【备战20xx】高考数学最新专题冲刺排列组合、二项式定理(1)理.doc

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易错点15 计数原理、排列组合、二项式定理-备战高考数学考试易错题(新高考专用)(解析版)

专题15 计数原理与排列组合、二项式定理易错分析【正解】一、混淆二项式系数与项的系数致错1．523x x ⎛⎫+ ⎪⎝⎭的展开式中4x 的系数为（） A ．10B ．20C ．90D ．80【错解】A ，由题可得()5210315533rrrr r r r T C x C x x --+⎛⎫== ⋅⋅⎪⎝⎭⋅⋅ 令103r 4-=,则r 2=, 所以523x x ⎛⎫+ ⎪⎝⎭的展开式中4x 的系数为2510C =，故选A.【错因】错把二项式系数当成项的系数。

【正解】C ，由题可得()5210315533rrrr r r r T C xC x x --+⎛⎫== ⋅⋅⎪⎝⎭⋅⋅ 令103r 4-=,则r 2=,所以22553390r r C C ⋅⋅==，故选C.2、()11a b -的展开式中,系数最大的项是第项【错解】6或7，()11a b -的展开式中共12项,第6项的系数为511C,第7项的系数为611C ,又511C =611C ，所以数最大的项是第6或7项.【错因】错把二项式系数当成项的系数。

【正解】()11a b -的展开式中共12项,第6项的系数为511C -,第7项的系数为611C ,所以数最大的项是第7项.二、忽略二项展开式的通项是第r+1项不是第r 项致错3、二项式62x x ⎛⎫- ⎪⎝⎭的展开式的第二项是（） A ．260xB ．260x -C ．412xD ．412x -【错解】展开式的通项为()662C rrrx x -⎛⎫- ⎪⎝⎭,令2r =,可得展开式的第二项为22462C x x ⎛⎫- ⎪⎝⎭=260x .故选A.【错因】误认为第二项是2r =而错误【正解】展开式的通项为()6162Crrr r T x x -+⎛⎫=- ⎪⎝⎭,令1r =,可得展开式的第二项为11562C x x ⎛⎫- ⎪⎝⎭=412x -.故选D.三、混淆均匀分组与部分均匀分组致错 4、某校高二年级共有六个班,现从外地转入4名学生,要安排到该年级的两个班级且每班安排2名,则不同的安排方案种数为（）A ．2264A CB ．22642A CC ．2264A AD ．262A【错解】选A ，先将4名学生均分成两组方法数为24C ,再分配给6个年级中的2个分配方法数为26A ,根据分步计数原理合要求的安排方法数为2246C A ．【错因】该题为均匀分组，忽略除以22A 而错误.【正解】先将4名学生均分成两组方法数为2422C A ,再分配给6个年级中的2个分配方法数为26A ,根据分步计数原理合要求的安排方法数为224622C A A ．故选B ．5．某小区共有3个核酸检测点同时进行检测，有6名志愿者被分配到这3个检测点参加服务，6人中有4名“熟手”和2名“生手”，1名“生手”至少需要1名“熟手”进行检测工作的传授，每个检测点至少需要1名“熟手”，且2名“生手”不能分配到同一个检测点，则不同的分配方案种数是（）A ．72B ．108C ．216D ．432【错解】A ，根据题意，可先把4名“熟手”分为人数为2,1,1的三组，再分配到3个检测点，共有2113421333C C C A A ⋅种分法，然后把2名“生手”分配到3个检测点中的2个，有23A 种分法，所以共有211324213333C C C A A 72A ⋅⋅=种不同的分配方案.【错因】该题为部分均匀分组，应除以22A ，而不是33A .【正解】C ，根据题意，可先把4名“熟手”分为人数为2,1,1的三组，再分配到3个检测点，共有2113421322C C C A A ⋅种分法，然后把2名“生手”分配到3个检测点中的2个，有23A 种分法，所以共有211324213322C C C A A 216A ⋅⋅=种不同的分配方案.四、计数时混淆有序与定序6、某学校举行校庆文艺晚会，已知节目单中共有七个节目，为了活跃现场气氛，主办方特地邀请了三位老校友演唱经典歌曲，并要将这三个不同节目添入节目单，且不改变原来的节目顺序，则不同的安排方式有________种．【错解】1010A ，原先有七个节目，添加三个节目后，节目单中共有十个节目，则不同的排列方法有1010A 种．【错因】忽略了不改变原来的节目顺序这一条件，即原来的七个节目是定序的。

高考数学排列组合二项式定理复习

2、本章的应用题的解决思路主要是：正向思考和逆向思考，正向思考时，可通过“分类”或 “分步”，对稍复杂的问题进行分解；逆向思考时用集合的观点看，就是先从问题涉及的集合在全集的补集入手，使问题得到简化。
3、注意排列和组合的内在联系和区别，计算应用题时避免重复和遗漏。
典型例题分析
（一）排列数和组合数公式及组合数性质的应用例 1 ：解不等式 A9x 6 A6x2
A C A C
B
D
（1）
B
（2）
D
系统（ 1 ）的可靠度为 P（ 1 ） P（A C B D） 1 P （ [ A C）（ B D） ] 1 P（A C ） P（B D ） 1 (1 r 2 ) 2 r 2 (2 r 2 ) 系统（2）的可靠度为 P（2） P( A B) P(C D) [1 P( A ) P( B )][1 P(C ) P( D ) [1 (1 r ) 2 ]2 r 2 (2 r ) 2 (2 r ) 2 2 r 2 系统（2）更可靠
5

2

n
(a 2 1) n 的展开式系数最大项为第三项
2 2 T3 C 4 a 54, a 3
例2 : 求 x 3x 1 2 x 1 的展开式中各项
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ2 10

(1)系数和(2)系数绝对值的和
(1)(310 )
(2)(5 310 )
例3：化简:
（二）排列组合应用题
例3（1）5名同学报名参加4个活动小组（每人限报1 个），共有多少种不同的报名方法 ( 4 5 )
（2）5名同学争夺4项竞赛冠军，冠军获得者共有多少种可能？ ( 5 4 )

高三数学(理)一轮复习专题突破训练排列组合二项式定理 Word版含解析

山东省届高三数学理一轮复习专题突破训练排列组合二项式定理一、二项式定理、（年山东省高考）若（）的展开式中的系数是—，则实数.、（年山东省高考）若的展开式中项的系数为，则的最小值为。

、（泰安市届高三二模）在二项式的展开式中，所有二项式系数的和是，则展开式中各项系数的和为. . . .、（德州市届高三二模）在（）（）…（）（∈，≥）的展开式中，的系数为，则的系数为（）．．．．、（威海市届高三二模）在二项式（﹣）的展开式中，偶数项的二项式系数之和为，则展开式中的系数为．、（潍坊市届高三二模）（）（﹣）的展开式中，的系数为．、（德州市届高三上学期期末）已知，则．．．．、（济南市届高三上学期期末）二项式的展开式中的系数为，则、（胶州市届高三上学期期末）则的展开式的常数项为.、（临沂市届高三上学期期末）若多项式，则.、（威海市届高三上学期期末）若展开式中含的项的系数为，则的值为.、（潍坊市届高三上学期期末）的二项展开式中的系数为（用数字表示）.、（青岛市高三月模拟）在二项式的展开式中，常数项等于（用数字作答）；、（日照市高三月模拟）的展开式中，含次数最高的项的系数是（用数字作答）.、（泰安市高三月模拟）设二项式的展开式中的系数为，常数项为，若，则▲.、（烟台市高三月模拟）已知，则二项式的展开式中的系数为、（淄博市高三月模拟）二项式的展开式中的系数为，则.、（济南市高三月模拟）二项式展开式中的常数项为.二、排列组合、（年山东省高考）观察下列各式：……照此规律，当时，… .、（东营市、潍坊市届高三下学期第三次模拟）在一次抽奖活动中，张奖券中有一、二、三等奖各张，其余张无奖．甲、乙、丙、丁四名顾客每人从中随机抽取张，则不同的获奖情况有（）。

2023年高考数学真题分训练排列组合、二项式定理(理)(含答案含解析)

专题 30 排列组合、二项式定理（理）年份题号考点考查内容2011 理 8 二项式定理二项式定理的应用，常数项的计算 2023 理 2排列与组合简单组合问题卷 1 理 9 二项式定理二项式定理的应用以及组合数的计算 2023卷 2理 5 二项式定理二项式定理的应用卷 1 理 13 二项式定理二项式展开式系数的计算2023卷 2 理 13 二项式定理二项式展开式系数的计算卷 1 理 10 二项式定理三项式展开式系数的计算2023卷 2 理 15 二项式定理二项式定理的应用卷 1 理 14 二项式定理二项式展开式指定项系数的计算卷 2 理 5 排列与组合计数原理、组合数的计算2023卷 3理 12 排列与组合计数原理的应用卷 1 理 6 二项式定理二项式展开式系数的计算卷 2 理 6 排列与组合排列组合问题的解法2023卷 3理 4 二项式定理二项式展开式系数的计算卷 1 理 15 排列与组合排列组合问题的解法2023 卷 3 理 5 二项式定理二项式展开式指定项系数的计算2023卷 3 理 4 二项式定理利用展开式通项公式求展开式指定项的系数卷 1 理 8 二项式定理利用展开式通项公式求展开式指定项的系数2023 卷 3理 14二项式定理利用展开式通项公式求展开式常数项考点出现频率2023 年预测考点 102 两个计数原理的应用 23 次考 2 次考点 103 排列问题的求解 23 次考 0 次考点 104 组合问题的求解23 次考 4 次考点 105 排列与组合的综合应用 23 次考 2 次考点 106 二项式定理23 次考 11 次命题角度：(1)分类加法计数原理；(2)分步乘法计数原理；(3)两个计数原理的综合应用．核心素养：数学建模、数学运算考点102 两个计数原理的应用1．(2023 全国II 理)如图，小明从街道的E 处出发，先到F 处与小红会合，再一起到位于G 处的老年公寓参加志愿者活动，则小明到老年公寓可以选择的最短路径条数为A．24 B．18 C．12 D．9（答案）B（解析）由题意可知E →F 有6 种走法，F →G 有3 种走法，由乘法计数原理知，共有6 ⨯ 3 = 18 种走法，应选B．2．(2023 新课标理1 理)4 位同学各自在周六、周日两天中任选一天参加公益活动，则周六、周日都有同学参加公益活动的概率为A.18B.3824 - 2 7C.58D.78（答案）D（解析）P ==．24 83．(2023 湖北理)回文数是指从左到右读与从右到左读都一样的正整数．如22，121，3443，94249 等．显然2位回文数有9 个：11，22，33，…，99．3 位回文数有90 个：101，111，121，…，191，202，…，999．则(Ⅰ)4 位回文数有个；(Ⅱ) 2n +1 (n ∈N+) 位回文数有个．（解析）(Ⅰ)4 位回文数只用排列前面两位数字，后面数字就可以确定，但是第—位不能为0，有9(1~9)种情况，第二位有10(0~9)种情况，所以4 位回文数有9 ⨯10 = 90 种．答案：90(Ⅱ)解法一：由上面多组数据研究发觉，2n +1 位回文数和2n + 2 位回文数的个数相同，所以可以算出2n + 2位回文数的个数．2n + 2 位回文数只用看前n +1位的排列情况，第—位不能为0 有9 种情况，后面n 项每项有10 种情况，所以个数为9 ⨯10n ．解法二：可以看出2 位数有9 个回文数，3 位数90 个回文数。

高考第一轮复习——排列组合与二项式定理(理)

年级高三学科数学版本通用版课程标题高考第一轮复习——排列组合与二项式定理编稿老师胡居化一校林卉二校李秀卿审核王百玲一、学习目标：1. 理解排列、组合的有关概念，排列与组合的区别及分步计数原理和分类计数原理的含义。

2. 掌握排列数、组合数的公式及排列与组合的性质，并能进行简单的计算和解决简单的实际问题。

3. 理解二项式定理的内容、其通项公式的概念及其简单的应用。

4. 体会方程的数学思想、等价转化的数学思想、化归与类比的数学思想、分类讨论的数学思想及赋值法、待定系数法等数学思想方法的应用。

二、重点、难点：重点：（1）排列、组合的知识及两个原理的简单应用（2）二项式定理的简单应用难点：利用排列与组合的知识解决实际问题。

三、考点分析：新课标高考对排列、组合及二项式定理的考查以基础知识为主，应重点理解排列、组合及二项式定理的有关概念、简单的运算。

考查的题型以选择、填空题为主，题目难度较小，易得分。

一、两个原理，排列、组合的有关基础知识： 1. 分类计数原理与分步计数原理：（1）分类计数原理：做一件事情，完成它可以有n 类方法，在第一类办法中有m 1种不同的方法，在第二类办法中有m 2种不同的方法……，在第n 类办法中有m n 种不同的方法，那么完成这件事共有N 种不同的方法，即N=n m m m +++ 21.（2）分步计数原理：做一件事情，完成它需要n 个步骤，做第一步有m 1种不同的方法，做第二步有m 2种不同的方法……，做第n 步有m n 种不同的方法，那么完成这件事共有N 种不同的方法。

即N=n m m m ⨯⨯⨯ 212. 排列的有关基础知识（1）排列的定义：一般地，从n 个不同的元素中取出m （)n m ≤个元素，按照一定的顺序排成一列，叫做从n 个不同元素中取出m 个元素的一个排列。

注：（i ）排列的定义中包括两个基本内容：一是取出元素，二是按一定的顺序排列。

（ii ）当且仅当元素完全相同，排列顺序完全相同的两个排列是同一排列。

押第4题排列组合与二项式定理(新高考)(解析版)--2023年新高考数学临考题号押题

押新高考卷4题排列组合与二项式定理考点3年考题考情分析排列组合与二项式定理2022年新高考Ⅰ卷第13题2022年新高考Ⅱ卷第5题2020年新高考Ⅰ卷第3题2020年新高考Ⅱ卷第6题排列组合与二项式定理均是以小题的形式进行考查，难度较易或一般，新高考冲刺复习中，分类加法原理、分步乘法原理，排列数及组合数，二项式定理、二项展开式系数都是重点复习内容，可以预测2023年新高考命题方向将继续对排列组合和二项式定理选其一展开命题．1.分类计数原理（加法原理）12n N m m m =+++ .2.分步计数原理（乘法原理12n N m m m =⨯⨯⨯ .3.排列数公式m n A =)1()1(+--m n n n =！！)(m n n -.(n ，m ∈N *，且m n ≤)．注:规定1!0=.4.组合数公式m n C=m n m m A A =m m n n n ⨯⨯⨯+-- 21)1()1(=！！！)(m n m n -⋅(n ∈N *，m N ∈，且m n ≤).5.排列数与组合数的关系m mn n A m C =⋅！.6．单条件排列以下各条的大前提是从n 个元素中取m 个元素的排列.（1）“在位”与“不在位”①某（特）元必在某位有11--m n A 种；②某（特）元不在某位有11---m n mn A A （补集思想）1111---=m n n A A （着眼位置）11111----+=m n m mn A A A （着眼元素）种.（2）紧贴与插空（即相邻与不相邻）①定位紧贴：)(n m k k ≤≤个元在固定位的排列有km k n kk A A --种.②浮动紧贴：n 个元素的全排列把k 个元排在一起的排法有kk k n k n A A 11+-+-种.注：此类问题常用捆绑法；③插空：两组元素分别有k 、h 个（1+≤h k ），把它们合在一起来作全排列，k 个的一组互不能挨近的所有排列数有kh hh A A 1+种.（3）两组元素各相同的插空m 个大球n 个小球排成一列，小球必分开，问有多少种排法？当1+>m n 时，无解；当1+≤m n 时，有n m n nn m C A A 11++=种排法.（4）两组相同元素的排列：两组元素有m 个和n 个，各组元素分别相同的排列数为nn m C +.7．分配问题（1）(平均分组有归属问题)将相异的m 、n 个物件等分给m 个人，各得n 件，其分配方法数共有mnn n n n n mn n n mn n mn n mn C C C C C N )!()!(22=⋅⋅⋅⋅⋅=-- .（2）(平均分组无归属问题)将相异的m ·n 个物体等分为无记号或无顺序的m 堆，其分配方法数共有mn nn n n n mn n n mn n mn n m mn m C C C C C N )!(!)!(!...22=⋅⋅⋅⋅=--.8.二项式定理nn n r r n r n n n n n n n n b C b a C b a C b a C a C b a ++++++=+--- 222110)(;二项展开式的通项公式rr n r n r b a C T -+=1)210(n r ，，， =.【分析】利用捆绑法处理丙丁，用插空法安排甲，利用排列组合与计数原理即可得解【详解】因为丙丁要在一起，先把丙丁捆绑，看做一个元素，连同乙，戊看成三个元素排列,有3!种排列方式；为使甲不在两端，必须且只需甲在此三个元素的中间两个位置任选一个位置插入，有2种插空方式；注意到丙丁两人的顺序可交换，有2种排列方式，故安排这5名同学共有：3!2224⨯⨯=种不同的排列方式，故选：B3．（2020·新高考Ⅰ卷高考真题）6名同学到甲、乙、丙三个场馆做志愿者，每名同学只去1个场馆，甲场馆安排1名，乙场馆安排2名，丙场馆安排3名，则不同的安排方法共有（）A．120种B．90种C．60种D．30种【答案】C【分析】分别安排各场馆的志愿者，利用组合计数和乘法计数原理求解.【详解】首先从6名同学中选1名去甲场馆，方法数有16C；然后从其余5名同学中选2名去乙场馆，方法数有25C；最后剩下的3名同学去丙场馆.故不同的安排方法共有126561060C C⋅=⨯=种.故选：C【点睛】本小题主要考查分步计数原理和组合数的计算，属于基础题.4．（2020·新高考Ⅱ卷高考真题）要安排3名学生到2个乡村做志愿者，每名学生只能选择去一个村，每个村里至少有一名志愿者，则不同的安排方法共有（）A．2种B．3种C．6种D．8种【答案】C【分析】首先将3名学生分成两个组，然后将2组学生安排到2个村即可.【详解】第一步，将3名学生分成两个组，有12323C C=种分法第二步，将2组学生安排到2个村，有222A=种安排方法所以，不同的安排方法共有326⨯=种故选：C【点睛】解答本类问题时一般采取先组后排的策略.1．（2023·辽宁朝阳·校联考一模）6名老师被安排到甲､乙､丙三所学校支教，每名老师只去1所学校，甲校安排1名老师，乙校安排2名老师，丙校安排3名老师，则不同的安排方法共有（）A ．30种B ．60种C ．90种D ．120种【答案】B【分析】按照分步计数原理求解.【详解】依题意，第一步，从6名老师中随机抽取1名去甲校，有16C 种方法；第二步，从剩下的5名老师中抽取2名取乙校，有25C 种方法；第三部，将剩余的3名老师给丙校，有33C 种方法；总共有123653C C C 60=种方法；故选：B.2．（2023·湖南湘潭·统考二模）2022年男足世界杯于2022年11月21日至2022年12月17日在卡塔尔举行．现要安排甲、乙等5名志愿者去A ，B ，C 三个足球场服务，要求每个足球场都有人去，每人都只能去一个足球场，则甲、乙两人被分在同一个足球场的安排方法种数为（）A ．12B ．18C ．36D ．48【答案】C【分析】先按3，1，1或2，2，1分组，再安排到球场.【详解】将5人按3，1，1分成三组，且甲、乙在同一组的安排方法有13C 种，将5人按2，2，1分成三组，且甲、乙在同一组的安排方法有23C 种，则甲、乙两人被分在同一个足球场的安排方法种数为()123333C C A 36+=．故选：C3．（2023·广东佛山·统考二模）“基础学科拔尖学生培养试验计划”简称“珠峰计划”，是国家为回应“钱学森之问”而推出的一项人才培养计划，旨在培养中国自己的学术大师．已知浙江大学、复旦大学、武汉大学、中山大学均有开设数学学科拔尖学生培养基地，某班级有5位同学从中任选一所学校作为奋斗目标，则每所学校至少有一位同学选择的不同方法数共有（）A ．96种B ．64种C ．32种D ．16种【答案】B【分析】分3步完成，每步中用排列求出排法数，再利用分步计数原理即可求出结果.【详解】根据题意，分3步进行，第一步，要求“只有中间一列两个数字之和为5”，则中间的数字只能为两组数1，4或2，3中的一组，共有222A 4=种排法；第二步，排第一步中剩余的一组数，共有1142A A 8=种排法；第三步，排数字5和6，共有22A 2=种排法；由分步计数原理知，共有不同的排法种数为48264⨯⨯=.故选：B.12．（2023·浙江嘉兴·统考模拟预测）若一个三位数M 的各个数位上的数字之和为8，则我们称M 是一个“叔同数”，例如“125，710”都是“叔同数”.那么“叔同数”的个数共有（）A ．34个B ．35个C ．36个D ．37个【答案】C【分析】利用列举法求出所有组合，再计算能排列出多少个“叔同数”.【详解】三位数各位数的和为8可能的组合有116，125，134，224，233，017，026，035，044，008，其中三个数不同且都不为0可排出33A 6=个“叔同数”，没有0的3个数中有2个数相同，则排出13A 3=个“叔同数”，有1个0其余2个数为不同的非零数字可排出1222A A 4=个“叔同数”，008只能排出800一个“叔同数”，所以它们排出的“叔同数”的个数共有366334442136+++++++++=，故选：C13．（2023·江苏连云港·统考模拟预测）现要从A ，B ，C ，D ，E 这5人中选出4人，安排在甲、乙、丙、丁4个岗位上，如果A 不能安排在甲岗位上，则安排的方法有（）A ．56种B ．64种C ．72种D ．96种【答案】D【分析】根据A 是否入选进行分类讨论即可求解.【详解】由题意可知：根据A 是否入选进行分类：若A 入选：则先给A 从乙、丙、丁3个岗位上安排一个岗位有13C 3=种，再给剩下三个岗位安排人有34A 43224=⨯⨯=种，共有32472⨯=种方法；若A 不入选：则4个人4个岗位全排有44A 432124=⨯⨯⨯=种方法，所以共有722496+=种不同的安排方法，故选：D .14．（2023·重庆万州·重庆市万州第二高级中学校考模拟预测）某社区活动需要连续六天有志愿者参加服务，每天只需要一名志愿者，现有甲、乙、丙、丁、戊、己6名志愿者，计划依次安排到该社区参加服务，要求甲不安排第一天，乙和丙在相邻两天参加服务，则不同的安排方案共有（）A ．72种B ．81种C ．144种D ．192种【答案】D【分析】先计算乙和丙在相邻两天参加服务的排法，排除乙和丙在相邻两天且甲安排在第一天参加服务的排法，即可得出答案.【详解】解：若乙和丙在相邻两天参加服务，不同的排法种数为2525A A 240=，若乙和丙在相邻两天且甲安排在第一天参加服务，不同的排法种数为2424A A 48=，由间接法可知，满足条件的排法种数为24048192-=种.故选：D.15．（2023·重庆九龙坡·统考二模）《数术记遗》是《算经十书》中的一部，相传是汉末徐岳所著，该书记述了我国古代14种算法，分别是：积算（即筹算）､太乙算､两仪算､三才算､五行算､八卦算､九宫算､运筹算､了知算､成数算､把头算､龟算､珠算和计数.某学习小组有甲､乙､丙､丁四人，该小组要收集九宫算､运筹算､了知算､成数算､把头算､珠算6种算法的相关资料，要求每种算法只能一人收集，每人至少收集其中一种，则不同的分配方案种数有（）A ．1560种B ．2160种C ．2640种D ．4140种【答案】A【分析】先分组，再分配，注意部分平均分组需要除以组数（平均的组数）的全排列.【详解】依题意分两种情况讨论：①将6种算法分成1、1、1、3四组，再分配给4人，则有3464C A 480=种；。

高考冲刺排列组合二项式定理提高

高考冲刺排列组合、二项式定理编稿：孙永钊审稿：张林娟【高考展望】命题角度：该部分的命题就是围绕两个点展开．第一个点是围绕排列，组合展开，设计利用排列组合和两个基本原理求解的实际计数问题的试题，目的是考查对排列组合基本方法的掌握程度，考查分类与整合的思想方法，试题都是选择题或者填空题，难度中等或者偏易；第二点是围绕二项式定理展开，涉及利用二项式的通项公式计算二项式中特定项的系数、常数项、系数和等试题，目的是考查对二项式定理的掌握程度和基本的运算求解能力，试题也都是选择题或者填空题，难度中等．预计高考对该部分的考查基本方向不变，即考查简单的计数问题、二项式定理的简单应用，但由于排列，组合试题的特点，也不排除出现难度稍大的试题的可能．复习建议：该部分的复习以基本问题为主，要点有两个：一个是引导学生掌握解决排列，组合问题的基本思想，即分类与分步的思想，使学生在解题时有正确的思维方向；一个是掌握好二项展开式的通项公式的应用，这是二项式定理的考查核心．【知识升华】一、排列与组合1、分类计数原理与分步计数原理是关于计数的两个基本原理，两者的区别在于分步计数原理和分步有关，分类计数原理与分类有关.2、排列与组合主要研究从一些不同元素中，任取部分或全部元素进行排列或组合，求共有多少种方法的问题.区别排列问题与组合问题要看是否与顺序有关，与顺序有关的属于排列问题，与顺序无关的属于组合问题.3、排列与组合的主要公式n!m?n(n?1)??A??(n?m?1) (m①排列数公式：≤n)n(n?m)!n A=n! =n(n―1)(n―2) ·…·2·1. n n!n(n?1)???(n?m?1)m?C?(m≤n).②组合数公式：n m!(n?m)!m?(m?1)?????2?1mn?m012nn C?CC?C?C?????C?2③组合数性质：①≤(mn).②nnnnnn02413n?1C?C?C????C?C?????2③nnnnn4、分类应在同一标准下进行，确保“不漏”、“不重”，分步要做到“步骤连续”和“步骤独立”，并.能完成事项．5、界定“元素与位置”要辩证地看待，“特殊元素”、“特殊位置”可直接优先安排，也可间接处理.6、解排列组合综合问题注意先选后排的原则，复杂的排列、组合问题利用分类思想转化为简单问题求解.7、常见的解题策略有以下几种：（1）特殊元素优先安排的策略；（2）合理分类与准确分步的策略；（3）排列、组合混合问题先选后排的策略；（4）正难则反、等价转化的策略；（5）相邻问题捆绑处理的策略；（6）不相邻问题插空处理的策略；（7）定序问题除法处理的策略；（8）分排问题直排处理的策略；（9）“小集团”排列问题中先整体后局部的策略；（10）构造模型的策略.二、二项式定理1、二项式定理01rnrnnr1nrnn －－b+…+C项，n+1+…＋Cb(a +b) =Ca其中各项系数就是组合数+Ca，Ca，展开式共有b nnnnnrrnr－.ab项是第r+1T =C r+1n2、二项展开式的通项公式rrnr－叫做二项展开式的通项公式。

高三数学精品复习之排列组合及二项式定理

20XX 届高三数学精品复习之排列组合及二项式定理 1. 熟悉排列数、组合数的计算公式；了解排列数、组合数的一些性质：①!)1()!1(n n n +=+，由此可得：!)!1(!n n nn -+=，)!1(1!1)!1(+-=+n n n n ，为相应的数列求和创造了条件；②m n n m n C C -=；③m n m n m n C C C 111---+=，由此得：1121++++=++++r n r n r r r r r r C C C C C ；[举例]18321319203213452134131 ⨯⨯⨯⨯⨯⨯++⨯⨯⨯⨯+⨯⨯++=___________ 解析：原式=2119202145213421232112⨯⨯++⨯⨯+⨯⨯+⨯⨯+⨯⨯ ；记2)1(+=n n a n ，数列{n a }的前19项和即为所求。

记数列{n a }的前n 项和为n S ；该数列的求和办法有很多种，但都比较烦琐，这里介绍用组合数性质求解：注意到2)1(+=n n a n=21+n C ， 19S =220242322C C C C ++++ =220242333C C C C ++++ =2202434C C C +++ = …=321C =1330；[巩固1]设*N x ∈且10<x ，则)29()21)(20(x x x --- 等于（）（A ）1020x A - （B ）x x A --2029 （C ）929x A - （D ）1029x A -[巩固2] 已知n x )1(+的展开式中第9项、第10项、第11项的二项式系数成等差数列，则n=____2．解排列组合应用题首先要明确需要完成的事件是什么；其次要辨析完成该事件的过程：分类相加（每一类方法都能独立地完成这件事），分步相乘（每一步都不能完成事件，只有各个步骤都完成了，才能完成事件）；较为复杂的事件往往既要分类，又要分步（每一类办法又都需分步实施）；分类讨论是研究排列组合问题的重要思想方法之一，分类时要选定讨论对象、确保不重不漏。

高三数学排列、组合、二项式定理 (理)

排列、组合、二项式定理(理)一周强化一、一周知识概述本周复习的内容为高中数学第十章排列、组合和概率.本章内容在代数中自成体系，内容抽象，解题方法灵活，是中学、大学的衔接内容，复习时，应抓住两个计数原理这个基础，由于排列组合是二项式定理的基础，是解决概率问题的工具，因此，学好排列组合是本章的关键。

1、分步计数原理、分类计数原理的应用关键在于恰当地分步或分类，要使所分类（或分步）不重复、不遗漏．对于分类计数原理与分步计数原理的综合应用问题，一般的解题步骤是：整体上先分类，局部上再考虑分步或再次分类.2、排列是分步计数原理的特殊情况，即从n个不同的元素中每次取一个元素，分m步，共取m个元素（有顺序），因此取法共有n(n－1)(n－2)…(n－m＋1)种，这就是排列数公式组合与排列的区别在于组合是不计顺序的，而排列可以看作先组合后作全排列，因此那么组合数为利用这一思路，求组合就是求排列的一部分，如甲在乙的左边，占甲、乙任意排列的一半．排列数公式与组合数公式都有2个，带阶乘的常用于计算、证明，以及m不明确或较大时候的运算，另一个则用于m的解或较小时的运算问题中．常用方法有：排除法、枚举法、元素（位置）优先法、捆绑法、插入法、分隔法．3、正确理解二项式展开式中的第r＋1项，第r＋1项的二项式系数，第r＋1项的系数之间的差别．求二项式系数最大的项，可直接根据二项式系数的增减性与最大值性质，当为n奇数时，中间两项的二项式系数最大；当n为偶数时，中间一项的二项式系数最大．若求系数最大的项，则要根据各项系数的正、负变化情况并采用列不等式组、比较系数法求解．二项式的某项系数问题，既可化归为二项式问题求解，又可从组合角度求解，一般地，三项式（a＋b＋c）n的展开式中，a p b q c r的系数为赋值法在二项展开式中的运用赋值法的模式是：对任意的x∈A，某式子恒成立，那么对A中的特殊值，该式子一定成立．特殊值如何选取？视具体问题而定，没有一成不变的规律，它的灵活性较强，0，1，－1取较多．一般x0＝一般地，多项式f(x)的各项系数和为f(1)，奇次项系数和为，偶次项系数和为．如二项式系数性质的证明就是赋值法在二项展开式中运用的典范．二项式定理的应用一般应用于与二项式乘方有关的命题．证明组合恒等式或求和．二、本周复习的重、难点（一）本周复习的重点1、理解两个计数原理；2、理解排列、组合、二项式展开式及性质、能用通项公式求某些特定项；（二）本周复习的难点1、排列组合的应用问题；2、二项式定理的系数性质；三、例题解析例1、有五张卡片，它们的正、反面分别写0与1，2与3，4与5，6与7，8与9．将其中任意三张并排放在一起组成三位数，共可组成多少个不同的三位数？例2、已知的展开式的各项系数之和等于的展开式中的常数项，求的展开式中a－1项的二项式系数.例3、已知m、n为自然数，f(x)＝(1＋x)m＋(1＋x)n的展开式中x的系数为19，求f(x)展开式中x2项系数的最小值．试题答案三、解答题分析：在解本题时应考虑两方面的问题：（1）0不能作百位，但0与1在同一卡片上，因此着眼于限制条件，必须同时考虑0与1的分类．（2）每张卡片都有正面与反面两种可能．解法上既可用直接法，也可用排除法．解：解法一（直接法）从0与1两个特殊值着眼，可分三类：（1）取0不取1，可先从另四张卡选一张作百位，有种方法；0可在后两位，有种方法；最后须从剩下的三张中任取一张，有种方法；又除含0的那张外，其他两张都有正面或反面两种可能，故此时可得不同的三位数有．（2）取1不取0，同上分析可得不同的三位数（3）0和1都不取，有不同三位数综上所述，共有不同的三位数．解法二（间接法）任取三张卡片可以组成不同三位数，其中0在百位的这是不合题意的，故共有不同三位数：例2：分析：要求的展开式中a－1项的二项式系数，首先要由已知条件确定n.另外应注意展开式的各项系数之和的求法——“赋值法”以及特定项的求法.解答：依题意，令a=1，得展开式中各项系数和为展开式中的通项为T r＋1，，若T r＋1为常数项，则，即r=2.故常数项为∴所求a－1项的二项式系数为.点评：通过此题我们要加深理解“二项式系数”与“项系数”的概念，以及掌握求二项式所有项的系数和的方法——“赋值法”：设f(x)=(a＋bx)n=a0＋a1x＋a2x2＋…＋a n x n，则：（1）a0＋a1＋a2＋…＋a n=f(1)（2）a0=f(0)（3）a0＋a2＋…＋a2k＋…=（4）aa3＋…＋a2k＋1＋…=1＋例3：分析：将x2项系数用m、n表示，由于m、n无任意关系，故关于m、n的表达式求最值时，考虑用配方法．，∴ m＋n＝19．当且仅当m＝n时，最小，但由于m+n＝19，且m，n∈N*，m与n 不可能相等，所以当|m－n|＝1时，有最小值81．。

高考数学二轮复习专题19 排列、组合、二项式定理教学案理-人教版高三全册数学教学案

专题19 排列、组合、二项式定理1.排列、组合与二项式定理每年交替考查，主要以选择、填空的形式出现，试题难度中等或偏易.2.排列、组合试题具有一定的灵活性和综合性，常与实际相结合，转化为基本的排列组合模型解决问题，需用到分类讨论思想，转化思想.3.与二项式定理有关的问题比较简单，但非二项问题也是今后高考的一个热点，解决此类问题的策略是转化思想.1．两个重要公式(1)排列数公式A＝＝n(n－1)(n－2)…(n－m＋1)(n，m∈N*，且m≤n)．(2)组合数公式C＝＝(n，m∈N*，且m≤n)．2．三个重要性质和定理(1)组合数性质①C＝(n，m∈N*，且m≤n)；②C＝(n，m∈N*，且m≤n)；③C＝1.(2)二项式定理(a＋b)n＝C a n＋C a n－1b1＋C a n－2b2＋…＋C a n－k·b k＋…＋C b n，其中通项T r＋1＝C a n－r b r.(3)二项式系数的性质①C＝C，C＝C，…，C＝C；②C＋C＋C＋…＋C＝2n；③C＋C＋C＋…＝C＋C＋C＋…＝2n－1.考点一排列与组合例1．[2017课标II，理6]安排3名志愿者完成4项工作，每人至少完成1项，每项工作由1人完成，那么不同的安排方式共有〔〕A．12种 B．18种 C．24种 D．36种[答案]D[变式探究][2016年高考某某理数]用数字1，2，3，4，5组成没有重复数字的五位数，其中奇数的个数为〔A〕24 〔B〕48 〔C〕60 〔D〕72[答案]D[解析]由题意，要组成没有重复数字的五位奇数，那么个位数应该为1或3或5，其他位置共有种排法，所以奇数的个数为，应选D.[变式探究](2015·某某，6)用数字0，1，2，3，4，5组成没有重复数字的五位数，其中比40 000大的偶数共有()A．144个B．120个C．96个D．72个解析由题意，首位数字只能是4，5，假设万位是5，那么有3×A＝72个；假设万位是4，那么有2×A个＝48个，故40 000大的偶数共有72＋48＝120个．选B.答案 B考点二排列组合中的创新问题例2．用a代表红球，b代表蓝球，c代表黑球．由加法原理及乘法原理，从1个红球和1个蓝球中取出假设干个球的所有取法可由(1＋a)(1＋b)的展开式1＋a＋b＋ab表示出来，如：“1〞表示一个球都不取、“a〞表示取出一个红球、而“ab〞那么表示把红球和蓝球都取出来．依此类推，以下各式中，其展开式可用来表示从5个无区别的红球、5个无区别的蓝球、5个有区别的黑球中取出假设干个球，且所有的蓝球都取出或都不取出的所有取法的是()A．(1＋a＋a2＋a3＋a4＋a5)(1＋b5)(1＋c)5B．(1＋a5)(1＋b＋b2＋b3＋b4＋b5)(1＋c)5C．(1＋a)5(1＋b＋b2＋b3＋b4＋b5)(1＋c5)D．(1＋a5)(1＋b)5(1＋c＋c2＋c3＋c4＋c5)解析分三步：第一步，5个无区别的红球可能取出0个，1个，…，5个，那么有(1＋a＋a2＋a3＋a4＋a5)种不同的取法；第二步，5个无区别的蓝球都取出或都不取出，那么有(1＋b5)种不同取法；第三步，5个有区别的黑球看作5个不同色，从5个不同色的黑球中任取0个，1个，…，5个，有(1＋c)5种不同的取法，所以所求的取法种数为(1＋a＋a2＋a3＋a4＋a5)(1＋b5)(1＋c)5，应选A.答案 A[变式探究]设集合A＝{(x1，x2，x3，x4，x5)|x i∈{－1，0，1}，i＝1，2，3，4，5}，那么集合A中满足条件“1≤|x1|＋|x2|＋|x3|＋|x4|＋|x5|≤3〞的元素个数为() A．60 B．90 C．120 D．130答案 D考点三二项展开式中项的系数例3．[2016年高考理数]在的展开式中，的系数为__________________.〔用数字作答〕[答案]60.[解析]根据二项展开的通项公式可知，的系数为。

2020高考数学艺考生冲刺课件：第21讲排列组合、二项式定理(理)

(3)法一(位置分析法) 因为两端不排女生,只能从 5 个男生中选 2 人排列,有A25种排法,
剩余的位置没有特殊要求,有A66种排法,因此共有A25 ·A66=14 400(种)不同排法.
法二(元素分析法) 从中间 6 个位置选 3 个安排女生,有A36种排法,其余位置无限制,有
A55种排法,因此共有A36 ·A55=14 400(种)不同排法.
∴某一种假货必须在内的不同取法有 561 种.
(2)从 34 种可选商品中,选取 3 种,有C334种或者C335 − C324 = C334=5 984(种).
∴某一种假货不能在内的不同取法有 5 984 种.
(3)选取 2 件假货有C210C125种,选取 3 件假货有C135种,共有选取方式C210C125 + C135=2 100+455=2 555(种). ∴至少有2种假货在内的不同的取法有2 555种.
�� -1
�� +1
当 n 为奇数时,中间的两项C��2 与�� 2 取最大值
(3)各二项式系数和
①(a+b)n 展开式的各二项式系数和:C��0�� + C��1�� + C��2�� +…+C��=2n. ②偶数项的二项式系数的和等于奇数项的二项式系数的和,即C��0�� + C��2�� + C��4�� +…=C��1�� + C��3�� + C��5�� +…=2n-1.
对于定序问题,可先不考虑顺序限制,排列后,再除以已定元素的全排列对于分类过多的问题,按正难则反,等价转化的方法

(数学)高三数学专题复习排列组合与二项式定理

高三数学专题复习【排列组合与二项式定理】【考纲解读】考纲是这样提到排列组合二项式定理的有关内容的：(1)掌握分类计数原理与分步计数原理，并能用它们分析和解决一些简单的应用问题．(2)理解排列的意义，掌握排列数计算公式，并能用它解决一些简单的应用问题．(3)理解组合的意义，掌握组合数计算公式和组合数的性质，并能用它们解决一些简单的应用问题．(4)掌握二项式定理和二项展开式的性质，并能用它们计算和证明一些简单的问题. 在上述说明几个字眼重复的出现：性质、解决、简单、应用问题，这其实都是这样的一个要求，能利用排列组合二项式定理的一些既得结论和性质解决一些简单的应用题或证明题.我们在复习有关内容时，首先要理解排列组合二项式定理的有关概念、结论、性质，并将其应有在有关的问题上，重在“解决一些简单的问题”，由此，选择合适、足量的题目进行练习很重要，在题目的选择上，以中下难度为宜.【真题回放】1．（20XX 年广东理10）62)1(xx +的展开式中3x 的系数为_________.（用数字作答） 2．（20XX 年广东理10）7)2(x x x -的展开式中，4x 的系数是_________.（用数字作答） 3．（20XX 年广东理8）为了迎接20XX 年广州亚运会，某大楼安装了5个彩灯，他们闪亮的顺序不固定，每个彩灯只能闪亮红、橙、黄、绿、蓝中的一种颜色，且这5个彩灯所闪亮的颜色各不相同，记这5个彩灯有序地各闪亮一次为一个闪烁，在每个闪烁中，每秒钟有且仅有一个彩灯闪亮，而相邻两个闪烁的时间间隔均为5秒，如果要是实现所有不同的闪烁，那么需要的时间至少是( )A ．1205秒B ．1200秒C ．1195秒D ．1190秒4．（20XX 年广东理7）20XX 年亚运会组委会要从小张、小赵、小李、小罗、小王五名志愿者中选派四人分别从事翻译、导游、礼仪、司机四项不同工作，若其中小张和小赵只能从事前两项工作，其余三人均能从事这四项工作，则不同的选派方案共有( )A ．36种B ．12种C ．18种D ．48种【启示】近几年的广东高考（理科）试题中，排列组合与二项式定理出现的次数非常频繁，每年都至少一题，排列组合还经常作为概率计算的工具与概率计算一起考核.广东的排列组合题并没有考察得非常复杂，常只需设计两三个解题步骤就可以完成。

(完整版)排列组合与二项式定理

8、九张卡片分别写着数字0,1，2，…，8，从中取出三张排成一排组成一个三位数，如果6可以当作9使用，问可以组成多少个三位数？【参考答案】可以分为两类情况：① 若取出6，则有()211182772P C C C +种方法； ②若不取6，则有1277C P 种方法．根据分类计数原理，一共有()211182772P C C C ++1277C P ＝602种方法． 9、从6台原装计算机和5台组装计算机中任意选取5台,其中至少有原装与组装计算机各两台,则不同的取法有种.【参考答案】由分析，完成第一类办法还可以分成两步：第一步在原装计算机中任意选取2台，有26C 种方法；第二步是在组装计算机任意选取3台，有35C 种方法，据乘法原理共有3526C C ⋅种方法.同理，完成第二类办法中有2536C C ⋅种方法.据加法原理完成全部的选取过程共有+⋅3526C C 3502536=⋅C C 种方法. 经典例题：例1．四面体的顶点和各棱中点共10个点，在其中取4个不共面的点，不同取法共有（）A ．150种B. 147种C. 144种D. 141种【答案】取出的四个点不共面的情况要比取出的四个点共面的情况复杂，可采用间接法，先不加限制任取四点，再减去四面共点的取法．在10个点中任取4点，有410C 种取法，取出的4点共面有三类第一类：共四面体的某一个面，有446C 种取法；第二类：过四面体的一条棱上的三点及对棱的中点，如图中的平面ABE ，有6种取法；第三类：过四面体的四条棱的中点，面与另外两条棱平行，如图中的平面EFGM ，共有3个．故取4个不共面的点的不同取法共有410C －(446C ＋6＋3)＝141，因此选D例2. 一天要排语文、数学、英语、生物、体育、班会六节课（上午四节，下午二节），要求上午第一节不排体育，。

【参考实用】高考数学冲刺-排列组合二项式定理、概率统计.doc

排列组合二项式定理、概率统计知识点总结精华1．抽样方法;⑴简单随机抽样：一般地，设一个总体的个数为N ，通过逐个不放回的方法从中抽取一个容量为n 的样本，且每个个体被抽到的机会，就称这种抽样为简单随机抽样。

注：①每个个体被抽到的概率为；②常用的简单随机抽样方法有：抽签法；随机数法。

③从含有N 个个体的总体中,抽取n 个体,则每个体第一次被抽到概率1N,第二次被抽到概率1N,…,故每个个体被抽到的概率为n N,即每个个体入样的概率为n N.⑵系统抽样：步骤：①编号；②分段；③在第一段采用简单随机抽样方法确定其时个体编号l ；④按预先制定规则抽取样本。

⑶分层抽样：当总体差异比较明显，将总体分成几部分，然后按照各部分进行抽样，这种抽样叫分层抽样。

每个部分所抽取的样本个体数=该部分个体数⨯Nn ; 2. 总体特征数的估计：⑴样本平均数x = ；⑵方差222121[()()nS x x x x =-+-+2()]n x x ⋅⋅⋅+-去估计总体方差。

⑶样本标准差])()()[(122221x x x x x x n S n -+⋅⋅⋅+-+-==21)(1x x nni i-∑=3.(理科)排列数公式:!!()!(1)(1)(,,*)mn n m n m A n n n m m n m n N -=--+=≤∈,!n n A n =.组合数公式：(1)(1)()!(1)(2)321mm n nA n n n m C m n m m m m ⋅-⋅⋅⋅--==≤⋅-⋅-⋅⋅⋅⋅⋅,01nn n C C ==. 组合数性质：m n m n n C C -=；11r r r n n n C C C -++=.4. (理科)二项式定理：⑴掌握二项展开式的通项：1(0,1,2,...,)r n r rr nT C a b r n -+==； ⑵注意第r ＋1项二项式系数与第r ＋1项系数的区别. 6. 线性回归相关系数：=7．独立性检验（分类变量关系）：22()()()()()χ-=++++n ad bc a b c d a c b d .()20χ≥P x0.10 0.05 0.025 0.010 0.005 0.001 0x2.7063.841 5.024 6.635 7.87910.828随机变量2χ越大，说明两个分类变量，关系，反之，经过对统计量分布的研究，已经得到了两个临界值：3.841与6.635。

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排列、组合、二项式定理·二项式定理通项公式的应用·教案教学目标1．加深对二项式定理通项公式的认识，熟练地运用通项公式求指定项或有关系数．2．通过对例题的分析、讨论，解答，进一步培养学生抽象思维和分析问题的能力，以及运算能力．3．进一步渗透转化及方程（组）的数学思想方法．教学重点与难点认识通项公式中字母的含义，熟练地运用通项公式．教学过程设计（一）引入新课师：请同学们回忆表示二项式定理的公式：（板书）师：其中n是任意自然数，右边的多项式称为（a+b）n的二项展开r+1项，即（板书）展开式任意项的代表，所以我们可以利用它研究项数与项的有关问题．（板书二项式定理通项公式的应用）数．如何解决？师：我们有了两个不同的答案，哪个对呢？我们来看通项公式Tr+1项与a，b，n，r相关，其中a，b是二项式的两项，n是指数，r是项数减一，这是十分重要的．当项数是4时，r+1=4，此时r=3，所以生：不是，因为a，b所含字母系数不是1，二项式系数一般不是这一项的系数．师：那么如何求项的系数呢？生：利用通项公式，求出T4就能看出系数了．师：我们有了方法，还要注意规范表述．（板书）解：展开式的第4项师：二项展开式项的系数与二项式系数是两个不同的概念，这两个系数的数值一般情况下是不相等的，一定要区分所求是哪一种系数．另由于二项式中的两项可以交换位置，但（b+a）n与（a+b）n的对应项一般是不相同的，所以更多的题型是求一些指定的、具有某些性质的项．即这一项具有什么性质？生：不含x的项是常数项，x的指数是零．师：求这一项用什么方法？生：把二项式展开，然后从中找出常数项．师：这样的办法在理论上是可以的，但在解决每一个具体问题时，是否都可操作呢？生：如果n比较小，写出的项数不多，写出所有项还可以，但如果n太大了，比如n=100，根本不可能写出101项来．师：那么如何处理更合理更简捷、更准确呢？生：应该利用通项公式．师：对，因为通项公式是二项展开式每一项的代表，展开式某一项具有的性质，从这一项的表达式也能反映出来．如何利用通项公式求常数项？生：知道第r+1项是常数项，把r代入通项公式的右端，就能求出常数项了．师：现在的问题转化成了第几项是常数项了，谁能看出哪一项是常数项？（学生不语，摇头）师：看不出哪一些是常数项，怎么办？生：列关于项数的方程，求出项数．师：如果没第r+1项是常数项．我们要设法找到关于r的等量关系，得到关于r 的方程，已知中有等量关系吗？生：就是第r+1项是常数项，也就是这一项x的指数应该等于零，这应该是所要的等量关系．师：那么x的指数从哪里去找呢？生：当然还是利用通项公式．师：通过研究我们找到了解决问题的思路．先设第r+1项为不含x解出r后，再代回通项公式中，便可得到常数项，下面请同学们注意表述．（板书）令24-3r=0，解得r=8．所以展开式的第9项是不含x的项．因此T9师：当得知第9项是常数项之后，求第9项的问题就与例1类似了．归纳起来判断第几项是常数项，运用了方程的思想；找到这一项的项数后，就实现了转化，体现了转化的数学思想．例3 求（1+x+x2）（1-x）10的展开式中，x4的系数．师：问题提出后，我们看从什么地方入手？生：这个题与例2类似，也是不知道含x4的项是第几项，肯定得想办法求出项数．师：例2我们是从通项公式得出r的，这个已知式子的展开式的通项公式会求吗？生：（摇头）师：看来我们遇到的式子不是简单的二项式了，其实难以处理的是因式1+x+x2．我们能研究的是二项式（1-x）10，应该考虑如何转化为我们能处理的式子．生：把（1-x）10看作单项式，将所给式子展开，得（1+x+x2）（1-x）10=（1-x）10+x（1-x）10+x2（1-x）10．在这个多项式中，每一项都含有x4的项，分别求出相加就行了．师：具体地说说如何求每项中含x4的系数．生：（1-x）10的展开式中的x4的系数的求法跟例2一样，x（1-x）10的展开式中x4的系数等于（1-x）10的展开式中x3的系数，同理x2（1-x）10的展开式中x4的系数等于（1-x）10的展开式中x2的系数．师：很好！将原式局部展开之后，利用加法原理，便可得到展开式中x4的系数．（板书）解：由于（1+x+x2）（1-x）10=（1-x）10+x（1-x）10+x2（1-x）10，则（1+x+x2）（1-x）10的展开式中x4的系数为（1-x）10的展开式中x4，x3，x2的系数之和．而（1-x）10的展开式中含x4，x3，x2的项分别是第5项、第4项和第3项，则（1-x）10的展开式中x4，x3，x2的系数分别是：所以（1+x+x2）（1-x）10的展开式中x4的系数为210-120+45=135．师：通过转化，把不能直接使用二项式定理有关知识的问题转化为可以用二项式定理解决的问题，转化方式唯一吗？生：不唯一，还可以拿出一个1-x与1+x+x2相乘，得1-x3，只要讨论（1-x3）（1-x）9的展开式中x4的系数就可以了．师：那么（1-x3）（1-x）9的展开式中x4的系数怎么求呢？生：和刚才一样，（1-x3）（1-x）9=（1-x）9-x3（1-x）9，只要求出（1-x）9展开式中x4的系数减去（1-x）9的展开式中x的系数就行了．师：在这里要特别小心x3（1-x）9前面是“—”号，它也影响了整个展开式中x4的系数，为刚才求系数的方法，同学们再来计算一下这种变形下的展开式的x4的系数．师：刚才我们对所给的式子施加了两种不同的变形，结果当然是一样的．这两种方法哪一种更具一般性呢？生：第一种是一般方法，而第二种方法是特殊方法．比如已知式子是（1-x+2x2）（1-x）10，只能用第一种方法去解决了．师：我们看到，变形的方法不唯一，但思想都是转化，知识的灵活运用离不开转化思想作指导．我们再来看例4．这个展开式中是否存在常数项？如果有，求出常数项，如果没有，求出展开式的中间项．师：大家分析一下题目，这是个开放性问题．不知道常数项是否存在，如何处理？生：可以设第r+1项为常数项，令x的指数得零，求出r就行了．师：那常数项就一定存在吗？生：不一定．如果求出的r是大于等于0，且小等于n的整数，常数项就存在．否则常数项就不存在．师：其他同学有什么见解？生：所给的二项式跟前面几个例题中出现的二项式不一样，因为二项式的指数n 没有给出来，没有n不容易判断哪一项是常数项．师：很想知道n是多少，怎么得到？生：没有直接写出n等于多少的已知条件，只能运用方程的思想，找关于n的方程，由已知二项展开式前三项系数成等差数列，转化成代数形式就是关于n的方程，由这个方程应该能求出n．师：有了n之后，判断有无常数项．常数项是多少，中间项是多少的问题就转化为例1，例2的类型了．（板书）解：二项展开式中：设展开式中第r+1项为常数项，则师：当二项式给定后，通项公式中含有Tr+1，n，r三个量，一般是已知n，r求Tr+1（或其系数）．当n未知时，运用方程思想，找出关于n的方程，从而求出n，将问题转化．（二）课堂练习负整数，则r=14．所以整数项是第15项）2．已知（a+b）20的展开式中，第4r项的系数与第r+2项的系数相等．求第r-1项的系数．师：通过本节课的例题与习题，可以看到，二项展开式通项公式反映了项、项数、系数、指数等数量关系，因而通项公式是解决二项展开式有关项的问题的关键．在解决这类问题时，必须注意n，r的取值范围及大小关系．要注意体会方程的思想和转化思想的运用．（三）课后作业1．在（ax+1）7的展开式中，已知x3的系数是x2的系数与x4的系数的等差中项，且实数a＞1．求实数a的值．2．已知（1+x）3+（1+x）4+…+（1+x）50=a0+a1x+a2x2+…+a50x50．求a3的值．3．（1+2x）6的展开式中，第二项大于与它相邻的两项，求实数x的取值范围．课堂教学设计说明这是一堂典型的习题课，通过对例题的研究、讨论、巩固二项式定理通项公式，加深对项的系数、项的二项式系数等有关概念的理解和认识，形成求二项展开式某些指定的项的基本技能，同时要培养学生的运算能力，逻辑思维能力，强化方程的思想和转化的思想．在例题的配备上，我设计了一定的梯度．第一层次是给出二项式，求指定的一项，即项数已知，只需直接代入通项公式即可（如例1）；第二个层次（例2）则需自己创造代入a的条件，先判断哪一项为所求，即先求项数，利用通项公式中指数的关系求出r，此后转化为第一层次的问题；第三层次更突出了数学思想的渗透，例3需要变形才能求某一项的系数，恒等变形是实现转化的手段．在求每个局部展开式的某项系数时，又有分类讨论思想的指导，而例4的设计是想增加题目的综合性．求n的过程中，调动了等差数列、组合数公式等知识，求出n后，又化归为第二个层次的问题了．利用二项式定理通项公式，可以求展开式的某些特定的项，如有理项，系数最大（小）的项，二项式系数最大的项，含某个字母的某次幂项，常数项，都是转化为求展开式的第k项的问题．而k往往不是直接给出的，大多数情况是让解答者自己去寻求，这就要运用方程思想去处理．。