高三理科数学下册课后练习题

10．10 几何概型一、选择题1．在一球内有一边长为1的内接正方体，一动点在球内运动，则此点落在正方体内部的概率为( )A.6B.3C.3πD.233π解析：由已知可得球的半径为r ＝32，球的体积为V ＝43π×⎝ ⎛⎭⎪⎫323＝3π2，正方体体积V 1＝1，所以概率P ＝V 1V ＝233π.故选D.答案：D 2．已知Ω＝{(x ，y )|x ＋y ≤6，x ≥0，y ≥0}，A ＝{(x ，y )|x ≤4，y ≥0，x －2y ≥0}，若向区域Ω上随机投一点P ，则点P 落入区域A 的概率为( )A.19B.29C.13D.49解析：分别画出两个集合表示的区域可知S Ω＝12×6×6＝18，S A ＝12×4×2＝4，由几何概型概率计算可得P ＝S A S Ω＝418＝29，选B.答案：B3．如图所示，A 是圆上一定点，在圆上其他位置任取一点A ′，连结AA ′，得到一条弦，则此弦的长度小于或等于半径长度的概率为( )A.12B.32C.13D.14解析：当AA ′的长度等于半径长度时，∠AOA ′＝π3，A ′点左右各一点，故由几何概型的概率公式得P ＝2π32π＝13，故选C.答案：C4．分别在区间[0,5]和[0,3]内任取一个实数，依次记为m 和n ，则m ＞n 的概率为( )A.710B.310C.35D.25解析：建立平面直角坐标系(如图所示)，则由图可知满足m ＞n的点应在梯形OABD 内，所以所求事件的概率为P ＝S 梯形OABD S 矩形OABC ＝710.答案：A5．设不等式组⎩⎪⎨⎪⎧x ≥0，y ≥0，x ≤2，y ≤2所表示的区域为A ，现在区域A 中任意丢进一个粒子，则该粒子落在直线y ＝x ＋1下方的概率为( )A.13B.78C.12D.34解析：不等式组表示的平面区域A 为图中阴影部分所示，直线y ＝x ＋1过平面区域中的(0,1)，(1,2)点，所以直线y ＝x ＋1下方的阴影部分的面积为2×2－12×1×1＝72，所以所求的概率为724＝78.答案：B 6．若a 是从区间[0,3]内任取的一个实数，b 是从区间[0,2]内任取的一个实数，则关于x 的一元二次方程x 2－2ax ＋b 2＝0有实根的概率为( )A.23B.14C.35D.13解析：方程有实根，则Δ＝4a 2－4b 2≥0，则a ≥b ≥0，不等式组⎩⎪⎨⎪⎧0≤a ≤30≤b ≤2a ≥b所满足的可行域如图中阴影部分所示，则根据几何概型概率公式可得，所求概率P ＝S 四边形OABD S 矩形OABC ＝46＝23，故选A.答案：A 二、填空题7．在区间[－1,2]上随机取一个数x ，则|x |≤1的概率为__________．解析：由|x |≤1得，－1≤x ≤1，故易知所求概率为1－(－1)2－(－1)＝23.答案：238．有一个底面圆的半径为1、高为2的圆柱，点O 为这个圆柱底面圆的圆心，在这个圆柱内随机取一点P ，则点P 到点O 的距离大于1的概率为__________．解析：先求点P 到点O 的距离小于1或等于1的概率，圆柱的体积V 圆柱＝π×12×2＝2π，以O 为球心，1为半径且在圆柱内部的半球的体积V 半球＝12×43π×13＝23π.则点P 到点O 的距离小于1或等于1的概率为：23π2π＝13，故点P 到点O 的距离要大于1的概率为：1－13＝23.答案：239．已知圆C ：x 2＋y 2＝12，直线l ：4x ＋3y ＝25. (1)圆C 的圆心到直线l 的距离为__________；(2)圆C 上任意一点A 到直线l 的距离小于2的概率为__________．解析：根据点到直线的距离公式得d ＝255＝5；设直线4x ＋3y ＝c到圆心的距离为3，则|c |5＝3，取c ＝15，则直线4x ＋3y ＝15把圆所截得的劣弧的长度和整个圆的周长的比值是所求的概率，由于圆半径是23，则可得直线4x ＋3y ＝15截得的圆弧所对的圆心角为60°，故所求的概率是16.答案：5 16 三、解答题10．求下列概率：(1)已知x ∈(－1,1)，求x 2＜1的概率；(2)已知x ，y ∈(－1,1)，求x 2＋y 2＜1的概率；(3)已知x ，y ，z ∈(－1,1)，求x 2＋y 2＋z 2＜1的概率．解析：(1)x ∈(－1,1)的结果是任意的且有无限个，属于几何概型． 设x 2＜1为事件A ，则事件A 构成的区域长度是1－(－1)＝2，全部结果构成的区域长度是1－(－1)＝2，则P (A )＝22＝1，即x 2＜1的概率是1.(2)x ，y ∈(－1,1)的结果是任意的且有无限个，属于几何概型． 设x 2＋y 2＜1为事件B ，则事件B 构成的区域面积是平面直角坐标系中以原点为圆心、半径为1的圆的面积π，全部结果构成的区域面积是平面直角坐标系中直线x ＝±1，y ＝±1围成的正方形的面积22＝4，则P (B )＝π4，即x 2＋y 2＜1的概率是π4.(3)x ，y ，z ∈(－1,1)的结果是任意的且有无限个，属于几何概型． 设x 2＋y 2＋z 2＜1为事件C ，则事件C 构成的区域体积是空间直角坐标系中以原点为球心、半径为1的球的体积4π3，全部结果构成的区域体积是空间直角坐标系中平面x ＝±1，y ＝±1，z ＝±1围成的正方体的体积23＝8，则P (C )＝4π38＝π6，即x 2＋y 2＋z 2＜1的概率是π6.11．已知复数z ＝x ＋y i(x ，y ∈R )在复平面上对应的点为M .(1)设集合P ＝{－4，－3，－2,0}，Q ＝{0,1,2}，从集合P 中随机取一个数作为x ，从集合Q 中随机取一个数作为y ，求复数z 为纯虚数的概率；(2)设x ∈[0,3]，y ∈[0,4]，求点M 落在不等式组⎩⎪⎨⎪⎧x ＋2y －3≤0，x ≥0，y ≥0，所表示的平面区域内的概率．解析：(1)记“复数z 为纯虚数”为事件A .∵组成复数z 的所有情况共有12个：－4，－4＋i ，－4＋2i ，－3，－3＋i ，－3＋2i ，－2，－2＋i ，－2＋2i,0，i,2i ，且每种情况出现的可能性相等，属于古典概型，其中事件A 包含的基本事件共2个：i,2i ，∴所求事件的概率为P (A )＝212＝16.(2)依条件可知，点M 均匀地分布在平面区域{(x ，y )|⎩⎪⎨⎪⎧0≤x ≤30≤y ≤4}内，属于几何概型．该平面区域的图形为下图中矩形OABC 围成的区域，面积为S ＝3×4＝12.而所求事件构成的平面区域为 {(x ，y )|⎩⎪⎨⎪⎧x ＋2y －3≤0，x ≥0，y ≥0}，其图形如图中的三角形OAD (阴影部分)．又直线x ＋2y －3＝0与x 轴、y 轴的交点分别为A (3,0)，D (0，32)，∴△OAD的面积为S1＝12×3×32＝94.∴所求事件的概率为P＝S1S＝9412＝316.12．已知函数f(x)＝ax2－2bx＋a(a，b∈R)．(1)若a从集合{0,1,2,3}中任取一个元素，b从集合{0,1,2,3}中任取一个元素，求方程f(x)＝0恰有两个不相等实根的概率；(2)若b从区间[0,2]中任取一个数，a从区间[0,3]中任取一个数，求方程f(x)＝0没有实根的概率．解析：(1)∵a从集合{0,1,2,3}中任取一个元素，b从集合{0,1,2,3}中任取一个元素，∴a，b取值的情况是：(0,0)，(0,1)，(0,2)，(1,0)，(1,1)，(1,2)，(2,0)，(2,1)，(2,2)，(3,0)，(3,1)，(3,2)，(0,3)，(1,3)，(2,3)，(3,3)，其中第一个数表示a的取值，第二个数表示b的取值，即基本事件总数为16.设“方程f(x)＝0恰有两个不相等的实根”为事件A，当a＞0，b≥0时，方程f(x)＝0恰有两个不相等实根的充要条件为b＞a且a≠0，当b＞a且a≠0时，a，b取值的情况有(1,2)，(1,3)，(2,3)，即事件A包含的基本事件数为3，∴方程f(x)＝0恰有两个不相等实根的概率P(A)＝316.(2)∵b从区间[0,2]中任取一个数，a从区间[0,3]中任取一个数，则试验的全部结果构成区域Ω＝{(a，b)|0≤a≤3,0≤b≤2}，这是一个矩形区域，其面积SΩ＝2×3＝6，设“方程f(x)＝0没有实根”为事件B，则事件B所构成的区域为M＝{(a，b)|0≤a≤3,0≤b≤2，a＞b}，其面积S M＝6－12×2×2＝4，由几何概型的概率计算公式可得：方程f(x)＝0没有实根的概率P(A)＝S MSΩ＝46＝23.。