2014-2015学年高三数学期末试题题目收集(第一期)圆锥曲线

20. （12分）已知21F ,F 是椭圆22
221(0)x y a b a b +=>>的两个焦点，O 为坐标原点，
点)2
2
,
1(-P 在椭圆上，且0211=⋅F F PF ，⊙O 是以21F F 为直径的圆，直线l ：m kx y +=与⊙O 相切，并且与椭圆交于不同的两点.,B A
（1）求椭圆的标准方程；
（2）当λ=⋅OB OA ，且满足
4
3
32≤≤λ时，求弦长||AB 的取值范围。

20.解:（1）依题意，可知211F F PF ⊥，
∴ 22222,1211,
1c b a b
a c +==+= ，解得1,1,2222===c
b a ∴椭圆的方程为.y x 12
22
=+
（2）直线l ：m kx y +=与⊙2
2
1O x y +=：相切，则
11
2=+k m ，即122+=k m ，
由⎪⎩⎪⎨⎧+==+m
kx y y x 1222
，得()
022421222=-+++m kmx x k ， ∵直线l 与椭圆交于不同的两点.,B A 设()().y ,x B ,y ,x A 2211 ∴0002
≠⇒>⇒>k k ,∆，
,k
m x x ,k km x x 2
2212212122214+-=+-=+ ()()222
2
2
1212121222
21+()1212m k k y y kx m kx m k x x km x x m k k --=++=++==++，
∴λ=++=+=⋅22
2121211k k y y x x OB OA
∴43211322
2≤++≤k k ∴12
1
2≤≤k ， ∴()
2
2
121214AB k
x x x x =++-()
()424
2
22
41
k k k k
+=++
设4221(
1)2u k k k =+≤≤，则24
3
≤≤u ，
2113||2
=2,,24122(41)4u AB u u u ⎡⎤
=∈⎢⎥++⎣⎦
-
∵()||AB u 在3,24⎡⎤⎢⎥⎣⎦
上单调递增 ∴64
||23AB ≤≤
.
21．(1)解：在方程28x y =-+中令y = 0得：22x =± ∴A (22-，0)，B (22，0)
2分
设P (x ，y )，则1
22222
AP BP y y k k x x =⋅=-+-
整理得：22184
x y
+=
∴动点P 的轨迹C 的方程为22
184
x y +=
4分
(2)解：设直线MN 的方程为：y = kx + m ，M (x 1，y 1)，N (x 2，y 2)
由22184y kx m x y =+⎧⎪
⎨+=⎪⎩
得：222(12)4280k x kmx m +++-=
5分
∴2121222
428
1212km m x x x x k k -+=-=
++， 2222
2
1212222
2848()()121212m km m k y y kx m kx m k km m k k k ---=++=⋅+⋅+=
+++ 6分
∵1
2OM ON k k =- ，∴121212
y y x x ⋅=-
即2222222
8128
4212212m k m m k k k
--=-⋅⇒=+++ 7分 2221212222
2984
2121212m m k OA OB x x y y k k k --⋅=+=+=-
+++ 8分 ∴22OM ON -⋅<≤
9分 当直线MN 的斜率不存在时，设M (x 1，y 1)，则N (x 1，－y 1)
则222111211
22
OM ON y k k x y x =-=-⇒=
10
分
又2211184
x y +=，∴212y =
2221112OM ON x y y ⋅=-==
∴OM ON ⋅的最大值为2
11
分
222212122
1||1()42442221OMN
m S
k x x x x k m k =
++-⋅=-+=+ 当直线MN 的斜率不存在时，111
|||2|222
OMN S x y ==
∴△OMN 的面积为22． 13
分
21．（本小题满分13分）
如图，焦点在x 轴的椭圆C ：22
218x y b
+=（b > 0）
，点G （2，0），点P 在椭圆上，且PG ⊥x 轴，连接OP 交直线x = 4于点M ，连接MG 交椭圆于A 、B .
（Ⅰ）若G 为椭圆右焦点，求|OM |； （Ⅱ）记直线P A ，PB 的斜率分别为1k ，2k ，求12k k +的取值范围.
解：不妨设P 在x 轴上方，因为椭圆C 的方程为22
218x y b
+=，令x =2，则22y b =， 所以点P 的坐标为22,
2b ⎛
⎫
⎪ ⎪⎝⎭
， 根据题意可得P 为线段OM 的中点，所以M 的坐标为()
4,2b .
（Ⅰ）若G 为椭圆右焦点，则2
844b
=-=，
所以216216826OM b =+=+= …………5分 （Ⅱ）因为直线AB 过点M 、G ，所以AB 的斜率为
202422
b b
-=-，
则直线AB 的方程为
()222
b
y x =- ① …………7分
代入椭圆方程22218x y b
+=并整理得：2
51680x x -+= .…………8分
4
y x
G
O
P
M
B A
设()11,A
x y ，()22,B x y ，则由韦达定理有
12165x x +=，128
5
x x ⋅= ②
所以，
12121212121222
211222222222y b y b y y k k b x x x x x x -
-⎛⎫+=
+=+-+ ⎪
------⎝⎭
.
因为直线AB 的方程为()222b
y x =
-，所以 ()11222
b y x =-，()22222
b
y x =
- 所以 ()12121212422
22242
x x k k b b b x x x x +-+=
-
⋅=-++ ③ …………12分
因为 2
08b <<，0b >，所以 022b <<，
所以，12k k +的取值范围是1202k k <+< …………13分
20、（本小题满分12分）
已知抛物线24y x =，直线:l 1
2
y x b =-+与抛物线交于,A B 两点．
（Ⅰ）若x 轴与以AB 为直径的圆相切，求该圆的方程；
（Ⅱ）若直线l 与y 轴负半轴相交，求AOB ∆面积的最大值．
20．解：（Ⅰ）联立2124y x b
y x
⎧
=-+⎪⎨⎪=⎩，消x 并化简整理得2880y y b +-=． 依题意应有64320b ∆=+>，解得2b >-．
设1122(,),(,)A x y B x y ，则12128,8y y y y b +=-=-， 设圆心00(,)Q x y ，则应有1212
00,422
x x y y x y ++=
==-． 因为以AB 为直径的圆与x 轴相切，得到圆半径为0||4r y ==，
又22221212121212||()()(14)()5[()4]5(6432)AB x x y y y y y y y y b =-+-=+-=+-=+ ． 所以 ||25(6432)8AB r b ==+=，解得8
5
b =-．
所以121248
22224165
x x b y b y b +=-+-=+=，所以圆心为24(,4)5-．
故所求圆的方程为22
24()(4)165
x y -++=．……………6分
（Ⅱ）因为直线l 与y 轴负半轴相交，所以0b <，
又l 与抛物线交于两点，由（Ⅱ）知2b >-，所以20b -<<， 直线l ：12
y x b =-+整理得220x y b +-=，点O 到直线l 的距离|2|255b b
d --== ， 所以321
||4224222
AOB S AB d b b b b ∆=
=-+=+． 令32()2g b b b =+，20b -<<， 24
()343()3
g b b b b b '=+=+，
在平面直角坐标系中，已知动点(,)M x y ，点(0,1),(0,1),(1,0),A B D -点N 与点M 关于直线
y x =对称，且212
AN BN x ⋅=.直线l 是过点D 的任意一条直线．
(1)求动点M 所在曲线C 的轨迹方程； (2)设直线l 与曲线C 交于G H 、两点，且32
||2
GH =
，求直线l 的方程； (3)(理科)若直线l 与曲线C 交于G H 、两点，与线段AB 交于点P (点P 不同于点O A B 、、)，直线GB 与直线HA 交于点Q ，求证：OP OQ ⋅是定值．
(文科) 设直线l 与曲线C 交于G H 、两点，求以||GH 的长为直径且经过坐标原点O 的圆的方程．
解(1)依据题意，可得点(,)N y x .
(,1),(,1)AN y x BN y x ∴=-=+．
又2
12AN BN x ⋅=
， 2221
12
y x x ∴+-=.
∴所求动点M 的轨迹方程为2
2:12
x C y +=.
(2) 若直线l y 轴，则可求得||=2GH ，这与已知矛盾，因此满足题意的直线l 不平行
于y 轴．
设直线l 的斜率为k ，则:(1)l y k x =-．
b
4
(2,)3
-- 43-
4
(,0)3- ()g b ' ＋ 0
－ ()g b
极大
由22
1,2(1).x y y k x ⎧+=⎪⎨⎪=-⎩
得2222
(12)4220k x k x k +-+-=．
设点1122(,)(,)H x y G x y 、，有21222
1224,21
2221k x x k k x x k ⎧+=⎪⎪+⎨-⎪=⎪+⎩
且0∆>恒成立(因点D 在椭圆内部)．
又32
||2
GH =
， 于是，2
2
1212321()42
k
x x x x ++-=
，即222
222422321()421212k k k k k -+-=++， 解得2
2
k =±
． 所以，所求直线2
:(1)2
l y x =±-． (理)证明(3)
直线l 与线段AB 交于点P ，且与点O A B 、、不重合，
∴直线l 的斜率k 满足：11,0k k -<<≠．
由(2)可得点(0,)P k -，
可算得2
121222
2,2121
k k y y y y k k -+==-++． 又直线1212
11
:1,:1y y HA y x GB y x x x -+-=
+=． 设点(,y )Q Q Q x ，则由1122
1
11
1.y y x x y y x x -⎧
-=⎪⎪
⎨
+⎪+=⎪⎩
，得
12
21
111
1Q Q y y x y y x --=
⋅++(此等式右边为正数). ∴
1
01Q Q y y ->+，且22
2
12121222211212
1
(1)1()()1(1)1Q Q y y x y y y y y y x y y y y ---++=⋅=+++++=2
1+1k k ⎛⎫
⎪-⎝⎭
． ∴
1111Q Q y k y k -+=
+-，解得1
Q y k
=-.
1
(0,)(,)1Q OP OQ k x k
∴⋅=-⋅-=为定值.
(文) (3) 当直线l
y 轴时，||2GH =，点O 到圆心的距离为1.即点O 在圆外，不满
足题意.
∴满足题意的直线l 的斜率存在，设为k ，则:(1)l y k x =-.
设点1122(,)(,)H x y G x y 、，由(2)知，21222
1224,21
22.21k x x k k x x k ⎧+=⎪⎪+⎨-⎪=⎪+⎩进一步可求得1222
1222,21
.21k y y k k y y k ⎧
+=-⎪⎪+⎨⎪=-⎪+⎩
依据题意，有OG OH ⊥，
12120x x y y ∴+=，
即22222202121
k k k k --+=++，解得2k =±.
∴所求圆的半径221212132
||1()425
r GH k x x x x =
=++-=
， 圆心为121242(
,)(,)2255
x x y y ++=±. ∴所求圆的方程为：224
218
()()5
525
x y -+±
=
.
20．（本小题满分12分） 如图，已知圆()
2
2:3
16E x y ++=，点(
)
3,0F
，P 是圆E 上任意一点．线段PF 的
垂直平分线和半径PE 相交于Q ． （1）求动点Q 的轨迹Γ的方程；
（2）已知,,A B C 是轨迹Γ的三个动点，A 与B 关于原点对称，且||||CA CB =，问ABC 的面积是否存在最小值？若存在，求出此时点C 的坐标，若不存在，请说明理由．
20、（本小题满分12分）
（1）Q 在线段PF 的垂直平分线上，所以QP QF =； 得4QE QF QE QP PE +=+==，
又234EF =<，得Q 的轨迹是以,E F 为焦点，长轴长为4的椭圆.
2
2:14
x y τ+=. …………………………………………………4分
（2）当AB 的斜率存不存在或为零时，｜AB ｜=4，｜OC ｜=1，S=2；｜AB ｜=2，｜OC ｜=2，S=2
当AB 的斜率存存在且不为零时，
B 与A 关于原点对称，设:(0)AB y kx k =>
CA CB =，C ∴在AB 的垂直平分线上，1
:CD y x k
∴=-.
22
22
(14)414
y kx k x x y =⎧⎪⇒+=⎨+=⎪⎩， 22
2
2
122441k AB OA x y k +==+=+， 同理可得221
24
k OC k +=+，………6分
22222221(1)4(1)42(41)(4)(41)(4)
ABC
k k S
AB CO k k k k ++===++++ ……………8分 2222
2
4145(1)(41)(4)22
k k k k k ++++++≤=，当且仅当1k =±时取等号，
所以8
5
S ≥， …………………………………………………………………11分 当2222(
,)(,)5
5
5
5
C ±
-
±
或时min 8
5
S =
. ………………12分 20．（本小题满分13分）
如图，已知圆E :22(3)16x y ++=，点(3,0)F ，P 是圆E 上任意一点．线段PF 的垂直平分线和半径PE 相交于Q ． （Ⅰ）求动点Q 的轨迹Γ的方程；
（Ⅱ）设直线l 与(Ⅰ)中轨迹Γ相交于B A ,两点, 直线OB l OA ,,的
斜率分别为12,,k k k (其中0k >)．△OAB 的面积为S , 以
,OA OB 为直径的圆的面积分别为12,S S ．若21,,k k k 恰好构成等比数列, 求
12
S S S
+的取值范围．
20．(选修2一1第49页习题第7题改编)
（Ⅰ）连结QF ，根据题意，|QP |＝|QF |，则|QE |＋|QF |＝|QE |＋|QP |＝4||23EF >=， 故动点Q 的轨迹Γ是以E ，F 为焦点，长轴长为4的椭圆． ………………………2分
设其方程为22
221(0)x x a b a b
+=>>，可知2a =，223c a b =-=，则1b =，……3分
所以点Q 的轨迹Γ的方程为2
214x y +=． ………………………4分
(Ⅱ)设直线l 的方程为m kx y +=，),(11y x A ，),(22y x B
由⎪⎩⎪⎨⎧=++=14
2
2y x m kx y 可得0)1(48)41(222=-+++m kmx x k ， 由韦达定理有：
⎪⎪⎩
⎪⎪⎨⎧
+-=+-=+22
2122141)1(4418k m x x k km x x 且0)41(1622>-+=∆m k ………………………6分 ∵21,,k k k 构成等比数列，∴2
12k k k ==
2
121))((x x m kx m kx ++，即：0)(2
21=++m x x
km
由韦达定理代入化简得：412=k ．∵ 0>k ，∴21
=k ．
………………………8分
第20题图
此时0)2(162>-=∆m ，即)2,2(-∈m ．又由A O B 、、三点不共线得0m ≠
从而(2,0)
(0,2)m ∈-．
故d AB S ⋅=||2122121||||121k
m x x k +⋅
-+= ||4)(2
121221m x x x x ⋅-+=||22m m ⋅-= ……………………………………10分 ∵22
22
1212144
x x y y +=+= 则 =+21S S )(42
2222121y x y x +++⋅π)24
343(42221++⋅=x x π
2]2)[(16321221ππ+-+⋅=x x x x 45π=为定值． ……………………12分 ∴S S S 21+⋅
=45π|
|212m m ⋅-5π4≥当且仅当1m =±时等号成立． 综上：
12
S S S +的取值范围是5π[)4+∞，．
……………………13分 20．(本小题满分13分) 如图，椭圆Γ:13
42
2=+y x ，动直线)02(:11<<-=x x x l ，点A 1，A 2分别为椭圆Γ的左、右顶点，1l 与椭圆Γ相交于A ，B 两点（点A 在第二象限）． (Ⅰ) 求直线AA 1与直线A 2B 交点M 的轨迹方程；
(Ⅱ) 设动直线),22(:2122x x x x x l ≠<<-=与椭圆Γ相交 于C ，D 两点，△OAB 与△OCD 的面积相等． 证明：｜OA ｜2＋｜OD ｜2为定值．
20．(本小题满分13分)
解：设1111(,),(,)A x y B x y -，又)0,2(),0,2(21A A -，
则直线1A A 的方程为：)2(211
++=
x x y y ① 直线2A B 的方程为：)2(2
11
---=
x x y y ② 由①②得：)4(4
2212
12
---=x x y
y ③
由点()11,A x y 在椭圆Γ上，故可得
221114
3
x y +
=，
∴2
211
314
()x y =-
，代入③得：22
12043(,)x y x y -=<-<……………………6分 （2）证明：设),(22y x C ，
由OAB ∆与OCD ∆的面积相等，得
2
22221212211y x y x y x y x ⋅=⋅⇒=， 因为点C A ,均在椭圆上，
（第20题图）
A 2A 1
A
B O
y
x
l 1
∴22
22
121
231314
4()()x x x x -
=-
由12x x ≠，所以22124x x +=．
∴22123y y +=， ∴2
2
7OA OD +=为定值 …………………………………………………………13分
20. (本小题满分12分)如图所示，椭圆
C ：()222210x y a b a b +=>>，其中1
2
e =，焦距为2，过点
M （4，0）的直线l 与椭圆C 交于点A 、B ，点B 在AM 之
间. 又点A ，B 的中点横坐标为4
7
，且AM MB λ=.
（1）求椭圆C 的标准方程 ； （II ）求实数λ的值.
20.解：（I ）由条件可知，1,2c a ==， …………2分
故2
2
2
3b a c =-=，
椭圆的标准方程是22
143
x y +=. …………4分 (II)由AM MB λ=，可知,,A B M 三点共线，设1122(,),(,)A x y B x y 点点. 若直线AB x ⊥轴，则124x x ==，不合题意. …………5分 当AB 所在直线l 的斜率k 存在时，设直线l 的方程为(4)y k x =-.
由22(4)
14
3y k x x y =-⎧⎪⎨+=⎪⎩消去y 得()2222343264120k x k x k +-+-=. ①
由①的判别式2
4
222
324(43)(6412)
144(14)0
k
k k k ∆=-+-
=->，解得21
4
k <
. 21222
1223243
641243k x x k k x x k ⎧+=⎪⎪+⎨-⎪=⎪+⎩
， …………7分 y
x
A
B
M O
由2122
164437k x x k +==+，可得2
18
k =，如图24k =. …………9分 将2
18
k =
代入方程①，得2
7880x x --=，()1,2
86447846227
7
x ±
-⨯⨯-±==
⨯. 又因为),4(11y x AM --=,),4(22y x MB -=，MB AM λ=，
所以124942
,47
x x λλ---=
=
-所以. …………12分 20. （本小题满分12分）
设抛物线C 1:y 2
=4x 的准线与x 轴交于点F 1，焦点为F 2；以F 1，F 2为焦点，离心率为12
的椭圆记作C 2
（1） 求椭圆的标准方程；
（2） 直线L 经过椭圆C 2的右焦点F 2，与抛物线C 1
交于A 1，A 2两点，与椭圆C 2交于B 1，B 2两点。

当以B 1B 2为直径的圆经过F 1时，求|A 1A 2|长。

（3） 若M 是椭圆上的动点，以M 为圆心，MF 2为半径
作圆M ,是否存在定圆N ,使得M 与N 恒相切？若存在，求出N 的方程，若不
存在，请说明理由。

20、本小题满分12分
解：（1）椭圆方程22
143
x y += ……………………（2分） （2）当直线L 与x 轴垂直时，B 1(1，
32),B 2(1，-3
2
),又F 1(-1,0), 此时11210B F B F ⋅≠，所以以B 1B 2为直径的圆不经过F 1。

不满足条件。

当直线L 不与x 轴垂直时，设L ：y=k(x-1)
由()222222(1)
3484120143
y k x k x k x k x y =-⎧⎪
+-+-=⎨+
=⎪⎩即
因为焦点在椭圆内部，所以恒有两个交点。

设B 1(x 1,y 1)，B 2（x 2,y 2）,则22121222
8412
,3434k k x x x x k k
-+==++ 因为以B 1B 2为直径的圆经过F 1，所以11210B F B F ⋅=，又F 1(-1，0) 所以（-1-x 1）(-1-x 2)+y 1y 2=0，即（1+k 2
）x 1x 2+(1-k 2
)(x 1+x 2)+1+k 2
=0
F 1 F 2 O
x
B 1
A 2 A 1
y
B 2
所以解得297
k =
由24(1)
y x y k x ⎧=⎨=-⎩得k 2x 2-(2k 2+4)x+k 2
=0
因为直线L 与抛物线有两个交点，所以0k ≠
设A 1(x 3,y 3) ，A 2(x 4,y 4)，则2343422
244
2,1k x x x x k k ++==+= 所以12342464
229
A A x x p k =++=+
+= …………(8分) （3）存在定圆N ,使得M 与N 恒相切，
其方程为：(x+1)2
+y 2
=16,圆心是左焦点F 1.
由椭圆的定义可知：121224,4MF MF a MF MF +==∴=- 所以两圆相内切。

……………………（12分）
19．（本小题满分14分）
已知椭圆C ：22
11612
x y +=的右焦点为F ，右顶点为A ，离心率为e ，点(,0)(4)P m m >满
足条件
||
||
FA e AP =. （Ⅰ）求m 的值；
（Ⅱ）设过点F 的直线l 与椭圆C 相交于M ，N 两点，记PMF ∆和PNF ∆的面积分别为1S ，2S ，求证：
12||
||
S PM S PN =
. 19．（本小题满分14分）
（Ⅰ）解：因为椭圆C 的方程为 2211612
x y +=，
所以 4a =,23b =,222c a b =-=, ………………2分
则 1
2
c e a ==，||2FA =，||4AP m =-. ………………3分 因为
||21
||42
FA AP m ==-， 所以 8m =. (5)
分
（Ⅱ）解：若直线l 的斜率不存在， 则有 21S S =，||||PM PN =，符合题意. …………6分
若直线l 的斜率存在，则设直线l 的方程为)2(-=x k y ，),(11y x M ，),(22y x N . 由 ⎪⎩⎪⎨⎧-==+),
2(,112162
2x k y y x 得 2222(43)1616480k x k x k +-+-=， ……………… 7分
可知 0>∆恒成立，且 34162221+=+k k x x ，3
448162221+-=k k x x . (8)
分
因为 8
)
2(8)2(8822112211--+
--=-+-=+x x k x x k x y x y k k PN PM ……………… 10分
)8)(8()
8)(2()8)(2(211221----+--=
x x x x k x x k
)
8)(8(32)(102212121--++-=
x x k
x x k x kx
0)
8)(8(32341610344816221222
2=--++⋅-+-⋅=x x k k k k k k k ，
所以 MPF NPF ∠=∠. ……………… 12分
因为PMF ∆和PNF ∆的面积分别为11
||||sin 2
S PF PM MPF =⋅⋅∠， 21
||||sin 2
S PF PN NPF =⋅⋅∠， ……………… 13分
所以
12||
||
S PM S PN =
. ……………… 14分
20．（本小题满分14分）
已知抛物线2
1:2C y px =(0)p >的焦点F 以及椭圆22
222:1y x C a b
+=(0)a b >>的
上、下焦点及左、右顶点均在圆22:1O x y +=上．
（1）求抛物线1C 和椭圆2C 的标准方程；
（2）过点F 的直线交抛物线1C 于,A B 两不同点，交y 轴于点N ，
已知1NA AF λ=，2NB BF λ=，求12λλ+的值；
（3）直线l 交椭圆2C 于,P Q 两不同点，,P Q 在x 轴的射影分别为','P Q ，
''10OP OQ OP OQ ⋅+⋅+=，若点S 满足OS OP OQ =+，
证明：点S 在椭圆2C 上．
20．（本小题满分14分）
解：（1）由抛物线2
1:2(0)C y px p =>的焦点(
,0)2
p
F 在圆22:1O x y +=上得： 2
14
p =，2p ∴=，…………………………………………………………..1分 ∴抛物线2
1:4C y x = …………..…………………………………………….2分 同理由椭圆上、下焦点(0,),(0,)c c -及左、右顶点(,0),(,0)b b -均在圆
22:1O x y +=上可解得：1,2b c a ==∴=． …………4分 得椭圆2
2
2:12
y C x +=．…………………………………………………..5分
（2）设直线AB 的方程为1122(1),(,),(,)y k x A x y B x y =-，则(0,)N k -．
联立方程组24(1)
y x
y k x ⎧=⎨=-⎩，消去y 得：2222(24)0,k x k x k -++=……….6分
216160,k ∴∆=+>且212212
241k x x k x x ⎧++=
⎪⎨⎪=⎩ …………………………………..7分
由12,NA AF NB BF λλ==得：111222(1),(1),x x x x λλ-=-= 整理得：121212
,11x x
x x λλ=
=-- ……………………………..…8分
221212122
1212
2
24
221241()11
k x x x x k k x x x x k λλ+-+-∴+===-+-++-+．…………………..9分 （3）设(,),(,),(,)p p Q Q p Q p Q P x y Q x y S x x y y ∴++，则'(,0),'(,0)p Q P x Q x
由''10OP OQ OP OQ ⋅+⋅+=得21p Q p Q x x y y +=-…………① …….10分
22
12p p y x +
=……………………② …………………………………….11分
22
12
Q Q y x +
=……………………③ ……………………………………12分
由①+②+③得2
2
()()12
p Q p Q y y x x +++
= …………….……...13分
∴(,)p Q p Q S x x y y ++满足椭圆2C 的方程，命题得证．……………....14分 （18）（本小题满分13分）
已知椭圆22
:143
x y M +=，点1F ，C 分别是椭圆M 的左焦点、左顶点，过点1F 的直线l （不与x 轴重合）交M 于,A B 两点.
（Ⅰ）求M 的离心率及短轴长；
（Ⅱ）是否存在直线l ，使得点B 在以线段AC 为直径的圆上，若存在，求出直线l 的方程；若不存在，说明理由.
解：（Ⅰ）由22
143
x y +=得：2,3a b ==. 所以 椭圆M 的短轴长为23. ………………2分
因为 22
1c a b =-=， 所以 1
2
c e a ==，即M 的离心率为12. (4)
分
（Ⅱ）由题意知：1(2,0),(1,0)C F --，设000(,)(22)B x y x -<<，则22
00
143
x y +=.
(7)
分
因为 10000(1,)(2,)BF BC x y x y ⋅=---⋅---
2
2
00023x x y =+++ ………………9分 2
0013504
x x =
++>， ………………11分 所以 π(0,)2
B ∠∈.
所以 点B 不在以AC 为直径的圆上，即：不存在直线l ，使得点B 在以AC 为直径的圆上. ………………13分
另解：由题意可设直线l 的方程为1x my =-，1122(,),(,)A x y B x y .
由22
1,431x y x my ⎧+=⎪⎨⎪=-⎩
可得：22
(34)690m y my +--=. 所以 122634m y y m +=+，122
9
34
y y m -=+. ………………7分
所以 1122(2,)(2,)CA CB x y x y ⋅=+⋅+ 2
1212(1)()1m y y m y y =++++ 2
22
96(1)
13434
m
m m m m -=++⋅+++ 25
034
m -=<+. (9)
分
因为 cos (1,0)CA CB C CA CB
⋅=
∈-⋅，
所以 π(,π)2
C ∠∈. ………………11分
所以 π(0,)2
B ∠∈.
所以 点B 不在以AC 为直径的圆上，即：不存在直线l ，使得点B 在以AC 为直径的圆上.
………………13分
【题文】20. （12分） 已知21F ,F 是椭圆22
2
21(0)x y a b a b +=>>的两个焦点，O
为坐标原点，点
)
22
,
1(-P 在椭圆上，且0211=⋅F F PF ，⊙O 是以21F F 为直径的圆，直线
l ：m kx y +=与⊙O 相切，并且与椭圆交于不同的两点.,B A
（1）求椭圆的标准方程；
（2）当λ=⋅OB OA ，且满足43
3
2≤
≤λ时，求弦长||AB 的取值范围。

【知识点】直线与圆锥曲线的关系．H8
【答案】【解析】（1）.y x 1222=+（2）64
||2
3AB ≤≤
解析：（1）依题意，可知
211F F PF ⊥，
∴
2
2222,1211,
1c b a b a c +==+= ，解得
1,1,22
22===c b a ∴椭圆的方程为.
y x 1222
=+
（2）直线l ：m kx y +=与⊙22
1O
x y +=：相切，则1
1
2
=+k m
，即12
2+=k m ，
由⎪⎩⎪⎨⎧+==+m kx y y x 12
22
，得
()
022421222=-+++m km x x k ， ∵直线l 与椭圆交于不同的两点.,B A 设()().y ,x B ,y ,x A 2211
∴0002
≠⇒>⇒>k k
,∆，
,k m x x ,k km x x 2
221221212
2214+-=+-=+
()()222
2
2
121212122
221+()1212m k k y y kx m kx m k x x km x x m k k --=++=++==++，
∴λ=++=+=⋅2
2
2121211k k y y x x OB OA ∴43211322
2≤++≤k k ∴1212
≤≤k ，
∴
()
2
2
1212
14AB k
x x x x =++-()
()424222
41
k k k k +=++
设4
2
21(1)2u k k k =+≤≤，则243≤≤u ，
2113||2=2,,24122(41)4u AB u u u ⎡⎤=∈⎢⎥++⎣⎦- ∵()||AB u 在
3,24⎡⎤⎢⎥⎣⎦上单调递增 ∴64||23AB ≤≤. 【思路点拨】（1）依题意，易得
211F F PF ⊥，进而可得c=1，根据椭圆的方程与性质可得
22222,121
1,
1c b a b a c +==+=，联立解可得a 2、b 2、c 2的值，即可得答案；
（2）根据题意，直线l 与⊙x 2
+y 2
=1相切，则圆心到直线的距离等于圆的半径1，即
1
1
2
=+k m ，变形为
m 2=k 2
+1，联立椭圆与直线的方程得
()02242122
2=-+++m km x x
k ，设由直线l 与椭圆交于不同的两点A （x 1，y 1）
，B （x 2，
y 2），则△＞0，解可得k≠0，结合根与系数的关系以及向量的数量积公式可得
λ=++=+=⋅2
2
2121211k k y y x x OB OA ，结合弦长公式利用函数的单调性易得答案．
【题文】22．（本小题满分14分）
已知动圆C 过定点）（2,0M ，且在x 轴上截得弦长为4．设该动圆圆心的轨迹为曲线C .
（1）求曲线C 方程；
（2）点A 为直线l ：20x y --=上任意一点，过A 作曲线C 的切线，切点分别为P 、 Q ，APQ ∆面积的最小值及此时点A 的坐标. 【知识点】椭圆方程 直线与椭圆位置关系 H5 H8 【答案】（1）24x y =；（2）其最小值为4，此时点A 的坐标为(2,0). 【解析】解析：（1）设动圆圆心坐标为(,)C x y ，根据题意得
222(2)4x y y +-=+， （2分）
化简得24x y =. （2分） （2）解法一：设直线PQ 的方程为y kx b =+，
由24x y
y kx b
ìï=ïí
ï=+ïî消去y 得2440x kx b --= 设1122(,),(,)P x y Q x y ，则121244x x k
x x b
ì+=ïïí
ï=-ïî，且21616k b D =+ （2分） 以点P 为切点的切线的斜率为1112y x ¢=，其切线方程为1111
()2
y y x x x -=- 即21111
24
y x x x =
- 同理过点Q 的切线的方程为22211
24
y x x x =- 设两条切线的交点为(,)A A A x y 在直线20x y --=上，
12x x ¹Q ，解得121222
4A A x x x k x x y b ì+ïï==ïïïí
ïï==-ïïïî
，即(2,)A k b - 则：220k b +-=，即22b k =- （2分） 代入222161616323216(1)160k b k k k D =+=+-=-+>
22212||1||41PQ k x x k k b \=
+-=++
(2,)A k b -到直线PQ 的距离为22
|22|1
k b d k +=
+ （2分）
3
3222
2
4(22)4[(1)1]k k k =-+=-+
\当1k =时，APQ S D 最小，其最小值为4，此时点A 的坐标为(2,0). （4分） 解法二：设00(,)A x y 在直线20x y --=上，点1122(,),(,)P x y Q x y 在抛物线24x y = 上，则以点P 为切点的切线的斜率为1112y x ¢=，其切线方程为1111
()2
y y x x x -=- 即111
2
y x x y =
- 同理以点Q 为切点的方程为221
2y x x y =
- （2分） 设两条切线的均过点00(,)A x y ，则010
101011212y x x y y x x y ìïï=-ïïíïï=-ïïïî
，
\点,P Q 的坐标均满足方程
0012y xx y =-，即直线PQ 的方程为：001
2
y x x y =- （2分）
代入抛物线方程24x y =消去y 可得：
2
00240x x x y -+=
00(,)A x y 到直线PQ 的距离为2
002
01|
2|2
114
x y d x -=+ （2分）
3
3
222200011
(48)[(2)4]22
x x x =-+=-+
所以当02x =时，APQ S D 最小，其最小值为4，此时点A 的坐标为(2,0). （4分）
【思路点拨】设动圆圆心坐标为(),C x y ，根据题意得222(2)4x y y +-=
+化即可得
曲线C 方程；直线PQ 的方程为y kx b =+，与抛物线联立可得2440x kx b --=由此利用根的判别式、韦达定理、切线方程、点到直线的距离公式能求出APQ 面积的最小值及此时A 点的坐标．
19. （本题满分12分）已知椭圆C ：22
221x y a b +=(a >b >0)的上顶点为A ，左，右焦点分别为
F 1，F 2,且椭圆C 过点P (43，b
3
)，以AP 为直径的圆恰好过右焦点F 2.
(1)求椭圆C 的方程；
(2)若动直线l 与椭圆C 有且只有一个公共点，试问：在x 轴上是否存在两定点，使其到直线l 的距离之积为1？若存在，请求出两定点坐标；若不存在，请说明理由.
19. 解：(1)因为椭圆过点P (43，b 3),所以169a 2+1
9
=1,解得a 2=2,
又以AP 为直径的圆恰好过右焦点F 2.所以AF 2⊥F 2P ,即-b c ⋅b
3
43-c =-1, b 2=c (4-3c ).……6分
而b 2=a 2-c 2=2-c 2,所以c 2-2c +1=0,解得c 2=1,
故椭圆C 的方程是x 22+y 2
=1. ………………………4分
(2)①当直线l 斜率存在时，设直线l 方程为y =kx +p ，代入椭圆方程得
x
y O
F 2
(第19题图)
P
A
F 1
(1+2k 2)x 2+4kpx +2p 2－2=0.
因为直线l 与椭圆C 有只有一个公共点，所以
△=16k 2p 2－4(1+2k 2)(2p 2－2)=8(1+2k 2―p 2)=0，
即 1+2k 2
=p 2
. …………………………………7分 设在x 轴上存在两点(s ,0),(t ,0),使其到直线l 的距离之积为1,则
|ks +p |k 2+1 ⋅ |kt +p |k 2+1
=|k 2
st +kp (s +t )+p 2
|
k 2+1=1,
即(st +1)k +p (s +t )=0(*)，或(st +3)k 2+(s +t )kp +2=0 (**).
由(*)恒成立,得⎩⎨⎧st +1=0，s+t =0.
解得⎩⎨⎧s =1t =-1,或⎩⎨⎧s =-1
t =1,
而(**)不恒成立. …………………………10分 ②当直线l 斜率不存在时，直线方程为x =±2时，
定点(－1，0)、F 2(1，0)到直线l 的距离之积d 1⋅ d 2=(2－1)(2+1)=1.
综上,存在两个定点(1,0),(-1,0),使其到直线l 的距离之积为定值1. ……………12分
20.（本小题满分13分）
已知椭圆()222210x y a b a b +=>>的两个焦点为12F F 、，离心率为2
2
，直线l 与椭圆相交
于A 、B 两点，且满足121
42,,2
OA OB AF AF K K +=⋅=-O 为坐标原点. （I ）求椭圆的方程; （II ）求OA OB ⋅的最值.
x
y
O
F 2
(第19题图)
P
A
F 1
20．（本小题满分14分）
已知椭圆()2222:10x y C a b a b +=>>的离心率为32
，且经过点()0,1．圆
2222
1:C x y a b
+=+. （1）求椭圆C 的方程；
（2）若直线l ():0y kx m k =+≠与椭圆C 有且只有一个公共点M ，且l 与圆1C 相交于,A B 两点，
问AM BM +=0是否成立？请说明理由．
（1）解：∵ 椭圆22
22:1x y C a b
+=过点()0,1，
∴
21b =. …………………………………………1分
∵
2
223,2
c a b c a ==+， …………………………………………2分
∴2
4a =． …………………………………………3分
∴
椭
圆
C
的方程为
2
214
x y +=. …………………………………………4分 （2）解法1：由（1）知，圆1C 的方程为2
2
5x y +=，其圆心为原点O . ………………………5分
∵直线l 与椭圆C 有且只有一个公共点M ，
∴方程组22
,
14
y kx m x y =+⎧⎪
⎨+=⎪⎩ （*） 有且只有一组解．
()
22214
844k x k m x
+++-
=
． ……………………………………6分 从
而
()()()2
228414440
km k m ∆=-+-=,化简
得
2214m k =+．① …………………7分
()
228414214M km km x k k =-
=-
++，
222
41414M M k m m
y kx m m k k
=+=-+=++. ……………9分 ∴
点
M
的坐标为
224,1414km
m k k ⎛⎫- ⎪
++⎝⎭
. ……………………………………10分 由于0k ≠，结合①式知0m ≠，
∴OM k k ⨯=2211414414m k k km k
+⨯=-≠--+. ……………………………………11分 ∴
OM
与
AB
不垂
直. ……………………………………12分 ∴
点
M
不是线段
AB
的中
点. ……………………………………13分 ∴
AM BM +=0
不成
立. ……………………………………14分
解法2：由（1）知，圆1C 的方程为2
2
5x y +=，其圆心为原点O . ………………………5分
∵直线l 与椭圆C 有且只有一个公共点M ，
∴方程组22
,
14
y kx m x y =+⎧⎪
⎨+=⎪⎩ （*） 有且只有一组解．
()
22214
844k x k m x
+++-
=
． ……………………………………6分 从
而
()()()2
228414440
km k m ∆=-+-=,化简
得
2214m k =+．① …………………7分
()
22
8414214M km km
x k k =-
=-++， …………………………………………………8分
由于0k ≠，结合①式知0m ≠，
设()()1122,,,A x y B x y ,线段AB 的中点为(),N N N x y , 由
22
,
5,
y kx m x y =+⎧⎨+=⎩消去
y
,得
()2
2
21250k x
kmx m +++-=.………………………………9分
∴
122
21N x x km
x k
+=
=-+. ……………………………………10分 若N M x x =,得224114km km
k k -=-++ ,化简得30=,矛盾. ………………………………11分
∴
点
N
与点
M
不重
合. ……………………………………12分
∴
点
M
不是线段
AB
的中
点. ……………………………………13分 ∴
AM BM +=0
不成
立. ……………………………………14分
19.（本小题满分13分）设椭圆E: 22221x y a b
+=（a,b>0），短轴长为4，离心率为22
，O
为坐标原点，
（I ）求椭圆E 的方程；
（II ）是否存在圆心在原点的圆，使得该圆的任意一条切线与椭圆E 恒有两个交点A,B,且
OA OB ⊥？若存在，求出该圆的方程，若不存在说明理由。

解:（1）因为椭圆E: 22221x y a b
+=（a,b>0）,b=2, e=22
所以解得所以2284
a b ⎧=⎨=⎩椭圆E 的方程为22
184x y +=……… 5分 （2）假设存在圆心在原点的圆，使得该圆的任意一条切线与椭圆E 恒有两个交点A,B,
且OA OB ⊥,设该圆的切线方程为y kx m =+解方程组2218
4x y y kx m
+==+⎧⎪
⎨⎪⎩得
222()8x kx m ++=,即222(12)4280k x kmx m +++-=, ……… 7分
则△=222222164(12)(28)8(84)0k m k m k m -+-=-+>,即2
2
840k m -+>
② 122
2
1224122812km x x k m x x k ⎧
+=-⎪⎪+⎨-⎪=⎪+⎩
,
2222222
2
212121212222
(28)48()()()121212k m k m m k y y kx m kx m k x x km x x m m k k k --=++=+++=-+=
+++要使O A
O B ⊥,需使12
120x x y y +=,即22222
28801212m m k k k
--+=++,所以2
2
3880m k --=,所以22
38
08
m k -=≥又22840k m -+>,所以
22
2
38
m m ⎧>⎨≥⎩,所以28
3
m ≥
,即263m ≥或263m ≤-,因为直线y kx m =+为圆心在原点的圆的一条切
线,所以圆的半径为21m
r k =+,222
228381318
m m r m k ===-++
,26
3r =,所求的圆为228
3
x y +=
,……… 11分 此时圆的切线y kx m =+都满足263m ≥
或26
3
m ≤-,而当切线的斜率不存在时切线为
263x =±与椭圆22
184x y +=的两个交点为2626(,)33±或2626(,)33
-±满足OA OB
⊥,综上, 存在圆心在原点的圆22
8
3
x y +=，使得该圆的任意一条切线与椭圆E 恒有两个交点A,B,且OA OB ⊥.……… 13分
20.已知椭圆C ：22a x +2
2y b
=1(a ＞b ＞0)，直线y=x+6与以原点为圆心，以椭圆C 的短半轴
长为半径的圆相切，F 1，F 2为其左、右焦点，P 为椭圆C 上任一点，△F 1PF 2的重心为G ，内心为I ，且IG ∥F 1F 2。

⑴求椭圆C 的方程。

⑵若直线L ：y=kx+m(k ≠0)与椭圆C 交于不同两点A ，B 且线段AB 的垂直平分线过定点C(
6
1
，0)求实数k 的取值范围。

20. 解：⑴设P(x 0，y 0)，x 0≠±a ，则G(
3
0x ，30y ) ∵IG ∥F 1F 2 ∴Iy=30y
|F 1F 2|=2c
∴S △F 1PF 2=21·|F 1F 2|·|y 0|=21
(|PF 1|+|PF 2|+|F 1F 2|) · |3
0y | ……………………（4
分）
∴2c ·3=2a+2c ∴e=a c =21
又∵b=1
16+ ∴b=3 ∴a=2∴椭圆C 的方程为
42x +3
2
y =1(6分) ⑵设A(x 1, y 1)、B(x 2, y 2) ⎪⎩⎪⎨⎧+==+m
kx y y x 13
42
2 ，消去y (3+4k 2)x 2+8kmx+4m 2－12=0
∴△=(8km)2－4(3+4k 2)(4m 2－12)＞0，即m 2＜4k 2+3又∵x 1+x 2=－k km 438+，则y 1+y 2=2
436k m
+
∴线段AB 的中点P 的坐标为(－
2434k km +, 2
433k m
+) …………(8分)
又线段AB 的垂直平分线l ′的方程为y=k 1 (x －6
1
) …………(9分)
点P 在直线l ′上，2
433k m +=－k 1 (－2434k km
+－61) …………(10分) ∴4k 2
+6km+3=0 ∴m=－k 61(4k 2+3) ∴2
236)34(k
km +＜4k 2+3， ∴k 2
＞323 ∴k ＞
86或k ＞－86
∴k 的取值范围是(－∞，－86)∪(8
6，+∞) …………(13分)
21、（本小题满分12分）
已知椭圆2222:1(0)x y C a b a b +=>>过点23(,)22A -，离心率为
22
，点12,F F 分别为其左右焦点。

（1）求椭圆的标准方程；
（2）若24y x =上存在两个点,M N ，椭圆上有两个点,P Q 2,,M N F 三点共线，2,,P Q F 三点共线，且PQ MN ⊥，求四边形PMQN 面积的最小值。

21.解：（1）由题意得：2
2=
a c
，得c b =，因为)0(1)23()22(2222>>=+-
b a b
a ，得1=c ，所以22
=a ，所以椭圆C 方程为12
22
=+y x . ……………4分 （2）当直线MN 斜率不存在时，直线PQ 的斜率为0，易得
22,4==PQ MN ,24=S .
当直线MN 斜率存在时，设直线方程为：)1(-=x k y )0(≠k 与x y 42
=联立得
0)42(2222=++-k x k x k ；
令),(),,(2211y x N y x M ，24
2
21+=
+k x x ，121=x x . 44
2
+=
k MN ，……………6分 MN PQ ⊥，∴直线PQ 的方程为：)
1(1
--=x k
y 将直线与椭圆联立得，0224)2(2
2
2
=-+-+k x x k
令),(),,(4433y x Q y x P ,2
4
243+=
+k x x ，22222
43+-=k k x x ；
2
)
1(2222++=k k PQ ，……………8分
∴四边形PMQN 面积S=)
2()1(242
22
2++k k k ， 令)1(,12
>=+t t k ，上式
242(1)(1)t S t t =-+=)
1
11(241112412422222-+=-+-=-t t t t t 24>
所以42S ≥.最小值为24 ……………12分 20．（本小题满分13分）
已知椭圆C ：22
221(0)x y a b a b
+=>>的离心率为12，左、右焦点分别为12,F F ，点G 在
椭圆C 上，且021=⋅GF GF ，12GF F ∆的面积为3．
（1）求椭圆C 的方程：
（2）设椭圆的左、右顶点为A ，B ，过2F 的直线l 与椭圆交于不同的两点M ，N （不同于点A ，B ），探索直线AM ，BN 的交点能否在一条垂直于x 轴的定直线上，若能，求出这条定直线的方程；若不能，请说明理由。

20．解：（1）设12(,0),(,0)F c F c -，由于1
2
c e a =
=，所以2,3a c b c ==， 根据021=⋅GF GF ，得222
124GF GF c +=，即22122142)(c GF GF GF GF
=⋅-+， 因为12GF F ∆的面积为3，12GF GF ⊥，所以621=⋅GF GF ，
所以有22
16124c c -=，解得1c =，所以2,3a b ==
，
所以椭圆才Ｃ的方程为22
143
x y +=。

…………………………………………………5分 （2）由（1）知(2,0),(2,0)A B -。

①当直线l 的斜率不存在时，直线l ：1x =，直线l 与椭圆Ｃ的交点坐标3
(1,)2M ，
3(1,)2
N -，此时直线13
:y (2),BN :y (2)22
A M x x =
+=-，联立两直线方程，解得两直线的交点坐标（４，３）。

它在垂直于x 轴的直线4x =上。

……………………………7分 ②当直线l 的斜率存在时， 设直线:(1l y k x =
-，代入椭圆Ｃ的方程22143
x y +=，整理得
222(34)84(3)0k x k x k +-+-=，设直线l 与椭圆Ｃ的交点1122(,),(,)M x y N x y ，则22121222
84(3)
,3434k k x x x x k k
-+==++。

直线AM 的方程为11(2)2y y x x =
++，即11(1)(2)2k x y x x -=
++，
直线BN 的方程为22(2)2
y y x x =--，即21(1)(2)2
k x y x x -=--
由直线AM 与直线BN 的方程消去y ，得
所以直线AM 与直线BN 的交点在直线4x =上。

………………………………………12分
综上所述，直线AM ，BN 的交点必在一条垂直于x 轴的定直线上，这条直线的方程是
4x =。

……………………………………………………………………………………13分
19. （本小题13分）
已知椭圆C 中心在原点O ，对称轴为坐标轴，焦点12,F F 在x 轴上，离心率1
2
e =，且经过点)2
3,1(A 。

（Ⅰ）椭圆C 的标准方程.
（Ⅱ）已知P 、Q 是椭圆C 上的两点，若OP OQ ⊥，求证：
2
2
11OP
OQ
+
为定值
(Ⅲ)当
2
2
11OP
OQ
+
为（Ⅱ）所求定值时，试探究OP OQ ⊥是否成立？并说明理由．
19(Ⅰ)解：由题意: 设椭圆方程为22
221x y a b
+= (a>b>0)，把点)23,1(A 代入椭圆方程，
把离心率12
e =
用,a c 表示及 222
a b c +=，解得3,2==b a ， 故椭圆方程；13
42
2=+y x ……………………………………..4分 （Ⅱ）证明：①若P 、Q 分别为长轴和短轴的端点,则
2
2
1
17
12
OP
OQ
+
=
...................5分
②若P 、Q 都不为长轴和短轴的端点, 设OP: ;y kx =那么OQ:
1
.(,),(,)P P Q Q y x P x y Q x y k =-
联立方程22
1,43x y y kx
⎧+
=⎪⎨⎪=⎩解得
222
221212,4343P P k x y k k ==++ 同理联立方程22
1431x y y x k ⎧+=⎪⎪⎨
⎪=-⎪⎩,解得
222221212,;
3434Q Q k x y k k ==++...............................7分
2
2
2
22
111
12123434k OP
OQ
k k ∴
+
=
+
+
++222221
7771212
121212
3434
k k k k k +==++
++
综合①②可知
2
2
1
1
OP
OQ
+
为定值7
12..........................................................9分
（Ⅲ）解：对于C 上的任意两点P 、Q,当
2
2
1
1712
OP
OQ
+
=
时,设
12:,:,
OP y k x OQ y k x ==易得222
222122222112212121212,;,,43434343P
P Q Q k k x y x y k k k k ====++++由22
11712OP OQ +=得 22
1222
1243437
,1212121212k k k k +++=++
即22222212
121287767(k k k k k k +++=+22
121),k k ++亦即121,k k =±………………..12分 所以当2
2
1
1
OP
OQ
+
为定值7
12时,OP OQ ⊥不一定成立………………………..13分。