2017年春季学期新版新人教版九年级数学下册《27.2.1相似三角形的判定定理3》(第3课时)导学案
27.2.1相似三角形的判定(1)
27.2.1 相似三角形的判定(1)一、温故互查1.什么叫做相似多边形?2.相似多边形的性质和判定各是什么?3.成比例线段:对于四条线段a ,b ,c ,d ,如果其中两条线段的比与另两条线段的比 ,即:ab= (或:a b = ),我们就说这四条线段是成比例线段,简称比例线段.或者说四条线段a ,b ,c ,d 成比例.二、情境导入 问题:判定两个三角形全等时,除了可以验证它们三组对应角,三组对应边分别相等外,还可以使用简便的判定方法(_____,_____,_____,_____).类似地,判定两个三角形相似时,是不是也存在简便的判定方法呢?为了证明相似三角形的判定定理,我们先来学习平行线分线段成比例的基本事实.三、自主探究1.在相似多边形中,最简单的就是相似三角形.在△ABC 与△A′B′C′中,如果∠A=∠A′, ∠B=∠B′, ∠C=∠C′, 且k A C CA C B BC B A AB =''=''=''.我们就说△ABC 与△A′B′C′相似,记作△ABC ∽△A′B′C′,k 就是它们的相似比.反之如果△ABC ∽△A′B′C′,则有∠A=_____, ∠B=_____, ∠C=____, 且A C CA C B BC B A AB ''=''=''.☆ 问题:如果k =1,这两个三角形☆ 当△ABC 与△A′B′C′的相似比为k 时,△A′B′C′与△ABC 的相似比为 .2. 探究1: 如图,任意画两条直线l 1 , l 2,,再画三条与l 1 , l 2 相交的平行线l 3 , l 4, l 5..分别量度l 3 , l 4, l 5.在l 1 上截得的两条线段AB, BC 和在l 2 上截得的两条线段DE, EF 的长度, AB ︰BC 与DE ︰EF 相等吗?任意平移l 5 , 再量度AB, BC, DE, EF 的长度, AB ︰BC 与DE ︰EF 相等吗?AB ︰AC=DE ︰( ),BC ︰AC=( )︰DF .归纳总结:平行线分线段成比例基本事实 两条直线被___ ______所截,所得的________线段成比例.(平行线分线段成比例基本事实中相比线段同线)3.探究2:如果把所画的两条相交直线的交点A 刚好落到“横线”上,如图⑴,⑵所示,所得的对应线段成比例吗?依据是什么?把平行线分线段成比例的基本事实应用到三角形中,那么我们可以得到结论: _______于三角形一边的直线截其他两边(或两边的延长线),所得的_____线段__ ____ .四、尝试解题如图,AB ∥CD ∥EF ,AF 与BE 相交于点G ,且AG =2,GD =1,DF =5,求CEBC的值.五、巩固训练1.如图,在△ABC 中,DE ∥BC ,AC=4 ,AB=3,EC=1,求AD 和BD.2.如图,DE ∥BC ,(1)如果AD=2,DB=3,求AE :AC 的值;(2)如果AD=8,DB=12,AC=15,求AE 和EC 的长.六、归纳小结七、当堂检测1. 如图,1l ∥2l ∥3l 若AB=3cm ,BC=5cm ,EK=4cm ,则EK KF= _____ =_____,FK=__________.AB AC=____=____,2.如图,△ABC ∽△ADE ,其中∠ADE=∠B ,找出对应角并写出对应边的比例式.3.如图,△ABC 中,DE ∥BC ,分别交BA ,CA 的延长线于点E ,点D ,AB =5,AD =2,AE =3,求AC.4.已知:梯形ABCD 中,AD ∥BC ,EF ∥BC ,AE=FC ,364EB =,153DF =,求AE 的长.。
27.2.1 相似三角形的判定--三边
D B 分析: 分析: DE∽△ △A′DE∽△A′B′C′ DE≌△ △A′DE≌△ABC C B′
E C′
} ?
△ABC∽△A′B′C′ ABC∽△
相似三角形的判定 简称:三边) 3、(简称:三边):如果两个三角形的三组对 应边的比相等,那么这两个三角形相似. 应边的比相等,那么这两个三角形相似.
相似三角形的判定
对应角相等, 1、 对应角相等,三组对应边的比也相等的两 个三角形是相似三角形 相似三角形. 个三角形是相似三角形. A′符号语言: △ABC和△A´B´C´中, ′ 符号语言: 在 ABC和 A
∵ ∠ A = ∠ A ′, ∠ B = ∠ B ′, ∠ C = ∠ C ′ B C B′ C′
D B E C
∴△ADE∽△ABC ∽
探究: 探究:
任意画一个△ABC中 再画一个△ 任意画一个△ABC中, 再画一个△ A´B´C´, 使它 的各边长都是△ABC各边长的 各边长的k 的各边长都是△ABC各边长的k倍. 度量这两个三角形的对应角,它们相等吗? (1)度量这两个三角形的对应角,它们相等吗? ABC与 有什么关系? (2) △ABC与△ A´B´C有什么关系? A′ A
B
C B′ C′
结论:如果两个三角形的三组对应边的比 结论: 相等,那么这两个三角形相似. 相等,那么这两个三角形相似.
推理论证: 推理论证:
已知: 已知:在△ABC和△A′B′C′中 ABC和 求证: ABC∽△ 求证:△ABC∽△A′B′C′ A
AB BC AC , = = A′B′ B′C′ A′C′ A′
4cm
5cm
3cm
小结: 小结:
与同桌交流一下你这节课的收获! 与同桌交流一下你这节课的收获 相似三角形判定方法
最新人教版九年级数学下册第二十七章27.2.1《相似三角形的判定》说课稿
《相似三角形的判定》说课稿各位评委老师:大家好!我今天说课的内容是《相似三角形的判定》,下面我将从说教材、说学生、说教学方法、说教学过程、板书设计五个大板块来给大家阐述我的教学思路和教学设计。
一、说教材首先进入我的第一个大板块“说教材”。
我把说教材这个板块分为三个小环节来进行,它们分别是教材分析、教学目标、教学重难点。
1、教材分析本节课《相似三角形的判定》是选自新人教版九年级下册第二十七章第二节第二课时的内容。
是在学习了第一节相似多边形的概念、第一课时平行线分线段成比例的定理及推论后,研究相似三角形的定义以及三角形一边的平行线的判定定理。
本节课是判定三角形相似的起始课,是本章的重点之一。
一方面,该定理是前面知识的延伸和全等三角形性质的拓展;另一方面,不仅可以直接用来证明有关三角形相似的问题,而且还是证明其他三种判定定理的主要根据,所以把它叫做相似三角形判定定理的“预备定理”。
因此,这节课在本章中有着举足轻重的地位。
2、教学目标根据教学大纲的要求和贯彻全面发展的教育方针,我制定了如下的教学目标:(1)知识与技能:理解相似三角形的定义,掌握相似三角形判定定理的“预备定理”。
(2)过程与方法:让学生经历观察---探索----猜想----验证----运用----巩固的过程,渗透类比的思想方法,培养学生探究新知识、提高分析问题和解决问题的能力。
(3)情感态度和价值观:通过实物演示和电化教学手段,把抽象问题直观化,激发学生学习的求知欲,通过主动探究、合作交流,在学习活动中体验获得成功的喜悦。
3、教学重难点为了达到以上的教学目标,我制定了以下的教学重难点:教学重点:相似三角形的定义,判定两个三角形相似的预备定理。
教学难点:探究两个三角形相似的预备定理的过程。
二、说学生说完了教材,我想跟大家分析一下我所授课的学生所具有的特点,也就是学情分析。
老师们,我们都知道九年级的学生接受能力相比七八年级强,想得到老师的鼓励。
数学人教版九年级下册27.2.1相似三角形的判定---两角判定法
27.2.1相似三角形的判定---两角判定法教学目标(一)知识与技能掌握判定两个三角形相似的方法:如果一个三角形的两个角与另一个三角形的两个角对应相等,那么这两个三角形相似。
(二)过程与方法培养学生的观察﹑发现﹑比较﹑归纳能力,感受两个三角形相似的判定方法3与全等三角形判定方法(AAS ﹑ASA )的区别与联系,体验事物间特殊与一般的关系。
(三)情感态度与价值观让学生经历从实验探究到归纳证明的过程,发展学生的合情推理能力。
〔教学重点与难点〕教学重点:两个三角形相似的判定方法3及其应用教学难点:探究两个三角形相似判定方法3的过程教学过程:新课引入:复习两个三角形相似的判定方法1﹑2与全等三角形判定方法(SSS ﹑SAS )的区别与联系:如果两个三角形的三组对应边的比相等,那么这两个三角形相似。
(相似的判定方法1)如果两个三角形的两组对应边的比相等,并且相应的夹角相等,那么这两个三角形相似。
(相似的判定方法2)提出问题:观察两副三角尺,其中同样角度(300与600,或450与450)的两个三角尺大小可能不同,但它们看起来是相似的。
如果两个三角形有两组角对应相等,它们一定相似吗?延伸问题:作∆ABC 与∆A 1B 1C 1,使得∠A=∠A 1,∠B=∠B 1,这时它们的第三角满足∠C=∠C 1吗?分别度量这两个三角形的边长,计算11AB A B ﹑11BC B C ﹑11AC A C ,你有什么发现?(学生独立操作并判断) 分析:学生通过度量,不难发现这两个三角形的第三角满足∠C=∠C 1,11AB A B =11BC B C =11AC A C 。
分别改变这两个三角形边的大小,而不改变它们的角的大小,再试一试,是否有同样的结论?(利用刻度尺和量角器,让学生先进行小组合作再作出具体判断。
)探究方法:探究3分别改变这两个三角形边的大小,而不改变它们的角的大小,再试一试,是否有同样的结论?(教师应用“几何画板”等计算机软件作动态探究进行演示验证,引导学生观察在动态变化中存在的不变因素。
最新人教版九年级数学下册27.2.1相似三角形的判定(第1课时)
27.2 相似三角形
27.2.1相似三角形的判定 (第1课时)
最新人教版九年级数学下 册27.2.1相似三角形的判定 (第1课时)
教学目标
• 理解相似三角形的判定方法.
最新人教版九年级数学下册27.2.1相似三角 形的判定(第1课时)
教学重难点
• 会应用相似三角形的两个判定方法。 • 怎样选择合格的判定方法来判定两个 三角形相似。 • 抓住判定方法的条件,通过已知条件 的分析,把握图形的结构特点。
C/ C
A
B
A/
B/
注意
在写两个三角形相似时应把 表示对应顶点的字母写在对应 的位置上。
最新人教版九年级数学下册27.2.1相似三角 形的判定(第1课时)
用符号语言表示:
C
A
B
C'
∵ ∠A= ∠A' 、∠B= ∠B' 、 ∠C=C'
AB BC CA A'B' B'C' C'A'
∴ △ABC∽△A'B'C'
A
l3
D
E l3
D
E l4
A
l4
B
(图1) C l5
B
(图2)
C l5
结论:平行于三角形一边的直线截其他两
边(或两边的延长线),所得对应线段成
比例.
最新人教版九年级数学下册27.2.1相似三角 形的判定(第1课时)
三条平行线截两条直线,所得的对应线段的比相等.
定理的符号语言 L1 L2
L3//L4//L5
应边成比例。
A'
B'
人教版九年级数学下册:27.2.1相似三角形判定教案
(3)SAS相似定理:如果两个三角形的两边和夹角对应相等,那么这两个三角形相似。
3.相似三角形的判定方法:通过实际例题,让学生掌握如何运用上述定理来判断两个三角形是否相似。
4.相似三角形的性质应用:探讨相似三角形在实际问题中的应用,如比例尺、图形放大与缩小等。
2.教学难点
-理解并内化相似三角形的判定定理:学生对定理的理解往往停留在表面,难以灵活运用到实际问题中。
-识别并构建相似三角形:在实际问题中,学生需要能够从复杂的图形中识别出相似三角形,这要求学生有较强的观察能力和空间想象力。
-解决相似三角形相关的问题时,选择合适的判定方法:学生往往在面对多种判定方法时,难以选择最有效的方法。
实物模型,增强学生的直观感受,帮助他们理解和记忆相似三角形的判定定理。
-设计不同难度的题目,逐步引导学生从简单到复杂的问题解决过程中,培养他们识别和构建相似三角形的能力。
-通过小组讨论和合作,让学生在互动交流中学会选择合适的判定方法。
-结合实际情境,设计贴近生活的例题,指导学生如何将相似三角形的性质应用于实际问题,提高他们解决问题的能力。
3.成果分享:每个小组将选择一名代表来分享他们的讨论成果。这些成果将被记录在黑板上或投影仪上,以便全班都能看到。
(五)总结回顾(用时5分钟)
今天的学习,我们了解了相似三角形的基本概念、判定方法以及在实际中的应用。同时,我们也通过实践活动和小组讨论加深了对相似三角形的理解。我希望大家能够掌握这些知识点,并在日常生活和学习中灵活运用。最后,如果有任何疑问或不明白的地方,请随时向我提问。
(二)新课讲授(用时10分钟)
1.理论介绍:首先,我们要了解相似三角形的基本概念。相似三角形是指具有相同形状但大小不同的两个三角形。它们对应角相等,对应边成比例。相似三角形在几何学中占有重要地位,广泛应用于实际问题中。
27.2.1 第4课时 相似三角形的判定定理3
利用两角判定三角形相似
直角三角形相似的判定
THANKS
则AB=kA'B',AC=kA'C'
由勾股定理得
∴
∴
∴
Rt△ABC∽ Rt△A'B'C'.
1.在 Rt△ABC 和 Rt△A′B′C′ 中,∠C=∠C′=90°,依据下列各组条件判定这两个三角形是否相似.(1) ∠A=35°,∠B′=55°: ;(2) AC=3,BC=4,A′C′=6,B′C′=8: ;(3) AB=10,AC=8,A′B′=25,B′C′=15: .
符号语言:
归纳:
例1 如图,Rt△ABC中,∠C=90°,AB=10,AC=8.E是AC上一点,AE=5,ED⊥AB,垂足为D,求AD的长.
解:∵ ED⊥AB, ∴ ∠EDA=90°. 又∠C=90 °, ∠A=∠A, ∴△AED∽△ABC. ∴
在△ABC 与△A'B'C'中,如果满足∠B=∠B',∠C=∠C',那么能否判定这两个三角形相似?
猜想:△ABC∽△A'B'C'
问题1: 度量 AB,BC,AC,A′B′,B′C′,A′C′ 的长,并计算出它们的比值. 你有什么发现?
一、两角分别相等的两个三角形相似
探究
与同伴合作,一人画 △ABC,另一人画 △A′B′C′,使∠A=∠A′=40°,∠B=∠B′=55°,探究下列问题:
第二十七章 相 似
27.2.1 相似三角形的判定
第4课时 两角分别相等的两个三角形相似
27.2 相似三角形
1. 探索两角分别相等的两个三角形相似的判定定理.2. 掌握利用两角来判定两个三角形相似的方法,并能进行相关计算. (重点、难点)3. 掌握判定两个直角三角形相似的方法,并能进行相关计算.
人教版数学九年级(下)-27.2.1:相似三角形的判定(教案)
三、教学难点与重点
1.教学重点
-理解相似三角形的定义及性质,强调相似三角形的对应角相等、对应边成比例的核心概念。
-掌握相似三角形的判定方法(AA、SAS、SSS),特别是SAS判定法中“夹角”的概念。
4.在课堂总结环节,我发现有些学生对相似三角形的理解仍不够深入。为了加深他们的理解,我决定在课后布置一些有关相似三角形的练习题,帮助他们巩固知识点。
5.关于课堂氛围,我觉得这节课的互动环节较为顺利,学生们积极性较高。但在讲授理论知识时,课堂氛围略显沉闷。为了提高学生的学习兴趣,我将在下一节课尝试运用更多有趣的教学方法,如游戏、竞赛等,让学生在轻松愉快的氛围中学习。
(4)通过实例,培养学生观察、分析、解决问题的能力。
二、核心素养目标
(1)培养学生几何直观与空间想象能力,通过观察相似三角形的特征,理解相似三角形的定义及性质,提高对几何图形的认识;
(2)发展学生逻辑推理与数学论证能力,掌握相似三角形的判定方法,学会运用严谨的数学语言进行推理与证明;
(3)提高学生问题解决与数学应用能力,将相似三角形的判定应用于解决分钟)
1.理论介绍:首先,我们要了解相似三角形的定义及判定方法。相似三角形是指对应角相等、对应边成比例的两个三角形。它是解决几何问题的重要工具,广泛应用于实际问题中。
2.案例分析:接下来,我们来看一个具体的案例。这个案例展示了相似三角形在实际中的应用,以及它如何帮助我们解决问题。
-学会应用相似三角形的判定解决实际问题,如长度测量、图形放大与缩小等。
举例解释:
在讲解相似三角形的定义时,通过具体图形的对比,强调相似三角形的内在联系,如对应角相等、对应边成比例。在讲解判定方法时,重点突出SAS判定法中“夹角”的含义,即两边相似且夹角相等。
人教版九年级下册数学27 .2.1相似三角形的判定
第二十七章相似第2课时相似三角形的判定(1)学习目标1.了解相似三角形的概念,准确找出两相似三角形的对应边、对应角.2.掌握平行线分线段成比例的基本事实.3.探索三角形相似的预备定理.知识点一:相似三角形的定义(1)如果两个三角形的三个角分别,三条边,那么这两个三角形相似.(2)△ABC与△A′B′C′相似记作.(3)△ABC与△A′B′C′的相似比为k,则△A′B′C′与△ABC的相似比为.对点练习1.如图所示的两个等腰直角三角形相似吗?为什么?知识点二:平行线分线段成比例定理(1)两条直线被一组平行线所截,所得的对应线段成比例.几何语言:如图1,∵l3∥l4∥l5,∴ABBC=,ABAC=,BCAC=.(2)平行于三角形一边的直线截其他两边(或两边的延长线),所得的对应线段成比例.(如图2,图3)对点练习2.(1)如图1,l 1∥l 2∥l 3,其中a =2,b =3,c =4,则d = ;(2)如图2,AB ∥CD ∥EF ,AF 与BE 相交于点G ,且AG =2,GD =1,DF =5,则BCCE 的值等于 .知识点三:相似三角形的判定定理1于三角形一边的直线和其他两边(或两边的延长线)相交,所构成的三角形与原三角形相似. 几何语言: 如图,∵DE ∥BC , ∴ .对点练习3.如图,在△ABC 中,DE ∥BC ,且AD =3,DB =2.写出图中的相似三角形,并指出其相似比.精典范例【例1】如图,直线a ,b 被三条互相平行的直线l 1,l 2,l 3所截,AB =3,BC =2,则DE ∶DF =( )A .2∶3B .3∶2C .2∶5D .3∶5【例2】如图,DE ∥BC ,则下列判断不正确的是( ) A.AD AB =AE AC B .AD AB =DE BC C.AE AC =DE BC D .DE BC =AD BD【例3】如图,在△ABC 中,点D ,E ,F 分别在BC ,AB ,AC 边上. (1)当点D ,E ,F 分别为BC ,AB ,AC 边 的中点时,求证:△BED ≌△DFC ; (2)若DE ∥AC ,DF ∥AB ,AE =2, BE =3,求CFAF 的值.变式练习1.如图,AB∥CD,AD与BC相交于点O,若AO=2,DO=4,BO=3,则BC 的长为()A.6 B.9C.12 D.152.如图,在6×6的正方形网格中,连接两格点A,B,线段AB与网格线的交点为点C,则AC∶CB=()A.1∶3 B.1∶4C.1∶5 D.1∶63.如图,在△ABC中,DE∥BC,EF∥AB,AD=3,AB=7,BC=6,求CF的长.巩固练习1.如图,AD∥BE∥CF,直线l1,l2与这三条平行线分别交于点A,B,C和点D,E,F,若AB=2,BC=4,DF=9,则EF的长是()A.3B.6C.7D.82.如图,直线l1∥l2∥l3,直线AC分别交l1,l2,l3于点A,B,C;过点B 的直线DE分别交l1,l3于点D,E.若AB=3,BC=6,BD=2.5,则线段BE的长为.本文使用Wrod编辑,排版工整,可根据需要自行修改,使用方便。
九年级数学下册 27.2.1《相似三角形的判定》教案 新人教版
《27.2.1相似三角形的判定》目标目标1:通过小组合作、探究三角形相似的判定方法,增进学生合作精神,训练学生解决几何问题的能力,培养学生的观察能力和逻辑思维能力。
目标2:掌握相似三角形的两个判定定理,会运用两个判定定理判定两个三角形相似。
检测内容提要T 方法&策略反思/评价前通过提问学生,巩固已学知识。
一、知识回顾1、学习过哪些判定三角形相似的方法?2、全等三角形与相似三角形有怎样的关系?3、两个三角形全等有哪些简单的判定方法?4、如果要两个三角形相似,是否有简单的判定方法?你认为可以研究哪些简单的判定方法?二、新课讲解1、探究2:(1)提出问题:任意画一个三角形,再画一个三角形,使它的各边都是原来三角形k倍,度量这两个三角形的对应角,它们是否相等?这两个三角形相似吗?与同学交流一下,看看是否有同样的结论。
(2)画图探究(3)初步形成结论:如果两个三角形的三组边的比相等,那么这两个三角形相似。
2、证明上述定理。
3、探究3:(1)提出问题:在两个三角形中,如果两对应组边的比相等,且相应的夹角也相等,那么能否判定这两个三角形相似?(2)学生画图,自主展开探究活动。
(3)形成结论::如果两个三角形的两对应组边的比相等,且相应的夹角也相等,那么这两个三角形相似。
(4)小结与思考思考题:若相等的角是邻角而不是夹角,那么这两个三角形还相似吗?3’8’8’8’一、通过个别提问和全班回答这两种形式,巩固上节课所学知识(提问3—5人)在此基础上激发学生学习新知的欲望。
(想、讲、听)二、1、分6人小组进行探究,通过画图,度量角度,比较对应角的角度,判断这两个三角形是否相似。
(动、看、想)分小组展示,互相点评,师生共同归纳定理。
(讲、听、看、想)2、由学生独立完成证明,并让2人板书,师点评,证明之后,教师将命题改写为判定定理,并指导学生进行小结。
(静动转换、看、听、讲)3、分4人小组,通过证明推理获得结论,各组展示证明过程,由发言人陈述证明思路,老师点评。
人教版数学九年级下册-27.2相似三角形 相似三角形的判定-原创
课堂练习
一、判断下列说法是否正确 ×(6)有一个角相等的两个直角三角形是相似三角形
√ (7)有一个锐角相等的两个直角三角形是相似三角形 √ (8)所有的正三角形都相似 ×(9)两个等腰三角形只要有一个角对应相等就相似
课堂练习
如图,⊿ABC内接于⊙O,∠BAC的平分线交⊙O于 点D,交边BC于点E,连接BD (1) 根据题设条件,请你找出图中各对相似三角形
相似 如果两个三角形的三组对应边的比相等,那么这两个 三角形相似。 如果两个三角形的两组对应边的比相等,并且相应的 夹角相等,那么这两个三角形相似。
如果一个三角形的两个角和另一个三角形的 两个角对应相等,那么这两个三角形相似
例题讲练
例1, 如图, 在RtΔABC中,CD是斜边AB上的高。 (1)图中有哪些相似的三角形?证明你的结论. (2)证明CD2=AD·BD (3)类似的,AC2=( )·( ) BC2=( )·( )
相相似似三三角角形形的的判判定定
课前复习
1、相似三角形的定义;我们怎么表示两 个三角形相似?
对应角相等,对应边的比相等的两个三角形, 叫做相似三角形
课前复习
如图:如果三角形⊿ABC和⊿A’B’C’相似,则定 义可用数学符号描述为:
A A’ ∵∠A=∠A’,∠B=∠B’,∠C=∠C’
AB=AC =BC
SSS 如果两个三角形的三组对应边的比相等,那么这
两个三角形相似。
A ∵ AB = AC = BC A’B’ A’C’ B’C’
C
A’
∴⊿ABC~⊿A’B’C’
B
C’ B’
课前复习
全等
SSS
SAS
相似
如果两个三角形的三组对应边的比相等,那么这两个 三角形相似。
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第3课时相似三角形的判定定理3
1.掌握相似三角形的判定定理3.
2.了解两个直角三角形相似的判定方法.
3.深化对相似三角形的三个判定方法的理解,并能够运用相似三角形的判定方法解决相似三角形的有关问题.
阅读教材P35-36,自学“例2”与“思考”,理解相似三角形判定定理3及直角三角形相似的判定方法.
自学反馈学生独立完成后集体订正
①如果一个三角形的两个角与另一个三角形的两个角对应,那么这两个三角形相似.
②如果两个直角三角形中,有一条直角边和斜边对应成比例,那么这两个直角三角形.
③要判定两个直角三角形相似,最简单的方法就是再找对应相等,就可以根据相似三角形的判定3,判定这两个直角三角形相似.
④如图所示,已知∠ADE=∠B,则△AED∽.理由是.
⑤顶角对应相等的两个等腰三角形相似吗?为什么?
要根据已知条件选择适当的方法.
活动1 小组讨论
例1 如图,在△ABC中,∠C=60°,BE⊥AC于E,AD⊥BC于D.
求证:△CDE∽△CAB.
证明:∵∠C+∠CAD=90°,∠C+∠CBE=90°,
∴∠CAD=∠CBE.
又∵∠C=∠C,∴△CAD∽△CBE.
∴CA
CB
=
CD
CE
.
又∵∠C=∠C,∴△CDE∽△CAB
在寻求不到另一个角相等的情况下,寻求夹相等的角的两边的比相等,是解本类题型的有效方法. 活动2 跟踪训练(独立完成后展示学习成果)
1.如图,四边形ABCD是正方形,△ECF是等腰直角三角形,其中CE=CF,G是CD与EF的交点.
①求证:△BCF∽△DCE;
②若BC=5,CF=3,∠BFC=90°,求DG∶GC的值.
求线段的比值一般的方法是寻找两线段所在的三角形相似.
2.如图所示,在⊙O中,AB=AC,则△ABD∽,若AC=12,AE=8,则AD= .
3.如图,正方形ABC D的边长为2,AE=EB,MN=1,线段MN的两端在CB、CD上滑动,当CM= 时,△AED与以M、N、C为顶点的三角形相似.
要考虑到线段的对应分两种情况.
活动1 小组讨论
例2 已知:如图,∠ABC=∠CDB=90°,AC=a,BC=b,当BD与a,b之间满足怎样的关系时,这两个三角形相似?
解:∵∠ABC=∠CDB=90°,
(1)当BC
BD
=
AB
CD
时,△ABC∽△CDB,
此时BC
BD
=
AB
CD
=
AC
BC
,即
a
b
=
b
BD
.
∴BD=2
b a
. 即当BD=2
b a
时,△ABC ∽△CDB ; (2)当
AB BD =BC CD
时,△ABC ∽△BDC , 此时AB BD =BC CD =AC BC ,即AB BD =AC BC .
∴BD
=a b ,BD=b a
∴当BD=b a ,△ABC ∽△BDC.
综上所述,即当BD=2
b a
或BD=b a ,这两个三角形相似.
本题仍是要考虑当两个三角形有一个角相等时,夹这个角的两边的比相等时有两种情况. 活动2 跟踪训练(独立完成后展示学习成果)
如图,在△ABC 中,∠C=90°,BC=8 cm ,4AC-3BC=0,点P 从B 点出发,沿BC 方向以2 cm/s 的速度移动,点Q 从C 点出发,沿CA 方向以1 cm/s 的速度移动,若P 、Q 分别从B 、C 同时出发,经过多少秒时,△CPQ 与△CBA 相似?
活动3 课堂小结
1.本节学习的数学知识:如果一个三角形的两个角与另一个三角形的两个角对应相等,那么这两个三角形相似.
2.根据题目的具体情况,选择适当的方法证明三角形相似.
3.本节学习的数学思想:数形结合、分类讨论.
教学至此,敬请使用学案当堂训练部分.
【预习导学】
自学反馈
①相等
②相似
③一个锐角
④△ACB 略
⑤相似 略
【合作探究1】
活动2 跟踪训练
1.①略②4∶3
2.△AEB 18
3.
55
【合作探究2】
活动2 跟踪训练
设经过t s时,△CPQ和△CBA相似,此时BP=2t cm,CQ=t cm,则CP=(8-2t) cm,其中0<t<4. 又BC=8 cm,4AC-3BC=0,求得AC=6 cm.
(1)当PQ∥AB时,△CPQ∽△CBA,则CP
CB
=
CQ
CA
,即
82
8
t
-
=
6
t
,所以t=2.4.
(2)当CP
CA
=
CQ
CB
时,△CPQ∽△CAB,则
82
6
t
-
=
8
t
,解得t=
32
11
.
故经过2.4 s或32
11
s时,△CPQ与△CBA相似.。