高二数学数系的扩充和复数的概念
数系的扩充和复数的概念的教学反思
数系的扩充和复数的概念的教学反思一、引言数学是一门重要的学科，在学习过程中，数系的扩充和复数的概念是学生较难掌握的内容之一。
本文将对教学方法、策略和反思进行探讨，以期提高学生对于数系和复数的理解和应用。
二、数系的扩充教学1. 前期准备在进行数系的扩充教学之前，需要对学生已有的数学知识进行复习，例如自然数、整数、有理数等。
通过复习，帮助学生打下坚实的基础。
2. 引入实数概念引入实数概念时，可以通过实际生活中的例子，如身高、年龄等，引发学生对于实数的思考。
同时，在引入实数时，需要强调实数的定义和特性，帮助学生形成对实数的概念。
3. 数系的扩充数系的扩充主要是指引入无理数和虚数的概念。
在教学中，可以通过讲解无理数的例子，如根号2等，增加学生对于无理数的认识。
同时，引入虚数时，可以通过解方程无解的情况来引发学生对于虚数的兴趣。
4. 实际应用在教学中，需要注重实际应用的讲解。
通过实际问题的解答，帮助学生了解数系的应用领域，增强学生对于数系的兴趣和学习动力。
三、复数的概念教学1. 引入复数在引入复数概念时，可以通过实数无法解答的方程来引发学生对于复数的思考。
同时，需要给出复数的定义和表示方法，帮助学生形成对于复数的概念。
2. 复数的运算复数的运算是复数概念教学中关键的一环。
在教学中，可以通过具体例子的计算，如复数的加减乘除等，帮助学生掌握复数运算的基本规则。
3. 复数的几何意义复数的几何意义是复数概念教学中的重要内容。
通过讲解复数在平面直角坐标系中的表示和意义，帮助学生理解复数的几何意义，如复数平面和向量等概念。
四、教学反思1. 教学方法在教学中，我采用了多种教学方法，如课堂讲解、示范演示和小组合作等。
这样可以激发学生的学习兴趣, 提高学生参与的积极性和主动性。
2. 提问策略在教学中，我采用了开放性问题提问策略，鼓励学生积极思考和参与讨论。
通过提问策略，可以促进学生的思维发展和表达能力的提高。
3. 巩固练习为了帮助学生巩固所学内容，我布置了大量的练习题，并及时提供答疑和解析。
(完整word版)数系的扩充和复数的概念全面版
数系的扩充和复数的概念教学目标重点：复数的概念，虚数单位i ，复数的分类(实数、虚数、纯虚数)和复数相等。
复数在现代科学技术中以及在数学学科中的地位和作用.难点:虚数单位i 的引进以及对复数概念的理解．知识点:了解引进复数的必要性；理解并掌握复数的有关概念（复数集、代数形式、实部、虚部、实数、虚数、纯虚数、复数相等）;理解虚数单位i 及i 与实数的运算规律能力点:探寻复数的形成过程,体会引入虚数单位i 和复数形式的合理性，以及等价转化思想、方程思想、分类讨论数学思想的运用。
教育点:通过问题情境,体会实际需求与数学内部矛盾在数系扩充过程中的作用，经历由实数系扩充到复数系的研究过程，感受人类理性思维的作用以及数与现实世界的联系.自主探究点：如何运用实数与虚数单位i 的加、乘运算得到复数代数形式及探索复数相等的充要条件. 考试点:用复数的基本概念解决简单的数学问题。
易错易混点:对复数代数形式的认识,及复数分类的把握。
拓展点:如何利用复数代数形式解题,理解复数的几何意义.一、 引入新课求下列方程的解:(1)24x = 2(2)40x -= (3)310x -= 2(4)20x -= 2(5)10x +=．学生分析各题的解：(1)2x =；(2)22x x ==-或;1(3)3x =；(4)22x x ==-或；(5)实数集内无解. 通过以上五题解的探讨,学生会发现方程(5)在实数集中遇到了无解现象.如何使方程(5)有解呢?类比引进2，就可以解决方程220x -=在有理数中无解的问题,就有必要扩充数集，今天我们来与大家一起学习“数系的扩充”。
【设计意图】通过类比，易引发学生的学习兴趣.使学生了解扩充数系要从引入新数开始,引出本课题．二、探究新知1.复习已学过的数系问题1:数，是数学中的基本概念。
到目前为止,我们学习了哪些数集?用符号如何表示?它们之间有怎样的包含关系？用图示法可以如何表示?答：自然数集、整数集、有理数集、实数集,符号分别表示为N ，Z ,Q ，R ； 其中它们之间的关系式:N Z Q R ; 用文氏图表示N ,Z ,Q ,R 的关系【设计意图】数集及其之间关系的回顾，特别是“图示法”的直观表示,旨在帮助学生对“数系的扩充”有个初步感受.我们将一个数集连同相应的运算及结构叫做一个数系。
数系的扩充和复数的概念(教学设计)
§7.1.1 数系的扩充和复数的概念一、内容和内容解析内容：从实数系扩充到复数系的过程与方法，复数的概念.内容解析：本节课选自《普通高中课程标准数学教科书必修第二册》（人教A版）第七章第1节的内容．本节内容是数系的扩充和复数的概念，基于之前所学的数系的发展历程，由一元二次方程的根的问题导入，将数学扩充到复数范围，并研究复数的概念，为复数的运算打好基础。
复数的引入是中学阶段数系的又一次扩充，引入复数以后，这不仅可以使学生对于数的概念有一个初步的、完整的认知，也为进一步学习数学打下基础.通过本节课学习，要使学生在问题情境中了解数系扩充的过程以及引入复数的必要性，学习复数的一些基本知识，体会人类理性思维在数系扩充中的作用.二、目标和目标解析目标：（1）了解引进虚数单位i的必要性，了解数集的扩充过程．（2）理解复数的概念、表示法及相关概念．（3）掌握复数的分类及复数相等的充要条件．目标解析：（1）能够通过方程的解，感受引入复数的必要性，体会实际需求与数学内部的矛盾(数的运算规则、方程求根)在数系扩充过程中的作用．（2）学生能够从自然数系逐步扩充到实数系的过程中，归纳出数系扩充的一般“规则"，体会扩充的合理性及人类理性思维在数系扩充中的作用．（3）学生能说明虚数i的由来，能够明晰复数代数表示式的基本结构，会对复数进行分类，会用Venn 图表示复数集、实数集、虚数集、纯虚数集之间的关系；知道两个复数相等的含义，能利用复数概念和复数相等的含义解决相关的简单问题．基于上述分析，本节课的教学重点定为：复数的分类及复数相等的充要条件．三、教学问题诊断分析1．教学问题一：因为现实生活中没有任何事物支持虚数，学生可能会怀疑引入复数的必要性，在教学中，如果单纯地讲解或介绍复数的概念会显得枯燥无味，学生不易接受．解决方案：适当介绍数的发展简史，增强学生学习的生动性．2．教学问题二：由于知识储备和认知能力的限制，学生对数系扩充的一般规则并不熟悉，对虚数单位的引入，以及虚数单位和实数进行形式化运算的理解会出现一定困难．解决方案：通过解方程问题引导，借助已有的数系扩充的经验，特别是从有理数系扩充到实数系的经验，从特殊到一般，帮助学生梳理出数系扩充过程中体现的“规则”，进而在“规则”的引导下进行从实数系到复数系的扩充，感受引入复数的必要性和合理性．3．教学问题三：学生以前学习过的数都是单纯的一个数，而复数的代数形式是两项和的形式，学生比较陌生，因此理解上会存在一定困难．解决方案：引导学生按照“规则”自主探究出复数集中可能存在的各种数，并归纳总结出复数的一般表示方法，经历复数形式化的过程．基于上述情况，本节课的教学难点定为：理解复数的概念、表示法及相关概念．四、教学策略分析本节课的教学目标与教学问题为我们选择教学策略提供了启示．为了让学生类比得到复数的概念，应该为学生创造积极探究的平台，可以让学生从被动学习状态转到主动学习状态中来．在教学设计中，采取问题引导方式来组织课堂教学．问题的设置给学生留有充分的思考空间，让学生围绕问题主线，通过自主探究达到突出教学重点，突破教学难点．在教学过程中，重视复数概念的理解和表示，让学生体会数系扩充的基本过程．五、教学过程与设计纯虚数．[课堂练习2]已知M＝{2，m2－2m ＋(m2＋m－2)i}，N＝{－1,2,4i}，若M∪N＝N，求实数m的值．课堂小结升华认知[问题10]通过这节课，你学到了什么知识？在解决问题时，用到了哪些数学思想？[课后练习]z＝a2－(2－b)i的实部和虚部分别是2和3，则实数a，b的值分别是()A.2，1B.2，5C.±2，5D.±2，12.下列复数中，满足方程x2＋2＝0的是()A.±1B.±iC.±2iD.±2i2 021＝________.4.设i为虚数单位，若关于x的方程x2－(2＋i)x＋1＋m i＝0(m∈R)有一实根为n，则m＝________.教师14：提出问题10．学生14：学生14：学生课后进行思考，并完成课后练习．师生共同回顾总结．引领学生感悟数学认知的过程，体会数学核心素养．课后练习是对定理巩固，是对本节知识的一个深化认识，同时也为下节内容做好铺垫．。
数系的扩充和复数的概念
必要不充分
条件.
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思
考
复数集与实数集、虚数集、纯虚数集
之间有什么关系？
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复数的分类
实数(b 0) 纯虚数(a 0，b 0) 1、复数z=a+bi 虚数(b 0) 非纯虚数(a 0，b 0)
2. 复数集、虚数集、实数集、 纯虚数集之间的关系
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在测量过程中，常常会发生度量不尽的 情况，如果要更精确地度量下去，就必然 产生自然数不够用的矛盾.这样，正分数就 应运而生.据数学史书记载，三千多年前埃 及纸草书中已经记有关于正分数的问题.引 进正分数,这是数的概念的第一次扩展. 最初 人们在记数时，没有“零” 的概念.后来，在 生产实践中,需要记录和计算的东西越来越 多，逐渐产生了位值制记数法.有了这种记 数法，零的产生就不可避免的了.我国古代 筹算中，利用 “空位”表示零.公元6世纪， 印度数学家开始用符号“0”表示零.
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• 上面,我们简要地回顾了数的发展过程.必须 指出，数的概念的产生，实际上是交错进 行的.例如，在人们还没有完全认识负数之 前，早就知道了无理数的存在;在实数理论 还未完全建立之前,经运用虚数解三次方程 了. 直到19世纪初，从自然数到复数的理论 基础，并未被认真考虑过.后来，由于数学 严密性的需要以及公理化倾向的影响，促 使人们开始认真研究整个数系的逻辑结构. 从19世纪中叶起，经过皮亚诺(G.Peano， 1855~1939)、康托尔(G.Cantor， 1845~1918)、戴德金(R.Dedekind， 1831~1916)、外尔斯特拉斯
x 2 y i (2x 5) (3x y)i
求 x与 y .
，
y R,
新人教版高中数学必修第二册 第7章 复数 7.1.1 数系的扩充和复数的概念
7．1复数的概念7．1.1数系的扩充和复数的概念考点学习目标核心素养复数的有关概念了解数系的扩充过程，理解复数的概念数学抽象复数的分类理解复数的分类数学抽象复数相等掌握复数相等的充要条件及其应用数学运算问题导学预习教材P68－P70的内容，思考以下问题：1．复数是如何定义的？其表示方法又是什么？2．复数分为哪两大类？3．复数相等的条件是什么？1．复数的有关概念(1)复数的定义形如a＋b i(a，b∈R)的数叫做复数，其中i叫做虚数单位，满足i2＝－1．(2)复数集全体复数所构成的集合C＝{a＋b i|a，b∈R}叫做复数集．(3)复数的表示方法复数通常用字母z表示，即z＝a＋b i(a，b∈R)，其中a叫做复数z的实部，b叫做复数z的虚部．■名师点拨对复数概念的三点说明(1)复数集是最大的数集，任何一个数都可以写成a＋b i(a，b∈R)的形式，其中0＝0＋0i.(2)复数的虚部是实数b而非b i.(3)复数z ＝a ＋b i 只有在a ，b ∈R 时才是复数的代数形式，否则不是代数形式． 2．复数相等的充要条件在复数集C ＝{a ＋b i|a ，b ∈R }中任取两个数a ＋b i ，c ＋d i(a ，b ，c ，d ∈R )，我们规定：a ＋b i 与c ＋d i 相等当且仅当a ＝c 且b ＝d ．3．复数的分类(1)复数z ＝a ＋b i(a ，b ∈R )⎩⎪⎨⎪⎧实数（b ＝0），虚数（b ≠0）⎩⎪⎨⎪⎧纯虚数a ＝0，非纯虚数a ≠0Ｗ. (2)复数集、实数集、虚数集、纯虚数集之间的关系■名师点拨复数b i(b ∈R )不一定是纯虚数，只有当b ≠0时，复数b i(b ∈R )才是纯虚数．判断(正确的打“√”，错误的打“×”) (1)若a ，b 为实数，则z ＝a ＋b i 为虚数．( ) (2)复数z 1＝3i ，z 2＝2i ，则z 1＞z 2.( ) (3)复数z ＝b i 是纯虚数．( )(4)实数集与复数集的交集是实数集．( ) 答案：(1)× (2)× (3)× (4)√若z ＝a ＋(a 2－1)i(a ∈R ，i 为虚数单位)为实数，则a 的值为( ) A ．0 B ．1 C ．－1 D ．1或－1 答案：D以3i －2的虚部为实部，以－3＋2i 的实部为虚部的复数是( ) A ．3－3i B ．3＋i C ．－2＋2i D.2＋2i 答案：A若(x －2y )i ＝2x ＋1＋3i ，则实数x ，y 的值分别为________． 答案：－12 －74复数的概念下列命题：①若a∈R，则(a＋1)i是纯虚数；②若a，b∈R，且a>b，则a＋i>b＋i；③若(x2－4)＋(x2＋3x＋2)i是纯虚数，则实数x＝±2；④实数集是复数集的真子集．其中正确的命题是()A．①B．②C．③D．④【解析】对于复数a＋b i(a，b∈R)，当a＝0且b≠0时，为纯虚数．对于①，若a＝－1，则(a＋1)i不是纯虚数，即①错误；两个虚数不能比较大小，则②错误；对于③，若x ＝－2，则x2－4＝0，x2＋3x＋2＝0，此时(x2－4)＋(x2＋3x＋2)i＝0不是纯虚数，则③错误；显然，④正确．故选D.【答案】 D判断与复数有关的命题是否正确的方法(1)举反例：判断一个命题为假命题，只要举一个反例即可，所以解答这种类型的题时，可按照“先特殊，后一般，先否定，后肯定”的方法进行解答．(2)化代数形式：对于复数实部、虚部的确定，不但要把复数化为a＋b i的形式，更要注意这里a，b均为实数时，才能确定复数的实部、虚部．[提醒]解答复数概念题，一定要紧扣复数的定义，牢记i的性质．对于复数a＋b i(a，b∈R)，下列说法正确的是()A．若a＝0，则a＋b i为纯虚数B．若a＋(b－1)i＝3－2i，则a＝3，b＝－2C．若b＝0，则a＋b i为实数D．i的平方等于1解析：选C.对于A，当a＝0时，a＋b i也可能为实数；对于B，若a＋(b－1)i＝3－2i，则a＝3，b＝－1；对于D，i的平方为－1.故选C.复数的分类当实数m 为何值时，复数z ＝m 2＋m －6m＋(m 2－2m )i ：(1)为实数？(2)为虚数？(3)为纯虚数？【解】 (1)当⎩⎪⎨⎪⎧m 2－2m ＝0，m ≠0，即m ＝2时，复数z 是实数．(2)当m 2－2m ≠0且m ≠0，即m ≠0且m ≠2时，复数z 是虚数．(3)当⎩⎨⎧m ≠0，m 2＋m －6m＝0，m 2－2m ≠0，即m ＝－3时，复数z 是纯虚数．解决复数分类问题的方法与步骤(1)化标准式：解题时一定要先看复数是否为a ＋b i(a ，b ∈R )的形式，以确定实部和虚部．(2)定条件：复数的分类问题可以转化为复数的实部与虚部应该满足的条件问题，只需把复数化为代数形式，列出实部和虚部满足的方程(不等式)即可．(3)下结论：设所给复数为z ＝a ＋b i(a ，b ∈R )， ①z 为实数⇔b ＝0； ②z 为虚数⇔b ≠0；③z 为纯虚数⇔a ＝0且b ≠0.1．若复数a 2－a －2＋(|a －1|－1)i(a ∈R )不是纯虚数，则( ) A ．a ＝－1 B ．a ≠－1且a ≠2 C ．a ≠－1D ．a ≠2解析：选C.复数a 2－a －2＋(|a －1|－1)i(a ∈R )不是纯虚数，则有a 2－a －2≠0或|a －1|－1＝0，解得a ≠－1.故选C.2．当实数m 为何值时，复数lg(m 2－2m －7)＋(m 2＋5m ＋6)i 是： (1)纯虚数；(2)实数．解：(1)复数lg(m 2－2m －7)＋(m 2＋5m ＋6)i 是纯虚数，则⎩⎪⎨⎪⎧m 2－2m －7＝1m 2＋5m ＋6≠0，解得m ＝4.(2)复数lg(m 2－2m －7)＋(m 2＋5m ＋6)i 是实数，则⎩⎪⎨⎪⎧m 2－2m －7>0，m 2＋5m ＋6＝0，解得m ＝－2或m＝－3.复数相等(1)(2019·浙江杭州期末考试)若z 1＝－3－4i ，z 2＝(n 2－3m －1)＋(n 2－m －6)i(m ，n ∈R )，且z 1＝z 2，则m ＋n ＝( )A ．4或0B ．－4或0C ．2或0D ．－2或0(2)若log 2(x 2－3x －2)＋ilog 2(x 2＋2x ＋1)>1，则实数x 的值是________．【解析】 (1)由z 1＝z 2，得n 2－3m －1＝－3且n 2－m －6＝－4，解得m ＝2，n ＝±2，所以m ＋n ＝4或0，故选A.(2)因为log 2(x 2－3x －2)＋ilog 2(x 2＋2x ＋1)>1，所以⎩⎪⎨⎪⎧log 2（x 2－3x －2）>1，log 2（x 2＋2x ＋1）＝0，即⎩⎪⎨⎪⎧x 2－3x －2>2，x 2＋2x ＋1＝1，解得x ＝－2.【答案】 (1)A (2)－2复数相等的充要条件复数相等的充要条件是“化虚为实”的主要依据，多用来求解参数．解决复数相等问题的步骤是：分别分离出两个复数的实部和虚部，利用实部与实部相等、虚部与虚部相等列方程(组)求解．[注意] 在两个复数相等的充要条件中，注意前提条件是a ，b ，c ，d ∈R ，即当a ，b ，c ，d ∈R 时，a ＋b i ＝c ＋d i ⇔a ＝c 且b ＝d .若忽略前提条件，则结论不能成立．已知A ＝{1，2，a 2－3a －1＋(a 2－5a －6)i}，B ＝{－1，3}，A ∩B ＝{3}，求实数a 的值．解：由题意知，a 2－3a －1＋(a 2－5a －6)i ＝3(a ∈R )，所以⎩⎪⎨⎪⎧a 2－3a －1＝3，a 2－5a －6＝0，即⎩⎪⎨⎪⎧a ＝4或a ＝－1，a ＝6或a ＝－1，所以a ＝－ 1.1．若复数z ＝a i 2－b i(a ，b ∈R )是纯虚数，则一定有( ) A ．b ＝0 B ．a ＝0且b ≠0 C ．a ＝0或b ＝0D ．ab ≠0解析：选B.z ＝a i 2－b i ＝－a －b i ，由纯虚数的定义可得a ＝0且b ≠0. 2．若复数z ＝m 2－1＋(m 2－m －2)i 为实数，则实数m 的值为( ) A ．－1 B ．2 C ．1D ．－1或2解析：选D.因为复数z ＝m 2－1＋(m 2－m －2)i 为实数， 所以m 2－m －2＝0，解得m ＝－1或m ＝2.3．若复数z ＝(m ＋1)＋(m 2－9)i ＜0，则实数m 的值等于____________．解析：因为z ＜0，所以⎩⎪⎨⎪⎧m 2－9＝0，m ＋1＜0，解得m ＝－3.答案：－34．已知x 2－x －6x ＋1＝(x 2－2x －3)i(x ∈R )，则x ＝________．解析：因为x ∈R ，所以x 2－x －6x ＋1∈R ，由复数相等的条件得⎩⎪⎨⎪⎧x 2－x －6x ＋1＝0，x 2－2x －3＝0，x ＋1≠0，解得x ＝3. 答案：3[A基础达标]1．以－3＋i的虚部为实部，以3i＋i2的实部为虚部的复数是()A．1－i B．1＋iC．－3＋3i D．3＋3i解析：选A.－3＋i的虚部为1，3i＋i2＝－1＋3i的实部为－1，故所求复数为1－i.2．在复平面内，复数z＝(a2－2a)＋(a2－a－2)i是纯虚数，则()A．a＝0或a＝2 B．a＝0C．a≠1且a≠2 D．a≠1或a≠2解析：选B.因为复数z＝(a2－2a)＋(a2－a－2)i是纯虚数，所以a2－2a＝0且a2－a－2≠0，所以a＝0.3．若x i－i2＝y＋2i，x，y∈R，则复数x＋y i＝()A．－2＋i B．2＋iC．1－2i D．1＋2i解析：选B.由i2＝－1，得x i－i2＝1＋x i，则由题意得1＋x i＝y＋2i，根据复数相等的充要条件得x＝2，y＝1，故x＋y i＝2＋i.4．复数z＝a2－b2＋(a＋|a|)i(a，b∈R)为实数的充要条件是()A．|a|＝|b| B．a<0且a＝－bC．a>0且a≠b D．a≤0解析：选D.复数z为实数的充要条件是a＋|a|＝0，即|a|＝－a，得a≤0，故选D.5．下列命题：①若z＝a＋b i，则仅当a＝0且b≠0时，z为纯虚数；②若z21＋z22＝0，则z1＝z2＝0；③若实数a与a i对应，则实数集与纯虚数集可建立一一对应关系．其中正确命题的个数是()A．0 B．1C．2 D．3解析：选A.在①中未对z＝a＋b i中a，b的取值加以限制，故①错误；在②中将虚数的平方与实数的平方等同，如若z1＝1，z2＝i，则z21＋z22＝1－1＝0，但z1≠z2≠0，故②错误；在③中忽视0·i＝0，故③也是错误的．故选A.6．如果x－1＋y i与i－3x为相等复数，x，y为实数，则x＝________，y＝________．解析：由复数相等可知⎩⎪⎨⎪⎧x －1＝－3x ，y ＝1，所以⎩⎪⎨⎪⎧x ＝14，y ＝1.答案：1417．复数z 1＝(2m ＋7)＋(m 2－2)i ，z 2＝(m 2－8)＋(4m ＋3)i ，m ∈R ，若z 1＝z 2，则m ＝________. 解析：因为m ∈R ，z 1＝z 2，所以(2m ＋7)＋(m 2－2)i ＝(m 2－8)＋(4m ＋3)i.由复数相等的充要条件得⎩⎪⎨⎪⎧2m ＋7＝m 2－8，m 2－2＝4m ＋3，解得m ＝5. 答案：58．设z ＝log 2(1＋m )＋ilog 12(3－m )(m ∈R )是虚数，则m 的取值范围是________．解析：因为z 为虚数，所以log 12(3－m )≠0，故⎩⎪⎨⎪⎧1＋m >0，3－m ≠1，3－m >0，解得－1<m <3且m ≠2. 答案：(－1，2)∪(2，3)9．已知复数z ＝(m 2＋5m ＋6)＋(m 2－2m －15)i(m ∈R )． (1)若复数z 是实数，求实数m 的值； (2)若复数z 是虚数，求实数m 的取值范围； (3)若复数z 是纯虚数，求实数m 的值； (4)若复数z 是0，求实数m 的值．解：(1)当m 2－2m －15＝0时，复数z 为实数， 所以m ＝5或－3.(2)当m 2－2m －15≠0时，复数z 为虚数． 所以m ≠5且m ≠－3.所以实数m 的取值范围为{m |m ≠5且m ≠－3}．(3)当⎩⎪⎨⎪⎧m 2－2m －15≠0，m 2＋5m ＋6＝0时，复数z 是纯虚数，所以m ＝－2.(4)当⎩⎪⎨⎪⎧m 2－2m －15＝0，m 2＋5m ＋6＝0时，复数z 是0，所以m ＝－3.10．已知关于x ，y 的方程组⎩⎪⎨⎪⎧⎝⎛⎭⎫x ＋32＋2（y ＋1）i ＝y ＋4x i ，（2x ＋ay ）－（4x －y ＋b ）i ＝9－8i有实数解，求实数a ，b 的值． 解：设(x 0，y 0)是方程组的实数解，由已知及复数相等的条件，得⎩⎪⎨⎪⎧x 0＋32＝y 0 ①，2（y 0＋1）＝4x 0②，2x 0＋ay 0＝9 ③，－（4x 0－y 0＋b ）＝－8④，由①②得⎩⎪⎨⎪⎧x 0＝52，y 0＝4，代入③④得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝1，b ＝2.所以实数a ，b 的值分别为1，2.[B 能力提升]11．“复数4－a 2＋(1－a ＋a 2)i(a ∈R )是纯虚数”是“a ＝－2”的( ) A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件解析：选B.因为1－a ＋a 2＝⎝⎛⎭⎫a －122＋34＞0，所以若复数4－a 2＋(1－a ＋a 2)i(a ∈R )是纯虚数，则4－a 2＝0，即a ＝±2；当a ＝－2时，4－a 2＋(1－a ＋a 2)i ＝7i 为纯虚数，故选B.12．满足方程x 2－2x －3＋(9y 2－6y ＋1)i ＝0的实数对(x ，y )表示的点的个数为________．解析：由题意知⎩⎪⎨⎪⎧x 2－2x －3＝0，9y 2－6y ＋1＝0，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝3，y ＝13或⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－1，y ＝13.所以实数对(x ，y )表示的点有⎝⎛⎭⎫3，13，⎝⎛⎭⎫－1，13，共有2个． 答案：213．已知复数z ＝m 2＋3m ＋1＋(m 2＋5m ＋6)i<0(m ∈R )，则m 的值为________． 解析：因为z <0，所以z ∈R ，所以m 2＋5m ＋6＝0， 解得m ＝－2或m ＝－3.当m ＝－3时，z ＝1>0，不符合题意，舍去； 当m ＝－2时，z ＝－1<0，符合题意． 故m 的值为－2. 答案：－214．已知集合M ＝{(a ＋3)＋(b 2－1)i ，8}，集合N ＝{3i ，(a 2－1)＋(b ＋2)i}，且M ∩N M ，M ∩N ≠∅，求整数a ，b 的值．解：若M ∩N ＝{3i}，则(a ＋3)＋(b 2－1)i ＝3i ，即a ＋3＝0且b 2－1＝3，得a ＝－3，b ＝±2.当a ＝－3，b ＝－2时，M ＝{3i ，8}，N ＝{3i ，8}，M ∩N ＝M ，不合题意，舍去； 当a ＝－3，b ＝2时，M ＝{3i ，8}，N ＝{3i ，8＋4i}．符合题意． 所以a ＝－3，b ＝2.若M ∩N ＝{8}，则8＝(a 2－1)＋(b ＋2)i ， 即a 2－1＝8且b ＋2＝0，得a ＝±3，b ＝－2. 当a ＝－3，b ＝－2时，不合题意，舍去；当a ＝3，b ＝－2时，M ＝{6＋3i ，8}，N ＝{3i ，8}，符合题意． 所以a ＝3，b ＝－2.若M ∩N ＝{(a ＋3)＋(b 2－1)i}＝{(a 2－1)＋(b ＋2)i}，则⎩⎪⎨⎪⎧a ＋3＝a 2－1，b 2－1＝b ＋2，即⎩⎪⎨⎪⎧a 2－a －4＝0，b 2－b －3＝0，此方程组无整数解． 综上可得a ＝－3，b ＝2或a ＝3，b ＝－2.[C 拓展探究]15．已知复数z 1＝－a 2＋2a ＋a i ，z 2＝2xy ＋(x －y )i ，其中a ，x ，y ∈R ，且z 1＝z 2，求3x ＋y 的取值范围．解：由复数相等的充要条件，得⎩⎪⎨⎪⎧－a 2＋2a ＝2xy a ＝x －y，消去a ，得x 2＋y 2－2x ＋2y ＝0，即(x －1)2＋(y ＋1)2＝2.法一：令t ＝3x ＋y ，则y ＝－3x ＋t .分析知圆心(1，－1)到直线3x ＋y －t ＝0的距离d ＝|2－t |10≤2， 解得2－25≤t ≤2＋25，即3x ＋y 的取值范围是[2－25，2＋25]．法二：令⎩⎪⎨⎪⎧x －1＝2cos α，y ＋1＝2sin α， 得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2cos α＋1，y ＝2sin α－1.(α∈R ) 所以3x ＋y ＝2sin α＋32cos α＋2＝25sin(α＋φ)＋2(其中tan φ＝3)，于是3x ＋y 的取值范围是[2－25，2＋2 5 ]．。
数系的扩充和复数的概念
R)
——复数的代数形式 i----虚数单位
b——虚部
虚数可以比较大小吗？
不可以。但是可以判断是否相等。
在复数集C={a+bi|a、b R}中任取两个数 a+bi,c+di(a 、b、 c、d R),我们规定：
a+bi=c+di相等
a=c且b=d
复数和实数间有什么关系？
对于复数z=a+bi, 若b=0,z为实数；若a=b=0,z=0； 若b不为0，z为虚数； 若a=0且b=0，z叫纯虚数。
（2）在整数集内解方程 3x-2=0 无解,因而添加分数，在 有理数集内方程的根为 x=2/3
（3）在有理数集内解方程x2-2=0 无解,因而添加无理数， 在实数集内方程的根为 x= 2
解方程 x2+1=0 上述方程在实数系中是无解的。
设想引入新数i,使i是方程 x2+1=0的根，即使i i=-1 。 把数添加到实数集中，得到一个新数集A，则方程 x2+1=0 在A中就有解i了。
为使i与实数间仍能进行加法、乘法的运算律，我们有了 a+bi (a、b R)这样的数的形式。
所以实数系经过扩充后得到的新数集为C={a+bi|a、b R}, 我们把形如a+bi (a、b R)的数叫做复数，其中i叫做虚数 单位，全体复数组成的集合C叫做复数集。
复数通常表示为z=a+bi(a、b a——实部
实数（b=0）
复数
虚数(b=0)
纯虚数（a=0,）
非纯虚数(a=0)
练习 1.判断下列复数的实部和虚部： 1 -2+ i , 2 +i , 2 ,- 3 i ,i ,0 3 2 2. 指出下列各数中，哪些是实数，哪些是虚数，哪些使纯 虚数。 2+ 7 ,0.618 ,
数系的扩充与复数的概念》教案
数系的扩充与复数的概念》教案教案：数系的扩充与复数的概念一、教学目标：1.理解数系的扩充是为了解决方程$x^2=a$(a<0)而引入复数的概念；2.掌握复数的定义与基本运算；3.了解复数在平面直角坐标系中的表示方式；4.掌握解一元二次方程及其应用。
二、教学重难点：1.复数的定义与基本运算；2.复数在平面直角坐标系中的表示；3.解一元二次方程及其应用。
三、教学过程：Step 1: 引入教师在黑板上写下方程$x^2=-1$，并询问学生这个方程有没有实数解。
引导学生思考并让他们发表自己的观点。
Step 2: 数系的扩充1.教师讲解当a<0时，方程$x^2=a$没有实数解的情况。
为了解决这个问题，数学家们引入了复数的概念，即数系从实数扩充为复数。
2.教师简要介绍复数的历史背景和意义，以增加学生对复数概念的兴趣。
Step 3: 复数的定义与表示1. 教师引导学生理解复数的定义：复数表示为 a + bi，其中 a 和b 都是实数，i 是虚数单位，满足 $i^2 = -1$。
2. 通过例子引导学生掌握复数的表示方式，如 2 + 3i、-5i、$\sqrt{2} + \sqrt{3}i$。
Step 4: 复数的基本运算1.教师简要介绍复数的基本运算法则：加法、减法、乘法和除法。
2.通过例子分别演示复数的加减乘除运算，并指导学生进行练习。
Step 5: 复数的图示表示1. 教师引导学生理解复数在平面直角坐标系中的表示方法。
将实部和虚部分别看作是复平面上的横坐标和纵坐标，复数 a + bi 对应复平面上的一个点。
2.通过例子和练习让学生熟悉复数在复平面上的图示表示。
Step 6: 一元二次方程的解及其应用1. 教师复习一下一元二次方程的一般形式：$ax^2 + bx + c = 0$，其中 a、b 和 c 都是实数，且 $a \neq 0$。
2.教师讲解如何用复数解一元二次方程，通过例题引导学生理解。
四、课堂练习与讨论五、作业布置1.练习册上的相关习题；2.解一些一元二次方程。
高二数学数系的扩充与复数的概念
满足 i2 1
现在我们就引入这样一个数 i ，把 i 叫做虚数单位，
并且规定：
（1）i21； （2）实数可以与 i 进行四则运算，在进行四则运
算时，原有的加法与乘法的运算率(包括交换率、结 合率和分配率)仍然成立。
形如a+bi(a,b∈R)的数叫做复数.
全体复数所形成的集合叫1 0
即m 1时，复数z 是
纯虚数．
练习:当m为何实数时，复数
Z m 2 m 2 (m 2 1)i
（1）实数 （2）虚数 （3）纯虚数
(1)m= 1 (2)m 1 (3)m=-2
如果两个复数的实部和虚部分别相 等，那么我们就说这两个复数相等．
a bi
c
di
a c b d
练习:P59
数系的扩充
复数的概念
；miki老师护肤： ；
了,关门铃电源不影响你屋里用电吧？”“不影响,线路是分开の.”陆羽摇摇头.“那就好.”周叔心中略安,“丫头啊,以后那边の新馆子建成恐怕会更吵,你要有心理准备,毕竟人家开门做生意の.当然,以后遇到麻烦事你跟周叔讲.虽然我老了不大中用,好歹是一村之长,说话还有些分量.”“周 叔,您别这么说,邻里之间难免有些摩擦,互相迁就一下就好...”陆羽笑了笑,心里明白老人の意思.无非是为何玲开脱,为了让她有心理准备,以后有矛盾解决不了只能互相迁就.恶意是没有,小心思有一些,不难理解.正事说完了,目送周叔去工地找人聊天,陆羽利索地把凳子啥の全部搬回屋里,轻 轻地关上院门.第46部分尝到了甜头,何玲の心思转得快要飞起,乘胜追击,到处张贴派发云岭村の彩页广告.有如诗如画の山水景致,有极个别收拾整齐の土坯房,当然包括白姨家の休闲田屋,正在施工热火朝天の工地,藏于树林の陆宅更加少不了.没问过陆羽,因为她只是
数系的扩充和复数的概念
数学的发源地．
古代印度人最早使用了“0” 公元5世纪时，“0”已经传入罗马。
但罗马教皇凶残而且守旧。他不允许任 何使用“0”。有一位罗马学者在笔记中 记载了关于使用“0”的一些好处和说明， 就被教皇召去，砍去了双手
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数系的扩充 SHUXI DI KUOCHONG
复数的代数形式 复数的实部 、虚部
虚数、纯虚数
复数相等
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谢谢观赏！
2020/11/5
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(3)全体复数所形成的集合叫做复数 集，一般用字母 C 表示.
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C RQZ N
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数系的扩充 SHUXI DI KUOCHONG
1．新数 i 叫做虚数单位,并规定： （1）i 2 1； （2）实数可以与 i 进行四则运算,在进
行四则运算时,原有的加法与乘法 的运算律仍然成立.
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例题讲解
例1.写出下列复数的实部与虚部.
4 , 23i, 0 , 1 4 i,
5 2i, 6i 2 3
解: 4的实部为 4 ,虚部为 0 ;
2-3i的实部为 2 ,虚部为 -3 ;
0的实部为 0 ,虚部为 0 ;
1 2
4i 3
的实部为
1
2 ,虚部为
4
3;
5 2i的实部为 5 ,虚部为 2 ;
中国是世界上最早认识应用负数的
国家.早在2000多年前的《九章算术》 中,就有正数和负数的记载.公元3世纪，
刘徽在注解“九章算术”时，明确定义了正 负数：“两算得失相反，要令正负以名之”． 不仅如此，刘徽还给出了正负数的加减法 运算法则．千年之后，负数概念才经由阿 拉伯传人欧洲。负数的引入, 解决了在自然 数集中不够减的矛盾
人教版数学高二选修1-2讲义数系的扩充和复数的概念
3.1数系的扩充和复数的概念3.1.1数系的扩充和复数的概念1．了解数系的扩充过程.2．理解复数的基本概念以及复数相等的充要条件．(重点)3．掌握复数的代数形式、分类等有关概念并能够进行简单应用．(难点、易混点)[基础·初探]教材整理1复数的有关概念及复数相等的充要条件阅读教材P50～P51“思考”以上内容，完成下列问题．1．复数(1)定义：形如a＋b i(a，b∈R)的数叫做复数，其中i叫做虚数单位，满足i2＝－1，a叫做复数的实部，b叫做复数的虚部．(2)表示方法：复数通常用字母z表示，即z＝a＋b i(a，b∈R)，这一表示形式叫做复数的代数形式．2．复数集(1)定义：全体复数所构成的集合叫做复数集．(2)表示：通常用大写字母C 表示． 3．复数相等的充要条件设a ，b ，c ，d 都是实数，则a ＋b i ＝c ＋d i ⇔a ＝c 且b ＝d ，a ＋b i ＝0⇔a ＝b ＝0.1．若复数2－b i(b ∈R )的实部与虚部互为相反数，则b 的值为( ) A ．－2 B.23 C ．－23D ．2【解析】 2－b i 的实部为2，虚部为－b ，由题意知2＝－(－b )，所以b ＝2.【答案】 D2．已知(2m －5n )＋3i ＝3n －(m ＋5)i ，m ，n ∈R ，则m ＋n ＝________. 【解析】 由复数相等的条件，得⎩⎨⎧ 2m －5n ＝3n ，3＝－(m ＋5)，解得⎩⎨⎧m ＝－8，n ＝－2，∴m ＋n ＝－10.【答案】 －10 教材整理2 复数的分类阅读教材P 51“思考”以下至“例”题以上内容，完成下列问题． 1．复数z ＝a ＋b i(a ，b ∈R ) ⎩⎪⎨⎪⎧实数(b ＝0)，虚数(b ≠0)⎩⎨⎧纯虚数a ＝0，b ≠0，非纯虚数a ≠0，b ≠0.2．复数集、实数集、虚数集、纯虚数集之间的关系：图3-1-1判断(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)若a，b为实数，则z＝a＋b i为虚数．()(2)若a∈R，则(a＋1)i是纯虚数．()(3)两个虚数不能比较大小．()【解析】(1)错误．若b＝0，则z＝a＋b i为实数．(2)错误．当a＝－1时，(a＋1)i不是纯虚数．(3)正确．【答案】(1)×(2)×(3)√[小组合作型]复数的有关概念(1)①若x，y∈C，则x＋y i＝1＋i的充要条件是x＝y＝1；②若a，b∈R且a>b，则a＋i>b＋i；③若x2＋y2＝0，则x＝y＝0.A．0 B．1C．2D．3(2)给出下列三个命题：①若z∈C，则z2≥0；②2i－1虚部是2i；③2i的实部是0.其中真命题的个数为()A．0 B．1C．2 D．3【精彩点拨】首先将所给的复数化简为复数的代数形式，然后根据实部与虚部的概念确定实部、虚部．【自主解答】(1)①由于x，y∈C，所以x＋y i不一定是复数的代数形式，不符合复数相等的充要条件，所以①是假命题．②由于两个虚数不能比较大小，所以②是假命题．③当x＝1，y＝i时，x2＋y2＝0成立，所以③是假命题．(2)对于①，当z∈R时，z2≥0成立，否则不成立，如z＝i，z2＝－1<0，所以①为假命题；对于②，2i－1＝－1＋2i，其虚部为2，不是2i，所以②为假命题；对于③，2i＝0＋2i, 其实部是0，所以③为真命题．【答案】(1)A(2)B正确理解复数的有关概念是解答复数概念题的关键，另外在判断命题的正确性时，需通过逻辑推理加以证明，但否定一个命题的正确性时，只需举一个反例即可，所以在解答这类题型时，可按照“先特殊，后一般”、“先否定，后肯定”的方法进行解答.[再练一题]1．(1)给出下列复数：2＋3，0.618，i2,5i＋4，2i，其中为实数的是________．(2)给出下列几个命题：①若x是实数，则x可能不是复数；②若z是虚数，则z不是实数；③一个复数为纯虚数的充要条件是这个复数的实部等于零；④－1没有平方根．则其中正确命题的个数为________．【解析】(1)2＋3，0.618，i2为实数，5i＋4，2i为虚数．(2)因实数是复数，故①错；②正确；因复数为纯虚数要求实部为零，虚部不为零，故③错；因－1的平方根为±i，故④错；故答案为1.【答案】(1)2＋3，0.618，i2(2)1复数的分类已知复数z ＝a 2－7a ＋6a 2－1＋(a 2－5a －6)i(a ∈R )，试求实数a 分别取什么值时，z 分别为：(1)实数；(2)虚数；(3)纯虚数．【精彩点拨】 根据复数z 为实数、虚数及纯虚数的充要条件列方程(不等式)组求解．【自主解答】 (1)当z 为实数时，则⎩⎨⎧a 2－5a －6＝0，a 2－1≠0，∴⎩⎨⎧a ＝－1或a ＝6，a ≠±1，∴当a ＝6时，z 为实数． (2)当z 为虚数时， 则⎩⎨⎧a 2－5a －6≠0，a 2－1≠0， ∴⎩⎨⎧a ≠－1且a ≠6，a ≠±1， ∴当a ≠±1且a ≠6时，z 为虚数． (3)当z 为纯虚数时，则⎩⎨⎧ a 2－5a －6≠0，a 2－1≠0，a 2－7a ＋6＝0，∴⎩⎨⎧a ≠－1且a ≠6，a ≠±1，a ＝6或a ＝1，∴不存在实数a 使z 为纯虚数．利用复数的代数形式对复数分类时，关键是根据分类标准列出实部、虚部应满足的关系式等式或不等式组，求解参数时，注意考虑问题要全面.[再练一题]2．已知m ∈R ，复数z ＝m (m ＋2)m －1＋(m 2＋2m －3)i ，当m 为何值时，(1)z 为实数？(2)z 为虚数？(3)z 为纯虚数？【解】 (1)要使z 为实数，需满足m 2＋2m －3＝0，且m (m ＋2)m －1有意义，即m －1≠0，解得m ＝－3.(2)要使z 为虚数，需满足m 2＋2m －3≠0，且m (m ＋2)m －1有意义，即m －1≠0，解得m ≠1且m ≠－3.(3)要使z 为纯虚数，需满足m (m ＋2)m －1＝0，且m 2＋2m －3≠0，解得m ＝0或m ＝－2.复数相等的条件(1)12z 1＝z 2，实数x＝________，y ＝________.(2)已知关于x 的方程x 2＋(1－2i)x ＋(3m －i)＝0有实数根，则实数m 的值为________，方程的实根x 为________．【精彩点拨】 (1)根据实部与实部相等，虚部与虚部相等，列方程组求解； (2)设出方程的实数解，代入原式整理为a ＋b i ＝0(a ，b ∈R )的形式解决． 【自主解答】 (1)由复数相等的充要条件得⎩⎨⎧x －y ＝3x ＋2y ，x ＋3＝－y ，解得⎩⎨⎧x ＝－9，y ＝6.【答案】 －9 6 (2)设a 是原方程的实根， 则a 2＋(1－2i)a ＋(3m －i)＝0， 即(a 2＋a ＋3m )－(2a ＋1)i ＝0＋0i ，所以a 2＋a ＋3m ＝0且2a ＋1＝0， 所以a ＝－12且⎝ ⎛⎭⎪⎫－122＋⎝ ⎛⎭⎪⎫－12＋3m ＝0，所以m ＝112. 【答案】 112 －12应用复数相等的充要条件时，要注意：(1)必须是复数的代数形式才可以根据实部与实部的相等，虚部与虚部相等列方程组.(2)利用这一结论，可以把“复数相等”这一条件转化为两个实数等式，为应用方程思想提供了条件，同时这也是复数问题实数化思想的体现，这一思想在解决复数问题中非常重要.[再练一题]3．(1)适合x －3i ＝(8x －y )i 的实数x ，y 的值为( ) A ．x ＝0，且y ＝3 B ．x ＝0，且y ＝－3 C ．x ＝5，且y ＝3D ．x ＝3，且y ＝0(2)关于x 的方程3x 2－a2x －1＝(10－x －2x 2)i 有实根，求实数a 的值为________．【解析】 (1)由复数相等的条件，可知⎩⎨⎧ x ＝0，－3＝8x －y ，解得⎩⎨⎧x ＝0，y ＝3.(2)设方程的实数根为x ＝m ，则原方程可变为3m 2－a2m －1＝(10－m －2m 2)i ，∴⎩⎪⎨⎪⎧3m 2－a 2m －1＝0，10－m －2m 2＝0，解得a ＝11或a ＝－715.【答案】 (1)A (2)11或－715[探究共研型]复数的不相等关系探究1 若a ，b ∈R 且a ＞b ，则a ＋i ＞b ＋i 成立吗？【提示】 不成立．如果两个复数不全是实数，那么它们就不能比较大小． 探究2 若(a －2)＋b i>0，则实数a ，b 满足什么条件？ 【提示】 b ＝0，a >2.已知复数x 2－1＋(y ＋1)i 大于复数2x ＋3＋(y 2－1)i ，试求实数x ，y的取值范围．【精彩点拨】 两复数若能比较大小，则两复数的虚部都为零．只需满足一复数的实部大于另一复数的实部．【自主解答】 因为x 2－1＋(y ＋1)i>2x ＋3＋(y 2－1)i ， 所以⎩⎨⎧y ＋1＝0，y 2－1＝0，x 2－1>2x ＋3，即⎩⎨⎧y ＝－1，x 2－2x －4>0， 解不等式x 2－2x －4>0，得x >1＋5或x <1－ 5.所以实数x ，y 的取值范围分别是{x |x <1－5或x >1＋5}，{y |y ＝－1}．实数属于复数，但复数不一定是实数，因此实数的有些性质不适用于复数，如实数能比较大小，而复数中只有等与不等的关系，不能比较大小.只有当两个复数都是实数时才能比较大小.换言之，若两个复数能比较大小，则它们必为实数，即若a ＋b i>c ＋d i (a ，b ，c ，d ∈R )，则⎩⎨⎧a >c ，b ＝d ＝0.[再练一题]4．已知复数z ＝3x －1－x ＋(x 2－4x ＋3)i>0，求实数x 的值． 【解】 ∵z >0，∴z ∈R .∴x 2－4x ＋3＝0，解得x ＝1或x ＝3. ∵z >0，∴3x －1－x >0.对于不等式3x －1－x >0，x ＝1适合，x ＝3不适合． ∴x ＝1.1．复数⎝ ⎛⎭⎪⎫2－32i 的虚部为( )A ．2B ．－32 C ．2－32D ．0【解析】 由复数定义知C 正确． 【答案】 C2．设集合A ＝{实数}，B ＝{纯虚数}，C ＝{复数}，若全集S ＝C ，则下列结论正确的是( )A ．A ∪B ＝C B ．A ＝BC ．A ∩(∁S B )＝∅D ．(∁S A )∪(∁S B )＝C【解析】 集合A ，B ，C 的关系如图，可知只有(∁S A )∪(∁S B )＝C 正确．【答案】 D3．若复数4－3a －a 2i 与复数a 2＋4a i 相等，则实数a 的值为( )【导学号：81092036】A ．1B ．1或－4C ．－4D ．0或－4【解析】 由复数相等的条件得 ⎩⎨⎧4－3a ＝a 2，－a 2＝4a ， ∴a ＝－4. 【答案】 C4．如果(m 2－1)＋(m 2－2m )i ＞0，求实数m 的值为________． 【解析】 ∵(m 2－1)＋(m 2－2m )i ＞0， ∴(m 2－1)＋(m 2－2m )i 是实数，且符号为正， ∴⎩⎨⎧m 2－2m ＝0，m 2－1＞0， 解得m ＝2. 【答案】 25．若x ∈R ，试确定实数a 的值，使等式3x 2－a2x ＋(2x 2＋x )i ＝1＋10i 成立． 【解】 由复数相等的充要条件，得 ⎩⎪⎨⎪⎧3x 2－a 2x ＝1， ①2x 2＋x ＝10. ②由②得x ＝2或x ＝－52， 分别代入①得a ＝11或a ＝－715.学业分层测评(建议用时：45分钟)[学业达标]一、选择题1．复数－2i 的实部与虚部分别是( ) A ．0,2 B ．0,0 C ．0，－2D ．－2,0【解析】 －2i 的实部为0，虚部为－2.【答案】 C2．若复数(a 2－3a ＋2)＋(a －1)i 是纯虚数，则实数a 的值为( )A ．1B ．2C ．－1或－2D ．1或2【解析】 由⎩⎨⎧a 2－3a ＋2＝0，a －1≠0，得a ＝2. 【答案】 B3．若a ，b ∈R ，i 是虚数单位，且b ＋(a －2)i ＝1＋i ，则a ＋b 的值为( )A ．1B ．2C ．3D ．4 【解析】 由b ＋(a －2)i ＝1＋i ，得b ＝1，a ＝3，所以a ＋b ＝4.【答案】 D4．在下列命题中，正确命题的个数是( )①两个复数不能比较大小；②若z 1和z 2都是虚数，且它们的虚部相等，则z 1＝z 2；③若a ，b 是两个相等的实数，则(a －b )＋(a ＋b )i 必为纯虚数．A ．0B ．1C ．2D ．3【解析】 两个复数，当它们都是实数时，是可以比较大小的，故①错误； 设z 1＝a ＋b i(a ，b ∈R ，b ≠0)，z 2＝c ＋d i(c ，d ∈R ，且d ≠0)，因为b ＝d ，所以z 2＝c ＋b i.当a ＝c 时，z 1＝z 2，当a ≠c 时，z 1≠z 2，故②错误；③当a ＝b ≠0时，(a －b )＋(a ＋b )i 是纯虚数，当a ＝b ＝0时，(a －b )＋(a ＋b )i ＝0是实数，故③错误，因此选A.【答案】 A5．已知复数z ＝(a 2－4)＋(a －3)i(a ，b ∈R )，则“a ＝2”是“z 为纯虚数”的( )A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分又不必要条件【解析】 因为复数z ＝(a 2－4)＋(a －3)i(a ，b ∈R )为纯虚数⇔⎩⎨⎧ a 2－4＝0，a －3≠0⇔a ＝±2, 所以“a ＝2”是“z 为纯虚数”的充分不必要条件．【答案】 A二、填空题6．以3i －2的虚部为实部，以3i 2＋2i 的实部为虚部的复数是________．【解析】 3i －2的虚部为3,3i 2＋2i ＝－3＋2i ，实部为－3，故应填3－3i.【答案】 3－3i7．若x 是实数，y 是纯虚数，且(2x －1)＋2i ＝y ，则x ，y 的值为________.【导学号：81092037】【解析】 由(2x －1)＋2i ＝y ，得⎩⎨⎧2x －1＝0，2i ＝y ，∴x ＝12，y ＝2i.【答案】 x ＝12，y ＝2i8．给出下列说法：①复数由实数、虚数、纯虚数构成；②满足x 2＝－1的数x 只有i ；③形如b i(b ∈R )的数不一定是纯虚数；④复数m ＋n i 的实部一定是m .其中正确说法的个数为________．【解析】 ③中，b ＝0时，b i ＝0不是纯虚数．故③正确；①中，复数分为实数与虚数两大类；②中，平方为－1的数是±i ；④中，m ，n 不一定为实数，故①②④错误．【答案】 1三、解答题9．已知复数z ＝m (m －1)＋(m 2＋2m －3)i ，当实数m 取什么值时：(1)复数z 是零；(2)复数z 是纯虚数．【解】 (1)∵z 是零，∴⎩⎨⎧ m (m －1)＝0，m 2＋2m －3＝0，解得m ＝1.(2)∵z 是纯虚数，∴⎩⎨⎧ m (m －1)＝0，m 2＋2m －3≠0，解得m ＝0. 综上，当m ＝1时，z 是零；当m ＝0时，z 是纯虚数．10．已知集合M ＝{1，(m 2－2m )＋(m 2＋m －2)i}，P ＝{－1,1,4i}，若M ∪P ＝P ，求实数m 的值．【解】 因为M ∪P ＝P ，所以M ⊆P ，即(m 2－2m )＋(m 2＋m －2)i ＝－1或(m 2－2m )＋(m 2＋m －2)i ＝4i.由(m 2－2m )＋(m 2＋m －2)i ＝－1，得⎩⎨⎧ m 2－2m ＝－1，m 2＋m －2＝0，解得m ＝1； 由(m 2－2m )＋(m 2＋m －2)i ＝4i ，得⎩⎨⎧m 2－2m ＝0，m 2＋m －2＝4，解得m ＝2. 综上可知，m ＝1或m ＝2.[能力提升]1．已知复数z ＝a 2＋(2a ＋3)i(a ∈R )的实部大于虚部，则实数a 的取值范围是( )A ．－1或3B ．{a |a >3或a <－1}C ．{a |a >－3或a <1}D ．{a |a >3或a ＝－1} 【解析】 由已知可以得到a 2>2a ＋3，即a 2－2a －3>0，解得a >3或a <－1，因此，实数a 的取值范围是{a |a >3或a <－1}．【答案】 B2．若复数cos θ＋isin θ和sin θ＋icos θ相等，则θ值为( )A.π4B.π4或54π C ．2k π＋π4(k ∈Z ) D ．k π＋π4(k ∈Z )【解析】 由复数相等定义得⎩⎨⎧ cos θ＝sin θ，sin θ＝cos θ， ∴tan θ＝1，∴θ＝k π＋π4(k ∈Z )．【答案】 D3．若log 2(x 2－3x －2)＋ilog 2(x 2＋2x ＋1)>1，则实数x 的值是________．【解析】 ∵log 2(x 2－3x －2)＋ilog 2(x 2＋2x ＋1)>1， ∴⎩⎨⎧ log 2(x 2－3x －2)>1，log 2(x 2＋2x ＋1)＝0， ∴⎩⎨⎧ x 2－3x －2>2，x 2＋2x ＋1＝1，∴⎩⎨⎧ x >4或x <－1，x ＝0或x ＝－2. ∴x ＝－2.【答案】 －24．已知关于x 的方程x 2＋(k ＋2i)x ＋2＋k i ＝0有实根x 0，求x 0以及实数k 的值.【导学号：81092038】【解】 x ＝x 0是方程的实根，代入方程并整理，得 (x 20＋kx 0＋2)＋(2x 0＋k )i ＝0.由复数相等的充要条件，得⎩⎨⎧ x 20＋kx 0＋2＝0，2x 0＋k ＝0，解得⎩⎨⎧ x 0＝2，k ＝－22或⎩⎨⎧ x 0＝－2，k ＝2 2. ∴方程的实根为x 0＝2或x 0＝－2，相应的k 值为k ＝－22或k ＝2 2。
数系的扩充和复数的概念
2、复数加法的几何意义： 问题二：复数与复平面内的向量有一一 对应关系。我们讨论过向量加法的几何 意义，你能由此出发讨论复数加法的几 何意义吗？ 复数的加法可以按照向量的加法来进行——平行四边 形法则或三角形法则
问题三：复数是否有减法?如何理解复数的减法？
（二）复数的减法：
1、定义：复数的减法是加法的逆运算，即把满足 (c+di）+(x+yi)=a+bi的复数x+yi叫做复数a+bi减去复数 c+di的差，记作(a+bi)-(c+di).
3.1.2复数的几何意义
问题一：我们知道，实数与数轴上的点一一对应，因此， 实数可用数轴上的点来表示，类比实数的几何意义，复数 的几何意义是什么？
复数集与平面直角坐标系中的点集之间可以建 立一一对应的关系.
王新敞
奎屯
新疆
王新敞
奎屯
新疆
一、复数的坐标表示 1、复平面、实轴、虚轴：点Z的横坐标是a，纵坐标是 b，复数z=a+bi(a、b∈R)可用点Z(a，b)表示，这个建 立了直角坐标系来表示复数的平面叫做复平面，也叫 高斯平面，x轴叫做实轴，y轴叫做虚轴。 实轴上的点都表示实数
第三章 数系的扩充与复数的引入
（一）数系的扩充
• 我们认识数是一个不断发展的过程，从自然数到 整数，从整数到有理数，再从有理数到实数。这 个认识过程是在原有数集的基础上，再加上新的 数，是对原有数集不断扩充的过程。而这种扩充 是为了解决新的问题所必需的。 • 这种扩充的动力主要来源于两个方面：
①解决实际问题的需要
若存在实数t 使得 | z2 || z1 | 成立，求：实数 k的取值范围。
练习：设z是复数，满足下列条件的点Z的集合是什么图 形？ （1）|z|=2 ； （2） 2<|z|<3。
数系的扩充和复数的概念_教学设计
《数系的扩充和复数的概念》教学设计一、教学设计背景1．课题：数系的扩充和复数的概念2．学科：数学3．授课年级：高中二年级4．学时数：1课时二、教材分析《数系的扩充和复数的概念》是高中课程里数的概念的最后一次扩展。
引入复数后，不仅可以使学生对数的概念有一个初步完整的认识，也为进一步学习数学奠定基础。
而本节则是该章的基础课、起始课，具有承上启下的作用。
三、学情分析在之前的学习中学生对数的概念已经扩充到实数，也已清楚各种数集之间的包含关系等内容。
同时学生在本章之前已经学习了《推理与证明》的内容，有了一定的推理与证明能力，有利于本节课运用类比思想对实数集进行扩充。
四、教学目标（1）知识与技能1、了解数系扩充的过程及引入复数的需要。
2、掌握复数的有关概念和代数符号形式、复数的分类方法及复数相等的充要条件。
（2）过程与方法1、通过数系扩充的介绍，让学生体会数系扩充的一般规律。
2、在不断练习中让学生理解和掌握复数的基本概念以及复数相等的充要条件（3）情感态度价值观1、体会数系的扩充过程中蕴含的创新精神与实践精神，感受人类理性思维在数系扩充中的作用。
2、体会类比、分类讨论、等价转化的数学思想方法。
五、教学重难点1、教学重点：引入复数的必要性与复数的相关概念、复数的分类和复数相等的充要条件。
2、教学难点：虚数单位i的引进和复数的概念及其应用。
六、教学过程（一）、情境导入一、问题引入师：请大家看幻灯片上这个方程，动手试试看它的解是多少?问题：解方程 x 2+1=0生（独立完成）：x 2=－1是不存在的，这个方程在实数集中无解。
师：事实上在实数范围内这样的x 确实不存在，为什么会这样呢？假设x是存在的，那么就肯定是一些不是实数的数，那么，这些数是什么？我们能不能解决这个问题呢？这就是我们今天要学习的内容《数系的扩充和复数的概念》。
二、回顾数系的扩充历程 师：其实对于这种“数不够用”的情况，我们并不陌生。
大家记得吗？从小学到现在，我们一直在经历着数的不断扩充。
数系的扩充和复数的概念
数系的扩充和复数的概念1. 数系的演变说到数，大家可能会想起从小到大学的那些简单的算数题。
其实，数的世界可不止这些啊，随着时间的推移，数学家们可没闲着，他们不断在探索和扩充数的种类，直到把它们搞得五花八门，简直让人眼花缭乱。
首先，我们从最基本的自然数说起，自然数就像我们在数手指头时用到的那些，比如1、2、3……这些都是小朋友们耳熟能详的。
但是，等到你发现了零，这可就是个“翻天覆地”的概念了。
零的加入，瞬间让自然数的大家族扩展成了整数的大家庭，嘿，这可是一种“大门大开”的感觉呀！1.1 整数的引入说到整数，大家知道它们就是自然数加上了负数部分，像1、2、3……这样的存在。
整数让我们的数系更加丰富，原本的“有钱”小朋友们也多了些“欠债”的伙伴，嘿嘿，这样一来，数的对比和运算就变得更加有趣了。
想想，如果没有负数，我们能做多少有趣的数学题呢？而整数的出现，恰如给数系加上了一对翅膀，让它飞得更高，看到更广的世界。
1.2 有理数的诞生紧接着，数学家们又发现了“有理数”。
这可是一群有趣的数，它们可以被写成分数的形式，像是1/2、3/4、甚至5/6这样的，真是让人觉得“哇塞”。
有理数的加入，给我们提供了更多的可能性，特别是在解决实际问题的时候。
想象一下，我们在做蛋糕时，切一块有理数大小的蛋糕，那可真是“酸甜苦辣”的完美结合了！2. 复数的出现不过，数系的扩展可不止于此！随着数学的发展，复数这个家伙也横空出世了，简直是个“黑马”。
复数的形式看上去有点怪异，像是a + bi，其中a是实数，b是虚数，i是一个让人咋舌的数，它的平方竟然是1！这真是让许多人瞠目结舌，脑袋里一片空白。
“这怎么可能呢？”不少人疑惑地问。
但是，复数的引入，真的让我们可以解决许多在实数范围内无法解决的问题，简直是“救命稻草”。
2.1 复数的应用再想想，复数的应用可真广泛，从电工程到量子物理，它们都大展身手。
比如，在电路中，复数可以用来描述交流电的性质。
数系的扩充和复数的概念
1 复数的概念
思考： 1.复数集C和实数集R之间有什么关系？
复数集C
虚数集
纯虚数集
实数集 R
2.实数和虚数之间有什么关系？ 区别：实数可以比较大小，虚数不可以比较大小
例: 实数m取什么值时，复数 z m 1 (m 1)i
（1）实数？ （2）虚数？（3）纯虚数？
例：若复数 z＝m2－1＋(m2－m－2)i 为纯虚数，则实数m
0
3.两个复数相等,则它们的实部和虚部分别相等
的值为 B
A －1 B ±1 C 1 D －2
复数相等
如果两个复数的实部和虚部分别相等，那么我们就说这两个复数相等
若a,b,c, d R,
a bi c di
a c b d
特别的，若z a bi 0
a 0 b 0
例：已知x2－y2＋2xy i＝2i(其中x>0)，则实数x，y 的值分别为
7.1.1数系的扩充和复数的 概念
数系的扩充
x2 +1 0
x2 1
引进一个新数:i
新数 i 叫做虚数单位，则：
i 2 = -1
找规律？
ii
i2 1
i3 i
i4 1
i5.... i
i2023 ?
1 复数的概念
知识点1 复数的概念 把实数b与i 相乘记作bi,把实数a与bi相加记作a+bi (a,b为实数)
形如 a+bi(a,b∈R)的数叫做复数（i为虚数单位） 全体复数所形成的集合叫做复数集，一般用字母C表示
记为C {a bi | a, b∈R}
1 复数的概念
知识点2 复数的代数形式
复数通常用字母 z 表示，即
z = a+b i (a, b R)
数系的扩充和复数概念和公式总结
数系的扩充和复数概念和公式总结-标准化文件发布号：（9556-EUATWK-MWUB-WUNN-INNUL-DDQTY-KII数系的扩充和复数概念和公式总结1.虚数单位i:它的平方等于-1，即21i=-2. i与－1的关系: i就是－1的一个平方根，即方程x2=－1的一个根，方程x2=－1的另一个根是－i3. i的周期性：i4n+1=i, i4n+2=-1, i4n+3=-i, i4n=14.复数的定义：形如(,)+∈的数叫复数，a叫复数的实部，b叫复数的虚部全体复数所成a bi ab R的集合叫做复数集，用字母C表示复数通常用字母z表示，即(,)=+∈z a bi a b R5. 复数与实数、虚数、纯虚数及0的关系：对于复数(,)+∈，当且仅当b=0时，复数a bi ab Ra+bi(a、b∈R)是实数a；当b≠0时，复数z=a+bi叫做虚数；当a=0且b≠0时，z=bi叫做纯虚数；a ≠0且b≠0时，z=bi叫做非纯虚数的纯虚数；当且仅当a=b=0时，z就是实数0.5.复数集与其它数集之间的关系：N Z Q R C.6. 两个复数相等的定义：如果两个复数的实部和虚部分别相等，那么我们就说这两个复数相等如果a，b，c，d∈R，那么a+bi=c+di⇔a=c，b=d一般地，两个复数只能说相等或不相等，而不能比较大小.如果两个复数都是实数，就可以比较当两个复数不全是实数时不能比较大小7. 复平面、实轴、虚轴：点Z 的横坐标是a ，纵坐标是b ，复数z =a +bi (a 、b ∈R )可用点Z (a ，b )表示，这个建立了直角坐标系来表示复数的平面叫做复平面， x 轴叫做实轴，y 轴叫做实轴上的点都表示实数 （1（2（3）原点对应的有序实数对为(0，0)设z 1=a +bi ，z 2=c +di (a 、b 、c 、d ∈R )是任意两个复数，8．复数z 1与z 2的加法运算律：z 1+z 2=(a +bi )+(c +di )=(a +c )+(b +d )i .9.复数z 1与z 2的减法运算律：z 1-z 2=(a +bi )-(c +di )=(a -c )+(b -d )i .10.复数z 1与z 2的乘法运算律：z 1·z 2= (a +bi )(c +di )=(ac －bd )+(bc +ad )i .11.复数z 1与z 2的除法运算律：z 1÷z 2 =(a +bi )÷(c +di )=i dc ad bc d c bd ac 2222+-+++（分母实数化） 12.共轭复数：当两个复数的实部相等，虚部互为相反数时，这两个复数叫做互为共轭复数于0的两个共轭复数也叫做共轭虚数通常记复数z 的共轭复数为z 。
高中数学 必修2(人教版)7.1.1数系的扩充和复数的概念
[教材答疑]
1．教材P68思考 把新引进的数i添加到实数集中，我们希望数i和实数之间仍然 能像实数那样进行加法和乘法运算，并希望加法和乘法都满足交 换律、结合律，以及乘法对加法满足分配律．那么，实数系经过 扩充后，得到的新数系由哪些数组成呢？ 提示：依照以上设想，把实数b与i相乘，结果记作bi；把实数 a与bi相加，结果记作a＋bi.注意到所有实数以及i都可以写成a＋ bi(a，b∈R)的形式，从而这些数都在扩充后的新数集中．
(2)已知m∈R，复数z＝
mm＋2 m－1
＋(m2＋2m－3)i，当m为何值
时，
(1)z为实数？
(2)z为虚数？
(3)z为纯虚数？
解析：(1)要使z为实数，m需满足m2＋2m－3＝0，且
mm＋2 m－1
有意义，即m－1≠0，解得m＝－3.
(2)要使z为虚数，m需满足m2＋2m－3≠0，且
mm＋2 m－1
(1)复数集是最大的数集，任何一个数都可写成a＋bi(a，b∈R) 的形式，其中0＝0＋0i.
(2)复数的虚部是实数b而非bi. (3)复数z＝a＋bi只有在a，b∈R时才是复数的代数形式，否则 不是代数形式．
2．复数代数形式的应用 (1)从代数形式可判定z是实数、虚数还是纯虚数，若z是纯虚 数，可设z＝bi(b≠0，b∈R) 若z是虚数，可设z＝a＋bi(b≠0，b∈R) 若z是复数，可设z＝a＋bi(a，b∈R) (2)当两个复数不全是实数时，不能比较大小，只可判定相等 或不相等，但两个复数都是实数时，可以比较大小．
答案：0
方法归纳 在理解和应用复数概念时，一定要明确复数实部和虚部的定 义，复数的代数形式，根据题意，解出结果．
题型二 复数的分类——师生共研 例1 实数m取什么值时，复数z＝m2－5m＋6＋(m2－3m)i是(1) 实数；(2)虚数；(3)纯虚数．
数系的扩充和复数的概念
思考
15
16
五、课堂小结
数系的扩充
复数
复数的分类
复数的相等
17
实数和虚数都是真实的数， 成功与失败都是生命的歌。
罗增儒
18
3.1全世界！
用数学眼光观察世界 用数学思维思考世界 用数学语言表达世界
2
3.1.1数系的扩充和复数的概念
3
一、数系的扩充
4
一、数系的扩充 思考：人们为什么要不断扩充 数系？
（1）生产生活实际的需要； （2）数学自身内部矛盾的推动
5
思考：数系扩充的一般原则是 什么？
8
二、复数的概念
1. 定义：形如 a+bi 的数叫做复数， 其中 a, b 为实数。 复数全体组成的集合C叫复数集。
9
三、复数的分类及包含关系
1. 分类：
2. 关系：
虚数集
复数集
纯虚数集
实数集
10
11
12
13
四、复数相等 如果两个复数的实部和虚部分 别对应相等，那么我们就说这 两个复数相等。
不仅仅是在原数域内增加数的问题，还 涉及到数的运算。
“向前兼容”
6
数系的每一次扩充，解决了在原有数集中某种 运算不能实施的矛盾，且原数集中的运算规则在新 数集中得到了保留。
7
二、复数的概念
i 叫做虚数单位，并且规定： （1）i2 =-1; （2）实数与 i 能进行四则运算， 并且原有的加法与乘法的运算律 仍然成立.
复数知识点总结
复数一、数系的扩充和复数的概念：1.复数的定义：形如),(R b a bi a ∈+的数叫做复数，其中i 叫做虚数单位。
其中a 叫作复数z 的实部，b 叫做复数z 的虚部(其中12-=i )。
2.复数分类：复数⎩⎨⎧=≠=∈+)0)(0()0(),(时为纯虚数当虚数实数a b b R b a bi a 。
3.数集之间的关系：4.复数相等的充要条件：d b c a di c bi a ==⇔+=+且。
特别的：0,00,,==⇔=+∈b a bi a R b a 。
二、复数的几何意义：1.复平面：如图，点Z 的横坐标是a ,纵坐标是b ，复数bi a z +=可用点Z （a ，b ）表示。
这个建立了直角坐标系来表示复数的平面叫做复平面，x 轴叫做实轴， y 轴叫做虚轴。
实轴上的点表示实数；除了原点外，虚轴上的点都表示纯虚数。
2.复数与向量的对应：如图所示：复数−−−→←∈+=一一对应),(R b a bi a z 平面向量OZ , 这时复数的另一种几何意义。
3.复数的模：向量OZ 的模叫做复数),(R b a bi a ∈+的模或绝对值，记作z 或bi a +。
即22b a bi a z +=+=。
4.共轭复数：实部相等，虚部互为相反数的两个复数称为共轭复数。
虚部不等于0的两个共轭复数也叫做共轭虚数。
复数z 的共轭复数用z 表示。
注意：互为共轭复数的两个复数在复平面内所对应的点关于x 轴对称。
三、复数的运算：设),,,(,21R d c b a di c z bi a z ∈+=+=是任意两个复数。
复数的加法运算：i d b c a di c bi a z z )()()()(21+++=+++=+； 复数的减法运算：i d b c a di c bi a z z )()()()(21-+-=+-+=-； 复数的乘法运算：i bc ad bd ac di c bi a z z )()()()(21++-=+⋅+=⋅； 复数的除法运算：i d c ad bc d c bd ac di c bi a 2222+-+++=++；加法运算律：交换律：1221z z z z +=+；结合律：)()(321321z z z z z z ++=++；乘法运算律：交换律：1221z z z z ⋅=⋅；结合律：)()(321321z z z z z z ⋅⋅=⋅⋅；乘法对加法的分配率:3121321)(z z z z z z z ⋅+⋅=+.四、复数的三角形式（选学）1.复数的代数形式转化为三角形式：代数形式),(R b a bi a z ∈+=可化为三角形式)sin (cos θθi r z +=。
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4．已知关于 t 的一元一次方程 2 t + (2 + i) t + 2xy + (x – y)i = 0 (x， y?R) ． (x，y)的轨 （1）当方程有实数根时，求点 迹方程； （2）求方程的实根的取值范围．
课堂小结
1.虚数单位i的引入； 2.复数有关概念： 复数的代数形式: z a bi (a R, b R ) 复数的实部 、虚部 虚数、纯虚数 复数相等 a bi c di
a c b d
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世上还是好人多，我的阿爹阿妈收养了我，供我吃穿供我上学，教育我怎么做人。虽然日子过得很清苦，但是我毕竟有 了一个温暖的家，阿爹的疼阿妈的爱滋润着我的心田„„你们知道吗？我家姊妹多，在那样的年代，只靠阿爹阿妈两个 人地里来地里去是养不活全家的，所以大狙二狙还有年仅十五岁的三狙相继缀学去了深山的煤矿拉煤„„曾记得阿爹生 病的时候，为了给阿爹治病，我偷偷地跟五妮子和六丫头去了煤矿。只干了几个小时的活，手上就磨起了泡，满脸乌黑， 我这才知道一个女孩子家拉煤是什么滋味„„后来被阿爹知道了，狠狠地把五妮子和六丫头训了一顿儿，说我和他们不 同，细皮嫩肉的不能去干那粗活儿，他让我安心地读书，长大了去大的城市生活„„我拉着阿爹的手哭了，你们知道我 的阿爹是多么的疼我多么的爱我吗？！„„ 阿爹走了，我的眼泪哭干了。我真后悔阿爹临终前告诉了我的身世„„我对你们的态度彻底改变了。 六叔，试问你能与我的阿爹能相比吗？痛定思痛，无论我的亲生父母是谁，以前如何待我，我毕竟是吃过六婶儿的奶， 我是不会忘记的。 往事难追，这里毕竟有养育了我的阿妈和我的兄弟狙妹，我已离不开这片土地和这群爱我的孩子们了。 六叔六婶儿，我已经长大了，至于我究竟姓什么对我来说已经不重要了„„因为这儿的天是蓝的土是黄的，这儿有我的 事业，我要把青春献给那些失去母爱的孩子们„„ 远方的女儿：荷花执笔于中秋之夜。 “荷花不记恨我们，她原谅我们了„„她终于承认她是我们的女儿了„„”妻子 流着泪兴奋地叫了起来。 列车在缓缓行驶，透过车窗回首瞭望，太阳升起来了，温暖的阳光洒满了远处的千山万壑。 我仿佛听到荷花的声音：爸——爸——我的眼睛湿润了„„我忘不了，在这群山之间有一座朴实的爱心小学。 祝福你，我的女儿荷花„„有一天，村里来了个放大照片的人，说是专门为老年人上门服务。我的母亲把这人领到家中， 拿出侄儿的全家福把它放大了，用相框装好挂在显眼的地方，静静地看上几眼。 若是来了客人，母亲就向他们炫耀着说：“这是我的娘家侄儿，我的重侄女长得多俊俏，就像我家的小荷„„” 没有外人时，时常念叨着：“多好的一家人啊，我的孙女真有福气„„唉！苦就苦了我家的荷花„„” 听了母亲的话，我终于说出了我的心愿：“爹„„娘„„我想去趟山西„„把荷花领回家„„”
（3）纯虚数
m 2
如果两个复数的实部和虚部分别相等，那 么我们就说这两个复数相等．
若a, b, c, d R,
例 3．如果 ( x y ) ( y 1)i ( 2 x 3 y ) ( 2 y 1)i , 求实数 x、 y的值？
a c a bi c di b d
例题讲解
例 2．实数 m 取什么值时 , 复数 Z m 1 ( m 1)i是(1)实数 ?( 2 )虚数 ? ( 3)纯虚数 ?
练习1:当m为何实数时，复数
z m m 2 ( m 1)i
2 2
m 1或m 1
是 （1）实数
（2）虚数
m 1且m 1
高二理科数学
复习回顾
自然数 用图形表示包含关系：
数 系 的 扩 充
整数
有理数
无理数
N Z R Q
实数
知识引入 我们已经知道：
一元二次方程
x 1 0
2
没有实数根．
思考？
x 1
2
我们能否将实数集进行扩充，使得在 新的数集中，该问题能得到圆满解决呢？
引入一 个新数：
i
满足
i 1
2
新课
1. 把 i 叫做虚数单位，并且规定： （1）i21； （2）实数可以与 i 进行四则运算，在进行 四则运算时，原有的加法与乘法的运算率 (包括交换率、结合率和分配率)仍然成立. 形如a+bi(a,b∈R)的数叫做复数. 2. 全体复数所形成的集合叫做复数集， 一般用字母C表示 .C={a+bi︱a,bR}
如果两个复数的实部和虚部分别相等，那 么我们就说这两个复数相等．
a c a bi c di b d 练习 2.
求实数 x , y 的值. x 3, y ⑵ 若 3 10i y 2 i x 1 9i , 求实数 x , y 的值.
规定:两复数 a bi 与 c di ( b, c, d R) 相等的充要条件是 a c 且 b d .
当 b 0 时，这时 z a 是实数.
例题讲解
例 1. 判断下列各数 , 哪些是实数 ?哪些 是虚数?若是虚数请指出实部与虚部. 1 (1) 3 2 i; ( 2) 3 i; 2 1 ( 3) 3 i; ( 4 ) 0 .2 i ; 2 ( 5 ) m 1 1 m i ( m R ); 1 3 (7 ) i ; ( 8) 1 ; i
若a, b, c, d R,
⑴ 已知 x y x 2 y i 2 x 5 3 x y i
2
x 1, y 1
1．使复数 lg(m -2m-2)+(m +3m+2)i 是 纯虚数，则实数 m 的取值是 m=3 .
课堂练习
2
2
2．设 C = {复数}，A = {实数}，B = {纯虚数}， 全集 U = C，那么下面结论正确的是（ D ） A．A∪B = C B． UA = B C．A∩ UB = Φ D．B? UB = C
3.复数的代数形式： 通常用字母 z 表示，即
z a b i (a R, b R )
实部 虚部
虚数单位
讨论？
复数集C和实数集R之间有什么关系？
规定: 0i=0 ,0+bi=bi, a+0i=a
当 b 0 时， z a bi 叫做虚数. 复数 z a bi 当 a 0且b 0 时，z bi 叫做纯虚数.
3．“复数 a + bi ( a，b，c? R)为纯虚数” 是“a = 0”的什么条件 （ A ） A ．充分但不必要条件 B．必要不充分条件
选做作业: 2 4 1. 若方程x m 2i x 2 mi 0至少有 一 个 实 数根,求实数 m 的值.
课堂练习
m 2 2