高二下学期数学模块练习(导数、立体几何)

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高二下学期数学模块练习(导数、立体几何)

学校:___________姓名:___________班级:___________考号:___________

一、解答题

1.已知函数32()f x x ax bx c =+++在2

3x =-与1x =时都取得极值.

(1)求,a b 的值与函数()f x 的单调区间;

(2)若对[1,2]x ∈-,不等式2()f x c <恒成立,求c 的取值范围.

2.设函数f(x)=x 2+1−lnx

(1)求f(x)的单调区间;

(2)求函数g(x)=f(x)−x 在区间[12

,2]上的最小值.

3.已知函数f (x )=ax 2e x ﹣1(a ≠0). (1)求函数f (x )的单调区间; (2)已知a >0且x ∈[1,+∞),若函数f (x )没有零点,求a 的取值范围. 4.已知函数32()f x x bx ax d =+++的图象经过点()0,2P ,且在点()()1,1M f --处的切线方程为670x y -+=. (1)求函数()y f x =的解析式; (2)求函数()y f x =的单调区间 5.已知函数()2ln f x x x ax =+-.

()1当3a =时,求()f x 的单调增区间;

()2若()f x 在()0,1上是增函数,求a 得取值范围.

6.已知函数()2ln 2()f x x ax a a R =-+∈

(1)当2a =时,求曲线()y f x =在1x =处的切线方程;

(2)讨论()f x 的单调性,并求极值;

7.已知函数2()(1)2x f x x e kx =--+

(1)若0k =,求()f x 的极值; (2)若[)0,x ∀∈+∞,都有()1f x ≥成立,求k 的取值范围. 8.如图,在正四棱柱1111ABCD A B C D -中,E 为棱1BB 的中点,2AB =,14AA =. (1)若1DE xDA yDC zDD =++,求x y z ++; (2)以D 为坐标原点,建立如图所示的空间直角坐标系D xyz -﹐写出1A ,C ,1D ,E 的坐标,并求异面直线DE 与1CD 所成角的余弦值. 9.在四棱锥P ABCD -中,PA ⊥平面ABCD ,底面四边形ABCD 为直角梯形,//AD BC ,AD AB ⊥,2PA AD ==,1AB BC ==,Q 为PD 中点.

(1)求证:PD BQ ⊥;

(2)求异面直线PC 与BQ 所成角的余弦值.

10.已知四棱锥P ABCD -中,底面ABCD 是正方形,PD ⊥平面ABCD ,PD AB =,E 是PB 的中点. (1)求证:平面PBC ⊥平面PCD ;

(2)求二面角E AD B --的大小;

(3)试判断AE 所在直线与平面PCD 是否平行,并说明理由.

11.如图,已知多面体PABCDE 的底面ABCD 是边长为2的菱形,PA ⊥底面

ABCD ,ED PA ,且22PA ED ==. (1)证明:平面PAC ⊥平面PCE ; (2)若直线PC 与平面ABCD 所成的角为45,求二面角P CE D --的余弦值. 12.如图,在四棱柱1111ABCD A B C D -中,点M 和N 分别为1C B 和1D D 的中点,侧棱1A A ⊥底面,,1ABCD AB AC AB ⊥=12,5AC AA AD CD . (1)求证:MN //平面ABCD ; (2)求二面角11D -AC B 的正弦值

高二下学期数学模块练习(导数、立体几何)

参考答案

1(1)()32f x x ax bx c =+++,f '(x )=3x 2+2ax +b 由()2124'0393'1320f a b f a b ⎧⎛⎫-=-+=⎪ ⎪⎝⎭⎨⎪=++=⎩解得,122

a b ⎧=-⎪⎨⎪=-⎩

'2 所以函数f (x )的递增区间是(﹣∞,23-

)和(1,+∞),递减区间是(23-,1). (2)因为()[]3212122

f x x x x c x =--+∈-,,,根据(1)函数f (x )的单调性, 得f (x )在(﹣1,23-)上递增,在(23

-,1)上递减,在(1,2)上递增, 所以当x 23=-时,f (x )2227=+c 为极大值,而f (2)=22227

c c +>+,所以f (2)=2+c 为最大值. 要使f (x )<2c 对x ∈[﹣1,2]恒成立,须且只需2c >f (2)=2+c .

解得c <﹣1或c >2.

2(1)定义域为(0,+∞),f '(x )=2x −1x

,由f '(x )>0得x >√22, ∴f (x )的单调递减区间为(0,√22),单调递增区间为(√22,+∞); (2)g(x)=x 2+1−lnx −x g′(x )=2x −1x −1=

(2x+1)(x−1)x ,由g′(x )>0得x >1, ∴g (x )在(12 , 1)上单调递减,在(1,2)上单调递增,

∴g (x )的最小值为g (1)=1.

3.

(1)f '(x )=2axe x +ax 2e x =axe x (2+x ),

令f '(x )=0,则x =0或x =﹣2,

①若a >0,

当x <﹣2时,f '(x )>0,f (x )单调递增;

当﹣2<x <0时,f '(x )<0,f (x )单调递减;

当x >0时,f '(x )>0,f (x )单调递增;

②若a <0,

当x <﹣2时,f '(x )<0,f (x )单调递减;

当﹣2<x <0时,f '(x )>0,f (x )单调递增;

当x >0时,f '(x )<0,f (x )单调递减;

综上所述,当a >0时,f (x )的单调递增区间为(﹣∞,﹣2)和(0,+∞),单调递减区间为(﹣2,0); 当a <0时,f (x )的单调递增区间为(﹣2,0),单调递减区间为(﹣∞,﹣2)和(0,+∞). (2)当a >0时,由(1)可知,f (x )在x ∈[1,+∞)上单调递增, 若函数没有零点,则f (1)=ae ﹣1>0,解得1a e >,

故a 的取值范围为1e ⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭,. 4. 详解:(1)∵f (x )的图象经过P (0,2),∴d=2, ∴f (x )=x 3+bx 2+a x+2,f'(x )=3x 2+2bx+a . ∵点M (﹣1,f (﹣1))处的切线方程为6x ﹣y+7=0 ∴f'(x )|x=﹣1=3x 2+2bx+a =3﹣2b+a =6①, 还可以得到,f (﹣1)=y=1,即点M (﹣1,1)满足f (x )方程,得到﹣1+b ﹣a+2=1② 由①、②联立得b=a =﹣3 故所求的解析式是f (x )=x 3﹣3x 2﹣3x+2. (2)f'(x )=3x 2﹣6x ﹣3.令3x 2﹣6x ﹣3=0,即x 2﹣2x ﹣1=0.解得x 1=1- ,x 2=1+.

当x<1-,或x>1+时,f'(x )>0;当

1-

f (x )的单调增区间为(﹣∞,1﹣),(1+,+∞);单调减区间为(1﹣

,1+)

5.

(1)当

3a =时,()2ln 3f x x x x =+-, 所以()123f x x x +'=-,由0f x 得,102x <<或1x >, 故所求()f x 的单调递增区间为()10,,1,2⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭. (2)由()12f x x a x '=+-, ∵()f x 在0,1上是增函数,所以120x a x +-≥在0,1上恒成立,即12a x x ≤+恒成立, ∵12x x +≥2x =时取等号),所以a ≤,即(

a ∈-∞. 6. (1)当2a =时,因为2()2ln 42,()4f x x x f x x '=-+∴=-, (1)2,(1)2f f '∴=-=-, ∴曲线()y f x =在1x =处的切线方程为:()221y x +=--即20x y +=; (2)()21222()2(0)ax ax f x a x x x x ---+'=

-==> 若0,()0,()a f x f x '≤>在(0,)+∞上递增,无极值; 若0a >,当10,x a ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时,()0,()f x f x '>单调递增; 当1,x a ⎛⎫∈+∞ ⎪⎝⎭时,()0,()f x f x '<单调递减,此时1x a =有极大值22ln a a --,无极小值

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