第22章 二次函数-2020-2021学年九年级数学上册单元检测卷(人教版)
2020-2021学年人教版九年级数学上学期第22章二次函数 单元同步试卷及答案
22章二次函数单元测试卷(时间：120分钟分数：120分)得分：____________一、选择题(本大题共12小题，每小题3分，共36分)A．(1，－5) B．(－1，－5) C．(－1，－4) D．(－2，－7)2．二次函数y＝ax2＋bx－1(a≠0)的图象经过点(1，1)，则a＋b＋1的值是( ) A．－3 B．－1 C．2 D．33．已知二次函数y＝ax2＋bx＋c(a≠0)的图象如图所示，当y＜0时，x的取值范围是( )A．－1＜x＜3 B．x＞3 C．x＜－1 D．x＞3或x＜－1（第3题图）（第4题图）（第5题图）4．已知二次函数y ＝13 (x －4)2－3的部分图象如图所示，图象再次与x 轴相交时的坐标是( )A ．(5，0)B ．(6，0)C ．(7，0)D ．(8，0)5．如图，把抛物线y ＝x 2沿直线y ＝x 平移 2 个单位长度后，其顶点在直线上的A 处，则平移后抛物线的解析式为( )A ．y ＝(x ＋1)2－1 B ．y ＝(x ＋1)2＋1 C ．y ＝(x －1)2＋1 D ．y ＝(x －1)2－16．烟花厂某种礼炮的升空高度h(m)与飞行时间t(s)的关系式为h ＝－2t 2＋20t ＋1，若这种礼炮在点火升空到最高处引爆，则从点火升空到引爆需要的时间为( )A ．3sB ．5sC ．6sD ．10s7．在同一平面直角坐标系中，函数y＝ax＋b与y＝ax2－bx的图象可能是( )ABCD8．已知二次函数y＝3(x－1)2＋k的图象上有A( 2 ，y1)，B(3，y2)，C(－4，y3)三个点，则y1，y2，y3的大小关系是( )A．y1＞y2＞y3 B．y2＞y1＞y3 C．y3＞y1＞y2 D．y3＞y2＞y19．若函数y＝(m－1)x2－6x＋32m的图象与x轴有且只有一个交点，则m的值为( )A．－2或3 B．－2或－3 C．1或－2或3 D．1或－2或－310．由于被墨水污染，一道数学题仅能见到如下文字：已知二次函数y＝x2＋bx＋c的图象过点(1，0)，…，求证：这个二次函数的图象关于直线x＝2对称．根据现有信息，题中的二次函数不具有的性质是( ) A．过点(3，0) B．顶点是(2，－2)C．在x轴上截得的线段的长是2 D．与y轴的交点是(0，3)11．二次函数y＝ax2＋bx＋c(a≠0)的图象如图所示，下列结论：①c＜0；②b＞0；③4a ＋2b＋c＞0；④(a＋c)2＜b2，其中正确的有( )A．1个 B．2个 C．3个 D．4个（第11题图）（第12题图）（第18题图）12．从地面竖直向上抛出一小球，小球的高度h(单位：m)与小球运动时间t(单位：s)之间的函数关系如图所示．有下列结论：①小球在空中经过的路程是40m ；②小球抛出3秒后，速度越来越快；③小球抛出3秒时速度为0；④小球的高度h ＝30m 时，t ＝1.5s.其中正确的是( )A ．①④B ．①②C ．②③④D ．②③ 二、填空题(本大题共6小题，每小题3分，共18分)13．将二次函数y ＝x 2－4x ＋5化成y ＝a(x －b)2＋k 的形式为________． 14．当a ＝________时，函数y ＝(a －1)xa 2＋1＋x －3是二次函数．15．将抛物线y ＝2x 2，向左平移1个单位长度，再向下平移2个单位长度，所得图象的解析式为________．16．若抛物线y ＝ax 2＋bx ＋c 的顶点是A(2，1)，且经过点B(1，0)，则抛物线的函数关系式为________．17．对称轴与y 轴平行且经过原点O 的抛物线也经过A(2，m)，B(4，m)，若△AOB 的面积为4，则抛物线的解析式为________．18．已知二次函数y ＝ax 2＋bx ＋c 的图象如图所示，有以下结论：①abc＞0；②a－b ＋c ＜0；③2a＝b ；④4a＋2b ＋c ＞0；⑤若点(－2，y 1)和(－13 ，y 2)在该图象上，则y 1＞y 2.其中正确的结论是________(填写正确结论的序号).三、解答题(本大题共8小题，共66分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤) 19．(6分)有一个运算装置，当输入值为x 时，其输出值为y ，且y 是x 的二次函数，已知输入值为－2，0，1时，相应的输出值分别为5，－3，－4.(1)求此二次函数的解析式；(2)在所给的直角坐标系中画出这个二次函数的图象，并根据图象写出输出值y为正数时输入值x的取值范围．20．(8分)已知抛物线y＝2x2－4x＋c与x轴有两个不同的交点．(1)求c的取值范围；(2)若抛物线y＝2x2－4x＋c经过点A(2，m)和点B(3，n)，试比较m与n的大小，并说明理由．21．(8分)已知二次函数y＝2(x－1)(x－m－3)(m为常数).(1)求证：无论m为何值，该函数的图象与x轴总有公共点；(2)当m取什么值时，该函数的图象与y轴的交点在x轴的上方？22．(8分)已知二次函数y ＝x 2＋bx ＋c 的图象与y 轴交于点C(0，－6)，与x 轴的一个交点是A(－2，0).(1)求二次函数的解析式，并写出顶点D 的坐标；(2)将二次函数的图象沿x 轴向左平移52个单位长度，当y ＜0时，求x 的取值范围．23．(8分)如图，某足球运动员站在O 处练习射门，将足球从离地面0.5m 的A 处正对球门踢出(点A 在y 轴上).足球的飞行高度y(单位：m)与飞行时间t(单位：s)之间满足函数关系y ＝at 2＋5t ＋c.已知足球飞行0.8s 时，离地面的高度为3.5m.(1)足球飞行的时间是多少时，足球离地面最高？最大高度是多少？(2)若足球飞行的水平距离为x(单位：m)与飞行时间t(单位：s)之间满足关系x ＝10t.已知球门的高度为2.44m ，如果该运动员正对球门射门时，离球门的水平距离为28m ，他能否将球直接射入球门？24．(8分)如图，抛物线y ＝x 2－3x ＋54 与x 轴相交于A ，B 两点，与y 轴相交于点C ，点D 是直线BC 下方抛物线上一点，过点D 作y 轴的平行线，与直线BC 相交于点E.(1)求直线BC 的解析式；(2)当线段DE 的长度最大时，求点D 的坐标．25．(10分)某片果园有果树80棵，现准备多种一些果树提高果园产量，但是如果多种树，那么树之间的距离和每棵树所受光照就会减少，单棵树的产量随之降低，若该果园每棵果树产量y(千克)，增种果树x(棵)，它们之间的函数关系如图所示．(1)求y 与x 之间的函数关系式；(2)在投入成本最低的情况下，增种果树多少棵时，果园可以收获果实6750千克？ (3)当增种果树多少棵时，果园的总产量w(千克)最大？最大产量是多少？26．(10分)如图，已知抛物线y ＝－14 x 2－12 x ＋2与x 轴交于A ，B 两点，与y 轴交于点C.(1)求点A ，B ，C 的坐标；(2)点E 是此抛物线上的点，点F 是抛物线对称轴上的点，求以A ，B ，E ，F 为顶点的平行四边形的面积；(3)此抛物线的对称轴上是否存在点M ，使得△ACM 是等腰三角形？若存在，请求出点M 的坐标；若不存在，请说明理由．参考答案一、选择题(本大题共12小题，每小题3分，共36分)A．(1，－5) B．(－1，－5) C．(－1，－4) D．(－2，－7)2．二次函数y＝ax2＋bx－1(a≠0)的图象经过点(1，1)，则a＋b＋1的值是(D)A．－3 B．－1 C．2 D．33．已知二次函数y＝ax2＋bx＋c(a≠0)的图象如图所示，当y＜0时，x的取值范围是(A)A．－1＜x＜3 B．x＞3 C．x＜－1 D．x＞3或x＜－1（第3题图）（第4题图）（第5题图）4．已知二次函数y ＝13 (x －4)2－3的部分图象如图所示，图象再次与x 轴相交时的坐标是(C)A ．(5，0)B ．(6，0)C ．(7，0)D ．(8，0)5．如图，把抛物线y ＝x 2沿直线y ＝x 平移 2 个单位长度后，其顶点在直线上的A 处，则平移后抛物线的解析式为(C)A ．y ＝(x ＋1)2－1 B ．y ＝(x ＋1)2＋1 C ．y ＝(x －1)2＋1 D ．y ＝(x －1)2－16．烟花厂某种礼炮的升空高度h(m)与飞行时间t(s)的关系式为h ＝－2t 2＋20t ＋1，若这种礼炮在点火升空到最高处引爆，则从点火升空到引爆需要的时间为(B)A ．3sB ．5sC ．6sD ．10s7．在同一平面直角坐标系中，函数y ＝ax ＋b 与y ＝ax 2－bx 的图象可能是(C)A BCD8．已知二次函数y ＝3(x －1)2＋k 的图象上有A( 2 ，y 1)，B(3，y 2)，C(－4，y 3)三个点，则y 1，y 2，y 3的大小关系是(D)A ．y 1＞y 2＞y 3B ．y 2＞y 1＞y 3C ．y 3＞y 1＞y 2D ．y 3＞y 2＞y 19．若函数y ＝(m －1)x 2－6x ＋32 m 的图象与x 轴有且只有一个交点，则m 的值为(C)A ．－2或3B ．－2或－3C ．1或－2或3D ．1或－2或－3 10．由于被墨水污染，一道数学题仅能见到如下文字：已知二次函数y ＝x 2＋bx ＋c 的图象过点(1，0)，…，求证：这个二次函数的图象关于直线x ＝2对称．根据现有信息，题中的二次函数不具有的性质是(B)A ．过点(3，0)B ．顶点是(2，－2)C ．在x 轴上截得的线段的长是2D ．与y 轴的交点是(0，3)11．二次函数y＝ax2＋bx＋c(a≠0)的图象如图所示，下列结论：①c＜0；②b＞0；③4a ＋2b＋c＞0；④(a＋c)2＜b2，其中正确的有(C)A．1个 B．2个 C．3个 D．4个（第11题图）（第12题图）（第18题图）12．从地面竖直向上抛出一小球，小球的高度h(单位：m)与小球运动时间t(单位：s)之间的函数关系如图所示．有下列结论：①小球在空中经过的路程是40m；②小球抛出3秒后，速度越来越快；③小球抛出3秒时速度为0；④小球的高度h＝30m时，t＝1.5s.其中正确的是(D)A．①④ B．①② C．②③④ D．②③三、解答题(本大题共8小题，共66分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤)19．(6分)有一个运算装置，当输入值为x时，其输出值为y，且y是x的二次函数，已知输入值为－2，0，1时，相应的输出值分别为5，－3，－4.(1)求此二次函数的解析式；(2)在所给的直角坐标系中画出这个二次函数的图象，并根据图象写出输出值y 为正数时输入值x 的取值范围．解：(1)设所求二次函数的解析式为y ＝ax 2＋bx ＋c ，由题意可得，⎩⎪⎨⎪⎧a·（－2）2＋b·（－2）＋c ＝5，a ·02＋b·0＋c ＝－3，a ＋b ＋c ＝－4. 解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝1，b ＝－2，c ＝－3. 故所求二次函数的解析式为y ＝x 2－2x －3.(2)函数图象如图所示．由图象可得，当输出值y 为正数时，输入值x 的取值范围是x ＜－1或x ＞3.20．(8分)已知抛物线y ＝2x 2－4x ＋c 与x 轴有两个不同的交点． (1)求c 的取值范围；(2)若抛物线y ＝2x 2－4x ＋c 经过点A(2，m)和点B(3，n)，试比较m 与n 的大小，并说明理由．解：(1)∵抛物线y ＝2x 2－4x ＋c 与x 轴有两个不同的交点， ∴方程2x 2－4x ＋c ＝0有两个不同的实数根． ∴b 2－4ac ＝(－4)2－8c ＝16－8c ＞0. ∴c 的取值范围是c ＜2. (2)m ＜n.理由如下：∵抛物线的对称轴为直线x ＝1，∴点A(2，m)和点B(3，n)都在对称轴的右侧， ∵当x≥1时，y 随x 的增大而增大，∴m ＜n.21．(8分)已知二次函数y ＝2(x －1)(x －m －3)(m 为常数). (1)求证：无论m 为何值，该函数的图象与x 轴总有公共点； (2)当m 取什么值时，该函数的图象与y 轴的交点在x 轴的上方？(1)证明：y ＝2(x －1)(x －m －3)化为一般式为：y ＝2x 2－2(m ＋4)x ＋2m ＋6，则Δ＝[－2(m ＋4)]2－4×2×(2m＋6)＝4(m ＋2)2≥0，即无论m 为何值，该函数的图像与x 轴总有公共点；(2)解：当x ＝0时，y ＝2(x －1)(x －m －3)＝2m ＋6， ∴该函数的图象与y 轴交点的纵坐标为2m ＋6.∴当2m ＋6＞0时，即m ＞－3时，该函数的图象与y 轴的交点在x 轴的上方．22．(8分)已知二次函数y ＝x 2＋bx ＋c 的图象与y 轴交于点C(0，－6)，与x 轴的一个交点是A(－2，0).(1)求二次函数的解析式，并写出顶点D 的坐标；(2)将二次函数的图象沿x 轴向左平移52个单位长度，当y ＜0时，求x 的取值范围．∴抛物线的解析式为y ＝x 2－x －6.∴y＝(x －12 )2－254 .∴抛物线的顶点D 的坐标为(12 ，－254). (2)二次函数的图象沿x 轴向左平移52 个单位长度，y ＝(x ＋2)2－254 .令y ＝0，得(x ＋2)2－254 ＝0，解得x 1＝12 ，x 2＝－92 ，∵a ＝1＞0，∴当y ＜0时，x 的取值范围是－92 ＜x＜12.23．(8分)如图，某足球运动员站在O 处练习射门，将足球从离地面0.5m 的A 处正对球门踢出(点A 在y 轴上).足球的飞行高度y(单位：m)与飞行时间t(单位：s)之间满足函数关系y ＝at 2＋5t ＋c.已知足球飞行0.8s 时，离地面的高度为3.5m.(1)足球飞行的时间是多少时，足球离地面最高？最大高度是多少？(2)若足球飞行的水平距离为x(单位：m)与飞行时间t(单位：s)之间满足关系x ＝10t.已知球门的高度为2.44m ，如果该运动员正对球门射门时，离球门的水平距离为28m ，他能否将球直接射入球门？解：(1)将(0，0.5)和(0.8，3.5)代入y ＝at 2＋5t ＋c ，得a ＝－2516 ，c ＝12 ，∴y ＝－2516t 2＋5t ＋12 ＝－2516 (t －85 )2＋92 ，∴足球飞行的时间是85 s 时，足球离地面最高，最大高度是92m. (2)当x ＝28时，28＝10t ，∴t ＝2.8.当t ＝2.8时，y ＝－2516 ×2.82＋5×2.8＋12 ＝2.25，∵0＜2.25＜2.44，∴他能将球直接射入球门．24．(8分)如图，抛物线y ＝x 2－3x ＋54 与x 轴相交于A ，B 两点，与y 轴相交于点C ，点D 是直线BC 下方抛物线上一点，过点D 作y 轴的平行线，与直线BC 相交于点E.(1)求直线BC的解析式；(2)当线段DE的长度最大时，求点D的坐标．25．(10分)某片果园有果树80棵，现准备多种一些果树提高果园产量，但是如果多种树，那么树之间的距离和每棵树所受光照就会减少，单棵树的产量随之降低，若该果园每棵果树产量y(千克)，增种果树x(棵)，它们之间的函数关系如图所示．(1)求y与x之间的函数关系式；(2)在投入成本最低的情况下，增种果树多少棵时，果园可以收获果实6750千克？(3)当增种果树多少棵时，果园的总产量w(千克)最大？最大产量是多少？解：(1)设y 与x 之间的函数关系式为y ＝kx ＋b.∵该一次函数过点(12，74)，(28，66)，∴⎩⎨⎧12k ＋b ＝74，28k ＋b ＝66. 解得⎩⎪⎨⎪⎧k ＝－0.5，b ＝80. ∴所求函数关系式为y ＝－0.5x ＋80.(2)根据题意得，(－0.5x ＋80)(80＋x)＝6750.解得x 1＝10，x 2＝70.∵投入成本最低．∴x 2＝70不满足题意，舍去，∴增种果树10棵时，果园可以收获果实6750千克．(3)根据题意，得，w ＝(－0.5x ＋80)(80＋x)＝－0.5x 2＋40x ＋6400＝－0.5(x －40)2＋7200，∵－0.5＜0，抛物线开口向下，函数有最大值．∴当x ＝40时，w 取最大值，为7200.∴当增种果树40棵时，果园的总产量最大，是7200千克．26．(10分)如图，已知抛物线y ＝－14 x 2－12x ＋2与x 轴交于A ，B 两点，与y 轴交于点C.(1)求点A ，B ，C 的坐标；(2)点E 是此抛物线上的点，点F 是抛物线对称轴上的点，求以A ，B ，E ，F 为顶点的平行四边形的面积；(3)此抛物线的对称轴上是否存在点M ，使得△ACM 是等腰三角形？若存在，请求出点M 的坐标；若不存在，请说明理由．1、只要朝着一个方向努力，一切都会变得得心应手。
2020秋最新人教版九年级数学上册 第22章 二次函数 单元检测试题(含答案)
第22章二次函数单元检测试题（满分120分；时间：120分钟）一、选择题（本题共计10 小题，每题3 分，共计30分，）1. 下列函数是二次函数的是( )B.y=x2+xz+1C.x2+2y−1=0D.xy=x2−yA.y=−1x22. 四位同学在研究函数y=x2+bx+c（b，c是常数）时，甲发现当x=1时，函数有最小值；乙发现−1是方程x2+bx+c=0的一个根；丙发现函数的最小值为3；丁发现当x=2时，y=4，已知这四位同学中只有一位发现的结论是错误的，则该同学是() A.甲 B.乙 C.丙 D.丁3. 某种商品的原价为a元，经过两次降价后为y元，假设每次降价的百分率为x，则y关于x函数解析式为（）A.y=ax2+aB.y=x2+aC.y=ax2−2ax+aD.y=a−2x的图象交点的横4. 方程x2+3x−1=0的根可看作是函数y=x+3的图象与函数y=1x坐标，那么用此方法可推断出方程x3−x−1=0的实数根x0所在的范围是（）A.−1<x0<0B.0<x0<1C.1<x0<2D.2<x0<35. 抛物线y=ax2+bx+c(a<0)如图所示，则下列说法正确的是（）A.c=0B.当x>−1时y随x的增大而增大C.图象的对称轴是直线x=−2D.不等式ax2+bx+c>0的解集是−3<x<16. 在某次投篮中，球从出手到投中篮圈中心的运动路径是抛物线y=−1x2+3.5的一部5分（如图），则他与篮底的水平距离l（如图）是（）A.3.5mB.4mC.4.5mD.4.6m7. 地面上一个小球被推开后笔直滑行，滑行的距离s与时间t的函数关系如图中的部分抛物线所示（其中P是该抛物线的顶点），则下列说法正确的是()A.小球滑行6秒停止B.小球滑行12秒停止C.小球滑行6秒回到起点D.小球滑行12秒回到起点8. 已知函数y=2(x−3)2−4(1≤x≤6)的最大值与最小值的和为（）A.18B.0C.10D.无法确定9. 如图是抛物线y=ax2+bx+c(a≠0)的部分图象，其顶点坐标为(1, m)，且与x轴的一个交点在点(3, 0)和(4, 0)之间，下列结论错误的是（）A.a−b+c>0B.b2=4a(c−m)C.2a+c<0D.一元二次方程ax2+bx+c=m−1有两个不相等的实数根10. 如图，二次函数y＝ax2+bx+c的图象经过点A(−3, 0)，其对称轴为直线x＝−1，有下列结论：①abc<0；②a+b+c<0；③5a+4c<0；④4ac−b2>0；⑤若P(−5, y1)，Q(m, y2)是抛物线上两点，且y1>y2，则实数m的取值范围是−5<m< 3．其中正确结论的个数是（）A.1B.2C.3D.4二、填空题（本题共计10 小题，每题3 分，共计30分，）11. 抛物线y=−2x2+8bx+1的对称轴是直线x=−2，则抛物线的解析式为________．12. 二次函数y=x2−4x+a在−2≤x≤3的范围内有最小值−3，则a=________.13. 请将函数y=1x2+2x+1写成y=a(x−ℎ)2+k的形式为________．214. 已知二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)的图象如图所示，则不等式ax2+bx+c<0的解集是________．15. 已知二次函数y=2x2+2020，当x分别取x1,x2(x1≠x2)时，函数值相等，则当x 取2x1+2x2时，函数值为________.16. 二次函数y=ax a2−5a−4的图象是一条开口向下的抛物线，则a的值为________．17. 二次函数y=x2+2x−3的顶点坐标是________．18. 已知抛物线y=x2−2bx的顶点在第三象限，请写出一个符合条件的b的值为_________．19. 如图，已知二次函数y1=ax2+bx+c(a≠0)与一次函数y2=kx+m(k≠0)的图象相交于点A(−2,4)，B(8,2)，则能使y1>y2成立的x的取值范围是________．20. 如图，二次函数y1=ax2+bx(a≠0, b≠0)和一次函数y2=kx(k≠0)的图象交于原点和点A，当y1<y2时，对应的x的取值范围为________．三、解答题（本题共计6 小题，共计60分，）21. 已知抛物线y=x2−4x+3.(1)画出这条抛物线的草图；(2)求该抛物线与x轴的交点坐标；(3)利用图象直接回答：x取什么值时，函数值小于0.22. 如图，隧道的截面由抛物线和长方形构成，长方形的长是12m，宽是4m．按照图中所示的直角坐标系，抛物线可以用y=−1x2+bx+c表示，且抛物线时的点C到墙面OB6的水平距离为3m，到地面OA的距离为17m．2(1)求该抛物线的函数关系式，并计算出拱顶D到地面OA的距离.(2)一辆货运汽车载一长方体集装箱后高为6m，宽为4m，如果隧道内设双向行车道，那么这辆货车能否安全通过？(3)在抛物线型拱壁上需要安装两排灯，使它们离地面的高度相等，如果灯离地面的高度不超过8m，那么两排灯的水平距离最小是多少米？23. 如图，已知抛物线C1:y=a(x+2)2−5的顶点为P1与x轴相交于A、B两点（点A在点B的左侧），且点B的坐标为(1, 0)；（1）由图象可知，抛物线C1的开口向________，当x>−2时，y随x的增大而________；（2）求a的值；（3）如图，抛物线C2与抛物线C1关于x轴对称，将抛物线C2向右平移，平移后的抛物线记为C3，抛物线C3的顶点为M，当点P．M关于点O成中心对称时，求抛物线C3的解析式．24. 已知抛物线y=x2+bx+c的对称轴l交x轴于点A．（1）若此抛物线经过点(1,2)，当点A的坐标为(2,0)时，求此抛物线的解析式；（2）抛物线y=x2+bx+c交y轴于点B．将该抛物线平移，使其经过点A，B，且与x轴交于另一点C．若b2=2c，b≤−1，比较线段OB与OC+3的大小．225. 如图，二次函数的图象与x轴相交于点A(−3, 0)、B(1, 0)两点，与y轴相交于点C(0, 3)．点C、D是二次函数图象上的一对对称点，一次函数的图象过点B、D（1）求二次函数的解析式和D点坐标；（2）根据图象直接写出使一次函数值小于二次函数值的x的取值范围．26. 某水果公司购进某种葡萄的成本为20元/kg，经过市场调查发现，这种葡萄在未来48天的销售价p（元/kg）与时间t（天）之间的函数关系式为p={14t+30(1≤t≤24，t为整数)，−12t+48(25≤t≤48，t为整数)，且其日销售量y（kg）与时间t（天）之间的关系如图所示：(1)求第30天的日销售量；(2)哪一天的销售利润最大？最大日销售利润为多少？(3)在实际销售的前24天中，该公司决定每销售1kg葡萄就捐赠n(n<9)元给“精准扶贫”对象．现发现：在前24天中，每天扣除捐赠后的日销售利润随时间t的增大而增大，求n的取值范围．参考答案一、选择题（本题共计10 小题，每题3 分，共计30分）1.【答案】C【解答】解：A，分母中含自变量，不是二次函数，错误；B，表达式中含有两个自变量，不是二次函数，错误；C，式子变形为y=−12x2+12，是二次函数，正确；D，式子变形为y=x2x+1，不是二次函数，错误．故选C．2.【答案】B【解答】解：假设甲和丙的结论正确，则{−b2=1,1+b+c=3,解得：{b=−2,c=4,∴抛物线的解析式为y=x2−2x+4．当x=−1时，y=x2−2x+4=7，∴乙的结论不正确；当x=2时，y=x2−2x+4=4，∴丁的结论正确．∵四位同学中只有一位发现的结论是错误的，∴假设成立．故乙同学结论错误.故选B.3.【答案】C【解答】解：第二次降价后的价格是：a(1−x)2，则函数解析式为y=a(1−x)2=ax2−2ax+a.故选C.4.【答案】C【解答】解：方程x3−x−1=0，∴x2−1=1x，∴它的根可视为y=x2−1和y=1x的交点的横坐标，当x=1时，x2−1=0，1x=1，交点在x=1的右边，当x=2时，x2−1=3，1x =12，交点在x=2的左边，又∵交点在第一象限．∴1<x0<2，故选C．5.【答案】D【解答】解：A、抛物线与y轴的交点在x轴上方，则c>0，所以A选项错误；B、因为抛物线过(−3, 0)，(1, 0)，则抛物线的对称轴为直线x=−1，而抛物线开口向下，所以当x>−1时y随x的增大而减小，所以B选项错误；C、抛物线的对称轴为直线x=−1，所以C选项错误；D、当−3<x<1时，y>0，即ax2+bx+c>0，所以D选项正确．故选D．6.【答案】B【解答】解：把y=3.05代入y=−1x2+3.5中得：5x1=1.5，x2=−1.5（舍去），∴L=2.5+1.5=4米，故选：B．7.【答案】A【解答】解：由图可知，滑行的距离s与时间t的函数关系可得，当t=6秒时，滑行距离最大，即此时小球停止滑行．故选A．8.【答案】C【解答】解：∵函数y=2(x−3)2−4的对称轴为x=3，当x=3时，函数有最小值−4，∵1≤x≤6，∴当x=6时，函数的最大值为14，∴−4+14=10．故选C．9.【答案】C【解答】解：对称轴为x=1，且m>0，由对称性可知：抛物线与x轴的另外一个交点在(−1, 0)与(−2, 0)之间，∴当−1≤x≤3，y>0，且Δ>0，开口向下，a<0.A、当x=−1时，y=a−b+c>0，故A正确；B、∵顶点坐标为(−b2a , 4ac−b24a)，∴4ac−b24a=m，∴b2=4a(c−m)，故B正确；C、∵−b2a=1，∴b+2a=0，∵a−b+c>0，∴3a+c>0，故C错误；D、当y<m时，抛物线与y=m有两个交点，∵y=m−1<m，∴一元二次方程ax2+bx+c=m−1有两个不相等的实数根，故D正确．故选C.10.【答案】C【解答】①观察图象可知：a>0，b>0，c<0，∴abc<0，∴①正确；②当x＝1时，y＝0，即a+b+c＝0，∴②错误；③对称轴x＝−1，即−b2a=−1得b＝2a，当x=12时，y<0，即14a+12b+c<0，即a+2b+4c<0，∴5a+4c<0．∴③正确；④因为抛物线与x轴有两个交点，所以△>0，即b2−4ac>0，∴4ac−b2<0．∴④错误；⑤∵(−5, y1)关于直线x＝−1的对称点的坐标是(3, y1)，∴当y1>y2时，−5<m<3．∴⑤正确．二、填空题（本题共计10 小题，每题3 分，共计30分）11.【答案】y=−2x2−8x+1【解答】解：∵抛物线y=−2x2+8bx+1的对称轴是直线x=−2，∴−8b2×(−2)=−2，解得b=−1，∴y=−2x2−8x+1，故答案为：y=−2x2−8x+1．12.【答案】1【解答】解：y=x2−4x+a=(x−2)2+a−4，当x=2时，二次函数有最小值a−4，∴a−4=−3，∴a=1. 故答案为：1.13.【答案】y=12(x+2)2−1【解答】解：y=12x2+2x+1=12(x2+4x+4)−2+1=12(x+2)2−1，即y=12(x+2)2−1．故答案为y=12(x+2)2−1．14.【答案】−1<x<3【解答】解：∵由函数图象可知，当−1<x<3时，函数图象在x轴的下方，∴不等式ax2+bx+c<0的解集是−1<x<3．故答案为：−1<x<3．15.【答案】2020【解答】解：二次函数y=2x2+2020的对称轴为y轴，x分别取x1,x2时函数值相等，∴x1+x2=0，当x取2x1+2x2时，即x取0时，函数值y=2020.故答案为：2020．16.【答案】−1【解答】解：∵二次函数y=ax a2−5a−4的图象是一条开口向下的抛物线，∴{a<0a2−5a−4=2，解得；a=−1．故答案为：−1．17.【答案】【解答】此题暂无解答18.【答案】−1（答案不唯一）【解答】解：抛物线y=x2−2bx=(x−b)2−b2的顶点坐标为(b,−b2)，∵抛物线的顶点在第三象限，∴{b<0，−b2<0,∴ b<0,∴b的值可以为−1.故答案为：−1(答案不唯一).19.【答案】【解答】此题暂无解答20.【答案】x<−3或x>0【解答】解：由图象可知：x=−3或x=0时，y1=y2，∴由图象可以得出：x<−3或x>0时，y1<y2．故答案为：x<−3或x>0．三、解答题（本题共计6 小题，每题10 分，共计60分）21.【答案】解：(1)如图所示，(2)在y=x2−4x+3中，令y=0，则x2−4x+3=0，解得：x1=1，x2=3，∴抛物线与x轴交点为(1,0)，(3,0)；(3)由函数图象可知，当1<x<3时，y<0. 【解答】解：(1)如图所示，(2)在y=x2−4x+3中，令y=0，则x2−4x+3=0，解得：x1=1，x2=3，∴抛物线与x轴交点为(1,0)，(3,0)；(3)由函数图象可知，当1<x<3时，y<0.22.【答案】解：(1)根据题意得B(0, 4)，C(3, 172)，把B(0, 4)，C(3, 172)代入y=−16x2+bx+c,得{c=4，−16×32+3b+c=172，解得{b=2，c=4，所以抛物线解析式为y=−16x2+2x+4，则y=−16(x−6)2+10，所以D(6, 10)，所以拱顶D到地面OA的距离为10m.(2)由题意得货运汽车最外侧于地面OA的交点为(2, 0)或(10, 0)，当x=2或x=10时，y=223>6，所以这辆货车能安全通过.(3)令y=8，则−16(x−6)2+10=8，解得x1=6+2√3，x2=6−2√3，则x1−x2=4√3，所以两排灯的水平距离最小是4√3m．【解答】解：(1)根据题意得B(0, 4)，C(3, 172)，把B(0, 4)，C(3, 172)代入y=−16x2+bx+c,得{c=4，−16×32+3b+c=172，解得{b=2，c=4，所以抛物线解析式为y=−16x2+2x+4，则y=−16(x−6)2+10，所以D(6, 10)，所以拱顶D到地面OA的距离为10m.(2)由题意得货运汽车最外侧于地面OA的交点为(2, 0)或(10, 0)，当x=2或x=10时，y=22>6，3所以这辆货车能安全通过.(x−6)2+10=8，(3)令y=8，则−16解得x1=6+2√3，x2=6−2√3，则x1−x2=4√3，所以两排灯的水平距离最小是4√3m．23.【答案】上,增大（2）把点B的坐标(1, 0)代入y=a(x+2)2−5得，0=a(1+2)2−5，；解得a=59（3）设抛物线C3:y=a′(x−ℎ)2+k，∵抛物线C2与抛物线C1关于x轴对称，C3是C2向右平移得到的，，∴a′=−59∵点P．M关于点O成中心对称，且P(−2, −5)，∴点M(2, 5)，∴抛物线C3的解析式为y=−5(x−2)2+5．9【解答】解：（1）由图象可知，抛物线C1的开口向上，当x>−2时，y随x的增大而增大；（2）把点B的坐标(1, 0)代入y=a(x+2)2−5得，0=a(1+2)2−5，；解得a=59（3）设抛物线C3:y=a′(x−ℎ)2+k，∵抛物线C2与抛物线C1关于x轴对称，C3是C2向右平移得到的，，∴a′=−59∵点P．M关于点O成中心对称，且P(−2, −5)，∴点M(2, 5)，∴抛物线C3的解析式为y=−5(x−2)2+5．924.【答案】【解答】此题暂无解答25.【答案】∵A(−3, 0)，B(1, 0)，C(0, 3)，∴抛物线对称轴为：直线x＝−1，∵点C、D是二次函数图象上的一对对称点，∴D(−2, 3)，设二次函数的解析式为y＝a(x+3)(x−1)，把C(0, 3)代入得a⋅3⋅(−1)＝3，解得a＝−1，所以抛物线解析式为y＝−(x+3)(x−1)，即y＝−x2−2x+3；观察函数图象得当−2<x<1时，一次函数值小于二次函数值．【解答】∵A(−3, 0)，B(1, 0)，C(0, 3)，∴抛物线对称轴为：直线x＝−1，∵点C、D是二次函数图象上的一对对称点，∴D(−2, 3)，设二次函数的解析式为y＝a(x+3)(x−1)，把C(0, 3)代入得a⋅3⋅(−1)＝3，解得a＝−1，所以抛物线解析式为y＝−(x+3)(x−1)，即y＝−x2−2x+3；观察函数图象得当−2<x<1时，一次函数值小于二次函数值．26.【答案】解：(1)设y=kt+b，把t=3，y=114；t=6，y=108代入得到：{3k+b=114，6k+b=108，解得：{k=−2，b=120.∴y=−2t+120．将t=30代入上式，得：y=−2×30+120=60．答：第30天的日销售量是60kg．(2)设第x天的销售利润为w元．当1≤t≤24时，由题意w=(−2t+120)(14t+30−20)=−12(t−10)2+1250，∴t=10时，w最大值为1250元．当25≤t≤48时，w=(−2t+120)(−12t+48−20)=t2−116t+3360，∵对称轴t=58，a=1>0，∴在对称轴左侧w随x增大而减小，∴t=25时，w最大值=1085，综上所述第10天利润最大，最大利润为1250元．(3)设每天扣除捐赠后的日销售利润为m元，由题意m=(−2t+120)(14t+30−20)−(−2t+120)n=−12t2+(10+2n)t+1200−120n，∵在前24天中，每天扣除捐赠后的日销售利润随时间t的增大而增大，∴2n+10≥24，解得n≥7.又∵n<9，∴n的取值范围为7≤n<9．【解答】解：(1)设y=kt+b，把t=3，y=114；t=6，y=108代入得到：{3k+b=114，6k+b=108，解得：{k=−2，b=120.∴y=−2t+120．将t=30代入上式，得：y=−2×30+120=60．答：第30天的日销售量是60kg．(2)设第x天的销售利润为w元．当1≤t≤24时，由题意w=(−2t+120)(14t+30−20)=−12(t−10)2+1250，∴t=10时，w最大值为1250元．当25≤t≤48时，w=(−2t+120)(−12t+48−20)=t2−116t+3360，∵对称轴t=58，a=1>0，∴在对称轴左侧w随x增大而减小，∴t=25时，w最大值=1085，综上所述第10天利润最大，最大利润为1250元．(3)设每天扣除捐赠后的日销售利润为m元，由题意m=(−2t+120)(14t+30−20)−(−2t+120)n=−12t2+(10+2n)t+1200−120n，∵在前24天中，每天扣除捐赠后的日销售利润随时间t的增大而增大，∴2n+10≥24，解得n≥7.又∵n<9，∴n的取值范围为7≤n<9．。
人教版(2024年)九年级上册第22章 二次函数 单元检测卷 (含详解)
人教版（2024年）九年级（上）单元检测卷第22章《二次函数》时间：100分钟满分：120分题号一二三总分得分一．选择题（共10小题，满分30分，每小题3分）1．下列函数中，y是x的二次函数的是（ ）A．y＝3x+1B．xy＝8C．D．y＝x2﹣x﹣52．二次函数y＝（x﹣1）2+2的顶点坐标是（ ）A．（﹣2，1）B．（1，2）C．（﹣1，2）D．（1，﹣2）3．二次函数y＝x2﹣4x+7的图象的顶点所在的象限是（ ）A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限4．要得到二次函数y＝﹣（x﹣2）2+1的图象，需将y＝﹣x2的图象（ ）A．向左平移2个单位，再向下平移1个单位B．向右平移2个单位，再向上平移1个单位C．向左平移1个单位，再向上平移2个单位D．向右平移1个单位，再向下平移2个单位5．二次函数y＝ax2+bx的图象如图所示，则一次函数y＝ax+b的图象不经过（ ）A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限6．在平面直角坐标系xOy中，抛物线y＝ax2+bx+c如图所示，则关于x的方程ax2+bx+c＝0根的情况为（ ）A．有两个不相等的实数根B．有两个相等的实数根C．没有实数根D．无法准确判断7．在二次函数y＝﹣x2+2x+3中，当0＜x＜3时，y的取值范围是（ ）A．0＜y＜3B．1＜y＜4C．0＜y≤4D．﹣4≤y＜08．某厂今年一月份新产品的研发资金为10万元，以后每月新产品的研发资金与上月相比增长率都是x，则该厂今年一季度新产品的研发资金y（元）关于x的函数关系式为（ ）A．y＝10（1+x）3B．y＝10+10（1+x）+10（1+x）2C．y＝10+10x+x2D．y＝10（1+x）29．某商店销售一批头盔，售价为每顶80元，每月可售出200顶．在“创建文明城市”期间，计划将头盔降价销售，经调查发现：每降价1元，每月可多售出20顶．已知头盔的进价为每顶50元，则该商店每月获得最大利润时，每顶头盔的售价为（ ）元．A．50B．90C．80D．7010．如图；二次函数y＝ax2+bx+c（a＜0）的图象与x轴分别交于，两点，与y 轴正半轴交于点C，下列判断：①abc＜0；②4ac﹣b2＞0；③c﹣a＜0；④2a+b＝0；⑤若，（3，y2）是抛物线上的两个点，则y1＞y2．其中正确的是（ ）A．①②③B．①②④C．③④⑤D．①④⑤二．填空题（共6小题，满分18分，每小题3分）11．抛物线y＝﹣3x2的开口 ．（填“向上”或“向下”）12．若y＝（1﹣m）是二次函数，则m＝ ．13．抛物线y＝（x﹣1）2﹣1与y轴交点的纵坐标是 ．14．已知二次函数y＝ax2+bx+c（a＞0）的图象上有四点A（﹣1，y1），B（3，y1），C（2，y2），D （﹣2，y3），则y1，y2，y3的大小关系是 ．（从小到大排列）15．某段公路上汽车紧急刹车后前行的距离s（单位：m）关于行驶时间t（单位：s）的函数解析式是s＝30t﹣5t2，遇到刹车时，汽车从刹车后到停下来前进了 m．16．已知二次函数y＝ax2+bx+c的y与x的部分对应值如表：下列结论：x﹣1013y﹣3131①抛物线的开口向下；②其图象的对称轴为直线x＝1；③当x＜1时，函数值y随x的增大而增大；④方程ax2+bx+c＝0有一个根大于4，其中正确的结论有 ．三．解答题（共8小题，满分72分）17．（6分）已知抛物线y＝x2﹣kx﹣3k与x轴的一个交点为（﹣2，0）（1）求k的值；（2）求抛物线与x轴的另一个交点坐标．18．（6分）已知二次函数y＝x2+px+q的图象经过A（0，1），B（2，﹣1）两点．（1）求p，q的值．（2）试判断点P（﹣1，2）是否在此函数的图象上．19．（8分）已知一个二次函数图象上部分点的横坐标x与纵坐标y的对应值如表所示：x…﹣3﹣2﹣101…y…0﹣3﹣4﹣30…（1）这个二次函数的解析式是 ；（2）在给定的平面直角坐标系中画出这个二次函数的图象；（3）当﹣4＜x＜0时，y的取值范围为 ．20．（8分）用100米长的篱笆在地上围成一个长方形，当长方形的宽由小到大变化时，长方形的面积也随之发生变化．设长方形的宽为x（米），长方形的面积为y（平方米）．（1）求长方形的面积y（平方米）与长方形的宽x（米）之间的关系式；（2）当长方形的宽由1米变化到20米时，长方形面积由y1（平方米）变化到y2（平方米），求y1和y2的值．21．（10分）“动若脱兔”是一个汉语成语，这个成语的含义是在行动时变得敏捷迅速，就像脱逃的兔子一样．野兔跳跃时的空中运动路线可以看作是抛物线的一部分．（1）野兔一次跳跃的最远水平距离为2.8m，最大竖直高度为0.98m，以其起跳点为原点，建立平面直角坐标系，求满足条件的抛物线的解析式；（无需写出取值范围）（2）若在野兔起跳点2米处有一个高度为0.65米的树桩，请问野兔是否能成功越过木桩，避免守株待兔的故事再次上演？22．（10分）如图，抛物线y＝﹣x2+2x+c经过坐标原点O和点A，点A在x轴上．（1）求此抛物线的解析式，并求出顶点B的坐标；（2）连接OB，AB，求S△OAB；（3）若点C在抛物线上，且S△OAC＝8，求点C的坐标．23．（10分）如图，抛物线与x轴交于A（﹣2，0），B（4，0），与y轴交于点C（0，4）．（1）求抛物线的解析式；（2）P是抛物线在第一象限的一个动点，点Q在线段BC上，且点Q始终在点P正下方，求线段PQ的最大值．24．（14分）综合与探究如图，抛物线y＝ax2+bx﹣2与x轴交于A（﹣2，0），B（4，0），与y轴交于点C，作直线BC，P 是抛物线上的一个动点．（1）求抛物线的函数表达式并直接写出直线BC的函数表达式．（2）当点P在直线BC下方时，连接CP，BP，OP．当时，求点P的坐标．（3）在抛物线的对称轴上是否存在点Q，使以P，Q，B，C为顶点的四边形是平行四边形？若存在，请直接写出点Q的坐标；若不存在，请说明理由．参考答案一．选择题（共10小题，满分30分，每小题3分）1．解：A、y是x的一次函数，故此选项不合题意；B、y是x的反比例函数，故此选项不合题意；C、y是x2的反比例函数，故此选项不合题意；D、y是x的二次函数，故此选项符合题意；故选：D．2．解：二次函数y＝（x﹣1）2+2的顶点坐标是（1，2）．故选：B．3．解：∵y＝x2﹣4x+7＝（x﹣2）2+3，∴顶点坐标为（2，3），∴顶点在第一象限．故选：A．4．解：二次函数y＝﹣x2的图象向右平移2个单位，再向上平移1个单位即可得到二次函数y＝﹣（x﹣2）2+1的图象．故选：B．5．解：根据二次函数y＝ax2+bx的图象可知，a＜0，﹣＞0，∴b＞0，∴一次函数y＝ax+b的图象经过第一、二、四象限，不经过第三象限．故选：C．6．解：∵y＝ax2+bx+c的图象与x轴没有交点，且方程ax2+bx+c＝0的根就是抛物线y＝ax2+bx+c（a ≠0）的图象与x轴的交点的横坐标，∴关于x的方程ax2+bx+c＝0的根的情况是没有实数根．故选：C．7．解：y＝﹣x2+2x+3＝﹣（x﹣1）2+4，∵﹣1＜0，对称轴为直线x＝1，∴当x＝1时，y有最大值，最大值为4，∵3﹣1＞1﹣0，∴当x＝3时，y有最小值0，∴当0＜x＜3时，y的取值范围是0＜y≤4，故选：C．8．解：∵该厂今年一月份新产品的研发资金为10万元，以后每月新产品的研发资金与上月相比增长率都是x，∴该厂今年二月份新产品的研发资金为10（1+x）万元，三月份新产品的研发资金为10（1+x）2万元．根据题意得：y＝10+10（1+x）+10（1+x）2．故选：B．9．解：设利润为w元，每顶头盔的售价为x元，由题意可得：w＝（x﹣50）[200+（80﹣x）×20]＝﹣20（x﹣70）2+8000，∴当x＝70时，w取得最大值，故选：D．10．解：由图象可得，a＜0，c＞0，∵二次函数y＝ax2+bx+c（a＜0）的图象与x轴分别交于，两点，∴对称轴为直线，∴b＝﹣2a，∴2a+b＝0，b＞0，∴abc＜0，∴故①④正确；∴二次函数y＝ax2+bx+c（a＜0）的图象与x轴有两个不同的交点，∴b2﹣4ac＞0，∴4ac﹣b2＜0，故②错误；∵a＜0，c＞0，∴c﹣a＞0，故③错误；由图象可得，y1＞0，y2＜0，∴y1＞y2，故⑤正确；∴①④⑤正确，故选：D．二．填空题（共6小题，满分18分，每小题3分）11．解：∵抛物线y＝﹣3x2，a＝﹣3＜0，∴抛物线y＝﹣3x2的开口向下，故答案为：向下．12．解：∵y＝（1﹣m）是二次函数，∴1﹣m≠0且m2+1＝2，解得：m＝﹣1．故答案为：﹣1．13．解：将x＝0代入y＝（x﹣1）2﹣1，得y＝0，所以抛物线与y轴的交点坐标是（0，0）．故答案为：0．14．解：依题意，A（﹣1，y1），B（3，y1），在二次函数y＝ax2+bx+c（a为常数，且a＞0）的图象上，∴对称轴为直线x＝＝1，抛物线开口向上，∵2﹣1＝1，1﹣（﹣2）＝3，∴点C（2，y2）到对称轴的距离为1，点D（﹣2，y3）到对称轴的距离为3，点B（3，y1）到对称轴的距离为2，∴y2＜y1＜y3，故答案为：y2＜y1＜y3．15．解：∵s＝﹣5t2+30t＝﹣5（t﹣3）2+45，∴汽车刹车后到停下来前进了45m，故答案为：45．16．解：∵抛物线经过点（0，1），（3，1），∴抛物线的对称轴为直线，所以②错误；而x＝﹣1时，y＝﹣3，∴抛物线开口向下，所以①正确；当x＜1时，函数值y随x的增大而增大，所以③正确；∵抛物线经过（﹣1，﹣3）和（0，1），∴抛物线与x轴的一个交点在（﹣1，0）和（0，0）之间，∴抛物线与x轴的一个交点在（3，0）和（4，0）之间，∴方程ax2+bx+c＝0的根小于4．所以④错误．故答案为：①③．三．解答题（共8小题，满分72分）17．解：（1）根据题意得，4+2k﹣3k＝0，所以k＝4；得抛物线的解析式为y＝x2﹣4x﹣12；（2）∵x2﹣4x﹣12＝0，解得x1＝﹣2，x2＝6，∴抛物线与x轴的另一个交点坐标（6，0）．18．解：（1）把A（0，1），B（2，﹣1）代入y＝x2+px+q，得，解得，∴p，q的值分别为﹣3，1；（2）把x＝﹣1代入y＝x2﹣3x+1，得y＝5，∴点P（﹣1，2）不在此函数的图象上．19．解：（1）由题意可得二次函数的顶点坐标为（﹣1，﹣4），设二次函数的解析式为：y＝a（x+1）2﹣4，把点（0，﹣3）代入y＝a（x+1）2﹣4，得a＝1，故抛物线解析式为y＝（x+1）2﹣4，即y＝x2+2x﹣3；（2）如图所示：（3）∵y＝（x+1）2﹣4，∴当x＝﹣4时，y＝（﹣4+1）2﹣4＝5，当x＝﹣0时，y＝﹣3，又对称轴为x＝﹣1，∴当﹣4＜x＜0时，y的取值范围是﹣4≤y＜5．20．解：（1）由题意得：y＝x（50﹣x）＝﹣x2+50x，∴长方形的面积y（平方米）与长方形的宽x（米）之间的关系式为y＝﹣x2+50x．（2）当x＝1时，；当x＝20时，．21．解：（1）依题意，由x＝0，y＝0和x＝2.8，y＝0可知，对称轴为直线．∴当x＝1.4时，y有最大值0.98．即顶点坐标为（1.4，0.98）．∴设抛物线的解析式为y＝a（x﹣1.4）2+0.98．由题知函数图象过原点（0，0），把x＝0，y＝0代入y＝a（x﹣1.4）2+0.98，得a（0﹣1.4）2+0.98＝0，解得．∴抛物线的解析式为．（2）依题意，将x＝2代入，得．∵0.8＞0.65，∴野兔能成功越过木桩．22．解：（1）把（0，0）代入y＝﹣x2+2x+c得c＝0，∴抛物线解析式为y＝﹣x2+2x，∵y＝﹣x2+2x＝﹣（x﹣1）2+1，∴顶点B的坐标为（1，1）；（2）当y＝0时，﹣x2+2x＝0，解x1＝0，x2＝2，∴A（2，0），∴S△OAB＝×2×1＝1；（3）设C点坐标为（t，﹣t2+2t），∵S△OAC＝8，∴×2×|﹣t2+2t|＝8，即t2﹣2t＝8或t2﹣2t＝﹣8，解方程t2﹣2t＝8得t1＝﹣2，t2＝4，∴C点坐标为（﹣2，﹣8），或（4，﹣8），方程t2﹣2t＝﹣8无实数解，综上所述，C点坐标为（﹣2，﹣8），或（4，﹣8）．23．解：（1）∵抛物线经过点C（0，4），∴可设抛物线解析式为y＝ax2+bx+4，将点A（﹣2，0），B（4，0）代入，得，解得，∴抛物线解析式为：．（2）设经过点B、C的直线解析式为y＝mx+n，将点B（4，0），C（0，4）代入，得，解得，∴经过点B、C的直线解析式为y＝﹣x+4，设点，点Q（x，﹣x+4），∴，∴当x＝2时，PQ有最大值2．24．解：（1）由题意得：y＝a（x+2）（x﹣4）＝a（x2﹣2x﹣8）＝ax2+bx﹣2，则﹣8a＝﹣2，解得：a＝，则抛物线的表达式为：y＝x2﹣x﹣2；由抛物线的表达式知，点C（0，﹣2），由点B、C的坐标得，直线BC的表达式为：y＝x﹣2；（2）设点P（t，x2﹣t﹣2），过点P作直线PN∥BC交y轴于点N，由点P、B的坐标得，直线PB的表达式为：y＝（t+2）（x﹣4），则点N（0，﹣t﹣2），当时，则CN：ON＝2：5，即CN＝CO＝，则点N（0，﹣），即﹣t﹣2＝﹣，解得：t＝，则点P（，﹣）；（3）存在，理由：由抛物线的表达式知，其对称轴为直线x＝1，设点Q（1，m），点P（t，t2﹣t﹣2），当BC为对角线时，由中点公式得：，解得：，则点Q（1，﹣）；当BQ或BP为对角线时，则或，解得：m＝或，则点Q（1，）或（1，），综上，Q（1，﹣）或（1，）或（1，）．。
人教版九年级上册数学第22章《二次函数》单元测试卷(含答案)
人教版九年级上册数学第二单元二次函数单元测试卷一．选择题（共10小题）1．二次函数y=x2+px+q，当0≤x≤1时，设此函数最大值为8，最小值为t，w=s-t，（s为常数）则w的值（）A．与p、q的值都有关B．与p无关，但与q有关C．与p、q的值都无关D．与p有关，但与q无关2．二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）的大致图象如图所示，顶点坐标为（-2，-9a），下列结论：①abc＞0；②4a+2b+c＞0；③9a-b+c=0；④若方程a（x+5）（x-1）=-1有两个根x1和x2，且x1＜x2，则-5＜x1＜x2＜1；⑤若方程|ax2+bx+c|=1有四个根，则这四个根的和为-8．其中正确的结论有（）个A．2 B．3 C．4 D．53．二次函数y=ax2+bx+c的图象如图所示，那么一次函数y=ax+b的图象大致是（）A．B．C．D．4．将抛物线y=x2-4x-4向左平移3个单位，再向上平移3个单位，得到抛物线的表达式为（）A．y=（x+1）2-13 B．y=（x-5）2-5C．y=（x-5）2-13 D．y=（x+1）2-55．如果二次函数y=x2+2x+t与一次函数y=x的图象两个交点的横坐标分别为m、n，且m ＜1＜n，则t的取值范围是（）A．t＞-2 B．t＜-2 C．t＞14D．t＜146．已知抛物线y=-x2+mx+2m，当x＜1时，y随x的增大而增大，则抛物线的顶点在（）A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限7．定义：在平面直角坐标系中，点P（x，y）的横、纵坐标的绝对值之和叫做点P（x，y）的勾股值，记[P]=|x|+|y|．若抛物线y=ax2+bx+1与直线y=x只有一个交点C，已知点C在第一象限，且2≤[C]≤4，令t=2b2-4a+2020，则t的取值范围为（）A．2017≤t≤2018B．2018≤t≤2021C．2021≤t≤2020D．2020≤t≤20212随x的增大而增大；④方程ax2+bx+c=0有一个根大于4．其中正确的结论有（）A．1个B．2个C．3个D．4个9．将函数y=-x2+2x+m（0≤x≤4）在x轴下方的图象沿x轴向上翻折，在x轴上方的图象保持不变，得到一个新图象．新图象对应的函数最大值与最小值之差最小，则m的值为（）A．2.5 B．3 C．3.5 D．410．定义符号min{a，b}的含义为：当a≥b时min{a，b}=b；当a＜b时min{a，b}=a．如：min{1，-3}=-3，min{-4，-2}=-4．则min{-x2+1，-x}的最大值是（）A．√5−12B．√5+12C．1 D．0二．填空题（共6小题）11．抛物线y=（k-1）x2-x+1与x轴有交点，则k的取值范围是12．对于任意实数m，抛物线y=x2+4mx+m+n与x轴都有交点，则n的取值范围是13．当-1≤x≤3时，二次函数y=x2-4x+5有最大值m，则m=14．在平面直角坐标系中，已知A（-1，m）和B（5，m）是抛物线y=x2+bx+1上的两点，将抛物线y=x2+bx+1的图象向上平移n（n是正整数）个单位，使平移后的图象与x轴没有交点，则n的最小值为15．已知抛物线y=ax2+bx+c（a＜0）的对称轴为x=-1，与x轴的一个交点为（2，0），若关于x的一元二次方程ax2+bx+c=p（p＞0）有整数根，则p的值有个16．对于一个函数，如果它的自变量x与函数值y满足：当-1≤x≤1时，-1≤y≤1，则称这个函数为“闭函数”．例如：y=x，y=-x均是“闭函数”．已知y=ax2+bx+c（a≠0）是“闭函数”，且抛物线经过点A（1，-1）和点B（-1，1），则a的取值范围是三．解答题（共7小题）17．已知抛物线C：y=x2+mx+n（m，n为常数）．（1）如图，若抛物线C的顶点坐标为P（1，2），求m，n的值；（2）在（1）的条件下，设点Q（a，b）在抛物线C上，且点Q离y轴的距离不大于2，直接写出b的取值范围；（3）将抛物线C向左平移2个单位得到抛物线C1，将抛物线C向右平移2个单位得到抛物线C2，若C1与C2的交点坐标为（1，3），求抛物线C的函数解析式．18．在平面直角坐标系xOy中，抛物线y=x2-2x-3与x轴相交于A，B（点A在点B的左边），与y轴相交于C．（1）求直线BC的表达式．（2）垂直于y轴的直线l与直线BC交于点N（x1，y1），与抛物线相交于点P（x2，y2），Q （x3，y3）．若x1＜x2＜x3，结合函数图象，求x1+x2+x3的取值范围．19．某公司开发出一款新的节能产品，该产品的成本价为6元/件，该产品在正式投放市场前通过代销点进行了为期一个月（30天）的试营销，售价为8元/件，工作人员对销售情况进行了跟踪记录，并将记录情况绘成图象．图中的折线ODE表示日销售量y（件）与销售时间x（天）之间的函数关系，已知线段DE表示的函数关系中，时间每增加1天，日销售量减少5件．（1）第26天的日销售量是件，日销售利润是元．（2）求y与x之间的函数关系式，并写出x的取值范围；（3）日销售利润不低于600元的天数共有多少天？试销售期间，日销售最大利润是多少元？20．某商场销售一批衬衫，进货价为每件40元，按每件50元出售，一个月内可售出500件．已知这种衬衫每涨价1元，其销售量要减少10件．（1）为在月内赚取8000元的利润，售价应定为每件多少元？（2）要想获得的利润最大，该商场应当如何定价销售？21．某工艺品厂设计了一款每件成本为11元的工艺品投放市场进行试销，经过市场调查，得出每天销售量y（件）是每件售价x（元）（x为正整数）的一次函数，其部分对应数据如下表所示：（1）求y关于x的函数解析式；（2）若用w（元）表示工艺品厂试销该工艺品每天获得的利润，试求w关于x的函数解析式；（3）该工艺品每件售价为多少元时，工艺品厂试销该工艺品每天获得的利润最大，最大利润是多少元？22．如图，在平面直角坐标系中，抛物线y=-√33x2−2√33x+√3与x轴交于A，B两点，与y轴交于点C．（1）若点P为直线AC上方抛物线上的动点，当△PAC的面积最大时，求此时P点的坐标；（2）若点Q是抛物线对称轴上的动点，点M是抛物线上的动点，当以点M、A、C、Q为顶点的四边形是平行四边形时，直接写出此时Q点的坐标．x2+2x+2的顶点为A，且与y轴于点B，将抛物线C1沿y=a 23．如图，抛物线C1：y=-12对称后，得到抛物线C2与y轴交于点C．（1）求A、B两点坐标；（2）若抛物线C2上存在点D，使得△BCD为等腰直角三角形，求出此时抛物线C2的表达式．参考答案一、选择题二、填空题11、k≤54且k≠112、n≤−16413、1014、4 15、3 16、−12≤a<0或0<a≤12三、解答题17、18、19、20、21、22、23、教育教学文档 欢迎下载1、最困难的事就是认识自己。
2020年人教版九年级上册第22章《二次函数》单元检测试题 含答案
2020年人教版九年级上册第22章《二次函数》单元检测试题一．选择题（共10小题，满分30分，每小题3分）1．下列函数是二次函数的是（）A．y＝x（x+1）B．x2y＝1 C．y＝2x2﹣2（x﹣1）2 D．y＝x﹣0.52．二次函数y＝﹣3x2+2图象的顶点坐标为（）A．（0，0）B．（﹣3，﹣2）C．（﹣3，2）D．（0，2）3．将函数y＝x2的图象向左平移2个单位后，得到的新图象的解析式是（）A．y＝（x+1）2B．y＝x2+4x+3C．y＝x2+4x+4D．y＝x2﹣4x+4 4．抛物线y＝x2﹣2x+1与x轴的交点个数为（）A．无交点B．1 个C．2 个D．3 个5．二次函数y＝﹣x2+4x+1的图象中，若y随x的增大而减小，则x的取值范围是（）A．x＜2B．x＞2C．x＜﹣2D．x＞﹣26．在同一坐标系内，函数y＝kx2和y＝kx+2（k≠0）的图象大致如图（）A．B．C．D．7．已知函数y＝，则当函数值y＝﹣6时，自变量x的值是（）A．±2B．2或﹣5C．2或5D．﹣2或58．共享单车为市民出行带来了方便，某单车公司第一个月投放a辆单车，计划第三个月投放单车y辆，设该公司第二、三两个月投放单车数量的月平均增长率为x，那么y与x的函数关系是（）A．y＝x2+a B．y＝a（1+x）2C．y＝（1﹣x）2+a D．y＝a（1﹣x）2 9．二次函数y＝ax2﹣2ax+b中，当﹣1≤x≤4时，﹣2≤y≤3，则b﹣a的值为（）A．﹣6B．﹣6或7C．3D．3或﹣210．已知二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象如图所示，则下列结论：①3a+b＜0；②a ﹣b+c＜0；③c＞0；④a+b＞0．其中正确的结论有（）A．仅①②③B．仅②③④C．仅①②④D．①②③④二．填空题（共6小题，满分24分，每小题4分）11．若是二次函数，则m的值是．12．抛物线y＝2（x+1）（x﹣3）的对称轴是．13．设A（﹣2，y1），B（1，y2），C（2，y3）是抛物线y＝﹣（x+1）2+a上的三点，则y1，y2，y3的大小关系为．14．飞机着陆后滑行的距离s（单位：m）与滑行的时间t（单位：s）的函数关系式是s＝60t ﹣1.5t2．飞机着陆后滑行米飞机才能停下来．15．据权威部门发布的消息，2019年第一季度安徽省城镇居民人均可支配收入约为0.75万元，若第三季度安徽省城镇居民人均可支配收人为y万元，平均每个季度城镇居民人均可支配收入增长的百分率为x，则y与x之间的函数表达式是．16．如图所示四个二次函数的图象中，分别对应的是①y＝ax2；②y＝bx2；③y＝cx2；④y ＝dx2．则a、b、c、d的大小关系为．三．解答题（共7小题，满分66分）17．（8分）画出函数y＝﹣2x2+8x﹣6的图象，根据图象回答：（1）方程﹣2x2+8x﹣6＝0的解是什么；（2）当x取何值时，y＞0；（3）当x取何值时，y＜0．18．（8分）已知抛物线y＝x2+x﹣．（1）用配方法求出它的顶点坐标和对称轴；（2）若抛物线与x轴的两个交点为A、B，求线段AB的长．19．（8分）如图，抛物线y＝a（x﹣1）（x+3）交x轴于A、B两点，交y轴于点C，∠BAC ＝45°．（1）求a的值；（2）点D为第三象限内抛物线上的一点，当△DAC的面积为3时，求D点的坐标．20．（9分）（1）请在坐标系中画出二次函数y＝x2﹣2x﹣1的大致图象．（2）根据方程的根与函数图象之间的关系．将方程x2﹣2x﹣1＝0的根在图上近似的表示出来；（描点）（3）观察图象，直接写出方程x2﹣2x﹣1＝0的根．（精确到0.1）21．（9分）某果品超市经销一种水果，已知该水果的进价为每千克15元，通过一段时间的销售情况发现，该种水果每周的销售总额相同，且每周的销售量y（千克）与每千克售价x（元）的关系如表所示每千克售价x（元）2530 40每周销售量y（千克）240200150（1）写出每周销售量y（千克）与每千克售价x（元）的函数关系式；（2）由于销售淡季即将来临，超市要完成每周销售量不低于300千克的任务，则该种水果每千克售价最多定为多少元？（3）在（2）的基础上，超市销售该种水果能否到达每周获利1200元？说明理由．22．（12分）如图，抛物线y＝x2+2x﹣3与x轴交于A、B两点（点A在点B的左侧），交y 轴于点C，抛物线的顶点为点D．（1）求AB的长度和点D的坐标；（2）求直线AC的函数表达式；（3）点P是第四象限抛物线上一点，当2S△P AC＝S△P AB时，求点P的坐标．23．（12分）如图，在平面直角坐标系中，二次函数y＝ax2+bx+c（a＞0）的图象与y轴交于点C，与x轴交于点A、B，点A在原点的左侧，点A的坐标为（﹣1，0），点B的坐标为（3，0），且OB＝OC．（1）写出C点的坐标；（2）求这个二次函数的解析式；（3）若点G（2，y）是该抛物线上一点，点P是直线AG下方的抛物线上的一动点，当点P运动到什么位置时，△AGP的面积最大？求此时点P的坐标和△AGP的最大面积．参考答案一．选择题（共10小题，满分30分，每小题3分）1．解：A．y＝x（x+1）＝x2+x，y是x的二次函数，符合题意；B．x2y＝1，不是二次函数，不符合题意；C．y＝2x2﹣2（x﹣1）2＝4x﹣2，y是x的一次函数，不符合题意；D．y＝x﹣0.5，y是x的一次函数，不符合题意；故选：A．2．解：二次函数y＝﹣3x2+2的图象的顶点坐标是（0，2）．故选：D．3．解：将函数y＝x2的图象向左平移2个单位后，得到的新图象的解析式是：y＝（x+2）2＝x2+4x+4．故选：C．4．解：当y＝0时，x2﹣2x+1＝0，解得x1＝x2＝1，所以抛物线与x轴的交点坐标为（1，0），所以抛物线y＝x2﹣2x+1与x轴只有一个交点．故选：B．5．解：∵二次函数y＝﹣x2+4x+1＝﹣（x﹣2）2+5，∴当x＞2时，y随x的增大而减小，当x＜2时，y随x的增大而增大，∴若y随x的增大而减小，则x的取值范围是x＞2，故选：B．6．解：由一次函数解析式为：y＝kx+2可知，图象应该与y轴交在正半轴上，故A、B、C 错误；D符合题意；故选：D．7．解：由﹣x2﹣2＝﹣6，解得x＝±2，∵x≤0，∴x＝﹣2，由﹣x﹣1＝﹣6，解得：x＝5，综上：x＝﹣2或5，故选：D．8．解：设该公司第二、三两个月投放单车数量的月平均增长率为x，依题意得第三个月第三个月投放单车a（1+x）2辆，则y＝a（1+x）2．故选：B．9．解：∵抛物线y＝ax2﹣2ax+b＝a（x﹣1）2+b﹣a，∴顶点（1，b﹣a）当a＞0时，当﹣1≤x≤4时，﹣2≤y≤3，函数有最小值，∴b﹣a＝﹣2，当a＜0时，当﹣1≤x≤4时，﹣2≤y≤3，函数有最大值，∴b﹣a＝3，故选：D．10．解：抛物线开口方向向下，则a＜0，∵对称轴是直线x＝﹣＝1，则b＝﹣2a，∴3a+b＝3a﹣2a＝a＜0，故①正确；当x＝﹣1时，y＜0，即a﹣b+c＜0，故②正确；抛物线与y轴交于正半轴，则c＞0，故③正确；∵b＝﹣2a，∴a+b＝a﹣2a＝﹣a，∵a＜0，∴﹣a＞0，∴a+b＞0，故④正确．综上所述，正确的结论是：①②③④．故选：D．二．填空题（共6小题，满分24分，每小题4分）11．解：由二次函数的定义可知：m2+2m﹣1＝2，解得：m＝﹣3或1，又m﹣1≠0，m≠1，∴m＝﹣3．故答案为：﹣3．12．解：令y＝0，则：x＝﹣1或x＝3，即：函数与x轴交点是（3，0），（﹣1，0），故：对称轴是x＝3﹣（3+1）＝1答案是x＝1．13．解：如图：y1＞y2＞y3．故答案为y1＞y2＞y3．14．解：s＝60t﹣1.5t2＝﹣1.5（t2﹣40t）＝﹣1.5（t﹣20）2+600，∴当t＝20时，s取得最大值，此时，s＝600，即飞机着陆后滑行600米飞机才能停下来．故答案为：600．15．解：平均每个季度城镇居民人均可支配收入增长的百分率为x，根据题意可得：y与x之间的函数关系为：y＝0.75（1+x）2．故答案为：y＝0.75（1+x）2．16．解：因为直线x＝1与四条抛物线的交点从上到下依次为（1，a），（1，b），（1，d），（1，c），所以，a＞b＞d＞c．三．解答题（共7小题，满分66分）17．解：函数y＝﹣2x2+8x﹣6的图象如图．由图象可知：（1）方程﹣2x2+8x﹣6＝0的解x1＝1，x2＝3．（2）当1＜x＜3时，y＞0．（3）当x＜1或x＞3时，y＜0．18．解：（1）∵y＝x2+x﹣＝（x+1）2﹣3，∴抛物线的顶点坐标为（﹣1，﹣3），对称轴是直线x＝﹣1；（2）当y＝0时，x2+x﹣＝0，解得：x1＝﹣1+，x2＝﹣1﹣，AB＝|x1﹣x2|＝．19．解：（1）当y＝0时，a（x﹣1）（x+3）＝0，解得x1＝1，x2＝﹣3，∴A（﹣3，0），B（1，0），∵∠BAC＝45°，∴△OAC为等腰直角三角形，∴OC＝OA＝3，∴C（0，﹣3），把C（0，﹣3）代入y＝a（x﹣1）（x+3）得﹣3＝a（0﹣1）（0+3），解得a＝1，∴抛物线解析式为y＝（x﹣1）（x+3），即y＝x2+2x﹣3；（2）在y轴取点E使S△ACE＝3，过点E作AC的平行线交第三象限的抛物线于点D，如图，设E（0，t），∵×（﹣3﹣t）×3＝3，解得t＝﹣5，∴E（0，﹣5），易得直线AC的解析式为y＝﹣x﹣3，∴直线DE的解析式为y＝﹣x﹣5，解方程组得或，∴D点坐标为（﹣1，﹣4），（﹣2，﹣3）．20．解：（1）如下图，y＝x2﹣2x﹣1＝（x﹣1）2﹣2，作出顶点，作出与x轴的交点，图象光滑．（2）正确作出点M，N；（3）写出方程的根为﹣0.4，2.4．21．解：（1）由表格中数据可得：y＝，把（30，200）代入得：y＝；（2）当y＝300时，300＝，解得：x＝20，即该种水果每千克售价最多定为20元；（3）由题意可得：w＝y（x﹣15）＝（x﹣15）＝1200，解得：x＝经检验：x＝是原方程的根，答：超市销售该种水果能到达每周获利1200元．22．解：（1）令y＝0，得y＝x2+2x﹣3＝0，解得，x＝﹣3或1，∴A（﹣3，0），B（1，0），∴AB＝1﹣（﹣3）＝4，∵y＝x2+2x﹣3＝（x+1）2﹣4，∴D（﹣1，﹣4）；（2）令x＝0，得y＝x2+2x﹣3＝﹣3，∴C（0，﹣3），设直线AC的解析式为y＝kx+b（k≠0），得，解得，，∴直线AC的解析式为：y＝﹣x﹣3；（3）设P（m，m2+2m﹣3）（0＜m＜1），过P作PQ⊥x轴于点Q，如下图，则PQ＝﹣m2﹣2m+3，OQ＝m，AQ＝m+3∵2S△P AC＝S△P AB，∴2（S△AOC+S梯形OQPC﹣S△APQ）＝S△P AB，即＝，解得，m＝﹣3（舍），m＝，∴．23．解：（1）由点B的坐标为（3，0），且OB＝OC，得C（0，﹣3）；（2）二次函数y＝ax2+bx+c（a＞0）的图象过A、B、C点，得，解得，这个二次函数的解析式y＝x2﹣2x﹣3；（3）过点P作y轴的平行线与AG交于点Q，当x＝2时，y＝22﹣2×2﹣3＝﹣3，G（2，﹣3），直线AG为y＝﹣x﹣1．设P（x，x2﹣2x﹣3），则Q（x，﹣x﹣1），PQ＝﹣x2+x+2．S△APG＝S△APQ+S△GPQ＝（﹣x2+x+2）×3当x＝时，△APG的面积最大，此时P点的坐标为（，﹣），S△APG最大＝××3＝．。
人教版数学九年级上册第22章《二次函数》单元测试题 含答案
人教版2020-2021学年九年级上册第22章单元测试题满分120分姓名：___________班级：___________学号：___________成绩：___________一、选择题(每小题3分，共30分)1．下列函数中，属于二次函数的是A ．y=x –3B ．y=x 2–（x+1）2C ．y=x （x –1）–1D ．21y x= 2．抛物线y ＝（x ﹣2）2+3的顶点坐标是（ ）A ．(2，3)B ．(﹣2，3)C ．(2，﹣3)D ．(﹣2，﹣3) 3．将抛物线y ()2321y x =+-向右平移2个单位长度，再向上平移3个单位长度，所得的抛物线为（ ）A ．232y x =+B ．()2342y x =++ C ．()2353y x =+- D ．234y x =- 4．在同一坐标系中，二次函数2y ax bx =+与一次函数y ax a =-的图象可能是（ ） A ．B ．C ．D ． 5．已知两点M （6，y 1），N （2，y 2）均在抛物线y ＝ax 2+bx +c （a ≠0）上，点P （x 0，y 0）是抛物线的顶点，若y 0≤y 2＜y 1，则x 0的取值范围是（ ）A ．x 0＜4B ．x 0＞﹣2C ．﹣6＜x 0＜﹣2D ．﹣2＜x 0＜2 6．在平面直角坐标系中，若函数()222y k x kx k =--+的图象与坐标轴共有三个交点，则下列各数中可能的k 值为（ ）A ．1-B ．0C ．1D ．27．若二次函数y=(m ＋1)x 2-mx ＋m 2-2m-3的图象经过原点，则m 的值必为( ) A ．-1或3 B ．-1 C ．3 D ．-3或18．如图，以40m /s 的速度将小球沿与地面成30°角的方向击出时，小球的飞行路线将是一条抛物线．如果不考虑空气阻力，小球的飞行高度h （单位：m ）与飞行时间t （单位：s ）之间具有函数关系h ＝20t ﹣5t 2．下列叙述正确的是（ ）A ．小球的飞行高度不能达到15mB ．小球的飞行高度可以达到25mC ．小球从飞出到落地要用时4sD ．小球飞出1s 时的飞行高度为10m9．如图，边长为2cm 的等边ABC ∆中，动点P 从点A 出发，沿着A B C A →→→的路线以1/cm s 的速度运动，设点P 运动的时间为x 秒，2y AP =，则能表示y 与x 的函数关系的大致图象是（ ）A ．B ．C ．D ． 10．已知二次函数y ＝ax +bx +c （a ≠0）的图象如图所示，以下结论中正确的个数是（ ） ①abc ＞0、②3a ＞2b 、③m （am +b ）≤a ﹣b （m 为任意实数）、④4a ﹣2b +c ＜0．A ．1B ．2C ．3D ．4二、填空题(每小题4分，共24分)11．若y=（a+3）x |a|﹣1﹣3x+2是二次函数，则a 的值为__．12．二次函数y ＝（m ﹣1）x 2的图象开口向下，则m _____．13．已知函数22y x x =--，当 时，函数值y 随x 的增大而增大．14．抛物线2(1)1y k x x =--+与x 轴有交点，则k 的取值范围是___________________．15．某同学用描点法y=ax 2+bx+c 的图象时，列出了表：x … ﹣2 ﹣1 0 1 2 … y … ﹣11 ﹣2 1 ﹣2 ﹣5 …由于粗心，他算错了其中一个y 值，则这个错误的y 值是_______．16．如图，用一段长为20米的篱笆围成一个一边靠墙（墙的长度不限）的长方形菜园ABCD ，设AB 为x 米，则菜园的面积y （平方米）与x （米）的关系式为_____．（不要求写出自变量x 的取值范围）三、解答题(共7小题，共66分)17．(7分)已知抛物线y =ax 2+bx +c 经过(﹣1，0)，(0，﹣3)，(2，3)三点．（1）求这条抛物线的表达式；（2）写出抛物线的开口方向、对称轴和顶点坐标18．(本题8分)已知二次函数2y x 4x 3=-+．()1用配方法将其化为2y a(x h)k =-+的形式；()2在所给的平面直角坐标系xOy 中，画出它的图象．19．(本题8分)如图，在喷水池的中心A 处竖直安装一个水管AB ．水管的顶端安有一个喷水管、使喷出的抛物线形水柱在与池中心A 的水平距离为1m 处达到最高点C ．高度为3m ．水柱落地点D 离池中心A 处3m ．建立适当的平面直角坐标系，解答下列问题．（1）求水柱所在抛物线的函数解析式；（2）求水管AB 的长．20．(本题8分)已知，如图，抛物线2y x bx c =-++经过直线3y x =-+与坐标轴的两个交点,A B ．此抛物线与x 轴的另一个交点为C ．抛物线的顶点为D ．()1求此抛物线的解析式；()2若点M为抛物线上一动点，是否存在点M．使ACM∆的面积相等?若∆与ABC存在，求点M的坐标；若不存在，请说明理由．21．(本题8分)某商场将进价为2000元的冰箱以2400元售出，平均每天能售出8台，为了配合国家“家电下乡”政策的实施，商场决定采取适当的降价措施.调查表明：这种冰箱的售价每降低50元，平均每天就能多售出4台．（1）假设每台冰箱降价x元，商场每天销售这种冰箱的利润是y元，请写出y与x之间的函数表达式；（不要求写自变量的取值范围）（2）商场要想在这种冰箱销售中每天盈利4800元，同时又要使百姓得到实惠，每台冰箱应降价多少元？（3）每台冰箱降价多少元时，商场每天销售这种冰箱的利润最高？最高利润是多少？22．(本题9分)如图，直线y＝x+m与二次函数y＝ax2+2x+c的图象交于点A（0，3），已知该二次函数图象的对称轴为直线x＝1．（1）求m的值及二次函数解析式；（2）若直线y＝x+m与二次函数y＝ax2+2x+c的图象的另一个交点为B，求△OAB的面积；（3）根据函数图象回答：x为何值时该一次函数值大于二次函数值．23．(本题9分)二次函数y＝ax2+bx+c的图象如图所示，经过（﹣1，0）、（3，0）、（0，﹣3）．（1）求二次函数的解析式；（2）不等式ax2+bx+c＞0的解集为；（3）方程ax2+bx+c＝m有两个实数根，m的取值范围为．24．(本题9分)如图，抛物线y=ax2+c经过点A（0，2）和点B（-1，0）．（1）求此抛物线的解析式；（2）将此抛物线平移，使其顶点坐标为（2，1），平移后的抛物线与x轴的两个交点分别为点C，D（点C在点D的左边），求点C，D的坐标；（3）将此抛物线平移，设其顶点的纵坐标为m，平移后的抛物线与x轴两个交点之间的距离为n，若1＜m＜3，直接写出n的取值范围．参考答案一、选择题1．C【解析】A ．是一次函数，故本选项错误；B ．整理后是一次函数，故本选项错误；C ．整理后是二次函数，故本选项正确；D ．y 与x 2是反比例函数关系，故本选项错误．故选C ．2．A 【解答】解：y ＝（x ﹣2）2+3是抛物线的顶点式方程，根据顶点式的坐标特点可知，顶点坐标为（2，3）．故选：A ．3．A 【解答】解：将抛物线()2321y x =+-向右平移2个单位长度，得到平移后解析式为：231y x =-，∴再向上平移3个单位长度所得的抛物线解析式为：232y x =+；故选：A ．4．A 【解答】由一次函数y ax a =-可知，一次函数的图象与x 轴交于点（1，0），即可排除B 、C 、D ， 对于A 选项，观察二次函数2y ax bx =+的图象，∵开口向上，∴0a >，当0a >时，一次函数y ax a =-经过一、二、四象限，∴A 选项符合题意，故选：A ．5．A 【解答】∵点C （x 0，y 0）是抛物线的顶点，y 1＞y 2≥y 0，∴抛物线有最小值，函数图象开口向上，∴a ＞0，36a +6b +c ＞4a +2b +c ，∴8a ＞﹣b ，∴822b a a a-=＜4，∴x 0＜4． 故选A ．6．C 【解答】解：∵函数与坐标轴有3个交点∴此函数为二次函数∴k-2≠0∴k≠2∵与y 轴必有一个交点∴与x 轴有两个交点∴△＞0∴（-2k ）2-4k （k-2）＞0∴k ＞0∴k 可以为1故选C ．7．C 【解答】解：由图像过原点可得，m 2-2m-3=0，解得m=-1或3；再由二次函数定义可知m ＋1≠0，即m≠-1，故m=3.8．C 【解答】A 、当h ＝15时，15＝20t ﹣5t 2，解得：t 1＝1，t 2＝3，故小球的飞行高度能达到15m ，故此选项错误；B 、h ＝20t ﹣5t 2＝﹣5（t ﹣2）2+20，故t ＝2时，小球的飞行高度最大为：20m ，故此选项错误；C 、∵h ＝0时，0＝20t ﹣5t 2，解得：t 1＝0，t 2＝4，∴小球从飞出到落地要用时4s ，故此选项正确；D 、当t ＝1时，h ＝15，故小球飞出1s 时的飞行高度为15m ，故此选项错误；故选C ．9．C 【解答】解：点P 在AB 段时（02x ≤≤），AP=x ，则2y x ，是二次函数，可排除A 、B ；点P 在BC 段时（24x ≤≤），如下图所示，D 为BC 中点，根据等边三角形的性质可知，()213PD AB BD AB BP x x =+-+=+-=-，2222222241(3)(3)3AP AD PD AB BD PD x x ∴=+=-+=-+-=-+，也是二次函数，且顶点是（3，3），故选项C 正确；点P 在AC 段时（46x ≤≤），AP=6-x ，则2(6)y x =-，是二次函数，故选项C 正确． 故选：C ．10．C 【解答】解：∵抛物线开口向下，∴a ＜0，∵抛物线的对称轴为直线x ＝﹣2b a＝﹣1＜0， ∴b ＝2a ，∴b ＜0，∵抛物线与y 轴的交点在x 轴上方，∴c ＞0，∴abc ＞0，所以①正确；∵b ＝2a ，∴3a ﹣2b ＝3a ﹣4a ＝﹣a ＞0，∴3a ＞2b ，所以②正确；∵抛物线的对称轴为直线x ＝﹣1，∴当x ＝﹣1时，y 有最大值，∴am 2+bm +c ≤a ﹣b +c （m 为任意实数），∴m （am +b ）≤a ﹣b （m 为任意实数），所以③正确；∵抛物线的对称轴为直线x ＝﹣1，抛物线与x 轴的一个交点在点（0，0）和（1，0）之间， ∴抛物线与x 轴的一个交点在点（﹣3，0）和（﹣2，0）之间，∴当x ＝﹣2时，y ＞0，∴4a ﹣2b +c ＞0，所以④错误．故选：C ．二、填空题11．3【解答】根据题意得：，解得：a =3．故答案为：3．12．＜1【解答】∵二次函数y ＝（m ﹣1）x 2的图象开口向下，∴m ﹣1＜0，解得：m ＜1，故答案为：＜1．13．x≤﹣1．【解答】：∵22y x x =--=2(1)1x -++，a=﹣1＜0，抛物线开口向下，对称轴为直线x=﹣1，∴当x≤﹣1时，y 随x 的增大而增大，故答案为x≤﹣1．14．54k 且1k ≠【解答】解：∵抛物线2(1)1y k x x =--+与x 轴有交点， ∴2(1)4(1)10k ∆=--⨯-⨯≥， ∴54k ≤， 又∵10k -≠，∴1k ≠，∴k 的取值范围是54k 且1k ≠； 故答案为：54k 且1k ≠． 15．﹣5．【解答】解：由函数图象关于对称轴对称，得（﹣1，﹣2），（0，1），（1，2）在函数图象上，把（﹣1，﹣2），（0，1），（1，﹣2）代入函数解析式，得212a b c c a b c -+=-⎧⎪=⎨⎪++=-⎩，解得，301a b c =-⎧⎪=⎨⎪=⎩， 函数解析式为y=﹣3x 2+1x=2时y=﹣11，故答案为﹣5．16．y ＝﹣2x 2+20x 【解答】∵AB 的边长为x 米，而菜园ABCD 是矩形菜园，∴BC ＝20﹣2x ，∵菜园的面积＝AB ×BC ＝x •（20﹣2x ），∴y ＝﹣2x 2+20x ．故填空答案：y ＝﹣2x 2+20x ．三．解答题17．【解答】（1）把(-1,0)，(0,-3)，(2,3)代入y=ax 2+bx+c ，得03423a b c c a b c -+=⎧⎪=-⎨⎪++=⎩，解得213a b c =⎧⎪=-⎨⎪=-⎩．所以，这个抛物线的表达式为y =2x 2﹣x ﹣3．（2）y =2x 2﹣x ﹣3=2(x ﹣14)2﹣258， 所以，抛物线的开口向上，对称轴为x =14，顶点坐标为（14，﹣258） 18．【解答】：()21y x 4x 3=-+ =222x 4x 223-+-+=2(x 2)1--()22y (x 2)1=--，∴顶点坐标为()2,1-，对称轴方程为x 2=．函数二次函数2y x 4x 3=-+的开口向上，顶点坐标为()2,1-，与x 轴的交点为()3,0，()1,0，∴其图象为：19．（1）y ＝﹣34（x ﹣1）2+3（0≤x ≤3）；（2）2.25m 【解答】解：（1）以池中心为原点，竖直安装的水管为y 轴，与水管垂直的为x 轴建立直角坐标系．由于在距池中心的水平距离为1m 时达到最高，高度为3m ，则设抛物线的解析式为：y ＝a （x ﹣1）2+3，代入（3，0）求得：a ＝﹣34（x ﹣1）2+3． 将a 值代入得到抛物线的解析式为：y ＝﹣34（x ﹣1）2+3（0≤x ≤3）； （2）令x ＝0，则y ＝94＝2.25． 故水管AB 的长为2.25m ．20．【解答】()1由题意得()303.)0(A B ，，，将点A 和点B 的坐标代入得: 39330c b =⎧⎨-++=⎩解得: 2 3.b c ==，∴抛物线的解析式为2y x 2x 3=-++；()2设M 的坐标为(,)x y ．ACM ∆与ABC ∆的面积相等，1122AC y AC OB ∴= 3y OB ∴==．当3y =时，2233x x -++=， 解得02x x ==或，)3(2,M ∴或(0,3)，当3y =-时， 2233x x -++=-，解得:1x =+1x =-()13M ∴+-或(13)--．综上所述点M 的坐标为()0,3或()2,3或()13-或()13--． 21．【解答】（1）由题意得： 222434(24002000)(8)5020025x x x y x =-++=--+； （2）将y=4800代入，∴22243200=480025x x -++， 解得x 1=100，x 2=200，要使百姓得到实惠，则降价越多越好，所以x=200，故每台冰箱降价200元（3）2224320025y x x =-++22(150)500025x =--+， 每台冰箱降价150元时，商场每天销售这种冰箱的利润最高，最高利润为5000元 22．【解答】解：（1）∵直线y ＝x +m 经过点A （0，3），∴m ＝3，∴直线为y ＝x +3，∵二次函数y ＝ax 2+2x +c 的图象经过点A （0，3），且对称轴为直线x ＝1． ∴3212c a=⎧⎪⎨-=⎪⎩，解得13a c =-⎧⎨=⎩， ∴二次函数解析式为y ＝﹣x 2+2x +3；（2）解2323y x y x x =+⎧⎨=-++⎩得03x y =⎧⎨=⎩或14x y =⎧⎨=⎩， ∴B （1，4），∴△OAB 的面积＝1312⨯⨯＝32； （3）由图象可知：当x ＜0或x ＞1时，该一次函数值大于二次函数值．23．【解答】解：（1）把（﹣1，0）、（3，0）、（0，﹣3）代入y ＝ax 2+bx +c 得09303a b c a b c c -+=⎧⎪++=⎨⎪=-⎩，解得：123a b c =⎧⎪=-⎨⎪=-⎩，∴二次函数的解析式为y ＝x 2﹣2x ﹣3；（2）由函数图象可知抛物线和x 轴的两个交点横坐标为﹣1，3，所以不等式ax 2+bx +c ＞0的解集为x ＜﹣1或x ＞3；（3）设y ＝ax 2+bx +c 和y ＝m ，方程ax 2+bx +c ＝m 有两个实数根，则二次函数图象与直线y ＝m 有两个交点或一个交点， 即223x x m --=有两个实数根，∴0∆≥，即()()224130m --⨯⨯--≥，解得m ≥﹣4．24．【解答】（1）∵抛物线y=ax 2+c 经过点A （0，2）和点B （-1，0）．∴解得：∴ 此抛物线的解析式为y=-2x 2+2；（2）∵ 此抛物线平移后顶点坐标为（2，1），∴ 抛物线的解析式为y=-2（x-2）2+1令y=0，即-2（x-2）2+1=0解得 x 1=2+，x 2=2-．∵ 点C 在点D 的左边∴ C （ 2-，0），D （2+，0）（3）＜n ＜．考点：1.二次函数图象与几何变换；2.待定系数法求二次函数解析式．。
2020-2021学年度上册人教版九年级上册第22章《二次函数》单元测试卷(含答案)
2020-2021学年度上册人教版九年级上册第22章《二次函数》单元测试卷分值：120份一．选择题（共10小题，满分30分，每小题3分）1．下列函数是二次函数的是（）A．y＝8x2+1B．y＝2x﹣3C．y＝3x2+D．y＝ax2+bx+c 2．抛物线y＝（x﹣2）2﹣1的顶点坐标是（）A．（﹣2，1）B．（﹣2，﹣1）C．（﹣2，1）D．（2，﹣1）3．已知关于x的二次函数y＝（x+m）2﹣3，当x＞2时，y随着x的增大而增大，则m的取值范围是（）A．m≤2B．m≥﹣2C．m＜﹣2D．m≤﹣24．若抛物线y＝2x2+经过点A（1，m），则m的值在（）A．0和1之间B．1和2之间C．2和3之间D．3和4之间5．已知：二次函数y＝3（x﹣1）2+k的图象上有三点A（3，y1），B（2，y2），C（﹣，y3），则y1，y2，y3的大小关系为（）A．y1＜y2＜y3B．y1＜y3＜y2C．y3＜y2＜y1D．y2＜y1＜y36．函数y＝ax2﹣a与y＝ax﹣a（a≠0）在同一坐标系中的图象可能是（）A．B．C．D．7．二次函数y＝x2+bx+c的部分对应值如下表：x…﹣2﹣10124…y…50﹣3﹣4﹣35…则关于x的一元二次方程x2+bx+c＝0的解为（）A．x1＝﹣1，x2＝﹣3B．x1＝﹣1，x2＝1C．x1＝﹣1，x2＝3D．x1＝﹣1，x2＝58．从地面竖直向上先后抛出两个小球，小球的高度h（单位：m）与小球运动时间t（单位：s）之间的函数关系式为h＝﹣（t﹣3）2+40，若后抛出的小球经过2.5s比先抛出的小球高m，则抛出两个小球的间隔时间是（）s．A．1B．1.5C．2D．2.59．已知：如图，直线y＝kx+b（k，b为常数）分别与x轴、y轴交于点A（﹣4，0），B（0，3），抛物线y＝﹣x2+4x+1与y轴交于点C，点E在抛物线y＝﹣x2+4x+1的对称轴上移动，点F在直线AB上移动，CE+EF的最小值是（）A．2B．4C．2.5D．310．如图是二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）图象的一部分，对称轴为x＝，且经过点（2，0）．下列说法：①abc＜0；②﹣2b+c＝0；③4a+2b+c＜0：④若（﹣，y1），（，y2）都在抛物线上，则y1＜y2；⑤a+b＞m（am+b）（其中m≠）．其中说法正确的是（）A．①②④B．③④C．①③D．①②⑤二．填空题（共8小题，满分32分，每小题4分）11．若y＝（m﹣2）+mx+1是关于x的二次函数，则m＝．12．抛物线y＝（x﹣1）（x+3）与x轴的交点坐标是．13．抛物线y＝2x2+2（k﹣1）x﹣k（k为常数）与x轴交点的个数是．14．将抛物线y＝﹣2（x﹣1）2向左平移2个单位再向上平移3个单位所得到的抛物线解析式是．15．抛物线y＝﹣x2+bx+c的部分图象如图所示，则抛物线与x轴的另一个交点坐标为．16．已知如图，矩形ABCD的周长为18，其中E、F、G、H为矩形ABCD的各边中点，若AB＝x，四边形EFGH的面积为y，则y与x之间的函数关系式为．17．如图，平面直角坐标系中，点A（﹣3，﹣3），B（1，﹣1），若抛物线y＝ax2+2x﹣1（a≠0）与线段AB（包含A、B两点）有两个不同交点，则a的取值范围是．18．若函数y＝，则当函数值y＝12时，自变量x的值是．三．解答题（共7小题，满分58分）19．（8分）画出函数y＝x2﹣2x﹣8的图象．（1）先求顶点坐标：（，）；（2）列表x……y……（3）画图．20．（8分）如图，抛物线分别经过点A（﹣2，0），B（3，0），C（0，6）．（1）求抛物线的函数解析式；（2）直接写出当y＞0时，自变量x的取值范围．21．（8分）已知抛物线l1：y＝ax2+bx+c的顶点为M（1，﹣4）．它与x轴交于点A、点B 两点，其中点B的坐标为（3，0）．（1）求抛物线的表达式；（2）将抛物线l绕x轴上的一个动点旋转180°得新抛物线l′，点B和点M的对应点分别为点C和点N，当△BMN为直角三角形时，求新抛物线l′的表达式．22．（8分）如图，抛物线y＝ax2+bx+c的对称轴为直线x＝﹣1，交x轴负半轴于点A，交y 轴于点B（0，），直线l：y＝x+m经过点A，B．（1）求直线和抛物线的表达式；（2）将抛物线y＝ax2+bx+c平移，使其顶点落在直线l上，请写出一种平移方法及平移后的函数表达式．23．（8分）如图，已知二次函数y＝x2+ax+3的图象经过P点（2，3）．（1）求a的值和图象的顶点坐标．（2）点Q（m，n）在该二次函数的图象上．①当m＝﹣2时，求n的值；②若点Q到y轴的距离小于2，请根据图象直接写出n的取值范围．24．（9分）疫情期间，某防疫物品销售量y（件）与售价x（元）满足一次函数关系，部分对应值如下表：当售价为70元时，每件商品能获得40%的利润．售价x（元）…706560…销售量y（个）…300350400…（1）求y与x的函数关系式．（2）售价为多少时利润最大？最大利润为多少？（3）由于原材料价格上涨，导致每件商品成本增加a元（a＞0），当售价不低于70且不高于85元时．若最大利润为5290元，求a的值．25．（9分）已知抛物线y＝ax2+bx+c（a≠0）过点A（1，0），B（3，0）两点，与y轴交于点C，OC＝3．（1）求抛物线的解析式及顶点D的坐标；（2）点P为抛物线在直线BC下方图形上的一动点，当△PBC面积最大时，求点P的坐标；（3）若点Q为线段OC上的一动点，问：AQ+QC是否存在最小值？若存在，求出这个最小值；若不存在，请说明理由．参考答案一．选择题（共10小题，满分30分，每小题3分）1．解：函数y＝8x2+1，它是二次函数．故选：A．2．解：∵抛物线y＝a（x﹣h）2+k的顶点坐标是（h，k），∴抛物线y＝（x﹣2）2﹣1的顶点坐标是（2，﹣1），故选：D．3．解：二次函数y＝（x+m）2﹣3，中，a＝1＞0，∴抛物线开口向上，∵当x＞2时，y随着x的增大而增大，∴二次函数的对称轴x＝﹣m≤2，即m≥﹣2，故选：B．4．解：∵抛物线y＝2x2+经过点A（1，m），∴m＝2×12+＝2+，∵1＜＜2，∴3＜2+＜4，∴3＜m＜4，∴m的值在3和4之间，故选：D．5．解：∵二次函数y＝3（x﹣1）2+k的对称轴为直线x＝1，∴x＝2+和﹣时的函数值相等，∵a＝3＞0，∴x＞1时，y随x的增大而增大，∵2+＞3＞2，∴y2＜y1＜y3．故选：D．6．解：①当a＞0时，二次函数y＝ax2﹣a的图象开口向上、对称轴为y轴、顶点在y轴负半轴，一次函数y＝ax﹣a（a≠0）的图象经过第一、三、四象限，且两个函数的图象交于y轴同一点；②当a＜0时，二次函数y＝ax2﹣a的图象开口向下、对称轴为y轴、顶点在y轴正半轴，一次函数y＝ax﹣a（a≠0）的图象经过第一、二、四象限，且两个函数的图象交于y轴同一点．对照四个选项可知D正确．故选：D．7．解：∵x＝0时，y＝﹣3；x＝2时，y＝﹣3，∴抛物线的对称轴为直线x＝1，∴x＝﹣1或x＝3时，y＝0，∴关于x的一元二次方程x2+bx+c＝0的解为x1＝﹣1，x2＝3．故选：C．8．解：把t＝2.5代入h＝﹣（t﹣3）2+40，得，h＝，当h＝﹣＝时，即﹣（t﹣3）2+40＝，解得：t＝4或t＝2（不合题意舍去），∴抛出两个小球的间隔时间是4﹣2.5＝1.5，故选：B．9．解：如图，设C点关于抛物线对称轴的对称点为C′，由对称的性质可得CE＝C′E，∴CE+EF＝C′E+EF，∴当F、E、C′三点共线且C′F⊥AB时CE+EF最小，∵直线y＝kx+b（k，b为常数）分别与x轴、y轴交于点A（﹣4，0），B（0，3），∴，解得，∴直线解析式为y＝x+3；∵抛物线y＝﹣x2+4x+1与y轴交于点C，∴C（0，1），∴C′（4，1），∴可设直线C′F的解析式为y＝﹣x+，由，解得，∴F（，），∴C′F＝＝4，即CE+EF的最小值为4．故选：B．10．解：∵抛物线开口向下，∴a＜0，∵抛物线对称轴为直线x＝﹣＝，∴b＝﹣a＞0，∵抛物线与y轴的交点在x轴上方，∴c＞0，∴abc＜0，所以①正确；∵对称轴为x＝，且经过点（2，0），∴抛物线与x轴的另一个交点为（﹣1，0），∴＝﹣1×2＝﹣2，∴c＝﹣2a，∴﹣2b+c＝2a﹣2a＝0，所以②正确；∵抛物线经过点（2，0）∴x＝2时，y＝0，∴4a+2b+c＝0，所以③错误；∵点（﹣，y1）离对称轴要比点（，y2）离对称轴要远，∴y1＜y2，所以④正确．∵抛物线的对称轴为直线x＝，∴当x＝时，y有最大值，∴a+b+c＞am2+bm+c（其中m≠），∴a+b＞m（am+b）（其中m≠），所以⑤错误；故选：A．二．填空题（共8小题，满分32分，每小题4分）11．解：根据二次函数的定义，得：m2﹣2＝2，解得m＝2或m＝﹣2，又∵m﹣2≠0，∴m≠2，∴当m＝﹣2时，这个函数是二次函数．12．解：对于y＝（x﹣1）（x+3），令y＝0，即0＝（x﹣1）（x+3），解得x＝﹣3或1，故答案为（1，0），（﹣3，0）．13．解：∵抛物线y＝2x2+2（k﹣1）x﹣k（k为常数），∴当y＝0时，0＝2x2+2（k﹣1）x﹣k，∴△＝[2（k﹣1）]2﹣4×2×（﹣k）＝4k2+4＞0，∴0＝2x2+2（k﹣1）x﹣k有两个不相等的实数根，∴抛物线y＝2x2+2（k﹣1）x﹣k（k为常数）与x轴有两个交点，故答案为：2．14．解：将抛物线y＝﹣2（x﹣1）2向左平移2个单位，再向上平移3个单位得到y＝﹣2（x﹣1+2）2+3．故得到抛物线的解析式为y＝﹣2（x+1）2+3．故答案为：y＝﹣2（x+1）2+3．15．解：如图，抛物线的对称轴为直线x＝﹣1，根据抛物线的对称性，可得抛物线与x轴两交点到对称轴的距离相等，那么抛物线与x轴的另一个交点的横坐标为﹣3，纵坐标为0，则抛物线与x轴的另一个交点坐标为（﹣3，0）．故答案是：（﹣3，0）．16．解：∵矩形ABCD的周长为18，AB＝x，∴BC＝×18﹣x＝9﹣x，∵E、F、G、H为矩形ABCD的各边中点，∴y＝x（9﹣x）＝﹣x2+x，故答案为：y＝﹣x2+x；17．解：①a＜0时，x＝1时，y≤﹣1，x＝﹣3时，y≤﹣3，即a≤﹣2；②a＞0时，x＝﹣3时，y≥﹣3，x＝1时，y≥﹣1，即a≥，点A、B的坐标得，直线AB的解析式为y＝x﹣，抛物线与直线联立：ax2+2x﹣1＝x﹣，∴ax2+x+＝0，△＝﹣2a＞0，∴a＜，∴a的取值范围为≤a＜或a≤﹣2；故答案为≤a＜或a≤﹣2．18．解：∵函数y＝，∴当x≤2时，令x2+2＝12，得x＝，当x＞2时，令2x＝12，得x＝6，故答案为：6或﹣．三．解答题（共7小题，满分58分）19．解：（1）y＝x2﹣2x﹣8＝（x﹣1）2﹣9∴其顶点坐标为（1，﹣9）故答案为：1，﹣9（2）列表x…﹣2﹣101234…y…0﹣5﹣8﹣9﹣8﹣50…（3）画图：20．解：（1）设抛物线解析式为y＝a（x+2）（x﹣3），把C（0，6）代入得6＝a×2×（﹣3），解得a＝﹣1，所以抛物线的解析式为y＝﹣（x+2）（x﹣3），即y＝﹣x2+x+6；（2）当y＞0时，自变量x的取值范围为﹣2＜x＜3．21．解：（1）∵抛物线l1：y＝ax2+bx+c的顶点为M（1，﹣4），∴设抛物线l1解析式为：y＝a（x﹣1）2﹣4，过点B（3，0），∴0＝4a﹣4，∴a＝1，∴抛物线l1的解析式为：y＝（x﹣1）2﹣4＝x2﹣2x﹣3；（2）设这个动点为（a，0），则点N（2a﹣1，4），∵点M（1，﹣4），点B（3，0），点N（2a﹣1，4），∴MB2＝（3﹣1）2+（0+4）2＝20，BN2＝（2a﹣1﹣3）2+（4﹣0）2＝（2a﹣4）2+16，MN2＝（2a﹣1﹣1）2+（4+4）2＝（2a﹣2）2+64，当∠BMN＝90°时，则BN2＝MB2+MN2，∴20+（2a﹣2）2+64＝（2a﹣4）2+16，∴a＝﹣7，∴点N（﹣15，4），∴新抛物线l′的表达式为y＝﹣（x+15）2+4，当∠BNM＝90°，则BM2＝NB2+MN2，∴20＝（2a﹣2）2+64+（2a﹣4）2+16，∴a2﹣3a+10＝0，∵△＝9﹣40＝﹣31＜0，∴方程无解；当∠MBN＝90°，则BM2+NB2＝MN2，∴（2a﹣2）2+64＝（2a﹣4）2+16+20，∴a＝﹣2，∴点N（﹣5，4），∴新抛物线l′的表达式为y＝﹣（x+5）2+4，综上所述：新抛物线l′的表达式为y＝﹣（x+15）2+4或y＝﹣（x+5）2+4．22．解：（1）∵直线l：y＝x+m经过点A，B，点B（0，），∴＝×0+m，得m＝，∴直线的表达式为y＝x+，当y＝0时，x＝﹣3，即点A的坐标为（﹣3，0），∵抛物线y＝ax2+bx+c的对称轴为直线x＝﹣1，交x轴负半轴于点A（﹣3，0），交y轴于点B（0，），∴，∴，即抛物线的表达式为y＝﹣x2﹣x+；（2）∵y＝﹣x2﹣x+＝﹣（x+1）2+2，∴该抛物线的顶点坐标为（﹣1，2），将x＝﹣1代入直线表达式y＝x+中，得y＝1，∴可将抛物线y＝﹣（x+1）2+2向下一个单位长度，使其顶点落在直线l上，平移后的函数表达式为y＝﹣（x+1）2+1．23．解：（1）把点P（2，3）代入y＝x2+ax+3中，∴a＝﹣2，∴y＝x2﹣2x+3＝（x﹣1）2+2，∴顶点坐标为（1，2）；（2）①当m＝﹣2时，n＝（﹣2）2﹣2×（﹣2）+3＝11，②点Q到y轴的距离小于2，∴|m|＜2，∴﹣2＜m＜2，∴2≤n＜11．24．解：（1）设一次函数的表达式为y＝kx+b，将（70，300）、（65，350）代入上式得，解得，故y与x的函数关系式为y＝﹣10x+1000；（2）当售价为70元时，每件商品能获得40%的利润，则商品的进价为70÷1.4＝50（元），设销售利润为w（元），则w＝y（x﹣50）＝（﹣10x+1000）（x﹣50）＝﹣10（x﹣100）（x﹣50），∵﹣10＜0，故w有最大值，当x＝（100+50）＝75（元）时，最大利润为6250（元），故售价为75元时，利润最大，最大利润为6250元；（3）设销售利润为w（元），由题意得：w＝y（x﹣50﹣a）＝（﹣10x+1000）（x﹣50﹣a）＝﹣10（x﹣100）（x﹣50﹣a）（70≤x≤85），函数的对称轴为x＝（100+50+a）＝75+a，∵﹣10＜0，抛物线开口向下，函数有最大值，①当57+a＞85时，则x＝85时，w最大值＝﹣10（85﹣100）（85﹣50﹣a）＝5290，解得a≈﹣0.7（舍去）；②当57+a≤85时，则x＝75+a时，w最大值＝﹣10（75+a﹣100）（75+a﹣50﹣a）＝5290，解得a＝4或96（舍去96），故a＝4．25．解：（1）函数的表达式为：y＝a（x﹣1）（x﹣3）＝a（x2﹣4x+3），即：3a＝3，解得：a＝1，故抛物线的表达式为：y＝x2﹣4x+3，则顶点D（2，﹣1）．（2）将点B、C的坐标代入一次函数表达式：y＝mx+n并解得：直线BC的表达式为：y＝﹣x+3，过点P作y轴的平行线交BC于点H，设点P（x，x2﹣4x+3），则点H（x，﹣x+3），则S△PBC＝•PH×OB＝（﹣x+3﹣x2+4x﹣3）＝（﹣x2+3x），∵﹣＜0，故S△PBC有最大值，此时x＝，故点P（，﹣）．（3）存在，理由：如上图，过点C作与y轴夹角为30°的直线CH，作QH⊥CH，垂足为H，则HQ＝CQ，AQ+QC最小值＝AQ+HQ＝AH，直线HC所在表达式中的k值为，直线HC的表达式为：y＝x+3…①，则直线AH所在表达式中的k值为﹣，则直线AH的表达式为：y＝﹣x+s，将点A的坐标代入y＝﹣x+s并解得：s＝，则直线AH的表达式为：y＝﹣x+…②，联立①②并解得：x＝，故点H（，），而点A（1，0），则AH＝，即：AQ+QC的最小值为．。
22章 二次函数 单元检测(1)-2020-2021学年九年级数学上册(人教版)(解析版)
22章 二次函数 单元检测（1)1．如图，抛物线y=﹣2x 2+4x 与x 轴的另一个交点为A ，现将抛物线向右平移m （m ＞2）个单位长度，所得抛物线与x 轴交于C ，D ，与原抛物线交于点P ，设△PCD 的面积为S ，则用m 表示S 正确的是（ ）A ．2m （m 2﹣4）B ．12 m 2﹣2C ．2m （4﹣m 2）D ．2﹣12m 2 【答案】B【解析】【分析】先求出A 的坐标，设P 关于x =1的对称点为Q ，且设P 的横坐标为x 1，Q 的横坐标为x 2，根据题意可知x 1+x 2=2，x 1﹣x 2=m ，从而求出x 1与x 2的表达式．【详解】△y =﹣2x 2+4x =y =﹣2（x -1）2+2，△抛物线的对称轴为：x =1，令y =0代入y =﹣2x 2+4x ，△0=﹣2x 2+4x ，△x =0或x =2，△A （2，0），△OA =2，设P 关于x =1的对称点为Q ，且设P 的横坐标为x 1，Q 的横坐标为x 2，△1212x x +=． △抛物线向右平移m （m ＞2）个单位长度，△PQ =m ，△x 1﹣x 2=m ，△12122x x x x m +=⎧⎨-=⎩，解得：x 1=22m +，x 2=22m -． 把x 1=22m +代入y =﹣2x 2+4x ，△y =2﹣22m ＜0，△在△PCD 中，CD 边上的高为：22m ﹣2． △OA =CD =2，△S △PCD =12×2×（222m -）=22m ﹣2． 故选B ．【点评】本题考查了抛物线与x 轴的交点，解题的关键是求出P 的坐标，然后根据三角形面积公式即可求出△PCD 的面积，本题属于中等题型．2．已知抛物线y 1=﹣2x 2+2，直线y 2=2x+2，当x 任取一值时，对应的函数值分别为y 1、y 2．若y 1≠y 2，取y 1、y 2中的较小值记为M ；若y 1=y 2，记M=y 1．例如：当x=1时，y 1=0，y 2=4，y 1＜y 2，此时M=0．下列判断：△当x ＞0时，y 1＞y 2；△当x ＜0时，x 值越大，M 值越大；△使得M 大于2的x 值不存在；△使得M=1的x 值是﹣12或2．其中正确结论的个数为（ ）A ．0B ．1C ．2D ．3【答案】D 【解析】【分析】关键函数的增减性，以及M 的定义，逐一判断即可．【详解】解：△x ＞0时，函数y 2的图象在上面，△y 2＞y 1，故△错误．当x ＜0时，M 的值=y 1或y 2，△x ＜0，y 随x 增大而增大，△x 值越大，M 值越大，故△正确．刚才图象可知M 的最大值为2，△使得M 大于2的x 值不存在，故△正确，y 2=1时，x=-12，y 1=1时，，观察图象可知：x=-12或2时，M=1，故△正确． 故选D ．【点评】本题考查二次函数的性质，解题的关键是理解题意，灵活运用函数的性质解决问题3．将一元二次方程2316x x +=化为一般式后，二次项系数和一次项系数分别为（ ）A ．3，-6B ．3，6C ．3，1D ． 23,6x x -【答案】A 【解析】【分析】一元二次方程的一般形式是：ax 2+bx+c=0（a ，b ，c 是常数且a≠0）特别要注意a≠0的条件．这是在做题过程中容易忽视的知识点．在一般形式中ax 2叫二次项，bx 叫一次项，c 是常数项．其中a ，b ，c 分别叫二次项系数，一次项系数，常数项．【详解】解2316x x +=化成一元二次方程一般形式是23-610x x +=，则它的二次项系数是3，一次项系数是-6．故选A ．【点评】此题主要考查了一元二次方程的一般形式，关键把握要确定一次项系数，首先要把方程化成一般形式．4．如图，抛物线2y x bx c =++与x 轴交于点A 、B ，与y 轴交于点C ，45OBC ∠=︒，则下列各式成立的是（ ）.A ．10b c --=B ．10b c ++=C ．10b c -+=D ．10b c +-=【答案】B 【解析】【分析】根据45OBC ∠=︒，有OB OC =，可设点C 、B 的坐标为()()0,,0c c 、，代入解析式，即可解得答案. 【详解】45OBC ∠=︒,∴OB=OC ，可设点C 、B 的坐标为(0,c)、(c,0)，把B(c,0)代入2y x bx c =++，得20,c bc c ++= 即(1)0c c b ++=0c ≠∴10b c ++=故选：B【点评】本题考查了抛物线与x 轴有交点，根据题意得到点C 、B 的坐标是解题的关键.5．将抛物线y=3x2+2向左平移2个单位长度，再向下平移3个单位长度，则得到的抛物线的解析式为（）A．y=3（x﹣2）2﹣1B．y=3（x﹣2）2+5C．y=3（x+2）2﹣1D．y=3（x+2）2+5【答案】C【解析】【分析】根据“左加右减、上加下减”的原则进行解答即可．【详解】将抛物线y=3x2+2向左平移2个单位所得直线解析式为：y=3（x+2）2+2；再向下平移3个单位为：y=3（x+2）2+2﹣3，即y=3（x+2）2﹣1．故选C．【点评】本题考查了二次函数图象与几何变换，要求熟练掌握平移的规律：左加右减，上加下减．6．已知抛物线y＝ax2＋bx＋c（a<0）过A（－3，0），B（1，0），C（－5，y 1），D（5，y 2）四点，则y1与y2的大小关系是（）A．y1>y2B．y1＝y2C．y1<y2D．不能确定【答案】A【解析】【分析】根据二次函数图象的对称轴位置以及开口方向，可得C（－5，y 1）距对称轴的距离比D （5，y 2）距对称轴的距离小，进而即可得到答案．【详解】△抛物线y＝ax2＋bx＋c（a<0）过A（－3，0），B（1，0），△抛物线的对称轴是：直线x=-1，且开口向下，△C（－5，y 1）距对称轴的距离比D（5，y 2）距对称轴的距离小，△y1>y2，故选A．【点评】本题主要考查二次函数的性质，掌握用抛物线的轴对称性比较二次函数值的大小，是解题的关键．7．已知二次函数y ＝ax 2+bx+c 的部分图象如图所示，下列关于此函数图象的描述中，错误的是（ ）A ．对称轴是直线x ＝1B ．当x ＜0时，函数y 随x 增大而增大C ．图象的顶点坐标是（1，4）D ．图象与x 轴的另一个交点是（4，0）【答案】D 【解析】【分析】利用二次函数的图像与性质，判断选项的正误即可.【详解】由函数图像可知，对称轴是直线x ＝1故选项A 正确；当x ＜0时，函数y 随x 增大而增大，故选项B 正确；图象的顶点坐标是（1，4），故选项C 正确；图象与x 轴的另一个交点是（3，0），故选项D 错误. 故选D【点评】本题考查了二次函数的图像与性质，熟练掌握性质是解题的关键.8．抛物线 y ＝﹣13（x ﹣4)2+1 与坐标轴的交点个数是（ ） A ．0 个B ．1 个C ．2 个D ．3 个【答案】D 【解析】【分析】通过解方程﹣13（x ﹣4）2+1＝0 可判断抛物线与 x 轴有 2 个交点，通过计算自变量为 0 对应的函数值得到抛物线与 y 轴的交点，从而可判断抛物线 y ＝﹣13（x ﹣4）2+1 与坐标轴的交点个数．【详解】解：当 y ＝0 时，﹣13（x ﹣4）2+1＝0，解得 x 1＝x 2＝4，则抛物线与x 轴的交点坐标为（0），（40）；当x＝0 时，y＝﹣13（x﹣4）2+1＝﹣133，则抛物线与y 轴的交点坐标为（0，﹣133）．故选D．【点评】本题考查了抛物线与x 轴的交点：把求二次函数y＝ax2+bx+c（a，b，c是常数，a≠0）与x 轴的交点坐标问题转化为解关于x 的一元二次方程．9．在下列4个不同的情境中，两个变量所满足的函数关系属于二次函数关系的有（）△设正方形的边长为x面积为y，则y与x有函数关系；△x个球队参加比赛，每两个队之间比赛一场，则比赛的场次数y与x之间有函数关系；△设正方体的棱长为x，表面积为y，则y与x有函数关系；△若一辆汽车以120km/h的速度匀速行驶，那么汽车行驶的里程y（km）与行驶时间x（h）有函数关系．A．1个B．2个C．3个D．4个【答案】C【解析】【分析】根据题意列出函数关系式，然后由二次函数的定义进行判断．【详解】△依题意得：y=x2，属于二次函数关系，故正确；△依题意得：y=x（x-1）=x2-x，属于二次函数关系，故正确；△依题意得：y=6x2，属于二次函数关系，故正确；△依题意得：y=120x，属于一次函数关系，故错误；综上所述，两个变量所满足的函数关系属于二次函数关系的有3个．故选C．【点评】本题考查二次函数的定义：一般地，形如y=ax2+bx+c（a、b、c是常数，a≠0）的函数，叫做二次函数．其中x、y是变量，a、b、c是常量，a是二次项系数，b是一次项系数，c是常数项．y═ax2+bx+c（a、b、c是常数，a≠0）也叫做二次函数的一般形式．10．二次函数y=x 2+bx+1的对称轴是直线x=﹣3，则b 的值是（ ）A ．4B ．5C ．6D ．7 【答案】C【解析】【分析】由对称轴公式可求得二次函数的对称轴，结合条件可得到关于b 的方程，可求得b 的值．【详解】△y=x 2+bx+1，△对称轴为x=-2b ， △y=x 2+bx+1的对称轴是直线x=-3，△-2b =-3，解得b=6， 故选C ．【点评】本题主要考查二次函数的对称轴，掌握二次函数的对称轴公式是解题的关键，即二次函数y=ax 2+bx+c （a≠0）的对称轴为x=-2b a． 11．抛物线y ＝3（x ﹣2）2+5的顶点坐标是（ ）A ．（﹣2，5）B ．（﹣2，﹣5）C ．（2，5）D ．（2，﹣5）【答案】C【解析】【分析】根据二次函数的性质y ＝a(x ﹣h)2+k 的顶点坐标是(h ，k)进行求解即可.【详解】△抛物线解析式为y=3(x -2)2+5，△二次函数图象的顶点坐标是(2，5)，故选C ．【点评】本题考查了二次函数的性质，根据抛物线的顶点式，可确定抛物线的开口方向，顶点坐标(对称轴)，最大(最小)值，增减性等．12．抛物线y ＝x 2+x ﹣1的对称轴是（ ）A．直线x＝﹣1B．直线x＝1C．直线x＝﹣12D．直线x＝12【答案】C【解析】【分析】由对称轴公式x＝﹣b2a可得对称轴．【详解】△对称轴x＝﹣﹣b2a＝﹣121＝﹣12，△对称轴是直线x＝﹣12．故选C．【点评】本题考查了二次函数的性质，熟练运用对称轴公式．也可以运用配方法写成顶点式求对称轴．13．如图，抛物线y＝14x2＋x＋3的顶点为P，与y轴交于点A，若向右平移4个单位，向下平移4个单位，则抛物线上PA段扫过的区域(阴影部分)的面积为__________．【答案】12【解析】【分析】根据题意求得A，P的坐标，再根据平移的性质得到四边形A PP′A′为平行四边形，以及A′，P的坐标，然后求得AD，PP′的长，再求出面积即可.【详解】如图，连接AP，AP′，过点A作AD△PP′于D点，由题意可得，四边形APP′A′为平行四边形，将x=0代入函数得y=3，△点A的坐标为（0，3），又△抛物线y＝14x2＋x＋3=14(x2+4x+4)+2=14(x+2)2+2，△顶点P的坐标为（﹣2，2），△将抛物线向右平移4个单位，向下平移4个单位，△点A′(4，﹣1)，点P′（2，﹣2），，A0=3，△AOP＝45°，△△AOD为等腰直角三角形，△AD=OD，在Rt△AOD中，AD2+OD2=9，即2AD2=9，△AD=2，则抛物线上PA段扫过的区域(阴影部分)的面积为×2=12.故答案为12.14．二次函数y＝ax2+bx+c的图象与x轴相交于（﹣1，0）和（5，0）两点，则该抛物线的对称轴是_____．【答案】直线x＝2【解析】【分析】根据二次函数图象的轴对称性，即可得到答案．【详解】△二次函数y＝ax2+bx+c的图象与x轴相交于(﹣1，0)和(5，0)两点，△其对称轴为：直线x＝152 2．故答案为：直线x＝2．【点评】本题主要考查二次函数的轴对称性，掌握二次函数y ＝ax 2+bx +c 的图象与x 轴的交点关于抛物线的对称轴对称，是解题的关键．15．抛物线22(5)3y x =-+-的顶点坐标是__________.【答案】(-5，-3)【解析】【分析】由于抛物线y=a （x -h ）2+k 的顶点坐标为（h ，k ），由此即可求解．【详解】△抛物线y=-2（x+5）2-3，△顶点坐标为：（-5，-3）．故答案为（-5，-3）.【点评】此题主要考查了二次函数的性质，解题的关键是熟练掌握抛物线的顶点式即可解决问题． 16．拋物线的顶点为（2，﹣3），与y 轴交于点（0，﹣7），则该抛物线的解析式为_____．【答案】y=﹣（x ﹣2）2﹣3【解析】【分析】因知道了顶点坐标，所以可设顶点式求解，即设y =a (x -2)2 -3，然后把（0，﹣7）代入即可求出a 的值.【详解】设y =a (x -2)2 -3，然后把（0，﹣7）代入，得-7=a (0-2)2 -3，解之得，a =-1.△y =-(x -2)2 -3.故答案为y =-(x -2)2 -3.【点评】本题考查了待定系数法求二次函数解析式，正确利用顶点式设出函数解析式是解答本题的关键. 17．空地上有一段长为a 米的旧墙MN ，某人利用旧墙和木栏围成一个矩形菜园ABCD ，已知木栏总长为100米．（1）已知a=20，矩形菜园的一边靠墙，另三边一共用了100米木栏，且围成的矩形菜园面积为450平方米．如图1，求所利用旧墙AD的长；（2）已知0＜α＜50，且空地足够大，如图2．请你合理利用旧墙及所给木栏设计一个方案，使得所围成的矩形菜园ABCD的面积最大，并求面积的最大值．【答案】（1）利用旧墙AD的长为10米．（2）见解析.【解析】【分析】（1）按题意设出AD，表示AB构成方程；（2）根据旧墙长度a和AD长度表示矩形菜园长和宽，注意分类讨论s与菜园边长之间的数量关系．【详解】（1）设AD=x米，则AB=1002x米依题意得，(100)2x x＝450解得x1=10，x2=90△a=20，且x≤a△x=90舍去△利用旧墙AD的长为10米．（2）设AD=x米，矩形ABCD的面积为S平方米△如果按图一方案围成矩形菜园，依题意得：S=2(100)1(50)125022x x x ---+＝，0＜x ＜a △0＜a ＜50△x ＜a ＜50时，S 随x 的增大而增大当x=a 时，S 最大=50a -12a 2△如按图2方案围成矩形菜园，依题意得 S=22(1002)[(25)](25)244x a x a a x +---+++＝，a≤x ＜50+2a 当a ＜25+4a ＜50时，即0＜a ＜1003时， 则x=25+4a 时，S 最大=（25+4a ）2=21000020016a a ++， 当25+4a ≤a ，即1003≤a ＜50时，S 随x 的增大而减小 △x=a 时，S 最大=(1002)2a a a +-=21502a a -， 综合△△，当0＜a ＜1003时，21000020016a a ++-（21502a a -）=2(3100)16a -＞0 21000020016a a ++＞21502a a -，此时，按图2方案围成矩形菜园面积最大，最大面积为21000020016a a ++平方米当1003≤a ＜50时，两种方案围成的矩形菜园面积最大值相等． △当0＜a ＜1003时，围成长和宽均为（25+4a ）米的矩形菜园面积最大，最大面积为21000020016a a ++平方米； 当1003≤a ＜50时，围成长为a 米，宽为（50-2a ）米的矩形菜园面积最大，最大面积为（21502a a -）平方米．【点评】本题以实际应用为背景，考查了一元二次方程与二次函数最值的讨论，解得时注意分类讨论变量大小关系．18．已知243(3)5mm y m x +-=++是关于x 的二次函数.（1）求m 的值.（2）当m 为何值时，该函数图象的开口向上？（3）当m 为何值时，该函数有最大值？【答案】（1）5m =-或1m =.（2）当1m =时，该函数图象的开口向上.（3）当5m =-时，该函数有最大值.【解析】【分析】根据题意可知，本题考查是二次函数的基础性质，（1）根据x 的次数为2且二次项系数不为0，判断m 的值；（2）通过二次项系数的正负判断开口方向，为正开口向上，为负开口向下； （3）对任意的x 值，函数有最大值，在函数开口向下时，函数才有最高点，即二次项系数小于0。
2021-2022学年人教版九年级上册数学第22章《二次函数》单元检测卷 含答案
九年级上册第22章《二次函数》单元检测卷（满分120分）班级_________姓名_________学号_________成绩_________题号 一二三总分得分一、选择题(共36分)1．下列函数中，属于二次函数的是（ ） A ．y ＝2xB ．y ＝﹣2x ﹣1C ．y ＝x 2+2D ．y ＝21x -2．将二次函数y=x 2-4x+2化为顶点式，正确的是（ ） A ．2y (x 2)2=-- B ．2y (x 2)3=-+ C ．2y (x 2)2=+-D ．2y (x 2)2=-+3．抛物线y ＝x 2+x ﹣1的对称轴是（ ） A ．直线x ＝﹣1B ．直线x ＝1C ．直线x ＝﹣12D ．直线x ＝124．二次函数y ＝x 2﹣6x +m 的图象与x 轴有两个交点，若其中一个交点的坐标为（1，0），则另一个交点的坐标为（ ） A ．（﹣1，0）B ．（4，0）C ．（5，0）D ．（﹣6，0）5．已知函数y ＝ax 2+bx +c 的图象如图所示，则关于x 的方程ax 2+bx +c ﹣4＝0的根的情况是（ ）A ．有两个相等的实数根B ．有两个异号的实数根C ．有两个不相等的实数根D ．没有实数根6．已知二次函数y=ax 2+bx+c ，且ac ＜0，则它的图象经过( ) A ．一、二、三象限 B ．二、三、四象限 C ．一、三、四象限D ．一、二、三、四象限7．一次函数(0)y ax b a =+≠与二次函数2(0)y ax bx c a =++≠在同一平面直角坐标系中的图象可能是（ ）．A ．B ．C ．D ．8．已知A （﹣1，y 1）、B （2，y 2）、C （﹣3，y 3）在函数y=﹣5（x+1）2+3的图象上，则y 1、y 2、y 3的大小关系是（ ） A ．y 1＜y 2＜y 3B ．y 1＜y 3＜y 2C ．y 2＜y 3＜y 1D ．y 3＜y 2＜y 19．一个容器内盛满纯酒精50kg ，第一次倒出若干千克纯酒精后加入同千克的水；第二次又倒出相同千克的酒精溶液，这时容器内酒精溶液含纯酒精ykg ，设每次倒出的xkg ，则y 与x 之间的函数关系式为（ ） A ．()5050y x =-B ．5050xy -=C ．2(50)y x =-D ．250(1)50x y =-10．已知学校航模组设计制作的火箭的升空高度h(m)与飞行时间t(s)满足函数表达式h ＝－t 2＋24t ＋1.则下列说法中正确的是( )A ．点火后9 s 和点火后13 s 的升空高度相同B ．点火后24 s 火箭落于地面C ．点火后10 s 的升空高度为139 mD ．火箭升空的最大高度为145 m 11．已知二次函数y=ax 2+bx+c （a ≠0）的图象如图所示，则下列结论：①ab ＞0；②a+3b+9c ＞0；③4a+b=0；④当y=﹣2时，x 的值只能为0；⑤3b ﹣c ＜0，其中正确的个数是（ ）A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个12．如图，正方形ABCD 的边长为2cm ，动点P ，Q 同时从点A 出发，在正方形的边上，分别按A D C →→，A B C →→的方向，都以1/cm s 的速度运动，到达点C 运动终止，连接PQ ，设运动时间为x s ，APQ ∆的面积为2y cm ，则下列图象中能大致表示y 与x 的函数关系的是（ ）A ．B ．C ．D ．二、填空题(共24分)13．二次函数y=－2x 2+3的开口方向是_________．14．已知()2312y x =++，当x _______时，函数值随x 的增大而减小.15．把二次函数245y x x =-+化为()2y a x h k =-+的形式，那么h k +=_____.16．函数()2y ax bx c a 0=++≠的图象如图所示，那么ac______0.(填“>”，“=”，或“<”)17．已知二次函数y ＝x 2﹣2x +2在t ≤x ≤t +1时的最小值是t ，则t 的值为_____．18．如图是抛物线型拱桥，当拱顶离水面2m 时，水面宽4m ，水面下降2m ，水面宽度增加______m.三、解答题(共60分)19．(8分)已知二次函数y =x 2+3x +m 的图象与x 轴交于点A （﹣4，0）． （1）求m 的值；（2）求该函数图象与坐标轴其余交点的坐标．20．(9分)已知，如图，二次函数y=ax2+bx+c的图象与x轴交于A、B两点，其中A点坐标为（﹣1，0），点C（0，5），另抛物线经过点（1，8），M为它的顶点．（1）求抛物线的解析式；（2）求△MCB的面积．21．(9分)服装厂批发某种服装，每件成本为65元，规定不低于10件可以批发，其批发价y（元/件）与批发数量x（件）（x为正整数）之间所满足的函数关系如图所示．（1）求y与x之间所满足的函数关系式，并写出x的取值范围；（2）设服装厂所获利润为w（元），若10≤x≤50（x为正整数），求批发该种服装多少件时，服装厂获得利润最大？最大利润是多少元？22．(10分)如图，抛物线y＝x2+bx+c与x轴交于A，B两点，与y轴交于C点，连接AC，A （3，0），AC＝32．（1）求抛物线的函数解析式，并直接写出顶点坐标；（2）点P是第四象限内抛物线上一点，过点P作PQ⊥AC于Q，直接写出当线段PQ长度最大时，点P的坐标．23．(12分)如图，抛物线y=ax2+bx+6与x轴交于点A（6，0），B（－1，0），与y轴交于点C．（1）求抛物线的解析式；（2）若点M为该抛物线对称轴上一点，当CM+BM最小时，求点M的坐标.（3）若抛物线在第一象限的图象上有一点P，求△ACP面积S的最大值．24．(12分)在平面直角坐标系中，直线y＝﹣12x+2与x轴交于点B，与y轴交于点C，二次函数y＝﹣12x2+bx+c的图象经过B，C两点，且与x轴的负半轴交于点A．(1)求二次函数的表达式；(2)如图1，点D是抛物线第四象限上的一动点，连接DC，DB，当S△DCB＝S△ABC时，求点D坐标；(3)如图2，在(2)的条件下，点Q在CA的延长线上，连接DQ，AD，过点Q作QP∥y轴，交抛物线于P，若∠AQD＝∠ACO+∠ADC，请求出PQ的长．参考答案一、选择题1．C 2．A 3．C 4．C 5．A 6．D 7．C 8．C 9．D 10．D 11．B 12．A 二、填空题 13．向下． 14．＜-1 15．3 16．< 17．1或2 18．-4 三、解答题 19．（1）将A 点坐标（﹣4，0）代入y =x 2+3x +m 得：16﹣12+m =0，解得：m =﹣4； （2）当x =0时，则：y =﹣4，∴函数图象与y 轴的交点为（0，﹣4）．令y =0，则x 2+3x ﹣4=0，解得：x 1=1，x 2=﹣4，∴函数图象与x 轴的另一个交点为（1，0）． 20．（1）∵A （﹣1，0），C （0，5），（1，8）三点在抛物线y=ax 2+bx+c 上，∴058a b c c a b c -+=⎧⎪=⎨⎪++=⎩， 解方程组，得145a b c =-⎧⎪=⎨⎪=⎩，故抛物线的解析式为y=﹣x 2+4x+5；（2）∵y=﹣x 2+4x+5=﹣（x ﹣5）（x+1）=﹣（x ﹣2）2+9， ∴M （2，9），B （5，0）， 设直线BC 的解析式为：y=kx+b ，550b k b =⎧⎨+=⎩，解得,15k b =-⎧⎨=⎩则直线BC 的解析式为：y=﹣x+5. 过点M 作MN ∥y 轴交BC 轴于点N ，则△MCB 的面积=△MCN 的面积+△MNB 的面积=12MN OB ⋅． 当x=2时，y=﹣2+5=3，则N （2，3）， 则MN=9﹣3=6， 则165152MCBS=⨯⨯=． 21．（1）当10≤x ≤50时，设y 与x 的函数关系式为y ＝kx+b ，101005080k b k b +=⎧⎨+=⎩，得0.5105k b =-⎧⎨=⎩， ∴当10≤x ≤50时，y 与x 的函数关系式为y ＝﹣0.5x+105， 当x ＞50时，y ＝80，即y 与x 的函数关系式为：y ＝()0.5105105080(50x x x ＞）⎧-+≤≤⎨⎩；（2）由题意可得，w ＝（﹣0.5x+105﹣65）x ＝﹣0.5x 2+40x ＝﹣0.5（x ﹣40）2+800， ∴当x ＝40时，w 取得最大值，此时w ＝800，y ＝﹣0.5×40+105＝85， 答：批发该种服装40件时，服装厂获得利润最大，最大利润是800元． 22．（1）∵A （3，0），∴OA ＝3，∴OC 2222323AC OA =-=-=（）3，∴C （0，﹣3）； 把A （3，0），C （0，﹣3）代入y ＝x 2+bx +c ，解得：9303b c c ++=⎧⎨=-⎩，解得：23b c =-⎧⎨=-⎩，∴抛物线解析式为y ＝x 2﹣2x ﹣3；∵y ＝（x ﹣1）2﹣4，∴抛物线顶点坐标为（1，﹣4）；（2）作PG ∥y 轴交AC 于G ，如图，设P （t ，t 2﹣2t ﹣3）（0＜t ＜3），易得直线AC 的解析式为y ＝x ﹣3，∴G （t ，t ﹣3），∴PG ＝t ﹣3﹣（t 2﹣2t ﹣3）＝﹣t 2+3t ＝﹣（t 32-）294+． ∵OA ＝OC ＝3，∴△OAC 为等腰直角三角形，∴∠OCA ＝45°． ∵PG ∥OC ，∴∠PGC ＝45°．∵PQ ⊥AC ，∴△PGQ 为等腰直角三角形，∴PQ 22=PG ═22-（t 32-）2928+，当t 32=时，PQ 的长最大，此时P 点坐标为（31524-，）．23．解：（1）当x ＝0时，y ＝ax 2＋bx ＋6＝6，则C （0，6）， 设抛物线的解析式为y ＝a （x ＋1）（x －6）， 把C （0，6）代入得a •1•（－6）＝6，解得a ＝－1，∴抛物线的解析式为y ＝－（x ＋1）（x －6），即y ＝－x 2＋5x ＋6； （2）由抛物线的解析式y ＝－x 2＋5x ＋6=－（x －52）2＋494，对称轴为直线x ＝52.∵点M 在抛物线的对称轴上，∴MB ＝MA ，CM ＋BM ＝CM ＋AM ， 当点C 、M 、A 在同一直线上时，CM ＋BM 最小. 设直线AC 的解析式为y ＝kx ＋n ，则606k n n +=⎧⎨=⎩，解得16k n =-⎧⎨=⎩， ∴y ＝－x ＋6. 当x ＝52时，y =72，∴点M 的坐标为（52，72）. （3）过点P 作PD 垂直x 轴，交AC 于点Q ，设点P 的坐标为（m ，－m 2＋5m ＋6），则点Q 的坐标为（m ，－m ＋6），∴PQ ＝（－m 2＋5m ＋6）－（－m ＋6）＝－m 2＋6m ， S=12PQ•OA＝12（－m 2＋6m ）×6＝－3m 2－18m ＝－（m －3）2＋27， ∵抛物线开口向下，对称轴为直线m ＝3， ∴当m ＝3时，S 有最大值为27. 24． （1）在122y x =-+中，令y =0，解得：x =4，∴B (4，0)，令x =0，得：y =2，∴C (0，2)．把B (4，0)，C (0，2)代入212y x bx c =-++中，得：2840c b c =⎧⎨-++=⎩，解得：232c b =⎧⎪⎨=⎪⎩，∴二次函数的表达式为：213222y x x =-++． (2)过D 作DG ⊥x 轴于G ，过C 作CF ⊥DG 于F ，过B 作BE ⊥CF 于E ．设D （x ，y ）． ∵D 在第四象限，∴x ＞0，y ＜0．∵B （4，0），C (0，2)，∴CE =OB =4，CO =BE =FG =2，EF =BG =x -4，DF =DG +FG =2-y ，S △ABC =12AB ×OC =12×（4+1）×2=5． S △CBD =S △CDF －S △CEB －S 梯形EBDF =111(2)42(4)(4)5222x y y x --⨯⨯---=，化简得：x +2y =－1． ∵D （x ，y ）在二次函数213222y x x =-++上，∴2132(2)122x x x +-++=-，化简得：2450x x --=，∴（x －5）（x +1）=0，∴x =5或x =－1（舍去）． 当x =5时，y =21355222-⨯+⨯+=－3，∴D （5，－3）．(3)如图，连接AD ，过D 作DM ⊥x 轴于M ．设直线CD 的解析式为y =kx +b ，把C （0，2），D （5，－3）代入得到：253b k b =⎧⎨+=-⎩，解得：12k b =-⎧⎨=⎩，∴直线CD 的解析式为y =－x +2，令y =0，解得：x =2，∴R (2，0)，∴CO =OR =2，∴∠ORC =45°．∵∠ACO +∠CAO =90°，∠CAO +∠OAD =90°，∴∠ACO =∠OAD ，∴∠ACO +∠ADC =∠OAD +∠ADC =∠ARC =45°，∴∠AQD =45°．∵AC 2=12+22=5，AD 2=(5+1)2+32=45，DC 2=52+(2+3)2=50，∴AC 2+AD 2=5+45=50= DC 2，∴∠CAD =90°，∴∠QAD =90°．∵∠AQD =45°，∴△AQD 是等腰直角三角形，∴AQ =AD ．∵∠QAD =90°，∴∠NAQ +∠DAM =90°．∵∠NAQ +∠AQN =90°，∴∠AQN =∠MAD ．在△QAN 和△ADM 中，∵∠AQN =∠MAD ，∠QNA =∠AMD =90°，AQ =AD ，∴△QAN ≌△ADM ，∴NA =DM =3，QN =AM =6，∴ON =4，∴N （－4，0）．设P （x ，y ）．∵QP ∥y 轴，∴P 点横坐标为x =-4，∴y =21344222-⨯-+⨯-+（）=－12，∴PN =12，∴PQ =PN -QN =12－6=6．。
2021-2022学年人教版九年级上册数学第22章《二次函数》单元检测卷 含答案
九年级数学上册第22章《二次函数》单元检测卷（满分120分）班级_________姓名_________学号_________成绩_________题号一二三总分得分一．选择题（共10小题，满分30分，每小题3分）1．下列y关于x的函数中，属于二次函数的是（）A．y＝x﹣1 B．y＝C．y＝（x﹣1）2﹣x2D．y＝﹣2x2+12．如图，若a＜0，b＞0，c＜0，则抛物线y＝ax2+bx+c的大致图象为（）A．B．C．D．3．已知A（0，y1），B（1，y2），C（4，y3）是抛物线y＝x2﹣3x上的三点，则y1，y2，y3的大小关系为（）A．y1＞y2＞y3B．y3＞y1＞y2C．y3＞y2＞y1D．y2＞y1＞y34．当﹣2≤x≤1时，二次函数y＝﹣（x﹣m）2+m2+1有最大值4，则实数m的值为（）A．﹣B．或C．2或D．2或或5．一次函数y＝ax+c（a≠0）与二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）在同一平面直角坐标系中的图象可能是（）A．B．C．D．6．下表是满足二次函数y＝ax2+bx+c的五组数据，x1是方程ax2+bx+c＝0的一个解，则下列选项中正确的是（）x 1.6 1.8 2.0 2.2 2.4y﹣0.80 ﹣0.54 ﹣0.20 0.22 0.72A．1.6＜x1＜1.8 B．1.8＜x1＜2.0 C．2.0＜x1＜2.2 D．2.2＜x1＜2.47．如图，某幢建筑物从2.25米高的窗口A用水管向外喷水，喷的水流呈抛物线型（抛物线所在平面与墙面垂直），如果抛物线的最高点M离墙1米，离地面3米，则水流下落点B离墙的距离OB是（）A．2.5米B．3米C．3.5米D．4米8．如图，将函数y＝（x﹣2）2+1的图象沿y轴向上平移得到一条新函数的图象，其中点A（1，m），B（4，n）平移后的对应点分别为点A'、B'．若曲线段AB扫过的面积为9（图中的阴影部分），则新图象的函数表达式是（）A．B．C．D．9．如果抛物线经过点A（2，0）和B（﹣1，0），且与y轴交于点C，若OC＝2，则这条抛物线的解析式是（）A．y＝x2﹣x﹣2 B．y＝﹣x2﹣x﹣2或y＝x2+x+2C．y＝﹣x2+x+2 D．y＝x2﹣x﹣2或y＝﹣x2+x+210．如图，抛物线y＝﹣2x2+8x﹣6与x轴交于点A、B，把抛物线在x轴及其上方的部分记作C1，将C1向右平移得C2，C2与x轴交于点B，D．若直线y＝x+m与C1、C2共有3个不同的交点，则m的取值范围是（）A．﹣2＜m＜B．﹣3＜m＜﹣C．﹣3＜m＜﹣2 D．﹣3＜m＜﹣二．填空题（共8小题，满分32分，每小题4分）11．如果函数是关于x的二次函数，那么k的值是．12．抛物线y＝3（x﹣1）2+8的顶点坐标为．13．二次函数y＝x2﹣16x﹣8的最小值是．14．二次函数y＝x2﹣4x+5﹣m2的图象过点（0，4），则m的值为．15．抛物线y＝（k﹣1）x2﹣x+1与x轴有交点，则k的取值范围是．16．如果将抛物线y＝x2+2x﹣1向上平移，使它经过点A（0，3），那么所得新抛物线的表达式是．17．加工爆米花时，爆开且不糊的粒数的百分比称为“可食用率”．在特定条件下，可食用率y与加工时间x（单位：min）满足函数表达式y＝﹣0.2x2+1.5x﹣2，则最佳加工时间为min．18．如图，抛物线y＝ax2+bx+c（a≠0）的对称轴为直线x＝1，与x轴的一个交点坐标为（﹣1，0），其部分图象如图所示，下列结论：①4ac＜b2；②方程ax2+bx+c＝0的两个根是x1＝﹣1，x2＝3；③3a+c＞0；④当y＞0时，x的取值范围是﹣1≤x＜3；⑤当x＜0时，y随x增大而增大；其中结论正确有．三．解答题（共7小题，满分58分）19．（6分）二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象过点A（﹣1，8）、B（2，﹣1），与y轴交于点C（0，3），求二次函数的表达式．20．（8分）已知二次函数y＝﹣x2+4x．（1）写出二次函数y＝﹣x2+4x图象的对称轴；（2）在给定的平面直角坐标系中，画出这个函数的图象（列表、描点、连线）；（3）根据图象，写出当y＜0时，x的取值范围．21．（8分）如图，已知抛物线y＝x2﹣（k+1）x+1的顶点A在x轴的负半轴上，且与一次函数y＝﹣x+1交于点B 和点C．（1）求k的值；（2）求△ABC的面积．22．（8分）已知二次函数y＝x2﹣4x+3的图象与x轴交于A，B两点（点A在点B的左边），与y轴交于点C，顶点为D．（1）求以A，B，C，D为顶点的四边形的面积．（2）在抛物线上是否存在点P，使得△ABP的面积是△ABC的面积的3倍？若存在，求出点P的坐标；若不存在，请说明理由．23．（8分）某企业设计了一款工艺品，每件的成本是50元，为了合理定价，投放市场进行试销．据市场调查，销售单价是100元时，每天的销售量是50件，而销售单价每降低1元，每天就可多售出5件，但要求销售单价不得低于成本．（1）求出每天的销售利润y（元）与销售单价x（元）之间的函数关系式；（2）求出销售单价为多少元时，每天的销售利润最大？最大利润是多少？（3）如果该企业要使每天的销售利润不低于4000元，且每天的总成本不超过7000元，那么销售单价应控制在什么范围内？（每天的总成本＝每件的成本×每天的销售量）24．（10分）设a、b是任意两个实数，用max{a，b}表示a、b两数中较大者，例如：max{﹣1，﹣1}＝﹣1，max{1，2}＝2，max{4，3}＝4，参照上面的材料，解答下列问题：（1）max{5，2}＝，max{0，3}＝；（2）若max{3x+1，﹣x+1}＝﹣x+1，求x的取值范围；（3）求函数y＝x2﹣2x﹣4与y＝﹣x+2的图象的交点坐标，函数y＝x2﹣2x﹣4的图象如图所示，请你在图中作出函数y＝﹣x+2的图象，并根据图象直接写出max{﹣x+2，x2﹣2x﹣4}的最小值．25．（10分）如图，抛物线y＝﹣x2+bx+c与x轴交于A、B两点，且B点的坐标为（3，0），经过A点的直线交抛物线于点D（2，3）．（1）求抛物线的解析式和直线AD的解析式；（2）过x轴上的点E（a，0）作直线EF∥AD，交抛物线于点F，是否存在实数a，使得以A、D、E、F为顶点的四边形是平行四边形？如果存在，求出满足条件的a；如果不存在，请说明理由．参考答案一．选择题（共10小题，满分30分，每小题3分）1．解：A、该函数中自变量x的次数是1，属于一次函数，故本选项错误；B、该函数是反比例函数，故本选项错误；C、由已知函数关系式得到：y＝﹣2x+1，属于一次函数，故本选项错误；D、该函数符合二次函数定义，故本选项正确．故选：D．2．解：∵a＜0，∴抛物线的开口方向向下，故第三个选项错误；∵c＜0，∴抛物线与y轴的交点为在y轴的负半轴上，故第一个选项错误；∵a＜0、b＞0，对称轴为x＝＞0，∴对称轴在y轴右侧，故第四个选项错误．故选：B．3．解：把x1＝0，x2＝1，x3＝4分别代入y＝x2﹣3x得，y1＝0，y2＝﹣2，y3＝4，∴y3＞y1＞y2，故选：B．4．解：二次函数的对称轴为直线x＝m，①m＜﹣2时，x＝﹣2时二次函数有最大值，此时﹣（﹣2﹣m）2+m2+1＝4，解得m＝﹣，与m＜﹣2矛盾，故m值不存在；②当﹣2≤m≤1时，x＝m时，二次函数有最大值，此时，m2+1＝4，解得m＝﹣，m＝（舍去）；③当m＞1时，x＝1时二次函数有最大值，此时，﹣（1﹣m）2+m2+1＝4，解得m＝2，综上所述，m的值为2或﹣．故选：C．5．解：A、一次函数y＝ax+c与y轴交点应为（0，c），二次函数y＝ax2+bx+c与y轴交点也应为（0，c），图象不符合，故本选项错误；B、由抛物线可知，a＞0，由直线可知，a＜0，a的取值矛盾，故本选项错误；C、由抛物线可知，a＜0，由直线可知，a＞0，a的取值矛盾，故本选项错误；D、由抛物线可知，a＜0，由直线可知，a＜0，且抛物线与直线与y轴的交点相同，故本选项正确．故选：D．6．解：∵﹣0.20＜0＜0.22，∴2.0＜x1＜2.2．故选：C．7．解：由题意可得，抛物线的顶点坐标为（1，3），设抛物线的解析式为：y＝a（x﹣1）2+3，2.25＝a（0﹣1）2+3，解得a＝﹣0.75，∴y＝﹣（x﹣1）2+3，当y＝0时，﹣（x﹣1）2+3＝0，解得，x1＝﹣1，x2＝3，∴点B的坐标为（3，0），∴OB＝3，答：水流下落点B离墙距离OB的长度是3米．故选：B．8．解：∵函数y＝（x﹣2）2+1的图象过点A（1，m），B（4，n），∴m＝（1﹣2）2+1＝1，n＝（4﹣2）2+1＝3，∴A（1，1），B（4，3），过A作AC∥x轴，交B′B的延长线于点C，则C（4，1），∴AC＝4﹣1＝3，∵曲线段AB扫过的面积为9（图中的阴影部分），∴AC•AA′＝3AA′＝9，∴AA′＝3，即将函数y＝（x﹣2）2+1的图象沿y轴向上平移3个单位长度得到一条新函数的图象，∴新图象的函数表达式是y＝（x﹣2）2+4．故选：D．9．解：设抛物线解析式为y＝a（x﹣2）（x+1），∵OC＝2，∴C点坐标为（0，2）或（0，﹣2），把C（0，2）代入y＝a（x﹣2）（x+1）得a•（﹣2）•1＝2，解得a＝﹣1，此时抛物线解析式为y＝﹣（x﹣2）（x+1），即y＝﹣x2+x+2；把C（0，﹣2）代入y＝a（x﹣2）（x+1）得a•（﹣2）•1＝﹣2，解得a＝1，此时抛物线解析式为y＝（x﹣2）（x+1），即y＝x2﹣x﹣2．即抛物线解析式为y＝﹣x2+x+2或y＝x2﹣x﹣2．故选：D．10．解：令y＝﹣2x2+8x﹣6＝0，即x2﹣4x+3＝0，解得x＝1或3，则点A（1，0），B（3，0），由于将C1向右平移2个长度单位得C2，则C2解析式为y＝﹣2（x﹣4）2+2（3≤x≤5），当y＝x+m1与C2相切时，令y＝x+m1＝y＝﹣2（x﹣4）2+2，即2x2﹣15x+30+m1＝0，△＝﹣8m1﹣15＝0，解得m1＝﹣，当y＝x+m2过点B时，即0＝3+m2，m2＝﹣3，当﹣3＜m＜﹣时直线y＝x+m与C1、C2共有3个不同的交点，故选：D．二．填空题（共8小题，满分32分，每小题4分）11．解：由题意得：k2﹣3k+2＝2，解得k＝0或k＝3；又∵k﹣3≠0，∴k≠3．∴k的值是0时．故答案为：0．12．解：∵抛物线y＝3（x﹣1）2+8是顶点式，∴顶点坐标是（1，8）．故答案为：（1，8）．13．解：y＝x2﹣16x﹣8＝（x﹣8）2﹣72，由于函数开口向上，因此函数有最小值，且最小值为﹣72，故答案为：﹣72．14．解：∵根二次函数y＝x2﹣4x+5﹣m2的图象过点（0，4），∴5﹣m2＝4，解得m＝±1．故答案为±1．15．解：∵抛物线y＝（k﹣1）x2﹣x+1与x轴有交点，∴△＝（﹣1）2﹣4×（k﹣1）×1≥0，解得k≤，又∵k﹣1≠0，∴k≠1，∴k的取值范围是k≤且k≠1；故答案为：k≤且k≠1．16．解：设平移后的抛物线解析式为y＝x2+2x﹣1+b，把A（0，3）代入，得3＝﹣1+b，解得b＝4，则该函数解析式为y＝x2+2x+3．故答案是：y＝x2+2x+3．17．解：根据题意：y＝﹣0.2x2+1.5x﹣2，当x＝﹣＝3.75时，y取得最大值，则最佳加工时间为3.75min．故答案为：3.75．18．解：∵抛物线与x轴有2个交点，∴b2﹣4ac＞0，所以①正确；∵抛物线的对称轴为直线x＝1，而点（﹣1，0）关于直线x＝1的对称点的坐标为（3，0），∴方程ax2+bx+c＝0的两个根是x1＝﹣1，x2＝3，所以②正确；∵x＝﹣＝1，即b＝﹣2a，而x＝﹣1时，y＝0，即a﹣b+c＝0，∴a+2a+c＝0，所以③错误；∵抛物线与x轴的两点坐标为（﹣1，0），（3，0），∴当﹣1＜x＜3时，y＞0，所以④错误；∵抛物线的对称轴为直线x＝1，∴当x＜1时，y随x增大而增大，所以⑤正确．故答案为①②⑤．三．解答题（共7小题，满分58分）19．解：把A（﹣1，8）、B（2，﹣1），C（0，3）都代入y＝ax2+bx+c中，得，解得，∴二次函数的解析式为：y＝x2﹣4x+3．20．解：（1）∵y＝﹣x2+4x＝﹣（x﹣2）2+4，∴对称轴是过点（2，4）且平行于y轴的直线x＝2；（2）列表得：x…﹣1 0 1 2 3 4 5 …y…﹣5 0 3 4 3 0 ﹣5 …描点，连线．（3）由图象可知，当y＜0时，x的取值范围是x＜0或x＞4．21．解；（1）∵抛物线y＝x2﹣（k+1）x+1的顶点A在x轴的负半轴上，∴＝0，且﹣＜0，解得，k＝﹣3；（2）∵k＝﹣3，∴抛物线为y＝x2+2x+1，解x2+2x+1＝﹣x+1得，x1＝0，x2＝﹣3，∴B（﹣3，4），C（0，1），由直线y＝﹣x+1可知与x轴的交点D为（1，0），∵抛物线为y＝x2+2x+1＝（x+1）2，∴A（﹣1，0），∴AD＝2，∴S△ABC＝×2×4﹣＝3．22．解：（1）配方得：y＝x2﹣4x+3＝x2﹣4x+4﹣1＝（x﹣2）2﹣1，故顶点D的坐标是（2，﹣1），∵二次函数y＝x2﹣4x+3的图象交x轴于A，B两点，交y轴于点C．∴0＝（x﹣2）2﹣1，解得：x＝1或3，则图象与x轴交点为：A（1，0），B（3，0），则图象与y轴交点为：C（0，3），故△ABC的面积为：S△ABC＝×2×3＝3．S△ABD＝×2×1＝1．则S四边形ACBD＝3+1＝4；（2）∵△ABP的面积是△ABC的面积的3倍，C的纵坐标是3．∴P的纵坐标是9或﹣9（舍去）．把y＝9代入y＝x2﹣4x+3，得x2﹣4x+3＝9，解得：x1＝2+或x2＝2﹣．则P的坐标是（2+，9）或（2﹣，9）．23．解：（1）y＝（x﹣50）[50+5（100﹣x）]＝（x﹣50）（﹣5x+550）＝﹣5x2+800x﹣27500∴y＝﹣5x2+800x﹣27500（50≤x≤100）；（2）y＝﹣5x2+800x﹣27500＝﹣5（x﹣80）2+4500∵a＝﹣5＜0，∴抛物线开口向下．∵50≤x≤100，对称轴是直线x＝80，∴当x＝80时，y最大值＝4500；（3）当y＝4000时，﹣5（x﹣80）2+4500＝4000，解得x1＝70，x2＝90．∴当70≤x≤90时，每天的销售利润不低于4000元．由每天的总成本不超过7000元，得50（﹣5x+550）≤7000，解得x≥82．∴82≤x≤90，∵50≤x≤100，∴销售单价应该控制在82元至90元之间．24．解：（1）max{5，2}＝5，max{0，3}＝3．故答案为：5；3．（2）∵max{3x+1，﹣x+1}＝﹣x+1，∴3x+1≤﹣x+1，解得：x≤0．（3）联立两函数解析式成方程组，，解得：，，∴交点坐标为（﹣2，4）和（3，﹣1）．画出直线y＝﹣x+2，如图所示，观察函数图象可知：当x＝3时，max{﹣x+2，x2﹣2x﹣4}取最小值﹣1．25．解：（1）把点B和D的坐标代入抛物线y＝﹣x2+bx+c得：，解得：b＝2，c＝3，∴抛物线的解析式为y＝﹣x2+2x+3；当y＝0时，﹣x2+2x+3＝0，解得：x＝3，或x＝﹣1，∵B（3，0），∴A（﹣1，0）；设直线AD的解析式为y＝kx+a，把A和D的坐标代入得：，解得：k＝1，a＝1，∴直线AD的解析式为y＝x+1；（2）分两种情况：如图所示：①当a＜﹣1时，DF∥AE且DF＝AE，则F点即为（0，3），∵AE＝﹣1﹣a＝2，∴a＝﹣3；②当a＞﹣1时，显然F应在x轴下方，EF∥AD且EF＝AD，设F（a﹣3，﹣3），由﹣（a﹣3）2+2（a﹣3）+3＝﹣3，解得：a＝4±；综上所述，满足条件的a的值为﹣3或4±．。
2021-2022学年人教版九年级数学上册第22章《二次函数》单元检测卷
人教版九年级数学上册：第22章《二次函数》单元检测卷时间：120分钟满分：120分一、选择题（每小题3分，共30分）1. 二次函数y＝ax2＋bx的图象如图所示，则一次函数y＝ax＋b的图象大致是()A B C D2. 一个二次函数的图象经过(－1，5)，(1，1)和(3，5)三个点，则这个二次函数的解析式为()A.y＝－x2－2x＋2B.y＝x2－2x＋2C.y＝x2－2x＋1D.y＝x2－2x－23. 把函数y＝－12x2的图象，经过怎样的平移变换以后，可以得到函数y＝－12(x－1)2＋1的图象()A.向左平移1个单位，再向下平移1个单位B.向左平移1个单位，再向上平移1个单位C.向右平移1个单位，再向上平移1个单位D.向右平移1个单位，再向下平移1个单位4. 已知函数y＝x2＋x－1中x与y的对应关系如下表所示，方程x2＋x－1＝0的两实数根中有一个正根x1，下列对x1的估值正确的是()A.0.511C.0.6<x1<0.65D.0.65<x1<0.75. 北中环桥是省城太原的一座跨汾河大桥(如图1)，它由五个高度不同，跨径也不同的抛物线型钢拱通过吊桥、拉索与主梁相连，最高的钢拱如图2所示，此钢拱(近似看成二次函数的图象——抛物线)在同一竖直平面内，与拱脚所在的水平面相交于A，B两点.拱高为78米(即最高点O到AB的距离为78米)，跨径为90米(即AB＝90米)，以最高点O为坐标原点，以平行于AB的直线为x轴建立平面直角坐标系，则此抛物线钢拱的函数解析式为()A.y＝26675x2 B.y＝－26675x2C.y＝131350x2 D.y＝－131350x26. 二次函数y＝ax2＋bx＋c(a≠0)的部分图象如图所示，其对称轴为直线x＝2，图象和x轴的一个交点坐标为(5，0)，由图象可知不等式ax2＋bx＋c<0的解集是()A.－1<x<5B.x>5C.x<－1且x>5D.x<－1或x>57. 二次函数y＝ax2＋bx＋c(a≠0，a，b，c为常数)的图象如图所示，则方程ax2＋bx＋c＝m 有实数根的条件是()A.m≥－4B.m≥0C.m≥5D.m≥68. 如图，抛物线y＝ax2＋bx＋c(a≠0)与x轴交于点A(1，0)和B，与y轴的正半轴交于点C，下列结论：①abc>0；②4a－2b＋c>0；③2a－b>0，其中正确的结论有()A.0个B.1个C.2个D.3个9. 汽车刹车后行驶的距离s(单位：米)关于行驶的时间t(单位：秒)的函数解析式为s＝－6t2＋bt(b为常数).已知t＝12时，s＝6，则汽车刹车后行驶的最大距离为()A.152米 B.8米 C.758米 D.10米10. 对某城市最近十几个月商品房价格涨幅情况进行调查，分析发现，与去年同期相比，房价涨幅y(%)与第x个月近似于二次函数y＝－14x2＋3x＋7.如图所示，结合所学的知识，判断下列结论正确的有()①房价从第1个月到第5个月持续增长；②第6个月涨幅达到最大值；③房价涨幅最大值为34%；④房价与去年同期持平时间在第14个月.A.1个B.2个C.3个D.4个二、填空题（每小题3分，共24分）11. 已知二次函数的图象经过点P(2，2)，顶点为O(0，0).将该图象向右平移，当它再次经过点P时，所得抛物线的函数解析式为.12. 已知二次函数y＝a(x＋m)2＋n的图象如图所示，则一次函数y＝mx＋n的图象不经过第象限.13. 如图，抛物线y＝ax2与直线y＝bx＋c的两个交点坐标分别为A(－2，4)，B(1，1)，则不等式ax2<bx＋c的解集是.14. 已知函数y＝22(0)(0)x x xx x⎧-+⎨-≤⎩＞，的图象如图所示，若直线y＝x＋m与该图象恰有三个不同的交点，则m的取值范围为.15. 如图，在平面直角坐标系中，点A在y轴上，且点A，B(32，m)，C(3，n)均在抛物线y＝(x－1)2＋1上，点D在抛物线的对称轴上，CD∥x轴.若点P为抛物线上A，B两点间任意一点(包括点A，B)，则△PCD的面积S的取值范围是.16. 已知抛物线y＝ax2＋4ax＋4a＋1(a≠0)经过A(m，3)，B(n，3)两点.若线段AB的长不大于4，则代数式a2＋a＋1的最小值是.17. 飞机着陆后滑行的距离y(单位：m)关于滑行时间t(单位：s)的函数解析式是y＝60t－3 2 t2.在飞机着陆滑行中，最后4 s滑行的距离是m.18. 我们定义一种新函数：形如y＝|ax2＋bx＋c|(a≠0，b2－4ac>0)的函数叫做“鹊桥”函数.小丽同学画出了“鹊桥”函数y＝|x2－2x－3|的图象(如图所示)，并写出下列五个结论：①图象与坐标轴的交点为(－1，0)，(3，0)和(0，3)；②图象具有对称性，对称轴是直线x＝1；③当－1≤x≤1或x≥3时，函数值y随x值的增大而增大；④当x＝－1或x＝3时，函数的最小值是0；⑤当x＝1时，函数的最大值是4.其中正确结论的个数是.三、解答题（共66分）19. (8分)已知抛物线y＝a(x－1)2－3(a≠0)的图象与y轴交于点A(0，－2)，顶点为B.(1)试确定a的值，并写出点B的坐标；(2)若一次函数的图象经过A，B两点，求此一次函数的解析式.20. (8分)将抛物线y＝－3x2＋6x＋5先向左平移2个单位，再向上平移1个单位.(1)求平移后抛物线的解析式；(2)求平移后抛物线的对称轴和抛物线与y轴的交点坐标；(3)对于平移后的抛物线，当x取何值时，y随x的增大而减小?21. (9分)如图，用一段100米长的篱笆围成一个一边靠墙(墙足够长)，中间用篱笆隔开的矩形养殖场.设矩形垂直于墙的一边长为x米，矩形ABCD的面积记为y平方米.(1)直接写出y与x的函数关系式及自变量x的取值范围；(2)当x＝8时，求y的值；(3)当x取何值时，y的值最大，最大值是多少?22. (9分)在平面直角坐标系xOy中，二次函数y＝2x2－12x＋m的图象与x轴的正半轴相交于A，B两点，且点B到原点的距离是点A到原点的距离的2倍，求一元二次方程2x2－12x ＋m＝0的两个根.23. (10分)如图，已知二次函数的图象与x轴交于A(2，0)，B(6，0)两点，与y轴交于点D(0，4).(1)求该二次函数的解析式；(2)写出该抛物线的顶点C的坐标；(3)求四边形ACBD的面积.24. (10分)有一个抛物线形的拱形桥洞，桥洞离水面的最大高度为4 m，跨度为10 m.如图所示，把它的图形放在平面直角坐标系中.(1)求这条抛物线所对应的函数解析式；(2)一辆宽为2 m，高为3 m的货船能否从桥下通过?25. (12分)如图，抛物线C1：y＝x2－2x与抛物线C2：y＝ax2＋bx的开口大小相同、方向相反，它们相交于O，C两点，且分别与x轴的正半轴交于点B，点A，OA＝2OB.(1)求抛物线C2的解析式.(2)在抛物线C2的对称轴上是否存在点P，使P A＋PC的值最小?若存在，求出点P的坐标；若不存在，请说明理由.(3)M是直线OC上方抛物线C2上的一个动点，连接MO，MC，M运动到什么位置时，△MOC的面积最大?并求出最大面积.。
2020——2021学年人教版九年级数学上册 第二十二章 二次函数单元测试题
第二十二章 二次函数第Ⅰ卷 (选择题 共30分)一、选择题(每小题3分,共30分)1.若二次函数y=2x 2的图象经过点P (1,a ),则a 的值为 ( )A .12B .1C .2D .42.抛物线y=-1+3x 2 ( ) A .开口向上,且有最高点B .开口向上,且有最低点C .开口向下,且有最高点D .开口向下,且有最低点3.已知二次函数y=ax 2+2ax+c 的图象与x 轴的一个公共点的坐标为(1,0),则它与x 轴的另一个公共点的坐标是 ( ) A .(1,0)B .(-1,0)C .(-3,0)D .(3,0)4.将抛物线y=-3x 2平移,得到抛物线y=-3(x-1)2-2,下列平移方式中,正确的是 ( ) A .先向左平移1个单位长度,再向上平移2个单位长度 B .先向左平移1个单位长度,再向下平移2个单位长度 C .先向右平移1个单位长度,再向上平移2个单位长度 D .先向右平移1个单位长度,再向下平移2个单位长度5.定义运算“※”:a ※b={ab 2(b >0),-ab 2(b ≤0),如1※(-2)=-1×(-2)2=-4,则函数y=2※x 的图象大致是( )图16.图2是二次函数y=ax2+bx+c的图象,图象上有两点分别为A(2.18,-0.51),B(2.68,0.54),图2则方程ax2+bx+c=0的一个根可能是()A.2.18B.2.68C.-0.51D.2.457.若二次函数y=x2-6x+c的图象过A(-1,y1),B(2,y2),C(3+√2,y3)三点,则y1,y2,y3的大小关系是()A.y1>y2>y3B.y1>y3>y2C.y2>y1>y3D.y3>y1>y28.王芳将如图3所示的三条水平直线m1,m2,m3中的一条记为x轴(向右为正方向),三条竖直直线m4,m5,m6中的一条记为y轴(向上为正方向),并在此坐标平面内画出了抛物线y=ax2-6ax-3,则她所选择的x轴和y轴分别为()A.m1,m4B.m2,m5C.m3,m6D.m4,m5,有下列结9.已知二次函数y=ax2+bx+c的图象如图4,对称轴是直线x=-13论:(1)ab>0;(2)a+b+c<0;(3)b+2c<0;(4)a-2b+4c>0.其中正确结论的个数是()A.1B.2C.3D.4图3图4 图510.如图5,已知A1,A2,A3,…,A n是x轴上的点,且OA1=A1A2=A2A3=A3A4=…=A n-1A n=1,分别过点A1,A2,A3,…,A n作x轴的垂线交二次函数y=12x2(x>0)的图象于点P1,P2,P3,…,P n.若记△OA1P1的面积为S1,过点P1作P1B1⊥A2P2于点B1,记△P1B1P2的面积为S2,过点P2作P2B2⊥A3P3于点B2,记△P2B2P3的面积为S3……依次进行下去,最后记△P n-1B n-1P n(n>1)的面积为S n,则S n等于()A.2n-14B.n24C.(n-1)24D.2n+14请将选择题答案填入下表:题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 总分答案第Ⅱ卷(非选择题共70分)二、填空题(每小题3分,共18分)11.如图6所示,在同一平面直角坐标系中,作出函数①y=-3x2,②y=-1x2,③y=-x2的图象,则从里到外的三条抛物线对应的函数解析式依次是(填序号).12.已知二次函数y=x2+bx+c的图象如图7所示,且OC=OB,则b+c=.图6图7图813.如图8,在平面直角坐标系中,点A在抛物线y=x2-2x+2上运动.过点A作AC⊥x轴于点C,以AC为对角线作矩形ABCD,连接BD,则对角线BD的最小值为.14.如图9,二次函数y=ax2+1,y=ax2-1(a<0)的图象与直线x=-2,x=2所围成的阴影部分的面积是.15.如图10,平面直角坐标系中有些点的横坐标与纵坐标都是整数,我们称这样的点为整点,当二次函数y=ax2+bx+c在0≤x≤4且0≤y≤4范围内通过的整点个数大于4时,a的所有可能值是.图9图10图1116.如图11,一条抛物线与x轴相交于A,B两点,其顶点P在折线CDE上移动,若点C,D,E的坐标分别为(-1,4),(3,4),(3,1),点B的横坐标的最小值为1,则点A的横坐标的最大值为.三、解答题(共52分)17.(5分)下表给出了一个二次函数的一些取值情况:x…01234…y…30-103…(1)请在如图12所示的直角坐标系中画出这个二次函数的图象;(2)根据图象说明:当x取何值时,y的值大于0?图1218.(5分)已知二次函数y=x2+mx+n的图象经过点P(-3,1),对称轴是直线x=-1.(1)求m,n的值;(2)当x取何值时,y随x的增大而减小?19.(5分)如图13,正方形ABCD的顶点A在抛物线y=x2上,点B,C在x轴的正半轴上,且点B 的坐标为(1,0).(1)求点D的坐标;(2)将抛物线y=x2适当平移,使得平移后的抛物线同时经过点B与点D,求平移后抛物线的解析式,并说明你是如何平移的.图1320.(5分)如图14所示,有一座抛物线形拱桥,桥下面在正常水位时,水面AB宽20 m,水位上升到警戒线CD时,拱桥顶O到CD的距离仅为1 m,这时水面宽度为10 m.(1)在如图所示的坐标系中求抛物线的解析式;(2)若洪水到来时,水位以每小时0.3 m的速度上升,则从正常水位开始,持续多少小时水位到达警戒线?图1421.(7分)利用图象解一元二次方程x2-2x-1=0时,我们采用的一种方法是在直角坐标系中画出抛物线y=x2和直线y=2x+1,两图象交点的横坐标就是该方程的解.(1)请你再给出一种利用图象求方程x2-2x-1=0的解的方法;(2)已知函数y=x3的图象(如图15),求方程x3-x-2=0的解(精确到0.1).图1522.(7分)某公司对一种新型产品的产销情况进行了营销调查,发现年产量为x(吨)时,所需的成本y(万元)与(x2+60x+800)成正比例,投入市场后当年能全部售出且发现每吨的售价p(单位:万元)由基础价与浮动价两部分组成,其中基础价是固定不变的,浮动价与x成正比例,比例系.在营销中发现年产量为20吨时,所需的成本是240万元,并且年销售利润W(万元)的数为-120最大值为55万元.(注:年销售利润=年销售额-成本)(1)求y(万元)与x(吨)之间满足的函数解析式(不必写出自变量的取值范围);(2)求年销售利润W(万元)与年产量x(吨)之间满足的函数解析式(不必写出自变量的取值范围);(3)当年销售利润最大时,每吨的售价是多少万元?23.(9分)已知抛物线y=x2-2bx+c.(1)若抛物线的顶点坐标为(2,-3),求b,c的值;(2)若b+c=0,是否存在实数x,使得相应的y的值为1?请说明理由;(3)若c=b+2且二次函数在-2≤x≤2上的最小值是-3,求b的值.24.(9分)已知:如图16,抛物线y=ax2+3ax+c(a>0)与y轴负半轴交于点C,与x轴交于A,B两点,点A在点B的左侧,点B的坐标为(1,0),OC=3OB.(1)求抛物线的解析式.(2)若D是线段AC下方抛物线上的动点,求四边形ABCD面积的最大值.(3)若点E在x轴上,点P在抛物线上,是否存在以A,C,E,P为顶点且以AC为一边的平行四边形?若存在,求出点P的坐标;若不存在,请说明理由.图16答案1.C2.B3.C[解析] 抛物线的对称轴为直线x=-2a2a=-1.因为抛物线与x轴的两个公共点关于对称轴对称,所以它与x轴的另一个公共点的坐标是(-3,0).4.D[解析] ∵抛物线y=-3x2的顶点坐标为(0,0),抛物线y=-3(x-1)2-2的顶点坐标为(1,-2),∴将抛物线y=-3x2向右平移1个单位长度,再向下平移2个单位长度,可得到抛物线y=-3(x-1)2-2.5.C[解析] y=2※x={2x2(x>0),-2x2(x≤0).当x>0时,图象是函数y=2x2的图象在对称轴右侧的部分;当x≤0时,图象是函数y=-2x2的图象在对称轴左侧的部分.6.D[解析] 由图象,得方程ax2+bx+c=0的一个根在2.18与2.68之间.7.B[解析] 解法一:y=x2-6x+c=(x-3)2-9+c,其大致图象如图,对称轴为直线x=3,由图可得y1>y3>y2.解法二:把A,B,C三点的坐标分别代入解析式并化简,得y1=7+c,y2=-8+c,y3=-7+c,所以y1>y3>y2.故选B.8.A[解析] ∵y=ax2-6ax-3=a(x-3)2-3-9a,∴抛物线的对称轴为直线x=3,∴王芳选择的y轴为直线m4.∵抛物线y=ax2-6ax-3与y轴的交点为(0,-3),∴抛物线与y轴的交点在x轴的下方,∴王芳选择的x 轴为直线m 1.9.C [解析] (1)∵-b 2a <0,∴ab>0,∴该结论正确; (2)∵当x=1时,y<0,∴a+b+c<0,∴该结论正确;(3)∵-b 2a =-13,∴2a=3b. 又∵当x=-1时,y>0,∴a-b+c>0,∴2a-2b+2c>0,从而3b-2b+2c>0,即b+2c>0,∴该结论错误;(4)由图象知a<0,ab>0,∴b<0,∴-2b>0.①∵图象交y 轴于正半轴,∴c>0.②又∵a-b+c>0,③b+2c>0,④∴①+②+③+④,得a-2b+4c>0,∴该结论正确.故正确结论的个数为3.10.A [解析] 当x=n 时,y=12n 2; 当x=n-1时,y=12(n-1)2,∴S n =12×1×[12n 2-12(n -1)2]=2n -14.11.①③② [解析] 当抛物线开口向下时,a 越小,抛物线的开口程度越小.12.-1[解析] 当x=0时,y=c,则点C的坐标为(0,c).∵OC=OB,∴点B的坐标为(c,0).把B(c,0)代入y=x2+bx+c,得c2+bc+c=0.∵c≠0,∴b+c=-1.13.1[解析] 因为四边形ABCD是矩形,所以AC=BD.因为y=x2-2x+2=(x-1)2+1,所以AC的最小值是抛物线顶点的纵坐标1,因此BD的最小值为1.14.8[解析] 阴影部分的面积相当于一边长是4,这条边上的高为2的平行四边形的面积.15.±1[解析] 当抛物线的解析式为y=x2-4x+4时,抛物线过点(2,0),(1,1),(3,1),(0,4),(4,4);当抛物线的解析式为y=-x2+4x时,抛物线过点(0,0),(4,0),(1,3),(3,3),(2,4).16.2[解析] 由题图知:当点B的横坐标为1时,B(1,0),抛物线顶点取C(-1,4),设该抛物线的解析式为y=a(x+1)2+4,将点B的坐标代入,得0=a(1+1)2+4,解得a=-1,则点B的横坐标取最小值时,抛物线的解析式为y=-(x+1)2+4.当点A的横坐标取最大值时,抛物线顶点应取E(3,1),则此时抛物线的解析式为y=-(x-3)2+1=-x2+6x-8,其与x轴的交点为A(2,0),B(4,0),∴点A的横坐标的最大值为2.17.解:(1)画图如图所示:(2)根据图象知,当x<1或x>3时,y>0.18.解:(1)∵二次函数y=x 2+mx+n 的图象经过点P (-3,1),对称轴是直线x=-1,∴{1=9-3m +n ,-m 2=-1,解得{m =2,n =-2. (2)由(1)知二次函数的解析式为y=x 2+2x-2.∵a=1>0,∴抛物线的开口向上,∴当x<-1时,y 随x 的增大而减小.19.解:(1)∵B (1,0),点A 在抛物线y=x 2上,∴A (1,1).又∵在正方形ABCD 中,AD=AB=1,∴D (2,1).(2)设平移后抛物线的解析式为y=(x-h )2+k.把(1,0),(2,1)代入,得{0=(1-ℎ)2+k ,1=(2-ℎ)2+k ,解得{ℎ=1,k =0,∴平移后抛物线的解析式为y=(x-1)2,该抛物线可由原抛物线向右平移1个单位长度得到.20.解:(1)设所求抛物线的解析式为y=ax 2.∵CD=10 m,拱桥顶O 到CD 的距离仅为1 m,∴C (-5,-1).把点C 的坐标代入y=ax 2,得a=-125, 故抛物线的解析式为y=-125x 2.(2)∵AB 宽20 m,∴可设A (-10,b ).把点A 的坐标代入抛物线的解析式y=-125x 2,解得b=-4,∴点A 的坐标为(-10,-4).设CD 与y 轴交于点E ,AB 与y 轴交于点F ,则E (0,-1),F (0,-4),∴EF=3 m .3÷0.3=10(时).答:从正常水位开始,持续10小时水位到达警戒线.21.解:(1)答案不唯一,如在直角坐标系中画出抛物线y=x 2-1和直线y=2x ,其交点的横坐标就是方程的解.(2)在图中画出直线y=x+2,与函数y=x 3的图象交于点B ,得点B 的横坐标x ≈1.5,∴方程的解为x ≈1.5.(根的近似值与根的准确值的差的绝对值小于0.1均为正确)22.解:(1)设y=k (x 2+60x+800).由题意,得240=k (202+60×20+800),解得k=110,∴y=110x 2+6x+80. (2)设基础价为a ,则p=a-120x ,∴W=px-y=a-120x x-110x 2+6x+80=-320x-13×10(a-6)2+13×5(a-6)2-80. ∵W 的最大值为55,∴13×5(a-6)2-80=55,解得a 1=15,a 2=-3(舍去),∴W=-320x-13×10×(15-6)2+13×5×(15-6)2-80=-320(x-30)2+55.(3)∵W=-320(x-30)2+55, ∴当x=30时,年销售利润最大,∴p=a-120x=15-120×30=13.5,∴当年销售利润最大时,每吨的售价是13.5万元.23.解:(1)∵抛物线y=x 2-2bx+c , ∴a=1.∵抛物线的顶点坐标为(2,-3),∴y=(x-2)2-3.∵y=(x-2)2-3=x 2-4x+1,∴b=2,c=1.(2)存在.理由:∵b+c=0,∴c=-b.由y=1,得x 2-2bx+c=1,∴x 2-2bx+c-1=0.∵Δ=(-2b )2-4(c-1)=4b 2+4b+4=(2b+1)2+3>0,∴存在两个实数x ,使得y=1.(3)若c=b+2,则二次函数可化为y=x 2-2bx+b+2,其图象的对称轴为直线x=b.①若b ≤-2,则二次函数在x=-2时取得最小值,此时-3=(-2)2-2×(-2)b+b+2,解得b=-95,不合题意,舍去;②若b ≥2,则二次函数在x=2时取得最小值,此时-3=22-2×2b+b+2,解得b=3;③若-2<b<2,则二次函数在x=b 时取得最小值,此时4(b+2)-4b 24=-3, 化简,得b 2-b-5=0,解得b 1=1+√212(不合题意,舍去),b 2=1-√212. 综上所述,b 的值为3或1-√212.24.解:(1)∵点B 的坐标为(1,0),OC=3OB ,点C 在y 轴的负半轴上,∴C (0,-3).∵抛物线y=ax 2+3ax+c 经过点B ,C ,∴{-3=c ,0=a +3a +c ,解得{a =34,c =-3, ∴抛物线的解析式为y=34x 2+94x-3.(2)在y=34x 2+94x-3中, 令y=0,则34x 2+94x-3=0, 解得x 1=-4,x 2=1,∴A (-4,0).设D m ,34m 2+94m-3,其中-4<m<0, 连接OD ,则S 四边形ABCD =S △AOD +S △OCD +S △BOC =12×4×-34m 2-94m+3+12×3×(-m )+12×3×1=-32m 2-6m+152=-32(m+2)2+272,∴当m=-2时,S 四边形ABCD 有最大值,最大值为272. (3)存在.如图所示, ①过点C 作CP 1∥x 轴交抛物线于点P 1,过点P 1作P 1E 1∥AC 交x 轴于点E 1,此时四边形ACP 1E 1为平行四边形. ∵C (0,-3),∴可设P 1(x ,-3),∴34x 2+94x-3=-3,解得x 1=0,x 2=-3,∴P 1(-3,-3);②平移直线AC 交x 轴于点E ,交x 轴上方的抛物线于点P ,当AC=PE 时,四边形ACEP 为平行四边形. ∵C (0,-3),∴可设P (x',3),∴34x'2+94x'-3=3,即x'2+3x'-8=0,解得x'=-3+√412或x'=-3-√412, 此时存在点P 2-3+√412,3和P 3-3-√412,3符合题意.综上所述,点P 的坐标为(-3,-3)或(-3+√412,3)或(-3-√412,3).。
人教版2020-2021学年九年级数学上册第二十二章二次函数检测题(含答案)
第二十二章测试卷一、选择题(每题3分，共30分) 1．下列函数是二次函数的是( )A ．y ＝3x 2＋9B ．y ＝mx 2＋2x －3C ．y ＝2x 2＋1x －2D ．y ＝4x 2 2．抛物线y ＝2(x －3)2＋4的顶点坐标是( )A ．(3，4)B ．(－3，4)C ．(3，－4)D ．(2，4)3．二次函数y ＝ax 2＋bx －1(a ≠0)的图象经过点(1，1)，则a ＋b ＋1的值是( )A ．－3B ．－1C ．2D ．34．将如图所示的抛物线向右平移1个单位长度，再向上平移3个单位长度后，得到的抛物线解析式是( )A ．y ＝(x －1)2＋1B ．y ＝(x ＋1)2＋1C ．y ＝2(x －1)2＋1D ．y ＝2(x ＋1)2＋15．已知y ＝ax 2＋bx ＋c 的图象如图所示，根据图中提供的信息，可求得使y ≥1成立的x 的取值范围是( )A ．－1≤x ≤3B ．－3≤x ≤1C ．x ≥－3D ．x ≤－1或x ≥3 6．已知二次函数y ＝x 2－2mx －3，下列结论不一定成立的是( )A ．它的图象与x 轴有两个交点B ．方程x 2－2mx ＝3的两根之积为－3C．它的图象的对称轴在y轴的右侧D．当x＜m时，y随x的增大而减小7．在同一平面直角坐标系中，函数y＝ax2＋bx与y＝bx＋a的图象可能是()8．抛物线y＝－x2＋bx＋c上部分点的横坐标x、纵坐标y的对应值如下表所示：x …－2 －1 0 1 2 …y …0 4 6 6 4 …从上表可知，下列说法中错误的是()A．抛物线与x轴的一个交点坐标为(－2，0)B．抛物线与y轴的交点坐标为(0，6)C．抛物线的对称轴是直线x＝0D．抛物线在对称轴左侧部分是上升的9．向空中发射一枚炮弹，经x秒后的高度为y米，且时间与高度的关系式为y＝ax2＋bx＋c(a≠0)．若此炮弹在第6秒与第14秒时的高度相等，则在下列时间中炮弹所在高度最高的是()A．第8秒B．第10秒C．第12秒D．第14秒10．如图，抛物线y＝ax2＋bx＋c(a≠0)过点(－1，0)和点(0，－3)，且顶点在第四象限，设P＝a＋b＋c，则P的取值范围是()A．－3＜P＜－1 B．－6＜P＜0 C．－3＜P＜0 D．－6＜P＜－3二、填空题(每题3分，共30分)11．二次函数y＝12x2－6x＋21的图象的开口向________，顶点坐标为________．12．二次函数y1＝mx2，y2＝nx2的图象如图所示，则m________n(填“＞”或“＜”)．13．将一条长为20 cm的铁丝剪成两段，并以每一段铁丝的长度为周长各做成一个正方形，则这两个正方形的面积之和的最小值是________cm2. 14．如图，二次函数y＝x2－x－6的图象交x轴于A，B两点，交y轴于C点，则△ABC的面积为________．15．已知抛物线y＝ax2－2ax＋c与x轴的一个交点的坐标为(－1，0)，则方程ax2－2ax＋c＝0的根为________．16．已知二次函数y＝ax2＋bx＋c(a≠0)的图象如图所示，则不等式ax2＋bx＋c＞0的解集是________．17．如图是一座抛物线形拱桥，当水面宽4 m时，拱顶(拱桥洞的最高点)离水面2 m，当水面下降1 m时，水面的宽度为________．18．如图，将抛物线y＝－12x2平移得到抛物线m.抛物线m经过点A(6，0)和原点O，它的顶点为P，它的对称轴与抛物线y＝－12x2交于点Q，则图中阴影部分的面积为________．19．若二次函数y＝2x2－4x－1的图象与x轴交于A(x1，0)，B(x2，0)两点，则1x1＋1x2的值为________．20．如图是二次函数y＝ax2＋bx＋c的图象，有下列结论：①二次三项式ax2＋bx＋c的最大值为4；②4a＋2b＋c＜0；③一元二次方程ax2＋bx＋c＝1的两根之和为－1；④使y≤3成立的x的取值范围是x≥0.其中正确的有________个．三、解答题(21题8分，22～25题每题10分，26题12分，共60分) 21．如图是抛物线y＝－x2＋bx＋c的部分图象，其中A(1，0)，B(0，3)．(1)求抛物线的解析式；(2)结合图象，写出当y＜3时x的取值范围(作适当说明)．22．已知二次函数y＝x2＋bx－c的图象与x轴两交点的坐标分别为(m，0)，(－3m，0)(m≠0)．(1)求证：4c＝3b2；(2)若该函数图象的对称轴为直线x＝1，试求二次函数的最小值．23．如图，已知抛物线y＝ax2＋bx＋c(a≠0)与x轴负半轴交于点A，与y轴交于点B，若OA＝1，OB＝3，抛物线的对称轴为直线x＝1.(1)求抛物线的解析式；(2)在抛物线的对称轴上，是否存在点P，使它到点A的距离与到点B的距离之和最小？如果存在，请求出点P的坐标；如果不存在，请说明理由．24．如图，二次函数y ＝(x ＋2)2＋m 的图象与y 轴交于点C ，点B 在抛物线上，且与点C 关于抛物线的对称轴对称，已知一次函数y ＝kx ＋b 的图象经过该二次函数图象上的点A (－1，0)及点B . (1)求二次函数与一次函数的解析式；(2)根据图象，写出满足(x ＋2)2＋m ≥kx ＋b 的x 的取值范围．25．为了“创建文明城市，建设美丽家园”，某社区将辖区内的一块面积为1 000m 2的空地进行绿化，一部分种草，剩余部分栽花．设种草部分的面积为x (m 2)，种草所需费用y 1(元)与x (m 2)的函数解析式为y 1＝⎩⎨⎧k 1x （0≤x ＜600），k 2x ＋b （600≤x ≤1 000），其图象如图所示；栽花所需费用y 2(元)与x (m 2)的函数解析式为y 2＝－0.01x 2－20x ＋30 000(0≤x ≤1 000)． (1)请直接写出k 1，k 2和b 的值；(2)设这块1 000 m2空地的绿化总费用为W(元)，请利用W与x的函数解析式，求出W的最大值；(3)若种草部分的面积不少于700 m2，栽花部分的面积不少于100 m2，请求出W的最小值．26．已知如图，在平面直角坐标系xOy中，点A，B，C分别为坐标轴上的三个点，且OA＝1，OB＝3，OC＝4.(1)求经过A，B，C三点的抛物线的解析式；(2)在平面直角坐标系xOy中是否存在一点P，使得以点A，B，C，P为顶点的四边形为菱形？若存在，请求出点P的坐标；若不存在，请说明理由；(3)若点M为该抛物线上一动点，在(2)的条件下，请求出使|PM－AM|最大时点M的坐标，并直接写出|PM－AM|的最大值．答案一、1．A2．A3．D4．C5．D6．C7．C8.C9.B10．B点拨：∵抛物线y＝ax2＋bx＋c(a≠0)过点(－1，0)和点(0，－3)，∴0＝a－b＋c，－3＝c，∴b＝a－3.∴P＝a＋b＋c＝a＋a－3－3＝2a－6.∵抛物线的顶点在第四象限，a＞0，∴b＝a－3＜0，∴a＜3，∴0＜a＜3，∴－6＜2a－6＜0，即－6＜P＜0.故选B.二、11．上；(6，3)12．＞13．12.5点拨：设其中一段铁丝的长度为x cm，两个正方形的面积之和为Scm2，则另一段铁丝的长度为(20－x)cm，∴S＝116x2＋116(20－x)2＝18(x－10)2＋12.5，∴当x＝10时，S有最小值，最小值为12.5.14．1515．x1＝－1，x2＝3点拨：由题意，得a＋2a＋c＝0，∴c＝－3a，∴ax2－2ax－3a＝0.∵a≠0，∴x2－2x－3＝0.解得x1＝－1，x2＝3. 16．－1＜x＜317．2 6 m18．272点拨：连接OP，OQ，设平移后的抛物线m的函数解析式为y＝－12x2＋bx＋c，将点A(6，0)和原点O(0，0)的坐标分别代入，可得抛物线m的函数解析式为y＝－12x2＋3x，所以P⎝⎛⎭⎪⎫3，92，Q⎝⎛⎭⎪⎫3，－92，所以点P，Q关于x轴对称，所以S阴影部分＝S△POQ＝3×92＝272.19．－420．2点拨：抛物线开口向下，顶点坐标为(－1，4)，故二次函数y＝ax2＋bx＋c的最大值为4；当x＝2时，对应的点在x轴下方，故4a＋2b＋c＜0；二次函数的图象与x轴的交点为(1，0)，(－3，0)，则抛物线的解析式为y＝a(x＋3)(x－1)，将点(0，3)的坐标代入可得a＝－1，令－(x＋3)(x－1)＝1，化简可得x2＋2x－2＝0，它的两根之和为－2；当y≤3时，x的取值范围为x≤－2或x≥0.综上所述，结论①②正确．三、21．解：(1)∵函数的图象过A(1，0)，B(0，3)，故抛物线的解析式为y＝－x2－2x＋3.(2)抛物线的对称轴为直线x＝－1，且当x＝0时，y＝3，∴当x＝－2时，y＝3，故当y＜3时，x的取值范围是x＜－2或x＞0.22．(1)证明：由题意，知m，－3m是一元二次方程x2＋bx－c＝0的两根，根据一元二次方程根与系数的关系，得m＋(－3m)＝－b，m·(－3m)＝－c，∴b＝2m，c＝3m2，∴4c＝12m2，3b2＝12m2，∴4c＝3b2.(2)解：由题意得－b2＝1，∴b＝－2，由(1)得c＝34b2＝34×(－2)2＝3，∴y＝x2－2x－3＝(x－1)2－4，∴二次函数的最小值为－4.23．解：(1)根据题意，得点A的坐标为(－1，0)，点B的坐标为(0，－3)．又∵抛物线的对称轴为直线x＝1，故抛物线的解析式是y＝x2－2x－3.(2)存在．如图，设抛物线与x轴的另一个交点是C，由抛物线的对称性可知点A与点C关于抛物线的对称轴对称，连接BC，则BC与对称轴的交点即为点P.∵点A的坐标为(－1，0)，抛物线的对称轴为直线x＝1，∴点C的坐标为(3，0)．设直线BC的解析式是y＝kx－3，将点C(3，0)的坐标代入，得3k－3＝0，解得k＝1.∴直线BC的解析式是y＝x－3.当x＝1时，y＝－2，∴点P的坐标为(1，－2)．24．解：(1)∵抛物线y＝(x＋2)2＋m经过点A(－1，0)，∴0＝1＋m，∴m＝－1，∴二次函数的解析式为y＝(x＋2)2－1＝x2＋4x＋3，∴点C的坐标为(0，3)，又∵抛物线的对称轴为直线x＝－2，点B，C关于抛物线的对称轴对称，∴点B的坐标为(－4，3)．∵直线y＝kx＋b经过点A，B，∴一次函数的解析式为y＝－x－1.(2)由图象可知，满足(x＋2)2＋m≥kx＋b的x的取值范围为x≤－4或x≥－1. 25．解：(1)k1＝30，k2＝20，b＝6 000.(2)当0≤x＜600时，W＝30x＋(－0.01x2－20x＋30 000)＝－0.01x2＋10x＋30 000＝－0.01(x－500)2＋32 500，∵－0.01＜0，∴当x＝500时，W取得最大值，最大值为32 500.当600≤x≤1 000时，W＝20x＋6 000＋(－0.01x2－20x＋30 000)＝－0.01x2＋36 000.∵－0.01＜0，∴当600≤x≤1 000时，W随x的增大而减小，∴当x＝600时，W取得最大值，为32 400.∵32 400＜32 500，∴W的最大值为32 500.(3)由题意，得1 000－x≥100，解得x≤900.又x≥700，∴700≤x≤900.∵当700≤x≤900时，W随x的增大而减小，∴当x＝900时，W取得最小值，最小值为27 900.26．解：(1)设抛物线的解析式为y＝ax2＋bx＋c，由题易知A的坐标为(1，0)，B的坐标为(0，3)，C的坐标为(－4，0)，∴经过A，B，C三点的抛物线的解析式为y＝－34x2－94x＋3.(2)存在．以CA，CB为邻边时，如图，∵OB＝3，OC＝4，OA＝1，∴BC＝AC＝5，当BP平行且等于AC时，四边形ACBP为菱形，∴BP＝AC＝5，且点P到x轴的距离等于OB的长，∴点P的坐标为(5，3)；以AB，AC为邻边时，AC≠AB，∴不存在点P使四边形ABPC为菱形；以BA，BC为邻边时，BA≠BC，∴不存在点P使四边形ABCP为菱形．故符合题意的点P的坐标为(5，3)．(3)设直线P A的函数解析式为y＝kx＋m(k≠0)，∵A(1，0)，P(5，3)，∴直线P A的函数解析式为y＝34x－34，当点M与点P，A不在同一直线上时，根据三角形的三边关系知|PM－AM|＜P A，当点M与点P，A在同一直线上时，|PM－AM|＝P A，∴当点M与点P，A在同一直线上时，|PM－AM|的值最大，即点M为直线P A与抛物线的交点，解方程组得∴当点M 的坐标为(1，0)或⎝ ⎛⎭⎪⎫－5，－92时，|PM －AM |的值最大，|PM －AM |的最大值为5.1、人生如逆旅，我亦是行人。
度第一学期新人教版九年级数学上册 第22章 二次函数 单元测试卷(有答案)
2021-2021学年度第一学期新人教版九年级数学上册第22章二次函数单元测试卷一、选择题：1.二次函数y=ax2+bx+c的图象如下图，根据图象可得a，b，c与0的大小关系是〔〕A.a>0，b<0，c<0B.a>0，b>0，c>0C.a<0，b<0，c<0D.a<0，b>0，c<02.开口向上，顶点坐标为(−9, 3)的抛物线为〔〕A.y=2(x−9)2−3B.y=2(x+9)2+3C.y=−2(x−9)2−3D.y=−2(x+9)2+33.把函数y=−3x2的图象沿x轴向右平移5个单位，得到的图象的解析式为〔〕A.y=−3x2+5B.y=−3x2−5C.y=−3(x+5)2D.y=−3(x−5)24.二次函数y=2(x+2)2−1的图象是〔〕A. B.C. D.5.以下函数中，是二次函数的为〔〕A.y=8x2+1B.y=8x+1C.y=8x D.y=8x26.把函数y=−2x2的图象沿x轴对折，得到的图象的解析式为〔〕A.y=−2x2B.y=2x2C.y=−2(x+1)2D.y=−2(x−1)27.以下四个函数中，y随x增大而减小的是〔〕A.y=2xB.y=−2xC.y=x2D.y=−x28.二次函数y=a(x−1)2+c的图象如下图，那么直线y=−ax−c不经过〔〕A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限9.由于被墨水污染，一道数学题仅能见到如下文字：“二次函数y=ax2+bx+c的图象过点(1, 0)，…，求证：这个二次函数的图象关于直线x=2对称．〞根据现有信息，题中的二次函数不具有的性质是〔〕A.过点(3, 0)B.顶点是(2, −2)C.在x轴上截得的线段长是2D.与y轴的交点是(0, c)10.抛物线的形状、开口方向与y=12x2−4x+3一样，顶点在(−2, 1)，那么关系式为〔〕第 1 页A.y=12(x−2)2+1 B.y=12(x+2)2−1C.y=12(x+2)2+1 D.y=−12(x+2)2+111.如图，抛物线顶点坐标是P(1, 3)，那么函数y随自变量x的增大而减小的x的取值范围是〔〕A.x>3B.x<3C.x>1D.x<112.二次函数y=ax2+bx+c的图象如下图，对称轴是x=1，那么以下结论中正确的选项是〔〕A.ac>0B.b<0C.b2−4ac<0D.2a+b=013.假如二次函数y=−x2−2x+c的图象在x轴的下方，那么c的取值范围为〔〕A.c<−1B.c≤−1C.c<0D.c<114.如图，二次函数y=x2−4x+3的图象交x轴于A，B两点，交y轴于C，那么△ABC的面积为〔〕A.6B.4C.3D.115.二次函数y=x2+10x−5的最小值为〔〕A.−35B.−30C.−5D.2016.圆的面积S与其半径r的函数关系用图象表示大致是〔〕A. B.C. D.17.在函数①y=3x2；②y=12x2+1；③y=−43x2−3中，图象开口大小按题号顺序表示为〔〕A.①>②>③B.①>③>②C.②>③>①D.②>①>③18.抛物线y=x2+3x的顶点在〔〕A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限19.抛物线y=−3x2+2x−1的图象与x轴交点的个数是〔〕A.没有交点B.只有一个交点C.有且只有两个交点D.有且只有三个交点20.二次函数y=4x2−mx+5，当x<−2时，y随x的增大而减小；当x>−2时，y随x的增大而增大，那么当x=1时，函数y的值为〔〕A.−7B.1C.17D.2521.二次函数y=ax2+bx+c的值永远为负值的条件是〔〕A.a>0，b2−4ac<0B.a<0，b2−4ac>0C.a>0，b2−4ac>0D.a<0，b2−4ac<022.二次函数y=ax2+bx+c，假如a>b>c，且a+b+c=0，那么它的大致图象应是〔〕A. B.C. D.23.关于函数y=2x2−8x，以下表达中错误的选项是〔〕A.函数图象经过原点B.函数图象的最低点是(2, −8)C.函数图象与x轴的交点为(0, 0)，(4, 0)D.函数图象的对称轴是直线x=−224.二次函数y=m2x2−4x+1有最小值−3，那么m等于〔〕A.1B.−1C.±1D.±12)所在的象限是〔〕25.二次函数y=ax2+bx+c的图象如下图，那么点P(a, cbA.一B.二C.三D.四26.如下图，当b<0时，函数y=ax+b与y=ax2+bx+c在同一坐标系内的图象可能是〔〕A. B.C. D.27.抛物线y=2(x+3)(x−1)的对称轴是〔〕D.x=−2A.x=1B.x=−1C.x=1228.以下判断中唯一正确的选项是〔〕A.函数y=ax2的图象开口向上，函数y=−ax2的图象开口向下B.二次函数y=ax2，当x<0时，y随x的增大而增大C.y=2x2与y=−2x2图象的顶点、对称轴、开口方向、开口大小完全一样D.抛物线y=ax2与y=−ax2的图象关于x轴对称x2−6x+24的顶点是〔〕29.抛物线y=12A.(−6, −6)B.(−6, 6)C.(6, 6)D.(6, −6)30.一个二次函数的图象经过点A(0, 0)，B(−1, −11)，C(1, 9)三点，那么这个二次函数的关系式是〔〕A.y=−10x2+xB.y=−10x2+19xC.y=10x2+xD.y=−x2+10x二、填空题31.用长与宽分别是6cm、8cm的矩形纸片剪下一个边长为x cm的正方形后，剩余局部的面积S与x之间的关系式为________，其中S是x________函数．32.某种商品的价格为5元，准备进展两次降价，假如每次降价的百分率都是x，经过两次降价后的价格y〔单位：元〕随每次降价的百分率x的变化而变化，那么y与x之间的关系式为________．33.抛物线y=−3x2的对称轴是________，顶点是________，开口________，顶点是最________点，第 3 页与x轴的交点为________．34.假设二次函数y=x2+bx+c的图象经过(−4, 0)，(2, 6)，那么这个二次函数的解析式为________．35.假设函数y=ax2+b的图象经过点(0, 1)，(1, 2)，那么a+b=________．36.抛物线y=ax2+bx+c经过点A(−2, 7)，B(6, 7)，C(3, −8)，那么该抛物线的解析式为________，该抛物线上纵坐标为−8的另一个点的坐标为________．37.用配方法将二次函数y=4x2−24x+26写成y=a(x−ℎ)2+k的形式是________，对称轴为________，顶点坐标为________．38.将抛物线y=−2x2+4x向上平移3个单位，再向左平移2个单位得到抛物线的解析式为________．39.将二次函数解析式y=2x2−8x+5配方成y=a(x−ℎ)2+k的形式为________．40.函数y=ax2−ax+3x+1的图象与x轴有且只有一个交点，写出a所有可能的值________．41.二次函数y=x2−2x−8的图象与x轴交于A、B两点，与y轴交于C点，那么△ABC的面积为________．42.二次函数y=ax2+bx+c的图象如下图．(1)这个二次函数的解析式为________；(2)这个二次函数的对称轴是________；(3)函数y有最________值，当x=________时，y的最值为________；(4)当x=________时，y=3．43.某商人开场时将进价为每件8元的某种商品按每件10元出售，每天可售出100件，他想采用进步售价的方法来增加利润，经试验，发现这种商品每件进步1元，每天的销售量就会减少5件．(1)写出售价x〔元/件〕与每天所得的利润y〔元〕之间的函数关系式是y=________；(2)每件售价定为________元时，才能使一天的利润最大．44.抛物线y=−2(x+3)2−4是________对称图形，开口向________，顶点坐标是________，对称轴是________，与x轴的交点为________．45.假设二次函数y=ax2+bx+c的图象经过点(0, −1)，(5, −1)，那么它的对称轴方程是________．46.抛物线y=ax2+bx+c(a≠0)图象的顶点为P(−2, 3)，且过A(−3, 0)，那么抛物线的关系式为________．47.二次函数y=mx2−3x+2m−m2的图象经过点(−1, −1)，那么m=________．48.二次函数y=x2−2x+m的最小值为5时，m=________．49.假设抛物线y=ax2+3x−1与x轴有两个交点，那么a的取值范围是________．50.假设二次函数y=ax2+bx+c的图象如下图，那么ac________0〔填“>〞或“=〞或“<〞〕．(x−1)(x+2)与x轴的交点坐标是________，与y轴的交点坐标是________．51.抛物线y=−1552.函数y=x2+2x−1的最小值是________．53.二次函数y=mx2+2x+m−4m2的图象经过原点，m=________，这个二次函数的对称轴是________，开口方向________，顶点坐标________，y的最________值是________．54.抛物线y=x2−5x+6与y轴交点是________，x轴交点是________．三、解答题55.正方形的周长是Ccm，面积是Scm2．(1)求S与C之间的函数关系式；(2)当S=1cm2时，求正方形的边长；(3)当C取什么值时，S≥4cm2？答案1.【答案】D【解析】由抛物线的开口方向判断a与0的关系，由抛物线与y轴的交点判断c与0的关系，然后根据对称轴及抛物线与x轴交点情况进展推理，进而对所得结论进展判断．【解答】解：由抛物线的开口向下知a<0，与y轴的交点为在y轴的负半轴上，∴c<0，>0，∵对称轴为x=−b2a∴a、b异号，即b>0．应选D．2.【答案】B【解析】利用顶点式结合抛物线的开口方向可求得答案．【解答】解：∵抛物线顶点坐标为(−9, 3)，∴可设抛物线解析式为y=a(x+9)2+3，∵抛物线开口向上，∴a>0，应选B．3.【答案】D【解析】抛物线平移不改变a的值．【解答】解：原抛物线的顶点为(0, 0)，向右平移5个单位，那么新抛物线的顶点为(5, 0)．可设新抛物线的解析式为y=−3(x−ℎ)2+k，代入得：y=−3(x−5)2．应选D．4.【答案】C【解析】先根据解析式确定抛物线的顶点坐标、对称轴，然后对图象进展讨论选择．【解答】解：∵a=2>0，∴抛物线开口方向向上；∵二次函数解析式为y=2(x+2)2−1，∴顶点坐标为(−2, −1)，对称轴x=−2．应选C．5.【答案】A【解析】根据二次函数的定义对各选项进展逐一分析即可．【解答】解：A、y=8x2+1是二次函数，故本选项正确；B、y=8x+1是一次函数，故本选项错误；C、y=8是反比例函数，故本选项错误；xD、y=8是反比例函数，故本选项错误．x2应选A．6.【答案】B【解析】关于x轴对称的两点x坐标一样，y坐标互为相反数．第 5 页【解答】解：函数y=−2x2的图象沿x轴对折，得到的图象的解析式−y=−2x2，所以y=2x2．应选B．7.【答案】B【解析】直接根据正比例函数的性质和二次函数的性质判断即可．【解答】解：A、y=2x中，k=2>0，故y随x增大而增大；B、y=−2x中，k=−2<0，故y随x增大而减小；C、D中y=x2和y=−x2是二次函数，其增减性在对称轴的左右相反．应选B．8.【答案】B【解析】根据抛物线的位置，判断a、c的符号；再根据a、c的符号，判断直线y=−ax−c经过的象限，得出不经过的象限．【解答】解：由二次函数y=a(x−1)2+c的图象可知：a<0，二次函数y=a(x−1)2+c的顶点坐标为(1, c)，∴c>0，∴−a>0，−c<0，所以，直线y=−ax−c经过一、三、四象限，不经过第二象限．应选B．9.【答案】B【解析】由题目条件可知对称轴为x=2，可求得抛物线与x轴的另一交点，那么可判断A、C，把x=0代入可求得y=c，可判断D，那么可得出答案．【解答】解：由题可知抛物线与x轴的一交点坐标为(1, 0)，∵抛物线对称轴为x=2，∴抛物线与x轴的另一交点坐标为(3, 0)，∴在x轴上截得的线段长是2，∴A、C正确，把x=0代入可求得y=c，∴抛物线与y轴的交点坐标为(0, c)，∴D正确，由条件无法确定抛物线的顶点坐标，∴B不正确，应选B．10.【答案】C【解析】抛物线y=ax2+bx+c的开口方向，形状只与a有关；y=a(x−ℎ)2+k的顶点坐标是(ℎ, k)．据此作答．【解答】解：抛物线的形状、开口方向与y=12x2−4x+3一样，所以a=12．顶点在(−2, 1)，所以是y=12(x+2)2+1．应选C．11.【答案】C【解析】需要根据抛物线的对称轴及开口方向，判断函数的增减性．【解答】解：∵抛物线顶点坐标是P(1, 3)，∴对称轴为x=1，又∵抛物线开口向下，∴函数y随自变量x的增大而减小的x的取值范围是x>1．应选C．12.【答案】D【解析】由抛物线的开口方向判断a与0的关系，由抛物线与y轴的交点判断c与0的关系，然后根据对称轴及抛物线与x轴交点情况进展推理，进而对所得结论进展判断．【解答】解：A、由抛物线的开口向下知a<0，与y轴的交点为在y轴的正半轴上，∴c>0，因此ac<0，故不正确；=1，得2a=−b，∴a、b异号，即b>0，故错误；B、对称轴为x=−b2aC、而抛物线与x轴有两个交点，∴b2−4ac>0，故错误；=1，得2a=−b，即2a+b=0，故正确．D、对称轴为x=−b2a应选D．13.【答案】A【解析】根据x轴下方的点的纵坐标小于0列出不等式解那么可．<0，解得c<−1，【解答】解：由题意得−4c−4−4应选A．14.【答案】C【解析】根据解析式求出A、B、C三点的坐标，即△ABC的底和高求出，然后根据公式求面积．【解答】解：在y=x2−4x+3中，当y=0时，x=1、3；当x=0时，y=3；即A(1, 0)、B(3, 0)、C(0, 3)×2×3=3；故△ABC的面积为：12应选C．15.【答案】B【解析】此题考察二次函数最大〔小〕值的求法，用配方法比拟简单．【解答】解：∵y=x2+10x−5=x2+10x+25−30=(x+5)2−30，∴y的最小值为−30．应选B．16.【答案】C【解析】根据圆的面积公式即可找出圆的面积S与其半径r的函数关系式，结合二次函数的图象即可得出结论．【解答】解：∵圆的面积S与其半径r的函数关系式为S=πr2(r≥0)，∴其函数图象与选项C相符．应选C．17.【答案】C【解析】由于抛物线的开口大小是由二次项系数a的绝对值的大小确定，|a|越大那么开口越小．利用这个结论即可判断开口大小．【解答】解：∵物线的开口大小是由二次项系数a的绝对值的大小确定，|a|越大那么开口越小．第 7 页∴开口大小按题号顺序表示为②>③>①． 应选C ．18. 【答案】C【解析】对y =x 2+3x 可以先配成顶点坐标式，求出顶点坐标，再根据顶点横纵坐标的正负判断顶点所处的象限．【解答】解：将y =x 2+3x 变形，可得：y =(x +32)2−94， 那么顶点坐标为(−32, −94)，那么此点位于第三象限．应选C ．19. 【答案】A【解析】根据b 2−4ac 与零的关系即可判断出二次函数y =−3x 2+2x −1的图象与x 轴交点的个数．【解答】解：∵b 2−4ac =22−4×(−3)×(−1)=−8<0 ∴二次函数y =−3x 2+2x −1的图象与x 轴没有交点． 应选A20. 【答案】D【解析】因为当x <−2时，y 随x 的增大而减小；当x >−2时，y 随x 的增大而增大，那么可知对称轴就是x =−2，结合顶点公式法可求出m 的值，从而得出函数的解析式，再把x =1，可求出y 的值．【解答】解：∵当x <−2时，y 随x 的增大而减小， 当x >−2时，y 随x 的增大而增大， ∴对称轴x =−b2a =−−m 8=−2，解得m =−16，∴y =4x 2+16x +5，那么当x =1时，函数y 的值为25． 应选D ．21. 【答案】D【解析】二次函数y =ax 2+bx +c 的值永远为负即函数图象的开口向下且函数与x 轴没有交点，根据此即可算出a 和b 2−4ac 的取值．【解答】解：因为二次函数y =ax 2+bx +c 的值永远为负值， 所以函数图象的开口向下，所以a <0．此外，函数与x 轴没有交点，所以b 2−4ac <0，所以二次函数y =ax 2+bx +c 的值永远为负值的条件是a <0，b 2−4ac <0． 应选D ．22. 【答案】A【解析】根据条件，采用形数结合的方法，探究图象经过的点，字母系数的符号对图象的影响，逐一排除．【解答】解：因为a +b +c =0，故函数图象过(1, 0)排除D ； 因为a +b +c =0，a >b >c ，所以a >0，排除C ；由图B 可知，c =1>0，对称轴x =−b2a >0，得b <0，与b >c 矛盾，排除B 应选A ．23. 【答案】D【解析】根据二次函数的性质，求得结果．【解答】解：A：由解析式可得c=0，故函数图象经过原点，所以A正确；B：由顶点公式可得：−b2a =2，4ac−b24a=−8，所以函数图象的最低点是(2, −8)，B正确；C：使解析式y=2x2−8x=0，得x1=0，x2=4，所以函数图象与x轴的交点为(0, 0)，(4, 0)，C正确；D：由对称轴x=−b2a=2，那么D错误．应选D．24.【答案】C【解析】对二次函数y=m2x2−4x+1，a=m2>0，存在最小值，且在顶点获得，有4ac−b24a=−3，求得m的值即可．【解答】解：在y=m2x2−4x+1中，m2>0，那么在顶点处获得最小值，4ac−b24a =4m2−164m2=−3，解得：m=±1．应选C．25.【答案】D【解析】根据函数图象可得各系数的关系：a>0，b<0，c>0，那么点P(a, cb)所在的象限即可断定．【解答】解：由函数图象可得各系数的关系：a>0，b<0，c>0，那么a>0，cb<0，因此P(a, cb)位于第四象限．应选D．26.【答案】B【解析】此题可先由一次函数y=ax+b象得到字母系数的正负，再与二次函数y=ax2+ bx+c的图象相比拟看是否一致．【解答】解：A、由一次函数的图象可知a>0b>0，二次函数对称轴x=−b2a<0，错误；B、由一次函数的图象可知a>0b<0，二次函数对称轴x=−b2a>0，正确；C、由一次函数的图象可知a>0b<0，由二次函数的图象可知a<0，错误；D、由一次函数的图象可知a<0b>0，由二次函数的图象可知a>0，错误；应选B．27.【答案】B【解析】首先确定抛物线与x轴的两个交点坐标，然后确定对称轴即可．【解答】解：令y=2(x+3)(x−1)=0，解得：x=−3或x=1，所以抛物线与x轴的两个交点坐标为(−3, 0)和(1, 0)，所以对称轴为x=−3+12=−1，应选B．第 9 页28. 【答案】D【解析】利用二次函数的图象与a 的关系逐项判断即可． 【解答】解：A 、假设当a <0时，那么函数y =ax 2的图象开口向下，函数y =−ax 2的图象开口向上，故A 不正确；B 、假设a >0时，那么二次函数y =ax 2开口向上，当x <0时，y 随x 的增大而减小，故B 不正确；C 、由于两函数中二次项系数互为相反数，故两抛物线的开口方向相反，故C 不正确；D 、因为a 和−a 互为相反数，所以抛物线y =ax 2与y =−ax 2的开口方向相反，对称轴、顶点坐标都一样，故其图象关于x 轴对称； 应选D ．29. 【答案】C【解析】化为顶点式表达式即可求出抛物线y =12x 2−6x +24的顶点坐标． 【解答】解：抛物线y =12x 2−6x +24=12(x −6)2+6， 所以抛物线y =12x 2−6x +24的顶点是(6, 6)．应选：C ． 30. 【答案】D【解析】由于抛物线经过原点，那么可以设其函数关系式为y =ax 2+bx ，再将B 、C 两点坐标代入即可求出函数关系式．【解答】解：由于抛物线经过原点，那么可以设其函数关系式为y =ax 2+bx ， 将B 、C 两点坐标代入，得， {a −b =−11a +b =9， 解得：{a =−1b =10，那么函数关系式为：y =−x 2+10x ， 应选D ．31. 【答案】S =48−x 2(0<x <6),二次【解析】根据剩余局部的面积S =矩形的面积-正方形的面积列出代数式．【解答】解：依题意得：S =6×8−x 2=48−x 2(0<x <6)，这是一个二次函数． 故答案是：S =48−x 2(0<x <6)，二次． 32. 【答案】y =5(1−x)2【解析】根据题意可得第一次降价后的价格为5(1−x)，第二次降价后价格为5(1−x)(1−x)，进而可得y 与x 之间的关系式．【解答】解：由题意得：y =5(1−x)2， 故答案为：y =5(1−x)2．33. 【答案】y 轴,(0, 0),向下,高,(0, 0)【解析】抛物线y =−3x 2的二次项系数−3<0，抛物线开口向下，一次项系数，常数项都为0，故对称轴是y 轴，顶点为(0, 0)．【解答】解：抛物线y =−3x 2的对称轴是y 轴，顶点是：(0, 0)，开口向下，顶点是最高点，与x 轴的交点为：(0, 0)．第 11 页故答案为：y 轴，(0, 0)，向下，高，(0, 0)．34. 【答案】y =x 2+3x −4【解析】用待定系数法求b 、c 的值，将(−4, 0)，(2, 6)代入y =x 2+bx +c 即可求得．【解答】解：将(−4, 0)，(2, 6)代入y =x 2+bx +c 中，得：{16−4b +c =04+2b +c =6，解得{b =3c =−4， ∴这个二次函数的解析式为：y =x 2+3x −4．35. 【答案】2【解析】根据二次函数图象上点的坐标特征，把(1, 2)代入解析式可得到a +b 的值．【解答】解：∵二次函数y =ax 2+bx 的图象经过点(1, 2)，∴a +b =2，故答案为2．36. 【答案】y =x 2−4x −5,(1, −8)【解析】把三点的坐标分别代入y =ax 2+bx +c 可得关于a 、b 、c 的方程组，然后解方程组求出a 、b 、c 的值，从而得到抛物线解析式；再求出当y =−8时x 的值即可得点的坐标．【解答】解：因为抛物线过点A(−2, 7)、B(6, 7)，所以抛物线的对称轴为直线x =2，根据题意得{4a −2b +c =736a +6b +c =79a +3b +c =−8，解得{a =1b =−4c =−5，所以抛物线的解析式为y =x 2−4x −5，当y =−8时，x 2−4x −5=−8，解得：x =1或x =3，∴抛物线上纵坐标为−8的另一个点的坐标为(1, −8)，故答案为：y =x 2−4x −5，(1, −8)．37. 【答案】y =4(x −3)2−10,x =3,(3, −10)【解析】把二次函数y =4x 2−24x +26写成y =a(x −ℎ)2+k 的形式后再写出抛物线的对称轴方程和顶点坐标那么可．【解答】解：y =4x 2−24x +26=4(x 2−6x)+26=4(x 2−6x +9−9)+26=4(x −3)2−10∴对称轴是x =3，顶点坐标是(3, −10)故此题答案为：y =4(x −3)2−10；x =3；(3, −10)．38. 【答案】y =−2(x +1)2+5【解析】先求出原抛物线的顶点坐标，再根据向左平移横坐标减，向上平移纵坐标减求出新函数的顶点坐标，然后利用顶点式形式写出即可．【解答】解：抛物线y =−2x 2+4x =−2(x −1)2+2的顶点坐标为(1, 2)，向上平移3个单位，再向左平移2个单位得到抛物线的顶点坐标为(−1, 5)，得到新抛物线的解析式是y =−2(x +1)2+5．故答案为：y =−2(x +1)2+5．39. 【答案】y =2(x −2)2−3【解析】先提出二次项系数，再加上一次项系数一半的平方，即得出顶点式的形式．【解答】解：提出二次项系数得，y =2(x 2−4x)+5，配方得，y =2(x 2−4x +4)+5−8，即y =2(x −2)2−3．故答案为：y=2(x−2)2−3．40.【答案】0，1，9【解析】分类讨论：当a=0时，函数解析式为y=3x+1，此一次函数与x轴只有一个交点；当a≠0时，利用△=b2−4ac决定抛物线与x轴的交点个数得到△=(3−a)2−4a=0，然后解关于a的一元二次方程即可．【解答】解：当a=0时，函数为一次函数，此时函数图象与x轴只有一个交点；当a≠0时，抛物线y=ax2+(3−a)x+1的图象与x轴有且只有一个交点，那么△=(3−a)2−4a=0，解得a1=1，a2=9，综上所述，当a为0或1或9时，函数y=ax2−ax+3x+1的图象与x轴有且只有一个交点．故答案为：0，1，9．41.【答案】24【解析】根据解析式分别求出A、B、C的坐标即可．【解答】解：根据二次函数y=x2−2x−8，可得A、B两点的横坐标为−2，4；C的纵坐标为−8；×8×6=24．那么△ABC的面积为1242.【答案】y=x2−2x; x=1; 小,1,−1; =−1或3【解析】根据抛物线的对称轴性，抛物线的顶点坐标是(1, −1)，利用待定系数法求抛物线的表达式那么可．; ; ;【解答】解：(1)根据题意，抛物线的顶点坐标是(1, −1)，设抛物线的表达式为y=a(x−1)2−1，抛物线过(0, 0)，所以a−1=0，a=1．y=(x−1)2−1=x2−2x．; (2)∵y=(x−1)2−1，∴对称轴是直线x=1；; (3)∵a=1，∴数y有最小值，当x=1时，y的最值为−1；; (4)y=3时，x2−2x=3，解得x=−1或3，∴当x=−1或3时，y=3．43.【答案】−5x2+190x−1200; 19【解析】(1)根据题意可以得到售价x〔元/件〕与每天所得的利润y〔元〕之间的函数关系式；; (2)将(1)中y与x的关系式化为顶点式即可解答此题．【解答】解：(1)由题意可得，y=(x−8)[100−(x−10)×5]=−5x2+190x−1200，即售价x〔元/件〕与每天所得的利润y〔元〕之间的函数关系式是y=−5x2+190x−1200；; (2)∵y=−5x2+190x−1200=−5(x−19)2+605，∴x=19时，y获得最大值；44.【答案】轴,下,(−3, −4),直线x=−3,没有交点【解析】根据二次项系数的符号得出抛物线的开口方向，将一般式转化为顶点式即可得出对称轴和顶点坐标，当y=0，求得与x轴的交点即可．【解答】解：y=−2(x+3)2−4，抛物线是轴对称图形，∵a=−2<0，∴抛物线开口向下，顶点坐标为(−3, −4)，对称轴为直线x=−3，令y=0，得−2(x+3)2−4=0，方程无解，与x轴没有交点故答案为：轴；下；(−3, −4)；直线x=−3；没有交点；45.【答案】x=52【解析】由题意二次函数y=ax2+bx+c的图象经过点(0, −1)，(5, −1)，观察此两点y值一样，说明这两点关于对称轴对称，从而求出抛物线的性质．【解答】解：∵二次函数y=ax2+bx+c的图象经过点(0, −1)，(5, −1)，∵此两点y值一样，其关于抛物线对称轴对称，∴它的对称轴方程是：x=0+52=52．46.【答案】y=−3x2−12x−9【解析】由题知抛物线y=ax2+bx+c(a≠0)图象的顶点为P(−2, 3)，且过A(−3, 0)，将点代入抛物线解析式，再根据待定系数法求出抛物线的解析式．【解答】解：抛物线y=ax2+bx+c(a≠0)图象的顶点为P(−2, 3)，∴对称轴x=−b2a=−2…①，又∵抛物线过点P(−2, 3)，且过A(−3, 0)代入抛物线解析式得，{4a−2b+c=3…9a−3b+c=0…由①②③解得，a=−3，b−12，c=−9，∴抛物线的关系式为：y=−3x2−12x−9．47.【答案】4或−1【解析】此题可以将点(−1, −1)代入y=mx2−3x+2m−m2，求得m的值．【解答】解：由于二次函数y=mx2−3x+2m−m2的图象经过点(−1, −1)，代入(−1, −1)，那么−1=m+3+2m−m2，解得：m=4或−1．48.【答案】6【解析】直接用公式法求此二次函数的最值即可解答．【解答】解：由二次函数y=x2−2x+m的最小值为5可知，4ac−b24a =4m−44=5，解得m=6．49.【答案】a>−94且a≠0【解析】根据题意，令y=0，得方程ax2+3x−1=0，有两个不同的根得△>0，从而解出a的范围．【解答】解：∵抛物线y=ax2+3x−1与x轴有两个交点，∴a≠0，△>0，∴9−4a×(−1)>0，∴a>−94，故答案为a>−94且a≠0．第 13 页50. 【答案】<【解析】首先由抛物线的开口方向判断a 与0的关系，由抛物线与y 轴的交点判断c 与0的关系，进而判断ac 与0的关系．【解答】解：∵抛物线的开口向下，∴a <0，∵与y 轴的交点为在y 轴的正半轴上，∴c >0，∴ac <0．故答案为<．51. 【答案】(1, 0)，(−2, 0),(0, 25)【解析】抛物线解析式为：y =−15(x −1)(x +2)是函数的两点式，易求其与x 轴的交点，然后再令x =0，求得函数与y 轴的交点坐标．【解答】解：∵抛物线y =−15(x −1)(x +2)，∴x 轴的交点坐标是：(1, 0)，(−2, 0)，令x =0，得y =−15×(−2)=25，∴y 轴的交点坐标是：(0, 25)．52. 【答案】−2【解析】把解析式化为顶点式可求得其顶点坐标，那么可求得其最小值．【解答】解：∵y =x 2+2x −1=(x +1)2−2，∴其顶点坐标为(−1, −2)，∴其最小值为−2，故答案为：−2．53. 【答案】4,x =−12,上,(−12, −1),小,−1【解析】把原点代入解析式可得到关于m 的方程，可求得m 的值，那么可得到抛物线解析式，化为顶点式，可求得答案．【解答】解：∵二次函数y =mx 2+2x +m −4m 2的图象经过原点，∴m −4m 2=0且m ≠0，解得m =4，此时抛物线解析式为y =4x 2+2x =4(x +12)2−1，∴抛物线对称轴为x =−12，开口向上，顶点坐标为(−12, −1)，y 的最小值是−1， 故答案为：4；x =−12；上；(−12, −1)；小；−1．54. 【答案】(0, 6),(3, 0)，(2, 0)【解析】由题意令x =0，可以求出抛物线与y 轴的交点，令y =0，得方程x 2−5x +6=0，解出x 的值，从而求出抛物线与x 轴的交点．【解答】解：令x=0得，y=6，∴抛物线y=x2−5x+6与y轴交点是(0, 6)，令y=0得，x2−5x+6=0，解得x=2或3；故答案为(0, 6)，(3, 0)、(2, 0)．55.【答案】解：(1)S=(C4)2=C216；; (2)当S=1时，由S=C216，那么1=C216，解得C=4或C=−4〔舍去〕．∴C=4，∴正方形边长为4÷4=1(cm)．; (3)∵S=C216，∴欲使S≥4，需C216≥4，∴C2≥64．∴C≥8或C≤−8〔舍去〕，∴C≥8．【解析】(1)由正方形周长求出边长，然后求出面积的表达式，; (2)当S=1，求出边长，;(3)令S≥4，求出x．【解答】解：(1)S=(C4)2=C216；; (2)当S=1时，由S=C216，那么1=C216，解得C=4或C=−4〔舍去〕．∴C=4，∴正方形边长为4÷4=1(cm)．; (3)∵S=C216，∴欲使S≥4，需C216≥4，∴C2≥64．∴C≥8或C≤−8〔舍去〕，∴C≥8．第 15 页。
2021-2022学年人教版九年级数学上册第22章《二次函数》单元检测试题
第22章二次函数单元检测试题一、选择题（本题共计8 小题，每题3 分，共计24分，）1. 下列函数中是二次函数的是（）A.y=3x−1B.y=x3−2x−3C.y=(x+1)2−x2D.y=3x2−12. 如图是一座石拱桥，它是一个横断面为抛物线形状的拱桥，当水面在图示位置时，拱顶（拱桥洞的最高点）离水面3m，水面宽6m．如图建立平面直角坐标系，则抛物线的表达式是（）A.y=−2x2B.y=2x2C.y=−13x2 D.y=13x23. 已知抛物线y=2(x−1)2+c经过(−2, y1)，(0, y2)，(32,y3)三点，则y1，y2，y3的大小关系是()A.y2>y3>y1B.y1>y2>y3C.y2>y1>y3D.y1>y3>y24. 在同一坐标系中，函数y=ax2与y=ax−a(a≠0)的图象的大致位置可能是()A. B.C. D.5. 如图是某运动员打羽毛球的抛物线示意图，已知打出羽毛球的高度y(m)与水平距离x(m)之间的函数关系式是y=−12x2+52x+7，则该羽毛球落地时距离发出点（）A.6mB.7mC.8mD.9m6. 二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)的图象如图所示，下列结论：①2a+b=0；②若m为任意实数，则a+b≥am2+bm；③a−b+c>0；④3a+c<0；⑤若ax12+bx1=ax22+bx2，且x1≠x2，则x1+ x2=2．其中正确的个数为（）A.2B.3C.4D.57. 已知二次函数y＝x2−2x+2在t≤x≤t+1时有最小值是t，则t的值是()A.1B.2C.1或2D.±1或28. 如图，二次函数y＝ax2+bx+c(a≠0)的图象与x轴交于A，B两点，与y轴交于C点，且对称轴为x＝1，点B坐标为(−1, 0)，则下面的四个结论，其中正确的个数为（）①2a+b＝0②4a−2b+c<0③ac>0④当y>0时，−1<x<4A.1个B.2个C.3个D.4个二、填空题（本题共计9 小题，每题3 分，共计27分，）9. 二次函数y=x2−2mx+m2−1经过原点，则此二次函数的解析式为________．10. 二次函数y=√3x−x2中，a=________，b=________，c=_________．11. 若将二次函数y=x2−2x+3配方为y=a(x−ℎ)2+k的形式，则y=_________．12. 如图，已知点P(m,n)在二次函数y=(x+1)2+2的图象上.若点P到y 轴的距离小于2，则n的取值范围是________.13. 二次函数y＝ax2+bx+c的部分对应值如下表：<0时，x的取值范围是________．14. 二次函数y=−x2+6x+3的图象顶点为________，对称轴为________．15. 已知开口向上的抛物线y=x2−2x+3，在此抛物线上有A(−12, y1),B(2, y2)和C(3, y3)三点，则y1, y2和y3的大小关系为________．16. 如图是抛物线y=ax2+bx+c的一部分，其对称轴为直线x=2，若其与x轴一交点为B(5, 0)，则由图象可知，不等式ax2+bx+c>0的解集是________．17. 如图，抛物线y=ax2+bx+c与x轴交于点A(−1, 0)，B(5, 0)，下列判断：①ac<0；②b2>4ac；③b+4a>0；④4a−2b+c<0．其中判断一定正确的序号是________．三、解答题（本题共计7 小题，共计69分，）18. 抛物线y=−12x2+√22x+2与x轴交于A、B两点，与y轴交于C点，求A、B、C三点的坐标．19. 已知二次函数当x=1时，y有最大值为5，且它的图象经过点(2, 3)，求这个函数的关系式．20. 已知二次函数y=ax2+bx+c中，其函数y与自变量x之间的部分对应值如下表所示：(2)求出这个二次函数的解析式；(3)当y>3时，求x的取值范围．21. 已知抛物线y=a(x−ℎ)2向右平移3个单位后得到抛物线y=14x2．（1）求a，ℎ的值；（2）写出抛物线y=a(x−ℎ)2的对称轴及顶点坐标．22. 在平面直角坐标系中，抛物线y=ax2+bx+3与x轴的两个交点分别为A(−3, 0)、B(1, 0)，过顶点C作CH⊥x轴于点H．(1)直接填写：a=________，b=________，顶点C的坐标为________；(2)在y轴上是否存在点D，使得△ACD是以AC为斜边的直角三角形？若存在，求出点D的坐标；若不存在，说明理由；(3)若点P为x轴上方的抛物线上一动点（点P与顶点C不重合），PQ⊥AC于点Q，当△PCQ与△ACH相似时，求点P的坐标．23. 如图，二次函数y=ax2−6ax−16a(a≠0)的图像与x轴交于点A，B （A在B左侧），与y轴正半轴交于点C，点D在抛物线上，CD//x轴，且OD=AB.（1）求点A，B的坐标及a的值；（2）点P为y轴右侧抛物线上一点.①如图①，若OP平分∠COD，OP交CD于点E，求点P的坐标；②如图②，抛物线上一点F的横坐标为2，直线CF交x轴于点G，过点P作直线CF的垂线，垂足为Q，若∠PCQ=∠BGC，求点Q的坐标.24. 微商小明投资销售一种进价为每条20元的围巾．销售过程中发现，每月销售量y（件）与销售单价x（元）之间的关系可近似的看作一次函数：y=−10x+600，销售过程中销售单价不低于成本价，而每条的利润不高于成本价的80%．（1）设小明每月获得利润为w（元），求每月获得利润w（元）与销售单价x（元）之间的函数关系式，并确定自变量x的取值范围．（2）当销售单价定为多少元时，每月可获得最大利润？每月的最大利润是多少？（3）如果小明想要每月获得的利润不低于3000元，那么小明每月的成本最少需要多少元？（成本=进价×销售量）。
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2020-2021学年九年级数学上册单元检测卷第22章 二次函数一．选择题（每题3分，共24分） 1．对于抛物线，下列说法错误的是（ ）A ．对称轴是直线x ＝5B ．函数的最大值是3C ．开口向下，顶点坐标（5，3）D ．当x ＞5时，y 随x 的增大而增大2．将抛物线y ＝x 2+1绕顶点旋转180°，则旋转后的抛物线的解析式为（ ） A ．y ＝﹣2x 2+1B ．y ＝﹣2x 2﹣1C ．y ＝﹣x 2+1D ．y ＝﹣x 2﹣13．已知抛物线y ＝ax 2+bx ﹣2与x 轴没有交点，过A （﹣2、y 1）、B （﹣3，y 2）、C （1，y 2）、D （，y 3）四点，则y 1、y 2、y 3的大小关系是（ ）A ．y 1＞y 2＞y 3B ．y 2＞y 1＞y 3C ．y 1＞y 3＞y 2D ．y 3＞y 2＞y 14．设A （﹣2，y 1），B （1，y 2），C （2，y 3）是抛物线y ＝﹣x 2﹣2x +2上的三点，则y 1，y 2，y 3的大小关系为（ ）A ．y 1＞y 2＞y 3B ．y 1＞y 3＞y 2C ．y 3＞y 2＞y 1D ．y 3＞y 1＞y 25．学校组织学生去南京进行研学实践活动，小王同学发现在宾馆房间的洗手盘台面上有一瓶洗手液（如图①）．于是好奇的小王同学进行了实地测量研究．当小王用一定的力按住顶部A 下压如图②位置时，洗手液从喷口B 流出，路线近似呈抛物线状，且a ＝﹣．洗手液瓶子的截面图下部分是矩形CGHD ．小王同学测得：洗手液瓶子的底面直径GH ＝12cm ，喷嘴位置点B 距台面的距离为16cm ，且B 、D 、H 三点共线．小王在距离台面15.5cm 处接洗手液时，手心Q 到直线DH 的水平距离为3cm ，若小王不去接，则洗手液落在台面的位置距DH 的水平距离是（ ）cm ．A．12B．12C．6D．66．如图，排球运动员站在点O处练习发球，将球从O点正上方2m的A处发出，把球看成点，其运行的高度y（m）与运行的水平距离x（m）满足关系式y＝a（x﹣k）2+h．已知球与O点的水平距离为6m时，达到最高2.6m，球网与O点的水平距离为9m．高度为2.43m，球场的边界距O点的水平距离为18m，则下列判断正确的是（）A．球不会过网B．球会过球网但不会出界C．球会过球网并会出界D．无法确定7．将二次函数y＝2x2﹣3的图象先向右平移2个单位长度，再向上平移3个单位长度，下列关于平移后所得抛物线的说法，正确的是（）A．开口向下B．经过点（2，3）C．与x轴只有一个交点D．对称轴是直线x＝18．如图所示，抛物线y＝ax2+bx+c的顶点为B（﹣1，3），与x轴的交点A在点（﹣3，0）和（﹣2，0）之间，以下结论：①b2﹣4ac＝0，②2a﹣b＝0，③a+b+c＜0；④c﹣a＝3，其中正确的有（）个．A．1 B．2 C．3 D．4二．填空题（每题4分，共24分）9．设方程﹣x2+x+m＝0有两个不相等的实数根，则抛物线y＝﹣x2+x+m的顶点在第象限．10．扫地机器人能够自主移动并作出反应，是因为它发射红外信号反射回接收器，机器人在打扫房间时，若碰到障碍物则发起警报．若某一房间内A、B两点之间有障碍物，现将A、B两点放置于平面直角坐标系xOy中（如图），已知点A，B的坐标分别为（0，4），（6，4），机器人沿抛物线y＝ax2﹣4ax﹣5a运动．若机器人在运动过程中只触发一次报警，则a的取值范围是．11．二次函数y＝x2+4x﹣1的最小值是．12．已知点（﹣1，m）、（2，n）在二次函数y＝ax2﹣2ax﹣1的图象上，如果m＞n，那么a0（用“＞”或“＜”连接）．13．小明推铅球，铅球行进高度y（m）与水平距离x（m）之间的关系为y＝﹣（x﹣4）2+3，则小明推铅球的成绩是m．14．二次函数y＝ax2+bx+c的部分图象如图所示，有以下结论：①3a﹣b＝0；②b2﹣4ac＞0；③5a﹣2b+c＞0；④4b+3c＞0，其中错误结论的序号是．三．解答题（共52分，共6小题）15．已知抛物线y＝﹣x2+（5﹣m）x+6﹣m．（1）求证：该抛物线与x轴总有交点；（2）若该抛物线与x轴有一个交点的横坐标大于3且小于5，求m的取值范围；（3）设抛物线y＝﹣x2+（5﹣m）x+6﹣m与y轴交于点M，若抛物线与x轴的一个交点关于直线y＝﹣x的对称点恰好是点M，求m的值．16．某科技公司接到一份新型高科技产品紧急订单，要求在10天内（含10天）完成任务，为提高生产效率，工厂加班加点，接到任务的第一天就生产了该种产品42件，以后每天生产的产品都比前一天多2件，由于机器损耗等原因，当日生产的产品数量达到50件后，每多生产一件，当天生产的所有产品平均每件成本就增加10元．（1）设第x天生产产品y件，求出y与x之间的函数解析式，并写出自变量x的取值范围．（2）若该产品每件生产成本（日生产量不超过50件时）为1000元，订购价格为每件1460元，设第x天的利润为W元，试求W与x之间的函数解析式，并求该公司哪一天获得的利润最大，最大利润是多少？（3）该公司当天的利润不低于22680元的是哪几天？请直接写出结果．17．如图，在平面直角坐标系xOy中，抛物线y＝x2+bx+c与x轴交于A、B两点，与y轴交于点C，对称轴为直线x＝2，点A的坐标为（1，0）．（1）求该抛物线的表达式及顶点坐标；（2）点P为抛物线上一点（不与点A重合），连接PC．当∠PCB＝∠ACB时，求点P的坐标；（3）在（2）的条件下，将抛物线沿平行于y轴的方向向下平移，平移后的抛物线的顶点为点D，点P的对应点为点Q，当OD⊥DQ时，求抛物线平移的距离．18．某企业设计了一款工艺品，每件的成本是50元，为了合理定价，投放市场进行试销．据市场调查，销售单价是100元时，每天的销售量是50件，而销售单价每降低1元，每天就可多售出5件，但要求销售单价不得低于成本．（1）当销售单价为70元时，每天的销售利润是多少？（2）求出每天的销售利润y（元）与销售单价x（元）之间的函数关系式，并求出自变量x的取值范围；（3）如果该企业每天的总成本不超过7000元，那么销售单价为多少元时，每天的销售利润最大？最大利润是多少？（每天的总成本＝每件的成本×每天的销售量）19．某商场销售一批小家电，平均每天可售出20台，每台盈利40元．为了去库存，商场决定采取适当的降价措施．经调查发现，在一定范围内，小家电的单价每降5元，商场平均每天可多售出10台．如果商场将这批小家电的单价降低x元，通过销售这批小家电每天盈利y元．（1）每天的销售量是台（用含x的代数式表示）；（2）求y与x之间的关系式；（3）如果商场通过销售这批小家电每天要盈利1050元，那么单价应降多少元？（4）若这批小家电的单价有三种降价方式：降价10元、降价20元、降价30元，如果你是商场经理，你准备采取哪种降价方式？说说理由．20．抛物线y＝x2+bx+c经过点A、B、C，已知A（﹣1，0），C（0，﹣3）．（1）求抛物线的解析式；（2）如图1，抛物线顶点为E，EF⊥x轴于F点，M（m，0）是x轴上一动点，N是线段EF上一点，若∠MNC＝90°，请指出实数m的变化范围，并说明理由．（3）如图2，将抛物线平移，使其顶点E与原点O重合，直线y＝kx+2（k＞0）与抛物线相交于点P、Q（点P在左边），过点P作x轴平行线交抛物线于点H，当k发生改变时，请说明直线QH过定点，并求定点坐标．参考答案一．选择题1．解：∵抛物线，∴该抛物线的对称轴是直线x＝5，故选项A正确；函数有最大值，最大值y＝3，故选项B正确；开口向下，顶点坐标为（5，3），故选项C正确；当x＞5时，y随x的增大而减小，故选项D错误；故选：D．2．解：y＝x2+1的顶点坐标为（0，1），∵抛物线y＝x2+1绕顶点旋转180°，∴旋转后的抛物线的顶点坐标还是（0，1），∴旋转后的抛物线的解析式为y＝﹣x2+1．故选：C．3．解：令x＝0，则y＝﹣2，即该抛物线与y轴的交点坐标是（0，﹣2），∵抛物线y＝ax2+bx﹣2与y轴交于负半轴，且与x轴没有交点，∴抛物线开口向下，对称轴为x＝＝﹣1．∵|﹣1﹣（﹣2）|＜|1+1|＜|+1|∴y1＞y2＞y3，故选：A．4．解：∵A（﹣2，y1），B（1，y2），C（2，y3）是抛物线y＝﹣x2﹣2x+2上的三点，∴y1＝﹣（﹣2）2﹣2×（﹣2）+2＝2，y2＝﹣1﹣2+2＝﹣1，y3＝﹣22﹣2×2+2＝﹣6，∴y1＞y2＞y3，故选：A．5．解：根据题意：GH所在直线为x轴，GH的垂直平分线所在直线为y轴建立如图所示的平面直角坐标系，喷口B为抛物线顶点，共线的三点B、D、H所在直线为抛物线的对称轴，根据题意，Q（9，15.5），B（6，16），OH＝6，设抛物线解析式为y＝﹣a（x﹣6）2+16，将点Q代入解得a＝﹣，符号题意：洗手液从喷口B流出，路线近似呈抛物线状，且a＝﹣．所以抛物线解析式为：y＝﹣（x﹣6）2+16＝﹣x2+x+14．当y＝0时，即0＝﹣x2+x+14，解得：x＝6+12（负值舍去），所以洗手液落在台面的位置距DH的水平距离是12cm．故选：B．6．解：∵球与O点的水平距离为6m时，达到最高2.6m，∴抛物线为y＝a（x﹣6）2+2.6过点，∵抛物线y＝a（x﹣6）2+2.6过点（0，2），∴2＝a（0﹣6）2+2.6，解得：a＝﹣，故y与x的关系式为：y＝﹣（x﹣6）2+2.6，当x＝9时，y＝﹣（x﹣6）2+2.6＝2.45＞2.43，所以球能过球网；当y＝0时，﹣（x﹣6）2+2.6＝0，解得：x1＝6+2＞18，x2＝6﹣2（舍去）故会出界．故选：C．7．解：二次函数y＝2x2﹣3的顶点坐标为（0，﹣3），把点（0，﹣3）向右平移2个单位长度，再向上平移3个单位长度得到点的坐标为（2，0），所以所得的图象解析式为y＝（x﹣2）2．∵a＞0，∴抛物线开口向上，∵当x＝2，y＝0，∴抛物线与x轴只有一个交点，经过点（2，3）的说法不正确．抛物线的对称轴为x＝2．则正确的说法是C．故选：C．8．解：抛物线与x轴有两个交点，∴△＞0，∴b2﹣4ac＞0，故①错误；由于对称轴为x＝﹣1，∴x＝﹣3与x＝1关于x＝﹣1对称，∵x＝﹣3时，y＜0，∴x＝1时，y＝a+b+c＜0，故③正确；∵对称轴为x＝﹣＝﹣1，∴2a﹣b＝0，故②正确；∵顶点为B（﹣1，3），∴y＝a﹣b+c＝3，∴y＝a﹣2a+c＝3，即c﹣a＝3，故④正确；故选：C．二．填空题（共6小题）9．解：∵方程﹣x2+x+m＝0有两个不相等的实数根，∴抛物线y＝﹣x2+x+m与x轴有两个交点，函数图象开口向下，对称轴是直线x＝﹣＝，∴抛物线y＝﹣x2+x+m的顶点在第一象限，故答案为：一．10．解：分3种情况：当a＜0时，①抛物线与直线AB有两个公共点，但与线段AB只有一个公共点，则抛物线与y轴的交点必在A点上方，即：﹣5a＞4，解得a＜﹣，②抛物线与直线AB有唯一公共点，即顶点在AB上，顶点为（2，4），代入解析式得4＝4a﹣8a﹣5a，解得此时a＝﹣；当a＞0时，抛物线与线段AB有唯一公共点，即当x＝6，y≥4，36a﹣24a﹣5a≥4，解得a≥综上：a的取值范围是a＜﹣或a＝﹣或a≥．故答案为：a＜﹣或a＝﹣或a≥．11．解：y＝x2+4x﹣1＝x2+4x+4﹣5＝（x+2）2﹣5，可见二次函数y＝x2+4x﹣1的最小值是﹣5．故答案为：﹣5．12．解：∵二次函数的解析式为y＝ax2﹣2ax﹣1，∴该抛物线对称轴为x＝1，∵|﹣1﹣1|＞|2﹣1|，且m＞n，∴a ＞0．故答案为：＞．13．解：令函数式y ＝﹣+3中，y ＝0，0＝﹣+3， 解得x 1＝10，x 2＝﹣2（舍去）．即铅球推出的距离是10m ．故答案为：10．14．解：由图象可知a ＜0，c ＞0，对称轴为x ＝﹣，∴x ＝﹣＝﹣，∴b ＝3a ，①正确；∵函数图象与x 轴有两个不同的交点，∴△＝b 2﹣4ac ＞0，②正确；当x ＝﹣1时，a ﹣b +c ＞0，当x ＝﹣3时，9a ﹣3b +c ＞0，∴10a ﹣4b +2c ＞0，∴5a ﹣2b +c ＞0，③正确；由对称性可知x ＝1时对应的y 值与x ＝﹣4时对应的y 值相等，∴当x ＝1时，a +b +c ＜0，∵b ＝3a ，∴4b +3c ＝3b +b +3c ＝3b +3a +3c ＝3（a +b +c ）＜0，∴4b +3c ＜0，④错误；故答案为：④．三．解答题（共6小题）15．（1）证明：△＝（5﹣m ）2﹣4×（﹣1）（6﹣m ）＝m 2﹣14m +49＝（m ﹣7）2≥0，∴该抛物线与x 轴总有交点；（2）解：由（1）△＝（m ﹣7）2，根据求根公式可知，方程的两根为：，即x1＝﹣1，x2＝﹣m+6，由题意，有3＜﹣m+6＜5，∴1＜m＜3；（3）解：令x＝0，y＝﹣m+6，∴M（0，﹣m+6），由（2）可知抛物线与x轴的交点为（﹣1，0）和（﹣m+6，0），它们关于直线y＝﹣x的对称点分别为（0，1）和（0，m﹣6），由题意，可得：﹣m+6＝1或﹣m+6＝m﹣6，∴m＝5或m＝6．16．解：（1）∵第一天生产了该种产品42件，以后每天生产的产品都比前一天多2件，∴y＝42+2（x﹣1）＝40+2x，∴y与x之间的函数解析式为y＝40+2x（1≤x≤10，且x为整数）．（2）当1≤x≤5时，W＝（1460﹣1000）×（40+2x）＝920x+18400，∵920＞0，∴W随x的增大而增大，∴当x＝5时，W最大值＝920×5+18400＝23000；当5＜x≤10时，W＝[1460﹣1000﹣10（40+2x﹣50）]×（40+2x）＝﹣40（x﹣4）2+23040，∵此时函数图象开口向下，在对称轴右侧，W随x的增大而减小，又天数x为整数，∴当x＝6时，W最大值＝22880元．∵23000＞22880，∴当x＝5时，W最大，且W最大值＝23000元；∴W与x之间的函数解析式为：W＝，该公司第5天获得的利润最大，最大利润是23000元．（3）当1≤x≤5时，由920x+18400≥22680得x≥4，∴x＝5；当5＜x≤10时，由﹣40（x﹣4）2+23040＝22680得：x 1＝1，x2＝7，∴x＝7；∵由（2）可知，当x＝6时，W最大值＝22880元，∴x＝6符合题意．∴该公司当天的利润不低于22680元的是第5、6、7天．17．解：（1）∵对称轴为直线x＝2，点A的坐标为（1，0），∴点B的坐标是（3，0）．将A（1，0），B（3，0）分别代入y＝x2+bx+c，得．解得．则该抛物线解析式是：y＝x2﹣4x+3．由y＝x2﹣4x+3＝（x﹣2）2﹣1知，该抛物线顶点坐标是（2，﹣1）；（2）如图1，过点P作PN⊥x轴于N，过点C作CM⊥PN，交NP的延长线于点M，∵∠CON＝90°，∴四边形CONM是矩形．∴∠CMN＝90°，CO＝MN、∴y＝x2﹣4x+3，∴C（0，3）．∵B（3，0），∴OB＝OC＝3．∵∠COB＝90°，∴∠OCB ＝∠BCM ＝45°．又∵∠ACB ＝∠PCB ，∴∠OCB ﹣∠ACB ＝∠BCM ﹣∠PCB ，即∠OCA ＝∠PCM ．∴tan ∠OCA ＝tan ∠PCM ．∴＝．故设PM ＝a ，MC ＝3a ，PN ＝3﹣a ．∴P （3a ，3﹣a ），将其代入抛物线解析式y ＝x 2﹣4x +3，得（3a ）2﹣4（3﹣a ）+3＝3﹣a ．解得a 1＝，a 2＝0（舍去）． ∴P （，）．（3）设抛物线平移的距离为m ，得y ＝（x ﹣2）2﹣1﹣m ．∴D （2，﹣1﹣m ）．如图2，过点D 作直线EF ∥x 轴，交y 轴于点E ，交PQ 延长线于点F ，∵∠OED ＝∠QFD ＝∠ODQ ＝90°， ∴∠EOD +∠ODE ＝90°，∠ODE +∠QDP ＝90°．∴∠EOD ＝∠QDF ．∴tan ∠EOD ＝tan ∠QDF ，∴＝．∴＝．解得m ＝．故抛物线平移的距离为．18．解：（1）当销售单价为70元时，每天的销售利润＝（70﹣50）×[50+5×（100﹣70）]＝4000元；（2）由题得 y ＝（x ﹣50）[50+5（100﹣x ）]＝﹣5x 2+800x ﹣27500（x ≥50）． ∵销售单价不得低于成本，∴50≤x ．且销量＞0，5（100﹣x ）+50≥0，解得x ≤110，∴50≤x ≤100．（3）∵该企业每天的总成本不超过7000元∴50×[50+5（100﹣x ）]≤7000（8分）解得x ≥82．由（2）可知 y ＝（x ﹣50）[50+5（100﹣x ）]＝﹣5x 2+800x ﹣27500∵抛物线的对称轴为x ＝80且a ＝﹣5＜0∴抛物线开口向下，在对称轴右侧，y 随x 增大而减小．∴当x ＝82时，y 有最大，最大值＝4480，即 销售单价为82元时，每天的销售利润最大，最大利润为4480元．19．解：（1）根据题意，得每天的销售量为（20+2x ）台．故答案为20+2x ．（2）根据题意，得y ＝（40﹣x ）（20+2x ）＝﹣2x 2+60x +800（0＜x ＜40）．（3）根据题意，得（40﹣x ）（20+2x ）＝1050x 2﹣30x +125＝0解得x 1＝5，x 2＝25．为了去库存，∴x ＝5应舍去．答：单价应降25元．（4）选择降价20元的方式．理由如下：当降价10元时，利润＝（40﹣10）（20+2×10）＝1200（元）当降价20元时，利润＝（40﹣20）（20+2×20）＝1200（元）当降价30元时，利润＝（40﹣30）（20+2×30）＝800（元）∵1200＝1200＞800，且要去库存，∴选择降价20元的方式．答：采取20元的降价方式．20．解：（1）∵抛物线y＝x2+bx+c经过点A、C，把点A（﹣1，0），C（0，﹣3）代入，得：，解得，∴抛物线的解析式为y＝x2﹣2x﹣3；（2）如图，作CH⊥EF于H，∵y＝x2﹣2x﹣3＝（x﹣1）2﹣4，∴抛物线的顶点坐标E（1，﹣4），设N的坐标为（1，n），﹣4≤n≤0∵∠MNC＝90°，∴∠CNH+∠MNF＝90°，又∵∠CNH+∠NCH＝90°，∴∠NCH＝∠MNF，又∵∠NHC＝∠MFN＝90°，∴Rt△NCH∽△MNF，∴，即解得：m＝n2+3n+1＝，∴当时，m最小值为；当n＝﹣4时，m有最大值，m的最大值＝16﹣12+1＝5．∴m的取值范围是．（3）设点P （x 1，y 1），Q （x 2，y 2），∵过点P 作x 轴平行线交抛物线于点H ，∴H （﹣x 1，y 1），∵y ＝kx +2，y ＝x 2，消去y 得，x 2﹣kx ﹣2＝0，x 1+x 2＝k ，x 1x 2＝﹣2，设直线HQ 表达式为y ＝ax +t ， 将点Q （x 2，y 2），H （﹣x 1，y 1）代入，得，∴y 2﹣y 1＝a （x 1+x 2），即k （x 2﹣x 1）＝ka ，∴a ＝x 2﹣x 1，∵＝（ x 2﹣x 1）x 2+t ， ∴t ＝﹣2，∴直线HQ 表达式为y ＝（ x 2﹣x 1）x ﹣2，∴当k 发生改变时，直线QH 过定点，定点坐标为（0，﹣2）．。