(北京专用)2019版高考数学一轮复习第九章平面解析几何第七节抛物线作业本理

第七节抛物线
A组基础题组
1.抛物线y=4ax2(a≠0)的焦点坐标是( )
A.(0,a)
B.(a,0)
C.
D.
2.设F为抛物线C:y2=4x的焦点,曲线y=(k>0)与C交于点P,PF⊥x轴,则k=( )
A. B.1 C. D.2
3.(2017北京朝阳一模,5)设抛物线y2=8x的焦点为F,准线为l,P为抛物线上一点,PA⊥l,A为垂足.若直线AF的斜率为-,则|PF|=( )
A.4
B.6
C.8
D.16
4.已知抛物线y2=2px(p>0),过其焦点且斜率为-1的直线交抛物线于A,B两点,若线段AB的中点的横坐标为3,则该抛物线的准线方程为( )
A.x=1
B.x=2
C.x=-1
D.x=-2
5.在平面直角坐标系中,已知点A,B在抛物线y2=4x上,且满足·=-4,点F是抛物线的焦点,设
△OFA,△OFB的面积分别为S1,S2,则S1·S2等于( )
A.2
B.
C.3
D.4
6.如图所示,已知抛物线C:y2=4x的焦点为F,直线l经过点F且与抛物线C相交于A、B两点.
(1)若线段AB的中点在直线y=2上,求直线l的方程;
(2)若线段|AB|=20,求直线l的方程.
7.(2017北京西城二模,18)在平面直角坐标系xOy中,抛物线C的顶点是原点,对称轴为x轴,且经过点P(1,2).
(1)求抛物线C的方程;
(2)设点A,B在抛物线C上,直线PA,PB分别与y轴交于点M,N,|PM|=|PN|,求直线AB的斜率.
B组提升题组
8.已知抛物线C:y2=8x的焦点为F,准线为l,P是l上一点,Q是直线PF与C的一个交点.若=4,则|QF|=( )
A. B.3 C. D.2
9.过抛物线y2=2px(p>0)的焦点F的直线交抛物线于A,B两点,点O是原点,如果
|BF|=3,|BF|>|AF|,∠BFO=,那么|AF|的值为( )
A.1
B.
C.3
D.6
10.过抛物线x2=4y的焦点F作直线AB,CD与抛物线交于A,B,C,D四点,且AB⊥CD,则·+·的最大值等于( )
A.-4
B.-16
C.4
D.-8
11.若双曲线-=1(a>0,b>0)截抛物线y2=4x的准线所得线段的长为b,则a= .
12.(2017北京东城二模,13)在平面直角坐标系xOy中,直线l过抛物线y2=4x的焦点F,且与抛物线交于A,B两点,其中点A在x轴上方.若直线l的倾斜角为60°,则|OA|= .
13.(2017北京顺义二模,13)已知抛物线y2=2px(p>0)的准线为l,若l与圆x2+y2+6x+5=0的交点为A,B,
且|AB|=2,则p的值为.
14.已知抛物线C:y2=2px(p>0),其焦点为F,O为坐标原点,直线AB(不垂直于x轴)过点F,且与抛物线C 交于A,B两点,直线OA与OB的斜率之积为-p.
(1)求抛物线C的方程;
(2)若M为线段AB的中点,射线OM交抛物线C于点D,求证:>2.
答案精解精析
A组基础题组
1.C 将y=4ax2(a≠0)化为标准方程是x2=y(a≠0),所以焦点坐标为,所以选C.
2.D 由题意得点P的坐标为(1,2).把点P的坐标代入y=(k>0)得k=1×2=2,故选D.
3.C 因为抛物线y2=8x,所以p=4,故F(2,0),准线l:x=-2,
设P(x0,y0),则A(-2,y0),k AF=-,因为直线AF的斜率为-,所以-=-,故y0=4,则x0==6,
故P(6,4),所以|PF|==8.
4.C 由题可知焦点为,∴直线AB的方程为y=-,与抛物线方程联立得消去y,
得4x2-12px+p2=0,设A(x1,y1),B(x2,y2),则x1+x2=3p.∵线段AB的中点的横坐标为3,∴=3,∴p=2,∴抛物线的准线方程为x=-1.
5.A 由题意得抛物线的焦点坐标为(1,0),设A(x1,y1),B(x2,y2),则S1·S2=|y1y2|,由·=-4得
x1x2+y1y2=-4.又因为点A(x1,y1),B(x2,y2)在抛物线y2=4x上,所以(y1y2)2+y1y2=-4,解得y1y2=-8,所以
S1·S2=|y1y2|=2,故选A.
6.解析(1)由已知得抛物线的焦点为F(1,0).
因为线段AB的中点在直线y=2上,所以直线l的斜率存在,设直线l的斜率为k,A(x1,y1),B(x2,y2),AB的中点为M(x0,y0),则
由得(y1+y2)(y1-y2)=4(x1-x2),所以2y0k=4.
又y0=2,所以k=1,
故直线l的方程是y=x-1.
(2)设直线l的方程为x=my+1,与抛物线方程联立得消去x,整理得y2-4my-4=0,所以
y1+y2=4m,y1y2=-4,Δ=16(m2+1)>0.
|AB|=|y1-y2|
=·
=·
=4(m2+1).
所以4(m2+1)=20,解得m=±2,所以直线l的方程是x=±2y+1,即x±2y-1=0.
7.解析(1)依题意,设抛物线C的方程为y2=ax(a≠0).
由抛物线C经过点P(1,2),得a=4,
所以抛物线C的方程为y2=4x.
(2)因为|PM|=|PN|,所以∠PMN=∠PNM,所以∠1=∠2,
所以直线PA与PB的倾斜角互补,所以k PA+k PB=0.
易知直线AP的斜率存在,设直线AP的方程为y-2=k(x-1)(k≠0).
将其代入抛物线C的方程,整理得k2x2-2(k2-2k+2)x+k2-4k+4=0,
设A(x1,y1),则1×x1==,
所以y1=k(x1-1)+2=-2,
所以A.
用-k替换点A坐标中的k,得B.
所以k AB==-1.
所以直线AB的斜率为-1.
B组提升题组
8.B ∵=4,∴点Q在线段PF上,且在两端点之间,过Q作QM⊥l,垂足为M,由抛物线定义知
|QF|=|QM|,设抛物线的准线l与x轴的交点为N,则|FN|=4,又易知△PQM∽△PFN,则=,即=.∴|QM|=3,即|QF|=3.故选B.
9.A 易得该直线的斜率为,F,则直线方程为y=,联立得整理得3x2-5px+=0,即(2x-3p)(6x-p)=0.
因为|BF|>|AF|,所以x B=p,x A=,
因为|BF|=3,所以x B+=2p=3,所以 p=,
所以|AF|=x A+=p=1.故选A.
10.B 依题意可得,·
=-(||·||).
因为||=y A+1,||=y B+1,
所以·=-(y A y B+y A+y B+1).
设直线AB的方程为y=kx+1(k≠0),
联立x2=4y,可得x2-4kx-4=0,
所以x A+x B=4k,x A x B=-4.
所以y A y B=1,y A+y B=4k2+2.
所以·=-(4k2+4).
同理,·=-.
所以·+·=-≤-16.
当且仅当k=±1时等号成立.
11.答案
解析设双曲线与抛物线的准线的交点分别为A,B,A在x轴上方,B在x轴下方.由抛物线方程可知准线
方程为x=-1,由得A,B,∴|AB|==b,即2=a,解得
a=(负值舍去).
12.答案
解析抛物线y2=4x的焦点为F(1,0),准线方程为x=-1,设点A(x
0,y0)(y0>0),因为直线l的倾斜角为
60°,所以x0+1=2(x0-1),解得x0=3,∴y0=2,∴|OA|==.
13.答案4或8
解析抛物线y2=2px的准线l:x=-,
圆的方程可化为(x+3)2+y2=4,圆心为(-3,0),半径r=2.
由|AB|=2,得圆心到l的距离d==1,
∴-=-2或-4,即p=4或8.
14.解析(1)由题意知抛物线的焦点为F.
设A(x1,y1),B(x2,y2),直线AB(不垂直于x轴)的方程为y=k(k≠0),
所以=2px1,=2px2(p>0).
因为直线OA与OB的斜率之积为-p,
所以=-p.
所以=p2,
所以x1x2=4.
由消y,得k2x2-(k2p+2p)x+=0.
其中Δ=(k2p+2p)2-k4p2>0,
所以x1x2=,x1+x2=.所以=4,
所以p=4,抛物线C的方程为y2=8x.
(2)证明:设M(x0,y0),D(x3,y3),因为M为线段AB的中点,
所以x0=(x1+x2)==,y0=k(x0-2)=.
所以直线OD的斜率为k OD==,直线OD的方程为y=k OD·x=,将其代入抛物线C:y2=8x的方程,得x3=.
所以=k2+2.
因为k2>0,
所以==k2+2>2.。