2019高考数学三轮冲刺大题提分大题精做15选修4_5：不等式选讲文

大题精做15 选修4-5：不等式选讲

[2019·长郡中学]已知函数()2f x x =+．

（1）解不等式()41f x x >-+；

（2）已知()20,0a b a b +=>>，求证：()412.5x f x a b

--≤+． 【答案】（1）解集为{}3.50.5x x x <->或；（2）见解析．

【解析】（1）()41f x x >-+，即为214x x +++>， 该不等式等价于如下不等式组：

1）2214x x x <----->⎧⎨⎩

3.5x ⇒<-， 2）21214x x x -≤<+-->⎧⎨⎩

x ⇒∈∅， 3）10.5214x x x x ≥-⇒>+++>⎧⎨⎩

， 所以原不等式的解集为{}3.50.5x x x <->或．

（2）()2.5 2.52 2.52 4.5x f x x x x x --=--+≤---=， ()(41141141

415 4.5222b a a b a b a b a b ⎛⎫⎛⎫+=++=+++≥+= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭， 所以()412.5x f x a b

--≤

+．

1．[2019·驻马店期末]已知函数()()21f x x a x a =++-∈R ．

（1）1a =-时，求不等式()2f x ≥解集；

（2）若()2f x x ≤的解集包含13,24⎡⎤⎢⎥⎣⎦

，求的取值范围．

2．[2019·宜昌调研]设函数()13f x x x a =++-．

（1）当1a =时，解不等式()23f x x ≤+；

（2）若关于的不等式()42f x x a <+-有解，求实数的取值范围．

3．[2019·福建联考]已知不等式2315x x -++≤的解集为[],a b ．

（1）求a b +的值；

（2）若0x >，0y >，40bx y a ++=，求证9x y xy +≥．

1．【答案】（1）(]4,0,3⎡⎫-∞+∞⎪⎢⎣⎭；（2）31,24⎡⎤-⎢⎥⎣⎦

． 【解析】（1）当1a =-时，不等式()2f x ≥可化为1212x x -+-≥， ①当12

x ≤时，不等式为1122x x -+-≥，解得0x ≤； ②当112

x <<时，不等式为1212x x -+-≥，无解； ③当1x ≥时，不等式为1212x x -+-≥，解得43x ≥

， 综上，原不等式的解集为(]4,0,3⎡⎫-∞+∞⎪⎢⎣⎭．

（2）因为()2f x x ≤的解集包含13,24⎡⎤⎢⎥⎣⎦，则不等式可化为212x a x x ++-≤，即1x a +≤． 解得11a x a --≤≤-+， 由题意知314112

a a -+≥⎧⎪--⎨≤⎪⎪⎪⎩，解得3124a -≤≤， 所以实数的取值范围是31,24⎡⎤-⎢⎥⎣⎦

． 2．【答案】（1）15,42⎡⎤⎢⎥⎣⎦

；（2）()5,3-． 【解析】（1）()1323f x x x a x =++-≤+，可转化为14223x x x ≥-≤+⎧⎨⎩或114223x x x -<<-≤+⎧⎨⎩

或12423

x x x ≤--≤+⎧⎨⎩，解得512x ≤≤或114x ≤<或无解，所以不等式的解集为15,42⎡⎤⎢⎥⎣⎦． （2）依题意，问题等价于关于的不等式14x x a ++-<有解， 即()min 14x x a ++-<， 又111x x a x x a a ++-≥+-+=+，当()()10x x a +-≤时取等号． 所以14a +<，解得53a -<<，所以实数的取值范围是()5,3-．

3．【答案】（1）0；（2）见解析．

【解析】（1）原不等式等价于13415x x <--+≤⎧⎪⎨⎪⎩或123325

x x -≤≤+≤⎧⎪⎨⎪⎩或2415x x >-≤⎧⎨⎩， 解得113x -≤<-或113

x -≤≤，即11x -≤≤，∴1a =-，1b =，∴0a b +=． （2）由（1）知410x y +-=，即41x y +=，且0x >，0y >， ∴(

)1111441459x y x y x y xy y x y x y x ⎛⎫+=+=++=+++≥= ⎪⎝⎭， 当且仅当，时取“”，∴．