雨滴下落的收尾速度

雨滴下落的收尾速度
自高空落下的雨滴如果以自由落体运动来算，则其到达地面时的速度可达说百米每秒，这对人类是十分危险的。

但实际上，雨滴在空气中下落时不可能是自由落体，因为在下落过程中，它不仅受重力，还受空气阻力和浮力，并且阻力随速度增加而增加，到达一定速度后，重力便于阻力和浮力的合力相等，雨滴的速度则达到极大。

此时的速度是不会太大的，因而雨滴达到地面是不会对人类产生较大危害的。

在此，阻力起了关键作用。

由流体力学可知,物体在流体中通过时所受的流体粘滞力为v c s F
d 2
2
1ρ=
,其中ρ为流体密度，s 为物体与流体垂直方向的最大横截面积，
c
d 叫做阻力系数，它与无量纲的流体雷诺数有关，
η
ρ
lv R e =
雷诺数，
l
为与物体横截面相联系的特征长度，η为流体的粘滞系数，v 为物体的速度。

在10
5
20⨯≤≤
R e 范围内有
4.012424
++
+
≈
R
R
c e
e
d ，对于球形物体，上边的r
s 2
π= ，
r l 2=当1≤R e 时，上式中的第二，三项可以忽略, ρ
η
rv c d 12≈
，则
πρ
rv F
r
6=，
R
e
接近零，阻
力与速度成正比，当
10
10
5
3
2⨯<<R e 时，阻力系数接近0.4，
πρv r F r 2
2
2.0= ，即球所受阻
力与速度的平方成正比。

下面分两种情况讨论雨滴在空气中的收尾速度。

⒈设所受阻力与V 成正比。

雨滴在重力﹑浮力﹑和阻力的共同作用下的运动方程为(
)
πηrv g m m
m d
d t
v 6*
--=⑴，或写成
kv g d
d t
v -=*
⑵，其中
g g
⎪⎪⎭⎫ ⎝
⎛-=ρρ水空1*
称为等效引力加速度。

ρηπη水r m r k 2296== 取初
始条
()0
0=v 解方程⑵可的
()()
e g kt
k
t v --=
1*
写成级数形式
()t k g t g g
k t t v 3
2*2**
6
121+-=，当
k →0和g →g*时有
()()t g t v → ,在此收尾速度为
(
)η
ρ
ρ
922
*$
r
g v
g k
T
-=
=
空
水
⑶
，在
⑶
中，取
m
kg 13
1000⋅=ρ
水
，
m
kg 3
293.1-⋅=ρ
空
，s
m kg 1
1
6
101.17---⋅⋅⨯=η
则
r
v T 2
6
1019.127⨯= ，再将
v
T
代
入
R e
，有 1013
29.1⨯=R e ，欲使
1<R
e
，则必须是半径10
4
36.0-⨯<r m 特小雨滴，如
取r=0.00002m 计算，则收尾速度为0.05088米每秒，达到这个速度几乎是一瞬间的事，因由任意时刻的速度V=0.05088[1-exp （-192t)]米每秒，则当速度从零增到时所用时间为0.023s ，这是很短的，因此可以说极
小雨滴都是以收尾速度下落的。

然而，这么小的雨滴在短时间内是不可能从高空中下到地面的，必须长成大雨滴才能落下，以进一步说明斯托克斯方程只可用于微小现象。

⒉阻力与V 的平方成正比。

运动方程为
v
g d
d m t
v 2
*
γ
-
= ⑷，其中
πγρ
空
r
2
2.0=，式⑷的解为()t tgh t v v
g v T
T *
=，
在此收尾速度
T
m g v
T
*
=
，将雨滴质量m 和及g*代入可得
gr v
T
⎪⎪⎭
⎫
⎝⎛-=167.6ρρ空水
，与之相应的
r
v R T
e r 2
3
7
10
32.12⨯==
η
ρ空
,欲使
10
10
5
3
2⨯<<r e
，必须使雨滴半径r>0.002m.以
r=0.0025m 为例，可算得
s
v
m T
2
2.11-⋅=，达到该速度的时间约为3秒，雨滴以收尾速度从2000米高
空落到地面约需3分钟。

由上我们可以看出以下几点 ⑴落下来的半径r>2mm 的雨滴是实际存在的，也就是说较大的雨滴下落过程中所受阻力与V 的平方成正比。

⑵半径为0.25cm 的雨滴落到地面的动量约为0.00071千克·米·秒，再考虑到风力的影响，收尾速度还要小些，加之水表面又有弹性，延缓了和人的作用，也使得作用力大大减小。

⑶上述结果更可用于冰雹，还因为冰的密度小于水的密度，其收尾速度还要小些，但冰雹表面坚硬，力的作用时间短，使得作用力较大，所以往往可以砸坏建筑物，击伤人畜，对人类危害很大。

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赵庆侧。