人教版八年级数学上册斜边、直角边(HL)习题

初中数学试卷
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斜边、直角边（HL ）习题
一、选择题:
1. 两个直角三角形全等的条件是( )
A.一锐角对应相等;
B.两锐角对应相等;
C.一条边对应相等;
D.两条边对应相等
2. 如图,∠B=∠D=90°，BC=CD ，∠1=30°，则∠2的度数为( ) A. 30° B. 60° C. 30°和60°之间 D. 以上都不对
3. 如果两个直角三角形的两条直角边对应相等,那么两个直角三角形全等的 依据是( )
A. AAS
B.SAS
C.HL
D.SSS
4. 已知在△ABC 和△DEF 中,∠A=∠D=90°,则下列条件中不能判定△ABC 和 △DEF 全等的是( )
A.AB=DE,AC=DF
B.AC=EF,BC=DF
C.AB=DE,BC=EF
D.∠C=∠F,BC=EF
5. 如图,AB ∥EF ∥DC,∠ABC=90°,AB=DC,那么图中有全等三角形( ) A.5对; B.4对; C.3对; D.2对
6. 要判定两个直角三角形全等,下列说法正确的有( )
①有两条直角边对应相等; ②有两个锐角对应相等; ③有斜边和一条直角边对应相等; ④有一条直角边和一个锐角相等; ⑤有斜边和一个锐角对应相等; ⑥有两条边相等.
A.6个
B.5个
C.4个
D.3个
1
2A B
C
D
第2题图 第5题图 第7题图 第8题图
7. 如图，已知AB AD ，那么添加下列一个条件后，仍无法判定ABC ADC △≌△的
是（ ）
B
A
E
F
C
D
A ．C
B CD = B ．BA
C DAC =∠∠ C ．BCA DCA =∠∠
D ．90B D ==︒∠∠
8. 如图，已知AD 是△ABC 的BC 边上的高，下列能使△ABD≌△ACD 的条件是（ ） A ． A B=AC B ． ∠BAC=90° C ． B D=AC D ． ∠B=45°
二、填空题:
9.有________和一条________对应相等的两个直角三角形全等,简写成“斜边直角边”或用字母表示为“___________”.
10.判定两个直角三角形全等的方法有______________________________.
11.如图，已知AC ⊥BD 于点P ，AP=CP ，请增加一个条件，使△ABP ≌△
CDP （不能添加辅助线），你增加的条件是_________________________________
12.如图，在Rt △ABC 和Rt △DCB 中，AB=DC ，∠A=∠D=90°，AC 与BD
交于点O ，则有△________≌△________，其判定依据是________，还有△________≌△________，其判定依据是________．
第11题图 第12题图 第13题图
13.如图，在△ABC 中，AD ⊥BC 于D ，BE ⊥AC 于E ，AD 与BE 相交于点F ，若BF=AC ，则∠ABC=_______
第14题图 第15题图 第16题图
14.如图，已知∠1=∠2=90°，AD=AE ，那么图中有 对全等三角形.
15.如图，Rt △ABC 中，∠C=90°，AC=8，BC=4，PQ=AB ，点P 与点Q 分别在AC 和AC 的垂线AD 上移动，则当AP=_______时，△ABC ≌△APQ ．
16.如图，在Rt△ABC中，∠BAC=90°，AB=AC，分别过点B，C作过点A
的直线的垂线BD，CE，若BD=4cm，CE=3cm，则DE=________cm .
17.如图，有两个长度相同的滑梯（即BC=EF），左边滑梯的高度AC与
右边滑梯水平方向的长度DF相等，则∠ABC+∠DFE=__________度
18.如图，南京路与八一街垂直，西安路也与八一街垂直，曙光路与环
城路垂直．如果小明站在南京路与八一街的交叉口，准备去书店，按图中的街道行走，最近的路程为__________m.
第17题图
三、解答题:
19. 如图，,
于点，，平分交于点，=⊥=∠
AB AC AD BC D AD AE AB DAE DE F
请你写出图中三对
．．全等三角形，并选取其中一对加以证明．
20.在△ABC中,AB=CB,∠ABC=90º,F为AB延长线上一点,点E在BC上,且AE=CF.
(1)求证: Rt△ABE≌Rt△CBF;
(2)若∠CAE=30º,求∠ACF度数.
21. 如图 AB=AC，CD⊥AB于D，BE⊥AC于E，BE与CD相交于点O．
（1）求证AD=AE；
（2）连接OA，BC，试判断直线OA，BC的关系并说明理由．
22. 已知如图,AB=AC,∠BAC=90°,AE是过A点的一条直线,且B、C在DE的异
侧,BD⊥AE于D,CE⊥AE于E,求证:BD=DE+CE.
B
A
E C
D
23. 已知如图,在△ABC中,以AB、AC为直角边, 分别向外作等腰直角三角形ABE、
ACF,连结EF,过点A作AD⊥BC,垂足为D,反向延长DA交EF于点M.
(1)用圆规比较EM与FM的大小.
(2)你能说明由(1)中所得结论的道理吗?
B A
E M
F
C D
第4课时 斜边、直角边（HL ）
一、选择题
1.D
2.B
3.B
4.B
5.C
6.C
7.C
8.A
二、填空题
9. 斜边,直角边,HL 10. SSS 、ASA 、AAS 、SAS 、HL 11. BP=DP 或AB=CD 或∠A=∠C 或∠B=∠D ． 12.ABC,DCB,HL,AOB,DOC,AAS. `13. 45° 14. 3 15. 4或8 16. 7 17. 90° 18. 500
三、解答题
19.解：（1）ADB ADC △≌△、ABD ABE △≌△、AFD AFE △≌△、
BFD BFE △≌△、 ABE ACD △≌△（写出其中的三对即可）. （2）以△ADB ≌ADC 为例证明． 证明：
,90AD BC ADB ADC ⊥∴∠=∠=°.
在Rt ADB △和Rt ADC △中，
,,AB AC AD AD == ∴ Rt ADB △≌Rt ADC △.
20.解：（1）∵∠ABC=90°,∴∠CBF=∠ABE=90°.
在Rt △ABE 和Rt △CBF 中,
∵AE=CF, AB=BC, ∴Rt △ABE ≌Rt △CBF(HL)
(2) ∵AB=BC, ∠ABC=90°, ∴ ∠CAB=∠ACB=45°. ∵∠BAE=∠CAB-∠CAE=45°-30°=15°.
由（1）知 Rt △ABE ≌Rt △CBF ， ∴∠BCF=∠BAE=15°, ∴∠ACF=∠BCF+∠ACB=45°+15°=60°.
21.（1）证明：在△ACD 与△ABE 中，
∵∠A=∠A ，∠ADC=∠AEB=90°，AB=AC ， ∴△ACD ≌△ABE ， ∴AD=AE ．
（2）互相垂直，
在Rt △ADO 与△AEO 中， ∵OA=OA ，AD=AE ， ∴△ADO ≌△AEO ， ∴∠DAO=∠EAO ， 即OA 是∠BAC 的平分线， 又∵AB=AC ， ∴OA ⊥BC ．
22.证明：∵BD ⊥AE 于D,CE ⊥AE 于E ∴∠ADB=∠AEC=90° ∵∠BAC=90°
∴∠ABD+∠BAD=∠CAE+∠BAD ∴∠ABD=∠CAE
在△ABD 和△CAE 中
ABD CAE ADB CEA AB CA ∠=∠⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩
∴△ABD ≌△CAE(AAS) ∴BD=AE,AD=CE ∵AE=AD+DE ∴BD=CE+DE
23. 解：(1)EM=FM
(2)作EH ⊥AM,垂足为H,FK ⊥AM,垂足为K 先说明Rt △EHA ≌Rt △ADB 得EH=AD Rt △FKA ≌Rt △ADC 得FK=AD 得EH=FK
在Rt △EHK 与Rt △FKM 中,Rt △EHM ≌Rt △FKM 得EM=FM.。