最新2020年上海市高考数学模拟试卷(5)含答案

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上海市2020〖人教版〗高三数学复习试卷模拟试题五及答案

上海市2020年〖人教版〗高三数学复习试卷模拟试题五及答案一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。

在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

(1)设全集}7,5,3,1{=U ，集合,|},5|,1{U M a M ⊆-=M C U =}7,5{，则a 的值为（） A ．2或8- B ．8-或－2 C ．－2或8 D ．2或8 (2)复数4312i i++的实部是（）A ．-2B ．2C ．3D ．4(3) “sin x ＝1”是 “cos x ＝0”的(A) 充分而不必要条件 (B) 必要而不充分条件 (C) 充分必要条件 (D) 既不充分也不必要条件 (4) 在等比数列{a n }中，若a 2＋a 3＝4，a 4＋a 5＝16，则a 8＋a 9＝(A) 128 (B) －128 (C) 256 (D) －256(5)1-=m 是直线03301)12(=++=+-+my x y m mx 和直线垂直的（）A ．充分而不必要条件B ．必要而不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件 (6)设F 是抛物线C 1：y 2＝2px (p ＞0) 的焦点, 点A 是抛物线与双曲线C 2：22221x y a b -=(a ＞0，b ＞0)的一条渐近线的一个公共点，且AF ⊥x 轴，则双曲线的离心率为2(7) 函数axxxxf+--=93)(23（）A．0>a B．0<a C．3010<<-a D．275<<-a(8) 某程序框图如图所示，则该程序运行后输出的S(A) 1 (B)12(C)14(D)18(9) 若实数a，b，c，满足对任意实数x，y有 x＋2y－3≤ax＋by＋c≤x＋2y＋3，则a＋2b－3c的最小值为(A) －6 (B) －4 (C) －2 (D)0(10) 设U为全集，对集合X，Y*”，X*Y＝(X∩Y)．对于任意集合X，Y，Z，则 ( X*Y)*Z＝(A) (X Y)∩Z X∩Y Z X Y )∩Z(D) ( X∩Y )∪Z二、填空题：本大题共7小题，每小题5分，共35分。

2024年高考数学全真模拟试卷五(新高考、新结构)(全解全析)

2024年高考数学全真模拟试卷五（新高考、新结构）一、选择题：本题共8小题,每小题5分,共40分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.1．cos 50cos 70sin 50cos160︒︒+︒︒=（）A ．BC ．12-D ．12【答案】C【解析】cos50cos70sin 50cos160︒︒+︒︒()cos 50cos 70sin 50cos 9070=︒︒+︒︒+︒cos50cos70sin 50sin 70=︒︒-︒︒()1cos 5070cos1202=︒+︒=︒=-.故选C.2．如图，已知集合{}2log 1,{1}A xx B x x =<=<∣∣，则阴影部分表示的集合为（）A ．()1,2B ．[)1,2C ．(]0,1D ．()0,1【答案】B【解析】因为{}{}2log 102,{1}A x x x x B x x =<=<<=<∣∣∣，所以{}01A B xx =<< ∣，(){}12A A B x x ⋂=≤<∣ð，即阴影部分表示的集合为[)1,2，故选B3．已知443243210()x m a x a x a x a x a +=++++，若0123481++++=a a a a a ，则m 的取值可以为（）A ．2B ．1C ．1-D ．2-【答案】A【解析】令1x =，有()443210118m a a a a a ++++==+，即2m =或4m =-.故选A.4．已知ABC 的内角,,A B C 的对边分别为,,a b c ，且3a =，cos (2)cos a B c b A =-，则ABC 面积的最大值为（）A B ．2C ．94D ．92【答案】A【解析】因为cos (2)cos a B c b A =-，由正弦定理可得：sin cos 2sin cos sin cos A B C A B A =-，即()sin 2sin cos A B C A +=，sin 2sin cos C C A =，又()0,πC ∈，sin 0C ≠，故1cos 2A =；由()0,πA ∈，解得π3A =；由余弦定理，结合3a =，可得2219cos 22b c A bc+-==，即2292b c bc bc +=+≥，解得9bc ≤，当且仅当3b c ==时取得等号；故ABC 的面积11sin 922S bc A bc ==⨯3b c ==时取得等号.即ABC 故选A.5．已知点()3,0A ，点P 是抛物线2:4C y x =上任一点，F 为抛物线C 的焦点，则1PA PF +的最小值为（）A B C D 【答案】A【解析】由题意得()1,0F ，抛物线C 的准线方程为=1x -，设(),P x y ，则1PF x =+，PA =12PAPF x =++．令2x μ+=，则2x μ=-，由0x ≥，得2μ≥，所以1PAPF ==+，令1λμ=，则102λ<≤，所以1PA PF =+，故当317λ=，即113x =时，1PA PF +取得最小值17．故选A ．6．如图，现有棱长为6cm 的正方体玉石缺失了一个角，缺失部分为正三棱锥1A EFG -，且,,E F G 分别为棱11111,,A A A B A D 靠近1A 的四等分点，若将该玉石打磨成一个球形饰品，则该球形饰品的体积的最大值为（）A ．3πcm 2B ．336πcmC ．3πcm 2D ．372πcm【答案】B【解析】由题意1113 2A E A F AG===，设点1A到平面EFG的距离为d，而2 EF EG FG=== 122EFGS=⨯=11E AGF A EFGV V--=，得113331322223⨯⨯⨯⨯=，解得2d=，棱长为6的正方体的正方体的内切球的半径为3，棱长为6的正方体体对角线的长度为因为3，所以所求球形体积最大时即为棱长为6的正方体的正方体的内切球，则该球形饰品的体积的最大值为334π336πcm3⨯=.故选B.7．已知椭圆2222:1(0)x yC a ba b+=>>的左、右顶点分别为,A B，左焦点为,F P为椭圆上一点，直线AP与直线x a=交于点,M PFB∠的角平分线与直线x a=交于点N，若PF AB⊥，MAB△的面积是NFB面积的72倍，则椭圆C的离心率是（）A．18B．17C．16D．13【答案】B【解析】根据题意可得()()(),0,,0,,0A aB a F c--，则2AB a=，FB a c=+，又PF AB⊥可得90PFB∠= ，设P点坐标为()0,P c y-，如下图所示：将()0,P c y-代入椭圆方程可得()220221c ya b-+=，解得2bya=；可得()22PAbbaka c a a c==--，直线PA方程为()()2by x aa a c=+-，联立()()2by x aa a cx a⎧=+⎪-⎨⎪=⎩，解得22,bM aa c⎛⎫⎪-⎝⎭，即()(),2M a a c+易知PFB∠的角平分线倾斜角为45 ，斜率为1k=，直线FN方程为y x c=-，联立y x cx a=+⎧⎨=⎩，解得(),N a a c+；所以MAB △的面积为()()1222MAB S AB BM a a c a a c ==⋅+=+ ，NFB 面积为()21122NFB S FB BN a c ==+ ；即()()()227172224a a c a c a c +=⨯+=+，即()724a a c =+，可得7a c =；所以离心率17c e a ==.故选B 8．已知()f x ，()g x 都是定义在R 上的函数，对任意x ，y 满足()()()()()f x y f x g y g x f y -=-，且()()210f f -=≠，则下列说法正确的是（）A ．()01g =-B ．若()12024f =，则20241()2024n f n ==∑C ．函数()21f x -的图像关于直线12x =对称D ．()()111g g +-=-【答案】D【解析】对于A ，令0x y ==，可得()()()()()000000f f g g f =-=，得()00f =，令0y =，1x =，代入已知等式得()()()()()11010f f g g f =-，可得()()()()110100f g g f ⎡⎤-=-=⎣⎦，结合()10f ≠得()100g -=，所以()01g =，故A 错误；对于D ，因为()01g =，令0x =，代入已知等式得()()()()()00f y f g y g f y -=-，将()00f =，()01g =代入上式，得()()f y f y -=-，所以函数()f x 为奇函数.令1x =，1y =-，代入已知等式，得()()()()()21111f f g g f =---，因为()()11f f -=-，所以()()()()2111f f g g =-+⎡⎤⎣⎦，又因为()()()221f f f =--=-，所以()()()()1111f f g g -=-+⎡⎤⎣⎦，因为()10f ≠，所以()()111g g +-=-，故D 正确；对于B ，分别令1y =-和1y =，代入已知等式，得以下两个等式：()()()()()111f x f x g g x f +=---，()()()()()111f x f x g g x f -=-，两式相加易得()()()11f x f x f x ++-=-，所以有()()()21f x f x f x ++=-+，即()()()12f x f x f x =-+-+，有()()()()()()11120f x f x f x f x f x f x -+=++--+-+=，即()()12f x f x -=+，所以()f x 为周期函数，且周期为3，因为()12024f =，所以()22024f -=，所以()()222024f f =--=-，()()300f f ==，所以()()()1230f f f ++=，所以()()()()()202411232024n f n f f f f ==++++∑ ()()()()020********f f f f =++==，故B 错误；对于C ，取()2πsin3f x x =，()2πcos 3g x x =，满足()()()()()f x y f x g y g x f y -=-及()()210f f -=≠，所以()()2π21sin213f x x -=-，又()0sin 00f ==，所以函数()21f x -的图像不关于直线12x =对称，故C 错误；故选D.二、选择题：本题共3小题,每小题6分,共18分.在每小题给出的选项中,有多项符合题目要求.全部选对的得6分,部分选对的得部分分,有选错的得0分.9．在复平面内，复数112z =对应的点为A ，复数211z z =-对应的点为B ，下列说法正确的是（）A ．121z z ==B ．2121z z z ⋅=C ．向量AB对应的复数是1D ．12AB z z =- 【答案】AD【解析】因为112z =，所以212z =-，所以11,,,22A B ⎛⎛- ⎝⎭⎝⎭，121z z ==，A 正确；22121111222z z ⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎫⎛⎫⎢⎥⋅=--=--=- ⎪⎪⎪ ⎪ ⎪⎪⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦，B 错误；由上可得()1,0AB =- ，对应复数为1-，C 错误；1211i i 12222z z ⎛⎫-=---= ⎪ ⎪⎝⎭，1AB = ，D 正确.故选AD10．已知二面角A CD B --的大小为2π3，AC CD ⊥，BD CD ⊥，且1CD =，2AC BD +=，则（）A ．ABD △是钝角三角形B ．异面直线AD 与BC 可能垂直C ．线段AB 长度的取值范围是⎡⎣D ．四面体A BCD -【答案】AC【解析】对于选项A ：由题意可知，0BD CD ⋅= ，二面角A CD B --的大小为2π3，AC CD ⊥，BD CD ⊥，所以2π,3CA DB = ，所以()2πcos 03DA DB DC CA DB CA DB CA DB ⋅=+⋅=⋅=< ，所以ADB ∠是钝角，即ABD △是钝角三角形，故A 正确；对于选项B ：由题意知，0BD CD ⋅= ，0AC CD ⋅=，2π,3CA DB = ，1CD = ，所以()()22πcos 103AD BC AC CD BD CD AC BD CD AC BD ⋅=+⋅-=⋅-=-< ，所以异面直线AD 与BC 不可能垂直，故B 错误；对于选项C ：由题意可知，0BD CD ⋅= ，0AC CD ⋅=，1CD = ，所以()222222AB AC CD DBAC CD DB AC DB =++=+++⋅ 221AC DB AC DB =+++()21AC DBAC DB =+-+．设AC x =，由2AC BD +=，得2BD x =-，其中02x <<，所以()2222514AB x x x =-+=-+ ，所以245AB ≤< ，则线段AB 长度的取值范围是⎡⎣，故C 正确；对于选项D ：如图，过点A 作平面BCD 的垂线，垂足为E ，则πsin3AE AC =⋅，由题意，可知四面体A BCD -的体积为11πsin 323CD BD AC ⨯⨯⨯⨯⨯21212212AC BD AC BD +⎛⎫=⋅≤⨯= ⎪⎝⎭，当且仅当1AC BD ==时，等号成立，故D 错误．故选AC.11．已知函数()()212cos1tan 2xf x x =-+，则下列说法正确的是（）A ．π2是()f x 的一个周期B ．()f x 的值域是⎡⎣C ．若()f x 在区间π,4t ⎛⎫- ⎪⎝⎭上有最小值，没有最大值，则t 的取值范围是π0,4⎛⎤⎝⎦D ．若方程()f x a =在区间ππ,42⎛⎫- ⎪⎝⎭上有3个不同的实根()123123,,x x x x x x <<，则()()12332x x x f x ++的取值范围是π44⎛⎫⎪ ⎪⎝⎭【答案】BC【解析】因为()()()212cos1tan cos 1tan sin cos 2xf x x x x x x =-+=+=+，由题意可知：()f x 的定义域为π|π,2A x x k k ⎧⎫=≠+∈⎨⎬⎩⎭Z ，关于原点对称，且()()()()sin cos sin cos f x x x x x f x -=-+-=+=，可得()f x 为偶函数，对于选项A ：因为π0,2A A ∈∉，可知π2不是()f x 的一个周期，又因为()()()()πsin πcos πsin cos f x x x x x f x +=+++=+=，可知π是()f x 的一个周期，故A 错误；对于选项B ：当π0,2x ⎡⎫∈⎪⎢⎣⎭，则sin 0,cos 0x x ≥>，可得()πsin cos 4f x x x x ⎛⎫=+=+ ⎪⎝⎭，因为π0,2x ⎡⎫∈⎪⎢⎣⎭，则ππ3π,444x ⎡⎫+∈⎪⎢⎣⎭，可知：当ππ44x +=，即0x =时，()f x ；当ππ42x +=，即π4x =时，()f x 取到最大值1；所以()f x ⎡∈⎣，结合偶函数和周期性可知()f x 的值域是⎡⎣，故B 正确；对于选项C ：因为π,4x t ⎛⎫∈- ⎪⎝⎭，由选项B 可知：π04t <≤，故C 正确；对于选项D ：方程()f x a =的实根即为()y f x =与y a =的交点横坐标，作出()f x 在ππ,42⎛⎫- ⎪⎝⎭的图象，如图所示：由题意结合图象可知：(12233πππ,0,,,242a x x x x x ⎛⎫∈+=+=∈ ⎪⎝⎭，则()()12333ππ2sin 24x x x f x x ⎛⎫++=+ ⎪⎝⎭，因为3ππ,42x ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，则3ππ3π,424x ⎛⎫+∈ ⎪⎝⎭，可得3πsin ,142x ⎫⎛⎫+∈⎪ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭，所以()()12333πππ2sin ,2442x x x f x x ⎛⎫⎛⎫++=+∈ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，故D 错误；故选BC.三、填空题：本题共3小题,每小题5分,共15分.12．已知向量()1,0a = ，()1,1b = ，若a b λ+ 与b垂直，则λ=.【答案】12-【解析】因为()1,0a = ，()1,1b = ，所以()1,a b λλλ+=+ ，又a b λ+ 与b垂直，所以()10a b b λλλ+⋅=++= ，解得12λ=-.13．举重比赛的规则是：挑战某一个重量，每位选手可以试举三次，若三次均未成功则挑战失败；若有一次举起该重量，则无需再举，视为挑战成功，已知甲选手每次能举起该重量的概率是23，且每次试举相互独立，互不影响，设试举的次数为随机变量X ，则X 的数学期望()E X =；已知甲选手挑战成功，则甲是第二次举起该重量的概率是．【答案】139；313【解析】依题意随机变量X 的可能取值为1、2、3，则()213P X ==；()22221339P X ⎛⎫==-⨯= ⎪⎝⎭；()2213139P X ⎛⎫==-= ⎪⎝⎭，所以随机变量X 的概率分布为X123P232919所以随机变量X 的期望为()221131233999E X =⨯+⨯+⨯=.记“第i 次举起该重量”分别为事件,1,2,3i A i =，“甲选手挑战成功”为事件B ，则()3123226()111327P B P A A A ⎛⎫=-=--= ⎪⎝⎭，()()()21212222()1339P A B P A A P A P A ⎛⎫===-⨯= ⎪⎝⎭,所以()()()223|13P A B P A B P B ==，所以甲选手挑战成功，则甲是第二次举起该重量的概率为313.14．已知对任意()12,0,x x ∈+∞，且当12x x <时，都有：()212112ln ln 11a x x x x x x -<+-，则a 的取值范围是.【答案】(],2-∞【解析】因为对任意()12,0,x x ∈+∞，且当12x x <时()212112ln ln 11a x x x x x x -<+-恒成立，所以21212112ln ln x x a x a x x x x x --<-+恒成立，所以21211211ln ln a x a x x x x x -<-+-恒成立，所以22112111ln ln a x x a x x x x -+<-+恒成立①，令()()1ln ,0,f x a x x x x∞=-+∈+，由①式可得()()21f x f x <，所以()f x 在()0,∞+上单调递减，所以()2210x ax f x x-+'=-≤在()0,∞+上恒成立，所以210x ax -+≥在()0,∞+上恒成立，所以1a xx ≤+在()0,∞+上恒成立，又12x x +≥=，当且仅当1x x=，即1x =时取等号，2a ∴≤.三、解答题：本题共5小题,共77分,解答应写出文字说明,证明过程和解题步骤.15．（13分）已如曲线()()22ln ,f x ax x x b a b =+-+∈R 在2x =处的切线与直线210x y ++=垂直.(1)求a 的值；(2)若()0f x ≥恒成立，求b 的取值范围.【解析】（1）由于210x y ++=的斜率为12-，所以()22f '=，（2分）又()221f x ax x '=+-,故()224122f a '=+-=，解得12a =。

2020届上海市高考模拟数学试题(解析版)

【详解】
由题意得：，解得，
设渐近线，则，所以 ,
又因为，故 .
故答案为： .
【点睛】
本题考查双曲线的标准方程及渐近线的应用，较简单.解答时，注意数形结合，利用几何法求解.
8．某学校高三年级有、两个自习教室，甲、乙、丙名学生各自随机选择其中一个教室自习，则甲、乙两人不在同一教室上自习的概率为________.
2020届上海市高考模拟数学试题
一、单选题
1．在平面直角坐标系内，到点和直线：距离相等的点的轨迹是（）
A．直线B．抛物线C．椭圆D．双曲线
【答案】A
【解析】根据已知判断点A是否在直线上，即可结合抛物线的定义判断正确选项.
【详解】
由题意，点在直线上，即动点到点A的距离与动点到直线的距离相等，
【详解】
因为，，
所以，
故答案为： .
【点睛】
本题考查对数不等式等比数列的前项和为，且满足，则 ______．
【答案】
【解析】先由行列式的计算求得，再根据数列的前n项与通项的关系求得，由等比数列的定义可求得答案.
【详解】
因为，所以，所以，，，又因为数列是等比数列，所以，即，解得，
所以，解得，
又由，解得，
所以， .
故选：D.
【点睛】
本题主要考查了三角函数值的计算，以及函数的单调性与对称性的应用，根据三角函数的符号，求得函数的单调性与对称性是解答的关键，着重考查了分析问题和解答问题的能力，属于较难题.
二、填空题
5．已知集合，，则 ______．
【答案】
【解析】先解对数不等式和分式不等式求得集合A、B，再根据交集定义求得结果.

2020高考数学(文)冲刺刷题首先练辑：第三部分 2020高考仿真模拟卷(五) Word版含解析

2020高考仿真模拟卷(五)一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．设全集U ＝R ，集合A ＝{x |(2x －1)(x －3)<0}，B ＝{x |(x －1)(x －4)≤0}，则(∁U A )∩B ＝( )A ．[1,3)B ．(－∞，1)∪[3，＋∞)C ．[3,4]D ．(－∞，3)∪(4，＋∞) 答案 C 解析因为集合A ＝⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x ⎪⎪⎪12<x <3，B ＝{x |1≤x ≤4}，所以∁U A ＝⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x ⎪⎪⎪x ≤12或x ≥3，所以(∁U A )∩B ＝{x |3≤x ≤4}． 2．在复平面内，复数z ＝4－7i2＋3i (i 是虚数单位)，则z 的共轭复数z －在复平面内对应的点位于( )A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限答案 B解析因为z ＝4－7i 2＋3i ＝(4－7i )(2－3i )13＝－13－26i13＝－1－2i ，所以z 的共轭复数z －＝－1＋2i 在复平面内对应的点(－1,2)位于第二象限．3．在△ABC 中，点D 在边AB 上，且BD→＝12DA →，设CB →＝a ，CA →＝b ，则CD →＝( )A.13a ＋23bB.23a ＋13bC.35a ＋45bD.45a ＋35b 答案 B解析因为BD→＝12DA →，CB →＝a ，CA →＝b ，故CD →＝a ＋BD →＝a ＋13BA →＝a ＋13(b －a )＝23a ＋13b .4．(2019·济南模拟)在平面直角坐标系xOy 中，与双曲线x 24－y 23＝1有相同的渐近线，且位于x 轴上的焦点到渐近线的距离为3的双曲线的标准方程为( )A.x 29－y 24＝1B.x 28－y 29＝1 C.x 212－y 29＝1 D.x 216－y 212＝1 答案 C解析与双曲线x 24－y 23＝1有相同的渐近线的双曲线的方程可设为x 24－y 23＝λ(λ≠0)，因为该双曲线的焦点在x 轴上，故λ>0.又焦点(7λ，0)到渐近线y ＝32x 的距离为3，所以21λ7＝3，解得λ＝3.所以所求双曲线的标准方程为x 212－y 29＝1.5．若正项等比数列{a n }满足a n a n ＋1＝22n (n ∈N *)，则a 6－a 5的值是( ) A. 2 B ．－16 2 C ．2 D ．162 答案 D解析因为a n a n ＋1＝22n(n ∈N *)，所以a n ＋1a n ＋2＝22n ＋2(n ∈N *)，两式作比可得a n ＋2an＝4(n ∈N *)，即q 2＝4，又a n >0，所以q ＝2，因为a 1a 2＝22＝4，所以2a 21＝4，所以a 1＝2，a 2＝22，所以a 6－a 5＝(a 2－a 1)q 4＝16 2.6．某几何体的三视图如图所示(单位：cm)，其俯视图为等边三角形，则该几何体的体积(单位：cm 3)是( )A ．4 3 B.1033 C ．2 3 D.833 答案 B解析由三视图还原几何体如图所示，该几何体为直三棱柱截去一个三棱锥H －EFG ，三角形ABC 的面积S ＝12×2×22－12＝ 3.∴该几何体的体积V ＝3×4－13×3×2＝1033.7．执行如图所示的程序框图，若输出的结果是59，则判断框中可填入的条件是( )A ．i <10?B ．i <9?C ．i >8?D ．i <8? 答案 B解析由程序框图的功能可得S ＝1×⎝ ⎛⎭⎪⎫1－122×⎝ ⎛⎭⎪⎫1－132×…×⎣⎢⎡⎦⎥⎤1－1(i ＋1)2＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1－12×⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋12×⎝ ⎛⎭⎪⎫1－13×⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋13×…×⎝ ⎛⎭⎪⎫1－1i ＋1⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋1i ＋1＝12×32×23×43×…×ii ＋1×i ＋2i ＋1＝i ＋22i ＋2＝59，所以i ＝8，i ＋1＝9，故判断框中可填入i <9？.8．现有大小形状完全相同的4个小球，其中红球有2个，白球与蓝球各1个，将这4个小球排成一排，则中间2个小球不都是红球的概率为( )A.16B.13C.56D.23 答案 C解析设白球为A ，蓝球为B ，红球为C ，则不同的排列情况为ABCC ，ACBC ，ACCB ，BACC ，BCAC ，BCCA ，CABC ，CACB ，CBCA ，CBAC ，CCAB ，CCBA 共12种情况，其中红球都在中间的有ACCB ，BCCA 两种情况，所以红球都在中间的概率为212＝16，故中间两个小球不都是红球的概率为1－16＝56.9．(2019·东北三省三校一模)圆周率是圆的周长与直径的比值，一般用希腊字母π表示．早在公元480年左右，南北朝时期的数学家祖冲之就得出精确到小数点后7位的结果，他是世界上第一个把圆周率的数值计算到小数点后第七位的人，这比欧洲早了约1000年．在生活中，我们也可以通过设计下面的实验来估计π的值：从区间[－1，1]内随机抽取200个数，构成100个数对(x ，y )，其中满足不等式y ＞ 1－x 2的数对(x ，y )共有11个，则用随机模拟的方法得到的π的近似值为( )A.7825B.7225C.257D.227 答案 A解析在平面直角坐标系中作出边长为1的正方形和单位圆，则符合条件的数对表示的点在x 轴上方、正方形内且在圆外的区域，区域面积为2－π2，由几何概型概率公式可得2－π22×2≈11100，解得π≈7825.故选A.10．(2018·全国卷Ⅱ)在长方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，AB ＝BC ＝1，AA 1＝3，则异面直线AD 1与DB 1所成角的余弦值为( )A.15B.55C.56D.22 答案 B解析解法一：(平行线法)如图1，取DB 1的中点O 和AB 的中点M ，连接OM ，DM ，则MO ∥AD 1，∠DOM 为异面直线AD 1与DB 1所成的角．依题意得DM 2＝DA 2＋AM 2＝1＋⎝ ⎛⎭⎪⎫122＝54.OD 2＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12DB 12＝14×(1＋1＋3)＝54，OM 2＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12AD 12＝14×(1＋3)＝1.∴cos ∠DOM ＝OD 2＋OM 2－DM 22·OD ·OM ＝54＋1－542×52×1＝15＝55.解法二：(割补法)如图2，在原长方体后面补一个全等的长方体CDEF －C 1D 1E 1F 1，连接DE 1，B 1E 1.∵DE 1∥AD 1，∴∠B 1DE 1就是异面直线AD 1与DB 1所成的角．DE 21＝AD 21＝4，DB 21＝12＋12＋(3)2＝5. B 1E 21＝A 1B 21＋A 1E 21＝1＋4＝5.∴在△B 1DE 1中，由余弦定理得cos ∠B 1DE 1＝DE 21＋DB 21－B 1E 212·DE 1·DB 1＝4＋5－52×2×5＝445＝55，即异面直线AD 1与DB 1所成角的余弦值为55.11．如图所示，椭圆有这样的光学性质：从椭圆的一个焦点发出的光线，经椭圆反射后，反射光线经过椭圆的另一个焦点．根据椭圆的光学性质解决下题：已知曲线C 的方程为x 2＋4y 2＝4，其左、右焦点分别是F 1，F 2，直线l 与椭圆C切于点P ，且|PF 1|＝1，过点P 且与直线l 垂直的直线l ′与椭圆长轴交于点M ，则|F 1M |∶|F 2M |＝()A.2∶ 3 B ．1∶ 2 C ．1∶3 D ．1∶3 答案 C解析由椭圆的光学性质可知，直线l ′平分∠F 1PF 2，因为S △PF 1M S △PF 2M ＝|F 1M ||F 2M |，又S △PF 1M S △PF 2M ＝12|PF 1||PM |sin ∠F 1PM 12|PF 2||PM |sin ∠F 2PM ＝|PF 1||PF 2|，故|F 1M ||F 2M |＝|PF 1||PF 2|.由|PF 1|＝1，|PF 1|＋|PF 2|＝4，得|PF 2|＝3，故|F 1M |∶|F 2M |＝1∶3.12．设x 1，x 2分别是函数f (x )＝x －a －x 和g (x )＝x log a x －1的零点(其中a >1)，则x 1＋4x 2的取值范围是( )A ．[4，＋∞)B ．(4，＋∞)C ．[5，＋∞)D ．(5，＋∞) 答案 D解析令f (x )＝x －a －x ＝0，则1x ＝a x ，所以x 1是指数函数y ＝a x (a >1)的图象与y ＝1x 的图象的交点A 的横坐标，且0<x 1<1，同理可知x 2是对数函数y ＝log a x (a >1)的图象与y ＝1x 的图象的交点B 的横坐标．由于y ＝a x 与y ＝log a x 互为反函数，从而有x 1＝1x 2，所以x 1＋4x 2＝x 1＋4x 1.由y ＝x ＋4x 在(0,1)上单调递减，可知x 1＋4x 2>1＋41＝5，故选D.二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．13．设某总体是由编号为01,02，…，19,20的20个个体组成，利用下面的随机数表选取6个个体，选取方法是从随机数表第1行的第3列数字开始从左到右依次选取两个数字，则选出来的第6个个体编号为________．1818 0792 4544 1716 5809 7983 8619...第1行6206 7650 0310 5523 6405 0526 6238 (2)答案 19解析由题意，从随机数表第1行的第3列数字1开始，从左到右依次选取两个数字的结果为：18,07,17,16,09,19，…，故选出来的第6个个体编号为19.14．(2019·湖南师范大学附中模拟三)若函数f (x )＝2sin(ωx ＋φ)(ω>0，φ＞0,0＜φ＜π)的图象经过点⎝ ⎛⎭⎪⎫π6，2，且相邻两条对称轴间的距离为π2，则f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4的值为________．答案3解析由题意得2πω＝π，∴ω＝2，则f (x )＝2sin(2x ＋φ)，又函数的图象经过点⎝ ⎛⎭⎪⎫π6，2，则sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π3＋φ＝1，∵0＜φ＜π，∴φ＝π6，即f (x )＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π6，则f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2＋π6＝ 3.15．已知抛物线y 2＝2px (p >0)的准线方程为x ＝－2，点P 为抛物线上的一点，则点P 到直线y ＝x ＋3的距离的最小值为________．答案 22解析由题设得抛物线方程为y 2＝8x ，设P 点坐标为P (x ，y )，则点P 到直线y ＝x ＋3的距离为 d ＝|x －y ＋3|2＝|8x －8y ＋24|82＝|y 2－8y ＋24|82＝|(y －4)2＋8|82≥22，当且仅当y ＝4时取最小值22.16．(2019·南宁摸底考试)在数列{a n }中，a 1＝－2，a n a n －1＝2a n －1－1(n ≥2，n ∈N *)，数列{b n }满足b n ＝1a n －1，则数列{a n }的通项公式为a n ＝________，数列{b n }的前n 项和S n 的最小值为________．答案3n －13n －4－13 解析由题意知，a n ＝2－1a n －1(n ≥2，n ∈N *)，∴b n ＝1a n －1＝1⎝ ⎛⎭⎪⎫2－1a n －1－1＝a n －1a n －1－1＝1＋1a n －1－1＝1＋b n －1，即b n －b n －1＝1(n ≥2，n ∈N *)．又b 1＝1a 1－1＝－13，∴数列{b n }是以－13为首项，1为公差的等差数列，∴b n ＝n －43，即1a n －1＝n －43，∴a n ＝3n －13n －4.又b 1＝－13＜0，b 2＝23＞0，∴S n 的最小值为S 1＝b 1＝－13.三、解答题：共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．第17～21题为必考题，每个试题考生都必须作答．第22、23题为选考题，考生根据要求作答．(一)必考题：共60分．17．(本小题满分12分)在△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c .已知A ≠π2，且3sin A cos B ＋12b sin2A ＝3sin C .(1)求a 的值；(2)若A ＝2π3，求△ABC 周长的最大值．解 (1)由3sin A cos B ＋12b sin2A ＝3sin C ，得3sin A cos B ＋b sin A cos A ＝3sin C ，由正弦定理，得3a cos B ＋ab cos A ＝3c ，由余弦定理，得3a ·a 2＋c 2－b 22ac ＋ab ·b 2＋c 2－a 22bc ＝3c ，整理得(b 2＋c 2－a 2)(a －3)＝0，因为A ≠π2，所以b 2＋c 2－a 2≠0，所以a ＝3.(另解：由sin C ＝sin(A ＋B )＝sin A cos B ＋cos A sin B 代入条件变形即可)6分 (2)在△ABC 中，A ＝2π3，a ＝3，由余弦定理得，9＝b 2＋c 2＋bc ，因为b 2＋c 2＋bc ＝(b ＋c )2－bc ≥(b ＋c )2－⎝⎛⎭⎪⎫b ＋c 22＝34(b ＋c )2，所以34(b ＋c )2≤9，即(b ＋c )2≤12，所以b ＋c ≤23，当且仅当b ＝c ＝3时，等号成立．故当b ＝c ＝3时，△ABC 周长的最大值为3＋2 3.12分18．(2019·黑龙江齐齐哈尔市二模)(本小题满分12分)某县共有户籍人口60万，经统计，该县60岁及以上、百岁以下的人口占比为13.8%，百岁及以上老人15人．现从该县60岁及以上、百岁以下的老人中随机抽取230人，得到如下频数分布表：解他们的生活状况，则80岁及以上老人应抽多少人？(2)从(1)中所抽取的80岁及以上老人中，再随机抽取2人，求抽到90岁及以上老人的概率；(3)该县按省委办公厅、省人民政府办公厅《关于加强新时期老年人优待服务工作的意见》精神，制定如下老年人生活补贴措施，由省、市、县三级财政分级拨款：①本县户籍60岁及以上居民，按城乡居民养老保险实施办法每月领取55元基本养老金；②本县户籍80岁及以上老年人额外享受高龄老人生活补贴． (a)百岁及以上老年人，每人每月发放345元的生活补贴；(b)90岁及以上、百岁以下老年人，每人每月发放200元的生活补贴； (c)80岁及以上、90岁以下老年人，每人每月发放100元的生活补贴．试估计政府执行此项补贴措施的年度预算．解 (1)样本中70岁及以上老人共105人，其中80岁及以上老人30人，所以应抽取的21人中，80岁及以上老人应抽30×21105＝6人.3分(2)在(1)中所抽取的80岁及以上的6位老人中，90岁及以上老人1人，记为A ，其余5人分别记为B ，C ，D ，E ，F ，从中任取2人，基本事件共15个：(A ，B )，(A ，C )，(A ，D )，(A ，E )，(A ，F )，(B ，C )，(B ，D )，(B ，E )，(B ，F )，(C ，D )，(C ，E )，(C ，F )，(D ，E )，(D ，F )，(E ，F )，这15个基本事件发生的可能性相等.6分记“抽到90岁及以上老人”为事件M ，则M 包含5个基本事件，所以P (M )＝515＝13.8分(3)样本中230人的月预算为230×55＋25×100＋5×200＝16150(元)，10分用样本估计总体，年预算为⎝ ⎛⎭⎪⎫16150×6×105×13.8%230＋400×15×12＝6984×104(元)．所以政府执行此项补贴措施的年度预算为6984万元.12分19．(2019·湖南长沙长郡中学一模)(本小题满分12分)如图，在多边形ABPCD 中(图1)，四边形ABCD 为长方形，△BPC 为正三角形，AB ＝3，BC ＝32，现以BC 为折痕将△BPC 折起，使点P 在平面ABCD 内的射影恰好在AD 上(图2)．(1)证明：PD ⊥平面P AB ；(2)若点E 在线段PB 上，且PE ＝13PB ，当点Q 在线段AD 上运动时，求三棱锥Q －EBC 的体积．解 (1)证明：过点P 作PO ⊥AD ，垂足为O . 由于点P 在平面ABCD 内的射影恰好在AD 上，∴PO ⊥平面ABCD ，∴PO ⊥AB ，∵四边形ABCD 为矩形，∴AB ⊥AD ，又AD ∩PO ＝O ，∴AB ⊥平面P AD ，2分∴AB ⊥PD ，AB ⊥P A ，又由AB ＝3，PB ＝32，可得P A ＝3，同理PD ＝3，又AD ＝32，∴P A 2＋PD 2＝AD 2， ∴P A ⊥PD ，且P A ∩AB ＝A ， ∴PD ⊥平面P AB .5分(2)设点E 到底面QBC 的距离为h ，则V Q －EBC ＝V E －QBC ＝13S △QBC ×h ，由PE ＝13PB ，可知BE BP ＝23，7分∴h PO ＝23，∵P A ⊥PD ，且P A ＝PD ＝3， ∴PO ＝P A ·PD AD ＝322，∴h ＝23×322＝2，9分又S △QBC ＝12×BC ×AB ＝12×32×3＝922， ∴V Q －EBC ＝13S △QBC ×h ＝13×922×2＝3.12分20．(本小题满分12分)抛物线y 2＝4x 的焦点为F ，过F 的直线交抛物线于A ，B 两点．(1)若点T (－1,0)，且直线AT ，BT 的斜率分别为k 1，k 2，求证：k 1＋k 2为定值； (2)设A ，B 两点在抛物线的准线上的射影分别为P ，Q ，线段PQ 的中点为R ，求证：AR ∥FQ .证明 (1)设直线AB ：my ＝x －1，A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)， ⎩⎨⎧ my ＝x －1，y 2＝4x ，可得y 2－4my －4＝0，⎩⎨⎧y 1＋y 2＝4m ，y 1y 2＝－4，3分 k 1＋k 2＝y 1x 1＋1＋y 2x 2＋1＝y 1(x 2＋1)＋y 2(x 1＋1)(x 1＋1)(x 2＋1)＝y 1x 2＋y 2x 1＋(y 1＋y 2)(x 1＋1)(x 2＋1)＝y 1(my 2＋1)＋y 2(my 1＋1)＋(y 1＋y 2)(my 1＋1＋1)(my 2＋1＋1)＝2my 1y 2＋2(y 1＋y 2)(my 1＋2)(my 2＋2)＝2m (－4)＋2×4m(my 1＋2)(my 2＋2)＝0.6分(2)A (x 1，y 1)，P (－1，y 1)，Q (－1，y 2)，R ⎝ ⎛⎭⎪⎫－1，y 1＋y 22，F (1,0)， k AR ＝y 1＋y 22－y 1－1－x 1＝y 1－y 221＋x 1＝y 1－y 22(1＋x 1)，k QF ＝y 2－0－1－1＝－y 22，8分k AR －k QF ＝y 1－y 22(1＋x 1)＋y 22＝y 1－y 2＋y 2(1＋x 1)2(1＋x 1)＝y 1－y 2＋y 2(my 1＋2)2(1＋x 1)＝(y 1＋y 2)＋my 1y 22(1＋x 1)＝4m ＋m ×(－4)2(1＋x 1)＝0，即k AR ＝k QF ，所以直线AR 与直线FQ 平行.12分21．(2019·山东潍坊一模)(本小题满分12分)已知函数f (x )＝x ln x －(a ＋1)x ，g (x )＝f (x )－a ⎝ ⎛⎭⎪⎫12x 2－x －1，a ∈R .(1)当x ＞1时，求f (x )的单调区间；(2)设F (x )＝e x ＋x 3＋x ，若x 1，x 2为函数g (x )的两个不同极值点，证明：F (x 1x 22)＞F (e 2)．解 (1)f ′(x )＝1＋ln x －a －1＝ln x －a ，若a ≤0，x ∈(1，＋∞)，f ′(x )＞0，f (x )单调递增，若a ＞0，由ln x －a ＝0，解得x ＝e a ，2分且x ∈(1，e a )，f ′(x )＜0，f (x )单调递减， x ∈(e a ，＋∞)，f ′(x )＞0，f (x )单调递增．综上，当a ≤0时，f (x )的单调递增区间为(1，＋∞)；当a ＞0时，f (x )的单调递增区间为()e a，＋∞，单调递减区间为(1，e a ).5分 (2)证明：F ′(x )＝e x ＋3x 2＋1＞0，故F (x )在R 上单调递增，即证x 1x 22＞e 2，也即证ln x 1＋2ln x 2＞2，又g (x )＝x ln x －ax －x －a 2x 2＋ax ＋a ＝x ln x －a2x 2－x ＋a ，g ′(x )＝1＋ln x －ax －1＝ln x －ax ，所以x 1，x 2为方程ln x ＝ax 的两根，即⎩⎨⎧ln x 1＝ax 1， ①ln x 2＝ax 2， ②即证ax 1＋2ax 2＞2，即a (x 1＋2x 2)＞2，而①－②得a ＝ln x 1－ln x 2x 1－x 2，8分即证ln x 1－ln x 2x 1－x 2·(x 1＋2x 2)＞2，则证ln x 1x 2·x 1＋2x 2x 1－x 2＞2，变形得ln x 1x 2·x 1x 2＋2x 1x 2－1＞2，不妨设x 1＞x 2，t ＝x 1x 2＞1，即证ln t ·t ＋2t －1＞2，整理得ln t －2(t －1)t ＋2＞0，设h (t )＝ln t －2(t －1)t ＋2，则h ′(t )＝1t －6(t ＋2)2＝t 2－2t ＋4t (t ＋2)2＝(t －1)2＋3t (t ＋2)2＞0，∴h (t )在(1，＋∞)上单调递增，h (t )＞h (1)＝0，即结论成立.12分(二)选考题：共10分．请考生在第22、23题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分．22．(本小题满分10分)选修4－4：坐标系与参数方程在平面直角坐标系xOy 中，以原点O 为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C 1的方程为x 22＋y 2＝1，曲线C 2的参数方程为⎩⎨⎧x ＝cos φ，y ＝1＋sin φ(φ为参数)，曲线C 3的方程为y ＝x tan α⎝ ⎛⎭⎪⎫0<α<π2，x >0，曲线C 3与曲线C 1，C 2分别交于P ，Q 两点．(1)求曲线C 1，C 2的极坐标方程； (2)求|OP |2·|OQ |2的取值范围．解 (1)因为x ＝ρcos θ，y ＝ρsin θ，所以曲线C 1的极坐标方程为 ρ2cos 2θ2＋ρ2sin 2θ＝1，即ρ2＝21＋sin 2θ，2分由⎩⎨⎧x ＝cos φ，y ＝1＋sin φ(φ为参数)，消去φ，即得曲线C 2的直角坐标方程为x 2＋(y －1)2＝1，将x ＝ρcos θ，y ＝ρsin θ，代入化简，可得曲线C 2的极坐标方程为ρ＝2sin θ.5分 (2)曲线C 3的极坐标方程为θ＝α⎝ ⎛⎭⎪⎫ρ>0，0<α<π2.6分由(1)得|OP |2＝21＋sin 2α，|OQ |2＝4sin 2α，即|OP |2·|OQ |2＝8sin 2α1＋sin 2α＝81sin 2α＋1，8分因为0<α<π2，所以0<sin α<1，所以|OP |2·|OQ |2∈(0,4).10分23．(本小题满分10分)选修4－5：不等式选讲已知函数f (x )＝|x －5|－|x ＋3|. (1)解关于x 的不等式f (x )≥x ＋1；(2)记函数f (x )的最大值为m ，若a >0，b >0，e a ·e 4b ＝e 2ab －m ，求ab 的最小值．解 (1)当x ≤－3时，由5－x ＋x ＋3≥x ＋1，得x ≤7，所以x ≤－3；当－3<x <5时，由5－x －x －3≥x ＋1，得x ≤13，所以－3<x ≤13；当x ≥5时，由x －5－x －3≥x ＋1，得x ≤－9，无解.4分综上可知，x ≤13，即不等式f (x )≥x ＋1的解集为⎝ ⎛⎦⎥⎤－∞，13.5分(2)因为|x －5|－|x ＋3|≤|x －5－x －3|＝8，所以函数f (x )的最大值m ＝8.6分因为e a ·e 4b ＝e 2ab －8，所以a ＋4b ＝2ab －8.又a >0，b >0，所以a ＋4b ≥24ab ＝4ab ，当且仅当a ＝4b 时，等号成立，7分所以2ab －8－4ab ≥0，即ab －4－2ab ≥0. 所以有(ab －1)2≥5.8分又ab >0，所以ab ≥1＋5或ab ≤1－5(舍去)，ab≥6＋25，即ab的最小值为6＋2 5.10分。

【精品高考数学】[2020年上海高考仿真模拟卷-数学]+答案

2020年上海高考仿真模拟卷数学 2020.4满分：150分考试时间：120分钟第Ⅰ卷（选择题共60分）一、填空题（本大题满分54分）本大题共有12题，考生应在答题纸相应编号的空格内直接填写结果．每个空格填对得4分，否则一律得零分．1．已知集合{}11M =-，，11242x N xx +⎧⎫=<<∈⎨⎬⎩⎭Z ，，则M N =I __ ． 2.已知复数z 在复平面内对应点是()12-，，i 为虚数单位，则21z z +=-__ ． 3. 一个袋子里装有大小相同的黑球和白球共6个，已知从袋中任意摸出1个球，得到黑球概率是23，则从袋中任意摸出2个球，至少得到1个白球概率是__ ． 4. 已知直线1l ：10ax y ++=与直线2l ：()210x a y +-+=，则12l l ⊥的充要条件是__ ．5.设n 的二项展开式中各项系数之和为M ，二项式之和为N ，若2960M N -=；则二项展开式中xy 的系数是__ ．6.已知函数()()sin 01f x x x π=<<，若a b ¹，且()()f a f b =，则41a b+的最小值为__ ．7.设函数()f x 与函数()tan arcsin g x x x =+有相同的奇偶性和单调性，若112f ⎛⎫-=- ⎪⎝⎭，则不等式0(1)1f x ≤-≤的解集为__ ．8. 当实数,x y 满足240101x y x y x +-≤--≤≥⎧⎪⎨⎪⎩时，14ax y ≤+≤恒成立，则实数a 的取值范围是__ ．9. 已知双曲线()2222:10,0x y C a b a b-=>>倍，A ，B 为左，右顶点，点P 为双曲线C 在第一象限的任意一点，点O 为坐标原点，若直线PA ，PB ，PO 的斜率分别为1k ，2k ，3k ，记123m k k k =，则m 的取值范围为__ ．10.在平面直角坐标系xOy 中，已知直线1l ：y mx =与曲线3()2f x x x =+从左至右依次交于A 、B 、C 三点，若直线2l ：2y kx =+上存在P 满足1PA PC +=u u u v u u u v，则实数k 的取值范围是__ ．11.已知函数()3sin 4cos f x x x =+，[]12,0,x x ∈π，则()()12f x f x -的最大值是__ ．12.设函数()21,212x x f x =-+数列{}n a 是公差为2的等差数列，且满足()()()122019 ...0,f a f a f a +++=则10091011a a =__ ．二、选择题（本大题满分20分）本大题共有4题，每题只有一个正确答案，考生应在答题纸相应编号上，将代表答案的小方格涂黑，选对得5分，否则一律得零分． 13. 已知m ，n 是两条不同的直线，α，β是两个不同的平面，给出四个命题： ①若m αβ=I ，n ⊂α，n m ⊥，则αβ⊥；②若m α⊥，m β⊥，则//αβ； ③若//m n ，m α⊂，//αβ，则βn//；④若m α⊥，n β⊥，m n ⊥，则αβ⊥ 其中正确的是（） A ．①②B ．③④C ．①④D ．②④14. 已知某样本的容量为50，平均数为70，方差为75．现发现在收集这些数据时，其中的两个数据记录有误，一个错将80记录为60，另一个错将70记录为90．在对错误的数据进行更正后，重新求得样本的平均数为x ，方差为2s ，则（）A ．270,75x s =<B ．270,75x s =>C ．270,75x s ><D ．270,75x s <>15. 在直角坐标系中，如果相异两点()(),,,A a b B a b --都在函数()y f x =的图像上，那么称,A B 为函数()y f x =的一对关于原点成中心对称的点(,A B 与,B A 为同一对).函数()7,02log ,0cos x x f x x x π⎧≤⎪=⎨⎪>⎩的图像上关于原点成中心对称的点有( ) A ．1对B ．3对C ．5对D ．7对16. 在平面直角坐标系xOy 中，已知,n n A B 是圆222x y n +=上两个动点，且满足()2*2n n n OA OB n N ⋅=-∈u u u u v u u u u v ，设,n n A B 到直线()310x y n n +++=的距离之和的最大值为n a ，若数列1n a ⎧⎫⎨⎬⎩⎭的前n 项和n S m <恒成立，则实数m 的取值范围是（） A ．3,4⎛⎫+∞⎪⎝⎭B ．3,4⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭C ．2,3⎛⎫+∞⎪⎝⎭D ．3,2⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭三、解答题（本大题74分）本大题共有5题，解答下列各题必须在答题纸相应编号的规定区域内写出必要的步骤．17.（本题满分14分）本题共有2个小题，第1小题满分6分，第2小题满分8分．已知四棱锥P ABCD -的正视图是一个底边长为4腰长为3的等腰三角形，图1、图2分别是四棱锥P ABCD -的侧视图和俯视图.（1）求PA 与底面ABCD 所成角的大小；（2）求四棱锥P ABCD -的体积及侧面积.18.（本题满分14分）本题共有2个小题，第1小题满分6分，第2小题满分8分．设函数()12f x x ax =-++ （1）若1a =，解不等式()5f x <；（2）若()f x 有最小值，且关于x 的方程()221f x x x =-++有两个不等实数根，求a 的取值范围.19.（本题满分14分）本题共有2个小题，第1小题满分6分，第2小题满分8分．“伦敦眼”坐落在英国伦敦泰晤士河畔，是世界上首座观景摩天轮，又称“千禧之轮”，该摩天轮的半径为6（单位：10m ），游客在乘坐舱P 升到上半空鸟瞰伦敦建筑BC ，伦敦眼与建筑之间的距离AB 为12（单位：10m ），游客在乘坐舱P 看建筑BC 的视角为θ.（1）当乘坐舱P 在伦敦眼的最高点D 时，视角30θ=︒，求建筑BC 的高度；（2）当游客在乘坐舱P 看建筑BC 的视角θ为45︒时，拍摄效果最好.若在伦敦眼上可以拍摄到效果最好的照片，求建筑BC 的最低高度.（说明：为了便于计算，数据与实际距离有误差，伦敦眼的实际高度为135m ） 20．（本题满分16分）本题共有3个小题，第1小题满分4分，第2小题满分6分，第3小题满分6分．已知椭圆C ：22221x y a b+=()0a b >>的左、右焦点分别是1F 、2F ，且椭圆上一动点M到2F 21，21，过2F 的直线l 与椭圆C 交于A ，B 两点.（1）求椭圆C 的标准方程；（2）当1F AB ∆以1F AB ∠为直角时，求直线AB 的方程；（3）直线l 的斜率存在且不为0时，试问x 轴上是否存在一点P 使得OPA OPB ∠=∠，若存在，求出P 点坐标；若不存在，请说明理由.21．（本题满分18分）本题共有3个小题，第1小题满分4分，第2小题满分6分，第3小题满分8分．数列{}{},n n a b 分别满足：111,2+=-=n n a a a ，其中111,2+=-=n nb b b ，其中n *∈N ，设数列{}{},n n a b 前n 项和分别为,n n S T .（1）若数列{}{},n n a b 为递增数列，求数列{}{},n n a b 的通项公式；（2）若数列{}n c 满足：存在唯一的正整数k （2k ≥），使得1k k c c -<，则称{}n c 为“k 坠点数列”（Ⅰ）若数列{}n a 为“6坠点数列"，求n S ；（Ⅱ）若数列{}n b 为“5坠点数列”，是否存在“p 坠点数列”{}n a ，使得1m m S T +=，若存在，求正整数m 的最大值；若不存在，说明理由.2020年上海高考仿真模拟卷数学 2020.4满分：150分考试时间：120分钟第Ⅰ卷（选择题共60分）一、填空题（本大题满分54分）本大题共有12题，考生应在答题纸相应编号的空格内直接填写结果．每个空格填对得4分，否则一律得零分．1．已知集合{}11M =-，，11242x N xx +⎧⎫=<<∈⎨⎬⎩⎭Z ，，则M N =I __ ．【解析】11242x N x x +⎧⎫=<<∈⎨⎬⎩⎭Z ，{}112222{|112,}x x x x x x Z -+=<<∈=-<+<∈=Z ， {|21,}{1,0}x x x Z -<<∈=-，所以M N =I }1{-．2.已知复数z 在复平面内对应点是()12-，，i 为虚数单位，则21z z +=-__ ．【解析】依题意12z i =-，故原式()()()()32232463122242i i i i i i i i --+====+--. 3. 一个袋子里装有大小相同的黑球和白球共6个，已知从袋中任意摸出1个球，得到黑球概率是23，则从袋中任意摸出2个球，至少得到1个白球概率是__ ．【解析】由题意可知黑球和白球分别有4个，2个，从袋中任意摸出2个球，所有的取法共有2615C =种，而取出的两个球均为白球的取法有221C =种，取出的两个球只有一个白球的取法有11248C C =种，所以至少得到1个白球概率为183155P +==.所以答案应填：35． 4. 已知直线1l ：10ax y ++=与直线2l ：()210x a y +-+=，则12l l ⊥的充要条件是__ ．【解析】因为直线1l ：10ax y ++=与直线2l ：()210x a y +-+=，且12l l ⊥，所以()1120a a ⨯+⨯-=，即1a =；当1a =时，直线1l ：10x y ++=与直线2l ：10x y -+=，很显然垂直；所以12l l ⊥的充要条件是1a =. 故答案为：1a =.5.设n 的二项展开式中各项系数之和为M ，二项式之和为N ，若2960M N -=；则二项展开式中xy 的系数是__ ．【解析】根据题意令1x y ==，则4n M =，∵2,n n =∴2429605n n M N n -=-=⇒=；设n 的二项展开式的通项公式为1553322155(3)3k k k k kkk k T C xy C xy --+==；令51,1332k k k -==⇒=，∴xy 的系数是3353270C =． 6.已知函数()()sin 01f x x x π=<<，若a b ¹，且()()f a f b =，则41a b+的最小值为__ ．【解析】由条件知函数()()sin 01f x x x π=<<，()()f a f b =，则两者是轴对称的关系，故得到1a b a b πππ+=⇒+= ，41414()()5549.b aa b a b a b a b+=++=++≥+= 等号成立的条件为：4,2.b aa b a b== 故答案为9. 7.设函数()f x 与函数()tan arcsin g x x x =+有相同的奇偶性和单调性，若112f ⎛⎫-=- ⎪⎝⎭，则不等式0(1)1f x ≤-≤的解集为__ ．【解析】∵[1,1]x ∈-且()tan arcsin g x x x =+，∴()()g x g x -=-，∴函数()g x 是奇函数，∵tan y x =与arcsin y x =在区间[1,1]-上是增函数，∴()g x 在区间[1,1]-上是增函数， ∴()f x 在[1,1]-上的奇函数且在区间[1,1]-上是增函数，∵112f ⎛⎫-=- ⎪⎝⎭，∴112f ⎛⎫= ⎪⎝⎭，又∵(0)0f =，∴1(0)(1)2f f x f ⎛⎫≤-≤⎪⎝⎭，又∵()f x 在区间[1,1]-上是增函数， ∴1012x ≤-≤，即312x ≤≤，∴所求不等式的解集为31,2⎡⎤⎢⎥⎣⎦，故答案为：31,2⎡⎤⎢⎥⎣⎦.8. 当实数,x y 满足240101x y x y x +-≤--≤≥⎧⎪⎨⎪⎩时，14ax y ≤+≤恒成立，则实数a 的取值范围是__ ．【解析】作出不等式组表示的区域如下图所示的阴影部分区域，由图可知：不等式14ax y ≤+≤在阴影部分区域恒成立，令z ax y =+可知0a ≥，因为当0a ≥，且当1,0x y ==时，00z ax y a a =+=+=<不能使得14ax y ≤+≤恒成立；由0a ≥得z ax y =+在点()1,0处取得最小值，即min z ax y a =+=，在点()2,1处取得最大值，即max 21z ax y a =+=+，所以有1214a a ≥⎧⎨+≤⎩解得312a ≤≤．9. 已知双曲线()2222:10,0x y C a b a b-=>>的焦距是实轴长的3倍，A ，B 为左，右顶点，点P 为双曲线C 在第一象限的任意一点，点O 为坐标原点，若直线PA ，PB ，PO 的斜率分别为1k ，2k ，3k ，记123m k k k =，则m 的取值范围为__ ．【解析】双曲线()2222:10,0x y C a b a b-=>>的焦距是实轴长的3倍，所以23,22c cb a a a===，双曲线的渐近线方程为2y x =±，所以302k <<， (),P x y 为双曲线C 在第一象限的任意一点，22221x y a b-=，212222y y y k k x a x a x a=⋅==+-- ()1230,22m k k k =∈.故答案为：()0,2210.在平面直角坐标系xOy 中，已知直线1l ：y mx =与曲线3()2f x x x =+从左至右依次交于A 、B 、C 三点，若直线2l ：2y kx =+上存在P 满足1PA PC +=u u u v u u u v，则实数k 的取值范围是__ ．【解析】因为曲线()32f x x x =+及直线1l ：y mx =的图像都关于原点对称，所以B为原点，且B 为AC 中点，所以2PA PC PB u u u r u u u r u u u r+= ，因为直线2l ：2y kx =+上存在P满足1PA PC +=u u u v u u u v ，即21PB =u u u r ，所以直线上存在点到原点的距离为12，得12≤，解得k ≤k ≥ 11.已知函数()3sin 4cos f x x x =+，[]12,0,x x ∈π，则()()12f x f x -的最大值是__ ．【解析】由题意可得：()()343sin 4cos 5sin cos 5sin 55f x x x x x x ϕ⎛⎫=+=+=+ ⎪⎝⎭，其中4sin 5ϕ=，3cos 5ϕ=，且0,2πϕ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭．由[0,]x π∈，[,]x ϕϕπϕ+∈+，3,2ππϕπ⎛⎫∴+∈ ⎪⎝⎭， 4()5sin()5sin 545min f x πϕϕ∴=+=-=-⨯=-，()5sin 52max f x π==，当12,[0,]x x π∈时，()()()12()5)49(max min f x f x f x f x -=-=--=．故答案为：912.设函数()21,212x x f x =-+数列{}n a 是公差为2的等差数列，且满足()()()122019 ...0,f a f a f a +++=则10091011a a =__ ．【解析】由题得，()2111212221x x xf x =-=-++是单调递增函数，则复合函数()f x C +（其中为任意常数）也单调递增.设()()()()()210092()221009g x f x f x f x f x f x =-⨯++-++++++⨯L L ，则()g x 为单调递增函数.又{}n a 是公差为2的等差数列，则()()()()()101010101010101010101010210092()221009g a f a f a f a f a f a =-⨯++-++++++⨯L L ，整理得()()()()1010122019...0g a f a f a f a =+++=，那么1010a 是函数()0g x =的唯一零点.而()()()()()210092100922()g x f x f x f x f x f x =-⨯++⨯++-+++⎡⎤⎡⎤⎣⎦⎣⎦L ，又()()212121102122122121x x x x x x x f x f x --=+--+-=-+=++++，则()()()()()0210092100922(0)0g f f f f f =-⨯+⨯++-++=⎡⎤⎡⎤⎣⎦⎣⎦L 由1010a 是()0g x =的唯一零点，可知10100a =，可得()1009101122 4.a a =-⨯=- 故答案为：4-二、选择题（本大题满分20分）本大题共有4题，每题只有一个正确答案，考生应在答题纸相应编号上，将代表答案的小方格涂黑，选对得5分，否则一律得零分．13. 已知m ，n 是两条不同的直线，α，β是两个不同的平面，给出四个命题： ①若m αβ=I ，n ⊂α，n m ⊥，则αβ⊥；②若m α⊥，m β⊥，则//αβ； ③若//m n ，m α⊂，//αβ，则βn//；④若m α⊥，n β⊥，m n ⊥，则αβ⊥ 其中正确的是（） A ．①②B ．③④C ．①④D ．②④【解析】对于①，若m αβ=I ，n ⊂α，n m ⊥，α，β两平面相交，但不一定垂直，故①错误；对于②，若m α⊥，m β⊥，则//αβ，故②正确；对于③，若//m n ，m α⊂，//αβ，当n β⊂，则n 与β不平行，故③错误；对于④，若m α⊥，n β⊥，m n ⊥，则αβ⊥，故④正确；故选：D14. 已知某样本的容量为50，平均数为70，方差为75．现发现在收集这些数据时，其中的两个数据记录有误，一个错将80记录为60，另一个错将70记录为90．在对错误的数据进行更正后，重新求得样本的平均数为x ，方差为2s ，则（）A ．270,75x s =<B ．270,75x s =>C ．270,75x s ><D ．270,75x s <>【解析】由题意，根据平均数的计算公式，可得7050806070907050x ⨯+-+-==，设收集的48个准确数据分别记为1248,,,x x x L ，则()()()()()2222212481757070706070907050x x x ⎡⎤=-+-++-+-+-⎣⎦L ()()()2221248170707050050x x x L ⎡⎤=-+-++-+⎣⎦， ()()()()()222222124817070708070707050s x x x ⎡⎤=-+-++-+-+-⎣⎦L ()()()222124817070701007550x x x ⎡⎤=-+-++-+<⎣⎦L ，故275s <．选A ． 15. 在直角坐标系中，如果相异两点()(),,,A a b B a b --都在函数()y f x =的图像上，那么称,A B 为函数()y f x =的一对关于原点成中心对称的点(,A B 与,B A 为同一对).函数()7,02log ,0cos x x f x x x π⎧≤⎪=⎨⎪>⎩的图像上关于原点成中心对称的点有 ( ) A ．1对B ．3对C ．5对D ．7对【解析】因为7log ,0y x x =>关于原点对称的函数解析式为()7log ,0y x x =--<，所以函数()7,02log ,0cos x x f x x x π⎧≤⎪=⎨⎪>⎩的图像上关于原点成中心对称的点的组数，就是cos,02y x x π=≤与为()7y log ,0x x =--<图像交点个数，同一坐标系内，画出y cos,02x x π=≤与()7log ,0y x x =--<图像，如图，由图像可知，两个图像的交点个数有5个，7,0()2log ,0cos x x f x x x π⎧≤⎪=⎨⎪>⎩的图像上关于原点成中心对称的点有5组，故选C.16. 在平面直角坐标系xOy 中，已知,n n A B 是圆222x y n +=上两个动点，且满足()2*2n n n OA OB n N ⋅=-∈u u u u v u u u u v ，设,n n A B到直线()10x n n ++=的距离之和的最大值为n a ，若数列1n a ⎧⎫⎨⎬⎩⎭的前n 项和n S m <恒成立，则实数m 的取值范围是（） A ．3,4⎛⎫+∞⎪⎝⎭B ．3,4⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭C ．2,3⎛⎫+∞⎪⎝⎭D ．3,2⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭【解析】由22n n n OA OB ⋅=-u u u u v u u u u v ，得2cos 2n n n n n A OB ⋅⋅∠=-，120n n A OB ∴∠=o.设线段n n A B 的中点n C ，则2n n OC =，n C ∴在圆2224n x y +=上，n n A B到直线()10x n n ++=的距离之和等于点n C 到该直线的距离的两倍，点n C 到直线距离的最大值为圆心到直线的距离与圆的半径之和，而圆2224n x y +=的圆心(0,0)到直线()10x n n ++=的距离为()12n n d +==，()212222n n n n a n n+⎡⎤∴=+=+⎢⎥⎣⎦，211111222n a n n n n ⎛⎫∴==- ⎪++⎝⎭，1231111n n S a a a a ∴=+++⋅⋅⋅+=1111111112324352n n ⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫-+-+-+⋅⋅⋅+- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥+⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦11113122124n n ⎛⎫=+--< ⎪++⎝⎭.34m ∴≥.故选：B. 三、解答题（本大题74分）本大题共有5题，解答下列各题必须在答题纸相应编号的规定区域内写出必要的步骤．17.（本题满分14分）本题共有2个小题，第1小题满分6分，第2小题满分8分．已知四棱锥P ABCD -的正视图是一个底边长为4腰长为3的等腰三角形，图1、图2分别是四棱锥P ABCD -的侧视图和俯视图.（1）求PA 与底面ABCD 所成角的大小；（2）求四棱锥P ABCD -的体积及侧面积.【解析】（1）如图所示：取AB 的中点E ，连接PE ，则PE ⊥平面ABCD ，连接AE ，则PAE ∠是PA 与底面ABCD 所成角；在等腰三角形PCD 中，3,2PC PD DE EC ====， ∴5PE =，又22AE =，∴510tan 422PAE ∠==;∴PA 与底面ABCD 所成角为10arctan（2）∵PE ⊥平面ABCD ，在Rt PAE V 中，由,,⊥⊥⋂=AD PE AD DC PE DC E ；所以AD ⊥平面PDC ，又PC ⊂平面PCD ，所以AD PC ⊥.依题意，在等腰三角形PCD 中，3,2PC PD DE EC ====，在Rt PED V 中，225PE PD DE =-=，∴四棱锥P ABCD -的体积为18542533V =⨯⨯⨯=. 过E 作EF AB ⊥，垂足为F ，连接PF ，∵PE ⊥平面ABCD ，AB Ì平面ABCD ，∴AB PE ⊥.∵EF ⊂平面PEF ，PE ⊂平面PEF ，EF PE E ⋂=， ∴AB ⊥平面PEF .∵PF ⊂平面PEF ，∴AB PF ⊥.依题意得2EF AD ==.在Rt PEF △中，223PF PE EF =+=，∴PAB △的面积为162S AB PF =⋅⋅=.,,PAD PBC PCD V V V 的面积分别为3,3,25，所以侧面积的大小为633251225+++=+.18.（本题满分14分）本题共有2个小题，第1小题满分6分，第2小题满分8分．设函数()12f x x ax =-++ （1）若1a =，解不等式()5f x <；（2）若()f x 有最小值，且关于x 的方程()221f x x x =-++有两个不等实数根，求a的取值范围.【解析】（1）当1a =时，()12f x x x =-++，当1x ≤时，()5f x <即为125x x -++<，即35<恒成立；当1x >时，()5f x <即为125x x -++<，即24x <，解得2x <，此时12x <<；综上，不等式的解集为(,2)-∞；（2）(1)1,1()(1)3,1a x x f x a x x ++≥⎧=⎨-+<⎩，要使()f x 有最小值，则1010a a +≥⎧⎨-≤⎩，解得11a -≤≤，方程2()21f x x x =-++即为21221x ax x x -++=-++，显然0x =不是方程的根，故21,[1,)21123,(,0)(0,1)x x x x x a x x x x -∈+∞⎧-+---⎪==⎨--+∈-∞⋃⎪⎩，令 1,[1,)()23,(,0)(0,1)x x g x x x x -∈+∞⎧⎪=⎨--+∈-∞⋃⎪⎩，当0x <时，223()32230x x x x--+=-++≥+>- 作出()g x 的图像如下，结合11a -≤≤及函数图像可知，要使方程()221f x x x =-++有两个不等实数根，则[1,0)a ∈-．19.（本题满分14分）本题共有2个小题，第1小题满分6分，第2小题满分8分．“伦敦眼”坐落在英国伦敦泰晤士河畔，是世界上首座观景摩天轮，又称“千禧之轮”，该摩天轮的半径为6（单位：10m ），游客在乘坐舱P 升到上半空鸟瞰伦敦建筑BC ，伦敦眼与建筑之间的距离AB 为12（单位：10m ），游客在乘坐舱P 看建筑BC 的视角为θ.（1）当乘坐舱P 在伦敦眼的最高点D 时，视角30θ=︒，求建筑BC 的高度；（2）当游客在乘坐舱P 看建筑BC 的视角θ为45︒时，拍摄效果最好.若在伦敦眼上可以拍摄到效果最好的照片，求建筑BC 的最低高度.（说明：为了便于计算，数据与实际距离有误差，伦敦眼的实际高度为135m ）【解析】（1）当乘坐舱P 在伦敦眼的最高点D 时，30BDC θ∠==︒，此时12AD AB ==，即45ABD ∠=︒，所以105BCD ∠=︒.在等腰三角形ABD 中，122BD =.由正弦定理得sin105sin 30BD BC =︒︒，所以12212312622BC ==-+⨯. 所以建筑BC 的高度为12312-（单位：10m ）.（2）设建筑BC 的高度为h （单位：10m ），建立如图所示的直角坐标系，圆22:(6)36M x y +-=，由正弦定理可知2sin 45h R =︒，所以R =，即PBC ∆的外接圆的半径为R =. 由图可知PBC ∆的外接圆的圆心坐标为12,22h h ⎛⎫-⎪⎝⎭，所以点P 在圆222:12,12222h h h N x y x ⎛⎫⎛⎫-++-=≤ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭上，而点P 又在圆22:(6)36M x y +-=上，所以66≤≤+，解得24(324(377h -+≤≤.答：建筑BC 10m ）时，可以拍摄到效果最好的照片.20．（本题满分16分）本题共有3个小题，第1小题满分4分，第2小题满分6分，第3小题满分6分．已知椭圆C ：22221x y a b+=()0a b >>的左、右焦点分别是1F 、2F ，且椭圆上一动点M到2F 1，1，过2F 的直线l 与椭圆C 交于A ，B 两点.（1）求椭圆C 的标准方程；（2）当1F AB ∆以1F AB ∠为直角时，求直线AB 的方程；（3）直线l 的斜率存在且不为0时，试问x 轴上是否存在一点P 使得OPA OPB ∠=∠，若存在，求出P 点坐标；若不存在，请说明理由.【解析】（1）由题意，椭圆C 上一动点M 到2F 的最近距离为1，最远距离为1，可得22211a c a a c b c ⎧⎪⎪+=⎨⎪=+-=⎩⎪，解得11a cb ⎧=⎪=⎨⎪=⎩，所以椭圆的标准方程为2212x y +=.（2）由题意可知，当k 不存在时，1F AB ∆不符合题意. 设直线AB l ：()1y k x =-，则1AF l ：()11y x k=-+， ∴()()111y k x y x k ⎧=-⎪⎨=-+⎪⎩，得()2211k x k +=-，∴22212,11k k A k k ⎛⎫-- ⎪++⎝⎭ ∴()()()222222218211k k kk-+=++，427610k k --=，∴21k =，直线AB 的方程为1y x =-+或1y x =-.（3）设(),0P m ，()11,A x y ，()22,B x y ，AB l ：()1y k x =-，()22122y k x x y ⎧=-⎨+=⎩∴()2222124220k xk x k +-+-=∴2122412k x x k +=+，21222212k x x k -=+， ∵11AP y k x m =-，22BP y k x m =-，所以()()()()1221120AP BP y x m y x m k k x m x m -+-+==--， ∴()1221120y x y x m y y +-+=，∴()()1212220kx x k mk x x km -+++=， ∴24km k =，2m =，∴()2,0P .21．（本题满分18分）本题共有3个小题，第1小题满分4分，第2小题满分6分，第3小题满分8分．数列{}{},n n a b 分别满足：111,2+=-=n n a a a ，其中111,2+=-=n nb b b ，其中n *∈N ，设数列{}{},n n a b 前n 项和分别为,n n S T .（1）若数列{}{},n n a b 为递增数列，求数列{}{},n n a b 的通项公式；（2）若数列{}n c 满足：存在唯一的正整数k （2k ≥），使得1k k c c -<，则称{}n c 为“k 坠点数列”（Ⅰ）若数列{}n a 为“6坠点数列"，求n S ；（Ⅱ）若数列{}n b 为“5坠点数列”，是否存在“p 坠点数列”{}n a ，使得1m m S T +=，若存在，求正整数m 的最大值；若不存在，说明理由.【解析】（1）Q 数列{}n a ，{}n b 都为递增数列，∴由递推式可得12n n a a +-=，2122b b =-=，212n n b b ++=，*n N ∈，则数列{}n a 为等差数列，数列{}n b 从第二项起构成等比数列．21n a n ∴=-，11,12,2n n n b n --=⎧=⎨≥⎩；（2）（Ⅰ）Q 数列{}n a 满足：存在唯一的正整数5k =，使得1k k a a -<，且1|2|n n a a +-=， ∴数列{}n a 必为1,3,5,7,5,7,9,11,⋯，即前4项为首项为1，公差为2的等差数列，从第5项开始为首项5，公差为2的等差数列，故22,4416,5n n n S n n n ⎧≤=⎨-+≥⎩；（Ⅱ）1||2n nb b +=Q ，即12n n b b +=±，1||2n n b -∴=，而数列{}n b 为“q 坠点数列”且11b =-， ∴数列{}n b 中有且只有两个负项．假设存在正整数m ，使得1m m S T +=，显然1m ≠，且m T 为奇数，而{}n a 中各项均为奇数，m ∴必为偶数．由2113(21)(1)m S m m +++⋯++=+…，当q m >时，211242223m m m m T --=-+++⋯++=-，当6m ≥时，223(1)m m ->+，故不存在正整数m 使得1m m S T +=；当q m =时，121122(2)30m m m T --=-++⋯++-=-<，显然不存在正整数m 使得1m m S T +=；当q m <时，13211()122(2)223m m m m m min T ----∴=-++⋯++-+=-．当1223(1)m m --<+，才存在正整数m 使得1m m S T +=；即6m ≤．当6m =时，6q <，构造：{}n a 为1,3,1,3,5,7,9，⋯，{}n b 为1,2,4,8,16,32,64,--L ，此时3p =，5q =．6max m ∴=，对应的3p =，5q =．。

上海市2020〖人教版〗高三数学复习试卷高考数学试卷理科参考答案与试题解析5

上海市2020年〖人教版〗高三数学复习试卷高考数学试卷理科参考答案与试题解析创作人：百里安娜创作日期：202X.04.01审核人：北堂王会创作单位：明德智语学校一、选择题（共10小题，每小题5分，满分50分）1．（5分）（•天津）i是虚数单位，=（）A．1+2i B．﹣1﹣2i C．1﹣2i D．﹣1+2i【考点】复数代数形式的乘除运算．【专题】数系的扩充和复数．【分析】复数的分子、分母同乘分母的共轭复数，化简即可．【解答】解：，故选D．【点评】本小题考查复数代数形式的乘除运算，基础题．2．（5分）（•天津）设变量x，y满足约束条件：，则目标函数z=2x+3y的最小值为（）A．6 B．7 C．8 D．23【考点】简单线性规划的应用．【专题】不等式的解法及应用．【分析】本题考查的知识点是线性规划，处理的思路为：根据已知的约束条件．画出满足约束条件的可行域，再用角点法，求出目标函数的最小值．【解答】解：画出不等式．表示的可行域，如图，让目标函数表示直线在可行域上平移，知在点B自目标函数取到最小值，解方程组得（2，1），所以z min=4+3=7，故选B．【点评】用图解法解决线性规划问题时，分析题目的已知条件，找出约束条件和目标函数是关键，可先将题目中的量分类、列出表格，理清头绪，然后列出不等式组（方程组）寻求约束条件，并就题目所述找出目标函数．然后将可行域各角点的值一一代入，最后比较，即可得到目标函数的最优解．3．（5分）（•天津）命题“存在x0∈R，2x2﹣1≤0”的否定是（）A．不存在x0∈R，2x02﹣1＞0 B．存在x0∈R，2x02﹣1＞0 C．对任意的x∈R，2x2﹣1≤0 D．对任意的x∈R，2x2﹣1＞0【考点】命题的否定．【专题】简易逻辑．【分析】命题的否定只否定结论即可，不要与否命题混淆．【解答】解：结论的否定形式为：2x2﹣1＞0∴原命题的否定为：D．故选D．【点评】本题考查了命题的否定，注意它与否命题的区别．4．（5分）（•天津）设函数f（x）=x﹣lnx（x＞0），则y=f （x）（）A．在区间（，1），（l，e）内均有零点B．在区间（，1），（l，e）内均无零点C．在区间（，1）内无零点，在区间（l，e）内有零点D．在区间（，1）内有零点，在区间（l，e）内无零点【考点】利用导数研究函数的单调性；函数零点的判定定理．【专题】导数的概念及应用．【分析】先对函数f（x）进行求导，再根据导函数的正负情况判断原函数的增减性可得答案．【解答】解：由题得，令f′（x）＞0得x＞3；令f′（x）＜0得0＜x＜3；f′（x）=0得x=3，故知函数f（x）在区间（0，3）上为减函数，在区间（3，+∞）为增函数，在点x=3处有极小值1﹣ln3＜0；又，，．故选C．【点评】本题主要考查导函数的增减性与原函数的单调性之间的关系．即当导函数大于0时原函数单调递增，当导函数小于0时原函数单调递减．5．（5分）（•天津）阅读程序框图，则输出的S=（）A．26 B．35 C．40 D．57【考点】程序框图．【专题】算法和程序框图．【分析】分析程序中各变量、各语句的作用，再根据流程图所示的顺序，可知：该程序的作用是累加并输出S=2+5+8+ (14)值．【解答】解：分析程序中各变量、各语句的作用，再根据流程图所示的顺序，可知：该程序的作用是累加并输出S=2+5+8+…+14的值∵S=2+5+8+…+14=40．故选C．【点评】根据流程图（或伪代码）写程序的运行结果，是算法这一模块最重要的题型，其处理方法是：：①分析流程图（或伪代码），从流程图（或伪代码）中既要分析出计算的类型，又要分析出参与计算的数据（如果参与运算的数据比较多，也可使用表格对数据进行分析管理）⇒②建立数学模型，根据第一步分析的结果，选择恰当的数学模型③解模．6．（5分）（•天津）设a＞0，b＞0．若是3a与3b的等比中项，则的最小值为（）A．8 B．4 C．1 D．【考点】基本不等式；等比数列的性质．【专题】不等式的解法及应用．【分析】由题设条件中的等比关系得出a+b=1，代入中，将其变为2+，利用基本不等式就可得出其最小值【解答】解：因为3a•3b=3，所以a+b=1，，当且仅当即时“=”成立，故选择B．【点评】本小题考查指数式和对数式的互化，以及均值不等式求最值的运用，考查了变通能力．7．（5分）（•天津）已知函数的最小正周期为π，为了得到函数g（x）=cosωx的图象，只要将y=f（x）的图象（）A．向左平移个单位长度B．向右平移个单位长度C．向左平移个单位长度D．向右平移个单位长度【考点】函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换．【专题】三角函数的图像与性质．【分析】由周期函数的周期计算公式：，算得ω=2．接下来将f（x）的表达式转化成与g（x）同名的三角函数，再观察左右平移的长度即可．【解答】解：由题知ω=2，所以，故选择A．【点评】本题考点定位：本小题考查诱导公式，函数图象的变换，基础题．8．（5分）（•天津）已知函数若f（2﹣a2）＞f（a），则实数a的取值范围是（）A．（﹣∞，﹣1）∪（2，+∞）B．（﹣1，2）C．（﹣2，1）D．（﹣∞，﹣2）∪（1，+∞）【考点】函数单调性的性质；其他不等式的解法．【专题】函数的性质及应用．【分析】由题义知分段函数求值应分段处理，利用函数的单调性求解不等式．【解答】解：由f（x）的解析式可知，f（x）在（﹣∞，+∞）上是单调递增函数，在由f（2﹣a2）＞f（a），得2﹣a2＞a即a2+a﹣2＜0，解得﹣2＜a＜1．故选C【点评】此题重点考查了分段函数的求值，还考查了利用函数的单调性求解不等式，同时一元二次不等式求解也要过关．9．（5分）（•天津）设抛物线y2=2x的焦点为F，过点M（，0）的直线与抛物线相交于A、B两点，与抛物线的准线相交于点C，|BF|=2，则△BCF与△ACF的面积之比=（）A． B． C． D．【考点】抛物线的应用；抛物线的简单性质；直线与圆锥曲线的综合问题．【专题】圆锥曲线的定义、性质与方程．【分析】根据=，进而根据两三角形相似，推断出=，根据抛物线的定义求得=，根据|BF|的值求得B的坐标，进而利用两点式求得直线的方程，把x=代入，即可求得A的坐标，进而求得的值，则三角形的面积之比可得．【解答】解：如图过B作准线l：x=﹣的垂线，垂足分别为A1，B1，∵=，又∵△B1BC∽△A1AC、∴=，由拋物线定义==．由|BF|=|BB 1|=2知x B=，y B=﹣，∴AB：y﹣0=（x﹣）．把x=代入上式，求得y A=2，x A=2，∴|AF|=|AA1|=．故===．故选A．【点评】本题主要考查了抛物线的应用，抛物线的简单性质．考查了学生基础知识的综合运用和综合分析问题的能力．10．（5分）（•天津）0＜b＜1+a，若关于x的不等式（x﹣b）2＞（ax）2的解集中的整数恰有3个，则（）A．﹣1＜a＜0 B．0＜a＜1 C．1＜a＜3 D．2＜a＜3【考点】其他不等式的解法．【专题】不等式的解法及应用．【分析】要使关于x的不等式（x﹣b）2＞（ax）2的解集中的整数恰有3个，那么此不等式的解集不能是无限区间，从而其解集必为有限区间，【解答】解：由题得不等式（x﹣b）2＞（ax）2即（a2﹣1）x2+2bx﹣b2＜0，它的解应在两根之间，因此应有 a2﹣1＞0，解得a＞1或a＜﹣1，注意到0＜b＜1+a，从而a＞1，故有△=4b2+4b2（a2﹣1）=4a2b2＞0，不等式的解集为或（舍去）．不等式的解集为，又由0＜b＜1+a得，故，，这三个整数解必为﹣2，﹣1，02（a﹣1）＜b≤3 （a﹣1），注意到a＞1，并结合已知条件0＜b＜1+a．故要满足题设条件，只需要2（a﹣1）＜1+a＜3（a﹣1），即2＜a＜3即可，则b＞2a﹣2b＜3a﹣3又0＜b＜1+a故 1+a＞2a﹣23a﹣3＞0解得1＜a＜3，综上2＜a＜3．故选：D．【点评】本小题考查解一元二次不等式解法，二次函数的有关知识，逻辑思维推理能力，含有两个变量的题目是难题．二、填空题（共6小题，每小题4分，满分24分）11．（4分）（•天津）某学院的A，B，C三个专业共有1200名学生，为了调查这些学生勤工俭学的情况，拟采用分层抽样的方法抽取一个容量为120的样本．已知该学院的A专业有380名学生，B专业有420名学生，则在该学院的C专业应抽取40 名学生．【考点】分层抽样方法．【专题】概率与统计．【分析】根据全校的人数和A，B两个专业的人数，得到C专业的人数，根据总体个数和要抽取的样本容量，得到每个个体被抽到的概率，用C专业的人数乘以每个个体被抽到的概率，得到结果．【解答】解：∵C专业的学生有1200﹣380﹣420=400，由分层抽样原理，应抽取名．故答案为：40【点评】本题考查分层抽样，分层抽样过程中，每个个体被抽到的概率相等，在总体个数，样本容量和每个个体被抽到的概率这三个量中，可以知二求一．12．（4分）（•天津）如图是一个几何体的三视图，若它的体积是，则a=．【考点】由三视图求面积、体积．【专题】立体几何．【分析】该几何体是放倒的三棱柱，依据所给数据求解即可．【解答】解：由已知可知此几何体是三棱柱，其高为3，底面是底边长为2，底边上的高为a的等腰三角形，所以有．故答案为：【点评】本小题考查三视图、三棱柱的体积，基础题．本试题考查了简单几何体的三视图的运用．培养同学们的空间想象能力和基本的运算能力．13．（4分）（•天津）设直线l1的参数方程为（t为参数），直线l2的方程为y=3x+4则l1与l2的距离为．【考点】直线的参数方程；两条平行直线间的距离．【专题】坐标系和参数方程．【分析】先求出直线的普通方程，再利用两条平行线间的距离公式求出它们的距离即可．【解答】解析：由题直线l1的普通方程为3x﹣y﹣2=0，故它与l2的距离为．故答案为【点评】本小题主要考查参数方程化为普通方程、两条平行线间的距离，属于基础题．14．（4分）（•天津）若圆x2+y2=4与圆x2+y2+2ay﹣6=0（a＞0）的公共弦的长为，则a= 1 ．【考点】圆与圆的位置关系及其判定；圆方程的综合应用．【专题】直线与圆．【分析】画出草图，不难得到半径、半弦长的关系，求解即可．【解答】解：由已知x2+y2+2ay﹣6=0的半径为，圆心（0，﹣a），公共弦所在的直线方程为，ay=1．大圆的弦心距为：|a+|由图可知，解之得a=1．故答案为：1．【点评】本小题考查圆与圆的位置关系，基础题．15．（4分）（•天津）在四边形ABCD中，==（1，1），，则四边形ABCD的面积是．【考点】向量的线性运算性质及几何意义．【专题】平面向量及应用．【分析】根据题意知四边形ABCD是菱形，其边长为，且对角线BD等于边长的倍，再由向量数量积运算的应用可得和，最终可得四边形ABCD的面积【解答】解：由题，可知平行四边形ABCD 的角平分线BD平分∠ABC，四边形ABCD是菱形，其边长为，且对角线BD等于边长的倍，所以cos∠BAD==﹣，故sin∠BAD=，S ABCD=（）2×=．故答案为：．【点评】本小题考查向量的几何运算，基础题．16．（4分）（•天津）用数字0，1，2，3，4，5，6组成没有重复数字的四位数，其中个位、十位和百位上的数字之和为偶数的四位数共有324 个（用数字作答）【考点】排列、组合的实际应用．【专题】排列组合．【分析】由题意知本题需要分类来解，当个位、十位和百位上的数字为3个偶数，当个位、十位和百位上的数字为1个偶数2个奇数，根据分类计数原理得到结果．【解答】解：由题意知本题需要分类来解：当个位、十位和百位上的数字为3个偶数的有：+=90种；当个位、十位和百位上的数字为1个偶数2个奇数的有：+=234种，根据分类计数原理得到∴共有90+234=324个．故答案为：324．【点评】本小题考查排列实际问题基础题．数字问题是计数中的一大类问题，条件变换多样，把计数问题包含在数字问题中，解题的关键是看清题目的实质，很多题目要分类讨论，要做到不重不漏．三、解答题（共6小题，满分76分）17．（12分）（•天津）已知：△ABC中，BC=1，AC=，sinC=2sinA（1）求AB的值．（2）求的值．【考点】正弦定理的应用．【专题】解三角形．【分析】（1）根据正弦定理将题中正弦值的关系转化为边的关系，即可得到答案．（2）根据三边长可直接验证满足勾股定理进而得到△ABC是Rt△且∠ABC=90°，从而可得到角A的正弦值和余弦值，再由两角和与差的正弦公式和二倍角公式可求最后答案．【解答】解：（1）在△ABC中，∵sinC=2sinA∴由正弦定理得AB=2BC又∵BC=1∴AB=2（2）在△ABC中，∵AB=2，BC=1，∴AB2+BC2=AC2∴△ABC是Rt△且∠ABC=90°∴，∴===【点评】本题主要考查正弦定理和和两角和与差的正弦公式的应用．属基础题．18．（12分）（•天津）在10件产品中，有3件一等品，4件二等品，3件三等品．从这10件产品中任取3件，求：（I）取出的3件产品中一等品件数X的分布列和数学期望；（II）取出的3件产品中一等品件数多于二等品件数的概率．【考点】离散型随机变量的期望与方差；古典概型及其概率计算公式．【专题】概率与统计．【分析】（Ⅰ）由题意知本题是一个古典概型，试验包含的所有事件是从10件产品中任取3件的结果为C103，满足条件的事件是从10件产品中任取3件，其中恰有k件一等品的结果数为C3k C73﹣k，写出概率，分布列和期望．（II）取出的3件产品中一等品件数多于二等品件数包括三种情况，一是恰好取出1件一等品和2件二等品，二是恰好取出2件一等品，三是恰好取出3件一等品，这三种情况是互斥的，根据互斥事件的概率，得到结果．【解答】解：（Ⅰ）由题意知本题是一个古典概型，由于从10件产品中任取3件的结果为C103，从10件产品中任取3件，其中恰有k件一等品的结果数为C3k C73﹣k，那么从10件产品中任取3件，其中恰有k件一等品的概率为P （X=k）=，k=0，1，2，3．∴随机变量X的分布列是x 0 1 2 3p∴X的数学期望EX=（Ⅱ）解：设“取出的3件产品中一等品件数多于二等品件数”为事件A，“恰好取出1件一等品和2件三等品”为事件A1“恰好取出2件一等品“为事件A2，”恰好取出3件一等品”为事件A3由于事件A1，A2，A3彼此互斥，且A=A1∪A2∪A3而，P（A2）=P（X=2）=，P（A3）=P（X=3）=，∴取出的3件产品中一等品件数多于二等品件数的概率为P（A）=P（A1）+P（A2）+P（A3）=++=【点评】本题考查离散型随机变量的分布列和期望，这种类型是近几年高考题中经常出现的，考查离散型随机变量的分布列和期望，大型考试中理科考试必出的类型题目．19．（12分）（•天津）如图，在五面体ABCDEF中，FA⊥平面ABCD，AD∥BC∥FE，AB⊥AD，M为EC的中点，AF=AB=BC=FE=AD，（1）求异面直线BF与DE所成的角的大小；（2）证明平面AMD⊥平面CDE；（3）求二面角A﹣CD﹣E的余弦值．【考点】异面直线及其所成的角；平面与平面垂直的判定；与二面角有关的立体几何综合题．【专题】空间位置关系与距离；空间角；立体几何．【分析】（1）先将BF平移到CE，则∠CED（或其补角）为异面直线BF与DE所成的角，在三角形CED中求出此角即可；（2）欲证平面AMD⊥平面CDE，即证CE⊥平面AMD，根据线面垂直的判定定理可知只需证CE与平面AMD内两相交直线垂直即可，易证DM⊥CE，MP⊥CE；（3）设Q为CD的中点，连接PQ，EQ，易证∠EQP为二面角A﹣CD﹣E的平面角，在直角三角形EQP中求出此角即可．【解答】（1）解：由题设知，BF∥CE，所以∠CED（或其补角）为异面直线BF与DE所成的角．设P为AD的中点，连接EP，PC．因为FE=∥AP，所以FA=∥EP，同理AB=∥PC．又FA⊥平面ABCD，所以EP⊥平面ABCD．而PC，AD都在平面ABCD内，故EP⊥PC，EP⊥AD．由AB⊥AD，可得PC⊥AD设FA=a，则EP=PC=PD=a，CD=DE=EC=，故∠CED=60°．所以异面直线BF与DE所成的角的大小为60°（2）证明：因为DC=DE且M为CE的中点，所以DM⊥CE．连接MP，则MP⊥CE．又MP∩DM=M，故CE⊥平面AMD．而CE⊂平面CDE，所以平面AMD⊥平面CDE．（3）解：设Q为CD的中点，连接PQ，EQ．因为CE=DE，所以EQ⊥CD．因为PC=PD，所以PQ⊥CD，故∠EQP为二面角A﹣CD﹣E的平面角．可得，．【点评】本小题要考查异面直线所成的角、平面与平面垂直、二面角等基础知识，考查用空间向量解决立体几何问题的方法，考查空间想像能力、运算能力和推理论证能力．20．（12分）（•天津）已知函数f（x）=（x2+ax﹣2a2+3a）e x（x∈R），其中a∈R．（Ⅰ）当a=0时，求曲线y=f（x）在点（1，f（1））处的切线方程；（Ⅱ）当时，求函数f（x）的单调区间和极值．【考点】利用导数研究曲线上某点切线方程；利用导数研究函数的单调性；利用导数研究函数的极值．【专题】导数的综合应用．【分析】（Ⅰ）把a=0代入到f（x）中化简得到f（x）的解析式，求出f'（x），因为曲线的切点为（1，f（1）），所以把x=1代入到f'（x）中求出切线的斜率，把x=1代入到f（x）中求出f（1）的值得到切点坐标，根据切点和斜率写出切线方程即可；（Ⅱ）令f'（x）=0求出x的值为x=﹣2a和x=a﹣2，分两种情况讨论：①当﹣2a＜a﹣2时和②当﹣2a＞a﹣2时，讨论f'（x）的正负得到函数的单调区间，根据函数的增减性即可得到函数的最值．【解答】（Ⅰ）解：当a=0时，f（x）=x2e x，f'（x）=（x2+2x）e x，故f'（1）=3e，所以曲线y=f（x）在点（1，f（1））处的切线的斜率为3e，f（1）=e，所以该切线方程为y﹣e=3e（x﹣1），整理得：3ex﹣y﹣2e=0．（Ⅱ）解：f'（x）=[x2+（a+2）x﹣2a2+4a]e x令f'（x）=0，解得x=﹣2a，或x=a﹣2．由知，﹣2a≠a﹣2．以下分两种情况讨论．①若a＞，则﹣2a＜a﹣2．当x变化时，f'（x），f（x）的变化情况如下表：x （﹣∞，a﹣2）﹣2a （﹣2a，a﹣2）a﹣2 （a﹣2，+∞）f′（x）+ 0 ﹣0 +F（x）↗极大值↘极小值↗所以f（x）在（﹣∞，﹣2a），（a﹣2，+∞）内是增函数，在（﹣2a，a﹣2）内是减函数．函数f（x）在x=﹣2a处取得极大值f（﹣2a），且f（﹣2a）=3ae﹣2a．函数f（x）在x=a﹣2处取得极小值f（a﹣2），且f（a﹣2）=（4﹣3a）e a﹣2．②若a＜，则﹣2a＞a﹣2，当x变化时，f'（x），f（x）的变化情况如下表：x （﹣∞，a﹣2）a﹣2 （a﹣2，﹣2a）﹣2a （﹣2a，+∞）f′（x）+ 0 ﹣0 +F（x）↗极大值↘极小值↗所以f（x）在（﹣∞，a﹣2），（﹣2a，+∞）内是增函数，在（a﹣2，﹣2a）内是减函数函数f（x）在x=a﹣2处取得极大值f（a﹣2），且f（a﹣2）=（4﹣3a）e a﹣2，函数f（x）在x=﹣2a处取得极小值f（﹣2a），且f（﹣2a）=3ae﹣2a．【点评】考查学生会利用导数求曲线上过某点切线方程的斜率，会利用导数研究函数的单调性以及根据函数的增减性得到函数的极值．灵活运用分类讨论的数学思想解决数学问题．21．（14分）（•天津）以知椭圆的两个焦点分别为F1（﹣c，0）和F2（c，0）（c＞0），过点的直线与椭圆相交于A，B两点，且F1A∥F2B，|F1A|=2|F2B|．（1）求椭圆的离心率；（2）求直线AB的斜率；（3）设点C与点A关于坐标原点对称，直线F2B上有一点H（m，n）（m≠0）在△AF1C的外接圆上，求的值．【考点】椭圆的应用；椭圆的简单性质；直线与圆锥曲线的综合问题．【专题】圆锥曲线的定义、性质与方程．【分析】（1）由F1A∥F2B且|F1A|=2|F2B|，得，从而，由此可以求出椭圆的离心率．（2）由题意知椭圆的方程可写为2x2+3y2=6c2，设直线AB的方程为，设A（x1，y1），B（x2，y2），则它们的坐标满足方程组，整理，得（2+3k2）x2﹣18k2cx+27k2c2﹣6c2=0．再由根的判别式和根与系数的关系求解．（III）解法一：当时，得，．线段AF1的垂直平分线l的方程为直线l与x轴的交点是△AF1C外接圆的圆心，因此外接圆的方程为．由此可以推导出的值．解法二：由椭圆的对称性可知B，F2，C三点共线，由已知条件能够导出四边形AF1CH为等腰梯形．由此入手可以推导出的值．【解答】（1）解：由F1A∥F2B且|F1A|=2|F2B|，得，从而整理，得a2=3c2，故离心率（2）解：由（I）得b2=a2﹣c2=2c2，所以椭圆的方程可写为2x2+3y2=6c2设直线AB的方程为，即y=k（x﹣3c）．由已知设A（x1，y1），B（x2，y2），则它们的坐标满足方程组消去y整理，得（2+3k2）x2﹣18k2cx+27k2c2﹣6c2=0．依题意，而①②由题设知，点B为线段AE的中点，所以x1+3c=2x2③联立①③解得，将x1，x2代入②中，解得．（III）解法一：由（II）可知当时，得，由已知得．线段AF1的垂直平分线l的方程为直线l与x 轴的交点是△AF1C外接圆的圆心，因此外接圆的方程为．直线F2B的方程为，于是点H（m，n）的坐标满足方程组，由m≠0，解得故当时，同理可得．解法二：由（II）可知当时，得，由已知得由椭圆的对称性可知B，F2，C三点共线，因为点H（m，n）在△AF1C的外接圆上，且F1A∥F2B，所以四边形AF1CH为等腰梯形．由直线F2B的方程为，知点H的坐标为．因为|AH|=|CF1|，所以，解得m=c（舍），或．则，所以．当时同理可得【点评】本题考查直线与椭圆的位置关系和椭圆性质的综合应用，难度较大，解题要注意公式的正确选取和灵活运用，避免不必要的性质．22．（14分）（•天津）已知等差数列{a n}的公差为d（d≠0），等比数列{b n}的公比为q（q＞1）．设s n=a1b1+a2b2+…+a n b n，T n=a1b1﹣a2b2+…+（﹣1）n﹣1anbn，n∈N+，（1）若a1（2）=b1（3）=1，d=2，q=3，求S3的值；（Ⅱ）若b1（6）=1，证明（1﹣q）S2n﹣（1+q）T2n=，n∈（10）N+；（Ⅲ）若正数n满足2≤n≤q，设k1，k2，…，k n和l1，l2，…，l n是1，2，…，n的两个不同的排列，c1=a k1b1+a k2b2+…+a kn b n，c2=a l1b1+a l2b2+…+a ln b n证明c1≠c2．【考点】数列的应用．【专题】等差数列与等比数列．【分析】（Ⅰ）由题设，可得a n=2n﹣1，b n=3n﹣1，n∈N*，由此可求出S3的值．（Ⅱ）证明：由题设可得b n=q n﹣1则S2n=a1+a2q+a3q2++a2n q2n﹣1，T2n=a1﹣a2q+a3q2﹣a4q3+﹣a2n q2n﹣1，由此能够推导出（1﹣q）S2n﹣（1+q）T2n=．（Ⅲ）证明：由题设条件可知，由此入手能够导出c1≠c2．【解答】（Ⅰ）解：由题设，可得a n=2n﹣1，b n=3n﹣1，n∈N*所以，S3=a1b1+a2b2+a3b3=1×1+3×3+5×9=55（Ⅱ）证明：由题设可得b n=q n﹣1则S2n=a1+a2q+a3q2+…+a2n q2n﹣1，①T2n=a1﹣a2q+a3q2﹣a4q3+…﹣a2n q2n﹣1，S2n﹣T2n=2（a2q+a4q3+…﹣a2n q2n﹣1）1式加上②式，得S2n+T2n=2（a1+a3q2+…+a2n﹣1q2n﹣2）③2式两边同乘q，得q（S2n+T2n）=2（a1q+a3q3+…+a2n﹣1q2n﹣1）所以，（1﹣q）S2n﹣（1+q）T2n=（S2n﹣T2n）﹣q（S2n+T2n）=2d（q+q3+…+q2n﹣1）=（Ⅲ）证明：c1﹣c2=（a k1﹣a l1）b1+（a k2﹣a l2）b2+…+（a kn﹣a ln）b n=（k1﹣l1）db1+（k2﹣l2）db1q+…+（k n﹣l n）db1q n﹣1因为d≠0，b1≠0，所以若k n≠l n，取i=n若k n=l n，取i满足k i≠l i且k j=l j，i+1≤j≤n，由题设知，1＜i≤n且当k i＜l i2时，得k i﹣l i≤﹣1，由q≥n，得k i﹣l i≤q﹣1，i=1，2，3i﹣13即k1﹣l1≤q﹣1，（k2﹣l2）q≤q（q﹣1），（k i﹣1﹣l i﹣1）q i﹣2≤q i﹣2（q﹣1）又（k i﹣l i）q i﹣1≤﹣q i﹣1，所以因此c1﹣c2≠0，即c1≠c2当k i＞l i，同理可得，因此c1≠c2．综上c1≠c2．【点评】本题主要考查等差数列的通项公式、等比数列的通项公式与前n项和公式等基础知识，考查运算能力，推理论证能力及综合分析和解决问题的能力的能力．创作人：百里安娜创作日期：202X.04.01审核人：北堂王会创作单位：明德智语学校。

上海市徐汇区2020届高三上学期第一次模拟考试数学试题 (含答案解析)

上海市徐汇区2020届高考一模试卷数学一、填空题（本大题共12题，1-6每题4分，7-12每题5分，共54分）1．已知集合M＝{x|x＞2}，集合N＝{x|x≤1}，则M∪N＝．2．向量在向量方向上的投影为．3．二项式（3x﹣1）11的二项展开式中第3项的二项式系数为．4．复数的共轭复数为．5．已知y＝f（x）是定义在R上的偶函数，且它在[0，+∞）上单调递增，那么使得f（﹣2）≤f（a）成立的实数a的取值范围是．6．已知函数f（x）＝arcsin（2x+1），则f﹣1（）＝．7．已知x∈R，条件p：x2＜x，条件q：≥a（a＞0），若p是q的充分不必要条件，则实数a的取值范围是．8．已知等差数列{a n}的公差d＝3，S n表示{a n}的前n项和，若数列{S n}是递增数列，则a1的取值范围是．9．数字不重复，且个位数字与千位数字之差的绝对值等于2的四位数的个数为．10．过抛物线C：y2＝2x的焦点F，且斜率为的直线交抛物线C于点M（M在x轴的上方），l为抛物线C的准线，点N在l上且MN⊥l，则M到直线NF的距离为．11．已知数列{a n}的前n项和为S n，对任意n∈N*，S n＝（﹣1）n a n++n﹣3且（a1﹣p）（a2﹣p）＜0，则实数p的取值范围是．12．已知函数f（x）＝关于x的不等式f（x）﹣mx﹣2m﹣2＜0的解集是（x1，x2）∪（x3，+∞），若x1x2x3＞0，则x1+x2+x3的取值范围是．二.选择题（本大题共4题，每题5分，共20分）13．过点（﹣1，0），且与直线＝有相同方向向量的直线的方程为（）A．3x+5y﹣3＝0 B．3x+5y+3＝0 C．3x+5y﹣1＝0 D．5x﹣3y+5＝0 14．一个棱锥被平行于底面的平面所截截面面积恰好是棱锥底面面积的一半，则截得的小棱锥与原棱锥的高之比是（）A．1：2 B．1：8 C．：2 D．：415．若圆C1：x2+y2＝1和圆C2：x2+y2﹣6x﹣8y﹣k＝0没有公共点，则实数k的取值范围是（）A．（﹣9，11）B．（﹣25，﹣9）C．（﹣∞，﹣9）∪（11，+∞）D．（﹣25，﹣9）∪（11，+∞）16．设H是△ABC的垂心，且3+4+5＝，则cos∠BHC的值为（）A．﹣B．﹣C．﹣D．﹣三.解答题（本大题共5题，共14+14+14+16+18＝76分）17．如图所示，圆锥SO的底面圆半径|OA|＝1，母线SA＝3．（1）求此圆锥的体积和侧面展开图扇形的面积；（2）过点O在圆锥底面作OA的垂线交底面圆圆弧于点P，设线段SO中点为M，求异面直线AM与PS所成角的大小．18．设函数f（x）＝x2+|x﹣a|（x∈R，a为实数）．（1）若f（x）为偶函数，求实数a的值；（2）设a＞，求函数f（x）的最小值（用a表示）．19．如图，某市郊外景区内一条笔直的公路a经过三个景点A、B、C，景区管委会又开发了风景优美的景点D，经测量景点D位于景点A的北偏东30°方向8km处，位于景点B的正北方向，还位于景点C的北偏西75°方向上，已知AB＝5km．（1）景区管委会准备由景点D向景点B修建一条笔直的公路，不考虑其他因素，求出这条公路的长；（结果精确到0.1km）（2）求景点C与景点D之间的距离．（结果精确到0.1km）20．（16分）给正有理数、（i≠j，i，j∈N*，m i，n i，m j，n j∈N*，且m i＝m j和n i ＝n j不同时成立），按以下规则P排列：①若m i+n i＜m j+n j，则排在前面；②若m i+n i ＝m j+n j，且n i＜n j，则排在的前面，按此规则排列得到数列{a n}．（例如：，，，……）．（1）依次写出数列{a n}的前10项；（2）对数列{a n}中小于1的各项，按以下规则Q排列：①各项不做化简运算；②分母小的项排在前面；③分母相同的两项，分子小的项排在前面，得到数列{b n}，求数列{b n}的前10项的和S10，前2019项的和S2019；（3）对数列{a n}中所有整数项，由小到大取前2019个互不相等的整数项构成集合A＝{c1，c2，c3，…，c2019}，A的子集B满足：对任意的x，y∈B，有x+y∉B，求集合B中元素个数的最大值．21．（18分）已知椭圆Γ：+＝1（a＞b＞0），点A为椭圆短轴的上端点，P为椭圆上异于A点的任一点，若P点到A点距离的最大值仅在P点为短轴的另一端点时取到，则称此椭圆为“圆椭圆”，已知b＝2．（1）若a＝，判断椭圆Γ是否为“圆椭圆”；（2）若椭圆Γ是“圆椭圆”，求a的取值范围；（3）若椭圆Γ是“圆椭圆”，且a取最大值，Q为P关于原点O的对称点，Q也异于A 点，直线AP、AQ分别与x轴交于M、N两点，试问以线段MN为直径的圆是否过定点？证明你的结论．上海市2020届徐汇区高考数学一模试卷参考答案与试题解析一、填空题（本大题共12题，1-6每题4分，7-12每题5分，共54分）1．已知集合M＝{x|x＞2}，集合N＝{x|x≤1}，则M∪N＝{x|x≤1或x＞2} ．【解答】解：∵M＝{x|x＞2}，N＝{x|x≤1}，∴M∪N＝{x|x≤1或x＞2}．故答案为：{x|x≤1或x＞2}．2．向量在向量方向上的投影为 3 ．【解答】解：∵向量在向量，∴cos（，）＝＝＝，∴向量在向量方向上的投影为：cos（，）＝5×＝3，故答案为3；3．二项式（3x﹣1）11的二项展开式中第3项的二项式系数为55 ．【解答】解：二项式（3x﹣1）11的二项展开式的通项公式T r+1＝•（3x）11﹣r•（﹣1）r，令r＝2，可得中第3项的二项式系数为＝＝55，故答案为：55．4．复数的共轭复数为．【解答】解：∵＝，∴．故答案为：．5．已知y＝f（x）是定义在R上的偶函数，且它在[0，+∞）上单调递增，那么使得f（﹣2）≤f（a）成立的实数a的取值范围是a≤﹣2或a≥2 ．【解答】解：∵函数f（x）是定义在R上的偶函数，且在区间[0，+∞）上单调递增．∴不等式f（﹣2）≤f（a）等价为f（2）≤f（|a|），即2≤|a|，∴a≤﹣2或a≥2，故答案为：a≤﹣2或a≥2．6．已知函数f（x）＝arcsin（2x+1），则f﹣1（）＝．【解答】解：令arcsin（2x+1）＝即sin＝2x+1＝解得x＝故答案为：7．已知x∈R，条件p：x2＜x，条件q：≥a（a＞0），若p是q的充分不必要条件，则实数a的取值范围是（0，1] ．【解答】解：因为x∈R，条件p：x2＜x，所以p对应的集合为A＝（0，1）；因为条件q：≥a（a＞0），所以q对应的集合为B＝（0，]；因为p是q的充分不必要条件，所以A⫋B，所以，所以0＜a≤1，故答案为：（0，1]．8．已知等差数列{a n}的公差d＝3，S n表示{a n}的前n项和，若数列{S n}是递增数列，则a1的取值范围是（﹣3，+∞）．【解答】解：S n＝na1+．∵数列{S n}是递增数列，∴S n+1＞S n，∴（n+1）a1+×3＞na1+．化为：a1＞﹣3n，对于∀n∈N*都成立．∴a1＞﹣3．故答案为：（﹣3，+∞）．9．数字不重复，且个位数字与千位数字之差的绝对值等于2的四位数的个数为840 ．【解答】解：根据题意，0到9十个数字中之差的绝对值等于2的情况有8种：0与2，1与3，2与4，3与5，4与6，5与7，6与8，7与9分2种情况讨论：①当个位与千位数字为0，2时，只能千位为2，个位为0，有A82＝56种，②当个位与千位数字为1与3，2与4，3与5，4与6，5与7，6与8，7与9时，先排千位数字，再排十位数字，最后排个位与百位，有7×A82×A22＝784种，共784+56＝840；故答案为：840．10．过抛物线C：y2＝2x的焦点F，且斜率为的直线交抛物线C于点M（M在x轴的上方），l为抛物线C的准线，点N在l上且MN⊥l，则M到直线NF的距离为．【解答】解：抛物线C：y2＝2x的焦点F（，0），且斜率为的直线方程为，所以，整理得9x2﹣15x+4＝0，解得，当x＝时，解得y＝，设点M（），l为抛物线C的准线，点N在l上且MN⊥l，所以N（，）．所以NF的直线方程为，所以当M（）到直线的距离d＝＝．故答案为：11．已知数列{a n}的前n项和为S n，对任意n∈N*，S n＝（﹣1）n a n++n﹣3且（a1﹣p）（a2﹣p）＜0，则实数p的取值范围是（）．【解答】解：数列{a n}的前n项和为S n，对任意n∈N*，S n＝（﹣1）n a n++n﹣3，当n＝1时，，解得，当n＝3时，，整理得，①当n＝4时，，整理得，②由①②得：，所以，整理得，解得，所以：实数p的取值范围是（），故答案为：（）．12．已知函数f（x）＝关于x的不等式f（x）﹣mx﹣2m﹣2＜0的解集是（x1，x2）∪（x3，+∞），若x1x2x3＞0，则x1+x2+x3的取值范围是[2﹣12，+∞）．【解答】解：画出函数y＝f（x）的图象，x的不等式f（x）﹣mx﹣2m﹣2＜0，即为f（x）＜m（x+2）+2，作出直线y＝m（x+2）+2，其恒过定点（﹣2，2），由解集是（x1，x2）∪（x3，+∞），若x1x2x3＞0，可得x1＜0，x2＜0，x3＞0，当x≤﹣1时，x1，x2，是方程x2+6x+10﹣mx﹣2m﹣2＝0的两个实根；即x2+（6﹣m）x+8﹣2m＝0的两个实根，∴x1+x2＝m﹣6；当x＞﹣1时，x3是方程﹣4x+1﹣mx﹣2m﹣2＝0的实根；∴x3＝；∴结合图象可得m＜0，当直线y＝m（x+2）+2经过（0，1）时，可得2m+2＝1，解得m＝﹣；当直线y＝m（x+2）+2与直线y＝1﹣4x平行时，m＝﹣4．由直线y＝m（x+2）+2在y＝f（x）的上方，可得﹣4＜m＜﹣．∴m+4＞0，∴x1+x2+x3＝m﹣6+＝m+4+﹣12≥2﹣12＝2﹣12；当且仅当m+4＝时，即m＝﹣4+时取等号；故答案为：[2﹣12，+∞）．二.选择题（本大题共4题，每题5分，共20分）13．过点（﹣1，0），且与直线＝有相同方向向量的直线的方程为（）A．3x+5y﹣3＝0 B．3x+5y+3＝0 C．3x+5y﹣1＝0 D．5x﹣3y+5＝0 【解答】解：由＝可得，3x+5y+8＝0，即直线的斜率﹣，由题意可知所求直线的斜率率k＝﹣，故所求的直线方程为y＝﹣（x﹣1）即3x+5y+3＝0．故选：B．14．一个棱锥被平行于底面的平面所截截面面积恰好是棱锥底面面积的一半，则截得的小棱锥与原棱锥的高之比是（）A．1：2 B．1：8 C．：2 D．：4【解答】解：∵在棱锥中，平行于底面的平面截棱锥所得的截面与底面相似，相似比等于截得的小棱锥与原棱锥对应棱长之比．又∵一个棱锥被平行于底面的平面所截截面面积恰好是棱锥底面面积的一半，∴相似比为1：＝：2．则截得的小棱锥与原棱锥的高之比是：2．故选：C．15．若圆C1：x2+y2＝1和圆C2：x2+y2﹣6x﹣8y﹣k＝0没有公共点，则实数k的取值范围是（）A．（﹣9，11）B．（﹣25，﹣9）C．（﹣∞，﹣9）∪（11，+∞）D．（﹣25，﹣9）∪（11，+∞）【解答】解：化圆C2：x2+y2﹣6x﹣8y﹣k＝0为（x﹣3）2+（y﹣4）2＝25+k，则k＞﹣25，圆心坐标为（3，4），半径为，圆C1：x2+y2＝1的圆心坐标为（0，0），半径为1．要使圆C1：x2+y2＝1和圆C2：x2+y2﹣6x﹣8y﹣k＝0没有公共点，则|C1C2|或|C1C2|＜，即5＞或5，解得﹣25＜k＜﹣9或k＞11．∴实数k的取值范围是（﹣25，﹣9）∪（11，+∞）．故选：D．16．设H是△ABC的垂心，且3+4+5＝，则cos∠BHC的值为（）A．﹣B．﹣C．﹣D．﹣【解答】解：由三角形垂心性质可得，，不妨设＝x，∵3+4+5＝，∴，∴，同理可求得，∴．故选：D．三.解答题（本大题共5题，共14+14+14+16+18＝76分）17．如图所示，圆锥SO的底面圆半径|OA|＝1，母线SA＝3．（1）求此圆锥的体积和侧面展开图扇形的面积；（2）过点O在圆锥底面作OA的垂线交底面圆圆弧于点P，设线段SO中点为M，求异面直线AM与PS所成角的大小．【解答】解：（1）圆锥SO的底面圆半径|OA|＝1，母线SA＝3．所以圆锥的高为h＝．所以，S圆锥侧＝π•1•3＝3π．（2）如图所示：在圆锥中，作MN∥SP，交OP于N，则异面直线AM与PS所成的角为∠AMN．依题意：AM＝，MN＝，AN＝，所以＝，所以面直线AM与PS所成角的大小．18．设函数f（x）＝x2+|x﹣a|（x∈R，a为实数）．（1）若f（x）为偶函数，求实数a的值；（2）设a＞，求函数f（x）的最小值（用a表示）．【解答】解：（1）若函数f（x）为偶函数，则f（﹣x）＝f（x）对于任意实数恒成立．即：x2+|﹣x﹣a|＝x2+|x﹣a|，所以|x+a|＝|x﹣a|恒成立，即a＝0．（2）在的基础上，讨论x﹣a的符号，①当x≥a时，f（x）＝x2+x﹣a，所以函数f（x）的对称轴为x＝，此时．②当x＜a时，f（x）＝x2+x﹣a，所以函数f（x）的对称轴为x＝，此时．又由于a时，，所以函数f（x）的最小值为．19．如图，某市郊外景区内一条笔直的公路a经过三个景点A、B、C，景区管委会又开发了风景优美的景点D，经测量景点D位于景点A的北偏东30°方向8km处，位于景点B的正北方向，还位于景点C的北偏西75°方向上，已知AB＝5km．（1）景区管委会准备由景点D向景点B修建一条笔直的公路，不考虑其他因素，求出这条公路的长；（结果精确到0.1km）（2）求景点C与景点D之间的距离．（结果精确到0.1km）【解答】解：（1）如图，过点D作DE⊥AC于点E，过点A作AF⊥DB，交DB的延长线于点F在Rt△DAF中，∠ADF＝30°，∴AF＝AD＝×8＝4，∴DF＝；在Rt△ABF中，BF＝＝3，∴BD＝DF﹣BF＝4﹣3sin∠ABF＝，在Rt△DBE中，sin∠DBE＝，∵∠ABF＝∠DBE，∴sin∠DBE＝，∴DE＝BD•sin∠DBE＝×（4﹣3）＝≈3.1（km）∴景点D向公路a修建的这条公路的长约是3.1km；（2）由题意可知∠CDB＝75°，由（1）可知sin∠DBE＝＝0.8，所以∠DBE＝53°，∴∠DCB＝180°﹣75°﹣53°＝52°在Rt△DCE中，sin∠DCE＝，∴DC＝≈4（km）∴景点C与景点D之间的距离约为4km．20．（16分）给正有理数、（i≠j，i，j∈N*，m i，n i，m j，n j∈N*，且m i＝m j和n i ＝n j不同时成立），按以下规则P排列：①若m i+n i＜m j+n j，则排在前面；②若m i+n i ＝m j+n j，且n i＜n j，则排在的前面，按此规则排列得到数列{a n}．（例如：，，，……）．（1）依次写出数列{a n}的前10项；（2）对数列{a n}中小于1的各项，按以下规则Q排列：①各项不做化简运算；②分母小的项排在前面；③分母相同的两项，分子小的项排在前面，得到数列{b n}，求数列{b n}的前10项的和S10，前2019项的和S2019；（3）对数列{a n}中所有整数项，由小到大取前2019个互不相等的整数项构成集合A＝{c1，c2，c3，…，c2019}，A的子集B满足：对任意的x，y∈B，有x+y∉B，求集合B中元素个数的最大值．【解答】解：（1）依题意，数列{a n}的前10项为：，，，，，，，，，；（2）依题意按规则Q排列后得：{，，，，，，，，，，…}，∴前10项和为：S10＝+++＝5；求前2019项的和S2019时，先确定最后一个分数的值，令2019＝1+2+3+…+n即＝2019，∴n∈（63，64），数列分母取慢2﹣64时，共有＝2016项，所有分母为65的还有3项，即：，，，∴数列{b n}前2019项为：{，，，，，，，，，，…，，，，}，当n∈[2，64]时，对分母为n的小段求和：S＝+++…+＝，∴当n∈[2，64]时，对63个小段相加求和：S′＝+++…+＝•＝1008，S2019＝S′+＝1008，（3）依题意：A＝{1，2，3，…，2019}，B＝{2019，2018，2107，2016，…，1010}共1010项，这种情况B中的元素最多．21．（18分）已知椭圆Γ：+＝1（a＞b＞0），点A为椭圆短轴的上端点，P为椭圆上异于A点的任一点，若P点到A点距离的最大值仅在P点为短轴的另一端点时取到，则称此椭圆为“圆椭圆”，已知b＝2．（1）若a＝，判断椭圆Γ是否为“圆椭圆”；（2）若椭圆Γ是“圆椭圆”，求a的取值范围；（3）若椭圆Γ是“圆椭圆”，且a取最大值，Q为P关于原点O的对称点，Q也异于A 点，直线AP、AQ分别与x轴交于M、N两点，试问以线段MN为直径的圆是否过定点？证明你的结论．【解答】解：（1）由题意得椭圆方程：＝1，所以A（0，2），设P（x，y）则|PA|2＝x2++（y﹣2）2＝5•（1﹣）+（y﹣2）2＝﹣y2﹣4y+9，y∈[﹣2，2]，二次函数开口向下，对称轴y＝﹣8，y∈[﹣2，2]上函数单调递减，所以y＝﹣2时，函数值最大，此时P为椭圆的短轴的另一个端点，∴椭圆是“圆椭圆”；（2）由（1）的方法：椭圆方程：+＝1，A（0，2）设P（（x，y），则|PA|2＝x2+（y﹣2）2＝a2•（1﹣）+（y﹣2）2＝（﹣+1）y2﹣4y+4+a2，y∈[﹣2，2]，由题意得，当且仅当y＝﹣2时，函数值达到最大，讨论：①当开口向上时，满足：⇒⇒﹣2＜a＜2（舍）；②当开口向下时，满足⇒2＜a≤2，综上a的范围：（2，2]．（3）a＝2，椭圆方程：+＝1，由题意：设P（2cosθ，sinθ），θ∈[0，2π]，且，则Q（﹣2cosθ，﹣sinθ），则直线AP：y＝x+2⇒M （，0）则直线AQ：y＝+2⇒N（，0），MN为直径的圆过定点C（m，n）则，＝0，所以得定点（0，2）．。

【2020年高考数学预测题】上海市高考数学试卷(文科)5【附详细答案和解析_可编辑】

【2020年高考数学预测题】上海市高考数学试卷（文科）5【附详细答案和解析_可编辑】学校：__________ 班级：__________ 姓名：__________ 考号：__________一、选择题（本题共计 4 小题，每题 4 分，共计16分，）1. 设i为虚数单位，m∈R，“复数m(m−1)+i是纯虚数”是“m=1”的()A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分又不必要条件2. 不等式1x<3等价于（）A.0<x<13B.x>13或x<0 C.x>13D.x<03. 在平面直角坐标系中，角α+π3的终边经过点P(1,2)，则sinα=（）A.2√5−√1510B.3√5−√1510C.3√5+√1510D.2√5+√15104. 设f(x)为可导函数，且满足limx→0f(1)−f(1−x)2x=−1，则曲线y=f(x)在点（1, f(1)）处的切线的斜率是（）A.2B.−1C.12D.−2二、填空题（本题共计 14 小题，每题 4 分，共计56分，）5. 设函数f(x)=2sin(ωx+φ)，x∈R，其中ω>0，|φ|<π，若f(5π8)=2，f(11π8)=0，且f(x)的最小正周期大于2π，则φ=________.6. 设全集U={x|x<5，x∈N∗}，集合A={1，2}，B={2，4}，则∁U(A∪B)=________.7. 设复数z=1+ii −|3+4i|，则z¯=________.8. 函数f(x)=10x和g(x)=lg x的图象关于直线l对称，则l的解析式为________．9. 设矩阵M=|√32−1212√32|的逆矩阵是M−1=|a bc d|，则a+c的值为________．10. 如图，在四棱柱ABCD−A1B1C1D1中，上，下底面为平行四边形，E为棱CD的中点，设四棱锥E−ADD1A1的体积为V1，四棱柱ABCD−A1B1C1D1的体积为V2，则V1:V2=________.11. 已知抛物线C:y2＝2px(p>0)的焦点为F，M为抛物线的准线上一点，且M的纵坐标为3√3，N是直线MF与抛物线的一个交点，若MN→=2NF→，则p＝________．12. 求值：2log214−(23)−2+lg1100+(√2)ln1＝________．13. 在直角坐标系中，△ABC的三个顶点坐标分别为A(0, 2)，B(−1, 0)，C(1, 0)，动点P(x, y)是△ABC内的点（包括边界）．若目标函数z=ax+by的最大值为2，且此时的最优解所确定的点P(x, y)是线段AC上的所有点，则目标函数z=ax+by的最小值为________．14. 若从4名数学教师中任意选出2人，再把选出的2名教师任意分配到4个班级任教，且每人任教2个班级，则不同的任课方案有________种（用数字作答）．15. 已知(x−1)(ax+1)6展开式中含x2项的系数为0，则正实数a＝________．16. 双曲线x216−y29=1的焦点坐标是________；渐近线方程是________．17. 已知平面向量a→，b→，c→满足a→⊥b→，且{|a→|, |b→|, |c→|}={1, 2, 3}，则|a→+b→+c→|的最大值是________．18. 已知ω>0，顺次连接函数y＝sin2ωx与y＝cos2ωx的任意三个相邻的交点都构成一个等边三角形，则ω＝________．三、解答题（本题共计 5 小题，每题 15 分，共计75分，）19. 如图，在各棱长均为2的正三棱柱ABC−A1B1C1中，D，E分别为棱A1B1与BB1的中点，M，N为线段C1D上的动点，其中，M更靠近D，且MN=C1N．（1）证明：A1E⊥平面AC1D；（2）若NE与平面BCC1B1所成角的正弦值为√1020，求异面直线BM与NE所成角的余弦值．20. 已知函数f(x)=1x ln x−ax(a≥0).(1)若曲线y=f(x)在x=1处的切线和直线x+y+3=0垂直，求f(x)的单调区间；(2)若ℎ(x)=x2f(x)+a−2+e的图象与x轴有交点，求a的取值范围.21. 对于函数f(x)，若存在x0∈R，使f(x0)=x0成立，则称x0为f(x)的不动点．已知f(x)=ax2+(b+1)x+b−1(a≠0)．（1）当a=1，b=−2时，求函数f(x)的不动点；（2）若对任意实数b，函数f(x)恒有两个相异的不动点，求a的范围；（3）在（2）的条件下，若y=f(x)图象上A、B两点的横坐标是函数f(x)的不动点，且A、B两点关于直线y=kx+12a2+1对称，求b的最小值．22. 已知椭圆C：x216+y24=1，直线l:y=12x+t(t>0)与椭圆C交于A,B两点( AB→为从左向右方向)，使△OAB的面积最大，O为坐标原点.(1)求直线l的方程及A，B的坐标；(2)若椭圆上的两点D，E(不与顶点重合，且A，B，D，E构成顺时针方向或逆时针方向）满足DE//AB，点E关于x轴的对称点是点F，求证：BF//AD.23. 已知{a n}是公差为3的等差数列，数列{b n}满足b1=1，b2=13，a n b n+1+b n+1=nb n．(1)求{a n}的通项公式；(2)求{b n}的前n项和．参考答案与试题解析【2020年高考数学预测题】上海市高考数学试卷（文科）5【附详细答案和解析_可编辑】一、选择题（本题共计 4 小题，每题 4 分，共计16分） 1.【答案】B【解答】解：复数m(m −1)+i 是纯虚数，则m =0或m =1，显然m =1，复数为i ，是纯虚数，∴ “复数m(m −1)+i 是纯虚数”是“m =1”的必要不充分条件．故选B ． 2.【答案】 B【解答】解：由 1x <3，移项得：1x−3<0，即1−3x x<0，即x−13x>0，解得：x >13或x <0．故选B ． 3.【答案】 A【解答】解：由题意知 sin (α+π3)=√5cos (α+π3)=√5，则sin α=sin [(α+π3)−π3]=sin (α+π3)cos π3−cos (a +π3)sin π3=2√512−1√5√32=2√5−√1510. 故选A . 4.【答案】 D【解答】解：∵ lim x →0f(1)−f(1−x)2x =−1， ∴ 12lim x →0f(1)−f(1−x)x =−1 ∴ lim x →0f(1)−f(1−x)x =−2 ∴ f′(1)=−2即曲线y =f (x)在点（1, f(1)）处的切线的斜率是−2，故选D ．二、填空题（本题共计 14 小题，每题 4 分，共计56分） 5.【答案】 π12 【解答】解：由的最小正周期大于2π，得T 4>π2，又f (5π8)=2，f (11π8)=0，所以T4=11π8−5π8=3π4，所以T =3π，则2πω=3π⇒ω=23，所以f(x)=2sin (ωx +φ)=2sin (23x +φ)，由f (5π8)=2sin (23×5π8+φ)=2⇒sin (5π12+φ)=1，所以5π12+φ=π2+2kπ，k ∈Z ，取k =0，得φ=π12<π，所以ω=23，φ=π12．故答案为：π12.6.【答案】 {3}【解答】解：A ∪B ={1，2，4}， ∁U (A ∪B)={3}. 故答案为：{3}. 7.【答案】 −4+i 【解答】解：由于z =1+i i−|3+4i|=(1+i)i i −5=−4−i ，则z ¯=−4+i . 故答案为：−4+i .8.【答案】y =x 【解答】解：∵ 函数f(x)=10x 和g(x)=lg x 互为反函数，其图象关于直线l 对称， ∴ 直线l 为y =x ．故答案为：y =x ． 9.【答案】 √3−12【解答】解：由题意，矩阵M 的行列式为|√32−1212√32|=√32×√32+12×12=1∴ 矩阵M =|√32−1212√32|的逆矩阵是M −1=|√3212−12√32| ∴ a +c =√3−12故答案为√3−1210.【答案】16【解答】解：由题意，将侧面ADD 1A 1作为四棱柱的底面，设点C 到平面ADD 1A 1的距离为ℎ， ∵ E 为CD 的中点，∴ E 到平面ADD 1A 1的距离为12ℎ，∴ V 1=13×12ℎ⋅S 四边形ADD 1A 1， V 2=S 四边形ADD 1A 1⋅ℎ， ∴ V 1V 2=16.故答案为：16. 11.【答案】 3【解答】抛物线C:y 2＝2px(p >0)的焦点为F ，M 为抛物线的准线上一点，且M 的纵坐标为3√3， N 是直线MF 与抛物线的一个交点，若MN →=2NF →，所以N 的横坐标为：p6，纵坐标√3，可得N(p6, √3)，代入抛物线方程可得：3＝2×p ×p6，解得p ＝3．12.【答案】−3【解答】原式=14−94−2+1＝−3，13.【答案】−2【解答】解：先根据约束条件画出可行域，设z =ax +by ，将最大值转化为y 轴上的截距，当直线ax+by=z与可行域内的边BC平行时，z=ax+by取最大值时的最优解有无数个，将−ab等价为斜率，数形结合，得k AC=−2=−ab，且a×1+b×0=2，∴a=2，b=1，z=2x+y当直线z=2x+y过点B时，z取最小值，最小值为−2．故答案为：−2．14.【答案】36【解答】解：由题意知这是一个分步计数问题，首先从4个教师中选2个，有C42=6种结果，再从4个班中选2个班给其中一个教师，剩下的两个班给另外一个教师，有C42=6种结果，∴根据分步计数原理知共有6×6=36种结果故答案为：3615.【答案】．【解答】(x−1)(ax+1)6中，(ax+1)6中x2的系数为：，x项的系数为：，(x−1)(ax+1)6展开式中含x2项的系数为0，可得：0，则15a＝6，所以a，16.【答案】(±5，0),y=±34x【解答】解：双曲线：x 216−y29=1中，a=4，b=3，c=5，所以双曲线的焦点坐标是(±5，0)；渐近线方程为y=±34x.故答案为：(±5，0)；y=±34x.17.【答案】3+√5【解答】解：分别以a→，b→所在的直线为x，y轴建立直角坐标系，①当{|a→|, |b→|}={1, 2}，|c→|=3，则a→+b→=(1,2)，设c→=(x,y)，则x2+y2=9，∴a→+b→+c→=(1+x, 2+y)，∴|a→+b→+c→|=√(x+1)2+(y+2)2的最大值，其几何意义是圆x2+y2=9上点(x, y)与定点(−1, −2)的距离的最大值为3+√(0+2)2+(0+1)2=3+√5；②当{|a→|, |b→|}={1, 3}，|c→|=2，则a→+b→=(1,3)，设c→=(x, y)，则x2+y2=4，∴a→+b→+c→=(1+x, 3+y)，∴|a→+b→+c→|=√(x+1)2+(y+3)2的最大值，其几何意义是圆x2+y2=4上点(x, y)与定点(−1, −3)的距离的最大值为2+√(0+1)2+(0+3)2=2+√10，③当{|a→|, |b→|}={2, 3}，|c→|=1，则a→+b→=(2,3)，设c→=(x,y)，则x2+y2=1，∴a→+b→+c→=(2+x, 3+y)，∴|a→+b→+c→|=√(x+2)2+(y+3)2的最大值，其几何意义是圆x2+y2=1。

2020年上海市高考数学模拟试卷6套(附答案解析)

高考数学一模试卷题号一二三总分得分一、选择题（本大题共4小题，共20.0分）1.若函数在区间（1，e）上存在零点，则常数a的取值范围为（）A. 0＜a＜1B.C.D.2.下列函数是偶函数，且在[0，+∞）上单调递增的是（）A. B. f（x）=|x|-2cos xC. D. f（x）=10|lg x|3.已知平面α、β、γ两两垂直，直线a、b、c满足a⊆α，b⊆β，c⊆γ，则直线a、b、c不可能满足的是（）A. 两两垂直B. 两两平行C. 两两相交D. 两两异面4.提鞋公式也叫李善兰辅助角公式，其正弦型如下：，-π＜φ＜π，下列判断错误的是（）A. 当a＞0，b＞0时，辅助角B. 当a＞0，b＜0时，辅助角C. 当a＜0，b＞0时，辅助角D. 当a＜0，b＜0时，辅助角二、填空题（本大题共12小题，共54.0分）5.若复数z满足z（1+i）=2i（i为虚数单位），则|z|=______．6.已知，则λ=______．7.函数y=3x-1（x≤1）的反函数是______．8.2019年女排世界杯共有12支参赛球队，赛制采用12支队伍单循环，两两捉对厮杀一场定胜负，依次进行，则此次杯赛共有______场球赛．9.以抛物线y2=-6x的焦点为圆心，且与抛物线的准线相切的圆的方程是______．10.在（1-x）5（1+x3）的展开式中，x3的系数为______．（结果用数值表示）11.不等式|x-x2-2|＞x2-3x-6的解集是______．12.已知方程x2-kx+2=0（k∈R）的两个虚根为x1、x2，若|x1-x2|=2，则k=______．13.已知直线l过点（-1，0）且与直线2x-y=0垂直，则圆x2+y2-4x+8y=0与直线l相交所得的弦长为______．14.有一个空心钢球，质量为142g，测得外直径为5cm，则它的内直径是______cm（钢的密度为7.9g/cm3，精确到0.1cm）．15.已知{a n}、{b n}均是等差数列，c n=a n•b n，若{c n}前三项是7、9、9，则c10=______．16.已知a＞b＞0，那么，当代数式取最小值时，点P（a，b）的坐标为______．三、解答题（本大题共5小题，共76.0分）17.在直四棱柱ABCD-A1B1C1D1中，底面四边形ABCD是边长为2的菱形，∠BAD=60°，DD1=3，E是AB的中点．（1）求四棱锥C1-EBCD的体积；（2）求异面直线C1E和AD所成角的大小．（结果用反三角函数值表示）18.已知函数．（1）求函数f（x）的最小正周期及对称中心；（2）若f（x）=a在区间上有两个解x1、x2，求a的取值范围及x1+x2的值．19.一家污水处理厂有A、B两个相同的装满污水的处理池，通过去掉污物处理污水，A池用传统工艺成本低，每小时去掉池中剩余污物的10%，B池用创新工艺成本高，每小时去掉池中剩余污物的19%．（1）A池要用多长时间才能把污物的量减少一半；（精确到1小时）（2）如果污物减少为原来的10%便符合环保规定，处理后的污水可以排入河流，若A、B两池同时工作，问经过多少小时后把两池水混合便符合环保规定．（精确到1小时）20.已知直线l：x=t（0＜t＜2）与椭圆相交于A、B两点，其中A在第一象限，M是椭圆上一点．（1）记F1、F2是椭圆Γ的左右焦点，若直线AB过F2，当M到F1的距离与到直线AB的距离相等时，求点M的横坐标；（2）若点M、A关于y轴对称，当△MAB的面积最大时，求直线MB的方程；（3）设直线MA和MB与x轴分别交于P、Q，证明：|OP|•|OQ|为定值．21.已知数列{a n}满足a1=1，a2=e（e是自然对数的底数），且，令b n=ln a n（n∈N*）．（1）证明：；（2）证明：是等比数列，且{b n}的通项公式是；（3）是否存在常数t，对任意自然数n∈N*均有b n+1≥tb n成立？若存在，求t的取值范围，否则，说明理由．答案和解析1.【答案】C【解析】解：函数在区间（1，e）上为增函数，∵f（1）=ln1-1+a＜0，f（e）=ln e-+a＞0，可得＜a＜1故选：C．判断函数的单调性，利用零点判断定理求解即可．本题考查函数与方程的应用，函数的零点的判断，是基本知识的考查．2.【答案】A【解析】解：由偶函数的定义，偶函数的定义域关于原点对称，故D错；A：f（-x）=log2（4-x+1）+x=log2+x=log2（4x+1）-log222x+x=log2（4x+1）-x=f（x）；f（x）=log2（4x+1）-x=log2=log2（2x+）≥log22=1，当且仅当2x=，即x=0时等号成立，故A正确；B：x＞0时，f（x）=x-2cos x，令f′（x）=1-2sin x＞0，得x∈（0，2kπ+）∪（2kπ+，2kπ+2π）（k∈N*），故B不正确；C：x≠0时，x2+≥2，当且仅当x2=，即x=±1时，等号成立，∴不满足在[0，+∞）上单调递增，故C不正确；故选：A．由偶函数的定义，及在[0，+∞）上单调即可求解；考查偶函数的定义，函数在特定区间上的单调性，属于低档题；3.【答案】B【解析】解：平面α、β、γ两两垂直，直线a、b、c满足a⊆α，b⊆β，c⊆γ，所以直线a、b、c在三个平面内，不会是共面直线，所以：当直线两两平行时，a、b、c为共面直线．与已知条件整理出的结论不符．故选：B．直接利用直线和平面的位置关系的应用求出结果．本题考查的知识要点：直线和平面之间的关系的应用，主要考查学生的空间想象能力，属于基础题型．4.【答案】B【解析】解：因为cosφ=，sinφ=⇒tanφ=，对于A，因为a＞0，b＞0，则辅助角φ在第一象限⇒0＜φ＜，因为＞0，φ=arctan＞0，故A选项正确；对于B，因为a＞0，b＜0，则辅助角φ在第四象限⇒-＜φ＜0；，故φ=π-arctan（-）=π+arctan＞0，故B选项错误；对于C，因为a＜0，b＞0，则辅助角φ在第二象限⇒⇒＜φ＜π；＜0，故φ═π-arctan（-）=π+arctan＞0，故C选项正确；对于D，因为a＜0，b＜0，则辅助角φ在第三象限⇒-π＜φ＜-，＞0，故φ=arctan，又因为φ∈（-π，π]，故φ=arctan-π＜0，故D选项正确；故选：B．分别判断出a，b的值，对辅助角φ的影响．①a＞0，b＞0，则辅助角φ在第一象限；②a＞0，b＜0，则辅助角φ在第四象限；③a＜0，b＜0，则辅助角φ在第三象限；④a＜0，b＞0，则辅助角φ在第二象限．本题考查了三角函数的性质，考查学生的分析能力；属于中档题．5.【答案】【解析】解：∵复数z满足z（1+i）=2i，∴（1-i）z（1+i）=2i（1-i），化为2z=2（i+1），∴z=1+i．∴|z|=．故答案为：．利用复数的运算法则、模的计算公式即可得出．本题考查了复数的运算法则、模的计算公式，属于基础题．6.【答案】3【解析】解：=（λ-4）+2λ=5，解之得λ=3，故答案为：3．由行列式的公式化简求解．本题考查行列式，属于基础题．7.【答案】y=1+log3x，x∈（0，1]【解析】解：y=3x-1（x≤1），y∈（0，1]，得x-1=log3y，x，y对换，得y=1+log3x，x∈（0，1]，故答案为：y=1+log3x，x∈（0，1]，利用反函数的求法，先反解x，再对换x，y，求出即可．本题考查了反函数的求法，属于基础题．8.【答案】66【解析】解：根据题意利用组合数得．故答案为：66．直接利用组合数的应用求出结果．本题考查的知识要点：组合数的应用，主要考查学生的运算能力和转换能力及思维能力，属于基础题．9.【答案】（x+）2+y2=9【解析】解：抛物线y2=-6x的焦点坐标为：（-，0）准线的方程为x=，所以叫点到准线的距离为3，所以以焦点为圆心且与抛物线的准线相切的圆的方程是：．故答案为：．首先求出抛物线的交点坐标和准现方程，进一步求出圆的方程．本题考查的知识要点：圆锥曲线的性质的应用，圆的方程的应用，主要考查学生的运算能力和转换能力及思维能力，属于基础题型．10.【答案】6【解析】解：（1-x）5•（1+x）3=（1-x）2•[（1-x）（1+x）]3=（x2-2x+1）•（1-3x2+3x4-x6）∴展开式中x3的系数为（-2）•（-3）=6．故答案为：6．把（1-x）5•（1+x）3化为（1-x）2•[（1-x）（1+x）]3，再化为（x2-2x+1）•（1-3x2+3x4-x6），由此求出展开式中x3的系数．本题考查了二项式系数的性质与应用问题，解题时应根据多项式的运算法则合理地进行等价转化，是基础题目．11.【答案】（-4，+∞）【解析】解：不等式|x-x2-2|＞x2-3x-6转换为不等式|x2-x+2|＞x2-3x-6，由于函数y=x2-x+2的图象在x轴上方，所以x2-x+2＞0恒成立，所以x2-x+2＞x2-3x-6，整理得x＞-4，故不等式的解集为（-4，+∞）．故答案为（-4，+∞）直接利用绝对值不等式的解法及应用求出结果．本题考查的知识要点：不等式的解法及应用，主要考查学生的运算能力和转换能力及思维能力，属于基础题型．12.【答案】±2【解析】解：∵方程程x2-kx+2=0的两个虚根为x1、x2，可设x1=a+bi，x2=a-bi（a，b∈R）．∴x1+x2=2a=k，x1x2=a2+b2=2，∵|x1-x2|=2，∴|2bi|=2，联立解得：b=±1，a=±1．∴k=±2．故答案为：±2．由题意设x1=a+bi，x2=a-bi（a，b∈R），利用根与系数的关系结合|x1-x2|=2求得a与b 的值，则k可求．本题考查了实系数一元二次方程的根与系数的关系，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．13.【答案】2【解析】解：由题意可得，l的方程为x+2y+1=0，∵x2+y2-4x+8y=0可化为（x-2）2+（y+4）2=20，圆心（2，-4），半径r=2，∴圆心（2，-4）到l的距离d==，∴AB=2=2=2．故答案为：2．先求出直线l的方程，再求出圆心C与半径r，计算圆心到直线l的距离d，由垂径定理求弦长|AB|．本题考查直线与圆的方程的应用问题，考查两条直线垂直以及直线与圆相交所得弦长的计算问题，是基础题．14.【答案】4.5【解析】解：设钢球的内半径为r，所以7.9××3.14×[-]=142，解得r≈2.25．故内直径为4.5cm．故答案为：4.5．直接利用球的体积公式和物理中的关系式的应用求出结果．本题考查的知识要点：球的体积公式和相关的物理中的关系式的应用，主要考查学生的运算能力和转换能力及思维能力，属于基础题型．15.【答案】-47【解析】解：设c n=a n•b n=an2+bn+c，则，解得∴c10=-1×102+5×10+3=-47，故答案为：-47．{a n}、{b n}均是等差数列，故{c n}为二次函数，设c n=an2+bn+c，根据前3项，求出a，b ，c的值，即可得到c10．本题考查了等差数列的通项公式，考查分析和解决问题的能力和计算能力，属于基础题．16.【答案】（2，）【解析】解：因为a＞b＞0：∴b（a-b）≤=；所以≥a2+≥2=16．当且仅当⇒时取等号，此时P（a，b）的坐标为：（2，）．故答案为：（2，）．先根据基本不等式得到b（a-b）≤=；再利用一次基本不等式即可求解．本题考查的知识点：关系式的恒等变换，基本不等式的应用，属于基础题型．17.【答案】解：（1）在直四棱柱ABCD-A1B1C1D1中，∵底面四边形ABCD是边长为2的菱形，∠BAD=60°，∴B到DC边的距离为，又E是AB的中点，∴BE=1，则．∵DD1=3，∴=；（2）在直四棱柱ABCD-A1B1C1D1中，∵AD∥B1C1，∴∠B1C1E即为异面直线C1E和AD所成角，连接B1E，在△C1B1E中，B1C1=2，，=．∴cos∠B1C1E=，∴异面直线C1E和AD所成角的大小为arccos．【解析】（1）求解三角形求出底面梯形BCDE的面积，再由棱锥体积公式求解；（2）在直四棱柱ABCD-A1B1C1D1中，由题意可得AD∥B1C1，则∠B1C1E即为异面直线C1E和AD所成角，求解三角形得答案．本题考查多面体体积的求法及异面直线所成角的求法，考查空间想象能力与思维能力，是中档题．18.【答案】解：（1）函数===．所以函数的最小正周期为，令（k∈Z），解得（k∈Z），所以函数的对称中心为（）（k∈Z）．（2）由于，所以，在区间上有两个解x1、x2，所以函数时，函数的图象有两个交点，故a的范围为[0，）．由于函数的图象在区间上关于x=对称，故．【解析】（1）直接利用三角函数关系式的恒等变换的应用，把函数的关系式变形成正弦型函数，进一步求出函数的周期和对称中心．（2）利用函数的定义域求出函数的值域，进一步求出参数a的范围和x1+x2的值．本题考查的知识要点：三角函数关系式的恒等变换，正弦型函数的性质的应用，主要考查学生的运算能力和转换能力及思维能力，属于基础题型．19.【答案】解：（1）A池用传统工艺成本低，每小时去掉池中剩余污物的10%，剩余原来的90%，设A池要用t小时才能把污物的量减少一半，则0.9x=0.5，可得x=≈7，则A池要用7小时才能把污物的量减少一半；（2）设A、B两池同时工作，经过x小时后把两池水混合便符合环保规定，B池用创新工艺成本高，每小时去掉池中剩余污物的19%，剩余原来的81%，可得=0.1，即0.92x+0.9x-0.2=0，可得0.9x=，可得x=≈17．则A、B两池同时工作，经过17小时后把两池水混合便符合环保规定．【解析】（1）由题意可得A池每小时剩余原来的90%，设A池要用t小时才能把污物的量减少一半，则0.9x=0.5，两边取对数，计算可得所求值；（2）设A、B两池同时工作，经过x小时后把两池水混合便符合环保规定，B池每小时剩余原来的81%，可得=0.1，由二次方程的解法和两边取对数可得所求值．本题考查对数在实际问题的应用，考查方程思想和运算能力，属于基础题．20.【答案】解：（1）设M（x，y），-2≤x≤2，F1（-），F2（，0），直线AB 过F2，所以t=由题意得：=|x-|⇒y2=-4x，联立椭圆方程：+=1⇒y2=2-，解得x=-6+4，即M的横坐标是：-6+4．（2）设A（t，y1），B（t，-y1），M（-t，y1），则S△MAB=2t•|2y1|=2t•|y1|，而A在椭圆上，所以，+=1∴1≥2•⇒ty1≤，∴S△MAB≤2，当且仅当t=，即t=y1时取等号，∴t=，这时B（，-1），M（-，1），所以直线MB方程：y=-x；（3）设点A（t，y1），B（t，-y1），M（x0，y0），则直线MA：y=•（x-t）+y1，所以P的坐标（，0）同理直线MB：y=（x-t）-y1，所以Q的坐标（，0）所以|OP|•|OQ|=||，又因为A，M在椭圆上，所以y12=2-t2，y02=2-x02代入|OP|•|OQ|=||=4，恒为定值．【解析】（1）由题意可得焦点F1，F2的坐标，进而可求出A的坐标，设M的坐标，注意横坐标的范围[-2，2]，在椭圆上，又M到F1的距离与到直线AB的距离相等，可求出M的横坐标；（2）M，A，B3个点的位置关系，可设一个点坐标，写出其他两点的坐标，写出面积的表达式，根据均值不等式可求出横纵坐标的关系，又在椭圆上，进而求出具体的坐标，再求直线MB的方程；（3）设M，A的坐标，得出直线MA，MB的方程，进而求出两条直线与x轴的交点坐标，用M，A的坐标表示，而M，A又在椭圆上，进而求出结果．考查直线与椭圆的综合应用，属于中难度题．21.【答案】（1）证明：由已知可得：a n＞1．∴ln a n+1+ln a n≥2，∴ln≥，∵，b n=ln a n（n∈N*）．∴ln a n+2≥，∴．（2）证明：设c n=b n+1-b n，∵，b n=ln a n（n∈N*）．∴====-．∴是等比数列，公比为-．首项b2-b1=1．∴b n+1-b n=．∴b n=b1+（b2-b1）+（b3-b2）+……+（b n-b n-1）=0+1+++……+==．∴{b n}的通项公式是；（3）假设存在常数t，对任意自然数n∈N*均有b n+1≥tb n成立．由（2）可得：≥0．∴n=1时，1≥t•0，解得t∈R．n≥2时，t≤，∵===1-．当n=2时，取得最小值，=．∴t≤．【解析】（1）由已知可得：a n＞1．利用基本不等式的性质可得：ln a n+1+ln a n≥2，可得ln≥，代入化简即可得出．（2）设c n=b n+1-b n，由，b n=ln a n（n∈N*）．可得==-．即可证明是等比数列，利用通项公式、累加求和方法即可得出．（3）假设存在常数t，对任意自然数n∈N*均有b n+1≥tb n成立．由（2）可得：≥0．n=1时，1≥t•0，解得t∈R．n≥2时，t≤，利用单调性即可得出．本题考查了数列递推关系、数列的单调性、等比数列的定义通项公式求和公式，考查了推理能力与计算能力，属于难题．高考数学三模试卷题号一二三总分得分一、选择题（本大题共4小题，共12.0分）1.关于三个不同平面α，β，γ与直线l，下列命题中的假命题是（）A. 若α⊥β，则α内一定存在直线平行于βB. 若α与β不垂直，则α内一定不存在直线垂直于βC. 若α⊥γ，β⊥γ，α∩β=l，则l⊥γD. 若α⊥β，则α内所有直线垂直于β2.在一次化学测试中，高一某班50名学生成绩的平均分为82分，方差为8.2，则下列四个数中不可能是该班化学成绩的是（）A. 60B. 70C. 80D. 1003.已知双曲线：，过点作直线，使与有且仅有一个公共点，则满足上述条件的直线共有（）A. 1条B. 2条C. 3条D. 4条4.有红色、黄色小球各两个，蓝色小球一个，所有小球彼此不同，现将五球排成一行，颜色相同者不相邻，不同的排法共有（）种A. 48B. 72C. 78D. 84二、填空题（本大题共12小题，共36.0分）5.若全集为实数集R，，则∁R M=______6.抛物线的准线方程为______．7.关于x方程=0的解为______ ．8.函数f（x）=2sin x+1，的反函数f-1（x）=______9.函数的图象相邻的两条对称轴之间的距离是______10.若，则二项式（x-2a）10展开式的系数和是______11.某校要从名男生和名女生中选出人担任某游泳赛事的志愿者工作,则在选出的志愿者中,男、女都有的概率为______(结果用数值表示).12.某几何体的三视图如图所示（单位：cm），则该几何体的体积是______13.设实数x、y满足约束条件，若目标函数z=ax+by（a＞0，b＞0）的最大值为2，则2a+3b的值为______14.在平面直角坐标系xOy中，已知直线l的参数方程为（t为参数），椭圆C的参数方程为（θ为参数），设直线l与椭圆C相交于A、B两点，则线段AB的长是______15.定义在R上的偶函数f（x）对任意的x∈R有f（1+x）=f（1-x），且当x∈[2，3]时，f（x）=-x2+6x-9．若函数y=f（x）-log a x在（0，+∞）上有四个零点，则a的值为______ ．16.已知向量、满足，，则的取值范围是______三、解答题（本大题共5小题，共60.0分）17.如图，已知多面体ABC-A1B1C1，A1A，B1B，C1C均垂直于平面ABC，∠ABC=120°，A1A=4，C1C=1，AB=BC=B1B=2．（1）证明：AB1⊥平面A1B1C1；（2）求直线AC1与平面ABB1所成的角的正弦值．18.在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，向量，，（1）求sin A的值；（2）若，b=5，求角B的大小及向量在方向上的投影．19.某单位有员工1000名，平均每人每年创造利润10万元，为了增加企业竞争力，决定优化产业结构，调整出x（x∈N*）名员工从事第三产业，调整后这x名员工他们平均每人创造利润为万元，剩下的员工平均每人每年创造的利润可以提高0.2x%．（1）若要保证剩余员工创造的年总利润不低于原来1000名员工创造的年总利润，则最多调整多少名员工从事第三产业？（2）设x≤400，若调整出的员工创造出的年总利润始终不高于剩余员工创造的年总利润，求a的最大值．20.如图，以椭圆=1（a＞1）的右焦点F2为圆心，1-c为半径作圆F2（其中c为已知椭圆的半焦距），过椭圆上一点P作此圆的切线，切点为T．（1）若a=，P为椭圆的右顶点，求切线长|PT|；（2）设圆F2与x轴的右交点为Q，过点Q作斜率为k（k＞0）的直线l与椭圆相交于A、B两点，若|PT|≥（a-c）恒成立，且OA⊥OB．求：①c的取值范围；②直线l被圆F2所截得弦长的最大值．21.给定数列{a n}，记该数列前i项a1，a2，…，a i中的最大项为A i，即A i=max{a1，a2，…，a i}；该数列后n-i项a i+1，a i+2，…，a n中的最小项为B i，即B i=min{a i+1，a i+2，…，a n}；d i=A i-B i（i=1，2，3，…，n-1）（1）对于数列：3，4，7，1，求出相应的d1，d2，d3；（2）若S n是数列{a n}的前n项和，且对任意n∈N*，有，其中λ为实数，λ＞0且．①设，证明数列{b n}是等比数列；②若数列{a n}对应的d i满足d i+1＞d i对任意的正整数i=1，2，3，…，n-2恒成立，求实数λ的取值范围．答案和解析1.【答案】D【解析】解：对于A，假设α∩β=a，则α内所有平行于a的直线都平行β，故A正确；对于B，假设α内存在直线a垂直于β，则α⊥β，与题设矛盾，故假设错误，故B正确；对于C，设α∩γ=c，β∩γ=d，在γ内任取一点P，作PM⊥c于点M，PN⊥d于点N则PM⊥α，PN⊥β，且PM、PN不可能共线．又l⊂α，l⊂β，∴PM⊥l，PN⊥l．又PM∩PN=P，PM⊂γ，PN⊂γ，∴l⊥γ．故C正确．对于D，假设α∩β=a，则α内所有平行于a的直线都平行β，故D错误．故选：D．根据空间线面位置关系的判定和性质判断或距离说明．本题主要考查了直线与平面位置关系的判定，考查了空间想象能力和推理论证能力，属于中档题．2.【答案】A【解析】解：高一某班50名学生成绩的平均分为82分，方差为8.2，根据平均数、方差的意义，可知60分不可能是该班化学成绩．故选A．根据平均数、方差的意义，可知结论．本题考查平均数、方差的意义，比较基础．3.【答案】D【解析】【分析】本题主要考查了双曲线的简单性质．考查了学生数形结合和转化和化归的思想的运用，属于一般题.先确定双曲线的右顶点，进而根据图形可推断出当l垂直x轴时与C相切，与x轴不垂直且与C相切，与渐近线平行且与C较与1点（两种情况）满足l与C有且只有一个公共点．【解答】解：根据双曲线方程可知a=1，①当直线l斜率不存在时，直线l方程为：x=1，满足与曲线C只有一个公共点；②当直线l斜率存在时，设直线l方程为：y-1=k(x-1),即：y=k(x-1)+1，联立,整理可得：，当,即k=时，此时方程有且仅有一个实数根，∴直线l:与曲线C有且仅有一个公共点，当时，,解得：,∴直线l:与曲线C有且仅有一个公共点，综上所述：满足条件的直线l有4条．故选：D.4.【答案】A【解析】解：将五个球排成一行共有种不同的排法，当两个红色球相邻共有种不同的排法，当两个黄色球相邻共有种不同的排法，当两个黄色球、两个红色球分别相邻共有种不同的排法，则将五球排成一行，颜色相同者不相邻，不同的排法共有--+=120-48-48+24=48（种），故选：A．由排列组合及简单的计数问题得：将五球排成一行，颜色相同者不相邻，不同的排法共有--+=48（种），得解．本题考查了排列组合及简单的计数问题，属中档题．5.【答案】【解析】解：∵；∴．故答案为：．可以求出集合M，然后进行补集的运算即可．考查描述法、区间表示集合的定义，对数函数的单调性及对数函数的定义域，以及补集的运算．6.【答案】y=1【解析】解：由，得x2=-4y，∴2p=4，即p=2，则抛物线的准线方程为y==1．故答案为：y=1．化抛物线方程为标准式，求得p，则直线方程可求．本题考查抛物线的简单性质，是基础题．7.【答案】x=或x=，k∈Z【解析】解：由=0，得4sin x cosx-1=0，即sin2x=．∴2x=或x=，则x=或x=，k∈Z．故答案为：x=或x=，k∈Z．由已知可得sin2x=．求出2x的值，则原方程的解可求．本题考查二阶矩阵的应用，考查了三角函数值的求法，是基础题．8.【答案】，x∈[1，3]【解析】解：由y=2sin x+1，得sin x=，∵，∴x=，把x与y互换，可得f-1（x）=，x∈[1，3]．故答案为：，x∈[1，3]．由已知利用反正弦求得x，把x与y互换得答案．本题考查三角函数的反函数的求法，注意原函数的定义域是关键，是基础题．9.【答案】【解析】解：=（sin x+cos x）cos x==，所以f（x）的周期T=，所以f（x）的图象相邻的两条对称轴之间的距离为，故答案为：．化简f（x），然后根据f（x）图象相邻的两条对称轴之间的距离为即可得到结果．本题考查了三角函数的图象与性质，属基础题．10.【答案】1024【解析】解：由，知a≠1，∴===，∴a=，∴（x-2a）10=（x+1）10，∴其展开式系数之和为C100+C101+C102+…+C1010=210=1024，故答案为：1024．根据数列的极限求出a的值，然后代入二项式（x-2a）10中求其展开式的系数和即可．本题考查了数列的极限和二项式展开式系数和的求法，属基础题．11.【答案】【解析】【分析】本题考查等可能事件的概率计算，在求选出的志愿者中，男、女生都有的情况数目时，可以先求出只有男生、女生的数目，进而由排除法求得．根据题意，首先计算从2名男生和4名女生中选出4人数目，再分析选出的4人中只有男生、女生的数目，由排除法可得男、女生都有的情况数目，进而由等可能事件的概率公式，计算可得答案．【解答】解：根据题意，从2名男生和4名女生中选出4人，有C64=15种取法，其中全部为女生的有C44=1种情况，没有全部为男生的情况，则选出的4名志愿者中，男、女生都有的情况有15-1=14种，则其概率为.故答案为.12.【答案】【解析】解：由已知可得该几何体是以俯视图为底面的锥体，（也可以看成是一个三棱锥与半圆锥的组合体），其底面积：S=×2×1+=，高h=3，故棱锥的体积V==，故答案为：由已知可得该几何体是以俯视图为底面的锥体，（也可以看成是一个三棱锥与半圆锥的组合体），代入锥体体积公式，可得答案．本题考查的知识点是由三视图求体积和表面积，难度中档．13.【答案】1【解析】解：由z=ax+by（a＞0，b＞0）得y=-x+，∵a＞0，b＞0，∴直线的斜率-＜0，作出不等式对应的平面区域如图：平移直线得y=-x+，由图象可知当直线y=-x+经过点B时，直线y=-x+的截距最大，此时z最大．由，解得，即B（4，6），此时目标函数z=ax+by（a＞0，b＞0）的最大值为2，即4a+6b=2，即2a+3b=1，故答案为：1．作出不等式对应的平面区域，利用z的几何意义确定取得最大值的条件，即可得到结论．本题主要考查线性规划的基本应用，利用数形结合求出目标函数取得最大值的条件是解决本题的关键．14.【答案】【解析】解：由得x2+=1，将代入到x2+=1并整理得：t2+4t=0，设A，B对应的参数为t1，t2，则t1=0，t2=-，∴|t1-t2|=故答案为：．联立直线的参数方程与曲线C的普通方程，利用参数的几何意义可得．本题考查了参数方程化成普通方程，属中档题．15.【答案】【解析】【分析】由已知中f（x+1）=f（1-x），故可能函数是以2为周期的周期函数，又由函数f（x）是定义在R上的偶函数，结合当x∈[2，3]时，f（x）=-x2+6x-9．我们易得函数f（x）的图象，最后利用图象研究零点问题即可．本题考查的知识点是函数奇偶性与单调性的综合应用，函数的周期性，考查函数的零点与方程的根的关系，体现了化归与转化与数形结合的数学思想，属于中档题．【解答】解：由函数f（x）是定义在R上的偶函数，且f（x+1）=f（1-x）成立，可得f（x+2）=f（-x）=f（x），∴函数f（x）是定义在R上的周期为2的偶函数，当x∈[2，3]时，f（x）=-x2+6x-9．函数y=f（x）-log a x在（0，+∞）上的零点个数等于函数y=f（x）和函数y=log a x的图象在（0，+∞）上的交点个数，如图所示：当y=log a x的图象过点A（4，-1）时，函数y=f（x）-log a x在（0，+∞）上有四个零点，∴-1=log a4，∴a=．故答案为：．16.【答案】【解析】解：向量、满足，，由题意可设，=（0，1）、=（x，y）；、满足，，且x2+y2=4；则：+=（x，1+y）；-=（-x，1-y）；则=+转换成所求为点（x．y）到（0，-1）与点（0，1）的距离之和大小，且（x，y）可看成在x2+y2=4表示的圆周上的点；由数形结合法知即：当（x，y）在（2，0）或（-2，0）时，则值最小为3+1=4；当（x，y）在（0，2）或（0，-2）时，则值最大为2=2；则的取值范围是故答案为：．利用设向量、的坐标表示法，利用向量模长转换成函数求最值，利用数形结合法求转换后的最值即可．本题考查了向量模长应用的问题，采用数形结合法，分类讨论解题时应根据平面向量的线性运算法则进行化简．．17.【答案】（1）证明：由余弦定理得，所以，∵A1A⊥平面ABC，B1B⊥平面ABC，AB⊂平面ABC，∴AA1∥BB1，AB⊥BB1，∵AA1=4，BB1=2，AB=2，∴A1B1==2，又AB1==2，∴，∴AB1⊥A1B1，,,即即AB1⊥B1C1，又A1B1∩B1C1=B1，A1B1，B1C1平面A1B1C1，∴AB1⊥平面A1B1C1．（2）解：取AC中点O，过O作平面ABC的垂线OD，交A1C1于D，∵AB=BC，∴OB⊥OC，以O为原点，以OB，OC，OD所在直线为坐标轴建立空间直角坐标系如图所示：则A（0，-，0），B（1，0，0），B1（1，0，2），C1（0，，1），∴=（1，，0），=（0，0，2），=（0，2，1），设平面ABB1的法向量为=（x，y，z），则，∴，令y=1可得=（-，1，0），∴cos===．设直线AC1与平面ABB1所成的角为θ，则sinθ=|cos|=．∴直线AC1与平面ABB1所成的角的正弦值为．【解析】本题主要考查了线面垂直的判定定理，线面角的计算与空间向量的应用，考查计算能力与空间想象能力，属于中档题．（1）利用勾股定理的逆定理证明AB1⊥A1B1，AB1⊥B1C1，从而可得AB1⊥平面A1B1C1；（2）以AC的中点为坐标原点建立空间坐标系，求出平面ABB1的法向量，计算与的夹角即可得出线面角的正弦值．18.【答案】解：（1）由题意可得=cos（A-B）cos B-sin（A-B）sin B=cos[（A-B）+B]=cos A=，∴sin A==；（2）由正弦定理可得，∴sin B===，∵a＞b，∴A＞B，∴B=，由余弦定理可得=，解得c=1，或c=-7（舍去），故向量在方向上的投影为cos B=c cos B=1×=．【解析】（1）由数量积的坐标表示和涉及函数的公式可得=cos A=，由同角三角函数的基本关系可得sin A；（2）由正弦定理可得sin B=，结合大边对大角可得B值，由余弦定理可得c值，由投影的定义可得．本题考查平面向量的数量积和两角和与差的三角函数公式，属中档题．19.【答案】解：（1）由题意得：10（1000-x）（1+0.2x%）≥10×1000，即x2-500x≤0，又x＞0，所以0＜x≤500．即最多调整500名员工从事第三产业．（2）由题意得：10x（a-）≤10（1000-x）（1+0.2x%），即ax≤+1000+x，因为x＞0，所以a≤在（0，400]恒成立，令f（x）=，则f（x）=≥2×2+1=5，当仅当时取等，此时x=500，但因为x≤400，且函数f（x）=在（0，500）上单调递减，所以x=400时，f（x）取最小值为f（400）=，所以a最大值为．【解析】本题考查函数的实际应用，涉及不等式、函数基本性质等知识点，属于中档题．（1）根据题意列出不等式10（1000-x）（1+0.2x%）≥10×1000，求出解集即可；（2）根据题意可列10x（a-）≤10（1000-x）（1+0.2x%），化成a≤在（0，400]恒成立，构造函数令f（x）=，利用对勾函数性质求出最值即可．20.【答案】解：（1）由a=，得c=，则当P为椭圆的右顶点时|PF2|=a-c=，故此时的切线长|PT|=；（2）①当|PF2|取得最小值时|PT|取得最小值，而|PF2|min=a-c，由|PT|≥（a-c）恒成立，得≥（a-c），解得≤c＜1；②由题意Q点的坐标为（1，0），则直线l的方程为y=k（x-1），代入，得（a2k2+1）x2-2a2k2x+a2k2-a2=0，设A（x1，y1），B（x2，y2），则有，，可得=，又OA⊥OB，则=0，得k=a．可得直线l的方程为ax-y-a=0，圆心F2（c，0）到直线l的距离d=，半径r=1-c，则直线l被圆F2所截得弦长为L=2=，设1-c=t，则0＜t≤，又=，∴当t=时，的最小值为，。

(附加15套模拟试卷)上海市2020届高三高考数学系列模拟卷(5)及答案解析

上海市2020届高三高考数学系列模拟卷（5）及答案解析考生注意：1．每位考生应同时领到试卷与答题纸两份材料，所有解答必须写在答题纸上规定位置，写在试卷上或答题纸上非规定位置一律无效；2．答卷前，考生务必将学校、姓名、学号等相关信息在答题纸上填写清楚； 3．本试卷共23道试题，满分150分，考试时间120分钟。

一、填空题（本大题满分56分，共14小题，每小题满分4分）1.如图所示的韦恩图中，A 、B 是非空集合，定义A *B表示阴影部分集合.若,x y R ∈，{}A x y ==，{}3,0x B yy x ==>，则A *B=2. 已知扇形的圆心角为︒150，面积为,15π则此扇形的周长为____________ 3.若()3f z i z i +=-，则|(2)1|f i +=4.如果数据n x x x 、、、...21的平均值为x ，方差为2s ，则53...535321+++n x x x 、、、的方差为5. 函数cos2sin cos y x x x =+的最小正周期T=6.已知平面上三点A 、B 、C 满足3AB =，4BC =，5CA =，则AB BC BC CA CA AB ⋅+⋅+⋅的值等于7.以线段AB ：20(02)x y x +-=≤≤为直径的圆的方程为8.设二次函数2()f x x x =+,当[,1](*)x n n n N ∈+∈时，()f x 的所有整数值的个数为 (用n 表示）9.如图，在边长为4的正方形纸片ABCD 中，AC 与BD 相交于O ,剪去AOB ∆,将剩余部分沿OC 、OD 折叠，使OA 、OB 重合，则以A 、（B ）、C 、D 、O 为顶点的四面体的体积为10.已知点F 1、F 2分别是椭圆22221x y a b+=的左、右焦点，过F 1且垂直于x 轴的直线与椭圆交于A 、B 两点，若△ABF 2为正三角形，则该椭圆的焦距与长轴的比值为11.设函数sin (0)y x x π=≤≤的图象为曲线C ，动点(,)A x y 在曲线C 上，过A 且平行于x 轴的直线交曲线C 于点(B A B 、可以重合），设线段AB 的长为()f x ，则函数()f x 单调递增区间12.设{}n a 是正项数列，其前n 项和n S 满足：4(1)(3)n n n S a a =-+,则n a =13.已知等差数列有一性质：若{}n a 是等差数列，则通项为12...nn a a a b n++=的数列{}n b 也是等差数列，类似上述命题，相应的等比数列有性质：若{}n a 是等比数列(0)n a >，则通项为n b =____________的数列{}n b 也是等比数列.14.设,x y 是正实数，且1x y +=，则2221x y x y +++的最小值是二、选择题（本大题满分20分，共4小题，每小题满分5分）15.已知关于x 的方程k x=-|13|，则下列说法错误．．的是A.当1>k 时，方程的解的个数为1个B.当0k =时，方程的解的个数为1个C.当01k <<时，方程的解的个数为2个D.当1=k 时，方程的解的个数为2个 16.已知α 、β为一个钝角三角形的两个锐角，下列四个不等式中错误．．的是 A.1tan tan <βα B.2sin sin <+βαC.2tan)tan(21βαβα+<+ D.1cos cos >+βα 17. 如图，垂直于x 轴的直线EF 经坐标原点O 向右移动. 若E 是EF 与x 轴的交点，设OE =x (0x a ≤≤)，EF 在移动过程中扫过平行四边形OABC 的面积为y (图中阴影部分)，则函数()y f x =的图象大致是 18.“lim ,lim n n n n a A b B→∞→∞==”是“limnn na b →∞存在”的A.充分不必要条件B.必要不充分条件.C.充分条件.D.既不充分也不必要条件.三、解答题（本大题满分74分，共5小题） 19.(本题满分12分）第（1）小题6分，第（2）小题6分. 如图，在三棱锥S ABC -中，侧面SAB 与侧面SAC 均为等边三角形，90BAC ∠=°，O 为BC 中点．（1）证明：SO ⊥平面ABC （2）求二面角A SC B --的余弦值．第17题图OSBAC20.(本题满分14分）第（1）小题7分，第（2）小题7分. 在锐角．．△ABC 中，角A 、B 、C 的对边分别为a 、b 、c ，且满足(2)cos cos a c B b C -=. （1）求角B 的大小（2）设(sin ,1),(3,cos 2)m A n A ==,试求m n ⋅的取值范围.21.(本题满分14分）本题共2小题，第（1）小题6分，第（2）小题8分. 设函数()11ax f x x -=+，其中a R ∈ （1）解不等式()1f x ≤- （2）求a 的取值范围，使()f x 在区间()0,+∞上是单调减函数 22.(本题满分16分）本题共3小题，第（1）小题5分，第（2）小题5分，第（3）小题6分已知抛物线:C 22(0)y px p =>的准线为l ,焦点为F .M 的圆心在x 轴的正半轴上,且与y 轴相切．过原点O 作倾斜角为3π的直线n ,交l 于点A ,交M 于另一点B ,且2AO OB ==. （1）求M 和抛物线C 的方程；（2）若P 为抛物线C 上的动点,求PM PF ⋅的最小值；（3）过l 上的动点Q 向M 作切线,切点为,S T ,求证直线ST 恒过一个定点,并求该定点的坐标.23.(本题满分18分）本题共3小题，第（1）小题3分，第（2）小题6分，第（3）小题9分.给定数列12n a a a ，，，.对1,2,,1i n =-,该数列前i 项的最大值记为i A ,后n i -项12i i n a a a ++，，，的最小值记为i B ,i i i d A B =-.(1)设数列{}n a 为3,4,7,1,写出1d ,2d ,3d 的值;(2)设12n a a a ，，，(4n ≥)是公比大于1的等比数列,且10a >.证明1d ,2d ,...,1n d -是等比数列 (3)设1d ,2d ,...,1n d -是公差大于0的等差数列,且10d >,证明1a ,2a ,...,1n a -是等差数列参考答案（1）由题设AB AC SB SC====SA，连结OA，ABC△为等腰直角三角形，所以2OA OB OC SA===，且AO BC⊥，又SBC△为等腰三角形，SO BC⊥，且SO=，从而222OA SO SA+=．所以SOA△为直角三角形，SO AO⊥．又AO BO O=．所以SO⊥平面ABC．（2）取SC中点M，连结AM OM，，由（1）知SO OC SA AC==，，得OM SC AM SC⊥⊥，．OMA∠∴为二面角A SC B--的平面角．由AO BC AO SO SO BC O⊥⊥=，，得AO⊥平面SBC．所以AO OM⊥，又AM=，故sin3AOAMOAM∠===．所以二面角A SC B--的余弦值为320.(本题满分14分）第（1）小题7分，第（2）小题7分.(1) 因为(2a－c）cosB=bcosC,所以(2sinA－sinC）cosB=sinBcosC,即2sinA cosB=sinCcosB＋sinBcosC= sin(C＋B)= sinA.而sinA>0,所以cosB=12故B=60°(2) 因为(sin,1),(3,cos2)m A n A==,所以m n⋅=3sinA＋cos2A=3sinA ＋1－2sin 2A=－2(sinA －34)2＋178由000009060090A B C ⎧<<⎪=⎨⎪<<⎩得00000090012090A A ⎧<<⎨<-<⎩, 所以03090A <<,从而1sin ,12A ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭故m n ⋅的取值范围是172,8⎛⎤⎥⎝⎦.21.(本题满分14分）本题共2小题，第（1）小题6分，第（2）小题8分. （1）不等式()1f x ≤-即为()111011a x ax x x +-≤-⇔≤++ 当1a <-时，不等式解集为()[),10,-∞-+∞当1a =-时，不等式解集为()(),11,-∞--+∞当1a >-时，不等式解集为(]1,0-（2）在()0,+∞上任取12x x <，则()()()()()()12121212121111111a x x ax ax f x f x x x x x +----=-=++++12121200,10,10x x x x x x <<∴-<+>+>所以要使()f x 在()0,+∞递减即()()120f x f x ->，只要10a +<即1a <-故当1a <-时，()f x 在区间()0,+∞上是单调减函数22.(本题满分16分）本题共3小题，第（1）小题5分，第（2）小题5分，第（3）小题6分（1）因为1cos602122p OA =⋅=⨯=,即2p =,所以抛物线C 的方程为24y x = 设M 的半径为r ,则122cos 60OB r =⋅=,所以M 的方程为22(2)4x y -+=[来] （2）设(,)(0)P x y x ≥,则(2,)(1,)PM PF x y x y ⋅=----=222322x x y x x -++=++所以当0x =时, PM PF ⋅有最小值为2（3）以点Q 这圆心,QS 为半径作Q ,则线段ST 即为Q 与M 的公共弦设点(1,)Q t -,则22245QS QM t =-=+,所以Q 的方程为222(1)()5x y t t ++-=+从而直线QS 的方程为320x ty --=(*)因为230x y ⎧=⎪⎨⎪=⎩一定是方程(*)的解,所以直线QS 恒过一个定点,且该定点坐标为2(,0)323.(本题满分18分）本题共3小题，第（1）小题3分，第（2）小题6分，第（3）小题9分.(1)1232,3,6d d d ===.(2)因为10a >,公比1q >,所以12n a a a ，，，是递增数列. 因此,对1,2,,1i n =-,i i A a =,1i i B a +=.于是对1,2,,1i n =-,111(1)i i i i i i d A B a a a q q -+=-=-=-.因此0i d ≠且1i id q d +=(1,2,,2i n =-),即1d ,2d ,,1n d -是等比数列.(3)设d 为1d ,2d ,,1n d -的公差.对12i n ≤≤-,因为1i i B B +≤,0d >,所以111i i i A B d +++=+i i B d d ≥++i i B d >+=i A . 又因为{}11max ,i i i A A a ++=,所以11i i i i a A A a ++=>≥. 从而121n a a a -，，，是递增数列,因此i i A a =(1,2,,2i n =-). 又因为111111B A d a d a =-=-<,所以1121n B a a a -<<<<.因此1n a B =. 所以121n n B B B a -====.所以i i a A ==i i n i B d a d +=+. 因此对1,2,,2i n =-都有11i i i i a a d d d ++-=-=,即1a ,2a ,...,1n a -是等差数列.高考模拟数学试卷一.选择题：（每小题5分，共60分。

上海市2020〖人教版〗高三数学复习试卷高考数学模拟试卷理科5

上海市2020年〖人教版〗高三数学复习试卷高考数学模拟试卷理科创作人：百里安娜创作日期：202X.04.01审核人：北堂王会创作单位：明德智语学校一、选择题（每小题5分，共40分）1.（5分）若x，y满足，则z=x+2y的最大值为（）A.0B.1C.D.22.（5分）复数i（2﹣i）=（）A.1+2iB.1﹣2iC.﹣1+2iD.﹣1﹣2i3.（5分）执行如图所示的程序框图输出的结果为（）A.（﹣2，2）B.（﹣4，0）C.（﹣4，﹣4）D.（0，﹣8）4.（5分）设α，β是两个不同的平面，m是直线且m⊂α，“m ∥β“是“α∥β”的（）A.充分而不必要条件B.必要而不充分条件C.充分必要条件D.既不充分也不必要条件5.（5分）某三棱锥的三视图如图所示，则该三棱锥的表面积是（）A.2+B.4+C.2+2D.56.（5分）设{a n}是等差数列，下列结论中正确的是（）A.若a1+a2＞0，则a2+a3＞0B.若a1+a3＜0，则a1+a2＜0C.若0＜a 1＜a2，则a2D.若a1＜0，则（a2﹣a1）（a2﹣a3）＞07.（5分）如图，函数f（x）的图象为折线ACB，则不等式f （x）≥log2（x+1）的解集是（）A.{x|﹣1＜x≤0}B.{x|﹣1≤x≤1}C.{x|﹣1＜x≤1}D.{x|﹣1＜x≤2}8.（5分）汽车的“燃油效率”是指汽车每消耗1升汽油行驶的里程，如图描述了甲、乙、丙三辆汽车在不同速度下燃油效率情况，下列叙述中正确的是（）A.消耗1升汽油，乙车最多可行驶5千米B.以相同速度行驶相同路程，三辆车中，甲车消耗汽油最多C.某城市机动车最高限速80千米/小时，相同条件下，在该市用丙车比用乙车更省油D.甲车以80千米/小时的速度行驶1小时，消耗10升汽油二、填空题（每小题5分，共30分）9.（5分）在（2+x）5的展开式中，x3的系数为（用数字作答）10.（5分）已知双曲线﹣y2=1（a＞0）的一条渐近线为x+y=0，则a=.11.（5分）在极坐标系中，点（2，）到直线ρ（cosθ+sinθ）=6的距离为.12.（5分）在△ABC中，a=4，b=5，c=6，则=.13.（5分）在△ABC中，点M，N满足=2，=，若=x+y，则x=，y=.14.（5分）设函数f（x）=，①若a=1，则f（x）的最小值为；②若f（x）恰有2个零点，则实数a的取值范围是.三、解答题（共6小题，共80分）15.（13分）已知函数f（x）=sin cos﹣sin.（Ⅰ）求f（x）的最小正周期；（Ⅱ）求f（x）在区间[﹣π，0]上的最小值.16.（13分）A，B两组各有7位病人，他们服用某种药物后的康复时间（单位：天）记录如下：A组：10，11，12，13，14，15，16B组；12，13，15，16，17，14，a假设所有病人的康复时间相互独立，从A，B两组随机各选1人，A组选出的人记为甲，B组选出的人记为乙.（Ⅰ）求甲的康复时间不少于14天的概率；（Ⅱ）如果a=25，求甲的康复时间比乙的康复时间长的概率；（Ⅲ）当a为何值时，A，B两组病人康复时间的方差相等？（结论不要求证明）17.（14分）如图，在四棱锥A﹣EFCB中，△AEF为等边三角形，平面AEF⊥平面EFCB，EF∥BC，BC=4，EF=2a，∠EBC=∠FCB=60°，O为EF的中点.（Ⅰ）求证：AO⊥BE.（Ⅱ）求二面角F﹣AE﹣B的余弦值；（Ⅲ）若BE⊥平面AOC，求a的值.18.（13分）已知函数f（x）=ln，（Ⅰ）求曲线y=f（x）在点（0，f（0））处的切线方程；（Ⅱ）求证，当x∈（0，1）时，f（x）＞；（Ⅲ）设实数k使得f（x）对x∈（0，1）恒成立，求k的最大值.19.（14分）已知椭圆C：+=1（a＞b＞0）的离心率为，点P（0，1）和点A（m，n）（m≠0）都在椭圆C上，直线PA交x轴于点M.（Ⅰ）求椭圆C的方程，并求点M的坐标（用m，n表示）；（Ⅱ）设O为原点，点B与点A关于x轴对称，直线PB交x轴于点N，问：y轴上是否存在点Q，使得∠OQM=∠ONQ？若存在，求点Q的坐标，若不存在，说明理由.20.（13分）已知数列{a n}满足：a1∈N*，a1≤36，且a n+1=（n=1，2，…），记集合M={a n|n∈N*}.（Ⅰ）若a1=6，写出集合M的所有元素；（Ⅱ）如集合M存在一个元素是3的倍数，证明：M的所有元素都是3的倍数；（Ⅲ）求集合M的元素个数的最大值.参考答案与试题解析一、选择题（每小题5分，共40分）1.（5分）若x，y满足，则z=x+2y的最大值为（）A.0B.1C.D.2【分析】作出题中不等式组表示的平面区域，再将目标函数z=x+2y对应的直线进行平移，即可求出z取得最大值.【解答】解：作出不等式组表示的平面区域，当l经过点B时，目标函数z达到最大值∴z最大值=0+2×1=2.故选：D.【点评】本题给出二元一次不等式组，求目标函数z=x+2y的最大值，着重考查了二元一次不等式组表示的平面区域和简单的线性规划等知识，属于基础题.2.（5分）复数i（2﹣i）=（）A.1+2iB.1﹣2iC.﹣1+2iD.﹣1﹣2i【分析】利用复数的运算法则解答.【解答】解：原式=2i﹣i2=2i﹣（﹣1）=1+2i；故选：A.【点评】本题考查了复数的运算；关键是熟记运算法则.注意i2=﹣1.3.（5分）执行如图所示的程序框图输出的结果为（）A.（﹣2，2）B.（﹣4，0）C.（﹣4，﹣4）D.（0，﹣8）【分析】模拟程序框图的运行过程，即可得出程序运行后输出的结果.【解答】解：模拟程序框图的运行过程，如下；x=1，y=1，k=0时，s=x﹣y=0，t=x+y=2；x=s=0，y=t=2，k=1时，s=x﹣y=﹣2，t=x+y=2；x=s=﹣2，y=t=2，k=2时，s=x﹣y=﹣4，t=x+y=0；x=s=﹣4，y=t=0，k=3时，循环终止，输出（x，y）是（﹣4，0）.故选：B.【点评】本题考查了程序框图的应用问题，解题时应模拟程序框图的运行过程，是基础题目.4.（5分）设α，β是两个不同的平面，m是直线且m⊂α，“m ∥β“是“α∥β”的（）A.充分而不必要条件B.必要而不充分条件C.充分必要条件D.既不充分也不必要条件【分析】m∥β并得不到α∥β，根据面面平行的判定定理，只有α内的两相交直线都平行于β，而α∥β，并且m⊂α，显然能得到m∥β，这样即可找出正确选项.【解答】解：m⊂α，m∥β得不到α∥β，因为α，β可能相交，只要m和α，β的交线平行即可得到m∥β；α∥β，m⊂α，∴m和β没有公共点，∴m∥β，即α∥β能得到m∥β；∴“m∥β”是“α∥β”的必要不充分条件.故选：B.【点评】考查线面平行的定义，线面平行的判定定理，面面平行的定义，面面平行的判定定理，以及充分条件、必要条件，及必要不充分条件的概念.5.（5分）某三棱锥的三视图如图所示，则该三棱锥的表面积是（）A.2+B.4+C.2+2D.5【分析】根据三视图可判断直观图为：OA⊥面ABC，AC=AB，E为BC中点，EA=2，EA=EB=1，OA=1，：BC⊥面AEO，AC=，OE=判断几何体的各个面的特点，计算边长，求解面积.【解答】解：根据三视图可判断直观图为：OA⊥面ABC，AC=AB，E为BC中点，EA=2，EC=EB=1，OA=1，∴可得AE⊥BC，BC⊥OA，运用直线平面的垂直得出：BC⊥面AEO，AC=，OE=∴S △ABC=2×2=2，S△OAC=S△OAB=×1=.S △BCO=2×=.故该三棱锥的表面积是2，故选：C.【点评】本题考查了空间几何体的三视图的运用，空间想象能力，计算能力，关键是恢复直观图，得出几何体的性质.6.（5分）设{a n}是等差数列，下列结论中正确的是（）A.若a1+a2＞0，则a2+a3＞0B.若a1+a3＜0，则a1+a2＜0C.若0＜a 1＜a2，则a2D.若a1＜0，则（a2﹣a1）（a2﹣a3）＞0【分析】对选项分别进行判断，即可得出结论.【解答】解：若a1+a2＞0，则2a1+d＞0，a2+a3=2a1+3d＞2d，d＞0时，结论成立，即A不正确；若a1+a3＜0，则a1+a2=2a1+d＜0，a2+a3=2a1+3d＜2d，d＜0时，结论成立，即B不正确；{a n}是等差数列，0＜a1＜a2，2a2=a1+a3＞2，∴a2＞，即C正确；若a1＜0，则（a2﹣a1）（a2﹣a3）=﹣d2≤0，即D不正确.故选：C.【点评】本题考查等差数列的通项，考查学生的计算能力，比较基础.7.（5分）如图，函数f（x）的图象为折线ACB，则不等式f （x）≥log2（x+1）的解集是（）A.{x|﹣1＜x≤0}B.{x|﹣1≤x≤1}C.{x|﹣1＜x≤1}D.{x|﹣1＜x≤2}【分析】在已知坐标系内作出y=log2（x+1）的图象，利用数形结合得到不等式的解集.【解答】解：由已知f（x）的图象，在此坐标系内作出y=log2（x+1）的图象，如图满足不等式f（x）≥log2（x+1）的x范围是﹣1＜x≤1；所以不等式f（x）≥log2（x+1）的解集是{x|﹣1＜x≤1}；故选：C.【点评】本题考查了数形结合求不等式的解集；用到了图象的平移.8.（5分）汽车的“燃油效率”是指汽车每消耗1升汽油行驶的里程，如图描述了甲、乙、丙三辆汽车在不同速度下燃油效率情况，下列叙述中正确的是（）A.消耗1升汽油，乙车最多可行驶5千米B.以相同速度行驶相同路程，三辆车中，甲车消耗汽油最多C.某城市机动车最高限速80千米/小时，相同条件下，在该市用丙车比用乙车更省油D.甲车以80千米/小时的速度行驶1小时，消耗10升汽油【分析】根据函数图象的意义逐项分析各说法是否正确.【解答】解：对于A，由图象可知当速度大于40km/h时，乙车的燃油效率大于5km/L，∴当速度大于40km/h时，消耗1升汽油，乙车的行驶距离大于5km，故A错误；对于B，由图象可知当速度相同时，甲车的燃油效率最高，即当速度相同时，消耗1升汽油，甲车的行驶路程最远，∴以相同速度行驶相同路程，三辆车中，甲车消耗汽油最少，故B错误；对于C，由图象可知当速度小于80km/h时，丙车的燃油效率大于乙车的燃油效率，∴用丙车比用乙车更省油，故C正确；对于D，由图象可知当速度为80km/h时，甲车的燃油效率为10km/L，即甲车行驶10km时，耗油1升，故行驶1小时，路程为80km，燃油为8升，故D错误.故选：C.【点评】本题考查了函数图象的意义，属于中档题.二、填空题（每小题5分，共30分）9.（5分）在（2+x）5的展开式中，x3的系数为 40 （用数字作答）【分析】写出二项式定理展开式的通项公式，利用x的指数为3，求出r，然后求解所求数值.【解答】解：（2+x）5的展开式的通项公式为：T r+1=25﹣r x r，所求x3的系数为：=40.故答案为：40.【点评】本题考查二项式定理的应用，二项式系数的求法，考查计算能力.10.（5分）已知双曲线﹣y2=1（a＞0）的一条渐近线为x+y=0，则a=.【分析】运用双曲线的渐近线方程为y=±，结合条件可得=，即可得到a的值.【解答】解：双曲线﹣y2=1的渐近线方程为y=±，由题意可得=，解得a=.故答案为：.【点评】本题考查双曲线的方程和性质，主要考查双曲线的渐近线方程的求法，属于基础题.11.（5分）在极坐标系中，点（2，）到直线ρ（cosθ+sinθ）=6的距离为 1 .【分析】化为直角坐标，再利用点到直线的距离公式距离公式即可得出.【解答】解：点P（2，）化为P.直线ρ（cosθ+sinθ）=6化为.∴点P到直线的距离d==1.故答案为：1.【点评】本题考查了极坐标化为直角坐标方程、点到直线的距离公式，考查了推理能力与计算能力，属于中档题.12.（5分）在△ABC中，a=4，b=5，c=6，则= 1 .【分析】利用余弦定理求出cosC，cosA，即可得出结论.【解答】解：∵△ABC中，a=4，b=5，c=6，∴cosC==，cosA==∴sinC=，sinA=，∴==1.故答案为：1.【点评】本题考查余弦定理，考查学生的计算能力，比较基础. 13.（5分）在△ABC中，点M，N满足=2，=，若=x+y，则x=，y= ﹣.【分析】首先利用向量的三角形法则，将所求用向量表示，然后利用平面向量基本定理得到x，y值.【解答】解：由已知得到===；由平面向量基本定理，得到x=，y=；故答案为：.【点评】本题考查了平面向量基本定理的运用，一个向量用一组基底表示，存在唯一的实数对（x，y）使，向量等式成立.14.（5分）设函数f（x）=，①若a=1，则f（x）的最小值为﹣1 ；②若f（x）恰有2个零点，则实数a的取值范围是≤a＜1或a ≥2 .【分析】①分别求出分段的函数的最小值，即可得到函数的最小值；②分别设h（x）=2x﹣a，g（x）=4（x﹣a）（x﹣2a），分两种情况讨论，即可求出a的范围.【解答】解：①当a=1时，f（x）=，当x＜1时，f（x）=2x﹣1为增函数，f（x）＞﹣1，当x＞1时，f（x）=4（x﹣1）（x﹣2）=4（x2﹣3x+2）=4（x﹣）2﹣1，当1＜x＜时，函数单调递减，当x＞时，函数单调递增，故当x=时，f（x）min=f（）=﹣1，②设h（x）=2x﹣a，g（x）=4（x﹣a）（x﹣2a）若在x＜1时，h（x）=与x轴有一个交点，所以a＞0，并且当x=1时，h（1）=2﹣a＞0，所以0＜a＜2，而函数g（x）=4（x﹣a）（x﹣2a）有一个交点，所以2a≥1，且a＜1，所以≤a＜1，若函数h（x）=2x﹣a在x＜1时，与x轴没有交点，则函数g（x）=4（x﹣a）（x﹣2a）有两个交点，当a≤0时，h（x）与x轴无交点，g（x）无交点，所以不满足题意（舍去），当h（1）=2﹣a≤0时，即a≥2时，g（x）的两个交点满足x1=a，x2=2a，都是满足题意的，综上所述a的取值范围是≤a＜1，或a≥2.【点评】本题考查了分段函数的问题，以及函数的零点问题，培养了学生的转化能力和运算能力以及分类能力，属于中档题.三、解答题（共6小题，共80分）15.（13分）已知函数f（x）=sin cos﹣sin.（Ⅰ）求f（x）的最小正周期；（Ⅱ）求f（x）在区间[﹣π，0]上的最小值.【分析】（Ⅰ）运用二倍角公式和两角和的正弦公式，化简f （x），再由正弦函数的周期，即可得到所求；（Ⅱ）由x的范围，可得x+的范围，再由正弦函数的图象和性质，即可求得最小值.【解答】解：（Ⅰ）f（x）=sin cos﹣sin=sinx﹣（1﹣cosx）=sinxcos+cosxsin﹣=sin（x+）﹣，则f（x）的最小正周期为2π；（Ⅱ）由﹣π≤x≤0，可得﹣≤x+≤，即有﹣1，则当x=﹣时，sin（x+）取得最小值﹣1，则有f（x）在区间[﹣π，0]上的最小值为﹣1﹣.【点评】本题考查二倍角公式和两角和的正弦公式，同时考查正弦函数的周期和值域，考查运算能力，属于中档题.16.（13分）A，B两组各有7位病人，他们服用某种药物后的康复时间（单位：天）记录如下：A组：10，11，12，13，14，15，16B组；12，13，15，16，17，14，a假设所有病人的康复时间相互独立，从A，B两组随机各选1人，A组选出的人记为甲，B组选出的人记为乙.（Ⅰ）求甲的康复时间不少于14天的概率；（Ⅱ）如果a=25，求甲的康复时间比乙的康复时间长的概率；（Ⅲ）当a为何值时，A，B两组病人康复时间的方差相等？（结论不要求证明）【分析】设事件A i为“甲是A组的第i个人”，事件B i为“乙是B组的第i个人”，由题意可知P（A i）=P（B i）=，i=1，2，••，7（Ⅰ）事件等价于“甲是A组的第5或第6或第7个人”，由概率公式可得；（Ⅱ）设事件“甲的康复时间比乙的康复时间长”C=A4B1∪A5B1∪A6B1∪A7B1∪A5B2∪A6B2∪A7B2∪A7B3∪A6B6∪A7B6，易得P（C）=10P （A4B1），易得答案；（Ⅲ）由方差的公式可得.【解答】解：设事件A i为“甲是A组的第i个人”，事件B i为“乙是B组的第i个人”，由题意可知P（A i）=P（B i）=，i=1，2，••，7（Ⅰ）事件“甲的康复时间不少于14天”等价于“甲是A组的第5或第6或第7个人”∴甲的康复时间不少于14天的概率P（A5∪A6∪A7）=P（A5）+P （A6）+P（A7）=；（Ⅱ）设事件C为“甲的康复时间比乙的康复时间长”，则C=A4B1∪A5B1∪A6B1∪A7B1∪A5B2∪A6B2∪A7B2∪A7B3∪A6B6∪A7B6，∴P（C）=P（A4B1）+P（A5B1）+P（A6B1）+P（A7B1）+P（A5B2）+P （A6B2）+P（A7B2）+P（A7B3）+P（A6B6）+P（A7B6）=10P（A4B1）=10P（A4）P（B1）=（Ⅲ）当a为11或18时，A，B两组病人康复时间的方差相等.【点评】本题考查古典概型及其概率公式，涉及概率的加法公式和方差，属基础题.17.（14分）如图，在四棱锥A﹣EFCB中，△AEF为等边三角形，平面AEF⊥平面EFCB，EF∥BC，BC=4，EF=2a，∠EBC=∠FCB=60°，O为EF的中点.（Ⅰ）求证：AO⊥BE.（Ⅱ）求二面角F﹣AE﹣B的余弦值；（Ⅲ）若BE⊥平面AOC，求a的值.【分析】（Ⅰ）根据线面垂直的性质定理即可证明AO⊥BE.（Ⅱ）建立空间坐标系，利用向量法即可求二面角F﹣AE﹣B的余弦值；（Ⅲ）利用线面垂直的性质，结合向量法即可求a的值【解答】证明：（Ⅰ）∵△AEF为等边三角形，O为EF的中点，∴AO⊥EF，∵平面AEF⊥平面EFCB，AO⊂平面AEF，∴AO⊥平面EFCB∴AO⊥BE.（Ⅱ）取BC的中点G，连接OG，∵EFCB是等腰梯形，∴OG⊥EF，由（Ⅰ）知AO⊥平面EFCB，∵OG⊂平面EFCB，∴OA⊥OG，建立如图的空间坐标系，则OE=a，BG=2，GH=a，（a≠2），BH=2﹣a，EH=BHtan60°=，则E（a，0，0），A（0，0，a），B（2，，0），=（﹣a，0，a），=（a﹣2，﹣，0），设平面AEB的法向量为=（x，y，z），则，即，令z=1，则x=，y=﹣1，即=（，﹣1，1），平面AEF的法向量为，则cos＜＞==即二面角F﹣AE﹣B的余弦值为；（Ⅲ）若BE⊥平面AOC，则BE⊥OC，即=0，∵=（a﹣2，﹣，0），=（﹣2，，0），∴=﹣2（a﹣2）﹣3（a﹣2）2=0，解得a=.【点评】本题主要考查空间直线和平面垂直的判定以及二面角的求解，建立坐标系利用向量法是解决空间角的常用方法.18.（13分）已知函数f（x）=ln，（Ⅰ）求曲线y=f（x）在点（0，f（0））处的切线方程；（Ⅱ）求证，当x∈（0，1）时，f（x）＞；（Ⅲ）设实数k使得f（x）对x∈（0，1）恒成立，求k的最大值.【分析】（1）利用函数的导数求在曲线上某点处的切线方程.（2）构造新函数利用函数的单调性证明命题成立.（3）对k进行讨论，利用新函数的单调性求参数k的取值范围.【解答】解答：（1）因为f（x）=ln（1+x）﹣ln（1﹣x）所以又因为f（0）=0，所以曲线y=f（x）在点（0，f（0））处的切线方程为y=2x.（2）证明：令g（x）=f（x）﹣2（x+），则g'（x）=f'（x）﹣2（1+x2）=，因为g'（x）＞0（0＜x＜1），所以g（x）在区间（0，1）上单调递增.所以g（x）＞g（0）=0，x∈（0，1），即当x∈（0，1）时，f（x）＞2（x+）.（3）由（2）知，当k≤2时，f（x）＞对x∈（0，1）恒成立.当k＞2时，令h（x）=f（x）﹣，则h'（x）=f'（x）﹣k（1+x2）=，所以当时，h'（x）＜0，因此h（x）在区间（0，）上单调递减.当时，h（x）＜h（0）=0，即f（x）＜.所以当k＞2时，f（x）＞并非对x∈（0，1）恒成立.综上所知，k的最大值为2.【点评】本题主要考查切线方程的求法及新函数的单调性的求解证明.在高考中属常考题型，难度适中.19.（14分）已知椭圆C：+=1（a＞b＞0）的离心率为，点P（0，1）和点A（m，n）（m≠0）都在椭圆C上，直线PA交x轴于点M.（Ⅰ）求椭圆C的方程，并求点M的坐标（用m，n表示）；（Ⅱ）设O为原点，点B与点A关于x轴对称，直线PB交x轴于点N，问：y轴上是否存在点Q，使得∠OQM=∠ONQ？若存在，求点Q的坐标，若不存在，说明理由.【分析】（I）根据椭圆的几何性质得出求解即可.（II）求解得出M（，0），N（，0），运用图形得出tan ∠OQM=tan∠ONQ，=，求解即可得出即y Q2=x M•x N，+n2，根据m，m的关系整体求解.【解答】解：（Ⅰ）由题意得出解得：a=，b=1，c=1∴+y2=1，∵P（0，1）和点A（m，n），﹣1＜n＜1∴PA的方程为：y﹣1=x，y=0时，x M=∴M（，0）（II）∵点B与点A关于x轴对称，点A（m，n）（m≠0）∴点B（m，﹣n）（m≠0）∵直线PB交x轴于点N，∴N（，0），∵存在点Q，使得∠OQM=∠ONQ，Q（0，y Q），∴tan∠OQM=tan∠ONQ，∴=，即y Q2=x M•x N，+n2=1y Q2==2，∴y Q=，故y轴上存在点Q，使得∠OQM=∠ONQ，Q（0，）或Q（0，﹣）【点评】本题考查了直线圆锥曲线的方程，位置关系，数形结合的思想的运用，运用代数的方法求解几何问题，难度较大，属于难题.20.（13分）已知数列{a n}满足：a1∈N*，a1≤36，且a n+1=（n=1，2，…），记集合M={a n|n∈N*}.（Ⅰ）若a1=6，写出集合M的所有元素；（Ⅱ）如集合M存在一个元素是3的倍数，证明：M的所有元素都是3的倍数；（Ⅲ）求集合M的元素个数的最大值.【分析】（Ⅰ）a1=6，利用a n+1=可求得集合M的所有元素为6，12，24；（Ⅱ）因为集合M存在一个元素是3的倍数，所以不妨设a k是3的倍数，由a n+1=（n=1，2，…），可归纳证明对任意n≥k，a n是3的倍数；（Ⅲ）分a1是3的倍数与a1不是3的倍数讨论，即可求得集合M 的元素个数的最大值.【解答】解：（Ⅰ）若a1=6，由于a n+1=（n=1，2，…），M={a n|n∈N*}.故集合M的所有元素为6，12，24；（Ⅱ）因为集合M存在一个元素是3的倍数，所以不妨设a k是3的倍数，由a n+1=（n=1，2，…），可归纳证明对任意n≥k，a n是3的倍数.如果k=1，M的所有元素都是3的倍数；如果k＞1，因为a k=2a k﹣1，或a k=2a k﹣1﹣36，所以2a k﹣1是3的倍数；于是a k﹣1是3的倍数；类似可得，a k﹣2，…，a1都是3的倍数；从而对任意n≥1，a n是3的倍数；综上，若集合M存在一个元素是3的倍数，则集合M的所有元素都是3的倍数（Ⅲ）对a1≤36，a n=（n=1，2，…），可归纳证明对任意n≥k，a n＜36（n=2，3，…）因为a1是正整数，a2=，所以a2是2的倍数.从而当n≥2时，a n是2的倍数.如果a1是3的倍数，由（Ⅱ）知，对所有正整数n，a n是3的倍数.因此当n≥3时，a n∈{12，24，36}，这时M的元素个数不超过5.如果a1不是3的倍数，由（Ⅱ）知，对所有正整数n，a n不是3的倍数.因此当n≥3时，a n∈{4，8，16，20，28，32}，这时M的元素个数不超过8.当a1=1时，M={1，2，4，8，16，20，28，32}，有8个元素.综上可知，集合M的元素个数的最大值为8.【点评】本题考查数列递推关系的应用，突出考查分类讨论思想与等价转化思想及推理、运算能力，属于难题创作人：百里安娜创作日期：202X.04.01审核人：北堂王会创作单位：明德智语学校。

2020年上海市高考数学模拟试卷(5)

2020年上海市高考数学模拟试卷（5）一．填空题（共12小题，满分36分，每小题3分） 1．（3分）如复数z =1+i1−i+m(1−i)（i 为虚数单位）为纯虚数，则实数m 的值为． 2．（3分）若函数y ＝f （x ）是函数y ＝a x （a ＞0且a ≠1）的反函数，且f （4）＝2，f （x ）＝．3．（3分）一个腰长为2的等腰直角三角形绕着斜边上的高所在直线旋转180°形成的封闭曲面所围成的图形的体积为．4．（3分）已知sinx −cosx =15，且x ∈(0，π2)，则sin x cos x ＝．5．（3分）已知定义在R 上的奇函数f （x ），当x ≥0时，f （x ）＝x 2﹣3x ．则关于x 的方程f （x ）＝x +3的解集为．6．（3分）抛物线y 2＝4x 的焦点F 关于直线y ＝2x 的对称点坐标为． 7．（3分）二项式(x +2x)6的展开式中常数项的值等于．8．（3分）从集合A ＝{1，2，3，4，5，6，7，8，9，10}中任取两个数，欲使取到的一个数大于k ，另一个数小于k （其中k ∈A ）的概率为25，则k ＝．9．（3分）已知数列{a n }，a 1＝1，a n+1+a n =(13)n ，n ∈N *，则lim n→∞(a 1+a 2+a 3+⋯+a 2n−1)= ．10．（3分）中国古代十进位制的算筹记数法，在世界数学史上是一个伟大的创造．算筹记数的方法是：个位、百位、万位……的数按纵式的数码摆出；十位、千位、十万位……的数按横式的数码摆出．如138可用算筹表示．1﹣9这9个数字的纵式与横式表示数码如图所示，则1634×2log 221×log 381的运算结果可用算筹表示为．11．（3分）已知函数f （x ）＝k −√x +2的定义域和值域都是[a ，b ]，则实数k 的取值范围是．12．（3分）设f 为（0，+∞）→[0，+∞）的函数，对于任意正实数x ，f （x ）＝3f （3x ），当1≤x ≤3时，f （x ）＝27﹣27|x ﹣2|，则使得f(x)=23成立的最大实数x 为．二．选择题（共4小题，满分12分，每小题3分）13．（3分）在△ABC 中，“△ABC 是钝角三角形”是“cos C ＝2sin A sin B ”的（） A ．必要不充分 B ．充要C ．充分不必要D ．既不充分也不必要14．（3分）已知l ，m ，n 为三条不同直线，α，β，γ为三个不同平面，则下列判断正确的是（）A ．若m ∥α，n ∥α，则m ∥nB ．若m ⊥α，n ∥β，α⊥β，则m ⊥nC ．若α∩β＝l ，m ∥α，m ∥β，则m ∥lD ．若α∩β＝m ，α∩γ＝n ，l ⊥m ，l ⊥n ，则l ⊥α15．（3分）函数y =tan(πx 4−π2)（1＜x ＜4）的图象如图所示，A 为图象与x 轴的交点，过点A 的直线l 与函数的图象交于B ，C 两点，则（OB →+OC →）•OA →=（）A ．﹣8B ．﹣4C ．4D ．816．（3分）已知函数f （x ）＝|lnx |，g(x)={0，0＜x ≤1，|x 2−4|−2，x ＞1若关于x 的方程f （x ）+m ＝g （x ）恰有三个不相等的实数解，则m 的取值范围是（） A ．[0，ln 2]B ．（﹣2﹣ln 2，0）C ．（﹣2﹣ln 2，0]D ．[0，2+ln 2）三．解答题（共5小题）17．如图，已知边长为2的正三角形ABE 所在的平面与菱形ABCD 所在的平面垂直，且∠DAB ＝60°，点F 是BC 的中点．（1）求证：BD ⊥EF ；（2）求二面角E ﹣DF ﹣B 的余弦值．18．已知向量a →=（2sin x4，cos x 2），b →=（cos x 4，1），且f （x ）=a →•b →．（Ⅰ）求函数f （x ）的最小正周期；（Ⅱ）求函数f （x ）在区间[﹣π，π]上的最大值和最小值及取得最值时x 的值． 19．已知函数f （x ）＝|x +1|．（1）解关于x 的不等式f （x ）﹣x 2+1＞0；（2）若函数g （x ）＝f （x ﹣1）+f （x +m ），当且仅当0≤x ≤1时，g （x ）取得最小值，求x ∈（﹣1，2）时，函数g （x ）的值域． 20．已知椭圆C ：x 2a 2+y 2b 2=1(a ＞b ＞0)的离心率e =√32，椭圆C 的上、下顶点分别为A 1，A 2，左、右顶点分别为B 1，B 2，左、右焦点分别为F 1，F 2．原点到直线A 2B 2的距离为2√55．（1）求椭圆C 的方程；（2）P 是椭圆上异于A 1，A 2的任一点，直线P A 1，P A 2，分别交x 轴于点N ，M ，若直线OT 与以MN 为直径的圆G 相切，切点为T ．证明：线段OT 的长为定值，并求出该定值．21．若S n 是公差不为0的等差数列{a n }的前n 项和，且S 1，S 2，S 4成等比数列．（1）求等比数列S 1，S 2，S 4的公比；（2）若S 2＝4，求{a n }的通项公式；（3）设b n =3a n a n+1，T n 是数列{b n }的前n 项和，求使得T n ＜m20对所有n ∈N *都成立的最小正整数m ．2020年上海市高考数学模拟试卷（5）参考答案与试题解析一．填空题（共12小题，满分36分，每小题3分） 1．（3分）如复数z =1+i1−i+m(1−i)（i 为虚数单位）为纯虚数，则实数m 的值为 0 ．【解答】解：∵z =1+i 1−i +m （1﹣i ）=(1+i)21−i2+m （1﹣i ）＝m +（1﹣m ）i 为纯虚数， ∴{m =01−m ≠0，解得m ＝0．则实数m 的值为：0．故答案为：0．2．（3分）若函数y ＝f （x ）是函数y ＝a x （a ＞0且a ≠1）的反函数，且f （4）＝2，f （x ）＝ log 2x ．【解答】解：函数y ＝f （x ）是函数y ＝a x （a ＞0且a ≠1）的反函数， ∴f （x ）＝log a x ，又f （4）＝2， ∴2＝log a 4，解得a ＝2． ∴f （x ）＝log 2x ．故答案为：log 2x ．3．（3分）一个腰长为2的等腰直角三角形绕着斜边上的高所在直线旋转180°形成的封闭曲面所围成的图形的体积为2√2π3．【解答】解：由题意可知旋转所得到的图形为圆锥，由等腰三角形的高为√2，斜边长为2√2，因此圆锥的底面半径为√2，高为√2，圆锥的体积为V =13×π（√2）2×√2=2√2π3，故答案为：2√2π3． 4．（3分）已知sinx −cosx =15，且x ∈(0，π2)，则sin x cos x ＝ 1225．【解答】解：∵sinx −cosx =15，且x ∈(0，π2)，∴两边平方可得：1﹣2sin x cos x =125， ∴解得：sin x cos x =12（1−125）=1225．故答案为：1225．5．（3分）已知定义在R 上的奇函数f （x ），当x ≥0时，f （x ）＝x 2﹣3x ．则关于x 的方程f （x ）＝x +3的解集为 {2+√7，﹣1，﹣3} ．【解答】解：若x ＜0，则﹣x ＞0，∵定义在R 上的奇函数f （x ），当x ≥0时，f （x ）＝x 2﹣3x ． ∴当x ＜0时，f （﹣x ）＝x 2+3x ＝﹣f （x ）．则当x ＜0时，f （x ）＝﹣x 2﹣3x ．若x ≥0，由f （x ）＝x +3得x 2﹣3x ＝x +3，则x 2﹣4x ﹣3＝0，则x =4±√16+4×32=4±2√72=2±√7， ∵x ≥0，∴x ＝2+√7，若x ＜0，由f （x ）＝x +3得﹣x 2﹣3x ＝x +3，则x 2+4x +3＝0，则x ＝﹣1或x ＝﹣3，综上方程f （x ）＝x +3的解集为{2+√7，﹣1，﹣3}；故答案为：{2+√7，﹣1，﹣3}6．（3分）抛物线y 2＝4x 的焦点F 关于直线y ＝2x 的对称点坐标为（−35，45）．【解答】解：∵抛物线y 2＝4x 是焦点在x 轴正半轴的标准方程，p ＝2， ∴焦点坐标为：（1，0），设（1，0）关于y ＝2x 的对称点坐标是（a ，b ），∴{b 2=2⋅a+12ba−1⋅2=−1，解得{a =−35b =45 故答案为：（−35，45）．7．（3分）二项式(x +2x )6的展开式中常数项的值等于 160 ．【解答】解：展开式的通项为T r+1=C 6r x 6−r (2x )r =2r C 6r x 6−2r令6﹣2r ＝0可得r ＝3常数项为23C 63=160故答案为：1608．（3分）从集合A ＝{1，2，3，4，5，6，7，8，9，10}中任取两个数，欲使取到的一个数大于k ，另一个数小于k （其中k ∈A ）的概率为25，则k ＝ 4或7 ．【解答】解：∵从集合A ＝{1，2，3，4，5，6，7，8，9，10}中任取两个数，欲使取到的一个数大于k ，另一个数小于k （其中k ∈A ）的概率为25，∴(10−k)(k−1)C 102=25，解得k ＝4或k ＝7．故答案为：4或7．9．（3分）已知数列{a n }，a 1＝1，a n+1+a n =(13)n ，n ∈N *，则lim n→∞(a 1+a 2+a 3+⋯+a 2n−1)=98．【解答】解：∵a n+1+a n =(13)n ，n ∈N ， ∴a 1+（a 2+a 3）+（a 4+a 5）+…+（a 2n ﹣2+a 2n ﹣1），＝1+132+134+⋯+132n−2，＝1+19(1−132n−2)1−19，＝1+18−18×32n−1， =98−18×32n−1， ∴lim n→∞(a 1+a 2+a 3+⋯+a 2n−1)=lim n→∞（98−18×32n−1）=98，故答案为：9810．（3分）中国古代十进位制的算筹记数法，在世界数学史上是一个伟大的创造．算筹记数的方法是：个位、百位、万位……的数按纵式的数码摆出；十位、千位、十万位……的数按横式的数码摆出．如138可用算筹表示．1﹣9这9个数字的纵式与横式表示数码如图所示，则1634×2log 221×log 381的运算结果可用算筹表示为．【解答】解：∵1634×2log 221×log 381＝672，从题中所给表示数码知672可用算筹表示．故答案为：．11．（3分）已知函数f （x ）＝k −√x +2的定义域和值域都是[a ，b ]，则实数k 的取值范围是（−54，﹣1] ．【解答】解：由x +2≥0，得x ≥﹣2．而函数f （x ）＝k −√x +2是减函数，由函数f （x ）＝k −√x +2的定义域和值域都是[a ，b ]，可得{k −√a +2=b k −√b +2=a，即{k −b =√a +2k −a =√b +2，∴{k 2−2kb +b 2=a +2k 2−2ka +a 2=b +2，两式作差可得a +b ＝2k ﹣1，于是a ，b 可以看作是方程x 2﹣（2k ﹣1）x +k 2﹣2k ﹣1＝0在[﹣2，k ]的两个不同根．由根的分布可知，{ △=(2k −1)2−4k 2+8k +4＞0−2＜2k−12＜k (−2)2+2(2k −1)+k 2−2k −1≥0k 2+k(2k −1)+k 2−2k −1≥0，解得：−54＜k ≤−1．∴实数k 的取值范围是（−54，﹣1]．故答案为：（−54，﹣1]．12．（3分）设f 为（0，+∞）→[0，+∞）的函数，对于任意正实数x ，f （x ）＝3f （3x ），当1≤x ≤3时，f （x ）＝27﹣27|x ﹣2|，则使得f(x)=23成立的最大实数x 为 63 ．【解答】解：因为f （x ）对于所有的正实数x 均有f （x ）＝3f （3x ）， f （x ）=1n f （x ），（n ∈N *）当1≤x ≤3时，f （x ）＝27﹣27|x ﹣2|={81−27x ，(3≥x ≥2)27x −27，(1≤x ＜2)∴f （x ）={13n (81−27×x 3n )，2≤x3n ≤313n (27×x 3n −27)，1≤x3n ＜2 ①由f(x)=23，即2⋅3n 3=81−27x 3，（2≤x3n ≤3）可得：0≤2•3n ≤81，满足条件的n 有：1，2，3．当n ＝3时，可得x 的最大值为63．②由f(x)=23，即2⋅3n 3=−27+27x 3，（1≤x3n ＜2）可得：27≤2•3n ≤81，满足条件的n 有：3．当n ＝3时，可得x 的最大值为45． ∴使得f(x)=23成立的最大实数x 为63．故答案为：63．二．选择题（共4小题，满分12分，每小题3分）13．（3分）在△ABC 中，“△ABC 是钝角三角形”是“cos C ＝2sin A sin B ”的（） A ．必要不充分 B ．充要C ．充分不必要D ．既不充分也不必要【解答】解：在△ABC 中，已知“△ABC 是钝角三角形”，假设C 为钝角，则cos C ＜0，2sin A sin B ＞0，显然“cos C ＝2sin A sin B ”不成立；在△ABC 中，又由cos C ＝2sin A sin B ，可知﹣cos （A +B ）＝2sin A sin B ，即cos （A ﹣B ）＝0，此时有A −B =±π2，即A 为钝角或B 为钝角，从而△ABC 为钝角三角形． ∴“△ABC 是钝角三角形”推不出“cos C ＝2sin A sin B ”； “cos C ＝2sin A sin B ”⇒“△ABC 是钝角三角形”∴“△ABC 是钝角三角形”是“cos C ＝2sin A sin B ”的必要不充分条件．故选：A ．14．（3分）已知l ，m ，n 为三条不同直线，α，β，γ为三个不同平面，则下列判断正确的是（）A ．若m ∥α，n ∥α，则m ∥nB．若m⊥α，n∥β，α⊥β，则m⊥nC．若α∩β＝l，m∥α，m∥β，则m∥lD．若α∩β＝m，α∩γ＝n，l⊥m，l⊥n，则l⊥α【解答】解：（A）若m∥α，n∥α，则m与n可能平行，可能相交，也可能异面，故A 错误；（B）在正方体ABCD﹣A′B′C′D′中，设平面ABCD为平面α，平面CDD′C′为平面β，直线BB′为直线m，直线A′B为直线n，则m⊥α，n∥β，α⊥β，但直线A′B与BB′不垂直，故B错误．（C）设过m的平面γ与α交于a，过m的平面θ与β交于b，∵m∥α，m⊂γ，α∩γ＝a，∴m∥a，同理可得：m∥b．∴a∥b，∵b⊂β，a⊄β，∴a∥β，∵α∩β＝l，a⊂α，∴a∥l，∴l∥m．故C正确．（D）在正方体ABCD﹣A′B′C′D′中，设平面ABCD为平面α，平面ABB′A′为平面β，平面CDD′C′为平面γ，则α∩β＝AB，α∩γ＝CD，BC⊥AB，BC⊥CD，但BC⊂平面ABCD，故D错误．故选：C．15．（3分）函数y =tan(πx 4−π2)（1＜x ＜4）的图象如图所示，A 为图象与x 轴的交点，过点A 的直线l 与函数的图象交于B ，C 两点，则（OB →+OC →）•OA →=（）A ．﹣8B ．﹣4C ．4D ．8【解答】解：由题意可知 B 、C 两点的中点为点A （2，0），设B （x 1，y 1），C （x 2，y 2），则x 1+x 2＝4，y 1+y 2＝0∴（OB →+OC →）•OA →=（（x 1，y 1）+（x 2，y 2））•（2，0）＝（x 1+x 2，y 1+y 2）•（2，0）＝（4，0）•（2，0）＝8 故选：D ．16．（3分）已知函数f （x ）＝|lnx |，g(x)={0，0＜x ≤1，|x 2−4|−2，x ＞1若关于x 的方程f （x ）+m ＝g （x ）恰有三个不相等的实数解，则m 的取值范围是（） A ．[0，ln 2]B ．（﹣2﹣ln 2，0）C ．（﹣2﹣ln 2，0]D ．[0，2+ln 2）【解答】解：设h （x ）＝f （x ）+m ，作出函数f （x ）和g （x ）的图象如图则h （x ）是f （x ）的图象沿着x ＝1上下平移得到，由图象知B 点的纵坐标为h （1）＝f （1）+m ＝ln 1+m ＝m ， A 点的纵坐标为g （2）＝﹣2，当x ＝2时，h （2）＝ln 2+m ，g （1）＝0，要使方程f （x ）+m ＝g （x ）恰有三个不相等的实数解，则等价为h （x ）与g （x ）的图象有三个不同的交点，则满足{ℎ(1)≤g(1)ℎ(2)＞g(2)，即{m ≤0m +ln2＞−2得{m ≤0m ＞−2−ln2，即﹣2﹣ln 2＜m ≤0，即实数m 的取值范围是（﹣2﹣ln 2，0]，故选：C ．三．解答题（共5小题）17．如图，已知边长为2的正三角形ABE 所在的平面与菱形ABCD 所在的平面垂直，且∠DAB ＝60°，点F 是BC 的中点．（1）求证：BD ⊥EF ；（2）求二面角E ﹣DF ﹣B 的余弦值．【解答】解：（1）证明：取AB 的中点O ，连结EO ，OF ，AC ，由题意知EO ⊥AB ．又因为平面ABCD ⊥平面ABE ，所以EO ⊥平面ABCD ．因为BD ⊂平面ABCD ，所以EO ⊥BD ，因为四边形ABCD 为菱形，所以BD ⊥AC ，又因为OF ∥AC ，所以BD ⊥OF ，所以BD ⊥平面EOF ．又EF ⊂平面EOF ，所以BD ⊥EF ．（2）解：连结DO ，由题意知EO ⊥AB ，DO ⊥AB ．又因为平面ABCD ⊥平面ABE ，所以DO ⊥平面ABE ，以O 为原点，建立如图所示的空间直角坐标系O ﹣xyz ．则O （0，0，0），E （√3，0，0），D （0，0，√3），F （0，32，√32），B （0，1，0）， DE →=（√3，0，−√3），DF →=（0，32，−√32）．设平面DEF 的一个法向量为n →=（x ，y ，z ），则{DF →⋅n →=32y −√32z =0DE →⋅n →=√3x −√3z =0，令x ＝1，所以n →=（1，√33，1）．又由（1）可知EO ⊥平面ABCD ，所以平面DFB 的一个法向量为m →=（1，0，0），设二面角E ﹣DF ﹣B 的平面角为θ，则cos θ=m →⋅n →|m →|⋅|n →|=√217．18．已知向量a →=（2sin x 4，cos x 2），b →=（cos x 4，1），且f （x ）=a →•b →．（Ⅰ）求函数f （x ）的最小正周期；（Ⅱ）求函数f （x ）在区间[﹣π，π]上的最大值和最小值及取得最值时x 的值．【解答】解：（Ⅰ） f(x)=a →⋅b →=2sin x 4cos x 4+cos x 2⋯（1分）=sin x 2+cos x 2⋯（2分）=√2(√22sin x 2+√22cos x 2)⋯（3分）=√2(sin x 2cos π4+cos x 2sin π4)=√2sin(x 2+π4)⋯（5分）∴f （x ）的最小正周期T =2π12=4π⋯（6分）（Ⅱ）∵x ∈[﹣π，π]，∴x 2+π4∈[−π4，3π4]，…（7分）当x 2+π4=−π4，即x ＝﹣π时，f(x)min =√2sin(−π4)=−√2×√22=−1；…（9分）当x 2+π4=π2，即x =π2时，f(x)max =√2sin π2=√2⋯（11分） ∴当x ＝﹣π时，函数f （x ）取得最小值﹣1；当x =π2时，函数f （x ）取得最大值√2． …（12分）19．已知函数f （x ）＝|x +1|．（1）解关于x 的不等式f （x ）﹣x 2+1＞0；（2）若函数g （x ）＝f （x ﹣1）+f （x +m ），当且仅当0≤x ≤1时，g （x ）取得最小值，求x ∈（﹣1，2）时，函数g （x ）的值域．【解答】解：（1）|x +1|﹣x 2+1＞0⇒|x +1|＞x 2﹣1，①{x ≥−1x +1＞x 2−1⇒−1＜x ＜2，②{x ＜−1#/DEL/#−x −1＞x 2−1#/DEL/#⇒ϕ，所以，不等式的解集为{x |﹣1＜x ＜2}；（2）g （x ）＝|x |+|x +m +1|＝|﹣x |+|x +m +1|≥|﹣x +x +m +1|＝|m +1|，当且仅当（﹣x ）•（x +m +1）≥0时取等号，∴1+m +1＝0，得m ＝﹣2，∴g （x ）＝|x |+|x ﹣1|，故当x ∈（﹣1，2）时，g(x)={−2x +1−1＜x ＜010≤x ≤12x −11＜x ＜2，所以g （x ）在x ∈（﹣1，2）时的值域为[1，3）．20．已知椭圆C ：x 2a 2+y 2b 2=1(a ＞b ＞0)的离心率e =√32，椭圆C 的上、下顶点分别为A 1，A 2，左、右顶点分别为B 1，B 2，左、右焦点分别为F 1，F 2．原点到直线A 2B 2的距离为2√55．（1）求椭圆C 的方程；（2）P 是椭圆上异于A 1，A 2的任一点，直线P A 1，P A 2，分别交x 轴于点N ，M ，若直线OT 与以MN 为直径的圆G 相切，切点为T ．证明：线段OT 的长为定值，并求出该定值．【解答】解：（1）因为椭圆C 的离心率e =√32，故设a ＝2m ，c =√3m ，则b ＝m ．直线A 2B 2方程为 bx ﹣ay ﹣ab ＝0，即mx ﹣2my ﹣2m 2＝0．所以2√m 2+4m 2=2√55，解得m ＝1．所以a ＝2，b ＝1，椭圆方程为x 24+y 2＝1．…（5分）证明：（2）由（1）可知A 1（0，1）A 2（0，﹣1），设P （x 0，y 0），直线P A 1：y ﹣1=y 0−1x 0x ，令y ＝0，得x N =−x 0y 0−1，…（6分）直线P A 2：y +1=y 0+1x 0x ，令y ＝0，得x M =x 0y 0+1，…（7分）解法一：设圆G 的圆心为（12（x 0y 0+1−x 0y 0−1），0），…（9分）则r 2＝[12（x 0y 0+1−x 0y 0−1）−x 0y 0−1]2=14（x 0y 0+1+x 0y 0−1）2．…（11分） OG 2=14（x 0y 0+1−x 0y 0−1）2． OT 2＝OG 2﹣r 2=14（x 0y 0+1−x 0y 0−1）2−14（x 0y 0+1+x 0y 0−1）2=x 021−y 02．…（13分）而x 024+y 02＝1，所以x 02＝4（1﹣y 02），所以OT 2＝4，…（15分）所以OT ＝2，即线段OT 的长度为定值2．…（16分）解法二：OM •ON ＝|（−x 0y 0−1）•x 0y 0+1|=x 021−y 02，而x 024+y 02＝1，所以x 02＝4（1﹣y 02），所以OM •ON ＝4．由切割线定理得OT 2＝OM •ON ＝4．所以OT ＝2，即线段OT 的长度为定值2．…（16分）21．若S n 是公差不为0的等差数列{a n }的前n 项和，且S 1，S 2，S 4成等比数列．（1）求等比数列S 1，S 2，S 4的公比；（2）若S 2＝4，求{a n }的通项公式；（3）设b n=3a n a n+1，T n是数列{b n}的前n项和，求使得T n＜m20对所有n∈N*都成立的最小正整数m．【解答】解：（1）∵数列{a n}为等差数列，∴S1＝a1，S2＝2a1+d，S4＝4a1+6d，∵S1，S2，S4成等比数列，∴S1•S4＝S22，∴a1(4a1+6d)=(2a1+d)2，∴2a1d=d2∵公差d不等于0，∴d＝2a1∴q=S2S1=4a1a1=4；（2）∵S2＝4，∴2a1+d＝4，又d＝2a1，∴a1＝1，d＝2，∴a n＝2n﹣1．（3）∵b n=3(2n−1)(2n+1)=32(12n−1−12n+1)∴T n=32[(1−13)+(13−15)+⋯+(12n−1−12n+1)]=32(1−12n+1)＜32要使T n＜m20对所有n∈N*恒成立，∴m20≥32，∴m≥30，∵m∈N*，∴m的最小值为30．。

2020届上海市高考数学(理)模拟试题(word版,有答案)(精品)

普通高等学校招生全国统一考试上海数学试卷（理工农医类）一、填空题（本大题共有14题，满分56分）考生应在答题纸相应编号的空格内直接填写结果，每个空格填对得4分，否则一律得零分.1、设x R ∈,则不等式13<-x 的解集为______________________2、设iiZ 23+=，期中i 为虚数单位，则Im z =______________________ 3、已知平行直线012:,012:21=++=-+y x l y x l ，则21,l l 的距离_______________4、某次体检，6位同学的身高（单位：米）分别为1.72,1.78,1.75,1.80,1.69,1.77则这组数据的中位数是_________（米）5、已知点(3,9)在函数xa x f +=1)(的图像上，则________)()(1=-x fx f 的反函数6、如图，在正四棱柱1111D C B A ABCD -中，底面ABCD 的边长为3，1BD 与底面所成角的大小为32arctan ，则该正四棱柱的高等于____________7、方程3sin 1cos2x x =+在区间[]π2,0上的解为___________ 学.科.网8、在nx x ⎪⎭⎫ ⎝⎛-23的二项式中，所有项的二项式系数之和为256，则常数项等于_________9、已知ABC ∆的三边长分别为3,5,7，则该三角形的外接圆半径等于_________10、设.0,0>>b a 若关于,x y 的方程组11ax y x by +=⎧⎨+=⎩无解，则b a +的取值范围是____________11.无穷数列{}n a 由k 个不同的数组成，n S 为{}n a 的前n 项和.若对任意*∈N n ，{}3,2∈n S ，则k 的最大值为.12.在平面直角坐标系中，已知A （1,0），B （0，-1），P 是曲线21x y -=上一个动点，则BA BP ⋅的取值范围是.13.设[)π2,0,,∈∈c R b a ，若对任意实数x 都有()c bx a x +=⎪⎭⎫⎝⎛-sin 33sin 2π，则满足条件的有序实数组()c b a ,,的组数为.14.如图，在平面直角坐标系xOy 中，O 为正八边形821A A A Λ的中心，()0,11A .任取不同的两点j i A A ,，点P 满足0=++j i OA OA OP ，则点P落在第一象限的概率是. 二、选择题（5×4=20）15.设R a ∈，则“1>a ”是“12>a ”的（）（A ）充分非必要条件（B ）必要非充分条件（C ）充要条件（D ）既非充分也非必要条件 16.下列极坐标方程中，对应的曲线为右图的是（）（A ）θρcos 56+= （B ）θρin s 56+= （C ）θρcos 56-= （D ）θρin s 56-=17.已知无穷等比数列{}n a 的公比为q ，前n 项和为n S ，且S S n n =∞→lim .下列条件中，使得()*∈<N n S S n 2恒成立的是（）（A ）7.06.0,01<<>q a （B ）6.07.0,01-<<-<q a（C ）8.07.0,01<<>q a （D ）7.08.0,01-<<-<q a18、设()f x 、()g x 、()h x 是定义域为R 的三个函数，对于命题：①若()()f x g x +、()()f x h x +、()()g x h x +均为增函数，则()f x 、()g x 、()h x 中至少有一个增函数；②若()()f x g x +、()()f x h x +、()()g x h x +均是以T 为周期的函数，则()f x 、()g x 、()h x 均是以T 为周期的函数，下列判断正确的是（）A 、①和②均为真命题B 、①和②均为假命题C 、①为真命题，②为假命题D 、①为假命题，②为真命题学科.网三、解答题（74分）19.将边长为1的正方形11AAO O （及其内部）绕的1OO 旋转一周形成圆柱，如图，»AC 长为23π，¼11A B 长为3π，其中1B 与C 在平面11AAO O 的同侧。

上海市2020〖人教版〗高考数学模拟试卷理科

上海市2020年〖人教版〗高考数学模拟试卷理科一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.（5分）我国古代数学名著《九章算术》有“米谷粒分”题：粮仓开仓收粮，有人送来米1534石，验得米内夹谷，抽样取米一把，数得254粒内夹谷28粒，则这批米内夹谷约为（）A.134石B.169石C.338石D.1365石2.（5分）i为虚数单位，i607的共轭复数为（）A.iB.﹣iC.1D.﹣13.（5分）已知（1+x）n的展开式中第4项与第8项的二项式系数相等，则奇数项的二项式系数和为（）A.212B.211C.210D.294.（5分）设X～N（μ1，σ12），Y～N（μ2，σ22），这两个正态分布密度曲线如图所示.下列结论中正确的是（）A.P（Y≥μ2）≥P（Y≥μ1）B.P（X≤σ2）≤P（X≤σ1）C.对任意正数t，P（X≤t）≥P（Y≤t）D.对任意正数t，P （X≥t）≥P（Y≥t）5.（5分）设a1，a2，…，a n∈R，n≥3.若p：a1，a2，…，a n成等比数列；q：（a12+a22+…+a n﹣12）（a22+a32+…+a n2）=（a1a2+a2a3+…+a n﹣1a n）2，则（）A.p是q的充分条件，但不是q的必要条件B.p是q的必要条件，但不是q的充分条件C.p是q的充分必要条件D.p既不是q的充分条件，也不是q的必要条件6.（5分）已知符号函数sgnx=，f（x）是R上的增函数，g（x）=f（x）﹣f（ax）（a＞1），则（）A.sgn[g（x）]=sgnxB.sgn[g（x）]=﹣sgnxC.sgn[g （x）]=sgn[f（x）]D.sgn[g（x）]=﹣sgn[f（x）]7.（5分）在区间[0，1]上随机取两个数x，y，记P1为事件“x+y ≥”的概率，P2为事件“|x﹣y|≤”的概率，P3为事件“xy≤”的概率，则（）A.P1＜P2＜P3B.P2＜P3＜P1C.P3＜P1＜P2D.P3＜P2＜P18.（5分）将离心率为e1的双曲线C1的实半轴长a和虚半轴长b （a≠b）同时增加m（m＞0）个单位长度，得到离心率为e2的双曲线C2，则（）A.对任意的a，b，e1＞e2B.当a＞b时，e1＞e2；当a＜b时，e1＜e2C.对任意的a，b，e1＜e2D.当a＞b时，e1＜e2；当a＜b时，e1＞e29.（5分）已知集合A={（x，y）|x2+y2≤1，x，y∈Z}，B={（x，y）||x|≤2，|y|≤2，x，y∈Z}，定义集合A⊕B={（x1+x2，y1+y2）|（x1，y1）∈A，（x2，y2）∈B}，则A⊕B中元素的个数为（）A.77B.49C.45D.3010.（5分）设x∈R，[x]表示不超过x的最大整数.若存在实数t，使得[t]=1，[t2]=2，…，[t n]=n同时成立，则正整数n的最大值是（）A.3B.4C.5D.6二、填空题：本大题共4小题，考生需作答5小题，每小题5分，共25分.请将答案填在答题卡对应题号的位置上.答错位置，书写不清，模棱两可均不得分.11.（5分）已知向量⊥，||=3，则•=.12.（5分）函数f（x）=4cos2cos（﹣x）﹣2sinx﹣|ln （x+1）|的零点个数为.13.（5分）如图，一辆汽车在一条水平的公路上向正西行驶，到A处时测得公路北侧一山顶D在西偏北30°的方向上，行驶600m 后到达B处，测得此山顶在西偏北75°的方向上，仰角为30°，则此山的高度CD=m.14.（5分）如图，圆C与x轴相切于点T（1，0），与y轴正半轴交于两点A，B（B在A的上方），且|AB|=2.（1）圆C的标准方程为；（2）过点A任作一条直线与圆O：x2+y2=1相交于M，N两点，下列三个结论：①=；②﹣=2；③+=2.其中正确结论的序号是.（写出所有正确结论的序号）选修4-1：几何证明选讲15.（5分）如图，PA是圆的切线，A为切点，PBC是圆的割线，且BC=3PB，则=.选修4-4：坐标系与参数方程16.在直角坐标系xOy中，以O为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系.已知直线l的极坐标方程为ρ（sinθ﹣3cosθ）=0，曲线C的参数方程为（ t为参数），l与C相交于A，B两点，则|AB|=.三、解答题：本大题共6小题，共75分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.17.（11分）某同学用“五点法”画函数f（x）=Asin（ωx+φ）（ω＞0，|φ|＜）在某一个周期内的图象时，列表并填入了部分数据，如表：ωx+φ0π2πxAsin（ωx+φ）05﹣50（1）请将上表数据补充完整，填写在相应位置，并直接写出函数f（x）的解析式；（2）将y=f（x）图象上所有点向左平行移动θ（θ＞0）个单位长度，得到y=g（x）的图象.若y=g（x）图象的一个对称中心为（，0），求θ的最小值.18.（12分）设等差数列{a n}的公差为d，前n项和为S n，等比数列{b n}的公比为q，已知b1=a1，b2=2，q=d，S10=100.（1）求数列{a n}，{b n}的通项公式（2）当d＞1时，记c n=，求数列{c n}的前n项和T n.19.（12分）《九章算术》中，将底面为长方形且有一条侧棱与底面垂直的四棱锥称之为阳马，将四个面都为直角三角形的四面体称之为鳖臑.如图，在阳马P﹣ABCD中，侧棱PD⊥底面ABCD，且PD=CD，过棱PC的中点E，作EF⊥PB交PB于点F，连接DE，DF，BD，BE.（1）证明：PB⊥平面DEF.试判断四面体DBEF是否为鳖臑，若是，写出其每个面的直角（只需写出结论）；若不是，说明理由；（2）若面DEF与面ABCD所成二面角的大小为，求的值. 20.（12分）某厂用鲜牛奶在某台设备上生产A，B两种奶制品.生产1吨A产品需鲜牛奶2吨，使用设备1小时，获利1000元；生产1吨B产品需鲜牛奶1.5吨，使用设备1.5小时，获利1200元.要求每天B产品的产量不超过A产品产量的2倍，设备每天生产A，B两种产品时间之和不超过12小时.假定每天可获取的鲜牛奶数量W（单位：吨）是一个随机变量，其分布列为W121518P0.30.50.2该厂每天根据获取的鲜牛奶数量安排生产，使其获利最大，因此每天的最大获利Z（单位：元）是一个随机变量.（1）求Z的分布列和均值；（2）若每天可获取的鲜牛奶数量相互独立，求3天中至少有1天的最大获利超过10000元的概率.21.（14分）一种画椭圆的工具如图1所示.O是滑槽AB的中点，短杆ON可绕O转动，长杆MN通过N处铰链与ON连接，MN上的栓子D可沿滑槽AB滑动，且DN=ON=1，MN=3，当栓子D在滑槽AB 内作往复运动时，带动N绕O转动，M处的笔尖画出的椭圆记为C，以O为原点，AB所在的直线为x轴建立如图2所示的平面直角坐标系.（1）求椭圆C的方程；（2）设动直线l与两定直线l1：x﹣2y=0和l2：x+2y=0分别交于P，Q两点.若直线l总与椭圆C有且只有一个公共点，试探究：△OPQ的面积是否存在最小值？若存在，求出该最小值；若不存在，说明理由.22.（14分）已知数列{a n}的各项均为正数，b n=n（1+）n a n（n∈N+），e为自然对数的底数.（1）求函数f（x）=1+x﹣e x的单调区间，并比较（1+）n与e 的大小；（2）计算，，，由此推测计算的公式，并给出证明；（3）令c n=（a1a2…a n），数列{a n}，{c n}的前n项和分别记为S n，T n，证明：T n＜eS n.参考答案与试题解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.（5分）i为虚数单位，i607的共轭复数为（）A.iB.﹣iC.1D.﹣1【分析】直接利用复数的单位的幂运算求解即可.【解答】解：i607=i604+3=i3=﹣i，它的共轭复数为：i.故选：A.【点评】本题考查复数的基本运算，复式单位的幂运算以及共轭复数的知识，基本知识的考查.2.（5分）我国古代数学名著《九章算术》有“米谷粒分”题：粮仓开仓收粮，有人送来米1534石，验得米内夹谷，抽样取米一把，数得254粒内夹谷28粒，则这批米内夹谷约为（）A.134石B.169石C.338石D.1365石【分析】根据254粒内夹谷28粒，可得比例，即可得出结论.【解答】解：由题意，这批米内夹谷约为1534×≈169石，故选：B.【点评】本题考查利用数学知识解决实际问题，考查学生的计算能力，比较基础.3.（5分）已知（1+x）n的展开式中第4项与第8项的二项式系数相等，则奇数项的二项式系数和为（）A.212B.211C.210D.29【分析】直接利用二项式定理求出n，然后利用二项式定理系数的性质求出结果即可.【解答】解：已知（1+x）n的展开式中第4项与第8项的二项式系数相等，可得，可得n=3+7=10.（1+x）10的展开式中奇数项的二项式系数和为：=29.故选：D.【点评】本题考查二项式定理的应用，组合数的形状的应用，考查基本知识的灵活运用以及计算能力.4.（5分）设X～N（μ1，σ12），Y～N（μ2，σ22），这两个正态分布密度曲线如图所示.下列结论中正确的是（）A.P（Y≥μ2）≥P（Y≥μ1）B.P（X≤σ2）≤P（X≤σ1）C.对任意正数t，P（X≤t）≥P（Y≤t）D.对任意正数t，P （X≥t）≥P（Y≥t）【分析】直接利用正态分布曲线的特征，集合概率，直接判断即可.【解答】解：正态分布密度曲线图象关于x=μ对称，所以μ1＜μ2，从图中容易得到P（X≤t）≥P（Y≤t）.故选：C.【点评】本题考查了正态分布的图象与性质，学习正态分布，一定要紧紧抓住平均数μ和标准差σ这两个关键量，结合正态曲线的图形特征，归纳正态曲线的性质.5.（5分）设a1，a2，…，a n∈R，n≥3.若p：a1，a2，…，a n成等比数列；q：（a12+a22+…+a n﹣12）（a22+a32+…+a n2）=（a1a2+a2a3+…+a n﹣1a n）2，则（）A.p是q的充分条件，但不是q的必要条件B.p是q的必要条件，但不是q的充分条件C.p是q的充分必要条件D.p既不是q的充分条件，也不是q的必要条件【分析】运用柯西不等式，可得：（a12+a22+…+a n﹣12）（a22+a32+…+a n2）≥（a1a2+a2a3+…+a n﹣1a n）2，讨论等号成立的条件，结合等比数列的定义和充分必要条件的定义，即可得到.【解答】解：由a1，a2，…，a n∈R，n≥3.运用柯西不等式，可得：（a12+a22+…+a n﹣12）（a22+a32+…+a n2）≥（a1a2+a2a3+…+a n﹣1a n）2，若a1，a2，…，a n成等比数列，即有==…=，则（a12+a22+…+a n﹣12）（a22+a32+…+a n2）=（a1a2+a2a3+…+a n﹣1a n）2，即由p推得q，但由q推不到p，比如a1=a2=a3=…=a n=0，则a1，a2，…，a n不成等比数列.故p是q的充分不必要条件.故选：A.【点评】本题考查充分必要条件的判断，同时考查等比数列的定义，注意运用定义法和柯西不等式解题是关键.6.（5分）已知符号函数sgnx=，f（x）是R上的增函数，g（x）=f（x）﹣f（ax）（a＞1），则（）A.sgn[g（x）]=sgnxB.sgn[g（x）]=﹣sgnxC.sgn[g （x）]=sgn[f（x）]D.sgn[g（x）]=﹣sgn[f（x）]【分析】直接利用特殊法，设出函数f（x），以及a的值，判断选项即可.【解答】解：由于本题是选择题，可以采用特殊法，符号函数sgnx=，f（x）是R上的增函数，g（x）=f（x）﹣f （ax）（a＞1），不妨令f（x）=x，a=2，则g（x）=f（x）﹣f（ax）=﹣x，sgn[g（x）]=﹣sgnx.所以A不正确，B正确，sgn[f（x）]=sgnx，C不正确；D正确；对于D，令f（x）=x+1，a=2，则g（x）=f（x）﹣f（ax）=﹣x，sgn[f（x）]=sgn（x+1）=；sgn[g（x）]=sgn（﹣x）=，﹣sgn[f（x）]=﹣sgn（x+1）=；所以D不正确；故选：B.【点评】本题考查函数表达式的比较，选取特殊值法是解决本题的关键，注意解题方法的积累，属于中档题.7.（5分）在区间[0，1]上随机取两个数x，y，记P1为事件“x+y ≥”的概率，P2为事件“|x﹣y|≤”的概率，P3为事件“xy≤”的概率，则（）A.P1＜P2＜P3B.P2＜P3＜P1C.P3＜P1＜P2D.P3＜P2＜P1【分析】作出每个事件对应的平面区域，求出对应的面积，利用几何概型的概率公式进行计算比较即可.【解答】解：分别作出事件对应的图象如图（阴影部分）：P1：D（0，），F（，0），A（0，1），B（1，1），C（1，0），则阴影部分的面积S1=1×1﹣=1﹣=，S2=1×1﹣2×=1﹣=，S3=1×+dx=+lnx|=﹣ln=+ln2，∴S2＜S3＜S1，即P2＜P3＜P1，故选：B.【点评】本题主要考查几何概型的概率计算，利用数形结合是解决本题的关键.本题也可以直接通过图象比较面积的大小即可比较大小.8.（5分）将离心率为e1的双曲线C1的实半轴长a和虚半轴长b （a≠b）同时增加m（m＞0）个单位长度，得到离心率为e2的双曲线C2，则（）A.对任意的a，b，e1＞e2B.当a＞b时，e1＞e2；当a＜b时，e1＜e2C.对任意的a，b，e1＜e2D.当a＞b时，e1＜e2；当a＜b时，e1＞e2【分析】分别求出双曲线的离心率，再平方作差，即可得出结论.【解答】解：由题意，双曲线C1：c2=a2+b2，e1=；双曲线C2：c′2=（a+m）2+（b+m）2，e2=，∴=﹣=，∴当a＞b时，e1＞e2；当a＜b时，e1＜e2，故选：B.【点评】本题考查双曲线的性质，考查学生的计算能力，比较基础.9.（5分）已知集合A={（x，y）|x2+y2≤1，x，y∈Z}，B={（x，y）||x|≤2，|y|≤2，x，y∈Z}，定义集合A⊕B={（x1+x2，y1+y2）|（x1，y1）∈A，（x2，y2）∈B}，则A⊕B中元素的个数为（）A.77B.49C.45D.30【分析】由题意可得，A={（0，0），（0，1），（0，﹣1），（1，0），（﹣1，0），B={（0，0），（0，1），（0，2），（0，﹣1），（0，﹣2），（1，0），（1，1），（1，2）（1，﹣1），（1，﹣2）（2，0），（2，1），（2，2）（2，﹣1），（2，﹣2），（﹣1，﹣2），（﹣1，﹣1），（﹣1，0），（﹣1，1），（﹣1，2），（﹣2，﹣2），（﹣2，﹣1），（﹣2，0），（﹣2，1），（﹣2，2）}，根据定义可求【解答】解：解法一：∵A={（x，y）|x2+y2≤1，x，y∈Z}={（0，0），（0，1），（0，﹣1），（1，0），（﹣1，0），B={（x，y）||x|≤2，|y|≤2，x，y∈Z}={（0，0），（0，1），（0，2），（0，﹣1），（0，﹣2），（1，0），（1，1），（1，2）（1，﹣1），（1，﹣2）（2，0），（2，1），（2，2）（2，﹣1），（2，﹣2），（﹣1，﹣2），（﹣1，﹣1），（﹣1，0），（﹣1，1），（﹣1，2），（﹣2，﹣2），（﹣2，﹣1），（﹣2，0），（﹣2，1），（﹣2，2）}∵A⊕B={（x1+x2，y1+y2）|（x1，y1）∈A，（x2，y2）∈B}，∴A⊕B={（0，0），（0，1），（0，2），（0，﹣1），（0，﹣2），（1，0），（1，1），（1，2）（1，﹣1），（1，﹣2）（2，0），（2，1），（2，2），（2，﹣1），（2，﹣2），（﹣1，﹣2），（﹣1，﹣1），（﹣1，0），（﹣1，1），（﹣1，2），（﹣2，﹣2），（﹣2，﹣1），（﹣2，0），（﹣2，1），（﹣2，2），（﹣2，3），（﹣2，﹣3），（0，﹣3），（2，﹣3），（﹣1，3），（﹣1，﹣3），（1，3），（2，3），（0，3），（3，﹣1），（3，0）（3，1），（3，2），（3，﹣2）（﹣3，2）（﹣3，1），（1，﹣3），（﹣3，﹣1），（﹣3，0），（﹣3，﹣2）}共45个元素；解法二：因为集合A={（x，y）|x2+y2≤1，x，y∈Z}，所以集合A中有5个元素，即图中圆中的整点，B={（x，y）||x|≤2，|y|≤2，x，y∈Z}，中有5×5=25个元素，即图中正方形ABCD中的整点，A⊕B={（x1+x2，y1+y2）|（x1，y1）∈A，（x2，y2）∈B}的元素可看作正方形A1B1C1D1中的整点（除去四个顶点），即7×7﹣4=45个.故选：C.【点评】本题以新定义为载体，主要考查了集合的基本定义及运算，解题中需要取得重复的元素.10.（5分）设x∈R，[x]表示不超过x的最大整数.若存在实数t，使得[t]=1，[t2]=2，…，[t n]=n同时成立，则正整数n的最大值是（）A.3B.4C.5D.6【分析】由新定义可得t的范围，验证可得最大的正整数n为4.【解答】解：若[t]=1，则t∈[1，2），若[t2]=2，则t∈[，）（因为题目需要同时成立，则负区间舍去），若[t3]=3，则t∈[，），若[t4]=4，则t∈[，），若[t5]=5，则t∈[，），其中≈1.732，≈1.587，≈1.495，≈1.431＜1.495，通过上述可以发现，当t=4时，可以找到实数t使其在区间[1，2）∩[，）∩[，）∩[，）上，但当t=5时，无法找到实数t使其在区间[1，2）∩[，）∩[，）∩[，）∩[，）上，∴正整数n的最大值4故选：B.【点评】本题考查简单的演绎推理，涉及新定义，属基础题.二、填空题：本大题共4小题，考生需作答5小题，每小题5分，共25分.请将答案填在答题卡对应题号的位置上.答错位置，书写不清，模棱两可均不得分.11.（5分）已知向量⊥，||=3，则•= 9 .【分析】由已知结合平面向量是数量积运算求得答案.【解答】解：由⊥，得•=0，即•（）=0，∵||=3，∴.故答案为：9.【点评】本题考查了平面向量的数量积运算，考查了向量模的求法，是基础的计算题.12.（5分）函数f（x）=4cos2cos（﹣x）﹣2sinx﹣|ln （x+1）|的零点个数为 2 .【分析】利用二倍角公式化简函数的解析式，求出函数的定义域，画出函数的图象，求出交点个数即可.【解答】解：函数f（x）的定义域为：{x|x＞﹣1}.f（x）=4cos2cos（﹣x）﹣2sinx﹣|ln（x+1）|=2sinx﹣|ln（x+1）|=sin2x﹣|ln（x+1）|，分别画出函数y=sin2x，y=|ln（x+1）|的图象，由函数的图象可知，交点个数为2.所以函数的零点有2个.故答案为：2.【点评】本题考查三角函数的化简，函数的零点个数的判断，考查数形结合与转化思想的应用.13.（5分）如图，一辆汽车在一条水平的公路上向正西行驶，到A处时测得公路北侧一山顶D在西偏北30°的方向上，行驶600m 后到达B处，测得此山顶在西偏北75°的方向上，仰角为30°，则此山的高度CD= 100m.【分析】设此山高h（m），在△BCD中，利用仰角的正切表示出BC，进而在△ABC中利用正弦定理求得h.【解答】解：设此山高h（m），则BC=h，在△ABC中，∠BAC=30°，∠CBA=105°，∠BCA=45°，AB=600.根据正弦定理得=，解得h=100（m）故答案为：100.【点评】本题主要考查了解三角形的实际应用.关键是构造三角形，将各个已知条件向这个主三角形集中，再通过正弦、余弦定理或其他基本性质建立条件之间的联系，列方程或列式求解. 14.（5分）如图，圆C与x轴相切于点T（1，0），与y轴正半轴交于两点A，B（B在A的上方），且|AB|=2.（1）圆C的标准方程为（x﹣1）2+（y﹣）2=2 ；（2）过点A任作一条直线与圆O：x2+y2=1相交于M，N两点，下列三个结论：①=；②﹣=2；③+=2.其中正确结论的序号是①②③.（写出所有正确结论的序号）【分析】（1）取AB的中点E，通过圆C与x轴相切于点T，利用弦心距、半径与半弦长之间的关系，计算即可；（2）设M（cosα，sinα），N（cosβ，sinβ），计算出、、的值即可.【解答】解：（1）∵圆C与x轴相切于点T（1，0），∴圆心的横坐标x=1，取AB的中点E，∵|AB|=2，∴|BE|=1，则|BC|=，即圆的半径r=|BC|=，∴圆心C（1，），则圆的标准方程为（x﹣1）2+（y﹣）2=2，故答案为：（x﹣1）2+（y﹣）2=2.（2）∵圆心C（1，），∴E（0，），又∵|AB|=2，且E为AB中点，∴A（0，﹣1），B（0，+1），∵M、N在圆O：x2+y2=1上，∴可设M（cosα，sinα），N（cosβ，sinβ），∴|NA|=====，|NB|====，∴===，同理可得=，∴=，①成立，﹣=﹣（）=2，②正确.+=+（）=，③正确.故答案为：①②③.【点评】本题考查求圆的标准方程，用三角函数值表示单位圆上点的坐标是解决本题的关键，注意解题方法的积累，属于难题.选修4-1：几何证明选讲15.（5分）如图，PA是圆的切线，A为切点，PBC是圆的割线，且BC=3PB，则=.【分析】利用切割线定理推出PA=2PB，利用相似三角形求出比值即可.【解答】解：由切割线定理可知：PA2=PB•PC，又BC=3PB，可得PA=2PB，在△PAB与△PAC中，∠P=∠P，∠PAB=∠PCA（同弧上的圆周角与弦切角相等），可得△PAB∽△PAC，∴==.故答案为：.【点评】本题考查切割线定理以及相似三角形的判定与应用，考查逻辑推理能力.选修4-4：坐标系与参数方程16.在直角坐标系xOy中，以O为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系.已知直线l的极坐标方程为ρ（sinθ﹣3cosθ）=0，曲线C的参数方程为（ t为参数），l与C相交于A，B两点，则|AB|=.【分析】化极坐标方程化直角坐标方程，参数方程化普通方程，联立直线方程和双曲线方程后求得交点坐标，由两点间的距离公式得答案.【解答】解：由ρ（sinθ﹣3cosθ）=0，得y﹣3x=0，由C的参数方程为（ t为参数），两式平方作差得：x2﹣y2=﹣4.联立，得，即.∴A（），B（），∴|AB|=.故答案为：.【点评】本题考查极坐标方程化直角坐标方程，参数方程化普通方程，考查了直线和圆锥曲线的位置关系，是基础的计算题.三、解答题：本大题共6小题，共75分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.17.（11分）某同学用“五点法”画函数f（x）=Asin（ωx+φ）（ω＞0，|φ|＜）在某一个周期内的图象时，列表并填入了部分数据，如表：ωx+φ0π2πxAsin（ωx+φ）05﹣50（1）请将上表数据补充完整，填写在相应位置，并直接写出函数f（x）的解析式；（2）将y=f（x）图象上所有点向左平行移动θ（θ＞0）个单位长度，得到y=g（x）的图象.若y=g（x）图象的一个对称中心为（，0），求θ的最小值.【分析】（1）根据表中已知数据，解得A=5，ω=2，φ=﹣.从而可补全数据，解得函数表达式为f（x）=5sin（2x﹣）.（2）由（Ⅰ）及函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换规律得g （x）=5sin（2x+2θ﹣）.令2x+2θ﹣=kπ，解得x=，k∈Z.令=，解得θ=，k∈Z.由θ＞0可得解.【解答】解：（1）根据表中已知数据，解得A=5，ω=2，φ=﹣.数据补全如下表：ωx+φ0π2πxAsin（ωx+φ）050﹣50且函数表达式为f（x）=5sin（2x﹣）.（2）由（Ⅰ）知f（x）=5sin（2x﹣），得g（x）=5sin （2x+2θ﹣）.因为y=sinx的对称中心为（kπ，0），k∈Z.令2x+2θ﹣=kπ，解得x=，k∈Z.由于函数y=g（x）的图象关于点（，0）成中心对称，令=，解得θ=，k∈Z.由θ＞0可知，当K=1时，θ取得最小值.【点评】本题主要考查了由y=Asin（ωx+φ）的部分图象确定其解析式，函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换规律的应用，属于基本知识的考查.18.（12分）设等差数列{a n}的公差为d，前n项和为S n，等比数列{b n}的公比为q，已知b1=a1，b2=2，q=d，S10=100.（1）求数列{a n}，{b n}的通项公式（2）当d＞1时，记c n=，求数列{c n}的前n项和T n.【分析】（1）利用前10项和与首项、公差的关系，联立方程组计算即可；（2）当d＞1时，由（1）知c n=，写出T n、T n的表达式，利用错位相减法及等比数列的求和公式，计算即可.【解答】解：（1）设a1=a，由题意可得，解得，或，当时，a n=2n﹣1，b n=2n﹣1；当时，a n=（2n+79），b n=9•；（2）当d＞1时，由（1）知a n=2n﹣1，b n=2n﹣1，∴c n==，∴T n=1+3•+5•+7•+9•+…+（2n﹣1）•，∴T n=1•+3•+5•+7•+…+（2n﹣3）•+（2n﹣1）•，∴T n=2+++++…+﹣（2n﹣1）•=3﹣，∴T n=6﹣.【点评】本题考查求数列的通项及求和，利用错位相减法是解决本题的关键，注意解题方法的积累，属于中档题.19.（12分）《九章算术》中，将底面为长方形且有一条侧棱与底面垂直的四棱锥称之为阳马，将四个面都为直角三角形的四面体称之为鳖臑.如图，在阳马P﹣ABCD中，侧棱PD⊥底面ABCD，且PD=CD，过棱PC的中点E，作EF⊥PB交PB于点F，连接DE，DF，BD，BE.（1）证明：PB⊥平面DEF.试判断四面体DBEF是否为鳖臑，若是，写出其每个面的直角（只需写出结论）；若不是，说明理由；（2）若面DEF与面ABCD所成二面角的大小为，求的值.【分析】解法1）（1）直线与直线，直线与平面的垂直的转化证明得出PB⊥EF，DE∩FE=E，所以PB⊥平面DEF，即可判断DE⊥平面PBC，PB⊥平面DEF，可知四面体BDEF的四个面都是直角三角形，确定直角.（2）根据公理2得出DG是平面DEF与平面ACBD的交线.利用直线平面的垂直判断出DG⊥DF，DG⊥DB，根据平面角的定义得出∠BDF是面DEF与面ABCD所成二面角的平面角，转化到直角三角形求解即可.解法2）（1）以D为原点，射线DA，DC，DP分别为x，y，z轴的正半轴，建立空间直角坐标系，运用向量的数量积判断即可.2）由PD⊥底面ABCD，所以=（0，0，1）是平面ACDB的一个法向量；由（Ⅰ）知，PB⊥平面DEF，所以=（﹣λ，﹣1，1）是平面DEF的一个法向量.根据数量积得出夹角的余弦即可得出所求解的答案.【解答】解法1）（1）因为PD⊥底面ABCD，所以PD⊥BC，由底面ABCD为长方形，有BC⊥CD，而PD∩CD=D，所以BC⊥平面PCD.而DE⊂平面PDC，所以BC⊥DE.又因为PD=CD，点E是PC的中点，所以DE⊥PC.而PC∩CB=C，所以DE⊥平面PBC.而PB⊂平面PBC，所以PB⊥DE.又PB⊥EF，DE∩FE=E，所以PB⊥平面DEF.由DE⊥平面PBC，PB⊥平面DEF，可知四面体BDEF的四个面都是直角三角形，即四面体BDEF是一个鳖臑，其四个面的直角分别为∠DEB，∠DEF，∠EFB，∠DFB.（2）如图1，在面BPC内，延长BC与FE交于点G，则DG是平面DEF与平面ACBD的交线.由（Ⅰ）知，PB⊥平面DEF，所以PB⊥DG.又因为PD⊥底面ABCD，所以PD⊥DG.而PD∩PB=P，所以DG⊥平面PBD.所以DG⊥DF，DG⊥DB故∠BDF是面DEF与面ABCD所成二面角的平面角，设PD=DC=1，BC=λ，有BD=，在Rt△PDB中，由DF⊥PB，得∠DPB=∠FDB=，则 tan=tan∠DPF===，解得.所以==故当面DEF与面ABCD所成二面角的大小为时，=.（解法2）（1）以D为原点，射线DA，DC，DP分别为x，y，z轴的正半轴，建立空间直角坐标系.设PD=DC=1，BC=λ，则D（0，0，0），P（0，0，1），B（λ，1，0），C（0，1，0），=（λ1，﹣1），点E是PC的中点，所以E（0，，），=（0，，），于是=0，即PB⊥DE.又已知EF⊥PB，而ED∩EF=E，所以PB⊥平面DEF.因=（0，1，﹣1），=0，则DE⊥PC，所以DE⊥平面PBC.由DE⊥平面PBC，PB⊥平面DEF，可知四面体BDEF的四个面都是直角三角形，即四面体BDEF是一个鳖臑，其四个面的直角分别为∠DEB，∠DEF，∠EFB，∠DFB.（2）由PD⊥底面ABCD，所以=（0，0，1）是平面ACDB的一个法向量；由（Ⅰ）知，PB⊥平面DEF，所以=（﹣λ，﹣1，1）是平面DEF的一个法向量.若面DEF与面ABCD所成二面角的大小为，则运用向量的数量积求解得出cos==，解得.所以所以==故当面DEF与面ABCD所成二面角的大小为时，=.【点评】本题综合考查了空间直线平面的垂直问题，直线与直线，直线与平面的垂直的转化，空间角的求解，属于难题.20.（12分）某厂用鲜牛奶在某台设备上生产A，B两种奶制品.生产1吨A产品需鲜牛奶2吨，使用设备1小时，获利1000元；生产1吨B产品需鲜牛奶1.5吨，使用设备1.5小时，获利1200元.要求每天B产品的产量不超过A产品产量的2倍，设备每天生产A，B两种产品时间之和不超过12小时.假定每天可获取的鲜牛奶数量W（单位：吨）是一个随机变量，其分布列为W121518P0.30.50.2该厂每天根据获取的鲜牛奶数量安排生产，使其获利最大，因此每天的最大获利Z（单位：元）是一个随机变量.（1）求Z的分布列和均值；（2）若每天可获取的鲜牛奶数量相互独立，求3天中至少有1天的最大获利超过10000元的概率.【分析】（1）设每天A，B两种产品的生产数量分别为x，y，相应的获利为z，列出可行域，目标函数，通过当W=12时，当W=15时，当W=18时，分别求出目标函数的最大获利，然后得到Z的分布列.求出期望即可.（2）判断概率类型是二项分布，然后求解所求概率即可.【解答】（12分）解：（1）设每天A，B两种产品的生产数量分别为x，y，相应的获利为z，则有，①如图1，目标函数为：z=1000x+1200y.当W=12时，①表示的平面区域如图1，三个顶点分别为A（0，0），B（2.4，4.8），C（6，0）.将z=1000x+1200y变形为，当x=2.4，y=4.8时，直线l：在y轴上的截距最大，最大获利Z=Z max=2.4×1000+4.8×1200=8160.当W=15时，①表示的平面区域如图2，三个顶点分别为A（0，0），B（3，6），C（7.5，0）..将z=1000x+1200y变形为，当x=3，y=6时，直线l：在y轴上的截距最大，最大获利Z=Z max=3×1000+6×1200=10200.当W=18时，①表示的平面区域如图3，四个顶点分别为A（0，0），B（3，6），C（6，4），D（9，0）.将z=1000x+1200y变形为：，当x=6，y=4时，直线l：y=﹣56x+z1200在y轴上的截距最大，最大获利Z=Z max=6×1000+4×1200=10800.故最大获利Z的分布列为：Z81601020010800P0.30.50.2因此，E（Z）=8160×0.3+10200×0.5+10800×0.2=9708（2）由（Ⅰ）知，一天最大获利超过10000元的概率P1=P（Z＞10000）=0.5+0.2=0.7，由二项分布，3天中至少有1天最大获利超过10000元的概率为：.【点评】本题考查离散型随机变量的分布列以及期望的求法，线性规划的应用，二项分布概率的求法，考查分析问题解决问题的能力.21.（14分）一种画椭圆的工具如图1所示.O是滑槽AB的中点，短杆ON可绕O转动，长杆MN通过N处铰链与ON连接，MN上的栓子D可沿滑槽AB滑动，且DN=ON=1，MN=3，当栓子D在滑槽AB 内作往复运动时，带动N绕O转动，M处的笔尖画出的椭圆记为C，以O为原点，AB所在的直线为x轴建立如图2所示的平面直角坐标系.（1）求椭圆C的方程；（2）设动直线l与两定直线l1：x﹣2y=0和l2：x+2y=0分别交于P，Q两点.若直线l总与椭圆C有且只有一个公共点，试探究：△OPQ的面积是否存在最小值？若存在，求出该最小值；若不存在，说明理由.【分析】（1）根据条件求出a，b即可求椭圆C的方程；（2）联立直线方程和椭圆方程，求出原点到直线的距离，结合三角形的面积公式进行求解即可.【解答】解：（1）设D（t，0），|t|≤2，N（x0，y0），M（x，y），由题意得=2，且||=||=1，∴（t﹣x，﹣y）=2（x0﹣t，y0），且，即，且t（t﹣2x0）=0，由于当点D不动时，点N也不动，∴t不恒等于0，于是t=2x0，故x0=，y0=﹣，代入x02+y02=1，得方程为.（2）①当直线l的斜率k不存在时，直线l为：x=4或x=﹣4，都有S△OPQ=，②直线l的斜率k存在时，直线l为：y=kx+m，（k），由消去y，可得（1+4k2）x2+8kmx+4m2﹣16=0，∵直线l总与椭圆C有且只有一个公共点，∴△=64k2m2﹣4（1+4k2）（4m2﹣16）=0，即m2=16k2+4，①，由，可得P（，），同理得Q（，），原点O到直线PQ的距离d=和|PQ|=•|x P﹣x Q|，可得S△OPQ=|PQ|d=|m||x P﹣x Q|=|m|||=||②，将①代入②得S△OPQ=||=8||，当k2＞时，S△OPQ=8（）=8（1+）＞8，当0≤k2＜时，S△OPQ=8||=﹣8（）=8（﹣1+），∵0≤k2＜时，∴0＜1﹣4k2≤1，≥2，∴S△OPQ=8（﹣1+）≥8，当且仅当k=0时取等号，∴当k=0时，S△OPQ的最小值为8，综上可知当直线l与椭圆C在四个顶点处相切时，三角形OPQ的面积存在最小值为8.【点评】本题主要考查椭圆方程的求解，以及直线和圆锥曲线的位置关系的应用，结合三角形的面积公式是解决本题的关键.综合性较强，运算量较大.22.（14分）已知数列{a n}的各项均为正数，b n=n（1+）n a n（n∈N+），e为自然对数的底数.（1）求函数f（x）=1+x﹣e x的单调区间，并比较（1+）n与e 的大小；（2）计算，，，由此推测计算的公式，并给出证明；（3）令c n=（a1a2…a n），数列{a n}，{c n}的前n项和分别记为S n，T n，证明：T n＜eS n.【分析】（1）求出f（x）的定义域，利用导数求其最大值，得到1+x＜e x.取x=即可得到答案；（2）由b n=n（1+）n a n（n∈N+），变形求得，，，由此推测=（n+1）n.然后利用数学归纳法证明.（3）由c n的定义、=（n+1）n、算术﹣几何平均不等式、b n的定义及，利用放缩法证得T n＜eS n.【解答】（1）解：f（x）的定义域为（﹣∞，+∞），f′（x）=1﹣e x.当f′（x）＞0，即x＜0时，f（x）单调递增；当f′（x）＜0，即x＞0时，f（x）单调递减.故f（x）的单调递增区间为（﹣∞，0），单调递减区间为（0，+∞）.当x＞0时，f（x）＜f（0）=0，即1+x＜e x.令，得，即.①（2）解：；=；.由此推测：=（n+1）n.②下面用数学归纳法证明②.（1）当n=1时，左边=右边=2，②成立.（2）假设当n=k时，②成立，即.当n=k+1时，，由归纳假设可得=.∴当n=k+1时，②也成立.根据（1）（2），可知②对一切正整数n都成立.（3）证明：由c n的定义，②，算术﹣几何平均不等式，b n的定义及①得T n=c1+c2+…+c n=====＜ea1+ea2+…+ea n=eS n.即T n＜eS n.【点评】本题主要考查导数在研究函数中的应用，考查利用归纳法证明与自然数有关的问题，考查推理论证能力、运算求解能力、创新知识，考查了利用放缩法证明数列不等式，是压轴题.创作人：百里安娜创作日期：202X.04.01审核人：北堂王会创作单位：明德智语学校。

2020届上海市高三下学期高考预测数学试题(解析版)

2020届上海市高三下学期高考预测数学试题一、单选题1．已知直线l 和平面α，无论直线l 与平面α具有怎样的位置关系，在平面α内总存在一条直线与直线l ( ) A ．相交 B ．平行 C ．垂直 D ．异面【答案】C【解析】当直线l 与平面α平行时，在平面α内至少有一条直线与直线l 垂直；当直线l ⊂平面α时，在平面α内至少有一条直线与直线l 垂直；当直线l 与平面α相交时，在平面α内至少有一条直线与直线l 垂直，所以无论直线l 与平面α具有怎样的位置关系，在平面α内总存在一条直线与直线l 垂直．本题选择C 选项.2．已知数列{}n a 的通项为()2*n a n n n λ=+∈N，则“12aa <”是数列{}n a 递增的（）A ．充分非必要条件B ．必要非充分条件C ．充要条件条件D ．既非充分也非必要条件【答案】C【解析】由题可知()2*n a n n n λ=+∈N，若12aa <，得出3λ>-；若{}n a 递增，则10n n a a +->对*n N ∈恒成立，从而推出3λ>-，即可判断出结论.【详解】解：由题可知，()2*n a n n n λ=+∈N，若12a a <，则210a a ->，即4210λλ+-->，所以3λ>-，若{}n a 递增，则10n n a a +->对*n N ∈恒成立，则22(1)(1)0n n n n λλ+++-->，即21n λ-<+对*n N ∈恒成立，所以3λ-<，即3λ>-，所以“12a a <”是数列{}n a 递增的充要条件.故选：C. 【点睛】本题考查数列相关的充分必要条件的判断，涉及充要条件的定义和数列单调性的应用，考查推理判断能力.3．2位男生和3位女生共5位同学站成一排，若 3位女生中有且只有两位女生相邻，则不同排法的种数是（） A ．144 B ．72 C ．54 D ．36【答案】B【解析】两位女生相邻，将其捆绑在一起，和另一位女生不相邻，采用插空法．【详解】根据题意，把3位女生的两位捆绑在一起看做一个复合元素，和剩下的一位女生，插入到2位男生全排列后形成的3个空中的2个空中，故有22232372A A A =种，故选：B ．【点睛】本题考查排列组合，需熟练掌握捆绑、插空法，属于基础题4．能使命题“给定m 个非零向量(可以相同)，若其中任意()1n n m ≤<个向量之和的模等于另外m n -个向量之和的模，则这m 个向量之和为零向量”成为真命题的一组m ､n 的值为（）①4m =，2n =②5m =，2n =③6m =，3n =④7m =，3n = A ．①② B ．③④C ．①③D ．②④【答案】D【解析】记123m a a a a s ++++=，依题意可得()1212i i i n i i i n a a a s a a a ++++++++=-++，将两边平方再累加即可得到222m s n s =，从而得解；【详解】解：记123m a a a a s ++++=，则()1212i i i n i i i n a a a s a a a ++++++++=-++，其中0,1,2,,1i m =⋅⋅⋅-，规定m i i a a +=，对上式两边平方得()2122i i i n s s a a a +++=⋅+++，0,1,2,,1i m =⋅⋅⋅-，累加得()1122212022m m i i i n i i ss a a a m s n s --+++===⋅+++⇒=∑∑，所以2m n ≠时，必有0s =，故选：D. 【点睛】本题考查向量的数量积的运算，属于中档题.二、填空题5．已知集合2{|log 1}A x x =<，1{|0}2x B x x -=<+，则A B =________. 【答案】(0,1)【解析】根据对数不等式以及分式不等式的解法求解出对应解集即为集合,A B ，然后由交集运算计算出A B 的结果.【详解】因为2log 1x <，所以02x <<，所以()0,2A =，又因为102x x -<+，所以()()120x x -+<，所以()2,1B =-，则()0,1AB =.故答案为()0,1. 【点睛】（1）解分式不等式注意将其先转变为整式不等式的形式，然后再求解集；（2）解对数不等式时要注意到对数的真数大于零这一隐含条件.6．直线10x ++=的倾斜角的大小是_________. 【答案】56π【解析】试题分析：由题意3k =-，即tan θ=，∴56πθ=．【考点】直线的倾斜角.7．若复数z 满足i 12i01z+=，其中i 是虚数单位，则z 的虚部为________【答案】1-【解析】根据行列式得到(12)0iz i -+=，化简得到复数的虚部. 【详解】i 12i 01z +=即12(12)0,2iiz i z i i+-+===-，z 的虚部为1-故答案为1- 【点睛】本题考查了行列式的计算，复数的虚部，意在考查学生的计算能力.8．已知61ax x ⎛⎫+ ⎪⎝⎭二项展开式中的第五项系数为152，则正实数a =_____.【答案】2【解析】由二项式定理的通项公式可得：24615a 2=，解出即可得出．【详解】T 542424661(ax)()a x ==x ﹣2，∴24615a 2=，a ＞0．解得a =．【点睛】本题考查了二项式定理的应用，考查了推理能力与计算能力，准确计算是关键，属于基础题．9．已知函数()1log a x x f =+，1()y f x -=是函数()y f x =的反函数，若1()y f x -=的图象过点(2,4)，则a 的值为 . 【答案】4【解析】试题分析：根据原函数与反函数的关系进行分析，原函数过点（4,2），代入即可得到a 值；由题f （x ）过点（4,2）,所以1log 42,4a a +=∴= 【考点】反函数10．若抛物线22(0)y px p =>的焦点与双曲线221610x y -=的右焦点重合，则实数的值是 . 【答案】8【解析】试题分析：221610x y -=的右焦点为，所以【考点】本小题主要考查双曲线和抛物线中基本量的计算，考查学生的运算求解能力. 点评：椭圆和双曲线、抛物线经常结合出题，要注意它们之间基本量的联系和区别.11．已知实数x ，y 满足1201x y x y y +≥⎧⎪--≤⎨⎪≤⎩，则yx 的最小值为______.【答案】13-【解析】作出线性约束条件所表示的区域，目标函数的最小值即为可行域内的点与原点连线斜率的最小值. 【详解】线性约束条件所表示的区域，如图所示：yx表示可行域内的点与原点连线的斜率，所以当(,)x y 落在点(3,1)A -时，yx取得最小值为13-.故答案为13-.【点睛】本题考查线性约束条件下非线性目标函数的最值，考查数形结合思想、转化与化归思想的应用，求解时注意目标函数的几何意义，属于容易题.12．已知ABC 的面积为1，点P 满足324AB BC CA AP ++=，则PBC 的面积等于__________．【答案】12【解析】取BC 的中点D ，根据向量共线定理可得,,A P D 共线，从而得到1122PBC ABC S S ∆∆==．【详解】取BC 的中点D ，1()2AD AC AB ∴=+． 432()()AP AB BC CA AB BC CA AB BC AB AC AB =++=+++++=+，1()4AP AC AB ∴=+ ∴12AP AD =，即,,A P D 共线．1122PBC ABC S S ∆∆==．故答案为：12．【点睛】本题主要考查向量共线定理，中点公式的向量式的应用以及三角形面积的计算，属于基础题．13．将函数()2sin 26f x x π⎛⎫=+⎪⎝⎭的图像向右平移()0a a >个单位得到函数()g x 的图像，若存在0x R ∈使得()()004f x g x -=-，则a 的最小值为______. 【答案】2π 【解析】先根据图象变换求出()g x 解析式，根据()()004f x g x -=-可知()()002,2f x g x =-=，即可表示出a 并求出最小值. 【详解】由题可知()2sin 2()2sin 2266g x x a x a ππ⎛⎫⎛⎫=-+=-+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，∵()()004f x g x -=-， ∴()002sin 226f x x π⎛⎫=+=- ⎪⎝⎭，012262x k πππ∴+=-，即()0113x k k Z ππ=-∈，()002sin 2226g x x a π⎛⎫=-+= ⎪⎝⎭，0222262x a k πππ∴-+=+，即()0226a x k k Z ππ=--∈，()0212126362a x k k k k k ππππππππ∴=--=---=--，∴当121k k -=时，a 的最小值为2π. 故答案为：2π. 【点睛】本题考查三角函数图象的平移以及函数性质，属于基础题.14．己知,,,S A B C 是球O 表面上的点，SA ⊥平面ABC ，AB BC ⊥，1SA =，2AB BC ==，则球O 的表面积为__________.【答案】9π【解析】可将几何体还原，分析可知求解的是长方体外接球的表面积【详解】如图，将几何体还原成长方体，则长方体外接球的半径2222222213222a b c r ++++===，则球体的表面积为：294494S r πππ==⨯=故答案为：9π 【点睛】本题考查几何体外接球的表面积求法，能根据题意还原出几何体是关键，属于基础题 15．在数字1，2，3，，n （2n ≥）的任意一个排列A ：1a ，2a ，3a ，，na 中，如果对于i ，j ∈*N ，i j <，有i j a a >，那么就称(),i j a a 为一个逆序对.记排列A 中逆序对的个数为()S A .对于数字1，2，3，，n （2n ≥）的一切排列A ，则所有()S A 的算术平均数为______.【答案】()14n n - 【解析】由题中逆序对的概念，运用组合数知识可得排列A 中的数对(),i j a a 共有2n C 个，进而求得结果. 【详解】排列A ：1a ，2a ，3a ，，n a 与排列1A ：n a ，1n a -，2n a -，…，2a ，1a ，因为数对(),i j a a 与(),j i a a 中必有一个为逆序对，且排列A 中的数对(),i j a a 共有2n C 个，所以()()21nS A S A C +=，所以所有()S A 的算术平均数为()2124nn n C -=. 故答案为：()14n n -. 【点睛】本题考查数列的新定义，考查数列和排列组合的综合应用，考查逻辑思维能力和计算能力，属于常考题.16．设数列{}n a 的前n 项和为n S ，13a =，()*112n n nS a n N +=+∈.已知1F ，2F 是双曲线C ：2214x y -=的左右焦点，()*1,2n n n S P n n N a ⎛⎫-∈ ⎪+⎝⎭，若12n n t P F P F ≥-对*n N ∈恒成立，则实数t 的取值范围是______.【答案】4t ≥【解析】根据题意，求得24a =，类比()*112n n nS a n N +=+∈写出2n ≥，()*1112n n n S a n N --=+∈，两式作差，整理得出12212n n a a an n +===+，得到3,12,2n n a n n =⎧=⎨≥⎩，进而求得3,1(1)1,2n n S n n n =⎧=⎨++≥⎩，点()1,22n n n S P n n a ⎛⎫-≥ ⎪+⎝⎭可化为,2n n P n ⎛⎫⎪⎝⎭落在双曲线的渐近线2x y =上，结合双曲线的定义以及渐近线的性质，得到结果. 【详解】1n =，12112a a =+，∵13a =，∴24a =， 2n ≥，()*1112n n n S a n N --=+∈，作差得，11(2)22n n n n n a a a n +-=-≥ 12(2)212n n n a a a an n n n +⇒=≥⇒==+， ∴3,12,2n n a n n =⎧=⎨≥⎩，3,1(1)1,2n n S n n n =⎧=⎨++≥⎩，()1F，)2F ，1n =，121,5P ⎛⎫⎪⎝⎭，1112 1.96PF PF -≈，2n ≥，设线段2n P F 与双曲线交于点G ，()12121224n n n n P F P F P F P G GF GF GF a -=-+<-==，1,2n n n S P n a ⎛⎫- ⎪+⎝⎭得坐标可化为,2n n P n ⎛⎫⎪⎝⎭，落在双曲线C ：2214x y -=的渐近线2x y =上，当n →∞时，,2n n P n ⎛⎫⎪⎝⎭可近似看成第一象限双曲线上的点，1224n n P F P F a -→=，∴4t ≥. 故答案为：4t ≥. 【点睛】该题考查的是有关数列与双曲线的综合题，涉及到的知识点有根据递推公式求数列的通项以及前n 项和，双曲线的性质，极限思想，属于较难题目.三、解答题17．如图，在三棱锥P ABC -中，AB BC ==4PA PB PC AC ====，O 为AC 的中点.（1）证明：PO ⊥平面ABC ；（2）若点M 在棱BC 上，且13BM BC =，求直线PM 与平面PAC 所成角的大小.（结果用反三角表示）【答案】（1）详见解析；（2）7【解析】（1）连接BO ，计算2BO =，根据勾股定理逆定理得到PO BO ⊥，再因为OP AC ⊥得到答案.（2）过M 作MN AC ⊥与N ，连接PN ，证明MN ⊥平面PAC ，故MPN ∠为直线PM 与平面PAC 所成角，根据长度关系计算得到答案.【详解】（1）如图所示：连接BO在ABC ∆中：22,4AB BC AC ===，则90,2ABC BO ∠=︒=在PAC ∆中：4PA PB PC ===，O 为AC 的中点，则OP AC ⊥，且23OP = 在POB ∆中：2,23,4BO OP PB ===，满足：222BO OP PB += 根据勾股定理逆定理得到PO BO ⊥,AC BO 相交与O ，故PO ⊥平面ABC（2）如图所示：过M 作MN AC ⊥与N ，连接PNMN AC ⊥，MN PO ⊥，故MN ⊥平面PAC故MPN ∠为直线PM 与平面PAC 所成角在PMN ∆中：13BM BC =根据相似得到：2412,3333MN BO ON OC ==== 2247PN OP ON =+=7tan MN MPN PN ∠==所以直线PM 与平面PAC 所成角的大小为7arctan7【点睛】本题考查了线面垂直，线面夹角，意在考查学生的空间想象能力和计算能力，也可以建立空间直角坐标系求解.18．设数列{}n a 的前n 项和为n S .（1）若1n n S pa =+（0,1p ≠），*n N ∈，且n S 递增，求p 的取值范围；（2）若20190S =，122320182019201912222a a a a a a a a -=-==-=-，求证：1220190a a a ====.【答案】（1）0p <；（2）证明见解析.【解析】（1）先由n a 与n S 的关系求出{}n a 的通项公式1111n n p a p p -⎛⎫= ⎪--⎝⎭，再由nS 递增可得111011nn n n p S S a p p ++⎛⎫-==> ⎪--⎝⎭对任意自然数n 恒成立，进而得出满足题意的不等式组求解即可；（2）设1122b a a =-，2232b a a =-，…，2018201820192b a a =-，2019201912b a a =-，1223201820192019122...22a a a a a a a a t -=-==-=-=，由题意可得1220182019...0b b b b ++++=，设1b ，2b ，…，2018b ，2019b 中有非负数有m 个，非正数有（2019m -）个，依此列出方程()20190mt m t --=，可得0t =，进而得解. 【详解】（1）111111n n n n n n n n n a pS pa S S a pa pa a p ++++=+⇒-==-⇒=-， 1111111S a pa a p ==+⇒=-，所以{}n a 为等比数列，1111n n p a p p -⎛⎫= ⎪--⎝⎭，由题意，111011nn n n p S S a p p ++⎛⎫-==> ⎪--⎝⎭对任意自然数n 恒成立，则10101p p p ⎧>⎪-⎪⎨⎪>⎪-⎩，0p ⇒<；（2）设1122b a a =-，2232b a a =-，…，2018201820192b a a =-，2019201912b a a =-，1223201820192019122...22a a a a a a a a t -=-==-=-=，因为20190S =，所以有1220182019...0b b b b ++++=，设1b ，2b ，…，2018b ，2019b 中有非负数有m 个，非正数有（2019m -）个，则()()20190220190mt m t m t --=⇒-=，因为220190m -≠，则0t =，则1220190a a a ====，从而得证.【点睛】本题考查n a 与n S 的关系的应用，考查构造数列，考查逻辑思维能力和运算求解能力，属于中档题.19．某城市为发展城市旅游经济，拟在景观河道的两侧，沿河岸直线1l 与2l 修建景观路（桥），如图所示，河道为东西方向，现要在矩形区域ABCD 内沿直线将1l 与2l 接通，已知60m AB =，80m BC =，河道两侧的景观道路修建费用为每米1万元，架设在河道上方的景观桥EF 部分的修建费用为每米2万元.（1）若景观桥长90m 时，求桥与河道所成角的大小；（2）如何设计景观桥EF 的位置，使矩形区域ABCD 内的总修建费用最低？最低总造价是多少？【答案】（1）2arccos 23π-；（2）景观桥EF 与和河道沿线所成的角为6π时，最低总造价是80+.【解析】设EF 与AB 所成的角为α40tan 3α⎛⎫≤≤⎪⎝⎭（1）在Rt △EMF 中有cos EMEF α=且EM AB =，求α角，进而求桥与河道所成角；（2）由题意可知总修建费用2y AE FC EF =++得到关于α的函数，利用辅助角公式及正弦函数的性质即可求最低修建费用及景观桥EF 的位置；【详解】如题设中的图示，EM BC ⊥垂足为M ，设EF 与AB 所成的角为α，即40tan 3MEF αα⎛⎫∠=≤≤ ⎪⎝⎭，故有60tan MF α=，60cos EF α=.（1）当景观桥EF 的长为90m 时，得602290cos arccos cos 33EF ααα==⇒=⇒=，即景观桥EF 与和河道沿线所成的角为2arccos 23π-. （2）由8060tan AE FC α+=-，可得总修建费用()()60sin 2608060tan 1280cos cos y αααα-=-⨯+⨯=-，令sin 2cos t αα-=，又40tan 3α≤≤，故02πα<<，则0t <且sin cos 2sin()t αααϕ-=⇒+=()11sin αϕ≤⇒≤+有t ≤，所以t 最大值为，y 有最小值为80+6πα=，景观桥EF 与河道沿线所成的角为3π. 【点睛】本题考查了利用三角函数解决实际问题，结合辅助角公式及正弦函数的值域范围求最值问题，注意实际问题中的约束条件；20．给定椭圆22:142x y C +=.过坐标原点的直线与C 交于P ､Q 两点，点P 在第一象限，PE x ⊥轴，垂足为E ，连结QE 并延长交C 于点G . （1）求直线GP 与直线GQ 斜率的乘积；（2）求证：PQG 是直角三角形；（3）求PQG 面积的最大值. 【答案】（1）12-（2）证明见解析（3）169【解析】（1）设0(P x ，0)y ，则0(Q x -，0)y -，0(E x ，0)，设直线PQ 的方程，联立与椭圆的方程，得两根之和，两根之积，求出两个斜率之积恒为定值；（2）利用直线QE 的方程与椭圆方程联立求得G 点坐标，去证PQ ，PG 斜率之积为1-即可；（3）利用01()2G S PE x x =⨯+，代入已得数据，并对0000x y y x +换元，利用“对号”函数可得最值．【详解】如图，（1）设0(P x ，0)y ，则0(Q x -，0)y -，0(E x ，0)，(G G x ，)G y ，∴直线QE 的方程为：000()2y y x x x =-，与22142x y +=联立消去y ，得22222220000000(2)280x y x x y x x y x +-+-=， ∴2220000220082G x y x x x x y --=+，∴2002200(8)2G y x x x y -=+，∴220000022000(4)()22G G y y x y y x x x x y --=-=+， ∴0G PG G y y k x x -=-220000220020002200(4)2(8)2y x y y x y x y x x y ---+=--+232300000002320000004282y y x y y x y x x y x x y ----=---2200022000(432)2(4)y x y x y x --=--，把220024x y +=代入上式，得2200022000(434)2(442)PGy x x k x y y --+=--+ 20020022y x x y -⨯=x y =-， 200000000(4)(82)2G GQG y y y x y k x x x x x ++===++ 0000122GQ PG x y k k y x ∴⋅=-⨯=-，即直线GP 与直线GQ 斜率的乘积为12-. （2）由（1）知000000()()PQ y y y k x x x --==--，00PG xk y =-0000()1PQ PG y xk k x y ∴⨯=⨯-=-， PQ PG ∴⊥，故PQG 为直角三角形. （3）1||()2PQG G Q S PE x x =⨯-△001()2G y x x =+ 200002200(8)1[]22y x y x x y -=++ 22200000220082122y x y y x x y -++=⨯+ 20002200(4)2y x x x y +=+ 222000002200(2)2y x x y x x y ++=+22000022002()2y x x y x y +=+220000222200008()(2)(2)y x x y x y x y +=++ 330000442200008()225y x x y x y x y +=++ 0000200008()2()1x y y x x y y x +=++令0000x y t y x =+，则2t ， 2881212PQGt St t t==++利用“对号”函数1()2f t t t =+在[2，)+∞的单调性可知，19()4(222f t t +==时取等号）， ∴816992PQGS=（此时00x y ==，故PQG 面积的最大值为169．【点睛】本题主要考查了直线的斜率，直线与椭圆的位置关系，换元法，对运算能力考查尤为突出，难度大，属于难题．21．设函数()f x 的定义域为R .若存在实数()a b m n a b ≠、、、使得()()22f x f a x m +-=，()()22f x f b x n +-=均对任意x ∈R 成立，则称()f x 为“(),,,a b m n 型—Ω函数”.（1）若()f x 是“()0,1,0,0型—Ω函数”，求()2020f 的值；（2）若()f x 是“()0,1,0,1型—Ω函数”，求证：函数()y f x x =-是周期函数；（3）若()f x 是“(),,,a b m n 型—Ω函数”，且()f x 在R 上单调递增，求证：存在正实数c 、M ，使得()f x cx M -≤对任意x ∈R 成立. 【答案】（1）0；（2）证明见解析；（3）证明见解析.【解析】（1）由()f x 是“()0,1,0,0型—Ω函数”，可得0,1,0,0a b m n ====，结合已知条件，即可求得()2020f 值；（2）由()f x 是“()0,1,0,1型—Ω函数”，可得0,1,0,0a b m n ====，结合已知条件，推导出()()()22f x x f x x +-+=-，根据周期函数定义，即可求得答案；（3）构造函数()()g x f x cx =-，设m nc a b-=-，根据已知条件推导出()g x 是周期函数，结合已知条件，即可求得答案. 【详解】（1）函数()f x 的定义域为R .若存在实数()a b m n a b ≠、、、使得()()22f x f a x m +-=，()()22f x f b x n +-=均对任意x ∈R 成立，则称()f x 为“(),,,a b m n 型—Ω函数”若()f x 是“()0,1,0,0型—Ω函数”则0,1,0,0a b m n ====，将其代入()()22f x f a x m +-=，()()22f x f b x n +-=可得：()()0f x f x +-=，令0x =，可得()00f =()()()()()202f x f x f x f x f x +-=⇒+=--=2T ⇒= ()()202000f f ⇒==（2）()f x 是“()0,1,0,1型—Ω函数”则0,1,0,1a b m n ====，将其代入()()22f x f a x m +-=，()()22f x f b x n +-=可得：()()0f x f x +-=，()()()()()22222f x f x f x f x f x +-=⇒+=--=+()()()22f x x f x x ⇒+-+=-∴()y f x x =-，周期为：2T = ∴函数()y f x x =-是周期函数（3）()()22f x f a x m +-=，()()22f x f b x n +-=⇒()()()()222222f x m f a x m n f b a x =--=---+()2222mm n f x b a =--+-令0m nc a b-=>-及()()g x f x cx =-，则()()()()2222g x f x cx f x b a c x b a =-=+--+-()22g x b a =+-，不妨设0b a T -=>，则()g x 是周期为T 的函数. ∵12x x <时，()()()()121122f x f x g x cx g x cx <⇒+<+()()1212g x g x c x x ⇒-<-，对任意12,x x R ∈，对任意x ∈R ，取()0,t T ∈使()()g x g t =()()()()00g x g g t g ct cT ⇒-=-<<()()120g x g cT x x ⇒≤+-，对任意12,x x R ∈，综上，取0m nc a b-=>-，()0M g cT =+，则()f x x M -≤对任意x ∈R 成立【点睛】本题解题关键是理解()f x 为“(),,,a b m n 型—Ω函数”定义和周期的求法，考查了分析能力和计算能力，属于难题.。

上海市2020〖人教版〗高考数学模拟试卷文科

上海市2020年〖人教版〗高考数学模拟试卷文科创作人：百里安娜创作日期：202X.04.01审核人：北堂王会创作单位：明德智语学校一、填空题（本大题共14小题，满分56分）考生应在答题纸相应编号的空格内直接填写结果，每个空格填对得4分，否则一律零分）1.（4分）设全集U=R，若集合A={1，2，3，4}，B={x|2≤x≤3}，则A∩B=.2.（4分）函数f（x）=1﹣3sin2x的最小正周期为.3.（4分）若复数z满足3z+=1+i，其中i是虚数单位，则z=.4.（4分）设f﹣1（x）为f（x）=的反函数，则f﹣1（2）=.5.（4分）若线性方程组的增广矩阵为解为，则c1﹣c2=.6.（4分）若正三棱柱的所有棱长均为a，且其体积为16，则a=.7.（4分）抛物线y2=2px（p＞0）上的动点Q到焦点的距离的最小值为1，则p=.8.（4分）方程log2（9x﹣1﹣5）=log2（3x﹣1﹣2）+2的解为.9.（4分）若x，y满足，则目标函数z=x+2y的最大值为.10.（4分）在报名的3名男老师和6名女教师中，选取5人参加义务献血，要求男、女教师都有，则不同的选取方式的种数为（结果用数值表示）.11.（4分）在（2x+）6的二项式中，常数项等于（结果用数值表示）.12.（4分）已知双曲线C1、C2的顶点重合，C1的方程为﹣y2=1，若C2的一条渐近线的斜率是C1的一条渐近线的斜率的2倍，则C2的方程为.13.（4分）已知平面向量、、满足⊥，且||，||，||}={1，2，3}，则|++|的最大值是.14.（4分）已知函数f（x）=sinx.若存在x1，x2，…，x m满足0≤x1＜x2＜…＜x m≤6π，且|f（x1）﹣f（x2）|+|f（x2）﹣f （x3）|+…+|f（x m﹣1）﹣f（x m）|=12（m≥2，m∈N*），则m的最小值为.二、选择题（本大题共4小题，满分20分）每题有且只有一个正确答案，考生应在答题纸的相应编号上，将代表答案的小方格涂黑，选对得5分，否则一律零分.15.（5分）设z1、z2∈C，则“z1、z2均为实数”是“z1﹣z2是实数”的（）A.充分非必要条件B.必要非充分条件C.充要条件D.既非充分又非必要条件16.（5分）下列不等式中，与不等式＜2解集相同的是（）A.（x+8）（x2+2x+3）＜2B.x+8＜2（x2+2x+3）C.＜D.＞17.（5分）已知点A的坐标为（4，1），将OA绕坐标原点O 逆时针旋转至OB，则点B的纵坐标为（）A. B. C. D.18.（5分）设 P n（x n，y n）是直线2x﹣y=（n∈N*）与圆x2+y2=2在第一象限的交点，则极限=（）A.﹣1B.﹣C.1D.2三、解答题（本大题共有5题，满分74分）解答下列各题必须在答题纸相应编号的规定区域内写出必要的步骤.19.（12分）如图，圆锥的顶点为P，底面圆为O，底面的一条直径为AB，C为半圆弧的中点，E为劣弧的中点，已知PO=2，OA=1，求三棱锥P﹣AOC的体积，并求异面直线PA和OE所成角的大小.20.（14分）已知函数f（x）=ax2+，其中a为常数（1）根据a的不同取值，判断函数f（x）的奇偶性，并说明理由；（2）若a∈（1，3），判断函数f（x）在[1，2]上的单调性，并说明理由.21.（14分）如图，O，P，Q三地有直道相通，OP=3千米，PQ=4千米，OQ=5千米，现甲、乙两警员同时从O地出发匀速前往Q 地，经过t小时，他们之间的距离为f（t）（单位：千米）.甲的路线是OQ，速度为5千米/小时，乙的路线是OPQ，速度为8千米/小时，乙到达Q地后在原地等待.设t=t1时乙到达P地，t=t2时乙到达Q地.（1）求t1与f（t1）的值；（2）已知警员的对讲机的有效通话距离是3千米，当t1≤t≤t2时，求f（t）的表达式，并判断f（t）在[t1，t2]上的最大值是否超过3？说明理由.22.（16分）已知椭圆x2+2y2=1，过原点的两条直线l1和l2分别与椭圆交于点A、B和C、D，记△AOC的面积为S.（1）设A（x1，y1），C（x2，y2），用A、C的坐标表示点C到直线l1的距离，并证明S=|；（2）设l1：y=kx，，S=，求k的值；（3）设l1与l2的斜率之积为m，求m的值，使得无论l1和l2如何变动，面积S保持不变.23.（18分）已知数列{a n}与{b n}满足a n+1﹣a n=2（b n+1﹣b n），n∈N*.（1）若b n=3n+5，且a1=1，求{a n}的通项公式；（2）设{a n}的第n0项是最大项，即a n0≥a n（n∈N*），求证：{b n}的第n0项是最大项；（3）设a1=3λ＜0，b n=λn（n∈N*），求λ的取值范围，使得对任意m，n∈N*，a n≠0，且.参考答案与试题解析一、填空题（本大题共14小题，满分56分）考生应在答题纸相应编号的空格内直接填写结果，每个空格填对得4分，否则一律零分）1.（4分）设全集U=R，若集合A={1，2，3，4}，B={x|2≤x≤3}，则A∩B={2，3}.【分析】由A与B，找出两集合的交集即可.【解答】解：∵全集U=R，A={1，2，3，4}，B={x|2≤x≤3}，∴A∩B={2，3}，故答案为：{2，3}【点评】此题考查了交集及其运算，熟练掌握交集的定义是解本题的关键.2.（4分）函数f（x）=1﹣3sin2x的最小正周期为π .【分析】由条件利用半角公式化简函数的解析式，再利用余弦函数的周期性求得函数的最小正周期.【解答】解：∵函数f（x）=1﹣3sin2x=1﹣3=﹣+cos2x，∴函数的最小正周期为=π，故答案为：π.【点评】本题主要考查半角公式的应用，余弦函数的周期性，属于基础题.3.（4分）若复数z满足3z+=1+i，其中i是虚数单位，则z=.【分析】设z=a+bi，则=a﹣bi（a，b∈R），利用复数的运算法则、复数相等即可得出.【解答】解：设z=a+bi，则=a﹣bi（a，b∈R），又3z+=1+i，∴3（a+bi）+（a﹣bi）=1+i，化为4a+2bi=1+i，∴4a=1，2b=1，解得a=，b=.∴z=.故答案为：.【点评】本题考查了复数的运算法则、复数相等，属于基础题.4.（4分）设f﹣1（x）为f（x）=的反函数，则f﹣1（2）= ﹣.【分析】由原函数解析式把x用含有y的代数式表示，x，y互换求出原函数的反函数，则f﹣1（2）可求.【解答】解：由y=f（x）=，得，x，y互换可得，，即f﹣1（x）=.∴.故答案为：.【点评】本题考查了函数的反函数的求法，是基础的计算题.5.（4分）若线性方程组的增广矩阵为解为，则c1﹣c2= 16 .【分析】根据增广矩阵的定义得到，是方程组的解，解方程组即可.【解答】解：由题意知，是方程组的解，即，则c1﹣c2=21﹣5=16，故答案为：16.【点评】本题主要考查增广矩阵的求解，根据条件建立方程组关系是解决本题的关键.6.（4分）若正三棱柱的所有棱长均为a，且其体积为16，则a= 4 .【分析】由题意可得（•a•a•sin60°）•a=16，由此求得a的值.【解答】解：由题意可得，正棱柱的底面是变长等于a的等边三角形，面积为•a•a•sin60°，正棱柱的高为a，∴（•a•a•sin60°）•a=16，∴a=4，故答案为：4.【点评】本题主要考查正棱柱的定义以及体积公式，属于基础题.7.（4分）抛物线y2=2px（p＞0）上的动点Q到焦点的距离的最小值为1，则p= 2 .【分析】利用抛物线的顶点到焦点的距离最小，即可得出结论.【解答】解：因为抛物线y2=2px（p＞0）上的动点Q到焦点的距离的最小值为1，所以=1，所以p=2.故答案为：2.【点评】本题考查抛物线的方程与性质，考查学生的计算能力，比较基础.8.（4分）方程log2（9x﹣1﹣5）=log2（3x﹣1﹣2）+2的解为2 .【分析】利用对数的运算性质化为指数类型方程，解出并验证即可.【解答】解：∵log2（9x﹣1﹣5）=log2（3x﹣1﹣2）+2，∴log2（9x﹣1﹣5）=log2[4×（3x﹣1﹣2）]，∴9x﹣1﹣5=4（3x﹣1﹣2），化为（3x）2﹣12•3x+27=0，因式分解为：（3x﹣3）（3x﹣9）=0，∴3x=3，3x=9，解得x=1或2.经过验证：x=1不满足条件，舍去.∴x=2.故答案为：2.【点评】本题考查了对数的运算性质及指数运算性质及其方程的解法，考查了计算能力，属于基础题.9.（4分）若x，y满足，则目标函数z=x+2y的最大值为3 .【分析】作出不等式对应的平面区域，利用线性规划的知识，通过平移即可求z的最大值.【解答】解：作出不等式组对应的平面区域如图：（阴影部分）.由z=x+2y得y=﹣x+z，平移直线y=﹣x+z，由图象可知当直线y=﹣x+z经过点B时，直线y=﹣x+z的截距最大，此时z最大.由，解得，即B（1，1），代入目标函数z=x+2y得z=2×1+1=3故答案为：3.【点评】本题主要考查线性规划的应用，利用图象平行求得目标函数的最大值和最小值，利用数形结合是解决线性规划问题中的基本方法.10.（4分）在报名的3名男老师和6名女教师中，选取5人参加义务献血，要求男、女教师都有，则不同的选取方式的种数为120 （结果用数值表示）.【分析】根据题意，运用排除法分析，先在9名老师中选取5人，参加义务献血，由组合数公式可得其选法数目，再排除其中只有女教师的情况；即可得答案.【解答】解：根据题意，报名的有3名男老师和6名女教师，共9名老师，在9名老师中选取5人，参加义务献血，有C95=126种；其中只有女教师的有C65=6种情况；则男、女教师都有的选取方式的种数为126﹣6=120种；故答案为：120.【点评】本题考查排列、组合的运用，本题适宜用排除法（间接法），可以避免分类讨论，简化计算.11.（4分）在（2x+）6的二项式中，常数项等于 240 （结果用数值表示）.【分析】写出二项展开式的通项，由x的指数为0求得r值，则答案可求.【解答】解：由（2x+）6，得=.由6﹣3r=0，得r=2.∴常数项等于.故答案为：240.【点评】本题考查了二项式系数的性质，关键是对二项展开式通项的记忆与运用，是基础题.12.（4分）已知双曲线C1、C2的顶点重合，C1的方程为﹣y2=1，若C2的一条渐近线的斜率是C1的一条渐近线的斜率的2倍，则C2的方程为.【分析】求出C1的一条渐近线的斜率，可得C2的一条渐近线的斜率，利用双曲线C1、C2的顶点重合，可得C2的方程.【解答】解：C1的方程为﹣y2=1，一条渐近线的方程为y=，因为C2的一条渐近线的斜率是C1的一条渐近线的斜率的2倍，所以C2的一条渐近线的方程为y=x，因为双曲线C1、C2的顶点重合，所以C2的方程为.故答案为：.【点评】本题考查双曲线的方程与性质，考查学生的计算能力，比较基础.13.（4分）已知平面向量、、满足⊥，且||，||，||}={1，2，3}，则|++|的最大值是 3+.【分析】分别以所在的直线为x，y轴建立直角坐标系，分类讨论：当{||，||}={1，2}，||=3，设，则x2+y2=9，则++=（1+x，2+y），有||=的最大值，其几何意义是圆x2+y2=9上点（x，y）与定点（﹣1，﹣2）的距离的最大值；其他情况同理，然后求出各种情况的最大值进行比较即可.【解答】解：分别以所在的直线为x，y轴建立直角坐标系，①当{||，||}={1，2}，||=3，则，设，则x2+y2=9，∴++=（1+x，2+y），∴||=的最大值，其几何意义是圆x2+y2=9上点（x，y）与定点（﹣1，﹣2）的距离的最大值为=3+；②且{||，||}={1，3}，||=2，则，x2+y2=4，∴++=（1+x，3+y）∴||=的最大值，其几何意义是圆x2+y2=4上点（x，y）与定点（﹣1，﹣3）的距离的最大值为2+=2+，③{||，||}={2，3}，||=1，则，设，则x2+y2=1∴++=（2+x，3+y）∴||=的最大值，其几何意义是在圆x2+y2=1上取点（x，y）与定点（﹣2，﹣3）的距离的最大值为1+=1+∵，故|++|的最大值为3+.故答案为：3+【点评】本题主要考查了向量的模的求解，解题的关键是圆的性质的应用：在圆外取一点，使得其到圆上点的距离的最大值：r+d （r为该圆的半径，d为该点与圆心的距离）.14.（4分）已知函数f（x）=sinx.若存在x1，x2，…，x m满足0≤x1＜x2＜…＜x m≤6π，且|f（x1）﹣f（x2）|+|f（x2）﹣f （x3）|+…+|f（x m﹣1）﹣f（x m）|=12（m≥2，m∈N*），则m的最小值为 8 .【分析】由正弦函数的有界性可得，对任意x i，x j（i，j=1，2，3，…，m），都有|f（x i）﹣f（x j）|≤f（x）max﹣f（x）min=2，要使m取得最小值，尽可能多让x i（i=1，2，3，…，m）取得最高点，然后作图可得满足条件的最小m值.【解答】解：∵y=sinx对任意x i，x j（i，j=1，2，3，…，m），都有|f（x i）﹣f（x j）|≤f（x）max﹣f（x）min=2，要使m取得最小值，尽可能多让x i（i=1，2，3，…，m）取得最高点，考虑0≤x1＜x2＜…＜x m≤6π，|f（x1）﹣f（x2）|+|f（x2）﹣f （x3）|+…+|f（x m﹣1）﹣f（x m）|=12，按下图取值即可满足条件，∴m的最小值为8.故答案为：8.【点评】本题考查正弦函数的图象和性质，考查分析问题和解决问题的能力，考查数学转化思想方法，正确理解对任意x i，x j （i，j=1，2，3，…，m），都有|f（x i）﹣f（x j）|≤f（x）max ﹣f（x）min=2是解答该题的关键，是难题.二、选择题（本大题共4小题，满分20分）每题有且只有一个正确答案，考生应在答题纸的相应编号上，将代表答案的小方格涂黑，选对得5分，否则一律零分.15.（5分）设z1、z2∈C，则“z1、z2均为实数”是“z1﹣z2是实数”的（）A.充分非必要条件B.必要非充分条件C.充要条件D.既非充分又非必要条件【分析】根据充分条件和必要条件的定义结合复数的有关概念进行判断即可.【解答】解：若z1、z2均为实数，则z1﹣z2是实数，即充分性成立，当z1=i，z2=i，满足z1﹣z2=0是实数，但z1、z2均为实数不成立，即必要性不成立，故“z1、z2均为实数”是“z1﹣z2是实数”的充分不必要条件，故选：A.【点评】本题主要考查充分条件和必要条件的判断，根据复数的有关概念是解决本题的关键.16.（5分）下列不等式中，与不等式＜2解集相同的是（）A.（x+8）（x2+2x+3）＜2B.x+8＜2（x2+2x+3）C.＜D.＞【分析】根据x2+2x+3=（x+1）2+2＞0，可得不等式＜2，等价于x+8＜2（x2+2x+3），从而得出结论.【解答】解：由于x2+2x+3=（x+1）2+2＞0，不等式＜2，等价于x+8＜2（x2+2x+3），故选：B.【点评】本题主要考查不等式的基本性质的应用，体现了等价转化的数学思想，属于基础题.17.（5分）已知点A的坐标为（4，1），将OA绕坐标原点O 逆时针旋转至OB，则点B的纵坐标为（）A. B. C. D.【分析】根据三角函数的定义，求出∠xOA的三角函数值，利用两角和差的正弦公式进行求解即可.【解答】解：∵点 A的坐标为（4，1），∴设∠xOA=θ，则sinθ==，cosθ==，将OA绕坐标原点O逆时针旋转至OB，则OB的倾斜角为θ+，则|OB|=|OA|=，则点B的纵坐标为y=|OB|sin（θ+）=7（sinθcos+cosθsin）=7（×+）=+6=，故选：D.【点评】本题主要考查三角函数值的计算，根据三角函数的定义以及两角和差的正弦公式是解决本题的关键.18.（5分）设 P n（x n，y n）是直线2x﹣y=（n∈N*）与圆x2+y2=2在第一象限的交点，则极限=（）A.﹣1B.﹣C.1D.2【分析】当n→+∞时，直线2x﹣y=趋近于2x﹣y=1，与圆x2+y2=2在第一象限的交点无限靠近（1，1），利用圆的切线的斜率、斜率计算公式即可得出.【解答】解：当n→+∞时，直线2x﹣y=趋近于2x﹣y=1，与圆x2+y2=2在第一象限的交点无限靠近（1，1），而可看作点P n（x n，y n）与（1，1）连线的斜率，其值会无限接近圆x2+y2=2在点（1，1）处的切线的斜率，其斜率为﹣1.∴=﹣1.故选：A.【点评】本题考查了极限思想、圆的切线的斜率、斜率计算公式，考查了推理能力与计算能力，属于中档题.三、解答题（本大题共有5题，满分74分）解答下列各题必须在答题纸相应编号的规定区域内写出必要的步骤.19.（12分）如图，圆锥的顶点为P，底面圆为O，底面的一条直径为AB，C为半圆弧的中点，E为劣弧的中点，已知PO=2，OA=1，求三棱锥P﹣AOC的体积，并求异面直线PA和OE所成角的大小.【分析】由条件便知PO为三棱锥P﹣AOC的高，底面积S△AOC又容易得到，从而带入棱锥的体积公式即可得到该三棱锥的体积.根据条件能够得到OE∥AC，从而找到异面直线PA，OE所成角为∠PAC，可取AC中点H，连接PH，便得到PH⊥AC，从而可在Rt△PAH中求出cos∠PAC，从而得到∠PAC.【解答】解：∵PO=2，OA=1，OC⊥AB；∴；E为劣弧的中点；∴∠BOE=45°，又∠ACO=45°；∴OE∥AC；∴∠PAC便是异面直线PA和OE所成角；在△ACP中，AC=，；如图，取AC中点H，连接PH，则PH⊥AC，AH=；∴在Rt△PAH中，cos∠PAH=；∴异面直线PA与OE所成角的大小为arccos.【点评】考查圆锥的定义，圆锥的高和母线，等弧所对的圆心角相等，能判断两直线平行，以及异面直线所成角的定义及找法、求法，能用反三角函数表示角.20.（14分）已知函数f（x）=ax2+，其中a为常数（1）根据a的不同取值，判断函数f（x）的奇偶性，并说明理由；（2）若a∈（1，3），判断函数f（x）在[1，2]上的单调性，并说明理由.【分析】（1）根据函数的奇偶性的定义即可判断，需要分类讨论；（2）根据导数和函数的单调性的关系即可判断.【解答】解：（1）当a=0时，f（x）=，显然为奇函数，当a≠0时，f（1）=a+1，f（﹣1）=a﹣1，f（1）≠f（﹣1），且f（1）+f（﹣1）≠0，所以此时f（x）为非奇非偶函数.（2）∵a∈（1，3），f（x）=ax2+，∴f′（x）=2ax﹣=，∵a∈（1，3），x∈[1，2]，∴ax＞1，∴ax3＞1，∴2ax3﹣1＞0，∴f′（x）＞0，∴函数f（x）在[1，2]上的单调递增.【点评】本题考查了函数的奇偶性和单调性，属于基础题.21.（14分）如图，O，P，Q三地有直道相通，OP=3千米，PQ=4千米，OQ=5千米，现甲、乙两警员同时从O地出发匀速前往Q 地，经过t小时，他们之间的距离为f（t）（单位：千米）.甲的路线是OQ，速度为5千米/小时，乙的路线是OPQ，速度为8千米/小时，乙到达Q地后在原地等待.设t=t1时乙到达P地，t=t2时乙到达Q地.（1）求t1与f（t1）的值；（2）已知警员的对讲机的有效通话距离是3千米，当t1≤t≤t2时，求f（t）的表达式，并判断f（t）在[t1，t2]上的最大值是否超过3？说明理由.【分析】（1）用OP长度除以乙的速度即可求得t1=，当乙到达P点时，可设甲到达A点，连接AP，放在△AOP中根据余弦定理即可求得AP，也就得出f（t1）；（2）求出t2=，设t，且t小时后甲到达B地，而乙到达C地，并连接BC，能够用t表示出BQ，CQ，并且知道cos，这样根据余弦定理即可求出BC，即f（t），然后求该函数的最大值，看是否超过3即可.【解答】解：（1）根据条件知，设此时甲到达A点，并连接AP，如图所示，则OA=；∴在△OAP中由余弦定理得，f（t1）=AP==（千米）；（2）可以求得，设t小时后，且，甲到达了B点，乙到达了C点，如图所示：则BQ=5﹣5t，CQ=7﹣8t；∴在△BCQ中由余弦定理得，f（t）=BC==；即f（t）=，；设g（t）=25t2﹣42t+18，，g（t）的对称轴为t=；且；即g（t）的最大值为，则此时f（t）取最大值；即f（t）在[t1，t2]上的最大值不超过3.【点评】考查余弦定理的应用，以及二次函数在闭区间上最值的求法.22.（16分）已知椭圆x2+2y2=1，过原点的两条直线l1和l2分别与椭圆交于点A、B和C、D，记△AOC的面积为S.（1）设A（x1，y1），C（x2，y2），用A、C的坐标表示点C到直线l1的距离，并证明S=|；（2）设l1：y=kx，，S=，求k的值；（3）设l1与l2的斜率之积为m，求m的值，使得无论l1和l2如何变动，面积S保持不变.【分析】（1）依题意，直线l1的方程为y=x，利用点到直线间的距离公式可求得点C到直线l1的距离d=，再利用|AB|=2|AO|=2，可证得S=|AB|d=|x1y2﹣x2y1|；（2）由（1）得：S=|x1y2﹣x2y1|=×|x1﹣y1|=，进而得到答案；（3）方法一：设直线l1的斜率为k，则直线l1的方程为y=kx，联立方程组，消去y解得x=±，可求得x1、x2、y1、y2，利用S=|x1y2﹣x2y1|=•，设=c（常数），整理得：k4﹣2mk2+m2=c2[2k4+（1+4m2）k2+2m2]，由于左右两边恒成立，可得，此时S=；方法二：设直线l1、l2的斜率分别为、，则=m，则mx1x2=﹣y1y2，变形整理，利用A（x1，y1）、C（x2，y2）在椭圆x2+2y2=1上，可求得面积S的值.【解答】解：（1）依题意，直线l1的方程为y=x，由点到直线间的距离公式得：点C到直线l1的距离d==，因为|AB|=2|AO|=2，所以S=|AB|d=|x1y2﹣x2y1|；（2）由（1）A（x1，y1），C（x2，y2），S=|x1y2﹣x2y1|=×|x1﹣y1|=.所以|x1﹣y1|=，由x12+2y12=1，解得A（，﹣）或（，﹣）或（﹣，）或（﹣，），由k=，得k=﹣1或﹣；（3）方法一：设直线l1的斜率为k，则直线l2的斜率为，直线l1的方程为y=kx，联立方程组，消去y解得x=±，根据对称性，设x1=，则y1=，同理可得x2=，y2=，所以S=|x1y2﹣x2y1|=•，设=c（常数），所以（m﹣k2）2=c2（1+2k2）（k2+2m2），整理得：k4﹣2mk2+m2=c2[2k4+（1+4m2）k2+2m2]，由于左右两边恒成立，所以只能是，所以，此时S=，综上所述，m=﹣，S=.方法二：设直线l1、l2的斜率分别为、，则=m，所以mx1x2=y1y2，∴m2==mx1x2y1y2，∵A（x1，y1）、C（x2，y2）在椭圆x2+2y2=1上，∴（）（）=+4+2（+）=1，即（+4m）x1x2y1y2+2（+）=1，所以+﹣2x1x2y1y2=（x1y2﹣x2y1）2=[1﹣（4m+）x1x2y1y2]﹣2x1x2y1y2=﹣（2m++2）x1x2y1y2，是常数，所以|x1y2﹣x2y1|是常数，所以令2m++2=0即可，所以，m=﹣，S=.综上所述，m=﹣，S=.【点评】本题考查直线与圆锥曲线的综合应用，考查方程思想、等价转化思想与综合运算能力，属于难题.23.（18分）已知数列{a n}与{b n}满足a n+1﹣a n=2（b n+1﹣b n），n∈N*.（1）若b n=3n+5，且a1=1，求{a n}的通项公式；（2）设{a n}的第n0项是最大项，即a n0≥a n（n∈N*），求证：{b n}的第n0项是最大项；（3）设a1=3λ＜0，b n=λn（n∈N*），求λ的取值范围，使得对任意m，n∈N*，a n≠0，且.【分析】（1）把b n=3n+5代入已知递推式可得a n+1﹣a n=6，由此得到{a n}是等差数列，则a n可求；（2）由a n=（a n﹣a n﹣1）+（a n﹣1﹣a n﹣2）+…+（a2﹣a1）+a1，结合递推式累加得到a n=2b n+a1﹣2b1，求得，进一步得到得答案；（3）由（2）可得，然后分﹣1＜λ＜0，λ=﹣1，λ＜﹣1三种情况求得a n的最大值M和最小值m，再由∈（）列式求得λ的范围.【解答】（1）解：∵a n+1﹣a n=2（b n+1﹣b n），b n=3n+5，∴a n+1﹣a n=2（b n+1﹣b n）=2（3n+8﹣3n﹣5）=6，∴{a n}是等差数列，首项为a1=1，公差为6，则a n=1+（n﹣1）×6=6n﹣5；（2）∵a n=（a n﹣a n﹣1）+（a n﹣1﹣a n﹣2）+…+（a2﹣a1）+a1=2（b n﹣b n﹣1）+2（b n﹣1﹣b n﹣2）+…+2（b2﹣b1）+a1=2b n+a1﹣2b1，∴，∴.∴数列{b n}的第n0项是最大项；（3）由（2）可得，①当﹣1＜λ＜0时，单调递减，有最大值；单调递增，有最小值m=a1=3λ＜0，∴的最小值为，最大值为，则，解得.∴λ∈（）.②当λ=﹣1时，a2n=1，a2n﹣1=﹣3，∴M=3，m=﹣1，不满足条件.③当λ＜﹣1时，当n→+∞时，a2n→+∞，无最大值；当n→+∞时，a2n﹣1→﹣∞，无最小值.综上所述，λ∈（﹣，0）时满足条件.【点评】本题考查了数列递推式，考查了等差关系的确定，考查了数列的函数特性，训练了累加法求数列的通项公式，对（3）的求解运用了极限思想方法，是中档题创作人：百里安娜创作日期：202X.04.01审核人：北堂王会创作单位：明德智语学校。

2020届上海市高考模拟数学试题(解析版)

2020届上海市高考模拟数学试题一、单选题1．在平面直角坐标系内，到点()1,2A 和直线l ：30x y +-=距离相等的点的轨迹是（） A ．直线 B ．抛物线C ．椭圆D ．双曲线【答案】A【解析】根据已知判断点A 是否在直线上，即可结合抛物线的定义判断正确选项. 【详解】由题意，点()1,2A 在直线30x y +-=上，即动点到点A 的距离与动点到直线l 的距离相等，所以动点的轨迹是一条过点A 且与直线l 垂直的直线. 故选：A. 【点睛】本题考查了抛物线的定义，需注意抛物线定义中满足的条件，属于基础题. 2．已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，则“()1n n a a n *+<∈N ”是“()11n n S S n n n *+<∈+N ”的（） A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充分必要条件 D ．既不充分也不必要条件【答案】A【解析】先证明充分性，由条件1n n a a +<，可得121n n a a a na +++⋅⋅⋅+<，通过变形得到11n n S S n n +<+，再由条件11n n S S n n +<+，列举特殊数列，说明是否成立. 【详解】充分性：若1n n a a +<，则有121n n a a a na +++⋅⋅⋅+<，即()1n n n S n S S +<-，得()11n n n S nS ++<，于是有()11n n S S n n n *+<∈+N 成立，故充分性成立. 必要性：若()11n n S S n n n *+<∈+N 成立，取数列{}n a 为0,1,1,1,⋅⋅⋅，但推不出()1n n a a n *+<∈N ，故必要性不成立.故选:A【点睛】本题考查判断充分不必要条件，数列的递推公式和前n 项和公式的综合应用，重点考查转化与化归的思想，逻辑推理能力，属于中档题型.3．如图，正方形ABCD 的中心与圆O 的圆心重合，P 是圆O 的动点，则下列叙述不正确的是（）A ．PA PC PB PD ⋅+⋅是定值；B ．PA PB PB PC PC PD PD PA ⋅+⋅+⋅+⋅是定值； C ．PA PB PC PD +++是定值； D ．2222PA PB PC PD +++是定值．【答案】C【解析】建立直角坐标系后，设正方形边长为2a ，圆的半径为r ，表示出各点坐标，利用向量的数量积的坐标运算即可判断A.、B 、D 选项，举出反例即可判断C ，即可得解. 【详解】如图建立直角坐标系,设正方形边长为2a ，圆的半径为r ，则圆的方程为 222x y r +=，设点()P x y ，，则()A a a ，，()B a a -，，()C a a --，，()D a a -，， (),PA a x a y =--，(),PB a x a y =---，(),PC a x a y =----，(),PD a x a y =---，，对于A ：()()()(),,,,+a x a y a x a y a PA PC PB PD x a y a x a y ⋅+⋅⋅=----------⋅-- ()222222424x y a r a =+-=-，故A 正确；对于B ：()()+PA PB PB PC PC PD PD PA PB PA PC PD PC PA ⋅+⋅+⋅+⋅=⋅+⋅+()()()222+44PB PD PA P r C x y =+⋅=+=，故B 正确；对于C ：不妨取1,2a r ==，取点()20P ，，()210+2PA PB PC PD +++=，取点()13P ，，23+8+23+823PA PB PC PD +++=-，故C 错误；对于D ：2222PA PB PC PD +++()()()()()()()()22222222+++++++++++a x a y a x a y a x a y a x a y ⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎡⎤----⎣⎦⎣⎦⎣⎦⎣=⎦()()()()2222++2+2+2+2a x a x a y a y --= ()22222+4+8+84a x y a r ==，故D 正确，故选：C.【点睛】本题考查了平面向量的应用，考查了圆的方程的应用和运算能力，属于中档题. 4．若不等式()sin 04a x b x π⎛⎫--+≤ ⎪⎝⎭，对于[]0,2x π∈成立，则()sin a b +，()cos a b -分别等于（）A ．22；22B ．22；22- C ．22-；22D ．22-；22- 【答案】D【解析】设()||f x a x b =--，根据三角函数值的符号，求得函数()f x 符号的变化，根据函数()f x 的单调性与对称性，求得,a b 的值，即可求解. 【详解】由02x π≤≤，则9444x πππ≤+≤，当44x πππ≤+≤或9244x πππ≤+≤时，即304x π≤≤或724x ππ≤≤时，4in(0s )x π+≥，当24x πππ<+<时，即3744x ππ<<时，4in(0s )x π+<，所以当304x π≤≤或724x ππ≤≤时，||0a x b --≤，当3744x ππ<<时，||0a x b --≥，设函数()||f x a x b =--，则()f x 在(,)b -∞上单调递增，在(,)b +∞上单调递减，且函数()f x 的图象关于直线x b =对称，所以37()()044f f ππ==，所以3752442b πππ=+=，解得54b π=，又由335()||0444f a πππ=--=，解得π2a ，所以5sin()sin()242a b ππ+=+=-，5sin()sin()242a b ππ-=-=-. 故选：D. 【点睛】本题主要考查了三角函数值的计算，以及函数的单调性与对称性的应用，根据三角函数的符号，求得函数()||f x a x b =--的单调性与对称性是解答的关键，着重考查了分析问题和解答问题的能力，属于较难题.二、填空题5．已知集合(){}2log 21A x x =-<，31B x x ⎧⎫=<⎨⎬⎩⎭，则A B =______．【答案】()3,4【解析】先解对数不等式和分式不等式求得集合A 、B ，再根据交集定义求得结果. 【详解】因为(){}{}()2log 2102224A x x x x =-<=<-<=，，()()331003x B x x x x ⎧⎫⎧⎫-=<=<=-∞⋃+∞⎨⎬⎨⎬⎩⎭⎩⎭，，，所以()3,4A B ⋂=，故答案为：()3,4. 【点睛】本题考查对数不等式和分式不等式的解法以及交集定义，属于基础题.6．已知等比数列{}n a 的前n 项和为n S ，且满足1213n n S t -=，则t =______．【答案】32【解析】先由行列式的计算求得n S ，再根据数列的前n 项与通项的关系求得123a a a ，，，由等比数列的定义可求得答案.【详解】因为1213n n S t -=，所以132n n S t -=⨯-，所以1111323a S t t -==⨯-=-，()()211122132323a S S t t --=-=⨯--⨯-=，()()312133232326a S S t t --=-=⨯--⨯-=，又因为数列{}n a 是等比数列，所以3221a a a a =，即6333t=-，解得32t =，故答案为：32. 【点睛】本题考查行列式的计算，数列的前n 项与通项的关系，等比数列的定义，属于中档题.7．已知双曲线22116x y m -=的一个焦点()15,0F ，其中一条渐近线为l ，过1F 作1F A l ⊥交l 于A ，则A 到原点距离是______．【答案】3【解析】利用双曲线的方程及焦点坐标得出9m =，则可写出渐近线l 的方程，然后根据题目条件利用几何法解出.点A 到原点的距离. 【详解】由题意得：1625m +=，解得9m =，设渐近线4:3l y x ，则14tan 3AOF ，所以13cos 5AOF , 又因为15OF ，故15cos 3OAAOF .故答案为：3. 【点睛】本题考查双曲线的标准方程及渐近线的应用，较简单.解答时，注意数形结合，利用几何法求解.8．某学校高三年级有A 、B 两个自习教室，甲、乙、丙3名学生各自随机选择其中一个教室自习，则甲、乙两人不在同一教室上自习的概率为________. 【答案】12【解析】利用乘法计数原理可计算出甲、乙、丙3名学生各自随机选择其中一个教室自习共有32种，利用分步乘法计数原理计算出甲、乙两人不在同一教室上自习的排法种数，然后利用古典概型的概率公式可计算出所求事件的概率. 【详解】由题意可知，甲、乙、丙3名学生各自随机选择其中一个教室自习共有32种，甲、乙两人不在同一教室上自习，可先考虑甲在A 、B 两个自习教室选一间教室自习，然后乙在另一间教室自习，则丙可在A 、B 两个自习教室随便选一间自习教室自习，由分步计数原理可知，有224⨯=种选择. 因此，甲、乙两人不在同一教室上自习的概率为4182=. 故答案为：12. 【点睛】本题考查利用古典概型的概率公式计算事件的概率，同时也考查了分步计数原理的应用，考查计算能力，属于中等题.9．已知()22log 2log a b ab +=，则4a b +的最小值是______．【答案】9【解析】根据对数相等得到111b a +=，利用基本不等式求解()114a b b a ⎛⎫++ ⎪⎝⎭的最小值得到所求结果. 【详解】因为()22222log log log ab abab ==，所以()22l og og l a b ab +=，所以a b ab +=，所以111a b+=， ()1144414a ba b a b a b b a⎛⎫∴+=++=+++ ⎪⎝⎭，由题意知0ab >，则0a b >，40b a >，则44414259a b a ba b b a b a+=+++≥⋅+=，当且仅当4a b b a =，即2a b =时取等号，故答案为：9. 【点睛】本题考查基本不等式求解和的最小值问题，关键是能够利用对数相等得到111b a+=的关系，从而构造出符合基本不等式的形式，属于中档题.10．若1x 是关于x 的实系数方程230x bx ++=的一个虚根，则1x 等于______．【答案】3【解析】若设1x m ni =+，再结已知条件利用韦达定理可求得结果【详解】解：设1(,)x m ni m n R =+∈，则方程的另一个根为2x m ni =-，所以222212()()()x x m ni m ni m ni m n =+-=-=+，由韦达定理得123x x =，所以223m n +=，所以2213x m n =+=，故答案为：3 【点睛】此题考查复数的运算，考查韦达定理的应用，考查复数的模，属于基础题 11．如图，一个球形广告气球被一束入射角为的平行光线照射，其投影是一个最长的弦长为米的椭圆，则制作这个广告气球至少需要的面料是___________2m .【答案】754π【解析】试题分析：由椭圆的最长的弦长为米，知椭圆的25a =，设气球的半径为R ，入射角为的平行光线与底面所成角就为60︒，则有2sin602a R ︒=，即534R =，从而气球的表面积为27544R ππ=2m . 【考点】球及球的表面积计算.12．在复变函数相关领域中，欧拉公式为cos sin i e i θθθ=+（这里i 是虚数单位），当θπ=时，可以得到10i e π+=，这个公式被誉为数学中最令人着迷的公式，根据欧拉公式，则54ie =______．【答案】4 【解析】由题得54|4(cos5sin5)|ie i =+，再利用复数的模的公式求解.【详解】由题得5224|4(cos5sin 5)|16cos 516sin 5=4i e i =++. 故答案为：4 【点睛】本题主要考查复数的模的计算，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平.13．对于*N n ∈，将n 表示为1101102222k k k k n a a a a --=⨯+⨯+⋅⋅⋅+⨯+⨯，当i k =时，1i a =；当01i k ≤≤-时，i a 为0或1．定义n b 如下：在n 的上述表示中，当0a ，1a ，2a …k a 中等于1的个数为奇数时，1n b =；否则0n b =．则3456b b b b +++=______．【答案】1【解析】由已知可得，022231212,412,51212,61212=⨯+⨯=⨯=⨯+⨯=⨯+⨯，可得30b =，41b =，50b =，60b =，从而可得结论【详解】解：由题意可知，022231212,412,51212,61212=⨯+⨯=⨯=⨯+⨯=⨯+⨯，所以30b =，41b =，50b =，60b =，，所以3456b b b b +++=1，故答案为：1 【点睛】此题考查新定义运算问题，正确理解新定义传递的信息是解题的关键，属于基础题 14．设正数数列{}n a 的前n 项和为n S ，数列{}n S 的前n 项之积为n T ，且1n n S T +=，则lim n n S →∞=______．【答案】1【解析】令1n =可得11112a S T ===，利用n T 的定义，1(2)n nn T S n T -=≥，可得n T 的递推关系，从而得1n T ⎧⎫⎨⎬⎩⎭是等差数列，求出n T 后可得n S ，从而可得lim n n S →∞．【详解】111T a S ==，∴121a =，112a =，即1112S T ==，1(2)n n n T S n T -=≥，∴11n n n T T T -+=，∴1111n n T T --=，即{}n T 是以2为首项，1为公差的等差数列，故1211n n n T =+-=+，11n T n =+，1n n S n =+，112S =也符合此式，所以1n n S n =+，所以lim limlim lim +1111111n n n n n n n S n n n →∞→∞→∞→∞-⎛⎫==-= ⎪++⎝⎭=，故答案为：1. 【点睛】本题考查求数列的通项公式，解题中注意数列的和、数列的积与项的关系，进行相应的转化．如对积n T 有1(2)nn n T S n T -=≥，对和n S 有1(2)n n n a S S n -=-≥，另外这种关系中常常不包括1n =的情形，需讨论以确定是否一致，属于较难题．15．工人师傅在如图1的一块矩形铁皮的中间画了一条曲线，并沿曲线剪开，将所得的两部分卷成圆柱状，如图2，然后将其对接，可做成一个直角的“拐脖”，如图3.对工人师傅所画的曲线，有如下说法（1）是一段抛物线；（2）是一段双曲线；（3）是一段正弦曲线；（4）是一段余弦曲线；（5）是一段圆弧.则正确的说法序号是________.【答案】（3）（4）【解析】【分析】试题分析：利用平面图分析曲线的对称性，即可得出结论．【详解】解：将图2剪开展成平面图分析可知，曲线为轴对称图形，将图3剪开展成平面图分析可知，曲线也为中心对称图形．所以此曲线即为轴对称图形又为中心对称图形，故只有③④正确．故答案为：（3）（4）．【点睛】本题考查平面与圆柱面的截线，考查函数的对称性和奇偶性，比较基础．16．已知直线l 与单位圆O 交于()11,A x y ，()22,B x y 两点，且圆心O 到l 3则1122x y x y +++的取值范围是______．【答案】66⎡⎢⎣ 【解析】由圆心O 到l 33AOB π∠=，设点()11,A x y 到直线0x y +=的距离为1112x y d +=，点()22,B x y 到直线0x y +=的距离为2222x y d +=，则()1122122x y x y d d +++=+，设直线OA 与直线0x y +=的夹角为θ，分A B ，在直线0x y +=的同侧和异侧两种情况进行讨论即可. 【详解】直线l 与单位圆O 交于()11,A x y ，()22,B x y 两点，且圆心O 到l 的距离为32，半径为1，可得3AOB π∠=,如图直线0x y +=与圆交于,E F 两点，则点()11,A x y 到直线0x y +=的距离为1112x y d +=，点()22,B x y 到直线0x y +=的距离为2222x y d +=，设直线OA 与直线0x y +=的夹角为θ，当A B ，在直线0x y +=的同侧时，2,0,3AOE πθθ⎡⎤∠=∈⎢⎥⎣⎦,则23BOF πθ∠=-,()11221222=2sin sin =6sin 36x y x y d d ππθθθ⎡⎤⎛⎫⎛⎫+++=++-+ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎦，20,3πθ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，5+,666πππθ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，1sin ,162πθ⎛⎫⎡⎤+∈ ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦，所以11226,62x y x y +++∈⎡⎤⎢⎥⎣；当A B ，在直线0x y +=的异侧时，如图,0,3AOF πθθ⎡⎤∠=∈⎢⎥⎣⎦,则3BOF πθ∠=-,()1122122=2sin sin =2sin 33x y x y d d ππθθθ⎡⎤⎛⎫⎛⎫+++=++-+ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦，0,3πθ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，2+,333πππθ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，3sin ,132πθ⎡⎤⎛⎫+∈⎢⎥ ⎪⎝⎭⎣⎦，所以11226,22x y x y +++∈⎡⎤⎢⎥⎣⎦,综上，1122x y x y +++的取值范围是6,62⎡⎤⎢⎥⎣. 故答案为：6,6⎡⎤⎢⎥⎣ 【点睛】本题考查直线与圆的位置关系的应用，考查点到直线的距离公式和两角差的正弦公式以及辅助角公式的应用，考查转化能力和计算能力，属于中档题.三、解答题17．已知正方体1111ABCD A B C D -，12AA =，E 为棱1CC 的中点．（1）求异面直线AE 与1DD 所成角的大小（结果用反三角表示）；（2）求C 点到平面ABE 的距离，并求出三锥C ADE -的体积．【答案】（1）1arccos3；（2）C点到平面ABE的距离为25，三锥C ADE-的体积为23．【解析】（1）由已知得AEC∠（或补角）是异面直线AE与1DD所成角，求解AEC 可得答案；（2）利用等体积E ABC C ABEV V--=，可求得设C点到平面ABE的距离，利用C ADE A CDEV V--=，可求得三锥C ADE-的体积．【详解】解：（1）连接AC，因为11//CC DD，所以AEC∠（或补角）是异面直线AE与1DD所成角，在AEC中，()22221cos3221ECAECAE AC EC∠====++，所以异面直线AE与1DD所成角是1arccos3；（2）设C点到平面ABE的距离为h，因为E ABC C ABEV V--=，即1133ABC ABES EC S h⋅=⋅△△，又正方体1111ABCD A B C D-中，AB⊥面11BB C C，所以ABE△是Rt ABE△，又2222215BE BC EC=+=+=，所以1111221253232h⨯⨯⨯⨯=⨯⨯⨯⋅，解得255h=，所以C ADE A CDEV V--=111212332DCES AD⎛⎫=⋅=⨯⨯⨯⨯⎪⎝⎭△23=.【点睛】本题考查空间中异面直线所成的角，运用等体积法求点到面的距离以及三棱锥的体积，属于中档题.18．已知a 、b 、c 为正实数，()0,θπ∈．（1）当a 、b 、c 为ABC 的三边长，且a 、b 、c 所对的角分别为A 、B 、C．若a =1c =，且3A π∠=．求b 的长；（2）若2222cos a b c bc θ=+-．试证明长为a 、b 、c 的线段能构成三角形，而且边a 的对角为θ．【答案】（1）2b =；（2）证明见解析．【解析】（1）利用余弦定理列方程，解方程求得b 的值.（2）结合余弦定理和()cos 1,1θ∈-，证得b c a b c -<<+，也即三角形两边的和大于第三边、两边的差小于第三边，由此证得a 、b 、c 的线段能构成三角形.结合余弦定理证得a 的对角为θ. 【详解】（1）由2312cos3b b π=+-，∴231b b =-+，即220b b --=，∴2b =或1b =-（舍去）. （2）由()0,θπ∈，可得()cos 1,1θ∈-所以()()22222222222cos 2b c b c bc b c bc a b c bc b c θ-=+-<+-=<++=+ 也就是b c a b c -<<+，因此长为,,a b c 的线段能构成三角形，不妨记为ABC ．在ABC 中，由余弦定理可设222cos cos 2b c a A bcθ+-==即cos cos A θ=，又(),0,A θπ∈，由cos y x =的单调性可得A θ= 所以边a 的对角为θ．【点睛】本小题主要考查余弦定理解三角形，属于中档题.19．由于浓酸泄漏对河流形成了污染，现决定向河中投入固体碱，1个单位的固体碱在水中逐步溶化，水中的碱浓度y 与时间x 的关系，可近似地表示为168,0224,24x x y x x x ⎧--+≤≤⎪=+⎨⎪-<≤⎩，只有当河流中碱的浓度不低于1时，才能对污染产生有效的抑制作用.（1）如果只投放1个单位的固体碱，则能够维持有效抑制作用的时间有多长？（2）当河中的碱浓度开始下降时，即刻第二次投放1个单位的固体碱，此后，每一时刻河中的碱浓度认为是各次投放的碱在该时刻相应的碱浓度的和，求河中碱浓度可能取得的最大值. 【答案】（1；（2）14-【解析】【详解】（1）161815{2220202x x x x x x --+≥≤≤⇒⇒≤≤+≤≤≤≤, 41{2324x x x -≥⇒<≤≤≤,3x ≤≤. 即若1个单位的固体碱只投放一次，则能够维持有效抑制作用的时间为51322+-=（2）当02x ≤≤时，1682y x x =--++单调递增, 当24x <≤时，y=4-x 单调递减,所以当河中的碱浓度开始下降时，即刻第二次投放1个单位的固体碱，即24x <≤时，16164[(2)814(2)2y x x x x x=-+---+=-++,故当且仅当162,x x x==时，y有最大值14-本试题主要考查了函数在实际生活中的运用. 20．记δ=()00,P x y 与直线l ：0ax by c的“有向距离”．（1）分别求点()1,2A -与()2,3B 到直线l ：210x y -+=的“有向距离”，由此说明直线l 与两点A 、B 的位置关系．（2）求证：到两条相交定直线0bx ay ±=（a ，b 不同时为零）的“有向距离”之积等于非零常数的动点的轨迹为双曲线．（3）利用上述（2）结论证明：曲线24330x xy -+=为双曲线，并求其虚轴长．【答案】（1）,A B两点“有向距离”分别为1δ=，2δ=A 、B 分别在直线l 的两侧，且点A 距离直线l 较远；（2）证明见解析；（3）证明见解析，虚轴【解析】（1）根据“有向距离”定义直接求解，并根据值的符号与绝对值大小确定位置关系；（2）根据“有向距离”定义列轨迹方程，根据方程特征证明双曲线；（3）先确定双曲线渐近线方程，再确定实轴所在直线方程，进而解得实轴长，即得虚轴长. 【详解】（1）由1δ==2δ== 说明两点A 、B 分别在直线l 的两侧，且点A 距离直线l 较远（2）证明：设两条相交的直线方程为0bx ay ±=（a ，b 不同时为零），动点(),M x y ，()2222220b x a y k k a b -==≠+ 即()()222222221b a x y a b k a b k-=++ 即()22221,0x y m n m n-=±>形式．显然所求动点的轨迹为双曲线．反之，可以证明：双曲线上任意一点到两条渐近线的“有向距离”之积为常数．证明：设双曲线方程()()222222221b a x y a b k a b k-=++上任意一点为(),M x y ，它到双曲线的两条渐近线0bx ay ±=的有向距离之积为()2222222222a b kb x a y k a b a b +-===++ （3）因为方程24330x xy -+=可以变为43355x y x -⋅=-，所以方程表示为(),M x y 到y 轴和直线430x y -=的有向距离之积为35的轨迹，因此曲线24330x xy -+=为双曲线，且该双曲线的两条渐近线为y 轴和直线430x y -=．因为方程24330x xy -+=可以变为413x y x=+，所以方程表示的曲线在第一、三象限内，双曲线实轴所在的直线为两条渐近线所夹角的平分线，于是双曲线的实轴所在的直线的方向向量为()34390,1,,5555d ⎛⎫⎛⎫=+= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，斜率为3k =，因此双曲线实轴所在的直线为3y x =．联立方程234330y xx xy =⎧⎨-+=⎩求得解得双曲线的顶点为A ，A ⎛'- ⎝因此a OA ==故双曲线的实轴长为设过点A 作实轴的垂直线交y 轴为B ，则直线AB 的方程为13y x ⎛-=- ⎝．令0x =，得c y ==．因此22233827b c a =-=，b =．【点睛】本题考查新定义、双曲线定义、双曲线基本量，考查综合分析求解能力，属较难题. 21．已知数列{}n a 是由正整数组成的无穷数列，若存在常数*N k ∈，使得212n n n a a ka -+=，对任意的*N n ∈成立，则称数列{}n a 具有性质()k ψ．（1）分别判断下列数列{}n a 是否具有性质()2ψ；（直接写出结论）①1n a =；②2n a n =．（2）若数列{}n a 满足()11,2,3n n a a n +≥=，求证：“数列{}n a 具有性质()2ψ”是“数列{}n a 为常数列”的充分不必要条件；（3）已知数列{}n a 中11a =，且()11,2,3n n a a n +>=．若数列{}n a 具有性质()4ψ，求数列{}n a 的通项公式．【答案】（1）①数列{}n a 具有“性质()2ψ”；②数列{}n a 不具有“性质()2ψ”；（2）证明见解析；（3）21n a n =-．【解析】（1）验证对任意的*N n ∈，是否有2122n n n a a a -+=成立；（2）先证明充分性，即证明当数列{}n a 具有性质()2ψ时，{}n a 为常数列，再证明充分性，即{}n a 为常数列时，{}n a 具有性质()2ψ；（3）先利用{}n a 具有性质()4ψ证明12n n a a +-≥恒成立，然后运用反证法可证明12n n a a +-≤成立，则12n n a a +-=，然后可解得数列{}n a 的通项公式.【详解】解：（1）①数列{}n a 具有“性质()2ψ”；②数列{}n a 不具有“性质()2ψ”．（2）先证“充分性”：当数列{}n a 具有“性质()2ψ”时，有2122n n n a a a -+=，又因为21n n a a -≥，所以22100n n n n a a a a -≤-=-≤，进而有2n n a a =，结合21n n a a -≥有12n n n a a a +==⋅⋅⋅=，即“数列{}n a 为常数列”；再证“必要性”：若“数列{}n a 为常数列”，则有212122n n n a a a a -+==，即数列{}n a 具有“性质()2ψ”．（3）首先证明：12n n a a +-≥．因为{}n a 具有“性质()4ψ”，所以2124n n n a a a -+=．当1n =时有2133a a ==．又因为212*,,N n n n a a a -∈且221n n a a ->，所以有221n n a a ≥+，2121n n a a -≤-，进而有221121122n n n n a a a a +++≤≤-≤-，所以()123n n a a +-≥，结合21*,N n n a a -∈可得：12n n a a +-≥．然后利用反证法证明：12n n a a +-≤．假设数列{}n a 中存在相邻的两项之差大于，即存在*N k ∈满足：2123k k a a +-≥或22213k k a a ++-≥，进而有()()()122212214k k k k k k a a a a a a +++--=+-+()()2222121k k k k a a a a ++-=-+-()()()()22212122122219k k k k k k k k a a a a a a a a ++++-=-+-+-+-≥⎡⎤⎡⎤⎣⎦⎣⎦又因为*1N k k a a +-∈，所以13k k a a +-≥依次类推可得：213a a -≥，矛盾，所以有12n n a a +-≤．综上有：12n n a a +-=，结合11a =可得21n a n =-，经验证，该通项公式满足2124n n n a a a -+=，所以：21n a n =-．【点睛】本题考查新定义数列问题，考查学生获取新知识、应用新知识的能力，难度较大.。

2020年上海市高考数学模拟试卷(含解析)

2020年上海市高考数学模拟试卷一、选择题（本大题共4小题，共20.0分）1. 若a >0，b >0，且a +b =4，则下列不等式中恒成立的是( )A. 1ab >12B. 1a +1b ≤1C. √ab ≥2D. 1a 2+b 2≤182. 直线y =2x +1的参数方程可以是( )A. {x =t 2y =2t 2+1B. {x =2t −1y =4t +1 C. {x =t −1y =2t −1D. {x =sinθy =2sinθ+13. 已知平面α//平面β，它们之间的距离为d ，直线a ⊂α，则在β内与直线a 相距为2d 的直线有( )A. 1条B. 2条C. 无数条D. 不存在4. 命题p ：存在a ∈R 且a ≠0，对于任意的x ∈R ，使得f(x +a)<f(x)+f(a)；命题q 1:f(x)单调递减且f(x)>0恒成立；命题q 2:f(x)单调递增，存在x 0<0使得f(x 0)=0，则下列说法正确的是( )A. 只有q 1是p 的充分条件B. 只有q 2是p 的充分条件C. q 1，q 2都是p 的充分条件D. q 1，q 2都不是p 的充分条件二、填空题（本大题共12小题，共54.0分）5. 已知集合A ={1,2,4},B ={2,3,4,5}，则A ∩B = ．6. 计算：n →∞lim3n−1n+2=______ 7. 若复数z 满足i ⋅z =1+2i(其中i 为虚数单位)，则z 的模为_____________． 8. 函数f(x)=x 2(x ≤−1)的反函数是f −1(x)= ______ ． 9. 已知实数x ，y 满足{y ≥4x,x +2y +6≥0,y ≤4,则z =x −y 的最大值为________． 10. 已知矩阵[a 31a]的逆矩阵是[a−3−1a]，则正实数a =______ ．11. 一组数据20，30，40，50，50，60，70，80的平均数、中位数、众数分别为a ，b ，c ，则a +c −2b的值为．12. 已知数列{a n }是公差不为0的等差数列，其前n 项和为S n ，若a 1+a 4+a 7=0，则S6a 5的值为______ 13. 有3张参观券，要在5人中确定3人去参观，不同方法的种数是________(用数字作答)．14. 已知椭圆x 2a 2+y2b2=1(a >b >0)的右焦点F(c,0)关于直线y =bc x 的对称点Q 在椭圆上，则椭圆的离心率是15. 已知函数f(x)=x |x −1|−a,x ∈R 有三个零点x 1、x 2、x 3，则实数a 的取值范围是；x 1+x 2+x 3的取值范围是．16. 在平面内，已知AB ⊥AC ，且DB =DC =2,BP ⃗⃗⃗⃗⃗ =AC ⃗⃗⃗⃗⃗ ，若1≤DP ≤2，则DA 的取值范围是．三、解答题（本大题共5小题，共76.0分）17. (1)在△ABC 中，AB =2，BC =32，∠ABC =120°，若△ABC 绕直线BC 旋转一周，则所形成的几何体的体积是多少？(2)已知四面体ABCD 中，E ，F 分别是AB ，CD 的中点．若BD ，AC 所成的角为60°，且BD =AC =1.求EF 的长度．18. 已知函数f(x)=2√3sinωxcosωx −2sin 2ωx(其中ω>0)图象的两条相邻对称轴之间的距离为π2．(1)求ω的值及f(x)的单调减区间；(2)若f(x 0)=15，x 0∈[−π12,π4]，求f(x 0+π6)的值．19.一般情况下，桥上的车流速度v(单位：千米/小时)是车流密度x(单位：辆/千米)的函数．当桥上的车流密度达到200辆/千米时，会造成堵塞，此时车流速度为0；当车流密度小于40辆/千米时，车流速度为40千米/小时．研究表明：当40≤x≤200时，车流速度v是车流密度x的一次函数．(Ⅰ)当0≤x≤200，求函数v(x)的表达式；(Ⅱ)当车流密度x为多大时，车流量(单位时间内通过桥上某观测点的车辆数，单位：辆/小时)f(x)=x⋅v(x)可以达到最大，并求出最大值．20.已知双曲线C：x2a2−y2b2=1(a>0,b>0)的左右顶点分别为A，B，点P是双曲线C上不同于顶点的任意一点，若直线PA、PB的斜率之积为12．(Ⅰ)求双曲线C的离心率e；(Ⅱ)若过点P作斜率为k(k≠±ba)的直线l，使得l与双曲线C有且仅有一个公共点，F1，F2分别为双曲线的两个焦点，记直线PF1，PF2的斜率分别为k1，k2，问是否存在实数λ使得1k1+1k2=λk．21.已知正项数列{a n}的前n项和为S n，且a1=a，(a n+1)⋅(a n+1+1)=6(S n+n)，n∈N∗．n∈N∗．(1)求数列{a n}通项公式；(2)若对于∀n∈N∗都有S n≤n(3n+1)成立求实数a取值范围．-------- 答案与解析 --------1.答案：D解析：本题主要考查不等关系与不等式的性质，属于基础题．利用特殊值法即可解答．解：取a =1，b =3，可验证A 、B 、C 均不正确． 2(a 2+b 2)⩾(a +b )2，当a =b =2时，等号成立，即可得0<1a 2+b 2⩽18，则D 正确．故选D ．2.答案：C解析：解：∵y =2x +1，∴y +1=2(x +1)，令x +1=t ，则y +1=2t ，可得{x =t −1y =2t −1(t 为参数)，即为直线y =2x +1的参数方程．故选C ．由已知y =2x =1，可化为点斜式方程：y +1=2(x +1)，令x +1=t ，则y +1=2t ，即可化为直线的参数方程．本题考查了把直线的普通方程化为参数方程，其关键是把直线的普通方程写成点斜式方程．3.答案：B解析：解：∵平面α//平面β，它们之间的距离为d ，∴若平面α内的直线和β内的直线b 为异面直线时，a ，b 直线的距离为d ，不满足条件， ∴a//b ，在直线a 上任取一点A ，作AO 在平面β的射影O ，过O 作OC ⊥b 于C ，连结AC ，则AO =d ，AC =2d ，∴OC=√3d∴满足条件的直线共有2条．故选：B．根据平行直线的距离公式进行判断即可．本题主要考查空间直线距离的判断，要求熟练掌握面面平行的性质，比较基础．4.答案：C解析：本题考查命题的真假，及函数的单调性，关键是分析不等式之间关系，属于中档题．对于命题q1：当a>0时，结合f(x)单调递减，可推出f(x+a)<f(x)<f(x)+f(a)，命题q1是命题p的充分条件．对于命题q2：当a=x0<0时，f(a)=f(x0)=0，结合f(x)单调递增，推出f(x+a)< f(x)，进而f(x+a)<f(x)+f(a)，命题q2是命题p的充分条件．解：对于命题q1：当f(x)单调递减且f(x)>0恒成立时，当a>0时，此时x+a>x，又因为f(x)单调递减，所以f(x+a)<f(x)又因为f(x)>0恒成立时，所以f(x)<f(x)+f(a)，所以f(x+a)<f(x)+f(a)，所以命题q1⇒命题p，对于命题q2：当f(x)单调递增，存在x0<0使得f(x0)=0，当a=x0<0时，此时x+a<x，f(a)=f(x0)=0，又因为f(x)单调递增，所以f(x +a)<f(x)，所以f(x +a)<f(x)+f(a)，所以命题p 2⇒命题p ，所以q 1，q 2都是p 的充分条件，故选：C ．5.答案：{2,4}解析：此题考查交集及其运算，属于基础题．根据交集的运算法则计算即可．解：已知集合A ={1,2,4},B ={2,3,4,5}，则A ∩B ={2,4}．故答案是{2,4}．6.答案：3解析：解：n →∞lim3n−1n+2=3−01+0=3．故答案为：3．直接利用数列的极限的运算法则求解即可．本题考查数列的极限的运算法则的应用，是基础题．7.答案：√5解析：本题考查复数的运算以及复数模的计算，属于基础题．由已知求出z ，然后利用模的计算公式求解即可．解：因为i ⋅z =1+2i ，所以z =1+2i i=−i(1+2i)−i·i=2−i ，所以|z|=√22+(−1)2=√5，故答案为√5．8.答案：−√x ，x ≥1解析：解：∵函数f(x)=y =x 2(x ≤−1)， ∴x =−√y ，y ≥1，x ，y 互换，得反函数f −1(x)=−√x ，x ≥1．故答案为：−√x ，x ≥1．先求出x =−√y ，y ≥1，x ，y 互换，得反函数f −1(x)．本题考查反函数的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意反函数性质的合理运用．9.答案：2解析：本题考查简单的线性规划，考查了数形结合的解题思想方法，属于中档题．由约束条件作出可行域，化目标函数为直线方程的斜截式，数形结合得到最优解，把最优解的坐标代入目标函数得答案．解：由x ，y 满足约束条件{y ≥4x,x +2y +6≥0,y ≤4,作出可行域如图：由z =x −y 可得y =x −z ，平移直线y =x −z ，当直线经B 点时，在y 轴上截距最小，z 有最大值，由{y =4x x +2y +6=0可得B(−23,−83)，所以z =x −y 的最大值为−23+83=2，故答案为2．10.答案：2解析：本题考查矩阵与逆矩阵的运算，是基础题．根据矩阵与其自身的逆矩阵的乘积为单位矩阵，然后运用矩阵乘积公式得到答案．解：[a 31a ][a −3−1a ]=[1001]，由矩阵乘积公式得，[a 2−300a 2−3]=[1001]，所以a 2−3=1，a 2=4，a =±2．又因为题目中说明了a 是正实数，故答案为a =2．11.答案：0解析：根据所给数据，分别计算平均数、中位数、众数，即可得到结果．解：由题意，平均数为a =20+30+40+50+50+60+70+808=50，中位数b =50+502=50，众数c =50，所以a +c −2b =0．故答案为0．12.答案：−3解析：本题考查了等差数列的通项公式和前n 项和公式，考查了学生的计算能力，属于基础题．由a 1+a 4+a 7=0，可得3(a 1+3d )=0，即a 1=−3d ≠0，则S 6a 5=6a 1+6×52d a 1+4d=6×(−3)+15−3+4=−3．解：设等差数列{a n }的首项为a 1，公差为d ，由a 1+a 4+a 7=0，得3(a 1+3d )=0。

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