2-4分布函数
概率论第二章知识点
第二章知识点：1.离散型随机变量：设X 是一个随机变量，如果它全部可能的取值只有有限个或可数无穷个，则称X 为一个离散随机变量。
2.常用离散型分布：（1）两点分布（0-1分布）：若一个随机变量X 只有两个可能取值，且其分布为12{},{}1(01)P X x p P X x pp ====-<<则称X 服从12,x x 处参数为p 的两点分布。
两点分布的概率分布：12{},{}1(01)P X x p P X x pp ====-<<两点分布的期望：()E X p =两点分布的方差：()(1)D X p p =-（2）二项分布： 若一个随机变量X 的概率分布由式{}(1),0,1,...,.k k n k n P x k C p p k n -==-=给出，则称X 服从参数为n,p 的二项分布。
记为X~b(n,p)(或B(n,p)). 两点分布的概率分布：{}(1),0,1,...,.k kn k n P x k C p p k n -==-=二项分布的期望：()E X np =二项分布的方差：()(1)D X np p =-（3）泊松分布：若一个随机变量X 的概率分布为{},0,0,1,2,...!kP X k e k k λλλ-==>=则称X 服从参数为λ的泊松分布，记为X~P (λ)泊松分布的概率分布：{},0,0,1,2,...!kP X k e k k λλλ-==>=泊松分布的期望：()E X λ=泊松分布的方差：()D X λ=4.连续型随机变量：如果对随机变量X 的分布函数F(x)，存在非负可积函数()f x ，使得对于任意实数x ，有(){}()xF x P X x f t dt -∞=≤=⎰，则称X 为连续型随机变量，称()f x 为X 的概率密度函数，简称为概率密度函数。
5.常用的连续型分布： （1）均匀分布：若连续型随机变量X 的概率密度为则称X 在区间（a,b ）上服从均匀分布，记为X~U(a,b)均匀分布的概率密度： 均匀分布的期望：()2a bE X +=均匀分布的方差：2()()12b a D X -=（2）指数分布：若连续型随机变量X 的概率密度为00()0xe xf x λλλ-⎧>>=⎨⎩则称X 服从参数为λ的指数分布，记为 X~e (λ)指数分布的概率密度：00()0xe xf x λλλ-⎧>>=⎨⎩⎪⎩⎪⎨⎧<<-=其它,0,1)(b x a ab x f ⎪⎩⎪⎨⎧<<-=其它,0,1)(bx a ab x f指数分布的期望：1()E X λ=指数分布的方差：21()D X λ=（3）正态分布：若连续型随机变量X 的概率密度为22()21()x f x ex μσ--=-∞<<+∞则称X 服从参数为μ和2σ的正态分布，记为X~N(μ,2σ)正态分布的概率密度：22()21()x f x ex μσ--=-∞<<+∞正态分布的期望：()E X μ=正态分布的方差：2()D X σ=（4）标准正态分布：20,1μσ==2222()()x t xx ex e dt ϕφ---∞=⎰标准正态分布表的使用： （1）0()1()x x x φφ<=--（2）~(0,1){}{}{}{}()()X N P a x b P a x b P a x b P a x b b a φφ<≤=≤≤=≤<=<<=-（3）2~(,),~(0,1),X X N Y N μμσσ-=故(){}{}()X x x F x P X x P μμμφσσσ---=≤=≤={}{}()()a b b a P a X b P Y μμμμφφσσσσ----<≤=≤≤=-定理1： 设X~N(μ,2σ),则~(0,1)X Y N μσ-=6.随机变量的分布函数：设X 是一个随机变量，称(){}F x P X x =≤为X 的分布函数。
第二章 随机变量及其分布(第2讲)
引入随机变量和分布函数，在随机现象与数 学分析之间搭起了桥梁。
学习内容
§2.1 随机变量 §2.2 离散型随机变量及其分布 §2.3 随机变量的分布函数 §2.4 连续型随机变量及其分布 §2.5 随机变量函数的分布
引言
连续型随机变量（random variables of continuous type)
四、几种重要的连续型分布 均匀分1. 布均的匀实分际布背景是： 并概f ( x率且)随=与取⎪⎩⎪⎨⎧机0b这值−1变a个在量小（其x ∈X它区a取[a,,间bb值）] 的在中是 记长区一 为任度个间意成概X（小正~率aU区比密,[ab间度。,)b上内]函，的数.
利用分布函数与概率密度函数之间的关系，可以求得服从均匀 分布的随机变量 X 的分布函数
f
(x)
=
⎪⎧ ⎨
1 3
,
⎪⎩0 ,
0≤ x≤3 其它
∫ ∫ 所求概率 P{0 ≤ X ≤ 2}=
2 f (x )dx =
0
2 0
1 3
dx
=
2 3
四、几种重要的连续型分布
2.指数分布
定义: 若随机变量X的概率密度函数
X
~
f
(
x)
=
⎧λ
⎨
e−λ
x
⎩0
x>0 x≤0
称 X 服从参数为λ的指数分布,记为X~E(λ) (λ>0),
学习内容
§2.1 随机变量 §2.2 离散型随机变量及其分布 §2.3 随机变量的分布函数 §2.4 连续型随机变量及其分布 §2.5 随机变量函数的分布
引言
§2.2节学习的分布律对于非离散型型随 机变量失效
常用分布函数
1常用分布函数11常用分布函数1.1均匀分布X∼U(a,b)U(x|a,b)=xa1b−adt(a≤x≤b),其中，期望E(X)和方差Var(X)分别为：E(X)=a+b 2Var(X)=(b−a)2121.2正态分布X∼N(µ,σ2)标准正态分布X∼N(0,1)：Φ(x)=x−∞φ(t)dt=1√2πx−∞e−t22dt其中，期望E(X)和方差Var(X)分别为：E(X)=0Var(X)=1正态分布X∼N(µ,σ2)：F(x)=x−∞f(t)dt=1√2πσ2x−∞e−(t−µ)22σ2dt其中，期望E(X)和方差Var(X)分别为：E(X)=µVar(X)=σ21常用分布函数2 1.3指数分布X∼e(µ,λ)E(x|µ,λ)=xµλe−λ(t−µ)dt(x≥µ)其中，期望E(X)和方差Var(X)分别为：E(X)=µ+1λVar(X)=1λ21.4Gamma分布X∼Γ(a,b)G(x|a,b)=b aΓ(a)xt a−1e−bt dt(a>0,b>0;x≥0)其中，Γ(a)为Gamma函数：Γ(a)= ∞t a−1e−t dt,且期望E(X)和方差Var(X)分别为：E(X)=a bVar(X)=a b21.5Beta分布X∼β(a,b)I x(a,b)=1B(a,b)xt a−1(1−t)b−1dt其中，B(a,b)为Beta函数：B(a,b)=1t a−1(1−t)b−1dt=B(b,a)=Γ(a)Γ(b)Γ(a+b)1.6χ2分布X∼χ2(n)H(x|n)=12n2Γn2(n为正整数;x>0)其中，期望E(X)和方差Var(X)分别为：E(X)=nVar(X)=2n1常用分布函数3 1.7t分布X∼t(n)T(x|n)=1√nB12,n2X−∞1+t2n−n+12dt(n为正整数;−∞<x<∞),其中，期望E(X)和方差Var(X)分别为：E(X)=0(n>1时),Var(X)=nn−2(n>2时).1.8F分布X∼F(m,n)F(x|m,n)=mnm2Bm2,n2xt m2−11+mtn−m+n2dt (n,n为正整数;x>0),其中，期望E(X)和方差Var(X)分别为：E(X)=nn−2(n>2),Var(X)=2n2(m+n−2)m(n−2)2(n−4)(n>4).。
概率论2-4
概率密度函数的性质(P42)
（1）非负性
f ( x) 0, x (, )
（2）规范性
P{ x } 1
f ( x)dx 1
常利用这两个性质检验 一个函数能否作为连续随 机变量的密度函数。
x
f ( x)
设随机变量X的概率密度为
f ( x) ae
正面图案： 德国数学家、物理学家和天文 学家高斯头像
正态分布的密度函数的性质与图形（P47）
1 2
y
中间高 两边低
-
+
x
对称性 单调性 拐点
关于 x = 对称 （- ，）升，（，+ ）降
1 ( , e ); 2
1，σ对密度曲线的影响
— 位置参数
相同，不同 图形相似，位置平移
１ 2
1 21 1 2 2
1 0.75
— 形状参数 不同， 相同
越小，图形越陡； 2 1.25 越大，图形越平缓
Show[fn1,fn3]
小
0.5
大
0.4 0.3 0.2 0.1
-6
-5
-4
-3
-2
-1
几何意义 数据意义
大小与曲线陡峭程度成反比 大小与数据分散程度成正比
正态分布的分布函数
F ( x)
x 1 e 2 ( x )2 2
2
dx
F(x)
1
1 2
x
正态变量的条件
若随机变量X ① 受众多相互独立的随机因素影响
② 每一因素的影响都是微小的 ③ 且这些正、负影响可以叠加 则称 X 为正态 随机变量 可用正态变量描述的实例极多： 各种测量的误差； 人体的生理特征； 工厂产品的尺寸； 农作物的收获量； 海洋波浪的高度； 金属线抗拉强度； 热噪声电流强度； 学生的考试成绩；
分布函数2-4例题
例题
【例】
解：
【例】
将介绍连续型随机变量。
我们要讨论的问题是相同的，但是它们的描述方法和使用助数学工具却不相同，为此我们将给出密度函数和分布函数的概念。
正态分布是概率论和数理统计中最重要的分布，无论在理论研究和实际应用中它都占有头等重要的地位.
连续型随机变量和密度函数概念
例如：
由分布函数性质很容易看出，密度函数具有下面性质：：
3．则
4．
有
5．
对于连续型随机变量，如果已知分布函数或密度函数中的任一个，可求得另一个函数。
【例】
【例】
解：
由密度函数求分布函数，注意到当密度函数是分段表示的函数时，分布函数也要分段表示，
【例】
解：
对于正态分布，
例题：。
概率论-2-4 随机变量的分布函数
3 F lim F (x) 0; x F lim F (x) 1; x
(4) F(x 0) F(x)，即 F(x) 是右连续的。
设函数F(x)的定义域为I： 如果对于属于I内某个区间上的任意两个自变量 的值x1、x2，当x1>x2时都有F(x1)≥ F(x2),那么就 说 F(x)在这个区间上是增函数 (另一说法为单调不减函数)
数，函数F ( x) P( X x) ，称为 X 的分布函 数，有时也记做 FX (x).
显然，对任意 x1 x2
P(x1 X x2 ) P( X x2 ) P( X x1 ) F (x2 ) F (x1 )
2. 分布函数的性质
(1) 0 F(x) 1;
=
2
当 x 2 时，
F(x) = P(X=0) + P(X=1) + P(X=2) = 1
故
0, x 0
F
(
x)
1 13
, ,
0 x1 1 x 2
2 1, x 2
注意右连续
二、小结
随机变量的分布函数
F (x) P{X x}.
第四节 随机变量的分布函数
一、分布函数的概念及性质 二、小结
一、分布函数的概念及性质
引例
已知随机变量X的分布律为：
X 1 0 1 2 1111
p 4444
求： （1）P(X ≤-2); (2) P(X ≤--1); (3) P(X ≤1.5); (4) P(X ≤3);
1. 定义：设 X是一个随机变量，x 是任意实
如果对于属于I内某个区间上的任意两个自变量 的值x1、x2，当x1>x2时都有F(x1)≤ F(x2).那么就 说F(x)在这个区间上是减函数
2-4_连续型随机变量及其概率密度
1
连续型随机变量及其概率密度
1.定义 定义
设 X 为随机变量 ， F ( x )为 X 的分布函数, 若存在 非负函数f ( x ), 使对于任意实数 x 有 F ( x) = ∫
x −∞
f (t ) d t ,
则称 X 为连续型随机变量, 其中 f ( x ) 称为 X 的概 率密度函数, 简称概率密度.
为离散型随机变量, 若 X 为离散型随机变量
{ X = a } 是不可能事件 ⇔ P{ X = a} = 0.
离 散 型
4
例1
设随机变量 X 具有概率密度
0 ≤ x < 3, kx, x f ( x) = 2 − , 3 ≤ x ≤ 4, 2 0, 其它. (1) 确定常数 k ; (2) 求 X 的分布函数; 7 (3) 求 P{1 < X ≤ }. 2
的正态分布或高斯分布, 记为
X ~ N ( µ , σ 2 ).
22
正态概率密度函数的几何特征
1 ( 2) 当x = µ时, p( x )取得最大值 ; 2 πσ
(1) 曲线关于 x = µ 对称;
(4) 曲线在 x = µ ± σ 处有拐点;
23
(3) 当 x → ±∞ 时, f ( x) → 0;
x 1 −θ k e , f ( x) = θ 0,
x ≥ 0, x < 0.
1 且已知 P{ X > 1} = , 试求常数 θ 2
10
例
设随机变量 X : 0, 2 F ( x) = Ax + B, 1, x ≤ 0, 0 p x ≤ 1, x > 1.
试求常数A，B以及密度函数f(x)。
概率论第二章随机变量以其分布第3节随机变量的分布函数
2 (a b) (2 a) 3 2a b 2 , 3
且 a b 1.
由此解得 a 1 , b 5 . 66
27
因此有
0,
1 ,
F
(
x
)
6 1
,
2
1,
从而 X 的分布律为
X 1
1
P
6
x 1, 1 x 1,
1 x 2, x 2.
分别观察离散型、连续型分布函数的图象，可以看 出，分布函数 F(x) 具有以下基本性质：
10 F (x) 是一个不减的函数．F(x)
即当x2 x1时， 1 F(x2 ) F(x1).
01 2 3
x
返回主目录
证明 由 x1 x2 { X x1} { X x2 },
得 P{X x1} P{X x2}, 又 F ( x1) P{X x1}, F ( x2 ) P{X x2}, 故 F ( x1) F ( x2 ).
（3） 若 x 2 , 则 {X x} 是必然事件，于是
F(x) P{X x} 1.
返回主目录
§3 随机变量的分布函数
0,
F ( x)
x2 4
,
1,
x 0, 0 x 2,
x 2.
F(x) 1
01 2 3
x
返回主目录
§3 随机变量的分布函数
3. 分 布 函 数 的 性 质
x
x
o
x
同样,当 x 增大时 P{ X x}的值也不会减小,而
X (, x), 当 x 时, X 必然落在 (,)内.
o
x
16
§3 随机变量的分布函数
30 F(x 0) F(x), 即 F(x)是右连续的.
麦克斯韦速率分布函数
得到分子通量J.
而从(6)式可以看出：式 中的两个积分内的被积函 数nvxf(vx)dvx和(n/4)vf(v)dv 的地位相当，它们的物理 意义相似，因而在这两者 之间可以进行类比推理。
现在既然(n/4)vf(v)dv在从0 到的区间内积分，也能得到 分子通量 J. 可见 (n/4)vf(v)dv 就表示速率取值在 v到 v+dv间 隔内的气体分子在单位时间内 对单位面积器壁的碰撞次数。 据此处理某些相关问题，有时 往往会比较简捷。
概率乘法定理： 互相独立事件同时 出现的概率等于各 事件单独出现时概 率的积。
五、麦克斯韦速 率分布曲线出现 极大值的点的轨
迹
f(v)=41/2[m/(2kT)]3/2 exp[mv2/(2kT)]v2.
将vp=(2kT/m)1/2代入f(v) 可得：
f(vp)=41/2[m/(2kT)]3/2 exp[mvp2/(2kT)]vp2 =41/2exp[vp2-2]vp-3+2 =41/2e1vp-1.
利用(4)式可以把(2)式 化为
J=(n/4)u =(n/4)0vf(v)dv =0(n/4)vf(v)dv. (5)
由(2)和(5)式可得 0nvxf(vx)dvx=J
=0(n/4)vf(v)dv. (6)
在以上导出(2)式的过程中，
nvxf(vx)dvx 表示速度分量 vx 取 值在 vx 至 vx+dvx 间隔内的气体 分子在单位时间内对单位面积
由此可得：
vpf(vp)=41/2e1 =常量。
这是一条双曲线 的方程。
用麦克斯韦速率分 布函数的约化形式来 求速率分布曲线出现 极大值的点的轨迹， 似乎更简便。
概率论-2-4分布函数
1 2
1
arcsin
x a
,
a xa
1,
xa
（3）随机变量X的密度函数为
f
(x)
F ( x)
1
0,
a2 x2 , a x a 其它.
答案：D
答案：B
答案：A
答案：A
本节练习
习题二：12
F (4) F (2) 1 0 1 5 1 1.
3
63 2
答案：B
四、连续型随机变量的分布函数
已知连续型RV.X的概率密度为f(x)，则其分布
函数为 F(x) P{X x} P{ X x}
f (x)
即有
F
(
x)
x
f
(
x)dx
ox
x
F(x)在点x的函数值，等于曲线f(x)之下，Ox轴的区间
x)
1
x
x
,
x0
0,
x0
（1）求X的概率密度函数 f ( x).
（2）用分布函数求概率
PX 3, P 2 X 5, PX 1.
解 在 x 0 处 F (x) 具有连续导数，故按题设得
f
(
x)
F
(
x)
(1
1 x)2
,
0,
x0 x 0
而在 x 0
时，由
F
(
x)
1
x
x
,
0, F (x) 不可导， 因为
F(x)的图形为 F( x)
1
a
bx
例5 （1）设r.v X服从指数分布，其概率密度为
f ( x) 1 ex ,
0,
求X的分布函数F(x).
分布函数的计算
（三）下侧概率、上侧概率和分位点
下侧概率的定义：
x
F( x) P( X x) p( x)dx
上侧概率的定义：
1 F( x) P( X x) x p( x)dx
利用分布函数我们可以计算随机变量X落在某一范围的概率，或者说我们掌握了该随 机变量的规律了。例如随机变量X小于分位点的概率即下侧概率，大于分位点的概率即上 侧概率。而随机变量落入x1和x2之间的概率可用以下公式计算。
1、密度函数和分布函数
密度函数和分布函数是反映随机变量的总体规律的函数，当 一个变量X在没有抽样之前不知会有什么结果，但结果的范围是 知道的，这样的变量称为随机变量。随机变量可以分为： （1）连续型随机变量 （2）离散型随机变量
（1）连续型随机变量 随机变量的结果空间是实数，例如服从（0，1）上的均匀分布随机数、人体身高随机数 等。 例3.1.1 续型随机变量的例子：
0。5
6
（3）取7个点 Cotes系数为41/840，9/35，9/280，34/105，9/280， 9/35，/41/840
1
xdx 0.430964 0.5
• 复合求积公式
对于一个求积公式，我们要求它们的算法稳定并收敛，但不幸的是 Newton— Cotes 求积公式并不稳定，在某些情况下计算不收敛。
b
f (t)dt
a
f ( xi ) a li (t )dt a Rn (t )dt
i0
（3.1.4) (3.1.5)
从而我们可以得到积分的一般近似公式 :
b
n
f (t)dt
a
Ai f ( xi )
i0
b
其中， Ai a li (t)dt
(3.1.7)称为Newton—Cotes型积分公式， 而Ai 为Cotes系数，其误差为
第二章4随机变量的分布函数
1 2
)
xe 2 f (x) F x 0
x
e
2
2
x 0 x 0
例 5、设随机变量
X 的密度函数为
0 x 1 1 x 2 其它
x f x 2 x 0
试求 X 的分布函数．
x
解： x 0 时， F x 当
( 3 ) F ( ) lim F ( x ) 0 ;
x
F ( ) lim F ( x ) 1
x
( 4 ) F ( x ) 至多有可列个第一类间 处右连续 .
断点，且在间断点
1
F(x)
-1 x
0
1
2
3
0 3
1
2
例1、设随机变量X的分布函数为 F x A Barctgx
0 x 1 1 x 2 其它
x f x 2 x 0
试求 X 的分布函数．
当 x 2 时，
F x
x
f t dt
f t dt f t dt f t dt f t dt
1 2 0 1 2
第二章 第四节 随机 变量的分布函数
§2.4 随机变量的分布函数 本节要点： 分布函数 离散型随机变量的分布函数 连续型随机变量的分布函数
一 分布函数的定义和性质
1 分布函数的定义 定义 设 X 是一个随机变量，x 是任意实数，函数
F ( x ) P{ X x }
x
P { X 3} 1 C5
3
1 10
P { X 4}
随机变量的分布函数(2)
①F(-a)=1- f (x)dx ②F(-a)=12 f (x)dx
0
③F(-a)=F(a)
0
④F(-a)=2F(a)-1
0,
6.(895）设 r.v X的分布函数为 F (x) sin x ,
则P{|X|<π/6}=（
）
1,
x0
0
x
2
x
2
7.设X~
Acos x ,
f (x)
0,
4
例3. 设10件产品中恰好有3件次品，现在接连进行不放回抽样,
每次抽一件，直至抽到正品为至。求 ①抽取次数X的概率分布， ②X的分布函数, ③ P( X=3.5), P( X>-2), P( 1<X<3), P(1<X≤3)
解:(1) X 1 2 3 4
P 7/10 7/30 7/120 1/120
如图:
f(x)
1
0
其它
3
分析: F(-2)=
2
f ( t )dt
=0
FF(1()3) -2 -1 1 2 3 x
F(1)= 1 f ( t )dt 1 1 dt =2/3
1 3
F(3)=
3
f ( t )dt
21 dt
1 3
=1
所以, (1) x<-1时, F(x)= x f ( t )dt x 0dt =0
4. P(x∈A)= P( X xi ) xi A
5. F(x)有可列个间断点,且右连续 P(X=xi)=F(xi)-F(xi-0)
4. P{a<X≤b}=P{a<X<b}
=P{a≤X<b}=P{a≤X≤b}
=F(b)-F(a)=
分布积分例题讲解
分布积分例题讲解一、分布，积分一元函数，一般的是按自变量的取值划分为连续函数和分布函数。
连续函数分布：实数的一切取值；分布：开区间或闭区间上的取值。
一元函数分布可以按下面两个条件进行划分：(1)如果f(x)对任意自变量有且仅有一个极限值，则称这个函数是连续的。
(2)如果存在某个区间，使得当自变量落在这个区间内时，函数有且只有一个极限值，则称这个函数是分布的。
二、性质： 1、连续函数：有极限2、分布函数：有界（有上界） 3、反常分布函数的定义域是全集4、一元函数的反常分布函数是不连续的5、一元函数的反常分布函数必定是无界的。
6、根据定义可知，分布函数必定是有界的。
二、例题：已知函数f(x)=(x^2-1)/x^2+1，f(x)=[x^4+x^6-1]/x^6+1。
(1)当，当，当时，判断该函数的分布函数为什么函数？f(x)=[x^4+x^6-1]/x^6+1， f(x)=[x^4+x^6-1]/x^6+1。
(此题解答略) (2)当，当，当时，如图，画出该函数的反常分布函数。
设为b函数，并求出b函数的单调递增区间。
设为b函数，并求出b函数的单调递增区间。
设为b函数，并求出b函数的单调递增区间。
设为b 函数，并求出b函数的单调递减区间。
(3)当，当，当时，如图，画出该函数的反常分布函数。
(4)当，当，当时，如图，画出该函数的反常分布函数。
(5)当，当，当时，如图，画出该函数的反常分布函数。
当时，如图，画出该函数的反常分布函数。
当时，如图，画出该函数的反常分布函数。
(6)当，当时，如图，画出该函数的反常分布函数。
三、分析与证明： 1、函数的极限：极限又称为局部的极限，是指局部函数值f(x)和整体函数值f(x)，之间的关系。
2、分布函数的性质：分布函数在任何开区间都存在极限，但极限不一定是函数值。
3、一元函数的反常分布函数：一元函数是分布函数的充要条件是存在极限。
4、函数的单调递增区间和单调递减区间：函数在一个有限区间内有无数个单调增加或减少的值，这样的区间叫做函数的单调递增区间，简称单调区间。
11-2-4电子云的角度分布图
z
z
z
+
y
-
－
y +
－+ y
x
Y2p z
z
x
Y2p x
z
x
Y2p y
z
y
y
y
x
Y2 2pz
x
Y2 2p x
x
Y2 2py
虚线部分 pz 轨道的角度分布图
实线部分 pz 电子云的角度分布图
实线部分 虚线部分
原子轨道角度分布图 电子云的角度分布图
z
z
y
y
y
x
Y2 2pz
x
Y2 2p x
Hale Waihona Puke xY2 2py波函数角度与电子云的角度分布图的区别
1) 角度波函数 Yl,m 只与量子数 l，m 有关而与主量子数 n 无关。对于 l，m 相同而 n 不同的状态，波函数和 电子云的角度分布图都分别是相同的。例如，1s、2s、 3s 或者 2px、3px、4px的角度分布图相同，如此类推。
11.2.4 电子云的角度分布图
将 角 度 函 数 的 平 方 Yl,m(, ) 对 角 度 (, )所作的图形称为电子云的角度分布图，
它反映了电子云随角度变化的情况。
p 电子云的角度分布图 m = 0,±1 以2p z为例(m 0)
Y () 3 cos 4π
z
Y 2 () 3 cos2
4π
2) 由于 Y(pz) 值有正负值，故它的图上对应位置分别标 注了正负号，该符号可用于判断共价键的方向性。 而Y2(pz) 值都是正值，故它的图形无正负号之分。
3) 由于Y2(pz) 值小于对应的 Y(pz) 值，所以电子云的角 度分布图比波函数的角度分布图“瘦”些。
气体分子平均速率的计算
气体分子平均速率的计算首先，我们需要了解分子速率分布函数。
分子速率分布函数是描述气体分子速率分布的数学函数，通常用麦克斯韦-玻尔兹曼分布函数来表示。
麦克斯韦-玻尔兹曼分布函数可以描述在给定温度下，不同速率的分子数的分布情况。
麦克斯韦-玻尔兹曼分布函数为：f(v) = (m/2πkT)^(3/2) * 4πv^2 * e^(-mv^2/2kT)其中，f(v)是单位体积内速率在v到v+dv之间的分子数，m是分子质量，k是玻尔兹曼常数，T是气体的绝对温度，e是自然对数的底。
根据麦克斯韦-玻尔兹曼分布函数，我们可以计算分子速率的平均值。
1.计算速率分布函数f(v)在整个速率范围内的积分：∫(f(v)dv) = ∫((m/2πkT)^(3/2) * 4πv^2 * e^(-mv^2/2kT) dv)对上式进行积分计算，得到：= (m/2πkT)^(3/2) * (∫(4πv^2 * e^(-mv^2/2kT) dv))2. 将上述表达式中的函数变换成一个标准形式，便于计算。
考虑到变量代换，令 u = mv^2/2kT，则有：du = (m/2kT) * 2v * dv = (m/kT) * vdv将u的上下限分别代入适当的表达式中，可以将上述积分转化为：= (m/2πkT)^(3/2) * (∫(e^(-u) * (kT/m) * du))3.继续进行积分计算，得到：= (m/2πkT)^(3/2) * ((kT/m) * ∫(e^(-u)du))=(m/2πkT)^(3/2)*((kT/m)*(-e^(-u))+C1)其中，C1是积分常数。
4.考虑到积分范围的上下限，我们可以将C1进行适当的替换，得到：=(m/2πkT)^(3/2)*((kT/m)*(-e^(-u)))5.将u和v的关系代入上式中，我们可以得到平均速率<u>的表达式：<u>=√((8kT/πm))根据上述计算公式，我们可以求解气体分子的平均速率。
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分布函数
一、分布函数的概念
二、分布函数的性质
三、例题讲解
四、小结
一、分布函数的概念
1.概念的引入
对于随机变量X, 我们不仅要知道X 取哪些值, 要知道 X 取这些值的概率 ; 而且更重要的是想知 道 X 在任意有限区间(a,b)内取值的概率. 例如 求随机变量 X 落在区间 ( x1 , x2 ] 内的概率.
例1 X P
0 1 2 3
0.2
0.1
0.3
0.4
求 F (100) F (0.5) F (2.3) F (888) 解
100
2.3
x
888
0
0.5
1
2
3
F (100) P X 100 0 F (0.5) P X 0.5 P X 0 0.2
P{ x1 X x2 } P{ X x2 } P{ X x1 }
?
F ( x2 ) P{ x1 X x2 } F ( x2 ) F ( x1 ).
F ( x1 ) 分布 函数
2.分布函数的定义
定义 设 X 是一个随机变量, x 是任意实数,函数 F ( x ) P{ X x } 称为X的分布函数.
F (2.3) P X 2.3 P X 0 P X 1 P X 2 0.6
F (888) P X 888 P X 0 P X 1 P X 2 P X 3 1
例2 将一枚硬币连掷三次, X 表示“三次中正面 出现的次数 ” 求 X 的分布律及分布函数, 并求下 , 列概率值 P {1 X 3}, P { X 5.5}, P {1 X 3}. 解 设 H 正面 , T 反面 , 则
S HHH , HHT , HTH ,THH , HTT ,THT ,TTH ,TTT ,
因此分布律为
X p 0 1 2 3 1 3 3 1 8 8 8 8
求分布函数
当 x 0时, 当 0 x 1时,
0
1
2
3
x
F ( x ) P{ X x } 0;
1 F ( x ) P{ X x } P{ X 0} pi ; 8 xi 0 当 1 x 2时, F ( x ) P{ X x } P{ X 0} P{ X 1} 1 3 1 pi ; 8 8 2 x i 1
0 0.3 F ( x) 0.5 0.7 1
解 X -1 P 0.3 1
x 1 1 x 1 1 x 2 2 x3 x3
2 3
0.2
0.2
0.3
例5 一个靶子是半径为2m的圆盘,设击中靶上任 一同心圆盘上的点的概率与该圆盘的面积成正比, 并设射击都能中靶,以X表示弹着点与圆心的距离. 试求随机变量 X 的分布函数. 解 当 x 0时, P{ X x }是不可能事件,
于是F ( x ) P{ X x } 0; 当 0 x 2时, P{0 X x } kx 2 , k是常数. 1 由 P{0 X 2} 1, 得 4k 1, 即 k . 4 2 x 因而P {0 X x } . 4
于是
F ( x ) P{ X x }
F ( x ) P{ X x },
F ( x)
1
3 4
14
0, 1 , 4 所以 F ( x ) 3 , 4 1,
x 1, 1 x 2, 2 x 3, x 3.
1
o
2
3
x
由 F ( x ) P{ X x } ,
得 P{ X x1 } P{ X x2 },
故 F ( x1 ) F ( x2 ).
( 3) F ( ) lim F ( x ) 0, F ( ) lim F ( x ) 1;
x
x
(4) lim F ( x ) F ( x0 ), ( x0 ).
X P
x1 p1
x2 p2
… …
xk pk
… …
F (x) =
0 p1 p1 p2 p1 p2 p3
…
x x1 x1 x x2 x2 x x3
x3 x x4
…
p1 p2 ... pk xk x xk 1 … …
例4 设X的分布函数如下,求X的分布律
x x0
即任一分布函数处处右连续.
0, x 0, 1 p , 0 x x , 1 1 p2 F ( x) p2 , x1 x x2 , p1 1, x x2 .
F ( x)
o
x1
x2
x
重要公式
(1) P{a X b} F (b) F (a ), ( 2) P{ X a } 1 F (a ).
若记
t , 0 t 2, f (t ) 2 0, 其它.
x
则 F ( x)
f (t ) d t .
F ( x ) 恰是非负函数 f ( t ) 在区间 ( , x ] 上的积分,
此时称 X 为连续型随机变量.
注意 两类随机变量的分布函数图形的特点不 一样.
F ( 3) F (1) P{ X 3}
4 1 3 1 . 8 8 8
P{ X 5.5} 1 P{ X 5.5}
1 P{ X 5.5} P{ X 5.5}
1 1 0 0.
P{1 X 3} F ( 3) F (1)
证明 因为 { X b} { X a } {a X b},
{ X a } {a X b } ,
所以 P{ X b} P{ X a } P{a X b}, 故 P{a X b} F (b) F (a ).
三、例题讲解
得 1 1 1 PX F , 2 2 4
5 3 5 3 3 1 1 P X F F , 2 2 2 2 4 4 2
P{2 X 3} F ( 3) F ( 2) P{ X 2}
pi 1.
xi 3
x 0, 0, 1 8 , 0 x 1, 所以F ( x ) 4 8 , 1 x 2, 7 8 , 2 x 3, 1, x 3.
P{1 X 3} P{1 X 3} P{ X 3}
3 1 3 1 . 4 2 4
离散型随机变量分布律与分布函数的关系 分布律
ห้องสมุดไป่ตู้pk P { X x k }
分布函数
F ( x ) P{ X x }
xk x
pk
离散型随机变量分布函数的特点:
1、离散型随机变量的分布函数为分段函数， 每段上的取值为常数，其图像为单调不减的阶 梯状图像。 2、离散型随机变量的分布函数是以分布律中 概率取值非零的点为分段点，每段均为左闭右 开的区间。
四、小结
1.离散型随机变量的分布函数
F ( x ) P{ X x }
xi x
pk .
2.分布律与分布函数的关系
说明 (1) 分布函数主要研究随机变量在某一区间内取值 的概率情况.
( 2)分布函数 F ( x ) 是 x 的一个普通实函数.
二、分布函数的性质
(1) 0 F ( x ) 1, x ( , );
( 2) F ( x1 ) F ( x2 ), ( x1 x2 );
证明 由 x1 x2 { X x1 } { X x2 },
4 1 1 . 8 2
78
F ( x)
1
48
18
o
1
2
3
x
例3 设随机变量 X 的分布律为
X
1
1 4
2
1 2
3
1 4 1 3 5 求 X 的分布函数, 并求 P{ X }, P{ X }, 2 2 2 P{2 X 3}.
pk
解 由于 X 仅在 x 1, 2, 3 处概率不为0, 且
x2 P{ X 0} P{0 X x } . 4 当 x 2时,
F ( x ) P{ X x } 1.
故 X 的分布函数为 x 0, 0, 2 x F ( x ) , 0 x 2, 4 其图形为一连续曲线 x 2. 1,
当 2 x 3时,
o
1
2
3
x
F ( x ) P{ X x }
P{ X 0} P{ X 1} P{ X 2} pi xi 2 1 3 3 7 ; 8 8 8 8 当 x 3时,
F ( x ) P{ X x } P{ X 0} P{ X 1} P{ X 2} P{ X 3}