重庆市巴蜀中学八年级(下)2014-2015学年八年级(下)期末数学试卷(解析版)

重庆市巴蜀中学2014-2015学年八年级（下）期末数学试卷（解析版）一、选择题：每小题4分，共48分．1．下列选项中是一元二次方程的为（）A．x+2=0 B．x﹣2y=1 C．x2﹣2x﹣3=0 D． +3=12．有一个样本有100个数据，落在某一组内的频率是0.3，那么落在这一组内的频数是（）A．50 B．30 C．15 D．33．如果△ABC∽△DEF，且对应边的AB与DE的长分别为2、3，则△ABC与△DEF的面积之比为（）A．4：9 B．2：3 C．3：2 D．9：44．若x=1是关于x的方程ax2﹣x+2=0的解，则a的值为（）A．﹣1 B．1 C．2 D．﹣25．若△ABC的周长为20cm，点D，E，F分别是△ABC三边的中点，则△DEF的周长为（）A．5cm B．10cm C．15cm D．cm6．四边形ABCD中，AC、BD相交于点O，能判别这个四边形是正方形的条件是（）A．OA=OB=OC=OD，AC⊥BD B．AB∥CD，AC=BDC．AD∥BC，∠A=∠C D．OA=OC，OB=OD，AB=BC7．如图，在平行四边形ABCD中，点E是CD延长线上一点，BE与AD交于点F，若CD=2DE，且△DEF的面积为3，则三角形ABF的面积为（）A．6 B．8 C．9 D．128．如图，在正方形ABCD的外侧，作等边三角形ADE，连结BE交AD于点F，则∠DFE 的度数为（）A．45°B．55°C．60°D．75°9．如图，矩形ABCD的面积为20，对角线交于点O，以AB、AO为邻边作平行四边形AOC1B，对角线交于O1，以AB、AO1为邻边作平行四边形AO1C2B；…；依此类推，则平行四边形AO4C5B的面积为（）A．B．C．D．10．如图，P是正方形ABCD边BC上一点，且BP=3PC，Q是DC的中点，则AQ：QP=（）A．2：1 B．3：1 C．3：2 D．5：211．有四个一模一样的小球，其中三个小球上面分别标有数字2、3、4，小明和小亮各摸一个，前一个人随机摸一个球记下数字后放回，混合均匀，后一个人再随机摸一个小球，如果两人摸得小球的数字之和为8的概率为，则第四个小球上的数字是（）A．8 B．5 C．5或6 D．612．如图，在△ABC中，AB=6，AC=8，BC=10，P为边BC上一动点（且点P不与点B、C重合），PE⊥AB于E，PF⊥AC于F．则EF的最小值为（）A．4 B．4.8 C．5.2 D．6二、填空题：每小题4分，共32分．13．已知菱形的两条对角线的长分别是6和8，那么它的边长是______．14．如图，测量小玻璃管口径的量具ABC中，AB的长是10毫米，AC被分成6等份，如果小管口DE正好对着量具上3份处（DE∥AB），那么小管口径DE的长是______毫米．15．校生物小组有一块长32m，宽20m的矩形实验田，为了管理方便，准备沿平行于两边的方向纵、横个开辟一条等宽的小道，要使种植面积为540m2，小道的宽应是______米．16．矩形的两条对角线的夹角是60°，一条对角线与矩形短边的和为15，那么矩形对角线的长为______，短边长为______．17．若m、n为一元二次方程x2+3x﹣4=0的两个根，则m+n的值为______．18．如图，在矩形ABCD中，E是BC边上的点，连接AE、DE，将△DEC沿线段DE翻折，点C恰好落在线段AE上的点F处．若AB=3，BE：EC=4：1，则线段DE的长为______．19．有四个一模一样的小球，上面分别标有﹣2，0，2，3四个数字．从中任意模一个小球，将上面的数字记为a（不放回），再摸一个小球，将上面的数字记为b，这样的数字a，b能使关于x的一元二次方程（a﹣1）x2+bx+1=0有实数根的概率为______．20．已知如图，正方形ABCD的对角线AC、BD交于O，点E、F分别是AD、AB边的中点，连接DF、CE交于点G，连接AG、OG．若AD=2，则OG=______．三、解答题：共70分．21．（20分）（2015春•重庆校级期末）解一元二次方程：（1）x2﹣x=0（2）4x2﹣4x+1=0（3）x2﹣3x﹣4=0（4）2x2+4x﹣=0．22．如图，E，F是菱形ABCD对角线上的两点，且AE=CF．（1）求证：四边形BEDF是菱形；（2）若∠DAB=60°，AD=6，AE=DE，求菱形BEDF的周长．23．（10分）（2015•重庆校级模拟）如图（1），点E是正方形ABCD的对角线CA延长线上一点，以AE为边在正方形的外部作△AEF，使∠AFE=90°，AF=FE，点O是线段CE 的中点，连OB，OF，（1）若EF=1，AB=3，求线段EO的长度；（2）求证：OB⊥OF；（3）将图（1）中的正方形变为菱形，其中∠ABC=60°，将等腰△AEF的顶角变为120°，其余条件都不变，则（2）中的结论是否成立？若成立，请证明；若不成立，请说明理由．24．（12分）（2015春•重庆校级期末）如图1，等腰Rt△ABC，AC=BC=4，D为BC中点，矩形BFEG，EF=4，BF=8，且F、B、C共线．△ABD沿BF运动，速度为每秒1个单位长，运动中记为△A1B1D1．当A1与E重合时，运动停止运动过程中△A1B1D1与△BEF 重叠部分面积记为S．（1）当线段A1D1过线段EB中点时，求运动时间t；（2）求S与t的关系式；（3）取线段BF中点为H，连接EH，如图2，当B1与F重合时，将∠A1B1D1绕点F旋转，射线B1A1与直线EH交于M，射线B1D1与直线EH交于N，若EM：MN=3：5，求线段EM的长．2014-2015学年重庆市巴蜀中学八年级（下）期末数学试卷参考答案与试题解析一、选择题：每小题4分，共48分．1．下列选项中是一元二次方程的为（）A．x+2=0 B．x﹣2y=1 C．x2﹣2x﹣3=0 D． +3=1【考点】一元二次方程的定义．【分析】本题根据一元二次方程的定义解答．一元二次方程必须满足四个条件：（1）未知数的最高次数是2；（2）二次项系数不为0；（3）是整式方程；（4）含有一个未知数．由这四个条件对四个选项进行验证，满足这四个条件者为正确答案．【解答】解：A、方程未知数的最高次数是2，故错误；B、含有两个个未知数．故错误；C、符合一元二次方程的定义，故正确．D、不是整式方程，故错误；故选C．【点评】本题考查了一元二次方程的概念，判断一个方程是否是一元二次方程，首先要看是否是整式方程，然后看化简后是否是只含有一个未知数且未知数的最高次数是2．2．有一个样本有100个数据，落在某一组内的频率是0.3，那么落在这一组内的频数是（）A．50 B．30 C．15 D．3【考点】频数与频率．【分析】根据频率、频数的关系：频率=频数÷数据总和，可得频数=频率×数据总和．【解答】解：频数：100×0.3=30，故选：B．【点评】本题考查频率、频数、总数的关系：频数=频率×数据总和．3．如果△ABC∽△DEF，且对应边的AB与DE的长分别为2、3，则△ABC与△DEF的面积之比为（）A．4：9 B．2：3 C．3：2 D．9：4【考点】相似三角形的性质．【分析】根据相似三角形的面积的比等于相似比的平方进行计算．【解答】解：∵△ABC∽△DEF，∴△ABC与△DEF的面积之比等于（）2=（）2=．故选A．【点评】本题考查了相似三角形的性质：相似三角形的对应角相等，对应边的比相等；相似三角形的对应线段（对应中线、对应角平分线、对应边上的高）的比等于相似比；相似三角形的面积的比等于相似比的平方．4．若x=1是关于x的方程ax2﹣x+2=0的解，则a的值为（）A．﹣1 B．1 C．2 D．﹣2【考点】一元二次方程的解．【分析】把x=1代入已知方程，列出关于a的新方程，通过解新方程来求a的值．【解答】解：把x=1代入，得a﹣1+2=0，解得a=﹣1．故选：A．【点评】本题考查了一元二次方程的解的定义．能使一元二次方程左右两边相等的未知数的值是一元二次方程的解．又因为只含有一个未知数的方程的解也叫做这个方程的根，所以，一元二次方程的解也称为一元二次方程的根．5．若△ABC的周长为20cm，点D，E，F分别是△ABC三边的中点，则△DEF的周长为（）A．5cm B．10cm C．15cm D．cm【考点】三角形中位线定理．【分析】利用三角形的中位线性质得到所求三角形的三边与原三角形的周长之间的关系，进而求解．【解答】解：∵点D，E，F分别是△ABC三边的中点，∴DE、EF、DF分别等于△ABC三边的一半，∴DE+EF+DF=△ABC的周长=10 cm．故选B．【点评】本题考查了三角形的中位线定理，三角形的三条中位线把原三角形分成可重合的4个小三角形，因而每个小三角形的周长为原三角形周长的一半．6．四边形ABCD中，AC、BD相交于点O，能判别这个四边形是正方形的条件是（）A．OA=OB=OC=OD，AC⊥BD B．AB∥CD，AC=BDC．AD∥BC，∠A=∠C D．OA=OC，OB=OD，AB=BC【考点】正方形的判定．【分析】先想一下平行四边形、菱形、矩形、正方形的判定定理，再根据选项中的条件进行推理，看看能否推出四边形是正方形即可．【解答】解：A、∵OA=OB=OC=OD，∴AC=BD，∵AC⊥BD，∴四边形ABCD是正方形，故本选项正确；B、根据AB∥CD和AC=BD不能推出四边形ABCD是正方形，故本选项错误；C、∵AD∥BC，∴∠DAB+∠ABC=180°，∠ADC+∠DCB=180°，∵∠DAB=∠DCB，∴∠ABC=∠ADC，∴只能推出四边形ABCD是平行四边形，故本选项错误；D、∵OA=OC，OB=OD，∴四边形ABCD是平行四边形，∵AB=BC，∴只能推出四边形ABCD是菱形，故本选项错误；故选A．【点评】本题考查了平行四边形、菱形、矩形、正方形的判定的应用，主要考查学生的推理能力，题目是一道比较好的题目，难度适中．7．如图，在平行四边形ABCD中，点E是CD延长线上一点，BE与AD交于点F，若CD=2DE，且△DEF的面积为3，则三角形ABF的面积为（）A．6 B．8 C．9 D．12【考点】相似三角形的判定与性质；平行四边形的性质．【分析】根据平行四边形的性质推出AB=CD，AB∥CD，根据相似三角形的判定得出△ABF∽△DEF，根据相似三角形的性质得出=（）2，代入求出即可．【解答】解：∵四边形ABCD是平行四边形，∴AB=CD，AB∥CD，∴△ABF∽△DEF，∴=（）2，∵CD=2DE，△DEF的面积为3，∴三角形ABF的面积为12，故选D．【点评】本题考查了平行四边形的性质，相似三角形的性质和判定的应用，能求出=（）2是解此题的关键，注意：相似三角形的面积之比等于相似比的平方．8．如图，在正方形ABCD的外侧，作等边三角形ADE，连结BE交AD于点F，则∠DFE 的度数为（）A．45°B．55°C．60°D．75°【考点】正方形的性质；等边三角形的性质．【分析】根据正方形的性质得出AB=AD，∠BAS=90°，根据等边三角形的性质得出∠AED=∠EAD=60°，AE=AD，求出∠BAE=150°，AB=AE，∠ABE=∠AEB=15°，求出∠AFB即可．【解答】解：∵四边形ABCD是正方形，∴AB=AD，∠BAS=90°，∵△AED是等边三角形，∴∠AED=∠EAD=60°，AE=AD，∴∠BAE=150°，AB=AE，∴∠ABE=∠AEB=（180°﹣150°=15°，∴∠DFE=∠AFB=90°﹣15°=75°，故选D．【点评】本题考查了正方形的性质，等边三角形的性质，三角形的内角和定理，等腰三角形的性质和判定的应用，解此题的关键是求出∠ABE的度数，难度适中．9．如图，矩形ABCD的面积为20，对角线交于点O，以AB、AO为邻边作平行四边形AOC1B，对角线交于O1，以AB、AO1为邻边作平行四边形AO1C2B；…；依此类推，则平行四边形AO4C5B的面积为（）A．B．C．D．【考点】矩形的性质；平行四边形的性质．【分析】根据矩形的性质求出△AOB的面积等于矩形ABCD的面积的，求出△AOB的面积，再分别求出△ABO1、△ABO2、△ABO3、△ABO4的面积，即可得出答案．【解答】解：∵四边形ABCD是矩形，∴AO=CO，BO=DO，DC∥AB，DC=AB，=×20=10，∴S△ADC=S△ABC=S矩形ABCD∴S△AOB=S△BCO=S△ABC=×10=5，∴S=S△AOB=×5=，∴S=S=，S=S=，S=S=，∴S=2S=2×=，故选B．【点评】本题考查了矩形的性质，平行四边形的性质，三角形的面积的应用，解此题的关键是能根据求出的结果得出规律，注意：等底等高的三角形的面积相等．10．如图，P是正方形ABCD边BC上一点，且BP=3PC，Q是DC的中点，则AQ：QP=（）A．2：1 B．3：1 C．3：2 D．5：2【考点】相似三角形的判定与性质；正方形的性质．【分析】根据BP=3PC和Q是CD的中点，可以求得=，即可求证△ADQ∽△QCP，所以根据该相似三角形的对应边成比例得到===2．【解答】解：在正方形ABCD中，AD=CD=BC=AB．∵BP=3PC，Q是CD的中点，∴==．又∵∠ADQ=∠QCP=90°，∴△ADQ∽△QCP，∴===2，即AQ：QP=2：1．故选A．【点评】本题考查了相似三角形对应角相等的性质，考查了相似三角形的判定，本题中求证△ADQ∽△QCP是解题的关键．11．有四个一模一样的小球，其中三个小球上面分别标有数字2、3、4，小明和小亮各摸一个，前一个人随机摸一个球记下数字后放回，混合均匀，后一个人再随机摸一个小球，如果两人摸得小球的数字之和为8的概率为，则第四个小球上的数字是（）A．8 B．5 C．5或6 D．6【考点】列表法与树状图法．【分析】设第四个小球上的数字为x，先画树状图展示所有16种等可能的结果数，根据概率公式可得两人摸得小球的数字之和为8的结果数为3，其中4+4=8占1种，而当x=5时，3+x=8，x+3=8；当x=6时，2+x=8，x+2=8，于是可判断第四个小球上的数字为5或6．【解答】解：设第四个小球上的数字为x，画树状图为：共有16种等可能的结果数，而两人摸得小球的数字之和为8的概率为，则两人摸得小球的数字之和为8的结果数为3，其中4+4=8，当x=5时，3+x=8，x+3=8；当x=6时，2+x=8，x+2=8，所以第四个小球上的数字为5或6．故选C．【点评】本题考查了列表法或树状图法：通过列表法或树状图法展示所有等可能的结果求出n，再从中选出符合事件A或B的结果数目m，然后根据概率公式求出事件A或B的概率．12．如图，在△ABC中，AB=6，AC=8，BC=10，P为边BC上一动点（且点P不与点B、C重合），PE⊥AB于E，PF⊥AC于F．则EF的最小值为（）A．4 B．4.8 C．5.2 D．6【考点】矩形的判定与性质；垂线段最短；勾股定理的逆定理．【分析】先由矩形的判定定理推知四边形PEAF是矩形；连接PA，则PA=EF，所以要使EF，即PA最短，只需PA⊥CB即可；然后根据三角形的等积转换即可求得PA的值．【解答】解：如图，连接PA．∵在△ABC中，AB=6，AC=8，BC=10，∴BC2=AB2+AC2，∴∠A=90°．又∵PE⊥AB于点E，PF⊥AC于点F．∴∠AEP=∠AFP=90°，∴四边形PEAF是矩形．∴AP=EF．∴当PA最小时，EF也最小，即当AP⊥CB时，PA最小，∵AB•AC=BC•AP，即AP===4.8，∴线段EF长的最小值为4.8；故选：B．【点评】本题考查了勾股定理、矩形的判定与性质、垂线段最短．利用“两点之间垂线段最短”找出PA⊥BC时，PA取最小值是解答此题的关键．二、填空题：每小题4分，共32分．13．已知菱形的两条对角线的长分别是6和8，那么它的边长是5．【考点】菱形的性质；勾股定理．【分析】作出图形，根据菱形的对角线互相垂直平分求出OA、OB并得到AC⊥BD，然后根据勾股定理列式计算即可求出AB的长．【解答】解：如图，在菱形ABCD中，OA=×8=4，OB=×6=3，AC⊥BD，在Rt△AOB中，AB===5，所以，菱形的边长是5．故答案为：5．【点评】本题考查了菱形的性质，主要利用了菱形的对角线互相垂直平分的性质，勾股定理的应用，熟记性质是解题的关键，作出图形更形象直观．14．如图，测量小玻璃管口径的量具ABC中，AB的长是10毫米，AC被分成6等份，如果小管口DE正好对着量具上3份处（DE∥AB），那么小管口径DE的长是5毫米．【考点】相似三角形的应用．【分析】利用DE∥AB得到△CDE∽△CAB，然后利用相似比可计算出DE的长．【解答】解：∵DE∥AB，∴△CDE∽△CAB，∴=，即=，∴DE=5（毫米）．故答案为5．【点评】本题考查了相似三角形的应用：借助标杆或直尺测量物体的高度．利用杆或直尺测量物体的高度就是利用杆或直尺的高（长）作为三角形的边，利用视点和盲区的知识构建相似三角形，用相似三角形对应边的比相等的性质求物体的高度．15．校生物小组有一块长32m，宽20m的矩形实验田，为了管理方便，准备沿平行于两边的方向纵、横个开辟一条等宽的小道，要使种植面积为540m2，小道的宽应是2米．【考点】一元二次方程的应用．【分析】设道路的宽为xm，将4块草地平移为一个长方形，长为（32﹣x）m，宽为（20﹣x）m．根据长方形面积公式即可求出道路的宽．【解答】解：设道路的宽为xm，依题意有（32﹣x）（20﹣x）=540，整理，得x2﹣52x+100=0，∴（x﹣50）（x﹣2）=0，∴x1=2，x2=50（不合题意，舍去），答：小道的宽应是2m．故答案为：2．【点评】本题考查了一元二次方程的应用，应熟记长方形的面积公式．另外求出4块试验田平移为一个长方形的长和宽是解决本题的关键．16．矩形的两条对角线的夹角是60°，一条对角线与矩形短边的和为15，那么矩形对角线的长为10，短边长为5．【考点】矩形的性质；等边三角形的判定与性质．【分析】根据矩形ABCD，得到OA=OC，OB=OD，AC=BD，推出OA=OB，根据等边三角形的判定得出△OAB是等边三角形，即可求出AB和对角线长．【解答】解：∵矩形ABCD，∴OA=OC，OB=OD，AC=BD，∴OA=OB，∵∠AOB=60°，∴△OAB是等边三角形，∴AB=OB=OA=×15=5，AC=BD=2×5=10．故答案为：10，5．【点评】本题主要考查对矩形的性质，等边三角形的性质和判定等知识点的理解和掌握，能根据性质得到等边三角形OAB是解此题的关键，题型较好，难度适中．17．若m、n为一元二次方程x2+3x﹣4=0的两个根，则m+n的值为﹣3．【考点】根与系数的关系．【分析】直接根据根与系数的关系求解．【解答】解：m+n=﹣3．故答案为﹣3．【点评】本题考查了根与系数的关系：若x1，x2是一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）的两根时，x1+x2=﹣，x1x2=．18．如图，在矩形ABCD中，E是BC边上的点，连接AE、DE，将△DEC沿线段DE翻折，点C恰好落在线段AE上的点F处．若AB=3，BE：EC=4：1，则线段DE的长为．【考点】翻折变换（折叠问题）．【分析】由翻折易得△DFE≌△DCE，则DF=DC，∠DFE=∠C=90°，再由AD∥BC得∠DAF=∠AEB，根据AAS证出△ABE≌△DFA；则AE=AD，设CE=x，从而表示出BE，AE，再由勾股定理，求得DE．【解答】证明：由矩形ABCD，得∠B=∠C=90°，CD=AB，AD=BC，AD∥BC．由△DEC沿线段DE翻折，点C恰好落在线段AE上的点F处，得△DFE≌△DCE，∴DF=DC，∠DFE=∠C=90°，∴DF=AB，∠AFD=90°，∴∠AFD=∠B，由AD∥BC得∠DAF=∠AEB，∴在△ABE与△DFA中，，∴△ABE≌△DFA（AAS）．∵由EC：BE=1：4，∴设CE=x，BE=4x，则AD=BC=5x，由△ABE≌△DFA，得AF=BE=4x，在Rt△ADF中，由勾股定理可得DF=3x，又∵DF=CD=AB=3∴x=1在Rt△DCE中，DE===．故答案是：．【点评】本题考查了三角形的全等和勾股定理的应用，一定要熟练掌握全等三角形的判定方法和勾股定理的内容．19．有四个一模一样的小球，上面分别标有﹣2，0，2，3四个数字．从中任意模一个小球，将上面的数字记为a（不放回），再摸一个小球，将上面的数字记为b，这样的数字a，b能使关于x的一元二次方程（a﹣1）x2+bx+1=0有实数根的概率为．【考点】列表法与树状图法；根的判别式．【分析】根据根的判别式的意义得到a﹣1≠0且△=b2﹣4（a﹣1）≥0，则4a﹣b2≤4，再画树状图展示所有12种等可能的结果数，然后找出满足4a﹣b2≤4的结果数，再根据概率公式求解．【解答】解：∵关于x的一元二次方程（a﹣1）x2+bx+1=0有实数根，∴a﹣1≠0且△=b2﹣4（a﹣1）≥0，则4a﹣b2≤4，画树状图为：共有12种等可能的结果数，其中满足4a﹣b2≤4的结果数为8，所以能使关于x的一元二次方程（a﹣1）x2+bx+1=0有实数根的概率==．故答案为．【点评】本题考查了列表法或树状图法：通过列表法或树状图法展示所有等可能的结果求出n，再从中选出符合事件A或B的结果数目m，然后根据概率公式求出事件A或B的概率．也考查了根的判别式．20．已知如图，正方形ABCD的对角线AC、BD交于O，点E、F分别是AD、AB边的中点，连接DF、CE交于点G，连接AG、OG．若AD=2，则OG=．【考点】正方形的性质．【分析】作AM⊥DF垂足为M，连接BM，作MH⊥AB于H．首先利用△ADF≌△DCE推出∠EGD=90°，由AM∥EG，AE=ED推出MG=GD，因为OB=OD，所以OG=BM，只要求出HM，HB即可解决问题．【解答】解：作AM⊥DF垂足为M，连接BM，作MH⊥AB于H．∵四边形ABCD是正方形，∴AB=BC=CD=AD，∠DAB=∠ADC=90°，OB=OD，∵AF=FB，AE=ED，∴AF=FB=AE=ED，在△ADF和△DCE中，，∴△ADF≌△DCE，∴∠ADF=∠ECD，∵∠ECD+∠DEC=90°，∴∠DEC+∠EDF=90°，∴∠EGD=90°，∵∠AMD=∠EGD=90°，∴AM∥EG，∵AE=ED，∴MG=GD∵BO=OD，∴OG=BM．在RT△ADF中，∵∠DAF=90°，AD=2，AF=1，∴DF=，AM==，在RT△AMF中，∵∠AMF=90°，AF=1，AM=，∴FM==，MH==，∴AH==，HF=，BH=，∴BM===，∴OG=BM=．故答案为．【点评】本题考查正方形的性质、全等三角形的判定和性质、三角形中位线定理勾股定理等知识，解题的关键是添加辅助线，利用三角形中位线解决问题，所以中考常考题型．三、解答题：共70分．21．（20分）（2015春•重庆校级期末）解一元二次方程：（1）x2﹣x=0（2）4x2﹣4x+1=0（3）x2﹣3x﹣4=0（4）2x2+4x﹣=0．【考点】解一元二次方程-因式分解法；解一元二次方程-配方法．【分析】（1）利用因式分解法解方程；（2）利用因式分解法解方程；（3）利用因式分解法解方程；（4）利用配方法得到（x+1）2=，然后利用直接开平方法解方程．【解答】解：（1）x（x﹣1）=0，x=0或x﹣1=0，所以x1=0，x2=1；（2）（2x﹣1）2=0，2x﹣1=0，所以x1=x2=；（3）（x﹣4）（x+1）=0，x﹣4=0或x+1=0，所以x1=4，x2=﹣1；（4）x2+2x=，x2+2x+1=+1，（x+1）2=，x+1=±，所以x1=﹣1+，x2=﹣1﹣．【点评】本题考查了解一元二次方程﹣因式分解法：先把方程的右边化为0，再把左边通过因式分解化为两个一次因式的积的形式，那么这两个因式的值就都有可能为0，这就能得到两个一元一次方程的解，这样也就把原方程进行了降次，把解一元二次方程转化为解一元一次方程的问题了（数学转化思想）．也考查了配方法解一元二次方程．22．如图，E，F是菱形ABCD对角线上的两点，且AE=CF．（1）求证：四边形BEDF是菱形；（2）若∠DAB=60°，AD=6，AE=DE，求菱形BEDF的周长．【考点】菱形的判定与性质；全等三角形的判定与性质．【分析】（1）连接BD，由菱形ABCD的性质得出OA=OC，OB=OD，AC⊥BD，得出OE=OF，证出四边形BEDF是平行四边形，再由EF⊥BD，即可证出四边形BEDF是菱形；（2）求出∠DAE=30°，得出OD=AD=3，再证出∠ADE=∠EDO=30°，在Rt△DEO中，由三角函数求出DE==2，即可得出菱形BEDF的周长．【解答】（1）证明：连接BD，交AC于O，如图所示：∵四边形ABCD是菱形，∴OA=OC，OB=OD，AC⊥BD，∵AE=CF，∴OE=OF，∴四边形BEDF是平行四边形，∵EF⊥BD，∴四边形BEDF是菱形；（2）解：∵∠DAB=60°，∴∠DAE=30°，∠ADB=60°，∵AD=6，∴OD=AD=3，∵AE=DE，∴∠DAE=∠ADE，∠ADE=∠EDO=30°，在Rt△DEO中，DE==2，∴菱形BEDF的周长=4DE=8．【点评】本题考查了菱形的性质与判定、平行四边形的判定、等腰三角形的性质以及三角函数的运用；熟练掌握菱形的性质，并能进行推理论证与计算是解决问题的关键．23．（10分）（2015•重庆校级模拟）如图（1），点E是正方形ABCD的对角线CA延长线上一点，以AE为边在正方形的外部作△AEF，使∠AFE=90°，AF=FE，点O是线段CE 的中点，连OB，OF，（1）若EF=1，AB=3，求线段EO的长度；（2）求证：OB⊥OF；（3）将图（1）中的正方形变为菱形，其中∠ABC=60°，将等腰△AEF的顶角变为120°，其余条件都不变，则（2）中的结论是否成立？若成立，请证明；若不成立，请说明理由．【考点】四边形综合题．【分析】（1）利用勾股定理求得AE和AC的长，则EC即可求得，进而求得EO的长；（2）作FM⊥EC于点M，BN⊥EC于点N，设直角△AEF的直角边长是a，设正方形ABCD 的边长是b，利用三角函数求得OM、ON、FN和BN的长，证明△OMF≌△△BNO，则∠FOM=∠OBN，∠OFM=∠BON，然后根据直角三角形两锐角互余即可证得∠FOM+∠OFM=90°，即可证明结论；（3）与（2）的证明方法相同．【解答】解：（1）∵在直角△AEF中，AE==，直角△ABC中，AC==3，∴EC=AE+AC=+3=4，又∵O是线段EC的中点，∴EO=EC=2；（2）作FM⊥EC于点M，BN⊥EC于点N．∵设直角△AEF的直角边长是a，则FM=EM=AM=a，设正方形ABCD的边长是b，则AN=BN=NC=b，则OE=OC=（AE+AC）=（a+b），OM=OE﹣EM=（a+b）﹣a=b，ON=AN﹣OA=AN﹣（OM﹣AM）=b﹣（b﹣a）=a．∴在直角△OMF和直角△BNO中，∴△OMF≌△△BNO，∴∠FOM=∠OBN，∠OFM=∠BON又∵直角△OMF中，∠FOM+∠OFM=90°，∴∠BOF=90°，∴OB⊥OF；（3）OB⊥OF仍成立．理由是：作FM⊥EC于点M，BN⊥EC于点N．∵设BF=a，则FM=EF•sin∠E=a，EM=AM=EF•cosE=a，设AB=b，则BN=AB•sin∠BAC=b，AN=CN=b．∴EC=AE+AC=a+b．∴EO=OC=（a+b），∴OM=EO﹣EM=（a+b）﹣a=b，ON=ON=AN﹣OA=AN﹣（OM﹣AM）=a．∴=，又∵∠FMA=∠BNO，∴△OMF∽△△BNO，∴∠FOM=∠OBN，∠OFM=∠BON又∵直角△OMF中，∠FOM+∠OFM=90°，∴∠BOF=90°，∴OB⊥OF．【点评】本题考查了全等三角形的判定与性质，正确证明△OMF≌△△BNO是关键．24．（12分）（2015春•重庆校级期末）如图1，等腰Rt△ABC，AC=BC=4，D为BC中点，矩形BFEG，EF=4，BF=8，且F、B、C共线．△ABD沿BF运动，速度为每秒1个单位长，运动中记为△A1B1D1．当A1与E重合时，运动停止运动过程中△A1B1D1与△BEF 重叠部分面积记为S．（1）当线段A1D1过线段EB中点时，求运动时间t；（2）求S与t的关系式；（3）取线段BF中点为H，连接EH，如图2，当B1与F重合时，将∠A1B1D1绕点F旋转，射线B1A1与直线EH交于M，射线B1D1与直线EH交于N，若EM：MN=3：5，求线段EM的长．【考点】几何变换综合题．【分析】（1）过O作MN⊥EG于M，交BF于N，分别计算出BN、B1D1、D1N的长，则可求出BB1的长，即t的值；（2）分五种情况进行讨论：①当0≤t≤2时，如图2，重叠部分是△BCB1，作高CD，根据同角的三角函数列式表示出高CD的长，利用面积公式求出S与t的关系式；②当2＜t≤8时，如图3，重叠部分是四边形CB1D1M，重叠部分面积是两三角形面积的差；③当8＜t≤10时，如图4，重叠部分是五边形CQFD1M，重叠部分面积S=﹣﹣，代入计算即可；④当10＜t＜12时，如图5，重叠部分是四边形CPQM，S=﹣﹣+，代入计算即可；⑤当t=12时，如图6，S=0；（3）∠A1B1D1绕点F旋转，发现在旋转过程中，交点N与H重合，所以有两种情况：①如图7，当交点M在线段EH上时，求出EH的长，再按已知的比得出结论：EM=EH=×=；②如图8，当交点M在直线EH上时，同理得EM=6．【解答】解：（1）如图1，线段A1D1过线段EB中点O，过O作MN⊥EG于M，交BF于N，∵四边形EFBG是矩形，∴EG∥FB，∴MN⊥BF，∵△ABC是等腰直角三角形，D为BC中点，∴BD=DC，∵AC=BC=4，∴BD=DC=2，由勾股定理得：AD===2，∵EG∥FB，∴∠GEB=∠EBF，∵EO=OB，∠EOA1=∠BOD1，∴△EOA1≌△BOD1，∴A1O=D1O=A1D1=AD=×2=，同理：OM=ON=MN=EF=2，由勾股定理得：A1M===1，同理D1N=1，∵EO=OB，ON∥EF，∴FN=BN=BF=4，∴BB1=B1D1+D1N+BN=2+1+4=7，∴t=7，则当线段A1D1过线段EB中点时，运动时间t为7秒；（2）分五种情况讨论：①当0≤t≤2时，如图2，重叠部分是△BCB1，过C作CD⊥BF于D，∵∠A1B1D1=45°，∴CD=B1D，tan∠EBF===，∴CD=BD=（BB1﹣CD，CD=t，CD=t，∴S==BB1•CD=•=；②当2＜t≤8时，如图3，重叠部分是四边形CB1D1M，分别过C、M向BF作垂线CP和MN，垂足分别为P、N，由平移得如图1：∠A1D1B=∠ADC，tan∠A1D1B====2，∴D1N=MN，∵DD1=t，BD=2，∴D1B=DD1﹣BD=t﹣2，tan∠EBF==，2MN=t﹣2﹣MN，MN=（t﹣2），由①得：CP=t，∴S=﹣，=BB1•CP﹣BD1•MN，=t•﹣（t﹣2）•（t﹣2），=﹣+t﹣；③当8＜t≤10时，如图4，重叠部分是五边形CQFD1M，则B1F=t﹣8，∵∠A1B1F=45°，∴△FB1Q是等腰直角三角形，∴FQ=B1F=t﹣8，∴S=﹣﹣，=﹣+t﹣﹣B1F•FQ，=﹣+t﹣﹣（t﹣8）（t﹣8），=﹣t2+﹣；④当10＜t＜12时，如图5，重叠部分是四边形CPQM，∵BB1=t，B1D1=2，BF=8，∴FD1=t﹣2﹣8=t﹣10，B1F=t﹣8，∴PF=B1F=t﹣8，=2，∴FQ=2FD1=2（t﹣10），∴S=﹣﹣+，=﹣t2+﹣+（t﹣10）•2（t﹣10），=﹣t+；⑤当t=12时，如图6，S=0；综上所述：S=（3）有两种情况：①如图7，当交点M在线段EH上时，∵H是BF的中点，∴FH=4，由勾股定理得：EH==4，∵EM：MN=3：5，EM+MN=EH，∴EM=EH=×=，②如图8，当交点M在直线EH上时，∵EM：MN=3：5，EM+EH=MN，∴EM=×3=6，综上所述：线段EM的长为或6．【点评】本题是几何变换的综合题，考查了矩形、等腰直角三角形、全等三角形的性质和判定及旋转的性质，熟练掌握这些性质是做好本题的关键；同时，知道旋转前面的对应角相等；本题还利用了同角的三角函数列比例式表示线段的长，利用面积公式代入计算，求出对应的关系式；在计算重叠部分面积时，图形比较复杂，分情况讨论，此处容易丢解，因此要细心画图，准确找出重叠图形的各种类型．。