湖北省武汉市武昌区2020届高三元月调研考试数学(文)-含答案

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湖北武汉市武昌区2020届高三元月调研考试数学文

10．函数 f ( x) A sin( x ) （ A 0 ， 0 ， 0
①直线 x
5π为函数 f ( x) 的一条对称轴； 12
②点 ( 2 π,0) 为函数 f ( x) 的一个对称中心； 3
③函数 f ( x) 的图象向右平移 π个单位后得到 3
π）的部分图象如图所示，给出下列说法： 2
函数 y 2 sin 2 x 的图象 .
易证 DB1 A1F ，因为 DB1 D1E D ，
所以 A1F 平面 B1DE . ……………（ 6 分）
（ 2）取 A1A 的中点 G ，连结 BG 交 B1D 于 H . 由（ 1）知 A1F 平面 B1DE ，而 BG // A1F ，
C
E
所以 BG 平面 B1DE .
连结 EG ，则 BEG 为直线 BE 与平面 B1DE 所成的角 .
12．已知函数 f ( x)
ax 1, x 0, 若函数 f ( x) 的图像上存在关于坐标原点对称的点，
ln x, x 0.
则实数 a 的取值
范围是 A ． ( ,0]
B. ( ,1]
C． [ 1 ,0] 2
D ． ( 1 ,1] 2
二、填空题：本题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分。 13．函数 y cos x cos2 x (x R ) 的最大值为 ______. 14．若直线 l ： x my 3m 2 0 被圆 C : x2 y2 2 x 24 0 截得的线段最短，则实数
①线段 BM 的长是定值； ②存在某个位置，使 DE A1C ；
A1 M
③存在某个位置，使 MB // 平面 A1DE .
D
C
其中正确的命题有 ______.

2020年湖北省武汉市武昌区高三元月调考数学试卷(文科)

2020年湖北省武汉市武昌区高三元月调考数学试卷（文科）一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．（5分）已知集合2{|20}A x x x =--<，{|20}B x x =-<<，则(A B = )A ．(2,1)--B ．(1,0)-C ．(0,2)D ．(1,2)-2．（5分）复数z 满足(1)2i z i +=，则z 在复平面上对应的点位于( ) A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限3．（5分）已知{}n a 是各项均为正数的等比数列，113a =，3221a a =+，则(n a = )A ．13n -B ．23n -C ．12n -D ．22n -4．（5分）已知0.1log 0.2a =， 1.1log 0.2b =，0.21.1c =，则a ，b ，c 的大小关系为( ) A ．a b c >>B ．a c b >>C ．c b a >>D ．c a b >>5．（5分）等腰直角三角形ABC 中，2ACB π∠=，2AC BC ==，点P 是斜边AB 上一点，且2BP PA =，那么(CP CA CP CB += ) A ．4-B ．2-C ．2D ．46．（5分）为美化环境，从红、黄、白、紫4种颜色的花中任选2种花种在一个花坛中，余下的2种花种在另一个花坛中，则红色和紫色的花不在同一花坛的概率是( ) A ．13B ．12C ．23D ．567．（5分）已知数列{}n a 中，11a =，23122n S n n =-，设11n n n b a a +=，则数列{}n b 的前n 项和为( ) A ．31nn + B ．331nn + C ．132n n -- D ．3332n n -+- 8．（5分）已知三棱锥S ABC -的所有顶点都在球O 的球面上，SA ⊥平面ABC ，120BAC ∠=︒，2SA AB AC ===，则球O 的表面积为( )A ．4πB．C ．20πD ．36π9．（5分）已知双曲线22145x y -=的左焦点为F ，点P 为其右支上任意一点，点M 的坐标为(1,3)，则PMF ∆周长的最小值为( ) A．5+B．10C．5 D．910．（5分）函数()sin()(0f x A x A ωϕ=+>，0ω>，0)2πϕ<<的部分图象如图所示，给出下列说法： ①直线512x π=-为函数()f x 的一条对称轴； ②点2(,0)3π-为函数()f x 的一个对称中心； ③函数()f x 的图象向右平移3π个单位后得到函数2sin 2y x =的图象．其中，正确说法的个数是( )A ．0B ．1C ．2D ．311．（5分）已知直线l 与抛物线26y x =交于不同的两点A ，B ，直线OA ，OB 的斜率分别为1k ，2k ，且123k k =，则直线l 恒过定点( ) A ．(63,0)-B ．(33,0)-C ．(3,0)-D ．(3,0)-12．（5分）已知函数1,0(),0ax x f x lnx x +<⎧=⎨>⎩若函数()f x 的图象上存在关于坐标原点对称的点，则实数a 的取值范围是( ) A ．(-∞，0]B ．(-∞，1]C ．1[,0]2-D ．1(,1]2二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分. 13．（5分）函数cos cos2()y x x x R =-∈的最大值为．14．（5分）若直线:320l x my m +-+=被圆22:2240C x y x +--=截得的线段最短，则实数m 的值为．15．（5分）已知一组数据10，5，4，2，2，2，x ，且这组数据的平均数与众数的和是中位数的2倍，则x 所有可能的取值为．16．（5分）如图，已知平行四边形ABCD 中，60BAD ∠=︒，2AB AD =，E 为边AB 的中点，将ADE ∆沿直线DE 翻折成△1A DE ．若M 为线段1A C 的中点，则在ADE ∆翻折过程中，有下列三个命题： ①线段BM 的长是定值； ②存在某个位置，使1DE AC ⊥； ③存在某个位置，使//MB 平面1A DE ．其中正确的命题有．（填写所有正确命题的编号）三、解答题：共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.第17～21题为必考题，每个试题考生都必须作答.第22、23题为选考题，考生根据要求作答.（一）必考题：共60分.17．在锐角ABC ∆中，角A 、B 、C 的对边分别为a 、b 、c ，且3sin cos cos sin 2a B Bb A Bc +=．（1）求B ；（2）若2b =，求ABC ∆的面积的最大值．18．如图，在直三棱柱111ABC A B C -中，AC AB ⊥，12A A AB AC ===，D ，E ，F 分别为AB ，BC ，1B B 的中点．（1）证明：1A F ⊥平面1B DE ；（2）求直线BE 与平面1B DE 所成角的正弦值．19．为了增强消防意识，某部门从男，女职工中各随机抽取了20人参加消防知识测试，这40名职工测试成绩的茎叶图如图所示（1）根据茎叶图判断男职工和女职工中，哪类职工的测试成绩更好？并说明理由；（2）（ⅰ）求这40名职工成绩的中位数m ，并填写下面列联表：超过m 的人数不超过m 的人数男职工女职工（ⅱ）如果规定职工成绩不少于m 定为优秀，根据（ⅰ）中的列联表，能否有99%的把握认为消防知识是否优秀与性别有关？附：22()()()()()n ad bc K a b c d a c b d -=++++．2()P K k0.050 0.010 0.001 k3.8416.63510.82820．已知椭圆22:1(0)x y E a b a b +=>>的两焦点与短轴一端点组成一个正三角形的三个顶点，且焦点到椭圆上的点的最短距离为1．（1）求椭圆E 的方程；（2）过点(4,0)M 的直线l 与椭圆交于A ，B 两点，点A 关于x 轴的对称点为A '，求证：直线A B '过定点，并求出该定点的坐标． 21．已知函数1()(1)2f x a lnx ax x=++-+．（1）讨论()f x 的单调性；（2）若()f x 有两个极值点1x ，212()x x x <，且至少存在两个零点，求1212()()f x f x x x ++的取值范围．四、选考题：共10分.请考生在第22、23题中任选一题作答.如果多做，则按所做的第一题计分.22．（10分）在直角坐标系xOy 中，曲线1C的参数方程为2(2x t y ⎧=-⎪⎪⎨⎪=+⎪⎩为参数）．以坐标原点为极点，以x 轴正半轴为极轴的极坐标系中，曲线2C 的极坐标方程为22932cos ρθ=-．（1）写出1C 的普通方程和2C 的直角坐标方程；（2）若1C 与y 轴交于点M ，1C 与2C 相交于A 、B 两点，求||||MA MB 的值．23．（1）已知()||||f x x a x =-+，若存在实数x ，使()2f x <成立，求实数a 的取值范围；（2）若0m >，0n >，且3m n +=，求证：143m n+．2020年湖北省武汉市武昌区高三元月调考数学试卷（文科）参考答案与试题解析一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．（5分）已知集合2{|20}A x x x =--<，{|20}B x x =-<<，则(A B = )A ．(2,1)--B ．(1,0)-C ．(0,2)D ．(1,2)-【解答】解：{|12}A x x =-<<，{|20}B x x =-<<，(1,0)AB ∴=-．故选：B ．2．（5分）复数z 满足(1)2i z i +=，则z 在复平面上对应的点位于( ) A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限【解答】解：复数z 满足(1)2i z i +=，22(1)11(1)(1)i i i z i i i i -∴===+++-，它在复平面内对应点的坐标为(1,1)，故选：A ．3．（5分）已知{}n a 是各项均为正数的等比数列，113a =，3221a a =+，则(n a = )A ．13n -B ．23n -C ．12n -D ．22n -【解答】解：设等比数列{}n a 的公比为0q >，113a =，3221a a =+，∴2112133q q =⨯+，解得3q =．则23n n a -=．故选：B ．4．（5分）已知0.1log 0.2a =， 1.1log 0.2b =，0.21.1c =，则a ，b ，c 的大小关系为( ) A ．a b c >>B ．a c b >>C ．c b a >>D ．c a b >>【解答】解：0.1log 0.2(0,1)a =∈， 1.1log 0.20b =<，0.21.11c =>，则a ，b ，c 的大小关系为：c a b >>．故选：D ．5．（5分）等腰直角三角形ABC 中，2ACB π∠=，2AC BC ==，点P 是斜边AB 上一点，且2BP PA =，那么(CP CA CP CB += ) A ．4-B ．2-C ．2D ．4【解答】解：直角三角形ABC 中，2ACB π∠=，2AC BC ==，点P 是斜边AB 上一点，且2BP PA =如图所示：121333CP CA AB CA CB =+=+，∴2222212121()()2204333333CP CA CP CB CA CB CA CB CA CB CA CB +=++=++=⨯+⨯+=，故选：D ．6．（5分）为美化环境，从红、黄、白、紫4种颜色的花中任选2种花种在一个花坛中，余下的2种花种在另一个花坛中，则红色和紫色的花不在同一花坛的概率是( ) A ．13B ．12C ．23D ．56【解答】解：从红、黄、白、紫4种颜色的花中任选2种花种在一个花坛中，余下的2种花种在另一个花坛中，有246C =种方法，红色和紫色的花在同一花坛，有2种方法，红色和紫色的花不在同一花坛，有4种方法，所以所求的概率为4263=．另解：由列举法可得，红、黄、白、紫记为1，2，3，4，即有(12,34)，(13,24)，(14,23)，(23,14)，(24,13)，(34,12)，则4263P ==．故选：C ．7．（5分）已知数列{}n a 中，11a =，23122n S n n =-，设11n n n b a a +=，则数列{}n b 的前n 项和为( ) A ．31nn + B ．331nn + C ．132n n -- D ．3332n n -+- 【解答】解：由题意，当2n 时，2213131[(1)(1)]322222n n n a S S n n n n n -=-=-----=-，当1n =时，11a =也符合上式． 32n a n ∴=-，*n N ∈．则111111()(32)(31)33231n n n b a a n n n n +===--+-+．设数列{}n b 的前n 项和n T ，则 12n n T b b b =++⋯+11111111(1)()()3434733231n n =-+-+⋯+--+ 111111(1)34473231n n =-+-+⋯+--+ 11(1)331n =-+ 31nn =+．故选：A ．8．（5分）已知三棱锥S ABC -的所有顶点都在球O 的球面上，SA ⊥平面ABC ，120BAC ∠=︒，2SA AB AC ===，则球O 的表面积为( )A ．4πB．C ．20πD ．36π【解答】解：如图所示，2AB =，2AC =，120BAC ∠=︒，∴三角形ABC 的外接圆直径224sin30r ==︒， 2r ∴=，SA ⊥面ABC ，2SA =，三角形OSA 为等腰三角形，∴该三棱锥的外接球的半径R ==∴该三棱锥的外接球的表面积为244520S R πππ==⨯=．故选：C ．9．（5分）已知双曲线22145x y-=的左焦点为F ，点P 为其右支上任意一点，点M 的坐标为(1,3)，则PMF ∆周长的最小值为( ) A ．510+ B ．1010+C ．513+D ．913+【解答】解：F 是双曲线22145x y -=左焦点，点M 的坐标为(1,3)， 2a ∴=，5b =，3c =，(3F -，0 )，右焦点为(3,0)H ，由双曲线的定义可得||||24PF PH a -==，||||||||||PF PM PH MP PA +=++222||4(13)3413a MH +=+-+=+， 22||(13)35MF =++=，∴当且仅当A ，P ，H 共线时，PMF ∆周长取得最小值为913+．故选：D ．10．（5分）函数()sin()(0f x A x A ωϕ=+>，0ω>，0)2πϕ<<的部分图象如图所示，给出下列说法：①直线512x π=-为函数()f x 的一条对称轴； ②点2(,0)3π-为函数()f x 的一个对称中心； ③函数()f x 的图象向右平移3π个单位后得到函数2sin 2y x =的图象．其中，正确说法的个数是( )A ．0B ．1C ．2D ．3【解答】解：由图象可知，2A =，最小正周期74()123T πππ=⨯-=，所以22Tπω==，将点7(,2)12π-代入函数得，722)12πϕ-⨯+，所以7262k ππϕπ+=-+，即52,3k k Z πϕπ=-+∈，因为02πϕ<<，所以取1k =，3πϕ=，所以()2)3f x x π+．①55()2()]212123f πππ-=⨯-+=-，所以①正确； ②令2,3x k k Z ππ+=∈，则,62k x k Z ππ=-+∈，当1k =-时，23x π=-．所以点2(,0)3π-为函数()f x 的一个对称中心，即②正确； ③函数()f x 的图象向右平移3π个单位得到2)]2)333y x x πππ=-+=-，即③错误．所以正确的为①②，故选：C ．11．（5分）已知直线l 与抛物线26y x =交于不同的两点A ，B ，直线OA ，OB 的斜率分别为1k ，2k ，且123k k =，则直线l 恒过定点( ) A ．(63,0)-B ．(33,0)-C ．(3,0)-D ．(3,0)-【解答】解：设直线l 的方程为：x my n =+，联立方程26x my ny x=+⎧⎨=⎩，消去x 得：2660y my n --=，设1(A x ，1)y ，2(B x ，2)y ， 126y y n ∴=-，123k k =，∴12123y y x x =，∴122212123636666y y y y y y n ===-∴n =- ∴直线l的方程为：x my =- ∴直线l 一定过点(-0)，故选：C ．12．（5分）已知函数1,0(),0ax x f x lnx x +<⎧=⎨>⎩若函数()f x 的图象上存在关于坐标原点对称的点，则实数a 的取值范围是( ) A ．(-∞，0]B ．(-∞，1]C ．1[,0]2-D ．1(,1]2【解答】解：函数1,0(),0ax x f x lnx x +<⎧=⎨>⎩若函数()f x 的图象上存在关于坐标原点对称的点，可得0x >时，1ax lnx -=，有解；可得1lnx a x +=，令1()lnx g x x+=，2()lnx g x x -'=，所以(0,1)x ∈时，()0g x '>，函数是增函数，1x >时，()0g x '<，函数()g x 是减函数，所以()g x 的最大值为：g （1）1=，所以1a ．故选：B ．二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分. 13．（5分）函数cos cos2()y x xx R =-∈的最大值为 98．【解答】解：函数221cos cos2cos 2cos 12(cos cos 2y x x x x x x=-=-+=--219)12(cos )()48x x R +=--+∈，cos [1x ∈-，1]，故当1cos 4x =时，函数y 取得最大值为98，故答案为：98．14．（5分）若直线:320l x my m +-+=被圆22:2240C x y x +--=截得的线段最短，则实数m 的值为 1- ．【解答】解：由22:2240C x y x +--=得22(1)25x y -+=，∴圆心坐标是(1,0)C ，半径是5，直线:320l x my m +-+=过定点(2,3)P -，且在圆内，∴当l PC ⊥时，直线l 被圆222240x y x +--=截得的弦长最短，1301(2)1m -∴-⨯=---，1m ∴=-．故答案为1-15．（5分）已知一组数据10，5，4，2，2，2，x ，且这组数据的平均数与众数的和是中位数的2倍，则x 所有可能的取值为 11-，3，17 ．【解答】解：数据10，5，4，2，2，2，x 中，出现次数最多的是2，所以众数为2；且这组数据的平均数为125(1054222)77x x +⨯++++++=；若将这组数据按照从小到大排列为：x ，2，2，2，4，5，10，则中位数是2，由题意得252227x++=⨯，解得11x =-；若将这组数据按照从小到大排列为： 2，2，2，x ，4，5，10，则中位数是x ，由题意得25227xx ++=，解得3x =；若将这组数据按照从小到大排列为： 2，2，2，4，x ，5，10，则中位数是4，由题意得252247x++=⨯，解得17x =（不合题意，舍去）；若将这组数据按照从小到大排列为： 2，2，2，4，5，x ，10，则中位数是4，由题意得252247x++=⨯，解得17x =（不合题意，舍去）；若将这组数据按照从小到大排列为： 2，2，2，4，5，10，x ，则中位数是4，由题意得252227x++=⨯，解得17x =；综上知，x 所有可能的取值为11-，3，17．故答案为：11-，3，17．16．（5分）如图，已知平行四边形ABCD 中，60BAD ∠=︒，2AB AD =，E 为边AB 的中点，将ADE ∆沿直线DE 翻折成△1A DE ．若M 为线段1A C 的中点，则在ADE ∆翻折过程中，有下列三个命题： ①线段BM 的长是定值； ②存在某个位置，使1DE AC ⊥； ③存在某个位置，使//MB 平面1A DE ．其中正确的命题有 ①③ ．（填写所有正确命题的编号）【解答】解：①取DC 的中点N ，连接NM 、NB ，则1//MN A D ，且112MN A D ==定值；//NB DE ，且NB DE ==定值，所以1MNB A DE ∠=∠=定值，由余弦定理得，2222cos MB MN NB MN NB MNB =+-∠，所以BM 的长为定值，即①正确； ②假设存在某个位置，使1DE AC ⊥．设22AB AD ==，由60BAD ∠=︒可求得1DE =，3CE =，所以222CE DE CD +=，即CE DE ⊥，因为1A C CE C =，所以DE ⊥面1ACE ，因为1A E ⊂面1ACE ，所以1DE A E ⊥，与已知相矛盾，即②错误；③由①可知，1//MN A D ，//NB DE ，且MN NB N =，1A DDE D =，所以面//MNB 面1A DE ，所以//MB 面1A DE ，即③正确．故答案为：①③．三、解答题：共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.第17～21题为必考题，每个试题考生都必须作答.第22、23题为选考题，考生根据要求作答.（一）必考题：共60分.17．在锐角ABC ∆中，角A 、B 、C 的对边分别为a 、b 、c ，且sin cos cos sin a B B b A B +=．（1）求B ；（2）若2b =，求ABC ∆的面积的最大值．【解答】解：（1）因为锐角ABC ∆中，角A 、B 、C 的对边分别为a 、b 、c ；且sin cos cos sin a B B b A B +=．所以：sin sin cos sin cos sin sin (sin cos cos sin )sin sin A B B B A B C B A B A B C B C C +⇒+⇒；sin 0C ≠；sin B ∴； B 是锐角； 60B ∴=︒；（2）222222cos b a c ac B a c ac ac =+-=+-；4ac ∴；当且仅当2a c ==时等号成立，ABC ∴∆的面积为：1sin 32ac B ；故ABC ∆18．如图，在直三棱柱111ABC A B C -中，AC AB ⊥，12A A AB AC ===，D ，E ，F 分别为AB ，BC ，1B B 的中点．（1）证明：1A F ⊥平面1B DE ；（2）求直线BE 与平面1B DE 所成角的正弦值．【解答】解：（1）D ，E 分别为AB ，BC 的中点，//DE AC ∴，又AC AB ⊥，DE AB ∴⊥，又三棱柱111ABC A B C -为直三棱柱，DE ∴⊥平面11ABB A ，1A F 在平面11ABB A 内， 1DE A F ∴⊥， 12A A AB ==，∴四边形11ABB A 为正方形，且△11A B F ≅△1B BD ，11A F B D ∴⊥，又1DEB D D =，且都在平面1B DE 内，1A F ∴⊥平面1B DE ；（2）建立如图所示的空间直角坐标系，则(0B ，2，0)，(1E ，1，0)，(0D ，1，0)，1(0B ，2，2)，则1(1,1,0),(1,0,0),(1,1,2)BE DE EB =-==-，设平面1B DE 的法向量为(,,)m x y z =，则1020m DE x m EB x y z ⎧==⎪⎨=-++=⎪⎩，可取(0,2,1)m =-，设直线BE 与平面1B DE 所成角θ，则210sin |cos ,|525BE m θ=<>==．19．为了增强消防意识，某部门从男，女职工中各随机抽取了20人参加消防知识测试，这40名职工测试成绩的茎叶图如图所示（1）根据茎叶图判断男职工和女职工中，哪类职工的测试成绩更好？并说明理由；（2）（ⅰ）求这40名职工成绩的中位数m ，并填写下面列联表：超过m 的人数不超过m 的人数男职工 15 女职工（ⅱ）如果规定职工成绩不少于m 定为优秀，根据（ⅰ）中的列联表，能否有99%的把握认为消防知识是否优秀与性别有关？附：22()n ad bc K -=．2()P K k0.050 0.010 0.001 k3.8416.63510.828【解答】解：（1）根据茎叶图知男职工的测试成绩更好，理由如下；由茎叶图可知，男职工测试成绩主要分布在80以上，女职工测试成绩主要分布在80以下，因此男职工的测试成绩更高；（注:其他合理理由均可得分）（2）()i 由茎叶图可知：这40名职工的测试成绩中位数是1(7981)802m =+=，填写列联表如下；（ⅱ）根据（ⅰ）中的列联表，计算240(151555)10 6.63520202020K ⨯⨯-⨯==>⨯⨯⨯，所以有99%的把握认为消防知识是否优秀与性别有关．20．已知椭圆2222:1(0)x y E a b a b +=>>的两焦点与短轴一端点组成一个正三角形的三个顶点，且焦点到椭圆上的点的最短距离为1．（1）求椭圆E 的方程；（2）过点(4,0)M 的直线l 与椭圆交于A ，B 两点，点A 关于x 轴的对称点为A '，求证：直线A B '过定点，并求出该定点的坐标．【解答】解：（1）由题意可得：23b c c ==，1a c -=，222a b c =+，解得：24a =，23b =，所以椭圆的方程为：22143x y +=；（2）证明：设直线l 的方程为：4x my =+设1(A x ，1)y ，2(B x ，2)y ，1(A x '，1)y -，联立直线与椭圆的方程：22434120y my x y =+⎧⎨+-=⎩，整理可得：22(43)24360m y my +++=，△222244(43)360m m =-+>，可得24m >，1222443m y y m -+=+，1223643y y m =+， 2121A By y k x x '+=-，所以直线A B '的方程为：211121()y y y y x x x x ++=--，整理可得：2112212112()y y x y x y y x x x y y ++=--+，而：122121*********722424(4)(4)24()4434343m m mx y x y y my y my my y y y m m m--+=+++=++=+=+++，所以21221122244312443mx y x y m m y y m -++==-++，所以直线A B '的方程为：2121(1)y y y x x x +=--，所以直线恒过定点(1,0)．21．已知函数1()(1)2f x a lnx ax x=++-+．（1）讨论()f x 的单调性；（2）若()f x 有两个极值点1x ，212()x x x <，且至少存在两个零点，求1212()()f x f x x x ++的取值范围．【解答】解：（1）()f x 的定义域(0,)+∞， 2211(1)(1)()a x ax f x a x x x +--'=--=-，当0a 时，10ax -<，当(0,1)x ∈时，()0f x '<，(1,)x ∈+∞时，()0f x '>，故()f x 在(0,1)单调递减，在(1,)+∞单调递增；当01a <<时，11a>，当(0x ∈，11)(a ⋃，)+∞时，()0f x '<，反之()0f x '>，故()f x 在(0,1)，1(a ，)+∞递减，在1(1,)a递增；当1a >时，11a<，当(0x ∈，1)(1a ⋃，)+∞时，()0f x '<，反之()0f x '>，故()f x 在1(0,)a ，(1,)+∞递减，在1(a，1)递增；当1a =时，()f x 在(0,)+∞递减；（2）由（1）知，01a <<，或1a >，因为f （1）30a =->，3a <，所以01a <<不成立，当1a >时，()f x 在1(0,)a ，(1,)+∞递减，在1(a，1)递增；所以1(1)(1)0()0,30(1)0a lna f a a f ⎧+-⎧⎪⎨⎨-⎩⎪⎩，解得3e a ，由()f x 有两个极值点1x ，212()x x x <，是方程2(1)10ax a x -++=的根，??1x x a +=+，1??x x a=，由11111()(1)2f x a lnx ax x =++-+，22221()(1)2f x a lnx ax x =++-+，所以1212()()3(1)(1)4111f x f x a a lna a alna x x a a+-++-==-+++，令g （a ）4(3)1aalna e a a =-+，g '（a ）224(1)(1)(1)a lna a -++=+，因为3e a ，所以g '（a ）0<，所以g （a ）在[e ，3]单调递减；所以g （3）g （a ）g （e ），即333ln g -（a ）41ee e -+，故1212()()f x f x x x ++的取值范围为[333ln -，4]1ee e -+．四、选考题：共10分.请考生在第22、23题中任选一题作答.如果多做，则按所做的第一题计分.22．（10分）在直角坐标系xOy 中，曲线1C的参数方程为(2x t y ⎧=⎪⎪⎨⎪=+⎪⎩为参数）．以坐标原点为极点，以x 轴正半轴为极轴的极坐标系中，曲线2C 的极坐标方程为22932cos ρθ=-．（1）写出1C 的普通方程和2C 的直角坐标方程；（2）若1C 与y 轴交于点M ，1C 与2C 相交于A 、B 两点，求||||MA MB 的值．【解答】解：（1）曲线1C的参数方程为(22x t y ⎧=⎪⎪⎨⎪=+⎪⎩为参数）．转换为直角坐标方程为20x y +-=．曲线2C 的极坐标方程为22932cos ρθ=-．转换为直角坐标方程为22193x y +=．（2）把直线的参数方程(22x t y ⎧=⎪⎪⎨⎪=+⎪⎩为参数）代入22193x y+=得到2230t ++=．所以12t t +=-1232t t =．则：123||||||2MA MB t t ==． 23．（1）已知()||||f x x a x =-+，若存在实数x ，使()2f x <成立，求实数a 的取值范围；（2）若0m >，0n >，且3m n +=，求证：143m n+．【解答】解：（1）已知()||||||f x x a x a =-+，若存在实数x ，使()2f x <成立，可得||2a ，所以实数a 的取值范围：(2,2)-；（2）证明：0m >，0n >，且3m n +=，所以14114141()()()(5)(523333n m m n m n m n m n +=++=+++=．当且仅当4n m =，并且35m =取等号，所以143m n+．。

湖北省武汉市武昌区2020届高三元月调研考试数学(理)试题及答案

绝密★启用前湖北省武汉市武昌区普通高中2020届高三年级上学期元月调研考试数学(理)试题2020年1月注意事项：1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号等填写在答题卡和试卷指定位置上。

2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。

如需改动,用橡皮擦干净后,再选涂其他答案标号。

回答非选择题时,将答案写在答题卡上。

写在本试卷上无效。

3．考试结束后,将本试卷和答题卡一并交回。

一、选择题：本题共12小题,每小题5分,共60分。

在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的。

1．已知集合}02|{2<--=x x x A ,}2|{a x a x B <<-=,若}01|{<<-=x x B A I ,则=B A YA ．)2,1(- B. )2,0( C ．)1,2(- D ．)2,2(-2．已知复数z 满足i i=-z z ,则z 在复平面内对应的点位于 A ．第一象限 B. 第二象限 C ．第三象限 D ．第四象限3．已知}{n a 是各项均为正数的等比数列,11=a ,3223+=a a ,则=n aA ．23-n B. 13-n C ．12-n D ．22-n4．已知2.0log 1.0=a ,2.0log 1.1=b ,2.01.1=c ,则a ,b ,c 的大小关系为A ．c b a >>B ．b c a >>C ．a b c >>D ．b a c >>5．等腰直角三角形ABC 中,2π=∠ACB ,2==BC AC ,点P 是斜边AB 上一点,且PA BP 2=,那么=⋅+⋅CB CP CA CPA ．4- B. 2- C ．2 D ．46．某学校成立了A 、B 、C 三个课外学习小组,每位学生只能申请进入其中一个学习小组学习.申请其中任意一个学习小组是等可能的,则该校的任意4位学生中,恰有2人申请A 学习小组的概率是A B E C D M A 1 A ．643 B. 323 C ．274 D ．278 7．已知数列}{n a 的前n 项和n n S n 21232-=,设11+=n n n a a b ,n T 为数列}{n b 的前n 项和.若对任意的*∈N n ,不等式39+<n T n λ恒成立,则实数λ的取值范围为A ．)48,(-∞ B. )36,(-∞ C ．)16,(-∞ D ．),16(+∞8．已知过抛物线x y 42=焦点F 的直线与抛物线交于点A ,B ,||2||FB AF =,抛物线的准线l与x 轴交于点C ,l AM ⊥于点M ,则四边形AMCF 的面积为A ．425 B. 225 C ．25 D ．210 9．如图,已知平行四边形ABCD 中,ο60=∠BAD ,AD AB 2=,E 为边AB 的中点,将ADE ∆沿直线DE 翻折成DE A 1∆.若M 为线段C A 1的中点,则在ADE ∆翻折过程中,给出以下命题：①线段BM 的长是定值；②存在某个位置,使C A DE 1⊥；③存在某个位置,使//MB 平面DE A 1.其中,正确的命题是A ．①B ．①③C ．②③D ．①②③10．函数)sin()(ϕω+=x A x f （0>A ,0>ω,2π0<<ϕ）的部分图象如图所示,给出下列说法： ①函数)(x f 的最小正周期为π；②直线12π5-=x 为函数)(x f 的一条对称轴； ③点)0,3π2(-为函数)(x f 的一个对称中心； ④函数)(x f 的图象向右平移3π个单位后得到x y 2sin 2=的图象.其中正确说法的个数是A ．1B ．2C ．3D ．411．已知F 1,F 2分别为双曲线14922=-y x 的左、右焦点,过F 2且倾斜角为60°的直线与双曲线。

2020届湖北省武汉市武昌区高三元月调研考试理数试题

2020届湖北省武汉市武昌区高三元月调研考试理数试题学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________一、单选题1．已知集合{}2|20,{|2}A x x x B x a x a =--<=-<<，若{|10}A B x x =-<<，则A B =（）A ．(1,2)-B ．(0,2)C ．(2,1)-D ．(2,2)-2．已知复数z 满足zi z i=-，则z 在复平面内对应的点位于（） A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限3．已知{}n a 是各项均为正数的等比数列，1321,23a a a ==+，则n a =（） A ．23n -B ．13n -C ．12n -D ．22n -4．已知0.1log 0.2a =， 1.1log 0.2b =，0.21.1c =，则,,a b c 的大小关系为（） A ．a b c >>B ．a c b >>C ．c b a >>D ．c a b >>5．等腰直角三角形ABC 中，2ACB π∠=，2AC BC ==，点P 是斜边AB 上一点，且2BP PA =，那么CP CA CP CB ⋅+⋅=（） A ．4-B ．2-C ．2D ．46．某学校成立了A 、B 、C 三个课外学习小组，每位学生只能申请进入其中一个学习小组学习.申请其中任意一个学习小组是等可能的，则该校的任意4位学生中，恰有2人申请A 学习小组的概率是（） A ．364B ．332C ．427D ．8277．已知数列{}n a 的前n 项和23122n S n n =-，设11n n n b a a +=，n T 为数列{}n b 的前n 项和，若对任意的*n N ∈，不等式93n T n λ<+恒成立，则实数λ的取值范围为（） A ．(,48)-∞B ．(,36)-∞C ．(,16)-∞D ．(16,)+∞8．已知过抛物线24y x =焦点F 的直线与抛物线交于点A ，B ，||2||AF FB =，抛物线的准线l 与x 轴交于点C ，AM l ⊥于点M ，则四边形AMCF 的面积为（） A．4B．2C．D．9．如图，已知平行四边形ABCD 中，60,2BAD AB AD ︒∠==，E 为边AB 的中点，将ADE ∆沿直线DE 翻折成1A DE ∆.若M 为线段1A C 的中点，则在ADE ∆翻折过程中，给出以下命题： ①线段BM 的长是定值；②存在某个位置，使1DE A C ⊥； ③存在某个位置，使//MB 平面1A DE . 其中，正确的命题是（）A ．①B ．①③C ．②③D ．①②③10．函数()sin()0,0,02f x A x A πωϕωϕ⎛⎫=+>><< ⎪⎝⎭的部分图像如图所示，给下列说法：①函数()f x 的最小正周期为π； ②直线512x π=-为函数()f x 的一条对称轴； ③点2(,0)3π-为函数()f x 的一个对称中心；④函数()f x 的图像向右平移3π个单位后得到2y x =的图像. 其中不正确说法的个数是（）A ．1B ．2C ．3D ．411．已知1F ，2F 分别为双曲线22194x y -=的左、右焦点，过2F 且倾斜角为60︒的直线与双曲线的右支交于,A B 两点，记12AF F ∆得内切圆半径为1r ，12BF F ∆的内切圆半径为2r ，则12r r 的值等于（） A ．3B ．2CD12．已知函数2()ln 2,()ln x xe f x xe x x g x x x x-=---=+-的最小值分别为,a b ，则（） A ．a b = B ．a b <C ．a b >D ．,a b 的大小关系不确定二、填空题13．62x ⎛ ⎝的展开式中，3x 项的系数是__________．14．已知一组数据10，5，4，2，2，2，x ，且这组数据的平均数与众数的和是中位数的2倍，则x 所有可能的取值为__________．15．过动点M 作圆：22(2)(2)1x y -+-=的切线MN ，其中N 为切点，若||||MN MO =（O 为坐标原点），则||MN 的最小值是__________．16．用I M 表示函数sin y x =在闭区间I 上的最大值，若正数a满足[0,][,2]a a a M =，则a 的为__________．三、解答题17．在ABC ∆中，已知AB =7AC =，D 是BC 边上的一点，5AD =，3DC =. （1）求B ；（2）求ABC ∆的面积.18．如图，在直角三棱柱111ABC A B C -中，AC AB ⊥，12A A AB AC ===，D ，E ，F 分别为AB ，BC ，1B B 的中点.（1）证明：平面11A C F ⊥平面1B DE ；（2）求二面角1B B E D --的正弦值.19．已知椭圆2222:1(0)x y E a b a b+=>>的两焦点与短轴一端点组成一个正三角形的三个顶点，且焦点到椭圆上的点的最短距离为1. （1）求椭圆E 的方程；（2）若不过原点的直线l 与椭圆交于A ，B 两点，求OAB ∆面积的最大值.20．某健身馆在2021年7、8两月推出优惠项目吸引了一批客户.为预估2021年7、8两月客户投入的健身消费金额，健身馆随机抽样统计了2021年7、8两月100名客户的消费金额，分组如下：[0,200)，[200,400)，400,[600)，…，[1000,1200]（单位：元），得到如图所示的频率分布直方图：（1）请用抽样的数据预估2021年7、8两月健身客户人均消费的金额（同一组中的数据用该组区间的中点值作代表）；（2）若把2021年7、8两月健身消费金额不低于800元的客户，称为“健身达人”，经数据处理，现在列联表中得到一定的相关数据，请补全空格处的数据，并根据列联表判断是否有95%的把握认为“健身达人”与性别有关？（3）为吸引顾客，在健身项目之外，该健身馆特别推出健身配套营养品的销售，现有两种促销方案.方案一：每满800元可立减100元；方案二：金额超过800元可抽奖三次，每次中奖的概率为12，且每次抽奖互不影响，中奖1次打9折，中奖2次打8折，中奖3次打7折.若某人打算购买1000元的营养品，请从实际付款金额的数学期望的角度分析应该选择哪种优惠方案. 附：22()()()()()n ad bc K a b c d a c b d -=++++21．已知函数()1x f x e x e =+--.（1）若()f x ax e ≥-对x ∈R 恒成立，求实数a 的值；（2）若存在不相等的实数1x ，2x ，满足12()()0f x f x +=，证明：122x x +<.22．在直角坐标系xOy 中，曲线1C 的参数方程为222x y ⎧=-⎪⎪⎨⎪=+⎪⎩（t 为参数）.以坐标原点为极点，以x 轴正半轴为极轴的极坐标系中，曲线2C 的极坐标方程为22932cos ρθ=-.（1）写出1C 的普通方程和2C 的直角坐标方程；（2）若1C 与y 轴交于点M ，1C 与2C 相交于A 、B 两点，求||||MA MB ⋅的值.23．（1）已知()||||f x x a x =-+，若存在实数x ，使()2f x 成立，求实数a 的取值范围；（2）若0m >，0n >，且3m n +=，求证：143m n+≥.参考答案1．D 【分析】根据集合A 和集合B 的范围，{|10}A B x x =-<<，可得a 的值，可得A B ，可得答案. 【详解】解：化简{}|-12A x x =<<，{|2}B x a x a =-<<，{|10}A B x x =-<<，可得a =0，可得{|20}B x x =-<<，可得{}|-22A B x x =<<，故选：D . 【点睛】本题考查一元二次不等式、集合的运算，考查数据处理、运算求解能力，考查数据分析、数学运算核心素养. 2．A 【分析】利用复数代数形式的运算法则化简复数，根据复数的几何意义得到结果. 【详解】解：由题意zi z i=-，可得2z iz i =-，(1)1i z -=， 11(1)11(1)(1)2i i z i i i ++===-+-，在复平面对应的点为11(,)22，故选：A. 【点睛】本题考查复数的基本运算，考查运算求解能力，考查数学运算核心素养. 3．B 【分析】由{}n a 是各项均为正数的等比数列，1321,23a a a ==+，可得2123a q aq =+，可得q 的值，可得答案. 【详解】解：设{}n a 的公比为q ，由1321,23a a a ==+，可得2123a q aq =+，可得121,3q q =-=，由{}n a 是各项均为正数，可得3q =，可得n a =13n -，故选：B . 【点睛】本题主要考查等比数列的性质及等比数列的通项公式，相对不难. 4．D 【分析】分别判断出,,a b c 的范围，可得,,a b c 的大小关系. 【详解】0.10.10.1log 1log 0.2log 0.1a =<<，即01a <<； 1.1 1.1log 0.2log 10b ==<，0.201.1 1.11c >==，可得c a b >>，故选：D. 【点睛】本题考查了指数函数与对数函数的单调性，属于基础题. 5．D 【分析】将CP 用CA 与CB 进行表示，代入可得答案. 【详解】解：由题意得：1121()3333CP CA AP CA AB CA AC CB CA CB =+=+=++=+ 22218443333CP CA CP CB CA CB ⋅+⋅=+=+=,故选：D. 【点睛】本题主要考查平面向量的基本定理及平面向量的数量积，相对不难. 6．D 【分析】设每位学生申请课外学习小组为一次试验，这是4次独立重复实验，记“申请A 学习小组”为事件A ，则1()3P A =,由独立重复实验中事件A 恰好发生K 次的概率计算公式可得答案.【详解】设每位学生申请课外学习小组为一次试验，这是4次独立重复实验，记“申请A 学习小组”为事件A ，则1()3P A =,由独立重复实验中事件A 恰好发生K 次的概率计算公式可知，恰有2人申请A 学习小组的概率是：22244128(2)()()3327P C ==,故选：D . 【点睛】本题主要考查古典概型及其概率计算公与独立重复试验的概率计算，相对不难. 7．A 【分析】求出{}n a 、{}n b 的通项公式，代入93n T n λ<+，可得λ的取值范围. 【详解】由数列{}n a 的前n 项和23122n S n n =-，可得22113131(1)(1)()312222n n n S n n n n a n S ++==+-+--=+-，故32n a n =-，故111111()(32)(31)33231n n n b a a n n n n +===--+-+，故111111(1...)34473231n T n n =-+-+++--+=11(1)33131n n n -=++，不等式93n T n λ<+恒成立，即2min3(31)n n λ⎡⎤+<⎢⎥⎣⎦恒成立，即min 1396n n λ⎛⎫<++⎪⎝⎭，由*n N ∈，可得1910n n+≥，(当n =1时等号成立)，所以48λ<，故选：A . 【点睛】本题主要考查数列的通项公式、数列前n 项和的求法、基本不等式的应用. 8．C 【分析】过点B 作BN l ⊥与点N ，过点B 作BK AM ⊥于点K ,设||BF x =，则||2AF x =,可得4||23CF p x ===，可得x 的值，计算出||AM 、MC 的值，可得四边形AMCF 的面积. 【详解】过点B 作BN l ⊥与点N ，过点B 作BK AM ⊥于点K ,设||BF x =，则||2AF x =, 则||3AB x =,||AK x =,4||23CF p x ===，可得32x =,可得||3AM =,312A x =-=,MC ==则四边形AMCF 的面积11()(23)22S CF AM MC =+⋅=⨯+⨯=故选：C . 【点睛】本题考查抛物线的定义，几何性质，考查推理运算能力，考查数学抽象、数学运算核心素养. 9．B 【分析】根据点、直线、平面的位置关系，取DC 的中点N ，连接NM 、NB ，对①②③三个命题进行一一判断可得答案. 【详解】如图，取DC 的中点N ，连接NM 、NB ，易得1NMA D 且112NM A D ==定值，NB DE 且=NB DE =定值，易得1MNB A DE ∠=∠=定值，由余弦定理可得：2222cos MB MN NB MN NB MNB =+-⋅⋅∠，可得BM 为定值，故A 正确；②若1DE A C ⊥，设2=2AB AD =，由60BAD ︒∠=易得DE =1, CE 可得222+CE DE CD =,即CE DE ⊥，因为1AC CE C =,可得DE ⊥面1A CE ,可得1DE A E⊥与已知相矛盾，故②错误；③易得1NM A D ，NB DE ，可得面MNB 面1A DE ,所以//MB 平面1A DE ，故③正确，故选：B . 【点睛】本题主要考查点、直线、平面的位置关系，综合性大，属于中档题. 10．A 【分析】根据函数()f x 的部分图像求出()f x 的解析式，再根据三角函数的图像与性质，判断题目中的命题是否正确. 【详解】解：由图像可知：A =741234T πππ=-=,可得T π=,故①正确；由2T ππω==，可得2ω=，所以())02f x x πϕϕ⎛⎫=+<< ⎪⎝⎭，又7sin()sin()67(6)12f ππϕϕπ+=+==2,62k k z ππϕπ+=+∈，2,3k k z πϕπ=+∈，可得3πϕ=，故())3f x x π=+，令2,32x k k z πππ+=+∈，可得,212k x k z ππ=+∈，当1k =-时，对称轴为512x π=-，故②正确；令2,3x k k z ππ+=∈，可得,26k x k z ππ=-∈，当1k =-时，对称中心为2(,0)3π-，故③正确；函数()f x 的图像向右平移3π个单位后得到)]33x y ππ=-+，即)3y x π=-，故④错误.故选：A. 【点睛】本题主要考查命题真假的判断及三角函数的性质与平移，属于中档题. 11．A 【分析】分别求出2AF ，2BF 得值，由121222AF F BF F S AF S BF ∆∆=，代入可得12r r 的值.【详解】由题意得：3,2,a b c ===，由过2F 且倾斜角为60︒的直线与双曲线的右支交于,A B 两点，设A 点在上方，可得22cos 60o b AF a c ==-⋅22cos 60ob BF ac ==+⋅,可得121222AF F BF F S AF S BF ∆∆==,262r =++⨯，1=，可得123r r =，故选：A .【点睛】本题主要考查双曲线的简单性质及焦半径的计算公式，考查转化思想与应用能力，属于中档题. 12．A 【分析】分别对()f x ，()g x 求导，求出其最小值,a b ，可得其大小关系. 【详解】由题意得：2'11(1)(1)()1x x x xxxe x e x x xe f x e xe x x x+--+-=+--==，易得0,10x x >+>，设'()0f x =，可得10x xe -=，可得1xe x=，由xy e =与1y x =图像可知存在0(0,1)x ∈，使得01x ex =，可得当0(0,)x x ∈，'()0f x <，当0(,)x x ∈+∞，'()0f x >，可得()f x 得最小值为0()f x ，即000001()ln 21x a f x x e x x -==⋅---=-；同理：2222'2221(1)(1)(1)()()1x x x x xe e e x x x x e x g x x x x x------+---=+-==，设'()0g x =，可得1x =或者2x e x -=，由2x y e -=与y x =得图像可知，存在1(0,1)x ∈，使得121x ex -=，可得当1(,)x x x ∈时，'()0g x <，当1(,1)x x ∈时，'()0g x >，当(1,)x ∈+∞时，'()0g x >，可得1()g x 即为()g x 得最小值，可得1112211112()ln 121x x x e b g x e x x x e---==+-=+--=-，故1a b ==-，故选：A. 【点睛】本题主要考查利用导数求函数得最值，综合性大，属于难题. 13．240 【分析】利用二项式展开式的通项公式，令x 的指数等于3，计算展开式中含有3x 项的系数即可. 【详解】由题意得：616(2)r rr r T C x -+=，只需3632r -=，可得2r ，代回原式可得33240T x =，故答案：240. 【点睛】本题主要考查二项式展开式的通项公式及简单应用，相对不难. 14．11-或3或17 【分析】求出这组数据的平均数与众数，分中位数进行讨论可得x 的取值. 【详解】由题意可得这组数据的平均数为：10542222577x x+++++++=，众数为2，若2x ≤，可得25247x++=，可得11x =-；若24x ≤≤，则中位数为x ，可得25227xx +=+，可得3x =；若4x ≥，则中位数为4，可得252427x+⨯=+，可得17x =，故答案为：11-或3或17. 【点睛】本题考查平均数、众数、中位数，考查数据处理能力和运算求解能力.15．8【解析】解答：由圆的方程可得圆心C 的坐标为(2,2)，半径等于1. 由M (a ,b ),则|MN |2=(a −2)2+(b −2)2−12=a 2+b 2−4a −4b +7， |MO |2=a 2+b 2.由|MN |=|MO |,得a 2+b 2−4a −4b +7=a 2+b 2. 整理得：4a +4b −7=0.∴a ，b 满足的关系为：4a +4b −7=0. 求|MN |的最小值，就是求|MO |的最小值．在直线4a +4b −7=0上取一点到原点距离最小，由“垂线段最短”得，直线OM 垂直直线4a +4b −7=0，由点到直线的距离公式得：MN =16．34π或98π【分析】分a 在不同的区间进行讨论，得出符合条件的a 的值即可. 【详解】由题意得：①当[0,]2a π∈，2[0,]a π∈，[0,]sin a M a =，[,2]1a a M =，可得sin a =②当[,]2a ππ∈，2[,2]a ππ∈，[0,]1a M =，[,2]sin a a M a =，可得1a =，34a π=；③当3[,]2a ππ∈，2[2,3]a ππ∈，[0,]1a M =，[,2]sin 21a a M a =或，可得2a ，98a π=;④当3[,]2a π∈+∞，[0,]1a M =，[,2]1a a M =，不满足[0,][,2]a a a M =，故答案为：34π或98π. 【点睛】本题主要考查正弦函数的性质，分类讨论是解题的关键.17．（1）45B =︒（2 【分析】（1）在ADC ∆中，利用余弦定理求ADC ∠和ADB ∠，在ABD ∆中，利用正弦定理求角B ；（2）分别求出ABD ∆和ADC ∆，进而可得ABC ∆的面积. 【详解】（1）在ADC ∆中，由余弦定理，得1cos 2ADC =-∠，所以120ADC =∠︒，从而60ADB ∠=︒. 在ABD ∆中，由正弦定理，得sin B 45B =︒. （2）由（1）知75BAD ∠=︒，且sin 754︒=.所以13)sin 28ABD S AB AD BAD ∆=⋅∠=，1sin 24ADC S DA DC ADC ∆=⋅∠=，所以758ABC ABD ADC S S S ∆∆∆=+=. 【点睛】本题考查正弦、余弦定理和三角形面积公式在解三角形中的应用，考查运算求解能力和化归与转化得数学思想.18．（1）证明见解析（2【分析】（1）易得DE AB ⊥，由1AA ⊥平面ABC ，DE ⊂平面ABC 可得1AA DE ⊥，可得DE ⊥平面11AA B B ，1DE A F ⊥，且11DB A F ⊥，可得1A F ⊥平面1B DE ，可得证明；（2）过B 作1BH B D ⊥，垂足为H ，过H 作1HG B E ⊥于G ，连接BG ，可得BGH ∠为二面角1B B E D --的平面角，计算BH 、BG 的值可得答案. 【详解】（1）因为AC AB ⊥，//DE AC ，所以DE AB ⊥.因为1AA ⊥平面ABC ，DE ⊂平面ABC ，所以1AA DE ⊥. 因为1ABAA A =，所以DE ⊥平面11AA B B . 因为1A F ⊂平面11AA B B ，所以1DE A F ⊥. 易证11DB A F ⊥，因为11DB D E D =，所以1A F ⊥平面1B DE ，因为1A F ⊂平面111AC F ，所以平面11A C F ⊥平面1B DE .（2）过B 作1BH B D ⊥，垂足为H ，过H 作1HG B E ⊥于G ，连接BG ，则可证BGH ∠为二面角1B B E D --的平面角. 在1Rt B BD ∆中，求得BH =；在1Rt B BE ∆中，求得BG =.所以sin 5BH BGH BG ∠==. 【点睛】本题主要考查空间中线、面的位置关系，及二面角的相关计算，难度中等.19．（1）22143x y +=（2【分析】（1）由题意可得1bc a c ⎧=⎪⎨⎪-=⎩，可得a 、b 得值，可得答案；（2）当直线l 的斜率存在时，设其方程为(0)y kx m m =+≠，联立直线与椭圆可得OAB ∆面积的最大值，当直线l 的斜率不存在时，可得此时OAB ∆的面积，综合可得答案. 【详解】（1）由1bc a c ⎧=⎪⎨⎪-=⎩及222a b c =+，得2,a b ==.所以，椭圆E 的方程为22143x y +=.（2）当直线l 的斜率存在时，设其方程为(0)y kx m m =+≠，代入椭圆方程，整理，得222()4384120k x kmx m +++-=. 由>0∆，得22430k m -+>. 设1122(,),(,)A x y B x y ，则122843km x x k +=-+，212241243m x x k -⋅=+.于是2||43AB k ==+.又，坐标原点O 到直线l的距离为d =.所以，OAB ∆的面积1||||2S AB d m =⋅⋅=22222(43)12||43432m k m m k k -+=≤=++.所以，1||2S AB d =⋅⋅≤当直线l 的斜率不存在时，设其方程为x m =，同理可求得11||||22S AB d m =⋅⋅=≤所以，OAB ∆【点睛】本题主要考查椭圆标准方程的计算及圆锥曲线相关的面积问题，需注意计算准确.20．（1）620元（2）列联表见解析，有95%的把握认为“健身达人”与性别有关系，（3）选择方案二更划算【分析】（1）利用频率分布直方图计算平均数即可；（2）根据题意补充列表联，由表中数据计算观测值，对照临界值得出结论；（3）分别计算选方案一、方案二所支付的金额，比较它们的大小即可. 【详解】（1）因为(1000.000503000.000755000.001007000.001259000.0010011000.00050)x =⨯+⨯+⨯+⨯+⨯+⨯200620⨯=（元），所以，预估2021年7、8两月份人均健身消费为620元. （2）列联表如下：因为22100(10302040) 4.762 3.84150503070K ⨯-⨯==>⨯⨯⨯，因此有95%的把握认为“健身达人”与性别有关系. （3）若选择方案一：则需付款900元；若选择方案二：设付款X 元，则X 可能取值为700，800，900，1000.33311(700)28P x C ⎛⎫=== ⎪⎝⎭， 22313(800)28P x C ⎛⎫=== ⎪⎝⎭，31313(900)28P x C ⎛⎫=== ⎪⎝⎭， 30311(1000)28P x C ⎛⎫=== ⎪⎝⎭.所以1331()70080090010008508888E X =⨯+⨯+⨯+⨯=（元）因为850900<，所以选择方案二更划算. 【点睛】本题主要考查独立性检验的运用及离散型随机变量的期望与方差，熟练掌握相关计算公式是解题的关键.21．（1）2a =（2）证明见解析【解析】【分析】（1）令()()()(1)1x g x f x ax e e a x =--=+--，则()1xg x e a '=+-，分1a ≤和1a >进行讨论可得a 的值；（2）因为()()120f x f x +=，代入()f x 可得12122(1)x xe e x x e +++=+，因为12122122,x x x x e e ex x ++≥≠，所以121222x x x x e e e++>，令12x x t +=，则22220t e t e +--<.记2()2220t m t e t e =+--<，对()m t 求导可得证明. 【详解】（1）令()()()(1)1xg x f x ax e e a x =--=+--，则()1xg x e a '=+-，由题意，知()0g x ≥对x ∈R 恒成立，等价min ()0g x ≥.当1a ≤时，由()0g x '≥知()(1)1xg x e a x =+--在R 上单调递增.因为1(1)(1)10g a e-=---<，所以1a ≤不合题意；当1a >时，若(,ln(1))x a ∈-∞-，则()0g x '<，若(ln(1),)x a ∈-+∞，则()0g x '>，所以，()g x 在(,ln(1))a -∞-单调递减，在(ln(1),)a -+∞上单调递增.所以min ()(ln(1))2(1)ln(1)0g x g a a a a =-=-+--≥记()2(1)ln(1)(1)h a a a a a =-+-->，则()ln(1)h a a '=--.易知()h a 在(1,2)单调递增，在(2,)+∞单调递减，所以max ()(2)0h a h ==，即2(1)ln(1)0a a a -+--≤.而min ()2(1)ln(1)0g x a a a =-+--≥，所以2(1)ln(1)0a a a -+--=，解得2a =.（2）因为()()120f x f x +=，所以12122(1)x x e e x x e +++=+. 因为12122122,x x x x e e e x x ++≥≠，所以121222x x x x e e e++> 令12x x t +=，则22220te t e +--<. 记2()2220t m t e t e =+--<，则2()10t m t e '=+>，所以()m t 在R 上单调递增.又(2)0m =，由22220t e t e +--<，得()(2)m t m <，所以2t <，即122x x +<.另证：不妨设12x x <，因为()10x f x e '=+>，所以()f x 为增函数.要证122x x +<，即要证212x x <-，即要证21()(2)f x f x <-.因为12()()0f x f x +=，即要证11()(2)0f x f x +->.记2()()(2)2x x h x f x f x e e e -=+-=+-，则()()()x x x e e e e h x e-+'=. 所以min ()(1)0h x h ==，从而()()(2)0h x f x f x =+->，得证.【点睛】本题主要考查利用导数研究函数的单调性、最值及证明，综合性大，考查了分类讨论思想，属于难题.22．（1）20x y +-=，22193x y +=（2）32 【分析】（1）将题中所给直线参数方程进行消参，得到直线的普通方程，利用极坐标与平面直角坐标的转换关系，可得其直角坐标方程；（2）将直线的参数方程代入曲线的直角坐标方程中，整理得到关于t 的一元二次方程，结合根与系数的关系及t 的几何意义可得答案.【详解】（1）方程222x y ⎧=-⎪⎪⎨⎪=+⎪⎩可化为20x y +-=. 方程22932cos ρθ=-可化为22193x y +=.（2）将222x y ⎧=-⎪⎪⎨⎪=+⎪⎩代入22193x y +=，得2230t ++=.设方程2230t ++=的两个根分别为1t ，2t ，则123||||||||2MA MB t t ⋅=⋅=. 【点睛】本题主要考查的是有关参数方程与极坐标的问题，需注意直线的参数方程与普通方程的互化及曲线极坐标方程与平面直角坐标方程的互化.23．（1）(2,2)-（2）证明见解析【分析】（1）利用绝对值三角不等式或将函数的零点分段，结合函数的单调性可得a 的值；（2）由题意结合基本不等式代入计算可得答案.【详解】（1）方法一：因为()||||||||f x x a x x a x a =-+≥--=，因为存在实数x ，使()2f x 成立，所以||2a <，解得22a -<<.方法二：当0a =时，符合题意.当0a >时，因为2,(),02,0x a x a f x x a x a x a x a x ->⎧⎪=-+=≤≤⎨⎪-+<⎩，所以min ()f x a =.因为存在实数x ，使()2f x 成立，所说义2a <.当0a <时，同理可得2a >-.综上，实数a 的取值范围为(2,2)-.（2）因为3m n +=，所以1414141()(5)5)3333m n n m m n m n m n ++=+=++≥=，当且仅当1,2m n ==时取等号.【点睛】本题主要考查不等式的相关知识及基本不等式，注意运算的准确性.。

武昌区2020届高三年级理科数学调研考试试卷附答案

AB A． (1,2)
B. (0,2)
C． (2,1)
D． (2,2)
2．已知复数 z 满足 z i ，则 z 在复平面内对应的点位于 zi
A．第一象限
B. 第二象限
C．第三象限
D．第四象限
3．已知{an}是各项均为正数的等比数列， a1 1 ， a3 2a2 3，则 an
A． 3n2
B. 3n 1
二、填空题： 13. 240 14. 11，3，17
15. 7 2 8
16. 3π 或 9π 48
三、解答题： 17．（本题 12 分）
在 ABC 中，已知 AB 5 6 ， AC 7 ， D 是 BC 边上的一点， AD 5 ， DC 3. 2
（1）求 B ；（2）求 ABC 的面积.
解：（1）在 ADC 中，由余弦定理，得 cosADC 1 ， 2
k
2.072 2.706 3.841 6.635 7.879
K2
n(ad bc)2
.
(a b)(c d )(a c)(b d )
21．（本题 12 分）已知函数 f (x) ex x e 1 . （1）若 f (x) ax e 对 xR 恒成立，求实数 a 的值；（2）若存在不相等的实数 x1 ， x2 ，满足 f (x1) f (x2) 0 ，证明： x1 x2 2 .
因为 AB AA1 A ，所以 DE 平面 AA1B1B .
C1
因为 A1F 平面 AA1B1B ，所以 DE A1F .
高三理科数学第6页（共10页）
C
A1
B1
A G
HF
D
E
B
易证 DB1 A1F ，因为 DB1 D1E D ，

2020年4月湖北省武汉市武昌区普通高中2020届高三毕业班调研考试数学(文)试题(解析版)

绝密★启用前湖北省武汉市武昌区普通高中2020届高三毕业班下学期高考模拟调研考试数学(文)试题(解析版)2020年4月一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.设全集U =R ，集合{}02A x x =<≤，{}1B x x =<，则集合A B =（）A. ()2,+∞B. [)2,+∞C. (],2-∞D. (],1-∞ 【答案】C【解析】 ∵集合{}02A x x =<≤，{}1B x x =<，∴A B ⋃= (],2-∞点睛：本题是道易错题，看清所问问题求并集而不是交集.2.已知复数z 534i =+，则复数z 的虚部为（） A. 45 B. 45- C. 45i D. 45-i 【答案】B【解析】【分析】利用复数的运算法则、虚部的定义即可得出【详解】()()()53453434343455i z i i i i -===-++-，则复数z 虚部为45-. 故选：B .【点睛】本题考查了复数的运算法则、虚部的定义，考查了推理能力与计算能力，属于基础题.3.已知双曲线C ：2222x y a b-=1（a ＞0，b ＞0）的焦距为8，一条渐近线方程为y =，则C 为（） A. 221412x y -= B. 221124x y -= C. 2211648x y -= D. 2214816x y -= 【答案】A【解析】【分析】由题意求得c 与b a的值，结合隐含条件列式求得a 2，b 2，则答案可求. 【详解】由题意，2c ＝8，则c ＝4，又b a=a 2+b 2＝c 2，解得a 2＝4，b 2＝12.∴双曲线C 的方程为221412x y -=. 故选：A .【点睛】本题考查双曲线的简单性质，属于基础题.4.某学校组织学生参加英语测试，成绩的频率分布直方图如图，数据的分组依次为[20,40),[40,60),[60,80),[80,100]，若低于60分的人数是18人，则该班的学生人数是（）。

2020届湖北省武汉市武昌区高三元月调研考试数学(文)试题(解析版)

2020届湖北省武汉市武昌区高三元月调研考试数学（文）试题一、单选题1．已知集合2{|20}A x x x =--< ，{|20}B x x =-<<，则A B =I （） A ．(2,1)-- B ．(1,0)-C ．(0,2)D ．(1,2)-【答案】B【解析】先求解不等式220x x --<,再根据交集的定义求解即可【详解】由题,因为220x x --<,所以12x -<<,即{}|12A x x =-<<, 所以{}|10A B x x ⋂=-<<, 故选:B 【点睛】本题考查集合的交集运算,考查解一元二次不等式2．已知复数z 满足(1i)2i z +=，则z 在复平面内对应的点位于（） A ．第一象限 B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限【答案】A 【解析】由题21iz i=+,利用除法法则整理为a bi +的形式,即可得到复数的坐标形式,进而求解即可【详解】由题,()()()2122211112i i i i z i i i i -+====+++-,所以z 在复平面内对应的点为()1,1, 故选:A 【点睛】本题考查复数的坐标表示,考查复数在复平面的位置,考查复数的除法法则的应用 3．已知{}n a 是各项均为正数的等比数列，113a =，2321a a =+，则n a =（） A ．13n - B ．23n - C ．12n -D ．22n -【答案】B【解析】利用等比数列的通项公式可得12111321a a q a q ⎧=⎪⎨⎪⋅=⋅+⎩,解得q ,进而求得通项公式【详解】由题,12111321a a q a q ⎧=⎪⎨⎪⋅=⋅+⎩,解得3q =或1q =-, 因为{}n a 的各项均为正数,所以3q =, 所以11211333n n n n a a q ---⎛⎫=⋅=⨯= ⎪⎝⎭, 故选:B 【点睛】本题考查等比数列的通项公式,考查运算能力,属于基础题4．已知0.1log 0.2a =， 1.1log 0.2b =，0.21.1c =，则,,a b c 的大小关系为（） A ．a b c >> B ．a c b >>C ．c b a >>D ．c a b >>【答案】D【解析】分别判断出,,a b c 的范围，可得,,a b c 的大小关系. 【详解】0.10.10.1log 1log 0.2log 0.1a =<<，即01a <<； 1.1 1.1log 0.2log 10b ==<，0.201.1 1.11c >==，可得c a b >>，故选：D. 【点睛】本题考查了指数函数与对数函数的单调性，属于基础题. 5．等腰直角三角形ABC 中，2ACB π∠=，2AC BC ==，点P 是斜边AB 上一点，且2BP PA =，那么CP CA CP CB ⋅+⋅=u u u r u u u r u u u r u u u r（）A ．4-B ．2-C ．2D ．4【答案】D【解析】将CP u u u r 用CA u u u r 与u u rCB 进行表示，代入可得答案. 【详解】解：由题意得：1121()3333CP CA AP CA AB CA AC CB CA CB =+=+=++=+u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u uu r u u u r22218443333CP CA CP CB CA CB ⋅+⋅=+=+=u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r ,故选：D. 【点睛】本题主要考查平面向量的基本定理及平面向量的数量积，相对不难.6．为美化环境，从红、黄、白、紫4种颜色的花中任选2种花种在一个花坛中，余下的2种花种在另一个花坛中，则红色和紫色的花不在同一花坛的概率是 A ．13B ．12C ．23D ．56【答案】C【解析】试题分析：将4种颜色的花种任选2种种在一个花坛中，余下2种种在另一个花坛中，有6种种法，其中红色和紫色的花不在同一个花坛的种数有4种，故所求概率为23，选C. 【考点】古典概型【名师点睛】作为客观题形式出现的古典概型试题,一般难度不大,解答中的常见错误是在用列举法计数时出现重复或遗漏,避免此类错误发生的有效方法是按照一定的标准进行列举.7．已知数列{}n a 中，11a =，23122n S n n =-，设11n n n b a a +=，则数列{}n b 的前n 项和为（） A ．31+nn B ．331nn + C ．132n n -- D ．3332n n -+-【答案】A【解析】根据n a 与n S 的关系先求得{}n a 的通项公式,即32n a n =-,则()()1113231n n n b a a n n +==-+,再利用裂项相消法求和即可【详解】当2n ≥时,()()221313111322222n n n a S S n n n n n -⎡⎤=-=-----=-⎢⎥⎣⎦, 当1n =时,13121a =⨯-=,符合,所以32n a n =-, 则()()111111323133231n n n b a a n n n n +⎛⎫===- ⎪-+-+⎝⎭, 设n T 为数列{}n b 的前n 项和,则111111134473231n T n n ⎛⎫=-+-++- ⎪-+⎝⎭L111331n ⎛⎫=- ⎪+⎝⎭31nn =+, 故选:A 【点睛】本题考查由n a 与n S 的关系求通项公式,考查裂项相消法求数列的和8．已知三棱锥S ABC -的所有顶点都在球O 的球面上，SA ⊥平面ABC ，120BAC ∠=o ，2SA AB AC ===，则球O 的表面积为（）A ．4π B．C ．20πD ．36π【答案】C【解析】先利用正弦定理求得ABC V 的外接圆半径,再由SA ⊥平面ABC得到R =求解即可【详解】在ABC V 中,因为2AB AC ==,120BAC ∠=︒,所以30ACB ∠=︒, 所以ABC V 所在的截面圆的半径r 满足22sin sin 30AB r ACB ==∠︒,解得2r =,又因为SA ⊥平面ABC ,所以球O的半径R ==所以球O 的表面积为2420R ππ=, 故选:C 【点睛】本题考查棱锥的外接球问题,考查球的体积,考查空间想象能力9．已知双曲线22145x y -=的左焦点为F ，点P 为其右支上任意一点，点M 的坐标为(1,3)，则PMF ∆周长的最小值为（）A ．5+B ．10+C ．5+D ．9+【答案】D【解析】由双曲线方程可知()3,0F -,设双曲线的右焦点为()3,0F ',则由双曲线定义可得4PF PF '=+,进而PMF ∆的周长4C FM PM PF FM PM PF '=++=+++,从而当PM PF '+最小时,周长最小,求解即可【详解】设双曲线的右焦点为F ',由题,()3,0F -,()3,0F ',由双曲线定义可知24PF PF a '-==,所以4PF PF '=+,PMF ∆的周长为4C FM PM PF FM PM PF '=++=+++,当PM PF MF ''+=时,PM PF '+最小, 此时周长最小为449C FM PF '=++==+,故选:D 【点睛】本题考查双曲线定义的应用,考查双曲线中三角形周长的最值问题,考查两点间距离公式的应用10．函数()sin()f x A x ωφ=+（0A >，0>ω，π02φ<<）的部分图象如图所示，给出下列说法： ①直线5π12x =-为函数()f x 的一条对称轴； ②点2π(,0)3-为函数()f x 的一个对称中心；③函数()f x 的图象向右平移π3个单位后得到函数2y x =的图象.其中，正确说法的个数是（）A ．0B ．1C ．2D ．3【答案】C【解析】先由图像得到()223f x x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭,利用整体法判断①,将23x π=-代入求解判断②,由图像的平移法则可判断③ 【详解】由图,最小值为2-,所以2A =因为712x π=是对称轴,,03π⎛⎫⎪⎝⎭是对称中心,则711234T ππ-=,即T π=, 所以222T ππωπ===, 由对称轴,可得7322,122k k Z πφππ⨯+=+∈,所以2,3k k Z πφπ=+∈, 因为π02φ<<,所以当0k =时,3πφ=, 所以()223f x x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭,对于①,()f x 的对称轴为2,32πππ+=+∈x k k Z ,即,122k x k Z ππ=+∈, 若5π12x =-是对称轴,则512122k πππ-=+,即1k Z =-∈,故①正确；对于②,将23x π=-代入()f x 中可得()24220333f ππππ⎛⎫⎛⎫-=-+=-= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭,所以点2π(,0)3-为函数()f x 的一个对称中心,故②正确；对于③,()f x 的图像向右平移π3个单位,即为22333y x x πππ⎡⎤⎛⎫⎛⎫=-+=- ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦,故③错误；故正确的是:①②,即有2个是正确的, 故选:C 【点睛】本题考查由图像求解析式,考查正弦型函数的对称性的应用,考查三角函数的平移变换11．已知直线l 与抛物线26y x =交于不同的两点A ，B ，直线OA ，OB 的斜率分别为1k ，2k，且12k k ⋅=l 恒过定点（） A．(- B．(- C．(- D．(【答案】C【解析】设直线l 为x my n =+,与抛物线方程联立可得2660y my n --=,即126y y n =-,利用斜率公式代入12k k ⋅=n ,进而得出结论【详解】设直线l 为x my n =+,联立26x my ny x=+⎧⎨=⎩,消去x 可得2660y my n --=, 设()11,A x y ,()22,B x y ,所以126y y n =-,因为12k k ⋅即1212y y x x ⋅=所以122212123636666y y y y y y n ===-⋅所以n =-所以x my =-所以直线l一定过点()-, 故选:C 【点睛】本题考查直线恒过定点问题,考查直线与抛物线的位置关系的应用 12．已知函数1,0,()ln ,0.ax x f x x x +<⎧=⎨>⎩若函数()f x 的图像上存在关于坐标原点对称的点，则实数a 的取值范围是（）A ．(,0]-∞B ．(,1]-∞C ．1[,0]2-D ．1(,1]2【答案】B【解析】存在两对称点(),M x y ,(),N x y --,(0)x >则1ln y ax y x -=-+⎧⎨=⎩,即ln 1x ax =-,故ln y x =与1y ax =-有交点,先求得1y ax =-与ln y x =相切时的斜率,进而求解即可【详解】由题,设两对称点(),M x y ,(),N x y --,(0)x >则1ln y ax y x-=-+⎧⎨=⎩,所以ln 1x ax =-,即ln y x =与1y ax =-有交点, 设1y ax =-与ln y x =的切点为()00,ln x x , 则切线斜率为01x x a y x =='=, 又有0001ln 1x x x =-,所以01x =,即1a =, 所以当ln y x =与1y ax =-有交点时,1a ≤, 故选:B 【点睛】本题考查导数的几何意义的应用,考查图像的对称点问题,考查数形结合思想二、填空题13．函数cos cos 2y x x =-()x ∈R 的最大值为______.【答案】98【解析】利用二倍角公式可得22cos cos 1y x x =-++,由二次函数的性质求得最值即可【详解】由题,()22219cos 2cos 12cos cos 12cos 48y x x x x x ⎛⎫=--=-++=--+ ⎪⎝⎭,因为[]cos 1,1x ∈-,所以当1cos 4x =时,max 98y =, 故答案为:98【点睛】本题考查含cos x 的最值问题,考查二次函数的性质的应用14．若直线l ：320x my m +-+=被圆C :222240x y x +--=截得的线段最短，则实数m 的值为______. 【答案】1-【解析】由直线方程可得直线l 恒过定点P ()2,3-,转化圆的方程为标准方程,则圆心C 为()1,0,当CP l ⊥时截得线段最短,利用斜率公式求解即可【详解】由题,直线l 为()320x m y +-+=,所以直线l 恒过定点P ()2,3-, 将()2,3-代入圆的方程中,因为()()2223222470-+-⨯--=-<,所以点P ()2,3-在圆C 内,因为圆C 为222240x y x +--=,所以其标准方程为()22125x y -+=,所以圆心C 为()1,0,半径为5,当CP l ⊥时,截得的线段最短,则1l CP k k ⋅=-,即13121m -⋅=---, 所以1m =-, 故答案为:1- 【点睛】本题考查过圆内一点的弦长最短问题的应用,考查直线的垂直关系的应用,考查直线恒过定点的应用15．已知一组数据10，5，4，2，2，2，x ，且这组数据的平均数与众数的和是中位数的2倍，则x 所有可能的取值为__________．【答案】11-或3或17【解析】求出这组数据的平均数与众数，分中位数进行讨论可得x 的取值. 【详解】由题意可得这组数据的平均数为：10542222577x x+++++++=，众数为2，若2x ≤，可得25247x++=，可得11x =-；若24x ≤≤，则中位数为x ，可得25227xx +=+，可得3x =；若4x ≥，则中位数为4，可得252427x+⨯=+，可得17x =，故答案为：11-或3或17. 【点睛】本题考查平均数、众数、中位数，考查数据处理能力和运算求解能力.16．如图，已知平行四边形ABCD 中，60BAD ∠=o ，2AB AD =，E 为边AB 的中点，将ADE ∆ 沿直线DE 翻折成1A DE ∆.若M 为线段1A C 的中点，则在ADE ∆翻折过程中，有下列三个命题：①线段BM 的长是定值；②存在某个位置，使1DE A C ⊥； ③存在某个位置，使//MB 平面1A DE .其中正确的命题有______. (填写所有正确命题的编号）【答案】①③【解析】取CD 中点F ,连接,MF BF ,利用中位线的性质去证明平面//MFB 平面1A DE ,即可证明//MB 平面1A DE ；由平面//MFB 平面1A DE 可得1A DE MFB ∠=∠,由余弦定理可得2222cos MB MF FB MF FB MFB =+-⋅⋅∠,进而求证即可；由题可证得DE EC ⊥,若1DE A C ⊥成立,则DE ⊥平面1A EC ,与1A DE △是等边三角形矛盾,即可判断【详解】取CD 中点F ,连接,MF BF ,则1//MF A D ,//BF DE ,所以平面//MFB 平面1A DE , 因为MB ⊂平面MFB ,所以//MB 平面1A DE ,故③正确；由题AE AD =,则160ADE A DE ∠=∠=︒,由1A DE MFB ∠=∠,112MF A D ==定值,FB DE ==定值,故由余弦定理可得2222cos MB MF FB MF FB MFB =+-⋅⋅∠, 所以MB 是定值,故①正确；由题,ADE V 是等边三角形,则60AED ∠=︒,又平行四边形ABCD ,所以120EBC ∠=︒,EB BC =,所以30CEB ∠=︒,所以90DEC ∠=︒,即DE EC ⊥,若1DE A C ⊥,则DE ⊥平面1A EC ,所以1DE A E ⊥,与1A DE △是等边三角形矛盾,故②错误；故答案为:①③ 【点睛】本题考查利用面面平行证明线面平行,考查余弦定理的应用,考查线线垂直三、解答题17．在锐角ABC ∆中，角A 、B 、C 的对边分别为a 、b 、c ，且3sin cos cos sin 2a B Bb A Bc +=. （1）求B ；（2）若2b =，求ABC ∆的面积的最大值. 【答案】（1）π3B =.（23【解析】（1）利用正弦定理化边为角可得3sin sin cos sin cos sin A B B B A B C +=,进而利用和角公式化简即可；（2）由余弦定理可得2222cos b a c ac B =+-,进而利用均值定理求ac 的最大值,即可求得ABC ∆的面积的最大值【详解】（1）由正弦定理,可得3sin sin cos sin cos sin sin A B B B A B C +=, 即()3sin sin cos cos sin sin B A B A B C +=,所以3sin sin()sin B A B C +=, 因为sin 0C >, 所以3sin B =, 所以π3B =（2）由余弦定理,可得2222cos b a c ac B =+-,即22π42cos 3a c ac =+-, 所以2242a c ac ac ac ac =+-≥-=,当且仅当a c =时取等号, 所以4ac ≤,所以1sin 32ABC S ac B ∆=≤, 所以ABC ∆的面积的最大值为3 【点睛】本题考查利用正弦定理化角为边,考查余弦定理的应用,考查利用均值定理求三角形面积的最大值18．如图，在直三棱柱111ABC A B C -中，AC AB ⊥，12A A AB AC ===，D ，E ，F 分别为AB ，BC ，1B B 的中点.（1）证明：1A F ⊥平面1B DE ；（2）求直线BE 与平面1B DE 所成角的正弦值. 【答案】（1）证明见解析（210【解析】（1）先证得1DE A F ⊥,再由平面图形性质可得11DB A F ⊥,进而证明1A F ⊥平面1B DE ；（2）取1A A 的中点G ,连结BG 交1B D 于H ,可证得BG ⊥平面1B DE ,连结EH ,则BEH ∠为直线BE 与平面1B DE 所成的角,进而求解即可【详解】解：（1）因为D ,E ,F 分别为AB ,BC ,1B B 的中点, 所以//DE AC ,因为AC AB ⊥,所以DE AB ⊥,因为1AA ⊥平面ABC ,DE ⊂平面ABC , 所以1AA DE ⊥,因为1AB AA A =I ,所以DE ⊥平面11AA B B , 因为1A F ⊂平面11AA B B ,所以1DE A F ⊥, 因为11A B F V ≌1B BD V ,所以111A FB B DB ∠=∠,所以1111190A FB DB B B DB DB B ∠+∠=∠+∠=︒,即11DB A F ⊥, 因为1DB DE D ⋂=, 所以1A F ⊥平面1B DE（2）取1A A 的中点G ,连结BG 交1B D 于H ,显然四边形1A GBF 是平行四边形, 由（1）知1A F ⊥平面1B DE , 因为1//BG A F , 所以BG ⊥平面1B DE ,连结EH ,则BEH ∠为直线BE 与平面1B DE 所成的角, 在1Rt B BD ∆,可得11BB BD B D BH ⋅=⋅,所以BH =,又因为BE =,所以sin BH BEH BE ∠==【点睛】本题考查线面垂直的证明,考查几何法求线面角,考查推理论证能力19．为了增强消防意识，某部门从男，女职工中各随机抽取了20人参加消防知识测试（满分为100分），这40名职工测试成绩的茎叶图如下图所示（1）根据茎叶图判断男职工和女职工中，哪类职工的测试成绩更好？并说明理由；（2）（ⅰ）求这40名职工成绩的中位数m，并填写下面列联表：超过m的人数不超过m的人数男职工女职工（ⅱ）如果规定职工成绩不少于m定为优秀，根据（ⅰ）中的列联表，能否有99%的把握认为消防知识是否优秀与性别有关？附：22()()()()()n ad bcKa b c d a c b d-=++++.P（2K k≥）0.0500.0100.001k 3.841 6.63510.828【答案】（1）男职工的成绩更好,理由见解析（2）（ⅰ）80 ,表见解析（ⅱ）有99%的把握认为消防知识是否优秀与性别有关.【解析】（1）由茎叶图的数据比较男女职工的中位数,平均数,75%的成绩,数据的分布等来判断即可；（2）（i）由茎叶图可得中位数7991802m+==,进而填表即可；（ii）将数据代入22()()()()()n ad bcKa b c d a c b d-=++++中,结果与6.635比较大小即可得到结论【详解】解：（1）由茎叶图可知,男职工的成绩更好,理由如下：①男职工的成绩的中位数为85.5分,女职工的成绩的中位数为73.5分；②男职工的成绩的的平均数髙于80分,女职工的成绩的平均数低于80分；③男职工的成绩中,有75%的成绩不少于80分,女职工的成绩中,有75%的成绩至多79分；④男职工的成绩分布在茎8上的最多,关于茎8大致呈对称分布；女职工的成绩的分布在茎7上的最多,关于茎7大致呈对称分布；因此,男职工的成绩更好（2）（ⅰ）由茎叶图可知：799180m+==,列表如下：（ⅱ）由表中数据,则2240(151555)10 6.63520202020K⨯⨯-⨯==>⨯⨯⨯,所以有99%的把握认为消防知识是否优秀与性别有关【点睛】本题考查茎叶图的应用,考查2K的应用,考查数据处理能力20．已知椭圆E：22221(0)x ya ba b+=>>的两焦点与短轴一端点组成一个正三角形的三个顶点，且焦点到椭圆上的点的最短距离为1. （1）求椭圆E的方程；（2）过点(4,0)M 的直线l 与椭圆交于A ，B 两点，点A 关于x 轴的对称点为A '，求证：直线A B '过定点，并求出该定点的坐标.【答案】（1）22143x y +=（2）证明见解析，定点(1,0).【解析】（1）由题可得1bca c ⎧=⎪⎨⎪-=⎩,利用222abc =+求解即可；（2）设直线l 的方程为4x my =+,联立224143x my x y =+⎧⎪⎨+=⎪⎩可得22(34)24360m y my +++=,则1222434m y y m +=-+,1223634y y m ⋅=+,由11(,)A x y '-,则直线A B '的方程为211121()y y y y x x x x ++=--,可整理为2112212121()y y x y x y y x x x y y ++=--+,将114x my =+,224x my =+,1222434m y y m +=-+,1223634y y m ⋅=+代入122121x y x y y y ++中,整理即可得到所过定点【详解】解：（1）由题,则1bca c ⎧=⎪⎨⎪-=⎩,因为222abc =+,所以2a =,b =所以椭圆E 的方程为22143x y +=（2）证明:设直线l 的方程为4x my =+,联立224143x my x y =+⎧⎪⎨+=⎪⎩, 消去x 可得22(34)24360m y my +++=,设11(,)A x y ,22(,)B x y ,则1222434m y y m +=-+,1223634y y m ⋅=+, 设11(,)A x y '-,所以2121A B y y k x x '+=-,所以直线A B '的方程为211121()y y y y x x x x ++=--, 即2112112121()[()]y y y x x y x x x x y y +-=---+,所以2112212121()y y x y x yy x x x y y ++=--+,将114x my =+,224x my =+,1222434m y y m +=-+,1223634y y m ⋅=+代入, 则()()()1221122112124424x y x y my y my y my y y y +=+++=++,所以222121236242434342434m m y y m m y x m x x m -⎛⎫⋅+⋅ ⎪+++=- ⎪- ⎪-+⎝⎭,整理可得2121(1)y y y x x x +=--，所以直线A B '过定点(1,0)【点睛】本题考查由椭圆的几何性质求椭圆的方程,考查直线恒过定点问题,考查直线与椭圆的位置关系的应用,考查运算能力 21．已知函数1()(1)ln 2f x a x ax x=++-+. （1）讨论()f x 的单调性；（2）若()f x 有两个极值点1x ，2x 12()x x <，且至少存在两个零点，求1212()()f x f x x x ++的取值范围．【答案】（1）见解析（2）4[33ln 3,]1ee e --+ 【解析】（1）先求得2211(1)(1)()a x ax f x a x x x +--=---'=,分别讨论0a =与0a ≠的情况,令()0f x '=,则1x =或1x a=,讨论1a 与1及0的关系,进而求解即可；（2）由（1）可得当1a >时,()f x 有两个极值点1x ,2x 12()x x <且至少存在两个零点,可得极值点为1和1a,则1()0(1)0f a f ⎧≤⎪⎨⎪≥⎩可得3e a ≤≤,由1212()()3(1)(1ln )4ln 111f x f x a a a a a ax x a a+-++-==-+++,设4()ln (3)1ag a a a e a a =-≤≤+,进而求解()g a 的范围即可【详解】解：（1）由题,()f x 的定义域为(0,)+∞,()22221111(1)(1)()ax a x a x ax f x a x x x x-++-+--=--=-'=,当0a =时,()21x f x x-'=,则当1x >时,()0f x '>,当01x <<时,()0f x '<,所以()f x 在()0,1上单调递减,在()1,+∞上单调递增；当0a ≠时,令()0f x '=,得1x =或1x a=, 当0a <时,10a<,所以()f x 在(0,1)上单调递减,在(1,)+∞上单调递增；当01a <<时,即11a >时,所以()f x 在(0,1)上单调递减,在1(1,)a上单调递增,在1(,)a+∞上单调递减；当1a =时,()0f x '≤在(0,)+∞上恒成立,所以()f x 在(0,)+∞上单调递减；当1a >时,101a <<,所以()f x 在1(0,)a上单调递减,在1(,1)a 上单调递增,在(1,)+∞上单调递减（2）由（1）知,因为()f x 有两个极值点1x ,2x 12()x x <, 所以01a <<或1a >,因为(1)30f a =->,所以01a <<不合题意；因为1a >时,()f x 在1(0,)a 上单调递减,在1(,1)a上单调递增,在(1,)+∞上单调递减,所以1()0(1)0f a f ⎧≤⎪⎨⎪≥⎩即(1)(1ln )030a a a +-≤⎧⎨-≥⎩, 解得3e a ≤≤,此时1212()()3(1)(1ln )4ln 111f x f x a a a a a ax x a a+-++-==-+++, 记4()ln (3)1ag a a a e a a =-≤≤+,则224(1)(1ln )()(1)a a g a a -+=+'+, 因为3e a ≤≤,所以()0g a '<,所以()g a 在区间[,3]e 上单调递减, 所以(3)()()g g a g e ≤≤,解得433ln 3()1eg a e e -≤≤-+, 所以,1212()()f x f x x x ++的取值范围为4[33ln 3,]1ee e --+【点睛】本题考查利用导函数判断函数的单调性,考查利用导函数求函数的极值,考查函数的零点问题,考查分类讨论思想和运算能力22．在直角坐标系xOy 中，曲线1C的参数方程为222x y ⎧=-⎪⎪⎨⎪=+⎪⎩（t 为参数）.以坐标原点为极点，以x 轴正半轴为极轴的极坐标系中，曲线2C 的极坐标方程为22932cos ρθ=-.（1）写出1C 的普通方程和2C 的直角坐标方程；（2）若1C 与y 轴交于点M ，1C 与2C 相交于A 、B 两点，求||||MA MB ⋅的值.【答案】（1）20x y +-=，22193x y+=（2）32【解析】（1）将题中所给直线参数方程进行消参，得到直线的普通方程，利用极坐标与平面直角坐标的转换关系，可得其直角坐标方程；（2）将直线的参数方程代入曲线的直角坐标方程中，整理得到关于t 的一元二次方程，结合根与系数的关系及t 的几何意义可得答案. 【详解】（1）方程222x y t ⎧=-⎪⎪⎨⎪=+⎪⎩可化为20x y +-=.方程22932cos ρθ=-可化为22193x y +=.（2）将222x y ⎧=-⎪⎪⎨⎪=+⎪⎩代入22193x y +=，得2230t ++=.设方程2230t ++=的两个根分别为1t ，2t ，则123||||||||2MA MB t t ⋅=⋅=. 【点睛】本题主要考查的是有关参数方程与极坐标的问题，需注意直线的参数方程与普通方程的互化及曲线极坐标方程与平面直角坐标方程的互化.23．（1）已知()||||f x x a x =-+，若存在实数x ，使()2f x <成立，求实数a 的取值范围；（2）若0m >，0n >，且3m n +=，求证：143m n+≥. 【答案】（1）(2,2)-（2）证明见解析【解析】（1）利用绝对值三角不等式或将函数的零点分段，结合函数的单调性可得a 的值；（2）由题意结合基本不等式代入计算可得答案. 【详解】（1）方法一：因为()||||||||f x x a x x a x a =-+≥--=，因为存在实数x ，使()2f x <成立，所以||2a <，解得22a -<<. 方法二：当0a =时，符合题意. 当0a >时，因为2,(),02,0x a x a f x x a x a x a x a x ->⎧⎪=-+=≤≤⎨⎪-+<⎩，所以min ()f x a =.因为存在实数x ，使()2f x <成立，所说义2a <. 当0a <时，同理可得2a >-. 综上，实数a 的取值范围为(2,2)-. （2）因为3m n +=，所以1414141()(5)5)3333m n n m m n m n m n ++=+=++≥=，当且仅当1,2m n ==时取等号. 【点睛】本题主要考查不等式的相关知识及基本不等式，注意运算的准确性.。

武昌区2020届高三4月调研测试文科数学(答案)

t
( x 1 )( 2 x t ) .
x
x
（ⅰ）当 t 0 时，函数 g( x) 在 (0,1) 单调递减，在 (1,) 单调递增，
所以 g(x)min g(1) t 1 0 ，解得 t 1 .
t
t
（ⅱ）当 2 t 0 时，函数 g( x) 在 ( ,1) 单调递减，在 (0, ) 和 (1,) 单调递增，
解：（1）设
A(x0 ,
y0 )
，且
y02
2 px0 ，则 C(
x0 2
2
,
y0 )
.
圆 C 的直径 | AB |
( x0
2)2
y02
，圆心 C 到直线 x
1 的距离为 d
|
x0 2 2
1 ||
x0 2
|.
因为 MN
| 2 ，所以 (
MN
|)2
d2
| (
ห้องสมุดไป่ตู้
AB
|)2
，
2
2
即1 x02 ( x0 2)2 y02 ，将 y02 2 px0 代入，
3
2
2n 1
2n 1
所以， an a1 (n 1)d 3 ，即 an 3 .
………….(4 分)
(2)
因为 bn
2n 1 3n 3
(2n 1) 3n1 ，
所以 Tn 3 30 5 31 (2n 1) 3n1 ，
于是 3Tn 3 31 5 32 (2n 1) 3n .
（2）设 C1 到平面 B1MC 的距离为 h .
1
1
1
1
因为 MP 2 ， SB1CC1 2 ，所以VM B1C1C 3 SB1CC1 MP 12 .

【附加15套高考模拟试卷】湖北省武昌区2020届高三元月调考数学(文)试题含答案

湖北省武昌区2020届高三元月调考数学（文）试题一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。

在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1．若函数32()623x f x xe ax ax =--存在三个极值点，则a 的取值范围为（）A ．(0,)eB ．10,e ⎛⎫ ⎪⎝⎭C ．(,)e +∞D ．1(,)e +∞2．下面关于复数21iz =--的四个命题： 1:2p z =2:p z 的共轭复数z 在复平面内对应的点的坐标为()1,1--3:p z 的虚部为-1 24:2i p z =-其中的真命题是（） A ．23,p p B ．12,p p C ．24,p p D ．34,p p3．过抛物线22(0)y px p =>的焦点F 作倾斜角为4π的直线l ，若l 与抛物线交于A ，B 两点，且AB 的中点到抛物线准线的距离为4，则p 的值为（）A ．83 B ．1C ．2D ．34．定义在R 上的函数()f x ，其导函数为()f x ¢，且()()2f x f x =+，()()f x f x -='-'，若当()0,1x ∈时，()0f x ¢<，则A ．()1lnln 302f f ⎛⎫-< ⎪⎝⎭B ．()12lnln 302f f ⎛⎫-> ⎪⎝⎭C ．()1ln ln 302f f ⎛⎫+< ⎪⎝⎭ D ．()12ln ln 302f f ⎛⎫+> ⎪⎝⎭5．函数()()1ln f x x x =-的图象可能为 ( )．A ．B ．C ．D ．6．已知△ABC 外接圆的圆心为O ，若AB=3，AC=5，则AO BC u u u r u u u r⋅的值是（） A ．2B ．4C ．8D ．167．如图是民航部门统计的2018年春运期间十二个城市售出的往返机票的平均价格以及相比去年同期变化幅度的数据统计图表，根据图表，下面叙述不正确的是（）A ．变化幅度从高到低居于后两位的城市为北京，深圳B ．天津的变化幅度最大，北京的平均价格最高C ．北京的平均价格同去年相比有所上升，深圳的平均价格同去年相比有所下降D ．厦门的平均价格最低，且相比去年同期降解最大8．若变量x ，y 满足约束条件11y xx y y ≤⎧⎪+≤⎨⎪≥-⎩，则3x y +的最大值是（）A ．1B ．2C ．3D ．49．已知等差数列{}n a 的首项为1a ，公差0d ≠，则“139,,a a a 成等比数列” 是“1a d =”的 A ．充分而不必要条件B ．必要而不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件10．某三棱锥的三视图如图所示，则该三棱锥最长棱的棱长为( )A 13B ．23C ．3D ．211．已知两点(1,0)M -，(1,0)N ，若直线340x y m -+=上存在点P 满足0PM PN ⋅=u u u u r u u u r，则实数m 的取值范围是（） A ．(][),55,-∞-+∞UB ．(][),2525,-∞-+∞UC．[]5,5-D．[]25,25-12．执行下面所示的程序框图,则输出的n值是（）．A．5 B．7 C．9 D．11二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。

武昌区 2020 届高三年级元月调研考试答案

所以 AA1 DE .
因为 AB AA1 A ，所以 DE 平面 AA1B1B .
C1
因为 A1F 平面 AA1B1B ，所以 DE A1F . 易证 DB1 A1F ，因为 DB1 D1E D ，
所以 A1F 平面 B1DE . ……………（6 分）
（2）取 A1A 的中点 G ，连结 BG 交 B1D 于 H .
a
a
（2）由（1）知， 0 a 1或 a 1.
因为 f (1) 3 a 0 ，所以 0 a 1不合题意.
因为 a 1时， f (x) 在 (0, 1 ) 单调递减，在 ( 1 ,1) 单调递增，在 (1,) 单调递减.
……………（12 分）
21．（本题 12 分）
解：（1）
f
(x)
的定义域为 (0,) ，且
f
( x )

(x
1)(ax x2
1)
.
令 f (x) 0 ，得 x 1或 x 1 . a
当 a 0 时， ax 1 0 ， f (x) 在 (0,1) 单调递减，在 (1,) 单调递增；
所以 4 a2 c2 ac ac ，当且仅当 a c 时取等号.
所以
ac

4 ，所以
SABC

1 2
ac sin
B

3.
…………………………………（12 分）
18．（本题 12 分）
解：（1）因为 AC AB ， DE // AC ，所以 DE AB .
因为 AA1 平面 ABC ， DE 平面 ABC ，
武昌区 2020 届高三年级元月调研考试

湖北省武汉市武昌区2020届高三数学四月调研测试试题文

精品文档，欢迎下载！湖北省武汉市武昌区2020届高三数学四月调研测试试题文注意事项：1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号等填写在答题卡和试卷指定位置上。

2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。

如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。

回答非选择题时，将答案写在答题卡上。

写在本试卷上无效。

3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。

一、选择题：本题共 12 小题，每小题 5 分，共 60 分。

在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1．设全集U = R ，集合A = {x | 0 <x ≤ 2}，B = {x | x - 1 < 0} ，则A B =A. (2,+∞)B. [2,+∞)C.(-∞,2]D. (-∞,1]2．已知复数z =534i+，则复数z 的虚部为A.45B.45- C.45iD.45-i3．已知双曲线C :2222x ya b-= 1(a > 0, b > 0) 的焦距为8，一条渐近线方程为y3，则CA.221412x y-= B.221124x y-= C.2211648x y-= D.2214816x y-=4．某学校组织学生参加英语测试，成绩的频率分布直方图如图，数据的分组依次为[20,40) ，[40,60) ，[60,80) ，[80,100].若低于 60 分的人数是 18 人，则该班的学生人数是A.45B.48C.54D.6015．已知l ，m 是两条不同的直线，m ⊥平面α，则“ l // α”是“ l ⊥m ”的A．充分而不必要条件B．必要而不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件6．已知向量a = (1,-2) ，b = (3,-1) ，则A. a // bB. a ⊥bC. a // ( a-b )D. a ⊥( a -b )2精品文档，欢迎下载！323 2 3 7．已知点(m ,8) 在幂函数 f ( x ) = (m - 1)x n 的图像上，设a = f () ，b = f (ln π) ，c = f ( n) ，则A. b < a < cB. a < b < c C .b < c < a D.a < c < b8．函数48ln ||()eex xx x f x --=+的图像大致为A.B.C.D.9．一艘海轮从A 处出发，以每小时 24 海里的速度沿南偏东 40°的方向直线航行，30分钟后到达B 处，在C 处有一座灯塔，海轮在A 处观察灯塔，其方向是南偏东 70°，在 B 处观察灯塔，其方向是北偏东 65°，那么B ，C 两点间的距离是 A. 6 海里B. 6 海里C. 8 海里D. 8 海里10．已知三棱锥 P - ABC 的顶点都在球O 的球面上， PA = ，PB = ， AB = 4 ， CA = CB =，面 PAB ⊥ 面 ABC ，则球O 的表面积为2 14 10精品文档，欢迎下载！4A. 10π3. B. 256π C. 409πD.503π精品文档，欢迎下载！5311．已知函数 f ( x ) = A sin(ωx + ϕ )( A > 0,ω > 0,0 < ϕ < 2π) 的部分图像如图所示，则 f (34π) = A. 2 - 6 4 B. 2 + 6 4C.6 - 2 4D.6 + 2 212．已知函数 f ( x ) 是定义域为 R 的偶函数，且满足 f ( x ) = f (2 - x ) ，当 x ∈[0, 1] 时，f ( x ) = x ，则函数 F ( x )= f ( x ) +x + 4在区间[-10, 9] 上零点的个数为 1 - 2x A ．9 B ．10 C ．18 D ．20 二、填空题：本题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分。

湖北省武汉市武昌区2020届高三数学调研考试文新人教A版

武昌区2021届高三5月调研考试文科数学试卷本试卷共150分，考试用时120分钟．★祝考试顺利★考前须知：1．本卷1-10题为选择题，共50分；11-21题为非选择题，共100分，全卷共4页，考试结束，监考人员将试题卷和答题卷一并收回．2．答题前，考生务必将自己的学校、班级、姓名、准考证号填写在试题卷和答题卷指定位置，并将准考证号条形码粘贴在答题卷上的指定位置．3．选择题的作答：选出答案后，用2B铅笔把答题卷上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．答在试题卷上无效．4．非选择题的作答：用毫米黑色墨水的签字笔直接答在答题卷上的每题所对应的答题区域内．答在指定区域外无效．参考公式：如果事件互斥，那么P(AB)P(A)P(B)．A如果事件相互独立，那么PABPAPB．A台体的体积公式V 1(〕h，其中S下分别是台体的上、下S上S上S下S下3S底面面积，h是台体的高．球的外表积公式S 4R2，球的体积公式V4R3，其中R表示球的半径．3一、选择题：本大题共10小题，每题5分，共50分．在每题给出的四个选项中，只有一项为哪一项符合要求的．1.i是虚数单位，复数z2i2，那么z〔〕开始i1iA.1 B.2C.5D.2212.a,b为实数，“ab100〞是“lgalgb2〞的〔〕3A.充分而不必要条件.必要而不充分条件C.充分必要条件D.既不充分也不必要条件是S100?3．程序框图如右，那么输出的为否A．7B．8C．9D．1输出iS=S﹡i结束i i 2A.B.C.4．一个几何体的三视图如下，正视图和俯视图两个等腰梯形，长度单位是厘米，那么D.该几何体的体积是〔〕E.122833684正视图侧视图422 4俯视图x y35.O为坐标原点，点A的坐标是2,3，点Px,y在不等式组2x y6所确定的区x2y6域内〔包括边界〕上运动，那么OAOP的范围是〔〕A.4,10B. 6,9C. 6,10D. 9,106.设函数fx sinx cosx，函数hx fxf/x，以下说法正确的选项是A.yhx在0,单调递增，其图像关于直线x 对称24B.yhx在0,单调递增，其图像关于直线x对称22C.yhx在0,D.yhx在0,7.E、F分别棱BB1、AD的中点，那么直线EF和平面BDB1D1所成的角的正弦值是〔〕D1A .2316B.6C.D.6361A〔〕CBEC1B18．如果方程x2y21表示双曲线，那么以下椭圆中，与该双曲线共焦点的是〔〕p qx221B.x2y2A.p q2q12q p x221D.x2y2C.q q2p12p p9.如图，直角三角形ABC的三边CB,BA,AC的长度成等差数列，点E为直角边AB的中点，点D在斜边AC上，且ADAC，假设CEBD，那么A.7B.89D.117C.171717D10.点P在半径为1的半圆周上沿着A PB路径运动，设弧⌒的长度为x，弓形面AP积为fx〔如下图的阴影局部〕，那么关于函数x的有如下结论：①函的定义域和值0；P数y域都是,②如果函数yfx的定义域R，那么函数y是周期函数；B AO③如果函数yfx的定义域R，那么函数y是奇函数；④函数y在区间0,上是单调递增函数.以上结论的正确个数是〔〕二、填空题：本大题共7小题，每题5分，共35分．请将答案填在答题卡对应题号的位置上，填错位置，书写不清，模棱两可均不得分．11．某校为了解学生的睡觉情况，随机调查了50名学生，得到他们在某一天各自的睡眠时间的数据，结果用下面的条形图表示，根据条形图可得这50名学生这一天平均每人的睡眠时间为_______________h．频率67时间∕h1 2.等比数列{a n}中，a12,a416.假设a3,a5分别为等差数列{b n}的第4项和第16项，那么数列{b n}的前n项和S n=.1 3.在圆x2y24上，与直线l:4x3y120的距离最小值是.14.集合Ax2x31,xR，集合Bxax22x0,x R，AC U B，那么实数a的范围是.15.如果复数zcosisin，,，记nnN个z的积为z n，通过验证2n2,n3,n4,，的结果z n，推测z n.〔结果用,n,i表示〕16．如果一个三角形的三边长度是连续的三个自然数，且最大角是最小角的两倍，该三角形的周长是．17.x,aR,a1，直线yx与函数fxlog a x有且仅有一个公共点，那么a；公共点坐标是.1标是e,e，所以两空分别填a e e，e,e.三、解答题：本大题共 6小题，共 75分．解容许写出文字说明，证明过程或演算步骤．〔此题总分值12分〕〔课本必修4第60页例1改编〕武汉地区春天的温度的变化曲线近似地满足函数yAsinxb 〔如下图，单位:摄氏温度,A0, 0,0〕.〔Ⅰ〕写出这段曲线的函数解析式；T/℃〔Ⅱ〕求出一天〔t0,24 ，单位小时〕温度的变化在20,25时的时间. 3010 O614t/h〔此题总分值12分〕某科研所研究人员都具有本科和研究生两类学历，年龄段和学历如下表，从该科研所任选一名研究人员，是本科生概率是2，是1.3本科〔单位：名〕研究生〔单位：名〕35岁以下的研究生概率是35岁以下3y6〔Ⅰ〕求出表格中的x和y的值；35—50岁32〔Ⅱ〕设“从数学教研组任选两名50岁以上x0教师，本科一名，研究生一名，5 0岁以上本科生和35岁以下的研究生不全选中〞的事件为A，求事件A概率PA.20. 〔本小题总分值13分〕平面PAD 平面ABCD,PA PD 2,矩形ABCD的边长ABDC2，ADBC22.〔Ⅰ〕证明：直线AD//平面PBC ；〔Ⅱ〕求直线PC 和底面ABCD 所成角的大小.D CA B21.〔此题总分值14分〕函数f(x)ax 3bx 23x(a,bR)，在点(1,f(1))处的切线方程为y20．〔1〕求函数f(x)的解析式；〔2〕假设对于区间[2,2]上任意两个自变量的值x 1,x 2，都有|f(x 1)f(x 2)| c ，求实数c 的最小值；m 的取值范围．〔3〕假设过点M(2,m)(m2)，可作曲线y f(x)的三条切线，求实数〔本小题总分值14分〕椭圆C:x2y21(ab0)的离心率为1，点M(2,3)，a2b22N(2,3)为C上两点，斜率为1的直线与椭圆C交于点A，B〔A，B 在直线MN两侧〕．2〔I〕求四边形MANB面积的最大值；〔II〕设直线AM，BM的斜率为k1,k2，试判断k1k2是否为定值．假设是，求出这个定值；假设不是，说明理由．武昌区2021届高三5月调研考试文科数学试卷参考答案一、选择题：本大题共10小题，每题5分，共50分．在每题给出的四个选项中，只有一项为哪一项符合要求的．1.i是虚数单位，复数z12i2，那么z〔〕2i1 iA. 1B.2C.5D.22【答案】C.【解析】z12i2i21i5i21i12i，z5应选C.22i212i252【命题意图】考查复数的运算法那么和模的定义及运算.2.a,b为实数，“ab100〞是“lgalgb2〞的〔〕A.充分而不必B必要而不要条件.充分条件C.充分必要条件D.既不充分也不必要条件【答案】B.【解析】ab100，lgalgb2不一定成立，例如a5,b20，有ab100，但是lgalgb2不成立；反之，lgalgb2，那么a0,b0，根据对数的运算法那么，lgab 2 ab 100，所以ab 100一定成立，应选 B.【命题意图】考查对数的运算法那么，充要必要条件内容的考查.开始3．程序框图如右，那么输出的i为A．7 B ．8 C ．9 D ．10S 1i 3是【答案】C.【解析】由程序框图可得i 3,5,7时，S 3,15,105，故输出的i为9，应选C.【命题意图】考查程序框图的根本内容，考查简单的逻辑推理能力.4．一个几何体的三视图如下，正视图和俯视图两个等腰梯形，长度单位是厘米，那么该几何体的体积是〔〕1228C .363D .84正视图侧视图【答案】B.4【解析】由图可知，该几何体是上下底2面试正方形，高度是3的四棱台，24根据台体的体积公式V 1hS1S1S2S2得：俯视图3V1344161628，应选B.3.【命题意图】考查三视图和简单几何体的根本概念，台体的体积计算公式和运算能力x y35.O为坐标原点，点A的坐标是2,3，点Px,y在不等式组2x y6所确定的区x2y6域内〔包括边界〕上运动，那么OAOP的范围是〕yA .4,10B.6,9C.6,1D.9,10【答案】C.【解析】先求出三条直线x y 3,C〔0，3〕B〔2,2〕2 x6,x2y6的交点，交点分别是A〔3,0〕A3,0、B2,2、C0,3，可行域是O x如下图的ABC区域〔包括边界〕，因为OAOP2x3y，令z2x3y，如图平行移动直线z 2x 3y，当直线z 2x 3y过A3,0时，z取得最小值6，当直线z2x3y过B2,2时，z取得最大值10，6OAOP10，应选C.【命题意图】考查二元一次不等式组表示的平面区域，简单的线性规划问题和向量的数量积.6.设函数fxsinxcosx，函数hxfxf/x，以下说法正确的选项是〔〕A .yhx在0,单调递增，其图像关于直线x对称24B .hx在0,单调递增，其图像关于直线对称22C .hx在0,单调递减，其图像关于直线对称24D .hx在0,单调递减，其图像关于直线对称22【答案】D.【解析】解法一：hx cosxsinxcosxsinxcos2x.所以f(x)在0,单调2递减，其图像关于直线x 对称，应选 D.2解法二：直接验证由选项知0, 不是递增就是递减，而端点值又有意义，故只需验证端2点值，知递减，显然x 不会是对称轴应选 D.4【命题意图】此题考查三角函数图像和性质，属于中等题.7.E、F分别是正方体ABCD A1B1C1D1D CF棱BB1、AD的中点，那么直线EF和平面BDB1D1所成的A B角的正弦值是〔〕D1E 2316A.B.C. D.6636A1B1【答案】B.【解析】[方法一]设正方体ABCD A1B1C1D1的棱长为2，由于E、F分别是正方体ABCD A1B1C1D1棱BB1、AD的中点，连接BD，AE，过F作BD交BD于H，那么FH⊥BDB1D1，因为FH 2AF1,AE 5,EF 6，直线EF和平面BDB1D1所成的2角的正弦值是3，应选B.6[方法二]建立空间直角坐标系，设正方体ABCD A1B1C1D1的棱长为2，那么【命题意图】考查空间直线和平面的位置关系，简单的空间直角坐标系数.8．如果方程x22〕1表示双曲线，那么以下椭圆中，与该双曲线共焦点的是〔qA .22B.x22 p12q2q q pC .22D.x22 q12p2p q p【答案】D解析：由条件可知pq0，那么pq0，当p0,q0时，方程x2y21为p qy 2x2，表示焦点在y轴的双曲线，半焦距为pq，此时B和D选项不是椭q p圆，而A和C选项中均表x轴上得椭圆，矛00时，方1示焦点在盾；当p,q程x22pq为x2y21，表示焦点在x轴的双曲线，半焦距为q，此时A和C选项不是椭圆，B 选项x2y21为x2y21，D选项x2y21为2q p p2qp2pq px 2y21均表示焦点在x轴上得椭圆，只有D选项的半焦距为c pq，2p因此选D．【命题意图】考察圆锥曲线的根本概念、圆锥曲线的标准方程以及分类与整合的数学思想.9.如图，直角三角形ABC的三边CB,BA,AC的长度成等差数列，点E为直角边AB的中点，点D在斜边AC上，且AD AC，假设CE BD，那么7B.891A. C. D.A17171717【答案】B.【解析】三边CB,BA,AC的长度成等差数列，设为E a d,a,a d a 0,d 0,a d 0，那么d 2a2d2Ba a，那么a4d，不妨令d1因此三边长分别为CB3,BA4,AC5，C E1ABBC,BDBAADBAAC1BABC.0，即11由CEBD得：CEBD2BC2819，AB，82所以，因此选B.17【命题意图】考查向量的运算法那么，数量积和解决问题的能力.10.点P在半径为1的半圆周上沿着A PB路径运动，设弧⌒的长度为x，弓形面A P积为fx〔如下图的阴影局部〕，那么关于函数yfx的有如下结论：①函数y x 的定义域和值域都是,；P②如果函数y的定义域R，那么函数y是周期函数；B AO③如果函数y的定义域R，那么函数y是奇函数；④函数y x 在区间0,上是单调递增函数.以上结论的正确个数是〔〕【答案】B.【解析】因为S扇形11x1x，S OAP11sinx1sinx，所以2222yS扇形SOAP1x1sinx，它的定义域是0,，f/x11cosx，222y在区间0,上是增函数，0f x，显然该函数不是周期函数，如果函数y的定义域R，那么函数y f x是奇函数，故①、②不正确，③和④正确，选 B.【命题意图】考查学生创新意识和解决实际问题的能力，考查运用数学知识解决实际问题的能力，考查函数的根本性质.二、填空题：本大题共7小题，每题5分，共35分．请将答案填在答题卡对应题号的位置上，填错位置，书写不清，模棱两可均不得分．11．某校为了解学生的睡觉情况，随机调查了50名学生，得到他们在某一天各自的睡眠时间的数据，结果用下面的条形图表示，根据条形图可得这50名学生这一天平均每人的睡眠时间为_______________h．频率6 7 时间∕h【答案】h.【解析】.【命题意图】考查直方图的根本概念，考查解决实际问题的能力.12.等比数列{a n}中，a12,a416.假设a3,a5分别为等差数列{b n}的第4项和第16项，那么数列{b n}的前n项和S n=.【答案】n2n .【解析】设{a n}的公比为q,由得162q3，解得q2.又a12，所以aaq12n12 1那么a28，a532，那么b48，b1632.设{b n}的公差为d，那么有b13d8,12, b13解 2.15d2,得那么数列{b}的前n项和Snbn(n1)d2nn(n1)2n2n.n122【命题意图】考查等数列和等比数列的根本概念，考查等数列和等比数列通项与求和方法，考查学生的计算能力.13.〔在圆x2y24上，与直线l:4x3y120的距离最小值是.【答案】2.5【解析】圆的半径是2，圆心O0,0到l:4x3y120的距离是d121242325所以圆x2y24上，与直线l:4x3y120的距离最小值是d1222，所以555【命题意图】考查绝对值不等式和一元二次不等式的解法，考查集合的运算以及分类整合的数学思想.14.集合Ax2x31,xR，集合Bxax22x0,xR，AC U B，那么实数a的范围是.【答案】, 1【解析】A1,2，由于AC U B，那么AB，当a 0时，Bxx0,x,，满足AB；当a 0时，Bxxx0,xR2,，满足A B；,a当a 0时，Bxxx0,xR0,2，假设AB，那么22，即0a1；a a综合以上讨论，实数a的范围是,1.【命题意图】考查绝对值不等式和一元二次不等式的解法，考查集合的运算以及分类整合的数学思想.15.如果复数zcosisin，,，记nnN个z的积为z n，通过验证2n2,n3,n 4,，的结果z n，推测z n.〔结果用,n,i表示〕【答案】z ncosn isinn.由条件z 1cosi sinz 2cosisin，cos2sin22isincos cos2isin2；z 3cosisin3cos2isin2cosisin cos2cossin2sinisin2coscos2sin cos3isin 3；推测z ncosnisinn【命题意图】考查复数的运算和三角变换，以及归纳推理的等数学知识，考查学生运用数学知识解决问题的能力.16．如果一个三角形的三边长度是连续的三个自然数，且最大角是最小角的两倍，该三角形的周长是．【答案】15.【解析】设三角形的三边长分别是n1,n,n1n2,nN，三个角分别是3,2n1n1，所以cosn1．由正弦定理得，sin22n，由余弦定理得，sin1n 12n12n22n1n n1，即n25n，n5，n0〔舍去〕，2n1所以三边分别是4,5,6，周长为15，答案填15.【命题意图】考查利用根本不等式求最值的技能，考查不等式使用的条件和解题技巧.17.x,aR,a1，直线yx与函数f xlog ax有且仅有一个公共点，那么a；公共点坐标是.1【答案】a e e，e,e.【解析】构造新函数gxlog ax，g/x11，令110xlnaxlna有x1 ，因为a 1，当01 时，g /0；当x1 时，g /x 0lnalnalna所以，gxl og a xx 在x处有最大值g 1，当g10时，直线yxlna l nalna与函数f x log a x 有且仅有一个公共点，即l og a11，log a lna 1lnalnal nalnl na1111l nlna1，lna a e e，那么yx e,即公共点坐lna lnae1lne e1标是e,e ，所以两空分别填a e e ，e,e.【命题意图】考查导数和函数零点等知识解决问题的能力，考查学生创新意识、运用数学知识解决问题的能力和计算能力.三、解答题：本大题共6小题，共75分．解容许写出文字说明，证明过程或演算步骤．〔此题总分值12分〕〔课本必修4第60页例1改编〕武汉地区春天的温度的变化曲线近似地满足函数yAsinxb 〔如下图，单位:摄氏温度,A0, 0,0〕.〔Ⅰ〕写出这段曲线的函数解析式；T/℃〔Ⅱ〕求出一天〔t0,24 ，单位小时〕3010温度的化在20,25的. 解：〔Ⅰ〕由条件可知A b 30,解得A1 0,A b 10.b 20.因12146，所以.所以y10sin x20.28将点6,10代入上式，得3.从而解析式是y10sin x320.⋯⋯⋯⋯⋯⋯448〔6分〕〔Ⅱ〕由〔Ⅰ〕，令210sin x32025，48得0sin31 x82所以2k2k，⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯①8x46或53⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯②2k62k84由①，得16k6x 16k6.取k1，得10x11.222由②，得16k16k2.取k x2；取k1，得163，得x18.20,25的是33即一天温度的化在0:40~2:00，，10:00~11:216:40~18:0三个段，共4小⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯〔12分〕〔本分12分〕某科研所研究人都具有本科和研究生两学，年段和学如下表，从科研所任一名研究人，是本科生概率是2，是35以下的研究生概率是1.36〔Ⅰ〕求出表格中的x和y的；本科〔位：名〕研究生〔位：名〕35以下y〔Ⅱ〕“从数学教研任两名35—502教，本科一名，研究生一名，550以上0以上本科生和35以下的研究生不全中〞的事件A，求事件A概率PA.【解析】〔Ⅰ〕从科研所任一名研究人，是本科生概率是2，是35以下的研究生概率是13 .633x2所以8x y3，解得x2,y218x y6因此科研所的研究人共有12名，其中50以上的具有本科学的2名，35以下具有研究生学的2名；〔Ⅱ〕具有本科学的研究人分B1,B2,B3,B4,B5,B6,B7,B8，其中B7,B8是50以上本科生，研究生分Y1,Y2,Y3,Y4,35以下的研究生分Y1,Y2，事件A的根本领件是共有32种：B1,Y1，B2,Y1，B3,Y1，B4,Y1，B5,Y1，B6,Y1，B7,Y1，B8,Y1，B1,Y2，B2,Y2，B3,Y2，B4,Y2，B5,Y2，B6,Y2，B7,Y2，B8,Y2，B1,Y3，B2,Y3，B3,Y3，B4,Y3，B5,Y3，B6,Y3，B7,Y3，B8,Y3，B1,Y4，B2,Y4，B3,Y4，B4,Y4，B5,Y4，B6,Y4，B7,Y4，B8,Y4，50以上的具有本科学和35以下具有研究生学的研究人全部被上的有B7,Y1，B，，有4种，所以478,Y1B7,Y2B8,Y2PA1832【命意】考古典概型根本知和解决概率根本方法，考学生用数学知解决的能力、推理能力和算能力.20.〔本小分13分〕平面PAD平面ABCD,PAPD2,矩形ABCD的AB DC2，AD BC22 .〔Ⅰ〕明：直AD//平面PBC；P〔Ⅱ〕求直PC和底面ABCD所成角的大小.【解析】〔Ⅰ〕因四形ABCD是矩形AD//BC，⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯2分又BC平面PBC⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯4分AD平面PBC⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯5分A B所以直AD//平面PBC⋯⋯⋯⋯⋯6分〔Ⅱ〕由条件平面PAD平面ABCD平面PAD平面ABCD AD点P作PE AD，⋯⋯⋯⋯⋯7分又因CD AD P根据平面和平面垂直的性定理得PE平面ABCD,CD平面PAD⋯⋯⋯⋯⋯9分所以，直EC是直PC在平面ABCD内的射影PCE直PC和底面ABCD所成角，D且CD PD⋯⋯⋯⋯⋯10分在RtPCD中，PC PD2CD222E因PA PD2,所以PEPD2ED22A B在RtPCE 中，sinPCEPE21PC，222PCE300⋯⋯⋯⋯11分300直PC和底面ABCD所成角的大小.⋯⋯⋯⋯12分21. 〔本分14分〕函数f(x)ax3b 3x(a,bR)，在点(1,f(1))的切方程y20x2．〔1〕求函数f(x)的解析式；〔2〕假设于区[2,2]上任意两个自量的x1,x2，都有|f(x1)f(x2)|c，求数c的最小；〔3〕假设点M(2,m)(m2)，可作曲yf(x)的三条切，求数m的取范．【解析】〔1〕f(x) 3ax22bx 3 ⋯⋯⋯⋯1分f (1)2,即ab32,根据意，得0 ,3a2b3,f (1)a 1,f (x)x33x.⋯⋯⋯⋯3分解得.b〔2〕令f(x)3x2Q f(1)2,f(1)当x[2,2]，30，解得x12，f(2)2,f(2)2f(x )max2,f(x)min2.⋯⋯⋯⋯5分于区[-2，2]上任意两个自量的x1,x2，都有|f (x1)f(x2)||f(x)maxf(x)min|4所以c4.所以c的最小4。

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