2.3高阶导数[14页]
2-3高阶导数
π
故 y
(n)
= (sin x ) = sin( x + n ⋅ ).
(n)
π
2
抽象复合函数的二阶导数
作业 习题2.3 习题 1.(7) 2.(3) 在[0, t]这段时间内 所走路程为S = S(t), 指出S''(t)的物理意义. 解: 我们知道, S'=V(t). 而S''=V'(t) 注意到, ∆V = V ( t +∆t)−V(t)表示在[t, t +∆t]这 段时间内速度V(t)的增量(改变量). 从而
∆V = a 表示在 ∆ t 这段时间内的平均加速 度 . ∆t ∆V lim 故 ∆t →0 ∆t = a (t ). 即, S'' = V'(t) = a(t)为物体
在时刻t的加速度.
例1.
设 y = x , n 为正整数 , 求 y
n
(n)
和y
( n +1)
.
解: y' = nxn–1, y'' = n(n–1)xn–2, y(3)= n(n–1)(n–2) xn–3, …,
几点说明 P37的例 的例6 的例
x − a = (x −a)(x + ax +....+ a )
n n
n−1
n−2
n−1
2.3 高阶导数
2.3.1 高阶导数的概念 2.3.2 二阶导数的意义
一般, 设y= f (x)的导数y' = f '(x)存在且仍
d2 y , y ′′或 f ′′( x ). 可导, 记f '(x)的导数为 2 dx d2 y 即, = y′′ = f ′′( x) = ( f ′( x))′, 称为f (x)的 2 dx
高阶导数PPT
y′ = f ′(x ) 仍然可导，则我们把 y′ = f ′(x ) 的导数叫做
d y y = f (x) 的二阶导数 y′′, f ′′( x)或 , 即 二阶导数，记作 函数 二阶导数 dx
2 2
d y d dy ′′ = ( y′)′, f ′′( x) = [ f ′( x)]′, y = dx dx dx
y′′ = cos( x + ) = sin( x + 2 ⋅ ), 2 2
π
π
y′′′ = cos( x + 2 ⋅ ) = sin( x + 3 ⋅ ), 2 2 一般地，可得 ( sin x ) 类似地，可得 ( cos x )
湖 南 对
Foreign
π
π
(n)
= sin( x + n ⋅ ) 2 = cos( x + n ⋅ ). 2
L2′ (1) > 0,
L2′′ (1) > 0 ，所以利润的增长率在加速 所以利润的增长率在加速.
结论：由于建设周期至少要3 结论：由于建设周期至少要3年，因此该公司应选择 第二个模型. 第二个模型
湖 南 对
Foreign
外
经
济
贸
易
&
职
业
Trade
学
院
Hunan
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高等数学-§2.3 高阶导数
n
其中公式(2)称为莱布尼茨(Leibniz)公式.
高等数学 第2章 导数与微分
2.3 高阶导数
例2.3.7
y sin x cos x
4 4
2 2 2 2
, 求
y
n
.
解 将 y 变形得
y sin x cos x
1 cos 4 x 3 1 1 cos 4 x 4 4 4
2 2x 2 2 x x2 1 x 2x x2
y
y
2 1 x 2 x x 1 x
2
2x x2
2x x
2
2
2 x x 1 x 2x x
2
2 2x 2 2x x
2
高等数学 第2章 导数与微分
x
n
k
k n
高等数学 第2章 导数与微分
2.3 高阶导数
如果函数 u u x 和 v v x 在点 x 处具有 n 阶导数, 那么
u x v x 和 u x v x 在点 x 处也都具有
n 阶导数（ , 是常数）, 且
n
n 1 ! 1 n 1 x
n 1
通常规定 0! 1 , 因此这个公式当 n 1 时也成立.
高等数学 第2章 导数与微分
2.3 高阶导数
例2.3.6
解
求
yx
1
(
是任意常数)的 n 阶导数.
y 1 x 2
,
y x
y sin x cos( x ) sin( x 2 ) 2 2
D2_3高阶导数
一般地 , 类似可证:
(sin x )
(n)
= sin( x + n ⋅ π ) 2
) (cos x) ( n ) = cos( x + n ⋅ π 2
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(n) ax ( a , b 为常数 ) , 求 y . y = e sin bx 例5 . 设 解: y′ = a e a x sin bx + b e a x cos bx = e a x (a sin bx + b cos b x )
规律
(uv)′ = u ′v + uv ′
(uv)′′= (u ′v + uv′)′ = u ′′v + 2 u ′v′ + uv′′
(uv )′′′ = u ′′′v + 3u ′′v′ + 3u ′v′′ + uv′′′
用数学归纳法可证
n k ( n −k ) ( k ) (uv )( n ) = ∑ Cn u v k =0
由 y (0) = 0 , 得 y ′′(0) = 0 , y ( 4) (0) = 0 , ⋯, y ( 2 m ) (0) = 0 由 y ′(0) = 1, 得 y ( 2 m +1) (0) = (−1) m (2m) ! y ′(0) 即 y
(n)
)= )m y (0) , − 2m ( 2m n− =1 2 ⎧ (00 ( m = 0 , 1 , 2 , ⋯ ) (0) = ⎨ m m, n = 2m + 1 ( − 1 ) ( 2 m ) ! = ⋯ = ( − 1 (2m) ! y′(0) ⎩
(n)
y (n) = a n e ax
对数求导法导数基本公式高阶导数
两 边 同 时 对 x求 导 ， 可 得
1 11 3 5 1 y y 3 x 3x 1 5 x 3 2 x
即
1 x(3x 1) y 3 3 (5 x 3)(2 x)
1 3 5 1 x 3x 1 5 x 3 2 x
解 两边取对数，得 lny sinx ln cosx 两边同时对 x求导，可得 1 sin x y cos x ln cos x ( sin x) y cos x
2 sin x s inx 即 y (cosx) (cos x ln cos x ) cos x
EX 2 8 . 利用对数求 导法求函数 的导数
f (x) 2ln x 3
2 f ( x ) x
(2) 1 f
高阶导数求法举例
例3 求下列函数的n阶导数 .
(1) y 5
解
x
x y 5 ln 5
y 5 (ln 5)
----------
x
2
y ( n ) 5x (ln 5) n
高阶导数求法举例
f ( x) u( x)
v( x)
v( x)u ( x) [v( x) ln u( x) ] u ( x)
课堂练习
Ex 2 8 (6)
课堂练习解答：
Ex 2 （ 8 6） 两边取对数，有 lny lnx ln sinx 两边同时对 x求导 y 1 ln x cos x ln sin x y x sin x 1 ln x 1 y (sin x) ( ln sin x cos x ln x) x sin x ln x 1 (sin x) ( ln sin x cot x ln x) x
求高阶导数的四种方法
求高阶导数的四种方法
求高阶导数的四种方法包括：直接求导法、公式法、递推法和对数法。
1. 直接求导法：直接对原函数反复求导即可得到高阶导数，例如对于函数f(x)，求出其一阶导数f'(x)，再对f'(x)求导得到二阶导数f''(x)，以此类推求出任意阶导数。
2. 公式法：对于一些特定函数，可以通过已知的导数公式来求出高阶导数。
例如对于幂函数y=x^n，其n阶导数可表示为y^(n)(x)=n!(x)^(n)，其中n!表示n的阶乘。
3. 递推法：将已知的低阶导数与导数的定义结合，可以通过递推的方法求出任意高阶导数。
例如对于函数f(x)，已知它的0阶导数f(x)，1阶导数f'(x)，可以利用导数的定义f^(n)(x)=lim(h->0)[f^(n-1)(x+h)-f^(n-1)(x)]/h，来递推求出任意阶导数f^(n)(x)。
4. 对数法：对于一些复杂函数，可以通过对数函数的导数性质来求出其高阶导数。
例如对于函数f(x)=ln(x)，利用对数函数的导数性质可知f^(n)(x)=(-1)^(n-1)(n-1)!/x^n。
2-3高阶导数
2
− ax
∴y
(n)
= (−a ) e
n
− ax
d y 例、y = xe , 求 : n dx −x 解：y ' = e (1 − x) = ( −1)e − x ( x − 1)
−x
y '' = (−1) e ( x − 2)
n
2
−x
y ''' = (−1)3 e − x ( x − 3)
d y n −x ∴ n = (−1) e ( x − n) dx
3 3
lijuan
( −1) ⋅ a ⋅ 2 ⋅ 3 y (n) y ''' = ,... 4 ( ax + b) (100) 3、y = x( x − 1)( x − 2)...( x − 99), 求f '(0), f ( x). 解：(1)y = x ⋅ [( x − 1)( x − 2)...( x − 99)] y ' = [( x − 1)( x − 2)...( x − 99)] + x[( x − 1)( x − 2)...( x − 99)]'
( n) ( n −1)
n k ... + uv ( n ) = ∑ Cn u ( n− k ) v ( k ) k =0
0 1 2 n = Cn u ( n ) v + Cn u ( n −1) v '+ Cn u ( n −2) v ''+ ... + Cn uv ( n )
9
例、设f ( x )任意次可导，且对∀x1，x2，恒有：
x − x0 f − '( x0 ) = lim− x → x0 x − x0
2.3高阶导数
四则运算,变量代换等方法,求出 n阶导数.
见例8 - 例 9.
例1 设 y f ( x) arctan x, 求 f '''(0).
解
y
1
1 x
2
,
y
1
1 x
2
2x (1 x2 )2
,
y
2x (1 x2 )2
2(3x2 1) (1 x2 )3
.
一般地, f ( x)的 n 1阶导数的导数称为 f ( x)的n
阶导数,记为
高阶导数的定义
一般地, f ( x)的 n 1阶导数的导数称为 f ( x)的n
阶导数,记为
f
(n) ( x),
y(n) ,
dny dx n
或
d
n f (x dx n
)
.
注: 二阶和二阶以上的导数统称为高阶导数.
相应地, f ( x)称为零阶导数; f ( x) 称为一阶导数.
三、高阶导数
问题 变速直线运动的加速度.
设 s f (t),则瞬时速度为v(t ) f (t )
加速度 是速度v 对时间t的变化率
(t) v(t) [ f (t)].
定义 如果函数 f ( x)的导数 f ( x)在点 x处可导,
即
(
f ( x))
lim
x0
f ( x x) x
f ( x)
y '' (axa1 )' a(a 1)xa2 , y''' (a(a 1)xa2 )' a(a 1)(a 2)xa3,
y(n) a(a 1) (a n 1)xan(n 1), 若 a 为自然数 n, 则
常见高阶求导公式
常见高阶求导公式高阶求导是微积分中的一个重要概念，它用于求解函数的多次导数。
在实际问题中，高阶求导常常用于解决曲线的变化趋势、极值点和拐点等问题。
本文将介绍一些常见的高阶求导公式，并通过实例说明其应用。
一、一阶导数公式一阶导数是函数变化率的度量，它描述了函数在某一点上的斜率。
常见的一阶导数公式有：1.1 常数函数的导数公式对于常数函数 f(x) = C，其中 C 为常数，其导数为 f'(x) = 0。
1.2 幂函数的导数公式对于幂函数 f(x) = x^n，其中 n 为常数，其导数为 f'(x) = nx^(n-1)。
1.3 指数函数的导数公式对于指数函数 f(x) = a^x，其中 a 为常数且 a>0，其导数为 f'(x) = a^x * ln(a)。
1.4 对数函数的导数公式对于对数函数 f(x) = log_a(x)，其中 a 为常数且 a>0，其导数为f'(x) = 1 / (x * ln(a))。
二、二阶导数公式二阶导数是函数变化率的变化率，它描述了函数在某一点上的曲率。
常见的二阶导数公式有：2.1 幂函数的二阶导数公式对于幂函数 f(x) = x^n，其中 n 为常数，其二阶导数为 f''(x) = n(n-1)x^(n-2)。
2.2 指数函数的二阶导数公式对于指数函数 f(x) = a^x，其中 a 为常数且 a>0，其二阶导数为f''(x) = a^x * ln^2(a)。
2.3 对数函数的二阶导数公式对于自然对数函数 f(x) = ln(x)，其二阶导数为 f''(x) = -1 / x^2。
三、高阶导数公式高阶导数是函数变化率的变化率的变化率，它描述了函数在某一点上的曲率的变化率。
常见的高阶导数公式有：3.1 幂函数的高阶导数公式对于幂函数 f(x) = x^n，其中 n 为常数，其 k 阶导数为 f^(k)(x) = n(n-1)(n-2)...(n-k+1)x^(n-k)。
高阶导数
高阶导数一、高阶导数的定义：定义 若函数)(x f 的导函数)('x f 在点0x 可导，则称函数)(x f 在点0x 二阶可导，并称)('x f 在点0x 的导数为)(x f 在点0x 的二阶导数，记作)(''0x f ，22x x dxy d =，…，即：.)()(lim)()(lim)(00''0'0'220''0x x x f x f xx f x x f dxdy x f x x x x x --=∆-∆+==→→∆=一般的，若函数)(x f 的1-n 阶导函数)()1(x f n -在点0x 可导，则称函数)(x f 在点0x n 阶可导，并称)()1(x fn -在点0x 的导数为)(x f 在点0x 的n 阶导数，记作)(0)(x fn ，x x nndxy d =，…，即：.)()(lim)()(lim)(00)1()1(0)1(0)'1(00)(0x x x fx fxx fx x fdxdy x fn n x x n n x x x nn n --=∆-∆+==--→--→∆=二阶及二阶以上的导数称为高阶导数，以前介绍的导数也可称作一阶导数；若函数)(x f 在区间I 上每一点都可导，即I x ∈∀0，有)(x f 在点0x 的唯一n 阶导数与其对应，这样建立了一个函数，称为)(x f 在I 上的n 阶导函数，简称为)(x f 在I 上的n 阶导数，记作： ,),()(nn n dxdy x f 。
二、高阶导数的计算：函数n 阶导数的计算一般思路就是按照定义，连续利用一阶导数的求导公式及求导法则n 次即可。
除此之外我们再介绍两个计算函数n 阶导数的计算公式。
1．)()()(][n n n vuv u ±=±。
2．设uv y =，则'''uv v u y +=；()'''''''''''2uv v u v u uv v u y ++=+=；()''''''''''''''''''''''332uv v u v u v u uv v u v u y +++=++=；依此类推，我们可由数学归纳法证得如下莱布尼茨公式（结果与二项式()nv u +展开式极为相似）：+++=--)2()2(2)1()1(1)0()()()(vuC vuC vuuv n n n n n n )()()1()1(1)()(n o n n n k k n k n vuvuC vuC ++++---∑=-=NK k k n knvu C)()(，其中u u=)0(，v v=)0(。
高数2-3高阶导数
u ( k ) 2 k e 2 x ( k 1 , 2 ,, 20 ) v 2 x , v 2 ,
v ( k ) 0 (k 3 ,, 20)
代入莱布尼兹公式 , 得
20 19 18 2 x x 20 2 e 2 x 2 e 2 2!
2
y
( 20)
用数学归纳法可证莱布尼兹公式成立 .
(uv) u v uv (uv) (u v uv) u v 2 uv uv (uv) uv 3uv 3uv uv
假设n k时成立，即(uv)
(k ) k
C u
高 等 数 学
Higher mathematics
3. 试从
导出
d 2 x d dx d 1 d x 解： 2 d y d y d x y d y dy
1 y
d3 x 同样可求 3 dy
高 等 数 学
Higher mathematics
2e x sin x 0
高 等 数 学
Higher mathematics
(n) f (0) 存在的最高 求使 例7. 设 f ( x) 3x x x , 2 阶数 3 4x , x 0 f ( x) 3 分析: 2x , x 0 2 x3 0 2 (0) lim f 0 12 x , x0 x x 0 f ( x) 6 x2 , x 0 4 x3 0 (0) lim f 0 x x 0 6x2 (0) lim 24 x , x 0 又 f 0 f ( x) x 0 x 12 x , x 0 12 x 2 (0) lim 0 f x x 0 (0) 24 , f (0) 不存在 . (0) 12 , f 但是 f
D2_3高阶导数
k!
莱布尼茨(Leibniz) 公式
规律 目录 上页 下页 返回 结束
例6.
求
解: 设 u e2x , v x2 ,则
u(k) 2k e2x ( k 1 , 2 , , 20 ) v 2x , v 2 ,
v(k) 0 (k 3 , , 20)
代入莱布尼茨公式 , 得
y(20) 220 e2x x2 20 219 e2x 2x 20 19 218 e2x 2
16
各x项2 均3含x 因2 子 (x(x2–)(2x ) 1)
n! (x 1)n cos π x2 L
16
(2) 已知 f (x) 任意阶可导, 且 f (x) [ f (x)]2 , 则当
n 2 时 f (n) (x) n ! [ f (x)]n1
提示:
f (x) 2 f (x) f (x) 2![ f (x)]3
1
(x 2)(x 1) x 2
B (x 1) Байду номын сангаас
1
1
(x 2)(x 1) x 1
y 1 1
x 2 x 1
y(n)
(1)n n!
( x
1 2)n1
(x
1
1)
n1
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(4) y sin6 x cos 6 x
解:
sin4 x sin2 x cos 2 x cos 4 x
第三节 高阶导数
第二章
一、高阶导数的概念 二、高阶导数的运算法则
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一、高阶导数的概念
引例：变速直线运动
速度
即 v s
加速度
即
a (s)
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高等数学PPT课件：高阶导数
y(n) ( 1) ( n 1)x n
(n 1)
若 为自然数n,
y(n) ( xn )(n) n!, y(n1) (n!) 0.
5
高阶导数
例 设 y e x , 求y(n). 解 y e x , y e x ,
y e x , , (e x )(n) e x .
例 设 y ln(1 x)( x 1), 求y(n).
解答 g( x) 可导
f ( x) 2( x a)g( x) ( x a)2 g( x)
g( x) 不一定存在, 求 f (a) 用定义
f (a)
lim
f ( x)
f (a) 0
xa x a
lim f ( x) xa x a
lim[2g( x) ( x a)g( x)] 2g(a)
(2) (sin kx)(n) k n sin( kx n ).
2
(3) ( x )(n) ( 1) ( n 1)x n.
(4)
1 x
(n)
(1)n
n! xn1
.
(5) (ln x)(n) (1)n1 (nxn1)!.
9
高阶导数
例 y sin4 x cos4 x, 求y(n).
2
22
2
y cos( x 2 ) sin( x 3 ),
2
2
y(n) sin( x n ).
2
(sin x)(n) sin( x n ), (cos x)(n) cos( x n ).
2
2
7
高阶导数
例
y
x2
1 3x
, 2
求y( n) .
解
y
x2
1 3x
常用高阶导数公式
常用高阶导数公式1. 常数函数的高阶导数：任何常数函数的高阶导数都是0。
例如，f(x) = c（c为常数），则 f'(x) = f''(x) = f'''(x) = = 0。
2. 幂函数的高阶导数：对于幂函数 f(x) = x^n，其n阶导数为f^n(x) = n! / (n k)! x^(n k)，其中k为导数的阶数，n!表示n的阶乘。
3. 指数函数的高阶导数：对于指数函数 f(x) = a^x，其中a为常数，其n阶导数为 f^n(x) = a^x ln(a)^n。
4. 对数函数的高阶导数：对于对数函数 f(x) = ln(x)，其n阶导数为 f^n(x) = (1)^(n1) (n1)! / x^n。
5. 三角函数的高阶导数：对于三角函数 f(x) = sin(x) 或 f(x) = cos(x)，其n阶导数可以表示为 f^n(x) = (1)^(n/2) sin(x +nπ/2) 或f^n(x) = (1)^(n/2) cos(x + nπ/2)。
这些常用的高阶导数公式可以帮助我们在求解函数的高阶导数时更加简便和快速。
在实际应用中，这些公式经常被用于求解物理、工程、经济等领域中的问题。
掌握这些高阶导数公式对于深入理解和应用微积分知识至关重要。
常用高阶导数公式6. 反三角函数的高阶导数：对于反三角函数 f(x) = arcsin(x)或 f(x) = arccos(x)，其n阶导数可以表示为 f^n(x) = (1)^(n1) (n1)! / (1 x^2)^(n/2)。
7. 指数函数的复合函数的高阶导数：对于指数函数的复合函数f(x) = a^(g(x))，其中a为常数，g(x)为可导函数，其n阶导数可以表示为 f^n(x) = a^(g(x)) (ln(a))^n g'(x) g''(x) g^n(x)。
8. 对数函数的复合函数的高阶导数：对于对数函数的复合函数f(x) = ln(g(x))，其中g(x)为可导函数，其n阶导数可以表示为f^n(x) = (1)^(n1) (n1)! / g(x)^n g'(x) g''(x) g^n(x)。
2.5高阶导数(1-14)
x y''( x) 2(arctan x 1 x2 )
例 y f (x2 ) , 求 y''( x) , y'''( x)
解 y'( x) f '( x2 ) 2x
y''( x) 2( f '( x2 ) x f ''( x2 ) 2x) 2 f '(x2) 4x2 f ''(x2 )
解 采用找规律的方法求解问题
(1) y e x , y' e x , y" e x y(n) e x
即
(e x )(n) e x
(1)
(2) y' sinx cos(x ) y" cosx cos(x 2 )
2
2
y"' sinx
cos(x 3 )
y(n) cos(x n )
在上式中令常数 (-b) = b , 得
所以 , 有
a
1 bx
(n)
(1)n bnn! (a bx)n1
y(n) ( x)
1 2a
(a
bnn! bx)n1
(1)n bnn! (a bx)n1
例 设 f ( x) ln(1 x) , 求 f (n)(x)
解
f '(x) 1 , 1 x
表示的
x ln cost dy t cost dx
d2y dx2
d dx
dy dx
d dy dt dx
dx
dt
相当于对导函数的参数 方程再用一次参数方程 求导公式
(cost t sint) 1 ( sint )
求高阶导数常见方法
求高阶导数常见方法高阶导数是微积分中的重要概念，它们在求解数学和物理问题时起到关键作用。
在这篇文章中，将介绍几种常见的方法来计算高阶导数。
一、直接计算法直接计算法是最常见的一种计算高阶导数的方法，特别适合于简单的函数。
以一阶导数为例，假设函数f(x)在一些区间上连续并可导，我们可以使用定义法来计算它的导数：f'(x) = lim(h->0) [f(x+h) - f(x)] / h然后，我们可以对f'(x)再次应用定义法来计算它的导数。
这种方法可以一直进行下去，直到计算出所需的高阶导数。
二、Leibniz法则Leibniz法则可以简化计算高阶导数的过程，它是基于乘法法则和链式法则的。
Leibniz法则可以表示为：d^n(uv)/(dx^n) = ΣC(n,k) * (d^k u / dx^k) * (d^(n-k) v / dx^(n-k))其中，C(n,k)表示组合数。
这个公式可以递归应用，从而计算出所需的高阶导数。
三、泰勒级数泰勒级数是一种重要的函数展开方法，它可以将一个光滑的函数表示为无穷级数的形式。
泰勒级数的常见形式为：f(x)=f(a)+f'(a)(x-a)+f''(a)(x-a)^2/2!+f'''(a)(x-a)^3/3!+...其中，f^n(a)表示函数f(x)的n阶导数在点a处的值。
根据泰勒级数的定义，我们可以通过计算函数在其中一点处的各阶导数来逼近函数的值。
神奇的是，通过逐项展开泰勒级数，我们可以得到函数在任意点处的高阶导数的表达式。
这种方法非常适合于计算高阶导数。
四、Laplace变换Laplace变换是一种常见的积分变换方法，它可以将一个函数从时域变换到频域。
在Laplace变换的理论中，高阶导数的计算可以通过应用不同的导数性质来实现。
具体来说，Laplace变换的导数性质可以表示为：L{d^n f(t) / dt^n} = s^n F(s) - s^(n-1) f(0) - s^(n-2) f'(0) - ... - f^(n-1)(0)其中，F(s)表示函数f(t)的Laplace变换，s表示复变量。
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例 4 求 y ex 的 n 阶导数.
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游晓 黔制 作 2018 年8月
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例 5 求 y sin x 的 n 阶导数.
解 y cos x sin( x )
2
y
cos( x
)
sin(
x
)
sin(
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一般, n
1阶导数的导数称为 n
阶导数)
,
dny dxn
或
d
n f (x) dxn
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例 1 设 y a x2 b x c ，求 y (4) .
解 y 2ax b ， y 2a ， y 0 ， y(4) 0 .
例 2 设 y et sin t ，求 y .
;
（2）设 y x ln x ，则 y(10)
.
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小结
作业: 习题 2.3 1(双), 2,4(双), 5, 6
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练习 设 y x2 ln x,求 y(2).
解 y (et sin t) et sin t et cos t
y ( y) (et sin t et cos t) (et sin t) (et cos t)
(et sin t et cos t) (et cos t et sin t) 2et cos t
x
2
)
2
22
2
y
cos(
x
2
2
)
sin(
x
3
) 2
一般地, 可得 类似可得
(sin x)(n) sin( x n )
2
(cos x)(n) cos( x n )
2
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例 6 求 y ln(1 x) 的 n 阶导数.
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莱布尼兹(1646–1716)
德国数学家,哲学家.他和牛顿同为 微积分的创始人, 他在《学艺》杂志 上发表的几篇有关微积分学的论文中, 有的早于牛顿 , 所用微积分符号也远远优于牛顿. 他还设计了作乘法的计算机, 系统地阐述二进制计 数法, 并把它与中国的八卦联系起来 .
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x2 1
x2 1
2 x 1 x 1
所以
y (n) [1 3 ( 1 1 )](n) 2 x 1 x 1
0 3 [( 1 )(n) 1 )](n) 2 x 1 x 1
3 [ (1)n n! (1)n n! ] 3 (1)n n![ 1 1 ]
2 (x 1)n1 (x 1)n1 2
C
n n
uv
(
n)
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n
C
k n
u
( nk
)
v
(
k
)
k 0
其中 u (0) u , v(0) v .
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(u·(vn))(n) ?
例8求
y
x2 x2
2 1
的 n 阶导数.
解 因为 y x 2 2 1 3 1 3 ( 1 1 )
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例 3 验证 y x 3 满足关系式： 2 y2 ( y 1) y . x4
解 将函数变形为 y x 3 1 1
x4
x4
则
y
(x
1 4)2
,
y
(
1 2 x 4)3
于是
2 y2 ( y 1) y 2 1 1 2 0 (x 4)4 x 4 (x 4)3
d 2y f (u) 存在，求 d x 2 .
解 dy [ f (ex )] f (ex ) (ex ) ex f (ex )
dx
d 2y dx2
dy [ex f (ex )] dx
ex f (ex ) e2x f (ex )
练习——填空题：
（1）设 f (x) e x sin x ，则 f (0)
y , f (x) , d 2 y 或 d 2 f (x) , 即
dx2
dx2
y dy lim f (x x) f (x)
dx x0
x
类似地，二阶导数的导数称为三阶导数,记作
二阶及二阶以上的 导数称为高阶导数
d 3 y d 3 f (x) y , f (x) , dx3 或 dx3
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2.3 高阶导数
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主要内容
高阶导数的定义及求法 高阶导数的运算法则
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2.3 高阶导数
一、高阶导数的定义及求法
定义 2.2 若函数 y f (x) 的导函数 f (x) 在 x0 点可导，则称 f (x) 在点 x0 处的导数
解 y 1 1 x
y
(1
1 x)2
y
(1
2! x
)
3
y(4)
3! (1 x)4
y(n) (1)n1 (n 1)! (1 x)n
(n 1, 0! 1)
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例 7 求 y x ( 为任意常数)的 n 阶导数.
解 y x1 y ( x1 ) ( 1) x2
y (( 1)x2 ) ( 1)( 2)x3
y(n) ( 1) ( n 1)xn (n 1)
若 为自然数n,则 y(n) ( x n )(n) n!,
y(n1) (n!) 0.
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2.3 高阶导数
二、高阶导数的运算法则
如果函数 u u(x) 和 v v(x) 都在点 x 处具有 n 阶导数,则
(x 1)n1 (x 1)n1
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例9
设y
x
2e 3x ，求 y
(20)
.
解 设 u e3x , v x2
则 u (k) 3k e3x ( k 1,2,,20 ) v 2x , v 2， v(k) 0 ( k 3,4,,20 ) . 于是，运用 Leibinz 公式，有
为函数 y f (x) 在点 x0 处的二阶导数，记为 f (x0 ) ，即
f
(
x0
)
lim
x x0
f (x) f (x0 ) x x0
此时，也称函数 y f (x) 在点 x0 处二阶可导.
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一般,如果函数 y f (x) 的导函数 y f (x) 仍是可导的, 则称 f (x) 的导数 ( f (x)) 为 f (x) 的二阶导数,记作
显然 u v , Cu (其中 C 为常数) 也在点 x 处具有 n 阶导数,且有线性性质:
(u v)(n) (u)(n) (v)(n) , (Cu)(n) C(u)(n) .
莱布尼茨(Leibniz)公式:
(uv) ( n )
u (n)v
Cn1u (n1)v Cn2u (n2)v Cnn1uv(n1)
y(20) ( x2e3x )(20)
320 e3x x2 20 319 e3x 2x 20 19 318 e3x 2 2!
318 e3x (9x2 120x 380)
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例 10
设y
f (ex ) ,且