2020届苏教版(文科数学) 抛物线的简单几何性质单元测试

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上海市2020〖苏科版〗高三数学复习试卷抛物线

上海市2020年〖苏科版〗高三数学复习试卷抛物线创作人：百里第次创作日期：202X.04.01 审核人：北堂进行创作单位：明德智语学校一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选择中，只有一个是符合题目要求的．）1.【淮南一中等四校高三5月联考】抛物线24x y =的准线方程为（）A.1-=yB.161-=xC.1-=xD.161-=y 2.【百强校】【西安市高新一中高三5月模拟】已知圆222()()x a y b r -+-=的圆心为抛物线24y x =的焦点,且与直线3420x y ++=相切,则该圆的方程为（）A ．2264(1)25x y -+=B ．2264(1)25x y +-=C ．22(1)1x y -+=D ．22(1)1x y +-=3. 【宁波市高三下学期第二次模拟考试】已知F 是抛物线24y x =的焦点，A B ，是抛物线上的两点，12AF BF +=，则线段AB 的中点到y 轴的距离为（）A. 4B. 5C. 6D. 114. 已知不过原点的直线l 与2y x =交于A B 、两点，若使得以AB 为直径的圆过原点，则直线l 必过点（）A.()0,1B.()1,0C.()0,2D.()1,0，()1,0-5.【百强校】【南阳市一中高三下学期第三次模拟】已知抛物线2:16C x y =的焦点为F ，准线为l ，M 是l 上一点，P 是直线MF 与C 的一个交点，若3FM FP =，则PF =（） A ．163 B ．83 C ．53 D ．526.【百强校】【天水市一中高三第五次高考模拟】已知P 是抛物线x y42=上的一个动点,Q 是圆()()22311x y -+-=上的一个动点,)0,1(N 是一个定点,则PQ PN+的最小值为（）A ．3B ．4C ．5D ．21+ 7.【改编题】设抛物线y 2=8x 的焦点为F,准线为l,P 为抛物线上一点,PA ⊥l,A 为垂足,如果直线AF 的斜率为-3,那么|PF|等于( )(A)43 (B)8 (C)83 (D)168.已知抛物线C:y 2=8x 与点M(-2,2),过C 的焦点且斜率为k 的直线与C 交于A 、B 两点,若MA ·MB =0,则k 等于( )(A)12 (B)22 (C)2 (D)29.【辽宁高考理第10题】已知点(2,3)A -在抛物线C ：22y px =的准线上，过点A 的直线与C 在第一象限相切于点B ，记C 的焦点为F ，则直线BF 的斜率为（）A ．12B ．23C ．34D ．4310.【全国1高考理第10题】已知抛物线C ：x y 82=的焦点为F ，准线为l ，P 是l 上一点，Q 是直线PF 与C 得一个焦点，若FQ PF 4=，则=QF （）A. 27B. 3C. 25 D. 2二、填空题11. 【-上海市金山】若点()8,2-M 在抛物线px y 22=的准线上，则实数p 的值为．12.【全国普通高等学校招生统一考试理科数学（陕西卷）】若抛物线22(0)y px p =>的准线经过双曲线221x y -=的一个焦点，则p =．13.【吉林市高三第三次模拟考试】已知直线:10l x y -+=与抛物线2:4C x y =交于A ，B 两点，点P 为抛物线C 上一动点，且在直线l 下方，则△PAB 的面积的最大值为.14.【全国普通高等学校招生统一考试理科数学（陕西卷）】如图，一横截面为等腰梯形的水渠，因泥沙沉积，导致水渠截面边界呈抛物线型（图中虚线表示），则原始的最大流量与当前最大流量的比值为．15．【高考山东，理15】平面直角坐标系xoy 中，双曲线()22122:10,0x y C a b a b-=>>的渐近线与抛物线()22:20C x py p =>交于点,,O A B ，若OAB ∆的垂心为2C 的焦点，则1C 的离心率为.16.如图所示点F 是抛物线x y 82=的焦点，点A 、B 分别在抛物线x y 82=及圆()22216x y -+=的实线部分上运动，且AB 总是平行于x 轴，，则FAB ∆的周长的取值范围是_______________.三、解答题17.已知抛物线2:4E x y =.（1）若直线1y x =+与抛物线E 相交于,P Q 两点，求PQ 弦长；（2）已知△ABC 的三个顶点在抛物线E 上运动.若点A 在坐标原点，BC 边过定点(0,2)N ，点M 在BC 上且0AM BC ⋅=，求点M 的轨迹方程.18.已知椭圆C 1和抛物线C 2有公共焦点F(1，0)，C 1的中心和C 2的顶点都在坐标原点，过点M(4，0)的直线l 与抛物线C 2分别相交于A ，B 两点．(1)如图所示，若14AM MB =，求直线l 的方程；(2)若坐标原点O 关于直线l 的对称点P 在抛物线C 2上，直线l 与椭圆C 1有公共点，求椭圆C 1的长轴长的最小值．19.【全国普通高等学校招生统一考试文科数学（浙江卷）】（本题满分15分）如图，已知抛物线211C 4y x =：，圆222C (1)1x y +-=：，过点P(t,0)(t>0)作不过原点O 的直线PA ，PB 分别与抛物线1C 和圆2C 相切，A ，B 为切点.（1）求点A ，B 的坐标；（2）求PAB ∆的面积.注：直线与抛物线有且只有一个公共点，且与抛物线的对称轴不平行，则该直线与抛物线相切，称该公共点为切点.20．【全国普通高等学校招生统一考试理科数学（Ⅰ）】（本小题满分12分）在直角坐标系xoy 中，曲线C ：y=24x 与直线y kx a =+（a ＞0）交与M,N 两点，（Ⅰ）当k=0时，分别求C 在点M 和N 处的切线方程；（Ⅱ）y 轴上是否存在点P ，使得当k 变动时，总有∠OPM=∠OPN ？说明理由. 21．17.已知点A （－1，0），B （1，－1）和抛物线.x y C 4:2=，O 为坐标原点，过点A 的动直线l 交抛物线C 于M 、P ，直线MB 交抛物线C 于另一点Q ，如图.（1）证明:OM OP ⋅为定值;（2）若△POM 的面积为25，求向量OM 与OP 的夹角；(3)证明直线PQ 恒过一个定点.22．【全国普通高等学校招生统一考试理科数学（湖南卷）】已知抛物线21:4C x y =的焦点F 也是椭圆22222:1(0)y x C a b a b +=>>的一个焦点，1C 与2C 的公共弦的长为6.（1）求2C 的方程；（2）过点F 的直线l 与1C 相交于A ，B 两点，与2C 相交于C ，D 两点，且AC 与BD 同向（ⅰ）若||||AC BD =，求直线l 的斜率（ⅱ）设1C 在点A 处的切线与x 轴的交点为M ，证明：直线l 绕点F 旋转时，MFD ∆总是钝角三角形创作人：百里第次创作日期：202X.04.01 审核人：北堂进行创作单位：明德智语学校。

2019-2020学年高二数学苏教版选修2-1练习题：(十三) 抛物线的几何性质(含答案)

课时跟踪训练(十三) 抛物线的几何性质1．抛物线y 2＝8x 的焦点到准线的距离是________．2．抛物线y 2＝2x 上的两点A ，B 到焦点的距离之和是5，则线段AB 的中点到y 轴的距离是________．3．过点(0,1)且与抛物线y 2＝4x 只有一个公共点的直线有________条．4．已知直线l 过抛物线C 的焦点，且与C 的对称轴垂直，l 与C 交于A ，B 两点，|AB |＝12，P 为C 的准线上一点，则△ABP 的面积为________．5．已知点A (2,0)，抛物线C ：x 2＝4y 的焦点为F ，射线F A 与抛物线C 相交于点M ，与其准线相交于点N ，则FM ∶MN ＝________.6．已知抛物线的顶点在原点，焦点在x 轴的正半轴上，抛物线上的点M (3，m )到焦点的距离等于5，求抛物线的方程和m 的值．7．已知顶点在原点，焦点在y 轴上的抛物线被直线x －2y －1＝0截得的弦长为15，求此抛物线方程．8．已知抛物线y 2＝2x .(1)设点A 的坐标为⎝⎛⎭⎫23，0，求抛物线上距离点A 最近的点P 的坐标及相应的距离|P A |；(2)在抛物线上求一点P ，使P 到直线x －y ＋3＝0的距离最短，并求出距离的最小值．答案1．解析：这里p ＝4，焦点(2,0)，准线x ＝－2，∴焦点到准线的距离是4.答案：42．解析：抛物线y 2＝2x 的焦点为F ⎝⎛⎭⎫12，0，准线方程为x ＝－12，设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则AF ＋BF ＝x 1＋12＋x 2＋12＝5，解得x 1＋x 2＝4，故线段AB 的中点横坐标为2.故线段AB 的中点到y 轴的距离是2.答案：23．解析：过点(0,1)，斜率不存在的直线为x ＝0，满足与抛物线y 2＝4x 只有一个公共点．当斜率存在时，设直线方程为y ＝kx ＋1，再与y 2＝4x 联立整理得k 2x 2＋(2k －4)x ＋1＝0，当k ＝0时，方程是一次方程，有一个解，满足一个交点；当k ≠0时，由Δ＝0可得k 值有一个，即有一个公共点，所以满足题意的直线有3条．答案：34．解析：设抛物线方程为y 2＝2px ，则焦点坐标为(p 2，0)，将x ＝p 2代入y 2＝2px 可得y 2＝p 2，|AB |＝12，即2p ＝12，故p ＝6.点P 在准线上，到AB 的距离为p ＝6，所以△P AB 的面积为12×6×12＝36. 答案：365．解析：如图所示，，过点M 作MM ′垂直于准线y ＝－1于点M ′，则由抛物线的定义知MM ′＝FM ，所以FM MN ＝MM ′MN，由于△MM ′N ∽△FOA ，则MM ′M ′N ＝OF OA ＝12，则MM ′∶MN ＝1∶5，即FM ∶MN ＝1∶5.答案：1∶ 56．解：法一：设抛物线方程为y 2＝2px (p ＞0)，则焦点F (p 2，0)，由题设可得⎩⎪⎨⎪⎧m 2＝6p ， m 2＋(3－p 2)2＝5. 解得⎩⎨⎧ p ＝4，m ＝26，或⎩⎨⎧p ＝4，m ＝－2 6.故所求的抛物线方程为y 2＝8x ，m 的值为±2 6.法二：设抛物线方程为y 2＝2px (p ＞0)，焦点F (p 2，0)，准线方程x ＝－p 2，根据抛物线定义，点M 到焦点的距离等于M 到准线方程的距离，则3＋p 2＝5，∴p ＝4. 因此抛物线方程为y 2＝8x .又点M (3，m )在抛物线上，于是m 2＝24，∴m ＝±2 6.7．解：设抛物线方程为：x 2＝ay (a ≠0)，由方程组⎩⎪⎨⎪⎧x 2＝ay ，x －2y －1＝0. 消去y 得：2x 2－ax ＋a ＝0，∵直线与抛物线有两个交点，∴Δ＝(－a )2－4×2×a >0，即a <0或a >8.设两交点坐标为A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则x 1＋x 2＝a 2，x 1x 2＝a 2，弦长为|AB |＝ 54(x 1－x 2)2 ＝ 54[(x 1＋x 2)2－4x 1x 2] ＝14 5(a 2－8a ).∵|AB |＝15，∴14 5(a 2－8a )＝15，即a 2－8a －48＝0，解得a ＝－4或a ＝12，∴所求抛物线方程为：x 2＝－4y 或x 2＝12y .8．解：(1)设抛物线上任一点P 的坐标为(x ，y )，则|P A |2＝⎝⎛⎭⎫x －232＋y 2＝⎝⎛⎭⎫x －232＋2x ＝⎝⎛⎭⎫x ＋132＋13. ∵x ≥0，且在此区间上函数单调递增，故当x ＝0时，|P A |min ＝23，故距点A 最近的点的坐标为(0,0)． (2)法一：设点P (x 0，y 0)是y 2＝2x 上任一点，则P 到直线x －y ＋3＝0的距离为d ＝|x 0－y 0＋3|2＝⎪⎪⎪⎪y 202－y 0＋32＝|(y 0－1)2＋5|22. 当y 0＝1时，d min ＝522＝524. ∴点P 的坐标为⎝⎛⎭⎫12，1.法二：设与直线x －y ＋3＝0平行的抛物线的切线为x －y ＋t ＝0，与y 2＝2x 联立，消去x ，得y 2－2y ＋2t ＝0，由Δ＝0，得t ＝12，此时y ＝1，x ＝12， ∴点P 坐标为⎝⎛⎭⎫12，1，两平行线间的距离就是点P 到直线x －y ＋3＝0的最小距离，即d min ＝524.。

苏教版数学高二-选修2-1试题 2-4-2抛物线的几何性质

2．4.2 抛物线的几何性质双基达标限时15分钟1．顶点在原点，焦点为F(32，0)的抛物线的标准方程是________．解析顶点在原点，焦点为F(32，0)的抛物线的标准方程可设为y 2＝2px(p>0)，且p 2＝32，故p ＝3.因此，所求抛物线的标准方程为y 2＝6x.答案 y 2＝6x2．抛物线x 2＝－4y 与过焦点且垂直于对称轴的直线交于A ，B 两点，则AB ＝________．解析由抛物线方程x 2＝－4y 得p ＝2，且焦点坐标为(0，－1)，故A ，B 两点的纵坐标都为－1，从而|AB|＝|y 1|＋|y 2|＋p ＝1＋1＋2＝4.答案 43．焦点为F(0，－1)，准线为y ＝1的抛物线的标准方程是__________．解析焦点为F(0，－1)，准线为y ＝1的抛物线的标准方程可设为x 2＝－2py(p>0)，可得p ＝2，因此，所求抛物线的标准方程为x 2＝－4y.答案 x 2＝－4y4．抛物线x 2＋12y ＝0的准线方程是________．解析抛物线x 2＋12y ＝0，即x 2＝－12y ，故其准线方程是y ＝3.答案 y ＝35．抛物线x 2＝ay 的准线方程是y ＝2，则实数a 的值为____．解析准线方程为y ＝－a 4，∴－a 4＝2，a ＝－8. 答案－86．求合适下列条件的抛物线的标准方程：(1)顶点在原点，对称轴为坐标轴，顶点到准线的距离为4；(2)顶点是双曲线16x 2－9y 2＝144的中心，准线过双曲线的左顶点，且垂直于坐标轴．解 (1)由抛物线标准方程对应的图形易知：顶点到准线的距离为p 2，故p 2＝4，p ＝8.因此，所求抛物线的标准方程为y 2＝±16x 或x 2＝±16y.(2)双曲线方程16x 2－9y 2＝144化为标准形式为x 29－y 216＝1，中心为原点，左顶点为(－3， 0)，故抛物线顶点在原点，准线为x ＝－3.由题意可设抛物线的标准方程为y 2＝2px(p>0)，可得p 2＝3，故p ＝6.因此，所求抛物线的标准方程为y 2＝12x. 综合提高限时30分钟7．已知抛物线x 2＝4y 上一点P 到焦点的距离为2，则点P 的坐标为________．解析由题意知，抛物线的焦点在y 轴上，所以抛物线的准线方程为y ＝－1.设点P(x 0，y 0)为抛物线上符合条件的点，则y 0＋1＝2，即y 0＝1.又x 2＝4y ，所以x 0＝±2.故P(2，1)或P(－2，1)．答案 (2，1)或(－2，1)8．直线l 过抛物线y 2＝ax(a ＞0)的焦点，并且与x 轴垂直，若l 被抛物线截得的线段长为4，则a ＝________．解析由通径不变即得a ＝4.答案 49．抛物线y 2＝4x 的弦AB 垂直于x 轴，若|AB|＝43，则焦点到AB 的距离为________．解析设AB 方程为x ＝m ，则A(m ，4m)，B(m ，－4m)．故24m ＝43，∴m ＝3，焦点F(1，0)，故d ＝3－1＝2.答案 210．已知直线l 1：4x －3y ＋6＝0和直线l 2：x ＝－1，抛物线y 2＝4x 上一动点P 到直线l 1和直线l 2的距离之和的最小值是________．解析 ∵直线l 2：x ＝－1恰为抛物线y 2＝4x 准线，∴P 到l 2的距离d 2＝|PF|(F(1，0)为抛物线焦点)，所以P 到l 1、l 2距离之和最小值为F 到l 1距离|4×1－3×0＋6|32＋42＝2. 答案 211．已知圆x 2＋y 2－9x ＝0与顶点在原点O 、焦点在x 轴上的抛物线交于A 、B 两点，△AOB 的垂心恰为抛物线的焦点，求抛物线的方程．解依题意设所求抛物线方程为y 2＝2px(p ＞0)，焦点F ⎝⎛⎭⎫p 2，0，A(x 0，y 0)，B(x 0，－y 0)，则⎩⎪⎨⎪⎧y 02＝2px 0，x 02＋y 02－9x 0＝0.∴x 02＋(2p －9)x 0＝0. ①∵OA ⊥BF ，OA →·BF →＝0，即x 0(p 2－x 0)＋y 02＝0. 整理得，x 02－5p 2x 0＝0. ∴x 0＝52p. ②把②代入①得p ＝2.∴所求抛物线方程为y 2＝4x.12．已知直线l 经过抛物线y 2＝4x 的焦点F ，且与抛物线相交于A 、B 两点．(1)若AF ＝4，求点A 的坐标；(2)求线段AB 的长的最小值．解由y 2＝4x ，得p ＝2，其准线方程为x ＝－1，焦点F(1，0)．设A(x 1，y 1)，B(x 2，y 2)．分别过A 、B 作准线的垂线，垂足为A′、B′.(1)由抛物线的定义可知，AF ＝x 1＋p 2，从而x 1＝4－1＝3.代入y 2＝4x ，解得y 1＝±2 3.∴点A 的坐标为(3，23)或(3，－23)．(2)当直线l 的斜率存在时，设直线l 的方程为y ＝k(x －1)．与抛物线方程联立⎩⎪⎨⎪⎧y ＝k （x －1）y 2＝4x ，消去y ，整理得k 2x 2－(2k 2＋4)x ＋k 2＝0，因为直线与抛物线相交于A 、B 两点，则k≠0，并设其两根为x 1，x 2，则x 1＋x 2＝2＋4k 2. 由抛物线的定义可知，AB ＝x 1＋x 2＋p ＝4＋4k 2>4. 当直线l 的斜率不存在时，直线l 的方程为x ＝1，与抛物线相交于A(1，2)，B(1，－2)，此时AB ＝4，所以，AB≥4，即线段AB 的长的最小值为4.13．(创新拓展)顶点在原点，焦点在x 轴正半轴上的抛物线有一个内接直角三角形，直角顶点在原点，一条直角边OA 所在的直线方程为y ＝2x ，斜边AB 的长为53，求抛物线方程．解：如图所示，设抛物线的方程为：y 2＝2px (p>0)，由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝2x ，y 2＝2px 得：A ⎝⎛⎭⎫p 2，p .∵OA ⊥OB ，∴直线OB 的方程为y ＝－12x.由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝－12x ，y 2＝2px得：B(8p ，－4p)，∵AB ＝53， ∴AB ＝ ⎝⎛⎭⎫8p －p22＋（p ＋4p ）2＝5 3.∴p ＝21339. ∴所求抛物线方程为y 2＝41339x.。

2020届苏教版(文科数学) 曲线与方程单元测试

2020届苏教版（文数）曲线与方程单元测试1．如图，DP ⊥x 轴，点M 在DP 的延长线上，且DM ＝2DP .当点P 在圆x 2＋y 2＝1上运动时．求点M 的轨迹C 的方程．解：设点M 的坐标为(x ，y )，点P 的坐标为(x 0，y 0)，则x ＝x 0，y ＝2y 0，所以x 0＝x ，y 0＝y 2，① 因为P (x 0，y 0)在圆x 2＋y 2＝1上，所以x 20＋y 20＝1.②将①代入②，得点M 的轨迹C 的方程为x 2＋y 24＝1. 2．设F (1，0)，M 点在x 轴上，P 点在y 轴上，且MN →＝2MP →，PM →⊥PF →，当点P 在y轴上运动时，求点N 的轨迹方程．解：设M (x 0，0)，P (0，y 0)，N (x ，y )，因为PM →⊥PF →，PM →＝(x 0，－y 0)，PF →＝(1，－y 0)，所以(x 0，－y 0)·(1，－y 0)＝0，所以x 0＋y 20＝0.由MN →＝2MP →得(x －x 0，y )＝2(－x 0，y 0)，所以⎩⎪⎨⎪⎧x －x 0＝－2x 0，y ＝2y 0，即⎩⎪⎨⎪⎧x 0＝－x ，y 0＝12y .所以－x ＋y 24＝0，即y 2＝4x . 故所求的点N 的轨迹方程是y 2＝4x .3．(2019·苏州模拟)在平面直角坐标系中，已知A 1(－2，0)，A 2(2，0)，P (x ，y )，M (x ，1)，N (x ，－2)，若实数λ使得λ2OM →·ON →＝A 1P →·A 2P →(O 为坐标原点)．求P 点的轨迹方程，并讨论P 点的轨迹类型．解：OM →＝(x ，1)，ON →＝(x ，－2)，A 1P →＝(x ＋2，y )，A 2P →＝(x －2，y )．因为λ2OM →·ON →＝A 1P →·A 2P →，所以(x 2－2)λ2＝x 2－2＋y 2，整理得(1－λ2)x 2＋y 2＝2(1－λ2)．①当λ＝±1时，方程为y ＝0，轨迹为一条直线；②当λ＝0时，方程为x 2＋y 2＝2，轨迹为圆；③当λ∈(－1，0)∪(0，1)时，方程为x 22＋y 22（1－λ2）＝1，轨迹为中心在原点，焦点在x 轴上的椭圆；④当λ∈(－∞，－1)∪(1，＋∞)时，方程为x 22－y 22（λ2－1）＝1，轨迹为中心在原点，焦点在x 轴上的双曲线．4．已知点P 是圆O ：x 2＋y 2＝9上的任意一点，过P 作PD 垂直x 轴于D ，动点Q 满足DQ →＝23DP →. (1)求动点Q 的轨迹方程；(2)已知点E (1，1)，在动点Q 的轨迹上是否存在两个不重合的点M 、N ，使OE →＝12(OM →＋ON →)(O 是坐标原点)．若存在，求出直线MN 的方程；若不存在，请说明理由．解：(1)设P (x 0，y 0)，Q (x ，y )，由题意得点D 的坐标为D (x 0，0)，所以DQ →＝(x －x 0，y )，DP →＝(0，y 0)，又DQ →＝23DP →，所以⎩⎪⎨⎪⎧x －x 0＝0，y ＝23y 0，即⎩⎪⎨⎪⎧x 0＝x ，y 0＝32y .因为P 在圆O 上，故x 20＋y 20＝9，所以x 29＋y 24＝1. 所以点Q 的轨迹方程为x 29＋y 24＝1. (2)存在．假设椭圆x 29＋y 24＝1上存在两个不重合的点M (x 1，y 1)，N (x 2，y 2)满足OE →＝12(OM →＋ON →)，则E (1，1)是线段MN 的中点，且有⎩⎨⎧x 1＋x 22＝1，y 1＋y 22＝1，即⎩⎪⎨⎪⎧x 1＋x 2＝2，y 1＋y 2＝2. 又M (x 1，y 1)，N (x 2，y 2)在椭圆x 29＋y 24＝1上，所以⎩⎨⎧x 219＋y 214＝1，x 229＋y 224＝1，两式相减，得（x 1－x 2）（x 1＋x 2）9＋（y 1－y 2）（y 1＋y 2）4＝0. 所以 MN ＝y 1－y 2x 1－x 2＝－49，所以直线MN 的方程为4x ＋9y －13＝0.所以椭圆上存在点M 、N 满足OE →＝12(OM →＋ON →)，此时直线MN 的方程为4x ＋9y －13＝0.。

3.3.2 抛物线的简单几何性质(同步练习)(附答案)

3.3.2 抛物线的简单几何性质（同步练习）一、选择题1.顶点在原点，焦点为F ⎝ ⎛⎭⎪⎫32，0的抛物线的标准方程是( ) A ．y 2＝32x B ．y 2＝3x C ．y 2＝6x D ．y 2＝－6x2.已知A ，B 两点均在焦点为F 的抛物线y 2＝2px(p>0)上，若|AF|＋|BF|＝4，线段AB 的中点到直线x ＝p 2的距离为1，则p 的值为( ) A ．1 B ．1或3C ．2D ．2或63.设F 为抛物线C ：y 2＝4x 的焦点，曲线y ＝k x(k ＞0)与C 交于点P ，PF ⊥x 轴，则k ＝( ) A.12B ．1 C.32D ．2 4．P 为抛物线y 2＝2px(p ＞0)上任意一点，F 为抛物线的焦点，则以|PF|为直径的圆与y 轴的位置关系为( )A ．相交B ．相离C ．相切D ．不确定5.已知A ，B 为抛物线y 2＝2x 上两点，且A 与B 的纵坐标之和为4，则直线AB 的斜率为( ) A.12 B ．－12C ．－2D ．26.已知抛物线C ：y 2＝4x 的焦点为F ，准线为l ，点A ∈l ，线段AF 交抛物线C 于点B ，若FA ―→＝3FB ―→，则|AF ―→|＝( )A ．3B ．4C ．6D ．77.已知抛物线x 2＝2py(p>0)的焦点为F ，过F 作倾斜角为30°的直线与抛物线交于A ，B 两点，若|AF||BF|∈(0,1)，则|AF||BF|＝( ) A.15 B ．14 C.13 D ．128.(多选)设抛物线的焦点到顶点的距离为3，则抛物线上的点到准线的距离可以是( )A.2B.3C.4D.5二、填空题9.已知点F 为抛物线y 2＝4x 的焦点，该抛物线上位于第一象限的点A 到其准线的距离为5，则直线AF 的斜率为________10.已知过抛物线y 2＝4x 的焦点F 的直线交该抛物线于A ，B 两点，若|AF|＝2，则|BF|＝________11.抛物线x 2＝2py(p>0)的焦点为F ，其准线与双曲线x 2－y 2＝1相交于A ，B 两点，若△ABF 为等边三角形，则p ＝________12.(2020·福州期末)设抛物线y 2＝2px 上的三个点A ⎝ ⎛⎭⎪⎫23，y 1，B(1，y 2)，C ⎝ ⎛⎭⎪⎫32，y 3到该抛物线的焦点距离分别为d 1，d 2，d 3.若d 1，d 2，d 3中的最大值为3，则p 的值为________13.(2018·全国卷Ⅲ)已知点M(－1,1)和抛物线C ：y 2＝4x ，过C 的焦点且斜率为k 的直线与C 交于A ，B 两点．若∠AMB ＝90°，则k ＝________三、解答题14.根据下列条件分别求抛物线的标准方程．(1)抛物线的焦点是双曲线16x 2－9y 2＝144的左顶点；(2)抛物线的焦点F 在x 轴上，直线y ＝－3与抛物线交于点A ，|AF|＝5.15.已知过抛物线y 2＝4x 的焦点F 的弦长为36，求弦所在的直线方程．16.已知AB 是抛物线y 2＝2px(p>0)的过焦点F 的一条弦．设A(x 1，y 1)，B(x 2，y 2)，AB 的中点为M(x 0，y 0)．求证：(1)若AB 的倾斜角为θ，则|AB|＝2p sin 2θ；(2)x 1x 2＝p 24，y 1y 2＝－p 2；(3)1|AF|＋1|BF|为定值2p.17.已知抛物线y 2＝2x.(1)设点A 的坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫23，0，求抛物线上距离点A 最近的点P 的坐标及相应的距离|PA|； (2)在抛物线上求一点M ，使M 到直线x －y ＋3＝0的距离最短，并求出距离的最小值．参考答案及解析：一、选择题1.C 解析：∵抛物线的焦点为⎝⎛⎭⎫32，0，∴p ＝3，且抛物线开口向右．∴抛物线的标准方程为y 2＝6x.2.B 解析：|AF|＋|BF|＝4⇒x A ＋p 2＋x B ＋p 2＝4⇒x A ＋x B ＝4－p ⇒2x 中＝4－p ，因为线段AB 的中点到直线x ＝p 2的距离为1，所以⎪⎪⎪⎪x 中－p 2＝1，所以|2－p|＝1⇒p ＝1或3. 3.D 解析：∵y 2＝4x ，∴F(1,0)．又∵曲线y ＝k x(k ＞0)与C 交于点P ，PF ⊥x 轴，∴P(1,2)．将点P(1,2)的坐标代入y ＝k x(k ＞0)，得k ＝2.故选D. 4．C 解析：设PF 的中点M(x 0，y 0)，作MN ⊥y 轴于N 点，设P(x 1，y 1)，则|MN|＝x 0＝12(|OF|＋x 1)＝12⎝⎛⎭⎫x 1＋p 2＝12|PF|.故相切． 5.A 解析：设A(x 1，y 1)，B(x 2，y 2)，则y 1＋y 2＝4.由⎩⎪⎨⎪⎧y 21＝2x 1，y 22＝2x 2，得(y 1＋y 2)(y 1－y 2)x 1－x 2＝2，即4k AB ＝2，k AB ＝12. 6.B 解析：由已知点B 为AF 的三等分点，作BH ⊥l 于点H ，如图，则|BH|＝23|FK|＝43，所以|BF|＝|BH|＝43.所以|AF ―→|＝3|BF ―→|＝4. 7.C 解析：因为抛物线的焦点为F ⎝⎛⎭⎫0，p 2，故过点F 且倾斜角为30°的直线的方程为y ＝33x ＋p 2，与抛物线方程联立得x 2－233px －p 2＝0，解方程得x A ＝－33p ，x B ＝3p ，所以|AF||BF|＝|x A ||x B |＝13，故选C. 8.BCD 解析：因为抛物线的焦点到顶点的距离为3，所以p 2＝3，即p ＝6．又因为抛物线上的点到准线的距离的最小值为p 2，所以抛物线上的点到准线的距离的取值范围为[3，＋∞)．二、填空题9.答案：43解析：由抛物线定义得x A ＋1＝5，x A ＝4，又点A 位于第一象限，因此y A ＝4，从而k AF ＝4－04－1＝43. 10.答案：2解析：设点A ，B 的横坐标分别是x 1，x 2，则依题意有焦点F(1,0)，|AF|＝x 1＋1＝2，x 1＝1，直线AF 的方程是x ＝1，此时弦AB 为抛物线的通径，故|BF|＝|AF|＝2.11.答案：2 3解析：由抛物线可知焦点F ⎝⎛⎭⎫0，p 2，准线y ＝－p 2，由于△ABF 为等边三角形，设AB 与y 轴交于M ，则 |FM|＝p ，不妨取B ⎝⎛⎭⎪⎫p 2＋42，－p 2，|FM|＝3|MB|，即p ＝3⎝ ⎛⎭⎪⎫p 2＋42，解得p ＝2 3. 12.答案：3解析：根据抛物线的几何性质可得d 1＝p 2＋23，d 2＝p 2＋1，d 3＝p 2＋32，由题意可得p>0，因此可判断d 3最大，故d 3＝p 2＋32＝3，解得p ＝3. 13.答案：2解析：设点A(x 1，y 1)，B(x 2，y 2)，则⎩⎪⎨⎪⎧y 21＝4x 1，y 22＝4x 2，∴y 21－y 22＝4(x 1－x 2)，∴k ＝y 1－y 2x 1－x 2＝4y 1＋y 2. 设AB 中点M ′(x 0，y 0)，抛物线的焦点为F ，分别过点A ，B 作准线x ＝－1的垂线，垂足为A ′，B ′，则|MM ′|＝12|AB|＝12(|AF|＋|BF|)＝12(|AA ′|＋|BB ′|)． ∵M ′(x 0，y 0)为AB 的中点，∴M 为A ′B ′的中点，∴MM ′平行于x 轴，∴y 1＋y 2＝2，∴k ＝2.三、解答题14.解：(1)双曲线方程可化为x 29－y 216＝1，左顶点为(－3,0)，由题意设抛物线方程为y 2＝－2px(p>0)且－p 2＝－3，∴p ＝6，∴抛物线的方程为y 2＝－12x. (2)设所求焦点在x 轴上的抛物线的方程为y 2＝2px(p ≠0)，A(m ，－3)，由抛物线定义得5＝|AF|＝⎪⎪⎪⎪m ＋p 2. 又(－3)2＝2pm ，∴p ＝±1或p ＝±9，故所求抛物线方程为y 2＝±2x 或y 2＝±18x.15.解：∵过焦点的弦长为36，∴弦所在的直线的斜率存在且不为零．故可设弦所在直线的斜率为k ，且与抛物线交于A(x 1，y 1)，B(x 2，y 2)两点．∵抛物线y 2＝4x 的焦点为F(1,0)，∴直线的方程为y ＝k(x －1)．由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝k (x －1)，y 2＝4x ，整理得k 2x 2－(2k 2＋4)x ＋k 2＝0(k ≠0)．∴x 1＋x 2＝2k 2＋4k 2. ∴|AB|＝|AF|＋|BF|＝x 1＋x 2＋2＝2k 2＋4k 2＋2. 又|AB|＝36，∴2k 2＋4k 2＋2＝36，∴k ＝±24. ∴所求直线方程为y ＝24(x －1)或y ＝－24(x －1)．16.证明：(1)设直线AB 的方程为x ＝my ＋p 2，代入y 2＝2px ，可得y 2－2pmy －p 2＝0，则y 1y 2＝－p 2，y 1＋y 2＝2pm ，∴y 21＋y 22＝2p(x 1＋x 2)＝(y 1＋y 2)2－2y 1y 2＝4p 2m 2＋2p 2，∴x 1＋x 2＝2pm 2＋p. 当θ＝90°时，m ＝0，x 1＋x 2＝p ，∴|AB|＝x 1＋x 2＋p ＝2p ＝2p sin 2θ；当θ≠90°时，m ＝1tan θ，x 1＋x 2＝2p tan 2θ＋p ，∴|AB|＝x 1＋x 2＋p ＝2p tan 2θ＋2p ＝2p sin 2θ. ∴|AB|＝2p sin 2θ. (2)由(1)知，y 1y 2＝－p 2，∴x 1x 2＝(y 1y 2)24p 2＝p 24. (3)1|AF|＋1|BF|＝1x 1＋p 2＋1x 2＋p 2＝x 1＋x 2＋p x 1x 2＋p 2(x 1＋x 2)＋p 24＝x 1＋x 2＋p p 2(x 1＋x 2＋p )＝2p .17.解：(1)设抛物线上任一点P(x ，y)，则|PA|2＝⎝⎛⎭⎫x －232＋y 2＝⎝⎛⎭⎫x －232＋2x ＝⎝⎛⎭⎫x ＋132＋13，因为x ≥0，且在此区间上函数单调递增，所以当x ＝0时，|PA|min ＝23，故距点A 最近的点P 的坐标为(0,0)．(2)设点M(x 0，y 0)是y 2＝2x 上任一点，则M 到直线x －y ＋3＝0的距离为d ＝|x 0－y 0＋3|2＝⎪⎪⎪⎪y 20－2y 0＋622＝|(y 0－1)2＋5|22，当y 0＝1时，d min ＝522＝524，所以点M 的坐标为⎝⎛⎭⎫12，1.。

2020届苏教版(文科数学) 抛物线单元测试

2020届苏教版（文数）抛物线单元测试1．(2018·潍坊二模)直线y ＝k (x ＋2)(k ＞0)与抛物线C ：y 2＝8x 交于A ，B 两点，F 为C 的焦点，若sin ∠ABF ＝2sin ∠BAF ，则k 的值是________．解析：分别过A ，B 两点作抛物线准线的垂线，垂足分别为M ，N ，则AF ＝AM ，BF ＝BN . 设直线y ＝k (x ＋2)(k ＞0)与x 轴交于点P ，则P (－2,0)．∵抛物线的方程为y 2＝8x ，∴抛物线的准线方程为x ＝－2，即点P 在准线上． ∵sin ∠ABF ＝2sin ∠BAF ，∴根据正弦定理可得AF ＝2BF ，∴AM ＝2BN ， ∴PB P A ＝BN AM ＝12，即B 为P A 的中点．联立方程组⎩⎪⎨⎪⎧y ＝k (x ＋2)，y 2＝8x消去x 可得y 2－8yk ＋16＝0．设A ⎝⎛⎭⎫y 218，y 1，B ⎝⎛⎭⎫y 228，y 2，则y 1y 2＝16． ∵B 为P A 的中点，∴y 1＝2y 2，即B (1,22)． ∵P (－2,0)，∴直线AB 的斜率为223.2．(2019·连云港模拟)顶点在原点，对称轴是y 轴，并且经过点P (－4，－2)的抛物线方程是________．解析：设抛物线方程为x 2＝my ，将点P (－4，－2)代入x 2＝my ，得m ＝－8. 所以抛物线方程是x 2＝－8y . 答案：x 2＝－8y3．抛物线的焦点为椭圆x 29＋y 24＝1的左焦点，顶点为椭圆中心，则抛物线方程为________．解析：由c 2＝9－4＝5得F (－5，0)，则抛物线方程为y 2＝－45x . 答案：y 2＝－45x4．已知抛物线C ：y 2＝x 的焦点为F ，A (x 0，y 0)是C 上一点，AF ＝54x 0，则x 0＝________．解析：由题意知抛物线的准线为x ＝－14.因为AF ＝54x 0，根据抛物线的定义可得x 0＋14＝AF ＝54x 0，解得x 0＝1.答案：15．如图是抛物线形拱桥，当水面在l 时，拱顶离水面2米，水面宽4米，水位下降1米后，水面宽________米．解析：以拱顶为坐标原点建立平面直角坐标系，设抛物线的方程为x 2＝－2py (p >0)，由题意知抛物线过点(2，－2)，代入方程得p ＝1，则抛物线的方程为x 2＝－2y ，当水面下降1米时，为y ＝－3，代入抛物线方程得x ＝±6，所以此时水面宽为26米．答案：2 66．(2019·江苏省第一次统一检测)已知抛物线C 的方程为y 2＝2px (p >0)，⊙M 的方程为x 2＋y 2＋8x ＋12＝0，如果抛物线C 的准线与⊙M 相切，那么p 的值为________．解析：将⊙M 的方程化为标准方程：(x ＋4)2＋y 2＝4，圆心坐标为(－4，0)，半径r ＝2，又因为抛物线的准线方程为x ＝－p2，所以⎪⎪⎪⎪4－p 2＝2，p ＝12或4. 答案：12或47．已知抛物线C ：y 2＝8x 的焦点为F ，准线为l ，P 是l 上一点，Q 是直线PF 与C 的一个交点，若FP →＝4FQ →，则QF ＝________．解析：过点Q 作QQ ′⊥l 交l 于点Q ′，因为FP →＝4FQ →，所以PQ ∶PF＝3∶4，又焦点F 到准线l 的距离为4，所以QF ＝QQ ′＝3.答案：38．过抛物线y 2＝4x 的焦点F 的直线交y 轴于点A ，抛物线上有一点B 满足OB →＝OA →＋OF →(O 为坐标原点)，则△BOF 的面积是________．解析：由题可知F (1，0)，可设过焦点F 的直线方程为y ＝ (x －1)(可知存在)，则A (0，－ )，所以B (1，－ )，由点B 在抛物线上，得 2＝4，＝±2，即B (1，±2)，S △BOF ＝12·OF ·|y B |＝12×1×2＝1.答案：19．已知抛物线的顶点在原点，焦点在x 轴的正半轴上，若抛物线的准线与双曲线5x 2－y 2＝20的两条渐近线围成的三角形的面积为45，则抛物线方程为________．解析：由双曲线方程5x 2－y 2＝20知其渐近线方程为y ＝±5x ，由题意可设抛物线方程为y 2＝2px (p >0)，故其准线方程为x ＝－p2，设准线与双曲线的两条渐近线的交点为A ，B ，则不妨令A ⎝⎛⎭⎫－p 2，52p ，B ⎝⎛⎭⎫－p 2，－52p ，故S △ABO ＝12×5p ×p 2＝54p 2＝45，解得p 2＝16，又因为p >0，所以p ＝4，故抛物线方程为y 2＝8x .答案：y 2＝8x10．抛物线y 2＝2px 的焦点为F ，点A 、B 、C 在此抛物线上，点A 坐标为(1，2)．若点F 恰为△ABC 的重心，则直线BC 的方程为________．解析：因为点A 在抛物线上，所以4＝2p ，p ＝2，抛物线方程为y 2＝4x ，焦点F (1，0)，设点B (x 1，y 1)，点C (x 2，y 2)，则有y 21＝4x 1，①y 22＝4x 2，②由①－②得(y 1－y 2)(y 1＋y 2)＝4(x 1－x 2) 得 BC ＝y 1－y 2x 1－x 2＝4y 1＋y 2.又因为y 1＋y 2＋23＝0，所以y 1＋y 2＝－2，所以 BC ＝－2.又因为x 1＋x 2＋13＝1，所以x 1＋x 2＝2，所以BC 的中点为(1，－1)，则BC 所在直线方程为y ＋1＝－2(x －1)，即2x ＋y －1＝0. 答案：2x ＋y －1＝011．(2019·江苏省四校联考)已知抛物线y 2＝2x 上有四点A (x 1，y 1)、B (x 2，y 2)，C (x 3，y 3)、D (x 4，y 4)，点M (3，0)，直线AB 、CD 都过点M ，且都不垂直于x 轴，直线PQ 过点M 且垂直于x 轴，交AC 于点P ，交BD 于点Q .(1)求y 1y 2的值； (2)求证：MP ＝MQ .解：(1)设直线AB 的方程为x ＝my ＋3，与抛物线方程联立得：y 2－2my －6＝0，所以y 1y 2＝－6.(2)证明：直线AC 的斜率为y 1－y 3x 1－x 3＝2y 1＋y 3，所以直线AC 的方程为y ＝2y 1＋y 3(x －x 1)＋y 1.所以点P 的纵坐标为y P ＝6＋y 1y 3y 1＋y 3＝6＋⎝⎛⎭⎫－6y 2y 3－6y 2＋y 3＝6（y 2－y 3）y 2y 3－6，同理点Q 的纵坐标为y Q ＝6（y 3－y 2）y 2y 3－6，所以y P ＋y Q ＝0，又PQ ⊥x 轴，所以MP ＝MQ .12．在平面直角坐标系xOy 中，抛物线C 的顶点在原点，经过点A (2，2)，其焦点F 在x 轴上．(1)求抛物线C 的标准方程；(2)求过点F 且与直线OA 垂直的直线方程；(3)设过点M (m ，0)(m >0)的直线交抛物线C 于D 、E 两点，ME ＝2DM ，记D 和E 两点间的距离为f (m )，求f (m )关于m 的表达式．解：(1)由题意，可设抛物线C 的标准方程为y 2＝2px .因为点A (2，2)在抛物线C 上，所以p ＝1.因此抛物线C 的标准方程为y 2＝2x .(2)由(1)可得焦点F 的坐标是⎝⎛⎭⎫12，0，又直线OA 的斜率为22＝1，故与直线OA 垂直的直线的斜率为－1，因此所求直线的方程是x ＋y －12＝0.(3)设点D 和E 的坐标分别为(x 1，y 1)和(x 2，y 2)，直线DE 的方程是y ＝ (x －m )， ≠0.将x ＝yk ＋m 代入y 2＝2x ，有 y 2－2y －2 m ＝0，解得y 1，2＝1±1＋2mk 2k.由ME ＝2DM 知1＋1＋2mk 2＝2(1＋2mk 2－1)，化简得 2＝4m.因此DE 2＝(x 1－x 2)2＋(y 1－y 2)2＝⎝⎛⎭⎫1＋1k 2(y 1－y 2)2＝⎝⎛⎭⎫1＋1k 24（1＋2mk 2）k 2＝94(m 2＋4m )，所以f (m )＝32m 2＋4m (m >0).1．设斜率为2的直线l 过抛物线y 2＝ax (a ≠0)的焦点F ，且和y 轴交于点A ，若△OAF (O 为坐标原点)的面积为4，则抛物线的方程为________．解析：由题可知抛物线焦点坐标为⎝⎛⎭⎫a 4，0，于是过焦点且斜率为2的直线的方程为y ＝2⎝⎛⎭⎫x －a 4，令x ＝0，可得A 点坐标为⎝⎛⎭⎫0，－a 2，所以S △OAF ＝12·|a |4·|a |2＝4，得a ＝±8，故抛物线方程为y 2＝±8x .答案：y 2＝±8x2．(2019·南通质检)已知点M (－3，2)是坐标平面内一定点，若抛物线y 2＝2x 的焦点为F ，点Q 是该抛物线上的一动点，则MQ －QF 的最小值是________．解析：抛物线的准线方程为x ＝－12，当MQ ∥x 轴时，MQ －QF 取得最小值，此时点Q 的纵坐标y ＝2，代入抛物线方程y 2＝2x 得Q 的横坐标x ＝2，则(QM －QF )min＝|2＋3|－⎪⎪⎪⎪2＋12＝52. 答案：523．(2019·无锡模拟)过抛物线y 2＝2px (p >0)的焦点F 且倾斜角为120°的直线l 与抛物线在第一、四象限分别交于A ，B 两点，则AFBF的值等于________．解析：记抛物线y 2＝2px 的准线为l ′，如图，作AA 1⊥l ′，BB 1⊥l ′，AC ⊥BB 1，垂足分别是A 1，B 1，C ，则有cos ∠ABB 1＝BC AB ＝BB 1－AA 1AF ＋BF＝BF －AF AF ＋BF，即cos 60°＝BF －AF AF ＋BF ＝12，由此得AF BF ＝13.答案：134．(2019·泰州模拟改编)直线x ＝1与抛物线C ：y 2＝4x 交于M ，N 两点，点P 是抛物线C 准线上的一点，记向量OP →＝aOM →＋bON →(a ，b ∈R )，其中O 为抛物线C 的顶点．给出下列命题：①∀a ，b ∈R ，△PMN 不是等边三角形； ②∃a <0且b <0，使得向量OP →与ON →垂直；③无论点P 在准线上如何运动，a ＋b ＝－1总成立．其中，所有正确命题的序号是________．解析：根据题意可知，当点P 落在准线与x 轴的交点时，PM ＝PN ＝22≠MN ＝4，所以△PMN 不是等边三角形，所以无论P 在何处即∀a ，b ∈R ，△PMN 都不是等边三角形．故①正确，根据题意不妨令M (1，2)，N (1，－2)，令OP →·ON →＝0，即(a ＋b )·1－2(2a －2b )＝0，整理得3a ＝5b ，所以∃a <0且b <0，使得向量OP →与ON →垂直，故②正确，OP →＝(a ＋b ，2a －2b )，因为点P 在抛物线的准线上，所以a ＋b ＝－1总成立，故③正确．答案：①②③5．已知抛物线C ：y 2＝4x 的焦点为F ，直线l 经过点F 且与抛物线C 相交于A 、B 两点． (1)若线段AB 的中点在直线y ＝2上，求直线l 的方程； (2)若线段AB ＝20，求直线l 的方程．解：(1)由已知得抛物线的焦点为F (1，0)．因为线段AB 的中点在直线y ＝2上，所以直线l 的斜率存在，设直线l 的斜率为，A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，AB 的中点M (x 0，y 0)，则⎩⎨⎧x 0＝x 1＋x 22，y 0＝y 1＋y 22.由⎩⎪⎨⎪⎧y 21＝4x 1，y 22＝4x 2得(y 1＋y 2)(y 1－y 2)＝4(x 1－x 2)，所以2y 0 ＝4. 又y 0＝2，所以＝1，故直线l 的方程是y ＝x －1.(2)设直线l 的方程为x ＝my ＋1，与抛物线方程联立得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝my ＋1，y 2＝4x ，消元得y 2－4my －4＝0，所以y 1＋y 2＝4m ，y 1y 2＝－4，Δ＝16(m 2＋1)>0. AB ＝m 2＋1|y 1－y 2|＝m 2＋1·（y 1＋y 2）2－4y 1y 2 ＝m 2＋1·（4m ）2－4×（－4）＝4(m 2＋1)．所以4(m 2＋1)＝20，解得m ＝±2，所以直线l 的方程是x ＝±2y ＋1，即x ±2y －1＝0.6．如图，等边三角形OAB 的边长为83，且其三个顶点均在抛物线E ：x 2＝2py (p >0)上．(1)求抛物线E 的方程；(2)设动直线l 与抛物线E 相切于点P ，与直线y ＝－1相交于点Q .证明：以PQ 为直径的圆恒过y 轴上某定点．解：(1) 依题意，OB ＝83，∠BOy ＝30°.设B (x ，y )，则x ＝OB sin 30°＝43，y ＝OB cos 30°＝12.因为点B (43，12)在x 2＝2py 上，所以(43)2＝2p ×12，解得p ＝2.故抛物线E 的方程为x 2＝4y .(2)证明：由(1)知y ＝14x 2，y ′＝12x .设P (x 0，y 0)，则x 0≠0，y 0＝14x 20，且l 的方程为y －y 0＝12x 0(x －x 0)，即y ＝12x 0x －14x 20.由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝12x 0x －14x 20，y ＝－1，得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝x 20－42x 0，y ＝－1. 所以Q 为⎝⎛⎭⎫x 20－42x 0，－1.设定点为M (0，y 1)，令MP →·MQ →＝0对满足y 0＝14x 20(x 0≠0)的x 0，y 0恒成立．由于MP →＝(x 0，y 0－y 1)， MQ →＝⎝⎛⎭⎫x 20－42x 0，－1－y 1，由MP →·MQ →＝0，得x 20－42－y 0－y 0y 1＋y 1＋y 21＝0，即(y 21＋y 1－2)＋(1－y 1)y 0＝0.( )由于( )式对满足y 0＝14x 20(x 0≠0)的y 0恒成立，所以⎩⎪⎨⎪⎧1－y 1＝0，y 21＋y 1－2＝0，解得y 1＝1.故以PQ 为直径的圆恒过y 轴上的定点M (0，1)．。

抛物线测试题及答案

抛物线测试题及答案1. 抛物线的定义抛物线是二次函数的图像，它由一条平滑的曲线组成，这条曲线是在平面上的所有离定点等距的点的轨迹。

抛物线的标准方程为 y = ax^2 + bx + c，其中 a、b 和 c 为常数。

2. 抛物线的性质- 对称性：抛物线关于 y 轴对称，即对于任意 x，有 y = ax^2 + bx + c，则对于相对应的 -x，仍满足 y = a(-x)^2 + b(-x) + c。

- 顶点：抛物线的顶点是曲线的最高点或最低点，形式为 (h, k)，其中 h 为对称轴上的横坐标，k 为顶点的纵坐标。

- 开口方向：抛物线的开口方向由二次项系数 a 的正负决定。

当 a > 0 时，抛物线开口向上；当 a < 0 时，抛物线开口向下。

- 零点：抛物线与 x 轴交点的纵坐标为 0，可通过解一元二次方程找到零点的横坐标。

3. 抛物线的常见问题3.1 抛物线的参数- 如何确定抛物线的参数 a、b 和 c？通常可以通过已知的点的坐标来确定。

- 如何求取抛物线的顶点坐标？可以通过横坐标的公式 h = -b / (2a) 来计算，然后代入方程求得 k。

- 什么情况下抛物线不存在实零点？当抛物线开口向上时，且顶点的纵坐标 k 大于或等于 0 时，抛物线不存在实零点。

3.2 抛物线的应用- 抛物线在物理学、经济学和工程学等领域中有广泛的应用。

例如，抛物线可以用来描述物体在自由落体中的运动轨迹、图像的放大和缩小等现象。

- 在建筑学中，抛物线也被用于设计拱形桥、碗状天花板等结构。

4. 抛物线测试题答案- 问题一：已知抛物线公式为 y = 2x^2 + 3x + 1，求抛物线的顶点坐标。

- 答案：根据公式 h = -b / (2a)，得到 h = -(3) / (2*2) = -3/4。

将h 代入原方程可求得 k = -1/8。

所以顶点坐标为 (-3/4, -1/8)。

- 问题二：求抛物线 y = x^2 + x - 2 的零点。

2020高中数学第二章圆锥曲线与方程 2.4.2 抛物线的几何性质作业苏教版选修1-1

2.4.2 抛物线的几何性质[基础达标]1．设抛物线y 2＝mx 的准线与直线x ＝1的距离为3，则抛物线的方程为________．解析：当m >0时，准线方程为x ＝－m4＝－2，∴m ＝8，此时抛物线方程为y 2＝8x ；当m <0时，准线方程为x ＝－m4＝4，∴m ＝－16，此时抛物线方程为y 2＝－16x .∴所求抛物线方程为y 2＝8x 或y 2＝－16x .答案：y 2＝8x 或y 2＝－16x2．已知抛物线C 的顶点为坐标原点，焦点在x 轴上，直线y ＝x 与抛物线C 交于A ，B 两点．若P (2,2)为AB 的中点，则抛物线C 的方程为________．解析：设抛物线方程为y 2＝2px ，A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则⎩⎪⎨⎪⎧y 21＝2px 1y 22＝2px 2⇒y 21－y 22＝2p (x 1－x 2)，即y 1－y 2x 1－x 2·(y 1＋y 2)＝2p ⇒2p ＝1×4⇒p ＝2. 故y 2＝4x .答案：y 2＝4x3．设O 是坐标原点，F 是抛物线y 2＝2px (p >0)的焦点，A 是抛物线上的一点，FA →与x 轴正向的夹角为60°，则|OA →|＝________.解析：如图，过A 作AD ⊥x 轴于D .在Rt △AFD 中，∠AFD ＝60°. 令FD ＝m ，则FA ＝2m . AD ＝3m .根据抛物线的定义可知． p ＋m ＝2m .∴m ＝p . ∴|OA →|＝OD 2＋AD 2＝ ⎝ ⎛⎭⎪⎫p 2＋p 2＋3p2＝212p . 答案：212p 4．若抛物线y 2＝2x 上的一点M 到坐标原点O 的距离为3，则M 到该抛物线焦点的距离为________．解析：依题意，设点M (x ，y )，其中x >0，则有⎩⎪⎨⎪⎧y 2＝2x x 2＋y 2＝3x >0，由此解得x ＝1，又该抛物线的准线方程为x ＝－12，结合抛物线的定义，点M 到该抛物线的焦点的距离等于1＋12＝32.答案：325．直线y ＝x －3与抛物线y 2＝4x 交于A ，B 两点，过A ，B 两点向抛物线的准线作垂线，垂足分别为P ，Q ，则梯形APQB 的面积为________．解析：直线y ＝x －3与抛物线y 2＝4x 交于A ，B 两点，过A ，B 两点向抛物线的准线作垂线，垂足分别为P ，Q ，联立方程组得⎩⎪⎨⎪⎧y 2＝4xy ＝x －3，消元得x 2－10x ＋9＝0，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1y ＝－2，和⎩⎪⎨⎪⎧x ＝9y ＝6，∴AP ＝10，BQ ＝2，PQ ＝8，∴梯形APQB 的面积为48.答案：486. 如图，圆形花坛水池中央有一喷泉，水管OP ＝1 m ，水从喷头P 喷出后呈抛物线状，先向上至最高点后落下，若最高点距水面2 m ，P 距抛物线对称轴1 m ，则为使水不落到池外，水池直径最小为________m.解析：如图，建立平面直角坐标系，设抛物线方程为x 2＝－2py (p >0)，则P (－1，－1)，代入抛物线方程得p ＝12，抛物线x 2＝－y ，代入点(x ，－2)，得x ＝2，即水池半径最小为r ＝(1＋2)m ，水池直径最小为2r ＝(2＋22)m.答案：2＋2 27．已知抛物线的焦点F 在x 轴上，直线l 过点F 且垂直于x 轴，l 与抛物线交于A 、B 两点，O 为坐标原点，若△OAB 的面积等于4，求此抛物线的标准方程．解：由题意，抛物线方程为y 2＝2px (p ≠0)，焦点F ⎝ ⎛⎭⎪⎫p 2，0，直线l ：x ＝p2，∴A 、B 两点坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫p 2，p ，⎝ ⎛⎭⎪⎫p2，－p ，∴AB ＝2|p |.∵△OAB 的面积为4， ∴12·⎪⎪⎪⎪⎪⎪p 2·2|p |＝4，∴p ＝±2 2. ∴抛物线的标准方程为y 2＝±42x .8. 如图，过抛物线y 2＝x 上一点A (4,2)作倾斜角互补的两条直线AB ，AC 交抛物线于B ，C 两点，求证：直线BC 的斜率是定值．证明：设k AB ＝k (k ≠0)，∵直线AB ，AC 的倾斜角互补， ∴k AC ＝－k (k ≠0)，∵直线AB 的方程是y ＝k (x －4)＋2.由方程组⎩⎪⎨⎪⎧y ＝k x －4＋2，y 2＝x ，消去y 后，整理得k 2x 2＋(－8k 2＋4k －1)x ＋16k 2－16k ＋4＝0.∵A (4,2)，B (x B ，y B )是上述方程组的解．∴4·x B ＝16k 2－16k ＋4k 2，即x B ＝4k 2－4k ＋1k 2，以－k 代换x B 中的k ，得x C ＝4k 2＋4k ＋1k 2，∴k BC ＝yB －yC xB －xC＝k xB －4＋2－[－k xC －4＋2]xB －xC＝k xB ＋xC －8xB －xC ＝k ⎝ ⎛⎭⎪⎫8k 2＋2k 2－8－8k k2＝－14，∴直线BC 的斜率为定值．[能力提升]1．等腰直角三角形OAB 内接于抛物线y 2＝2px (p >0)，O 是抛物线的顶点，OA ⊥OB ，则△OAB 的面积为________．解析：设等腰直角三角形OAB 的顶点A (x 1，y 1)、B (x 2，y 2)，则y 21＝2px 1，y 22＝2px 2，由OA ＝OB ，则x 21＋y 21＝x 22＋y 22， ∴x 21－x 22＋2px 1－2px 2＝0，即(x 1－x 2)(x 1＋x 2＋2p )＝0， ∵x 1>0，x 2>0,2p >0，∴x 1＝x 2，即A 、B 关于x 轴对称．故直线OA 的方程为：y ＝x tan 45°，即y ＝x .由⎩⎪⎨⎪⎧y 2＝2px y ＝x，解得，⎩⎪⎨⎪⎧x ＝0y ＝0(舍)或⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2p y ＝2p，故AB ＝4p ，等腰三角形OAB 的面积为12×2p ×4p ＝4p 2.答案：4p 22．对于顶点在原点的抛物线，给出下列条件：①焦点在y 轴上；②焦点在x 轴上；③抛物线上横坐标为1的点到焦点的距离等于6；④抛物线的通径的长为5；⑤由原点向过焦点的某条直线作垂线，垂足坐标为(2,1)．其中能得出抛物线方程为y 2＝10x 的条件是________(要求填写合适条件的序号)．解析：在①②两个条件中，应选择②，则由题意，可设抛物线方程为y 2＝2px (p >0)；对于③，由焦半径公式r ＝1＋p2＝6，∴p ＝10，此时y 2＝20x ，不符合条件；对于④，2p ＝5，此时y 2＝5x ，不符合题意；对于⑤，设焦点为⎝ ⎛⎭⎪⎫p 2，0，则由题意，满足12·1－02－p 2＝－1.解得p ＝5，此时y 2＝10x ，所以②⑤能使抛物线方程为y 2＝10x . 答案：②⑤3．某河上有座抛物线形拱桥，当水面距顶5 m 时，水面宽为8 m ，一木船宽4 m 高2 m ，载货后木船露在水面上的部分高为34m ，问水面上涨到与拱顶相距多少时，木船开始不能通航？解：如图所示建立直角坐标系xOy ，设抛物线方程为x 2＝－2py (p >0)，过点(4，－5)，∴16＝－2p (－5)，∴2p ＝165，∴抛物线方程为x 2＝－165y ，x ＝2时，y ＝－54，∴相距为34＋54＝2时不能通行．4．(创新题)A ，B 为抛物线y 2＝2px (p >0)上两点，O 为原点，若OA ⊥OB ，求证：直线AB 过定点．证明：设A (x 1，y 1)、B (x 2，y 2)，则y 21＝2px 1，y 22＝2px 2. 因为OA ⊥OB ，所以x 1x 2＋y 1y 2＝0，则y 21y 22＝2px 1·2px 2＝4p 2x 1x 2＝－4p 2y 1y 2，所以y 1y 2＝－4p 2.因为y 22－y 21＝(y 2＋y 1)(y 2－y 1)＝2p (x 2－x 1)，若x 1≠x 2，则y 2－y 1x 2－x 1＝2py 1＋y 2，所以直线AB 的方程为y －y 1＝2py 1＋y 2(x －x 1)．因为y 21＝2px 1，所以y －y 1＝2p y 1＋y 2⎝ ⎛⎭⎪⎫x －y 212p ，所以y ＝2px y 1＋y 2－y 21y 1＋y 2＋y 1＝2px y 1＋y 2＋y 1y 2y 1＋y 2＝2p y 1＋y 2(x －2p )，所以直线AB 过定点(2p,0)．若x 1＝x 2≠0，则y 1＝－y 2.因为OA ⊥OB ，所以x 1x 2＋y 1y 2＝0，故直线x 21－y 21＝0，即x 21－2px 1＝0，所以x 1＝2p . 故直线AB 过定点(2p,0)，所以存在定点(2p,0)，使得命题成立．。

苏教版数学高二-数学选修1试题 2.4抛物线的简单几何性质

2.4 抛物线的简单几何性质1．直线l 经过抛物线y 2＝4x 的焦点，且与抛物线相交于A ，B 两点，若弦AB 中点的横坐标为3，则|AB|为( )A ．4B ．8C ．6D ．10解析由题可知，抛物线的准线方程为x ＝－1，焦点为F ，AB 中点到准线的距离为3＋1＝4，∴|AB|＝|AF|＋|BF|＝2×4＝8.答案 B2．已知点M(－4,1)，F 为抛物线C ：y 2＝－4x 的焦点，点P 在抛物线上，若|PF|＋|PM|取最小值，则点P 的坐标是 ( )A ．(0,0)B ．(－1,2)C ．(－14，1)D ．(－2,22)解析如图所示，l 为抛物线的准线，过P 作PP′⊥l 于P′，过M 作MN ⊥l 于N ， ∴|PF|＋|PM|＝|PP′|＋|PM|≥|MN|.∴当|PF|＋|PM|取小值时，P 的纵坐标为1，代入抛物线方程可得P 的坐标为(－14，1)．答案 C3．若直线ax －y ＋1＝0经过抛物线y 2＝4x 的焦点，则实数a 为( ) A ．－1 B ．1 C ．－12D ．－2解析抛物线的焦点为(1,0)，代入直线方程为a ＋1＝0，∴a ＝－1. 答案 A4．已知点P 是抛物线y 2＝2x 上的一个动点，则点P 到点(0,2)的距离与P 到抛物线准线的距离之和的最小值为( )A ．3 B.172C. 5D.92解析根据抛物线定义，点P 到准线的距离转化为到焦点F(12，0)的距离，故为(0,2)和(12，0)的距离为172. 答案 B5．已知抛物线y ＝4ax 2(a>0)的准线与圆x 2＋y 2＋mx －14＝0相切，且此抛物线上的点A(x 0,2)到焦点的距离等于3，则m ＝( )A ．±3B ．±2C ．±1D ．0解析抛物线y ＝4ax 2的准线方程为y ＝－116a ，由题知2＋116a ＝3，∴a ＝116. ∴抛物线的准线为y ＝－1，圆的方程可化为(x ＋m 2)2＋y 2＝14＋m 24，由圆与抛物线的准线相切可得14＋m 24＝1，即m ＝±3，故选A. 答案 A6．P(x 0，y 0)是抛物线x 2＝2py(p>0)上任一点，则P 到焦点的距离是________．解析抛物线的准线为y ＝－p2，∴P 到焦点的距离为y 0＋p2.答案 y 0＋p27．抛物线y ＝4x 2上一点P ，则P 到直线y ＝4x －5的距离的最小值为________．解析设P(x ，y)，则d ＝|4x －y －5|17＝|4x －4x 2－5|17＝|2x －12＋4|17≥417＝41717.答案41717 8．抛物线y 2＝2px(p ＞0)上有一点纵坐标为－42，这点到准线的距离为6，则抛物线的方程为________．解析设点(x 0，－42)，则(－42)2＝2px 0， ∴x 0＝322p ＝16p.又由抛物线的定义可知x 0＋p 2＝6，∴16p ＋p2＝6，即p 2－12p ＋32＝0，解得p ＝4，或p ＝8. ∴抛物线方程为y 2＝8x ，或y 2＝16x. 答案 y 2＝8x ，或y 2＝16x9．已知点A(x ，y)在抛物线y 2＝4x 上运动，求z ＝x 2＋12y 2＋3的最小值．解 ∵A 在抛物线上，∴x≥0， z ＝x 2＋12y 2＋3＝x 2＋2x ＋3，二次函数z ＝x 2＋2x ＋3的对称轴为x ＝－1. ∴在[0，＋∞)上是增函数． ∴当x ＝0时，z 有最小值3.10．线段AB 过x 轴正半轴上一定点M(m,0)，端点A ，B 到x 轴的距离之积为2m ，以x 轴为对称轴，过A ，O ，B 三点作抛物线，求抛物线的方程．解画图可知抛物线方程为y 2＝2px(p>0)，直线AB 的方程为x ＝ky ＋m ，由⎩⎪⎨⎪⎧x ＝ky ＋m ，y 2＝2px 消去x ，整理得y 2－2pky －2pm ＝0. 由根与系数的关系得y 1y 2＝－2pm. 由题设|y 1|·|y 2|＝2m ，则p ＝1. 故抛物线方程为y 2＝2x.11．一顶点在坐标原点，焦点在x 轴上的抛物线截直线2x －y －4＝0所得的弦长为35，求抛物线的方程．解设抛物线方程为y 2＝2px(p≠0)，将直线方程y ＝2x －4代入，并整理得 2x 2－(8＋p)x ＋8＝0.设方程的两个根为x 1，x 2，则根据韦达定理有 x 1＋x 2＝8＋p 2，x 1x 2＝4.由弦长公式，得 (35)2＝(1＋22)，即9＝(8＋p 2)2－16.整理得p 2＋16p －36＝0，解得p ＝2，或p ＝－18，此时Δ>0.故所求的抛物线方程为y 2＝4x ，或y 2＝－36x.12．如图，已知直线l ：y ＝2x －4交抛物线y 2＝4x 于A ，B两点，试在抛物线AOB 这段曲线上求一点P ，使△PAB 的面积最大，并求出这个最大面积．解由⎩⎪⎨⎪⎧ y ＝2x －4，y 2＝4x.解得⎩⎪⎨⎪⎧ x ＝4，y ＝4，或⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1，y ＝－2. ∴A(4,4)，B(1，－ 2)． ∴|AB|＝4－12＋4＋22＝3 5.设P(x 0，y 0)为抛物线AOB 这段曲线上一点，d 为点P 到直线AB 的距离，则 d ＝|2x 0－y 0－4|4＋1＝15⎪⎪⎪⎪y 202－y 0－4 ＝125|(y 0－1)2－9|. ∵－2<y 0<4，∴当y 0＝1时，d 有最大值925.从而△PAB 的最大面积为S ＝12×35×925＝274.此时P ⎝⎛⎭⎫14，1.因此，当P ⎝⎛⎭⎫14，1时，△PAB 的面积取得最大值，最大值为274.。

苏教版数学高二-选修2-1试题抛物线的几何性质(一)

2.4.2 抛物线的几何性质(一)一、基础过关1．设点A 为抛物线y 2＝4x 上一点，点B(1,0)，且AB ＝1，则A 的横坐标的值为________．2．以x 轴为对称轴的抛物线的通径长为8，若抛物线的顶点在坐标原点，则其方程为______________．3．经过抛物线y 2＝2px (p>0)的焦点作一直线交抛物线于A(x 1，y 1)、B(x 2，y 2)两点，则y 1y 2x 1x 2的值是________． 4．过抛物线y 2＝2px 的焦点F 的直线与抛物线交于A 、B 两点，若A 、B 在准线上的射影为A 1、B 1，则∠A 1FB 1＝__________.5．等腰Rt △ABO 内接于抛物线y 2＝2px (p>0)，O 为抛物线的顶点，OA ⊥OB ，则Rt △ABO 的面积是________．6．如图所示，过抛物线y 2＝2px (p>0)的焦点F 的直线l 交抛物线于点A 、B ，交其准线于点C ，若BC ＝2BF ，且AF ＝3，则此抛物线的方程为________．7．过抛物线y 2＝4x 的焦点作直线交抛物线于A ，B 两点，设A(x 1，y 1)，B(x 2，y 2)．若x 1＋x 2＝6，则AB ＝________.二、能力提升8．如图所示是抛物线形拱桥，当水面在l 时，拱顶离水面2 m ，水面宽4 m ．水位下降1 m 后，水面宽________ m.9．已知△ABC 的三个顶点都在y 2＝32x 上，A(2,8)，且这个三角形的重心与抛物线的焦点重合，则直线BC 的斜率是________．10．正三角形的一个顶点位于坐标原点，另外两个顶点在抛物线y 2＝2px (p>0)上，求这个正三角形的边长．11．线段AB 过x 轴正半轴上一定点M(m,0)，端点A 、B 到x 轴的距离之积为2m ，以x 轴为对称轴，过A 、O 、B 三点作抛物线．求抛物线的方程．12．已知过抛物线y 2＝2px (p>0)的焦点，斜率为22的直线交抛物线于A(x 1，y 1)，B(x 2，y 2) (x 1<x 2)两点，且|AB|＝9.(1)求该抛物线的方程；(2)O 为坐标原点，C 为抛物线上一点，若OC →＝OA →＋λOB →，求λ的值．三、探究与拓展13．已知过抛物线y 2＝2px (p>0)的焦点F 的直线交抛物线于A 、B 两点，设A(x 1，y 1)，B(x 2，y 2)，则称AB 为抛物线的焦点弦．求证：(1)y 1y 2＝－p 2；x 1x 2＝p 24； (2)1FA ＋1FB ＝2p .答案1．0 2．y 2＝8x 或y 2＝－8x 3．－4 4．90° 5．4p 2 6．y 2＝3x 7．8 8．2 69．－410．解如图所示，设正三角形OAB 的顶点A ，B 在抛物线上，且坐标分别为A(x 1，y 1)，B(x 2，y 2)，则y 21＝2px 1，y 22＝2px 2.又OA ＝OB ，所以x 21＋y 21＝x 22＋y 22，即x 21－x 22＋2px 1－2px 2＝0.整理得(x 1－x 2)(x 1＋x 2＋2p)＝0.∵x 1>0，x 2>0,2p>0，∴x 1＝x 2.由此可得|y 1|＝|y 2|，即线段AB 关于x 轴对称．由此得∠AOx ＝30°，∴y 1＝33x 1. 与y 21＝2px 1联立，解得y 1＝23p ，∴AB ＝2y 1＝43p.11．解画图可知抛物线的方程为y 2＝2px (p>0)，直线AB 的方程为x ＝ky ＋m ，由⎩⎪⎨⎪⎧y 2＝2px x ＝ky ＋m 消去x ，整理得y 2－2pky －2pm ＝0，由根与系数的关系得y 1y 2＝－2pm ，由已知条件知|y 1|·|y 2|＝2m ，从而p ＝1，故抛物线方程为y 2＝2x.12．解 (1)直线AB 的方程是 y ＝22⎝⎛⎭⎫x －p 2，与y 2＝2px 联立，从而有4x 2－5px ＋p 2＝0，所以x 1＋x 2＝5p 4，由抛物线定义得 AB ＝x 1＋x 2＋p ＝9，所以p ＝4，抛物线方程为y 2＝8x.(2)由p ＝4,4x 2－5px ＋p 2＝0，化简得x 2－5x ＋4＝0，从而x 1＝1，x 2＝4，y 1＝－22，y 2＝42，从而A(1，－22)，B(4,42)．设OC →＝(x 3，y 3)＝(1，－22)＋λ(4,42)＝(1＋4λ，－22＋42λ)，又y 23＝8x 3，即2＝8(4λ＋1)，即(2λ－1)2＝4λ＋1，解得λ＝0或λ＝2.13．证明 (1)如图所示．抛物线y 2＝2px (p>0)的焦点F ⎝⎛⎭⎫p 2，0，准线方程：x ＝－p 2. 设直线AB 的方程为x ＝ky ＋p 2，把它代入y 2＝2px ，化简，得y 2－2pky －p 2＝0.∴y 1y 2＝－p 2，∴x 1x 2＝y 212p ·y 222p ＝y 1y 224p 2＝－p 224p 2＝p 24. (2)根据抛物线定义知FA ＝AA 1＝x 1＋p 2，FB ＝BB 1＝x 2＋p2，∴1FA ＋1FB ＝1x 1＋p 2＋1x 2＋p2＝22x 1＋p ＋22x 2＋p ＝22x 2＋p ＋22x 1＋p2x 1＋p 2x 2＋p ＝4x 1＋x 2＋4p 4x 1x 2＋2p x 1＋x 2＋p 2 ＝4x 1＋x 2＋p 2p x 1＋x 2＋p ＝2p .。

苏教版数学高二选修2-1测评2.4.2 抛物线的几何性质

学业分层测评(建议用时：45分钟)[学业达标]一、填空题1．抛物线焦点在x 轴上，直线y ＝－3与抛物线交于点A ，AF ＝5，则该抛物线的方程是________．【解析】设抛物线的标准方程为y 2＝2ax (a ≠0)，设A (m ，－3)．由抛物线定义得5＝AF ＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪m ＋a 2，又(－3)2＝2am ， ∴a ＝±1或a ＝±9，故所求抛物线的标准方程为y 2＝±2x 或y 2＝±18x . 【答案】 y 2＝±2x 或y 2＝±18x2．抛物线y 2＝4x 的弦AB 垂直于x 轴，若AB ＝43，则焦点到弦AB 的距离为________．【解析】由题意我们不妨设A (x,23)，则(23)2＝4x ，∴x ＝3，∴直线AB 的方程为x ＝3，抛物线的焦点为(1,0)，∴焦点到弦AB 的距离为2.【答案】 23．在抛物线y 2＝16x 内，过点(2,1)且被此点平分的弦AB 所在直线的方程是________. 【导学号：09390047】【解析】显然斜率不存在时的直线不符合题意．设直线斜率为k ，则直线方程为y －1＝k (x －2)①，由⎩⎪⎨⎪⎧y －1＝k (x －2)，y 2＝16x ，消去x 得ky 2－16y ＋16(1－2k )＝0，∴y 1＋y 2＝16k ＝2(y 1，y 2分别是A ，B 的纵坐标)，∴k ＝8，代入①得y ＝8x －15.【答案】 y ＝8x －154．已知过抛物线Γ：x ＝－y 22的焦点F 的直线交抛物线Γ于A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)两点，若x 1＋x 2＝－7，则AB 的值为________．【解析】因为x ＝－y 22，所以y 2＝－2x ，所以抛物线Γ的准线方程为x ＝12，根据抛物线的定义知AF ＝12－x 1，BF ＝12－x 2，所以AB ＝AF ＋BF ＝1－(x 1＋x 2)＝1－(－7)＝8.【答案】 85．直线y ＝k (x ＋1)与抛物线y 2＝8x 有两个交点，则实数k 的取值范围是________．【解析】联立直线与抛物线方程，得⎩⎪⎨⎪⎧y 2＝8x ，y ＝k (x ＋1)，所以ky 2－8y ＋8k ＝0.由题意得⎩⎪⎨⎪⎧k ≠0，Δ＝(－8)2－4×k ×8k ＞0，解得－2＜k ＜2，且k ≠0.所以实数k 的取值范围是(－2，0)∪(0，2)．【答案】 (－2，0)∪(0，2)6．已知抛物线E ：y 2＝4x 的焦点为F ，P 是E 的准线l 上一点，Q 是直线PF 与E 的一个交点．若PQ →＝2QF →，则直线PF 的方程为________. 【导学号：09390048】【解析】抛物线E ：y 2＝4x 的焦点F (1,0)，设Q 到l 的距离为d ，则QF ＝d .∵PQ →＝2QF →，∴|PQ →|＝2|QF →|＝2d ，∴直线的倾斜角为45°或135°，∴直线的斜率为±1，∴直线的方程为x ＋y －1＝0或x －y －1＝0. 【答案】 x ＋y －1＝0或x －y －1＝07．如图2-4-3是抛物线形拱桥，当水面在l时，拱顶离水面2 m，水面宽4 m．水位下降1 m后，水面宽_____________ m.图2-4-3【解析】建立如图平面直角坐标系，设抛物线方程为x2＝－2py(p＞0)．由题意A(2，－2)，代入x2＝－2py，得p＝1，故x2＝－2y.设B(x，－3)，代入x2＝－2y中，得x＝6，故水面宽为2 6 m.【答案】2 68．设点A的坐标为(a,0)(a∈R)，则曲线y2＝2x上的点到A点的距离的最小值为________. 【导学号：09390049】【解析】设抛物线上的点到A点的距离为d，抛物线上任一点的坐标为(x，y)，则d2＝(x－a)2＋y2＝x2－(2a－2)x＋a2＝[x－(a－1)]2＋(2a－1)．因为x∈[0，＋∞)，所以当a－1≥0，即a≥1时，d2min＝2a－1，d min＝2a－1；当a－1<0，即a<1时，当x＝0时，d2min＝a2，d min＝|a|.【答案】2a－1(a≥1)或|a|(a<1)二、解答题9．已知抛物线y2＝2px(p>0)有一个内接直角三角形，直角顶点在原点，两直角边OA与OB的长分别为1和8，求抛物线的方程．【解】设直线OA 的方程为y ＝kx ，k ≠0，则直线OB 的方程为y ＝－1k x ，由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝kx ，y 2＝2px ，得x ＝0(舍)或x ＝2p k 2，∴A 点坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫2p k 2，2p k ，B 点坐标为(2pk 2，－2pk )，由|OA |＝1，|OB |＝8，可得⎩⎪⎨⎪⎧4p 2k 2＋1k 4＝1， ①4p 2k 2(k 2＋1)＝64，②解方程组得k 6＝64，即k 2＝4.则p 2＝16k 2(k 2＋1)＝45，又p >0，则p ＝255，故所求抛物线方程为y 2＝455x .10．已知过抛物线y 2＝2px (p ＞0)的焦点，斜率为22的直线交抛物线于A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)(x 1＜x 2)两点，且|AB |＝9.(1)求该抛物线的方程；(2)O 为坐标原点，C 为抛物线上一点，若OC→＝OA →＋λOB →，求λ的值．【解】 (1)直线AB 的方程是y ＝22⎝ ⎛⎭⎪⎫x －p 2，与y 2＝2px 联立，从而有4x 2－5px ＋p 2＝0，所以x 1＋x 2＝5p 4，由抛物线定义得，|AB |＝x 1＋x 2＋p ＝5p4＋p ＝9，所以p ＝4，从而抛物线方程为y 2＝8x .(2)由于p ＝4,4x 2－5px ＋p 2＝0可化简为x 2－5x ＋4＝0，从而x 1＝1，x 2＝4，y 1＝－22，y 2＝42，从而A (1，－22)，B (4，42)；设C (x 3，y 3)，则OC →＝(x 3，y 3)＝(1，－22)＋λ(4,42)＝(4λ＋1,42λ－22)，又y 23＝8x 3，即[22(2λ－1)]2＝8(4λ＋1)，即(2λ－1)2＝4λ＋1，解得λ＝0或λ＝2.[能力提升]1．等腰直角三角形AOB 内接于抛物线y 2＝2px (p >0)，O 为抛物线的顶点，OA ⊥OB ，则△AOB 的面积为________．【解析】由条件，不妨设l OA 为y ＝x ，解方程组⎩⎪⎨⎪⎧y ＝x ，y 2＝2px ，得x ＝2p ，所以A (2p,2p )．故S △AOB ＝12·2·(2p )·(2p )＝4p 2.【答案】 4p 22．过抛物线y ＝ax 2(a >0)的焦点F 作一条直线交抛物线于P ，Q 两点，若线段PF 与FQ 的长分别为m ，n ，则1m ＋1n ＝________.【解析】由焦点弦性质，知1PF ＋1FQ ＝2p ，抛物线的标准方程为x 2＝1a y (a >0)，∴2p ＝1a ，p ＝12a ，∴1PF ＋1FQ ＝4a ，即1m ＋1n ＝4a . 【答案】 4a3．已知抛物线y ＝18x 2与双曲线y 2a 2－x 2＝1(a ＞0)有共同的焦点F ，O 为坐标原点，P 在x 轴上方且在双曲线，则OP →·FP→的最小值为________．【解析】抛物线y ＝18x 2的焦点F 为(0,2)，则双曲线y 2a 2－x 2＝1中，c ＝2，则a 2＝3.即双曲线方程为y 23－x 2＝1，设P (m ，n )()n ≥3，则n 2－3m 2＝3，则OP →·FP →＝(m ，n )·(m ，n －2)＝m 2＋n 2－2n ＝n 23－1＋n 2－2n ＝4n 23－2n －1＝43⎝ ⎛⎭⎪⎫n －342－74，所以当n ＝3时，OP →·FP →的最小值为3－2 3. 【答案】 3－2 34．如图2-4-4，抛物线y 2＝2px (p >0)的焦点为F ，经过点F 的直线交抛物线于A，B两点，点C在抛物线的准线上，且BC∥x轴．证明：直线AC经过原点O.图2-4-4【证明】法一：设直线AB的方程为y＝k⎝⎛⎭⎪⎫x－p2，A(x1，y1)，B(x2，y2)，C⎝⎛⎭⎪⎫－p2，y2.联立方程，得⎩⎨⎧y＝k⎝⎛⎭⎪⎫x－p2，y2＝2px，消去x，得y2－2pyk－p2＝0，∴y1y2＝－p2，k OA＝y1x1，k OC＝y2－p2＝2py1.又∵y21＝2px1，∴k OC＝y1x1＝k OA，∴AC经过原点O.当k不存在时，AB⊥x轴，同理可得k OA＝k OC，所以AC经过原点O.法二：因为抛物线y2＝2px(p>0)的焦点为F⎝ ⎛⎭⎪⎫p2，0，由于直线AB斜率不确定，所以经过点F的直线AB的方程可设为x＝my＋p2，代入抛物线方程消去x得y2－2pmy－p2＝0.若设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则y1，y2是该方程的两个根，所以y1y2＝－p2.因为BC∥x轴，且点C在准线x＝－p2上，所以点C的坐标为⎝⎛⎭⎪⎫－p2，y2，故直线CO的斜率为k＝y2－p2＝2py1＝y1x1，即k也是直线OA的斜率，所以直线AC经过原点O.法三：如图，过A作AD⊥l，D为垂足，则AD∥EF∥BC，设AC 与EF 相交于点N ，则EN AD ＝CN AC ＝BFAB ，NF BC ＝AF AB .由抛物线的定义可知AF ＝AD ，BF ＝BC ，∴EN ＝AD ·BF AB ＝AF ·BC AB ＝NF .即点N 是EF 的中点，与抛物线的顶点O 重合，所以直线AC 经过原点O .。

苏教版数学高二- 选修2-1试题抛物线的几何性质

2.4.2 抛物线的几何性质一、填空题 1．设抛物线的顶点在原点，准线方程为x ＝－2，则抛物线的方程是________．【解析】∵p 2＝2，∴p ＝4，∴抛物线标准方程为y 2＝8x. 【答案】 y 2＝8x2．经过抛物线y 2＝2px(p>0)的所有焦点弦中，弦长的最小值为________．【解析】通径长为2p.【答案】 2p3．过抛物线y 2＝4x 的焦点作直线与抛物线相交于P(x 1，y 1)，Q(x 2，y 2)两点，若x 1＋x 2＝8，则PQ 的值为________．【解析】 PQ ＝x 1＋x 2＋2＝10.【答案】 104．抛物线y 2＝4x 的焦点到双曲线x 2－y 23＝1的渐近线的距离是________．【解析】由题意可得抛物线的焦点坐标为(1,0)，双曲线的渐近线方程为3x －y ＝0或3x ＋y ＝0，则焦点到渐近线的距离d 1＝|3×1－0|32＋－12＝32或d 2＝|3×1＋0|32＋12＝32. 【答案】32 5．已知等边三角形AOB 的顶点A ，B 在抛物线y 2＝6x 上，O 是坐标原点，则△AOB 的边长为________．【解析】设△AOB 边长为a ，则A(32a ，a 2)，∴a 24＝6×32a. ∴a ＝12 3.【答案】 12 36．过抛物线y ＝ax 2(a>0)的焦点F 作一条直线交抛物线于P 、Q 两点，若线段PF 与FQ的长分别为m 、n ，则1m ＋1n＝________.【解析】由焦点弦性质知1PF ＋1FQ ＝2p ，抛物线的标准方程为x 2＝1a y(a>0)，∴2p ＝1a ，p ＝12a， ∴1PF ＋1FQ ＝4a ，即1m ＋1n＝4a. 【答案】 4a7．已知弦AB 过拋物线y 2＝2px(p ＞0)的焦点，则以AB 为直径的圆与拋物线的准线的位置关系是________．【解析】设A(x 1，y 1)，B(x 2，y 2)，AB 中点为M(x 0，y 0)，如图，则AB ＝AF ＋BF ＝x 1＋x 2＋p.设A ，B ，M 到准线l ：x ＝－p 2距离分别为d 1，d 2，d ，则有d 1＝x 1＋p 2，d 2＝x 2＋p 2， d ＝d 1＋d 22＝x 1＋x 2＋p 2＝AB 2， ∴以AB 为直径的圆与拋物线的准线相切．【答案】相切8．如图2－4－4所示是抛物线形拱桥，当水面在l 时，拱顶离水面2米，水面宽4米，水位下降1米后，水面宽________米．图2－4－4【解析】设水面与拱桥的一个交点为A ，如图所示，建立平面直角坐标系，则A 的坐标为(2，－2)．设抛物线方程为x 2＝－2py(p>0)，则22＝－2p×(－2)，得p ＝1.设水位下降1米后水面与拱桥的交点坐标为(x 0，－3)，则x 20＝6，解得x 0＝±6，所以水面宽为26米．【答案】 2 6二、解答题9．设抛物线顶点在原点，焦点在y 轴负半轴上，M 为抛物线上任一点，若点M 到直线l ：3x ＋4y －14＝0的距离的最小值为1，求此抛物线的标准方程．【解】设与l 平行的切线方程为3x ＋4y ＋m ＝0，由⎩⎪⎨⎪⎧x 2＝－2py 3x ＋4y ＋m ＝0得2x 2－3px －pm ＝0. ∴Δ＝0即m ＝－98p. 又d ＝|14－98p|5＝1，∴p ＝8或p ＝1529(舍)， ∴抛物线的标准方程为x 2＝－16y.10．过点(0,4)，斜率为－1的直线与拋物线y 2＝2px(p ＞0)交于两点A ，B ，如果OA ⊥OB(O 为原点)求拋物线的标准方程及焦点坐标．【解】直线方程为y ＝－x ＋4.由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝－x ＋4，y 2＝2px ，消去y 得x 2－2(p ＋4)x ＋16＝0. 设A(x 1，y 1)，B(x 2，y 2)，则x 1＋x 2＝2(p ＋4)，x 1x 2＝16，Δ＝4(p ＋4)2－64＞0.所以y 1y 2＝(－x 1＋4)(－x 2＋4)＝－8p.由已知OA ⊥OB 得x 1x 2＋y 1y 2＝0，从而16－8p ＝0，解得p ＝2.所以，拋物线的标准方程为y 2＝4x ，焦点坐标为(1,0)．图2－4－511．在平面直角坐标系xOy 中，直线l 与抛物线y 2＝4x 相交于不同的A 、B 两点．(1)如果直线l 过抛物线的焦点，求OA →·OB →的值；(2)如果OA →·OB →＝－4，证明：直线l 必过一定点，并求出该定点．【解】 (1)设l ：my ＝x －1与y 2＝4x 联立，得y 2－4my －4＝0，∴y 1＋y 2＝4m ，y 1y 2＝－4，∴OA →·OB →＝x 1x 2＋y 1y 2＝(m 2＋1)y 1y 2＋m(y 1＋y 2)＋1＝－3.(2)证明：设l ：my ＝x ＋n 与y 2＝4x 联立，得y 2－4my ＋4n ＝0， ∴y 1＋y 2＝4m ，y 1y 2＝4n.由OA →·OB →＝－4＝(m 2＋1)y 1y 2－mn(y 1＋y 2)＋n 2＝n 2＋4n ，解得n ＝－2， ∴l ：my ＝x －2过定点(2,0)．。

高中试卷-3.3.2抛物线的简单几何性质同步练习(Word版含答案)(含答案)

答卷时应注意事项１、拿到试卷，要认真仔细的先填好自己的考生信息。

２、拿到试卷不要提笔就写，先大致的浏览一遍，有多少大题，每个大题里有几个小题，有什么题型，哪些容易，哪些难，做到心里有底；３、审题，每个题目都要多读几遍，不仅要读大题，还要读小题，不放过每一个字，遇到暂时弄不懂题意的题目，手指点读，多读几遍题目，就能理解题意了；容易混乱的地方也应该多读几遍，比如从小到大，从左到右这样的题；４、每个题目做完了以后，把自己的手从试卷上完全移开，好好的看看有没有被自己的手臂挡住而遗漏的题；试卷第１页和第２页上下衔接的地方一定要注意，仔细看看有没有遗漏的小题；５、中途遇到真的解决不了的难题，注意安排好时间，先把后面会做的做完，再来重新读题，结合平时课堂上所学的知识，解答难题；一定要镇定，不能因此慌了手脚，影响下面的答题；６、卷面要清洁，字迹要清工整，非常重要；７、做完的试卷要检查，这样可以发现刚才可能留下的错误或是可以检查是否有漏题，检查的时候，用手指点读题目，不要管自己的答案，重新分析题意，所有计算题重新计算，判断题重新判断，填空题重新填空，之后把检查的结果与先前做的结果进行对比分析。

亲爱的小朋友，你们好!经过两个月的学习，你们一定有不小的收获吧，用你的自信和智慧，认真答题，相信你一定会闯关成功。

相信你是最棒的！3.3.2　抛物线的简单几何性质（同步练习）一、选择题1.若抛物线y2＝4x上一点P到x轴的距离为P到抛物线的焦点F的距离为( )A.4B.5C.6D.72.F是抛物线y2＝2x的焦点，A，B是抛物线上的两点，|AF|＋|BF|＝8，则线段AB的中点到y轴的距离为( )A.4B.92C.3D.723.过抛物线y2＝4x的焦点作一条直线与抛物线相交于A，B两点，它们的横坐标之和等于5，则这样的直线( )A.有且仅有一条B.有且仅有两条C.有无穷多条D.不存在4.抛物线y2＝4x与直线2x＋y－4＝0交于两点A与B，F是抛物线的焦点，则|FA|＋|FB|等于( )A.2B.3C.5D.75.已知直线l过抛物线C的焦点，且与C的对称轴垂直，l与C交于A，B两点，|AB|＝12，P为C的准线上的一点，则△ABP的面积为( )A.18B.24C.36D.486.从抛物线y2＝4x上一点P引抛物线准线的垂线，垂足为M，且|PM|＝5，设抛物线的焦点为F，则△PMF的面积为( )A.5B.10C.207.设抛物线C：y2＝4x的焦点为F，直线l过点M(2,0)且与C交于A，B两点，|BF|＝3 2 .若|AM|＝λ|BM|，则实数λ＝( )A.32B.2C.4D.68.(多选)设抛物线的焦点到顶点的距离为3，则抛物线上的点到准线的距离可以是( )A.2B.3C.4D.5二、填空题9.直线y＝x－1被抛物线y2＝4x截得的线段的中点坐标是________10.已知F是抛物线C：y2＝8x的焦点，M是C上一点，FM的延长线交y轴于点N.若M是FN的中点，则|FN|＝________11.已知点A到点F(1,0)的距离和到直线x＝－1的距离相等，点A的轨迹与过点P(－1,0)且斜率为k的直线没有交点，则k的取值范围是________12.直线y＝x－3与抛物线y2＝4x交于A，B两点，过A，B两点向抛物线的准线作垂线，垂足分别为P，Q，则梯形APQB的面积为________13.已知抛物线C的顶点在原点，焦点在x轴上，且抛物线上有一点P(4，m)到焦点的距离为6.则抛物线C的方程为________；若抛物线C与直线y＝kx－2相交于不同的两点A，B，且AB中点横坐标为2，则k＝________三、解答题14.若抛物线的顶点在原点，开口向上，F为焦点，M为准线与y轴的交点，A为抛物线上一点，且|AM||AF|＝3，求此抛物线的标准方程．15.已知抛物线C：y＝2x2和直线l：y＝kx＋1，O为坐标原点．(1)求证：l与C必有两交点．(2)设l与C交于A，B两点，且直线OA和OB斜率之和为1，求k的值．16.点M(m,4)(m>0)为抛物线x2＝2py(p>0)上一点，F为其焦点，已知|FM|＝5.(1)求m 与p 的值．(2)以M 点为切点作抛物线的切线，交y 轴于点N ，求△FMN 的面积．参考答案：一、选择题1.A2.D3.B4.D5.C6.B7.C8.BCD二、填空题9.答案：(3,2) 10.答案：6　11.答案：(－∞，－1)∪(1，＋∞)　12.答案：48　13.答案：y 2＝8x ，2　三、解答题14.解：设所求抛物线的标准方程为x 2＝2py(p>0)，设A(x 0，y 0)，由题意知M (0，－p 2)，∵|AF|＝3，∴y 0＋p 2＝3，∵|AM|∴x 20＋(y 0＋p 2)2＝17，∴x 20＝8，代入方程x 20＝2py 0得8＝2p (3－p 2)，解得p＝2或p ＝4.∴所求抛物线的标准方程为x 2＝4y 或x 2＝8y.15.(1)证明：联立抛物线C ：y ＝2x 2和直线l ：y ＝kx ＋1，可得2x 2－kx －1＝0，所以Δ＝k 2＋8>0，所以l 与C 必有两交点．(2)解：设A(x 1，y 1)，B(x 2，y 2)，则y 1x 1＋y 2x 2＝1，将y 1＝kx 1＋1，y 2＝kx 2＋1，代入①，得2k ＋(1x 1＋1x 2)＝1，②由(1)可得x 1＋x 2＝k 2，x 1x 2＝－12，代入②得k ＝1.16.解：(1)由抛物线定义知，|FM|＝p 2＋4＝5，所以p ＝2.所以抛物线的方程为x 2＝4y ，又由M(m,4)在抛物线上，所以m＝4.故p＝2，m＝4.(2)设过M点的切线方程为y－4＝k(x－4)，代入抛物线方程消去y得，x2－4kx＋16k－16＝0，其判别式Δ＝16k2－64(k－1)＝0，所以k＝2，切线方程为y＝2x－4，切线与y轴的交点为N(0，－4)，抛物线的焦点F(0,1)，所以S△FMN ＝12|FN|·m＝12×5×4＝10.。

高中试卷-【新教材精创】3.3.2 抛物线的简单几何性质(2)-A基础练(含答案)

3.3.2 抛物线的简单几何性质（2） -A 基础练一、选择题1．（2020·全国高二课时练）A 是抛物线()220y px p =>上的一点，F 为抛物线的焦点，O 为坐标原点，当4AF =时，120OFA Ð=o ,则抛物线的准线方程是（）A ．1x =-B ．1y =-C ．2x =-D ．2y =-【答案】A【解析】过点A 作准线的垂线AC ，过点F 作AC 的垂线FB ，垂足分别为C ，B ，如图．由题意知∠BFA ＝∠OFA －90°＝30°，又因为|AF |＝4，所以|AB |＝2.点A 到准线的距离d ＝|AB |＋|BC |＝p ＋2＝4，解得p ＝2，则抛物线y 2＝4x 的准线方程是x ＝－1.故选A.2．（2020·山东泰安一中高二月考）已知椭圆E 的中心为坐标原点，离心率为12，E 的右焦点与抛物线2:8C y x =的焦点重合，,A B 是C 的准线与E 的两个交点，则AB = ( )A ．3B ．6C ．9D ．12【答案】B【解析】抛物线28y x =的焦点为(2,0),所以椭圆的右焦点为(2,0),即2,c =且1,4,2c a b a ====椭圆的方程为22 1.1612x y +=抛物线准线为2,x =-代入椭圆方程中得(2,3),(2,3), 6.A B AB ---=故选B.3．（2020·北京大兴区高二期末）已知直线y=kx-k 及抛物线y 2=2px (p>0),则 ( )A.直线与抛物线有一个公共点 B.直线与抛物线有两个公共点C.直线与抛物线有一个或两个公共点 D.直线与抛物线可能没有公共点【答案】C【解析】∵直线y=kx-k=k (x-1),∴直线过点(1,0),又点(1,0)在抛物线y 2=2px 的内部,∴当k=0时,直线与抛物线有一个公共点;当k ≠0时,直线与抛物线有两个公共点.4. （2020·全国高二课时练）P 为抛物线y 2=2px 的焦点弦AB 的中点,A ,B ,P 三点到抛物线准线的距离分别是|AA 1|,|BB 1|,|PP 1|,则有 (　)A.|PP 1|=|AA 1|+|BB 1| B.|PP 1|=12|AB|C.|PP 1|>12|AB|D.|PP 1|<12|AB|【答案】B【解析】如图所示,根据题意,PP 1是梯形AA 1B 1B 的中位线,故|PP 1|=12(|AA 1|+|BB 1|)=12(|AF|+|BF|)=12|AB|.5．（多选题）（2020·山东黄岛高二月考）已知抛物线C ：()220y px p =>的焦点为F ，直线的斜F ，直线l 与抛物线C 交于点A ，B 两点（点A 在第一象限）、与抛物线的准线交于点D ，若4AF =，则以下结论正确的是（）A ．2p =B ．F 为AD 中点C ．2BD BF=D ．2BF =【答案】ABC【解析】如图所示：作AC ^准线于C ，AM x ^轴于M ，BE ^准线于E .tan AFM Ð=，3AFM pÐ=，4AF =，故2MF =，AM =2,2p A æ+çè，代入抛物线得到2p =；2NF FM ==，故AMF DNF D @D ，故F 为AD 中点；6BDE pÐ=，故22DB BE BF ==；2BD BF =，4BD BF DF AF +===，故43BF =；故选：ABC .6．（多选题）（2020·江苏南通高二期中）设A ，B 是抛物线2y x =上的两点，O 是坐标原点，下列结论成立的是（）A ．若OA OB ^，则2OA OB ³ B ．若OA OB ^，直线AB 过定点(1,0)C ．若OA OB ^，O 到直线AB 的距离不大于1D ．若直线AB 过抛物线的焦点F ，且13AF =，则||1BF =【答案】ACD【解析】B.设直线AB 方程为y kx b =+，1(A x ，1)y ，2(B x ，2)y ，将直线AB 方程代入抛物线方程2y x =，得20x kx b --=，则12x x k +=，12x x b =-，OA OB ^Q ，1OA OB k k b \=-=-g ，1b =．于是直线AB 方程为1y kx =+，该直线过定点(0,1)．故B 不正确；C.O 到直线AB的距离1d =，即C 正确；A.||||OA OB ======．||||2OA OB \g …正确；D.由题得11111,4312y y +=\=,所以211==12x x \±，x =所以k ==AB的方程为14y x =+，所以14b =.由题得212121211111||()2244222AB y y y y k x x b k b =+++=++=+++=++=1114++=3223.所以41||133BF =-=.所以D 正确.故选：ACD ．二、填空题7．（2020·全国高二课时练）设抛物线24y x =的焦点为F ，准线为l ．P 是抛物线上的一点，过P 作PQ x ^轴于Q ，若3PF =，则线段PQ 的长为__________.【答案】【解析】抛物线的准线方程为1x =-，由于3PF =，根据抛物线的定义可知2P x =，将2P x =代入抛物线方程得28,P y y ==±，所以PQ =.8．（2020·广东汕尾高二期末）已知抛物线C :y 2=4x 的焦点F 和准线l ,过点F 的直线交l 于点A ,与抛物线的一个交点为B ,且FA =3FB ,则|AB|=__________.【答案】83【解析】抛物线C :y 2=4x 的焦点F (1,0)和准线l :x=-1,设A (-1,a ),B (m ,n ),∵FA =3FB ,∴m 12=23,∴m+1=43,AB=83.9.（2020·运城市景胜中学高二月考）已知双曲线C 1：2222x y a b-＝1(a>0，b>0)的离心率为2.若抛物线C 2：x 2＝2py(p>0)的焦点到双曲线C 1的渐近线的距离为2，则抛物线C 2的方程为________．【答案】x 2＝16y【解析】∵双曲线C 1：2222x y a b -＝1(a ＞0，b ＞0)的离心率为2，∴c a ＝2，∴b，＝0，∴抛物线C 2：x 2＝2py(p ＞0)的焦点0,2p æöç÷èø到双曲线的渐近线2，∴p ＝8.∴所求的抛物线方程为x 2＝16y.10.（2020·全国高二单元测）已知抛物线()220y px p =>的焦点为F ，点P 在抛物线上，点9,02Q p æöç÷èø．若2QF PF =，且PQF △的面积为p =______．【答案】2【解析】由条件知,02p F æöç÷èø，所以4QF p =，所以122PF QF p ==，由抛物线的准线为2p x =-，及抛物线的定义可知，P 点的横坐标为3222p p p -=，不妨设点P 在x 轴上方，则P的纵坐标为，所以142PQF S p =´=V ，解得2p =．三、解答题11. （2020乌市一中高二月考）已知抛物线E 的顶点在原点，焦点F 在y 轴正半轴上，抛物线上一点(),4P m 到其准线的距离为5，过点F 的直线l 依次与抛物线E 及圆()2211x y +-=交于A 、C 、D 、B 四点.（1）求抛物线E 的方程；（2）探究AC BD ×是否为定值，若是，求出该定值；若不是，请说明理由；【解析】（1）由题意，设抛物的方程为()220x py p =>，因为抛物线上一点(),4P m 到其准线的距离为5，所以452p+=，解得2p =，所以抛物线的方程为24x y =；（2）由（1）知，抛物线的焦点为()0,1F ，恰好为圆()2211x y +-=的圆心，设直线l 的方程为1y kx =+，设()11,A x y ，()22,B x y ，因为过点F 的直线l 依次与抛物线E 及圆()2211x y +-=交于A 、C 、D 、B 四点，根据抛物线的定义可得，11AF y =+，21BF y =+，则()()1211AC BD AF BF y y ×=-×-=，由214y kx x y=+ìí=î得2440x kx --=，所以124x x =-，因此()22212121214416x x x x AC BD y y ×==×==，即AC BD ×为定值1.12．（2020·湖北黄石高二月考）在平面直角坐标系xOy 中，点到点(1,0)F 的距离比它到y 轴的距离多1，记点的轨迹为.（1）求轨迹为的方程（2）设斜率为的直线l 过定点(2,1)P -，求直线l 与轨迹恰好有一个公共点，两个公共点，三个公共点时的相应取值范围.【解析】（1）设点，依题意，，即，整理的，所以点的轨迹的方程为.（2）在点的轨迹中，记，，依题意，设直线的方程为，由方程组得①当时，此时，把代入轨迹的方程得，所以此时直线与轨迹恰有一个公共点.当时，方程①的判别式为②设直线与轴的交点为，则由，令，得③（ⅰ）若，由②③解得或.即当时，直线与没有公共点，与有一个公共点，故此时直线与轨迹恰有一个公共点.（ⅱ）若或，由②③解得或，即当时，直线与有一个共点，与有一个公共点.当时，直线与有两个共点，与没有公共点.故当时，故此时直线与轨迹恰有两个公共点.（ⅲ）若，由②③解得或，即当时，直线与有两个共点，与有一个公共点.故当时，故此时直线与轨迹恰有三个公共点.k=时直线与轨迹恰有一个公共点；综上所述，当或0当时，故此时直线与轨迹恰有两个公共点；当时，故此时直线与轨迹恰有三个公共点.。

高中数学苏教版 3.3.2 抛物线的几何性质课后练习、课时练习

一、单选题1. 已知抛物线的焦点为为上一点，且在第一象限，直线与的准线交于点，过点且与轴平行的直线与交于点，若，则线段的长度为（）A．4 B．C．2 D．2. 以下几个命题中，其中真命题的序号为（）①过点且与抛物线有一个公共点的直线有且只有两条；②双曲线的渐近线方程为；③在平面内，到定点的距离与到定直线的距离相等的点的轨迹是抛物线；④双曲线与椭圆有相同的焦点．A．①③B．①④C．③④D．②④3. 已知抛物线的焦点为F，抛物线C上一点到焦点F的距离为.则实数p值为（）A．2 B．1C．D．4. 已知双曲线的右焦点到其一条渐近线的距离等于，抛物线的焦点与双曲线的右焦点重合，则抛物线上一动点M到直线和的距离之和的最小值为（）A．B．C．D．5. 给出下列说法：①方程表示一个圆；②若，则方程表示焦点在轴上的椭圆；③已知点、，若，则动点的轨迹是双曲线的右支；④以过抛物线焦点的弦为直径的圆与该抛物线的准线相切.其中正确说法的个数是（）A．1 B．2 C．3 D．46. 已知抛物线：的焦点为，点在抛物线上，为坐标原点，若，则的面积为（）A．B．C．D．二、多选题7. 已知抛物线C：的焦点F到准线l的距离为2，则（）A．焦点F的坐标为B．过点恰有2条直线与抛物线C有且只有一个公共点C．直线与抛物线C相交所得弦长为4D．抛物线C与圆交于M，N两点，则8. 抛物线的准线为，焦点为，且经过点，点关于直线的对称点为点，设抛物线上一动点到直线的距离为，则（）A．B．的最小值为C．直线与抛物线相交所得弦的长度为4D．过点且与抛物线有且只有一个公共点的直线共有两条三、填空题9. 已知F为抛物线C：的焦点，过点F的直线l与抛物线C交于不同的两点A，B，抛物线在点A，B处的切线分别为和，若和交于点P，则的最小值为______．10. 已知抛物线的焦点为，直线与抛物线交于两点，连接并延长，交抛物线于点，若中点的纵坐标为，则当最大时，______．11. 过抛物线的焦点的直线与交于、两点，且，为坐标原点，则的面积为________.12. 已知抛物线上三点，若直线AB，AC的斜率互为相反数，则直线BC的斜率为_________四、解答题13. 已知抛物线的焦点为，直线交抛物线于两点，当直线过点时，点到的准线的距离之和为，线段的中点到轴的距离是4.(1)求抛物线的方程；(2)当时，设抛物线在点处的切线交于点，求证：.14. 已知抛物线的焦点为，且点与圆上点的距离的最大值为.（1）求；（2）若为坐标原点，直线与相交于，两点，问：是否为定值？若为定值，求出该定值;若不为定值，试说明理由15. 已知抛物线C的顶点在原点，对称轴是y轴，焦点F在y轴正半轴，直线l与抛物线C交于A，B两点，线段AB的中点M的纵坐标为2，且．(1)求抛物线C的标准方程；(2)若直线l经过焦点F，求直线l的方程16. 已知抛物线，其焦点F到准线的距离为2.(1)求抛物线的标准方程；(2)若O为坐标原点，斜率为2且过焦点F的直线l交此抛物线于A、B两点，求的面积.。

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