多元函数微分法及其应用习题及参考答案精品名师资料

第八章 多元函数微分法及其应用(A)1．填空题(1)若()y x f z ,=在区域D 上的两个混合偏导数y x z ∂∂∂2，xy z∂∂∂2 ，则在D 上，xy zy x z ∂∂∂=∂∂∂22。

(2)函数()y x f z ,=在点()00,y x 处可微的 条件是()y x f z ,=在点()00,y x 处的偏导数存在。

(3)函数()y x f z ,=在点()00,y x 可微是()y x f z ,=在点()00,y x 处连续的 条件。

2．求下列函数的定义域(1)y x z -=；(2)22arccos yx z u +=3．求下列各极限(1)x xy y x sin lim 00→→； (2)11lim 00-+→→xy xyy x ； (3)22222200)()cos(1lim y x y x y x y x ++-→→4．设()xy x z ln =，求y x z ∂∂∂23及23y x z∂∂∂。

5．求下列函数的偏导数 (1)xyarctgz =；(2)()xy z ln =；(3)32z xy e u =。

6．设u t uv z cos 2+=，t e u =，t v ln =，求全导数dt dz 。

7．设()z y e u x -=，t x =，t y sin =，t z cos =，求dtdu。

8．曲线⎪⎩⎪⎨⎧=+=4422y y x z ，在点(2,4,5)处的切线对于x 轴的倾角是多少？9．求方程1222222=++cz b y a x 所确定的函数z 的偏导数。

10．设y x ye z x 2sin 2+=，求所有二阶偏导数。

11．设()y x f z ,=是由方程y z z x ln =确定的隐函数，求xz∂∂，y z ∂∂。

12．设x y e e xy =+，求dxdy 。

13．设()y x f z ,=是由方程03=+-xy z e z确定的隐函数，求xz∂∂，y z ∂∂，y x z ∂∂∂2。

14．设y ye z x cos 2+=，求全微分dz 。

15．求函数()222ln y x z ++=在点()2,1的全微分。

16．利用全微分求()()2201.498.2+的近似值。

17．求抛物面22y x z +=与抛物柱面2x y =的交线上的点()2,1,1P 处的切线方程和平面方程。

18．求曲面3914222=++z y x 上点()3,1,2-P 处的切平面方程和法线方程。

19．求曲线t x 34=，2t y =，3t z =上点()0000,,z y x M ，使在该点处曲线的切线平行于平面62=++z y x 。

20．求函数()()224,y x y x y x f -=-=的极值。

21．求函数()()y y x e y x f x 2,22++=的极值。

22．要建造一个容积为10立方米的无盖长方体贮水池，底面材料单价每平方米20元，侧面材料单价每平方米8元。

问应如何设计尺寸，方便材料造价最省？(B)1．求下列函数的定义域(1)()()[]222410ln ln arcsin yx y x z --+-=；(2)222241y x y x u ---+=2．(1)设22,y x x y y x f -=⎪⎭⎫ ⎝⎛+，求()y x f ,，()xy y x f ,-。

(2)设()y x y x f 2,+=，求()()y x f xy f ,, 3．求下列函数的极限(1)()2222221lim y x y x y x +∞→∞→⎪⎪⎭⎫⎝⎛+-；(2) ⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+-+→→2222110sin lim yx yx y x e e4．设()()()()⎪⎩⎪⎨⎧=≠+=0,0,,00,0),(,,24y x y x y x xyy x f 当当，问()y x f y x ,lim 0→→是否存在？5．讨论函数的连续性，其中()()⎪⎩⎪⎨⎧=≠--=y x y x y x y x x y x f 2,02,22sin ,。

6．二元函数()()()()()⎪⎩⎪⎨⎧=≠+=0,0,,00,0,,,22y x y x y x xyy x f 在点()0,0处：①连续，偏导数存在；②连续，偏导数不存在；③不连续，偏导数存在；④不连续，偏导数不存在。

7．设()yy x z 21+=，求xz∂∂，y z ∂∂。

8．设()z y x f u 23223++=，求x f∂∂，22xf ∂∂。

9．设()z y x f u 2,3,223=，求zf∂∂，x z f ∂∂∂2。

10．设()2222,y x y x xyf z -+=，f 可微，求dt 。

11．设()0,,=+xz z y xy f ，求xz∂∂，y z ∂∂。

12．设0=-z x y z ，求111===z y x dz 。

13．设()θθsin ,cos r r f z =可微，求全微分dz 。

14．设()y x f z ,=是由方程()0,=-yz z x f 所确定的隐函数，其中f 具有连续的偏导数，求dz ，并由此求xz∂∂和y z ∂∂。

15．求()xyy x z 22+=的偏导数。

16．设⎩⎨⎧=++=++10222z y x z y x ，求dz dx ，dz dy。

17．设xyzeu =，求zy x u ∂∂∂∂3。

18．求函数xyz u =在点()2,1,5处沿从点()2,1,5到点()14,4,9方向的方向导数。

19．求函数222z y x x u ++=在点()2,2,1-M 沿t x =，22t y =，42t z -=在此 点的切线方向上的方向导数。

20．求函数z y x u 2286+=在点P 处沿方向n的方向导数。

21．判断题：(简单说明理由) (1)()()00,,y x y y x f ∂∂就是()y x f ,在()00,y x 处沿y 轴的方向导数。

(2)若()y x f ,在()00,y x 处的偏导数y f ∂∂，yf ∂∂存在，则沿任一方向l 的方向导数均存在。

22．证明曲面4323232=++z y x 上任意一点的切平面在坐标轴上的截距的平方为常数。

23．证明：球面∑：1222=++z y x 上任意一点()c b a ,,处的法线都经过球心。

24．求椭球面163222=++z y x 上的一点()3,2,1--处的切平面与平面0=z 的交角。

25．设u ，v 都是x ，y ，z 的函数，u ，v 的各偏导数都存在且连续，证明： 26．问函数z xy u 2=在()2,1,1-P 处沿什么方向的方向导最大，并求此方向导数的最大值。

27．求内接于椭球面122222=++2cz b y a x 的最大长方体的体积。

28．某公司通过报纸和电视传媒做某种产品的促销广告，根据统计资料，销售收入R 与报纸广告费x 及电视广告费y (单位：万元)之间的关系有如下经验公式：221028311415y x xy y x R ---++=，在限定广告费为1.5万元的情况下，求相应的最优广告策略。

29．求函数()y x e y x f +=,的n 阶麦克劳林公式，并写出余项。

30．利用函数()y x y x f =,的2阶泰勒公式，计算02.111⋅的近似值。

(C)1．证明0lim220=+→→yx xy y x 。

2．设()()y x y x y x f ,||,ϕ-=，其中()y x ,ϕ在点()0,0，邻域内连续，问(1)()y x ,ϕ在什么条件下，偏导数()0,0x f '，()0,0y f '存在；(2)()y x ,ϕ在什么条件下，()y x f ,在()0,0处可微。

3．设()t x f y ,=而t 为由方程()0,,=t y x ϕ所决定的函数，且()t y x ,,ϕ是可微的，试求dxdy 。

4．设()y x z z ,=由0ln 2=-+⎰-dt e z z xy t 确定，求yx t∂∂∂2。

5．从方程组⎩⎨⎧=++++=++++1122222v u z y x v u z y x 中求出x u ，x v ，2x u ，2x v 。

6．设()byax ey x u z +=,，且02=∂∂∂yx u，试确定常数a ，b ，使函数()y x z z ,=能满足方程：02=+∂∂-∂∂-∂∂∂z yzx z y x z 。

7．证明：旋转曲面()22y xfz +=)0(≠'f 上任一点处的法线与旋转轴相交。

8．试证曲面a z y x =++(0>a )上任何点处的切平面在各坐标轴上的截距之和等于a 。

9．抛物面22y x z +=被平面1=++z y x 截成一椭圆，求原点到这椭圆的最长与最短距离。

10．设x 轴正向到方向l 的转角为ϕ，求函数()22,y xy x y x f +-=在点()1,1沿方向l 的方向导数，并分别确定转角ϕ，使这导数有(1)最大值；(2)最小值；(3)等于0。

第八章 多元函数微分法及其应用(A)1．填空题(1)若()y x f z ,=在区域D 上的两个混合偏导数y x z ∂∂∂2，x y z∂∂∂2 连续 ，则在D 上，xy zy x z ∂∂∂=∂∂∂22。

(2)函数()y x f z ,=在点()00,y x 处可微的 必要 条件是()y x f z ,=在点()00,y x 处的偏导数存在。

(3)函数()y x f z ,=在点()00,y x 可微是()y x f z ,=在点()00,y x 处连续的 充分 条件。

2．求下列函数的定义域(1)y x z -= 解：设定义域为D ，由和0≥-y x ，即02>≥y x ，0≥x得(){}y x y x y x D ≥≥≥=2,0,0|,，如图1所示 (2)22arccosyx z u +=解：设定义域为D ，由022≠+y x ，即x ，y 不同时为零，且122≤+yx z ，即 222y x z +≤，得(){}0,|,,22222≠++≤=y x y x z z y x D 。

3．求下列各极限 (1)x xy y x sin lim00→→ (2)11lim 00-+→→xy xyy x解：原式⎪⎪⎭⎫⎝⎛⋅=→→y xy xy y x sin lim 00 解：原式)11)(11()11(lim 00-+++++=→→xy xy xy xy y x 001=⋅= ()211l i m 0=++=→→xy y x(3)22222200)()cos(1lim y x y x y x y x ++-→→ 解：原式⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+⋅⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛++=→→222222222200422sin 2lim y x y x y x y x y x +∞=⎪⎪⎭⎫⎝⎛+=→→220011lim 21y x y x 4．设()xy x z ln =，求y x z ∂∂∂23及23y x z∂∂∂ 解：()()1ln ln +=⋅+=∂∂xy xyyx xy x z x xy y x z 122==∂∂，023=∂∂∂yx z ， y xy x y x z 12==∂∂∂，2231y y x z -=∂∂∂ 5．求下列函数的偏导数 (1)x y arctgz = 解：222222211y x y y x y x x x y x x y xz+-=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-+=⎪⎭⎫ ⎝⎛∂∂⎪⎭⎫ ⎝⎛+=∂∂ 类似地22211y x xx y y x y xz +=⎪⎭⎫ ⎝⎛∂∂⎪⎭⎫ ⎝⎛+=∂∂ (2)()xy z ln = 解：xyx x y x y x x x z ln 211ln ln 121ln ln =⋅+=+∂∂=∂∂ 同理可证得：xyy y z ln 21=∂∂ (3)32z xy e u =解：()32323232z xy z xy e z y z xy xe x z=∂∂=∂∂ ()3223322z xy z xy e xyz z xy ye y u =∂∂=∂∂()323222323z xy z xy e z xy z xy ze z u=∂∂=∂∂ 6．设u t uv z cos 2+=，t e u =，t v ln =，求全导数dtdz。