高二下学期数学模块练习(导数、立体几何)

高二下学期数学模块练习（导数、立体几何）

学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________

一、解答题

1．已知函数32()f x x ax bx c =+++在2

3x =-与1x =时都取得极值．

（1）求,a b 的值与函数()f x 的单调区间；

（2）若对[1,2]x ∈-,不等式2()f x c <恒成立，求c 的取值范围．

2．设函数f(x)=x 2+1−lnx

（1）求f(x)的单调区间；

（2）求函数g(x)=f(x)−x 在区间[12

,2]上的最小值．

3．已知函数f （x ）＝ax 2e x ﹣1（a ≠0）. （1）求函数f （x ）的单调区间； （2）已知a ＞0且x ∈[1，+∞），若函数f （x ）没有零点，求a 的取值范围. 4．已知函数32()f x x bx ax d =+++的图象经过点()0,2P ，且在点()()1,1M f --处的切线方程为670x y -+=. （1）求函数()y f x =的解析式； （2）求函数()y f x =的单调区间 5．已知函数()2ln f x x x ax =+-．

()1当3a =时，求()f x 的单调增区间；

()2若()f x 在()0,1上是增函数，求a 得取值范围．

6．已知函数()2ln 2()f x x ax a a R =-+∈

（1）当2a =时，求曲线()y f x =在1x =处的切线方程；

（2）讨论()f x 的单调性，并求极值；

7．已知函数2()(1)2x f x x e kx =--+

(1)若0k =,求()f x 的极值; (2)若[)0,x ∀∈+∞,都有()1f x ≥成立,求k 的取值范围. 8．如图，在正四棱柱1111ABCD A B C D -中，E 为棱1BB 的中点，2AB =，14AA =. （1）若1DE xDA yDC zDD =++，求x y z ++； （2）以D 为坐标原点，建立如图所示的空间直角坐标系D xyz -﹐写出1A ，C ，1D ，E 的坐标，并求异面直线DE 与1CD 所成角的余弦值. 9．在四棱锥P ABCD -中，PA ⊥平面ABCD ，底面四边形ABCD 为直角梯形，//AD BC ，AD AB ⊥，2PA AD ==，1AB BC ==，Q 为PD 中点．

（1）求证：PD BQ ⊥；

（2）求异面直线PC 与BQ 所成角的余弦值．

10．已知四棱锥P ABCD -中,底面ABCD 是正方形,PD ⊥平面ABCD ,PD AB =,E 是PB 的中点. （1）求证：平面PBC ⊥平面PCD ;

（2）求二面角E AD B --的大小;

（3）试判断AE 所在直线与平面PCD 是否平行,并说明理由.

11．如图，已知多面体PABCDE 的底面ABCD 是边长为2的菱形，PA ⊥底面

ABCD ，ED PA ，且22PA ED ==. （1）证明：平面PAC ⊥平面PCE ； （2）若直线PC 与平面ABCD 所成的角为45，求二面角P CE D --的余弦值. 12．如图，在四棱柱1111ABCD A B C D -中，点M 和N 分别为1C B 和1D D 的中点,侧棱1A A ⊥底面,,1ABCD AB AC AB ⊥=12,5AC AA AD CD . （1）求证：MN //平面ABCD ； （2）求二面角11D -AC B 的正弦值

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参考答案

1（1）()32f x x ax bx c =+++，f '（x ）＝3x 2+2ax +b 由()2124'0393'1320f a b f a b ⎧⎛⎫-=-+=⎪ ⎪⎝⎭⎨⎪=++=⎩解得，122

a b ⎧=-⎪⎨⎪=-⎩

'2 所以函数f （x ）的递增区间是（﹣∞，23-

）和（1，+∞），递减区间是（23-，1）． （2）因为()[]3212122

f x x x x c x =--+∈-，，，根据（1）函数f （x ）的单调性， 得f （x ）在（﹣1，23-）上递增，在（23

-，1）上递减，在（1，2）上递增， 所以当x 23=-时，f （x ）2227=+c 为极大值，而f （2）＝22227

c c +>+，所以f （2）＝2+c 为最大值． 要使f （x ）＜2c 对x ∈[﹣1，2]恒成立，须且只需2c ＞f （2）＝2+c ．

解得c ＜﹣1或c ＞2．

2（1）定义域为(0,+∞)，f ＇(x )=2x −1x

，由f ＇(x )>0得x >√22， ∴f (x )的单调递减区间为(0,√22)，单调递增区间为(√22，+∞)； （2）g(x)=x 2+1−lnx −x g′(x )=2x −1x −1=

(2x+1)(x−1)x ，由g′(x )>0得x >1， ∴g (x )在(12 ， 1)上单调递减，在（1，2）上单调递增，

∴g (x )的最小值为g (1)=1.

3．

（1）f '（x ）＝2axe x +ax 2e x ＝axe x （2+x ），

令f '（x ）＝0，则x ＝0或x ＝﹣2，

①若a ＞0，

当x ＜﹣2时，f '（x ）＞0，f （x ）单调递增；

当﹣2＜x ＜0时，f '（x ）＜0，f （x ）单调递减；

当x ＞0时，f '（x ）＞0，f （x ）单调递增；

②若a ＜0，

当x ＜﹣2时，f '（x ）＜0，f （x ）单调递减；

当﹣2＜x ＜0时，f '（x ）＞0，f （x ）单调递增；

当x ＞0时，f '（x ）＜0，f （x ）单调递减；

综上所述，当a ＞0时，f （x ）的单调递增区间为（﹣∞，﹣2）和（0，+∞），单调递减区间为（﹣2，0）； 当a ＜0时，f （x ）的单调递增区间为（﹣2，0），单调递减区间为（﹣∞，﹣2）和（0，+∞）. （2）当a ＞0时，由（1）可知，f （x ）在x ∈[1，+∞）上单调递增， 若函数没有零点，则f （1）＝ae ﹣1＞0，解得1a e ＞，

故a 的取值范围为1e ⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭，. 4． 详解：（1）∵f （x ）的图象经过P （0，2），∴d=2， ∴f （x ）=x 3+bx 2+a x+2，f'（x ）=3x 2+2bx+a ． ∵点M （﹣1，f （﹣1））处的切线方程为6x ﹣y+7=0 ∴f'（x ）|x=﹣1=3x 2+2bx+a =3﹣2b+a =6①， 还可以得到，f （﹣1）=y=1，即点M （﹣1，1）满足f （x ）方程，得到﹣1+b ﹣a+2=1② 由①、②联立得b=a =﹣3 故所求的解析式是f （x ）=x 3﹣3x 2﹣3x+2． （2）f'（x ）=3x 2﹣6x ﹣3．令3x 2﹣6x ﹣3=0，即x 2﹣2x ﹣1=0.解得x 1=1- ,x 2=1+.

当x<1-,或x>1+时，f'（x ）>0；当

1-

故

f （x ）的单调增区间为（﹣∞,1﹣），（1+,+∞）；单调减区间为（1﹣

,1+）

5．

（1）当

3a =时，()2ln 3f x x x x =+-， 所以()123f x x x +'=-，由0f x 得，102x <<或1x >， 故所求()f x 的单调递增区间为()10,,1,2⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭. （2）由()12f x x a x '=+-， ∵()f x 在0,1上是增函数，所以120x a x +-≥在0,1上恒成立，即12a x x ≤+恒成立， ∵12x x +≥2x =时取等号），所以a ≤，即(

a ∈-∞. 6． （1）当2a =时，因为2()2ln 42,()4f x x x f x x '=-+∴=-， (1)2,(1)2f f '∴=-=-， ∴曲线()y f x =在1x =处的切线方程为：()221y x +=--即20x y +=； （2）()21222()2(0)ax ax f x a x x x x ---+'=

-==> 若0,()0,()a f x f x '≤>在(0,)+∞上递增，无极值； 若0a >，当10,x a ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时，()0,()f x f x '>单调递增； 当1,x a ⎛⎫∈+∞ ⎪⎝⎭时，()0,()f x f x '<单调递减，此时1x a =有极大值22ln a a --，无极小值