第5讲_浮点数四则运算
《浮点数计算方法》课件
浮点数的精度和舍入误差
浮点数的精度取决于尾数的位数，但由于计算机存储和计算的限制，浮点数 计算中会产生舍入误差。
浮点数的四则运算
浮点数的四则运算包括加法、减法、乘法和除法。在进行运算时，需要考虑 浮点数的规格化、舍入和溢出等问题。
防止浮点数精度丢失的方法
为了防止浮点数精度丢失，可以使用高精度计算、舍入策略、增加计算精度等方法来提高计算结果的准确性。
为什么需要浮点数计算方法？
浮点数计算方法是为了处理实数计算中的大、小数、精度丢失等问题，确保计算结果的准确性和稳定性。
IEEE 754标准
IEEE 754标准是一种用于浮点数表示和计算的国际标准，定义了浮点数的格式和运算规则。，包括符号位、阶码和尾数，通过这种 表示方式可以表示非常大或非常小的数。
《浮点数计算方法》PPT 课件
浮点数计算是计算机领域中的重要主题。本课件将介绍浮点数的基本概念、 IEEE 754标准、浮点数的运算和常见错误等内容，使您对浮点数计算方法有更 深入的了解。
什么是浮点数？
浮点数是一种用于表示实数的数值类型，通过将数值分成尾数和指数两部分， 在计算机中进行表示和计算。
浮点四则运算
阶码运算
• 溢出判断举例： • 设阶码取三位（不含符号位）， 当jx=+101，jy=+110时，有 [jx]移=01,101， [jy]补=00,110 则： [jx +jy]移=[jx]移+ [jy]补=01,101+00,110=10,001 结 果上溢 [jx -jy]移=[jx]移+ [-jy]补=01,101+11,100=01,001 结果+1
4. 舍入—常用的舍入方法
• “0舍1入”法：“0舍1入”法类似于十进制运算 中的“四舍五入”法，即在尾数右移时，被移去 的最高数值位为0，则舍去；被移去的最高数值位 为1，则在尾数的末位加1。这样做可能使尾数又 溢出，此时需再做一次右规。
– 特点：最大误差是最低位上的-1/2到接近于1/2之间， 正误差可以和负误差抵消。属于比较理想的方法，但 实现起来比较复杂。
3. 规格化
• 尾数S的规格化是指尾数满足条件：
•
•
如果采用双符号位的补码，则 当S>0时，其补码规格化形式为 [S]补=00.1××…× 当S<0时，其补码规格化形式为 [S]补=11.0××…× 但对S<0时，有两种情况需特殊处理。
① ② S=-1/2，则[S]补=11.100…0。对于补码而言，它不满足于上面 的规格化表示式。为了便于硬件判断，特规定-1/2是规格化的 数(对补码而言)。 S=-1，则[S]补=11.000…0。因小数补码允许表示-1，故-1视为 规格化的数。
浮点数运算方法
（续） ： 即 [x-y]补=11,100;10.110001， 尾数符号位出现“10”， 需右规。 ③规格化 右规后得 [x-y]补=11,101;11.0110001 ④舍入处理 采用0舍1入法，其尾数右规时末位丢1，则 [x-y]补=11,101;11.011001 ⑤溢出判断 经舍入处理后阶符为“11”，不溢出，故最终 结果： x-y= 2-011×(-0.100111)
舍入操作实例
[x]补舍入前 1.01110000 1.01111000 1.01110101 1.01111100 舍入后 1.0111（不舍不入） 1.0111 （舍） 1.0111 （舍） 1.1000 （入） 对应的真值 -0.1001 -0.1001 -0.1001 -0.1000 对应的真值
2.
3.
浮点乘除法运算
设两浮点数
x Sx r j y y Sy r
jx j y
jx
则
x y (Sx S y ) r
1. 2.
x Sx jx j y r y Sy
阶码运算 尾数运算
1. 阶码运算
若阶码用补码运算，乘积的阶码为[jx]补+[jy]补，商的 阶码为[jx]补-[jy]补。 若阶码用移码运算，则 [jx]移=2n+ jx -2n≤jx<2n (n为整数的位数) [jy]移=2n+ jy -2n≤jy<2n (n为整数的位数)
这一步操作是将两个加数的小数点对齐。
数向右移，每右移一位，阶码加“1”， 直到两数阶码相同为止。
尾数右移时可能会发生数码丢失，影响
精度。
例：两浮点数
x = 0.1101×201， y = -(0.1010)×211，求x+y。
浮点数的运算方法
EX
X = Ms Es Em-1 ...E1 E0 M-1 M-2 ...M-n IEEE 标准：阶码用移码，基为2
按国际电子电气工程师协会规定的国际通用标准，浮点 数的阶码用整数给出，并且要用移码表示，用作为以 2为底 的指数的幂。既然该指数的底一定为 2 ，可以不必在浮点数 的格式中明确表示出来， 只需给出阶码的~+127，当阶码为-128时，其补码表 示为 00000000，该浮点数的绝对值<2-128,人们规定此浮点数的 值为零，若尾数不为 0 就清其为 0，并特称此值为机器零。 一位符号位和 n 位数值位组成的移码, 其定义为； [E]移 = 2n + E -2n<=E<2n 负数 正数 +127 表示范围： 00000000 ~ 11111111 8 位移码表示的机器数为数的真值 在数轴上向右平移了 128 个位置
注意：计算结果的阶码符号位在此变了一次反， 结果为 +6 的 移码
（2）尾数相乘：MX*MY = 0.1011*(-0.1101) = -0.10001111 (3) (4) (5) 已是规格化数, 不必舍入, 也不溢出 最众乘积 [MX]移 = 1 1110 10001111， 即 26 * （-0.10001111）
浮点数在计算机内的格式
X = MX * 2 浮点数: X = M s Es E m-1 ...E1 E 0 M-1 M-2 ...M-n IEEE 标准：尾数用原码
按国际电子电气工程师协会规定的标准，浮点数的尾数要 用原码表示，即符号位 Ms: 0 表示正，1 表示负，且非 0 值尾数 数值的最高位 M-1 必为 1, 才能满足浮点数规格化表示的要求；
（2）尾数求和：00 0011011011 + 11 01010100 11 1000101011
浮点数的四则运算
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由于补码和移码的数值位相同，符号位相反，因 此可以将移码和补码混合使用，即利用X的移码和Y的 补码之和来表示X+Y的移码。
移码加减运算的溢出判断方法是： Sf1 Sf2＝00，结果为负，无溢出； Sf1 Sf2＝01，结果为正，无溢出； Sf1 Sf2＝10，结果上溢； Sf1 Sf2＝11，结果下溢；
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例 设不含阶符的阶码位数n＝4，Ex=－1010，Ey=＋ 0111,求[Ex±Ey]移。
解： [Ex]移 ＝000110，[Ey]补 ＝000111， [－Ey]补 ＝111001
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浮点加减运算（续）
右规和对阶操作时尾数右移，需要进行舍入处理。 计算机中的舍入方法： ❖ 截断法：
将移出的数据一律舍去。该方法简单，但影响精度;
❖ 0舍1入法：
移掉的是1，则尾数末位加1，移掉的是0，则不加。
❖ 末位恒置1法：
将欲保留的末位数据恒置1，无论右移掉的是1还是0，也 无论此时末位是1还是0。
[Ex＋ Ey ]移＝[Ex]移 ＋ [Ey]补 ＝000110＋000111＝ 001101，Ex＋ Ey＝－0011；
[Ex－ Ey ]移＝[Ex]移 ＋ [－Ey]补 ＝000110＋111001＝ 111111，结果出现下溢出.
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2.7.2 浮点乘除运算
一、浮点乘法运算 设两个浮点数为：X=Mx·2Ex,Y=My·2Ey 则：X·Y=(Mx·My)·2(Ex+Ey) 浮点乘法运算的步骤： 1.乘数判0，若有一乘数为0 ，则积为0，无需运算； 2.阶码相加并判溢出；
4-5浮点四则运算
+)[-Ey]补 111001 111111 结果出现负溢出
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4.5.1 浮点加减运算
1、对阶 ■ 规则：小阶对大阶。
原因：舍去尾数低位，产生误差；若丢失尾数高位，必然导致错误。
■
方法：求阶差。 阶差=0，不需对阶； 阶差≠0，小阶码数的尾数右移，右移次数为阶差的绝 对值，其阶码加上阶差的绝对值。
例题
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例
例：若X=0.110101×2+01,Y=－0.101010×2+10, 求X+Y,X-Y的浮点数。设其浮点数格式为：阶码4位，双符号、 补码表示；尾数8位，双符号、补码表示。 解：先将两浮点数表示为规格化的浮点数： [X]浮=00 01；00 110101 [Y]浮=00 10；11 010110 1）对阶 求阶差△E=0001补-0010补=1111补=-1 Ex<Ey,按小阶对大阶原则，X的尾数右移1位，阶码加1，尾 数舍入采用末位恒置1法，则： [X]浮=00 10；00 011011 13
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移码加减运算的溢出判断
采用双符号位进行运算。
• 设移码的双符号位为Sf1 Sf2，并规定运算初始时，移码的第 一符号位Sf1 恒用0表示（与双符号位补码不同）。
移码加减运算的溢出判断方法是：
• Sf1 Sf2＝00，结果为负，无溢出； • Sf1 Sf2＝01，结果为正，无溢出； • Sf1 Sf2＝10，结果正溢； • Sf1 Sf2＝11，结果负溢；
4）舍入 由于X+Y是左规，结果不需要舍入； X-Y为右规，若采用末位恒置1法，则 [X-Y]浮=0011；00100011。 若采用0舍1入法，则结果相同。
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4.5.2 浮点乘除运算
浮点数加减法运算
浮点数加减法运算浮点数加减法是计算机中常见的运算方式之一，它可以用于处理浮点数的加法和减法运算。
在计算机科学和数学中，浮点数是一种用于表示实数近似值的数据类型。
浮点数加减法运算是基于浮点数的特定规则进行的，下面将介绍浮点数加减法的原理和应用。
一、浮点数的表示方法在计算机中，浮点数以科学计数法的形式进行表示。
通常采用IEEE 754标准来表示浮点数，其中包括单精度浮点数和双精度浮点数两种形式。
单精度浮点数使用32位来表示，双精度浮点数使用64位来表示。
浮点数的表示形式包括符号位、指数位和尾数位。
二、浮点数加法运算浮点数加法运算的基本原理是将两个浮点数的尾数进行对齐，然后根据指数的差值进行尾数的移位，最后将尾数相加得到结果。
在进行浮点数加法运算时，需要考虑溢出、舍入和规格化等特殊情况。
1. 对齐尾数在进行浮点数加法运算时，首先需要将两个浮点数的尾数进行对齐。
对齐的原则是将尾数中小数点后的位数相等，即将尾数进行右移或左移，直到小数点后的位数相等为止。
2. 指数调整在对齐尾数后，需要根据两个浮点数的指数差值进行尾数的移位。
如果两个浮点数的指数相等，则无需移位；如果两个浮点数的指数不相等，则需要将尾数进行左移或右移，移位的位数为两个指数的差值。
3. 尾数相加在进行尾数移位后，将两个浮点数的尾数进行相加。
相加时要考虑进位的情况，如果相加后的结果超过了尾数的表示范围，则需要进行舍入操作。
4. 舍入在进行浮点数加法运算时，需要进行舍入操作。
舍入操作是根据舍入规则来确定结果的最终值。
常用的舍入规则有四舍五入、向上舍入和向下舍入等。
5. 规格化在得到相加结果后，需要对结果进行规格化处理。
规格化是将结果表示为科学计数法的形式，即将尾数进行左移或右移，直到最高位为1，然后将指数进行相应的调整。
三、浮点数减法运算浮点数减法运算可以转化为浮点数加法运算。
具体而言，将减法转化为加法时，需要将减数取相反数，然后进行相加运算。
1. 取相反数在进行浮点数减法运算时，需要将减数取相反数。
第5讲_浮点数四则运算
二、浮点乘除运算
x = Sx · 2 1. 乘法
jx
y = Sy · 2
jy
x · = (Sx · y)×2 y S
2. 除法
jx+jy
x = Sx × 2jx – jy y Sy
3. 步骤 (1) 阶码采用 补码定点加（乘法）减（除法）运算
(2) 尾数乘除同 定点 运算 (3) 规格化
4. 浮点运算部件 阶码运算部件，尾数运算部件
[Ex]补=00 100 [Ey]补=00 100 [-Ex]补=11 100 [Mx]补=00 0011011011 [My]补=11 01010100
（2）尾数相加 用补码的加法公式 [My]补= 11 01010100 [Mx+My]补=[Mx]补+[My]补 = 00 0011011011+ 11 01010100 =11 1000101011
58二进制形式定点表示浮点规格化形式0001011111定点机中浮点机中当浮点数尾数为时不论其阶码为何值按机器零处理当浮点数阶码等于或小于它所表示的最小10当阶码用移码尾数用补码表示时机器零为电路的实现当阶码和尾数都用补码表示时机器零为ieee754短实数长实数临时实数符号位尾数总位数2332115264156480小数点位置尾数为规格化表示的有效位最高位为1隐含1001对阶
浮点数的阶码通常用补码或移码表示。 移码公式： 把[X]补符号 [X]移= 2n + X -2n≤ X< 2n 位取反即可 得[X]移 移码特点：
（1）0表示负数，1表示正数 （2）只执行加减运算，且需要对得到的结果加以修正，即对 结果的符号位取反。
零的移码唯一
[X]移=10000
浮点数的机内表示有下面二种格式：
python浮点数四则运算与格式输出
python浮点数四则运算与格式输出Python中的浮点数四则运算与格式输出：一、浮点数四则运算Python中的浮点数四则运算与整数一样，包括加、减、乘、除和取模等。
加：使用加号（+）连接两个浮点数即可。
例：a = 1.2 + 2.3减：使用减号（-）连接两个浮点数即可。
例：a = 3.7 - 1.2乘：使用乘号（*）连接两个浮点数即可。
例：a = 1.5 * 2.0除：使用除号（/）连接两个浮点数即可。
例：a = 6.0 / 2.0取模：使用百分号（%）连接两个浮点数即可。
例：a = 5.5 % 2.0二、格式输出Python中的格式输出有很多种方法，包括字符插值、format和f-string等。
字符插值：例：a = 1.23456print("a的值为：%f" %a)print("a的值为：%.2f" %a)输出：a的值为：1.234560a的值为：1.23format方法：例：a = 1.23456print("a的值为：{}".format(a))print("a的值为：{:.2f}".format(a))输出：a的值为：1.23456a的值为：1.23f-string方法：例：a = 1.23456print(f"a的值为：{a}")print(f"a的值为：{a:.2f}")输出：a的值为：1.23456a的值为：1.23以上就是Python中浮点数的四则运算和格式输出的方法。
计算机组成原理：浮点数表示及运算
为便于软件移植，使用 IEEE（电气和电子工程师协会）标准IEEE754 标准：尾数用原码；阶码用“移码”；基为2。
三 、浮点数的标准格式IEEE754
规格化浮点数的真值
x = (-1)s (1.Ｍ) 2Ｅ－127 e =Ｅ – 127
一个浮点数有不同的表示：
二、浮点数规格化
5； 0.05101 ； 0.005 102 ； 50 10-2 为提高数据的表示精度，需做规格化处理。 浮点数是数学中实数的子集合，由一个纯小数乘上一个指数值来组成。 把不满足这一表示要求的尾数，变成满足这一要求的尾数的操作过程，叫作浮点数的规格化处理，通过尾数移位和修改阶码实现。 在计算机内，其纯小数部分被称为浮点数的尾数，对非 0 值的浮点数，要求尾数的绝对值必须 >= 1/2，即尾数域的最高有效位应为1,称满足这种表示要求的浮点数为规格化表示： 1000101010
例：将十进制数-0.75表示成单精度的IEEE 754标准代码。
单精度浮点数编码格式
+0/-0
0
0
0/1
(-1)S× (0.f) ×2(-126)
f (非零)
0
0/1
(-1)S× (1.f) ×2(e-127)
f
1~254
0/1
- ∞
0
255
1
+∞
0
255
0
sNaN Signaling NaN
非零0xxxx
尾数：用定点小数表示，给出有效数字的位数，决定了浮点数的表示精度 阶码：用定点整数形式表示，指明小数点在数据中的位置，决定了浮点数的表示范围。
一个机器浮点数由阶码和尾数及其符号位组成：
最大正数
最小正数
2-5浮点四则运算
一、浮点加减法运算 进行加减法运算要经过 两个浮点数 x= Sx. 2 Ex 和 y= Sy. 2 Ey 进行加减法运算要经过 对阶、尾数运算、规格化、 对阶、尾数运算、规格化、舍入操作和判断结果的正确性五个步骤 x=0.11011011× 0.10101100× 例 x=0.11011011× 2 2 y= - 0.10101100× 2 4 在机器中采用双符号的浮点补码表示 x ：00 010 00 1 101 1011 y: 00 100 1 1 01010100 对阶： 1、对阶：使参加操作的两个操作数的阶码相等 方法：以大的阶码为准，小的阶码向大的阶码对齐； 方法：以大的阶码为准，小的阶码向大的阶码对齐；小 阶码变大，尾数右移。 阶码变大，尾数右移。对于用补码表示的尾数 右移时采用算术右移。 右移时采用算术右移。 (右移出去而保留的附加位 右移出去而保留的附加位） x ：00 100 00 001 101 10 1 1 (右移出去而保留的附加位）
X=0.1001× X=0.1001× 2 3 Y= - 0.1101 × 2 5 在机器中采用双符号的浮点补码表示 [-Sx]补 x ：00 0011 00 1001 [-Sx]补=11 . 0111 y: 00 0101 1 1 0011 1、阶码相加 E=00 0111 2、尾数相乘 3、规格化 00 0000 1 0011 0 S= 11 . 1 000 1 0 11 - 11 0 1 1 1 S= 11 . 000 1 0 11 0 11 0 1 1 1 1 00110 4、舍入 S= 11 . 000 1 0 11 1 （恒1法） → 11 1 0 1 1 1 10011 → 11 1 1 0 1 1 11001 5、检查溢出 无溢出） + 00 1 00 1 E=00 0111 （无溢出） 00 01 10 1 11001 结果 00 0111 11 000 1 0 11 1 → 00 001 1 0 11100 → 00 000 1 1 0 1110 - 11 0 1 1 1 11 1 000 1 0 11 10
浮点数运算方法共69页文档
46、寓形宇内复几时，曷不委心任去 留。
•
47、采菊东篱下，悠然见南山。
Hale Waihona Puke •48、啸傲东轩下，聊复得此生。
•
49、勤学如春起之苗，不见其增，日 有所长 。
•
50、环堵萧然，不蔽风日；短褐穿结 ，箪瓢 屡空， 晏如也 。
浮点数运算方法
16、业余生活要有意义，不要越轨。——华盛顿 17、一个人即使已登上顶峰，也仍要自强不息。——罗素·贝克 18、最大的挑战和突破在于用人，而用人最大的突破在于信任人。——马云 19、自己活着，就是为了使别人过得更美好。——雷锋 20、要掌握书，莫被书掌握；要为生而读，莫为读而生。——布尔沃
END
单片机浮点数计算
在单片机应用系统的数据处理过程中，经常会遇到小数的运算问题，如求解BCD的增量算式、线性化处理等。
因此，需要用二进制数来表示小数。
表示小数的方法一般有两种，定点数和浮点数。
定点数结构简单，与整数的运算过程相同，运算速度快。
但随着所表示数的范围的扩大，其位数成倍增加，给运算和存储带来不便，而且也不能保证相对精度不变。
浮点数的结构相对复杂，但它能够以固定的字节长度保持相对精度不变，用较少的字节表示很大的数的范围，便于存储和运算，在处理的数据范围较大和要求精度较高时，采用浮点数。
浮点数的概念常用的科学计数法来表示一个十进制数如l234.75＝1.23475E3＝1.23475×103在数据很大或很小时，采用科学计数避免了在有效数字前加0来确定小数点的位置，突出了数据的有效数字的位数，简化了数据的表示。
可以认为，科学计数法就是十进制数的浮点数表示方法。
在二进制效中，也可以用类似的方法来表示一个数，如1234.75＝10011010010.11（二进制）＝0.1001101001011×211一般表达式为N=S×2p在这种表示方法中，数值由四个部分组成，即尾数S及符号，阶码P及符号。
在二进制中，通过定义相应字节或位来表示这四部分，就形成了二进制浮点数。
二进制浮点数可以有多种不同的表示方法，下面是一种常见的三字节浮点数的格式：其中尾数占16位，阶码占6位，阶符占1位，数符占1位。
阶码通常用补码来表示。
在这种表示方法中，小数点的实际位置要由阶码来确定，而阶码又是可变的，因此称为浮点数。
1234.75用这种格式的浮点数表示就是：0000 1011 1001 1010 0101 1000用十六进制表示为1234.75＝0B9A58H-1234.75＝4B9A58H0.171875＝043B00H-0.171875＝443B00H三字节浮点数所能表示的最大值为1×263＝9.22×1018能表示的最小数的绝对值为0.5×2-63＝5.42×10－20其所表示的数的绝对值范围＝(5.42×10-20～9．22×1018)，由此可以看到，比三字节定点数表示的数的范围大得多。
浮点数运算
5、浮点数运算* 2Ex， Y=My * 2Ey假定有两个浮点数 X=Mx（1）加减运算实现X±Y运算,需要如下五步:1.1 对阶操作,即比较两个浮点数的阶码值的大小.求△E=Ex-Ey。
当其不等于零时,首先应使两个数取相同的阶码值。
其实现方法是,将原来阶码小的数的尾数右移|△E|位,其阶码值加上|△E|,即每右移一次尾数要使阶码加1,则该浮点数的值不变(但精度变差了)。
尾数右移时,对原码形式的尾数,符号位不参加移位,尾数高位补0;对补码形式的尾数,符号位要参加右移并使自己保持不变。
为减少误差,可用另外的线路,保留右移过程中丢掉的一到几位的高位值,供以后舍入操作使用。
1.2 实现尾数的加(减)运算,对两个完成对阶后的浮点数执行求和(差)操作。
1.3 规格化处理,若得到的结果不满足规格化规则,就必须把它变成规格化的数，规格化处理规则如下:●当结果尾数的两个符号位的值不同时,表明尾数运算结果溢出。
此时应使结果尾数右移一位,并使阶码的值加1,这被称为向右规格化,简称右规。
●当尾数的运算结果不溢出,但最高数值位与符号位同值,表明不满足规格化规则,此时应重复地使尾数左移、阶减减1,直到出现在最高数值位上的值与符号位的值不同为止,这是向左规格化的操作,简称左规。
1.4 舍入操作。
在执行对阶或右规操作时,会使尾数低位上的一位或多位的数值被移掉,使数值的精度受到影响,可以把移掉的几个高位的值保存起来供舍入使用。
舍入的总的原则是要有舍有入,而且尽量使舍和入的机会均等,以防止误差积累。
常用的办法有"0"舍"1"入法,即移掉的最高位为1时则在尾数末位加1;为0时则舍去移掉的数值。
该方案的最大误差为2-（n+1）。
这样做可能又使尾数溢出,此时就要再做一次右规。
另一种方法 "置1"法,即右移时,丢掉移出的原低位上的值,并把结果的最低位置成1。
该方案同样有使结果尾数变大或变小两种可能。
c语言float型变量的运算
c语言float型变量的运算Float型变量是C语言中一种用于表示浮点数的数据类型。
它可以存储小数点后的数值，并进行各种数学运算。
本文将围绕Float型变量的运算展开讨论，包括四则运算、赋值运算、比较运算以及一些常见的运算问题。
一、四则运算四则运算是最基本的数学运算之一，也是在C语言中常用的运算操作。
Float型变量可以进行加法、减法、乘法和除法运算。
1. 加法运算Float型变量的加法运算使用"+"符号表示，例如：float a = 1.5;float b = 2.3;float c = a + b;在上述代码中，变量a和b分别赋值为1.5和2.3，然后将它们相加并将结果赋值给变量c。
最终c的值为3.8。
2. 减法运算Float型变量的减法运算使用"-"符号表示，例如：float a = 5.2;float b = 3.1;float c = a - b;在上述代码中，变量a和b分别赋值为5.2和3.1，然后将b从a中减去，并将结果赋值给变量c。
最终c的值为2.1。
3. 乘法运算Float型变量的乘法运算使用"*"符号表示，例如：float a = 2.5;float b = 1.6;float c = a * b;在上述代码中，变量a和b分别赋值为2.5和1.6，然后将它们相乘并将结果赋值给变量c。
最终c的值为4.0。
4. 除法运算Float型变量的除法运算使用"/"符号表示，例如：float a = 6.0;float b = 2.0;float c = a / b;在上述代码中，变量a和b分别赋值为6.0和2.0，然后将a除以b，并将结果赋值给变量c。
最终c的值为3.0。
二、赋值运算赋值运算是将一个值赋给一个变量的操作，C语言中使用"="符号表示。
对于Float型变量，赋值运算非常简单直接，例如：float a = 2.5;在上述代码中，将2.5赋值给变量a。
5_浮点数表示及运算
计算机组成原理
12
单精度浮点数编码格式
符号位 0/1 0/1 0 1 0/1 0/1 0/1
阶码 255 255 255 255 1~254
0 0
尾数 非零1xxxx 非零0xxxx
0 0
f f (非零)
0
表示
NaN Not a Number sNaN Signaling NaN +∞ -∞ (-1)S× (1.f) 2 × (e-127) (-1)S× (0.f) 2 × (-126) +0/-0
计算机组成原理
10
例: 将十进制数20.59375转换成32位浮点数的二进制格式来存储。
解：首先分别将整数和分数部分转换成二进制数： 20.59375＝10100.10011
然后移动小数点，使其在第1，2位之间 10100.10011＝1.010010011×24 e＝4
于是得到： e =Ｅ – 127
1.隐藏位技术
原码非0值浮点数的尾数数值最高位必定为 1，则在保存浮点数到内存前，
通过尾数左移, 强行把该位去掉, 用同样多的位数能多存一位二进制数， 有利于提高数据表示精度，称这种处理方案使用了隐藏位技术。
当然，在取回这样的浮点数到运算器执行运算时，必须先恢复该隐藏位。
2.阶码用“移码”偏移值127而不是128
计算机组成原理
20
规格化规则
运算结果产生溢出时，必须进行右归 如变形补码结果出现 10.XX 或者 01.XXX
如运算结果出现 0.0XXX或 1.1XX 必须左归 左归时最低数据有效位补0 右归时连同符号位进位位一起右移 左归时，阶码作减法，右归时，阶码作加法
规格化方法
00.0XXXX -- 00.1XXX0 左规
整数计算浮点计算公式
整数计算浮点计算公式浮点计算公式在计算机科学和工程领域中扮演着至关重要的角色。
这些公式用于处理浮点数，即带有小数部分的数字。
在实际应用中，浮点计算公式常常涉及复杂的数学运算，如加减乘除、指数和对数运算等。
本文将探讨浮点计算公式的整数计算方法，并讨论其中的一些常见问题和挑战。
浮点计算公式通常由计算机程序员编写并在计算机中执行。
这些公式可以涉及单精度浮点数（32位）或双精度浮点数（64位），具体取决于计算的精度要求。
在执行这些公式时，计算机需要将浮点数表示为二进制形式，并进行相应的运算。
然而，由于浮点数的特殊性，其运算结果可能会出现误差，这是由于浮点数的有限精度表示所导致的。
为了以整数计算浮点计算公式，我们首先需要将浮点数转换为整数形式。
这可以通过将浮点数乘以某个倍数（如10的n次幂）来实现。
例如，将浮点数3.14乘以100，可以得到整数314。
这样的转换可以帮助我们避免浮点数运算中的精度误差，从而得到更准确的结果。
一种常见的整数计算浮点计算公式的方法是使用定点数表示。
定点数是一种没有小数点的整数表示方法，它可以用于模拟浮点数的运算。
在定点数表示中，我们可以约定一个固定的小数点位置，例如在数值的低位或高位，从而将浮点数表示为整数。
通过这种方式，我们可以在不使用浮点数运算器的情况下，进行浮点数的加减乘除运算。
然而，整数计算浮点计算公式也面临着一些挑战和限制。
首先，定点数表示需要事先确定小数点的位置，这可能会限制计算的范围和精度。
其次，定点数表示对于大范围的数值计算可能会引入溢出或下溢的问题，需要进行适当的处理。
此外，定点数表示还需要额外的运算步骤来处理小数点位置的调整，增加了计算的复杂性和开销。
除了定点数表示外，我们还可以使用整数计算浮点计算公式的其他方法。
例如，我们可以将浮点数表示为分数形式，然后使用整数运算来进行计算。
这种方法可以避免定点数表示的一些限制，但同样需要考虑分数运算中的溢出和精度问题。
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负数应满足 -1/2 > d≥ -1，即 1.0x….x
特例
S =–
1 2
= – 0.100 … 0
[S]原 = 1 . 1 0 0 … 0 [S]补 = 1 . 1 0 0 … 0 ∴ [–
1 2
]补 不是规格化的数
S=–1 [S]补 = 1 . 0 0 0 … 0 ∴ [–1]补 是规格化的数
浮点数的阶码通常用补码或移码表示。 移码公式： 把[X]补符号 [X]移= 2n + X -2n≤ X< 2n 位取反即可 得[X]移 移码特点：
（1）0表示负数，1表示正数 （2）只执行加减运算，且需要对得到的结果加以修正，即对 结果的符号位取反。
零的移码唯一
[X]移=10000
浮点数的机内表示有下面二种格式：
机器中数据的数值范围与精度
数值范围：机器能表示的一个数的最大值与 最小值之间的范围。 数据精度：由尾数的位数决定，尾数位数越 多，可表示精度越高。
浮点数的表示范围
上溢 阶码 > 最大阶玛 下溢 阶码 < 最小阶码 按 机器零 处理 上溢 上溢
负数区
最小负数 m –2( 2 –1)×( 1 – 2–n)
[My]补=11 01010100
[Ex]补=00 011
[Ey]补=00 100 [-Ex]补=11 100 [My]补=11 01010100
[Mx]补=00 11011011
(1)对阶 [Ex—Ey]补=[Ex]补+[—Ey]补=00 010+11 100 =11 110 Ex < Ey，Mx应右移2位， Ex’=00 100 [Mx]补=00 0011011011
解： 设 x = +
二进制形式 定点表示
19 128
x = 0.0010011 x = 0.0010011 000 浮点规格化形式 x = 0.1001100000×2-10 [x]原 = [x]补 = [x]反 = 0.0010011000 定点机中
浮点机中 [x]原 = 1, 0010; 0. 1001100000 [x]补 = 1, 1110; 0. 1001100000 [x]反 = 1, 1101; 0. 1001100000
如字长为12位，数符及阶符各占1位，剩 下的10位分配方案
2 1 7
3
即阶码3位，数码7位。
规格化方法:
尾数为原码表示时，无论正负应满足 1/2 ≦ |d |<1
即：小数点后的第一位数一定要为1。
正数的尾数应为0.1x….x
负数的尾数应为1.1x….x
尾数用补码表示时，小数最高位应与数符符号位相反
[M]补=11 1000101011
（3）规格化 左规，1位 [M ]补=11 0001010110 阶码减1 [E 1]补=[E]补+[ 1]补 =00 100+11 111 =00 011
（4）舍入 [M ]补=11 0001010110 [M’ ]补=11 00010110 ∴ M= 0.11101010 （5）判断有无溢出 [E]补= 00 011 无溢出 ∴X+Y= 2011 • （ 0.11101010 ）
格式1
J3 J2 J1 J0 S0 S-1 S-2 S-3 S-4 S-5 S-6 S-7 阶符 格式2 S0 J3 J2 J1 J0 S-1 S-2 S-3 S-4 S-5 S-6 S-7 数符阶符 阶码 数码 阶码 数符 数码
阶 • 码与数码位数的最佳分配方案
2 1 n
J
n为数码位数，J为阶码位数，取满足该 不等式的最小数
例题：两个浮点数相加 已知：X = 2010 • 0.11011011 Y = 2100 •（ - 0.10101100 ） 均为真值， 求 ：X+Y 要求：阶码用补码计算，尾数用补码计算。
[Ex]补=00 011 [Ey]补=00 100 [-Ex]补=11 100
[Mx]补=00 11011011
当 尾数溢出（ >1）时，需 右规
即尾数出现 01. ×× …×或 10. ×× …×时
（5）舍入 在 对阶 和 右规 过程中，可能出现 尾数 末位丢失，引起误差，需考虑舍入
0 舍 1 入法
恒置 “1” 法
{
（6）检查阶码双符号位判断是否溢出。 阶码没有溢出则结果正确； 阶码下溢时结果为机器0 阶码上溢时，则置溢出标志
整数定点机 –(2n – 1) ~ +( 2n – 1)
补码 反码
– 1 ~ +(1 – 2-n) –(1 – 2-n) ~ +(1 – 2-n)
– 2n ~ +( 2n – 1) –(2n – 1) ~ +( 2n – 1)
2、浮点数
111.011=0.111011×23
定义：小数点位置不固定的数据。 表示形式： 0.5 ≤ |M| < 1 N=M· E R 以补码表示时可以取-1 说明： N为浮点数，M为尾数，常用规格化形式表示， E为阶码，R为基数或底。 0.0011 0.1100 常用的浮点数有两种： （1）单精度（32位），阶码8位，尾数24位 （2）双精度（64位），阶码11位，尾数53位
机器零
当浮点数 尾数为 0 时，不论其阶码为何值 按机器零处理 当浮点数 阶码等于或小于它所表示的最小 数 时，不论尾数为何值，按机器零处理
如 m=4
n = 10
当阶码和尾数都用补码表示时，机器零为 ×, × × × ×； 0. 0 0 … … 0 （阶码 = 16） 1, 0 0 0 0 ； ×.×× … … × 当阶码用移码，尾数用补码表示时，机器零为 0, 0 0 0 0；0. 0 0 … … 0 有利于机器中“ 判 0 ” 电路的实现
第5 讲 浮点数四则运算
定点数和浮点数 浮点数的加减运算
浮点数的乘除运算
一、定点数和浮点数
小数点按约定方式标出 1、定点数
S f S 1S 2 … n S
数 数值部分 符 小数点位置
或
Sf S1S2 … n S
数 符Biblioteka 数值部分小数点位置
定点机 原码
小数定点机 –(1 – 2-n) ~ +(1 – 2-n)
二、浮点数的加减运算
步骤： 1.检测能否简化操作。 判操作数是否为0 尾数为0 阶码下溢
10.0 1 010.01 2 ×0.0101
3 3
2.对阶
例. 2
2 3 ×0.1001
2 ×0.1101
11 0.1
110.1
2 ×0.1101
(1)对阶：使两数阶码相等(小数点实际位置对齐， 尾数对应权值相同)。 (2)对阶规则：小阶向大阶对齐。
解： ∵
214 = 16384
215 = 32768
∴ 15 位二进制数可反映 ±3 万之间的十进制数 215 × 0.××× … … ××
15位
m = 4、5、6 …
满足 最大精度 可取 m = 4，n = 18
3、举例
19 例 将 + 128 写成二进制定点数、浮点数及在定点 机和浮点机中的机器数形式。其中数值部分均取 10 位， 数符取 1 位，浮点数阶码取 5 位（含1位阶符）。
[Ex]补=00 100 [Ey]补=00 100 [-Ex]补=11 100 [Mx]补=00 0011011011 [My]补=11 01010100
（2）尾数相加 用补码的加法公式 [My]补= 11 01010100 [Mx+My]补=[Mx]补+[My]补 = 00 0011011011+ 11 01010100 =11 1000101011
(1) 左规
11.0001 +00.1001 11.1010 Af1Af2 A1
(2) 右规 00.0101
+00.1101 01.0010 Af1Af2
(-1/2除外) 若 Af1Af2A1+Af1Af2A1=1,则左规：
尾数 1，阶码减 1，直到数符和第一数位不同为止 1，阶码加 1
若 Af1⊕Af2=1,则右规： 尾数
下溢
正数区
最大正数 ( 2m–1)×( 1 – 2–n) 2 215 ×( 1 – 2 10)
0
最小正数
m
–2
15
×( 1 – 2 )
-10
2–( 2 –1)×2–n 2-15 × 2 10 最大负数 m –2–( 2 –1)×2–n
–2-15 × 2-10
设 m=4 n =10
练习
设机器数字长为 24 位，欲表示±3万的十进制数， 试问在保证数的最大精度的前提下，除阶符、数符各 取1 位外，阶码、尾数各取几位？
二、浮点乘除运算
x = Sx · 2 1. 乘法
jx
y = Sy · 2
jy
x · = (Sx · y)×2 y S
2. 除法
jx+jy
x = Sx × 2jx – jy y Sy
3. 步骤 (1) 阶码采用 补码定点加（乘法）减（除法）运算
(2) 尾数乘除同 定点 运算 (3) 规格化
4. 浮点运算部件 阶码运算部件，尾数运算部件
(3)对阶操作：小阶阶码增大，尾数右移。 例.AJ>BJ，则BJ+1 BJ，BW，直到BJ=AJ (4)阶码比较：比较线路或减法。
3.尾数加减.
AW + BW AW (2) 0.0101 +0.1101 1.0010 W >1 应右移规格化
4.结果规格化
(1) 1.0001 +0.1001 1.1010 W <1/2 应左移规格化