2019版高考数学一轮复习训练第三章三角函数、三角恒等变换及解三角形课时训练

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2019届高考数学(文)大一轮：第3章三角函数、解三角形第3节两角和与差的正弦、余弦和正切公式

第三节两角和与差的正弦、余弦和正切公式1.会用向量的数量积推导出两角差的余弦公式．2．能利用两角差的余弦公式推导出两角差的正弦、正切公式．3．能利用两角差的余弦公式推导出两角和的正弦、余弦、正切公式，导出二倍角的正弦、余弦、正切公式，了解它们的内在联系．4．能运用上述公式进行简单的恒等变换(包括导出积化和差、和差化积、半角公式，但对这三组公式不要求记忆)．知识点一两角和与差的正弦、余弦、正切公式 1．基本公式sin(α±β)＝________， cos(α±β)＝________， tan(α±β)＝________. 2．公式变形(1)tan α±tan β＝________.(2)函数f(α)＝asin α＋bcos α(a ，b 为常数)，可以化为f(α)＝a 2＋b 2sin(α＋φ)⎝ ⎛⎭⎪⎫其中tan φ＝b a 或f(α)＝a 2＋b 2·cos(α－φ)⎝⎛⎭⎪⎫其中tan φ＝a b .答案1．sin αcos β±cos αsin β cos αcos β∓sin αsin β tan α±tan β1∓tan αtan β2．(1)tan(α±β)(1∓tan αtan β)1．sin75°的值为________．解析：sin75°＝sin(45°＋30°)＝sin45°cos30°＋cos45°sin30°＝22×32＋22×12＝6＋24. 答案：6＋242．已知cos α＝－35，α∈⎝ ⎛⎭⎪⎫π2，π，则sin ⎝⎛⎭⎪⎫α＋π3的值是____. 解析：∵cos α＝－35，α∈⎝ ⎛⎭⎪⎫π2，π，∴sin α＝45，∴sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π3＝sin αcos π3＋cos αsin π3＝45×12＋⎝ ⎛⎭⎪⎫－35×32＝4－3310.答案：4－33103．tan20°＋tan40°＋3tan20°tan40°＝________. 解析：∵tan60°＝tan(20°＋40°)＝tan20°＋tan40°1－tan20°tan40°，∴tan20°＋tan40°＝tan60°(1－tan20°tan40°) ＝3－3tan20°tan40°，∴原式＝3－3tan20°tan40°＋3tan20°tan40°＝ 3. 答案： 3知识点二二倍角的正弦、余弦、正切公式 1．基本公式 sin2α＝________.cos2α＝________＝________＝________. tan2α＝________. 2．有关公式的逆用、变形等(1)cos 2α＝________，sin 2α＝________. (2)1＋sin2α＝(sin α＋cos α)2， 1－sin2α＝(sin α－cos α)2， sin α±cos α＝2sin ⎝⎛⎭⎪⎫α±π4. 答案1．2sin αcos α cos 2α－sin 2α 2cos 2α－1 1－2sin 2α 2tan α1－tan 2α 2.(1)1＋cos2α2 1－cos2α24．计算：tan7.5°1－tan 27.5°＝________. 解析：tan7.5°1－tan 27.5°＝12×2tan7.5°1－tan 27.5° ＝12tan15°＝12tan(45°－30°) ＝12×tan45°－tan30°1＋tan45°tan30°＝12×1－331＋33＝2－32. 答案：2－325．(2016·浙江卷)已知2cos 2x ＋sin2x ＝Asin(ωx ＋φ)＋b(A>0)，则A ＝________，b ＝________. 解析：由于2cos 2x ＋sin2x ＝1＋cos2x ＋sin2x ＝2sin(2x ＋π4)＋1，所以A ＝2，b ＝1.答案： 2 1热点一三角公式的正用与逆用【例1】 (1)化简：＋sin θ＋cos θ⎝⎛⎭⎪⎫sin θ2－cos θ22＋2cos θ(0<θ<π)；(2)求值：sin50°(1＋3tan10°)．【解】 (1)由θ∈(0，π)，得0<θ2<π2，∴cos θ2>0，∴2＋2cos θ＝4cos2θ2＝2cos θ2. 又(1＋sin θ＋cos θ)⎝ ⎛⎭⎪⎫sin θ2－cos θ2＝⎝⎛⎭⎪⎫2sin θ2cos θ2＋2cos 2θ2⎝ ⎛⎭⎪⎫sin θ2－cos θ2＝2cos θ2⎝ ⎛⎭⎪⎫sin 2θ2－cos 2θ2＝－2cos θ2cos θ.故原式＝－2cos θ2cos θ2cosθ2＝－cos θ.(2)sin50°(1＋3tan10°) ＝sin50°(1＋tan60°·tan10°)＝sin50°·cos60°cos10°＋sin60°sin10°cos60°cos10°＝sin50°·cos 60°－10°cos60°cos10°＝2sin50°cos50°cos10°＝sin100°cos10°＝cos10°cos10°＝1.(1)求sin7°＋cos15°sin8°cos7°－sin 15°sin8°的值；(2)求tan20°＋4sin20°的值．解：(1)原式＝－＋cos15°sin8°－－sin15°sin8°＝sin15°cos8°cos15°cos8°＝tan15°＝tan(45°－30°)＝tan45°－tan30°1＋tan45°tan30°＝1－331＋33＝3－13＋1＝2－ 3. (2)原式＝sin20°cos20°＋4sin20°＝sin20°＋4sin20°cos20°cos20°＝sin20°＋2sin40°cos20°＝－＋＋cos20°＝32cos10°＋32sin10°cos20°＝332cos10°＋12sin10°cos20°＝3－cos20°＝ 3.热点二三角函数式求值考向1 给值求值【例2】已知α，β均为锐角，且sin α＝35，tan(α－β)＝－13.(1)求sin(α－β)的值； (2)求cos β的值．【解】 (1)∵α，β∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π2，从而－π2<α－β<π2.又∵tan(α－β)＝－13<0，∴－π2<α－β<0.∴sin(α－β)＝－1010.(2)由(1)可得，cos(α－β)＝31010.∵α为锐角，且sin α＝35，∴cos α＝45.∴cos β＝cos[α－(α－β)]＝cos αcos(α－β)＋sin αsin(α－β) ＝45×31010＋35×(－1010)＝91050.1．在本例条件下，求sin(α－2β)的值．解：∵sin(α－β)＝－1010，cos(α－β)＝31010，cos β＝91050，sin β＝131050.∴sin(α－2β)＝sin[(α－β)－β]＝sin(α－β)cos β－cos(α－β)sin β＝－2425.2．若本例中“sin α＝35”变为“tan α＝35”，其他条件不变，求tan(2α－β)的值．解：∵tan α＝35，tan(α－β)＝－13，∴tan(2α－β)＝tan[α＋(α－β)]＝tan α＋α－β1－tan αα－β＝35－131＋35×13＝29.考向2 给值求角【例3】已知α，β∈(0，π)，且tan(α－β)＝12，tan β＝－17，求2α－β的值．【解】 ∵tan α＝tan[(α－β)＋β]＝α－β＋tan β1－α－ββ＝12－171＋12×17＝13>0，∴0<α<π2.又∵tan2α＝2tan α1－tan 2α＝2×131－⎝ ⎛⎭⎪⎫132＝34>0， ∴0<2α<π2，∴tan(2α－β)＝tan2α－tan β1＋tan2αtan β＝34＋171－34×17＝1.∵tan β＝－17<0，∴π2<β<π，－π<2α－β<0，∴2α－β＝－3π4.(1)(2016·新课标全国卷Ⅱ)若cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4－α＝35，则sin2α＝( )A.725B.15C ．－15D ．－725(2)已知cos α＝－1213，cos(α＋β)＝17226，且α∈⎝ ⎛⎭⎪⎫π，3π2，α＋β∈⎝ ⎛⎭⎪⎫3π2，2π，求β的值．解析：(1)因为cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4－α＝cos π4cos α＋sin π4sin α＝22(sin α＋cos α)＝35，所以sin α＋cos α＝325，所以1＋sin2α＝1825，所以sin2α＝－725，故选D. (2)解：∵π<α<3π2，3π2<α＋β<2π，∴0<β<π.又cos α＝－1213，cos(α＋β)＝17226，∴sin α＝－513，sin(α＋β)＝－7226.cos β＝cos[(α＋β)－α]＝17226×⎝ ⎛⎭⎪⎫－1213＋⎝ ⎛⎭⎪⎫－7226×⎝ ⎛⎭⎪⎫－513＝－22，且0<β<π，所以β＝3π4.答案：(1)D热点三三角恒等变换的综合应用【例4】 (2016·天津卷)已知函数 f(x)＝4tanxsin ⎝⎛⎭⎪⎫π2－x cos ⎝⎛⎭⎪⎫x －π3－ 3.(Ⅰ)求f(x)的定义域与最小正周期；(Ⅱ)讨论f(x)在区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π4，π4上的单调性．【解】 (Ⅰ)f(x)的定义域为{x|x≠π2＋k π，k ∈Z}．f(x)＝4tanxcosxcos ⎝⎛⎭⎪⎫x －π3－ 3＝4sinxcos ⎝ ⎛⎭⎪⎫x －π3－3＝4sinx ⎝ ⎛⎭⎪⎫12cosx ＋32sinx － 3＝2sinxcosx ＋23sin 2x －3＝sin2x ＋3(1－cos2x)－ 3 ＝sin2x －3cos2x ＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π3.所以，f(x)的最小正周期T ＝2π2＝π.(Ⅱ)令z ＝2x －π3，函数y ＝2sinz 的单调递增区间是⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π2＋2k π，π2＋2k π，k ∈Z. 由－π2＋2k π≤2x－π3≤π2＋2k π，得－π12＋k π≤x≤5π12＋k π，k ∈Z.设A ＝[－π4，π4]，B ＝{x|－π12＋k π≤x≤5π12＋k π，k ∈Z}，易知A∩B＝[－π12，π4]．所以，当x ∈[－π4，π4]时，f(x)在区间[－π12，π4]上单调递增，在区间[－π4，－π12]上单调递减.已知函数f(x)＝2cos 2ωx －1＋23sin ωxcos ωx(0<ω<1)，直线x ＝π3是函数f(x)的图象的一条对称轴．(1)求函数f(x)的单调递增区间；(2)已知函数y ＝g(x)的图象是由y ＝f(x)的图象上各点的横坐标伸长到原来的2倍，然后再向左平移2π3个单位长度得到的，若g ⎝ ⎛⎭⎪⎫2α＋π3＝65，α∈⎝⎛⎭⎪⎫0，π2，求sin α的值．解：(1)f(x)＝cos2ωx ＋3sin2ωx ＝2sin ⎝⎛⎭⎪⎫2ωx ＋π6，由于直线x ＝π3是函数f(x)＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2ωx ＋π6的图象的一条对称轴，所以sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2π3ω＋π6＝±1.因此2π3ω＋π6＝k π＋π2(k ∈Z)，解得ω＝32k ＋12(k ∈Z)，又0<ω<1，所以ω＝12，所以f(x)＝2sin ⎝⎛⎭⎪⎫x ＋π6.由2k π－π2≤x＋π6≤2k π＋π2(k ∈Z)，得2k π－2π3≤x≤2k π＋π3(k ∈Z)，所以函数f(x)的单调递增区间为⎣⎢⎡⎦⎥⎤2k π－2π3，2k π＋π3(k ∈Z)．(2)由题意可得g(x)＝2sin ⎣⎢⎡⎦⎥⎤12⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋2π3＋π6，即g(x)＝2cos x2，由g ⎝ ⎛⎭⎪⎫2α＋π3＝2cos ⎣⎢⎡⎦⎥⎤12⎝ ⎛⎭⎪⎫2α＋π3＝2cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π6＝65，得cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π6＝35，又α∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π2，故π6<α＋π6<2π3，所以sin ⎝⎛⎭⎪⎫α＋π6＝45，所以sin α＝sin ⎣⎢⎡⎦⎥⎤⎝⎛⎭⎪⎫α＋π6－π6＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π6·cos π6－cos ⎝⎛⎭⎪⎫α＋π6·sin π6＝45×32－35×12＝43－310.求值、化简、证明是三角函数中最常见的题型，其解题一般思路为“五遇六想”即：遇切割，想化弦；遇多元，想消元；遇差异，想联系；遇高次，想降次；遇特角，想求值；想消元，引辅角．“五遇六想”作为解题经验的总结和概括，操作简便，十分有效．其中蕴含了一个变换思想(找差异，抓联系，促进转化)，两种数学思想(转化思想和方程思想)，三个追求目标(化为特殊角的三角函数值，使之出现相消项或相约项)，三种变换方法(切割化弦法，消元降次法，辅助元素法)．三角恒等变换中的解题策略三角恒等变换位于三角函数与数学变换的结合点，其公式多、变法活的特点使不少同学在学习此知识点时感到困难重重，力不从心．本文介绍了几种常用的三角恒等变换中的解题策略，旨在帮助大家全面、系统地了解和掌握三角变换中的常规思路与基本技巧，促进同学们的推理能力和运算能力的提升．策略1 从角入手，寻找关系好解题解有关三角函数的题目时，要特别注意角与角之间的关系，只要明确了其中的关系，解题就完成了一半．【例1】已知α为锐角，且cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π6＝35，则sin α＝________. 【解析】解法1：cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π6＝32cos α－12sin α＝35，①又sin 2α＋cos 2α＝1，② 由①可得cos 2α＝13⎝⎛⎭⎪⎫sin α＋652，代入②并整理得100sin 2α＋60sin α－39＝0，解得sin α＝43－310，或sin α＝－43＋310(舍)．解法2：因为α为锐角，即α∈⎝⎛⎭⎪⎫0，π2，所以α＋π6∈⎝ ⎛⎭⎪⎫π6，2π3，则sin ⎝⎛⎭⎪⎫α＋π6＝1－cos 2⎝⎛⎭⎪⎫α＋π6＝45，所以sin α＝sin ⎣⎢⎡⎦⎥⎤⎝⎛⎭⎪⎫α＋π6－π6＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π6cos π6－cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π6sin π6＝43－310.【答案】43－310【点评】不少同学习惯用解法1，却往往因运算量大而出现了各种问题；解法2抓住了α＝⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π6－π6这一关系，减少了运算量，使求解轻松简捷．策略2 从函数名入手，化切为弦助解题在有关三角函数的题目中，当正弦(余弦)与正切“相遇”时，可采用化切为弦的方法，即将正切转化为正弦(余弦)．【例2】求1＋cos20°2sin20°－sin10°⎝ ⎛⎭⎪⎫1tan5°－tan5°.【解】因为1tan5°－tan5°＝cos5°sin5°－sin5°cos5°＝cos 25°－sin 25°sin5°cos5°＝2cos10°sin10°，所以原式＝2cos 210°4sin10°cos10°－sin10°·2co s10°sin10°＝cos10°2sin10°－sin20°sin10°＝cos10°2sin10°－－sin10° ＝cos10°2sin10°－cos10°－3sin10°2sin10°＝3sin10°2sin10°＝32. 策略3 从结构入手，存同化异探思路三角恒等变换中的公式较多，每个公式都有其固有的结构．解题时要善于从结构入手，存同化异，寻求结构形式的统一．【例3】 (1)已知3sin β＝sin(2α＋β)，α≠k π＋π2，α＋β≠k π＋π2(k ∈Z)．求证：tan(α＋β)＝2tan α；(2)已知cosxcosy ＝12，求sinxsiny 的取值范围．【解】 (1)证明：由3sin β＝sin(2α＋β)得3sin[(α＋β)－α]＝sin[(α＋β)＋α]，即3sin(α＋β)cos α－3cos(α＋β)sin α＝sin(α＋β)cos α＋cos(α＋β)sin α，整理可得sin(α＋β)cos α＝2cos(α＋β)·sin α. 因为α≠k π＋π2，α＋β≠k π＋π2(k ∈Z)，所以cos(α＋β)·cos α≠0，则有tan(α＋β)＝2tan α.(2)设p ＝sinxsiny ，则cos(x －y)＝cosxcosy ＋sinxsiny ＝12＋p ，cos(x ＋y)＝cosxcosy －sinxsiny ＝12－p. 因为|cos(x±y)|≤1，所以－1≤12＋p≤1，且－1≤12－p≤1，解得－12≤p≤12. 【点评】题(1)由条件向结论靠拢，从统一角的结构入手，顺利完成解题；题(2)从结构的相似(部分相似)展开联想，寻找解题突破口，亦成功解题．这两个方法都是值得重视的、从结构入手解题的常用方法．策略4 “先化简后求值”与“先局部后整体”“先化简后求值”本是初中数学中的一种题型，这里将其引申为一种解题策略．这种策略能简化解题过程，有事半功倍之功效；“先局部后整体”，则与之相反，虽其方法略显笨拙，但其逐个“击破”的策略却能降低解题难度，且解题方向明确，也是一个不错的思路．【例4】已知0<x<π4，sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4－x ＝513，求 cos2x cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4＋x 的值．【解】解法1(先化简后求值)：原式＝cos 2x －sin 2x22－＝2(cosx ＋sinx)＝2cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4－x ， ∵0<x<π4，∴0<π4－x<π4，则原式＝21－sin 2⎝ ⎛⎭⎪⎫π4－x ＝2413. 解法2(先局部后整体)：cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4＋x ＝cos ⎣⎢⎡⎦⎥⎤π2－⎝ ⎛⎭⎪⎫π4－x ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4－x ＝513. 下面从两个角度求cos2x ：角度1：cos2x ＝sin ⎝⎛⎭⎪⎫π2－2x ＝sin ⎣⎢⎡⎦⎥⎤2⎝ ⎛⎭⎪⎫π4－x ＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4－x cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4－x ；角度2：cos2x ＝cos 2x －sin 2x ＝(cosx －sinx)·(cosx＋sinx)＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4－x ·2cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4－x ＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4－x cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4－x . ∵0<x<π4，∴0<π4－x<π4，则cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4－x ＝1－sin 2⎝ ⎛⎭⎪⎫π4－x ＝1213，故cos2x ＝2×513×1213＝120169. 所以cos2x cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4＋x ＝120169÷513＝2413. 【点评】采用“先化简后求值”解题简捷流畅，采用“先局部后整体”解题思路简单，条理清晰．两种方法各有千秋，都是值得我们重视的好方法.。

2019版高考数学一轮复习训练：第三章三角函数、三角恒等变换及解三角形课时训练

2
阴影部分所示
) ．∴ x ∈
2k
π
＋π6
，
2k π
＋
5π 6
(k ∈ Z) ．
6. 若 420°角的终边所在直线上有一点 ( －4， a) ，则 a 的值为 ________．
答案：－ 4 3
a 解析：由三角函数的定义有 tan 420 °＝－ 4. 又 tan 420 °＝ tan (360 °＋ 60° ) ＝ tan
x
2＋
，所以 16
1
x
5x＝
2 ，解得 x ＝－ 3，所以 tan x ＋16
α
44
＝
x＝－
. 3
5. 函数 y＝ 2sin x － 1的定义域为 ________．
答案：
2k
π
＋
π 6
，
2k
π
＋5π6
(k ∈ Z)
1 解析：∵ 2sin x－1≥0，∴ sin x≥ . 由三角函数线画出 x 满足条件的终边范围 ( 如图
3
3
坐标 xA＝－ 5. 由三角函数的定义可得 cos α ＝－ 5.
sin α － cos α 3. 已知角 α 的终边经过点 P(2 ，－ 1) ，则 sin α ＋ cos α ＝ ________．
答案：－ 3
1
2
sin α－ cos α
解析：由题意得
sin
α ＝－
，cos α ＝ 5
，所以 5
5
5
5
5
22 ∴ 2sin α ＋ cos α ＝或－ .
55
9. 已知 2 弧度的圆心角所对的弦长为 2，那么这个圆心角所对的弧长是 __________ ． 2

【精品】2019版高考数学一轮复习课时规范练三角恒等变换理北师大版

课时规范练22 三角恒等变换基础巩固组1.函数f(x)=(sin x+cos x)(cos x-sin x)的最小正周期是()A. B.π C. D.2π2.已知sin,则cos=()A. B. C. D.3.(2018云南民族中学一模)已知tan α=2,则的值是()A. B.- C. D.4.(2018四川成都七中模拟)已知sin,则cos=()A.-B.-C.D.5.已知f(x)=sin2x+sin x cos x,则f(x)的最小正周期和一个递增区间分别为()A.π,[0,π]B.2π,C.π,D.2π,6.(2018黑龙江高考仿真(三))已知sin+sin α=-,则cos=()A.-B.-C.D.7.(2018全国第一次大联考)已知sin,则sin-cos的值为.8.设f(x)=+sin x+a2sin的最大值为+3,则实数a=.9.设α为锐角,若cos,则sin的值为.10.(2018湖北百所重点校联考)设α∈,满足sin α+cos α=.(1)求cos的值;(2)求cos的值.综合提升组11.已知函数f(x)=sin(ωx+φ)+1的图像的相邻两对称轴之间的距离为π,且在x=时取得最大值2,若f(α)=,且<α<,则sin的值为()A. B.- C. D.-12.已知α∈,cos-sin α=,则sin的值是()A.-B.-C.D.-13.(2018湖南长郡中学一模,17改编)已知函数f(x)=2sin x cos2+cos x sin φ-sin x(0<φ<π)在x=π处取最小值.则φ的值为.14.(2018安徽合肥二模)已知a=(sin x,cos x),b=(cos x,-cos x),函数f(x)=a·b+.(1)求函数y=f(x)图像的对称轴方程;(2)若方程f(x)=在(0,π)上的解为x1,x2,求cos(x1-x2)的值.创新应用组15.已知m=,若sin 2(α+γ)=3sin 2β,则m=()A.-1B.C.D.216.函数y=sin α+cos α-4sin αcos α+1,且=k,<α≤,(1)把y表示成k的函数f(k);(2)求f(k)的最大值.参考答案课时规范练22 三角恒等变换1.B f(x)= 2sin×2cos=2sin,故最小正周期T==π,故选B.2.A由题意sin=,∴cos=cos 2=1-2sin2=1-2×=.故选A.3.D∵tan α=2,∴======.4.B由题意sin=sin=-sin,所以sin=-,由于cos=cos=-cos=-cos=2sin2-1=2×-1=-,故选B.5.C由f(x)=sin2x+sin x cos x=+sin 2x=+-=+sin,则T==π.又2kπ-≤2x-≤2kπ+(k∈Z),∴kπ-≤x≤kπ+(k∈Z)为函数的递增区间.故选C.6.D∵sin+sin α=sincos α+cossin α+sin α=-,∴sin α+cos α=-,即sin α+cos α=-.∴sin=-.故cos=cos=-sin=.7. sin-cos=sin-cos 2=-sin+cos 2=-sin+1-2sin2=-+1-=.8.±f(x)=+sin x+a2sin=cos x+sin x+a2sin=sin+a2sin=(+a2)sin.依题意有+a2=+3,则a=±.9. ∵α为锐角,cos=,∴sin=,∴sin=2sincos=,cos=2cos2-1=,∴sin=sin=sin-cos=.10.解 (1)∵sin α+cos α=,∴sin=.∵α∈,∴α+∈,∴cos=.(2)由(1)可得cos=2cos2-1=2×-1=.∵α∈,∴2α+∈,∴sin=.∴cos=cos=coscos+sinsin=.11.D由题意,T=2π,即T==2π,即ω=1.又当x=时,f(x)取得最大值,即+φ=+2kπ,k∈Z,即φ=+2kπ,k∈Z.∵0<φ≤,∴φ=,∴f(x)=sin+1.∵f(α)=sin+1=,可得sin=.∵<α<,可得<α+<π,∴cos=-.∴sin=2sin·cos=2××=-.故选D.12.B由cos-sin α=,可得cos α-sin α=,cos α-sin α=,cos=.∵α∈,∴α+∈,sin=,sin=sin=sin-cos==-,故选B.13. f(x)=2sin x·+cos x sin φ-sin x=sin x+sin x cos φ+cos x sin φ-sin x=sin x cos φ+cos x sin φ=sin(x+φ).因为函数f(x)在x=π处取最小值,所以sin(π+φ)=-1,由诱导公式知sin φ=1,因为0<φ<π,所以φ=.14.解 (1)f(x)=a·b+=(sin x,cos x)·(cos x,-cos x)+=sin x·cos x-cos2x+=sin 2x-cos 2x=sin.令2x-=kπ+,得x=+π(k∈Z),即y=f(x)的对称轴方程为x=+π(k∈Z).(2)由条件知sin=sin=>0,且0<x1<<x2<,易知(x1,f(x1))与(x2,f(x2))关于x=对称,则x1+x2=,∴cos(x1-x2)=cos=cos=cos=sin=.15.D∵sin 2(α+γ)=3sin 2β,∴sin[(α+γ+β)-(β-α-γ)]=3sin[(α+γ+β)-(α+γ-β)],∴sin(α+γ+β)cos(β-α-γ)-cos(α+γ+β)sin(β-α-γ)=3sin(α+γ+β)cos(α+γ-β)-3cos(α+γ+β)sin(α+γ-β),即-2sin(α+γ+β)cos(α+γ-β)=-4cos(α+γ+β)sin(α+γ-β),∴tan(α+γ+β)=tan(α+γ-β),故m==2,故选D.16.解 (1)∵k====2sin αcos α,∴(sin α+cos α)2=1+2sin αcos α=1+k.∵<α≤,∴sin α+cos α>0.∴sin α+cos α=.∴y=-2k+1.由于k=2sin αcos α=sin 2α,<α≤,∴0≤k<1.∴f(k)=-2k+1(0≤k<1).(2)设=t,则k=t2-1,1≤t<.∴y=t-(2t2-2)+1,即y=-2t2+t+3(1≤t<).∵关于t的二次函数在区间[1,)内是减少的,∴t=1时,y取最大值2.。

2019版高考数学一轮复习第一部分基础与考点过关第三章三角函数三角恒等变换及解三角形学案

第三章三角函数、三角恒等变换及解三角形第1课时任意角和弧度制及任意角的三角函数1. (必修4P 10习题9改编)小明从家步行到学校需要15 min ，则这段时间内钟表的分针走过的角度是________．答案：－90°解析：利用定义得分针是顺时针走的，形成的角是负角．又周角为360°，所以360°60×15＝90°，即分针走过的角度是－90°.2. (必修4P 10习题4改编)若角θ的终边与角4π5的终边相同，则在[0，2π)内终边与角θ2的终边相同的角的集合为__________________．(用列举法表示) 答案：⎩⎨⎧⎭⎬⎫2π5，7π5解析：由题意θ＝4π5＋2k π(k∈Z )，∴θ2＝2π5＋k π(k∈Z )．由0≤θ2<2π，即0≤2π5＋k π<2π知－25≤k<85，k ∈Z .∴ k ＝0或1.故在[0，2π)内终边与角θ2的终边相同的角的集合为⎩⎨⎧⎭⎬⎫2π5，7π5. 3. (必修4P 9例3改编)已知扇形的面积为2，扇形圆心角的弧度数是4，则扇形的周长为__________．答案：6解析：设扇形的半径为R ，则12R 2α＝2，∴12R 2×4＝2.而R 2＝1，∴ R ＝1，∴扇形的周长为2R ＋α·R＝2＋4＝6.4. 已知角θ的终边经过点P(8，m ＋1)，且sin θ＝35，则m ＝________．答案：5解析：sin θ＝m ＋182＋（m ＋1）2＝35，解得m ＝5. 5. 函数y ＝lg(2cos x －1)的定义域为____________．答案：⎝⎛⎭⎪⎫2k π－π3，2k π＋π3(k∈Z ) 解析：∵ 2cos x －1＞0，∴ cos x ＞12.利用三角函数线画出x 满足条件的终边范围(如图阴影部分所示)，∴ x ∈⎝⎛⎭⎪⎫2k π－π3，2k π＋π3(k∈Z )．1. 任意角(1) 角的概念的推广①按旋转方向不同分为正角、负角、零角． ②按终边位置不同分为象限角和轴线角． (2) 终边相同的角终边与角α相同的角可写成α＋k·360°(k∈Z )． (3) 弧度制① 1弧度的角：长度等于半径长的弧所对的圆心角叫做1弧度的角．②规定：正角的弧度数为正数，负角的弧度数为负数，零角的弧度数为零，|α|＝lr，l是以角α作为圆心角时所对圆弧的长，r 为半径．③弧度与角度的换算：360°＝2π rad ；180°＝π rad ；1°＝π180 rad ；1 rad ＝180π度．④弧长公式：l ＝|α|r ．扇形面积公式：S 扇形＝12lr ＝12|α|r 2．2. 任意角的三角函数(1) 任意角的三角函数的定义设P(x ，y)是角α终边上任意一点，且|PO|＝r(r ＞0)，则有sin α＝y r ，cos α＝xr，tan α＝yx，它们都是以角为自变量，以比值为函数值的函数．(2) 三角函数在各象限内的正值口诀是：Ⅰ全正、Ⅱ正弦、Ⅲ正切、Ⅳ余弦． (3) 特殊角的三角函数值续表3.设角α的顶点在坐标原点，始边与x轴非负半轴重合，终边与单位圆相交于点P，过点P作PM垂直x轴于点M，则点M是点P在x轴上的正射影．由三角函数的定义知，点P的坐标为(cos_α，sin_α)，其中cos α＝OM，sin α＝MP，单位圆与x轴的正半轴交于点A，单位圆在A点的切线与α的终边或其反向延长线相交于点T，则tan α＝AT．我们把有向线段OM，MP，AT叫做α的余弦线、正弦线、正切线．[备课札记], 1象限角及终边相同的角), 1) (1) 已知α＝－2 017°，则与角α终边相同的最小正角为________，最大负角为________．(2) (必修4P 10习题12改编)已知角α是第三象限角，试判断：①π－α是第几象限角？② α2是第几象限角？③ 2α的终边在什么位置？(1) 答案：143° －217° 解析：α可以写成－6×360°＋143°的形式，则与α终边相同的角可以写成k·360°＋143°(k∈Z )的形式．当k ＝0时，可得与角α终边相同的最小正角为143°，当k ＝－1时，可得最大负角为－217°.(2) 解：①∵ α是第三象限角，∴ 2k π＋π<α<2k π＋3π2，k ∈Z .∴－2k π－π2<π－α<－2k π，k ∈Z .∴π－α是第四象限角．②∵ k π＋π2<α2<k π＋3π4，k ∈Z ，∴α2是第二或第四象限角． ③∵ 4k π＋2π<2α<4k π＋3π，k ∈Z ，∴ 2α的终边在第一或第二象限或y 轴非负半轴上．变式训练(必修4P 10习题5改编)终边在直线y ＝3x 上的角的集合可表示为____________．答案：⎩⎨⎧⎭⎬⎫x|x ＝k π＋π3，k ∈Z 解析：直线y ＝3x 经过第一象限、第三象限，直线的倾斜角为π3，则终边在该直线上的角的集合为{x|x ＝k π＋π3，k ∈Z }．, 2 三角函数的定义), 2) (1) 点P 是始边与x 轴的正半轴重合、顶点在原点的角θ的终边上的一点，若|OP|＝2，θ＝60°，则点P 的坐标是__________；(2) (2017·泰州模拟)已知角α的终边过点P(－8m ，－6sin 30°)，且cos α＝－45，则m 的值为________．答案：(1) (1，3) (2) 12解析：(1) 设点P 的坐标为(x ，y)，由三角函数的定义，得sin 60°＝y2，cos 60°＝x2，所以x ＝2cos 60°＝1，y ＝2sin 60°＝3，故点P 的坐标为(1，3)． (2) ∵ r＝64m 2＋9，∴ cos α＝－8m 64m 2＋9＝－45，∴ m ＞0，∴4m 264m 2＋9＝125，即m ＝12.变式训练(2017·无锡期末)已知角α的终边与单位圆的交点为P ⎝ ⎛⎭⎪⎫－12，y ，则sin α·tan α＝________．答案：－32解析：由OP 2＝14＋y 2＝1，得y 2＝34，y ＝±32.当y ＝32时，sin α＝32，tan α＝－3，此时sin α·tan α＝－32. 当y ＝－32时，sin α＝－32，tan α＝3，此时sin α·tan α＝－32., 3 三角函数的符号及判定), 3) 点A(sin 2 017°，cos(－2 017°))位于第________象限．答案：三解析：因为2 017°＝5×360°＋217°是第三象限角，所以sin 2 017°＜0.又－2 017°＝－6×360°＋143°是第二象限角，所以cos(－2 017°)＜0，所以点A(sin 2 017°，cos(－2 017°))位于第三象限．变式训练下列判断正确的是________．(填序号)① sin 300°＞0；② cos(－305°)＜0；③ tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫－223π＞0；④ sin 10＜0. 答案：④解析：300°＝360°－60°，则300°是第四象限角；－305°＝－360°＋55°，则－305°是第一象限角；－223π＝－8π＋23π，则－223π是第二象限角；因为3π＜10＜72π，所以10是第三象限角．故sin 300°＜0，cos(－305°)＞0，tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫－223＜0，sin 10＜0，④正确．, 4 弧长公式与扇形面积公式), 4) 扇形AOB 的周长为8 cm.(1) 若这个扇形的面积为3 cm 2，求圆心角的大小；(2) 求这个扇形的面积取得最大值时圆心角的大小和弦长AB. 解：设扇形AOB 的半径为r cm ，弧长为l cm ，圆心角为α，(1) 由题意可得⎩⎪⎨⎪⎧2r ＋l ＝8，12lr ＝3，解得⎩⎪⎨⎪⎧r ＝3，l ＝2或⎩⎪⎨⎪⎧r ＝1，l ＝6，∴α＝l r ＝23或6.(2) ∵ 2r＋l ＝8，∴ S 扇＝12lr ＝14l ·2r ≤14·⎝ ⎛⎭⎪⎫l ＋2r 22＝14×⎝ ⎛⎭⎪⎫822＝4(cm 2)，当且仅当2r ＝l ，即α＝lr＝2时，扇形面积取得最大值，∴ r ＝2，∴弦长AB ＝2×2sin 1＝4sin 1(cm)．备选变式（教师专享）已知扇形的周长是 4 cm ，则扇形面积最大时，扇形的圆心角的弧度数是________；扇形的圆心角所对的弦长为________cm.答案： 2 2sin 1解析：设此扇形的半径为r cm ，弧长为l cm ，则2r ＋l ＝4，面积S ＝12rl ＝12r(4－2r)＝－r 2＋2r ＝－(r －1)2＋1，故当r ＝1时S 最大，这时l ＝4－2r ＝2 cm.从而α＝l r ＝21＝2.扇形的圆心角所对的弦长为2sin 1 cm.1. 若tan(α＋45°)<0，则sin α，cos α，sin 2α，cos 2α中一定为负数的是__________．答案：cos 2α解析：∵ tan(α＋45°)<0，∴ k ·180°－135°<α<k ·180°－45°，∴ k ·360°－270°<2α<k ·360°－90°，∴ cos 2α<0.2. (2017·苏州期末)已知角θ的终边经过点P(4，m)，且sin θ＝35，则m ＝________．答案：3解析：sin θ＝m 16＋m 2＝35，解得m ＝3. 3. 若α＝k·360°＋θ，β＝m·360°－θ(k ，m ∈Z )，则下列关于角α与β的终边的位置关系的说法正确的是________．(填序号)① 重合；② 关于原点对称；③ 关于x 轴对称；④ 关于y 轴对称．答案：③解析：显然角α与角θ的终边相同，角β与角－θ的终边相同，而θ与－θ的终边关于x 轴对称，故说法正确的是③.4. 已知一扇形的圆心角为α (α>0)，扇形所在圆的半径为R.(1) 若α＝90°，R ＝10 cm ，求扇形的弧长及该弧所在的弓形的面积；(2) 若扇形的周长是一定值C cm(C>0)，当α为多少弧度时，该扇形有最大面积？解：(1) 设弧长为l ，弓形面积为S 弓，又α＝90°＝π2，R ＝10，则l ＝π2×10＝5π(cm)，S 弓＝S 扇－S 三角形＝12×5π×10－12×102＝25π－50 (cm 2)．(2) 扇形周长C ＝2R ＋l ＝(2R ＋αR)cm ，∴ R ＝C2＋αcm ，∴ S 扇＝12α·R 2＝12α·⎝ ⎛⎭⎪⎫C 2＋α2＝C 2α2·14＋4α＋α2＝C 22·14＋α＋4α≤C 216. 当且仅当α2＝4，即α＝2时，扇形面积有最大值C 216cm 2.1. 给出下列命题：①第二象限角大于第一象限角；②三角形的内角是第一象限角或第二象限角；③不论用角度制还是用弧度制度量一个角，它们与扇形所在半径的大小无关；④若sin α＝sin β，则α与β的终边相同； ⑤若cos θ<0，则θ是第二或第三象限的角．其中正确的命题是________．(填序号) 答案：③解析：由于第一象限角370°大于第二象限角100°，故①错；当三角形的内角为90°时，其既不是第一象限角，也不是第二象限角，故②错；③正确；正弦值相等，但角的终边不一定相同，故④错；当θ＝π时，cos θ＝－1<0，θ既不是第二象限角，也不是第三象限角，故⑤错．综上可知，只有③正确．2. 已知角θ的顶点与原点重合，始边与x 轴的正半轴重合，终边在直线y ＝2x 上，则cos 2θ＝________．答案：－35解析：取终边上一点(a ，2a )(a≠0)，根据任意角的三角函数定义，可得cos θ＝±55，故cos 2θ＝2cos 2θ－1＝－35.3. (2017·扬州一中月考改编)已知角α的终边与单位圆x 2＋y 2＝1交于点P ⎝ ⎛⎭⎪⎫12，y 0，则cos α＝________．答案：12解析：∵ r＝1，∴ cos α＝x r ＝12.4. (2017·苏北四市期末)已知角α的终边经过点(3a －9，a ＋2)，且cos α≤0，sin α>0，则实数a 的取值范围是________．答案：(－2，3]解析：∵ cos α≤0，sin α>0，∴角α的终边落在第二象限或y 轴的正半轴上． ∴⎩⎪⎨⎪⎧3a －9≤0，a ＋2>0，∴－2<a≤3.1. (1) 要求适合某种条件且与已知角终边相同的角，其方法是先求出与已知角终边相同的角的一般形式，再根据条件解方程或不等式．(2) 已知角α的终边所在的直线方程，则可先设出终边上一点的坐标，求出此点到原点的距离，然后用三角函数的定义来求相关问题．若直线的倾斜角为特殊角，也可直接写出角．2. 已知角α终边上一点P 的坐标，则可先求出点P 到原点的距离r ，然后用三角函数的定义求解α的三角函数值．3. 弧度制下的扇形的弧长与面积公式，比角度制下的扇形的弧长与面积公式要简洁得多，用起来也方便得多．因此，我们要熟练地掌握弧度制下扇形的弧长与面积公式．4. 利用单位圆解有关三角函数的不等式(组)的一般步骤 (1) 用边界值定出角的终边位置． (2) 根据不等式(组)定出角的范围． (3) 求交集，找单位圆中公共的部分． (4) 写出角的表达式．第2课时同角三角函数的基本关系式与诱导公式(对应学生用书(文)、(理)51～52页)1. 已知sin α＝14，且α∈⎝ ⎛⎭⎪⎫π2，π，则tan α＝__________．答案：－1515解析：由sin α＝14，α∈⎝ ⎛⎭⎪⎫π2，π，得cos α＝－154，则tan α＝sin αcos α＝－1515.2. (必修4P 20练习2改编)sin(－585°)的值为__________．答案：22解析：sin(－585°)＝－sin 585°＝－sin(360°＋225°)＝－sin 225°＝－sin(180°＋45°)＝sin 45°＝22.3. (2017·苏北四市摸底)已知sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫5π2＋α＝15，则cos α的值为________．答案：15解析：∵ sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫5π2＋α＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2＋α＝cos α，∴ cos α＝15. 4. (必修4P 23习题11改编)已知tan α＝2，则2sin α－cos αsin α＋cos α＝__________．答案：1解析：因为tan α＝2，所以2sin α－cos αsin α＋cos α＝2tan α－1tan α＋1＝2×2－12＋1＝1.5. (必修4P 21例4改编)若sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6－α＝13，则cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π3＋α＋cos 2⎝ ⎛⎭⎪⎫5π6＋α＝__________．答案：119解析：∵ sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6－α＝13，∴ sin ⎣⎢⎡⎦⎥⎤π2－⎝ ⎛⎭⎪⎫π3＋α＝13，∴ cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π3＋α＝13.∴ cos 2⎝ ⎛⎭⎪⎫5π6＋α＝1－sin 2⎝ ⎛⎭⎪⎫5π6＋α＝1－sin 2⎝⎛⎭⎪⎫π＋α－π6 ＝1－sin 2⎝ ⎛⎭⎪⎫π6－α＝1－19＝89.∴ cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π3＋α＋cos 2⎝ ⎛⎭⎪⎫5π6＋α＝13＋89＝119.1. 同角三角函数的基本关系(1) 平方关系：sin 2α＋cos 2α＝1．(2) 商数关系：tan_α＝sin αcos α.2. 诱导公式k ·2±α(k∈Z )与α的三角函数关系的记忆规律：奇变偶不变，符号看象限．, 1 同角三角函数的基本关系式), 1) (必修4P 23习题20改编)已知－π2<x<0，sin x ＋cos x ＝15.(1) 求sin 2x －cos 2x 的值；(2) 求tan x2sin x ＋cos x的值．解：由sin x ＋cos x ＝15，得1＋2sin xcos x ＝125，则2sin xcos x ＝－2425.∵－π2<x<0，∴ sin x<0，cos x>0，即sin x －cos x<0.则sin x －cos x ＝－sin 2x －2sin xcos x ＋cos 2x ＝－1＋2425＝－75.(1) sin 2x －cos 2x ＝(sin x ＋cos x)(sin x －cos x) ＝15×⎝ ⎛⎭⎪⎫－75＝－725.(2) 由⎩⎪⎨⎪⎧sin x ＋cos x ＝15，sin x －cos x ＝－75，得⎩⎪⎨⎪⎧sin x ＝－35，cos x ＝45，则tan x ＝－34.即tan x 2sin x ＋cos x ＝－34－65＋45＝158. 变式训练(2017·盐城模拟)已知sin αcos α＝18，且5π4<α<3π2，则cos α－sin α的值为________．答案：32解析：∵ 5π4<α<3π2，∴ cos α<0，sin α<0，且cos α>sin α，∴ cos α－sinα>0.又(cos α－sin α)2＝1－2sin αcos α＝1－2×18＝34，∴ cos α－sin α＝32. , 2) (必修4P 23习题12(2)改编)化简： (1＋sin α1－sin α－1－sin α1＋sin α)·(1＋cos α1－cos α－1－cos α1＋cos α)．解：原式＝[（1＋sin α）2cos 2α－（1－sin α）2cos 2α]·[（1＋cos α）2sin 2α－（1－cos α）2sin 2α]＝(1＋sin α|cos α|－1－sin α|cos α|)·(1＋cos α|sin α|－1－cos α|sin α|)＝2sin α|cos α|·2cos α|sin α|＝⎩⎪⎨⎪⎧4，α在第一、三象限时，－4，α在第二、四象限时. 备选变式（教师专享）若α为第二象限角，则cos α1＋tan 2α＋sin α1＋1tan 2α＝________．答案：0解析：原式＝cosαsin 2α＋cos 2αcos 2α＋sinαsin 2α＋cos 2αsin 2α＝cos α1|cos α|＋sin α1|sin α|.因为α是第二象限角，所以sin α＞0，cos α＜0，所以cos α1|cos α|＋sin α1|sin α|＝－1＋1＝0，即原式等于0., 2 诱导公式及其运用), 3) 已知sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π6＝13，则sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x －5π6＋sin 2⎝ ⎛⎭⎪⎫π3－x 的值为__________．答案：59解析：由诱导公式得sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x －5π6＝－sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π6＝－13，sin 2⎝ ⎛⎭⎪⎫π3－x ＝cos 2⎝⎛⎭⎪⎫x ＋π6＝89，则sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x －5π6＋sin 2⎝ ⎛⎭⎪⎫π3－x ＝89－13＝59.变式训练已知cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6－θ＝a(|a|≤1)，则cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫5π6＋θ＋sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2π3－θ＝__________．答案：0解析：由题意知，cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫5π6＋θ＝cos ⎣⎢⎡⎦⎥⎤π－⎝ ⎛⎭⎪⎫π6－θ＝－cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6－θ＝－a. sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2π3－θ＝sin ⎣⎢⎡⎦⎥⎤π2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫π6－θ＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6－θ＝a ，∴ cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫5π6＋θ＋sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2π3－θ＝0., 3 同角三角函数的基本关系与诱导公式的综合应用), 4) (1) 设tan(5π＋α)＝m ，求sin （α－3π）＋cos （π－α）sin （－α）－cos （π＋α）的值；(2) 在△ABC 中，若sin(2π－A)＝－2sin(π－B)，3cos A ＝－2cos(π－B)，求△ABC 的三个内角．解：(1) 由tan(5π＋α)＝m ，得tan α＝m ，∴sin （α－3π）＋cos （π－α）sin （－α）－cos （π＋α）＝－sin α－cos α－sin α＋cos α＝tan α＋1tan α－1＝m ＋1m －1.(2) 由已知得⎩⎨⎧sin A ＝2sin B ， ①3cos A ＝2cos B ， ②①2＋②2得2cos 2A ＝1，即cos A ＝±22. (ⅰ) 当cos A ＝22时，cos B ＝32. 又∵ A，B 是三角形的内角，∴ A ＝π4，B ＝π6，∴ C ＝π－(A ＋B)＝7π12.(ⅱ) 当cos A ＝－22时，cos B ＝－32. 又∵ A，B 是三角形的内角，∴ A ＝3π4，B ＝5π6，不合题意．综上知，A ＝π4，B ＝π6，C ＝7π12.变式训练 (1) (2017·江西联考)已知tan(π－α)＝－23，且α∈⎝⎛⎭⎪⎫－π，－π2，求cos （－α）＋3sin （π＋α）cos （π－α）＋9sin α的值；(2) 在△ABC 中，若sin(3π－A)＝2sin(π－B)，cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫3π2－A ＝2cos(π－B)．试判断三角形的形状．解：(1) 由已知得tan α＝23，cos （－α）＋3sin （π＋α）cos （π－α）＋9sin α＝cos α－3sin α－cos α＋9sin α＝1－3tan α－1＋9tan α＝1－3×23－1＋9×23＝－15.(2) 由题设条件，得sin A ＝2sin B ，－sin A ＝－2cos B ， ∴ sin B ＝cos B ，∴ tan B ＝1.∵ B ∈(0，π)，∴ B ＝π4，∴ sin A ＝2×22＝1. 又A∈(0，π)，∴ A ＝π2，∴ C ＝π4.∴△ABC 是等腰直角三角形．1. 已知cos 31°＝a ，则sin 239°·tan 149°的值是________．答案：1－a 2解析：sin 239°·tan 149°＝sin(270°－31°)·tan(180°－31°)＝(－cos31°)·(－tan 31°)＝sin 31°＝1－a 2.2. 已知α为锐角，且tan(π－α)＋3＝0，则sin α的值是________．答案：31010解析：(解法1)由tan(π－α)＋3＝0，得tan α＝3，即sin αcos α＝3，sin α＝3cos α，所以sin 2α＝9(1－sin 2α)，10sin 2α＝9，sin 2α＝910.因为α为锐角，所以sin α＝31010.(解法2)因为α为锐角，且tan(π－α)＋3＝0，所以－tan α＋3＝0即tan α＝3.在如图所示的直角三角形中，令∠A＝α，BC ＝3，则AC ＝1，所以AB ＝32＋12＝10，故sin α＝310＝31010.3. (2017·南通调研)已知sin θ＋cos θ＝43，θ∈⎝⎛⎭⎪⎫0，π4，则sin θ－cos θ＝________．答案：－23解析：∵ sin θ＋cos θ＝43，∴ 2sin θcos θ＝79，∴ (sin θ－cos θ)2＝1－2sin θcos θ＝29，∴ sin θ－cos θ＝23或－23.∵θ∈⎝⎛⎭⎪⎫0，π4，∴ sin θ<cos θ，∴ sin θ－cos θ＝－23.4. 已知sin 2θ＋4cos θ＋1＝2，则(cos θ＋3)(sin θ＋1)的值为__________．答案：4解析：因为sin 2θ＋4cos θ＋1＝2，所以sin 2θ＋4＝2cos θ＋2，即cos 2θ＋2cos θ－3＝0，解得cos θ＝1或cos θ＝－3(舍去)．由cos θ＝1得sin θ＝0，故(cos θ＋3)(sin θ＋1)＝4.1. 已知sin(3π－α)＝－2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2 ＋α，则sin αcos α＝__________．答案：－25解析：因为sin(3π－α)＝sin(π－α)＝－2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2＋α，所以sin α＝－2cos α，所以tan α＝－2，所以sin αcos α＝sin αcos αsin 2α＋cos 2α＝tan αtan 2α＋1＝－25. 2. 已知cos(－80°)＝k ，那么tan 100°＝__________．答案：－1－k2k解析：因为cos(－80°)＝cos 80°＝k ，所以sin 80°＝1－cos 280°＝1－k 2.所以tan 100°＝－tan 80°＝－sin 80°cos 80°＝－1－k2k.3. (2017·盐城调研)若3sin α＋cos α＝0，则1cos 2α＋2sin αcos α＝________．答案：103解析：∵ 3sin α＋cos α＝0，且cos α≠0，∴ tan α＝－13，∴1cos 2α＋2sin αcos α＝cos 2α＋sin 2αcos 2α＋2sin αcos α＝1＋tan 2α1＋2tan α＝1＋⎝ ⎛⎭⎪⎫－1321－23＝103. 4. (2017·南京、盐城模拟)已知cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫5π12＋α＝13，且－π<α<－π2，则cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π12－α＝________．答案：－223解析：因为⎝ ⎛⎭⎪⎫5π12＋α＋⎝ ⎛⎭⎪⎫π12－α＝π2，所以cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π12－α＝sin ⎣⎢⎡⎦⎥⎤π2－⎝ ⎛⎭⎪⎫π12－α＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫5π12＋α.因为－π＜α＜－π2，所以－7π12＜α＋5π12＜－π12.又cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫5π12＋α＝13＞0，所以－π2＜α＋5π12＜－π12，所以sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫5π12＋α＝－1－cos 2⎝ ⎛⎭⎪⎫5π12＋α＝－1－⎝ ⎛⎭⎪⎫132＝－223.1. 利用平方关系解决问题时，要注意开方运算结果的符号，需要根据角α的范围进行确定．2. 应熟练应用诱导公式．诱导公式的应用原则是：负化正、大化小、化到锐角为终了．诱导公式的应用是求任意角的三角函数值，其一般步骤：① 负角变正角，再写成2k π＋α(k∈Z )，0≤α＜2π的形式；② 转化为锐角．3. 同角三角函数基本关系可用于统一函数；诱导公式主要用于统一角，其主要作用是进行三角函数的求值、化简和证明，如已知一个角的某一三角函数值，求这个角的其他三角函数值时，要特别注意平方关系的使用．4. 三角求值、化简是三角函数的基础，在求值与化简时，常用方法有：①弦切互化法：主要利用公式tan x ＝sin x cos x 进行切化弦或弦化切，如asin x ＋bcos xcsin x ＋dcos x，asin 2x ＋bsin xcos x ＋ccos 2x 等类型可进行弦化切．②和积转换法：如利用(sin θ±cos θ)2＝1±2sin θcos θ的关系进行变形、转化．③注意变角技巧：如32π＋α为π＋⎝ ⎛⎭⎪⎫π2＋α或2π－⎝ ⎛⎭⎪⎫π2－α等． ④巧用“1”的变换：1＝sin 2θ＋cos 2θ＝cos 2θ(1＋tan 2θ)＝sin 2θ⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋1tan 2θ＝tan π4＝…5. 在△ABC 中常用到以下结论： sin(A ＋B)＝sin(π－C)＝sin C ， cos(A ＋B)＝cos(π－C)＝－cos C ， tan(A ＋B)＝tan(π－C)＝－tan C ，sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫A 2＋B 2＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2－C 2＝cos C 2， cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫A 2＋B 2＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2－C 2＝sin C 2.[备课札记]第3课时三角函数的图象和性质(对应学生用书(文)、(理)53～55页)1. (2017·南京期初)若函数f(x)＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫ωx ＋π6(ω＞0)的最小正周期为π，则f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π3的值是________．答案：12解析：由题意，得2πω＝π，所以ω＝2，f(x)＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π6.因此f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π3＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2π3＋π6＝sin 5π6＝12.2. 将函数f(x)＝2sin 2x 的图象上每一点向右平移π6个单位，得到函数y ＝g(x)的图象，则g(x)＝____________．答案：2sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x －π3 解析：将函数f(x)＝2sin 2x 的图象上每一点向右平移π6个单位，得到函数g(x)＝2sin2⎝ ⎛⎭⎪⎫x －π6＝2sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x －π3的图象．本题主要考查三角函数的图象变换(平移变换)．3. 已知函数y ＝2cos x 的定义域为⎣⎢⎡⎦⎥⎤π3，π，值域为[a ，b]，则b －a 的值是__________．答案：3解析：因为x∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤π3，π，所以cos x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤－1，12，所以y ＝2cos x 的值域为[－2，1]，所以b －a ＝3.4. 函数f(x)＝sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x －π3的单调递增区间为________．答案：⎣⎢⎡⎦⎥⎤k π－π12，k π＋5π12(k∈Z )解析：由2k π－π2≤2x －π3≤2k π＋π2，k ∈Z ，得k π－π12≤x ≤k π＋5π12，k ∈Z .故所求函数的单调递增区间为⎣⎢⎡⎦⎥⎤k π－π12，k π＋5π12(k∈Z )． 5. (必修4P 45习题9改编)电流强度I(A)随时间t(s)变化的函数I ＝Asin(ωt ＋φ)⎝⎛⎭⎪⎫A>0，ω>0，0<φ<π2的部分图象如图所示，则当t ＝1100 s 时，电流强度是__________A.答案：－5解析：由图象知A ＝10，T 2＝4300－1300＝1100，∴ω＝2πT＝100π.∴ I ＝10sin(100πt＋φ).⎝ ⎛⎭⎪⎫1300，10为五点中的第二个点，∴ 100π×1300＋φ＝π2.∴φ＝π6.∴ I ＝10sin(100πt ＋π6)，当t ＝1100s 时，I ＝－5 A.1. 周期函数的定义周期函数的概念：对于函数y ＝f(x)，如果存在一个非零的常数T ，使得当x 取定义域内的每一个值时，f(x ＋T)＝f(x)都成立，那么称y ＝f(x)为周期函数；函数y ＝Asin(ωx＋φ)和y ＝Acos(ωx ＋φ)的周期均为T ＝2π|ω|；函数y ＝Atan(ωx ＋φ)的周期为T ＝π|ω|三角函数的图象和性质3. “五点法”作图在确定正弦函数y ＝sin x 在[0，2π]上的图象形状时，起关键作用的五个点是(0，0)， ⎛⎭⎪⎫π2，1，(π，0)， ⎛⎭⎪⎫3π2，－1，(2π，0)．余弦函数呢？4. 函数 y ＝Asin(ωx ＋φ)的特征若函数y ＝Asin(ωx ＋φ) (A ＞0，ω＞0，x ∈(－∞，＋∞))表示一个振动量时，则A叫做振幅，T ＝2πω叫做周期，f ＝1T叫做频率，ωx ＋φ叫做相位，φ叫做初相．[备课札记], 1“五点法”与“变换法”作图), 1) (必修4P 40练习7改编)已知函数f(x)＝2sin(ωx ＋π3)(ω＞0)的周期为π.(1) 用“五点法”作出它在长度为一个周期的闭区间上的图象；(2) 说明函数f(x)的图象可由y ＝sin x 的图象经过怎样的变换而得到．解：∵ T＝π，∴2πω＝π，即ω＝2.∴ f(x)＝2sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x ＋π3.(1) 令X ＝2x ＋π3，则y ＝2sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x ＋π3＝2sin X. 列表如下：(2) (解法1)把y ＝sin x 的图象上所有点向左平移π3个单位，得到y ＝sin ⎝⎛⎭⎪⎫x ＋π3的图象；再把y ＝sin ⎝⎛⎭⎪⎫x ＋π3的图象上所有点的横坐标变为原来的12(纵坐标不变)，得到y ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π3的图象；最后把y ＝sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x ＋π3的图象上所有点的纵坐标变为原来的2倍(横坐标不变)，即可得到y ＝2sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x ＋π3的图象． (解法2)将y ＝sin x 的图象上每一点的横坐标x 变为原来的12，纵坐标不变，得到y ＝sin 2x 的图象；再将y ＝sin 2x 的图象向左平移π6个单位，得到y ＝sin 2⎝⎛⎭⎪⎫x ＋π6＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π3的图象；再将y ＝sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x ＋π3的图象上每一点的横坐标保持不变，纵坐标变为原来的2倍，得到y ＝2sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x ＋π3的图象．备选变式（教师专享）已知f(x)＝cos(ωx ＋φ)⎝ ⎛⎭⎪⎫ω>0，－π2<φ<0的最小正周期为π，且f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4＝32. (1) 求ω和φ的值；(2) 在给定坐标系中作出函数f(x)在[0，π]上的图象；(3) 若f(x)>22，求x 的取值范围．解：(1) 周期T ＝2πω＝π，∴ω＝2.∵ f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫2×π4＋φ＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2＋φ＝－sin φ＝32.又－π2<φ<0，∴φ＝－π3. (2) 由(1)得f(x)＝cos ⎝⎛⎭⎪⎫2x －π3，列表如下：(3)∵ cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π3>22，∴ 2k π－π4<2x －π3<2k π＋π4，∴ 2k π＋π12<2x<2k π＋7π12， ∴ k π＋π24<x<k π＋7π24，k ∈Z ，∴ x 的取值范围是⎩⎨⎧x ⎪⎪⎪⎭⎬⎫k π＋π24<x<k π＋7π24，k ∈Z .,2 三角函数的性质)●典型示例2已知函数f(x)＝2sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x ＋π4＋1. (1) 求f(x)的最小正周期和单调递增区间；(2) 求f(x)在区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π2上的最大值和最小值；(3) 求f(x)图象的一条对称轴和一个对称中心，使得它们到y 轴的距离分别最小．【思维导图】【规范解答】解：(1) 函数f(x)的最小正周期为T ＝2π2＝π. 令－π2＋2k π≤2x ＋π4≤π2＋2k π(k∈Z )，解得－3π8＋k π≤x ≤π8＋k π(k∈Z )，所以函数f(x)的单调递增区间为⎣⎢⎡⎦⎥⎤－3π8＋k π，π8＋k π(k∈Z )． (2) 当x∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π2时，2x ＋π4∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤π4，5π4.由正弦函数y ＝sin x 在⎣⎢⎡⎦⎥⎤π4，5π4上的图象知，当2x ＋π4＝π2，即x ＝π8时，f(x)取最大值2＋1；当2x ＋π4＝5π4，即x ＝π2时，f(x)取最小值0.综上，f(x)在⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π2上的最大值为2＋1，最小值为0.(3) 令2x ＋π4＝π2＋k π(k∈Z )，解得x ＝π8＋k π2(k∈Z )，所以当k ＝0时，直线x ＝π8是所有对称轴中最靠近y 轴的．令2x ＋π4＝k π(k∈Z )，解得x ＝－π8＋k π2(k∈Z )，所以当k ＝0时，⎝ ⎛⎭⎪⎫－π8，1是所有对称中心中最靠近y 轴的，所以所求的对称轴为直线x ＝π8，对称中心为⎝ ⎛⎭⎪⎫－π8，1. 【精要点评】对于三角函数f(x)＝Asin(ωx ＋φ)的性质(定义域、单调性、对称性、最值或值域等)问题，通常用换元的方法，令t ＝ωx ＋φ，将其转化为函数y ＝Asin t ，再进行其性质的研究．●总结归纳解有关三角函数性质的问题，通常需先将函数转化为f(x)＝Asin(ωx ＋φ)的形式，再用研究复合函数的单调性、值域的方法利用正弦函数的图象和性质来处理．若ω<0，还需先利用诱导公式转化为f(x)＝Asin(ωx ＋φ)(ω>0)的形式，再将ωx ＋φ看成整体，利用正弦函数y ＝sin x 的性质进行求解．●题组练透1. 将函数y ＝sin 2x 的图象向左平移φ(φ＞0)个单位，若所得的图象过点⎝ ⎛⎭⎪⎫π6，32，则φ的最小值为__________．答案：π6解析：易知y ＝sin 2(x ＋φ)，即y ＝sin(2x ＋2φ)．∵ 图象过点⎝⎛⎭⎪⎫π6，32，∴ sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π3＋2φ＝32，∴π3＋2φ＝π3＋2k π或π3＋2φ＝2π3＋2k π，k ∈Z ，即φ＝k π或φ＝π6＋k π，k ∈Z .∵φ>0，∴φ的最小值为π6.Ｋ2. 设函数y ＝sin ⎝⎛⎭⎪⎫ωx ＋π3(0＜x ＜π)，当且仅当x ＝π12时，y 取得最大值，则正数ω的值为__________．答案：2解析：当x ＝π12时，令ωx ＋π3＝π2，则正数ω＝2.3. 函数f(x)＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π4在区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π2上的最小值为________．答案：－22解析：由已知x∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π2，得2x －π4∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π4，3π4，所以sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π4∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤－22，1，故函数f(x)＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π4在区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π2上的最小值为－22. 4. 设函数f(x)＝2sin ⎝⎛⎭⎪⎫ωx ＋φ＋π3⎝ ⎛⎭⎪⎫ω＞0，|φ|＜π2的最小正周期为π，且满足f(－x)＝－f(x)．(1) 求函数f(x)的单调递增区间；(2) 当x∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π2时，试求y ＝f ⎝⎛⎭⎪⎫x －π6的最值，并写出取得最值时自变量x 的值．解：(1) 因为f(x)的最小正周期为π，所以T ＝2πω＝π，解得ω＝2.又f(－x)＝－f(x)，所以f(0)＝0，所以sin ⎝⎛⎭⎪⎫φ＋π3＝0.又|φ|＜π2，所以φ＝－π3，所以ω＝2，φ＝－π3，所以f(x)＝2sin 2x.则2x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤2k π－π2，2k π＋π2(k∈Z )，解得函数f(x)的单调递增区间为⎣⎢⎡⎦⎥⎤k π－π4，k π＋π4(k∈Z )． (2) 当x∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π2时，2x －π3∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π3，2π3，y ＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫x －π6＝2sin 2⎝⎛⎭⎪⎫x －π6＝2sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x －π3. 当2x －π3＝π2，即x ＝5π12时，f(x)取得最大值2；当2x －π3＝－π3，即x ＝0时，f(x)取得最小值－ 3., 3 根据图象和性质确定函数y ＝Asin(ωx ＋φ)的解析式), 3) 设函数f(x)＝Asin(ωx ＋φ)(A ＞0，ω＞0，－π2＜φ＜π2，x∈R )的部分图象如图所示．(1) 求函数y ＝f(x)的解析式；(2) 当x∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π2，π2时，求f(x)的取值范围．解：(1) 由图象知，A ＝2. 又T 4＝5π6－π3＝π2，ω＞0，所以T ＝2π＝2πω，得ω＝1.所以f(x)＝2sin(x ＋φ)，将点⎝ ⎛⎭⎪⎫π3，2代入，得π3＋φ＝π2＋2k π(k∈Z )，即φ＝π6＋2k π(k∈Z )．又－π2＜φ＜π2，所以φ＝π6.所以f(x)＝2sin ⎝⎛⎭⎪⎫x ＋π6.(2) 当x∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π2，π2时，x ＋π6∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π3，2π3，所以sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π6∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤－32，1，即f(x)∈[－3，2]．变式训练已知函数f(x)＝2sin ⎝⎛⎭⎪⎫ωx ＋φ－π6(0＜φ＜π，ω＞0)为偶函数，且函数y ＝f(x)图象的两相邻对称轴间的距离为π2.(1) 求f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π8的值； (2) 将函数y ＝f(x)的图象向右平移π6个单位后，再将得到的图象上各点的横坐标变为原来的4倍，纵坐标不变，得到函数y ＝g(x)的图象，求g(x)的解析式，并写出g(x)的单调递减区间．解：(1) ∵ f(x)为偶函数，∴φ－π6＝k π＋π2，k ∈Z ，解得φ＝2π3＋k π，k ∈Z .∵ 0＜φ＜π，∴φ＝2π3.由题意得2πω＝2×π2，解得ω＝2.故f(x)＝2cos 2x ，f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π8＝2cos π4＝ 2. (2) 将f(x)的图象向右平移π6个单位后，得到f ⎝⎛⎭⎪⎫x －π6的图象，再将所得图象上各点的横坐标伸长到原来的4倍，纵坐标不变，得到f ⎝ ⎛⎭⎪⎫x 4－π6的图象，所以g(x)＝f(x 4－π6)＝2cos ⎣⎢⎡⎦⎥⎤2⎝ ⎛⎭⎪⎫x 4－π6＝2cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫x 2－π3. 当2k π≤x 2－π3≤2k π＋π(k∈Z )，即4k π＋2π3≤x ≤4k π＋8π3(k∈Z )时，g(x)单调递减．因此g(x)的单调递减区间为[4k π＋2π3，4k π＋8π3](k∈Z )．, 4 三角函数的应用), 4) (必修4P 42例2改编)如图，一个水轮的半径为4 m ，水轮圆心O距离水面2 m ，已知水轮每分钟转动5圈，如果当水轮上点P 从水中浮现时(图中点P 0)开始计算时间．(1) 将点P 距离水面的高度z(m)表示为时间t(s)的函数； (2) 点P 第一次到达最高点大约需要多少时间？解：(1) 建立如图所示的直角坐标系，设角φ⎝ ⎛⎭⎪⎫－π2<φ<0是以Ox 为始边，OP 0为终边的角．OP 每秒钟内所转过的角为5×2π60＝π6.则OP 在t(s)内所转过的角为π6t.由题意可知水轮逆时针转动，得z ＝4sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6t ＋φ＋2. 当t ＝0时，z ＝0，得sin φ＝－12，即φ＝－π6.故所求函数解析式为z ＝4sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6t －π6＋2.(2) 令z ＝4sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6t －π6＋2＝6，得sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6t －π6＝1.令π6t －π6＝π2，得t ＝4，故点P 第一次到达最高点大约需要4 s. 备选变式（教师专享）如图为一个缆车示意图，该缆车半径为4.8 m ，圆上最低点与地面距离为0.8 m ，且60 s 转动一圈，图中OA 与地面垂直，以OA 为始边，逆时针转动θ角到OB ，设B 点与地面间的距离为h.(1) 求h 与θ之间的函数解析式； (2) 设从OA 开始转动，经过t s 后到达OB ，求h 与t 之间的函数解析式，并求缆车到达最高点时用的最少时间是多少．解：(1) 以圆心O 为原点，建立如图所示的平面直角坐标系．则以Ox 为始边，OB 为终边的角为θ－π2，故点B 的坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫4.8cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫θ－π2，4.8sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫θ－π2， ∴ h ＝5.6＋4.8sin ⎝⎛⎭⎪⎫θ－π2. (2) 点A 在圆上转动的角速度是π30rad/s ，故t s 转过的弧度数为π30t ，∴ h ＝5.6＋4.8sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π30t －π2，t ∈[0，＋∞)．到达最高点时，h ＝10.4 m.由sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π30t －π2＝1，得π30t －π2＝π2，∴ t ＝30 s ，∴缆车到达最高点时，用的最少时间为30 s.1. 已知函数f(x)＝2sin(ωx ＋φ)⎝⎛⎭⎪⎫ω＞0，|φ|＜π2的最小正周期为π，且它的图象过点⎝ ⎛⎭⎪⎫－π12，－2，则φ的值为__________．答案：－π12解析：f(x)＝2sin(ωx ＋φ) 的最小正周期为π，则ω＝2，所以f(x)＝2sin(2x ＋φ)，它的图象过点⎝ ⎛⎭⎪⎫－π12，－2，则sin ⎝⎛⎭⎪⎫φ－π6＝－22⎝ ⎛⎭⎪⎫|φ|＜π2，故φ＝－π12. 2. 函数f(x)＝2sin(ωx ＋φ)的部分图象如图所示．若A ，B 两点之间的距离AB ＝5，则ω的值为________．答案：π3解析：AB ＝5，|y A －y B |＝4，则|x A －x B |＝3＝T 2，则T ＝6，则2πω＝6，ω＝π3.3. 将函数y ＝sin(2x ＋φ)(0<φ<π)的图象沿x 轴向左平移π12个单位得到的图象关于点⎝ ⎛⎭⎪⎫π3，0对称，则φ＝________．答案：π6解析：由题意得平移以后的函数为y ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π6＋φ，因为图象关于点⎝ ⎛⎭⎪⎫π3，0对称，所以2×π3＋π6＋φ＝k π(k∈Z )，解得φ＝k π－5π6(k∈Z )．因为0<φ<π，所以φ＝π6.4. 函数f(x)＝cos(πx ＋φ)⎝⎛⎭⎪⎫0<φ<π2的部分图象如图所示． (1) 求φ及图中x 0的值；(2) 求f(x)在区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤－12，13上的最大值和最小值．解：(1) 由图可知，f(0)＝f(x 0)＝32，即cos φ＝32，cos(πx 0＋φ)＝32. 又φ∈⎝⎛⎭⎪⎫0，π2，x 0>0，所以φ＝π6，x 0＝53.(2) 由(1)可知f(x)＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫πx ＋π6. 因为x∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤－12，13，所以－π3≤πx ＋π6≤π2. 所以当πx ＋π6＝0，即x ＝－16时，f(x)取得最大值1；当πx ＋π6＝π2，即x ＝13时，f(x)取得最小值0.1. (2017·南师附中、淮阴中学、海门中学、天一中学四校联考)将函数y ＝sin(2x ＋φ)(0<φ<π)的图象沿x 轴向左平移π8个单位后，得到函数y ＝f(x)的图象，若函数f(x)的图象过原点，则φ＝________．答案：3π4解析：将函数y ＝sin(2x ＋φ)(0<φ<π)的图象沿x 轴向左平移π8个单位后，得到函数f(x)＝sin ⎣⎢⎡⎦⎥⎤2⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π8＋φ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π4＋φ的图象，若函数f(x)的图象过原点，则f(0)＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4＋φ＝0，π4＋φ＝k π，k ∈Z ，φ＝k π－π4，k ∈Z .又0<φ<π，则φ＝3π4. 2. 若函数y ＝sin(ωx －φ)⎝ ⎛⎭⎪⎫ω>0，|φ|<π2在区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π2，π上的图象如图所示，则ω，φ的值分别是______．答案：2，π3解析：由题图可知，T ＝2⎣⎢⎡⎦⎥⎤π6－⎝ ⎛⎭⎪⎫－π3＝π，所以ω＝2πT ＝2.又sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2×π6－φ＝0，所以π3－φ＝k π(k∈Z )，即φ＝π3－k π(k∈Z )．而|φ|<π2，所以φ＝π3.3. (2017·第三次全国大联考江苏卷)将函数f(x)＝sin(2x ＋θ)⎝ ⎛⎭⎪⎫－π2<θ<π2的图象向右平移φ(0<φ<π)个单位长度后得到函数g(x)的图象，若f(x)，g(x)的图象都经过点P ⎝⎛⎭⎪⎫0，32，则φ的值为________．答案：5π6解析：由题意，可得sin θ＝32.因为－π2＜θ＜π2，所以θ＝π3.因为g(x)＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －2φ＋π3，所以sin ⎝⎛⎭⎪⎫－2φ＋π3＝32.又因为0＜φ＜π，所以－2φ＋π3∈⎝ ⎛⎭⎪⎫－5π3，π3，－2φ＋π3＝－4π3，φ＝5π6. 4. 已知函数f(x)＝3sin 2x ＋2cos 2x ＋m 在区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π2上的最大值为3，则(1) m ＝________；(2) 当f(x)在[a ，b]上至少含20个零点时，b －a 的最小值为________．答案：(1) 0 (2) 28π3解析：(1) f(x)＝ 3 sin 2x ＋2cos 2x ＋m ＝3sin 2x ＋1＋cos 2x ＋m ＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π6＋m ＋1.因为0≤x≤π2，所以π6≤2x ＋π6≤7π6.所以－12≤sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x ＋π6≤1， f(x)max ＝2＋m ＋1＝3＋m ＝3，∴ m ＝0.(2) 由(1)得f(x)＝2sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x ＋π6＋1，周期T ＝2π2＝π，在长为π的闭区间内有2个或3个零点．由2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π6＋1＝0，得sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x ＋π6＝－12， 2x ＋π6＝2k π＋7π6，k ∈Z 或2x ＋π6＝2k π＋11π6，k ∈Z ，所以x ＝k π＋π2或x ＝k π＋5π6，k ∈Z .不妨设a ＝π2，则当b ＝9π＋π2时，f(x)在区间[a ，b]上恰有19个零点，当b ＝9π＋5π6时恰有20个零点，此时b －a 的最小值为9π＋π3＝28π3.1. 求三角函数的定义域实际上是解简单的三角函数不等式，常借助三角函数线或三角函数图象来求解．2. 求解三角函数的值域(最值)常见到以下几种类型：①形如y ＝asin x ＋bcos x ＋c 的三角函数化为y ＝Asin(ωx ＋φ)＋k 的形式，再求值域(最值)；② 形如y ＝asin 2x ＋bsin x ＋c 的三角函数，可先设sin x ＝t ，化为关于t 的二次函数求值域(最值)；③形如y ＝asin xcos x ＋b(sin x ±cos x)＋c 的三角函数，可先设t ＝sin x ±cos x ，化为关于t 的二次函数求值域(最值)．3. 对于形如y ＝Asin(ωx ＋φ)＋k 函数的性质(定义域、值域、单调性、对称性、最值等)，可以通过换元的方法令t ＝ωx ＋φ，将其转化为研究y ＝sin t 的性质．4. 求函数y ＝Asin(ωx ＋φ)(A ＞0，ω＞0)的解析式，常用的解题方法是待定系数法，由最高(低)点的纵坐标确定A ，由周期确定ω，由适合解析式的点的坐标来确定φ，但由条件求得y ＝Asin(ωx ＋φ)(A ＞0，ω＞0)的解析式一般不惟一，只有限定φ的取值范围，才能得出惟一解．5. 由y ＝sin x 的图象变换到y ＝Asin(ωx ＋φ)的图象，两种变换的区别：先相位变换再周期变换(伸缩变换)，平移的量是|φ|个单位；而先周期变换(伸缩变换)再相位变换，平移的量是|φ|ω(ω＞0)个单位．原因在于相位变换和周期变换都是针对x 而言，即x 本身加减多少值，而不是依赖于ωx 加减多少值．[备课札记]第4课时两角和与差的正弦、余弦和正切公式(对应学生用书(文)、(理)56～58页)1. 设α∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π2，若sin α＝35，则cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π4＝________．答案：210解析：∵ α∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π2，且sin α＝35，∴ cos α＝45.∴ cos ⎝⎛⎭⎪⎫α＋π4＝cos αcos π4－sin αsin π4＝45×22－35×22＝210. 2. (必修4P 106练习4改编)sin 20°cos 10 °－cos 160°sin 10°＝__________．答案：12解析：sin 20°·cos 10°－cos 160°·sin 10°＝sin 20°·cos 10°＋cos 20°·sin10°＝sin 30°＝12.3. (必修4P 109练习8改编)函数y ＝2sin x ＋6cos x 的值域是__________．答案：[－22，22]解析：y ＝2sin x ＋6cos x ＝22sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π3∈[－22，22]．4. (必修4P 118习题9改编)若α＋β＝π4，则(tan α＋1)·(tan β＋1)的值是________．答案：2 解析：(tan α＋1)(tan β＋1)＝tan αtan β＋tan α＋tan β＋1＝tan αtan β＋tan(α＋β)(1－tan αtan β)＋1＝tan αtan β＋tan π4·(1－tan αtan β)＋1＝2.5. (必修4P 110例6改编)已知sin(α＋β)＝12，sin(α－β)＝110，则tan αtan β的值为________．答案：32解析：(解法1)⎩⎪⎨⎪⎧sin αcos β＋cos αsin β＝12，sin αcos β－cos αsin β＝110⇒⎩⎪⎨⎪⎧sin αcos β＝310，cos αsin β＝15，从而tan αtan β＝sin αcos βcos αsin β＝310×5＝32.(解法2)设x ＝tan αtan β，∵sin （α＋β）sin （α－β）＝5，∴sin （α＋β）cos αcos βsin （α－β）cos αcos β＝tan α＋tan βtan α－tan β＝tan αtan β＋1tan αtan β－1＝x ＋1x －1＝5. ∴ x ＝32，即tan αtan β＝32.1. 两角差的余弦公式推导过程设单位圆上两点P 1(cos α，sin α)，P 2(cos β，sin β)，则∠P 1OP 2＝α－β(α>β)．向量a ＝OP 1→＝(cos α，sin α)，b ＝OP 2→＝(cos β，sin β)，则a·b ＝|a||b|cos(α－β)＝cos(α－β)，由向量数量积的坐标表示，可知a·b ＝cos αcos β＋sin αsin β，因而cos(α－β)＝cos αcos β＋sin αsin β. 2. 公式之间的关系及导出过程3. 公式 cos(α－β)＝cos_αcos_β＋sin_αsin_β； cos(α＋β)＝cos_αcos_β－sin_αsin_β； sin(α－β)＝sin_αcos_β－cos_αsin_β； sin(α＋β)＝sin_αcos_β＋cos_αsin_β；tan(α－β)＝tan α－tan β1＋tan αtan β；tan(α＋β)＝tan α＋tan β1－tan αtan β．4. asin α＋bcos α＝a 2＋b 2sin(α＋φ)，其中cos φ＝a a 2＋b2，sin φ＝b a 2＋b2，tan φ＝ba .φ的终边所在象限由a ，b 的符号来决定．5. 常用公式变形tan α＋tan β＝tan(α＋β)(1－tan_αtan_β)； tan α－tan β＝tan(α－β)(1＋tan_αtan_β)；sin α＋cos α＝2sin ⎝⎛⎭⎪⎫α＋π4； sin α－cos α＝2sin ⎝⎛⎭⎪⎫α－π4.[备课札记], 1 利用角的和、差公式进行化简、求值或证明), 1) (1) 求值：cos 350°－2sin 160°sin （－190°）＝__________；(2) (原创)化简：tan (18°－θ)·sin （12°＋θ）sin （78°－θ）＋3[tan (18°－θ)＋tan (12°＋θ)]＝__________．答案：(1) 3 (2) 1解析：(1) 原式＝cos （360°－10°）－2sin （180°－20°）－sin （180°＋10°）＝cos 10°－2sin （30°－10°）－（－sin 10°）＝cos 10°－2⎝ ⎛⎭⎪⎫12cos 10°－32sin 10°sin 10°＝ 3.。

2019版高考数学一轮复习第三章三角函数与解三角形第6讲简单的三角恒等变换课时作业理

第6讲简单的三角恒等变换1．若sin α2＝33，则cos α＝( )A ．－23B ．－13 C.13 D.232．(2016年山东)函数f (x )＝(3sin x ＋cos x )(3cos x －sin x )的最小正周期是( ) A.π2 B ．π C.3π2D ．2π 3．(2017年广东广州一模)已知函数f (x )＝sin(ωx ＋φ)＋cos(ωx ＋φ)(ω>0,0<φ<π)是奇函数，直线y ＝2与函数f (x )的图象的两个相邻交点的横坐标之差的绝对值为π2，则( )A ．f (x )在⎝⎛⎭⎪⎫0，π4上单调递减B ．f (x )在⎝ ⎛⎭⎪⎫π8，3π8上单调递减C ．f (x )在⎝⎛⎭⎪⎫0，π4上单调递增D ．f (x )在⎝ ⎛⎭⎪⎫π8，3π8上单调递增4．(2017年河北石家庄一模)函数f (x )＝A sin(ωx ＋φ)(A ＞0，ω＞0)的部分图象如图X361，则f ⎝ ⎛⎭⎪⎫11π24的值为( )图X361A ．－62 B ．－32 C ．－22D ．－1 5．若将函数y ＝tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫ωx ＋π4(ω>0)的图象向右平移π6个单位长度后，与函数y ＝tan ⎝⎛⎭⎪⎫ωx ＋π6的图象重合，则ω的最小值为( )A.16B.14C.13D.126．(2016年山西四校联考)已知函数f (x )＝cos ⎝⎛⎭⎪⎫ωx ＋φ－π2⎝ ⎛⎭⎪⎫ω>0，|φ|<π2的部分图象如图X362，则y ＝f ⎝⎛⎭⎪⎫x ＋π6取得最小值时x 的取值集合为( )图X362A.⎩⎨⎧⎭⎬⎫x |x ＝k π－π6，k ∈ZB.⎩⎨⎧⎭⎬⎫x |x ＝k π－π3，k ∈ZC.⎩⎨⎧⎭⎬⎫x |x ＝2k π－π6，k ∈ZD.⎩⎨⎧⎭⎬⎫x |x ＝2k π－π3，k ∈Z 7．已知α∈R ，sin α＋2cos α＝102，则tan 2α＝( ) A.43 B.34 C ．－34 D ．－438．(2012年大纲)当函数y ＝sin x －3cos x (0≤x <2π)取最大值时，x ＝________.9．(2016年江西九江模拟)化简sin 235°－12cos10°cos80°＝________.10．若函数y ＝cos 2x ＋3sin 2x ＋a 在⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π2上有两个不同的零点，则实数a 的取值范围为____________．11．(2014年四川)已知函数f (x )＝sin ⎝⎛⎭⎪⎫3x ＋π4. (1)求f (x )的单调递增区间；(2)若α是第二象限角，f ⎝ ⎛⎭⎪⎫α3＝45cos ⎝⎛⎭⎪⎫α＋π4cos 2α，求cos α－sin α的值．12．(2017年浙江)已知函数f (x )＝sin 2x －cos 2x －2 3 sin x cos x (x ∈R )．(1)求f ⎝ ⎛⎭⎪⎫2π3的值； (2)求f (x )的最小正周期及单调递增区间．第6讲简单的三角恒等变换1．C2．B 解析：f (x )＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π6×2cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π6＝2sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x ＋π3，故最小正周期T ＝2π2＝π.故选B.3．D 解析：f (x )＝2sin ⎝⎛⎭⎪⎫ωx ＋φ＋π4，因为函数为奇函数且0<φ<π，所以φ＋π4＝π，即φ＝3π4.所以f (x )＝－2sin ωx .又2πω＝π2，所以ω＝4，f (x )＝－2sin 4x ，其一个单调递增区间为⎝ ⎛⎭⎪⎫π8，3π8.4．D 解析：由题图可得A ＝2，最小正周期T ＝4⎝ ⎛⎭⎪⎫7π12－π3＝π，则ω＝2πT ＝2.又f ⎝ ⎛⎭⎪⎫7π12＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫7π6＋φ＝－2，解得φ＝－5π3＋2k π(k ∈Z )．即k ＝1，φ＝π3.则f (x )＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π3.则f ⎝ ⎛⎭⎪⎫11π24＝2sin ⎝⎛⎭⎪⎫11π12＋π3＝2sin 5π4＝－1.故选D.5．D 解析：函数y ＝tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫ωx ＋π4的图象向右平移π6个单位后得到函数y ＝tan ⎣⎢⎡⎦⎥⎤ω⎝⎛⎭⎪⎫x －π6＋π4＝tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫ωx －ωπ6＋π4的图象．又因为y ＝tan ⎝⎛⎭⎪⎫ωx ＋π6，依题意可得－ωπ6＋π4＝π6＋k π，k ∈Z ，∴ω＝12－6k ，()k ∈Z .由ω>0，得ω的最小值为12.6．B 解析：依题意，得T ＝2πω＝4⎝ ⎛⎭⎪⎫7π12－π3＝π，ω＝2，f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π3＝cos ⎝⎛⎭⎪⎫φ＋π6＝1.又|φ|<π2，因此φ＝－π6.所以f (x )＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －2π3.当f ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π6＝cos ⎝⎛⎭⎪⎫2x －π3取得最小值时，2x －π3＝2k π－π，k ∈Z ，即x ＝k π－π3，k ∈Z .故选B.7．C 解析：∵sin α＋2cos α＝102，∴sin 2α＋4sin αcos α＋4cos 2α＝52.化简，得4sin 2α＝－3cos 2α.∴tan 2α＝sin 2αcos 2α＝－34.故选C.8.5π6 解析：y ＝sin x －3cos x ＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x －π3，由0≤x <2π⇔－π3≤x －π3<5π3，可知－2≤2sin ⎝⎛⎭⎪⎫x －π3≤2.当且仅当x －π3＝π2，即x ＝5π6时，函数取得最大值．9．－1 解析：sin 235°－12cos10°cos80°＝1－cos70°2－12cos10°sin10°＝－12cos70°12sin20°＝－1.10．(－2，－1] 解析：由题意可知，y ＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π6＋a ，该函数在⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π2上有两个不同的零点，即y ＝－a ，y ＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π6的图象在⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π2上有两个不同的交点．结合函数的图象D104可知1≤－a ＜2，所以－2＜a ≤－1.图D10411．解：(1)－π2＋2k π≤3x ＋π4≤π2＋2k π⇒－π4＋23k π≤x ≤π12＋23k π(k ∈Z )．(2)由已知，有sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π4＝45cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π4cos 2α，即sin α＋cos α＝45(cos α－sin α)(cos α－sin α)(sin α＋cos α)．若sin α＋cos α＝0，则cos α－sin α＝－ 2. 若sin α＋cos α≠0，则1＝45(cos α－sin α)2⇒cos α－sin α＝－52.综上所述，cos α－sin α的值为－2或－52. 12．解：(1)f ⎝⎛⎭⎪⎫2π3＝⎝ ⎛⎭⎪⎫322－⎝ ⎛⎭⎪⎫－122－2 3×32×⎝ ⎛⎭⎪⎫－12＝2.(2)由cos 2x ＝cos 2x －sin 2x 与sin 2x ＝2sin x cos x ，得f (x )＝－cos 2x －3sin 2x ＝－2sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x ＋π6. 所以f (x )的最小正周期是π.由正弦函数的性质，得π2＋2k π≤2x ＋π6≤3π2＋2k π，k ∈Z .解得π6＋k π≤x ≤2π3＋k π，k ∈Z .所以f (x )的单调递增区间是⎣⎢⎡⎦⎥⎤π6＋k π，2π3＋k π，k ∈Z .。

全国通用近年高考数学一轮复习第三章三角函数、解三角形课时作业二十二3.5.2简单的三角恒等变换文(

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课时分层作业二十二简单的三角恒等变换一、选择题（每小题5分，共35分)1.化简:= ( )A。

sin2α B.tan2α C.sin2D。

tan2【解析】选D。

原式==tan2。

2。

(2018·沈阳模拟)化简= （)A。

1 B.C。

D.2【解析】选C.原式====.【一题多解】本题还可以采用如下解法:选C。

原式====。

3。

（2016·浙江高考）设函数f（x）=sin2x+bsin x+c，则f（x）的最小正周期（）A.与b有关,且与c有关B。

与b有关,但与c无关C。

与b无关，且与c无关D。

与b无关，但与c有关【解题指南】先利用倍角公式进行化简,再求最小正周期.【解析】选B。

f（x）=sin2x+bsin x+c=+bsin x+c=—+bsin x+c+,其中当b=0时,f(x）=-+c+,此时周期为π；当b≠0时，周期为2π，而c不影响周期。

4。

已知锐角α,β满足sin α-cos α=，tan α+tanβ+·tan αtanβ=，则α,β的大小关系是( ）A.α〈〈βB。

2019高三数学一轮复习单元练习题：三角恒等变换

2019高三数学一轮复习单元练习题：三角恒等变换一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1．已知sin 2θ=45,cos 2θ=35-,则角θ所在的的象限是 ( ) A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限 2．已知tan(α+β)=52,tan(β-4π)=41，则tan(α+4π)等于（） A ．183 B ．2213 C ．223 D ．613．已知sin α,则cos4α的值是（） A ．254 B ．257- C ．2512 D ．2518- 4．已知sin(α-β)=35,sin(α+β)=35-，且α-β∈(2π,π), α+β∈(32π,2π),则cos2β的值是（）A ．2425B ．45- C ．1 D ．-1 5．△ABC 三内角满足2cos B sin A=sin C ，则△ABC 的形状为（）A ．等腰三角形B ．等边三角形C ．直角三角形D ．等腰直角三角形6． 10cos 310sin 1-的值是（）A ．1B ．2C ．4D ．41 7．函数y =sin x +cos x (0≤x ≤2π)的值域是 ( )A ．[B ．[-．[] D ．[8． 201tan 75tan 75-的值是（）A ．B ． D ． 9． sin150sin300sin750的值等于（）A ．18D ．1410．tan700+tan500tan700tan500的等于（）A ．．11．函数y=sin 2(ωx )-cos 2(ωx )的周期T =4π，那么常数ω等于（）A ．12B ．2C ．14D ．412．函数y=cos(26π-x )-sin(26π-x )的单调递增区间是（） A ．[4k π-136π, 4k π-6π] (k ∈Z ) B ．[4k π-6π, 4k π+116π] (k ∈Z ) C ．[2k π-6π, 2k π+116π] (k ∈Z ) D ．[2k π, 2k π+π] (k ∈Z ) 二、填空题(本大题共4小题，每小题4分，共16分，把答案填在题中的横线上)13．已知sin120=a ,则sin660= .14．已知324ππβα<<<，cos(α-β)=1213,sin(α+β)= 35-,那么sin2α= . 15．化简：cos(4π-α)cos(4π+α)= . 16．设f (x )=2cos 2xx +a (a ∈R),当x ∈[0, 2π]时, f (x )的最大值是4，则a = . 三、解答题(本大题共6小题，17-21题每小题12分，22题14分，共74分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤)17．已知tan θ=2,求)4sin(21sin 2cos 22θπθθ+--的值.18．求yx cos x -cos 2x 的最大值.19．已知sin(2α+β)=3sin β，求tan()tan αβα+的值.20．已知sin(6π-θ)= -35,6π<θ<23π，求cos2θ的值。

2019届高考数学一轮复习第三篇三角函数、解三角形第3节三角恒等变换训练理新人教版

第3节三角恒等变换基础巩固(时间:30分钟)1.cos 25°sin 55°-cos 65°cos 55°等于( A )(A) (B) (C) (D)-解析:cos 25°sin 55°-cos 65°cos 55°=sin 65°sin 55°-cos 65°cos 55°=-(cos 65°cos 55°-sin 65°sin 55°)=-cos(65°+55°)=.故选A.2.(1+tan 17°)(1+tan 28°)的值是( D )(A)-1 (B)0 (C)1 (D)2解析:原式=1+tan 17°+tan 28°+tan 17°·tan 28°=1+tan 45°(1-tan 17°·tan 28°)+tan 17°·tan 28°=1+1=2.故选D.3.(2017·成都期中)若α,β为锐角,且满足cos α=,cos(α+β)=,则sinβ的值为( B )(A)-(B)(C)(D)解析:因为α,β为锐角,且满足cos α=,cos(α+β)=,所以sin α=,sin(α+β)=,所以sin β=sin[(α+β)-α]=sin(α+β)cos α-cos(α+β)sin α=×-×=,故选B.4.(2017·河北衡水一模)已知sin(α+)+sin α=-,-<α<0,则cos(α+)等于( C )(A)- (B)- (C) (D)解析:因为sin(α+)+sin α=-,所以sin α+cos α=-,所以sin α+cos α=-,所以cos(α-)=-,所以cos(α+)=cos[π+(α-)]=-cos(α-)=.故选C.5.(2017·湖南衡阳三模)已知2sin 2α=1+cos 2α,则tan(α+)的值为( D )(A)-3 (B)3(C)-3或3 (D)-1或3解析:因为2sin 2α=1+cos 2α,所以4sin αcos α=1+2cos2α-1,即2sin αcos α=cos2α,①当cos α=0时,α=kπ+ (k∈Z),此时tan(α+)=-1,②当cos α≠0时,tan α=,此时tan(α+)==3,综上所述,tan(α+)的值为-1或3.故选D.6.设α,β∈(0,),且tan α-tan β=,则( D )(A)3α+β= (B)2α+β=(C)3α-β= (D)2α-β=解析:因为tan α-tan β=,所以-=,所以=+=,所以sin αcos β=cos α(1+sin β)=cos α+cos αsin β,所以cos α=sin αcos β-cos αsin β=sin(α-β).由诱导公式可得cos α=sin(α-β)=cos[-(α-β)],因为α,β∈(0,),所以[-(α-β)]∈(0,π),所以α=-(α-β),变形可得2α-β=,故选D.7.(2017·广东肇庆三模)已知α,β为锐角,且cos(α+β)=,sin α=,则cos β的值为( A )(A)(B)(C)(D)解析:根据题意,α,β为锐角,且sin α=,则cos α=,若cos(α+β)=,则α+β也为锐角,则sin(α+β)=,则cos β=cos[(α+β)-α]=cos(α+β)cos α+sin(α+β)sin α=×+×=,故选A.8.已知f(x)=2tan x-,则f()的值为.解析:因为f(x)=2tan x+=2(+)==,所以f()==8.答案:89.(2017·广东肇庆二模)已知tan α,tan β分别是lg(6x2-5x+2)=0的两个实根,则tan(α+β)= .解析:由题意lg(6x2-5x+2)=0,可得6x2-5x+1=0,因为tan α,tan β分别是lg(6x2-5x+2)=0的两个实根,所以tan α+tan β=,tan α·tan β=,所以tan(α+β)===1.答案:1能力提升(时间:15分钟)sin α=,sin(α-β)=-,α,β均为锐角,则角β等于( C )(A) (B) (C) (D)解析:因为α,β均为锐角,所以-<α-β<.又sin(α-β)=-,所以cos(α-β)=.又sin α=,所以cos α=,所以sin β=sin[α-(α-β)]=sin αcos(α-β)-cos αsin(α-β)=×-×(-)=.所以β=.11.(2017·湖南邵阳二模)若tan cos=sin-msin,则实数m的值为( A )(A)2 (B) (C)2 (D)3解析:由tan cos=sin-msin,可得sin cos=cos sin-msin cos⇔sin(-)=-msin cos⇔2sin=msin⇔m=2.故选A.12.(2017·陕西汉中二模)已知函数f(x)=sin 2x+cos 2x-m在[0,]上有两个零点x1,x2,则tan的值为( D )(A) (B) (C) (D)解析:因为f(x)=sin 2x+cos 2x-m=2(sin 2x+cos 2x)-m=2sin(2x+)-m,因为x∈[0,],所以2x+∈[,],所以-≤sin(2x+)≤1,所以-1≤2sin(2x+)≤2.因为f(x)=sin 2x+cos 2x-m在[0,]上有两个零点x1,x2,所以y=m与f(x)=sin 2x+cos 2x在[0,]上有两个交点,如图.所以x1+x2=,所以tan=tan=.故选D.13.已知sin α=,cos(α+β)=-,若α,β是锐角,则β= . 解析:sin α=,cos(α+β)=-,α,β是锐角,则cos α=,sin(α+β )=,所以cos β=cos[(α+β)-α]=cos(α+β)cos α+sin(α+β)sin α=, 所以β=.答案:14.(2017·江苏淮安二模)已知sin(α+)=,α∈(,π).求:(1)cos α的值;(2)sin(2α-)的值.解:(1)sin(α+)=,即sin αcos+cos αsin=,化简得sin α+cos α=,①又sin2α+cos2α=1,②由①②解得cos α=-或cos α=,因为α∈(,π).所以cos α=-.(2)因为α∈(,π),cos α=-,所以sin α=,则cos 2α=1-2sin2α=-,sin 2α=2sin αcos α=-,所以sin(2α-)=sin 2αcos-cos 2αsin=-.15.(2017·金华模拟)如图,在平面直角坐标系xOy中,以x轴正半轴为始边的锐角α与钝角β的终边与单位圆分别交于A,B两点,x轴正半轴与单位圆交于点M,已知S△OAM=,点B的纵坐标是,(1)求cos(α-β)的值;(2)求2α-β的值.解:(1)由题意,OA=OM=1,S△OAM=,所以sin α=,又因为α为锐角,所以cos α=,又点B的纵坐标是,OB=1,β为钝角,所以sin β=,cos β=-,所以cos(α-β)=cos αcos β+sin αsin β=×(-)+×=-.(2)因为cos 2α=2cos2α-1=2()2-1=-,sin 2α=2sin α·cos α=2··=,因为sin α>cos α,且α为锐角,所以α∈(,),所以2α∈(,π),因为β∈(,π),所以2α-β∈(-,),因为sin(2α-β)=sin 2α·cos β-cos 2α·sin β=-,故2α-β=-.。

D_浙江省2019年高考数学一轮复习第三章三角函数三角恒等变换及解三角形课时训练(含答案)

第三章　三角函数、三角恒等变换及解三角形第1课时　任意角和弧度制及任意角的三角函数一、填空题1. 若α为第二象限角，则＋的值是________．|sin α|sin αtan α|tan α|答案：0解析：因为α为第二象限角，所以sin α＞0，＝1，tan α＜0，＝－1，所以|sin α|sin αtan α|tan α|＋＝0.|sin α|sin αtan α|tan α|2. 如图，在平面直角坐标系xOy 中，角α的终边与单位圆交于点A ，点A 的纵坐标为，则cos 45α＝________．答案：－35解析：因为点A 的纵坐标y A ＝，且点A 在第二象限．又圆O 为单位圆，所以点A 的横坐标x A ＝－.由4535三角函数的定义可得cos α＝－.353. 已知角α的终边经过点P(2，－1)，则＝________．sin α－cos αsin α＋cos α答案：－3解析：由题意得sin α＝－，cos α＝，所以＝－3.1525sin α－cos αsin α＋cos α4. (2017·泰州模拟)设α是第二象限角，P(x ，4)为其终边上的一点，且cos α＝x ，则tan 15α＝________．答案：－43解析：因为α是第二象限角，所以cos α＝x<0，即x<0.又cos α＝，所以x ＝，15x x2＋1615x x2＋16解得x ＝－3，所以tan α＝＝－.4x 435. 函数y ＝的定义域为________．2sin x －1答案：(k∈Z )[2k π＋π6，2k π＋5π6]解析：∵ 2sin x －1≥0，∴ sin x≥.由三角函数线画出x 满足条件的终边范围(如图阴影部分所示)12．∴ x∈(k∈Z )．[2k π＋π6，2k π＋5π6]6. 若420°角的终边所在直线上有一点(－4，a)，则a 的值为________．答案：－43解析：由三角函数的定义有tan 420°＝.又tan 420°＝tan (360°＋60°)＝tan 60°＝，故a－43＝，解得a ＝－4.a－4337. 点P 从(1，0)出发，沿单位圆x 2＋y 2＝1按逆时针方向运动弧长到达点Q ，则点Q 的坐标为2π3________．答案：(－12，32)解析：由弧长公式l ＝|α|r，l ＝，r ＝1得点P 按逆时针方向转过的角度为α＝，所以点Q 的2π32π3坐标为，即.(cos 2π3，sin 2π3)(－12，32)8. 已知角α的终边在直线y ＝－x 上，则2sin α＋cos α＝________．34答案：或－2525解析：由题意知tan α＝－，∴ α在第二象限或第四象限，34故sin α＝，cos α＝－或sin α＝－，cos α＝，35453545∴ 2sin α＋cos α＝或－.25259. 已知2弧度的圆心角所对的弦长为2，那么这个圆心角所对的弧长是__________．答案：2sin 1解析：如图，∠AOB＝2弧度，过点O 作OC⊥AB于C ，并延长OC 交弧AB 于D.则∠AOD＝∠BOD＝1弧度，且AC ＝BC ＝1.在Rt△AOC 中，AO ＝＝.AC sin ∠AOC 1sin 1即r ＝，从而弧AB 的长为l ＝|α|·r＝.1sin 12sin 110. 已知角x 的终边上一点的坐标为，则角x 的最小正值为________．(sin5π6，cos 5π6)答案：5π3解析：∵ sin ＝，cos ＝－，∴ 角x 的终边经过点，所以角x 是第四象限角，5π6125π632(12，－32)tan x ＝＝－，∴ x ＝2kπ＋，k∈Z ，∴ 角x 的最小正值为.(也可用同角基本关系式tan x ＝－321235π35π3得出)sin xcos x 11. 设θ是第三象限角，且＝－cos ，则sin 的值的符号是________．|c osθ2|θ2θ2答案：＋解析：由于θ是第三象限角，所以2kπ＋π<θ<2kπ＋(k∈Z )，kπ＋<<kπ＋(k∈Z )．3π2π2θ23π4又＝－cos ，所以cos ≤0，|c osθ2|θ2θ2从而2kπ＋≤≤2kπ＋(k∈Z )．π2θ23π2综上可知：2kπ＋<<2kπ＋(k∈Z )，即是第二象限角，所以sin >0.π2θ23π4θ2θ2二、解答题12. 如图所示，动点P ，Q 从点A(4，0)出发沿圆周运动，点P 按逆时针方向每秒钟转弧度，点Q 按π3顺时针方向每秒钟转弧度，求点P ，Q 第一次相遇时所用的时间、相遇点的坐标及P ，Q 点各自走过的弧π6长．解：设点P ，Q 第一次相遇时所用的时间是t ，则t·＋t·＝2π.π3|－π6|所以t ＝4(秒)，即点P ，Q 第一次相遇时所用的时间为4秒．设点P ，Q 第一次相遇点为C ，第一次相遇时点P 和点Q 已运动到终边在·4＝的位置，π34π3则x C ＝－cos ·4＝－2，y C ＝－sin ·4＝－2.π3π33所以点C 的坐标为(－2，－2)．3点P 走过的弧长为4··4＝，点Q 走过的弧长为4··4＝.π316π3π68π313. 如图，在平面直角坐标系xOy 中，角α的始边与x 轴的非负半轴重合且与单位圆相交于A 点，它的终边与单位圆相交于x 轴上方一点B ，始边不动，终边在运动.(1) 若点B 的横坐标为－，求tan α的值；45(2) 若△AOB 为等边三角形，写出与角α终边相同的角β的集合；(3) 若α∈，请写出弓形AB 的面积S 与α的函数关系式．(0，2π3]解：(1) 由题意可得B ，根据三角函数的定义得tan α＝＝－.(－45，35)y x 34(2) 若△AOB 为等边三角形，则∠AOB＝.π3故与角α终边相同的角β的集合为{β＋2kπ，k∈Z }．|β＝π3)(3) 若α∈，则S 扇形AOB ＝αr 2＝α，α∈.(0，2π3]1212(0，2π3]而S △AOB ＝×1×1×sin α＝sin α，1212故弓形AB 的面积S ＝S 扇形AOB －S △AOB ＝α－sin α，α∈.第2课时　同角三角函数的基本关1212(0，2π3]系式与诱导公式一、填空题1. sin 750°＝________．答案：12解析：sin 750°＝sin (2×360°＋30°)＝sin 30°＝.122. 若α∈，sin α＝－，则cos(－α)的值为________．(－π2，π2)35答案：45解析：因为α∈，sin α＝－，所以cos α＝，即cos (－α)＝.(－π2，π2)3545453. (2017·镇江期末)已知α是第四象限角，sin α＝－，则tan α＝________．1213答案：－125解析：因为α是第四象限角，sin α＝－，所以cos α＝＝，故tan α＝＝－12131－sin2α513sin αcos α.125 4. 已知α为锐角，且2tan(π－α)－3cos ＋5＝0，tan(π＋α)＋6sin(π＋β)＝1，则sin(π2＋β)α的值是________．答案：31010解析：由已知可得－2tan α＋3sin β＋5＝0，tan α－6sin β＝1，解得tan α＝3.又α为锐角，故sin α＝.310105. (2017·射阳县中模拟)若f(tan x)＝sin 2x －5sin x·cos x, 则f(5)＝________．答案：0解析：由已知得f( tan x)＝＝，所以f(5)＝＝0.sin2x －5 sin x· cos x sin2x ＋ cos2x tan2x －5tan x tan2x ＋152－5×552＋16. 已知θ是第三象限角，且sin θ－2cos θ＝－，则sin θ＋cos θ＝________．25答案：－3125解析：由sin θ－2cos θ＝－，sin 2θ＋cos 2θ＝1，θ是第三象限角，得sin θ＝－，cos 252425θ＝－，则sin θ＋cos θ＝－.72531257. 已知sin(π－α)＝log 8，且α∈，则tan(2π－α)的值为________．14(－π2，0)答案：255解析：sin (π－α)＝sin α＝log 8＝－.1423又α∈，得cos α＝＝，(－π2，0)1－sin2α53tan (2π－α)＝tan (－α)＝－tan α＝－＝.sin αcos α2558. 已知sin θ＝2cos θ，则sin 2θ＋sin θcos θ－2cos 2θ＝________．答案：45解析：由 sin θ＝2cos θ，得 tan θ＝2.sin 2θ＋sin θ cos θ－2cos 2θ＝＝＝sin2θ＋sin θcos θ－2cos2θsin2θ＋cos2θtan2θ＋tan θ－2tan2θ＋1＝.22＋2－222＋1459. 设函数f(x)(x∈R )满足f(x ＋π)＝f(x)＋sin x ，当0≤x<π时，f(x)＝0，则f ＝________．(23π6)答案：12解析：由f(x ＋π)＝f(x)＋sin x ，得f(x ＋2π)＝f(x ＋π)＋sin(x ＋π)＝f(x)＋sin x －sin x ＝f(x)，所以f ＝f ＝f ＝f＝f ＋sin π.因为当0≤x<π时，f(x)＝0，所以f (236π)(116π＋2π)(116π)(π＋56π)(56π)56＝0＋＝.(236π)121210. 已知函数f(x)＝asin(πx＋α)＋bcos(πx＋β)，且f(4)＝3，则f(2 017)的值为________．答案：－3解析：∵ f(4)＝asin (4π＋α)＋bcos (4π＋β)＝asin α＋bcos β＝3，∴ f(2 017)＝asin (2 017π＋α)＋bcos (2 017π＋β)＝asin (π＋α)＋bcos (π＋β)＝－asin α－bcos β＝－(asin α＋bcos β)＝－3.二、解答题11. 已知＝－，求的值．1＋sin αcos α12cos αsin α－1 解：由同角三角函数关系式1－sin 2α＝cos 2α及题意可得cos α≠0，且1－sin α≠0，可得(1＋sin α)(1－sin α)＝cos αcos α，所以＝，所以＝－，即1＋sin αcos αcos α1－sin αcos α1－sin α12＝.cos αsin α－11212. 已知f(x)＝(n∈Z )．cos2（n π＋x ）·sin2（n π－x ）cos2[（2n ＋1）π－x](1) 化简f(x)的解析式；(2) 求f ＋f 的值．(π2 017)(2 015π4 034)解：(1) 当n 为偶数，即n ＝2k(k∈Z )时，f(x)＝＝cos2（2k π＋x ）·sin2（2k π－x ）cos2[（2·2k ＋1）π－x]cos2x·sin2（－x ）cos2（π－x ）＝＝sin 2x ；cos2x·（－sin x ）2（－cos x ）2当n 为奇数，即n ＝2k ＋1(k∈Z )时，f(x)＝cos2[（2k ＋1）π＋x]·sin2[（2k ＋1）π－x]cos2{[2·（2k ＋1）＋1]π－x}＝cos2（2k π＋π＋x ）·sin2（2k π＋π－x ）cos2[2·（2k ＋1）π＋π－x]＝＝＝sin 2x.cos2（π＋x ）·sin2（π－x ）cos2（π－x ）（－cos x ）2·sin2x（－cos x ）2综上，f(x)＝sin 2x.(2) 由(1)得f ＋f (π2 017)(2 015π4 034)＝sin 2＋sin 2π2 017 2 015π4 034＝sin 2＋sin 2π2 017(π2－π2 017)＝sin 2＋cos 2＝1.π2 017π2 01713. 是否存在角α和β，当α∈，β∈(0，π)时，等式(－π2，π2)同时成立？若存在，求出α和β的值；若不存在，请说明理由．{sin （3π－α）＝2cos(π2－β)，3cos （－α）＝－2cos （π＋β）)解：存在α＝，β＝使等式同时成立．π4π6由{sin （3π－α）＝2cos (π2－β)，3cos （－α）＝－2cos （π＋β），)得{sin α＝2sin β，3cos α＝2cos β，)两式平方相加，得sin 2α＋3cos 2α＝2，得到cos 2α＝，即cos α＝±.1222因为α∈，所以cos α＝，所以α＝或α＝－.(－π2，π2)22π4π4将α＝代入cos α＝cos β，得cos β＝.π43232由于β∈(0，π)，所以β＝.π6将α＝－代入sin α＝sin β，得sin β＝－.由于β∈(0，π)，这样的角β不存在．π4212综上可知，存在α＝，β＝使等式同时成立．第3课时　三角函数的图象和性质π4π6一、填空题1. (必修4P 33例4改编)函数y ＝－tan＋2的定义域为____________．(x ＋π6)答案：{x |x ≠k π＋π3，)k ∈Z}解析：由x ＋≠kπ＋，k∈Z ，得x≠kπ＋，k∈Z .π6π2π32. (2017·珠海调研改编)要得到函数y ＝sin的图象，只需要将函数y ＝sin 2x 的图象作平移(2x ＋π6)变换：____________.答案：向左平移个单位π12解析：y ＝sin＝sin 2，所以要得到函数y ＝ sin 的图象，只需要将函数(2x ＋π6)(x ＋π12)(2x ＋π6)y ＝sin 2x 的图象向左平移个单位．π123. (2017·南京、盐城一模)将函数y ＝3sin 的图象向右平移φ个单位后，所得(2x ＋π3)(0<φ<π2)函数为偶函数，则φ＝________．答案：5π12解析：由题意得y ＝3sin为偶函数，所以－2φ＋＝＋kπ(k∈Z )．又0<φ<，(2（x －φ）＋π3)π3π2π2所以φ＝.5π124. 函数y ＝cos 2x －2sin x 的最大值与最小值分别是________．答案：2，－2解析：y ＝cos 2x －2sin x ＝1－sin 2x －2sin x ＝－(sin x ＋1)2＋2.由－1≤sin x≤1知，当sin x ＝－1时，y 取最大值2；当sin x ＝1时，y 取最小值－2.5. 若函数y ＝cos (ω∈N )图象的一个对称中心是，则ω的最小值为____________．(ωx ＋π6)(π6，0)答案：2解析：由题意知＋＝kπ＋(k∈Z )⇒ω＝6k ＋2(k∈Z )⇒ωmin ＝2.πω6π6π26. (2017·苏北四市第三次调研)若函数f(x)＝2sin(2x ＋φ)的图象过点(0，)，则函(0<φ<π2)3数f(x)在[0，π]上的单调递减区间是________．答案：(π12，7π12)解析：由题意可得2sin(2×0＋φ)＝，∴ sin φ＝，φ＝，f(x)＝2sin，函数f(x)在332π3(2x ＋π3)[0，π]上的单调递减区间是.(π12，7π12)7. (2017·南京调研)如图是函数f(x)＝Asin(ωx＋φ)(A>0，ω>0，φ∈(0，2π))图象的一部分，则f(0)的值为________．答案：322解析：由函数图象得A ＝3，＝2[3－(－1)]＝8，解得ω＝，所以f(x)＝3sin .因为2πωπ4(π4x ＋φ)(3，0)为函数f(x)＝3sin 的一个下降零点，所以×3＋φ＝(2k ＋1)π(k∈Z )，解得(π4x ＋φ)π4φ＝＋2kπ(k∈Z )．因为φ∈(0，2π)，所以φ＝，所以f(x)＝3sin ，则f(0)＝3sin ＝π4π4(π4x ＋π4)π4.3228. 若f(x)＝2sin ωx(0<ω<1)在区间上的最大值是，则ω的值为________．[0，π3]2答案：34解析：由0≤x≤，得0≤ωx≤＜，π3ωπ3π3则f(x)在上单调递增，且在这个区间上的最大值是，所以2sin ＝，且0＜＜，[0，π3]2ωπ32ωπ3π3所以＝，解得ω＝.ωπ3π4349. 函数f(x)＝sin πx＋cos πx＋|sin πx－cos πx|对任意的x∈R 都有f(x 1)≤f(x)≤f(x 2)成立，则|x 2－x 1|的最小值为__________．答案：34解析：依题意得，当sin πx≥cos πx 时，f(x)＝2sin πx；当sin πx<cos πx 时，f(x)＝2cos πx.由已知可知f(x 1)，f(x 2)分别是函数f(x)的最小值与最大值，结合函数y ＝f(x)的图象可知，|x 2－x 1|的最小值为相邻最小值与最大值处横坐标差的绝对值．由于x ＝时，函数取得最大值2，x ＝时函数取得最1254小值－，所以|x 2－x 1|的最小值是－＝.254123410. 若函数f(x)＝sin(ω>0)在区间上单调递增，则ω的取值范围是____________．(ωx －π4)(0，π2)答案：(0，32]解析：由－＋2kπ≤ωx－≤＋2kπ，k∈Z ，得－＋≤x≤＋，k∈Z .取k ＝0，得π2π4π2π4ω2k πω3π4ω2k πω－≤x≤.因为函数f(x)＝sin(ω>0)在区间上单调递增，所以≥，即ω≤.又π4ω3π4ω(ωx －π4)(0，π2)3π4ωπ232ω>0，所以ω的取值范围是.(0，32]11. (原创)已知函数f(x)＝cos 2x ＋sin x ，那么下列命题中是真命题的是________．(填序号)① f(x)既不是奇函数也不是偶函数；② f(x)是周期函数；③ f(x)在[－π，0]上恰有一个零点；④ f(x)在上是增函数；(π2，5π6)⑤ f(x)的值域为[0，2]．答案：①②④解析：∵ f ＝1，f＝－1，即f(－x)≠f(x)，(π2)(－π2)∴ f(x)不是偶函数．∵ x∈R ，f(0)＝1≠0，∴ f(x)不是奇函数，故①为真命题．∵ f(x)＝f(x ＋2π)，∴ T ＝2π，故函数f(x)为周期函数，故②为真命题．令f(x)＝cos 2x ＋sin x ＝1－sin 2x ＋sin x ＝0，则sin 2x －sinx －1＝0，解得sin x ＝，当x∈[－π，0]时，sin x ＝，由正弦函数图象可知函数f(x)在1±521－52[－π，0]上有两个零点，故③为假命题．∵ f′(x)＝2cos x·(－sin x)＋cos x ＝cos x·(1－2sin x)，当x∈时，cos x<0，<sin x<1，∴ f′(x)＝cos x·(1－2sin x)>0，(π2，5π6)12∴ f(x)在上是增函数，故④为真命题．f(x)＝cos 2x ＋sin x ＝－sin 2x ＋sin x ＋1＝－(π2，5π6)＋，由－1≤sin x≤1得f(x)的值域为，故⑤为假命题．(sin x －12)2 54[－1，54]二、解答题12. 已知函数f(x)＝Asin(ωx＋φ)(其中A ＞0，ω＞0，0＜φ＜)的周期为π，且图象上有一个最π2低点为M .(2π3，－3)(1) 求f(x)的解析式；(2) 求使f(x)＜成立的x 的取值集合．32解：(1) 由题意知，A ＝3，ω＝2，由3sin ＝－3，得φ＋＝－＋2kπ，k∈Z ，即(4π3＋φ)4π3π2φ＝－π＋2kπ，k∈Z .116而0＜φ＜，所以k ＝1，φ＝.π2π6故f(x)＝3sin.(2x ＋π6)(2) f(x)＜等价于3sin＜，即32(2x ＋π6)32sin＜，(2x ＋π6)12于是2kπ－＜2x ＋＜2kπ＋(k∈Z )，7π6π6π6解得kπ－＜x ＜kπ(k∈Z )，2π3故使f(x)＜成立的x 的取值集合为{x|kπ－＜x ＜kπ，k∈Z }．322π313. (2017·扬州中学质检)如图，函数y ＝2cos(ωx＋φ)的部分图象与y 轴(ω>0，0≤φ≤π2)交于点(0，)，最小正周期是π.3(1) 求ω，φ的值；(2)已知点A ，点P 是该函数图象上一点，点Q(x 0，y 0)是PA 的中点，当y 0＝，x 0∈(π2，0)32时，求x 0的值．[π2，π]解：(1) 将点(0，)代入y ＝2cos(ωx＋φ)，得cos φ＝.332∵ 0≤φ≤，∴ φ＝.π2π6∵ 最小正周期T ＝π，且ω>0，∴ ω＝＝2.2πT (2) 由(1)知y ＝2cos.(2x ＋π6)∵ A ，Q(x 0，y 0)是PA 的中点，y 0＝，(π2，0)32∴ P .(2x0－π2，3)∵ 点P 在y ＝2cos的图象上，(2x ＋π6)∴ 2cos＝，∴ cos ＝－.(4x0－π＋π6)3(4x0＋π6)32∵ x 0∈，∴ 4x 0＋∈，[π2，π]π6[2π＋π6，4π＋π6]∴ 4x 0＋＝2π＋π－或4x 0＋＝2π＋π＋，π6π6π6π6∴ x 0＝或.第4课时　两角和与差的正弦、余弦和正切公式2π33π4一、填空题1. cos 15°的值是____________．答案：2＋64解析：cos15°＝cos(60°－45°)＝.2＋642. 计算：cos 42°cos 18°－cos 48°sin 18°＝_________．答案：12解析：原式＝sin 48°cos 18°－cos 48°sin 18°＝sin (48°－18°)＝sin 30°＝.123. 设α，β为钝角，且sin α＝，cos β＝－，则cos(α＋β)的值为________．5531010答案：22解析：∵ α，β为钝角，sin α＝，cos β＝－，5531010∴ cos α＝，sin β＝，－2551010∴ cos(α＋β)＝cos αcos β－sin αsin β＝.224. (2017·苏锡常镇四市调研(二))已知α是第二象限角，且sin α＝，tan(α＋β)＝－2，则310tan β＝________．答案：17解析：由α是第二象限角，且sin α＝，得cos α＝－，tan α＝－3，所以tan310110β＝tan(α＋β－α)＝＝＝.tan （α＋β）－tan α1＋tan （α＋β）tan α－2＋31＋6175. 已知α，β∈，若sin ＝，cos ＝，则sin(α－β)＝__________．(π3，5π6)(α＋π6)45(β－5π6)513答案：1665解析：由题意可得α＋∈，β－∈，所以cos＝－，sin(β－)π6(π2，π)5π6(－π2，0)(α＋π6)355π6＝－，1213所以sin(α－β)＝－sin[(α＋)－(β－)]＝－[×－×]＝.π65π645513(－35)(－1213)16656. 已知sin ＋sin α＝，则sin＝__________.(π3＋α)435(α＋7π6)答案：－45解析：sin ＋sin α＝⇒sin cos α＋cos sin α＋sin α＝⇒sin α＋cos (π3＋α)435π3π34353232α＝⇒sin α＋cos α＝，故sin＝sin αcos ＋cos αsin ＝－(sin 435321245(α＋7π6)7π67π632α＋cos α)＝－.12457. 若锐角α，β满足tan α＋tan β＝－tan αtan β，则α＋β＝____________．33答案：π3解析：由已知可得＝，即tan (α＋β)＝.tan α＋tan β1－tan αtan β33又α＋β∈(0，π)，所以α＋β＝.π38. 计算：＝________．2sin 50°－3sin 20°cos 20°答案：1解析：原式＝2sin （30°＋20°）－3sin 20°cos 20°＝2sin 30°cos 20°＋2cos 30°sin 20°－3sin 20°cos 20°＝＝1.cos 20°＋3sin 20°－3sin 20°cos 20°9. 若α，β都是锐角，且cos α＝，sin(α－β)＝，则 β＝________．551010答案：π4解析：∵ α，β都是锐角，且cos α＝，sin(α－β)＝，551010∴ sin α＝，cos(α－β)＝，从而cos β＝cos [α－(α－β)]＝cos αcos(α－β)＋sin 25531010αsin(α－β)＝.∵ β是锐角，∴ β＝.22π410. 如图所示，正方形ABCD 的边长为1，延长BA 至E ，使AE ＝1，连结EC ，ED ，则sin∠CED＝__________．答案：1010解析：因为四边形ABCD 是正方形，且AE ＝AD ＝1，所以∠AED＝.π4在Rt△EBC 中，EB ＝2，BC ＝1，所以sin ∠BEC＝，cos ∠BEC＝.55255sin ∠CED＝sin (π4－∠BEC)＝cos ∠BEC－sin ∠BEC 2222＝×＝.22(255－55)1010二、解答题11. 在△ABC 中，已知sin(A ＋B)＝2sin(A －B)．(1) 若B ＝，求A ；π6(2) 若tan A ＝2，求tan B 的值．解：(1) 由条件，得sin＝2sin(A －)，(A ＋π6)π6∴ sin A ＋cos A ＝2.3212(32sin A －12cos A)化简，得sin A ＝cos A ，∴ tan A ＝.33又A∈(0，π)，∴ A ＝.π3(2) ∵ sin(A ＋B)＝2sin(A －B)，∴ sin Acos B ＋cos Asin B ＝2(sin Acos B －cos Asin B)．化简，得3cos Asin B ＝sin Acos B.又cos Acos B≠0，∴ tan A ＝3tan B.又tan A ＝2，∴ tan B ＝.2312. 已知α∈，且sin ＋cos ＝.(π2，π)α2α262(1) 求cos α的值；(2) 若sin(α－β)＝－，β∈，求cos β的值．35(π2，π)解：(1) 已知sin ＋cos ＝，两边同时平方，α2α262得1＋2sin cos ＝，则sin α＝.α2α23212又<α<π，所以cos α＝－＝－.π21－sin2α32(2) 因为<α<π，<β<π，所以－<α－β<.π2π2π2π2又sin(α－β)＝－，所以cos(α－β)＝.3545则cos β＝cos [α－(α－β)]＝cos αcos(α－β)＋sin αsin(α－β)＝－×＋×＝－.324512(－35)43＋31013. 已知函数f(x)＝sin ωxcos φ＋tan ·cos ωxsin φ的图象关3π3(ω>0，－π2≤φ<π2)于直线x ＝对称，且图象上相邻两个最高点的距离为π.π3(1) 求ω和φ的值；(2) 若f ＝，求cos 的值．(α2)34(π6＜α＜2π3)(α＋3π2)解：(1) 由已知得f(x)＝sin (ωx＋φ)，3因为f(x)的图象上相邻两个最高点的距离为π，所以f(x)的最小正周期T ＝π，从而ω＝＝2.2πT 又f(x)的图象关于直线x ＝对称，π3所以2·＋φ＝kπ＋，k∈Z .π3π2由－≤φ<得k ＝0，π2π2所以φ＝－＝－.π22π3π6(2) 由(1)得f(x)＝sin，3(2x －π6)所以f ＝sin＝，(α2)3(2·α2－π6)34即sin＝.(α－π6)14由<α<得0<α－<，π62π3π6π2所以cos＝＝(α－π6)1－sin2(α－π6)1－(14)2 ＝.154因此cos＝sin α＝sin (α＋3π2)[(α－π6)＋π6]＝sin cos ＋cos sin (α－π6)π6(α－π6)π6＝×＋×＝.1432154123＋158第5课时　二倍角的正弦、余弦和正切公式一、填空题1. －sin 2的值为________．12π12答案：34解析：－sin 2＝＝cos ＝×＝.12π1212(1－2sin2π12)12π61232342. 函数y ＝(sin x －cos x)2的最小正周期为__________．答案：π解析：y ＝(sin x －cos x)2＝1－2sin xcos x ＝1－sin 2x ，最小正周期T ＝π.3. 若＝－，则sin α＋cos α＝__________．cos 2αsin (α＋7π4)22答案：12解析：由已知得＝－，整理得sin α＋cos α＝.cos2α－sin2α22（sin α－cos α）22124. 已知sin(α－45°)＝－，且0°＜α＜90°，则cos 2α的值为________．210答案：725解析：由sin (α－45°)＝－，展开得sin α－cos α＝－.又sin 2α＋cos 2α＝1，得sin 21015α＝，cos α＝，则cos 2α＝cos 2α－sin 2α＝.35457255. 若函数f(x)＝sin 2＋cos 2－1，则函数f(x)的单调增区间是____________．(x ＋π4)(x －π4)答案：(k∈Z )[－π4＋k π，π4＋k π]解析：f(x)＝sin 2(＋x)＋sin 2(＋x)－1＝2sin 2(＋x)－1＝－cos ＝sin 2x.易得函数f(x)的π4π4π4(π2＋2x)单调增区间是(k∈Z )．[－π4＋k π，π4＋k π]6. (2017·苏州调研)已知α是第二象限角，且tan α＝－，则sin 2α＝________．13答案：－35解析：因为α是第二象限角，且tanα＝－，所以sin α＝，cos α＝－，所以sin131010310102α＝2sin αcos α＝2××(－)＝－.101031010357. 已知sin 2α＝，则cos 2＝___________．13(α－π4)答案：23解析：cos 2＝＝＝＝.(α－π4)1＋cos (2α－π2)21＋sin 2α21＋132238. 若＝2 017，则tan 2α＋＝________．1＋tan α1－tan α1cos 2α答案：2 017解析：tan 2α＋＝＋＝＝＝2 017.1cos 2α2tan α1－tan2αcos2α＋sin2αcos2α－sin2α（1＋tan α）21－tan2α1＋tan α1－tan α9. 设f(x)＝＋sin x ＋a 2sin的最大值为＋3，则常数a ＝____________．1＋cos 2x2sin (π2－x )(x ＋π4)2答案：±3解析：f(x)＝＋sin x ＋a 2sin ＝cos x ＋sin1＋2cos2x －12cos x (x ＋π4)x ＋a 2sin＝sin ＋a 2sin ＝(＋a 2)sin(x ＋)．依题意有＋a 2＝＋3，(x ＋π4)2(x ＋π4)(x ＋π4)2π422∴ a ＝±.310. 已知θ∈，且sin ＝，则tan 2θ＝________．(0，π2)(θ－π4)210答案：－247解析：由sin＝，得sin θ－cos θ＝①， θ∈，①平方得2sin θcos θ＝，(θ－π4)21015(0，π2)2425可求得sin θ＋cos θ＝，∴ sin θ＝，cos θ＝，∴ tan θ＝，tan 2θ＝＝－.754535432tan θ1－tan 2θ24711. 已知函数f(x)＝sin 2xsin φ＋cos 2xcos φ－·sin (0<φ<π)，将函数f(x)的图象向1212(π2＋φ)左平移个单位后得到函数g(x)的图象，且g ＝，则φ＝________．π12(π4)12答案：2π3解析：∵ f(x)＝sin 2xsin φ＋cos 2xcos φ－sin1212(π2＋φ)＝sin 2xsin φ＋cos φ－cos φ12cos 2x ＋1212＝sin 2xsin φ＋cos 2xcos φ1212＝cos(2x －φ)，12∴ g(x)＝cos ＝cos .12[2(x ＋π12)－φ]12(2x ＋π6－φ)∵ g ＝，(π4)12∴ 2×＋－φ＝2kπ(k∈Z )，即φ＝－2kπ(k∈Z )．π4π62π3∵ 0<φ<π，∴ φ＝.2π3二、解答题12. (2017·江阴期初)已知函数f(x)＝sin＋sin ＋2cos 2x －1，x∈R .(2x ＋π3)(2x －π3)(1) 求函数f(x)的最小正周期；(2) 求函数f(x)在区间上的最大值和最小值．[－π4，π4]解：(1) ∵ f(x)＝sin2xcos ＋cos2xsin ＋sin2xcos －cos2xsin ＋cos2x ＝sin2x ＋cos2x ＝sin，π3π3π3π32(2x ＋π4)∴ 函数f(x)的最小正周期T ＝＝π.2π2(2) ∵ 函数f(x)在区间上是增函数，在区间上是减函数，[－π4，π8][π8，π4]又f＝－1，f ＝，f ＝1，(－π4)(π8)2(π4)∴ 函数f(x)在上的最大值为，最小值为－1.[－π4，π4]213. 已知函数f(x)＝(2cos 2x －1)sin 2x ＋cos 4x.12(1) 求f(x)的最小正周期及单调递减区间；(2) 若α∈(0，π)，且f ＝，求tan 的值．(α4－π8)22(α＋π3)解：(1) f(x)＝(2cos 2x －1)sin 2x ＋cos 4x ＝cos 2xsin 2x ＋cos 4x ＝(sin 4x ＋cos 4x)＝sin 12121222，(4x ＋π4)∴ f(x)的最小正周期T ＝.π2令2kπ＋≤4x＋≤2kπ＋π，k∈Z ，π2π432得＋≤x≤＋，k∈Z .k π2π16k π25π16∴ f(x)的单调递减区间为，k∈Z .[k π2＋π16，k π2＋5π16](2) ∵ f ＝，即sin ＝1，(α4－π8)22(α－π4)又α∈(0，π)，－<α－<，π4π43π4∴α－＝，故α＝.π4π23π4因此tan＝＝＝2－.(α＋π3)tan 3π4＋tanπ31－tan 3π4tanπ3－1＋31＋33第6课时　简单的三角恒等变换一、填空题1. 已知cos 4α－sin 4α＝，则cos 4α＝________．23答案：－19解析：∵cos 4α－sin 4α＝(sin 2α＋cos 2α)(cos 2α－sin 2α)＝cos2α＝，∴cos234α＝2cos 22α－1＝2×－1＝－.(23)2 192. 若sin ＝，则cos 2α＝________．α233答案：－79解析：cosα＝1－2sin 2＝1－2×＝，cos2α＝2cos 2α－1＝2×－1＝－.α2(33)2 13(13)2 793. 在△ABC 中，若2cos Bsin A ＝sin C ，则△ABC 的形状一定是__________．答案：等腰三角形解析：在△ABC 中，C ＝π－(A ＋B)，∴ 2cos Bsin A ＝sin[π－(A ＋B)]＝sin(A ＋B)＝sin A cos B ＋cos Asin B ．∴ －sin Acos B ＋cos Asin B ＝0，即sin(B －A)＝0.∴ A ＝B ，故△ABC 的形状一定是等腰三角形．4. 在△ABC 中，tan A ＋tan B ＋＝tan A·tan B ，则C ＝__________．33答案：π3解析：由已知可得tan A ＋tan B ＝(tan A·tan B －1)，3∴ tan(A ＋B)＝＝－.又0＜A ＋B ＜π，tan A ＋tan B1－tan Atan B 3∴ A ＋B ＝，∴ C ＝.2π3π35. 若2cos 2α＝sin ，且α∈，则sin 2α＝___________．(π4－α)(π2，π)答案：－78解析：由2cos 2α＝sin ，得2(cos 2α－sin 2α)＝(cos α－sin α)，所以cos α＋sin (π4－α)22α＝.又(cos α＋sin α)2＝1＋2sin α·cos α＝1＋sin 2α＝，所以sin 2α＝－.2418786. 若α∈[0，2π)，则满足＝sin α＋cos α的α的取值范围是__________．1＋sin 2α 答案：∪[0，3π4][7π4，2π)解析：由＝sin α＋cos α，得sin α＋cos α＝sin≥0.因为α∈[0，2π)，1＋sin 2α2(α＋π4)1所以α的取值范围为∪.[0，3π4][7π4，2π)7. ＝___________．2cos 10°－sin 20°sin 70°答案：3解析：原式＝2cos （30°－20°）－sin 20°sin 70°＝2（cos 30°cos 20°＋sin 30°sin 20°）－sin 20°sin 70°＝＝.3cos 20°cos 20°38. 已知sin 2α＝－，且α∈，则sin α＝________．2425(3π4，π)答案：35解析：∵ α∈，∴ cos α＜0，sin α＞0，且|cos α|＞|sin α|.又(sin α＋cos α)(3π4，π)2＝1＋sin 2α＝1－＝，2425125∴ sin α＋cos α＝－，同理可得sin α－cos α＝，1575∴ sin α＝.359. sin 18°cos 36°＝________．答案：14解析：原式＝2sin 18°cos 18°cos 36°2cos 18°＝＝＝.2sin 36°cos 36°4cos 18°sin 72°4cos 18°1410. 已知sin α＝＋cos α，且α∈，则的值为________．12(0，π2)cos 2αsin (α－π4)答案：－142解析：由sin α＝＋cos α，得sin α－cos α＝，1212∴ (sin α－cos α)2＝，∴ 2sin αcos α＝，1434∴ (sin α＋cos α)2＝1＋2sin αcos α＝.74又α∈，∴ sin α＋cos α＝，(0，π2)72∴ ＝＝－(sin α＋cos α)cos 2αsin (α－π4)cos2α－sin2α22（sin α－cos α）2＝－.142二、解答题11. 已知△ABC 是锐角三角形，且sin ·cos ＝.(B －π6)(B －π3)12(1) 求角B 的值；(2) 若tan Atan C ＝3，求角A ，C 的值．解：(1) sincos (B －π6)(B －π3)＝(32sin B －12cos B )(12cos B ＋32sin B)＝sin 2B －cos 2B ＝sin 2B －＝，34141412所以sin 2B ＝.34因为B 为锐角三角形的内角，所以sin B ＝，即B ＝.32π3(2) 因为B ＝，所以A ＋C ＝.π32π3又△ABC 是锐角三角形，所以tan A ＞0，tan C ＞0.而tan(A ＋C)＝＝－，tan A ＋tan C1－tan Atan C 3所以tan A ＋tan C ＝tan Atan C －＝2　①.333又tan Atan C ＝3　②，由①②解得tan A ＝tan C ＝，所以A ＝C ＝.3π312. (2017·南通、扬州、泰州、苏北四市二模)已知sin ＝，α∈.(α＋π4)210(π2，π)(1) 求cos α的值；(2) 求sin的值．(2α－π4)解：(1) (解法1)因为α∈，所以α＋∈.(π2，π)π4(3π4，5π4)又sin＝，所以cos ＝－＝－＝－.(α＋π4)210(α＋π4)1－sin2(α＋π4)1－(210)2 7210所以cos α＝cos＝cos cos ＋sin sin ＝－×＋×＝－.[(α＋π4)－π4](α＋π4)π4(α＋π4)π47210222102235(解法2)由sin＝得，sin αcos ＋cos αsin ＝，(α＋π4)210π4π4210即sin α＋cos α＝　①.15又sin 2α＋cos 2α＝1　②.由①②解得cos α＝－或cos α＝.3545因为α∈，所以cos α＝－.(π2，π)35(2) 因为α∈，cos α＝－，(π2，π)35所以sin α＝＝＝.1－cos2α1－(－35)2 45所以sin 2α＝2sin αcos α＝2××＝－，45(－35)2425cos 2α＝2cos 2α－1＝2×－1＝－.(－35)2 725所以sin＝sin 2αcos －cos 2αsin ＝×－×＝－.(2α－π4)π4π4(－2425)22(－725)221725013. (2017·泰州模拟)如图，现要在一块半径为1 m ，圆心角为的扇形白铁片AOB 上剪出一个平行四π3边形MNPQ ，使点P 在弧AB 上，点Q 在OA 上，点M ，N 在OB 上，设∠BOP＝θ，平行四边形MNPQ 的面积为S.(1) 求S 关于θ的函数关系式；(2) 求S 的最大值及相应的θ值．解：(1) 分别过P ，Q 作PD⊥OB 于点D ，QE⊥OB 于点E ，则四边形QEDP 为矩形．由扇形半径为1 m ，得PD ＝sin θ，OD ＝cos θ.在Rt△OEQ 中，OE ＝QE ＝PD ，MN ＝QP ＝DE ＝OD －OE ＝cos θ－sinθ，所以S ＝MN·PD ＝333333·sin θ＝sin θcos θ－sin 2θ，θ∈.(cos θ－33sin θ)33(0，π3)(2) 由(1)得S ＝sin 2θ－(1－cos 2θ)1236＝sin 2θ＋cos 2θ－123636＝sin－，33(2θ＋π6)36因为θ∈，所以2θ＋∈，(0，π3)π6(π6，5π6)所以sin ∈.(2θ＋π6)(12，1]当θ＝时，S max ＝(m 2)．π636第7课时　正弦定理和余弦定理一、填空题1. (2017·江阴期初)在△ABC 中，若A ＝60°，B ＝45°，BC ＝3，则AC ＝________．2答案：23解析：由已知及正弦定理得＝，即AC ＝＝＝2.AC sin B BC sin A BC·sin B sin A 32·sin 45°sin 60°32. 在△ABC 中，AC ＝，A ＝45°，C ＝75°，则BC ＝______．3答案：2解析：由题意得B ＝180°－A －C ＝60°.由正弦定理得＝，则BC ＝，所以BC ＝AC sin B BC sin A AC·sin Asin B ＝.3×223223. 在△ABC 中，A ＝60°，AB ＝2，且△ABC 的面积为，则BC 的长为____________．32答案：3解析：S ＝AB·ACsin 60°＝×2××AC ＝，所以AC ＝1，所以BC 2＝AB 2＋AC 2－2AB·ACcos 60°12123232＝3，所以BC ＝.34. 已知在△ABC 中，内角A ，B ，C 所对边的长分别为a ，b ，c ，a 2＝b 2＋c 2－bc ，bc ＝4，则△ABC 的面积为________．答案：3解析：∵ a 2＝b 2＋c 2－bc ，∴ cos A ＝.12∴ A ＝.又bc ＝4，∴ △ABC 的面积为bcsin A ＝.π31235. (2017·苏锡常镇调研(二))在△ABC 中，角A ，B ，C 所对边的长分别是a ，b ，c ，若满足2bcos A ＝2c －a ，则角B 的大小为________．3答案：π6解析：由正弦定理得2sin Bcos A ＝2sin C －sin A ⇒2sin Bcos A ＝2sin(A ＋B)－sin A ⇒2sin33Acos B ＝sin A ．∵ A∈(0，π)，∴ cos B ＝.∵ B∈(0，π)，∴ B ＝.332π66. 在△ABC 中，角A ，B ，C 所对边的长分别是a ，b ，c.已知b ＝c ，a 2＝2b 2(1－sin A)，则A ＝________．答案：π4解析：由余弦定理知a 2＝b 2＋c 2－2bccos A ，因为b ＝c ，a 2＝2b 2(1－sin A)，所以b 2＋b 2－2b 2cos A ＝2b 2(1－sin A)，所以cos A ＝sin A ，即tan A ＝1.因为A∈(0，π)，所以A ＝.π47. (2017·盐城诊断)在△ABC 中，cos 2＝(a ，b ，c 分别为角A ，B ，C 所对边的长)，则△ABC 的形B 2a ＋c2c 状为________．答案：直角三角形解析：因为cos 2＝，所以2cos 2－1＝－1，所以cos B ＝，所以＝，所以B 2a ＋c 2c B 2a ＋c c a c a2＋c2－b22ac ac c 2＝a 2＋b 2.所以△ABC 为直角三角形．8. 在△ABC 中，三个内角A ，B ，C 所对边的长分别为a ，b ，c.若S △ABC ＝2，a ＋b ＝6，3＝2cos C ，则c ＝________．acos B ＋bcos Ac 答案：23解析：∵ ＝2cos C ，acos B ＋bcos Ac 由正弦定理，得sin Acos B ＋cos Asin B ＝2sin Ccos C ，∴ sin(A ＋B)＝sin C ＝2sin Ccos C.由于0＜C ＜π，sin C≠0，∴ cos C ＝，∴ C ＝.12π3∵ S △ABC ＝2＝absin C ＝ab ，∴ ab ＝8.31234又a ＋b ＝6，∴或{a ＝2，b ＝4){a ＝4，b ＝2，)∴ c 2＝a 2＋b 2－2abcos C ＝4＋16－8＝12，∴ c ＝2.39. 在△ABC 中，角A ，B ，C 所对边的长分别为a ，b ，c ，且满足csin A ＝acos C ，则sin A ＋sin B 3的最大值是______．答案：3解析：由csin A ＝acos C ，得sin Csin A ＝sin Acos C ，即sin C ＝cos C ，∴ tan C ＝，∴ 3333C ＝，A ＝－B ，π32π3∴ sin A ＋sin B ＝sin ＋sin B ＝sin.(2π3－B )3(B ＋π6)∵ 0＜B ＜，∴ ＜B ＋＜，2π3π6π65π6∴ 当B ＋＝，即B ＝时，sin A ＋sin B 的最大值为.π6π2π3310. 在锐角三角形ABC 中，若A ＝2B ，则的取值范围是________．ab 答案：(，)23解析：因为△ABC 为锐角三角形，且A ＝2B ，所以所以<B<.{0＜2B ＜π2，0＜π－3B ＜π2，)π6π4因为A ＝2B ，sin A ＝sin 2B ＝2sin Bcos B ，所以＝＝2cos B∈(，)．a b sin Asin B 23二、解答题11. 在△ABC 中，角A ，B ，C 所对边的长分别为a ，b ，c ，且满足a 2－b 2－c 2＋bc ＝0，2bsin 3A ＝a ，BC 边上中线AM 的长为.14(1) 求角A 和角B 的大小；(2) 求△ABC 的面积．解：(1) ∵ cos A ＝＝，∴ A ＝.b2＋c2－a22bc 32π6由2bsin A ＝a ，得b ＝a ，∴ B ＝A ＝.π6(2) 设AC ＝BC ＝x ，由余弦定理，得AM 2＝x 2＋－2x··＝()2，解得x ＝2，故S △ABC ＝×2×2×＝2.x24x 2(－12)142122232312. (2017·江西联考)已知△ABC 的内角A ，B ，C 所对边的长分别是a ，b ，c ，且·a2＋b2－c2ab ＝1.(a c cos B ＋bc cos A )(1) 求角C ；(2) 若c ＝，△ABC 的周长为5＋，求△ABC 的面积S.77 解：(1) 由正弦定理与余弦定理，得2cos C(sin Acos B ＋sin Bcos A)＝sin C ，即2cos Csin(A ＋B)＝sin C ，∴ 2sin Ccos C ＝sin C ，故cos C ＝，∴ C ＝.12π3(2) ∵ a ＋b ＋c ＝5＋且c ＝，∴ a ＋b ＝5.77由余弦定理，得a 2＋b 2－2abcos C ＝c 2，∴ (a ＋b)2－2ab －2abcos C ＝7，∴ 52－3ab ＝7，∴ ab ＝6，S △ABC ＝absin C ＝.1233213. (2017·苏州期中)已知函数f(x)＝2sincos x ．(1) 若0≤x≤ ，求函数f(x)的值域；(x ＋π3)π2(2) 设△ABC 的三个内角A ，B ，C 所对的边长分别为a ，b ，c ，若A 为锐角，且f(A)＝，b ＝2，c ＝3，求cos(A －B)的值．32 解：(1)f(x)＝2sincos x ＝(sin x ＋cos x)cos x ＝sinx cos x ＋cos 2x ＝sin 2x ＋cos (x ＋π3)3312322x ＋＝sin ＋.32(2x ＋π3)32由0≤x≤，得≤2x＋≤，π2π3π34π3∴－ ≤sin≤1，32(2x ＋π3)∴ 0≤sin＋≤1＋，(2x ＋π3)3232∴ 函数f(x)的值域为.[0，1＋32](2)由f(A)＝sin＋＝，(2A ＋π3)3232得sin＝0，(2A ＋π3)又0＜A ＜，∴ ＜2A ＋＜，π2π3π34π3∴ 2A ＋＝π，解得A ＝.π3π3在△ABC 中，由余弦定理得a 2＝b 2＋c 2－2bccos A ＝7，解得a ＝.7由正弦定理＝，得sin B ＝＝.a sin Ab sin B bsin Aa217∵ b ＜a ，∴ B ＜A ，∴ cos B ＝，277∴ cos(A －B)＝cos Acos B ＋sin Asin B ＝×＋×＝.12277322175714第8课时　解三角形应用举例一、填空题1. 在相距2 km 的A ，B 两点处测量目标C ，若∠CAB＝75°，∠CBA＝60°，则A ，C 两点之间的距离是________km.答案：6解析：由题意知∠ACB＝45°，由正弦定理得＝，∴ AC ＝×＝.AC sin 60°2sin 45°2223262. 如图，在坡度一定的山坡上的一点A 测得山顶上一建筑物顶端C 对于山坡的斜度为15，向山顶前进100 m 后，又从点B 测得斜度为，假设建筑物高50 m ，设山坡对于地平面的坡角为，则cos ＝________．答案：－13解析：在△ABC 中，AB ＝ 100 m , CAB ＝15°，45°－15°＝ 30°.由正弦定理＝，∴ BC ＝ 200sin 15°.100sin 30°BCsin 15°在△DBC 中，CD ＝50 m ，CBD ＝45°，CDB ＝90°＋，由正弦定理得＝，∴ cos θ＝－1.50sin 45°200sin 15°sin （90°＋θ）33. 如图，两座相距60 m 的建筑物AB ，CD 的高度分别为20 m ，50 m ，BD 为水平面，则从建筑物AB 的顶端A 看建筑物CD 的张角为________．答案：45°解析：依题意可得AD ＝20 m ，AC ＝30 m ，又CD ＝50m ，所以在△ACD 中，由余弦定理，得105cos∠CAD＝＝＝＝.AC2＋AD2－CD22AC·AD （305）2＋（2010）2－5022×305×2010 6 0006 000222又0°＜∠CAD＜180°，所以∠CAD＝45°，即从顶端A 看建筑物CD 的张角为45°.4. 如图，某住宅小区的平面图为圆心角为120°的扇形AOB ，C 是该小区的一个出入口，且小区里有一条平行于AO 的小路CD.已知某人从O 沿OD 走到D 用了2 min ，从D 沿着DC 走到C 用了3 min.若此人步行的速度为50 m/min ，则该扇形的半径为________m.答案：507解析：如图，连结OC ，在△OCD 中，OD ＝100，CD ＝150，∠CDO＝60°，由余弦定理可得OC 2＝1002＋1502－2×100×150×＝17 500，解得OC ＝50 m.1275. 如图，一艘船上午9：30在A 处测得灯塔S 在它的北偏东30°处，之后它继续沿正北方向匀速航行，上午10：00到达B 处，此时又测得灯塔S 在它的北偏东75°处，且与它相距8 n mile.此船的航速是2__________n mile/h.答案：32。

2019届高考数学一轮复习第三章三角函数、解三角形第六节简单的三角恒等变换课时作业

第六节简单的三角恒等变换课时作业 A 组——基础对点练1．已知cos(2π3－2θ)＝－79，则sin(π6＋θ)的值等于( )A.13 B ．±13C ．－19D.19解析：因为cos(2π3－2θ)＝cos(2θ－2π3)＝－cos(2θ－2π3＋π)＝－cos[2(θ＋π6)]＝－79，即cos[2(θ＋π6)]＝79，所以sin 2(θ＋π6)＝1－cos[2θ＋π6]2＝19，所以sin(θ＋π6)＝±13，故选B. 答案：B2．(2018·开封模拟)设a ＝12cos 6°－32sin 6°，b ＝2tan 13°1－tan 213°，c ＝ 1－cos 50°2，则( ) A ．c <b <a B ．a <b <c C ．a <c <bD ．b <c <a解析：∵a ＝sin 30°cos 6°－cos 30°sin 6°＝sin 24°，b ＝tan 26°，c ＝sin 25°，∴a <c <b . 答案：C3．为了得到函数y ＝sin 3x ＋cos 3x 的图象，可以将函数y ＝2cos 3x 的图象( ) A ．向右平移π12个单位B ．向右平移π4个单位C ．向左平移π12个单位D ．向左平移π4个单位解析：∵y ＝sin 3x ＋cos 3x ＝2cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫3x －π4＝2cos ⎣⎢⎡⎦⎥⎤3⎝ ⎛⎭⎪⎫x －π12， ∴将y ＝2cos 3x 的图象向右平移π12个单位即可得到y ＝2cos ⎣⎢⎡⎦⎥⎤3⎝ ⎛⎭⎪⎫x －π12的图象，故选A.答案：A4．已知f (x )＝2sin 2x ＋2sin x cos x ，则f (x )的最小正周期和一个单调递减区间分别为( ) A ．2π，[3π8，7π8]B ．π，[3π8，7π8]C ．2π，[－π8，3π8]D ．π，[－π8，3π8]解析：f (x )＝2sin 2x ＋2sin x cos x ＝1－cos 2x ＋sin 2x ＝2sin(2x －π4)＋1，∴T ＝2π2＝π，由π2＋2k π≤2x －π4≤3π2＋2k π(k ∈Z)得3π8＋k π≤x ≤7π8＋k π(k ∈Z)，令k ＝0得f (x )在[3π8，7π8]上单调递减，故选B. 答案：B5．函数y ＝cos 2x ＋2sin x 的最大值为( ) A.34 B ．1 C.32D ．2解析：y ＝cos 2x ＋2sin x ＝1－2sin 2x ＋2sin x ＝－2⎝ ⎛⎭⎪⎫sin x －122＋32，因为－1≤sin x ≤1，所以当sin x ＝12时，函数取最大值，故y max ＝32.答案：C6．已知2cos 2x ＋sin 2x ＝A sin(ωx ＋φ)＋b (A >0)，则A ＝_______，b ＝_______.解析：由于2cos 2x ＋sin 2x ＝1＋cos 2x ＋sin 2x ＝2sin(2x ＋π4)＋1，所以A ＝2，b ＝1.答案： 2 17．化简：2sin π－α＋sin 2αcos 2α2＝________.解析：2sin π－α＋sin 2αcos 2α2＝2sin α＋2sin αcos α121＋cos α＝4sin α1＋cos α1＋cos α＝4sin α.答案：4sin α8．已知函数f (x )＝(sin x ＋cos x )sin x ，x ∈R ，则f (x )的最小值是__________．解析：f (x )＝sin 2x ＋sin x ·cos x ＝1－cos 2x 2＋12sin 2x ＝22sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π4＋12，当sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π4＝－1时，f (x )min ＝1－22.答案：1－229．已知函数f (x )＝(a ＋2cos 2x )cos(2x ＋θ)为奇函数，且f (π4)＝0，其中a ∈R ，θ∈(0，π)．(1)求a ，θ的值；(2)若f (α4)＝－25，α∈(π2，π)，求sin(α＋π3)的值．解析：(1)因为f (x )＝(a ＋2cos 2x )cos(2x ＋θ)是奇函数，而y 1＝a ＋2cos 2x 为偶函数，所以y 2＝cos(2x ＋θ)为奇函数，由θ∈(0，π)，得θ＝π2，所以f (x )＝－sin 2x ·(a ＋2cos 2x )，由f (π4)＝0得－(a ＋1)＝0，即a ＝－1.(2)由(1)得f (x )＝－12sin 4x ，因为f (α4)＝－12sin α＝－25，即sin α＝45，又α∈(π2，π)，从而cos α＝－35，所以sin(α＋π3)＝sin αcos π3＋cos αsin π3＝4－3310.10．已知a ＝(sin x ，－cos x )，b ＝(cos x ，3cos x )，函数f (x )＝a ·b ＋32. (1)求f (x )的最小正周期，并求其图象对称中心的坐标； (2)当0≤x ≤π2时，求函数f (x )的值域．解析：(1)因为f (x )＝sin x cos x －3cos 2x ＋32＝12sin 2x －32(cos 2x ＋1)＋32 ＝12sin 2x －32cos 2x ＝sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x －π3，所以f (x )的最小正周期为π，令sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π3＝0，得2x －π3＝k π，∴x ＝k 2π＋π6，k ∈Z ，故所求对称中心的坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫k2π＋π6，0(k ∈Z)．(2)∵0≤x ≤π2，∴－π3≤2x －π3≤2π3，∴－32≤sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π3≤1，故f (x )的值域为⎣⎢⎡⎦⎥⎤－32，1. B 组——能力提升练1．(2018·石家庄质检)若函数f (x )＝3sin(2x ＋θ)＋cos(2x ＋θ)(0＜θ＜π)的图象关于(π2，0)对称，则函数f (x )在[－π4，π6]上的最小值是( ) A ．－1 B ．－ 3 C ．－12D ．－32解析：f (x )＝3sin(2x ＋θ)＋cos(2x ＋θ)＝2sin(2x ＋θ＋π6)，则由题意，知f (π2)＝2sin(π＋θ＋π6)＝0，又0＜θ＜π，所以θ＝5π6，所以f (x )＝－2sin 2x ，f (x )在[－π4，π4]上是减函数，所以函数f (x )在[－π4，π6]上的最小值为f (π6)＝－2sin π3＝－3，故选B.答案：B2．函数f (x )＝12(1＋cos 2x )·sin 2x (x ∈R)是( )A ．最小正周期为π的奇函数B ．最小正周期为π2的奇函数C ．最小正周期为π的偶函数D ．最小正周期为π2的偶函数解析： f (x )＝14(1＋cos 2x )(1－cos 2x )＝14(1－cos 22x )＝14sin 22x ＝18(1－cos 4x )，f (－x )＝18(1－cos 4x )＝f (x )，因此函数f (x )是最小正周期为π2的偶函数，选D.答案：D3．设α，β∈[0，π]，且满足sin αcos β－cos αsin β＝1，则sin(2α－β)＋sin(α－2β)的取值范围为( ) A ．[－2，1] B ．[－1，2] C ．[－1,1]D ．[1，2]解析：∵sin αcos β－cos αsin β＝1⇒sin(α－β)＝1，α，β∈[0，π]，∴α－β＝π2，∴⎩⎨⎧0≤α≤π，0≤β＝α－π2≤π⇒π2≤α≤π， ∴sin(2α－β)＋sin(α－2β)＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2α－α＋π2＋sin(α－2α＋π)＝sin α＋cos α＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π4.∵π2≤α≤π，∴3π4≤α＋π4≤54π， ∴－1≤2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π4≤1，即取值范围是[－1,1]，故选C. 答案：C4．已知2sin 2θ＋sin 2θ1＋tan θ＝k,0<θ<π4，则sin ⎝⎛⎭⎪⎫θ－π4的值为( ) A ．随着k 的增大而增大B ．有时随着k 的增大而增大，有时随着k 的增大而减小C ．随着k 的增大而减小D ．是与k 无关的常数解析：2sin 2θ＋sin 2θ1＋tan θ＝2sin θsin θ＋cos θsin θ＋cos θcos θ＝2sin θcos θ＝sin 2θ，∵0<θ<π4，∴0<sin θ<22<cos θ<1,0<2θ<π2，∴k ＝sin 2θ∈(0,1)，(sin θ－cos θ)2＝1－sin 2θ，sin θ－cos θ＝－1－sin 2θ＝－1－k ，故sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫θ－π4＝22(sin θ－cos θ)＝－2－2k 2，其值随着k 的增大而增大，故选A. 答案：A5．函数f (x )＝4cos x ·sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π6－1(x ∈R)的最大值为__________．解析：∵f (x )＝4cos x sin ⎝⎛⎭⎪⎫x ＋π6－1 ＝4cos x ⎝⎛⎭⎪⎫32sin x ＋12cos x －1＝23sin x cos x ＋2cos 2x －1＝3sin 2x ＋cos 2x ＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π6，∴f (x )max ＝2. 答案：26．已知函数f (x )＝A cos 2(ωx ＋φ)＋1( A >0，ω>0，0<⎭⎪⎫φ<π2的最大值为3，f (x )的图象与y 轴的交点坐标为(0,2)，其相邻两条对称轴间的距离为2，则f (1)＋f (2)＋…＋f (2 016)＝__________.解析：f (x )＝A 2cos(2ωx ＋2φ)＋A 2＋1.由相邻两条对称轴间的距离为2，知T 2＝2，得T ＝4＝2π2ω，∴ω＝π4，由f (x )的最大值为3，得A ＝2.又f (x )的图象过点(0,2)，∴cos 2φ＝0，∴2φ＝k π＋π2(k ∈Z)，即φ＝k π2＋π4(k ∈Z)，又0<φ<π2，∴φ＝π4，∴f (x )＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2x ＋π2＋2＝－sin πx2＋2.∴f (1)＋f (2)＋…＋f (2 016)＝(－1＋2)＋(0＋2)＋(1＋2)＋(0＋2)＋(－1＋2)＋…＋(0＋2)＝2×2 016＝4 032. 答案：4 0327．已知函数f (x )＝sin(3x ＋π4)．(1)求f (x )的单调递增区间； (2)若α是第二象限角，f (α3)＝45cos(α＋π4)cos 2α，求cos α－sin α的值．解析：(1)因为函数y ＝sin x 的单调递增区间为[－π2＋2k π，π2＋2k π]，k ∈Z.由－π2＋2k π≤3x＋π4≤π2＋2k π，k ∈Z ，得－π4＋2k π3≤x ≤π12＋2k π3，k ∈Z. 所以函数f (x )的单调递增区间为[－π4＋2k π3，π12＋2k π3]，k ∈Z.(2)由已知，有sin(α＋π4)＝45cos(α＋π4)(cos 2α－sin 2α)，所以sin αcos π4＋cos αsinπ4＝45(cos αcos π4－sin αsin π4)·(cos 2α－sin 2α)，即sin α＋cos α＝45(cos α－sin α)2(sin α＋cos α)．当sin α＋cos α＝0时，由α是第二象限角，知α＝3π4＋2k π，k ∈Z.此时，cos α－sin α＝－ 2.当sin α＋cos α≠0时，有(cos α－sin α)2＝54.由α是第二象限角，知cos α－sin α<0，此时cos α－sin α＝－52. 综上所述，cos α－sin α＝－2或－52. 8．已知函数f (x )＝sin ωx －sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫ωx ＋π3(ω>0)． (1)若f (x )在[0，π]上的值域为⎣⎢⎡⎦⎥⎤－32，1，求ω的取值范围； (2)若f (x )在⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π3上单调，且f (0)＋f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π3＝0，求ω的值．解析：f (x )＝sin ωx －sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫ωx ＋π3＝sin ⎝⎛⎭⎪⎫ωx －π3.(1)由x ∈[0，π]⇒ωx －π3∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π3，ωπ－π3，又f (x )在[0，π]上的值域为⎣⎢⎡⎦⎥⎤－32，1，即最小值为－32，最大值为1，则由正弦函数的图象可知π2≤ωπ－π3≤4π3，得56≤ω≤53.∴ω的取值范围是⎣⎢⎡⎦⎥⎤56，53.(2)因为f (x )在⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π3上单调，所以T 2≥π3－0，则πω≥π3，即ω≤3，又ω>0，所以0<ω≤3，由f (0)＋f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π3＝0且f (x )在⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π3上单调，得⎝ ⎛⎭⎪⎫π6，0是f (x )图象的对称中心，∴ωπ6－π3＝k π，k ∈Z ⇒ω＝6k ＋2，k ∈Z ，又0<ω≤3，所以ω＝2.。

2019年高考数学一轮总复习第三章三角函数、解三角形3.5三角恒等变换课时跟踪检测理

3.5 三角恒等变换[课时跟踪检测][基础达标]1．(2018届南宁质量检测)已知π2＜α＜π，3sin2α＝2cos α，则cos(α－π)等于( )A.23 B ．64C.223D ．326解析：由3sin2α＝2cos α，得sin α＝13.因为π2＜α＜π，所以cos(α－π)＝－cos α＝1－⎝ ⎛⎭⎪⎫132＝223.答案：C2．已知sin α＋cos α＝13，则sin 2⎝ ⎛⎭⎪⎫π4－α＝( )A.118B ．1718 C.89D ．29解析：由sin α＋cos α＝13两边平方得1＋sin2α＝19，解得sin2α＝－89，所以sin 2⎝ ⎛⎭⎪⎫π4－α＝1－cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2－2α2＝1－sin2α2＝1＋892＝1718.答案：B3．(2017届东北四市联考)已知sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6－α＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6＋α，则cos2α＝( )A ．1B ．－1 C.12D ．0解析：∵sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6－a ＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6＋α， ∴12cos α－32sin α＝32cos α－12sin α，即⎝ ⎛⎭⎪⎫12－32sin α＝－⎝ ⎛⎭⎪⎫12－32cos α，∴tan α＝sin αcos α＝－1，∴α＝k π－π4，k ∈Z ，∴cos2α＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫2k π－π2＝0. 答案：D4．已知sin2α＝35⎝ ⎛⎭⎪⎫π2＜2α＜π，tan(α－β)＝12，则tan(α＋β)等于( ) A ．－2 B ．－1 C ．－211D ．211解析：由题意可得cos2α＝－45，则tan2α＝－34，tan(α＋β)＝tan[2α－(α－β)]＝tan2α－α－β1＋tan2αα－β＝－2.答案：A5．在斜三角形ABC 中，sin A ＝－2cos B cos C ，且tan B ·tan C ＝1－2，则角A 的值为( )A.π4 B ．π3C.π2D ．3π4解析：由题意知，sin A ＝－2cos B cos C ＝sin(B ＋C )＝sin B cos C ＋cos B sin C ，在等式－2cos B cos C ＝sin B cos C ＋cos B sin C 两边同除以cos B cos C 得tan B ＋tan C ＝－2，又tan(B ＋C )＝tan B ＋tan C1－tan B tan C ＝－1＝－tan A ，即tan A ＝1，所以A ＝π4.答案：A6．已知sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫α－π4＝7210，cos2α＝725，则sin α＝( ) A.45 B ．－45C.35D ．－35解析：由sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫α－π4＝7210得sin α－cos α＝75.① 由cos2α＝725得cos 2α－sin 2α＝725，即(cos α－sin α)(cos α＋sin α)＝725.②由①②可得cos α＋sin α＝－15.③由①③可得sin α＝35.答案：C7．若tan α＝3，则sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2α＋π4的值为( ) A ．－210B ．210C.5210 D ．7210解析：∵sin2α＝2sin αcos α＝2sin αcos αsin 2α＋cos 2α＝2tan αtan 2α＋1＝35，cos2α＝cos 2α－sin 2α＝cos 2α－sin 2αcos 2α＋sin 2α＝1－tan 2α1＋tan 2α＝－45， ∴sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2α＋π4＝22sin2α＋22cos2α＝22×35＋－45＝－210.答案：A8．已知cos(α＋β)＝16，cos(α－β)＝13，则tan αtan β的值为________．解析：因为cos(α＋β)＝16，所以cos αcos β－sin αsin β＝16.①因为cos(α－β)＝13，所以cos αcos β＋sin αsin β＝13.②①＋②得cos αcos β＝14.②－①得sin αsin β＝112.所以tan αtan β＝sin αsin βcos αcos β＝13.答案：139．已知方程x 2＋3ax ＋3a ＋1＝0(a >1) 的两根分别为tan α，tan β，且α，β∈⎝ ⎛⎭⎪⎫－π2，π2，则α＋β＝________. 解析：由已知得tan α＋tan β＝－3a ，tan αtan β＝3a ＋1， ∴tan(α＋β)＝1.又∵α，β∈⎝ ⎛⎭⎪⎫－π2，π2，tan α＋tan β＝－3a <0，tan αtan β＝3a ＋1>0，∴tan α<0，tan β<0，∴α，β∈⎝ ⎛⎭⎪⎫－π2，0， ∴α＋β∈(－π，0)，∴α＋β＝－3π4.答案：－3π410．已知tan α＝－13，cos β＝55，α∈⎝ ⎛⎭⎪⎫π2，π，β∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π2，求tan(α＋β)的值，并求出α＋β的值．解：由cos β＝55，β∈⎝⎛⎭⎪⎫0，π2，得sin β＝255，tan β＝2.∴tan(α＋β)＝tan α＋tan β1－tan αtan β＝－13＋21＋23＝1.∵α∈⎝⎛⎭⎪⎫π2，π，β∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π2，∴π2＜α＋β＜3π2， ∴α＋β＝5π4.11．(2017届广东六校联考)已知函数f (x )＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π12，x ∈R . (1)求f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－π4的值；(2)若cos θ＝45，θ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π2，求f ⎝ ⎛⎭⎪⎫2θ－π3的值．解：(1)f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－π4＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫－π4＋π12＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫－π6＝－12.(2)f ⎝ ⎛⎭⎪⎫2θ－π3＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2θ－π3＋π12＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2θ－π4＝22(sin2θ－cos2θ)．因为cos θ＝45，θ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π2，所以sin θ＝35，所以sin2θ＝2sin θcos θ＝2425，cos2θ＝cos 2θ－sin 2θ＝725，所以f ⎝ ⎛⎭⎪⎫2θ－π3＝22(sin2θ－cos2θ)＝ 22×⎝ ⎛⎭⎪⎫2425－725＝17250. 12．已知函数f (x )＝A cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫x 4＋π6，x ∈R ，且f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π3＝ 2.(1)求A 的值；(2)设α，β∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π2，f ⎝ ⎛⎭⎪⎫4α＋4π3＝－3017，f ⎝ ⎛⎭⎪⎫4β－2π3＝85，求cos(α＋β)的值．解：(1)因为f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π3＝A cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π12＋π6＝A cos π4＝22A ＝2，所以A ＝2.(2)由f ⎝ ⎛⎭⎪⎫4α＋4π3＝2cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π3＋π6＝2cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π2＝－2sin α＝－3017，得sin α＝1517，又α∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π2，所以cos α＝817.由f ⎝ ⎛⎭⎪⎫4β－2π3＝2cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫β－π6＋π6＝2cos β＝85，得cos β＝45，又β∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π2，所以sin β＝35，所以cos(α＋β)＝cos αcos β－sin αsin β＝817×45－1517×35＝－1385.[能力提升]1．cos π9·cos 2π9·cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫－23π9＝( )A ．－18B ．－116C.116D ．18解析：cos π9·cos 2π9·cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫－23π9＝cos20°·cos40°·cos100° ＝－cos20°·cos40°·cos80°＝－sin20°·cos20°·cos40°·cos80°sin20°＝－12sin40°·cos40°·cos80°sin20°＝－14sin80°·cos80°sin20°＝－18sin160°sin20°＝－18sin20°sin20°＝－18.答案：A2．已知cos α＝13，cos(α＋β)＝－13，且α，β∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π2，则cos(α－β)＝( )A ．－12B ．12C ．－13D ．2327解析：因为α∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π2，所以2α∈(0，π)，因为cos α＝13，所以cos2α＝2cos 2α－1＝－79，所以sin2α＝1－cos 22α＝429.又α，β∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π2，所以α＋β∈(0，π)，所以sin(α＋β)＝1－cos2α＋β＝223，所以cos(α－β)＝cos[2α－(α＋β)]＝cos2αcos(α＋β)＋sin2αsin(α＋β)＝⎝ ⎛⎭⎪⎫－79×⎝ ⎛⎭⎪⎫－13＋429×223＝2327.故选D.答案：D3．(2017届合肥质检)已知cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6＋αcos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π3－α＝－14，α∈⎝ ⎛⎭⎪⎫π3，π2.(1)求sin2α的值； (2)求tan α－1tan α的值．解：(1)cos ⎝⎛⎭⎪⎫π6＋αcos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π3－α＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6＋αsin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6＋α ＝12sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2α＋π3＝－14，即sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2α＋π3＝－12. ∵α∈⎝⎛⎭⎪⎫π3，π2，∴2α＋π3∈⎝ ⎛⎭⎪⎫π，4π3， ∴cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫2α＋π3＝－32， ∴sin2α＝sin ⎣⎢⎡⎦⎥⎤⎝⎛⎭⎪⎫2α＋π3－π3＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2α＋π3cos π3－cos ⎝⎛⎭⎪⎫2a ＋π3sin π3＝12.(2)∵α∈⎝ ⎛⎭⎪⎫π3，π2，∴2α∈⎝ ⎛⎭⎪⎫2π3，π，又由(1)知sin2α＝12，∴cos2α＝－32.∴tan α－1tan α＝sin αcos α－cos αsin α＝sin 2α－cos 2αsin αcos α＝－2cos2αsin2α＝－2×－3212＝2 3.4．已知角α的顶点在坐标原点，始边与x 轴的正半轴重合，终边经过点P (－3，3)． (1)求sin2α－tan α的值；(2)若函数f (x )＝cos(x －α)cos α－sin(x －α)sin α，求函数g (x )＝3f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2－2x －2f 2(x )在区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，2π3上的值域．解：(1)∵角α的终边经过点P (－3，3)， ∴sin α＝12，cos α＝－32，tan α＝－33.∴sin2α－tan α＝2sin αcos α－tan α＝－32＋33＝－36. (2)∵f (x )＝cos(x －α)cos α－sin(x －α)sin α＝cos x ，x ∈R ，∴g (x )＝3cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2－2x －2cos 2x ＝3sin2x －1－cos2x ＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π6－1，∵0≤x ≤2π3，∴－π6≤2x －π6≤7π6.∴－12≤sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π6≤1，∴－2≤2sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x －π6－1≤1，故函数g (x )＝3f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2－2x －2f 2(x )在区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，2π3上的值域是[－2,1]．。

2019年高考数学一轮总复习第三章三角函数解三角形3.5三角恒等变换课时跟踪检测理

所以tanαtanβ＝＝ .
答案：
9．已知方程x2＋3ax＋3a＋1＝0(a>1)的两根分别为tanα，tanβ，且α，β∈ ，则α＋β＝________.
解析：由已知得tanα＋tanβ＝－3a，tanαtanβ＝3a＋1，
∴tan(α＋β)＝1.
又∵α，β∈ ，tanα＋tanβ＝－3a<0，tanαtanβ＝3a＋1>0，∴tanα<0，tanβ<0，∴α，β∈ ，
＝－cos20°·cos40°·cos80°
＝－
＝－
＝－
＝－＝－＝－ .
答案：A
2．已知cosα＝，cos(α＋β)＝－，且α，β∈ ，则cos(α－β)＝()
A．－ B．
C．－ D．
解析：因为α∈ ，所以2α∈(0，π)，因为cosα＝，所以cos2α＝2cos2α－1＝－，所以sin2α＝＝ .又α，β∈ ，所以α＋β∈(0，π)，所以sin(α＋β)＝＝，所以cos(α－β)＝cos[2α－(α＋β)]＝cos2αcos(α＋β)＋sin2αsin(α＋β)＝ × ＋ × ＝ .故选D.
由①②可得cosα＋sinα＝－ .③
由①③可得sinα＝ .
答案：C
7．若tanα＝3，则sin 的值为()
A．－ B．
C. D．
解析：∵sin2α＝2sinαcosα＝＝＝，cos2α＝cos2α－sin2α＝＝＝－，
∴sin ＝ sin2α＋ cos2α＝ × ＋－＝－ .
答案：A
答案：A
5．在斜三角形ABC中，sinA＝－ cosBcosC，且tanB·tanC＝1－，则角A的值为()
A. B．

2019版高考数学一轮复习训练：基础与考点过关第三章三角函数、三角恒等变换及解三角形

第三章三角函数、三角恒等变换及解三角形第1课时任意角和弧度制及任意角的三角函数1. (必修4P 10习题9改编)小明从家步行到学校需要15 min ，则这段时间内钟表的分针走过的角度是________．答案：－90°解析：利用定义得分针是顺时针走的，形成的角是负角．又周角为360°，所以360°60×15＝90°，即分针走过的角度是－90°.2. (必修4P 10习题4改编)若角θ的终边与角4π5的终边相同，则在[0，2π)内终边与角θ2的终边相同的角的集合为__________________．(用列举法表示) 答案：⎩⎨⎧⎭⎬⎫2π5，7π5解析：由题意θ＝4π5＋2k π(k∈Z )，∴ θ2＝2π5＋k π(k∈Z )．由0≤θ2<2π，即0≤2π5＋k π<2π知－25≤k<85，k ∈Z .∴ k ＝0或1.故在[0，2π)内终边与角θ2的终边相同的角的集合为⎩⎨⎧⎭⎬⎫2π5，7π5. 3. (必修4P 9例3改编)已知扇形的面积为2，扇形圆心角的弧度数是4，则扇形的周长为__________．答案：6解析：设扇形的半径为R ，则12R 2α＝2，∴ 12R 2×4＝2.而R 2＝1，∴ R ＝1，∴ 扇形的周长为2R ＋α·R＝2＋4＝6.4. 已知角θ的终边经过点P(8，m ＋1)，且sin θ＝35，则m ＝________．答案：5解析：sin θ＝m ＋182＋（m ＋1）2＝35，解得m ＝5. 5. 函数y ＝lg(2cos x －1)的定义域为____________．答案：⎝⎛⎭⎪⎫2k π－π3，2k π＋π3(k∈Z ) 解析：∵ 2cos x －1＞0，∴ cos x ＞12.利用三角函数线画出x 满足条件的终边范围(如图阴影部分所示)，∴ x ∈⎝⎛⎭⎪⎫2k π－π3，2k π＋π3(k∈Z )．1. 任意角(1) 角的概念的推广① 按旋转方向不同分为正角、负角、零角． ② 按终边位置不同分为象限角和轴线角． (2) 终边相同的角终边与角α相同的角可写成α＋k·360°(k∈Z )． (3) 弧度制① 1弧度的角：长度等于半径长的弧所对的圆心角叫做1弧度的角．② 规定：正角的弧度数为正数，负角的弧度数为负数，零角的弧度数为零，|α|＝lr，l 是以角α作为圆心角时所对圆弧的长，r 为半径．③ 弧度与角度的换算：360°＝2π rad ；180°＝π rad ；1°＝π180 rad ；1 rad ＝180π度．④ 弧长公式：l ＝|α|r ．扇形面积公式：S 扇形＝12lr ＝12|α|r 2．2. 任意角的三角函数(1) 任意角的三角函数的定义设P(x ，y)是角α终边上任意一点，且|PO|＝r(r ＞0)，则有sin α＝y r ，cos α＝xr，tan α＝yx，它们都是以角为自变量，以比值为函数值的函数．(2) 三角函数在各象限内的正值口诀是：Ⅰ全正、Ⅱ正弦、Ⅲ正切、Ⅳ余弦． (3) 特殊角的三角函数值45°π42222160°π33212390°π21 0 /120°2π332－12－ 3续表角αα弧度数sin αcos αtan α135°3π422－22－1150°5π612－32－33180°π0 －1 0270°3π2－1 0 /3.设角α的顶点在坐标原点，始边与x轴非负半轴重合，终边与单位圆相交于点P，过点P作PM垂直x轴于点M，则点M是点P在x轴上的正射影．由三角函数的定义知，点P的坐标为(cos_α，sin_α)，其中cos α＝OM，sin α＝MP，单位圆与x轴的正半轴交于点A，单位圆在A点的切线与α的终边或其反向延长线相交于点T，则tan α＝AT．我们把有向线段OM，MP，AT叫做α的余弦线、正弦线、正切线．三角函数线[备课札记], 1象限角及终边相同的角), 1) (1) 已知α＝－2 017°，则与角α终边相同的最小正角为________，最大负角为________．(2) (必修4P 10习题12改编)已知角α是第三象限角，试判断：① π－α是第几象限角？② α2是第几象限角？③ 2α的终边在什么位置？(1) 答案：143° －217° 解析：α可以写成－6×360°＋143°的形式，则与α终边相同的角可以写成k·360°＋143°(k∈Z )的形式．当k ＝0时，可得与角α终边相同的最小正角为143°，当k ＝－1时，可得最大负角为－217°.(2) 解：①∵ α是第三象限角，∴ 2k π＋π<α<2k π＋3π2，k ∈Z .∴ －2k π－π2<π－α<－2k π，k ∈Z .∴ π－α是第四象限角．② ∵ k π＋π2<α2<k π＋3π4，k ∈Z ，∴ α2是第二或第四象限角．③ ∵ 4k π＋2π<2α<4k π＋3π，k ∈Z ，∴ 2α的终边在第一或第二象限或y 轴非负半轴上．变式训练(必修4P 10习题5改编)终边在直线y ＝3x 上的角的集合可表示为____________．答案：⎩⎨⎧⎭⎬⎫x|x ＝k π＋π3，k ∈Z 解析：直线y ＝3x 经过第一象限、第三象限，直线的倾斜角为π3，则终边在该直线上的角的集合为{x|x ＝k π＋π3，k ∈Z }．, 2 三角函数的定义), 2) (1) 点P 是始边与x 轴的正半轴重合、顶点在原点的角θ的终边上的一点，若|OP|＝2，θ＝60°，则点P 的坐标是__________；(2) (2017·泰州模拟)已知角α的终边过点P(－8m ，－6sin 30°)，且cos α＝－45，则m 的值为________．答案：(1) (1，3) (2) 12解析：(1) 设点P 的坐标为(x ，y)，由三角函数的定义，得sin 60°＝y2，cos 60°＝x2，所以x ＝2cos 60°＝1，y ＝2sin 60°＝3，故点P 的坐标为(1，3)． (2) ∵ r＝64m 2＋9，∴ cos α＝－8m 64m 2＋9＝－45，∴ m ＞0，∴ 4m 264m 2＋9＝125，即m ＝12.变式训练(2017·无锡期末)已知角α的终边与单位圆的交点为P ⎝ ⎛⎭⎪⎫－12，y ，则sin α·tan α＝________．答案：－32解析：由OP 2＝14＋y 2＝1，得y 2＝34，y ＝±32.当y ＝32时，sin α＝32，tan α＝－3，此时sin α·tan α＝－32. 当y ＝－32时，sin α＝－32，tan α＝3，此时sin α·tan α＝－32., 3 三角函数的符号及判定), 3) 点A(sin 2 017°，cos(－2 017°))位于第________象限．答案：三解析：因为2 017°＝5×360°＋217°是第三象限角，所以sin 2 017°＜0.又－2 017°＝－6×360°＋143°是第二象限角，所以cos(－2 017°)＜0，所以点A(sin 2 017°，cos(－2 017°))位于第三象限．变式训练下列判断正确的是________．(填序号)① sin 300°＞0；② cos(－305°)＜0；③ tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫－223π＞0；④ sin 10＜0. 答案：④解析：300°＝360°－60°，则300°是第四象限角；－305°＝－360°＋55°，则－305°是第一象限角；－223π＝－8π＋23π，则－223π是第二象限角；因为3π＜10＜72π，所以10是第三象限角．故sin 300°＜0，cos(－305°)＞0，tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫－223＜0，sin 10＜0，④正确．, 4 弧长公式与扇形面积公式), 4) 扇形AOB 的周长为8 cm.(1) 若这个扇形的面积为3 cm 2，求圆心角的大小；(2) 求这个扇形的面积取得最大值时圆心角的大小和弦长AB. 解：设扇形AOB 的半径为r cm ，弧长为l cm ，圆心角为α，(1) 由题意可得⎩⎪⎨⎪⎧2r ＋l ＝8，12lr ＝3，解得⎩⎪⎨⎪⎧r ＝3，l ＝2或⎩⎪⎨⎪⎧r ＝1，l ＝6，∴ α＝l r ＝23或6.(2) ∵ 2r＋l ＝8，∴ S 扇＝12lr ＝14l ·2r ≤14·⎝ ⎛⎭⎪⎫l ＋2r 22＝14×⎝ ⎛⎭⎪⎫822＝4(cm 2)，当且仅当2r ＝l ，即α＝lr＝2时，扇形面积取得最大值，∴ r ＝2，∴ 弦长AB ＝2×2sin 1＝4sin 1(cm)．备选变式（教师专享）已知扇形的周长是 4 cm ，则扇形面积最大时，扇形的圆心角的弧度数是________；扇形的圆心角所对的弦长为________cm.答案： 2 2sin 1解析：设此扇形的半径为r cm ，弧长为l cm ，则2r ＋l ＝4，面积S ＝12rl ＝12r(4－2r)＝－r 2＋2r ＝－(r －1)2＋1，故当r ＝1时S 最大，这时l ＝4－2r ＝2 cm.从而α＝l r ＝21＝2.扇形的圆心角所对的弦长为2sin 1 cm.1. 若tan(α＋45°)<0，则sin α，cos α，sin 2α，cos 2α中一定为负数的是__________．答案：cos 2α解析：∵ tan(α＋45°)<0，∴ k ·180°－135°<α<k ·180°－45°，∴ k ·360°－270°<2α<k ·360°－90°，∴ cos 2α<0.2. (2017·苏州期末)已知角θ的终边经过点P(4，m)，且sin θ＝35，则m ＝________．答案：3解析：sin θ＝m 16＋m 2＝35，解得m ＝3. 3. 若α＝k·360°＋θ，β＝m·360°－θ(k ，m ∈Z )，则下列关于角α与β的终边的位置关系的说法正确的是________．(填序号)① 重合；② 关于原点对称；③ 关于x 轴对称；④ 关于y 轴对称．答案：③解析：显然角α与角θ的终边相同，角β与角－θ的终边相同，而θ与－θ的终边关于x 轴对称，故说法正确的是③.4. 已知一扇形的圆心角为α (α>0)，扇形所在圆的半径为R.(1) 若α＝90°，R ＝10 cm ，求扇形的弧长及该弧所在的弓形的面积；(2) 若扇形的周长是一定值C cm(C>0)，当α为多少弧度时，该扇形有最大面积？解：(1) 设弧长为l ，弓形面积为S 弓，又α＝90°＝π2，R ＝10，则l ＝π2×10＝5π(cm)，S 弓＝S 扇－S 三角形＝12×5π×10－12×102＝25π－50 (cm 2)．(2) 扇形周长C ＝2R ＋l ＝(2R ＋αR)cm ，∴ R ＝C2＋αcm ，∴ S 扇＝12α·R 2＝12α·⎝ ⎛⎭⎪⎫C 2＋α2＝C 2α2·14＋4α＋α2＝C 22·14＋α＋4α≤C 216. 当且仅当α2＝4，即α＝2时，扇形面积有最大值C 216cm 2.1. 给出下列命题：① 第二象限角大于第一象限角；② 三角形的内角是第一象限角或第二象限角；③ 不论用角度制还是用弧度制度量一个角，它们与扇形所在半径的大小无关； ④ 若sin α＝sin β，则α与β的终边相同； ⑤ 若cos θ<0，则θ是第二或第三象限的角．其中正确的命题是________．(填序号) 答案：③解析：由于第一象限角370°大于第二象限角100°，故①错；当三角形的内角为90°时，其既不是第一象限角，也不是第二象限角，故②错；③正确；正弦值相等，但角的终边不一定相同，故④错；当θ＝π时，cos θ＝－1<0，θ既不是第二象限角，也不是第三象限角，故⑤错．综上可知，只有③正确．2. 已知角θ的顶点与原点重合，始边与x 轴的正半轴重合，终边在直线y ＝2x 上，则cos 2θ＝________．答案：－35解析：取终边上一点(a ，2a )(a≠0)，根据任意角的三角函数定义，可得cos θ＝±55，故cos 2θ＝2cos 2θ－1＝－35.3. (2017·扬州一中月考改编)已知角α的终边与单位圆x 2＋y 2＝1交于点P ⎝ ⎛⎭⎪⎫12，y 0，则cos α＝________．答案：12解析：∵ r＝1，∴ cos α＝x r ＝12.4. (2017·苏北四市期末)已知角α的终边经过点(3a －9，a ＋2)，且cos α≤0，sin α>0，则实数a 的取值范围是________．答案：(－2，3]解析：∵ cos α≤0，sin α>0，∴ 角α的终边落在第二象限或y 轴的正半轴上． ∴ ⎩⎪⎨⎪⎧3a －9≤0，a ＋2>0，∴ －2<a≤3.1. (1) 要求适合某种条件且与已知角终边相同的角，其方法是先求出与已知角终边相同的角的一般形式，再根据条件解方程或不等式．(2) 已知角α的终边所在的直线方程，则可先设出终边上一点的坐标，求出此点到原点的距离，然后用三角函数的定义来求相关问题．若直线的倾斜角为特殊角，也可直接写出角．2. 已知角α终边上一点P 的坐标，则可先求出点P 到原点的距离r ，然后用三角函数的定义求解α的三角函数值．3. 弧度制下的扇形的弧长与面积公式，比角度制下的扇形的弧长与面积公式要简洁得多，用起来也方便得多．因此，我们要熟练地掌握弧度制下扇形的弧长与面积公式．4. 利用单位圆解有关三角函数的不等式(组)的一般步骤 (1) 用边界值定出角的终边位置． (2) 根据不等式(组)定出角的范围． (3) 求交集，找单位圆中公共的部分． (4) 写出角的表达式．第2课时同角三角函数的基本关系式与诱导公式(对应学生用书(文)、(理)51～52页)1. 已知sin α＝14，且α∈⎝ ⎛⎭⎪⎫π2，π，则tan α＝__________．答案：－1515解析：由sin α＝14，α∈⎝ ⎛⎭⎪⎫π2，π，得cos α＝－154，则tan α＝sin αcos α＝－1515.2. (必修4P 20练习2改编)sin(－585°)的值为__________．答案：22解析：sin(－585°)＝－sin 585°＝－sin(360°＋225°)＝－sin 225°＝－sin(180°＋45°)＝sin 45°＝22.3. (2017·苏北四市摸底)已知sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫5π2＋α＝15，则cos α的值为________．答案：15解析：∵ sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫5π2＋α＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2＋α＝cos α，∴ cos α＝15. 4. (必修4P 23习题11改编)已知tan α＝2，则2sin α－cos αsin α＋cos α＝__________．答案：1解析：因为tan α＝2，所以2sin α－cos αsin α＋cos α＝2tan α－1tan α＋1＝2×2－12＋1＝1.5. (必修4P 21例4改编)若sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6－α＝13，则cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π3＋α＋cos 2⎝ ⎛⎭⎪⎫5π6＋α＝__________．答案：119解析：∵ sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6－α＝13，∴ sin ⎣⎢⎡⎦⎥⎤π2－⎝ ⎛⎭⎪⎫π3＋α＝13，∴ cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π3＋α＝13.∴ cos 2⎝ ⎛⎭⎪⎫5π6＋α＝1－sin 2⎝ ⎛⎭⎪⎫5π6＋α＝1－sin 2⎝⎛⎭⎪⎫π＋α－π6 ＝1－sin 2⎝ ⎛⎭⎪⎫π6－α＝1－19＝89.∴ cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π3＋α＋cos 2⎝ ⎛⎭⎪⎫5π6＋α＝13＋89＝119.1. 同角三角函数的基本关系(1) 平方关系：sin 2α＋cos 2α＝1．(2) 商数关系：tan_α＝sin αcos α.2. 诱导公式k ·2±α(k∈Z )与α的三角函数关系的记忆规律：奇变偶不变，符号看象限．, 1 同角三角函数的基本关系式), 1) (必修4P 23习题20改编)已知－π2<x<0，sin x ＋cos x ＝15.(1) 求sin 2x －cos 2x 的值；(2) 求tan x2sin x ＋cos x的值．解：由sin x ＋cos x ＝15，得1＋2sin xcos x ＝125，则2sin xcos x ＝－2425.∵ －π2<x<0，∴ sin x<0，cos x>0，即sin x －cos x<0.则sin x －cos x ＝－sin 2x －2sin xcos x ＋cos 2x ＝－1＋2425＝－75.(1) sin 2x －cos 2x ＝(sin x ＋cos x)(sin x －cos x)＝15×⎝ ⎛⎭⎪⎫－75＝－725. (2) 由⎩⎪⎨⎪⎧sin x ＋cos x ＝15，sin x －cos x ＝－75，得⎩⎪⎨⎪⎧sin x ＝－35，cos x ＝45，则tan x ＝－34.即tan x 2sin x ＋cos x ＝－34－65＋45＝158. 变式训练(2017·盐城模拟)已知sin αcos α＝18，且5π4<α<3π2，则cos α－sin α的值为________．答案：32解析：∵ 5π4<α<3π2，∴ cos α<0，sin α<0，且cos α>sin α，∴ cos α－sinα>0.又(cos α－sin α)2＝1－2sin αcos α＝1－2×18＝34，∴ cos α－sin α＝32. , 2) (必修4P 23习题12(2)改编)化简： (1＋sin α1－sin α－1－sin α1＋sin α)·(1＋cos α1－cos α－1－cos α1＋cos α)．解：原式＝[（1＋sin α）2cos 2α－（1－sin α）2cos 2α]·[（1＋cos α）2sin 2α－|cos α|·|sin α|＝⎩⎪⎨⎪⎧4，α在第一、三象限时，－4，α在第二、四象限时. 备选变式（教师专享）若α为第二象限角，则cos α1＋tan 2α＋sin α1＋1tan 2α＝________．答案：0解析：原式＝cos αsin 2α＋cos 2αcos 2α＋sin αsin 2α＋cos 2αsin 2α＝cos α1|cos α|＋sin α1|sin α|.因为α是第二象限角，所以sin α＞0，cos α＜0，所以cos α1|cos α|＋sin α1|sin α|＝－1＋1＝0，即原式等于0., 2 诱导公式及其运用), 3) 已知sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π6＝13，则sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x －5π6＋sin 2⎝ ⎛⎭⎪⎫π3－x 的值为__________．答案：59解析：由诱导公式得sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x －5π6＝－sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π6＝－13，sin 2⎝ ⎛⎭⎪⎫π3－x ＝cos 2⎝⎛⎭⎪⎫x ＋π6＝89，则sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x －5π6＋sin 2⎝ ⎛⎭⎪⎫π3－x ＝89－13＝59.变式训练已知cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6－θ＝a(|a|≤1)，则cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫5π6＋θ＋sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2π3－θ＝__________．答案：0解析：由题意知，cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫5π6＋θ＝cos ⎣⎢⎡⎦⎥⎤π－⎝ ⎛⎭⎪⎫π6－θ＝－cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6－θ＝－a. sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2π3－θ＝sin ⎣⎢⎡⎦⎥⎤π2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫π6－θ＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6－θ＝a ，∴ cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫5π6＋θ＋sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2π3－θ＝0., 3 同角三角函数的基本关系与诱导公式的综合应用), 4) (1) 设tan(5π＋α)＝m ，求sin （α－3π）＋cos （π－α）sin （－α）－cos （π＋α）的值；(2) 在△ABC 中，若sin(2π－A)＝－2sin(π－B)，3cos A ＝－2cos(π－B)，求△ABC 的三个内角．解：(1) 由tan(5π＋α)＝m ，得tan α＝m ，∴ sin （α－3π）＋cos （π－α）sin （－α）－cos （π＋α）＝－sin α－cos α－sin α＋cos α＝tan α＋1tan α－1＝m ＋1m －1.(2) 由已知得⎩⎨⎧sin A ＝2sin B ， ①3cos A ＝2cos B ， ②①2＋②2得2cos 2A ＝1，即cos A ＝±22.(ⅰ) 当cos A ＝22时，cos B ＝32. 又∵ A，B 是三角形的内角，∴ A ＝π4，B ＝π6，∴ C ＝π－(A ＋B)＝7π12.(ⅱ) 当cos A ＝－22时，cos B ＝－32. 又∵ A，B 是三角形的内角，∴ A ＝3π4，B ＝5π6，不合题意．综上知，A ＝π4，B ＝π6，C ＝7π12.变式训练 (1) (2017·江西联考)已知tan(π－α)＝－23，且α∈⎝⎛⎭⎪⎫－π，－π2，求cos （－α）＋3sin （π＋α）cos （π－α）＋9sin α的值；(2) 在△ABC 中，若sin(3π－A)＝2sin(π－B)，cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫3π2－A ＝2cos(π－B)．试判断三角形的形状．解：(1) 由已知得tan α＝23，cos （－α）＋3sin （π＋α）cos （π－α）＋9sin α＝cos α－3sin α－cos α＋9sin α＝1－3tan α－1＋9tan α＝1－3×23－1＋9×23＝－15.(2) 由题设条件，得sin A ＝2sin B ，－sin A ＝－2cos B ， ∴ sin B ＝cos B ，∴ tan B ＝1.∵ B ∈(0，π)，∴ B ＝π4，∴ sin A ＝2×22＝1. 又A∈(0，π)，∴ A ＝π2，∴ C ＝π4.∴ △ABC 是等腰直角三角形．1. 已知cos 31°＝a ，则sin 239°·tan 149°的值是________．答案：1－a 2解析：sin 239°·tan 149°＝sin(270°－31°)·tan(180°－31°)＝(－cos31°)·(－tan 31°)＝sin 31°＝1－a 2.2. 已知α为锐角，且tan(π－α)＋3＝0，则sin α的值是________．解析：(解法1)由tan(π－α)＋3＝0，得tan α＝3，即sin αcos α＝3，sin α＝3cos α，所以sin 2α＝9(1－sin 2α)，10sin 2α＝9，sin 2α＝910.因为α为锐角，所以sin α＝31010.(解法2)因为α为锐角，且tan(π－α)＋3＝0，所以－tan α＋3＝0即tan α＝3.在如图所示的直角三角形中，令∠A＝α，BC ＝3，则AC ＝1，所以AB ＝32＋12＝10，故sin α＝310＝31010.3. (2017·南通调研)已知sin θ＋cos θ＝43，θ∈⎝⎛⎭⎪⎫0，π4，则sin θ－cos θ＝________．答案：－23解析：∵ sin θ＋cos θ＝43，∴ 2sin θcos θ＝79，∴ (sin θ－cos θ)2＝1－2sin θcos θ＝29，∴ sin θ－cos θ＝23或－23.∵θ∈⎝⎛⎭⎪⎫0，π4，∴ sin θ<cos θ，∴ sin θ－cos θ＝－23.4. 已知sin 2θ＋4cos θ＋1＝2，则(cos θ＋3)(sin θ＋1)的值为__________．答案：4解析：因为sin 2θ＋4cos θ＋1＝2，所以sin 2θ＋4＝2cos θ＋2，即cos 2θ＋2cos θ－3＝0，解得cos θ＝1或cos θ＝－3(舍去)．由cos θ＝1得sin θ＝0，故(cos θ＋3)(sin θ＋1)＝4.1. 已知sin(3π－α)＝－2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2 ＋α，则sin αcos α＝__________．答案：－25解析：因为sin(3π－α)＝sin(π－α)＝－2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2＋α，所以sin α＝－2cos α，所以tan α＝－2，所以sin αcos α＝sin αcos αsin 2α＋cos 2α＝tan αtan 2α＋1＝－25. 2. 已知cos(－80°)＝k ，那么tan 100°＝__________．答案：－1－k2k解析：因为cos(－80°)＝cos 80°＝k ，所以sin 80°＝1－cos 280°＝1－k 2.所3. (2017·盐城调研)若3sin α＋cos α＝0，则1cos 2α＋2sin αcos α＝________．答案：103解析：∵ 3sin α＋cos α＝0，且cos α≠0，∴ tan α＝－13，∴1cos 2α＋2sin αcos α＝cos 2α＋sin 2αcos 2α＋2sin αcos α＝1＋tan 2α1＋2tan α＝1＋⎝ ⎛⎭⎪⎫－1321－23＝103. 4. (2017·南京、盐城模拟)已知cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫5π12＋α＝13，且－π<α<－π2，则cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π12－α＝________．答案：－223解析：因为⎝ ⎛⎭⎪⎫5π12＋α＋⎝ ⎛⎭⎪⎫π12－α＝π2，所以cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π12－α＝sin ⎣⎢⎡⎦⎥⎤π2－⎝ ⎛⎭⎪⎫π12－α＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫5π12＋α. 因为－π＜α＜－π2，所以－7π12＜α＋5π12＜－π12.又cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫5π12＋α＝13＞0，所以－π2＜α＋5π12＜－π12，所以sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫5π12＋α＝－1－cos 2⎝ ⎛⎭⎪⎫5π12＋α＝－1－⎝ ⎛⎭⎪⎫132＝－223.1. 利用平方关系解决问题时，要注意开方运算结果的符号，需要根据角α的范围进行确定．2. 应熟练应用诱导公式．诱导公式的应用原则是：负化正、大化小、化到锐角为终了．诱导公式的应用是求任意角的三角函数值，其一般步骤：① 负角变正角，再写成2k π＋α(k∈Z )，0≤α＜2π的形式；② 转化为锐角．3. 同角三角函数基本关系可用于统一函数；诱导公式主要用于统一角，其主要作用是进行三角函数的求值、化简和证明，如已知一个角的某一三角函数值，求这个角的其他三角函数值时，要特别注意平方关系的使用．4. 三角求值、化简是三角函数的基础，在求值与化简时，常用方法有：① 弦切互化法：主要利用公式tan x ＝sin x cos x 进行切化弦或弦化切，如asin x ＋bcos xcsin x ＋dcos x，asin 2x ＋bsin xcos x ＋ccos 2x 等类型可进行弦化切．② 和积转换法：如利用(sin θ±cos θ)2＝1±2sin θcos θ的关系进行变形、转化．③ 注意变角技巧：如32π＋α为π＋⎝ ⎛⎭⎪⎫π2＋α或2π－⎝ ⎛⎭⎪⎫π2－α等． ④ 巧用“1”的变换：1＝sin 2θ＋cos 2θ＝cos 2θ(1＋tan 2θ)＝sin 2θ⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋1tan 2θ＝tan π4＝…5. 在△ABC 中常用到以下结论： sin(A ＋B)＝sin(π－C)＝sin C ， cos(A ＋B)＝cos(π－C)＝－cos C ， tan(A ＋B)＝tan(π－C)＝－tan C ，sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫A 2＋B 2＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2－C 2＝cos C 2， cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫A 2＋B 2＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2－C 2＝sin C 2.[备课札记]第3课时三角函数的图象和性质(对应学生用书(文)、(理)53～55页)1. (2017·南京期初)若函数f(x)＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫ωx ＋π6(ω＞0)的最小正周期为π，则f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π3的值是________．答案：12解析：由题意，得2πω＝π，所以ω＝2，f(x)＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π6.因此f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π3＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2π3＋π6＝sin 5π6＝12.2. 将函数f(x)＝2sin 2x 的图象上每一点向右平移π6个单位，得到函数y ＝g(x)的图象，则g(x)＝____________．答案：2sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x －π3 解析：将函数f(x)＝2sin 2x 的图象上每一点向右平移π6个单位，得到函数g(x)＝2sin2⎝ ⎛⎭⎪⎫x －π6＝2sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x －π3的图象．本题主要考查三角函数的图象变换(平移变换)．3. 已知函数y ＝2cos x 的定义域为⎣⎢⎡⎦⎥⎤π3，π，值域为[a ，b]，则b －a 的值是__________．答案：3解析：因为x∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤π3，π，所以cos x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤－1，12，所以y ＝2cos x 的值域为[－2，1]，所以b －a ＝3.4. 函数f(x)＝sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x －π3的单调递增区间为________．答案：⎣⎢⎡⎦⎥⎤k π－π12，k π＋5π12(k∈Z ) 解析：由2k π－π2≤2x －π3≤2k π＋π2，k ∈Z ，得k π－π12≤x ≤k π＋5π12，k ∈Z .故所求函数的单调递增区间为⎣⎢⎡⎦⎥⎤k π－π12，k π＋5π12(k∈Z )． 5. (必修4P 45习题9改编)电流强度I(A)随时间t(s)变化的函数I ＝Asin(ωt ＋φ)⎝⎛⎭⎪⎫A>0，ω>0，0<φ<π2的部分图象如图所示，则当t ＝1100 s 时，电流强度是__________A.答案：－5解析：由图象知A ＝10，T 2＝4300－1300＝1100，∴ ω＝2πT＝100π.∴ I ＝10sin(100πt＋φ).⎝ ⎛⎭⎪⎫1300，10为五点中的第二个点，∴ 100π×1300＋φ＝π2.∴ φ＝π6.∴ I ＝10sin(100πt ＋π6)，当t ＝1100s 时，I ＝－5 A.1. 周期函数的定义周期函数的概念：对于函数y ＝f(x)，如果存在一个非零的常数T ，使得当x 取定义域内的每一个值时，f(x ＋T)＝f(x)都成立，那么称y ＝f(x)为周期函数；函数y ＝Asin(ωx＋φ)和y ＝Acos(ωx ＋φ)的周期均为T ＝2π|ω|；函数y ＝Atan(ωx ＋φ)的周期为T ＝π|ω|.2. 三角函数的图象和性质在确定正弦函数y ＝sin x 在[0，2π]上的图象形状时，起关键作用的五个点是(0，0)，⎝ ⎛⎭⎪⎫π2，1，(π，0)，⎝ ⎛⎭⎪⎫3π2，－1，(2π，0)．余弦函数呢？4. 函数 y ＝Asin(ωx ＋φ)的特征若函数y ＝Asin(ωx ＋φ) (A ＞0，ω＞0，x ∈(－∞，＋∞))表示一个振动量时，则A叫做振幅，T ＝2πω叫做周期，f ＝1T叫做频率，ωx ＋φ叫做相位，φ叫做初相．[备课札记], 1 “五点法”与“变换法”作图), 1) (必修4P 40练习7改编)已知函数f(x)＝2sin(ωx ＋π3)(ω＞0)的周期为π.(1) 用“五点法”作出它在长度为一个周期的闭区间上的图象；(2) 说明函数f(x)的图象可由y ＝sin x 的图象经过怎样的变换而得到．解：∵ T＝π，∴ 2πω＝π，即ω＝2.∴ f(x)＝2sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x ＋π3. (1) 令X ＝2x ＋π3，则y ＝2sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x ＋π3＝2sin X. 列表如下： x －π6 π12 π3 7π12 5π6X 0 π2 π 3π22π y ＝sin X 0 1 0 －1 0y ＝2sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x ＋π3 0 2 0 －2 0(2) (解法1)把y ＝sin x 的图象上所有点向左平移π3个单位，得到y ＝sin ⎝⎛⎭⎪⎫x ＋π3的图象；再把y ＝sin ⎝⎛⎭⎪⎫x ＋π3的图象上所有点的横坐标变为原来的12(纵坐标不变)，得到y ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π3的图象；最后把y ＝sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x ＋π3的图象上所有点的纵坐标变为原来的2倍(横坐标不变)，即可得到y ＝2sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x ＋π3的图象． (解法2)将y ＝sin x 的图象上每一点的横坐标x 变为原来的12，纵坐标不变，得到y ＝sin 2x 的图象；再将y ＝sin 2x 的图象向左平移π6个单位，得到y ＝sin 2⎝⎛⎭⎪⎫x ＋π6＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π3的图象；再将y ＝sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x ＋π3的图象上每一点的横坐标保持不变，纵坐标变为原来的2倍，得到y ＝2sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x ＋π3的图象．备选变式（教师专享）(1) 求ω和φ的值；(2) 在给定坐标系中作出函数f(x)在[0，π]上的图象；(3) 若f(x)>22，求x 的取值范围．解：(1) 周期T ＝2πω＝π，∴ ω＝2.∵ f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫2×π4＋φ＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2＋φ＝－sin φ＝32.又－π2<φ<0，∴ φ＝－π3. (2) 由(1)得f(x)＝cos ⎝⎛⎭⎪⎫2x －π3，列表如下：(3)∵ cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π3>22，∴ 2k π－π4<2x －π3<2k π＋π4，∴ 2k π＋π12<2x<2k π＋7π12， ∴ k π＋π24<x<k π＋7π24，k ∈Z ，∴ x 的取值范围是⎩⎨⎧x ⎪⎪⎪⎭⎬⎫k π＋π24<x<k π＋7π24，k ∈Z .,2 三角函数的性质)●典型示例2已知函数f(x)＝2sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x ＋π4＋1. (1) 求f(x)的最小正周期和单调递增区间；(2) 求f(x)在区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π2上的最大值和最小值；(3) 求f(x)图象的一条对称轴和一个对称中心，使得它们到y 轴的距离分别最小．【思维导图】【规范解答】解：(1) 函数f(x)的最小正周期为T ＝2π2＝π. 令－π2＋2k π≤2x ＋π4≤π2＋2k π(k∈Z )，解得－3π8＋k π≤x ≤π8＋k π(k∈Z )，所以函数f(x)的单调递增区间为⎣⎢⎡⎦⎥⎤－3π8＋k π，π8＋k π(k∈Z )． (2) 当x∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π2时，2x ＋π4∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤π4，5π4.由正弦函数y ＝sin x 在⎣⎢⎡⎦⎥⎤π4，5π4上的图象知，当2x ＋π4＝π2，即x ＝π8时，f(x)取最大值2＋1；当2x ＋π4＝5π4，即x ＝π2时，f(x)取最小值0.综上，f(x)在⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π2上的最大值为2＋1，最小值为0.(3) 令2x ＋π4＝π2＋k π(k∈Z )，解得x ＝π8＋k π2(k∈Z )，所以当k ＝0时，直线x ＝π8是所有对称轴中最靠近y 轴的．令2x ＋π4＝k π(k∈Z )，解得x ＝－π8＋k π2(k∈Z )，所以当k ＝0时，⎝ ⎛⎭⎪⎫－π8，1是所有对称中心中最靠近y 轴的，所以所求的对称轴为直线x ＝π8，对称中心为⎝ ⎛⎭⎪⎫－π8，1. 【精要点评】对于三角函数f(x)＝Asin(ωx ＋φ)的性质(定义域、单调性、对称性、最值或值域等)问题，通常用换元的方法，令t ＝ωx ＋φ，将其转化为函数y ＝Asin t ，再进行其性质的研究．●总结归纳解有关三角函数性质的问题，通常需先将函数转化为f(x)＝Asin(ωx ＋φ)的形式，再用研究复合函数的单调性、值域的方法利用正弦函数的图象和性质来处理．若ω<0，还需先利用诱导公式转化为f(x)＝Asin(ωx ＋φ)(ω>0)的形式，再将ωx ＋φ看成整体，利用正弦函数y ＝sin x 的性质进行求解．●题组练透1. 将函数y ＝sin 2x 的图象向左平移φ(φ＞0)个单位，若所得的图象过点⎝ ⎛⎭⎪⎫π6，32，则φ的最小值为__________．答案：π6解析：易知y ＝sin 2(x ＋φ)，即y ＝sin(2x ＋2φ)．∵ 图象过点⎝⎛⎭⎪⎫π6，32，∴ sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π3＋2φ＝32，∴ π3＋2φ＝π3＋2k π或π3＋2φ＝2π3＋2k π，k ∈Z ，即φ＝k π或φ＝π6＋k π，k ∈Z .∵ φ>0，∴ φ的最小值为π6.Ｋ2. 设函数y ＝sin ⎝⎛⎭⎪⎫ωx ＋π3(0＜x ＜π)，当且仅当x ＝π12时，y 取得最大值，则正数ω的值为__________．答案：2解析：当x ＝π12时，令ωx ＋π3＝π2，则正数ω＝2.3. 函数f(x)＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π4在区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π2上的最小值为________．答案：－22解析：由已知x∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π2，得2x －π4∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π4，3π4，所以sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π4∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤－22，1，故函数f(x)＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π4在区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π2上的最小值为－22. 4. 设函数f(x)＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫ωx ＋φ＋π3⎝ ⎛⎭⎪⎫ω＞0，|φ|＜π2的最小正周期为π，且满足f(－x)＝－f(x)．(1) 求函数f(x)的单调递增区间；(2) 当x∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π2时，试求y ＝f ⎝⎛⎭⎪⎫x －π6的最值，并写出取得最值时自变量x 的值．解：(1) 因为f(x)的最小正周期为π，所以T ＝2πω＝π，解得ω＝2.又f(－x)＝－f(x)，所以f(0)＝0，所以sin ⎝⎛⎭⎪⎫φ＋π3＝0.又|φ|＜π2，所以φ＝－π3，所以ω＝2，φ＝－π3，所以f(x)＝2sin 2x.则2x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤2k π－π2，2k π＋π2(k∈Z )，解得函数f(x)的单调递增区间为⎣⎢⎡⎦⎥⎤k π－π4，k π＋π4(k∈Z )． (2) 当x∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π2时，2x －π3∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π3，2π3，y ＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫x －π6＝2sin 2⎝⎛⎭⎪⎫x －π6＝2sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x －π3. 当2x －π3＝π2，即x ＝5π12时，f(x)取得最大值2；当2x －π3＝－π3，即x ＝0时，f(x)取得最小值－ 3., 3 根据图象和性质确定函数y ＝Asin(ωx ＋φ)的解析式), 3) 设函数f(x)＝Asin(ωx ＋φ)(A ＞0，ω＞0，－π2＜φ＜π2，x∈R )的部分图象如图所示．(1) 求函数y ＝f(x)的解析式；(2) 当x∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π2，π2时，求f(x)的取值范围．解：(1) 由图象知，A ＝2. 又T 4＝5π6－π3＝π2，ω＞0，所以T ＝2π＝2πω，得ω＝1.所以f(x)＝2sin(x ＋φ)，将点⎝ ⎛⎭⎪⎫π3，2代入，得π3＋φ＝π2＋2k π(k∈Z )，即φ＝π6＋2k π(k∈Z )．又－π2＜φ＜π2，所以φ＝π6.所以f(x)＝2sin ⎝⎛⎭⎪⎫x ＋π6.(2) 当x∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π2，π2时，x ＋π6∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π3，2π3，所以sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π6∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤－32，1，即f(x)∈[－3，2]．变式训练已知函数f(x)＝2sin ⎝⎛⎭⎪⎫ωx ＋φ－π6(0＜φ＜π，ω＞0)为偶函数，且函数y ＝f(x)图象的两相邻对称轴间的距离为π2.(1) 求f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π8的值； (2) 将函数y ＝f(x)的图象向右平移π6个单位后，再将得到的图象上各点的横坐标变为原来的4倍，纵坐标不变，得到函数y ＝g(x)的图象，求g(x)的解析式，并写出g(x)的单调递减区间．解：(1) ∵ f(x)为偶函数，∴ φ－π6＝k π＋π2，k ∈Z ，解得φ＝2π3＋k π，k ∈Z .∵ 0＜φ＜π，∴ φ＝2π3.由题意得2πω＝2×π2，解得ω＝2.故f(x)＝2cos 2x ，f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π8＝2cos π4＝ 2. (2) 将f(x)的图象向右平移π6个单位后，得到f ⎝⎛⎭⎪⎫x －π6的图象，再将所得图象上各点的横坐标伸长到原来的4倍，纵坐标不变，得到f ⎝ ⎛⎭⎪⎫x 4－π6的图象，所以g(x)＝f(x 4－π6)＝2cos ⎣⎢⎡⎦⎥⎤2⎝ ⎛⎭⎪⎫x 4－π6＝2cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫x 2－π3. 当2k π≤x 2－π3≤2k π＋π(k∈Z )，即4k π＋2π3≤x ≤4k π＋8π3(k∈Z )时，g(x)单调递减．因此g(x)的单调递减区间为[4k π＋2π3，4k π＋8π3](k∈Z )．, 4 三角函数的应用), 4) (必修4P 42例2改编)如图，一个水轮的半径为4 m ，水轮圆心O距离水面2 m ，已知水轮每分钟转动5圈，如果当水轮上点P 从水中浮现时(图中点P 0)开始计算时间．(1) 将点P 距离水面的高度z(m)表示为时间t(s)的函数； (2) 点P 第一次到达最高点大约需要多少时间？解：(1) 建立如图所示的直角坐标系，设角φ⎝ ⎛⎭⎪⎫－π2<φ<0是以Ox 为始边，OP 0为终边的角．OP 每秒钟内所转过的角为5×2π60＝π6.则OP 在t(s)内所转过的角为π6t.由题意可知水轮逆时针转动，得z ＝4sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6t ＋φ＋2. 当t ＝0时，z ＝0，得sin φ＝－12，即φ＝－π6.故所求函数解析式为z ＝4sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6t －π6＋2.(2) 令z ＝4sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6t －π6＋2＝6，得sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6t －π6＝1.令π6t －π6＝π2，得t ＝4，故点P 第一次到达最高点大约需要4 s. 备选变式（教师专享）如图为一个缆车示意图，该缆车半径为4.8 m ，圆上最低点与地面距离为0.8 m ，且60 s 转动一圈，图中OA 与地面垂直，以OA 为始边，逆时针转动θ角到OB ，设B 点与地面间的距离为h.(1) 求h 与θ之间的函数解析式； (2) 设从OA 开始转动，经过t s 后到达OB ，求h 与t 之间的函数解析式，并求缆车到达最高点时用的最少时间是多少．解：(1) 以圆心O 为原点，建立如图所示的平面直角坐标系．则以Ox 为始边，OB 为终边的角为θ－π2，故点B 的坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫4.8cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫θ－π2，4.8sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫θ－π2， ∴ h ＝5.6＋4.8sin ⎝⎛⎭⎪⎫θ－π2. (2) 点A 在圆上转动的角速度是π30rad/s ，故t s 转过的弧度数为π30t ，∴ h ＝5.6＋4.8sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π30t －π2，t ∈[0，＋∞)．到达最高点时，h ＝10.4 m.由sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π30t －π2＝1，得π30t －π2＝π2，∴ t ＝30 s ，∴ 缆车到达最高点时，用的最少时间为30 s.1. 已知函数f(x)＝2sin(ωx ＋φ)⎝⎛⎭⎪⎫ω＞0，|φ|＜π2的最小正周期为π，且它的图象过点⎝ ⎛⎭⎪⎫－π12，－2，则φ的值为__________．答案：－π12解析：f(x)＝2sin(ωx ＋φ) 的最小正周期为π，则ω＝2，所以f(x)＝2sin(2x ＋φ)，它的图象过点⎝ ⎛⎭⎪⎫－π12，－2，则sin ⎝⎛⎭⎪⎫φ－π6＝－22⎝ ⎛⎭⎪⎫|φ|＜π2，故φ＝－π12. 2. 函数f(x)＝2sin(ωx ＋φ)的部分图象如图所示．若A ，B 两点之间的距离AB ＝5，则ω的值为________．答案：π3解析：AB ＝5，|y A －y B |＝4，则|x A －x B |＝3＝T 2，则T ＝6，则2πω＝6，ω＝π3.3. 将函数y ＝sin(2x ＋φ)(0<φ<π)的图象沿x 轴向左平移π12个单位得到的图象关于点⎝⎛⎭⎪⎫π3，0对称，则φ＝________．答案：π6解析：由题意得平移以后的函数为y ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π6＋φ，因为图象关于点⎝ ⎛⎭⎪⎫π3，0对称，所以2×π3＋π6＋φ＝k π(k∈Z )，解得φ＝k π－5π6(k∈Z )．因为0<φ<π，所以φ＝π6.4. 函数f(x)＝cos(πx ＋φ)⎝⎛⎭⎪⎫0<φ<π2的部分图象如图所示． (1) 求φ及图中x 0的值；(2) 求f(x)在区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤－12，13上的最大值和最小值．解：(1) 由图可知，f(0)＝f(x 0)＝32，即cos φ＝32，cos(πx 0＋φ)＝32. 又φ∈⎝⎛⎭⎪⎫0，π2，x 0>0，所以φ＝π6，x 0＝53.(2) 由(1)可知f(x)＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫πx ＋π6. 因为x∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤－12，13，所以－π3≤πx ＋π6≤π2. 所以当πx ＋π6＝0，即x ＝－16时，f(x)取得最大值1；当πx ＋π6＝π2，即x ＝13时，f(x)取得最小值0.1. (2017·南师附中、淮阴中学、海门中学、天一中学四校联考)将函数y ＝sin(2x ＋φ)(0<φ<π)的图象沿x 轴向左平移π8个单位后，得到函数y ＝f(x)的图象，若函数f(x)的图象过原点，则φ＝________．答案：3π4解析：将函数y ＝sin(2x ＋φ)(0<φ<π)的图象沿x 轴向左平移π8个单位后，得到函数f(x)＝sin ⎣⎢⎡⎦⎥⎤2⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π8＋φ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π4＋φ的图象，若函数f(x)的图象过原点，则f(0)＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4＋φ＝0，π4＋φ＝k π，k ∈Z ，φ＝k π－π4，k ∈Z .又0<φ<π，则φ＝3π4. 2. 若函数y ＝sin(ωx －φ)⎝ ⎛⎭⎪⎫ω>0，|φ|<π2在区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π2，π上的图象如图所示，则ω，φ的值分别是______．答案：2，π3解析：由题图可知，T ＝2⎣⎢⎡⎦⎥⎤π6－⎝ ⎛⎭⎪⎫－π3＝π，所以ω＝2πT ＝2.又sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2×π6－φ＝0，所以π3－φ＝k π(k∈Z )，即φ＝π3－k π(k∈Z )．而|φ|<π2，所以φ＝π3.3. (2017·第三次全国大联考江苏卷)将函数f(x)＝sin(2x ＋θ)⎝ ⎛⎭⎪⎫－π2<θ<π2的图象向右平移φ(0<φ<π)个单位长度后得到函数g(x)的图象，若f(x)，g(x)的图象都经过点P ⎝⎛⎭⎪⎫0，32，则φ的值为________．答案：5π6解析：由题意，可得sin θ＝32.因为－π2＜θ＜π2，所以θ＝π3.因为g(x)＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －2φ＋π3，所以sin ⎝⎛⎭⎪⎫－2φ＋π3＝32.又因为0＜φ＜π，所以－2φ＋π3∈⎝⎛⎭⎪⎫－5π3，π3，－2φ＋π3＝－4π3，φ＝5π6. 4. 已知函数f(x)＝3sin 2x ＋2cos 2x ＋m 在区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π2上的最大值为3，则(1) m ＝________；(2) 当f(x)在[a ，b]上至少含20个零点时，b －a 的最小值为________．答案：(1) 0 (2) 28π3解析：(1) f(x)＝ 3 sin 2x ＋2cos 2x ＋m ＝3sin 2x ＋1＋cos 2x ＋m ＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π6＋m ＋1.因为0≤x≤π2，所以π6≤2x ＋π6≤7π6.所以－12≤sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x ＋π6≤1， f(x)max ＝2＋m ＋1＝3＋m ＝3，∴ m ＝0.(2) 由(1)得f(x)＝2sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x ＋π6＋1，周期T ＝2π2＝π，在长为π的闭区间内有2个或3个零点．由2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π6＋1＝0，得sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x ＋π6＝－12， 2x ＋π6＝2k π＋7π6，k ∈Z 或2x ＋π6＝2k π＋11π6，k ∈Z ，所以x ＝k π＋π2或x ＝k π＋5π6，k ∈Z .不妨设a ＝π2，则当b ＝9π＋π2时，f(x)在区间[a ，b]上恰有19个零点，当b ＝9π＋5π6时恰有20个零点，此时b －a 的最小值为9π＋π3＝28π3.1. 求三角函数的定义域实际上是解简单的三角函数不等式，常借助三角函数线或三角函数图象来求解．2. 求解三角函数的值域(最值)常见到以下几种类型： ① 形如y ＝asin x ＋bcos x ＋c 的三角函数化为y ＝Asin(ωx ＋φ)＋k 的形式，再求值域(最值)；② 形如y ＝asin 2x ＋bsin x ＋c 的三角函数，可先设sin x ＝t ，化为关于t 的二次函数求值域(最值)；③ 形如y ＝asin xcos x ＋b(sin x ±cos x)＋c 的三角函数，可先设t ＝sin x ±cos x ，化为关于t 的二次函数求值域(最值)．3. 对于形如y ＝Asin(ωx ＋φ)＋k 函数的性质(定义域、值域、单调性、对称性、最值等)，可以通过换元的方法令t ＝ωx ＋φ，将其转化为研究y ＝sin t 的性质．4. 求函数y ＝Asin(ωx ＋φ)(A ＞0，ω＞0)的解析式，常用的解题方法是待定系数法，由最高(低)点的纵坐标确定A ，由周期确定ω，由适合解析式的点的坐标来确定φ，但由条件求得y ＝Asin(ωx ＋φ)(A ＞0，ω＞0)的解析式一般不惟一，只有限定φ的取值范围，才能得出惟一解．5. 由y ＝sin x 的图象变换到y ＝Asin(ωx ＋φ)的图象，两种变换的区别：先相位变换再周期变换(伸缩变换)，平移的量是|φ|个单位；而先周期变换(伸缩变换)再相位变换，平移的量是|φ|ω(ω＞0)个单位．原因在于相位变换和周期变换都是针对x 而言，即x 本身加减多少值，而不是依赖于ωx 加减多少值．[备课札记]第4课时两角和与差的正弦、余弦和正切公式(对应学生用书(文)、(理)56～58页)1. 设α∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π2，若sin α＝35，则cos ⎝⎛⎭⎪⎫α＋π4＝________．答案：2 解析：∵ α∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π2，且sin α＝35，∴ cos α＝45.∴ cos ⎝⎛⎭⎪⎫α＋π4＝cos αcos π4－sin αsin π4＝45×22－35×22＝210. 2. (必修4P 106练习4改编)sin 20°cos 10 °－cos 160°sin 10°＝__________．答案：12解析：sin 20°·cos 10°－cos 160°·sin 10°＝sin 20°·cos 10°＋cos 20°·sin10°＝sin 30°＝12.3. (必修4P 109练习8改编)函数y ＝2sin x ＋6cos x 的值域是__________．答案：[－22，22]解析：y ＝2sin x ＋6cos x ＝22sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π3∈[－22，22]．4. (必修4P 118习题9改编)若α＋β＝π4，则(tan α＋1)·(tan β＋1)的值是________．答案：2解析：(tan α＋1)(tan β＋1)＝tan αtan β＋tan α＋tan β＋1＝tan αtan β＋tan(α＋β)(1－tan αtan β)＋1＝tan αtan β＋tan π4·(1－tan αtan β)＋1＝2.5. (必修4P 110例6改编)已知sin(α＋β)＝12，sin(α－β)＝110，则tan αtan β的值为________．答案：32解析：(解法1)⎩⎪⎨⎪⎧sin αcos β＋cos αsin β＝12，sin αcos β－cos αsin β＝110⇒⎩⎪⎨⎪⎧sin αcos β＝310，cos αsin β＝15，从而tan αtan β＝sin αcos βcos αsin β＝310×5＝32.(解法2)设x ＝tan αtan β，∵ sin （α＋β）sin （α－β）＝5，∴ sin （α＋β）cos αcos βsin （α－β）cos αcos β＝tan α＋tan βtan α－tan β＝tan αtan β＋1tan αtan β－1＝x ＋1x －1＝5. ∴ x ＝32，即tan αtan β ＝32.1. 两角差的余弦公式推导过程设单位圆上两点P 1(cos α，sin α)，P 2(cos β，sin β)，则∠P 1OP 2＝α－β(α>β)．向量a ＝OP 1→＝(cos α，sin α)，b ＝OP 2→＝(cos β，sin β)，则a·b ＝|a||b|cos(α－β)＝cos(α－β)，由向量数量积的坐标表示，可知a·b ＝cos αcos β＋sin αsin β，因而cos(α－β)＝cos αcos β＋sin αsin β. 2. 公式之间的关系及导出过程3. 公式 cos(α－β)＝cos_αcos_β＋sin_αsin_β； cos(α＋β)＝cos_αcos_β－sin_αsin_β； sin(α－β)＝sin_αcos_β－cos_αsin_β； sin(α＋β)＝sin_αcos_β＋cos_αsin_β；tan(α－β)＝tan α－tan β1＋tan αtan β；tan(α＋β)＝tan α＋tan β1－tan αtan β．4. asin α＋bcos α＝a 2＋b 2sin(α＋φ)，其中cos φ＝a a 2＋b2，sin φ＝b a 2＋b2，tan φ＝ba .φ的终边所在象限由a ，b 的符号来决定．5. 常用公式变形tan α＋tan β＝tan(α＋β)(1－tan_αtan_β)； tan α－tan β＝tan(α－β)(1＋tan_αtan_β)；sin α＋cos α＝2sin ⎝⎛⎭⎪⎫α＋π4； sin α－cos α＝2sin ⎝⎛⎪⎫α－π4.[备课札记], 1 利用角的和、差公式进行化简、求值或证明), 1) (1) 求值：cos 350°－2sin 160°sin （－190°）＝__________；(2) (原创)化简：tan (18°－θ)·sin （12°＋θ）sin （78°－θ）＋3[tan (18°－θ)＋tan (12°＋θ)]＝__________．答案：(1) 3 (2) 1解析：(1) 原式＝cos （360°－10°）－2sin （180°－20°）－sin （180°＋10°）＝cos 10°－2sin （30°－10°）－（－sin 10°）＝cos 10°－2⎝ ⎛⎭⎪⎫12cos 10°－32sin 10°sin 10°＝ 3.(2) 原式＝tan(18°－θ)·sin （12°＋θ）cos （12°＋θ）＋3[tan(18°－θ)＋tan(12°＋θ)]＝tan(18°－θ)·tan(12°＋θ)＋3tan[(18°－θ)＋(12°＋θ)][1－tan(18°－θ)tan(12°＋θ)]＝tan(18°－θ)·tan(12°＋θ)＋[1－tan(18°－θ)·tan(12°＋θ)]＝1. 变式训练(1) (改编题)求4(cos 24°cos 26°－cos 66°sin 26°)－tan 40°的值； (2) 化简：sin(θ＋75°)＋cos(θ＋45°)－3cos(θ＋15°)．解：(1) 原式＝4(sin 66°cos 26°－cos 66°sin 26°)－tan 40°＝4sin 40°－sin 40°cos 40°＝4cos 40°sin 40°－sin 40°cos 40°＝2sin 80°－sin 40°cos 40°＝2sin （120°－40°）－sin 40°cos 40°＝3cos 40°＋sin 40°－sin 40°cos 40°＝3cos 40°cos 40°＝ 3.(2) 原式＝sin[(θ＋45°)＋30°]＋cos(θ＋45°)－3·cos[(θ＋45°)－30°]＝32sin(θ＋45°)＋12cos(θ＋45°)＋cos(θ＋45°)－32cos(θ＋45°)－32sin(θ＋45°)＝0., 2 给值求值、求角问题)●典型示例, 2) 已知0＜α＜π2＜β＜π，tan ⎝⎛⎭⎪⎫α＋π4＝－7，cos(β－α)＝。

【高考总动员】2019届高考数学(人教,文)大一轮：第三章三角函数、三角恒等变换及解三角形课时提升练18

课时提升练(十八) 三角函数的图象与性质一、选择题1．(2014·陕西高考)函数f (x )＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π6的最小正周期是( )A.π2B.π C ．2π D ．4π【解析】最小正周期为T ＝2πω＝2π2＝π.故选B. 【答案】 B2．(2013·浙江高考)已知函数f (x )＝A cos(ωx ＋φ)(A ＞0，ω＞0，φ∈R )，则“f (x )是奇函数”是“φ＝π2”的( )A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件【解析】若f (x )是奇函数，则f (0)＝0，所以cos φ＝0，所以φ＝π2＋k π(k ∈Z )，故φ＝π2不成立；若φ＝π2，则f (x )＝A cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫ωx ＋π2＝－A sin(ωx )，f (x )是奇函数．所以f (x )是奇函数是φ＝π2的必要不充分条件．【答案】 B3．若f (x )＝2sin(ωx ＋φ)＋m ，对任意实数t 都有f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π8＋t ＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π8－t ，且f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π8＝－3，则实数m 的值等于( )A ．－1B ．±5C ．－5或－1D ．5或1【解析】由题意得函数的对称轴为x ＝π8，故当x ＝π8时，函数取得最大值或最小值，所以－2＋m ＝－3或2＋m ＝－3.∴m ＝－1或m ＝－5.【答案】 C4．函数f (x )＝cos 2x ＋sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫5π2＋x 是( ) A ．非奇非偶函数 B ．仅有最小值的奇函数 C ．仅有最大值的偶函数D ．有最大值又有最小值的偶函数【解析】 f (x )＝cos 2x ＋sin ⎝⎛⎭⎪⎫5π2＋x ＝2cos 2x －1＋cos x ＝2⎝⎛⎭⎪⎫cos x ＋142－98.显然有最大值又有最小值，而且在R 上有f (－x )＝f (x )，所以正确答案为D.【答案】 D5．已知ω＞0，函数f (x )＝cos ⎝⎛⎭⎪⎫ωx ＋π3的一条对称轴为x ＝π3，一个对称中心为点⎝ ⎛⎭⎪⎫π12，0，则ω有( ) A ．最小值2 B ．最大值2C ．最小值1D ．最大值1【解析】由题意知π3－π12≥T 4，T ＝2πω≤π，∴ω≥2. 【答案】 A6．已知函数f (x )＝sin x ＋3cos x ，设a ＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π7，b ＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6，c ＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π3，则a ，b ，c 的大小关系是( )A ．a ＜b ＜cB ．c ＜a ＜bC ．b ＜a ＜cD ．b ＜c ＜a【解析】 ∵f (x )＝sin x ＋3cos x ＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π3， ∴函数f (x )的图象关于直线x ＝π6对称，从而f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π3＝f (0)，又f (x )在⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π6上是增函数，∴f (0)＜f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π7＜f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6，即c ＜a ＜b .【答案】 B 二、填空题7．函数y ＝lg(sin x )＋cos x －12的定义域为________．【解析】要使函数有意义必须有⎩⎪⎨⎪⎧sin x ＞0，cos x －12≥0，即⎩⎪⎨⎪⎧sin x ＞0，cos x ≥12，解得⎩⎪⎨⎪⎧2k π＜x ＜π＋2k π，－π3＋2k π≤x ≤π3＋2k π(k ∈Z )，∴2k π＜x ≤π3＋2k π，k ∈Z ，∴函数的定义域为⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪⎪2k π＜x ≤π3＋2k π，k ∈Z .【答案】 ⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪⎪2k π＜x ≤π3＋2k π，k ∈Z 8．(2014·江苏高考)已知函数y ＝cos x 与y ＝sin(2x ＋φ)(0≤φ<π)，它们的图象有一个横坐标为π3的交点，则φ的值是________．【解析】由题意，得sin ⎝⎛⎭⎪⎫2×π3＋φ＝cos π3，因为0≤φ<π，所以φ＝π6. 【答案】 π69．关于函数f (x )＝4sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x ＋π3，x ∈R ，有下列命题：①由f (x 1)＝f (x 2)＝0可得x 1－x 2必是π的整数倍； ②y ＝f (x )的表达式可改写为y ＝4cos ⎝⎛⎭⎪⎫2x －π6； ③y ＝f (x )的图象关于点⎝⎛⎭⎪⎫－π6，0对称；④y ＝f (x )的图象关于直线x ＝－5π12对称．其中正确命题的序号是________．(填入所有正确命题的序号) 【解析】由f (x 1)＝f (x 2)＝0得，x 1－x 2必是半个最小正周期的整数倍，由于f (x )的最小正周期是π，故①错；f (x )＝4sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π3＝4cos ⎣⎢⎡⎦⎥⎤π2－⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π3＝4cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π6，故②正确；因为f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－π6＝0，所以③正确；f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－5π12＝－4，所以④正确．【答案】 ②③④ 三、解答题10．(2014·福建高考)已知函数f (x )＝cos x (sin x ＋cos x )－12. (1)若0<α<π2，且sin α＝22，求f (α)的值； (2)求函数f (x )的最小正周期及单调递增区间．【解】法一 (1)因为0<α<π2，sin α＝22，所以cos α＝22.所以f (α)＝22×⎝ ⎛⎭⎪⎫22＋22－12＝12. (2)因为f (x )＝sin x cos x ＋cos 2x －12＝12sin 2x ＋1＋cos 2x 2－12 ＝12sin 2x ＋12cos 2x ＝22sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π4，所以T ＝2π2＝π.由2k π－π2≤2x ＋π4≤2k π＋π2，k ∈Z ，得k π－3π8≤x ≤k π＋π8，k ∈Z .所以f (x )的单调递增区间为⎣⎢⎡⎦⎥⎤k π－3π8，k π＋π8，k ∈Z . 法二 f (x )＝sin x cos x ＋cos 2x －12＝12sin 2x ＋1＋cos 2x 2－12 ＝12sin 2x ＋12cos 2x ＝22sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π4. (1)因为0＜α＜π2，sin α＝22，所以α＝π4，从而f (α)＝22sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2α＋π4＝22sin 3π4＝12.(2)T ＝2π2＝π.由2k π－π2≤2x ＋π4≤2k π＋π2，k ∈Z ，得 k π－3π8≤x ≤k π＋π8，k ∈Z .所以f (x )的单调递增区间为⎣⎢⎡⎦⎥⎤k π－3π8，k π＋π8，k ∈Z .11．设函数f (x )＝sin 2ωx ＋23sin ωx ·cos ωx －cos 2ωx ＋λ(x ∈R )的图象关于直线x ＝π对称，其中ω，λ为常数，且ω∈⎝ ⎛⎭⎪⎫12，1.(1)求函数f (x )的最小正周期；(2)若y ＝f (x )的图象经过点⎝ ⎛⎭⎪⎫π4，0，求函数f (x )的值域．【解】 (1)因为f (x )＝sin 2ωx －cos 2ωx ＋23sin ωx ·cos ωx ＋λ＝－cos 2ωx ＋3sin 2ωx ＋λ＝2sin ⎝⎛⎭⎪⎫2ωx －π6＋λ，由直线x ＝π是y ＝f (x )图象的一条对称轴，可得 sin ⎝⎛⎭⎪⎫2ωπ－π6＝±1.所以2ωπ－π6＝k π＋π2(k ∈Z )，即ω＝k 2＋13(k ∈Z )．又ω∈⎝⎛⎭⎪⎫12，1，k ∈Z ，所以ω＝56.所以f (x )的最小正周期是6π5.(2)由y ＝f (x )的图象过点⎝ ⎛⎭⎪⎫π4，0，得f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4＝0，即λ＝－2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫56×π2－π6＝－2sin π4＝－2，即λ＝－ 2. 故f (x )＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫53x －π6－2，函数f (x )的值域为[－2－2，2－2]． 12．已知a ＞0，函数f (x )＝－2a ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π6＋2a ＋b ，当x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π2时，－5≤f (x )≤1.(1)求常数a ，b 的值；(2)设g (x )＝f ⎝⎛⎭⎪⎫x ＋π2且lg(g (x ))＞0，求g (x )的单调区间．【解】 (1)∵x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π2，∴2x ＋π6∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤π6，7π6.∴sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x ＋π6∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤－12，1，∴－2a sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π6∈[－2a ，a ]． ∴f (x )∈[b,3a ＋b ]，又∵－5≤f (x )≤1 ∴b ＝－5,3a ＋b ＝1，∴a ＝2，b ＝－5. (2)由(1)得f (x )＝－4sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x ＋π6－1，g (x )＝f ⎝⎛⎭⎪⎫x ＋π2＝－4sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x ＋7π6－1＝4sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x ＋π6－1.又∵lg(g (x ))＞0，∴g (x )＞1，∴4sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π6－1＞1，∴sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π6＞12.∴2k π＋π6＜2x ＋π6＜2k π＋5π6，k ∈Z .其中当2k π＋π6＜2x ＋π6≤2k π＋π2，k ∈Z 时，g (x )单调递增，即k π＜x ≤k π＋π6，k ∈Z .当2k π＋π2＜2x ＋π6＜2k π＋5π6，k ∈Z 时，g (x )单调递减，即k π＋π6＜x ＜k π＋π3，k ∈Z .∴g (x )的单调增区间为⎝ ⎛⎦⎥⎤k π，k π＋π6(k ∈Z )，单调减区间为⎝ ⎛⎭⎪⎫k π＋π6，k π＋π3(k ∈Z )．。

2019届高考数学一轮复习第三章三角函数、解三角形第六节简单的三角恒等变换课时作业

第六节简单的三角恒等变换课时作业 A 组一一基础对点练2 71.已知cos(专一20 ) =— 9,则Sin( nn + 0 )的值等于 1 B ± 31 D9n+云-彳6 1=© 所以 sin( 0+ -6) = ±扌，故选B. 答案：B12. (2018 •开封模拟)设 a = qcos 6••• a<c<b.答案：C解析：y = sin 3 x + cos 3 x = ：$2cos i 3x — •••将y =J2cos 3x 的图象向右平移 $个单位即可得到y = ^/2cos 」3 答案：A 4.已知f（x ） = 2sin 2x + 2sin x cos x,则f （x ）的最小正周期和一个单调递减区间分别为（）2 n解析：因为 cos( —2 0 ) = cos(2 2n0 ——)=—cos(2 03 2nn ) = - COS[2( B+*)]=A. c <b <aB. a <b <cC. a <c <b D .b <c <a解析：T a = sin 30 ° cos 6 ° — cos 30 ° sin 6=sin 24 ° , b = tan 26 ,c = sin 25 ° ,1 A.§7 n 79，即 cos[2( 0 +"6)] = 9，所以sin 2(=1 — cos 50_2，2ta n 13 3.为了得到函数 y = sin 3 x + cos 3 x 的图象，可以将函数 y = 2cos 3 x的图象（A. 向右平移令个单位B 向右平移n 个单位C .向左平移$个单位 D.向左平移n 个单位x —12的图象，故选A.3 n 7 nf (x )在［-5-, ］上单调递减，故选 B.8 答案：B 5.函数y = cos 2 x + 2sin x 的最大值为3 A. —4 3 C.2答案:__ 26.已知 2cos x + sin 2 x = A sin( w x + $ ) + b (A >0)，则 A =1.答案：，: 2 17.化简： G ■n — a + sin 2 a2 acos —4sin a . 答案：4sin aA. 2 n，［春 B. n ,［春 C. 2 n 3 n可]D. n , 3n 百]解析: 2f (x ) = 2sin x + 2sinx cos x = 1— cos 2x + sin 2x =#2sin(2 x —-^) + 1, 2n T =2n ，由 nn "2 + 2k n W2x — —W4、琴+ 2k n (k € Z)得3n~8~+ 7 nk n W x w + k n (k € Z)，令 k = 0 得8 B.D.解析: 2y = cos 2 x + 2sin x = 1 — 2sin x + 2sin x =— 2 sinx —12 + 2因为一1< sin x < 1,所以当 sin x = 2时，函数取最大值，故3y max = 2解析:由于 2cos 2x + sin 2 x = 1 + cos 2 x + sin 2 x = 2sin(2 7tx + T )+ 1，所以 A = 2, b =n — a + sin 2 a 2sin a + 2sin a cos a2acos21 + cos a4sin a 1 + COS a1 + cos a&已知函数 f (x) = (sin x + cos x)sin x, x €R,贝U f(x)的最小值是 ___________解析：21 —cos 2 x 1 j 八1f (x) = sin x + sin x • cos x = + in 2x = sin 2x—4 +,32 n 9.已知函数 f (x ) = (a + 2cos x )cos(2 x + 0 )为奇函数，且 f (^) = 0,其中 a € R,(0 ,n ).(1)求a , 0的值；a2n , n ―⑵ 右 f ( —) =- 5, a€ ( —, n )，求 Sin( a +-3)的值.解析：⑴ 因为f (x ) = (a + 2cos x )cos(2 x + 0)是奇函数，而y i = a + 2cos x 为偶函数，所以10.已知 a = (sin x ,- cos x ) , b = (cos x , 3cos x )，函数 f (x ) = a • b +f. (1)求f (x )的最小正周期，并求其图象对称中心的坐标;n⑵ 当0w x < 2时，求函数f (x )的值域.解析：(1)因为 f (x ) = sin x cos x — 3cos 2x +f = 2sin 2 x —-^(cos 2 x + 1) + # ，(n )f (X )min =甘y 2 = cos(2 x + 0 )为奇函数，由 0 € (0 , n )，得 n20 = "2,所以 f ( x ) = — sin 2x •( a + 2cos x ),n由 f (~4)= 0 得一(a + 1) = 0,即卩 a = —1.1(2)由(1)得 f (x ) =-qsin 4 x ,a1因为 f ( -4) =— qsin a即sin4 a= 5,n ,又a € (—, n )，从而cos a n所以 sin( a + -3) = sina cos —+ cos a sin31 3 =2sin 2x —sin 1时,答案：匕討7tcos 2 x = sin 2x —-3 ,所以f (x)的最小正周期为n ,令sin i2x- = 0,“口n k n得2x- - = k -••• x=2n+孑k € Z,3n⑵•/ O W x ^2，W sin 2x --3 W 1 故 f (x )的值域为—B 组一一能力提升练1. (2018 •石家庄质检)若函数 f (x ) = ■ 3sin(2 x + 0 ) + cos(2 x + 0 )(0 <0<n )的图象关于(寺,o)对称，则函数f (x )在［一~4, 6】上的最小值是() A. — 1 B.— 3 1 C一 2D - F解析：f (x ) = 3sin(2 x + 0 ) + cos(2 x + 0 ) = 2sin(2 x + 0 +石)，则由题意，知仁空)= 2si n( n + 0 +n ) = 0,又 0< 0 < n ,所以 0 =二，所以 f (x ) = — 2sin 2x, f (x )在[一子,6 6 4才］上是减函数，所以函数 f (x )在［—亍,-6］上的最小值为f (-6) =— 2sin 专=一 3,故选 B. 答案：B1 22 .函数 f (x ) = 2(1 + cos 2 x ) • sin x ( x € R)是( )A. 最小正周期为n 的奇函数nB. 最小正周期为的奇函数C.最小正周期为n 的偶函数nD. 最小正周期为扌的偶函数解析：1 12 1 2 1 f (x ) = 4(1 + cos 2x )(1 — cos 2x ) = 4(1 — cos 2x ) = 4s"2x = ?(1 —x f x1 n=8(1 — cos 4 x ) = f (x )，因此函数f (x )是最小正周期为的偶函数，选 D. 答案：D 3.设 a, 3 € [0 , n ],且满足 sin a cos 3 — cos a sin 3 = 1,则 sin(2 a — 3 ) + sin( a故所求对称中心的坐标为0 (k € Z) •2，1—2 3 )的取值范围为()A. [ —.2, 1]3解析：T sin a cos 3 —cos a sin 3 = 1 ? sin( a 3 ) = 1, a , 3^ [0 , n ] , — a — 3—*0W a W n , 〔]$ 3 = a―sin(2 a — 3 ) + sin( a—2 3 ) = sin j2a — a + 宁+ sin( a —2 2)=Sin a + cos a3nn , — W a +n 5W- 4 4/• —1W 2sin即取值范围是[—1,1], 故选 C. 答案：C4.2已知2sin 0+sin 2A.B.C.D.1 + tan 0=k, 0<0 兮，则sin随着k的增大而增大有时随着k的增大而增大，有时随着k的增大而减小随着k的增大而减小是与k无关的常数解析:2 ・2sin 0 + sin 2 0 2sin 0 0 + cos 0=2sin sin 0 + cos 0cos 01 + tancos n0< 0 <4，—0<sin 0 v-^vcos 0 <1,0<2 0 <2，—k= sin 2 0 €(0,1),(sin 0 —cos 0 )2=1 —sin 2 0 , sin 0 —cos 0 =— 1 —sin 2 0 =— 1 —k, 故sin —^ =¥(sin4 2，其值随着k的增大而增大，故选 A.答案：A5.函数f(x) = 4cos x • sin i x+~n —1(x € R)的最大值为解析:T f(x) = 4cosn ix sin i x + —1k 6丿=4cos xin x+ 2cos x —1 = 2 3sin x cos x + 2cos2x —1 = 3sin 2 x + cos 2f ( X )max = 2.答案：2 6.已知函数 f (x ) = A COS 2( 3 x +$ ) + 1( A >0, 3 >0, 0<的最大值为3, f (x )的图象与y 轴的交点坐标为(0,2)，其相邻两条对称轴间的距2离为 2,则 f (1) + f (2) +•••+ f (2 016) = ____________ .AA T解析：f (x ) = ^COS (2 3 x + 2 $ ) + + 1.由相邻两条对称轴间的距离为 2，知= 2，得T = 4 Q=-—,• 3 = n ,由f (x )的最大值为3,得A = 2.又f (x )的图象过点(0,2) , • cos 2$ = 0, 2 3 4n rrk n n — nn“• 2 $ = k n + —( k € Z)，即 0=2 + 才(k € Z)，又 0< $ <三,• $ = — , • f (x )=n n n xcos X +_2 + 2 = — sin — + 2. • f (1) + f (2) +•••+ f (2 016) = ( - 1 + 2) + (0 + 2) + (1 +2) + (0 + 2) + ( — 1 + 2) +…+ (0 + 2) = 2X 2 016 = 4 032. 答案：4 032n7. 已知函数 f (x ) = sin(3 x + 4). (1)求f (x )的单调递增区间；⑵若a 是第二象限角，f (专)=4COs( a + ■4)COs 2 a ，求COS a — Sin a 的值..- _ nnn解析：(1)因为函数y = sin x 的单调递增区间为[—g + 2k n , Q + 2k n ] , k €乙由一三+ nn 小 n2k nn 2k n2k n <3x + — W — + 2k n , k € Z ,得一—+ ~^~ < x < 12 + -, k € Z.所以函数f (x )的单调递增区间为[—丁+2k n ，令+2k n ], k € Z .3 n当sin a + COs a = 0时，由a 是第二象限角，知 a = + 2k n , k €乙此时，COs a —(2)由已知，有4 n=7COs( a + — )(COs 5 42—sin a )，所以sinna COs匸+COsa sinn= 4(cosn . a Cos7 一sina sin 亍)• (COS 2 a . 2—sin a ), 即sin a + COsa = 4(COs 5a — sina ) 2(sina + COs a ).sin(115 当 sin a + cos a 工0 时，有(COs a — Sin a )2= 4.由a 是第二象限角，知 cos a — sin a <0,此匕时COS a — sin a 综上所述，cos a — sin a =— 2或一~^.&已知函数 f (x ) = sin 3 x — sin单调，且f (0) + f -3 = 0,求3的值.(1)若 f (X )在[0 , n ］上的值域为—冷,1 ,求3的取值范围;解析：f (x ) = sin 3 x — sin n 3 x + 7=sin . n 1 n (1)由 x € [0 , n ] ? 3 x — -3 ——,又 f (x )在[0 , n ］上的值域为」一一,1 , -2 即最小值为一,最大值为1,则由正弦函数的图象可知-2 w 3 n 4 n zo 5 5 n —S w 丁，得 6W3W 3. ■5 5 的取值范围是t,- 6 3 ⑵因为f (x )在0, T n n n 单调，所以v — 0,则一>v ，即3 < 3,又3 >0,所以0<3 w 3, 2 3 3 3 0 且 f (x )在 0, n 3上单调，得洽，0是f (x )图象的对称中心, .3 n …6 一 n -3 一 k n, k € Z? 3 = 6k + 2, k € Z , 由 f (0) + f 亍= 又 0<3 w 3,所以 3 = 2. ⑵若f (x )在0,。

苏教版2019年高考数学一轮复习第三章三角函数三角恒等变换及解三角形课时训练(含答案)

第三章三角函数、三角恒等变换及解三角形第1课时任意角和弧度制及任意角的三角函数一、填空题1. 若α为第二象限角，则|sin α|sin α＋tan α|tan α|的值是________．答案：0解析：因为α为第二象限角，所以sin α＞0，|sin α|sin α＝1，tan α＜0，tan α|tan α|＝－1，所以|sin α|sin α＋tan α|tan α|＝0. 2. 如图，在平面直角坐标系xOy 中，角α的终边与单位圆交于点A ，点A 的纵坐标为45，则cos α＝________．答案：－35解析：因为点A 的纵坐标y A ＝45，且点A 在第二象限．又圆O 为单位圆，所以点A 的横坐标x A ＝－35.由三角函数的定义可得cos α＝－35.3. 已知角α的终边经过点P(2，－1)，则sin α－cos αsin α＋cos α＝________．答案：－3解析：由题意得sin α＝－15，cos α＝25，所以sin α－cos αsin α＋cos α＝－3.4. (2017·泰州模拟)设α是第二象限角，P(x ，4)为其终边上的一点，且cos α＝15x ，则tan α＝________．答案：－43解析：因为α是第二象限角，所以cos α＝15x<0，即x<0.又cos α＝x x 2＋16，所以15x ＝xx 2＋16，解得x ＝－3，所以tan α＝4x ＝－43. 5. 函数y ＝2sin x －1的定义域为________．答案：⎣⎢⎡⎦⎥⎤2k π＋π6，2k π＋5π6(k∈Z )解析：∵ 2sin x －1≥0，∴ sin x ≥12.由三角函数线画出x 满足条件的终边范围(如图阴影部分所示)．∴x∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤2k π＋π6，2k π＋5π6(k∈Z )． 6. 若420°角的终边所在直线上有一点(－4，a)，则a 的值为________．答案：－4 3解析：由三角函数的定义有tan 420°＝a －4.又tan 420°＝tan (360°＋60°)＝tan 60°＝3，故a－4＝3，解得a ＝－4 3.7. 点P 从(1，0)出发，沿单位圆x 2＋y 2＝1按逆时针方向运动2π3弧长到达点Q ，则点Q 的坐标为________．答案：⎝ ⎛⎭⎪⎫－12，32解析：由弧长公式l ＝|α|r ，l ＝2π3，r ＝1得点P 按逆时针方向转过的角度为α＝2π3，所以点Q 的坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫cos 2π3，sin 2π3，即⎝ ⎛⎭⎪⎫－12，32.8. 已知角α的终边在直线y ＝－34x 上，则2sin α＋cos α＝________．答案：25或－25解析：由题意知tan α＝－34，∴ α在第二象限或第四象限，故sin α＝35，cos α＝－45或sin α＝－35，cos α＝45，∴ 2sin α＋cos α＝25或－25.9. 已知2弧度的圆心角所对的弦长为2，那么这个圆心角所对的弧长是__________．答案：2sin 1解析：如图，∠AOB ＝2弧度，过点O 作OC⊥AB 于C ，并延长OC 交弧AB 于D.则∠AOD＝∠BOD＝1弧度，且AC ＝BC ＝1.在Rt △AOC 中，AO ＝AC sin ∠AOC ＝1sin 1.即r ＝1sin 1，从而弧AB 的长为l ＝|α|·r＝2sin 1.10. 已知角x 的终边上一点的坐标为⎝⎛⎭⎪⎫sin 5π6，cos 5π6，则角x 的最小正值为________．答案：5π3解析：∵ sin 5π6＝12，cos 5π6＝－32，∴ 角x 的终边经过点⎝ ⎛⎭⎪⎫12，－32，所以角x 是第四象限角，tanx ＝－3212＝－3，∴ x ＝2k π＋5π3，k ∈Z ，∴ 角x 的最小正值为5π3.(也可用同角基本关系式tan x ＝sin x cos x 得出)11. 设θ是第三象限角，且⎪⎪⎪⎪⎪⎪cos θ2＝－cos θ2，则sin θ2的值的符号是________．答案：＋解析：由于θ是第三象限角，所以2k π＋π<θ<2k π＋3π2(k∈Z )，k π＋π2<θ2<k π＋3π4(k∈Z )．又⎪⎪⎪⎪⎪⎪cos θ2＝－cos θ2，所以cos θ2≤0，从而2k π＋π2≤θ2≤2k π＋3π2(k∈Z )．综上可知：2k π＋π2<θ2<2k π＋3π4(k∈Z )，即θ2是第二象限角，所以sin θ2>0.二、解答题12. 如图所示，动点P ，Q 从点A(4，0)出发沿圆周运动，点P 按逆时针方向每秒钟转π3弧度，点Q 按顺时针方向每秒钟转π6弧度，求点P ，Q 第一次相遇时所用的时间、相遇点的坐标及P ，Q 点各自走过的弧长．解：设点P ，Q 第一次相遇时所用的时间是t ，则t ·π3＋t ·⎪⎪⎪⎪⎪⎪－π6＝2π. 所以t ＝4(秒)，即点P ，Q 第一次相遇时所用的时间为4秒．设点P ，Q 第一次相遇点为C ，第一次相遇时点P 和点Q 已运动到终边在π3·4＝4π3的位置，则x C ＝－cos π3·4＝－2，y C ＝－sin π3·4＝－2 3.所以点C 的坐标为(－2，－23)．点P 走过的弧长为4·π3·4＝16π3，点Q 走过的弧长为4·π6·4＝8π3.13. 如图，在平面直角坐标系xOy 中，角α的始边与x 轴的非负半轴重合且与单位圆相交于A 点，它的终边与单位圆相交于x 轴上方一点B ，始边不动，终边在运动.(1) 若点B 的横坐标为－45，求tan α的值；(2) 若△AOB 为等边三角形，写出与角α终边相同的角β的集合；(3) 若α∈⎝⎛⎦⎥⎤0，2π3，请写出弓形AB 的面积S 与α的函数关系式．解：(1) 由题意可得B ⎝ ⎛⎭⎪⎫－45，35，根据三角函数的定义得tan α＝y x ＝－34.(2) 若△AOB 为等边三角形，则∠AOB＝π3.故与角α终边相同的角β的集合为{β⎪⎪⎪β＝π3＋2k π，k ∈Z }． (3) 若α∈⎝ ⎛⎦⎥⎤0，2π3，则S 扇形AOB ＝12αr 2＝12α，α∈⎝⎛⎦⎥⎤0，2π3.而S △AOB ＝12×1×1×sin α＝12sin α，故弓形AB 的面积S ＝S 扇形AOB －S △AOB ＝12α－12sin α，α∈⎝⎛⎦⎥⎤0，2π3.第2课时同角三角函数的基本关系式与诱导公式一、填空题1. sin 750°＝________．答案：12解析：sin 750°＝sin (2×360°＋30°)＝sin 30°＝12.2. 若α∈⎝ ⎛⎭⎪⎫－π2，π2，sin α＝－35，则cos(－α)的值为________．答案：45解析：因为α∈⎝ ⎛⎭⎪⎫－π2，π2，sin α＝－35，所以cos α＝45，即cos (－α)＝45. 3. (2017·镇江期末)已知α是第四象限角，sin α＝－1213，则tan α＝________．答案：－125解析：因为α是第四象限角，sin α＝－1213，所以cos α＝1－sin 2α＝513，故tan α＝sin αcos α＝－125.4. 已知α为锐角，且2tan(π－α)－3cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2＋β＋5＝0，tan(π＋α)＋6sin(π＋β)＝1，则sin α的值是________．答案：31010解析：由已知可得－2tan α＋3sin β＋5＝0，tan α－6sin β＝1，解得tan α＝3.又α为锐角，故sin α＝31010.5. (2017·射阳县中模拟)若f(tan x)＝sin 2x －5sin x ·cos x, 则f(5)＝________．答案：0解析：由已知得f( tan x)＝ sin 2x －5 sin x · cos x sin 2x ＋ cos 2x ＝tan 2x －5tan x tan 2x ＋1，所以f(5)＝52－5×552＋1＝0. 6. 已知θ是第三象限角，且sin θ－2cos θ＝－25，则sin θ＋cos θ＝________．答案：－3125解析：由sin θ－2cos θ＝－25，sin 2θ＋cos 2θ＝1，θ是第三象限角，得sin θ＝－2425，cos θ＝－725，则sin θ＋cos θ＝－3125. 7. 已知sin(π－α)＝log 814，且α∈⎝ ⎛⎭⎪⎫－π2，0，则tan(2π－α)的值为________．答案：255解析：sin (π－α)＝sin α＝log 814＝－23.又α∈⎝ ⎛⎭⎪⎫－π2，0，得cos α＝1－sin 2α＝53，tan (2π－α)＝tan (－α)＝－tan α＝－sin αcos α＝255.8. 已知sin θ＝2cos θ，则sin 2θ＋sin θcos θ－2cos 2θ＝________．答案：45解析：由 sin θ＝2cos θ，得 tan θ＝2.sin 2θ＋sin θ cos θ－2cos 2θ＝sin 2θ＋sin θcos θ－2cos 2θsin 2θ＋cos 2θ＝tan 2θ＋tan θ－2tan 2θ＋1＝22＋2－222＋1＝45. 9. 设函数f (x)(x∈R )满足f(x ＋π)＝f(x)＋sin x ，当0≤x<π时，f(x)＝0，则f ⎝⎛⎭⎪⎫23π6＝________．答案：12解析：由f(x ＋π)＝f(x)＋sin x ，得f(x ＋2π)＝f(x ＋π)＋sin(x ＋π)＝f(x)＋sin x －sin x ＝f(x)，所以f ⎝ ⎛⎭⎪⎫236π＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫116π＋2π＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫116π＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π＋56π＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫56π＋sin 56π.因为当0≤x<π时，f(x)＝0，所以f ⎝ ⎛⎭⎪⎫236π＝0＋12＝12. 10. 已知函数f(x)＝asin(πx ＋α)＋bcos(πx ＋β)，且f(4)＝3，则f(2 017)的值为________．答案：－3解析：∵ f(4)＝asin (4π＋α)＋bcos (4π＋β)＝asin α＋bcos β＝3，∴ f(2 017)＝asin (2 017π＋α)＋bcos (2 017π＋β)＝asin (π＋α)＋bcos (π＋β)＝－asin α－bcos β＝－(asin α＋bcos β)＝－3.二、解答题11. 已知1＋sin αcos α＝－12，求cos αsin α－1的值．解：由同角三角函数关系式1－sin 2α＝cos 2α及题意可得cos α≠0，且1－sin α≠0，可得(1＋sinα)(1－sin α)＝cos αcos α，所以1＋sin αcos α＝cos α1－sin α，所以cos α1－sin α＝－12，即cos αsin α－1＝12.12. 已知f(x)＝cos 2（n π＋x ）·sin 2（n π－x ）cos 2[（2n ＋1）π－x](n∈Z )． (1) 化简f(x)的解析式；(2) 求f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2 017＋f ⎝ ⎛⎭⎪⎫2 015π4 034的值．解：(1) 当n 为偶数，即n ＝2k(k∈Z )时，f(x)＝cos 2（2k π＋x ）·sin 2（2k π－x ）cos 2[（2·2k＋1）π－x]＝cos 2x ·sin 2（－x ）cos 2（π－x ）＝cos 2x ·（－sin x ）2（－cos x ）2＝sin 2x ；当n 为奇数，即n ＝2k ＋1(k∈Z )时，f(x)＝cos 2[（2k ＋1）π＋x]·sin 2[（2k ＋1）π－x]cos 2{[2·（2k ＋1）＋1]π－x}＝cos 2（2k π＋π＋x ）·sin 2（2k π＋π－x ）cos 2[2·（2k ＋1）π＋π－x] ＝cos 2（π＋x ）·sin 2（π－x ）cos 2（π－x ）＝（－cos x ）2·sin 2x （－cos x ）2＝sin 2x. 综上，f(x)＝sin 2x.(2) 由(1)得f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2 017＋f ⎝ ⎛⎭⎪⎫2 015π4 034＝sin 2π2 017＋sin 22 015π4 034＝sin 2π2 017＋sin 2⎝ ⎛⎭⎪⎫π2－π2 017＝sin2π2 017＋cos 2π2 017＝1. 13. 是否存在角α和β，当α∈⎝ ⎛⎭⎪⎫－π2，π2，β∈(0，π)时，等式⎩⎪⎨⎪⎧sin （3π－α）＝2cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2－β，3cos （－α）＝－2cos （π＋β）同时成立？若存在，求出α和β的值；若不存在，请说明理由．解：存在α＝π4，β＝π6使等式同时成立．由⎩⎪⎨⎪⎧sin （3π－α）＝2cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2－β，3cos （－α）＝－2cos （π＋β），得⎩⎨⎧sin α＝2sin β，3cos α＝2cos β，两式平方相加，得sin 2α＋3cos 2α＝2，得到cos 2α＝12，即cos α＝±22.因为α∈⎝ ⎛⎭⎪⎫－π2，π2，所以cos α＝22，所以α＝π4或α＝－π4. 将α＝π4代入3cos α＝2cos β，得cos β＝32.由于β∈(0，π)，所以β＝π6.将α＝－π4代入sin α＝2sin β，得sin β＝－12.由于β∈(0，π)，这样的角β不存在．综上可知，存在α＝π4，β＝π6使等式同时成立．第3课时三角函数的图象和性质一、填空题1. (必修4P 33例4改编)函数y ＝－tan ⎝⎛⎭⎪⎫x ＋π6＋2的定义域为____________．答案：⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪⎪x≠k π＋π3，k ∈Z解析：由x ＋π6≠k π＋π2，k ∈Z ，得x≠k π＋π3，k ∈Z .2. (2017·珠海调研改编)要得到函数y ＝sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x ＋π6的图象，只需要将函数y ＝sin 2x 的图象作平移变换：____________.答案：向左平移π12个单位解析：y ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π6＝sin 2⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π12，所以要得到函数y ＝ sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π6的图象，只需要将函数y ＝sin 2x 的图象向左平移π12个单位．3. (2017·南京、盐城一模)将函数y ＝3sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π3的图象向右平移φ⎝⎛⎭⎪⎫0<φ<π2个单位后，所得函数为偶函数，则φ＝________．答案：5π12解析：由题意得y ＝3sin ⎝⎛⎭⎪⎫2（x －φ）＋π3为偶函数，所以－2φ＋π3＝π2＋k π(k∈Z )．又0<φ<π2，所以φ＝5π12.4. 函数y ＝cos 2x －2sin x 的最大值与最小值分别是________．答案：2，－2解析：y ＝cos 2x －2sin x ＝1－sin 2x －2sin x ＝－(sin x ＋1)2＋2.由－1≤sin x ≤1知，当sin x ＝－1时，y 取最大值2；当sin x ＝1时，y 取最小值－2.5. 若函数y ＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫ωx ＋π6(ω∈N )图象的一个对称中心是⎝ ⎛⎭⎪⎫π6，0，则ω的最小值为____________．答案：2解析：由题意知πω6＋π6＝k π＋π2(k∈Z )⇒ω＝6k ＋2(k∈Z )⇒ωmin ＝2.6. (2017·苏北四市第三次调研)若函数f(x)＝2sin(2x ＋φ)⎝⎛⎭⎪⎫0<φ<π2的图象过点(0，3)，则函数f(x)在[0，π]上的单调递减区间是________．答案：⎝ ⎛⎭⎪⎫π12，7π12 解析：由题意可得2sin (2×0＋φ)＝3，∴ sin φ＝32，φ＝π3，f(x)＝2sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x ＋π3，函数f(x)在[0，π]上的单调递减区间是⎝ ⎛⎭⎪⎫π12，7π12. 7. (2017·南京调研)如图是函数f(x)＝Asin(ωx ＋φ)(A>0，ω>0，φ∈(0，2π))图象的一部分，则f(0)的值为________．答案：322解析：由函数图象得A ＝3，2πω＝2[3－(－1)]＝8，解得ω＝π4，所以f(x)＝3sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4x ＋φ.因为(3，0)为函数f(x)＝3sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4x ＋φ的一个下降零点，所以π4×3＋φ＝(2k ＋1)π(k∈Z )，解得φ＝π4＋2k π(k∈Z )．因为φ∈(0，2π)，所以φ＝π4，所以f(x)＝3sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4x ＋π4，则f(0)＝3sin π4＝322.8. 若f(x)＝2sin ωx(0<ω<1)在区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π3上的最大值是2，则ω的值为________．答案：34解析：由0≤x≤π3，得0≤ωx≤ωπ3＜π3，则f(x)在⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π3上单调递增，且在这个区间上的最大值是2，所以2sin ωπ3＝2，且0＜ωπ3＜π3，所以ωπ3＝π4，解得ω＝34.9. 函数f(x)＝sin πx ＋cos πx ＋|sin πx －cos πx|对任意的x∈R 都有f(x 1)≤f(x)≤f(x 2)成立，则|x 2－x 1|的最小值为__________．答案：34解析：依题意得，当sin πx ≥cos πx 时，f(x)＝2sin πx ；当sin πx<cos πx 时，f(x)＝2cos πx.由已知可知f(x 1)，f(x 2)分别是函数f(x)的最小值与最大值，结合函数y ＝f(x)的图象可知，|x 2－x 1|的最小值为相邻最小值与最大值处横坐标差的绝对值．由于x ＝12时，函数取得最大值2，x ＝54时函数取得最小值－2，所以|x 2－x 1|的最小值是54－12＝34.10. 若函数f(x)＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫ωx －π4(ω>0)在区间⎝⎛⎭⎪⎫0，π2上单调递增，则ω的取值范围是____________．答案：⎝ ⎛⎦⎥⎤0，32 解析：由－π2＋2k π≤ωx －π4≤π2＋2k π，k ∈Z ，得－π4ω＋2k πω≤x ≤3π4ω＋2k πω，k ∈Z .取k ＝0，得－π4ω≤x ≤3π4ω.因为函数f(x)＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫ωx －π4(ω>0)在区间⎝⎛⎭⎪⎫0，π2上单调递增，所以3π4ω≥π2，即ω≤32.又ω>0，所以ω的取值范围是⎝ ⎛⎦⎥⎤0，32. 11. (原创)已知函数f(x)＝cos 2x ＋sin x ，那么下列命题中是真命题的是________．(填序号) ① f(x)既不是奇函数也不是偶函数； ② f(x)是周期函数；③ f(x)在[－π，0]上恰有一个零点；④ f(x)在⎝ ⎛⎭⎪⎫π2，5π6上是增函数；⑤ f(x)的值域为[0，2]．答案：①②④解析：∵ f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2＝1，f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－π2＝－1，即f(－x)≠f(x)， ∴ f(x)不是偶函数．∵ x ∈R ，f(0)＝1≠0，∴ f(x)不是奇函数，故①为真命题．∵ f(x)＝f(x ＋2π)，∴ T ＝2π，故函数f(x)为周期函数，故②为真命题．令f(x)＝cos 2x ＋sin x ＝1－sin 2x ＋sin x ＝0，则sin 2x －sin x －1＝0，解得sin x ＝1±52，当x∈[－π，0]时，sin x ＝1－52，由正弦函数图象可知函数f(x)在[－π，0]上有两个零点，故③为假命题．∵ f′(x)＝2cos x ·(－sin x)＋cos x ＝cos x ·(1－2sin x)，当x∈⎝ ⎛⎭⎪⎫π2，5π6时，cos x<0，12<sin x<1，∴ f ′(x)＝cos x ·(1－2sin x)>0，∴ f(x)在⎝ ⎛⎭⎪⎫π2，5π6上是增函数，故④为真命题．f(x)＝cos 2x ＋sin x ＝－sin 2x ＋sin x ＋1＝－⎝ ⎛⎭⎪⎫sin x －122＋54，由－1≤sin x ≤1得f(x)的值域为⎣⎢⎡⎦⎥⎤－1，54，故⑤为假命题．二、解答题12. 已知函数f(x)＝Asin(ωx ＋φ)(其中A ＞0，ω＞0，0＜φ＜π2)的周期为π，且图象上有一个最低点为M ⎝ ⎛⎭⎪⎫2π3，－3. (1) 求f(x)的解析式；(2) 求使f(x)＜32成立的x 的取值集合．解：(1) 由题意知，A ＝3，ω＝2，由3sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫4π3＋φ＝－3，得φ＋4π3＝－π2＋2k π，k ∈Z ，即φ＝－116π＋2k π，k∈Z . 而0＜φ＜π2，所以k ＝1，φ＝π6.故f(x)＝3sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x ＋π6.(2) f(x)＜32等价于3sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x ＋π6＜32，即 sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x ＋π6＜12，于是2k π－7π6＜2x ＋π6＜2k π＋π6(k∈Z )，解得k π－2π3＜x ＜k π(k∈Z )，故使f(x)＜32成立的x 的取值集合为{x|k π－2π3＜x ＜k π，k ∈Z }．13. (2017·扬州中学质检)如图，函数y ＝2cos(ωx ＋φ)⎝ ⎛⎭⎪⎫ω>0，0≤φ≤π2的部分图象与y 轴交于点(0，3)，最小正周期是π.(1) 求ω，φ的值；(2) 已知点A ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2，0，点P 是该函数图象上一点，点Q(x 0，y 0)是PA 的中点，当y 0＝32，x 0∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤π2，π时，求x 0的值．解：(1) 将点(0，3)代入y ＝2cos(ωx ＋φ)，得cos φ＝32.∵ 0≤φ≤π2，∴ φ＝π6.∵ 最小正周期T ＝π，且ω>0，∴ ω＝2πT＝2.(2) 由(1)知y ＝2cos ⎝⎛⎭⎪⎫2x ＋π6. ∵ A ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2，0，Q(x 0，y 0)是PA 的中点，y 0＝32， ∴ P ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x 0－π2，3. ∵ 点P 在y ＝2cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π6的图象上， ∴ 2cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫4x 0－π＋π6＝3，∴ cos ⎝⎛⎭⎪⎫4x 0＋π6＝－32. ∵ x 0∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤π2，π，∴ 4x 0＋π6∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤2π＋π6，4π＋π6， ∴ 4x 0＋π6＝2π＋π－π6或4x 0＋π6＝2π＋π＋π6，∴ x 0＝2π3或3π4.第4课时两角和与差的正弦、余弦和正切公式一、填空题1. cos 15°的值是____________．答案：2＋64解析：cos15°＝cos(60°－45°)＝2＋64. 2. 计算：cos 42°cos 18°－cos 48°sin 18°＝_________．答案：12解析：原式＝sin 48°cos 18°－cos 48°sin 18° ＝sin (48°－18°) ＝sin 30° ＝12. 3. 设α，β为钝角，且sin α＝55，cos β＝－31010，则cos(α＋β)的值为________．答案：22解析：∵ α，β为钝角，sin α＝55，cos β＝－31010， ∴ cos α＝－255，sin β＝1010，∴ cos(α＋β)＝cos αcos β－sin αsin β＝22. 4. (2017·苏锡常镇四市调研(二))已知α是第二象限角，且sin α＝310，tan(α＋β)＝－2，则tanβ＝________．答案：17解析：由α是第二象限角，且sin α＝310，得cos α＝－110，tan α＝－3，所以tan β＝tan(α＋β－α)＝tan （α＋β）－tan α1＋tan （α＋β）tan α＝－2＋31＋6＝17.5. 已知α，β∈⎝ ⎛⎭⎪⎫π3，5π6，若sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π6＝45，cos ⎝⎛⎭⎪⎫β－5π6＝513，则sin(α－β)＝__________．答案：1665解析：由题意可得α＋π6∈⎝ ⎛⎭⎪⎫π2，π，β－5π6∈⎝ ⎛⎭⎪⎫－π2，0，所以cos ⎝⎛⎭⎪⎫α＋π6＝－35，sin(β－5π6)＝－1213，所以sin(α－β)＝－sin[(α＋π6)－(β－5π6)]＝－[45×513－⎝ ⎛⎭⎪⎫－35×⎝ ⎛⎭⎪⎫－1213]＝1665.6. 已知sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π3＋α＋sin α＝435，则sin ⎝⎛⎭⎪⎫α＋7π6＝__________. 答案：－45解析：sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π3＋α＋sin α＝435⇒sin π3cos α＋cos π3sin α＋sin α＝435⇒32sin α＋32cos α＝435⇒32sin α＋12cos α＝45，故sin ⎝⎛⎭⎪⎫α＋7π6＝sin αcos 7π6＋cos αsin 7π6＝－(32sin α＋12cos α)＝－45.7. 若锐角α，β满足tan α＋tan β＝3－3tan αtan β，则α＋β＝____________．答案：π3解析：由已知可得tan α＋tan β1－tan αtan β＝3，即tan (α＋β)＝ 3.又α＋β∈(0，π)，所以α＋β＝π3.8. 计算：2sin 50°－3sin 20°cos 20°＝________．答案：1解析：原式＝2sin （30°＋20°）－3sin 20°cos 20°＝2sin 30°cos 20°＋2cos 30°sin 20°－3sin 20°cos 20°＝cos 20°＋3sin 20°－3sin 20°cos 20°＝1.9. 若α，β都是锐角，且cos α＝55，sin(α－β)＝1010，则 β＝________．答案：π4解析：∵ α，β都是锐角，且cos α＝55，sin(α－β)＝1010， ∴ sin α＝255，cos(α－β)＝31010，从而cos β＝cos [α－(α－β)]＝cos αcos(α－β)＋sinαsin(α－β)＝22.∵ β是锐角，∴ β＝π4. 10. 如图所示，正方形ABCD 的边长为1，延长BA 至E ，使AE ＝1，连结EC ，ED ，则sin ∠CED ＝__________．答案：1010解析：因为四边形ABCD 是正方形，且AE ＝AD ＝1，所以∠AED＝π4.在Rt △EBC 中，EB ＝2，BC ＝1，所以sin ∠BEC ＝55，cos ∠BEC ＝255.sin ∠CED ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4－∠BEC ＝22cos ∠BEC －22sin ∠BEC ＝22×⎝ ⎛⎭⎪⎫255－55＝1010. 二、解答题11. 在△ABC 中，已知sin(A ＋B)＝2sin(A －B)．(1) 若B ＝π6，求A ；(2) 若tan A ＝2，求tan B 的值．解：(1) 由条件，得sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫A ＋π6＝2sin(A －π6)，∴32sin A ＋12cos A ＝2⎝ ⎛⎭⎪⎫32sin A －12cos A . 化简，得sin A ＝3cos A ，∴ tan A ＝ 3.又A∈(0，π)，∴ A ＝π3.(2) ∵ sin(A ＋B)＝2sin(A －B)，∴ sin Acos B ＋cos Asin B ＝2(sin Acos B －cos Asin B)．化简，得3cos Asin B ＝sin Acos B. 又cos Acos B ≠0，∴ tan A ＝3tan B.又tan A ＝2，∴ tan B ＝23.12. 已知α∈⎝ ⎛⎭⎪⎫π2，π，且sin α2＋cos α2＝62. (1) 求cos α的值；(2) 若sin(α－β)＝－35，β∈⎝ ⎛⎭⎪⎫π2，π，求cos β的值．解：(1) 已知sin α2＋cos α2＝62，两边同时平方，得1＋2sin α2cos α2＝32，则sin α＝12.又π2<α<π，所以cos α＝－1－sin 2α＝－32. (2) 因为π2<α<π，π2<β<π，所以－π2<α－β<π2.又sin(α－β)＝－35，所以cos(α－β)＝45.则cos β＝cos [α－(α－β)]＝cos αcos(α－β)＋sin αsin(α－β)＝－32×45＋12×⎝ ⎛⎭⎪⎫－35＝－43＋310.13. 已知函数f(x)＝3sin ωxcos φ＋tan π3·cos ωxsin φ⎝⎛⎭⎪⎫ω>0，－π2≤φ<π2的图象关于直线x ＝π3对称，且图象上相邻两个最高点的距离为π.(1) 求ω和φ的值；(2) 若f ⎝ ⎛⎭⎪⎫α2＝34⎝ ⎛⎭⎪⎫π6＜α＜2π3，求cos ⎝⎛⎭⎪⎫α＋3π2的值．解：(1) 由已知得f(x)＝3sin (ωx ＋φ)，因为f(x)的图象上相邻两个最高点的距离为π，所以f(x)的最小正周期T ＝π，从而ω＝2πT＝2.又f(x)的图象关于直线x ＝π3对称，所以2·π3＋φ＝k π＋π2，k ∈Z .由－π2≤φ<π2得k ＝0，所以φ＝π2－2π3＝－π6.(2) 由(1)得f(x)＝3sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x －π6，所以f ⎝ ⎛⎭⎪⎫α2＝3sin ⎝⎛⎭⎪⎫2·α2－π6＝34，即sin ⎝⎛⎭⎪⎫α－π6＝14.由π6<α<2π3得0<α－π6<π2，所以cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫α－π6＝1－sin 2⎝⎛⎭⎪⎫α－π6＝1－⎝ ⎛⎭⎪⎫142＝154. 因此cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋3π2＝sin α＝sin ⎣⎢⎡⎦⎥⎤⎝⎛⎭⎪⎫α－π6＋π6 ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫α－π6cos π6＋cos ⎝⎛⎭⎪⎫α－π6sin π6 ＝14×32＋154×12＝3＋158.第5课时二倍角的正弦、余弦和正切公式一、填空题 1. 12－sin 2π12的值为________．答案：34解析：12－sin 2π12＝12⎝ ⎛⎭⎪⎫1－2sin 2π12＝12cos π6＝12×32＝34.2. 函数y ＝(sin x －cos x)2的最小正周期为__________．答案：π解析：y ＝(sin x －cos x)2＝1－2sin xcos x ＝1－sin 2x ，最小正周期T ＝π.3. 若cos 2αsin ⎝⎛⎭⎪⎫α＋7π4＝－22，则sin α＋cos α＝__________．答案：12解析：由已知得cos 2α－sin 2α22（sin α－cos α）＝－22，整理得sin α＋cos α＝12. 4. 已知sin(α－45°)＝－210，且0°＜α＜90°，则cos 2α的值为________．答案：725解析：由sin (α－45°)＝－210，展开得sin α－cos α＝－15.又sin 2α＋cos 2α＝1，得sin α＝35，cos α＝45，则cos 2α＝cos 2α－sin 2α＝725.5. 若函数f(x)＝sin 2⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π4＋cos 2⎝ ⎛⎭⎪⎫x －π4－1，则函数f(x)的单调增区间是____________．答案：⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π4＋k π，π4＋k π(k∈Z ) 解析：f(x)＝sin 2(π4＋x)＋sin 2(π4＋x)－1＝2sin 2(π4＋x)－1＝－cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2＋2x ＝sin 2x.易得函数f(x)的单调增区间是⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π4＋k π，π4＋k π(k∈Z )． 6. (2017·苏州调研)已知α是第二象限角，且tan α＝－13，则sin 2α＝________．答案：－35解析：因为α是第二象限角，且tan α＝－13，所以sin α＝1010，cos α＝－31010，所以sin 2α＝2sin αcos α＝2×1010×(－31010)＝－35. 7. 已知sin 2α＝13，则cos 2⎝⎛⎭⎪⎫α－π4＝___________．答案：23解析：cos 2⎝ ⎛⎭⎪⎫α－π4＝1＋cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫2α－π22＝1＋sin 2α2＝1＋132＝23.8. 若1＋tan α1－tan α＝2 017，则tan 2α＋1cos 2α＝________．答案：2 017解析：tan 2α＋1cos 2α＝2tan α1－tan 2α＋cos 2α＋sin 2αcos 2α－sin 2α＝（1＋tan α）21－tan 2α＝1＋tan α1－tan α＝2 017. 9. 设f(x)＝1＋cos 2x 2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2－x ＋sin x ＋a 2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π4的最大值为2＋3，则常数a ＝____________．答案：± 3解析：f(x)＝1＋2cos 2x －12cos x ＋sin x ＋a 2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π4＝cos x ＋sin x ＋a 2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π4＝2sin ⎝⎛⎭⎪⎫x ＋π4＋a 2sin ⎝⎛⎭⎪⎫x ＋π4＝(2＋a 2)sin(x ＋π4)．依题意有2＋a 2＝2＋3，∴ a ＝± 3.10. 已知θ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π2，且sin ⎝⎛⎭⎪⎫θ－π4＝210，则tan 2θ＝________．答案：－247解析：由sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫θ－π4＝210，得sin θ－cos θ＝15①， θ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π2，①平方得2sin θcos θ＝2425，可求得sin θ＋cos θ＝75，∴ sin θ＝45，cos θ＝35，∴ tan θ＝43，tan 2θ＝2tan θ1－tan2θ＝－247. 11. 已知函数f(x)＝12sin 2xsin φ＋cos 2xcos φ－12·sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2＋φ(0<φ<π)，将函数f(x)的图象向左平移π12个单位后得到函数g(x)的图象，且g ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4＝12，则φ＝________．答案：2π3解析：∵ f(x)＝12sin 2xsin φ＋cos 2xcos φ－12sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2＋φ＝12sin 2xsin φ＋cos 2x ＋12cos φ－12cos φ ＝12sin 2xsin φ＋12cos 2xcos φ ＝12cos(2x －φ)， ∴ g(x)＝12cos ⎣⎢⎡⎦⎥⎤2⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π12－φ＝12cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π6－φ.∵ g ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4＝12，∴ 2×π4＋π6－φ＝2k π(k∈Z )，即φ＝2π3－2k π(k∈Z )．∵ 0<φ<π，∴ φ＝2π3.二、解答题12. (2017·江阴期初)已知函数f(x)＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π3＋sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x －π3＋2cos 2x －1，x ∈R .(1) 求函数f(x)的最小正周期；(2) 求函数f(x)在区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π4，π4上的最大值和最小值．解：(1) ∵ f(x)＝sin2xcos π3＋cos2xsin π3＋sin2xcos π3－cos2xsin π3＋cos2x ＝sin2x ＋cos2x ＝2sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x ＋π4， ∴ 函数f(x)的最小正周期T ＝2π2＝π.(2) ∵ 函数f(x)在区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π4，π8上是增函数，在区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤π8，π4上是减函数，又f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－π4＝－1，f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π8＝2，f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4＝1， ∴ 函数f(x)在⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π4，π4上的最大值为2，最小值为－1. 13. 已知函数f(x)＝(2cos 2x －1)sin 2x ＋12cos 4x.(1) 求f(x)的最小正周期及单调递减区间；(2) 若α∈(0，π)，且f ⎝ ⎛⎭⎪⎫α4－π8＝22，求tan ⎝⎛⎭⎪⎫α＋π3的值．解：(1) f(x)＝(2cos 2x －1)sin 2x ＋12cos 4x ＝cos 2xsin 2x ＋12cos 4x ＝12(sin 4x ＋cos 4x)＝22sin ⎝⎛⎭⎪⎫4x ＋π4， ∴ f(x)的最小正周期T ＝π2.令2k π＋π2≤4x ＋π4≤2k π＋32π，k ∈Z ，得k π2＋π16≤x ≤k π2＋5π16，k ∈Z .∴ f(x)的单调递减区间为⎣⎢⎡⎦⎥⎤k π2＋π16，k π2＋5π16，k ∈Z .(2) ∵ f ⎝ ⎛⎭⎪⎫α4－π8＝22，即sin ⎝⎛⎭⎪⎫α－π4＝1，又α∈(0，π)，－π4<α－π4<3π4，∴α－π4＝π2，故α＝3π4.因此tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π3＝tan 3π4＋tanπ31－tan 3π4tanπ3＝－1＋31＋3＝2－ 3.第6课时简单的三角恒等变换一、填空题1. 已知cos 4α－sin 4α＝23，则cos 4α＝________．答案：－19解析：∵ cos 4α－sin 4α＝(sin 2α＋cos 2α)(cos 2α－sin 2α)＝cos 2α＝23，∴ cos 4α＝2cos 22α－1＝2×⎝ ⎛⎭⎪⎫232－1＝－19.2. 若sin α2＝33，则cos 2α＝________．答案：－79解析：cos α＝1－2sin 2α2＝1－2×⎝ ⎛⎭⎪⎫332＝13，cos2α＝2cos 2α－1＝2×⎝ ⎛⎭⎪⎫132－1＝－79.3. 在△ABC 中，若2cos Bsin A ＝sin C ，则△ABC 的形状一定是__________．答案：等腰三角形解析：在△ABC 中，C ＝π－(A ＋B)，∴ 2cos Bsin A ＝sin[π－(A ＋B)]＝sin(A ＋B)＝sin A cos B ＋cos Asin B ．∴ －sin Acos B ＋cos Asin B ＝0，即sin(B －A)＝0.∴ A＝B ，故△ABC 的形状一定是等腰三角形．4. 在△ABC 中，tan A ＋tan B ＋3＝3tan A ·tan B ，则C ＝__________．答案：π3解析：由已知可得tan A ＋tan B ＝3(tan A ·tan B －1)，∴ tan(A ＋B)＝tan A ＋tan B1－tan Atan B ＝－ 3.又0＜A ＋B ＜π，∴ A ＋B ＝2π3，∴ C ＝π3.5. 若2cos 2α＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4－α，且α∈⎝ ⎛⎭⎪⎫π2，π，则sin 2α＝___________．答案：－78解析：由2cos 2α＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4－α，得2(cos 2α－sin 2α)＝22(cos α－sin α)，所以cos α＋sin α＝24.又(cos α＋sin α)2＝1＋2sin α·cos α＝1＋sin 2α＝18，所以sin 2α＝－78. 6. 若α∈[0，2π)，则满足1＋sin 2α＝sin α＋cos α的α的取值范围是__________．答案：⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，3π4∪⎣⎢⎡⎭⎪⎫7π4，2π解析：由1＋sin 2α＝sin α＋cos α，得sin α＋cos α＝2sin ⎝⎛⎭⎪⎫α＋π4≥0.因为α∈[0，2π)，所以α的取值范围为⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，3π4∪⎣⎢⎡⎭⎪⎫7π4，2π.7. 2cos 10°－sin 20°sin 70°＝___________．答案： 3解析：原式＝2cos （30°－20°）－sin 20°sin 70°＝2（cos 30°cos 20°＋sin 30°sin 20°）－sin 20°sin 70°＝3cos 20°cos 20°＝ 3.8. 已知sin 2α＝－2425，且α∈⎝ ⎛⎭⎪⎫3π4，π，则sin α＝________．答案：35解析：∵ α∈⎝ ⎛⎭⎪⎫3π4，π，∴ cos α＜0，sin α＞0，且|cos α|＞|sin α|.又(sin α＋cos α)2＝1＋sin 2α＝1－2425＝125，∴ sin α＋cos α＝－15，同理可得sin α－cos α＝75，∴ sin α＝35.9. sin 18°cos 36°＝________．答案：14解析：原式＝2sin 18°cos 18°cos 36°2cos 18°＝2sin 36°cos 36°4cos 18°＝sin 72°4cos 18°＝14.10. 已知sin α＝12＋cos α，且α∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π2，则cos 2αsin ⎝⎛⎭⎪⎫α－π4的值为________．答案：－142解析：由sin α＝12＋cos α，得sin α－cos α＝12，∴ (sin α－cos α)2＝14，∴ 2sin αcos α＝34，∴ (sin α＋cos α)2＝1＋2sin αcos α＝74.又α∈⎝⎛⎭⎪⎫0，π2，∴ sin α＋cos α＝72，∴ cos 2αsin ⎝ ⎛⎭⎪⎫α－π4＝cos 2α－sin 2α22（sin α－cos α）＝－2(sin α＋cos α)＝－142. 二、解答题 11. 已知△ABC 是锐角三角形，且sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫B －π6·cos ⎝⎛⎭⎪⎫B －π3＝12.(1) 求角B 的值；(2) 若tan Atan C ＝3，求角A ，C 的值．解：(1) sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫B －π6cos ⎝⎛⎭⎪⎫B －π3＝⎝⎛⎭⎪⎫32sin B －12cos B ⎝ ⎛⎭⎪⎫12cos B ＋32sin B＝34sin 2B －14cos 2B ＝sin 2B －14＝12，所以sin 2B ＝34.因为B 为锐角三角形的内角，所以sin B ＝32，即B ＝π3. (2) 因为B ＝π3，所以A ＋C ＝2π3.又△ABC 是锐角三角形，所以tan A ＞0，tan C ＞0.而tan(A ＋C)＝tan A ＋tan C1－tan Atan C ＝－3，所以tan A ＋tan C ＝3tan Atan C －3＝2 3 ①. 又tan Atan C ＝3 ②，由①②解得tan A ＝tan C ＝3，所以A ＝C ＝π3.12. (2017·南通、扬州、泰州、苏北四市二模)已知sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π4＝210，α∈⎝ ⎛⎭⎪⎫π2，π. (1) 求cos α的值；(2) 求sin ⎝⎛⎭⎪⎫2α－π4的值．解：(1) (解法1)因为α∈⎝ ⎛⎭⎪⎫π2，π，所以α＋π4∈⎝ ⎛⎭⎪⎫3π4，5π4. 又sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π4＝210，所以cos ⎝⎛⎭⎪⎫α＋π4＝－1－sin 2⎝⎛⎭⎪⎫α＋π4＝－1－⎝ ⎛⎭⎪⎫2102＝－7210.所以cos α＝cos ⎣⎢⎡⎦⎥⎤⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π4－π4＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π4cos π4＋sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π4sin π4＝－7210×22＋210×22＝－35. (解法2)由sin ⎝⎛⎭⎪⎫α＋π4＝210得，sin αcos π4＋cos αsin π4＝210，即sin α＋cos α＝15①.又sin 2α＋cos 2α＝1 ②.由①②解得cos α＝－35或cos α＝45.因为α∈⎝ ⎛⎭⎪⎫π2，π，所以cos α＝－35. (2) 因为α∈⎝ ⎛⎭⎪⎫π2，π，cos α＝－35，所以sin α＝1－cos 2α＝1－⎝ ⎛⎭⎪⎫－352＝45.所以sin 2α＝2sin αcos α＝2×45×⎝ ⎛⎭⎪⎫－35＝－2425，cos 2α＝2cos 2α－1＝2×⎝ ⎛⎭⎪⎫－352－1＝－725.所以sin ⎝⎛⎭⎪⎫2α－π4＝sin 2αcos π4－cos 2αsin π4＝⎝ ⎛⎭⎪⎫－2425×22－⎝ ⎛⎭⎪⎫－725×22＝－17250. 13. (2017·泰州模拟)如图，现要在一块半径为1 m ，圆心角为π3的扇形白铁片AOB 上剪出一个平行四边形MNPQ ，使点P 在弧AB 上，点Q 在OA 上，点M ，N 在OB 上，设∠BOP＝θ，平行四边形MNPQ 的面积为S.(1) 求S 关于θ的函数关系式； (2) 求S 的最大值及相应的θ值．解：(1) 分别过P ，Q 作PD⊥OB 于点D ，QE ⊥OB 于点E ，则四边形QEDP 为矩形．由扇形半径为1 m ，得PD ＝sin θ，OD ＝cos θ.在Rt △OEQ 中，OE ＝33QE ＝33PD ，MN ＝QP ＝DE ＝OD －OE ＝cos θ－33sin θ，所以S ＝MN·PD＝⎝ ⎛⎭⎪⎫cos θ－33sin θ·sin θ＝sin θcos θ－33sin 2θ，θ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π3.(2) 由(1)得S ＝12sin 2θ－36(1－cos 2θ)＝12sin 2θ＋36cos 2θ－36＝33sin ⎝⎛⎭⎪⎫2θ＋π6－36，因为θ∈⎝⎛⎭⎪⎫0，π3，所以2θ＋π6∈⎝ ⎛⎭⎪⎫π6，5π6，所以sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2θ＋π6∈⎝ ⎛⎦⎥⎤12，1. 当θ＝π6时，S max ＝36(m 2)．第7课时正弦定理和余弦定理一、填空题1. (2017·江阴期初)在△ABC 中，若A ＝60°，B ＝45°，BC ＝32，则AC ＝________．答案：2 3解析：由已知及正弦定理得AC sin B ＝BC sin A ，即AC ＝BC·sin B sin A ＝32·sin 45°sin 60°＝2 3.2. 在△ABC 中，AC ＝3，A ＝45°，C ＝75°，则BC ＝______．答案： 2解析：由题意得B ＝180°－A －C ＝60°.由正弦定理得AC sin B ＝BC sin A ，则BC ＝AC·sin Asin B ，所以BC ＝3×2232＝ 2.3. 在△ABC 中，A ＝60°，AB ＝2，且△ABC 的面积为32，则BC 的长为____________．答案： 3解析：S ＝12AB ·ACsin 60°＝12×2×32×AC ＝32，所以AC ＝1，所以BC 2＝AB 2＋AC 2－2AB ·ACcos 60°＝3，所以BC ＝ 3.4. 已知在△ABC 中，内角A ，B ，C 所对边的长分别为a ，b ，c ，a 2＝b 2＋c 2－bc ，bc ＝4，则△ABC 的面积为________．答案： 3解析：∵ a 2＝b 2＋c 2－bc ，∴ cos A ＝12.∴ A ＝π3.又bc ＝4，∴ △ABC 的面积为12bcsin A ＝ 3.5. (2017·苏锡常镇调研(二))在△ABC 中，角A ，B ，C 所对边的长分别是a ，b ，c ，若满足2bcos A ＝2c －3a ，则角B 的大小为________．答案：π6解析：由正弦定理得2sin Bcos A ＝2sin C －3sin A ⇒2sin Bcos A ＝2sin(A ＋B)－3sin A ⇒2sin AcosB ＝3sin A ．∵ A ∈(0，π)，∴ cos B ＝32.∵ B ∈(0，π)，∴ B ＝π6.6. 在△ABC 中，角A ，B ，C 所对边的长分别是a ，b ，c.已知b ＝c ，a 2＝2b 2(1－sin A)，则A ＝________．答案：π4解析：由余弦定理知a 2＝b 2＋c 2－2bccos A ，因为b ＝c ，a 2＝2b 2(1－sin A)，所以b 2＋b 2－2b 2cos A ＝2b 2(1－sin A)，所以cos A ＝sin A ，即tan A ＝1.因为A∈(0，π)，所以A ＝π4.7. (2017·盐城诊断)在△ABC 中，cos 2B2＝a ＋c 2c(a ，b ，c 分别为角A ，B ，C 所对边的长)，则△ABC 的形状为________．答案：直角三角形解析：因为cos 2B 2＝a ＋c 2c ，所以2cos 2B 2－1＝a ＋c c －1，所以cos B ＝a c ，所以a 2＋c 2－b 22ac ＝a c，所以c 2＝a2＋b 2.所以△ABC 为直角三角形．8. 在△ABC 中，三个内角A ，B ，C 所对边的长分别为a ，b ，c.若S △ABC ＝23，a ＋b ＝6，acos B ＋bcos Ac＝2cos C ，则c ＝________．答案：2 3解析：∵ acos B ＋bcos Ac＝2cos C ，由正弦定理，得sin Acos B ＋cos Asin B ＝2sin Ccos C ， ∴ sin(A ＋B)＝sin C ＝2sin Ccos C.由于0＜C ＜π，sin C ≠0，∴ cos C ＝12，∴ C ＝π3.∵ S △ABC ＝23＝12absin C ＝34ab ，∴ ab ＝8.又a ＋b ＝6，∴⎩⎪⎨⎪⎧a ＝2，b ＝4或⎩⎪⎨⎪⎧a ＝4，b ＝2，∴ c 2＝a 2＋b 2－2abcos C ＝4＋16－8＝12，∴ c ＝2 3.9. 在△ABC 中，角A ，B ，C 所对边的长分别为a ，b ，c ，且满足csin A ＝3acos C ，则sin A ＋sin B 的最大值是______．答案： 3解析：由csin A ＝3acos C ，得sin Csin A ＝3sin Acos C ，即sin C ＝3cos C ，∴ tan C ＝3，∴ C ＝π3，A ＝2π3－B ，∴ sin A ＋sin B ＝sin ⎝⎛⎭⎪⎫2π3－B ＋sin B ＝3sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫B ＋π6.∵ 0＜B ＜2π3，∴ π6＜B ＋π6＜5π6，∴ 当B ＋π6＝π2，即B ＝π3时，sin A ＋sin B 的最大值为 3.10. 在锐角三角形ABC 中，若A ＝2B ，则ab的取值范围是________．答案：(2，3)解析：因为△ABC 为锐角三角形，且A ＝2B ，所以⎩⎪⎨⎪⎧0＜2B ＜π2，0＜π－3B ＜π2，所以π6<B<π4.因为A ＝2B ，sin A ＝sin 2B ＝2sin Bcos B ，所以a b ＝sin A sin B ＝2cos B ∈(2，3)．二、解答题11. 在△ABC 中，角A ，B ，C 所对边的长分别为a ，b ，c ，且满足a 2－b 2－c 2＋3bc ＝0，2bsin A ＝a ，BC 边上中线AM 的长为14.(1) 求角A 和角B 的大小； (2) 求△ABC 的面积．解：(1) ∵ cos A ＝b 2＋c 2－a 22bc ＝32，∴ A ＝π6.由2bsin A ＝a ，得b ＝a ，∴ B ＝A ＝π6.(2) 设AC ＝BC ＝x ，由余弦定理，得AM 2＝x 2＋x 24－2x·x 2·⎝ ⎛⎭⎪⎫－12＝(14)2，解得x ＝22，故S △ABC ＝12×22×22×32＝2 3.12. (2017·江西联考)已知△ABC 的内角A ，B ，C 所对边的长分别是a ，b ，c ，且a 2＋b 2－c 2ab ·⎝ ⎛⎭⎪⎫ac cos B ＋b c cos A ＝1.(1) 求角C ；(2) 若c ＝7，△ABC 的周长为5＋7，求△ABC 的面积S. 解：(1) 由正弦定理与余弦定理，得2cos C(sin Acos B ＋sin Bcos A)＝sin C ，即2cos Csin(A ＋B)＝sin C ，∴ 2sin Ccos C ＝sin C ，故cos C ＝12，∴ C ＝π3.(2) ∵ a＋b ＋c ＝5＋7且c ＝7，∴ a ＋b ＝5.由余弦定理，得a 2＋b 2－2abcos C ＝c 2，∴ (a ＋b)2－2ab －2abcos C ＝7，∴ 52－3ab ＝7，∴ ab ＝6，S △ABC ＝12absin C ＝332.13. (2017·苏州期中)已知函数f(x)＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π3cos x ．(1) 若0≤x≤π2 ，求函数f(x)的值域；(2) 设△ABC 的三个内角A ，B ，C 所对的边长分别为a ，b ，c ，若A 为锐角，且f(A)＝32，b ＝2，c ＝3，求cos(A －B)的值．解：(1)f(x)＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π3cos x ＝(sin x ＋3cos x)cos x ＝sinx cos x ＋3cos 2x ＝12sin 2x ＋32cos2x ＋32 ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π3＋32.由0≤x≤π2，得π3≤2x ＋π3≤4π3，∴－32 ≤sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π3≤1， ∴ 0≤sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π3＋32≤1＋32， ∴ 函数f(x)的值域为⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，1＋32. (2)由f(A)＝sin ⎝⎛⎭⎪⎫2A ＋π3＋32＝32，得sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2A ＋π3＝0，又0＜A ＜π2，∴ π3＜2A ＋π3＜4π3，∴ 2A ＋π3＝π，解得A ＝π3.在△ABC 中，由余弦定理得a 2＝b 2＋c 2－2bccos A ＝7，解得a ＝7.由正弦定理a sin A ＝b sin B ，得sin B ＝bsin A a ＝217.∵ b ＜a ，∴ B ＜A ，∴ cos B ＝ 277，∴ cos(A －B)＝cos Acos B ＋sin Asin B ＝12×277＋32×217＝5714.第8课时解三角形应用举例一、填空题1. 在相距2 km 的A ，B 两点处测量目标C ，若∠CAB＝75°，∠CBA ＝60°，则A ，C 两点之间的距离是________km.答案： 6解析：由题意知∠ACB＝45°，由正弦定理得AC sin 60°＝2sin 45°，∴ AC ＝222×32＝ 6.2. 如图，在坡度一定的山坡上的一点A 测得山顶上一建筑物顶端C 对于山坡的斜度为15，向山顶前进100 m 后，又从点B 测得斜度为，假设建筑物高50 m ，设山坡对于地平面的坡角为，则cos ＝________．答案：3－1解析：在△ABC 中，AB ＝ 100 m , CAB ＝15°，45°－15°＝ 30°.由正弦定理100sin 30°＝BCsin 15°，∴ BC ＝ 200sin 15°.在△DBC 中，CD ＝50 m ，CBD ＝45°，CDB ＝90°＋，由正弦定理得50sin 45°＝200sin 15°sin （90°＋θ），∴ cos θ＝3－1.3. 如图，两座相距60 m 的建筑物AB ，CD 的高度分别为20 m ，50 m ，BD 为水平面，则从建筑物AB 的顶端A 看建筑物CD 的张角为________．答案：45°解析：依题意可得AD ＝2010 m ，AC ＝30 5 m ，又CD ＝50 m ，所以在△ACD 中，由余弦定理，得cos ∠CAD ＝AC 2＋AD 2－CD 22AC ·AD ＝（305）2＋（2010）2－5022×305×2010＝ 6 0006 0002＝22.又0°＜∠CAD＜180°，所以∠CAD＝45°，即从顶端A 看建筑物CD 的张角为45°.4. 如图，某住宅小区的平面图为圆心角为120°的扇形AOB ，C 是该小区的一个出入口，且小区里有一条平行于AO 的小路CD.已知某人从O 沿OD 走到D 用了2 min ，从D 沿着DC 走到C 用了3 min.若此人步行的速度为50 m/min ，则该扇形的半径为________m.答案：507解析：如图，连结OC ，在△OCD 中，OD ＝100，CD ＝150，∠CDO ＝60°，由余弦定理可得OC 2＝1002＋1502－2×100×150×12＝17 500，解得OC ＝507 m.5. 如图，一艘船上午9：30在A 处测得灯塔S 在它的北偏东30°处，之后它继续沿正北方向匀速航行，上午10：00到达B 处，此时又测得灯塔S 在它的北偏东75°处，且与它相距8 2 n mile.此船的航速是__________n mile/h.答案：32。

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