新人教版高中数学必修一第一章函数的概念和表示方法学案

（此法亦称部分分式法）
2．二次函数法：
例二、1若 为实数，求y=x2+2x+3的值域
2求函数 的值域
解：由4xx2≥0得0≤x≤4
在此区间内(4xx2)max=4 (4xx2)min=0
∴函数 的值域是{y| 0≤y≤2}
3．判别式法（△法）
例三、求函数 的值域
解一：去分母得(y1)x2+(y+5)x6y6=0 (*)
函数的概念
1．函数的定义：设A、B是非空数集，如果按照某种确定的对应关系f，使对于集合A中的任意一个数x，在集合B中都有的数 和它对应，那么称 为从集合A到集合B的一个函数（function），记作：.其中，x叫自变量，x的取值范围A叫作，与x的值对应的y值叫函数值，函数值的集合 用任意的字母表示，如“y=g(x)”；
∵t≥0∴y≤4
小结：
1．直接法：应注意基本初等函数的值域
2．二次函数法：应特别当心“定义域”
3．△法：须检验
4．换元法：注意“新元”的取值范围
函数的表示方法
1．函数的表示法常用的有__________、__________、__________。
解析法：用表示两个变量之间的对应关系.优点：简明；给自变量求函数值.
5．实数集R用区间 表示，其中“∞”读“”；“－∞”读“负无穷大”；“+∞”读“正无穷大”.我们可以把满足 的实数 的集合分别表示为____________、____________、____________、____________。
5．如果两个函数的定义域和对应关系完全一致，即称这两个函数（或为同一函数）；
5．函数的表示方法有三种:图象法、列表法、解析法
6．图象法：在函数y=f（x）中，以为横坐标，对应的为纵坐标的点的集合，叫做函数y=f（x）的图象，这种用“图形”表示函数的方法叫做图象法.
当y1时∵xR∴△=(y+5)2+4(y1)×6(y+1)≥0
由此得(5y+1)2≥0
检验 时 （代入(*)求根）
∵2定义域{x|x2且x3}∴
再检验y=1代入(*)求得x=2∴y1
综上所述，函数 的值域为{y|y1且y }
4．换元法
例四、求函数 的值域
解：设 则t≥0x=1t2
代入得y=f(t)=2×(1t2)+4t=2t2+4t+2=2(t1)2+4
3．映射：一般地，设A、B是两个的，如果按某一个确定的对应法则f，使对于集合A中的x，在集合B中都有的元素y与之对应，那么就称对应 为从集合A到集合B的一个．记作“ ”
关键：A中任意，B中唯一；对应法则f.
4．函数与映射的关系：函数是建立在两个非空数集间的一种对应，若将其中的条件“”弱化为“任意两个非空集合”，按照某种法则可以建立起更为普通的元素之间的对应关系，即映射.简言之：函数一定是映射，而映射不一定是函数.
图象法：用表示两个变量之间的对应关系.优点：直观形象，反应变化趋势.
列表法：来表示两个变量之间的对应关系.优点：不需计算就可看出函数值.
2．分段函数：在函数的定义域内，对于自变量x的不同取值区间，有着，
关键：“分段函数，分段处理”注意:
①分段函数是一个函数,而不是几个函数;
②分段函数的定义域是 的不同取值范围的并集;其值域是相应的 的取值范围的并集
注意：两个函数相等当且仅当它们的定义域和对应关系完全一致，而与表示自变量和函数值的字母无关.
6．求函数定义域的规则：
①分式： ，则 ；
②偶次根式： ，则 ；
③零次幂式： ，则 .
难点：函数的值域
求值域的方法：
1．直接法（观察法）：
例一、求下列函数的值域：1
解：1 ∵ ∴
即函数 的值域是{y|yR且y1}
函数符号“y=f(x)”中的f(x)表示与x对应的函数值，一个数，而不是f乘
2．常见函数的定义域与值域.
函数
解析式
定义域
值域
一次函数
二次函数
，其中
反比例函数
3．函数的三要素是、、.
注：只有当这三要素完全相同时，两个函数才能称为同一函数。
判断下列各组中的两个函数是否是同一函数？为什么？
4．设a、b是两个实数，且a<b，则： 叫区间； 叫区间； ， 都叫半开半闭区间.