【高考模拟】河南省2016届高三普通高等学校招生全国统一考试押题卷(二)理数试题 Word版(含答案)

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2016届河南省郑州市高三第二次模拟考试数学(理)试题(解析版)

2016届河南省郑州市高三第二次模拟考试数学（理）试题一、选择题1．已知集合{}4-==x y x A ，{}0121≤-≤-=x x B ，则=B A C U （） A ．),4(+∞ B ．]21,0[ C ．]4,21( D ．]4,1( 【答案】B【解析】试题分析：所以。

【考点】本题主要考查集合的关系．2．命题“00≤∃x ，使得020≥x ”的否定是（）A ．0,02<≤∀x xB ．0,02≥≤∀x xC ．00>∃x ，020>xD ．00<∃x ，020≤x【答案】A.【解析】试题分析：根据特称命题的否定是全称命题可知选A ，故选A ．【考点】本题主要考查特称命题的否定． 3．定义运算bc ad d c b a -=,,，则符合条件02,1,=-+ii iz 的复数z 对应的点在（） A ．第一象限 B ．第二象限 C ．第三象限 D ．第四象限【答案】B.【解析】试题分析：由题意得，(1)12[(1)]222i i iz i i i zi -+--+⇒==--，∴1122z i =-+，故在第二象限，故选B ．【考点】本题主要考查复数的计算与复平面的概念．4．某程序框图如图所示，则该程序运行后输出的值是（）A ．2014B ．2015C ．2016D ．2017 【答案】D.【解析】试题分析：分析程序框图可知，当i 为偶数时，2017S =，当i 为奇数时，2016S =，而程序在0i =时跳出循环，故输出2017S =，故选D ．【考点】本题主要考查程序框图．5．曲线3)(3+-=x x x f 在点P 处的切线平行于直线12-=x y ，则P 点的坐标为（） A ．)3,1( B ．)3,1(- C ．)3,1(和)3,1(- D ．)3,1(- 【答案】C.【解析】试题分析：2'()31f x x =-，令'()2f x =，23121x x -=⇒=或1-，∴(1,3)P 或(1,3)-，经检验，点(1,3)，(1,3)-均不在直线21y x =-上，故选C ．【考点】本题主要考查导数的运用．6．经过点)1,2(，且渐近线与圆1)2(22=-+y x 相切的双曲线的标准方程为（）A ．11131122=-y x B ．1222=-y x C ．11131122=-x y D ．13111122=-x y 【答案】A.【解析】试题分析：设双曲线的方程为221(0)mx ny mn +=<，其渐近线方程为y =， ∵渐近线方程与圆22(2)1x y +-=13m n =⇒=-①，又∵双曲线过点(2,1)，∴41m n +=②，联立①②，可得311111m n ⎧=⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩，∴双曲线的标准方程为22111113x y -=，故选A ．【考点】本题主要考查双曲线的标准方程与直线与圆的位置关系． 7．将函数)22sin()(π-=x x f 的图象向右平移4π个单位后得到函数)(x g ，则)(x g 具有性质（）A ．最大值为1，图象关于直线2π=x 对称B ．在)4,0(π上单调递减，为奇函数C ．在)8,83(ππ-上单调递增，为偶函数 D ．周期为π，图象关于点)0,83(π对称【答案】B.【解析】试题分析：由题意得，()sin[2()]sin(2)sin 242g x x x x πππ=--=-=-， A ：最大值为1正确，而()02g π=，不关于直线2x π=对称，故A 错误；B ：当(0,)4x π∈时，2(0,)2x π∈，满足单调递减，显然()g x 也是奇函数，故B 正确；C ：当3(,)88x ππ∈-时，32(,)44x ππ∈-，不满足单调递增，也不满足偶函数，故C 错误；D ：周期22T ππ==，3()8g π=，故不关于点3(,0)8π对称，故选B ．【考点】本题主要考查三角函数的图象变换与三角函数的性质．8．设数列{}n a 满足3,121==a a ，且11)1()1(2+-++-=n n n a n a n na ，则20a 的值是（） A ．514B ．524C ．534D ．544 【答案】D.【解析】试题分析：∵112(1)(1)n n n na n a n a -+=-++，∴数列{}n na 是以11a =为首项，2125a a -=为公差的等差数列，∴202024420151996455a a =+⋅=⇒==，故选D ．【考点】本题主要考查数列的通项公式．9．如图是正三棱锥ABC V -的正视图、侧视图和俯视图，则其侧视图的面积是（）A ．4B ．5C ．6D ．7 【答案】C.【解析】试题分析：由三视图可知，正三棱锥的侧棱长为4，底面边长为h ==162S =⨯=，故选C ．【考点】本题主要考查空间几何体的三视图．10．已知定义在R 上的奇函数)(x f y =的图象关于直线1=x 对称，当01<≤-x 时，)(log )(21x x f --=，则方程021)(=-x f 在)6,0(内的零点之和为（） A ．8 B ．10 C ．12 D ．16 【答案】C.【解析】试题分析：∵奇函数()f x 关于直线1x =对称，∴()(2)()f x f x f x =-=--，即()(2)(4)f x f x f x =-+=+，∴()f x 是周期函数，其周期4T =，又∵当[1,0)x ∈-时，12()log ()f x x =--，故()f x 在(0,6)上的函数图象如下图所示，∴可知方程1()02f x -=在(0,6)的根共有4个，其和为123421012x x x x +++=+=，故选C ．【考点】本题主要考查函数与方程．11．对]2,0[,∈∈∀n R α，向量)sin 3,cos 32(αα-+=n n 的长度不超过6的概率为（） A ．105 B ．1052 C ．1053 D ．552 【答案】C. 【解析】试题分析：||c ===，∴要使||6c ≤对任意R α∈都成立，6≤成立即可，即25936n n ++≤⇒≤ 又∵[0,2]n ∈，∴05n ≤≤，故所求概率为0520=-A ．【考点】本题主要考查平面向量的模长与几何概型．12．已知C B A ,,为ABC ∆的三个内角，向量m 满足26=，且)2c o s ,2s i n 2(CB C B -+=，若A 最大时，动点P成等差的最大值是（）A ．332 B ．322 C ．42 D ．423 【答案】A.【解析】试题分析：m ===， ∴222313cos2cos [0,1]cos 222424B C A A -=-∈⇒≤≤，又∵(0,)22A π∈，∴12cos 22262333A A A ππππ≤≤⇒≤≤⇒≤≤，故A 的最大值为23π，取到最大值时6B C π==，又∵||PB ，||BC ，||PC 成等差数列，∴2||||||BC PB PC =+ ，故P 点的轨迹是以B ，C 为焦点的椭圆，如下图所示建立平面直角坐标系，不妨设2AB AC ==，∴22||a BC a ==⇒=c =3b ，∴椭圆的标准方程是221129x y +=，∴||P A =4==≤，当且仅当3y =-时，等号成立，∴max ||()||PA BC ==A ．【考点】本题主要考查：1.三角恒等变换；2.椭圆的标准方程及其性质；3.函数最值．二、填空题13．已知{}n a 为等差数列，公差为1，且5a 是3a 与11a 的等比中项，n S 是{}n a 的前n 项和，则12S 的值为_____. 【答案】54.【解析】试题分析：由题意得，2253111111(4)(2)(10)1a a a a a a a =⇒+=++⇒=-，∴12121112(1)1542S ⋅=⋅-+⋅=，故填：54. 【考点】本题主要考查等差数列与等比数列的性质及其运算．14．已知正数y x ,满足0322=-+xy x ，则y x +2的最小值是_______. 【答案】3. 【解析】试题分析：由题意得，232x y x-=，∴223333122()3222x x x y x x x x x-++=+==+≥，当且仅当1x y ==时，等号成立，故填：3. 【考点】本题主要考查基本不等式求最值.15．已知y x ,满足⎪⎩⎪⎨⎧≤--≤+≥0242m y x y x x ，若目标函数y x z +=3的最大值为10，则z 的最小值为______. 【答案】5.【解析】试题分析：如下图所示，画出不等式组所表示的区域，作直线l ：30x y +=，平移l ，从而可知取到最大值时，310341x y x x y y +==⎧⎧⇒⎨⎨+==⎩⎩，∴23105m m ⋅--=⇒=，∴当2x =，2251y =⋅-=-时，min 3215z =⋅-=，故填：5.【考点】本题主要考查线性规划．16．在正三棱锥ABC V -内，有一半球，其底面与正三棱锥的底面重合，且与正正三棱锥的三个侧面都相切，若半球的半径为2，则正三棱锥的体积最小时，其高等于______.【答案】【解析】试题分析：由题意，设侧棱长为a ，底面边长为b ，∴211132332V ABC V -==⨯⨯，化简可得4222363(48)b b a b -=-， ∴113232V ABCV -=⨯⨯==，令2480b t -=>，3(48)()t f t t+=，∴23223(48)(48)2(48)(24)'()t t t t t f t t t +-++-==，故可知min ()(24)f t f =，即当22482472b b -=⇒=时，三棱锥体积取到最小值，此时高422236363(48)b b a b -==-，h === 【考点】本题主要考查球的性质与导数的运用．17．如图，在梯形ABCD 中，CD AB ∥，1===CB DC AD ， 120=∠BCD ，四边形BFED 为梯形，平面⊥BFED 平面ABCD ，1=BF .（1）求证：⊥AD 平面BFED ；（2）求点P 在线段EF 上运动，设平面PAB 与平面ADE 所成锐二面角为θ，试求θ的最小值.【答案】（1）证明详见解析；（2）.【解析】试题分析：本题主要考查线面垂直的判定与性质、二面角的求解等基础知识，考查学生的分析问题解决问题的能力、空间想象能力、逻辑推理能力、计算能力. 第一问，在ABD ∆中，利用余弦定理可推出222AB AD BD =+，由勾股定理得AD BD ⊥，又由面面垂直的性质得DE DB ⊥，所以由线面垂直的判定定理得到结论；第二问，建立空间直角坐标系，先计算出平面PAB 和平面ADE 的法向量，再由夹角公式计算cos θ，最后利用配方法求最值. 试题解析：（1）在梯形中，∵∥，∴∴∴∴∵平面平面平面平面，∴∴又∴（2）由（1）可建立分别以直线为轴，轴，轴的，如图所示的空间直角坐标系，令（≤≤）,则∴设为平面的一个法向量，由得取则∵是平面的一个法向量,∴∵≤≤,∴当=时，有最大值．∴的最小值为【考点】本题主要考查：1.线面垂直的判定与性质；2.二面角的求解.三、解答题18．在A B C ∆中，角C B A ,,所对的边分别为c b a ,,，且满足)3s i n ()3s i n (22c o s 2c o s C C A C -+=-ππ.（1）求角A 的值；（2）若3=a 且a b ≥，求c b -2的取值范围.【答案】（1）；（2）.【解析】试题分析：本题主要考查正弦定理、余弦定理、三角恒等变换等基础知识，考查学生的分析问题解决问题的能力、转化能力、计算能力. 第一问，先利用倍角公式和两角和与差的正弦公式将已知变形，可化简出，即可求出角A 的大小；第二问，利用正弦定理将b 和c 转化成角，利用两角和的正弦公式化简表达式，再由角B 的范围求值域.试题解析：（1）由已知得，化简得，故．（2）由正弦定理，得，故因为，所以，，所以．【考点】本题主要考查：1.正余弦定理解三角形；2.三角恒等变换.19．为了解人们对于国家新颁布的“生育二胎放开”政策的热度，现在某市进行调查，（1）由以上统计数据填下面2乘2列联表，并问是否有的把握认为以岁为分（2）若对年龄在)45,35[),15,5[的的被调查人中各随机选取两人进行调查，记选中的4人不支持“生育二胎”人数为ξ，求随机变量ξ的分布列及数学期望. 参考数据：))()()(()(22d b c a d c b a bc ad n K ++++-=【答案】（1）没有把握；（2）分布列详见解析，45E ξ=. 【解析】试题分析：本题主要考查独立性检验、离散型随机变量的概率的分布列和数学期望等基础知识，考查学生的分析问题解决问题的能力、转化能力、计算能力.第一问，先根据题目中出现的数据填写列联表，再由2k 的公式计算，最后与表中的数据作比较判断出结论；第二问，先分析出ξ的所有可能取值，再分别计算出概率，列出分布列后，利用11n n E P P ξξξ=++ 计算数学期望. 试题解析：（Ⅰ）2乘2列联表＜所以没有99%的把握认为以45岁为分界点对“生育二胎放开”政策的支持度有差异．（Ⅱ）所有可能取值有0, 1,2,3,所以的分布列是所以的期望值是考点: 本题主要考查：1.独立性检验；2.离散型随机变量的概率分布及其期望. 20．已知曲线C 的方程是)0,0(122>>=+n m ny mx ，且曲线C 过点)33,66(),22,42(B A 两点，O 为坐标原点. （1）求曲线C 的方程；（2）设),(),,(2211y x N y x M 是曲线C 上两点，且ON OM ⊥，求证：直线MN 恒与一个定圆相切.【答案】（1）2241y x +=；（2）证明详见解析.【解析】试题分析：本题主要考查椭圆的标准方程及其性质、直线与椭圆的位置关系、椭圆中的定值问题等基础知识，考查学生的分析问题解决问题的能力、转化能力、计算能力. 第一问，由曲线C 过A,B 两点，知A,B 在曲线上，代入方程中，解方程组即可；第二问，数形结合得出点O 到直线MN 的距离为||||||OA OB d AB =，用坐标关系代换得到5d =，所以可得到直线恒与定圆相切.试题解析：（1）由题可得：解得所以曲线方程为．（2）由题得：原点到直线的距离由得：所以=所以直线恒与定圆相切。

2016年河南省普通高等学校招生全国统一考试猜题卷(二)理科综合

绝密★启用前普通高等学校招生全国统一考试猜题卷（二）理科综合能力测试本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分。

共300分。

注意事项：1．答题前，考生务必先将自己的姓名、准考证号填写在答题纸上，考生要认真核对答题纸上粘贴的条形码的“准考证号、姓名、考试科目”与考生本人准考证号、姓名是否一致。

2．第1卷每小题选出答案后，用2B铅笔把答题纸上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦净后，再选涂其他答案标号。

第Ⅱ卷用黑色墨水签字笔在答题纸上书写作答，在试题卷上作答，答案无效。

3．考试结束，监考员将试题卷、答题纸一并收回。

可能用到的相对原子质量：H 1 C 12 N 14 0 16 Na 23 S 32 Cl 35.5 Ca 40 Fe 56 Cu 64 Ga 70第Ⅰ卷（选择题共126分）一、选择题：本题共13小题，每小题6分。

在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1．生物膜将真核细胞分隔成不同的区室，使细胞内多种化学反应同时进行而互不干扰。

下列关于生物膜系统功能的叙述，正确的是······································································( ) A．溶酶体中能合成多种酸性水解酶B．细胞核是基因表达的主要场所C．叶绿体是细胞的“养料制造车间”D，中心体参与细胞的膜泡转运2．下列有关生物学实验的叙述，正确的是······················································( ) A．在模拟探究细胞大小与物质运输关系的实验中，琼脂块的体积是无关变量B．在探究淀粉酶对淀粉和蔗糖作用的专一性时，可用斐林试剂来检测实验结果C．在探究植物细胞的吸水和失水实验中，宜用洋葱鳞片叶的内表皮制作临时装片D．在低温诱导染色体数目加倍的实验中，应将制好的装片放人4℃条件下培养3．植物激素或类似物在农业生产上有许多应用，下列叙述错误的是································( ) A．一定浓度的生长素类似物可促进果实发育，防止落花落果B．在香蕉贮存过程中，可通入CO2排出乙烯来延长贮存时间C．细胞分裂素主要由植物幼嫩的芽、叶合成，能诱导芽的分化和延缓叶片衰老D．有些需经低温处理才能萌发的种子，用赤霉素处理后不需低温处理也可萌发4．下列有关人体内环境的叙述，正确的是······················································( ) A．内环境的主要成分是蛋白质和无机盐离子B．内环境稳态是指内环境的理化性质保持不变C．内环境渗透压的维持只与无机盐离子有关D．血浆中的各种激素参与内环境稳态的调节5．人类的白化病有皮白化和眼白化两种类型，二者都属于单基因隐性遗传病。

2016年河南省顶级名校高考数学二模试卷(理科)解析

2016年河南省顶级名校高考数学二模试卷（理科）一、选择题：本大题共12个小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．（5分）已知集合A={x|﹣2≤x≤3}，B={x|x2+2x﹣8＞0}，则A∪（）A．（2，3] B．（﹣∞，﹣4）∪[﹣2，+∞）C．[﹣2，2）D．（﹣∞，3]∪（4，+∞）2．（5分）已知（﹣1+3i）（2﹣i）=4+3i（其中i是虚数单位，是z的共轭复数），则z的虚部为（）A．1 B．﹣1 C．i D．﹣i3．（5分）已知sin（x+）=，则cosx+cos（﹣x）的值为（）A．﹣B．C．﹣D．4．（5分）某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积是（）A．2π﹣B．2π﹣C． D．2π﹣25．（5分）在如图所示的正方形中随机投掷10000 个点，则落入阴影部分（曲线C为正态分布N（﹣1，1）的密度曲线）的点的个数的估计值（）附“若X～N（μ，a2），则P（μ﹣σ＜X≤μ+σ）=0.6826．p（μ﹣2σ＜X≤μ+2σ）=0.9544．A．1193 B．1359 C．2718 D．34136．（5分）某学校10位同学组成的志愿者组织分别由李老师和张老师负责．每次献爱心活动均需该组织4位同学参加．假设李老师和张老师分别将各自活动通知的信息独立、随机地发给4位同学，且所发信息都能收到．则甲冋学收到李老师或张老师所发活动通知信息的概率为（）A．B．C．D．7．（5分）设实数x，y满足，则xy的最大值为（）A．B．C．12 D．148．（5分）已知椭圆+=1（a＞b＞0）的左焦点F（﹣c，0）关于直线bx+cy=0的对称点P在椭圆上，则椭圆的离心率是（）A．B．C．D．9．（5分）据气象部门预报，在距离某码头正西方向400km处的热带风暴中心正以20km/h的速度向东北方向移动，距风暴中心300km以内的地区为危险区，则该码头处于危险区内的时间为（）A．9h B．10h C．11h D．12h10．（5分）已知四面体ABCD的顶点A，B，C，D在空间直角坐标系中的坐标分别为，O为坐标原点，则在下列命题中，正确的为（）A．OD⊥平面ABC B．直线OB∥平面ACDC．直线AD与OB所成的角是45°D．二面角D﹣OB﹣A为45°11．（5分）已知双曲线C：﹣=1（a＞0，b＞0）的左、右焦点分别为F1，F2，O为坐标原点，P是双曲线在第一象限上的点，直线PO，PF2分别交双曲线C左、右支于另一点M，N，|PF1|=2|PF2|，且∠MF2N=60°，则双曲线C的离心率为（）A．B．C．D．12．（5分）设直线y=t与曲线C：y=x（x﹣3）2的三个交点分别为A（a，t），B（b，t），C（c，t），且a ＜b＜c．现给出如下结论：①abc的取值范围是（0，4）；②a2+b2+c2为定值；③c﹣a有最小值无最大值．其中正确结论的个数为（）A．0 B．1 C．2 D．3二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）13．（5分）已知向量=（1，2），=（1，0），=（3，4），若λ为实数，（λ+）⊥，则λ的值为．14．（5分）在（x+y）（x+1）4的展开式中x的奇数次幂项的系数之和为32，则y的值是．15．（5分）三棱锥P﹣ABC中，平面PAC⊥平面ABC，PA=PC=AB=2，AC=4，∠BAC=30°．若三棱锥P﹣ABC的四个顶点都在同一球面上，则该球的表面积为．16．（5分）已知a n=，删除数列{a n}中所有能被2整除的数，剩下的数从小到大排成数列{b n}，则b51=．三、解答题（本大题共5小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）17．（12分）在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，且a=2b，又sinA，sinC，sinB成等差数列．（Ⅰ）求cos（B+C）的值；（Ⅱ）若，求c的值．供的统计数据，完成下面的2×2 列联表，并判断是否有95%的把握认为“该城市本年的（Ⅱ）已知某企业每天的经济损失y（单位：元）与空气质量指数x 的关系式为y=试估计该企业一个月（按30 天计算）的经济损失的数学期望．参考公式：K2=AB=PC=1，AD=AS=2，且AS∥CP且AS⊥面ABCD，E为BC的中点．（1）求证：AE∥面SPD；（2）求二面角B﹣PS﹣D的余弦值．20．（12分）已知抛物线E：y2=2px（p＞0）上一点M （x0，4）到焦点F 的距离|MF|=x0．（Ⅰ）求E 的方程；（Ⅱ）过F 的直线l 与E 相交于A，B 两点，AB 的垂直平分线l′与E相交于C，D 两点，若=0，求直线l的方程．21．（12分）设函数f（x）=e x﹣a（x+1）（e是自然对数的底数，e=2.71828…）．（1）若f'（0）=0，求实数a的值，并求函数f（x）的单调区间；（2）设g（x）=f（x）+，且A（x1，g（x1）），B（x2，g（x2））（x1＜x2）是曲线y=g（x）上任意两点，若对任意的a≤﹣1，恒有g（x2）﹣g（x1）＞m（x2﹣x1）成立，求实数m的取值范围；（3）求证：1n+3n+…+（2n﹣1）n＜．请考生在第22、23、24三题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分.解答时请写清题号.[选修4-1：几何证明选讲]22．（10分）如图，△ABC是内接于⊙O，AB=AC，直线MN切⊙O于点C，弦BD∥MN，AC与BD 相交于点E．（1）求证：△ABE≌△ACD；（2）若AB=6，BC=4，求AE．[选修4-4：坐标系与参数方程]．23．将圆x2+y2=1上每一点的横坐标变为原来的2倍，纵坐标变为原来的3 倍，得曲线Γ．（Ⅰ）写出Γ的参数方程；（Ⅱ）设直线l：3x+2y﹣6=0与Γ 的交点为P1，P2，以坐标原点为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，求过线段P1P2的中点且与l 垂直的直线的极坐标方程．[选修4-5：不等式选讲]．24．已知函数f（x）=|x+a|+|x﹣2|（1）当a=﹣3时，求不等式f（x）≥3的解集；（2）若f（x）≤|x﹣4|的解集包含[1，2]，求a的取值范围．2016年河南省顶级名校高考数学二模试卷（理科）答案与解析一、选择题1．已知集合A={x|﹣2≤x≤3}，B={x|x2+2x﹣8＞0}，则A∪（）A．（2，3] B．（﹣∞，﹣4）∪[﹣2，+∞）C．[﹣2，2）D．（﹣∞，3]∪（4，+∞）解：由B中不等式变形得：（x﹣2）（x+4）＞0，解得：x＜﹣4或x＞2，即B=（﹣∞，﹣4）∪（2，+∞），∵A=[﹣2，3]，∴A∪B=（﹣∞，﹣4）∪[﹣2，+∞），选B2．已知（﹣1+3i）（2﹣i）=4+3i（其中i是虚数单位，是z的共轭复数），则z的虚部为（）A．1 B．﹣1 C．i D．﹣i解：（﹣1+3i）（2﹣i）=4+3i，可得==+1﹣3i==2﹣i，z=2+i，复数的虚部为：1．选A3．已知sin（x+）=，则cosx+cos（﹣x）的值为（）A．﹣B．C．﹣D．解：cosx+cos（﹣x）=cosx+cosx+sinx=cosx+sinx=sin（x+）=，选B4．某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积是（）A．2π﹣B．2π﹣C． D．2π﹣2解：由三视图可知该几何体为圆柱挖去一个四棱锥得到的，圆柱的底面半径为1，高为2，棱锥的底面为正方形，边长为，棱锥的高为1，∴几何体的体积V=π×12×2﹣=2π﹣．选A5．在如图所示的正方形中随机投掷10000 个点，则落入阴影部分（曲线C为正态分布N（﹣1，1）的密度曲线）的点的个数的估计值（）附“若X～N（μ，a2），则P（μ﹣σ＜X≤μ+σ）=0.6826．p（μ﹣2σ＜X≤μ+2σ）=0.9544．A．1193 B．1359 C．2718 D．3413解：正态分布的图象如下图：正态分布N（﹣1，1）则在（0，1）的概率如上图阴影部分，其概率为×[P（μ﹣2σ＜X≤μ+2σ）﹣P（μ﹣σ＜X≤μ+σ）]=×（0.9544﹣0.6826）=0.1359；即阴影部分的面积为0.1359；所以点落入图中阴影部分的概率为p==0.1359；投入10000个点，落入阴影部分的个数期望为10000×0.1359=1359．选B6．某学校10位同学组成的志愿者组织分别由李老师和张老师负责．每次献爱心活动均需该组织4位同学参加．假设李老师和张老师分别将各自活动通知的信息独立、随机地发给4位同学，且所发信息都能收到．则甲冋学收到李老师或张老师所发活动通知信息的概率为（）A．B．C．D．解：设A表示“甲同学收到李老师所发活动信息”，设B表示“甲同学收到张老师所发活动信息”，由题意P（A）==，P（B）=，∴甲冋学收到李老师或张老师所发活动通知信息的概率为：p（A+B）=P（A）+P（B）﹣P（A）P（B）==．选C7．设实数x，y满足，则xy的最大值为（）A．B．C．12 D．14解：法1：作出不等式组对应的平面区域如图由图象知y≤10﹣2x，则xy≤x（10﹣2x）=2x（5﹣x））≤2（）2=，当且仅当x=，y=5时，取等号，经检验（，5）在可行域内，故xy的最大值为，法2：设z=xy，则y=为双曲线，要使z=xy最大，则z＞0，∵由图象可知当z=xy与2x+y=10相切时，z=xy取得最大值，∴2x+=10即2x2﹣10x+z=0，由判别式△=100﹣8z=0，得x==，即xy的最大值为，选A8．已知椭圆+=1（a＞b＞0）的左焦点F（﹣c，0）关于直线bx+cy=0的对称点P在椭圆上，则椭圆的离心率是（）A．B．C．D．解：设P（m，n），由题意可得，∴m=，n=﹣，代入椭圆+=1，解得e2（4e4﹣4e2+1）+4e2=1，可得，4e6+e2﹣1=0．即4e6﹣2e4+2e4﹣e2+2e2﹣1=0，可得（2e2﹣1）（2e4+e2+1）=0解得e=．选D9．据气象部门预报，在距离某码头正西方向400km处的热带风暴中心正以20km/h的速度向东北方向移动，距风暴中心300km以内的地区为危险区，则该码头处于危险区内的时间为（）A．9h B．10h C．11h D．12h解：设码头为A，风暴中心开始位置为B，码头开始受风暴影响时风暴中心为C，码头结束风暴影响时风暴中心为D，则AB=400，AC=AD=300，∠B=45°，过A作AE⊥BD于E，则AE=ABsinB=200，∴CE==100，∴CD=2CE=200，∴码头受风暴影响时间为=10h．选B10．已知四面体ABCD的顶点A，B，C，D在空间直角坐标系中的坐标分别为，O为坐标原点，则在下列命题中，正确的为（）A．OD⊥平面ABC B．直线OB∥平面ACDC．直线AD与OB所成的角是45°D．二面角D﹣OB﹣A为45°解：在A中：∵四面体ABCD的顶点A，B，C，D在空间直角坐标系中的坐标分别为，O为坐标原点，∴=（﹣），=（﹣1，1，0），=（﹣1，0，1），=，==0，∴OD⊥AB，OD⊥AC，又AB∩AC=A，∴OD⊥平面ABC，故A正确；在B中：∵=（0，1，0），=（﹣1，0，1），=（﹣），设平面ACD的法向量=（x，y，z），∴，取x=1，得=（1，﹣5，1），∵=﹣5≠0，∴直线OB∥平面ACD不成立，故B错误；在C中：∵=（0，1，0），=（﹣），∴cos＜＞===﹣，∴直线AD与OB所成的角不是45°，故C错误；在D中：=（0，1，0），=（1，0，0），=（﹣），设平面AOB的法向量=（a，b，c），则，∴=（0，0，1），设平面AOD的法向量=（x1，y1，z1），则，取y1=1，得=（0，1，﹣1），cos＜＞===﹣，∴二面角D﹣OB﹣A为135°，故D错误．选A11．已知双曲线C：﹣=1（a＞0，b＞0）的左、右焦点分别为F1，F2，O为坐标原点，P是双曲线在第一象限上的点，直线PO，PF2分别交双曲线C左、右支于另一点M，N，|PF1|=2|PF2|，且∠MF2N=60°，则双曲线C的离心率为（）A．B．C．D．解：由题意，|PF1|=2|PF2|，|PF1|﹣|PF2|=2a，∴|PF1|=4a，|PF2|=2a，∵∠MF2N=60°，∴∠F1PF2=60°，由余弦定理可得4c2=16a2+4a2﹣2•4a•2a•cos60°，∴c=a，∴e==．选B12．设直线y=t与曲线C：y=x（x﹣3）2的三个交点分别为A（a，t），B（b，t），C（c，t），且a＜b＜c．现给出如下结论：①abc的取值范围是（0，4）；②a2+b2+c2为定值；③c﹣a有最小值无最大值．其中正确结论的个数为（）A．0 B．1 C．2 D．3解：令f（x）=x（x﹣3）2=x3﹣6x2+9x，f′（x）=3x2﹣12x+9，令f′（x）=0得x=1或x=3．当x＜1或x＞3时，f′（x）＞0，当1＜x＜3时，f′（x）＜0．∴f（x）在（﹣∞，1）上是增函数，在（1，3）上是减函数，在（3，+∞）上是增函数，当x=1时，f（x）取得极大值f（1）=4，当x=3时，f（x）取得极小值f（3）=0．作出函数f（x）的图象如图所示：∵直线y=t与曲线C：y=x（x﹣3）2有三个交点，∴0＜t＜4．令g（x）=x（x﹣3）2﹣t=x3﹣6x2+9x﹣t，则a，b，c是g（x）的三个实根．∴abc=t，a+b+c=6，ab+bc+ac=9，∴a2+b2+c2=（a+b+c）2﹣2（ab+bc+ac）=18．由函数图象可知f（x）在（0，1）上的变化率逐渐减小，在（3，4）上的变化率逐渐增大，∴c﹣a的值先增大后减小，故c﹣a存在最大值，不存在最小值．故①，②正确，选C二、填空题13．已知向量=（1，2），=（1，0），=（3，4），若λ为实数，（λ+）⊥，则λ的值为．解：由题意可得λ+=（1+λ，2λ）∵（λ+）⊥，∴（λ+）•=0，代入数据可得3（1+λ）+4×2λ=0，解之可得λ=﹣14．在（x+y）（x+1）4的展开式中x的奇数次幂项的系数之和为32，则y的值是．解：∵（x+y）（x+1）4 =（x+y）（x4+4x3+6x2+4x+1）=x5+4x4+6x3+4x2+x+y•x4+4yx3+6yx2+4yx+y，∴展开式中x的奇数次幂项的系数之和为1+6+1+4y+4y=32，∴y=3，15．三棱锥P﹣ABC中，平面PAC⊥平面ABC，PA=PC=AB=2，AC=4，∠BAC=30°．若三棱锥P ﹣ABC的四个顶点都在同一球面上，则该球的表面积为．解：∵AB=2，AC=4，∠BAC=30°，∴BC==2，∴三角形ABC的外接圆直径AC=4，设球心为O，AC的中点为D，球的半径为R，则PD=2∴R2=（2﹣R）2+4，则有该三棱锥的外接球的半径R=，∴该三棱锥的外接球的表面积为S=4πR2=4π×（）2=18π．16．已知a n=，删除数列{a n}中所有能被2整除的数，剩下的数从小到大排成数列{b n}，则b51=．解：∵a n=，∴，，=6，，，，，，…∵a n=，删除数列{a n}中所有能被2整除的数，剩下的数从小到大排成数列{b n}，∴b51=a101==5151．三、解答题17．在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，且a=2b，又sinA，sinC，sinB成等差数列．（Ⅰ）求cos（B+C）的值；（Ⅱ）若，求c的值．解：（Ⅰ）∵sinA，sinC，sinB成等差数列，∴sinA+sinB=2sinC，由正弦定理得a+b=2c，又a=2b，可得，∴，∵A+B+C=π，∴B+C=π﹣A，∴．（Ⅱ）由，得，∴，∴，解得．供的统计数据，完成下面的2×2 列联表，并判断是否有95%的把握认为“该城市本年的（Ⅱ）已知某企业每天的经济损失y（单位：元）与空气质量指数x 的关系式为y=试估计该企业一个月（按30 天计算）的经济损失的数学期望．参考公式：K2=K2=≈4.575．∵4.575＞3.841∴由95%的把握认为：“该城市本年的空气严重污染与供暖有关”（Ⅱ）任选一天，设该天的经济损失为X元，则：P（X=0）=P（0≤x≤100）=P（X=400）=P（100＜x≤300）=，P（X=2000）=P（x＞300）=∴E（X）=0×+400×+2000×=560．∴该企业一个月（按30 天计算）的经济损失的数学期望为30×E（X）=16800元．19．已知在多面体SP﹣ABCD中，底面ABCD为矩形，AB=PC=1，AD=AS=2，且AS∥CP且AS⊥面ABCD，E为BC的中点．（1）求证：AE∥面SPD；（2）求二面角B﹣PS﹣D的余弦值．证明：（1）取SD的中点F，连接PF，过F作FQ⊥面ABCD，交AD于Q，连接QC，∵AS⊥面ABCD，∴AS∥FQ，QF为SD的中点，∴Q为AD的中点，FQ=AS，PC=AS，∴FQ=PC，且FQ∥PC，∴CPFQ为平行四边形，∴PF∥CQ，又∵AQ∥∥EC，AQ=EC，∴四边形AECQ为平行四边形，∴AE∥CQ，又PF∥CQ，∴AE∥PF，∴PF⊂面SPD，AE⊄面SPD，∴AE∥面SPD．解：（2）分别以AB，AD，AS所在的直线为x，y，z轴，以A点为坐标原点建立空间直角坐标系A﹣xyz，则B（1，0，0），D（0，2，0），S（0，0，2），P（1，2，1），=（1，2，﹣1），=（1，0，﹣2），=（0，2，﹣2），设面BPS与面SPD的法向量分别为=（x，y，z），=（a，b，c），则，即，取z=2，得=（4，﹣1，2），，即，取c=1，得=（﹣1，1，1），两平面的法向量所成的角的余弦值为：cos＜＞===﹣．∵二面角B﹣PS﹣D为钝角，∴该二面角的余弦值为﹣．20．已知抛物线E：y2=2px（p＞0）上一点M （x0，4）到焦点F 的距离|MF|=x0．（Ⅰ）求E 的方程；（Ⅱ）过F 的直线l 与E 相交于A，B 两点，AB 的垂直平分线l′与E相交于C，D 两点，若=0，求直线l的方程．解：（Ⅰ）抛物线E：y2=2px（p＞0）上一点M（x0，4）到焦点F的距离|MF|=x0．可得x0+=x0，又16=2px0，解得p=2，则E的方程为y2=4x；（Ⅱ）由题意可得，直线l和坐标轴不垂直，y2=4x的焦点F（1，0），设l的方程为x=my+1（m≠0），代入抛物线方程可得y2﹣4my﹣4=0，显然判别式△=16m2+16＞0，y1+y2=4m，y1•y2=﹣4．可得AB的中点坐标为G（2m2+1，2m），弦长|AB|=•|y1﹣y2|=•=4（m2+1）．又直线l′的斜率为﹣m，可得直线l′的方程为x=﹣y+2m2+3．过F的直线l与C相交于A、B两点，若AB的垂直平分线l′与E相交于C，D两点，把l′的方程代入抛物线方程可得y2+y﹣4（2m2+3）=0，可得y3+y4=﹣，y3•y4=﹣4（2m2+3）．故线段CD的中点H的坐标为（+2m2+3，﹣），即有|CD|=•|y3﹣y4|=•=，由•=0，故ACBD四点共圆等价于|AH|=|BH|=|CD|，即AB2+GH2=CD2，可得4（m2+1）2 +（2m+）2+（+2）2=（）2，化简可得m2﹣1=0，即m=±1，可得直线l的方程为x﹣y﹣1=0，或x+y﹣1=0．21．设函数f（x）=e x﹣a（x+1）（e是自然对数的底数，e=2.71828…）．（1）若f'（0）=0，求实数a的值，并求函数f（x）的单调区间；（2）设g（x）=f（x）+，且A（x1，g（x1）），B（x2，g（x2））（x1＜x2）是曲线y=g（x）上任意两点，若对任意的a≤﹣1，恒有g（x2）﹣g（x1）＞m（x2﹣x1）成立，求实数m的取值范围；（3）求证：1n+3n+…+（2n﹣1）n＜．解：（1）∵f（x）=e x﹣a（x+1），∴f′（x）=e x﹣a，∵f′（0）=1﹣a=0，∴a=1，∴f′（x）=e x﹣1，由f′（x）=e x﹣1＞0，得x＞0；由f′（x）=e x﹣1＜0，得x＜0，∴函数f（x）的单调增区间为（0，+∞），单调减区间为（﹣∞，0）．（2）由＞m，（x1＜x2）变形得：g（x2）﹣mx2＞g（x1）﹣mx1，令函数F（x）=g（x）﹣mx，则F（x）在R上单调递增，∴F′（x）=g′（x）﹣m≥0，即m≤g′（x）在R上恒成立，，故m≤3．∴实数m的取值范围是（﹣∞，3]．证明：（3）由（1）知e x≥x+1，取（i=1，3，…，2n﹣1）得，，即，累加得：．∴．[选修4-1：几何证明选讲]22．如图，△ABC是内接于⊙O，AB=AC，直线MN切⊙O于点C，弦BD∥MN，AC与BD相交于点E．（1）求证：△ABE≌△ACD；（2）若AB=6，BC=4，求AE．（1）证明：在△ABE和△ACD中，∵AB=AC，∠ABE=∠ACD又∠BAE=∠EDC∵BD∥MN∴∠EDC=∠DCN∵直线是圆的切线，∴∠DCN=∠CAD∴∠BAE=∠CAD∴△ABE≌△ACD（2）解：∵∠EBC=∠BCM∠BCM=∠BDC∴∠EBC=∠BDC=∠BACBC=CD=4又∠BEC=∠BAC+∠ABE=∠EBC+∠ABE=∠ABC=∠ACB∴BC=BE=4设AE=x，易证△ABE∽△DEC∴∴DE=又AE•EC=BE•ED EC=6﹣x∴4×∴x=即要求的AE的长是[选修4-4：坐标系与参数方程]．23．将圆x2+y2=1上每一点的横坐标变为原来的2倍，纵坐标变为原来的3 倍，得曲线Γ．（Ⅰ）写出Γ的参数方程；（Ⅱ）设直线l：3x+2y﹣6=0与Γ 的交点为P1，P2，以坐标原点为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，求过线段P1P2的中点且与l 垂直的直线的极坐标方程．解：（1）设点（x1，y1）为圆上的任意一点，在已知变换下变为T上点（x，y），根据题意，得，即，根据，得，即曲线T的方程为，所以，曲线T的参数方程为（t为参数）．（2）联立方程组，解得或，不妨设点P1（2，0），P2（0，3），则线段的中点坐标为（1，），所求直线的斜率k=，于是所求直线方程为：y﹣=（x﹣1），即4x﹣6y+5=0，将此化为极坐标方程，得到4ρcosθ﹣6ρsinθ+5=0．[选修4-5：不等式选讲]．24．已知函数f（x）=|x+a|+|x﹣2|（1）当a=﹣3时，求不等式f（x）≥3的解集；（2）若f（x）≤|x﹣4|的解集包含[1，2]，求a的取值范围．解：（1）当a=﹣3时，f（x）≥3 即|x﹣3|+|x﹣2|≥3，即①，或②，或③．解①可得x≤1，解②可得x∈∅，解③可得x≥4．把①、②、③的解集取并集可得不等式的解集为{x|x≤1或x≥4}．（2）原命题即f（x）≤|x﹣4|在[1，2]上恒成立，等价于|x+a|+2﹣x≤4﹣x在[1，2]上恒成立，等价于|x+a|≤2，等价于﹣2≤x+a≤2，﹣2﹣x≤a≤2﹣x在[1，2]上恒成立．故当1≤x≤2时，﹣2﹣x的最大值为﹣2﹣1=﹣3，2﹣x的最小值为0，故a的取值范围为[﹣3，0]．。

2016届高考模拟押题(金卷二)数学(理)试卷

2016年普通高等学校招生全国统一考试模拟试理科数学(二)注意事项：1．本试卷分第I 卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分。

答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。

2．回答第I 卷时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。

如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号。

写在本试卷上无效。

3．回答第Ⅱ卷时，将答案写在答题卡上，写在本试卷上无效。

4．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。

第I 卷一．选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中。

只有一项是符合题目要求的。

(1)集合(){}{}2lg 8,21,M x y x xN x x n n Z ==-==-∈，则{}1,3,5,7= (A)()R C M N ⋂ (B) ()R C M N ⋂(C) ()()R R C M C N ⋂(D) ()R M C N ⋂ (2)若复数z 满足()()234334z i i i +-+=-，则z =(A) (B) (C) (D)(3)将函数()cos2f x x x -的图象向左平移6π个单位，所得的图象其中的一条对称轴方程为(A) 0x = (B) 6x π= (C) 4x π= (D) 3x π=(4)已知等差数列{},n n a S 为数列{}n a 的前n 项和，若()244n S an n a a R =++-∈，记数列1n S ⎧⎫⎨⎬⎩⎭的前n 项和为n T ，则10T = (A)18 (B)14 (C)940 (D)522(5)执行如图所示的程序框图，若输出的86s =，则判断框内的正整数n 的所有可能的值为(A)7(B)6，7 (C)6，7，8 (D)8，9 (6)已知夹角为2π的两个向量,,2a b a b ==，向量c 满足()(c a c -⋅-)0b =，则c 的取值范围为(A)⎡⎣ (B) 0,⎡⎣(C)⎡⎣ (D) []0,2(7)若实数,x y 满足不等式组50,0,3,x y x y x -+≥⎧⎪+≥⎨⎪≤⎩且z ax y =+仅在点55,22P ⎛⎫- ⎪⎝⎭取得最小值，则实数a 的取值范围为(A)(0，1) (B)(1，+∞) (C)[1，+∞) (D)(一∞，0](8)已知双曲线()2222:10,0x y C a b a b-=>>的左焦点为1,F P 为左支上一点，1PF a =，0P P 与关于原点对称，且0110P F PF =，则双曲线的渐近线方程为 (A) y x =±(B) y x =(C) y x = (D)y=±2x (9)设函数()(),0,ln ,0,g x x f x x x ≤⎧⎪=⎨>⎪⎩其中对(]12,,0x x ∀∈-∞，且12x x ≠均有()11x g x +()()()221221x g x x g x x g x >+成立，且()01g =，若不等式()()1f x a a R -≤∈的解集为D ，且2e ∈D(e 为自然对数的底数)，则a 的最小值为(A)0 (B)1(C)e (D)2e(10)，则正视图中x 的值为(A)(B)(C) (D) 23(11)已知正项数列{}n a 的前n 项和为1,2n S a =，且对于任意的正整数122,11n n n S n a S -≥+=+，设数列{}n b 满足2sin 2n n nx b a =，其前4n 项和为4n T ，则满足436n T ≤-的最小正整数n 的值为(A)1 (B)2(C)3 (D)4(12)若二次函数()21f x x =+的图象与曲线()():10xC g x ae a =+>存在公共切线，则实数a 的取值范围为(A) 240,e ⎛⎤ ⎥⎝⎦ (B) 280,e ⎛⎤ ⎥⎝⎦ (C) 24,e ⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭ (D) 28,e ⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭第Ⅱ卷本卷包括必考题和选考题两部分。

2016年河南省郑州市高考数学二模试卷(理科)(解析版)

2016年河南省郑州市高考数学二模试卷（理科）一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1．（5分）已知集合A＝{x|y＝}，B＝{x|﹣1≤2x﹣1≤0}，则∁R A∩B＝（）A．（4，+∞）B．[0，]C．（，4]D．（1，4）2．（5分）命题“∃x0≤0，使得x02≥0”的否定是（）A．∀x≤0，x2＜0B．∀x≤0，x2≥0C．∃x0＞0，x02＞0D．∃x0＜0，x02≤03．（5分）定义运算＝ad﹣bc，则符合条件＝0的复数对应的点在（）A．第一象限B．第二象限C．C第三象限D．第四象限4．（5分）某程序框图如图所示，则该程序运行后输出的值是（）A．2014B．2015C．2016D．20175．（5分）曲线f（x）＝x3﹣x+3在点P处的切线平行于直线y＝2x﹣1，则P点的坐标为（）A．（1，3）B．（﹣1，3）C．（1，3）和（﹣1，3）D．（1，﹣3）6．（5分）经过点（2，1），且渐近线与圆x2+（y﹣2）2＝1相切的双曲线的标准方程为（）A．﹣＝1B．﹣y2＝1C．﹣＝1D．﹣＝17．（5分）将函数f（x）＝sin（2x﹣）的图象向右平移个单位后得到函数g（x），则g（x）具有性质（）A．最大值为1，图象关于直线x＝对称B．在（0，）上单调递减，为奇函数C．在（﹣，）上单调递增，为偶函数D．周期为π，图象关于点（，0）对称8．（5分）若数列{a n}中，满足：a1＝1，a2＝3，且2na n＝（n﹣1）a n﹣1+（n+1）a n+1，则a10的值是（）A．4B．4C．4D．49．（5分）如图是正三棱锥V﹣ABC的正视图、侧视图和俯视图，则其侧视图的面积是（）A．4B．5C．6D．710．（5分）已知定义在R上的奇函数y＝f（x）的图象关于直线x＝1对称，当﹣1≤x＜0时，f（x）＝﹣（﹣x），则方程f（x）﹣＝0在（0，6）内的零点之和为（）A．8B．10C．12D．1611．（5分）对∀α∈R，n∈[0，2]，向量＝（2n+3cosα，n﹣3sinα）的长度不超过6的概率为（）A ．B ．C ．D ．12．（5分）已知A、B、C为△ABC的三个内角，向量满足||＝，且＝（sin，cos），若A最大时，动点P使得||、||、||成等差数列，则的最大值是（）A ．B ．C ．D ．二、填空题：（本题共4小题，每题5分，共20分）13．（5分）已知{a n}为等差数列，公差为1，且a6是a3与a11的等比中项，S n是的前n项和，则S12的值为．14．（5分）已知正数x，y满足x2+2xy﹣3＝0，则2x+y的最小值是．15．（5分）已知满足，若目标函数z＝3x+y的最大值为10，则z的最小值为．16．（5分）在正三棱锥V﹣ABC内，有一半球，其底面与正三棱锥的底面重合，且与正正三棱锥的三个侧面都相切，若半球的半径为2，则正三棱锥的体积最小时，其高等于．三、简答题：解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）17．（12分）在△ABC中，角A、B、C所对的边分别为a、b、c，且满足cos2C﹣cos2A＝2sin （+C）•sin （﹣C）．（1）求角A的值；（2）若a ＝且b≥a，求2b﹣c的取值范围．18．（12分）为了解人们对于国家新颁布的“生育二胎放开”政策的热度，现在某市进行调查，随机调查了50人，他们年龄的频数分布及支持“生育二胎”人数如表：（1）由以上统计数据填下面2乘2列联表，并问是否有的99%把握认为以45岁为分界点对“生育二胎放开”政策的支持度有差异：（2）若对年龄在[5，15），[35，45）的被调查人中各随机选取两人进行调查，记选中的4人不支持“生育二胎”人数为ξ，求随机变量ξ的分布列及数学期望；参考数据：K2＝．19．（12分）如图，在梯形ABCD中，AB∥CD，AD＝DC＝CB＝1，∠BCD＝120°，四边形BFED为矩形，平面BFED⊥平面ABCD，BF＝1（Ⅰ）求证：AD⊥平面BFED；（Ⅱ）点P是线段EF上运动，设平面P AB与平面ADE成锐角二面角为θ，试求θ的最小值．20．（12分）已知曲线C的方程是mx2+ny2＝1（m＞0mn＞0），且曲线C过A（，），B（，）两点，O为坐标原点（Ⅰ）求曲线C的方程；（Ⅱ）设M（x1，y1），N（x2，y2）是曲线C上两点，且OM⊥ON，求证：直线MN恒与一个定圆相切．21．（12分）已知函数f（x）＝（Ⅰ）若m∈（﹣2，2），求函数y＝f（x）的单调区间；（Ⅱ）若m∈（0，]，则当x∈[0，m+1）时，函数y＝f（x）的图象是否总存在直线y＝x 上方？请写出判断过程．请考生在22、23、24三题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分．[选修4-1：几何证明选讲]22．（10分）如图，正方形ABCD边长为2，以A为圆心、DA为半径的圆弧与以BC为直径的半圆O交于点F，连接BF并延长交CD于点E．（1）求证：E是CD的中点；（2）求EF•FB的值．[选修4-4：坐标系与参数方程]23．平面直角坐标系xOy中，曲线C：（x﹣1）2+y2＝1．直线l经过点P（m，0），且倾斜角为．以O为极点，以x轴正半轴为极轴，建立坐标系．（Ⅰ）写出曲线C的极坐标方程与直线l的参数方程；（Ⅱ）若直线l与曲线C相交于A，B两点，且|P A|•|PB|＝1，求实数m的值．[选修4-5：不等式选讲]24．已知函数f（x）＝|x+6|﹣|x﹣m|）（m∈R）（Ⅰ）当m＝3时，求不等式f（x）≥5的解集；（Ⅱ）若不等式f（x）≤7对任意实数x恒成立，求m的取值范围．2016年河南省郑州市高考数学二模试卷（理科）参考答案与试题解析一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

P 2016年河南省八市重点高中高考数学二模试卷(理科)(解析版)

2016年河南省八市重点高中高考数学二模试卷（理科）答案与解析一、选择题1．若集合A={x|＞﹣1}，集合B={x|1＜3x＜9}，则（∁R A）∩B=（）A．（0，1] B．[1，2）C．（1，2）D．（0，1）解：由＞﹣1=，得0＜x+1＜2，∴﹣1＜x＜1，则A={x|＞﹣1}=（﹣1，1），∴∁R A=（﹣∞，﹣1]∪[1，+∞），又B={x|1＜3x＜9}=（0，2），∴（∁R A）∩B=[1，2）．选B2．实数（a为实数）的共轭复数为（）A．1 B．﹣5 C．﹣1 D．﹣i解：==为实数，∴=0，解得a=﹣2．∴实数=﹣1的共轭复数为﹣1．选C3．等比数列{a n}中，a2=9，a5=243，则a1与a7的等比中项为（）A．±81 B．81 C．﹣81 D．27解：设等比数列{a n}的公比q，∵a2=9，a5=243，∴243=9×q3，解得q=3．又a1•a7=，∴a1与a7的等比中项为±a4=±=±9×32=±81．选A4．以下四个命题中①为了了解800名学生的成绩，打算从中抽取一个容量为40的样本，考虑用系统抽样，则分段的间隔k为40；②线性回归直线=x+恒过样本点的中心（，）；③随机变量ξ服从正态分布N（2，σ2）（σ＞0），若在（﹣∞，1）内取值的概率为0.1，则在（2，3）内的概率为0.4；④概率值为零的事件是不可能事件．其中真命题个数是（）解：①为了了解800名学生的成绩，打算从中抽取一个容量为40的样本，考虑用系统抽样，则分段的间隔k为800÷40=20；故①错误，②线性回归直线=x+恒过样本点的中心（，）；正确，故②正确，③随机变量ξ服从正态分布N（2，σ2）（σ＞0），若在（﹣∞，1）内取值的概率为0.1，则在（1，2）内取值的概率为0.5﹣0.1=0.4，则在（2，3）内的概率为在（1，2）内取值的概率为0.4；故③正确，④不可能事件的概率为0，但概率值为零的事件是不可能事件不一定正确．比如在几何概型中，往圆形区域内随机扔石子扔到圆心的概率=圆心的面积除以圆的面积圆心面积为零，因此扔到圆心的概率P=0，但是扔到圆心也是可能发生的，不是不可能事件，故④错误。

2016届河南郑州高三押题(二)数学(文)试题(解析版) (13)

河北省衡水高三下学期猜题数学（理）试题一、选择题1．“1m =±”是“复数2(1)(1)m m i -++（其中i 是虚数单位）为纯虚数”的（）A ．充分而不必要条件B ．必要而不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件【答案】B.【解析】试题分析：由题意得，2(1)(1)m m i -++是纯虚数210110m m m ⎧-=⇔⇔=⎨+≠⎩，故是必要不充分条件，故选B.【考点】1.复数的概念；2.充分必要条件． 2．设全集U R =，函数()l g (|1|f x x =+-的定义域为A ，集合{}|s i n 0B x x π==，则()U C A B 的元素个数为（） A ．1 B.2 C ．3 D ．4 【答案】C.【解析】试题分析：|1|101x x +->⇒+>或11x +<-，∴(,2)(0A =-∞-+∞ ，∴[2,0]U C A =-，又∵B Z =，∴(){2,1,0}U C A B =-- ，有3个元素，故选C. 【考点】1.对数函数的性质；2.三角函数值；3.集合的运算．3．若点55(sin ,cos )66ππ在角α的终边上，则sin α的值为（） A．．12- C ．12D【答案】A.【解析】试题分析：根据任意角的三角函数的定义，5cos 6sin 12πα==-，故选A.【考点】任意角的三角函数． 4．如图所示的茎叶图（图一）为高三某班50名学生的化学考试成绩，图（二）的算法框图中输入的i a 为茎叶图中的学生成绩，则输出的m ，n 分别是（）A ．38m =，12n =B ．26m =，12n =C ．12m =，12n =D ．24m =，10n = 【答案】B.【解析】试题分析：分析程序框图可知，n 为50名学生中成绩在[80,)+∞的人数，m 为50名学生中成绩在[60,80)的人数，而分析茎叶图即可知12n =，26m =，故选B.【考点】1.统计的运用；2.程序框图．5．如图所示的是函数()sin 2f x x =和函数()g x 的部分图象，则函数()g x 的解析式是（）A ．()sin(2)3g x x π=-B ．2()sin(2)3g x x π=+C ．5()cos(2)6g x x π=+D ．()cos(2)6g x x π=-【答案】C.【解析】试题分析：由题意得，(0)0g <，故排除B ，D ；又∵17()()sin 24842g f πππ===A ，故选C. 【考点】三角函数的图象和性质．6．若函数2(2)()m xf x x m-=+的图象如图所示，则m 的范围为（）A ．(,1)-∞-B ．(1,2)-C ．(0,2)D ．(1,2) 【答案】D.【解析】试题分析：由图可知，()f x 定义域为R ，∴0m >，又∵x →+∞时，()0f x >，∴202m m ->⇒<，又∵()f x 是奇函数，∴0x >时，2(2)2()m x mf x m x m x x--==++，∴()f x在上单调递增，)+∞11m >⇒>，综上，实数m 的范围是(1,2)，故选D.【考点】函数性质的综合运用．7．某多面体的三视图如图所示，则该多面体各面的面积中最大的是（）A ．1 B．2 C．2D【答案】C.【解析】试题分析：分析题意可知，该几何体为如下图所示的四棱锥P ABCD -，其中底面ABCD 是正方形，平面PAD ⊥平面ABCD ，故AB ⊥平面PAD ，∴AB PA ⊥，∴PA =1=12PAB S ∆⋅=，故选C.【考点】1.三视图；2.空间几何体的表面积．8．已知数列{}n a 的首项为11a =，且满足对任意的*n N ∈，都有12n n n a a +-≤，232n n n a a +-≥⨯成立，则2014a =（）A ．201421-B ．201421+C ．201521-D ．201521+ 【答案】A.【解析】试题分析：∵12n n n a a +-≤，∴1212n n n a a +++-≤，两式相加，可得122232n n n n n a a ++-≤+=⋅，又∵232n n n a a +-≥⨯，∴需232n n n a a +-=⋅，等号成立的条件为：12n n n a a +-=， ∴2n ≥时，1112111(21)()()2212121n n n n n n a a a a a a --⋅-=-+⋅⋅⋅+-+=+⋅⋅⋅++==--，∴2014201421a =-，故选A.【考点】数列的通项公式．9．已知非零向量a ，b ，c ，满足||||4a b b -== ，()()0a c b c -⋅-=，若对每个确定的b ，||c的最大值和最小值分别为m ，n ，则m n -的值为（）A ．随||a 增大而增大B ．随||a增大而减小C ．是2D ．是4 【答案】D.【解析】试题分析：∵()()0a c b c -⋅-=，∴2()0c a b c a b -+⋅+⋅= ，即2||||||cos ,0c a b c a b c a b -+⋅⋅<+>+⋅=，∵1cos ,1a b c -≤<+>≤ ，∴22||||||0||||||0c a b c a b c a b c a b ⎧-+⋅+⋅≤⎪⎨++⋅+⋅=⎪⎩ ，解得||||2||222a b a b c ++-≤≤+，（||||||||2222a b a b a bb b +--=+≥-= ），故min ||||22a bc +=-，max ||||22a b c +=+，∴4m n -=，故选D.【考点】平面向量数量积．10．已知在三棱锥P ABC -中，1PA PB BC ===，AB =AB BC ⊥，平面PAB ⊥平面ABC ，若三棱锥的顶点在同一个球面上，则该球的表面积为（） AB ．3πC ．3D ．2π 【答案】B.【解析】试题分析：如下图所示，设球心为O ，则可知球心O 在面ABC 的投影在ABC ∆外心，即AC 中点E 处，取AB 中点F ，连PF ，EF ，OE ，OP ，由题意得，PF ⊥面ABC ，∴在四边形POEF 中，设O E h =，∴半径0r h ===，2r =AC 中点，∴表面积243S r ππ==，故选B.【考点】空间几何体的外接球．【名师点睛】外接球常用的结论：长方体的外接球：1.长、宽、高分别为a ，b ，c2R =；2.棱长为a2R =；棱长为a；11．已知双曲线2222:1(0,0)x y C a b a b-=>>的右顶点为A ，O 为坐标原点，以A 为圆心的圆与双曲线C 的某渐近线交于两点P ，Q ，若60PAQ ∠= ，且3OQ OP =，则双曲线C 的离心率为（）A．4 B．3 C．2D【答案】C.【解析】试题分析：如下图所示，设AOQ α∠=，∴tan cos b aa cαα=⇒=，sin bc α=，∴2||cos a OH a cα=⋅=，||sin abAH a c α=⋅=，又∵3OQ OP = ，∴2||||||2a OP PH HQ c===，∴2|||22ab a AH PH b c c =⇒=⇒=，∴e =，故选C.【考点】双曲线的标准方程及其性质．【名师点睛】要解决双曲线中有关求离心率或求离心率范围的问题，应找好题中的等量关系或不等关系，构造出关于a ，c 的齐次式，进而求解，要注意对题目中隐含条件的挖掘，如对双曲线上点的几何特征以及平面几何知识的运用，如12||||2PF PF c +≥等.12．已知函数()()()()()52log 11221x x f x x x ⎧-<⎪=⎨--+≥⎪⎩，则关于x 的方程1(2)f x a x+-=的实根个数不可能为（） A ．5个 B ．6个 C ．7个 D ．8个【答案】A.【解析】试题分析：如下图所示，画出函数()f x 以及1()2g x x x =+-的图象，从而可知，当0a <时，方程()f x a =有一正根，∴方程1(2)f x a x +-=有两个根，当0a =时，方程()f x a =有一正根，一个根为0，∴1(2)f x a x+-=有三个根，当01a <<时，方程()f x a =有两个正根，一个大于4-的负根，∴1(2)f x a x+-=有四个根，当1a =时，方程()f x a =有一个负根4-，三个正根，∴1(2)f x a x+-=有七个根，当12a <<时，方程()f x a =有三个正根，一个小于4-的负根，∴1(2)f x a x+-=有八个根，当2a =时，方程()f x a=有两个正根，一个小于4-的负根，∴1(2)f x a x+-=有六个根，当2a >时，方程()f x a =有一个正根一个小于4-的负根，∴1(2)f x a x+-=有四个根，∴1(2)f x a x+-=根的个数可能为2，3，4，6，7，8，故选A.【考点】1.函数与方程；2.分类讨论的数学思想.【名师点睛】要判断函数零点或方程根的个数，一般需结合函数在该区间的单调性、极值等性质进行判断，对于解析式较复杂的函数的零点，可根据解析式特征，利用函数与方程思想化为()()f x g x =的形式，通过考察两个函数图象的交点来求，通过图形直观研究方程实数解的个数，是常用的讨论方程解的一种方法．二、填空题13．已知0a >，6)x-展开式的常数项为15，则2(aax x dx -++=⎰____________.【答案】223π++ 【解析】试题分析：根据二项展开的通项公式可知，13(6)36622166(1)(1)r r r r r rr r rr T C a xC a x-----+=-=-，∴令2r =，∴246(1)151rC a a -=⇒=，∴1112222111()4aax x d xx d xx d x---+-=++-⎰⎰⎰根据定积分的几何意义及定义，从而可知111211x dx xdx ---++⎰⎰⎰2112201243263ππ+=++⋅+⋅=+223π++【考点】定积分的计算及其性质.14．设a ，b R ∈，关于x ，y 的不等式||||1x y +<和48ax by +≥无公共解，则ab 的取值范围是__________. 【答案】[16,16]-.【解析】试题分析：如下图所示，不等式||||1x y +<所表示的平面区域如下图所示，要保证不等式无公共解，只需8822a b -≤≤⎧⎨-≤≤⎩，∴ab 的取值范围是[16,16]-，故填：[16,16]-. 【考点】线性规划.15．设抛物线()220y px p =>的焦点为F ，其准线与x 轴交于点C ，过点F 作它的弦AB ，若90CBF ∠= ，则AF BF -=________．【答案】2p .【解析】试题分析：如下图所示，设||BF x =，过B 作l 的垂线，垂足是H ，则易得CFB BCH ∆∆ ，则易得2||||||BC CF B H p x=⋅=，又∵2222||||||CF BC BF p x px x p =+⇒=+⇒=，由抛物线的焦点弦性质，112||||AF BF p+=，∴1535||||AF p AF =⇒=，∴||||2AF BF p -=，故填：2p .【考点】抛物线焦点弦的性质.【名师点睛】若AB 为抛物线22(0)y px p =>的焦点弦，F 为抛物线焦点，A ，B 两点的坐标分别为11(,)x y ，22(,)x y ，则：2124p x x =，212y y p =-，以AB 为直径的圆与抛物线的准线相切，112||||AF BF p+=. 16．已知数列{}n a 满足12a =，210n n a a n +++=，则31a =_____________. 【答案】463-.【解析】试题分析：∵210n n a a n +++=，∴212(1)0n n a a n +++++=，两式相减，可得2(21)n n a a n +-=-+，∴313a a -=-，537a a -=-，……312959a a -=-，∴31131359154632a a a +-=-⋅⇒=-，故填：463-. 【考点】数列的通项公式.【名师点睛】已知递推关系求通项，掌握先由1a 和递推关系求出前几项，再归纳、猜想n a 的方法，以及“累加法”，“累乘法”等：1.已知1a 且1()n n a a f n --=，可以用“累加法”得：12()nn k a a f k ==+∑，2n ≥；2.已知1a 且1()nn a f n a -=，可以用“累乘法”得：1(2)(3)(1)()n a a f f f n f n =⋅⋅⋅⋅⋅-⋅，2n ≥.三、解答题17．如图，在ABC ∆中，已知点D 在边BC 上，且0A D A C⋅=，sin 3BAC ∠=，AB =BD =（1）求AD 长；（2）求cos C . 【答案】（1）3；（2）3【解析】试题分析：（1）利用已知条件首先求得cos BAD ∠的值，再在ABD ∆中，利用余弦定理即可求解；（2）在ABD ∆中利用正弦定理即可求解.试题解析：（1）∵0A DA C ⋅=，则A D A ⊥，∴s i n s i n ()c o s 2B AC B AD B A D π∠=+∠=∠，即cos BAD ∠=，在ABD ∆中，由余弦定理，可知2222cos =+-⋅⋅∠BD AB AD AB AD BAD ，即28150AD AD -+=，解得5AD =，或3AD =，∵AB AD >，∴3AD =；（2）在ABD ∆中，由正弦定理，可知sin sin BD ABBAD ADB=∠∠.又由cos 3BAD ∠=，可知1s i n 3BAD ∠=，∴s in 6s i n A B AD A D B BD ∠∠==.∵2ADB DAC C C π∠=∠+=+，∴cos C =. 【考点】正余弦定理解三角形．18．已知矩形ABCD ，22AD AB ==，点E 是AD 的中点，将DEC ∆沿CE 折起到D EC '∆的位置，使二面角D EC B '--是直二面角.（1）证明：BE CD '⊥；（2）求二面角D BC E '--的余弦值.【答案】（1）详见解析；（2. 【解析】试题分析：（1）根据条件可证明BE ⊥平面D EC '，利用线面垂直的性质即可得证；（2）通过三垂线定理作出二面角的平面角，或者建立空间直角坐标系利用空间向量求解. 试题解析：（1）∵22AD AB ==，E 是AD 的中点，∴BAE ∆，CDE ∆是等腰直角三角形，90BEC ∠= ，即BE EC ⊥，又∵平面D EC '⊥平面BEC ，平面D EC ' 平面BEC EC =，∴BE ⊥平面D EC '，∴BE CD '⊥；（2）法一：设M 是线段EC 的中点，过点M 作MF BC ⊥，垂足为F ，连接D M '，DF'，如图，则D M EC '⊥， ∵平面D EC '⊥平面BEC ，∴D M '⊥平面EBC ，∴MF 是DF'在平面BEC 上的射影，由三垂线定理，得D F BC '⊥，∴D FM '∠是二面角D BC E '--的平面角，在Rt D MF '∆中，12D M EC '==，11,tan 22D M MF AB D FM MF ''==∠==cos D FM '∠=D BCE '--法二：如图，以EB ，EC 为x 轴、y 轴，过点E 且垂直于平面BEC 的射线为z 轴，建立空间直角坐标系，则B，C，(0,)22D '，易知平面BEC 的一个法向量为1(0,0,1)n =；设平面D BC '的一个法向量为2222(,,)n x y z =，(BC =，(0,22D C '=-，则2200⋅=⎧⎨'⋅=⎩n BC n D C ，即22220022y z ⎧+=-=⎪⎩，取21x =，得2(1,1,1)n = ，∴121212cos ,||||n n n n n n ⋅<>==， ∴二面角D BC E '--的余弦值为3.【考点】1.面面垂直的判定与性质；2.二面角的求解．19．2015年7月9日21时15分，台风“莲花”在我国广东省陆丰市甲东镇沿海登陆，造成165.17万人受灾，5.6万人紧急转移安置，288间房屋倒塌，46.5千公顷农田受灾，直接经济损失12.99亿元.距离陆丰市222千米的梅州也受到了台风的影响，适逢暑假，小明调查了梅州某小区的50户居民由于台风造成的经济损失，将收集的数据分成[]0,2000，(]2000,4000，(]4000,6000，(]6000,8000，(]8000,10000五组，并作出如下频率分布直方图：（1）试根据频率分布直方图估计小区平均每户居民的平均损失（同一组中的数据用该组区间的中点值作代表）；（2）小明向班级同学发出倡议，为该小区居民捐款，现从损失超过4000元的居民中随机抽出2户进行捐款援助，设抽出损失超过8000元的居民为ξ户，求ξ的分布列和数学期望；（3）台风后区委会号召小区居民为台风重灾区捐款，小明调查的50户居民捐款情况如图，根据图表格中所给数据，分别求b ，c ，a b +，c d +，a c +，b d +，a b c d +++的值，并说明是否有95%以上的把握认为捐款数额多于或少于500元和自身经济损失是否到4000元有关？附：临界值表参考公式：()()()()()22,n ad bc K n a b c d a b c d a c b d -==+++++++. 【答案】（1）3360；（2）详见解析；（3）详见解析.【解析】试题分析：（1）根据表格中数据即可求解；（2）列出ξ的所有可能取值，分别求得取到每个值时的概率，即可得到分布列与期望；（3）通过表格中数据计算2K 的值，与已知参数比较，即可判断. 试题解析：（1）记每户居民的平均损失为x 元，则()10000.0001530000.000250000.0000970000.0000390000.00003x =⨯+⨯+⨯+⨯+⨯20003360⨯=；（2）由频率分布直方图，可得超过4000元的居民共有()0.000090.000030.0000320005015++⨯⨯=户，损失超过8000元的居民共有0.000032000503⨯⨯=户，因此ξ的可能值为0，1，2，()21221522035C P C ξ===，()1131221512135C C P C ξ===，()232151235C P C ξ===， ξ的分布列为()2212120123535355E ξ=⨯+⨯+⨯=；（3）解得9b =，5c =，39a b +=，11c d +=，35a c +=，15b d +=，50a b c d +++=， ()225030695 4.046 3.84139113515K ⨯⨯-⨯==>⨯⨯⨯，∴有95%以上的把握认为捐款数额多于或少于500元和自身经济损失是否到4000元有关.【考点】1.古典概型；2.频率分布直方图；3.独立性检验．20．已知椭圆()2222:10x y E a b a b +=>>的两个焦点1F ，2F ，且椭圆过点，2-，且A 是椭圆上位于第一象限的点，且12AF F ∆的面积12AF F S ∆=（1）求点A 的坐标；（2）过点(3,0)B 的直线l 与椭圆E 相交于点P ，Q ，直线AP ，AQ 与x 轴相交于M ，N 两点，点5(,0)2C ，则||||CM CN ⋅是否为定值，如果是定值，求出这个定值，如果不是请说明理由. 【答案】（1）(2,1)A ；（2）详见解析.【解析】试题分析：（1）通过已知条件首先求得椭圆的标准方程，再结合三角形的面积计算公式，即可求得A 的坐标；（2）将直线l 的方程设出，联立直线方程与椭圆方程，通过计算说明是否为定值即可. 试题解析：（1）∵椭圆E过点，，∴222223312b a b c ab ⎧⎪=⎪=+⎨⎪⎪+=⎩，计算得26a =，b c ==E 的方程为22163x y +=. ∵12AF F ∆的面积12AF F S ∆=，∴1212A F F y =1A y =，代入椭圆方程221163A x +=. ∵0A x >，∴2A x =，∴(2,1)A ；（2）法一：设直线l 的方程为3x my =+，11(,)P x y ，22(,)Q x y ，直线AP 的方程为()111122y y x x --=--，可得1112(,0)1y xM y --，即()1123(,0)1m y M y ---，直线AQ 的方程为()221122y y x x --=--，可得2222(,0)1y xN y --，即()2223(,0)1m y N y ---.联立22326x my x y =+⎧⎨+=⎩，消去x ，整理，得22(2)630m y my +++=. 由()22361220m m ∆=-+>，可得21m >，12262m y y m +=-+，12232y y m =+， ()()()()()()12121212232312112155()()21212121----++++⋅=-⋅-=⋅----m y m y m y m y CM CN y y y y()()()()()()22221212121222361212()1121212236414(1)22+⋅++⋅-++++++++==-++⎡⎤⎣⎦++++mm m m y y m y y m m m y y y y m m()()22222231212612265144362465m m m m m m m m m m m ++--++++===+++++∴⋅CM CN 为定值，且14⋅=CM CN . 法二：设11(,)P x y ，22(,)Q x y ，3(,0)M x ，4(,0)N x ，直线l ，AP ，AQ 的斜率分别为k ，1k ，2k ，由()22326y k x x y ⎧=-⎨+=⎩，得()222212121860k x k x k +-+-=，()()4221444121860k k k ∆=-+->，可得21k <，21221212k x x k+=+，212218612k x x k -=+，()()()()()121212121212121212313125112411222224k x k x kx x k x x k y y k k x x x x x x x x -----++++--+=+=+=-----++()22222222221861225112444121221861222241212-⋅-+⋅++-+++===----⨯+++k k k k k k k k k k k k k ，由()112y k x -=-，令0y =，得3112x k =-，即11(2,0)M k -，同理得4212x k =-，即21(2,0)N k -，则 121251511111(2)(2)2222=--⋅--=+⋅+CM CN k k k k 121211111()42k k k k =+++ 121212121211111211()42424k k k k k k k k k k +-=++=+⨯+= ∴⋅CM CN 为定值，该定值为14. 【考点】1.椭圆的标准方程及其性质；2.直线与椭圆的位置关系；3.椭圆中的定值问题．【名师点睛】求解定值问题的方法一般有两种：1.从特殊入手，求出定点、定值、定线，再证明定点、定值、定线与变量无关；2.直接计算、推理，并在计算、推理的过程中消去变量，从而得到定点、定值、定线.应注意到繁难的代数运算是此类问题的特点，设而不求方法、整体思想和消元的思想的运用可有效地简化运算.21．已知函数221()()(1)(22),2x f x ax bx a b e x x x a R =++---++∈，且曲线()y f x =与x 轴切于原点O . （1）求实数a ，b 的值；（2）若2()()0f x x mx n ⋅+-≥恒成立，求m n +的值.【答案】（1）0a =，1b =；（2）1m n +=-. 【解析】试题分析：（1）求导，利用导数的几何意义即可求解；（2）将不等式作进一步化简，可得21(1)(1)(1)2x x e x x x ->-++，分类讨论，构造函数21()(1)2x g x e x x =-++，求导研究其单调性即可得到0x =，和1x =是方程20x mx n +-=的两根，从而求解.试题解析：（1）()()221()(2)221222x f x ax bx a b ax b e x x x x '⎡⎤=++-++-+++-+⎣⎦ ∴(0)0f a '==，又∵(0)10f a b =-+=，∴0a =，1b =；（2）不等式()0f x >21(1)(1)(1)2x x e x x x ⇔->-++，即2101(1)02x x e x x ->⎧⎪⎨-++>⎪⎩，或2101(1)02x x e x x -<⎧⎪⎨-++<⎪⎩，令()21(1)2x g x e x x =-++，()()(1)x h x g x e x '==-+，()1x h x e '=-，当0x >时，()10x h x e '=->；当0x <时，()10x h x e '=-<，∴()h x 在区间(,0)-∞内单调递减，在区间(0,)+∞内单调递增，∴()(0)0h x h ≥=，即()0g x '≥，∴()g x 在R 上单调递增，而(0)0g =，∴21(1)002x e x x x -++>⇔>；21(1)002x e x x x -++<⇔<，∴当0x <或1x >时，()0f x >，同理可得，当01x ≤≤时，()0f x ≤.∴由2()()0⋅+-≥f x x mx n 恒成立可知，0x =，和1x =是方程20x mx n +-=的两根，∴1m =-，0n =，∴1m n +=-. 【考点】导数的综合运用．【名师点睛】1．证明不等式问题可通过作差或作商构造函数，然后用导数证明；2．求参数范围问题的常用方法：（1）分离变量；（2）运用最值；3．方程根的问题：可化为研究相应函数的图象，而图象又归结为极值点和单调区间的讨论；4．高考中一些不等式的证明需要通过构造函数，转化为利用导数研究函数的单调性或求最值，从而证得不等式，而如何根据不等式的结构特征构造一个可导函数是用导数证明不等式的关键．22．如图，PA 为四边形ABCD 外接圆的切线，CB 的延长线交PA 于点P ，AC 与BD 相交于点M ，且//PA BD .（1）求证：ACD ACB ∠=∠；（2）若3PA =，6PC =，1AM =，求AB 的长. 【答案】（1）详见解析；（2）2. 【解析】试题分析：（1）根据切线的性质首先证明PAB ACB ∠=∠，再利用//PA BD 即可得证；（2）首先根据切割线定理求得PB ，BC 的长度，再利用AMB ABC ∆∆ 即可求解. 试题解析：（1）由PA 为切线，得P A B A C B ∠=∠，又∵//PA BD ，∴P A B A B D A C D ∠=∠=∠， ∴ACD ACB ∠=∠；（2）由切割线定理2=⋅PA PB PC ，得32PB =，92BC =，由//PA BD ，得AM PBMC BC=，又1AM =，∴3MC =，∴4AC =，又知AMB ABC ∆∆ ，∴AB ACAM AB =，又∵4AC =，1AM =，∴24=⋅=AB AM AC ，∴2AB =. 【考点】1.切线的性质；2.相似三角形的判定与性质．23．在直角坐标系xOy 中，已知点()1,2P -，直线1:2x tl y t =+⎧⎨=-+⎩（t 为参数），以坐标原点为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C 的极坐标方程为2sin 2cos ρθθ=，直线l 和曲线C 的交点为,A B . （1）求直线l 和曲线C 的普通方程；（2）求PA PB +.【答案】（1）直线l 的普通方程是30x y --=，曲线C 的普通方程是22y x =；（2）联立直线方程与抛物线方程，利用参数的几何意义结合韦达定理即可求解.【解析】试题分析：（1）消去参数t 即可得到直线l 的普通方程，利用cos x ρθ=，sin y ρθ=，即可将抛物线的极坐标方程化为直角坐标方程；（2）联立直线方程与抛物线方程，利用参数t 的几何意义即可求解.试题解析：（1）直线l 的普通方程是30x y --=，曲线C 的普通方程是22y x =；（2）将直线l的标准参数方程12x y ⎧=+⎪⎪⎨⎪=-+⎪⎩（t 为参数）代入曲线22y x =，可得240t -+=，∴1212PA PB t t t t +=+=+=【考点】1.参数方程，极坐标方程与直角方程的相互转化；2.直线与抛物线的位置关系．24．已知函数()21f x x a =--，()2g x x m =-+，a ，m R ∈，若关于x 的不等式()1g x ≥-的整数解有且仅有一个值为-2. （1）求整数m 的值；（2）若函数()y f x =的图象恒在函数1()2y g x =的上方，求实数a 的取值范围.【答案】（1）4；（2）(,3)-∞.【解析】试题分析：（1）解不等式()1g x ≥-，根据整数解为2-，即可求解；（2）问题等价于()()102f xg x ->恒成立，分类讨论将绝对值号去掉即可求解.试题解析：（1）由()1g x ≥-，即21x m -+≥-，21x m +≤，得1122m m x ---+≤≤，∵不等式的整数解为2-，∴11222m m ---+≤-≤，解得35m ≤≤，又∵不等式仅有一个整数解2-，∴4m =；（2）函数()y f x =的图象恒在函数()12y g x =的上方，故()()102f xg x ->，∴212a x x <-++对任意x R ∈恒成立，设()212h x x x =-++，则3,2()4,213,1x x h x x x x x -≤-⎧⎪=--<≤⎨⎪>⎩，则()h x 在区间(),1-∞上是减函数，在区间()1,+∞上是增函数，∴当1x =时，()h x 取得最小值3，故3a <，∴实数a 的取值范围是(),3-∞，（或者因为()212112133h x x x x x x x =-++=-+-++≥-+≥，故3a ）.【考点】1.绝对值不等式；2.分类讨论的数学思想；3.恒成立问题．第 21 页共 21 页。

2016届河南郑州高三押题(二)数学(文)试题(解析版) (12)

河南郑州一中教育集团高三押题（二）数学（文）试题一、选择题1．已知i 是虚数单位，若复数)(3i a i +-（R a ∈）的实部与虚部相等，则=a A ．1- B ．2- C ．1 D ．2 【答案】A【解析】试题分析：()333+-=+-ai i a i ，∵复数)(3i a i +-R a ∈的实部与虚部相等，a 33-=∴，解得1-=a ．故选A ．【考点】复数运算．2．已知集合},052|{2Z x x x x M ∈<+=，},0{a N =，若∅≠N M ，则=a A ．1- B ．2 C ．1-或 2 D ．1-或2- 【答案】D 【解析】试题分析：由{}{}1,2,025,0522--=⎭⎬⎫⎩⎨⎧∈<<-=∈<+=Z x x x Z x x x x M ，集合{}a N ,0=，又φ≠N M ，1-=∴a 或2-=a ，故选D ．【考点】交集及其运算．3．若函数)1(+=x f y 是偶函数，则函数)(x f y =的图象的对称轴方程是（） A ．1=x B ．1-=x C ．2=x D ．2-=x【答案】A【解析】试题分析：∵函数)1(+=x f y 向右平移1个单位得出)(x f y =的图象，又)1(+=x f y 是偶函数，对称轴方程为0=x ，∴)(x f y =的对称轴方程为1=x ．故选A ．【考点】函数的对称性．4．已知平面向量与的夹角为3π，且32|2|=+，1||=，则=||（） A ．1 B ．3 C ．2 D ．3 【答案】C【解析】试题分析：由题意知=⋅=∙，()2222244a b a b a a b b ∴+=+=+⋅+22412a a =++=2=或4-（舍去）．故选C ．【考点】平面向量数量积的运算． 5．执行如图所示的程序框图，若输入的n 的值为5，则输出的S 的值为（）A ．17B ．36C ．52D ．72 【答案】D【解析】试题分析：根据程序框图可知0,1==S k ，进入循环体后，循环次【考点】程序框图．6．将函数x x f ωsin )(=（其中0>ω）的图象向右平移4π个单位长度，所得的图象经过点)0,43(π，则ω的最小值是（） A ．31 B ．1 C ．35D ．2【答案】D【解析】试题分析：将函数x y ωsin =（其中0>ω）的图象向右平移4π个单位长度，所得图象对应的函数为)4(sin πω-=x y ．再由所得图象经过点⎪⎭⎫ ⎝⎛0,43π可得02sin )443(sin =⎪⎭⎫⎝⎛=-πωππω，ππωk =⋅∴2，Z k ∈．故ω的最小值是2，故选D ．【考点】由()ϕω+=x A y sin 的部分图象确定其解析式；函数()ϕω+=x A y sin 的图象变换．7．已知数列｛n a ｝满足nn n a 2728-+=（*∈N n ）．若数列｛n a ｝的最大项和最小项分别为M 和m ，则=+m M （）A ．211B ．227C ．32259D ．32435【答案】D【解析】试题分析：数列n n n a 2728-+=，112528++-+=∴n n n a ，11252722n n n nn n a a ++--∴-=- ()11252272922n n n n n ++----+==，当41≤≤n 时，nn a a >+1,即12345a a a a a >>>>；当5≥n 时,n n a a <+1,即...765>>>a a a ．因此数列{}n a 先增后减,32259,55==∴a n 为最大项，8,→∞→n a n ，2111=a ,∴最小项为211，M m +∴的值为3243532259211=+．故选D ．【考点】数列的函数特性．8．若y x ,满足约束条件⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧≥≤-+≥+-0033033y y x y x ，则当31++x y 取最大值时，y x +的值为（）A ．1-B ．1C ．3-D ．3 【答案】D【解析】试题分析：作出可行域如图中阴影部分所示，31++x y 的几何意义是:过定点)1,3(--M 与可行域内的点),(y x 的直线的斜率，由图可知，当直线过点)3,0(A 时，斜率取得最大值，此时y x ,的值分别为3,0，所以3=+y x ．故选D ．【考点】简单线性规划．9．已知在平面直角坐标系xOy 中，点),0(n A -，),0(n B （0>n ）．命题p ：若存在点P 在圆1)1()3(22=-++y x 上，使得2π=∠APB ，则31≤≤n ；命题q ：函数x xx f 3log 4)(-=在区间)4,3(内没有零点．下列命题为真命题的是（）A ．)(q p ⌝∧B ．q p ∧C ．q p ∧⌝)(D ．q p ∨⌝)( 【答案】A【解析】试题分析：命题p ：2π=∠APB ,则以AB 为直径的圆必与圆()()11322=-++y x 有公共点,所以121+≤≤-n n ,解得31≤≤n ,因此,命题p 是真命题．命题q ：函数()x xx f 3log 4-=，()0log 1443<-=f ,()0log 34333>-=f ,且()x f 在[]4,3上是连续不断的曲线,所以函数()x f 在区间()4,3内有零点，因此,命题q 是假命题．因此只有)(q p ⌝∧为真命题．故选A ．【考点】复合命题的真假．【方法点晴】本题考查命题的真假判断,命题的“或”、“且”及“非”的运算性质,同时也考查两圆的位置关系和函数零点存在定理,属于综合题．由于点P 满足2π=∠APB ,因此在以AB 为直径的圆上,又点P 在圆1)1()3(22=-++y x 上，因此P 为两圆的交点,利用圆心距介于两圆半径差与和之间,求出n 的范围．函数x xx f 3log 4)(-=是单调函数,利用零点存在性定理判断出两端点异号,因此存在零点．10．一个多面体的直观图和三视图如图所示，点M 是边AB 上的动点，记四面体FMC E -的体积为1V ，多面体BCE ADF -的体积为2V ，则=21V V （）A ．41 B ．31 C ．21D ．不是定值，随点M 的变化而变化【答案】B【解析】试题分析：由直观图和三视图可知，多面体BCE ADF -是以等腰直角三角形ADF 为底面的直三棱柱，不妨设2===a DF AD ，高2=DC ，体积42)2221(2=⨯⨯⨯=V ；//AB 平面EFC ，∴点M 到平面EFC 的距离就是点B 到平面EFC 的距离，又⊥BC 平面EFC ，且2=BC ，∴四面体FMCE -的体积342222131311=⨯⎪⎭⎫⎝⎛⨯⨯⨯=⋅⋅===∆--BC S V V V EFC EFC B EFC M ，故3121=V V ．故选B ．【考点】棱柱、棱锥、棱台的体积．11．已知双曲线和离心率为4sin π的椭圆有相同的焦点21F F 、，P 是两曲线的一个公共点，若21cos 21=∠PF F ，则双曲线的离心率等于（）A ．2B ．25C ．26D ．27【答案】C【解析】试题分析：设椭圆的长半轴长为1a ，双曲线的实半轴长为2a ，焦距为c 2，m PF =1，n PF =2，且不妨设n m >，由12a n m =+，22a n m =-得21a a m +=，21a a n -=，又21c o s21=∠PF F ，∴由余弦定理可知：mn n m c -+=2224，2221234a a c +=∴，432221=+∴ca c a ，设双曲线的离心率为e ，则4322122=+e）（，解得26=e ．故答案选C ．【考点】椭圆的简单性质．【思路点晴】本题主要考查圆锥曲线的定义和离心率．根据椭圆和双曲线的定义，由P 为公共点，可把焦半径1PF 、2PF 的长度用椭圆的半长轴以及双曲线的半实轴21,a a 来表示，接着用余弦定理表示21cos 21=∠PF F ，成为一个关于21,a a 以及c 的齐次式，等式两边同时除以2c ，即可求得离心率．圆锥曲线问题在选择填空中以考查定义和几何性质为主．12．已知定义域为R 的偶函数)(x f 满足对任意的R x ∈，有)1()()2(f x f x f -=+，且当]3,2[∈x 时，18122)(2-+-=x x x f ．若函数)1(log )(+-=x x f y a 在),0(+∞上至少有三个零点，则实数a 的取值范围是（） A ．)22,0( B ．)33,0( C ．)55,0( D ．)66,0(【答案】B【解析】试题分析：()()1)2(f x f x f -=+ ，令1-=x ，则()()()111f f f --=，()x f 是定义在R 上的偶函数,()01=∴f ()()2+=∴x f x f ．则函数()x f 是定义在R 上的，周期为2的偶函数，又∵当[]3,2∈x 时，()181222-+-=x x x f ，令()()1log +=x x g a ，则()x f 与()x g 在[)+∞,0的部分图象如下图，()()1log +-=x x f y a 在()+∞,0上至少有三个零点可化为()x f 与()x g 的图象在()+∞,0上至少有三个交点，()x g 在()+∞,0上单调递减，则⎩⎨⎧-><<23log 10a a ，解得：330<<a 故选A ．【考点】根的存在性及根的个数判断．【方法点晴】本题是一道关于函数零点的题目，关键是结合数形结合的思想进行解答．根据已知条件推导可得()x f 是周期函数,其周期为2,要使函数()()1log +-=x x f y a 在()+∞,0上至少有三个零点,等价于函数()x f 的图象与函数()1log +=x y a 的图象在()+∞,0上至少有三个交点,接下来在同一坐标系内作出图象,进而可得a 的范围．二、填空题13．某高中共有学生1000名，其中高一年级共有学生380人，高二年级男生有180人．如果在全校学生中抽取1名学生，抽到高二年级女生的概率为19.0，先采用分层抽样（按年级分层）在全校抽取100人，则应在高三年级中抽取的人数等于．【答案】25【解析】试题分析：因为高中共有学生1000名，在全校学生中抽取1名学生，抽到高二年级女生的概率为19.0，所以高二女生共有19019.01000=⨯人，则高二共有学生370190180=+人，则高三人数为2503803701000=--人，则采用分层抽样（按年级分层）在全校抽取100人，则应在高三年级中抽取的人数等于251001000250=⨯人，故答案为25．【考点】分层抽样方法．14．设某双曲线与椭圆1362722=+y x 有共同的焦点，且与椭圆相交，其中一个交点的坐标为)4,15(，则此双曲线的标准方程是．【答案】15422=-x y 【解析】试题分析：由题意可知椭圆1362722=+y x 的焦点在y 轴上，且927362=-=c ，故焦点坐标为()3,0±由双曲线的定义可得()()()()4340153401522222=++---+-=a ,故2=a ，5492=-=b ，故所求双曲线的标准方程为15422=-x y ．故答案为：15422=-x y ．【考点】双曲线的简单性质；椭圆的简单性质．15．在ABC ∆中，已知角C B A ,,的对边分别为c b a ,,，且B c C b a sin cos +=，则角B 为．【答案】4π【解析】试题分析：因为B c Cb a s i nc o s +=，由正弦定理知B C C B A sin sin cos sin sin +=①，在ABC ∆中，()C B A +-=π②，由①和②得C B C B sin cos sin sin =，而()π,0∈C ，所以0sin ≠C ,所以B B cos sin =，又()π,0∈B ，所以4π=B ．故答案为4π．【考点】正弦定理．【方法点晴】本题考查正余弦定理,根据正弦定理，将所给的含有边和角的等式化为只含有角的等式，再利用三角形的三角和是︒180，消去多余的变量，从而解出B 角．三角函数题目在高考中的难度逐渐增加，以考查三角函数的图象和性质，以及三角形中的正余弦定理为主，在2016年全国卷（I ）中以选择题的压轴题出现．16．定义在R 上的函数)(x f 满足：1)(')(>+x f x f ，4)0(=f ，则不等式3)(+>x x e x f e （其中e 为自然对数的底数）的解集为．【答案】),0(+∞ 【解析】试题分析：设()()x x e x f e x g -=，则()()()()()[]1-'+=-'+='x f x f e e x f e x f e x g x x x x ，()()1>'+x f x f ，()()01>-'+∴x f x f ，()0>'∴x g ，()x g y =∴在定义域上单调递增，()3+>x x e x f e ，()3>∴x g ，又()30=g ，()()0g x g >∴，0>∴x ．故答案为()+∞,0．【考点】利用导数研究函数的单调性．【方法点晴】本题是一道利用导数判断单调性的题目,解答本题的关键是掌握导数的相关知识,首先对已知的不等式进行变形,可得()()01>-'+x f x f ,结合要求的不等式可知在不等式两边同时乘以x e ,即()()0>-'+x x x e x f e x f e ,因此构造函数()()x x e x f e x g -=,求导利用函数的单调性解不等式．另外本题也可以构造满足前提的特殊函数,比如令()4=x f 也可以求解．三、解答题17．已知等差数列｛n a ｝满足：n n a a >+1（*∈N n ），11=a ，该数列的前三项分别加上1，1，3后成等比数列，且1log 22-=+n n b a ．（1）求数列｛n a ｝，｛n b ｝的通项公式；（2）求数列｛n n b a ⋅｝的前n 项和n T ．【答案】（1）12-=n a n ,nn b 21=；（2）n nn T 2323+-=．【解析】试题分析：（Ⅰ1）设d 为等差数列{}n a 的公差，且0>d ，利用数列的前三项分别加上3,1,1后成等比数列，求出d ，然后求解n b ；（2）写出nn n T 212...232321321-++++=利用错位相减法求和即可．试题解析：解：（1）设d 为等差数列{}n a 的公差，0>d ，由11=a ，d a +=12，d a 213+=，分别加上3,1,1后成等比数列，所以)24(2)2(2d d +=+ 0>d ，∴2=d ∴122)1(1-=⨯-+=n n a n又1log 22--=n n b a ∴n b n -=2log ，即n n b 21=（2）由（1）知nn n n b a 212-=⋅， ∴nn n T 21225232132-++++= ①143221225232121+-++++=n n n T ② ①-②，得：11111214322322321221121212211)211(21221212)21212121(22121++-+-++-=---+=----⨯⨯+=--++++⨯+=n n n n n n n n n n n n T ∴nn n T 2323+-= 【考点】数列的求和．18．为了普及法律知识，达到“法在心中”的目的，某市法制办组织了普法知识竞赛．统计局调查队随机抽取了甲、乙两单位中各5名职工的成绩，成绩如下表：（1并判断哪个单位对法律知识的掌握更稳定；（2）用简单随机抽样法从乙单位5名职工中抽取2名，他们的成绩组成一个样本，求抽取的2名职工的分数差至少是4的概率．【答案】（1）90=甲x ,90=乙x ,5242=甲s ,82=乙s ，甲单位对法律知识的掌握更稳定；（2）21．【解析】试题分析：（1）先求出甲乙两个单位职工的考试成绩的平均数,以及他们的方差,则方差小的更稳定；（2）从乙单位抽取两名职工的成绩,所有基本事件用列举法得到共10种情况,抽取的两名职工的分数差至少是4的事件用列举法求得共有5种,由古典概型公式得出概率．试题解析：解：（1）90939191888751=++++=）（甲x ，90939291898551=++++=）（乙x524])9093()9091()9091()9088()9087[(51222222=-+-+-+-+-=甲s8])9093()9092()9091()9089()9085[(51222222=-+-+-+-+-=乙s∵8524<，∴甲单位的成绩比乙单位稳定，即甲单位对法律知识的掌握更稳定．（2）从乙单位5名职工中抽取2名，他们的成绩组成的所有基本事件（用数对表示）：（85，89），（85，91），（85，92），（85，93），（89，91），（89，92），（89，93），（91，92），（91，93），（92，93），共10个．则抽取的2名职工的分数差至少是4的基本事件：（85，89），（85，91），（85，92），（85，93），（89，93），共5个．用古典概型的概率计算公式可知，抽取的2名职工的分数差至少是4的概率21105==P ．【考点】1．平均数与方差公式；2．古典概型．19．如图所示，已知⊥AB 平面ACD ，⊥DE 平面ACD ，ACD ∆为等边三角形,AB DE AD 2==，F 为CD 的中点．（1）求证：//AF 平面BCE ；（2）平面⊥BCE 平面CDE ．【答案】（1）证明见解析；（2）证明见解析．【解析】试题分析：（1）推导出BC AC ⊥,1CC AC ⊥，从而⊥AC 平面11B BCC ，连接11,NA CA ，则N A B ,,1三点共线，推导出MN CN BA CN ⊥⊥,1，由线面垂直的判定定理得⊥CN 平面BNM ；（2）连接1AC 交1CA 于点H ，推导出1BA AH ⊥，1BA HQ ⊥，则AQH ∠是二面角C BA A --1的平面角．由此能求出二面角1B BN C --的余弦值．试题解析：（1）如图，取CE 的中点G ，连接BG FG ,．∵F 为CD 的中点，∴DE GF //且DE GF 21=． ∵⊥AB 平面ACD ，⊥DE 平面ACD ， ∴DE AB //， ∴AB GF //．又DE AB 21=，∴AB GF =． ∴四边形GFAB 为平行四边形，则BG AF //．∵⊄AF 平面BCE ，⊂BG 平面BCE ， ∴//AF 平面BCE（2）∵ACD ∆为等边三角形，F 为CD 的中点， ∴CD AF ⊥． ∵⊥DE 平面ACD ，⊂AF 平面ACD ， ∴AF DE ⊥．又D DE CD = ,∴⊥AF 平面CDE∵AF BG //， ∴⊥BG 平面CDE ． ∵⊂BG 平面BCE ， ∴平面⊥BCE 平面CDE ．【考点】直线与平面平行和垂直的判定．20．已知椭圆1C ：14822=+y x 的左、右焦点分别为21F F 、，过点1F 作垂直于x 轴的直线1l ，直线2l 垂直1l 于点P ，线段2PF 的垂直平分线交2l 于点M ．（1）求点M 的轨迹2C 的方程；（2）过点2F 作两条互相垂直的直线BD AC 、，且分别交椭圆于D C B A 、、、，求四边形ABCD 面积的最小值．【答案】（1）x y 82=；（2）964．【解析】试题分析：（1）求得椭圆的焦点坐标，连接2MF ，由垂直平分线的性质可得2MF MP =，运用抛物线的定义，即可得到所求轨迹方程；（2）分类讨论：当AC 或BD 中的一条与x 轴垂直而另一条与x 轴重合时，此时四边形ABCD 面积22b S =．当直线AC 和BD 的斜率都存在时，不妨设直线AC 的方程为()2-=x k y ，则直线BD 的方程为()21--=x ky ．分别与椭圆的方程联立得到根与系数的关系，利用弦长公式可得AC ，BD ．利用四边形ABCD面积BD AC S 21=即可得到关于斜率k 的式子，再利用配方和二次函数的最值求法，即可得出．试题解析：解：（1）∵||||2MF MP =，∴点M 到定直线1l ：2-=x 的距离等于它到定点)0,2(2F 的距离，∴点M 的轨迹2C 是以1l 为准线，2F 为焦点的抛物线．∴点M 的轨迹2C 的方程为x y 82=．（2）当直线AC 的斜率存在且不为零时，直线AC 的斜率为k ，),(11y x A ，),(22y x C ，则直线BD 的斜率为k1-，直线AC 的方程为)2(-=x k y ，联立⎪⎩⎪⎨⎧=+-=148)2(22yx x k y ，得0888)12(2222=-+-+k x k x k ． ∴2221218k k x x +=+，22212188k k x x +-=．12)1(324)(1||22212212++=-+⋅+=k k x x x x k AC ．由于直线BD 的斜率为k 1-，用k 1-代换上式中的k 。

2016年河南省顶级名校高考数学二模试卷(理科)(解析版)

2016年河南省顶级名校高考数学二模试卷（理科）一、选择题：本大题共12个小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．（5分）已知集合A＝{x|﹣2≤x≤3}，B＝{x|x2+2x﹣8＞0}，则A∪B）A．（2，3]B．（﹣∞，﹣4）∪[﹣2，+∞）C．[﹣2，2）D．（﹣∞，3]∪（4，+∞）2．（5分）已知（﹣1+3i）（2﹣i）＝4+3i（其中i是虚数单位，是z的共轭复数），则z 的虚部为（）A．1B．﹣1C．i D．﹣i3．（5分）已知sin（x+）＝，则cos x+cos（﹣x）的值为（）A．﹣B．C．﹣D．4．（5分）某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积是（）A．2π﹣B．2π﹣C．D．2π﹣25．（5分）在如图所示的正方形中随机投掷10000 个点，则落入阴影部分（曲线C为正态分布N（﹣1，1）的密度曲线）的点的个数的估计值（）附“若X～N（μ，σ2），则P（μ﹣σ＜X≤μ+σ）＝0.6826．p（μ﹣2σ＜X≤μ+2σ）＝0.9544．A．1193B．1359C．2718D．34136．（5分）某学校10位同学组成的志愿者组织分别由李老师和张老师负责．每次献爱心活动均需该组织4位同学参加．假设李老师和张老师分别将各自活动通知的信息独立、随机地发给4位同学，且所发信息都能收到．则甲同学收到李老师或张老师所发活动通知信息的概率为（）A．B．C．D．7．（5分）设实数x，y满足，则xy的最大值为（）A．B．C．12D．148．（5分）已知椭圆+＝1（a＞b＞0）的左焦点F（﹣c，0）关于直线bx+cy＝0的对称点P在椭圆上，则椭圆的离心率是（）A．B．C．D．9．（5分）据气象部门预报，在距离某码头正西方向400km处的热带风暴中心正以20km/h 的速度向东北方向移动，距风暴中心300km以内的地区为危险区，则该码头处于危险区内的时间为（）A．9h B．10h C．11h D．12h10．（5分）已知四面体ABCD的顶点A，B，C，D在空间直角坐标系中的坐标分别为，O为坐标原点，则在下列命题中，正确的为（）A．OD⊥平面ABCB．直线OB∥平面ACDC．直线AD与OB所成的角是45°D．二面角D﹣OB﹣A为45°11．（5分）已知双曲线C：﹣＝1（a＞0，b＞0）的左、右焦点分别为F1，F2，O为坐标原点，P是双曲线在第一象限上的点，直线PO，PF2分别交双曲线C左、右支于另一点M，N，|PF1|＝2|PF2|，且∠MF2N＝60°，则双曲线C的离心率为（）A．B．C．D．12．（5分）设直线y＝t与曲线C：y＝x（x﹣3）2的三个交点分别为A（a，t），B（b，t），C（c，t），且a＜b＜c．现给出如下结论：①abc的取值范围是（0，4）；②a2+b2+c2为定值；③c﹣a有最小值无最大值．其中正确结论的个数为（）A．0B．1C．2D．3二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）13．（5分）已知向量＝（1，2），＝（1，0），＝（3，4），若λ为实数，（λ+）⊥，则λ的值为．14．（5分）在（x+y）（x+1）4的展开式中x的奇数次幂项的系数之和为32，则y的值是．15．（5分）三棱锥P﹣ABC中，平面P AC⊥平面ABC，P A＝PC＝AB＝2，AC＝4，∠BAC ＝30°．若三棱锥P﹣ABC的四个顶点都在同一球面上，则该球的表面积为．16．（5分）已知a n＝，删除数列{a n}中所有能被2整除的数，剩下的数从小到大排成数列{b n}，则b51＝．三、解答题（本大题共5小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）17．（12分）在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，且a＝2b，又sin A，sin C，sin B成等差数列．（Ⅰ）求cos（B+C）的值；（Ⅱ）若，求c的值．18．（12分）某城市随机抽取一年内100 天的空气质量指数（AQI）的监测数据，结果统计如表：（Ⅰ）若本次抽取的样本数据有30 天是在供暖季，其中有8 天为严重污染．根据提供的统计数据，完成下面的2×2 列联表，并判断是否有95%的把握认为“该城市本年的空气严重污染与供暖有关”？（Ⅱ）已知某企业每天的经济损失y（单位：元）与空气质量指数x的关系式为y＝试估计该企业一个月（按30 天计算）的经济损失的数学期望．参考公式：K2＝19．（12分）已知在多面体SP﹣ABCD中，底面ABCD为矩形，AB＝PC＝1，AD＝AS＝2，且AS∥CP且AS⊥面ABCD，E为BC的中点．（1）求证：AE∥面SPD；（2）求二面角B﹣PS﹣D的余弦值．20．（12分）已知抛物线E：y2＝2px（p＞0）上一点M（x0，4）到焦点F的距离|MF|＝x0．（Ⅰ）求E的方程；（Ⅱ）过F的直线l与E相交于A，B两点，AB的垂直平分线l′与E相交于C，D两点，若＝0，求直线l的方程．21．（12分）设函数f（x）＝e x﹣a（x+1）（e是自然对数的底数，e＝2.71828…）．（1）若f'（0）＝0，求实数a的值，并求函数f（x）的单调区间；（2）设g（x）＝f（x）+，且A（x1，g（x1）），B（x2，g（x2））（x1＜x2）是曲线y＝g （x）上任意两点，若对任意的a≤﹣1，恒有g（x2）﹣g（x1）＞m（x2﹣x1）成立，求实数m的取值范围；（3）求证：1n+3n+…+（2n﹣1）n＜．请考生在第22、23、24三题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分.解答时请写清题号.[选修4-1：几何证明选讲]22．（10分）如图，△ABC是内接于⊙O，AB＝AC，直线MN切⊙O于点C，弦BD∥MN，AC与BD相交于点E．（1）求证：△ABE≌△ACD；（2）若AB＝6，BC＝4，求AE．[选修4-4：坐标系与参数方程]．23．将圆x2+y2＝1上每一点的横坐标变为原来的2倍，纵坐标变为原来的 3 倍，得曲线Γ．（Ⅰ）写出Γ的参数方程；（Ⅱ）设直线l：3x+2y﹣6＝0与Γ的交点为P1，P2，以坐标原点为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，求过线段P1P2的中点且与l垂直的直线的极坐标方程．[选修4-5：不等式选讲]．24．已知函数f（x）＝|x+a|+|x﹣2|①当a＝﹣3时，求不等式f（x）≥3的解集；②f（x）≤|x﹣4|若的解集包含[1，2]，求a的取值范围．2016年河南省顶级名校高考数学二模试卷（理科）参考答案与试题解析一、选择题：本大题共12个小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．（5分）已知集合A＝{x|﹣2≤x≤3}，B＝{x|x2+2x﹣8＞0}，则A∪B）A．（2，3]B．（﹣∞，﹣4）∪[﹣2，+∞）C．[﹣2，2）D．（﹣∞，3]∪（4，+∞）【解答】解：由B中不等式变形得：（x﹣2）（x+4）＞0，解得：x＜﹣4或x＞2，即B＝（﹣∞，﹣4）∪（2，+∞），∵A＝[﹣2，3]，∴A∪B＝（﹣∞，﹣4）∪[﹣2，+∞），故选：B．2．（5分）已知（﹣1+3i）（2﹣i）＝4+3i（其中i是虚数单位，是z的共轭复数），则z 的虚部为（）A．1B．﹣1C．i D．﹣i【解答】解：（﹣1+3i）（2﹣i）＝4+3i，可得＝＝+1﹣3i＝＝2﹣i，z＝2+i，复数的虚部为：1．故选：A．3．（5分）已知sin（x+）＝，则cos x+cos（﹣x）的值为（）A．﹣B．C．﹣D．【解答】解：cos x+cos（﹣x）＝cos x+cos x+sin x＝cos x+sin x＝sin（x+）＝，故选：B．4．（5分）某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积是（）A．2π﹣B．2π﹣C．D．2π﹣2【解答】解：由三视图可知该几何体为圆柱挖去一个四棱锥得到的，圆柱的底面半径为1，高为2，棱锥的底面为正方形，边长为，棱锥的高为1，∴几何体的体积V＝π×12×2﹣＝2π﹣．故选：A．5．（5分）在如图所示的正方形中随机投掷10000 个点，则落入阴影部分（曲线C为正态分布N（﹣1，1）的密度曲线）的点的个数的估计值（）附“若X～N（μ，σ2），则P（μ﹣σ＜X≤μ+σ）＝0.6826．p（μ﹣2σ＜X≤μ+2σ）＝0.9544．A．1193B．1359C．2718D．3413【解答】解：正态分布的图象如下图：正态分布N（﹣1，1）则在（0，1）的概率如上图阴影部分，其概率为×[P（μ﹣2σ＜X≤μ+2σ）﹣P（μ﹣σ＜X≤μ+σ）]＝×（0.9544﹣0.6826）＝0.1359；即阴影部分的面积为0.1359；所以点落入图中阴影部分的概率为p＝＝0.1359；投入10000个点，落入阴影部分的个数期望为10000×0.1359＝1359．故选：B．6．（5分）某学校10位同学组成的志愿者组织分别由李老师和张老师负责．每次献爱心活动均需该组织4位同学参加．假设李老师和张老师分别将各自活动通知的信息独立、随机地发给4位同学，且所发信息都能收到．则甲同学收到李老师或张老师所发活动通知信息的概率为（）A．B．C．D．【解答】解：设A表示“甲同学收到李老师所发活动信息”，设B表示“甲同学收到张老师所发活动信息”，由题意P（A）＝＝，P（B）＝，∴甲冋学收到李老师或张老师所发活动通知信息的概率为：p（A+B）＝P（A）+P（B）﹣P（A）P（B）＝＝．故选：C．7．（5分）设实数x，y满足，则xy的最大值为（）A．B．C．12D．14【解答】解：法1：作出不等式组对应的平面区域如图由图象知y≤10﹣2x，则xy≤x（10﹣2x）＝2x（5﹣x））≤2（）2＝，当且仅当x＝，y＝5时，取等号，经检验（，5）在可行域内，故xy的最大值为，法2：设z＝xy，则y＝为双曲线，要使z＝xy最大，则z＞0，∵由图象可知当z＝xy与2x+y＝10相切时，z＝xy取得最大值，∴2x+＝10即2x2﹣10x+z＝0，由判别式△＝100﹣8z＝0，得x＝＝，即xy的最大值为，故选：A．8．（5分）已知椭圆+＝1（a＞b＞0）的左焦点F（﹣c，0）关于直线bx+cy＝0的对称点P在椭圆上，则椭圆的离心率是（）A．B．C．D．【解答】解：设P（m，n），由题意可得，∴m＝，n＝﹣，代入椭圆+＝1，解得e2（4e4﹣4e2+1）+4e2＝1，可得，4e6+e2﹣1＝0．即4e6﹣2e4+2e4﹣e2+2e2﹣1＝0，可得（2e2﹣1）（2e4+e2+1）＝0解得e＝．故选：D．9．（5分）据气象部门预报，在距离某码头正西方向400km处的热带风暴中心正以20km/h 的速度向东北方向移动，距风暴中心300km以内的地区为危险区，则该码头处于危险区内的时间为（）A．9h B．10h C．11h D．12h【解答】解：设码头为A，风暴中心开始位置为B，码头开始受风暴影响时风暴中心为C，码头结束风暴影响时风暴中心为D，则AB＝400，AC＝AD＝300，∠B＝45°，过A作AE⊥BD于E，则AE＝AB sin B＝200，∴CE＝＝100，∴CD＝2CE＝200，∴码头受风暴影响时间为＝10h．故选：B．10．（5分）已知四面体ABCD的顶点A，B，C，D在空间直角坐标系中的坐标分别为，O为坐标原点，则在下列命题中，正确的为（）A．OD⊥平面ABCB．直线OB∥平面ACDC．直线AD与OB所成的角是45°D．二面角D﹣OB﹣A为45°【解答】解：在A中：∵四面体ABCD的顶点A，B，C，D在空间直角坐标系中的坐标分别为，O为坐标原点，∴＝（﹣），＝（﹣1，1，0），＝（﹣1，0，1），＝，＝＝0，∴OD⊥AB，OD⊥AC，又AB∩AC＝A，∴OD⊥平面ABC，故A正确；在B中：∵＝（0，1，0），＝（﹣1，0，1），＝（﹣），设平面ACD的法向量＝（x，y，z），∴，取x＝1，得＝（1，﹣5，1），∵＝﹣5≠0，∴直线OB∥平面ACD不成立，故B错误；在C中：∵＝（0，1，0），＝（﹣），∴cos＜＞＝＝＝﹣，∴直线AD与OB所成的角不是45°，故C错误；在D中：＝（0，1，0），＝（1，0，0），＝（﹣），设平面AOB的法向量＝（a，b，c），则，∴＝（0，0，1），设平面AOD的法向量＝（x1，y1，z1），则，取y1＝1，得＝（0，1，﹣1），cos＜＞＝＝＝﹣，∴二面角D﹣OB﹣A为135°，故D错误．故选：A．11．（5分）已知双曲线C：﹣＝1（a＞0，b＞0）的左、右焦点分别为F1，F2，O为坐标原点，P是双曲线在第一象限上的点，直线PO，PF2分别交双曲线C左、右支于另一点M，N，|PF1|＝2|PF2|，且∠MF2N＝60°，则双曲线C的离心率为（）A．B．C．D．【解答】解：由题意，|PF1|＝2|PF2|，|PF1|﹣|PF2|＝2a，∴|PF1|＝4a，|PF2|＝2a，∵∠MF2N＝60°，∴∠F1PF2＝60°，由余弦定理可得4c2＝16a2+4a2﹣2•4a•2a•cos60°，∴c＝a，∴e＝＝．故选：B．12．（5分）设直线y＝t与曲线C：y＝x（x﹣3）2的三个交点分别为A（a，t），B（b，t），C（c，t），且a＜b＜c．现给出如下结论：①abc的取值范围是（0，4）；②a2+b2+c2为定值；③c﹣a有最小值无最大值．其中正确结论的个数为（）A．0B．1C．2D．3【解答】解：令f（x）＝x（x﹣3）2＝x3﹣6x2+9x，f′（x）＝3x2﹣12x+9，令f′（x）＝0得x＝1或x＝3．当x＜1或x＞3时，f′（x）＞0，当1＜x＜3时，f′（x）＜0．∴f（x）在（﹣∞，1）上是增函数，在（1，3）上是减函数，在（3，+∞）上是增函数，当x＝1时，f（x）取得极大值f（1）＝4，当x＝3时，f（x）取得极小值f（3）＝0．作出函数f（x）的图象如图所示：∵直线y＝t与曲线C：y＝x（x﹣3）2有三个交点，∴0＜t＜4．令g（x）＝x（x﹣3）2﹣t＝x3﹣6x2+9x﹣t，则a，b，c是g（x）的三个实根．∴abc＝t，a+b+c＝6，ab+bc+ac＝9，∴a2+b2+c2＝（a+b+c）2﹣2（ab+bc+ac）＝18．由函数图象可知f（x）在（0，1）上的变化率逐渐减小，在（3，4）上的变化率逐渐增大，∴c﹣a的值先增大后减小，故c﹣a存在最大值，不存在最小值．故①，②正确，故选：C．二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）13．（5分）已知向量＝（1，2），＝（1，0），＝（3，4），若λ为实数，（λ+）⊥，则λ的值为．【解答】解：由题意可得λ+＝（1+λ，2λ）∵（λ+）⊥，∴（λ+）•＝0，代入数据可得3（1+λ）+4×2λ＝0，解之可得λ＝﹣故答案为：．14．（5分）在（x+y）（x+1）4的展开式中x的奇数次幂项的系数之和为32，则y的值是3．【解答】解：∵（x+y）（x+1）4 ＝（x+y）（x4+4x3+6x2+4x+1）＝x5+4x4+6x3+4x2+x+y•x4+4yx3+6yx2+4yx+y，∴展开式中x的奇数次幂项的系数之和为1+6+1+4y+4y＝32，∴y＝3，故答案为：3．15．（5分）三棱锥P﹣ABC中，平面P AC⊥平面ABC，P A＝PC＝AB＝2，AC＝4，∠BAC ＝30°．若三棱锥P﹣ABC的四个顶点都在同一球面上，则该球的表面积为18π．【解答】解：∵AB＝2，AC＝4，∠BAC＝30°，∴BC＝＝2，∴三角形ABC的外接圆直径AC＝4，设球心为O，AC的中点为D，球的半径为R，则PD＝2∴R2＝（2﹣R）2+4，则有该三棱锥的外接球的半径R＝，∴该三棱锥的外接球的表面积为S＝4πR2＝4π×（）2＝18π．故答案为：18π．16．（5分）已知a n＝，删除数列{a n}中所有能被2整除的数，剩下的数从小到大排成数列{b n}，则b51＝5151．【解答】解：∵a n＝，∴，，＝6，，，，，，…∵a n＝，删除数列{a n}中所有能被2整除的数，剩下的数从小到大排成数列{b n}，∴b51＝a101＝＝5151．故答案为：5151．三、解答题（本大题共5小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）17．（12分）在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，且a＝2b，又sin A，sin C，sin B成等差数列．（Ⅰ）求cos（B+C）的值；（Ⅱ）若，求c的值．【解答】（本小题满分12分）解：（Ⅰ）∵sin A，sin C，sin B成等差数列，∴sin A+sin B＝2sin C，（1分）由正弦定理得a+b＝2c，（3分）又a＝2b，可得，（4分）]∴，（6分）∵A+B+C＝π，∴B+C＝π﹣A，∴．（8分）（Ⅱ）由，得，（9分）∴，（10分）∴，解得．（12分）18．（12分）某城市随机抽取一年内100 天的空气质量指数（AQI）的监测数据，结果统计如表：（Ⅰ）若本次抽取的样本数据有30 天是在供暖季，其中有8 天为严重污染．根据提供的统计数据，完成下面的2×2 列联表，并判断是否有95%的把握认为“该城市本年的空气严重污染与供暖有关”？（Ⅱ）已知某企业每天的经济损失y（单位：元）与空气质量指数x的关系式为y＝试估计该企业一个月（按30 天计算）的经济损失的数学期望．参考公式：K2＝【解答】解：（Ⅰ）根据题设中的数据得到如下2×2列联表：将2×2列联表中的数据代入公式计算，得：K2＝≈4.575．∵4.575＞3.841∴由95%的把握认为：“该城市本年的空气严重污染与供暖有关”（Ⅱ）任选一天，设该天的经济损失为X元，则：P（X＝0）＝P（0≤x≤100）＝P（X＝400）＝P（100＜x≤300）＝，P（X＝2000）＝P（x＞300）＝∴E（X）＝0×+400×+2000×＝560．∴该企业一个月（按30 天计算）的经济损失的数学期望为30×E（X）＝16800元．19．（12分）已知在多面体SP﹣ABCD中，底面ABCD为矩形，AB＝PC＝1，AD＝AS＝2，且AS∥CP且AS⊥面ABCD，E为BC的中点．（1）求证：AE∥面SPD；（2）求二面角B﹣PS﹣D的余弦值．【解答】证明：（1）取SD的中点F，连接PF，过F作FQ⊥面ABCD，交AD于Q，连接QC，∵AS⊥面ABCD，∴AS∥FQ，QF为SD的中点，∴Q为AD的中点，FQ＝AS，PC＝AS，∴FQ＝PC，且FQ∥PC，∴CPFQ为平行四边形，∴PF∥CQ，又∵AQ∥∥EC，AQ＝EC，∴四边形AECQ为平行四边形，∴AE∥CQ，又PF∥CQ，∴AE∥PF，∴PF⊂面SPD，AE⊄面SPD，∴AE∥面SPD．解：（2）分别以AB，AD，AS所在的直线为x，y，z轴，以A点为坐标原点建立空间直角坐标系A﹣xyz，则B（1，0，0），D（0，2，0），S（0，0，2），P（1，2，1），＝（1，2，﹣1），＝（1，0，﹣2），＝（0，2，﹣2），设面BPS与面SPD的法向量分别为＝（x，y，z），＝（a，b，c），则，即，取z＝2，得＝（4，﹣1，2），，即，取c＝1，得＝（﹣1，1，1），两平面的法向量所成的角的余弦值为：cos＜＞＝＝＝﹣．∵二面角B﹣PS﹣D为钝角，∴该二面角的余弦值为﹣．20．（12分）已知抛物线E：y2＝2px（p＞0）上一点M（x0，4）到焦点F的距离|MF|＝x0．（Ⅰ）求E的方程；（Ⅱ）过F的直线l与E相交于A，B两点，AB的垂直平分线l′与E相交于C，D两点，若＝0，求直线l的方程．【解答】解：（Ⅰ）抛物线E：y2＝2px（p＞0）上一点M（x0，4）到焦点F的距离|MF|＝x0．可得x0+＝x0，又16＝2px0，解得p＝2，则E的方程为y2＝4x；（Ⅱ）由题意可得，直线l和坐标轴不垂直，y2＝4x的焦点F（1，0），设l的方程为x＝my+1（m≠0），代入抛物线方程可得y2﹣4my﹣4＝0，显然判别式△＝16m2+16＞0，y1+y2＝4m，y1•y2＝﹣4．可得AB的中点坐标为G（2m2+1，2m），弦长|AB|＝•|y1﹣y2|＝•＝4（m2+1）．又直线l′的斜率为﹣m，可得直线l′的方程为x＝﹣y+2m2+3．过F的直线l与C相交于A、B两点，若AB的垂直平分线l′与E相交于C，D两点，把l′的方程代入抛物线方程可得y2+y﹣4（2m2+3）＝0，可得y3+y4＝﹣，y3•y4＝﹣4（2m2+3）．故线段CD的中点H的坐标为（+2m2+3，﹣），即有|CD|＝•|y3﹣y4|＝•＝，由•＝0，故ACBD四点共圆等价于|AH|＝|BH|＝|CD|，即AB2+GH2＝CD2，可得4（m2+1）2 +（2m+）2+（+2）2＝（）2，化简可得m2﹣1＝0，即m＝±1，可得直线l的方程为x﹣y﹣1＝0，或x+y﹣1＝0．21．（12分）设函数f（x）＝e x﹣a（x+1）（e是自然对数的底数，e＝2.71828…）．（1）若f'（0）＝0，求实数a的值，并求函数f（x）的单调区间；（2）设g（x）＝f（x）+，且A（x1，g（x1）），B（x2，g（x2））（x1＜x2）是曲线y＝g （x）上任意两点，若对任意的a≤﹣1，恒有g（x2）﹣g（x1）＞m（x2﹣x1）成立，求实数m的取值范围；（3）求证：1n+3n+…+（2n﹣1）n＜．【解答】解：（1）∵f（x）＝e x﹣a（x+1），∴f′（x）＝e x﹣a，∵f′（0）＝1﹣a＝0，∴a＝1，∴f′（x）＝e x﹣1，由f′（x）＝e x﹣1＞0，得x＞0；由f′（x）＝e x﹣1＜0，得x＜0，∴函数f（x）的单调增区间为（0，+∞），单调减区间为（﹣∞，0）．…（6分）（2）由＞m，（x1＜x2）变形得：g（x2）﹣mx2＞g（x1）﹣mx1，令函数F（x）＝g（x）﹣mx，则F（x）在R上单调递增，∴F′（x）＝g′（x）﹣m≥0，即m≤g′（x）在R上恒成立，，故m≤3．∴实数m的取值范围是（﹣∞，3]．证明：（3）由（1）知e x≥x+1，取（i＝1，3，…，2n﹣1）得，，即，累加得：．∴．…（14分）请考生在第22、23、24三题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分.解答时请写清题号.[选修4-1：几何证明选讲]22．（10分）如图，△ABC是内接于⊙O，AB＝AC，直线MN切⊙O于点C，弦BD∥MN，AC与BD相交于点E．（1）求证：△ABE≌△ACD；（2）若AB＝6，BC＝4，求AE．【解答】（1）证明：在△ABE和△ACD中，∵AB＝AC，∠ABE＝∠ACD又∠BAE＝∠EDC∵BD∥MN∴∠EDC＝∠DCN∵直线是圆的切线，∴∠DCN＝∠CAD∴∠BAE＝∠CAD∴△ABE≌△ACD（2）解：∵∠EBC＝∠BCM∠BCM＝∠BDC∴∠EBC＝∠BDC＝∠BACBC＝CD＝4又∠BEC＝∠BAC+∠ABE＝∠EBC+∠ABE＝∠ABC＝∠ACB∴BC＝BE＝4设AE＝x，易证△ABE∽△DEC∴∴DE＝又AE•EC＝BE•ED EC＝6﹣x∴4×∴x＝即要求的AE的长是[选修4-4：坐标系与参数方程]．23．将圆x2+y2＝1上每一点的横坐标变为原来的2倍，纵坐标变为原来的 3 倍，得曲线Γ．（Ⅰ）写出Γ的参数方程；（Ⅱ）设直线l：3x+2y﹣6＝0与Γ的交点为P1，P2，以坐标原点为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，求过线段P1P2的中点且与l垂直的直线的极坐标方程．【解答】解：（1）设点（x1，y1）为圆上的任意一点，在已知变换下变为T上点（x，y），根据题意，得，即，根据，得，即曲线T的方程为，所以，曲线T的参数方程为（t为参数）．（2）联立方程组，解得或，不妨设点P1（2，0），P2（0，3），则线段的中点坐标为（1，），所求直线的斜率k＝，于是所求直线方程为：y﹣＝（x﹣1），即4x﹣6y+5＝0，将此化为极坐标方程，得到4ρcosθ﹣6ρsinθ+5＝0．[选修4-5：不等式选讲]．24．已知函数f（x）＝|x+a|+|x﹣2|①当a＝﹣3时，求不等式f（x）≥3的解集；②f（x）≤|x﹣4|若的解集包含[1，2]，求a的取值范围．【解答】解：（1）当a＝﹣3时，f（x）≥3 即|x﹣3|+|x﹣2|≥3，即，可得x≤1；，可得x∈∅；，可得x≥4．取并集可得不等式的解集为{x|x≤1或x≥4}．（2）原命题即f（x）≤|x﹣4|在[1，2]上恒成立，等价于|x+a|+2﹣x≤4﹣x在[1，2]上恒成立，等价于|x+a|≤2，等价于﹣2≤x+a≤2，﹣2﹣x≤a≤2﹣x在[1，2]上恒成立．故当1≤x≤2时，﹣2﹣x的最大值为﹣2﹣1＝﹣3，2﹣x的最小值为0，故a的取值范围为[﹣3，0]．。

河南省2016届高三普通高等学校招生全国统一考试数学(理)押题卷二含答案

数学(理）第Ⅰ卷(共60分）一、选择题：本大题共12个小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.1。

已知i 是虚数单位,若复数—3i(a+i)(a∈R）的实部与虚部相等，则a=（ )A ．-1B ．-2C ．1D ．2 2。

已知集合{}{}a N Z x x x x M ,0,,0522=∈<+=，若∅≠N M ，则a=（）A ．-1B ．2C ．—1或2D ．-1或-23.已知随机变量ξ服从正态分布),1(2σN ，若8.0)2(=≤ξP ，则=≤≤)20(ξP （）A ．0。

2B ．0.4C ．0.5D ．0。

6 4.已知平面向量a 与b 的夹角为3π,1322==+b b a ,=a （）A ．1B ．3C ．2D ．35。

执行如图所示的程序框图,若输入的n 的值为5，则输出的S 的值为（）A ．17B ．36C ．52D ．72 6。

将函数x x f ωsin )(=（其中0>ω）的图象向右平移4π个单位长度，所得的图象经过点)0,43(π，则ω的最小值是（）A ．31B ．1C ．35D ．27。

已知数列{}na 满足)(2728*∈-+=N n n ann.若数列{}n a 的最大项和最小项分别为M 和m ，则M+m=（）A ．211 B ．227 C ．32259 D ．324358。

若x ，y 满足约束条件⎪⎩⎪⎨⎧≥≤-+≥+-,0,033,033y y x y x 则当31++x y 取最大值时，x+y 的值为（）A ．—1B ．1C ．3-D ．39。

已知在平面直角坐标系xOy 中,点)0)(,0(),,0(>-n n B n A 。

命题P ：若存在点P 在圆1)1()3(22=-++y x 上，使得2π=∠APB ，则31≤≤n ；命题q ：函数x xx f 3log 4)(-=在区间（3,4)内没有零点。

【河南省许昌、新乡、平顶山】2016年高考二模(理科)数学试卷-答案

17．解：（Ⅰ）由题意，411211256426a d b q a d b q ⎧++=⎪⎨++=⎪⎩g g ，代入得422235624326d q d q ⎧++=⎪⎨++=⎪⎩g g ，消d 得422280q q --=， ∴22()(0)274q q +-=，∵{}n b 是各项都为正数的等比数列， ∴2q = 进而3d =，∴31n a n =-，2132n bn -=g（Ⅱ）记213221n n c n -=+g ，则21121320(21)(23)n n n n c c n n -+--=>++g g∴n c 最小值为11c =， ∵22321nb x x n -+≤+对任意*n ∈N 恒成立， ∴232x x -+≤， ∴2x ≥，或1x ≤18．解：(1)把“学生晚上有效时间达到两小时”作为是否充分利用时间的标准，对抽取的100名学生，完成下列2×2列联表如下：利用时间充分利用时间不充分总计走读生 50 25 75 住宿生 10 15 25 总计 60 40100…22100(50152510) 5.55675254060k ⨯⨯-⨯=≈⨯⨯⨯由于23841k >.，所以有95%的把握认为学生利用时间是否充分与走读、住宿有关… (2)设第i 组的频率为P i (i =1，2，…，8)，则由图可知：111303000100P =⨯=，21430750100P =⨯=，311030300100P =⨯=， ∴第①组1人，第②组4人，第③组10人．则x 的所有可能取值为0，1，2，3，3510315()(0,1,2,3)i iC C P x i i C -====， ∴0351031524(0)94C C P x C ===， 1251031545(1)91C C P x C ===，2151031520(2)91C C P x C ===，305103152(3)91C C P x C ===…19．解：不妨设正三角形ABC 的边长为3．（1）在图1中，取BE 的中点D ，连结DF ． ∵::1:2AE EB CF FA ==， ∴2AF AD ==．而60A ∠=o ， ∴ADF △是正三角形．又1AE DE ==， ∴EF AD ⊥．在图2中，1A E EF ⊥，BE EF ⊥， ∴1A EB ∠为二面角1A EF B --的平面角．由题设条件知此二面角为直二面角， ∴1A E BE ⊥，又BE EF E =I ，∴1A E BEF ⊥平面，即1A E BEP ⊥平面．（2）由（1）知，即1A E BEP ⊥平面，BE EF ⊥．以E 为原点，以EB 、EF 、1EA 分别为x 、y 、z 轴建立如图3所示的坐标系如图，则1(0,0,1)A ，(2,0,0)B，F，P ．∴1(2,0,1)A B =-u u u r，11)A P =-u u u r，11)A F =-u u u u r．设111(,,)m x y z =u r ，222(,,)n x y z =r分别是平面1A BP 和平面1A PF 的法向量，由1100m A B m A P ⎧=⎪⎨=⎪⎩u r u u u r g u r u u u r g得11111200x z x z -=⎧⎪⎨-=⎪⎩．取11y =，得m =u r．由1100n A F m A P ⎧=⎪⎨=⎪⎩r u u u u rg u r u u u r g得2222200z x z -=+-=⎪⎩．取21y =，得n =r ，所以7cos(,)8||||m n m n m n ==u r ru r r g ur r ． 820．解：（1）抛物线C ：20)2(x py p =>的焦点为F ，(0,)2F ，当l 的倾斜角为45o 时，l 的方程为2p y x =+ 设11)(,A x y ，22(),B x y ，由222p y x x py ⎧=+⎪⎨⎪=⎩，得2220x px p =﹣﹣，122x x p +=，12123y y x x p p +=++=，得AB 中点为3(,)2D p p AB 中垂线为3()2y p x p -=--， 0x =代入得553y p ==．∴2p =（2）设l 的方程为1y kx =+，代入24x y =得2440x kx --=，21212||2()444AB y y k x x k =++=++=+，AB 中点为22,2()1D k k +令2MDN α∠=，12||||2S AB AB αα==g g ， ∴||SAB α= D 到x 轴的距离2|2|1DE k =+，22||21cos =122||2DE k k AB α+=+当20k =时cos α取最小值1，α的最大值为π． 21．解：（1）22111()(1)a ax x a f x a x x x x --++-'=--=>，令()[(1)](1)g x ax a x =----当0a =时，()1g x x =-，,)(1x ∈+∞时，()()00()g x f x f x '>⇒>⇒单调递增，0a <时，由0x >，得10()ax a --<，所以,()1x ∈+∞时，()()00()g x f x f x '>⇒>⇒单调递增，当0a >时，1()[1()()]ag x a x x a-=--，若11a a -=，则12a = 当102a <<，1)(1,a x a -∈，0()f x '>，()f x 单调递增，当12a =，()f x 在(0,)+∞上无递增区间，当112a <≤时，,)(11a x a-∈，)0(f x '>，()f x 单调递增，当1a >时，1()0,x ∈时，)'(0f x >，()f x 单调递增．综上所述，当0a ≤时，单调递增区间为(1,)+∞；当102a <<时，单调递增区间为(11,)a a -；当12a =时，无单调递增区间；112a <≤时，单调递增区间为(1,1)a a -；当1a >时，单调递增区间为(0,1)．（2）由题知函数∴221(1)()11()aa x x a a f x a x xx ----'=--=．①当11(,)32a ∈时，11210a aa a ---=>，于是1()0,x ∈和,)(1ax a-∈+∞时，0()f x '<，()f x 单调递减；1)(1,x a a -∈时，0()f x '>，()f x 单调递增；又因为12a a-<，要对任意实数3[]2,t ∈，当,(]0x t ∈时，函数()f x 的最小值为()f t ，只需要()2)(1f f ≤，即ln2211222a a a -+≤-++-，12ln212a -≤<2ln21a ≥-解得．∵12ln212≥-， ∴12ln212a -≤<；②当12a =时，11aa-=，221(1)2()x f x x --'=，在,()0x ∈+∞上，恒有0()f x '≤，有且仅有0()1f '=，故()f x 在(0)+∞,上单调递减，显然成立．③当112a <<时，10a a ->，11210a a a a ---=<，于是1()0,ax a -∈和,()1x ∈+∞时，0()f x '<，()f x 单调递减；1()1,a x a-∈时，0()f x '>，()f x 单调递增；要对任意实数3[]2,t ∈，当,(]0x t ∈时，函数()f x 的最小值为()f t ，只需要(2)(1)af f a≤-，即1193(1)1ln22ln n2l 22ln a a a a a a a a ----++≥-+⇔+≥+；令191,(,1)2()l 2na a a a g a -+∈=， 9(31)(32)22(1()(1))1g a a a a a a --'+=-=-，所以()g a 在12(,)23上单调递减，在2(,1)3上单调递增减，23()()3ln2ln232g a g ≥=->+，所以此时恒定满足题意。

2016年河南省重点中学协作体高考数学二模(理)

2016年河南省重点中学协作体高考数学二模（理）一、选择题．在每小题所给的A、B、C及D四个选项中，只有一个选项最符合题意，每小题分值为5分，共60分．1．设复数z=（i为虚数单位），z的共轭复数为，则在复平面内i对应当点的坐标为（）A．（1，1）B．（﹣1，1）C．（1，﹣1）D．（﹣1，﹣1）【考点】复数代数形式的乘除运算．【专题】数系的扩充和复数．【分析】化简复数为a+bi的形式，即可得到复数i对应当点的坐标．【解答】解：复数z=====﹣1+i，i=1﹣i，在复平面内i对应当点的坐标为（1，﹣1）．故选C．【点评】本题考查复数代数形式的混合运算，复数对应的点的几何意义，基本知识的考查．2．设m，n是两条不同的直线，α，β，γ是三个不同的平面，则下列为假命题的是（）A．若m⊥α，n∥α，则m⊥n B．若α∥β，β∥γ，m⊥α，则m⊥γC．若m⊥α，n⊥β，m∥n，则α∥βD．若α⊥γ，β⊥γ，则α∥β【考点】空间中直线与平面之间的位置关系．【专题】空间位置关系与距离．【分析】利用空间中线线、线面、面面的位置关系求解．【解答】解：若m⊥α，n∥α，则由直线与平面垂直的性质得m⊥n，故A正确；若α∥β，β∥γ，m⊥α，则平面与平面平行的判定定理和直线与平面垂直的判定定理得m⊥γ，故B正确；若m⊥α，n⊥β，m∥n，则平面与平面平行的判定定理得α∥β，故C正确；若α⊥γ，β⊥γ，则α与β平行或相交，故D错误．故选：D．【点评】本题考查命题真假的判断，是基础题，解题时要认真审题，注意空间思维能力的培养．3．函数y=（a＞0，a≠1）的定义域和值域都是[0，1]，则loga+loga=（）A．1B．2C．3D．4【考点】函数的值域；函数的定义域及其求法．【专题】函数的性质及应用．【分析】根据函数定义域和值域的关系，判断函数的单调性，结合对数的运算法则进行求解即可．【解答】解：当x=1时，y=0，则函数为减函数，故a＞1，则当x=0时，y=1，即y==1，即a﹣1=1，则a=2，则loga+loga=loga（•）=log28=3，故选：C．【点评】本题主要考查对数的基本运算以及函数定义域和值域的应用，比较基础．4．下列有关命题的说法错误的是（）A．命题“若x2﹣1=0，则x=1”的逆否命题为：“若x≠1则x2﹣1≠0”B．“x=1”是“x2﹣3x+2=0”的充分不必要条件C．若p∧q为假命题，则p、q均为假命题D．对于命题p：∃x∈R使得x2+x+1＜0，则¬p：∀x∈R均有x2+x+1≥0【考点】命题的真假判断与应用．【专题】简易逻辑．【分析】直接写出命题的逆否命题判断A；求解一元二次方程判断B；由复合命题的真假判断方法判断C；写出特称命题的否定判断D．【解答】解：命题“若x2﹣1=0，则x=1”的逆否命题为：“若x≠1则x2﹣1≠0”，A正确；由x2﹣3x+2=0，解得：x=1或x=2，∴“x=1”是“x2﹣3x+2=0”的充分不必要条件，B正确；当p、q一真一假时，命题p∧q为假命题，C错误；对于命题p：∃x∈R使得x2+x+1＜0，则¬p：∀x∈R均有x2+x+1≥0，正确．故选：C．【点评】本题考查命题的真假判断与应用，考查了逆否命题、命题的否定的写法、考查充分必要条件的判定方法，是基础题．5．多面体的三视图如图所示，则该多面体的表面积为（单位：cm）（）A．28+4B．30+4C．30+4D．28+4【考点】由三视图求面积、体积．【专题】空间位置关系与距离．【分析】如图所示，由三视图可知：该几何体为三棱锥P﹣AB C．其中平面P AB⊥平面ABC，PB⊥AB，PB=AB=4，D为AB的中点，CD⊥AB，CD=4．即可得出．【解答】解：如图所示，由三视图可知：该几何体为三棱锥P﹣AB C．其中平面P AB⊥平面ABC，PB⊥AB，PB=AB=4，D为AB的中点，CD⊥AB，CD=4．∴该多面体的表面积S=+++=28+4．故选：A．【点评】本题考查了三棱锥的三视图的表面积、勾股定理、三角形的面积计算公式，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．6．若直线x﹣y=2被圆（x﹣a）2+y2=4所截得的弦长为，则实数a的值为（）A．﹣1或B．1或3C．﹣2或6D．0或4【考点】直线与圆相交的性质．【专题】计算题．【分析】由圆的方程，得到圆心与半径，再求得圆心到直线的距离，由求解．【解答】解：∵圆（x﹣a）2+y2=4∴圆心为：（a，0），半径为：2圆心到直线的距离为：∵解得a=4，或a=0故选D．【点评】本题主要考查直与圆的位置关系及其方程的应用，是常考题型，属中档题．7．数列{an}的前n项和Sn，若Sn﹣Sn﹣1=2n﹣1（n≥2），且S2=3，则a1的值为（）A．0B．1C．3D．5【考点】数列递推式．【专题】方程思想；数学模型法；等差数列与等比数列．【分析】Sn﹣Sn﹣1=2n﹣1（n≥2），可得S2﹣S1=22﹣1=3，又S2=3，代入解出即可得出．【解答】解：∵Sn﹣Sn﹣1=2n﹣1（n≥2），∴S2﹣S1=22﹣1=3，又S2=3，∴S1=0，则a1=0．故选：A．【点评】本题考查了递推关系的应用，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．8．假设在5秒内的任何时刻，两条不相关的短信机会均等地进人同一部手机，若这两条短信进人手机的时间之差小于2秒，手机就会受到干扰，则手机受到干扰的概率为（）A．B．C．D．【考点】几何概型．【专题】计算题；概率与统计．【分析】根据几何概型的概率公式求出对应的测度，即可得到结论．【解答】解：分别设两个互相独立的短信收到的时间为x，y．则所有事件集可表示为0≤x≤5，0≤y≤5．由题目得，如果手机受则到干扰的事件发生，必有|x﹣y|≤2．三个不等式联立，则该事件即为x﹣y=2和y﹣x=2在0≤x≤5，0≤y≤5的正方形中围起来的图形即图中阴影区域而所有事件的集合即为正方型面积52=25，阴影部分的面积25﹣2×（5﹣2）2=16，所以阴影区域面积和正方形面积比值即为手机受到干扰的概率为．故选：C．【点评】本题主要考查几何概型的概率的计算，分别求出对应区域的面积是解决本题的关键，比较基础．9．已知在△ABC中，S为△ABC的面积，若向量满足，则C=（）A．30°B．45°C．60°D．120°【考点】余弦定理；平面向量共线（平行）的坐标表示．【专题】计算题．【分析】利用平面向量平行的条件列出关系式，再利用三角形每句话公式表示出S，代入整理后利用余弦定理求出cosC的值，由C为三角形的内角，利用特殊角的三角函数值即可求出C的度数．【解答】解：∵=（4，a2+b2﹣c2），=（，S），且S=absinC，∥，∴4S=2absinC=（a2+b2﹣c2），∵cosC=，∴sinC=cosC，即tanC=，又C为三角形的内角，∴C=60°．故选C【点评】此题考查了余弦定理，平面向量共线（平行）的坐标表示，以及同角三角函数间的基本关系，熟练掌握余弦定理是解本题的关键．10．函数f（x）=cos的在下列哪个区间上单调递增（）A．B．C．D．【考点】三角函数中的恒等变换应用；正弦函数的图象．【专题】三角函数的图像与性质．【分析】由三角函数中的恒等变换应用化简函数解析式可得f（x）=sin（x+），由2kπ≤x+≤2kπ，k∈Z可解得函数f（x）在[﹣，]区间上单调递增，结合选项即可得解．【解答】解：∵f（x）=cos=sinx+=sin（x+），∴由2kπ≤x+≤2kπ，k∈Z可解得：2kπ﹣≤x≤2kπ，k∈Z∴当k=0时有函数f（x）在[﹣，]区间上单调递增，又⊂[﹣，]．故选：D．【点评】三角函本题主要考查了三角函数中的恒等变换应用，正弦函数的图象和性质，属于基本知识的考查．11．已知△ABC外接圆O的半径为1，且•=﹣．∠C=，从圆O内随机取一个点M，若点M取自△ABC内的概率恰为，则△ABC的形状为的形状为（）A．直角三角形B．等边三角形C．钝角三角形D．等腰直角三角形【考点】几何概型．【专题】概率与统计．【分析】根据向量的数量积求得∠AOB=，进而求得AB的长度，利用几何概型的概率公式求出三角形ABC的面积，利用三角形的面积公式即可求出三角形各边的长度即可得到结论．【解答】解：∵•=﹣，圆的半径为1，∴cos∠AOB=﹣又0＜∠AOB＜π，故∠AOB=，又△AOB为等腰三角形，故AB=，从圆O内随机取一个点，取自△ABC内的概率为，即=，∴S，设BC=a，AC=b．∵C=，∴，得ab=3，…①由AB2=a2+b2﹣2abcosC=3，得a2+b2﹣ab=3，a2+b2=6…②联立①②解得a=b=．∴△ABC为等边三角形．故选：B．【点评】本题主要考查几何概型的应用，以及向量积的计算，利用余弦定理是解决本题的关键，本题综合性较强，有一定的难度．12．（5分）（2014•安徽）若将函数f（x）=sin2x+cos2x的图象向右平移φ个单位，所得图象关于y轴对称，则φ的最小正值是（）A．B．C．D．【考点】函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换．【专题】三角函数的求值．【分析】利用两角和的正弦函数对解析式进行化简，由所得到的图象关于y轴对称，根据对称轴方程求出φ的最小值．【解答】解：函数f（x）=sin2x+cos2x=sin（2x+）的图象向右平移φ的单位，所得图象是函数y=sin（2x+﹣2φ），图象关于y轴对称，可得﹣2φ=kπ+，即φ=﹣，当k=﹣1时，φ的最小正值是．故选：C．【点评】本题考查三角函数的图象变换，考查正弦函数图象的特点，属于基础题．二．填空题．每小题5分，共25分．13．在△ABC中，AB=3，AC=2，，则=\frac{3}{2}．【考点】平面向量数量积的运算．【专题】平面向量及应用．【分析】利用余弦定理计算cosA，再利用向量的数量积公式，即可求得结论．【解答】解：∵△ABC中，AB=3，AC=2，，∴由余弦定理，可得=∴=3×2×=故答案为：【点评】本题考查余弦定理，考查向量的数量积公式，考查学生的计算能力，正确运用余弦定理是关键．14．双曲线C：x2﹣y2=a2的中心在原点，焦点在x轴上，C与抛物线y2=16x的准线交于A、B两点，，则双曲线C的方程为\frac{x^2}{4}﹣\frac{y^2}{4}=1．【考点】抛物线的简单性质；双曲线的简单性质．【专题】圆锥曲线的定义、性质与方程．【分析】根据双曲线方程，求出抛物线的准线方程，利用|AB|=4，即可求得结论．【解答】解：∵抛物线y2=16x，2p=16，p=8，∴=4．∴抛物线的准线方程为x=﹣4．设等轴双曲线与抛物线的准线x=﹣4的两个交点A（﹣4，y），B（﹣4，﹣y）（y＞0），则|AB|=|y﹣（﹣y）|=2y=4 ，∴y=2 ．将x=﹣4，y=2 代入双曲线C：x2﹣y2=a2，得（﹣4）2﹣（2 ）2=a2，∴a2=4∴等轴双曲线C的方程为x2﹣y2=4，即．故答案为：．【点评】本题考查抛物线，双曲线的几何性质，考查学生的计算能力，属于基础题．15．已知x，y∈（0，+∞），，则的最小值为3．【考点】基本不等式在最值问题中的应用．【专题】计算题；函数的性质及应用；不等式的解法及应用．【分析】由可得x+y=3；化简=•+•=++，从而利用基本不等式求最值．【解答】解：∵，∴x﹣3=﹣y；即x+y=3；故=•+•=++≥+2=+=3；（当且仅当=，即x=1，y=2时，等号成立）故答案为：3．【点评】本题考查了函数的性质的应用及基本不等式的应用，属于中档题．16．如图，在Rt△ABC中，∠A=90°，D是AC上一点，E是BC上一点，若AB=BD，CE=EB，∠BDE=120°，CD=3，则BC=\sqrt{39}．【考点】余弦定理；正弦定理．【专题】计算题；解三角形．【分析】经E点作EF⊥AC于F点，设AB=x，则由题意可求得BD，AD，AC，BC2，EF，ED，△EDB中，由余弦定理知：x2+4x2﹣2××4x2×（﹣）=BC2=x2+（3+x）2，整理可得：3x2﹣2x﹣3=9，可解得x，从而可求B C．【解答】解：如图，经E点作EF⊥AC于F点，设AB=x，则由题意可得，BD=2x，AD=x，AC=3+x，BC2=x2+（3+x）2，∵△CEF∽△ABC，∴==，即有EF=x，∵∠BDE=120°，AB=BD，∴∠EDF=30°，∴ED=2EF=x，∴△EDB中，由余弦定理知：BE2=DE2+BD2﹣2ED×BD×cos120°=x2+4x2﹣2××4x2×（﹣）=BC2=[x2+（3+x）2]，整理可得：3x2﹣2x﹣3=9，∴可解得：x=或﹣（舍去），∴BC2=x2+（3+x）2=39，可解得：BC=．故答案为：．【点评】本题主要考察了余弦定理的应用，属于基本知识的考查．17．数列{an}的前n项和为Sn，2Sn﹣nan=n（n∈N*），若S20=﹣360，则a2=﹣1．【考点】数列递推式；数列的求和．【专题】等差数列与等比数列．【分析】由已知得Sn=，从而，解得a1=1，进而，由此得到{an}是等差数列，从而由已知条件利用等差数列的性质能求出a2．【解答】解：∵2Sn﹣nan=n（n∈N*），∴Sn=，∴，解得a1=1，∴，∴{an}是等差数列，∵S20=﹣360，∴S20==﹣360，解得a20+1=﹣36，即a20=﹣37，∴19d=a20﹣a1=﹣38，解得d=﹣2，∴a2=a1+d=1﹣2=﹣1．故答案为：﹣1．【点评】本题考查数列的第二项的值的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意等差数列的性质的合理运用．三、解答题：解答时必须写出必要的过程和文字解释．18．已知函数．（1）设，且，求θ的值；（2）在△ABC中，AB=1，，且△ABC的面积为，求sinA+sinB的值．【考点】余弦定理；同角三角函数基本关系的运用；两角和与差的余弦函数；正弦定理．【专题】计算题．【分析】（1）利用二倍角公式及辅助角公式对函数化简可得，f（x）=2cos（x+）+，由可得，cos（θ+）=，结合已知可求θ的值；（2）由（1）知由已知面积可得，从而有由余弦定理得可得a2+b2=再由正弦定理得可求．【解答】解：（1）==．（3分）由得（5分）于是（k∈Z）因为所以（7分）（2）因为C∈（0，π），由（1）知．（9分）因为△ABC的面积为，所以，于是．①在△ABC中，设内角A、B的对边分别是a，b．由余弦定理得，所以a2+b2=7．②由①②可得或于是．（12分）由正弦定理得，所以．（14分）【点评】（1）考查了二倍角公式的变形形式的应用，辅助角公式可以把函数化为一个角的三角函数，进而可以研究三角函数的性（2）考查了正弦定理及余弦定理及三角形的面积公式的综合运用．19．（8分）（2010•江苏）如图，在四棱锥P﹣ABCD中，PD⊥平面ABCD，PD=DC=BC=1，AB=2，AB∥DC，∠BCD=90°．（1）求证：PC⊥BC；（2）求点A到平面PBC的距离．【考点】点、线、面间的距离计算；空间中直线与平面之间的位置关系．【专题】空间位置关系与距离；立体几何．【分析】（1），要证明PC⊥BC，可以转化为证明BC垂直于PC所在的平面，由PD⊥平面ABCD，PD=DC=BC=1，AB=2，AB∥DC，∠BCD=90°，容易证明BC⊥平面PCD，从而得证；（2），有两种方法可以求点A到平面PBC的距离：方法一，注意到第一问证明的结论，取AB的中点E，容易证明DE∥平面PBC，点D、E 到平面PBC的距离相等，而A到平面PBC的距离等于E到平面PBC的距离的2倍，由第一问证明的结论知平面PBC⊥平面PCD，交线是PC，所以只求D到PC的距离即可，在等腰直角三角形PDC中易求；方法二，等体积法：连接AC，则三棱锥P﹣ACB与三棱锥A﹣PBC体积相等，而三棱锥P ﹣ACB体积易求，三棱锥A﹣PBC的地面PBC的面积易求，其高即为点A到平面PBC的距离，设为h，则利用体积相等即求．【解答】解：（1）证明：因为PD⊥平面ABCD，BC⊂平面ABCD，所以PD⊥B C．由∠BCD=90°，得CD⊥BC，又PD∩DC=D，PD、DC⊂平面PCD，所以BC⊥平面PC D．因为PC⊂平面PCD，故PC⊥B C．（2）（方法一）分别取AB、PC的中点E、F，连DE、DF，则：易证DE∥CB，DE∥平面PBC，点D、E到平面PBC的距离相等．又点A到平面PBC的距离等于E到平面PBC的距离的2倍．由（1）知：BC⊥平面PCD，所以平面PBC⊥平面PCD于PC，因为PD=DC，PF=FC，所以DF⊥PC，所以DF⊥平面PBC于F．易知DF=，故点A到平面PBC的距离等于．（方法二）等体积法：连接A C．设点A到平面PBC的距离为h．因为AB∥DC，∠BCD=90°，所以∠ABC=90°．从而AB=2，BC=1，得△ABC的面积S△ABC=1．由PD⊥平面ABCD及PD=1，得三棱锥P﹣ABC的体积．因为PD⊥平面ABCD，DC⊂平面ABCD，所以PD⊥D C．又PD=DC=1，所以．由PC⊥BC，BC=1，得△PBC的面积．由VA﹣PBC=VP﹣ABC，，得，故点A到平面PBC的距离等于．【点评】本小题主要考查直线与平面、平面与平面的位置关系，考查几何体的体积，考查空间想象能力、推理论证能力和运算能力．20．（11分）（2016•河南校级二模）甲、乙两名同学参加“汉字听写大赛”选拔测试，在相同测试条件下，两人5次测试的成绩（单位：分）如下表：第1次第2次第3次第4次第5次甲58 55 76 92 88乙65 82 87 85 95（Ⅰ）请画出甲、乙两人成绩的茎叶图．你认为选派谁参赛更好？说明理由（不用计算）；（Ⅱ）若从甲、乙两人5次的成绩中各随机抽取一个成绩进行分析，设抽到的两个成绩中，90分以上的个数为X，求随机变量X的分布列和期望EX．【考点】离散型随机变量及其分布列；茎叶图；离散型随机变量的期望与方差．【专题】概率与统计．【分析】（Ⅰ）根据表格，十位数作为茎，个位数作为叶，可得茎叶图，通过平均数和方差可得结论；（Ⅱ）随机变量X的所有可能取值为0，1，2，然后根据变量对应的事件和等可能事件的概率，写出分布列，算出期望即可．【解答】解：（Ⅰ）茎叶图如图所示，由图可知，乙的平均成绩大于甲的平均成绩，且乙的方差小于甲的方差，因此应选派乙参赛更好．（Ⅱ）随机变量X的所有可能取值为0，1，2．，，，随机变量X的分布列是：X0 1 2P【点评】本题主要考查茎叶图，等可能事件的概率，离散型随机变量的分布列及期望，是一个统计的综合题，但题目运算比较简单，没有易错点，是一个送分题目．21．已知椭圆Γ：（a＞b＞0）过点A（0，2），离心率为，过点A的直线l与椭圆交于另一点M．（I）求椭圆Γ的方程；（II）是否存在直线l，使得以AM为直径的圆C，经过椭圆Γ的右焦点F且与直线x﹣2y ﹣2=0相切？若存在，求出直线l的方程；若不存在，请说明理由．【考点】直线与圆锥曲线的关系；椭圆的标准方程．【专题】探究型；圆锥曲线的定义、性质与方程．【分析】（Ⅰ）由点A（0，2）可得b值，由离心率为可得=，再由a2=b2+c2，联立方程组即可求得a，b值；（II）假设存在直线l，使得以AM为直径的圆C，经过椭圆后的右焦点F且与直线x﹣2y ﹣2=0相切，根据以AM为直径的圆C过点F可得∠AFM=90°，求出直线MF方程，联立直线MF方程与椭圆方程可得求得M坐标，利用直线与圆相切的条件d=r分情况验证圆与直线x﹣2y﹣2=0相切即可；【解答】解：（Ⅰ）依题意得，解得，所以所求的椭圆方程为；（Ⅱ）假设存在直线l，使得以AM为直径的圆C，经过椭圆后的右焦点F且与直线x﹣2y ﹣2=0相切，因为以AM为直径的圆C过点F，所以∠AFM=90°，即AF⊥AM，又=﹣1，所以直线MF的方程为y=x﹣2，由消去y，得3x2﹣8x=0，解得x=0或x=，所以M（0，﹣2）或M（，），（1）当M为（0，﹣2）时，以AM为直径的圆C为：x2+y2=4，则圆心C到直线x﹣2y﹣2=0的距离为d==≠，所以圆C与直线x﹣2y﹣2=0不相切；（2）当M为（，）时，以AM为直径的圆心C为（），半径为r===，所以圆心C到直线x﹣2y﹣2=0的距离为d==r，所以圆心C与直线x﹣2y﹣2=0相切，此时kAF=，所以直线l的方程为y=﹣+2，即x+2y﹣4=0，综上所述，存在满足条件的直线l，其方程为x+2y﹣4=0．【点评】本题考直线与圆锥曲线的关系、椭圆方程的求解，考查直线与圆的位置关系，考查分类讨论思想，解决探究型问题，往往先假设存在，由此推理，若符合题意，则存在，否则不存在．22．已知函数f（x）=﹣x3+ax（a＞0）．（I）当a=1时，求过点P（﹣1，0）且曲线y=f（x）相切的直线方程；（Ⅱ）当x∈[0，1]时，不等式恒成立，求a的取值集合．【考点】利用导数研究曲线上某点切线方程；利用导数求闭区间上函数的最值．【专题】综合题；导数的综合应用．【分析】（I）当a=1时，点P在曲线上，即为切点，切线斜率k=f′（﹣1），利用点斜式即可求得切线方程；（Ⅱ）不等式恒成立，等价于恒成立，且恒成立，分别分离出参数a后，转化为函数的最值解决即可；【解答】解：（Ⅰ）当a=1时，f（x）=）=﹣x3+x，f（﹣1）=1﹣1=0，即点P在曲线y=f（x）上，f′（x）=﹣3x2+1，切线斜率k=f′（﹣1）=﹣3+1=﹣2，所以与曲线y=f（x）相切的直线方程为：y=﹣2（x+1），即y=﹣2x﹣2；（Ⅱ），即，等价于恒成立，且恒成立，（1）当x=0时，，即0，显然成立，a∈R；当0＜x≤1时，a≥x2﹣+，而x2﹣+在（0，1]上递增，所以当x=1时，x2﹣+取得最大值1，所以a≥1，故恒成立时，a≥1；（2）当x=0时，，即0，显然成立，此时a∈R；当0＜x≤1时，a≤x2+，令h（x）=x2+，则h′（x）=2x﹣=，当0＜x＜时，h′（x）＜0，h（x）递减，当x≤1时，h′（x）＞0，h（x）递增，所以h（x）在（0，1]上的最小值为h（）=+=1，所以a≤1，故恒成立时，a≤1，综上所述，当x∈[0，1]时，不等式恒成立，a的取值集合{1}．【点评】本题考查利用导数求曲线上某点处的切线方程、求函数的最值，考查学生分析解决问题的能力，恒成立问题往往转化为函数最值解决．选做题：从23题或24题任选一题，所做题目必须与所涂题目一致，在答题卡选答区域指定位置答题．如果多做，则每学科按所做的第一题给分．23．如图，圆O的直径为AB且BE为圆O的切线，点C为圆O上不同于A、B的一点，AD为∠BAC的平分线，且分别与BC交于H，与圆O交于D，与BE交于E，连结BD、C D．（Ⅰ）求证：∠DBE=∠DBC；（Ⅱ）若HE=4，求E D．【考点】弦切角；与圆有关的比例线段．【专题】转化思想；综合法；直线与圆．【分析】（Ⅰ）由BE为圆O的切线，BD为圆O的弦，根据弦切角定理得到一对角相等，再由AD为角平分线得到一对角相等，等量代换及圆周角定理即可得证；（Ⅱ）由AB为圆O的直径，利用圆周角定理得到∠ADB=90°，再由第一问的结论∠DBE=∠DBH，求出ED的长即可．【解答】（Ⅰ）证明：∵BE为圆0的切线，BD为圆0的弦，∴根据弦切角定理知∠DBE=∠DAB，由AD为∠DAB=∠DAC的平分线知∠DAB=∠DAC，又∠DBC=∠DAC，∴∠DBC=∠DAB，∴∠DBE=∠DBC；（Ⅱ）解：∵⊙O的直径AB，∴∠ADB=90°，又由（1）得∠DBE=∠DBH，∵HE=4，∴ED=2．【点评】此题考查了与圆有关的比例线段，圆周角定理，切线的性质，熟练掌握定理及性质是解本题的关键．24．设不等式|x﹣2|＜a（a∈N*）的解集为A，且（Ⅰ）求a的值（Ⅱ）求函数f（x）=|x+a|+|x﹣2|的最小值．【考点】绝对值不等式的解法；绝对值三角不等式．【专题】计算题；压轴题；不等式的解法及应用．【分析】（Ⅰ）利用，推出关于a的绝对值不等式，结合a为整数直接求a的值．（Ⅱ）利用a的值化简函数f（x），利用绝对值三角不等式求出|x+1|+|x﹣2|的最小值．【解答】解：（Ⅰ）因为，所以且，解得，因为a∈N*，所以a的值为1．（Ⅱ）由（Ⅰ）可知函数f（x）=|x+1|+|x﹣2|≥|（x+1）﹣（x﹣2）|=3，当且仅当（x+1）（x﹣2）≥0，即x≥2或x≤﹣1时取等号，所以函数f（x）的最小值为3．【点评】本题考查绝对值不等式等基础知识，考查运算求解能力，转化与化归思想．。

河南省郑州市2016届高三第二次模拟考试数学理科

河南省郑州市2016届高三第二次模拟考试数学（理科）本试卷分Ⅰ卷（选择题）和第Ⅰ卷（非选择题）两部分，共150分．考试时间120分钟．一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1．已知集合{A x y ==，{}1210B x x =-≤-≤，()R A B =（） A ．()4,+∞B ．10,2⎡⎤⎢⎥⎣⎦C ．1,42⎛⎤ ⎥⎝⎦D ．(]1,42．命题“00x ∃≤，使得20x ≥”的否定是（） A ．0x ∀≤，20x <B ．0x ∀≤，20x >C ．00x ∃>，20x ≥D ．00x ∃<，20x ≤ 3．定义运算,,a b ad bc c d=-，则符合条件,10,2z i i i+=-的复数z 对应的点在（）A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限4．执行如图所示的程序框图，输出的T =（）A ．29B ．44C ．52D ．625．曲线()33f x x x =-+在点P 处的切线平行于直线21y x =-，则P 点的坐标为（） A ．()1,3B ．()1,3-C ．()1,3和()1,3-D ．()1,3-6．经过点()2,1，且渐近线与圆()2221x y +-=相切的双曲线的标准方程为（）A ．22111113x y -=B ．2212x y -=C ．22111113y x -=D ．221111113y x -= 7．将函数()sin 22f x x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭的图象向右平移4π个单位后得到函数()g x ，则()g x 具有性质（）A ．最大值为1，故选关于2x π=对称B ．在0,4π⎛⎫⎪⎝⎭上单调递减，为奇函数C ．在3,88ππ⎛⎫- ⎪⎝⎭上单调递增，为偶函数D ．周期为π，图象关于点3,08π⎛⎫⎪⎝⎭对称8．设数列{}n a 满足：11a =，23a =，且()()11211n n n na n a n a -+=-++，则20a 的值是（）A ．145B ．245C ．345D ．4459．如图是正三棱锥V ABC -的正视图、侧视图和俯视图，则其侧视图的面积是（）A ．4B ．5C ．6D ．710．已知定义在R 上的奇函数()y f x =的图象关于直线1x =对称，当10x -≤<时，()()12log f x x =--，则方程()102f x -=在()0,6内的零点之和为（） A ．8 B ．10 C ．12 D ．1611．对α∀∈R ，[]0,2n ∈，向量()23cos ,3sin n n αα=+-c 的长度不超过6的概率为（） A．10B．10C．10D．512．已知A ，B ，C 为△ABC 的三个内角，向量m满足2=m ，且,cos 22B C B C +-⎫=⎪⎭m ，若A 最大时，动点P 使得PA 、BC 、PC 成等差数列，则PA BC的最大值是（）A．3B．3C ．4D ．4第Ⅱ卷（非选择题，共90分）本卷包括必考题和选考题．第13题~第21题为必考题，每个试题考生都必须作答．第22题~第24题为选考题，考生根据要求作答．二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分）13．已知{}n a 为等差数列，公差为1，且5a 是3a 与11a 的等比中项，n S 是{}n a 的前n 项和，则12S 的值为。