

3. 首值定理：Z变换中的z=1对应于取样序列的初始值。

4. 终值定理：当离散时间序列x[n]在无穷处稳定时，可以通过计算Z变换的极限z→1来得到序列最终处的值。

5. 正弦和余弦定理：正弦信号和余弦信号在Z变换中可以表示为复变量z的多项式形式。

6. 初值定理：如果信号序列x[n]是因果的，那么它的Z变换X(z)在z=∞处收敛。

第三章 Z变换(数字信号处理)

(3.7)
如果zk是N阶极点，则根据留数定理
N 1 1 d n 1 N n 1 (3.8) R e s [( X z ) z , z ] [ ( z z ) X ( z ) z ] k k z z N 1 k ( N 1 ) ! d z
例 3.6 已知X(z)=(1-az-1)-1， |z|>a，求其Z反变换x(n)。
此收敛域中没有极点，收敛域总是用极点限定其边界。
对比序列的傅里叶变换定义，很容易得到FT和ZT 之间的关系，用下式表示：
Xe (j ) Xz ( )z j e
(3.4)
式中z=e
jω表示在z平面上r=1的圆，
该圆称为单位圆。
(3.4)式表明单位圆上的Z变换就是序列的傅里叶变换。如果已知序列的Z变换，可用(3.4)式，很方便的求出
序列的FT，条件是收敛域中包含单位圆。
例 3.1 x(n)=u(n)，求其Z变换。解：
n Xz ( ) unz ( ) z n n n 0
X(z)存在的条件是|z-1|<1，因此收敛域为|z|>1，
1 X(z) 1 z1
|z|>1
由x(z)表达式表明，极点是z=1，单位圆上的Z变
n n n n 1
n 2
0
n 2
n
第二项为有限长序列，在整个Z平面收敛（ z=∞点不收敛）。第一项根据前式的论述，当
Z R
时收敛
因此左序列的收敛域是半径为R+的圆内区域
例 3.4求x(n)=-anu(-n-1)的Z变换及其收敛域。
n X (z) au ( n 1 )z a zn n n n n n n a z n 1 1

z 变换通俗解释

z 变换通俗解释
Z 变换是一种数学变换，用于将离散时间信号从时域（时间域）转换到Z 域（复频域）。

它在信号处理、控制系统和通信系统等领域中具有广泛的应用。

下面是一个通俗的解释：
想象你有一个离散的信号，就像一系列按时间顺序排列的数字。

这些数字可以代表电压、电流、压力或任何其他可以被测量或采样的物理量。

Z 变换的目标是找到一种方法，将这个离散时间信号表示为另一种形式，以便更容易分析和处理。

Z 域是一个复平面，其中Z 是一个复数。

复数由实数部分和虚数部分组成，可以表示为Z = x + jy，其中x 是实数部分，y 是虚数部分。

通过Z 变换，每个时间点上的信号值都被转换为Z 域中的一个复数。

这个复数的实部和虚部分别代表了信号在该时间点的某些特性。

Z 变换的一个重要好处是，它允许我们对信号进行数学操作和分析，而不仅仅局限于时间域。

在Z 域中，我们可以使用各种数学工具和技巧来处理信号，例如滤波、卷积、频率分析等。

通过将信号从时域转换到Z 域，我们可以更轻松地研究信号的频率内容、系统的稳定性以及其他与信号处理相关的特性。

一些常见的Z变换-互联网类

一些常见的Z变换－互联网类在咱们这个互联网时代，Z 变换这个东西听起来好像有点高大上，让人摸不着头脑。

但其实呀，它就像咱们生活里的小秘密，一旦揭开，也没那么神秘。

我先给您说说 Z 变换是啥。

简单来讲，Z 变换就像是给数字信号穿上了一件特别的衣服，让我们能更清楚地看到它的特点和规律。

比如说，我们在网上看视频的时候，那些视频的数据在传输过程中，就可以用 Z 变换来分析和处理。

就拿我之前遇到的一件事儿来说吧。

有一次，我正在家里看一部超级精彩的电影，正看到关键情节，突然画面卡住了。

我这心里那个急呀，就开始琢磨这到底是咋回事。

后来我才知道，原来是网络传输过程中的数据处理出了问题，这里面就涉及到了 Z 变换的知识。

那 Z 变换在互联网里都有哪些常见的应用呢？比如说在图像压缩里，Z 变换能帮助把大大的图像文件变小，这样传输起来就更快，咱们看图片的时候就能更快加载出来。

还有在音频处理中，Z 变换可以让声音更清晰，没有杂音。

再比如说，在网络控制系统中，Z 变换能对系统的稳定性进行分析。

就像我们建房子，得先看看地基稳不稳，Z 变换就是帮我们看看这个网络控制系统的“地基”怎么样。

还有啊，在数字滤波器的设计里，Z 变换也起着重要作用。

它能把不需要的信号过滤掉，留下我们想要的。

就好比我们在一堆水果里挑出好的，扔掉坏的。

说到这，您可能会想，这 Z 变换跟我有啥关系呢？其实关系大着呢！咱们每天用手机、电脑上网，背后都有 Z 变换在默默工作。

它让我们的网络体验更流畅，更高效。

总之，Z 变换虽然听起来有点复杂，但在互联网的世界里，它可是个不可或缺的小能手。

就像我那次看电影遇到的卡顿问题，要是能更好地运用 Z 变换相关的技术，也许这种情况就能少发生，咱们就能更愉快地畅游在互联网的海洋里啦！希望通过我的这番介绍，能让您对 Z 变换在互联网中的常见应用有个大概的了解。

虽然它可能不会直接出现在我们的眼前，但它一直在背后为我们的互联网生活保驾护航呢！。

第三章Z变换(数字信号处理)

1 1 az1
,
z a
第三章序列的Z变换
4. 双边序列
一个双边序列可以看作一个左序列和一个右序列
之和，其Z变换表示为
X (z)
x(n)zn X1(z) X2(z)
n
X1(z)
x(n) z n ,
n1
0 Z Rx
X 2(z)
x(n) z n ,
n n 1
Rx Z
(1 a2 )zn (z a) (z a)(1 az)
za
a(
(1 a2 z a)(
)zn z
a
1
)
(
z
a
1 )
z a 1
an an
最后表示成： x(n)=(an-a-n)u(n)。
(2) 收敛域|z|<|a|
这种情况原序列是左序列，无须计算n≥0情况，当n≥0时，围线积分c内没有极点，因此x(n)=0。 n<0 时， c内只有一个极点z=0，且是n阶极点，改求c外极点留数之和
n1<0， n2>0时， 0<z＜∞
n1≥0， n2>0时， 0<z≤∞
例 3.2求x(n)=RN(n)的Z变换及其收敛域
解：
X (z)
n
N 1
RN (n)zn
n0
zn
1 zN 1 z1
这是一个因果的有限长序列，因此收敛域为0<z≤∞。但由结果的分母可以看出似乎z=1是X(z)的极点，但同时分子多项式在z=1时也有一个零点，极零点对消， X(z)在单位圆上仍存在，求RN(n)的FT，可将z=ejω代入X(z)得到，其结果和例题2.2.1中的结果 (2.3.5)公式是相同的。

第三章Z变换(数字信号处理)

1 1 1 n 1 x(n ) (1 az ) z dz 2 j c 1 n 1 F (z) z 1 az 1 zn za
为了用留数定理求解，先找出F(z)的极点，极点
有： z=a; 当n<0时z=0共二个极点，其中z=0极点和n的取值有关。 n≥0时， z=0不是极点。 n<0时， z=0是一个n阶极点。因此分成n≥0和n<0两种情况求x(n)。 n≥0 时，
n
1 n 1 x (n ) X ( z ) z d z, c (R x,R x) c 2 j
(3.5)
1. 用留数定理求Z反变换
如果X(z)zn-1在围线c内的极点用zk表示，根据留数定理
1 n 1 n 1 X ( z ) zd z R e s [( X z ) z , z ] k 2 jc k
这是一个因果的有限长序列，因此收敛域为0<z≤∞。但由结果的分母可以看出似乎z=1是X(z)的极点，但同时分子多项式在z=1时也有一个零点，极零点对消， X(z)在单位圆上仍存在，求RN(n)的FT，可将z=ejω代入X(z)得到，其结果和例题2.2.1中的结果 (2.3.5)公式是相同的。
此收敛域中没有极点，收敛域总是用极点限定其边界。
对比序列的傅里叶变换定义，很容易得到FT和ZT 之间的关系，用下式表示：
Xe (j ) Xz ( )z j e
(3.4)
式中z=e
jω表示在z平面上r=1的圆，
该圆称为单位圆。
(3.4)式表明单位圆上的Z变换就是序列的傅里叶变换。如果已知序列的Z变换，可用(3.4)式，很方便的求出
序列的FT，条件是收敛域中包含单位圆。

第13讲z变换

x(n),
n1 n n2
（1）有始信号-右边序列的收敛域
x( n) a n un

X ( z) a n z n
n 0
a 1 n a z lim n a n 0 z 1 z
n1
a 当 1 ，即 z a 时收敛 z
利用z变换的线性特性，可得
1 ,z a (k 1)a u[k ] 1 2 (1 az )
k Z
(五）逆z变换的求解方法

幂级数展开法部分分式展开法围线积分法——留数法
1．幂级数展开法（长除法）
z变换式一般是z的有理函数，可表示为：
N ( z ) b0 b1 z b2 z 2 br 1 z r 1 br z r X ( z) D( z ) a0 a1 z a2 z 2 ak 1 z k 1 ak z k
z X z a za 1 z 1
Im(z )
ROC： z a
提示：当|z|<1时，z 0 a 的-n次幂会无限增大
Re(z )
（2）有终信号-左边序列的收敛
x(n) a u n 1
n
Im(z )
n 1
a 提示：z的-n次幂可能会无限 0 a 增大
n
z z b 1
1

n
若 0b1
1 1 b 则ROC : b z b b
例：求序列 x (n)= 解： ( z ) X
(1/3)|n| 的Z变换。

j Im[ z ]
Z平面
n
( ) z
1 n 3

n
n

数字信号处理z变换

X (s) X ( j) x(t)e jdt
s j
拉普拉斯变换演变为傅里叶变换
– 0 ，s平面的左半面，对应 r eT 1,单位圆内
– 0 ， s平面的右半面，对应 r eT 1,单位圆外
z变换与拉氏变换的映射关系
映射
1)s平面上的虚轴 z平面上的单位圆r=1
映射
2)s平面上的左半平面 z平面上的单位圆内r<1
X (z) x(n)zn n
与z变换的定义一致
拉普拉斯复变量 s j ， 2 f 对应连续系统及连续信号的角频率，单位是弧度/秒
z esTs e( j)Ts eTs e jTs
令 r eTs Ts
则 z re j
对应离散系统和离散信号的圆周频率，单位是弧度
X (z) x(n)(re j )n x(n)rn e jn
例1 已知f (t) eatu(t),(a 0) 和F( j) 1
，求f (t )拉普拉
j a
斯变换
F(s) F( j) 1 js s a
收敛域如图a),包括虚轴
例2 求t的指数函数 f (t) eatu(t) ,(a为任意常数)的拉普拉
斯变换
F (s) eatestdt e(sa)tdt
X (z) x(n)zn n0
显然，仅当 x(n) 0, n 0 时，双边和单边z变换才相等。
X (z) 2z 11.5z1 z2 0.5z3
由拉普拉斯变换到z变换
x(nTs ) 是由连续信号x(t)经抽样得到的
x(nTs ) xa (t) (t nTs ) xa (nTs ) (t nTs )
又z esTs ,
其中Ts为序列时间间隔
2
s

详细讲解z变换的书

详细讲解z变换的书Z变换是数字信号处理领域重要的数学工具之一，它是离散傅里叶变换的一种特殊形式。

Z变换将离散信号从时域变换到复平面上的点集。

也就是说，如果我们知道一个信号在复平面上的Z变换，就能得到信号的时域和频域特性。

对于深入研究Z变换的人来说，了解关于Z变换的书籍就是必要的。

下面我将详细讲解几本关于Z变换的书籍。

1.《数字信号处理基础》（Digital Signal Processing Fundamentals）（作者：Ashok Ambardar）这本书是数字信号处理的经典教材，它详细讲解了信号的采样、量化、变换等基础内容，而Z变换也是其中的一章。

该书给出了Z变换的定义、性质、逆变换等重要内容。

此外，书中还提供了大量的例题和习题，可以用来帮助读者巩固所学内容。

2.《数字信号处理导论》（Introduction to Digital Signal Processing ）（作者: John G. Proakis, Dimitris K. Manolakis）这本书被广泛认为是数字信号处理领域的圣经之一，它全面介绍了数字信号处理领域的理论和实践知识。

在此书中，Z变换是一个重要的主题，作者详细讨论了Z变换的定义、性质及其在数字信号处理中的应用。

书中包含大量的示例和程序，可以帮助读者更好地理解和应用Z变换。

3.《离散系统信号处理》（Discrete-Time Signal Processing）（作者：Alan V. Oppenheim, Ronald W. Schafer）这本书是数字信号处理领域经典的参考书籍之一，它以离散信号处理为主要内容，讲解了离散时间系统的基本原理和概念。

同样的，这本书也给出了充分的关于Z变换的理论和实践知识，包括Z变换的性质和应用等。

该书的特点是它的深度和广度，读者可以从中获得深入挖掘的乐趣，并灵活使用所学知识。

4.《数字信号处理：实践与模型》（Digital Signal Processing: A Practical Approach）（作者：Emmanuel C. Ifeachor, Barrie W. Jervis）这本书旨在介绍数字信号处理的基本概念和技术。

数字信号处理,第十三讲z平面变换法

Z变换

数字信号处理基础-Z变换

z变换公式

第三章Z变换(数字信号处理)

数字信号处理3z变换的基本性质与定理

第三章Z变换(数字信号处理)

第三章--Z变换(数字信号处理)

z变换公式

第三章 Z变换(数字信号处理)

信号中z变换

第三章 Z变换(数字信号处理)

z 变换 通俗解释

一些常见的Z变换-互联网类

第三章Z变换(数字信号处理)

第三章Z变换(数字信号处理)

第13讲z变换

数字信号处理z变换

详细讲解z变换的书

z 变换通俗解释