沪教版高一下册数学反三角函数反正弦函数教案高一下学期
沪教版高中数学高一下册-6.4 反三角函数 -反正弦函数 教案
反正弦函数 教案设计教学目标：1、 知识与技能：理解反正弦函数的概念，掌握反正弦函数的图像和基本性质；2、 过程与方法：经历在正弦函数的某个单调区间上建立反正弦函数的过程，会求反正弦函数值，会用反正弦函数值的形式表示角的大小；在研究问题的过程中体会数形结合和等价转化等数学思想方法。
教学重点：反正弦函数的概念；反正弦函数的图像和性质。
教学难点：反正弦函数的概念。
教学过程：一、 探索发现（1） 已知1sin ,[0,]22x x π=∈，求x 。
（2） 已知1sin 3x =，求x 。
教师提问：一般地，已知角x 的正弦值，如何求x ？ 问题转化为：在正弦函数sin y x =中，已知函数值y ，如何求自变量x ？师生讨论正弦函数是否具有反函数。
二、 问题驱动问题1：结合正弦函数sin ,y x x R =∈的图像，考虑它是否具有反函数？复习反函数的概念。
问题2：你能否创设条件，使sin y x =能够存在反函数？即如何从R 中寻找一个区间，使x 与y 一一对应。
选取区间的三个依据：①sin y x =在此区间上存在反函数；②能够取到sin y x =在[1,1]-的一切函数值；③区间关于原点对称，应用方便。
所以选取闭区间[,]22ππ-，则sin y x =在该区间上存在反函数。
三、 概念提出1、反正弦函数的概念及表示 明确sin ,[,]22y x x ππ=∈-存在反函数后，考虑它的反函数。
回顾求反函数的步骤——反解，互换，求定义域。
反解x ，引入新的符号arcsin ，即arcsin ,[1,1]x y y =∈-，将x 与y 互换，得arcsin ,[1,1]y x x =∈-，称为反正弦函数。
定义：函数sin ,[,]22y x x ππ=∈-的反函数叫做反正弦函数，记作arcsin ,[1,1]y x x =∈-。
3.反正弦函数的图像与性质①图像与原函数关于直线y x =对称；②定义域：原函数的值域[1,1]-；值域：原函数的定义域[,]22ππ-；最值：min max 1,;1,22x y x y ππ=-=-==；③奇偶性——奇函数：arcsin()arcsin x x -=-；④单调性——在[1,1]-上单调递增；⑤性质1：sin(arcsin ),[1,1]x x x =∈-；⑥性质2：arcsin(sin ),[,]22x x x ππ=∈-。
沪教版高中数学高一下册-6.4 反三角函数 -反正弦函数 课件(共14张PPT)
函数 y = 弦函数.
sinx,
xπ2,π2,y1,1的反函数就叫做反正
*记作: yarc, x s i n 1 , 1 x, y π 2, π 2 .
*(2)当 x1,1时,(arcsinx)就表示闭区间
π 2
,π 2
上的一
个唯一确定的角,其正弦值就等于x.
*(3)反正弦函数 y = arcsinx,在 x1,1上是递增函数; *(4)反正弦函数 y = arcsinx,在 x1,1上是个奇函数.
( 1 a) rc .3 s iπ n ;( 2 a) rc . πs i3 n ;
23
32
(3)a.rcsin12kπ π(k∈Z); 2
(4)a.rcsi(n-π)= -arcsinπ;
3
3
(5 s( ia ) nr .π c 2) sπ 2 i; n (6 s( ia ) nr .c 2 ) s2 i; n 1010
2
2
*解法感悟:
由反正弦函数的定义可知,arcsinx, x1,1.
表示的是在闭区间
π 2
,π 2
上的唯一确定的一个角
且它的正弦值等于x,牢牢把握定义是求反正弦函数
值的关键.
〖例题2〗用反正弦函数值的形式表示下列各式中的 x. (1).sinx53,xπ2,π2;
(2s)in.x1 4,xπ 2,π 2;
arcsin(x)arcsinx -3
x[1,1].
(4)单调性:是增函数
y
y arcsin x, x [1,1], y [ , ]
2
22
1.5
2 -1
-2
-1
21
0.5
o
-0.5
沪教版(上海)数学高一下册-6.4 反三角函数(1) 教案
课 题：6.4反三角函数（1）教学目的：1．要求学生初步（了解）理解反正弦、反余弦函数的意义，会由已知角的正弦值、余弦值求出[]π2,0范围内的角，并能用反正弦，反余弦的符号表示角或角的集合2．掌握已知三角函数值求角的解题步骤．教学重点：已知三角函数值求角教学难点：诱导公式与利用三角函数值求角的综合运用教学过程：一、复习引入：诱导公式应用广泛，不仅已知任意一个角，(角必须属于这个函数的定义域)，可以求出它的三角函数值，而且反过来，如果已知一个三角函数值，也可以求出与它对应的角．这就是本节课的主要内容．二、讲解新课：简单理解反正弦函数的意义：由y =sin1︒在R 上无反函数2︒在⎥⎦⎤⎢⎣⎡-2,2ππ上，,sin x y = x 与y 是一一对应的，且区间⎥⎦⎤⎢⎣⎡-2,2ππ比较简单 ∴在⎥⎦⎤⎢⎣⎡-2,2ππ上，x y sin =的反函数称作反正弦函数 记作()11arcsin ≤≤-=x x y ，注意：“arcsin x ”表示0,2π⎡⎤⎢⎥⎣⎦ 上的一个角，且这个角的正弦值等于x 如：11arcsin ,arcsin(),arcsin1,arcsin(1)262622ππππ=-=-=-=- arcsin00=性质：1、定义域：[]1,1x ∈- 2、值域：,22y ππ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦3、单调性：在[]1,1x ∈-上单调递增；4、奇偶性：奇函数注意：（1）由图知：当[1,0)x ∈- 时，arcsin [,0),2x π∈-当(0,1]x ∈ 时，arcsin (0,]2x π∈，当0x = arcsin 0x =(2)恒等式：()[]()sin arcsin 1,1x x x =∈- ()arcsin sin ,22x x x ππ⎛⎫⎡⎤=∈- ⎪⎢⎥⎣⎦⎝⎭已知三角函数求角：首先应弄清：已知角求三角函数值是单值的;已知三角函数值求角是多值的三、讲解范例：例1 、求下列各式值：()1 ()2arcsin0 ()13arcsin 2⎛⎫- ⎪⎝⎭()34sin 2arcsin 5⎛⎫ ⎪⎝⎭ ()55cos arcsin 313π⎛⎫⎛⎫+- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭例2、求下列函数的定义域和值域：()()11arcsin 212y x =- ()2y =()3sin arcsin y x x =+例3、用反正弦函数值的形式表示各式中的x ：()1sin ,,522x x ππ⎡⎤=∈-⎢⎥⎣⎦()12sin ,,422x x ππ⎡⎤=-∈-⎢⎥⎣⎦()[]3sin 0,3x x π=∈ ()234sin ,,52x x ππ⎛⎫=-∈ ⎪⎝⎭五、小结 求角的多值性法则：1、先决定角的象限2、如果函数值是正值，则先求出对应的锐角x ； 如果函数值是负值，则先求出与其绝对值对应的锐角x ，3、由诱导公式，求出符合条件的其它象限的角六、课后作业：一课一练。
沪教版高一数学下册《反正弦函数》说课教案
反 正 弦 函 数教材：上海教育出版社高中一年级第二学期(试验本)第六章第四节授课教师：上海市复旦大学附属中学 杨丽婷 教学目标1.理解学习反正弦函数的必要性；理解反正弦函数sin y arc x =是函数sin ,,22y x x ππ⎡⎤=∈-⎢⎥⎣⎦的反函数而不是正弦函数的反函数；理解反正弦函数sin y arc x =的概念，掌握符号sin arc x 的含义，并会用以表示角；2.知道反正弦函数的图像，并能形数结合掌握反正弦函数的性质；3.会用数学思想分析和思考问题。
教学重点在教师的引导下，让学生发现为什么要学习反正弦函数、怎样学习反正弦函数。
真正理解反正弦函数概念以及反正弦函数符号的本质。
教学难点反正弦函数[]1,1,arcsin -∈=x x y 的产生和从本质上处理正弦函数()R x x y ∈=sin 的反函数问题。
教学过程一、 回顾复习我们今天学习反正弦函数。
三角学起源于测量，天文测量、航海测量都是利用三角形之间的边角关系来测量的。
即利用比值与角之间的关系测量得到距离、高度和角度。
而在测量的实际计算过程中我们经常会遇到两类相反的问题。
一类是已知角值求比值，这是我们学习过的，例如，正弦函数x y sin =它就是一个角值函数，任意角x 都有唯一确定的正弦值y 与之对应，即已知某一个角值都可以通过正弦函数，将其正弦值表示出。
例如：6π=x ，其正弦值y 可以表示为216sin ==πy ；2=x ，其正弦值y 表示为2sin =y 。
而另一类相反的问题是已知比值求角值，例如：已知角x 的正弦值为21，那么角x 如何表示呢？ （可以表示为522()66x k x k k z ππππ=+=+∈或；） 如果已知角的正弦值是31，那么角x 又如何表示呢？ 这就产生了怎样用正弦值表示相应角的问题？我们说正弦函数x y sin =研究的是角值如何确定正弦值，角值是自变量，正弦值是因变量，而现今要解决的是正弦值如何确定相应的角值？所以，我们要反过来，由正弦函数的因变量去确定自变量。
沪教版高一下册数学反函数的概念教案高一下学期
4.5反函数的概念一、教学内容分析“反函数”是《高中代数》第一册的重要内容.这一节课与函数的基本概念有着紧密的联系，通过对这一节课的学习，既可以让学生接受、理解反函数的概念并学会反函数的求法，又可使学生加深对函数基本概念的理解，还为今后反三角函数的教学做好准备,起到承上启下的重要作用. 二、教学目标设计（1）理解反函数的概念，并能判定一个函数是否存在反函数；（2）掌握求反函数的基本步骤，并能理解原函数和反函数之间的内在联系；（3）通过反函数概念的引入；函数及其反函数图像特征的主动探索，初步学会自主地学习、独立地探究问题；掌握观察、比较、分析、归纳等数学试验研究的方法；体验探索中挫折的艰辛与成功的快乐，激发学习热情.三、教学重点与难点：反函数的概念及求法；反函数的图像特征；反函数定义域的确定. 四、教学流程设计五、教学过程设计 1、设置情境，引出概念引例：在两种温度度量制摄氏度(C )和华氏度（F）相互转化时会发现，有时两人选用相同的数据，如下表，所建立的函数关系和作出的图像完全不同，这是为什么呢？教师点拨：指导学生观察上面两个函数的异同，引出反函数的定义.介绍反函数的记号)(1x fy -=；了解)(1x f-表示反函数的符号，1-f表示对应法则.2、 探索研究，深化概念 ①探求反函数成立的条件.例1（1）2x y =（R x ∈）的反函数是 （2）2x y =（0≥x ）的反函数是 （3）2x y =（0<x ）的反函数是 学生活动：讨论函数反函数成立的条件（理论根据为函数的定义）：对值域A 中任意一个y 值，在定义域D 中总有唯一确定的x 值与它对应，即x 与y 必须一一对应. ②探求求反函数的方法.（课本例题） 例2．求下列函数的反函数：（1）24+=x y （2）13+=x y （3）)0(12≥+=x x y （4）)21,(2413-≠∈++=x R x x x y[说明]：学生分四组完成，教师巡视，把典型错误及正确解法投影. 学生活动：探求求反函数的方法. （1） 变形:解方程，)(x f y =得)(1y fx -=； （2） 互换:互换y x ,的位置，得)(1x fy -=；（3）写出定义域:注明反函数的定义域.③观察反函数的图像，探讨互为反函数的两个函数的关系.例3：在同一坐标下，画出例2中的函数及其反函数的图像.（在几何画板中显示）教师点拨：指导学生观察函数及其反函数的图像，结合反函数的定义，探讨函数及其反函数之间的关系.学生活动：探讨互为反函数的两个函数的关系. ①从函数角度看：若函数)(x f y =有反函数)(1x fy -=，则)(1x fy -= 的反函数是)(x f y =，即)(x f y =和)(1x fy -=互为反函数.反函数的定义域与值域恰好是原函数的值域与定义域.②从函数图像看：原函数和反函数图像关于x y =对称.③从单调性来看：原函数和反函数均为单调函数，他们具有相同的单调性. 3、例题分析，巩固方法： （1）课本练习4.5 （2）补充练习：1、给出下列几个函数：①)21(12>-=x x y ；② ⎩⎨⎧≥==)2(2)1(4x x x y ③)(23R x x y ∈+= ④)0()2(≥-=x x x y 其中不存在反函数的函数序号是 ②、④2、若指数函数)(x f y =的反函数的图像经过点（２，－１），则此指数函数为 ( A )（A ） x y )21(= （B ）x y 2= （C ）x y 3= （Ｄ）xy 10=3、设)1(22)(≤--=x x x f ，则)(1x f- （ D ）（A ）在（),∞+∞-上是增函数 （B ）在（),∞+∞-上是减函数 （C ）在),0[∞+上是减函数 （Ｄ）在（]0,∞-上是增函数4、若函数)(x f 是函数()10222≤≤--=x x y 的反函数，则)(x f 的图像为（ B ）A B C D5、)21( 22≤≤-=x x x y 反函数是 （ B ）（A ）)11( 112≤≤--+=x x y （B ）)10( 112≤≤-+=x x y （C ）)11( 112≤≤---=x x y（D ）)10( 112≤≤--=x x y6、若)0(≠+=a b ax y 有反函数且它的反函数就是b ax y +=本身，求b a ,应满足的条件.解：由b ax y +=，得b y ax -=.由0≠a ，知ab y a x -=1. 所以函数b ax y +=的反函数为a by a x -=1. 由于函数b ax y +=的反函数aby a x -=1就是函数b ax y +=本身，即有xxxyyyya a =1，且b ab=-. 于是，解得1=a ，0=b 或1-=a ，b 为任意实数.教师点拨：提出两个问题：①什么样的一次函数，它的反函数正好是它本身？②除了一次函数外，是否还存在其它函数，满足反函数就是它本身?(11),0(-+=≠=x x y k x k y 等) 4、课堂小结①反函数的概念及求法； ②函数及其反函数的关系； 5、作业布置 练习册4.5 A 组 六、教学设计说明1．反函数概念比较抽象，不能简单地从形式上来定义. 在教学时先通过实例根据自变量和应变量的不同，得到两个函数关系式和图像完全不同的函数.在此基础上指出这两个函数互为反函数，这样使学生对反函数有一个初步的认识.2．在此基础上，引出反函数的一般概念，使得较抽象的概念能被学生逐步理解.然后再进一步强调函数),)((A y D x x f y ∈∈=的反函数存在的条件——“对值域A 中任意一个y 值，在定义域D 中总有唯一确定的x 值与它对应”.3．通过学生对课本例题的练习，发现学生在解题过程中存在的问题.通过对课堂练习的点评，让学生了解并总结出求反函数的步骤. 同时让学生认识到若函数)(x f y =有反函数)(1x f y -=，则)(1x fy -=的反函数是)(x f y =，即)(x f y =和)(1x f y -=互为反函数，并了解反函数的定义域与值域恰好是原函数的值域与定义域.4．通过几何画板在同一坐标下演示课本例题的函数及其反函数的图像，让学生掌握y x ,互换的几何意义，了解原函数和反函数图像关于x y =对称，从而巩固对反函数概念的理解.。
数学6.4反三角函数教案1沪教版高中一级第二学期
6.4反三角函数（1）——反正弦函数一、教学内容分析根据反函数的概念，正弦函数y=sinx （x ∈R ）没有反函数.但是如果我们适当选取实数集R 的一个子集[-2π，2π]，那么函数y=sinx ， x ∈[-2π，2π]就存在反函数，为什么要选取[-2π，2π]，教师要作必要性说明.我们把函数y=sinx ， x ∈[-2π，2π]的反函数叫做反正弦函数，记作y=arcsinx ，x ∈[-1，1]，学生对符号的arcsinx 的理解比较困难，前面符号中的x 必须满足|x|≤1，arcsinx 是[-2π，2π]上的一个角的弧度数，这个角的正弦值为x.根据互为反函数间的图像关系，函数y=arcsinx ，x ∈[-1，1]的图像和函数y=sinx ， x ∈[-2π，2π]的图像应该关于直线y=x 对称，这样容易作出反正弦函数的图像，根据其图像可以得到反正弦函数y=arcsinx ，x ∈[-1，1]是奇函数，且单调递增. 二、教学目标设计1．理解函数y=sinx （x ∈R ）没有反函数；理解函数y=sinx ， x ∈[-2π，2π]有反函数；理解反正弦函数y=arcsinx 的概念，掌握反正弦函数的定义域是[-1，1]，值域是[-2π，2π]. 2．知道反正弦函数y=arcsinx ，x ∈[-1，1]的图像.3．掌握等式sin （arcsinx ）=x ，x ∈[-1，1]和arcsin （-x ）=-arcsinx ，x ∈[-1，1]. 4．能够熟练计算特殊值的反正弦函数值，并能用反正弦函数值表示角. 5．会用数形结合等数学思想分析和思考问题. 三、教学重点及难点教学重点：理解反正弦函数概念以及反正弦函数符号的本质.教学难点：反正弦函数[]1,1,arcsin -∈=x x y 的产生和从本质上处理正弦函数()R x x y ∈=sin 的反函数问题.四、教学用具准备 直尺、多媒体设备五、教学流程设计六、教学过程设计一、情景引入1．复习我们学习过反函数，知道，对于函数y=f（x），x∈D，如果对它的值域中的任意一个值y，在定义域D中都有唯一确定的值x与它对应，使y=f（x），这样得到的x关于y的函数叫做y=f（x）的反函数.我们也明确不是任何一个函数都存在反函数.函数要存在反函数必须要求其自变量与因变量是一一对应的.2．思考那么正弦函数是否存在反函数呢？[说明]因为对于任一正弦值y都有无数个角值x与之对应.正弦函数的自变量与因变量是多对一的.故而不存在反函数.3．讨论正弦函数不存在反函数.但只要选取某一区间使得x y sin =在该区间上存在反函数.因变量可以确定自变量，正弦值可以表示相应的角值，并且将该区间上的角值用相应的正弦值表示就可以了.学生讨论应该选取怎样的区间，使得x y sin =存在反函数呢？这个区间的选择依据两个原则：（1）x y sin =在所取区间上存在反函数； （2）能取到x y sin =的一切函数值[]1,1-. 可以选取闭区间⎥⎦⎤⎢⎣⎡-2,2ππ，使得x y sin =在该区间上存在反函数，而这个反函数就是今天要学习的反正弦函数. 二、学习新课 1．概念辨析（1）反正弦函数的定义：函数y=sinx ， x ∈[-2π，2π]的反函数叫做反正弦函数，记作y=arcsinx ，x ∈[-1，1].（2）反正弦函数的性质： ①图像②定义域[-1，1]③值域[-2π，2π] ④奇偶性：奇函数，即arcsin （-x ）=-arcsinx ，x ∈[-1，1] ⑤单调性：增函数[说明]互为反函数的两个函数图像关于直线x y =对称，函数y=sinx ，x ∈[-2π，2π]与函数y=arcsinx ，x ∈[-1，1]的图像关于直线x y =对称.2．例题分析例1．求下列反正弦函数的值：（1）arcsin21；（2）arcsin0；（3）arcsin （-23） 解：（1）因为sin6π=21，且6π∈[-2π，2π]，所以arcsin 21=6π. （2）因为sin0=0，且0∈[-2π，2π]，所以arcsin0=0. （3）因为sin （-3π）=-23，且-3π∈[-2π，2π]，所以arcsin （-23）=-3π.例2．用反正弦函数值的形式表示下列各式的x ：（1）sinx=32，x ∈[-2π，2π]；（2）sinx=-51，x ∈[-2π，2π]； （3）sinx=-33，x ∈[-π，0]. 解：（1）因为x ∈[-2π，2π]，由定义，可知x=arcsin 32；（2）因为x ∈[-2π，2π]，由定义，可知x=arcsin （-51）=- arcsin 51；（3）在区间[-2π，0] 上，由定义，可知x=arcsin （-33）=- arcsin 33； 在区间[-π，-2π]上，由诱导公式，可知x=-π+arcsin 33，满足 sinx=-33.因此x= arcsin33或x=-π+arcsin 33. 例3．化简下列各式：（1）arcsin （sin7π）；（2）arcsin （sin 54π）；*（3）arcsin （sin20070） 解：（1）因为7π∈[-2π，2π]，设sin 7π=α，所以arcsin α=7π，即arcsin （sin 7π）=7π. （2）因为54π∉[-2π，2π]，而5π∈[-2π，2π]，且sin 5π=sin 54π，设sin 5π=sin 54π=α，所以arcsin （sin54π）= arcsin （sin 5π）= arcsin α=5π. （3）因为sin20070=sin （5×3600+2070）=sin2070=sin （1800+270）=-sin270所以arcsin （sin20070）= arcsin （-sin270）=- arcsin(sin270)=- 270.例4．求函数f （x ）=2arcsin2x 的反函数f -1（x ），并指出反函数的定义域和值域.解：设y=2arcsin2x ，则2y= arcsin2x ， 因为2x ∈[-1，1]，arcsin2x ∈[-2π，2π]，所以x ∈[-21，21]，y ∈[-л，л]，根据反正弦函数的定义，得2x=sin2y ，x=21 sin 2y ，将x ，y 互换，得反函数f -1（x ）=21 sin 2x ，定义域是[-л，л]，值域是[-21，21]. 3．问题拓展例1．证明等式：arcsin （-x ）=-arcsinx ，x ∈[-1，1] 证明：∵x ∈[-1，1]，∴ -x ∈[-1，1]∴sin[arcsin （-x ）]= -x ，sin （-arcsinx ）=-sin （arcsinx ）=-x又因为arcsin （-x ）∈[-2π，2π]，-arcsinx ∈[-2π，2π]，且正弦函数在[-2π，2π]上单调递增，所以arcsin （-x ）=-arcsinx ， x ∈[-1，1].[说明]这是证明角相等的问题，两个角仅有同名三角比相等，不能证明这两个角相等，教师应启发学生知道这个数学事实，并举例说明.例2．设x ∈[2π，23π]，sinx=31，用反正弦函数值表示x.解：因为x ∈[2π，23π]，所以（π-x ）∈[-2π，2π]，又sin （π-x ）=sinx ，得sin （π-x ）=31，于是π-x=arcsin 31，x=π- arcsin 31.[说明] 对于用反正弦函数值表示区间[-2π，2π]外的角，教材不作要求，但考虑到在解实际问题中常要表示钝角，因此可补充用反正弦函数值表示钝角的练习. 以上两例教师应根据各自学校学生的实际情形进行教学.三、巩固练习判断下列各式是否成立?简述理由. （1）arcsin23=3π；（2）arcsin 3π=23；（3）arcsin1=2k л+2π，k ∈Z ；（4）arcsin （-3π）=- arcsin 3π；（5）sin （arcsin 2）=2；（6）arcsin 6π=21. 解：（1）式成立；（2）、（4）、（5）各式都不成立，理由是反正弦函数的定义域为[-1，1]；（3）式仅当k=0时成立，k 取其他整数时，不成立，理由是反正弦函数的值域为[-2π，2π]；（6）式不成立，因为与反正弦函数的定义不符. 四、课堂小结 教师引导学生总结： （1）反正弦函数的定义； （2）反正弦函数的性质.五、作业布置（1）书上练习6.4(1)中的1、2、3、4（2）思考题：求函数f （x ）=2π-arcsin2x 的反函数f -1（x ），并指出反函数的定义域和值域.七、教学设计说明 1．关于教学内容反正弦函数作为基本初等函数之一，对后继课程的学习有着重要的作用，特别是在反三角函数中，反正弦函数有着模本的作用.而反正弦函数是反三角函数单元学习的重点和难点.本节课与反函数的基本概念、性质有着紧密的联系，通过对这一节课的学习，既可以让学生掌握反正弦函数的概念，又可使学生加深对反函数概念的理解，而且为学习其它反三角函数奠定了基础，起到承上启下的重要作用. 2．关于教学方法为了充分调动学生学习的积极性，体现学生的自主式学习，我选用了启发、自我探究的教学方式.在课堂教学过程中，始终贯彻“教师为主导、学生为主体、探究为主线、思维为核心”的教学思想，通过引导学生观察、比较、分析和概括，使学生能根据已有数学知识的准备：已掌握三角函数的概念及性质、反函数，自主探究反正弦函数及其性质.。
沪教版高一下册数学反三角函数反正弦函数教案高一下学期
6.4反三角函数（1）——反正弦函数【教学目标】1．理解函数y=sinx （x ∈R ）没有反函数；理解函数y=sinx ， x ∈[-2π，2π]有反函数；理解反正弦函数y=arcsinx 的概念，掌握反正弦函数的定义域是[-1，1]，值域是[-2π，2π]. 2．知道反正弦函数y=arcsinx ，x ∈[-1，1]的图像.3．掌握等式sin （arcsinx ）=x ，x ∈[-1，1]和arcsin （-x ）=-arcsinx ，x ∈[-1，1]. 4．能够熟练计算特殊值的反正弦函数值，并能用反正弦函数值表示角. 5．会用数形结合等数学思想分析和思考问题. 【教学重点与难点】教学重点：理解反正弦函数概念以及反正弦函数符号的本质.教学难点：反正弦函数[]1,1,arcsin -∈=x x y 的产生和从本质上处理正弦函数()R x x y ∈=sin 的反函数问题.【教学过程】一、 情景引入 1．复习我们学习过反函数，知道，对于函数y=f （x ），x ∈D ，如果对它的值域中的任意一个值y ，在定义域D 中都有唯一确定的值x 与它对应，使y=f （x ），这样得到的x 关于y 的函数叫做y=f （x ）的反函数.我们也明确不是任何一个函数都存在反函数.函数要存在反函数必须要求其自变量与因变量是一一对应的. 2．思考那么正弦函数是否存在反函数呢？[说明] 因为对于任一正弦值y 都有无数个角值x 与之对应.正弦函数的自变量与因变量是多对一的.故而不存在反函数. 3．讨论正弦函数不存在反函数.但只要选取某一区间使得x y sin =在该区间上存在反函数.因变量可以确定自变量，正弦值可以表示相应的角值，并且将该区间上的角值用相应的正弦值表示就可以了.学生讨论应该选取怎样的区间，使得x y sin =存在反函数呢？这个区间的选择依据两个原则：（1）x y sin =在所取区间上存在反函数；（2）能取到x y sin =的一切函数值[]1,1-.可以选取闭区间⎥⎦⎤⎢⎣⎡-2,2ππ，使得x y sin =在该区间上存在反函数，而这个反函数就是今天要学习的反正弦函数.二、学习新课 1．概念辨析（1）反正弦函数的定义：函数y=sinx ， x ∈[-2π，2π]的反函数叫做反正弦函数，记作y=arcsinx ，x ∈[-1，1]. （2）反正弦函数的性质： ①图像； ②定义域[-1，1]； ③值域[-2π，2π]；④奇偶性：奇函数，即arcsin （-x ）=-arcsinx ，x ∈[-1，1]； ⑤单调性：增函数。
高一数学6.4反三角函数2反余弦函数、反正切函数教案沪教版高一下学期
6.4反三角函数（2）——反余弦函数、反正切函数【教学目标】1．理解函数y=cosx （x ∈R ），y=tanx （x ≠k π+2π，k ∈Z ）没有反函数；理解函数y=cosx ，x ∈[0，π]，y=tanx ，x ∈（-2π，2π）有反函数；理解反余弦函数y=arccosx ，反正切函数y=arctanx 的概念，掌握反余弦函数的定义域是[-1，1]，值域是[0，π]；反正切函数的定义域是（-∞，∞），值域是（-2π，2π）. 2．知道反余弦函数y=arccosx ，x ∈[-1，1]和反正切函数y= arctanx ，x ∈（-∞，∞）的图像.3．掌握等式cos （arccosx ）=x ，x ∈[-1，1]，arccos （-x ）=π-arccosx ，x ∈[-1，1]和tan （arctanx ）=x ，x ∈（-∞，∞），arctan （-x ）=- arctanx ，x ∈（-∞，∞）.4．能够熟练计算特殊值的反余弦函数值和反正切函数值，并能用反余弦函数值和反正切函数值表示角.5．会用类比、数形结合等数学思想分析和思考问题. 【教学重点与难点】教学重点：理解反余弦函数和反正切函数的概念以及他们的符号的本质.教学难点：公式arccos （-x ）=π-arccosx 、arctan （-x ）=-arctanx 的证明及其使用. 【教学过程】一、 情景引入 1．复习我们学习过反正弦函数，知道，对于函数y=sinx ，x ∈R ，不存在反函数；但在[ππ-,22]存在反函数. 2．思考那么余弦函数和正切函数是否存在反函数呢？[说明] 因为对于任一余弦值y 和正切值y 都有无数个角值x 与之对应.余弦函数和正切函数的自变量与因变量是多对一的.故而不存在反函数. 3．讨论余弦函数和正切函数不存在反函数.但选取怎样的区间使得x y cos =或y=tanx 在对应区间上存在反函数呢.因变量可以确定自变量，余弦值或正切值可以表示相应的角值，并且将该区间上的角值用相应的余弦值或正切值表示就可以了.学生讨论应该选取怎样的区间，使得x y cos =或y=tanx 存在反函数呢？这个区间的选择依据两个原则：（1）x y cos =和y=tanx 在所取对应区间上存在反函数； （2）能取到x y cos =的一切函数值[]1,1-，y=tanx 一切函数值R.可以选取闭区间[0，π]，使得x y cos =在该区间上存在反函数；可以选取闭区间（-2π，2π），使得y=tanx 在该区间上存在反函数，这个反函数就是今天要学习的反余弦函数和反正切函数. 二、学习新课 1．概念辨析（1）反余弦函数和反正切函数的定义：余弦函数y=cosx ， x ∈[0，π]的反函数叫做反余弦函数，记作y=arccosx ，x ∈[-1，1]； 正切函数y=tanx ， x ∈（-2π，2π）的反函数叫做反正切函数，记作y=arctanx ，x ∈（-∞，∞）；（2）反正弦函数的性质： ①图像y=arccosx y= arctanx②定义域：函数y=arccosx 的定义域是[-1，1]；函数y= arctanx 的定义域是R. ③值域：函数y=arccosx 的值域是[0，π]；函数y= arctanx 的值域是（-2π，2π）. ④奇偶性：函数y=arccosx 既不是奇函数也不是偶函数，但有arccos （-x ）=π-arccosx ，x ∈[-1，1]；函数y= arctanx 是奇函数，即arctan （-x ）=-arctanx. ⑤单调性：函数y=arccosx 是减函数；函数y= arctanx 是增函数. [说明]互为反函数的两个函数图像关于直线x y =对称，函数y=cosx ，x ∈[0，π]与函数y=arccosx ，x ∈[-1，1]的图像关于直线x y =对称；函数y=tanx ，x ∈（-2π，2π）与函数y=arctanx ，x ∈R 的图像关于直线x y =对称.2．例题分析例1．求下列反三角函数的值：（1）arccos21；（2）arccos （-23）；（3）arccos0； （4）arctan1；（5）arctan （-33） 解：（1）因为cos3π=21，且3π∈[0，π]，所以arccos21=3π. （2）因为cos65π=-23，且65π∈[0，π]，所以arccos （-23）=65π. （3）因为cos2π=0，且2π∈[0，π]，所以arccos0=2π. （4）因为tan4π=1，且4π∈（-2π，2π），所以arctan1=4π.（5）因为tan （-6π）=-33，且-6π∈（-2π，2π），所以arctan （-33）=-6π.例2．在△ABC 中，已知AB=5，BC=12，AC=13，分别用反正弦函数值、反余弦函数值和反正切函数值表示∠A 、∠B 、∠C.解：因为AC 2=AB 2+BC 2，所以∠B 是直角，于是有 ∠A= arcsin1312= arccos 135=arctan 512；∠B=2π= arcsin1= arccos0； ∠C= arcsin135= arccos 1312=arctan 125. 例3．化简下列各式：（1）arccos （cos 7π）；（2）sin[arccos )21(-]；（3）cos[arctan（-1）] 解：（1）因为7π∈[0，π]，设cos7π=α，所以arccos α=7π，即arccos （cos 7π）=7π. （2）因为arccos )21(-=32π，所以sin[arccos )21(-]=sin 32π=23.（3）因为arctan （-1）=-4π，所以cos[arctan （-1）]= cos(-4π)=22.例4．求下列函数的反函数f -1（x ），并指出反函数的定义域和值域.(1) f （x ）=2π+arccos2x；（2）f （x ）=3π-arctan （2x-1） 解：（1）设y=2π+arccos2x ，则arccos 2x = y-2π，因为2x ∈[-1，1]，arccos 2x ∈[0，π]，所以x ∈[-2，2]，y ∈[2π，23π]，根据反余弦函数的定义，得2x =cos （y-2π），即x=2cos（y-2π）.将x ，y 互换，得反函数f -1（x ）=2cos （x-2π），定义域是[2π，23π]，值域是[-2，2].（2）设y=3π-arctan （2x-1），即arctan （2x-1）=3π-y ，因为（2x-1）∈R ，arctan （2x-1）∈（-2π，2π），所以x ∈R ，y ∈（25π，27π），根据反正切函数的定义，得2x-1=tan （3π-y ）=-tany ，即x=21（1-tany ），将x ，y 互换，得反函数f -1（x ）=21（1-tanx ），定义域是（25π，27π），值域是R.3．问题拓展例1．证明等式：arccos （-x ）=π-arccosx ，x ∈[-1，1] 证明：∵x ∈[-1，1]，∴ -x ∈[-1，1]∴cos[arccos （-x ）]= -x ，cos （π-arccosx ）=-cos （arccosx ）=-x又因为arccosx ∈[0，π]，所以（π-arccosx ）∈[0，π]，又arccos （-x ）∈[0，π]，且余弦函数在[0，π]上单调递减，所以arccos （-x ）=π-arccosx ，x ∈[-1，1]. 例2．证明等式：arctan （-x ）=-arctanx ，x ∈R.证明：因为tan arctan （-x ）=-x ，tan （-arctanx ）=-tan arctanx ， 又由arctanx ∈（-2π，2π），得-arctanx ∈（-2π，2π），再有arctan （-x ）∈（-2π，2π），且正切函数在（-2π，2π）上单调递增，所以arctan （-x ）=-arctanx ，x ∈R.[说明]可以通过以上恒等式的证明形成学生严密的逻辑推理能力，但教师应根据学校学生的实际情形进行选择.三、巩固练习判断下列各式是否成立?简述理由.（1）cos （arccos2π）=2π；（2）arctan3π=3；（3）arcsin （-23）= arcos(-21)；（4）arccos32+ arccos(-32)=0；（5）arctan 3π+ arc tan(-3π)=0. 解：（1）式不成立，因为2π∉[-1，1]，故arccos 2π无意义；（2）式不成立，因为其对应关系搞错了；（3）式不成立，理由是把反正弦函数、反余弦函数的值域搞错了，事实上arcsin （-23）=-3π，而arcos(-21)=32π，两者不等；（4）式不成立，因为把等式arccos （-x ）=π-arccosx 错记成arccos （-x ）=-arccosx ；（5）式成立，因为等式arctan （-x ）=-arctanx . 四、课堂小结教师引导学生总结：（1）反余弦函数和反正切函数的定义； （2）反余弦函数和反正切函数的性质. 五、蓝面书。
沪教版高一下册数学反三角函案一级第二学期
三角函数及反三角函数知识重点：1、三角函数定义、图像、性质（单调性、单调区间、奇偶性、周期性）2、重点掌握三角函数公式：（1）诱导公式（2）两角和差公式（3）倍角公式（4）万能公式（5）积化和差、和差化积公式（6）)sin(cos sin 22ϕ++=+=x b a x b x a y 其中ab tg =ϕ 3、掌握)sin(ϕω+=x A y 的周期、最值、单调区间、平移伸缩变换 4、三角变换的三条原则：（1）降低式子的次数：常用公式2cos 12sin2αα-=，2cos 12cos 2αα+=降次， 因式分解（或配方）也是常用方法（注：为了达到约分和化同名同角的目的，有时也需升次）（2）减少式中角的种数①造特殊角（60,45,30等）②寻找不同角间的关系（互补、互余、或和、差、倍、半等） ③利用已知条件中角的关系（如三角形内角和为180等） （3）减少式中三角函数的种类 常用方法：切割化弦 5、三角形中的边角关系： （1）π=++C B A （2）正弦定理：R CcB b A a 2sin sin sin ===（2R 为ABC ∆外接圆直径） （3）余弦定理：A bc c b a cos 2222-+= B ac c a b cos 2222-+= C ab b a c cos 2222-+= （a 、b 、c 分别为三内角A 、B 、C 的对边） 6、掌握四个反三角函数定义（包括定义域、值域）、图像、性质及其应用 练习题1、α是第四象限角，则1sec 1sec 22-⋅++⋅ααααtg tg等于（ ）(A) 1 (B)1± (C)1- (D)αα22sec tg + 2、若4=αtg ，则ααααsin 3cos 5cos 2sin 4+-=3、设ααααctg tg y ++=cos sin ，则y 的值为（ ）（A ）正值 （B ）负值 (C)非负值 （D ）正值或负值4、求值：)76cos()74cos()72cos(πππ= 5、要得到函数)32sin(π-=x y 的图像，只需将x y 2sin =的图像（ ）（A ）向左平移3π个单位 (B)向右平移3π个单位 (C) 向左平移6π个单位 (D) 向右平移6π个单位6、函数3sin 8)(2-=x x f 的递减区间是（ ） （A ）)(4,4Z k k k ∈⎥⎦⎤⎢⎣⎡+-ππππ (B))(2,22Z k k k ∈⎥⎦⎤⎢⎣⎡-πππ (C))(2,Z k k k ∈⎥⎦⎤⎢⎣⎡+πππ (D))(,2Z k k k ∈⎥⎦⎤⎢⎣⎡-πππ 7、已知：5sin 6sin 2)(2-+-=x x x f ，则它的最大值，最小值是（ ） （A ）最大值不存在，最小值为21-（B ）最大值是21-，最小值不存在 (C)最大值是 -1，最小值是 -13 （D ）最大值是1，最小值是 -1 8、函数x x x x y cos sin cos sin ++=的最大值为 9、函数)23sin(2sin x x y -⋅=π的最大值是（ ）（A ）23- (B)41 (C)21(D)22 10、化简xx xx cos sin 1cos sin 1++-+=11、求值：50cos 20sin 50cos 20sin 22++=12、ABC ∆中，已知tgB tgAba =22，则ABC ∆的形状为13、当∈a 时，方程1cos -=a x 无解14、函数)22cos(π+=x y 的图像的一条对称轴方程是（ ）（A ）2π-=x （B ）4π-=x (C)8π=x (D)π=x15、“1=a ”是“函数ax ax y 22sin cos -=的最小周期为π”的（ ） (A)充分不必要条件 （B ）必要不充分条件（C ）充要条件 （D ）既非充分条件也非必要条件16、在ABC ∆中，若C A B sin sin cos 2=，则ABC ∆的形状为（ ） （A ）等腰直角三角形 （B ）直角三角形 （C ）等腰三角形 （D ）等边三角形 17、函数2cos 2sinxx y +=在)2,2(ππ-内的递增区间是 18、函数)0(1cos ≤≤-+=x x y π的反函数是（ ）（A ）)20)(1arccos(≤≤--=x x y (B))20)(1arccos(≤≤--=x x y π (C))20)(1arccos(≤≤-=x x y (D))20)(1arccos(≤≤-+=x x y π 19、函数)323)(arccos(sin ππ<<-=x x y 的值域是( ) (A))65,6(ππ (B)⎪⎭⎫⎢⎣⎡65,0π(C))32,3(ππ (D)⎪⎭⎫⎢⎣⎡32,6ππ 20、满足x x arccos )1arccos(≥-的x 的取值范围是（ ） （A ）⎥⎦⎤⎢⎣⎡--21,1 (B)⎥⎦⎤⎢⎣⎡-0,21 (C)⎥⎦⎤⎢⎣⎡21,0 (D)⎥⎦⎤⎢⎣⎡1,2121、解简单的三角方程： （1）04sin 32sin82=-+x x（2）13cos cos 22=+x x22、已知：)24(12sin sin 22παπααα<<=++k tg ，试用k 表示ααcos sin -的值。
沪教版(上海)数学高一下册-6.4 反三角函数(1)—反正弦函数 教案
§6.4.1 反三角函数(1)——反正弦函数[教学目标]1. 经历在正弦函数的某个单调区间上建立反三角函数的过程，理解反正弦函数的概念.2. 掌握反正弦函数值的含义，并能用反正弦函数值来表示角的大小.3. 知道反正弦函数的图像，并能根据图像研究反正弦函数的性质，体现数学知识之间的联系，进一步体会函数的研究方法和过程.[教学重点]理解反正弦函数的意义，会用反正弦函数值表示角. [教学难点]理解反正弦函数的意义. [教学过程]一． 反正弦函数的引入问：同学们是否还记得反函数的概念？下列函数是否存在反函数，如果存在，求出反函数；若不存在，说明理由. （1）2xy =；（2）2y x =.复习反函数的概念以及反函数存在的条件：x 与y 一一对应.问：对照反函数的概念，我们来看正弦函数sin ,y x x =∈R 是否存在反函数？ （展示正弦函数图像）sin ,y x x =∈R 不存在反函数.（2y x =也不存在反函数，但是在[)0,+∞上存在反函数）.问：如何确定D ，可以使得sin ,y x x =∈D 存在反函数？ 关于D =,22ππ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦的合理性说明：（1）y 能取遍[]1,1-所有的值；（2）最大的单调区间确保存在反函数； （3）关于原点对称，包含锐角.若,22x ππ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦，则sin y x =是单调函数，,x y 一一对应，故在,22x ππ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦上sin y x =存在反函数.二． 反正弦函数的定义sin ,,22y x x ππ⎡⎤=∈-⎢⎥⎣⎦的反函数arcsin y x =，[]1,1x ∈-称为反正弦函数.对于反正弦符号理解：在,22ππ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦中正弦值为x 的弧度制的角. 学生回答arcsin x 的意义：（1）arcsin x 表示一个弧度制下的角,22ππ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦；通过求反函数，帮助学生回忆反函数存在的条件，为理解反正弦函数的定义做好准备.计算器也是这样规定的：1sin arcsin x x-=.理解新符号： 类比对数符号223log 3x x =⇔=概括对数意义： 2的几次方是3.（2） 这个角的正弦值是x ，sin x α=（即()sin arcsin x x =）. 概念辨析： （1）arcsin12π=；（2）1arcsin302︒=； （3）arcsin42π=； （4）11sin arcsin 33⎛⎫=⎪⎝⎭； （5）sin arcsin 44ππ⎛⎫= ⎪⎝⎭； （6）sin arcsin 33ππ⎛⎫= ⎪⎝⎭. 总结（4）（5）（6） ()sin arcsin x x =成立的条件是什么？例1 求值：(1)； (2)()arcsin 1-；(3)arcsin ⎛ ⎝⎭； （4）arcsin sin 9π⎛⎫⎪⎝⎭. 解：（1）因为sin 3π=23,2πππ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦，所以3π=.（2）因为sin 12π⎛⎫-=- ⎪⎝⎭，且,222πππ⎡⎤-∈-⎢⎥⎣⎦，所以()arcsin 12π-=-.（3）因为sin 4π⎛⎫-= ⎪⎝⎭，且,422πππ⎡⎤-∈-⎢⎥⎣⎦，所以arcsin 4π⎛=- ⎝⎭. （4）因为29,2πππ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦，设sin 9a π=，所以arcsin 9a π=，即arcsin sin 99ππ⎛⎫= ⎪⎝⎭.例2 求值： (1) 5arcsin sin 6π⎛⎫⎪⎝⎭；(2) 4arcsin sin 3π⎛⎫ ⎪⎝⎭； (3) ()arcsin sin 3.49π.解：（1）因为5,622πππ⎡⎤∉-⎢⎥⎣⎦，而,622πππ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦，且5sin sin 66ππ=，设5sin sin66a ππ==，通过概念辨析熟悉arcsin x 的意义： 在,22ππ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦中正弦值为x 的弧度制的角.所以5arcsin sinarcsin sin arcsin 666a πππ⎛⎫⎛⎫=== ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭. （2）因为4,322πππ⎡⎤∉-⎢⎥⎣⎦，而,322πππ⎡⎤-∈-⎢⎥⎣⎦，且4sin sin 33ππ⎛⎫=- ⎪⎝⎭， 设4sinsin 33a ππ⎛⎫=-= ⎪⎝⎭，所以4arcsin sinarcsin sin arcsin 333a πππ⎛⎫⎛⎫⎛⎫=-==- ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭. （3）因为3.49,22πππ⎡⎤∉-⎢⎥⎣⎦，0.49,22πππ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦，而 ()sin 3.49sin1.49sin 0.49sin 0.49πππππ==+=-，所以()()()arcsin sin3.49arcsin sin 0.49arcsin sin 0.490.49ππππ=-=-=-.思考：()arcsin sin x x =成立的条件？例3 用反正弦函数表示下列各式的: (1)3sin x =,22x ππ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦； (2)3sin x =, ,22x ππ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦； (3)3sin x =[]0,x π∈. 解：（1）因为,22x ππ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦，由定义，可知3x =.（2）因为,22x ππ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦ ，由定义，可知3arcsin x ⎛= ⎝⎭. （3）在区间0,2x π⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦上，由定义，可知3x =；在区间,2ππ⎛⎤⎥⎝⎦上，由诱导公式，可知3x π=-满足3sin x 因此，3x =或3x π=-.小结：用反正弦函数值表示角x 时，若x 不在反正弦函数的值域,22ππ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦内，应先调整到值域,22ππ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦内，再用反正弦函数值表示x .三．反正弦函数的图像与性质注意x 的不同范围利用反正弦函数的定义求出x .这些内容最直观的研究方式是什么？ 作出函数图像，观察函数性质. 问：如何作出arcsin y x =的图像？ 反函数的图像与原函数的图像关于y x =对称，正弦函数sin ,,22y x x ππ⎡⎤=∈-⎢⎥⎣⎦的图像.学生活动：利用原函数与反函数图像的对称关系作出反正弦函数的图像（关于y x =对称）.arcsin y x = 1．奇偶性奇函数（过原点）,即()[]arcsin arc ,1,1sin x x x ∈--=-2．单调性增函数3. 零点 0x =4. 最值最大值2π，对应1x = 最小值2π-，对应1x =-五．课堂小结1.反正弦函数的定义.2.反正弦函数的图像与性质.*3.利用反正弦函数值表示sin x a =的所有解.六．布置作业1. 求函数()arcsin 21y x =-的定义域，值域和单调区间.2. 求函数3sin ,,22y x x ππ⎡⎤=∈⎢⎥⎣⎦的反函数.数形结合，从图像上看反正弦函数的性质。
沪教版高中数学高一下册-6.4 反三角函数 -反正弦函数 课件 (共14张PPT)_2
5
7
eg 求值
(1) sin(arcsin1 ) 1
22
(2) sin[arcsin(1)] 1
2
2
(3) sin(arcsin1) 1
(4) sin[arcsin( 3)] 3
2
2
s in (a r c s in x ) x ,x [ 1 ,1 ]
反正弦函数的运算
arcsin(sinx)x, x [ , ] 22
eg2
根 据 下 列 要 求 ， 用 反 正 弦 的 形 式 表 示 x：
(1) sinx2， x[,];
3
22
(2) sinx2， x[,];
3
2
(3) sinx2， x[,0].
3
eg3
( 1 )求 函 数 y 2 s in x ,x [,3] 的 反 函 数 ; 22
( 2 ) 求 函 数 y a r c s i n x ,x [ 0 , 1 ] 的 反 函ห้องสมุดไป่ตู้数
eg1 求值
(1) arc sin 2 2
(3) arcsin(1)
(2) arcsin( 3) 2
(4) arc sin 1 2
(5) cos(2arcsin1) 4
3
8
(6) sin(arcsin arcsin )
5
17
判断：
(1) arc sin 1 ;
62
(2) arc sin 2 3 ;
24
eg 求值
(1)
arcsin(sin )
33
(2) arcsin[sin( )]
4
(5)
4
3
arcsin(sin )
沪教版高一下册数学高一下册教案反三角函数
6.4反三角函数（2）——反余弦函数、反正切函数一、教学内容分析根据反函数的概念，余弦函数y=cosx （x ∈R ）没有反函数.但是如果我们适当选取实数集R 的一个子集[0，π]，那么函数y=cosx ，x ∈[0，π]就存在反函数，为什么要选取[0，π]，教师要引导学生作必要的讨论和说明.类比反正弦函数的定义，我们把函数y=cosx ，x ∈[0，π]的反函数叫做反余弦函数，记作y=arccosx ，x ∈[-1，1]，学生对符号的arccosx 的理解比较困难，前面符号中的x 必须满足|x|≤1，arccosx 是[0，π]上的一个角的弧度数，这个角的余弦值为x.根据互为反函数间的图像关系，函数y=arccosx ，x ∈[-1，1]的图像和函数y =cosx ，x ∈[0，π]的图像应该关于直线y=x 对称，这样容易作出反余弦函数的图像，根据其图像可以得到反余弦函数y=arccosx ，x ∈[-1，1]既不是奇函数也不是偶函数，但是单调递减.类似地，把正切函数y=tanx ，x ∈（-2π，2π）的反函数叫做反正切函数，记作y=arctanx ，x ∈（-∞，∞），根据互为反函数间的图像关系，函数y=arctanx ，x ∈（-∞，∞）的图像和函数y = tanx ，x ∈（-2π，2π）的图像应该关于直线y=x 对称，这样容易作出反正切函数的图像，根据其图像可以得到反正切函数y= arctanx ，x ∈（-∞，∞）是奇函数，单调递增.二、教学目标设计1．理解函数y=cosx （x ∈R ），y=tanx （x ≠k π+2π，k ∈Z ）没有反函数；理解函数y=cosx ， x ∈[0，π]，y=tanx ，x ∈（-2π，2π）有反函数；理解反余弦函数y=arccosx ，反正切函数y=arctanx 的概念，掌握反余弦函数的定义域是[-1，1]，值域是[0，π]；反正切函数的定义域是（-∞，∞），值域是（-2π，2π）.2．知道反余弦函数y=arccosx ，x ∈[-1，1]和反正切函数y= arctanx ，x ∈（-∞，∞）的图像.3．掌握等式cos （arccosx ）=x ，x ∈[-1，1]，arccos （-x ）=π-arccosx ，x ∈[-1，1]和tan （arctanx ）=x ，x ∈（-∞，∞），arctan （-x ）=- arctanx ，x ∈（-∞，∞）.4．能够熟练计算特殊值的反余弦函数值和反正切函数值，并能用反余弦函数值和反正切函数值表示角.5．会用类比、数形结合等数学思想分析和思考问题.三、教学重点及难点教学重点：理解反余弦函数和反正切函数的概念以及他们的符号的本质.教学难点：公式arccos （-x ）=π-arccosx 、arctan （-x ）=-arctanx 的证明及其使用.四、教学用具准备直尺、多媒体设备五、教学流程设计六、教学过程设计一、 情景引入 1．复习我们学习过反正弦函数，知道，对于函数y=sinx ，x ∈R ，不存在反函数；但在[ππ-,22]存在反函数.2．思考那么余弦函数和正切函数是否存在反函数呢？[说明] 因为对于任一余弦值y 和正切值y 都有无数个角值x 与之对应.余弦函数和正切函数的自变量与因变量是多对一的.故而不存在反函数.3．讨论余弦函数和正切函数不存在反函数.但选取怎样的区间使得x y cos =或y=tanx 在对应区间上存在反函数呢.因变量可以确定自变量，余弦值或正切值可以表示相应的角值，并且将该区间上的角值用相应的余弦值或正切值表示就可以了.学生讨论应该选取怎样的区间，使得x y cos =或y=tanx 存在反函数呢？这个区间的选择依据两个原则：（1）x y cos =和y=tanx 在所取对应区间上存在反函数； （2）能取到x y cos =的一切函数值[]1,1-，y=tanx 一切函数值R.可以选取闭区间[0，π]，使得x y cos =在该区间上存在反函数；可以选取闭区间（-2π，2π），使得y=tanx 在该区间上存在反函数，这个反函数就是今天要学习的反余弦函数和反正切函数. 二、学习新课1．概念辨析1）反余弦函数和反正切函数的定义：余弦函数y=cosx ， x ∈[0，π]的反函数叫做反余弦函数，记作y=arccosx ，x ∈[-1，1]；正切函数y=tanx ， x ∈（-2π，2π）的反函数叫做反正切函数，记作y=arctanx ，x∈（-∞，∞）；（2）反正弦函数的性质： ①图像y=arccosx y= arctanx②定义域：函数y=arccosx 的定义域是[-1，1]；函数y= arctanx 的定义域是R.③值域：函数y=arccosx 的值域是[0，π]；函数y= arctanx 的值域是（-2π，2π）.④奇偶性：函数y=arccosx 既不是奇函数也不是偶函数，但有arccos （-x ）=π-arccosx ，x ∈[-1，1]；函数y= arctanx 是奇函数，即arctan （-x ）=-arctanx.⑤单调性：函数y=arccosx 是减函数；函数y= arctanx 是增函数.[说明]互为反函数的两个函数图像关于直线x y =对称，函数y=cosx ，x ∈[0，π]与函数y=arccosx ，x ∈[-1，1]的图像关于直线x y =对称；函数y=tanx ，x ∈（-2π，2π）与函数y=arctanx ，x ∈R 的图像关于直线x y =对称.2．例题分析例1．求下列反三角函数的值：（1）arccos21；（2）arccos （-23）；（3）arccos0； （4）arctan1；（5）arctan （-33） 解：（1）因为cos3π=21，且3π∈[0，π]，所以arccos21=3π. （2）因为cos65π=-23，且65π∈[0，π]，所以arccos （-23）=65π.（3）因为cos2π=0，且2π∈[0，π]，所以arccos0=2π.（4）因为tan4π=1，且4π∈（-2π，2π），所以arctan1=4π.（5）因为tan （-6π）=-33，且-6π∈（-2π，2π），所以arctan （-33）=-6π.例2．在△ABC 中，已知AB=5，BC=12，AC=13，分别用反正弦函数值、反余弦函数值和反正切函数值表示∠A 、∠B 、∠C.解：因为AC 2=AB 2+BC 2，所以∠B 是直角，于是有∠A= arcsin1312= arccos 135=arctan 512； ∠B=2π= arcsin1= arccos0；∠C= arcsin135= arccos 1312=arctan 125. 例3．化简下列各式：（1）arccos （cos7π）；（2）sin[arccos )21(-]；（3）cos[arctan （-1）] 解：（1）因为7π∈[0，π]，设cos7π=α，所以arccos α=7π，即arccos （cos 7π）=7π. （2）因为arccos )21(-=32π，所以sin[arccos )21(-]=sin 32π=23.（3）因为arctan （-1）=-4π，所以cos[arctan （-1）]= cos(-4π)=22.例4．求下列函数的反函数f -1（x ），并指出反函数的定义域和值域.(1) f （x ）=2π+arccos2x；（2）f （x ）=3π-arctan （2x-1） 解：（1）设y=2π+arccos2x ，则arccos 2x = y-2π，因为2x ∈[-1，1]，arccos 2x ∈[0，π]，所以x ∈[-2，2]，y ∈[2π，23π]，根据反余弦函数的定义，得2x =cos （y-2π），即x=2cos （y-2π）.将x ，y 互换，得反函数f -1（x ）=2cos （x-2π），定义域是[2π，23π]，值域是[-2，2].（2）设y=3π-arctan （2x-1），即arctan （2x-1）=3π-y ，因为（2x-1）∈R ，arctan （2x-1）∈（-2π，2π），所以x ∈R ，y ∈（25π，27π），根据反正切函数的定义，得2x-1=tan （3π-y ）=-tany ，即x=21（1-tany ），将x ，y 互换，得反函数f -1（x ）=21（1-tanx ），定义域是（25π，27π），值域是R. 3．问题拓展例1．证明等式：arccos （-x ）=π-arccosx ，x ∈[-1，1] 证明：∵x ∈[-1，1]，∴ -x ∈[-1，1]∴cos[arccos （-x ）]= -x ，cos （π-arccosx ）=-cos （arccosx ）=-x又因为arccosx ∈[0，π]，所以（π-arccosx ）∈[0，π]，又arccos （-x ）∈[0，π]，且余弦函数在[0，π]上单调递减，所以arccos （-x ）=π-arccosx ，x ∈[-1，1].例2．证明等式： arctan （-x ）=-arctanx ，x ∈R.证明：因为tan arctan （-x ）=-x ，tan （-arctanx ）=-tan arctanx ，又由arctanx ∈（-2π，2π），得-arctanx ∈（-2π，2π），再有arctan （-x ）∈（-2π，2π），且正切函数在（-2π，2π）上单调递增，所以arctan （-x ）=-arctanx ，x ∈R.[说明]可以通过以上恒等式的证明形成学生严密的逻辑推理能力，但教师应根据学校学生的实际情形进行选择.三、巩固练习判断下列各式是否成立?简述理由. （1）cos （arccos 2π）=2π；（2）arctan3π=3；（3）arcsin （-23）= arcos(-21)；（4）arccos32+ arccos(-32)=0；（5）arctan 3π+ arc tan(-3π)=0. 解：（1）式不成立，因为2π∉[-1，1]，故arccos2π无意义；（2）式不成立，因为其对应关系搞错了；（3）式不成立，理由是把反正弦函数、反余弦函数的值域搞错了，事实上arcsin （-23）=-3π，而arcos(-21)=32π，两者不等；（4）式不成立，因为把等式arccos （-x ）=π-arccosx 错记成arccos （-x ）=-arccosx ；（5）式成立，因为等式arctan （-x ）=-arctanx.四、课堂小结 教师引导学生总结：（1）反余弦函数和反正切函数的定义； （2）反余弦函数和反正切函数的性质. 五、作业布置书上练习6.4(2)中的1、2、3、4 七、教学设计说明 1．关于教学内容本节课是基于学习了反正弦函数之后，类比反正弦函数的概念，学生掌握反余弦函数和反正切函数的概念相对比较容易，所以这节课的主要力量要花在反余弦函数和反正切函数的应用上，特别要注意反正弦函数值和反余弦函数值所表示的角的范围的区别以及反正弦和反余弦恒等式的区别.2．关于教学方法为了充分调动学生学习的积极性，体现学生的自主式学习，我选用了启发、自我探究的教学方式.在课堂教学过程中，始终贯彻“教师为主导、学生为主体、探究为主线、思维为核心”的教学思想，通过引导学生观察、比较、分析和概括，使学生能根据已有数学知识的准备：已掌握三角函数的概念及性质、反函数，自主探究反余弦函数及其反正切函数的性质。
沪教版(上海)数学高一下册-6.4 反正弦函数 教案
反正弦函数教材分析反正弦函数是反三角函数的重要组成部分，是反三角函数中的代表，为三角方程解的表示创造条件，作为基本初等函数意义重大． 教学目标 1、 知识目标（1）理解正弦函数没有反函数；（2）理解并掌握反正弦函数的概念； （3）理解并掌握反正弦函数的图像；（4）能初步用反正弦形式表示相应角的值． 2、 情感目标（1）培养学生思维的严谨性；（2）感受数学魅力，激发学生学习数学的兴趣． 教学重点 认识和掌握反正弦函数的意义．教学难点 （1）理解反正弦函数概念产生的过程；（2）掌握反正弦函数记号的具体含义．教学过程一、课堂引入如图所示，Rt ABC ∆中，3,4,5AC BC AB = = =，我们知道B 是一个确定的锐角，且3sin 5B =，但它又不是一个特殊角，那么我们该如何来准确表示它呢？为了解决类似用角的正弦值来表示角的值的问题，我们今天来引入并讨论研究一个新的函数――反正弦函数． 二、教学过程（一）反正弦函数概念产生的过程：（1）问题一：从字面意思来理解，你觉得“反正弦函数’是什么函数呢？ 回答：正弦函数的反函数．（2）问题二：正弦函数的反函数？正弦函数sin y x =是否存在反函数？回答：不存在，因为它是周期函数，任意正弦值都能对应于无数个角值．（3）问题三：正弦函数sin ,R y x x = ∈没有反函数，但我们能否通过给定一个定义域，使得新函数存在反函数? （辅以多媒体演示，让学生有更加直观的感知）回答：可以，通过截取一部分区间来给定其定义域即可，比如sin ,22y x x ππ⎡⎤=∈-⎢⎥⎣⎦，．（4）问题四：为什么截取,22ππ⎡⎤- ⎢⎥⎣⎦，有何优点？而不截取0,2π⎡⎤ ⎢⎥⎣⎦或者3,22ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦？回答：因为截取,22ππ⎡⎤- ⎢⎥⎣⎦，可以：（1）确保值域为[]11 －，，跟正弦函数一致； （2）包含了我们最熟悉的锐角范围；（3）使得定义域关于原点对称，为研究奇偶性提供可能．解决完以上问题，我们就可以选定函数[]sin ,,1122y x x y ππ⎡⎤= ∈- ∈ ⎢⎥⎣⎦，－，，并求出[]arcsin ,11,22x y y x ππ⎡⎤= ∈ ∈-⎢⎥⎣⎦－，，，得反正弦函数[]arcsin ,11,22y x x y ππ⎡⎤= ∈ ∈-⎢⎥⎣⎦－，，．回到我们刚上课提出的问题，那么3arcsin 5B =，在此式中，3arcsin 5表示一个角的弧度数，3arcsin 522ππ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦，，35则是这个角的正弦值，即33sin arcsin 55⎛⎫= ⎪⎝⎭，这就为解决类似一般角的表示提供了一种方法． 例1：填表 （1）1arcsin2；（2）（3）arcsin 2；（4）arcsin1；（5）arcsin0 ；（6）arcsin ⎛⎝⎭（7）arcsin ⎛ ⎝⎭；（8）1arcsin 2⎛⎫- ⎪⎝⎭；（9）()arcsin 1-． 例2：判断正误 （1）arcsin42π=；（2）arcsin 6π⎛=- ⎝⎭；（3）1arcsin 023π⎛⎫-<-< ⎪⎝⎭； （4）arcsin12,Z 2k k ππ=+ ∈；（5）sin arcsin 22ππ⎛⎫= ⎪⎝⎭． （二）反正弦函数的图像研究：类比由指数函数到对数函数的研究过程，我们可以由反函数的性质，得出反正弦函数arcsin y x =的图像． 三、课堂小结并拓展问题师：这节课我们学习了什么知识？学：我们给出了反正弦函数的概念，初步学会了用反正弦形式表示角的值师：好的，今天我们主要解决了如何用反正弦形式表示相应的角值，已经能借由任意正弦值去表示22ππ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦，内的相应角值，但是对于其它范围内的角值又该如何去表示呢？例如，1sin ,,32x x ππ⎡⎤= ∈ ⎢⎥⎣⎦中的x 如何表示？这将是我们下节课要研究的主要问题．四、课后作业练习册P42习题6.4 A ：1（1）、2（1）（2）、3（1）、4（1）；5（1）（2）．。
沪教版数学高一下册-4.5 反函数的概念 教案
4.5反函数的概念一、教学目标：1、理解反函数的概念，并能判断一个函数是否存在反函数；2、掌握求反函数的基本步骤，并能理解原函数和反函数之间的内在联系；3、在概念形成过程中，体会数形结合的思想，感受从具体到抽象，抽象到具体的学习方法，培养观察、分析和抽象概括的能力；4、在师生的交流中，激发学生学习数学的热情；体验数学中相互联系与相互转化的规律；在建立反函数定义的过程中培养学生思维的严谨性。
二、教学重点与难点：教学重点：反函数的概念的形成及反函数的求法； 教学难点：反函数的概念。
三、教学过程：（一）引入新课：市场上，白菜的价格是每斤2元。
某人一次购买x 斤白菜，所需的费用是y 元。
请你把y 表示成x 的函数关系。
现在，购买白菜所需的费用是y 元，问这人购买了多少斤白菜？问题：)0(2≥=y yx 是否是x 关于y 的函数？ 【设计意图】复习函数的概念并为引入反函数的概念做铺垫。
（二）归纳定义 1、指出)0(2≥=x yx 是)0(2≥=x x y 的反函数。
2、定义：一般地，对于函数()y f x =，设它的定义域为D ，值域为A 。
如果对于A 中任意一个值y ，在D 中总有唯一确定的x 值与它对应，且满足()y f x =，这样得到的x 关于y 的函数叫做()y f x =的反函数，记作()1x fy -=，y A ∈。
习惯上，自变量常用x 表示，而函数用y 表示，所以把它改写为()1y f x -=，x A ∈。
（三）深化概念2、探究是否所有的函数都存在反函数？讨论一个函数存在反函数的条件。
例1、判断函数2y x =，x R ∈是否存在反函数，为什么？3、探求求反函数的方法例2、求下列函数的反函数：（1）42y x =+； （2）31y x =+； （3）()210y x x =+≥； （4）3142x y x +=+（x R ∈且12x ≠-）4、观察反函数的图像，探讨互为反函数的两个函数图像之间的关系。
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6.4反三角函数（1）——反正弦函数
【教学目标】
1．理解函数y=sinx （x ∈R ）没有反函数；理解函数y=sinx ， x ∈[-
2
π
，
2
π
]有反函数；理解
反正弦函数y=arcsinx 的概念，掌握反正弦函数的定义域是[-1，1]，值域是[-
2π，2
π]. 2．知道反正弦函数y=arcsinx ，x ∈[-1，1]的图像.
3．掌握等式sin （arcsinx ）=x ，x ∈[-1，1]和arcsin （-x ）=-arcsinx ，x ∈[-1，1]. 4．能够熟练计算特殊值的反正弦函数值，并能用反正弦函数值表示角. 5．会用数形结合等数学思想分析和思考问题. 【教学重点与难点】
教学重点：理解反正弦函数概念以及反正弦函数符号的本质.
教学难点：反正弦函数[]1,1,arcsin -∈=x x y 的产生和从本质上处理正弦函数
()R x x y ∈=sin 的反函数问题.
【教学过程】
一、 情景引入 1．复习
我们学习过反函数，知道，对于函数y=f （x ），x ∈D ，如果对它的值域中的任意一个值y ，在定义域D 中都有唯一确定的值x 与它对应，使y=f （x ），这样得到的x 关于y 的函数叫做y=f （x ）的反函数.我们也明确不是任何一个函数都存在反函数.函数要存在反函数必须要求其自变量与因变量是一一对应的. 2．思考
那么正弦函数是否存在反函数呢？
[说明] 因为对于任一正弦值y 都有无数个角值x 与之对应.正弦函数的自变量与因变量是多对一的.故而不存在反函数. 3．讨论
正弦函数不存在反函数.但只要选取某一区间使得x y sin =在该区间上存在反函数.因变量可以确定自变量，正弦值可以表示相应的角值，并且将该区间上的角值用相应的正弦值表示就可以了.学生讨论应该选取怎样的区间，使得x y sin =存在反函数呢？
这个区间的选择依据两个原则：
（1）x y sin =在所取区间上存在反函数；（2）能取到x y sin =的一切函数值[]1,1-.
可以选取闭区间⎥⎦
⎤
⎢⎣⎡-
2,2ππ，使得x y sin =在该区间上存在反函数，而这个反函数就是今天要学习的反正弦函数.
二、学习新课 1．概念辨析
（1）反正弦函数的定义：函数y=sinx ， x ∈[-2
π
，
2
π
]的反函数叫做反正弦函数，记作
y=arcsinx ，x ∈[-1，1]. （2）反正弦函数的性质： ①图像； ②定义域[-1，1]； ③值域[-
2
π
，
2
π
]；④奇偶性：奇函数，即arcsin （-x ）=-arcsinx ，x ∈[-1，1]； ⑤
单调性：增函数。
[说明]互为反函数的两个函数图像关于直线
x y =对称，函数y=sinx ，x ∈[-2
π，2
π]与
函数y=arcsinx ，x ∈[-1，1]的图像关于直线x y =对称.
2．例题分析
例1．求下列反正弦函数的值：
（1）arcsin
2
1
；（2）arcsin0；（3）arcsin （-23） 解：（1）因为sin
6π=
2
1
，且
6
π
∈[-
2
π
，
2
π
]，所以arcsin
21=6
π
. （2）因为sin0=0，且0∈[-
2
π
，
2
π
]，所以arcsin0=0.
（3）因为sin （-
3
π
）=-
23，且-3π∈ [-2π，2π]，所以arcsin （-23）=-3
π.
例2．用反正弦函数值的形式表示下列各式的x ：
（1）sinx=
32，x ∈[-2π，2
π
]； （2）sinx=-
51，x ∈[-2π，2
π
]；
（3）sinx=-
3
3
，x ∈[-π，0]. 解：（1）因为x ∈[-
2
π
，
2
π
]，由定义，可知x=arcsin
3
2； （2）因为x ∈[-
2
π
，
2
π
]，由定义，可知x=arcsin （-
51）=- arcsin 5
1； （3）在区间[-
2
π
，0] 上，由定义，可知x=arcsin （-
33）=- arcsin 3
3
； 在区间[-π，-2
π
]上，由诱导公式，可知x=-π+arcsin 33，满足 sinx=-33.因此
x= arcsin
33或x=-π+arcsin 3
3
. 例3．化简下列各式： （1）arcsin （sin
7
π
）；（2）arcsin （sin
5
4π）；*（3）arcsin （sin20070
） 解：（1）因为
7
π
∈[-
2
π
，
2
π
]，设sin
7
π
=α，所以arcsin α=
7
π
，即arcsin （sin
7
π
）=
7
π
.
（2）因为54π∉[-2π，2π]，而5π∈[-2π，2π]，且sin 5π=sin 54π，设sin 5π=sin 5
4π=α，所以arcsin （sin 54π）= arcsin （sin 5
π
）=
arcsin α=
5
π. （3）因为sin20070
=sin （5×3600
+2070
）=sin2070
=sin （1800
+270
）=-sin270
所以arcsin （sin20070
）= arcsin （-sin270
）=- arcsin(sin270
)=- 270
.
例4．求函数f （x ）=2arcsin2x 的反函数f -1
（x ），并指出反函数的定义域和值域.
解：设y=2arcsin2x ，则
2y = arcsin2x ，因为2x ∈[-1，1]，arcsin2x ∈[-2π，2
π
]，所以x ∈[-21，21]，y ∈[-л，л]，根据反正弦函数的定义，得2x=sin 2y ，x=21 sin 2
y
，将x ，y
互换，得反函数f -1
（x ）=21 sin 2x ，定义域是[-л，л]，值域是[-21，2
1].
3．问题拓展
例1．证明等式：arcsin （-x ）=-arcsinx ，x ∈[-1，1] 证明：∵x ∈[-1，1]，∴ -x ∈[-1，1]
∴sin[arcsin （-x ）]= -x ，sin （-arcsinx ）=-sin （arcsinx ）=-x 又因为arcsin （-x ）∈[-
2π，2π]，-arcsinx ∈[-2π，2π]，且正弦函数在[-2π，2
π
]上单调递增，所以arcsin （-x ）=-arcsinx ， x ∈[-1，1].
[说明]这是证明角相等的问题，两个角仅有同名三角比相等，不能证明这两个角相等，教师
应启发学生知道这个数学事实，并举例说明. 例2．设x ∈[
2
π
，
23π]，sinx=3
1
，用反正弦函数值表示x. 解：因为x ∈[
2π，23π]，所以（π-x ）∈[-2π，2
π]，又sin （π-x ）=sinx ，得sin （π-x ）=31，于是π-x=arcsin 31，x=π- arcsin 3
1. [说明] 对于用反正弦函数值表示区间[-
2
π
，
2
π
]外的角，教材不作要求，但考虑到在解实际
问题中常要表示钝角，因此可补充用反正弦函数值表示钝角的练习. 以上两例教师应根据各自学校学生的实际情形进行教学. 三、巩固练习
判断下列各式是否成立?简述理由.
（1）arcsin
23=3π；（2）arcsin 3π=23；（3）arcsin1=2k л+2
π
，k ∈Z ；（4）arcsin （-3π）=- arcsin 3π；（5）sin （arcsin 2）=2；（6）arcsin 6π=2
1.
解：（1）式成立；（2）、（4）、（5）各式都不成立，理由是反正弦函数的定义域为[-1，1]；（3）式仅当k=0时成立，k 取其他整数时，不成立，理由是反正弦函数的值域为[-2π，2
π
]；（6）式不成立，因为与反正弦函数的定义不符.
四、课堂小结 教师引导学生总结：
（1）反正弦函数的定义；（2）反正弦函数的性质；（3）思考题：求函数f（x）=2π-arcsin2x 的反函数f-1（x），并指出反函数的定义域和值域.
五、作业：练习册。