九年级数学下册第24章圆24.3圆周角第1课时圆周角定理及其推论同步练习含解析

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9年级数学(第24章圆)24.3 圆周角(沪科版学习、上课课件)

知1－练
技巧提醒圆周角定理可以将圆心角与圆周角进行转化，因
此求一个圆周角的度数时，我们可以求与之相等的另一个圆周角的度数，也可以求同弧所对的圆心角的度数.根据题目所给的条件选用其一进行求解即可.
感悟新知
解：如图24.3-3，连接OC. ∵ BC=BD， ∴∠ BOC= ∠ BOD=50°. ∴∠ A= 12∠ BOC= 12×50°=25°
定理解题．特别提醒 1. 求圆中的某一个圆周角时，根据“圆内接四边形的
对角互补”，可以转化为求其所在的内接四边形的对角的度数. 2. 圆内接四边形的一组对角其实是圆中一条弦所对的两个圆周角，因此，在同圆或等圆中，相等的弦所对的圆周角相等或互补.
感悟新知
解：∵四边形ABCD 内接于⊙ O， ∴∠ A+ ∠ C=180°， ∴∠ A=180°－∠ C=70°．由圆周角定理得∠ BOD=2 ∠ A=140°． ∵ OB=OD，
的四边形都有外接圆，只有对角互补的四边形才有外接圆.
感悟新知
知3－练
例 5 [中考·宜昌] 如图24.3-7，四边形ABCD 内接于⊙ O，连接OB，OD，BD，若∠ C=110°，则∠ OBD 的度数是( ) A. 15° B. 20° C. 25° D. 30°
感悟新知
知3－练
解题秘方：紧扣圆内接四边形的性质和圆周角
顶点在圆心
顶点在圆上
在同圆中，一条弧所在同圆中，一条弧所对的圆心角唯一对的圆周角有无数个
两边都与圆相交
感悟新知
知1－练
例 1 如图24.3-3，AB 是⊙ O 的直径，弦BC=BD，若 ∠ BOD=50°，求∠ A 的度数.
感悟新知
解题秘方：连接OC，将求B︵C 所对的圆周角转︵

难点解析沪科版九年级数学下册第24章圆章节练习练习题(含详解)

沪科版九年级数学下册第24章圆章节练习考试时间：90分钟；命题人：数学教研组考生注意：1、本卷分第I卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，满分100分，考试时间90分钟2、答卷前，考生务必用0.5毫米黑色签字笔将自己的姓名、班级填写在试卷规定位置上3、答案必须写在试卷各个题目指定区域内相应的位置，如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案；不准使用涂改液、胶带纸、修正带，不按以上要求作答的答案无效。

第I卷（选择题 30分）一、单选题（10小题，每小题3分，共计30分）1、图2是由图1经过某一种图形的运动得到的，这种图形的运动是（）A．平移B．翻折C．旋转D．以上三种都不对2、下列说法正确．．的个数有（）①方程210-+=的两个实数根的和等于1；x x②半圆是弧；③正八边形是中心对称图形；④“抛掷3枚质地均匀的硬币全部正面朝上”是随机事件；1,2，则这个函数图象位于第二、四象限．⑤如果反比例函数的图象经过点()A．2个B．3个C．4个D．5个3、如图，在Rt△ABC中，∠ABC＝90°，AB＝6，BC＝8．把△ABC绕点A逆时针方向旋转到△AB'C'，点B'恰好落在AC边上，则CC'＝（）A．10 B．C．D．4、往直径为78cm的圆柱形容器内装入一些水以后，截面如图所示，若水面宽72cmAB=，则水的最大深度为（）A．36 cm B．27 cm C．24 cm D．15 cm5、等边三角形、等腰三角形、矩形、菱形中既是轴对称图形，又是中心对称图形的个数是（）A．2个B．3个C．4个D．5个6、如图，△ABC外接于⊙O，∠A＝30°，BC＝3，则⊙O的半径长为（）A ．3BCD ．7、下列图形中，既是中心对称图形也是轴对称图形的是（）A ．B ．C ．D ．8、如图，AB 是O 的直径，O 的弦DC 的延长线与AB 的延长线相交于点P ，OD AC ⊥于点E ，15CAB ∠=︒，2OA =，则阴影部分的面积为（）A ．53πB ．56πC ．512πD ．524π 9、下列语句判断正确的是（）A ．等边三角形是轴对称图形，但不是中心对称图形B ．等边三角形既是轴对称图形，又是中心对称图形C ．等边三角形是中心对称图形，但不是轴对称图形D ．等边三角形既不是轴对称图形，也不是中心对称图形10、在△ABC 中，CA CB =，点O 为AB 中点．以点C 为圆心，CO 长为半径作⊙C ，则⊙C 与AB 的位置关系是（）A ．相交B ．相切C ．相离D ．不确定第Ⅱ卷（非选择题 70分）二、填空题（5小题，每小题4分，共计20分）1、到点A 的距离等于8厘米的点的轨迹是__．2、在平面直角坐标系中，点()2,2C ，圆C 与x 轴相切于点A ，过A 作一条直线与圆交于A ，B 两点，AB 中点为M ，则OM 的最大值为______．3、如图，⊙O 的半径为5cm ，正六边形ABCDEF 内接于⊙O ，则图中阴影部分的面积为 ___．4、如图，AB 是半圆O 的直径，点D 在半圆O 上，10AB =，6AD =，C 是弧BD 上的一个动点，连接AC ，过D 点作DH AC ⊥于H ．连接BH ，则在点C 移动的过程中，线段BH 的最小值是______．5、如图，将矩形ABCD 绕点A 顺时针旋转到矩形AB C D '''的位置，旋转角为()090αα︒<<︒．若1110∠=︒，则α的大小为________（度）．三、解答题（5小题，每小题10分，共计50分）1、如图，AB 为⊙O 的弦，OC ⊥AB 于点M ，交⊙O 于点C ．若⊙O 的半径为10，OM ：MC ＝3：2，求AB 的长．2、在平面直角坐标系xOy 中，给出如下定义：若点P 在图形M 上，点Q 在图形N 上，称线段PQ 长度的最小值为图形M ，N 的“近距离”，记为d (M ，N )，特别地，若图形M ，N 有公共点，规定d (M ，N )＝0．已知：如图，点A (2-，0)，B (0，．（1）如果⊙O 的半径为2，那么d (A ，⊙O )＝，d (B ，⊙O )＝．（2）如果⊙O 的半径为r ，且d （⊙O ，线段AB ）=0，求r 的取值范围；（3）如果C (m ，0)是x 轴上的动点，⊙C 的半径为1，使d （⊙C ，线段AB ）<1，直接写出m 的取值范围．3、如图，△ABC 内接于⊙O ，D 是⊙O 的直径AB 的延长线上一点，∠DCB ＝∠OAC ．过圆心O 作BC 的平行线交DC 的延长线于点E ．（1）求证：CD 是⊙O 的切线；（2）若CD ＝4，CE ＝6，求⊙O 的半径及tan∠OCB 的值．4、如图，抛物线223y ax ax a =--（a 为常数，0a <）与x 轴分别交于A ，B 两点（点A 在点B 的左侧），与y 轴交于点C ，且OB ＝OC ．（1）求a的值；（2）点D是该抛物线的顶点，点P（m，n）是第三象限内抛物线上的一个点，分别连接BD、BC、CD、BP，当∠PBA＝∠CBD时，求m的值；（3）点K为坐标平面内一点，DK＝2，点M为线段BK的中点，连接AM，当AM最大时，求点K的坐标．5、如图，AC是⊙O的直径，BC是⊙O的弦，点P是⊙O外一点，连接PB、AB，∠PBA＝∠C．（1）求证：PB是⊙O的切线；（2）连接OP，若OP∥BC，且OP＝8，⊙O的半径为3，求BC的长．-参考答案-一、单选题1、C【详解】解：根据图形可知，这种图形的运动是旋转而得到的，故选：C．【点睛】本题考查了图形的旋转，熟记图形的旋转的定义（把一个平面图形绕平面内某一点转动一个角度，叫做图形的旋转）是解题关键．2、B【分析】根据所学知识对五个命题进行判断即可．【详解】1、Δ=12−4×1=−3<0，故方程无实数根，故本命题错误；2、圆上任意两点间的部分叫做圆弧，半圆也是，故本命题正确；3、八边形绕中心旋转180°以后仍然与原图重合，故本命题正确；4、抛硬币无论抛多少，出现正反面朝上都是随机事件，故抛三枚硬币全部正面朝上也是随机事件，故本命题正确；k ,它的函数图像位于一三象限，故本命题错误5、反比例函数的图象经过点 (1,2) ，则0综上所述，正确个数为3故选B【点睛】本题考查一元二次函数判别式、弧的定义、中心对称图形判断、随机事件理解、反比例函数图像，掌握这些是本题关键．3、D【分析】首先运用勾股定理求出AC的长度，然后结合旋转的性质得到AB= AB'，BC= B'C'，从而求出B'C，即可在Rt△B'C'C中利用勾股定理求解．【详解】解：∵在Rt△ABC中，AB＝6，BC＝8，∴10AC=，由旋转性质可知，AB= AB'=6，BC= B'C'=8，∴B'C=10-6=4，在Rt△B'C'C中，CC'=故选：D．【点睛】本题考查勾股定理，以及旋转的性质，掌握旋转变化的基本性质，熟练运用勾股定理求解是解题关键．4、C【分析】连接OB，过点O作OC AB⊥于点D，交O于点C，先由垂径定理求出BD的长，再根据勾股定理求出OD的长，进而得出CD的长即可．【详解】解：连接OB，过点O作OC AB⊥于点D，交O于点C，如图所示：则136()2BD AB cm==，O的直径为78cm，39()∴==，OB OC cm在Rt OBD△中，15()OD cm，∴=-=-=，CD OC OD cm391524()即水的最大深度为24cm，故选：C．【点睛】本题考查了垂径定理、勾股定理等知识，解题的关键是根据题意作出辅助线，构造出直角三角形是解答此题的关键．5、A【分析】根据轴对称图形与中心对称图形的概念进行判断．【详解】解：矩形，菱形既是轴对称图形，也是中心对称图形，符合题意；等边三角形、等腰三角形是轴对称图形，不是中心对称图形，不符合题意；共2个既是轴对称图形又是中心对称图形．故选：A．【点睛】此题主要考查了中心对称图形与轴对称图形的概念．（1）如果一个图形沿着一条直线对折后两部分完全重合，这样的图形叫做轴对称图形，这条直线叫做对称轴．（2）如果一个图形绕某一点旋转180°后能够与自身重合，那么这个图形就叫做中心对称图形，这个点叫做对称中心．6、A【分析】分析：连接OA、OB，根据圆周角定理，易知∠AOB=60°；因此△ABO是等边三角形，即可求出⊙O的【详解】解：连接BO，并延长交⊙O于D，连结DC，∵∠A=30°，∴∠D=∠A=30°，∵BD为直径，∴∠BCD=90°，在Rt△BCD中，BC=3，∠D=30°，∴BD=2BC=6，∴OB=3．故选A．【点睛】本题考查了圆周角性质，利用同弧所对圆周角性质与直径所对圆周角性质，30°角所对直角三角形性质，掌握圆周角性质，利用同弧所对圆周角性质与直径所对圆周角性质，30°角所对直角三角形性质是解题的关键．7、A【分析】根据轴对称图形与中心对称图形的概念求解．解：A 、既是轴对称图形，也是中心对称图形，故此选项符合题意；B 、是轴对称图形，不是中心对称图形，故此选项不符合题意；C 、是中心对称图形，不是轴对称图形，故此选项不符合题意；D 、是中心对称图形，不是轴对称图形，故此选项不符合题意．故选：A ．【点睛】本题考查中心对称图形和轴对称图形的知识，关键是掌握好中心对称图形与轴对称图形的概念．轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分折叠后可重合，中心对称图形是要寻找对称中心，图形旋转180°后与原图重合．8、B【分析】由垂径定理可知，AE =CE ，则阴影部分的面积等于扇形AOD 的面积，求出75AOD ∠=︒，然后利用扇形面积公式，即可求出答案．【详解】解：根据题意，如图：∵AB 是O 的直径，OD 是半径，OD AC ⊥，∴AE =CE ，∴阴影CED 的面积等于AED 的面积，∴ΔCED AOE AOD S S S +=扇，∵90AEO ∠=︒，15CAB ∠=︒，∴901575AOE ∠=︒-︒=︒， ∴275253606AOD S ππ︒⨯⨯==︒扇；故选：B【点睛】本题考查了求扇形的面积，垂径定理，解题的关键是掌握所学的知识，正确利用扇形的面积公式进行计算．9、A【分析】根据等边三角形的对称性判断即可．【详解】∵等边三角形是轴对称图形，但不是中心对称图形，∴B ，C ，D 都不符合题意；故选：A ．【点睛】本题考查了等边三角形的对称性，熟练掌握等边三角形的对称性是解题的关键．10、B【分析】根据等腰三角形的性质，三线合一即可得CO AB ⊥，根据三角形切线的判定即可判断AB 是C 的切线，进而可得⊙C 与AB 的位置关系【详解】解：连接CO ,=，点O为AB中点．CA CB∴⊥CO ABCO为⊙C的半径，∴是C的切线，AB∴⊙C与AB的位置关系是相切故选B【点睛】本题考查了三线合一，切线的判定，直线与圆的位置关系，掌握切线判定定理是解题的关键．二、填空题1、以点A为圆心，8厘米长为半径的圆【分析】由题意直接根据圆的定义进行分析即可解答．【详解】到点A的距离等于8厘米的点的轨迹是：以点A为圆心，2厘米长为半径的圆．故答案为：以点A为圆心，8厘米长为半径的圆．【点睛】本题主要考查了圆的定义，正确理解定义是关键，注意掌握圆的定义是在同一平面内到定点的距离等于定长的点的集合．21##【分析】如图所示，取D （-2，0），连接BD ，连接CD 与圆C 交于点B '，先求出A 点坐标，从而可证OM 是△ABD 的中位线，得到12OM BD =，则当BD 最小时，OM 也最小，即当B 运动到B '时，BD 有最小值B D '，由此求解即可．【详解】解：如图所示，取D （-2，0），连接BD ，连接CD 与圆C 交于点B '∵点C 的坐标为（2，2），圆C 与x 轴相切于点A ，∴点A 的坐标为（2，0），∴OA =OD =2，即O 是AD 的中点，又∵M 是AB 的中点，∴OM 是△ABD 的中位线， ∴12OM BD =，∴当BD 最小时，OM 也最小，∴当B 运动到B '时，BD 有最小值B D '，∵C （2，2），D （-2，0），∴CD ==∴=2B D CD CB ''-=，∴1OM =，1．【点睛】本题主要考查了坐标与图形，一点到圆上一点的距离得到最小值，两点距离公式，三角形中位线定理，把求出OM的最小值转换成求BD的最小值是解题的关键．3、25 6【分析】根据图形分析可得求阴影部分面积实为求扇形面积，将原图阴影部分面积转化为扇形面积求解即可．【详解】如图，连接BO，OC，OA，由题意得：△BOC，△AOB都是等边三角形，∴∠AOB＝∠OBC＝60°，∴OA∥BC，∴OBC ABC S S =，2605253606BOC S S ππ⨯⨯∴===阴扇．故答案为：256π．【点睛】本题考查正多边形与圆、扇形的面积公式、平行线的性质等知识，解题的关键是得出BOC S S =阴扇．43-##【分析】连接BD ，取AD 的中点E ，连接BE ，由题可知H 点在以E 为圆心，AE 为半径的圆上，当B 、H 、E 三点共线时，BH 最小；求出8BD =，在Rt BED 中，BE =3BH ，即为所求．【详解】解：连接BD ，取AD 的中点E ，连接BE ，DH AC ⊥，H ∴点在以E 为圆心，AE 为半径的圆上，当B 、H 、E 三点共线时，BH 最小， AB 是直径，90BDA ∴∠=︒，10AB =，6AD =，8BD ∴=，3DE =，在Rt BED中，BE=∴=-，BH BE EH33．【点睛】本题考查点的运动轨迹，勾股定理，解题的关键是能够根据点的运动情况，确定H点的运动轨迹．5、20【分析】先利用旋转的性质得到∠ADC=∠D=90°，∠DAD′=α，再利用四边形内角和计算出∠BAD‘=70°，然后利用互余计算出∠DAD′，从而得到α的值．【详解】∵矩形ABCD绕点A顺时针旋转到矩形A′B′C′D′的位置，∴∠ADC=∠D=90°，∠DAD′=α，∵∠ABC=90°，∴∠BAD’=180°-∠1=180°-110°=70°，∴∠DAD′=90°-70°=20°，即α=20°．故答案为20．【点睛】本题考查了旋转的性质：对应点到旋转中心的距离相等；对应点与旋转中心所连线段的夹角等于旋转角；旋转前、后的图形全等．三、解答题AB=1、16【分析】连接OA，根据⊙O的半径为10，OM：MC＝3：2可求出OM的长，由勾股定理求出AM的长，再由垂径定理求出AB的长即可．【详解】解：如图，连接OA．∵OM：MC＝3：2，OC＝10，∴OM＝331055OC=⨯=6．∵OC⊥AB，∴∠OMA＝90°，AB＝2AM．在Rt△AOM中，AO＝10，OM＝6，∴AM=8．∴AB＝2AM =16．【点睛】本题考查的是垂径定理、勾股定理，掌握垂径定理的推论是解题的关键．2、（1）0，2；（2r≤（3）42m-<<【分析】（1）根据新定义，即可求解；（2）过点O作OD⊥AB于点D，根据三角形的面积，可得DO=d（⊙O，线段AB）=0，可得当⊙O的半径等于OD时最小，当⊙O的半径等于OB时最大，即可求解；（3）过点C作CN⊥AB于点N，利用锐角三角函数，可得∠OAB=60°，然后分三种情况：当点C在点A的右侧时，当点C与点A重合时，当点C在点A的左侧时，即可求解．【详解】解：（1）∵⊙O的半径为2，A(2-，0)，B(0，．∴2,OA OB==∴点A在⊙O上，点B在⊙O外，∴d（A，⊙O）＝0，∴d（B，⊙O）＝2；（2）过点O作OD⊥AB于点D，∵点A(2-，0)，B(0，．∴2,==，OA OB∴4AB=，∵1122OA OB AB OD ⋅=⋅ ，∴112422OD ⨯⨯=⨯⨯∴DO∵d （⊙O ，线段AB ）=0，∴当⊙O 的半径等于OD 时最小，当⊙O 的半径等于OB 时最大，∴r r ≤（3）如图，过点C 作CN ⊥AB 于点N ，∵点A (2-，0)，B (0，．∴2,OA OB ==，∴tan OB OAB OA ∠=， ∴∠OAB =60°，∵C (m ，0)，当点C 在点A 的右侧时，2m >- ，∴()22AC m m =--=+ ，∴)sin 2CN AC OAB m =⋅∠=+ ， ∵d （⊙C ，线段AB ）<1，⊙C 的半径为1，∴)0211m <+<+ ，解得：22m -< ，当点C 与点A 重合时，2m =- ，此时d （⊙C ，线段AB ）=0，当点C 在点A 的左侧时，2m <- ，∴2AC m =--11AC -< ，∴211m ---< ，解得：4m >- ，∴42m -<<-．【点睛】本题主要考查了点与圆的位置关系，点与直线的位置关系，理解新定义，熟练掌握点与圆的位置关系，点与直线的位置关系是解题的关键．3、（1）见解析（2）3，2【分析】（1）由等腰三角形的性质与已知条件得出，∠OCA =∠DCB ，由圆周角定理可得∠ACB =90°，进而得到∠OCD =90°，即可得出结论；（2）根据平行线分线段成比例定理得到23BD CD OB CE ==，设BD =2x ，则OB =OC =3x ，OD =OB +BD =5x ，在Rt△OCD中，根据勾股定理求出x=1，即⊙O的半径为3，由平行线的性质得到∠OCB=∠EOC，在Rt△OCE中，可求得tan∠EOC=2，即tan∠OCB=2．（1）证明：∵OA＝OC，∴∠OAC＝∠OCA，∵∠DCB＝∠OAC，∴∠OCA＝∠DCB，∵AB是⊙O的直径，∴∠ACB＝90°，∴∠OCA+∠OCB＝90°，∴∠DCB+∠OCB＝90°，即∠OCD＝90°，∴OC⊥DC，∵OC是⊙O的半径，∴CD是⊙O的切线；（2）∵OE∥BC，∴BD CD OB CE=，∵CD=4，CE=6，∴4263 BDOB==，设BD=2x，则OB=OC=3x，OD=OB+BD=5x，∵OC⊥DC，∴△OCD 是直角三角形，在Rt △OCD 中，OC 2+CD 2=OD 2，∴（3x ）2+42=（5x ）2，解得，x =1，∴OC =3x =3，即⊙O 的半径为3，∵BC ∥OE ，∴∠OCB =∠EOC ，在Rt △OCE 中，tan ∠EOC =623EC OC ==， ∴tan∠OCB =tan∠EOC =2．【点睛】本题考查了圆周角定理、勾股定理、平行线的性质、等腰三角形的性质、切线的判定、三角函数、平行线分线段成比例定理等知识；熟练掌握切线的判定与平行线分线段成比例定理是解题的关键． 4、（1）1-（2）43-（3）K 【分析】（1）先求得,A B ,C 点的坐标，进而根据OB OC =即可求得a 的值；（2）过点P 作PE x ⊥轴于点E ，证明BCD △是直角三角形，进而BCD BEP ∽，根据相似的性质列出比例式进而代入点P 的坐标解方程即可；（3）接BD ，取BD 的中点Q ，连接QM ,根据题意，点K 在以D 为圆心，2为半径的圆上，则M 在以Q 为圆心，1为半径的圆上运动，根据点与圆的距离求最值，进而求得AD 的解析式为2233y x =+，根据AM DK ∥,设直线DK 的解析式为23y x b =+，将点D 代入求得b ，进而设210(,)33K m m +，根据2DK =，进而根据勾股定理列出方程解方程求解即可．（1）223y ax ax a =--()()2(23)31a x x a x x =--=-+令0y =，解得121,3x x =-=令0x =，3y a =-抛物线223y ax ax a =--（a 为常数，0a <）与x 轴分别交于A ，B 两点（点A 在点B 的左侧），与y 轴交于点C ，∴抛物线与x 轴的交点为(1,0),(3,0)A B -(0,3)C a -3OB ∴=OB OC =3OC ∴=(0,3)C ∴33a ∴-=解得1a =-（2）如图，过点P 作PE x ⊥轴于点E ，2223(1)4y x x x =-++=--+(1,4)D ∴()()3,0,3,0B CCD BC BD ∴====22220,20CD BC BD ∴+==222CD BC BD ∴+=BCD ∴△是直角三角形，且90BCD ∠=︒PE AB ⊥90PEB PCD ∴∠=∠=︒ 又PBA CBD ∠=∠BCD BEP ∴∽CD BC PE BE∴=()P m n ,在抛物线2y x 2x 3=-++上，223n m m =-++∴223,3PE n m m BE m ∴=-=--=-=整理得()()3430m m +-= 解得124,33m m =-=（舍）()P m n ,在第三象限，0m ∴<43m ∴=- （3）如图，连接BD ，取BD 的中点Q ，连接QM ,QM ∴是BDK 的中位线112QM DK ∴== 根据题意点K 在以D 为圆心，2为半径的圆上，则M 在以Q 为圆心，1为半径的圆上运动，当,,A Q M 三点共线，且M 在AQ 的延长线上时，AM 最大，如图，(3,0),(1,4)B D1340(,)22Q ++∴即()2,2Q (1,0),(2,2)A Q -设直线AM 的解析式为y kx d =+，代入点(1,0),(2,2)A Q -，即022k d k d=-+⎧⎨=+⎩ 解得2323k b ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩∴直线AM 的解析式为2233y x =+ DK QM ∥设直线DK 的解析式为23y x b =+ (1,4)D243b ∴=+ 解得103b = 则DK 的解析式为21033y x =+ 设点210(,)33K m m +()0m >， (1,4)D ，2DK =()22221014233m m ⎛⎫∴-++-= ⎪⎝⎭解得12m m ==m ∴=21033m ∴+=21033+=K ∴ 【点睛】本题考查了二次函数综合运用，点与圆的距离求最值问题，相似三角形的性质与判定，正确的添加辅助线并熟练掌握以上知识是解题的关键．5、（1）见解析（2）94【分析】（1）连接OB ，由圆周角定理得出90ABC ∠=︒，得出90C BAC ∠+∠=︒，再由OA OB =，得出BAC OBA ∠=∠，证出90PBA OBA ∠+∠=︒，即可得出结论；（2）证明ABC PBO ∆∆∽，得出对应边成比例，即可求出BC 的长．（1）证明：连接OB ，如图所示：AC 是O 的直径，90ABC ∴∠=︒，90C BAC ∴∠+∠=︒，OA OB =，BAC OBA ∴∠=∠，PBA C ∠=∠，90PBA OBA ∴∠+∠=︒，即PB OB ⊥，PB ∴是O 的切线；（2）解：O 的半径为3，3OB ∴=，6AC =，//OP BC ，CBO BOP ∴∠=∠，OC OB =，C CBO ∴∠=∠，C BOP ∴∠=∠，又90ABC PBO ∠=∠=︒，ABC PBO ∴∆∆∽， ∴BC AC OB OP=，即863BC =， 94BC ∴=．【点睛】本题考查了切线的判定、圆周角定理、平行线的性质、相似三角形的判定与性质；解题的关键是熟练掌握圆周角定理、切线的判定．。

沪科版数学九年级下册圆周角定理及其推论

∴ BD DE. A
O
E
B DC
8. 已知 ⊙O 的弦 AB 的长等于 ⊙O 的半径，求此弦 AB
所对的圆周角的度数．
解：分下面两种情况：
(1) 如图①所示，连接 OA，OB，在优弧 ACB 上任取
一点 C，连接 CA，CB.
∵ AB＝OA＝OB，
∴ 在等边△AOB 中，∠AOB＝60°． ∴∠ACB＝ 1 ∠AOB＝30°. 即弦 AB 所对2的圆周角等于 30°.
图①
(2) 如图②所示，连接 OA，OB，在劣弧 AB 上任取一点
D，连接 AD，OD，BD.
则∠BAD＝ 1 ∠BOD，∠ABD＝ 1∠AOD.
∴∠BAD＋∠2 ABD＝
1 2
(∠BOD＋2∠AOD)＝
同 (1) 可知∠AOB＝60°，
1 2
∠AOB.
∴∠BAD＋∠ABD＝30°.
∴∠ADB＝180°－(∠BAD＋∠ABD)＝150°，
∠ACD = 60°，∠ADC = 70°. 求∠APC 的度数.
解：连接 BC，如图，则∠ACB = 90°，
C
∠DCB =∠ACB－∠ACD = 90°－60° = 30°.
又∵∠BAD =∠DCB = 30°，
A
∴∠APC =∠BAD +∠ADC = 30° + 70°
O PB
= 100°.
D
∵ BAC 1 BOC，BDC 1 BOC，
2
2
∴∠BAC =∠BDC.
问题2 如图，若 CD EF，∠A 与∠B 相等吗？
解：相等.
AB
CD EF， COD EOF.
A 1 COD， B 1 EOF，
2

【人教版】数学九年级全一册圆周角——圆周角定理及其推论随堂练习(课件版)

证明：∵DF＝BE，∴D⌒F ＝B⌒E .
∵AB，CD 是⊙O 的直径，∴B⌒E ＋E⌒A ＝D⌒F ＋F⌒C .
∴E⌒A ＝F⌒C .∴∠B＝∠D.
11.如图，⊙O 中，半径 OC⊥弦 AB 于点 D，点 E 在 ⊙O 上，∠E＝22.5°，AB＝4，求圆的半径．
解：∵OC⊥AB，∴A⌒C ＝B⌒C .
三级检测
6.下列说法正确的是( B )
A.相等的圆周角所对的弧相等 B.在同圆中，等弧所对的圆周角相等 C.相等的弦所对的弧相等 D.相等的弦所对的圆周角相等
7.如图，AB 是⊙O 的直径，C，D 为圆上两点，
∠AOC＝130°，则∠D 等于( A )
A.25° B.30° C.35° D.50°
第二十四章圆
第5课圆周角(1)——圆周角定理及其推论
新课学习
1．(1)顶点在__圆__上____，并且两边都与圆__相__交___的角叫做圆周角．如图所示，__A__O_B_____是圆心角， __∠__A_C__B___是圆周角；
(2)圆周角定理：一条弧所对的圆周角等于它所对的
圆__心__角__的一半； (3)圆周角定理的推论：_同__弧___或_等__弧___所对的圆周角_相__等___；半圆(或直径)所对的圆周角是_直__角___；90° 的圆周角所对的弦是_直__径___．
圆周角的定义【例 1】下列各圆中，是圆周角的是( C )
2.如图，在图中标出的 4 个角中，圆周角有( B )
A.1 个 B.2 个 C.3 个 D.4 个
二次函＝_7_0_°_；(2)∠A＝_8__0_°；(3)∠A＝__9_0_°．
3.如图，点 C 在⊙O 上，若∠ACB＝35°，

人教版九年级数学第24章圆 24.1 ---24.4章节复习题(含答案)

人教版九年级数学第24章24.1 ---24.4复习题（含答案） 24.1 圆的有关性质一、选择题（本大题共10道小题）1. 如图，已知直径MN ⊥弦AB ，垂足为C ，有下列结论：①AC ＝BC ；②AN ︵＝BN ︵；③AM ︵＝BM ︵；④AM ＝BM .其中正确的个数为( )A ．1B ．2C ．3D ．42. 小红不小心把家里的一块圆形玻璃镜打碎了，需要配制一块同样大小的玻璃镜，工人师傅在一块如图所示的玻璃镜残片的边缘描出了点A ，B ，C ，给出三角形ABC ，则这块玻璃镜的圆心是 ( )A .AB ，AC 边上的中线的交点 B .AB ，AC 边上的垂直平分线的交点 C .AB ，AC 边上的高所在直线的交点D .∠BAC 与∠ABC 的角平分线的交点3.如图，点B ，C ，D 在⊙O 上，若∠BCD ＝130°，则∠BOD 的度数是( )A ．50°B ．60°C ．80°D ．100°4. 如图，AB ，AC分别是⊙O 的直径和弦，OD AC ⊥于点D ，连接BD ，BC ，且10AB =，8AC =，则BD 的长为A．5B．4C．13D．4.85.如图，AB是⊙O的直径，EF，EB是⊙O的弦，且EF＝EB，EF与AB交于点C，连接OF.若∠AOF＝40°，则∠F的度数是( )A．20°B．35°C．40°D．55°6. 如图，在半径为5的⊙O中，弦AB＝6，OP⊥AB，垂足为P，则OP的长为() A．3 B．2.5 C．4 D．3.57. 如图，AB为⊙O的直径，C，D为⊙O上两点．若∠BCD＝40°，则∠ABD的大小为()A．60°B．50°C．40°D．20°8. 如图，四边形ABCD是菱形，⊙O经过点A，C，D，与BC相交于点E，连接AC ，AE .若∠D ＝80°，则∠EAC 的度数为( )A ．20°B ．25°C ．30°D ．35°9. 如图，在半径为5的⊙O 中，AB ，CD 是互相垂直的两条弦，垂足为P ，且AB ＝CD ＝8，则OP 的长为( )A ．3B ．4C ．3 2D ．4 210. 如图，⊙P与x 轴交于点A(—5，0)，B(1，0)，与y 轴的正半轴交于点C.若∠ACB ＝60°，则点C 的纵坐标为( )A.13＋ 3B ．2 2＋ 3C ．4 2D ．2 2＋2二、填空题（本大题共8道小题）11. 如图所示，AB 为☉O 的直径，点C 在☉O 上，且OC ⊥AB ，过点C 的弦CD 与线段OB 相交于点E ，满足∠AEC=65°，连接AD ，则∠BAD= 度.12. (2019•娄底)如图，C 、D 两点在以AB 为直径的圆上，2AB =，30ACD ∠=︒，则AD __________．13. 如图，以△ABC的边BC为直径的⊙O分别交AB，AC于点D，E，连接OD，OE.若∠A＝65°，则∠DOE＝________°.14. 如图，在⊙O中，BD为⊙O的直径，弦AD的长为3，AB的长为4，AC平分∠DAB，则弦CD的长为________．15. 如图，在⊙O中，半径OA垂直于弦BC，点D在圆上，且∠ADC＝30°，则∠AOB的度数为________．16. 如图，AC是圆内接四边形ABCD的一条对角线，点D关于AC的对称点E 在边BC上，连接AE.若∠ABC＝64°，则∠BAE的度数为________．17. 当宽为3 cm 的刻度尺的一边与⊙O 相切于点A 时，另一边与⊙O 的两个交点B ，C 处的读数如图所示(单位： cm)，那么该圆的半径为________cm.18. 如图，△ABC 内接于⊙O ，若∠OAB ＝32°，则∠C ＝________°.三、解答题（本大题共4道小题）19. 如图，在⊙O 中，M ，N 分别是半径OA ，OB 的中点，且CM ⊥OA 交⊙O 于点C ，DN ⊥OB 交⊙O 于点D .求证：AC ︵＝BD ︵.20. 如图，AB 为O 的直径，点C 在O 上．(1)尺规作图：作BAC 的平分线，与O 交于点D ；连接OD ，交BC 于点E (不写作法，只保留作图痕迹，且用黑色墨水笔将作图痕迹加黑)； (2)探究OE 与AC 的位置及数量关系，并证明你的结论．21. 如图，直线AB经过⊙O的圆心，与⊙O相交于点A，B，点C在⊙O上，且∠AOC＝30°，P是直线AB上的一个动点(与点O不重合)，直线PC与⊙O相交于点Q.在直线AB上使QP＝QO成立的点P共有几个？请相应地求出∠OCP的度数．22. 如图，点E是△ABC的内心，线段AE的延长线交BC于点F(∠AFC≠90°)，交△ABC的外接圆于点D.(1)求点F与△ABC的内切圆⊙E的位置关系；(2)求证：ED＝BD；(3)若∠BAC＝90°，△ABC的外接圆的直径是6，求BD的长；(4)B，C，E三点可以确定一个圆吗？若可以，则它们确定的圆的圆心和半径分别是什么？若不可以，请说明理由．人教版九年级数学 24.1 圆的有关性质课后训练-答案一、选择题（本大题共10道小题） 1. 【答案】D2. 【答案】B[解析]本题实质上是要确定三角形外接圆的圆心，三角形外接圆的圆心是三边垂直平分线的交点，故选B .3. 【答案】D[解析] 由同弧所对的圆周角等于圆心角的一半，可知∠α＝2∠BCD ＝260°. 而∠α＋∠BOD ＝360°，所以∠BOD ＝100°.4. 【答案】C【解析】∵AB 为直径，∴90ACB ∠=︒，∴6BC ===， ∵OD AC ⊥，∴142CD AD AC ===，在Rt CBD △中，BD ==C ．5. 【答案】B6. 【答案】C7. 【答案】B[解析] 如图，连接AD.∵AB 为⊙O 的直径，∴∠ADB ＝90°.∵∠A 和∠BCD 都是BD ︵所对的圆周角，∴∠A ＝∠BCD ＝40°，∴∠ABD ＝90°－40°＝50°.故选B.8. 【答案】C9. 【答案】C[解析] 如图，过点O 作OE ⊥AB ，OF ⊥CD ，垂足分别为E ，F ，连接AO.∵OE ⊥AB ，∴AE ＝12AB ＝4.在Rt △OAE 中，OA ＝5，由勾股定理可得OE ＝3，同理得OF ＝3.又∵AB ⊥CD ，∴四边形OEPF 是正方形，∴PE ＝OE ＝ 3.在Rt △OPE 中，由勾股定理可得OP ＝3 2.10. 【答案】B[解析] 如图，连接PA ，PB ，PC ，过点P 作PD ⊥AB 于点D ，PE⊥OC 于点E.∵∠ACB ＝60°，∴∠APB ＝120°. ∵PA ＝PB ，∴∠PAB ＝∠PBA ＝30°. ∵A(－5，0)，B(1，0)， ∴AB ＝6， ∴AD ＝BD ＝3，∴PD ＝3，PA ＝PB ＝PC ＝2 3. ∵PD ⊥AB ，PE ⊥OC ，∠AOC ＝90°，∴四边形PEOD 是矩形，∴OE ＝PD ＝3，PE ＝OD ＝3－1＝2， ∴CE ＝PC2－PE2＝12－4＝2 2， ∴OC ＝CE ＋OE ＝2 2＋3， ∴点C 的纵坐标为2 2＋ 3. 故选B.二、填空题（本大题共8道小题）11. 【答案】20 [解析]如图，连接DO ，∵CO ⊥AB ， ∴∠COB=90°，∵∠AEC=65°，∴∠C=25°，∵OD=OC ，∴∠ODC=∠C=25°，∴∠DOC=130°，∴∠DOB=40°，∵2∠BAD=∠DOB ， ∴∠BAD=20°.12. 【答案】1【解析】∵AB 为直径，∴90ADB ∠=︒，∵30B ACD ∠=∠=︒，∴112122AD AB ==⨯=．故答案为：1．13. 【答案】50[解析] 由三角形的内角和定理，得∠B ＋∠C ＝180°－∠A .再由OB ＝OD ＝OC ＝OE ，得到∠BDO ＝∠B ，∠CEO ＝∠C .在等腰三角形BOD 和等腰三角形COE 中，∠DOB ＋∠EOC ＝180°－2∠B ＋180°－2∠C ＝360°－2(∠B ＋∠C )＝360°－2(180°－∠A )＝2∠A ，所以∠DOE ＝180°－2∠A ＝50°.14. 【答案】52 2 [解析] ∵BD 为⊙O 的直径，∴∠DAB ＝∠DCB ＝90°. ∵AD ＝3，AB ＝4，∴BD ＝5.又∵AC 平分∠DAB ，∴∠DAC ＝∠BAC ＝45°， ∴∠DBC ＝∠DAC ＝45°，∠CDB ＝∠BAC ＝45°，从而CD ＝CB ，∴CD ＝52 2.15. 【答案】60°[解析] ∵OA ⊥BC ，∴AB ︵＝AC ︵，∴∠AOB ＝2∠ADC.∵∠ADC＝30°，∴∠AOB ＝60°.16. 【答案】52°[解析] ∵四边形ABCD 是圆内接四边形，∴∠B ＋∠D ＝180°.∵∠B ＝64°，∴∠D ＝116°.又∵点D 关于AC 的对称点是点E ， ∴∠AEC ＝∠D ＝116°.又∵∠AEC ＝∠B ＋∠BAE ，∴∠BAE ＝52°.17. 【答案】25618. 【答案】58[解析] 方法一：如图①，连接OB.∵在△OAB 中，OA ＝OB ，∴∠OAB ＝∠OBA.又∵∠OAB ＝32°，∴∠OBA ＝32°，∴∠AOB ＝180°－2×32°＝116°.又∵∠C ＝12∠AOB(一条弧所对的圆周角是它所对的圆心角的一半)， ∴∠C ＝58°.方法二：如图②，过点A 作直径AD ，连接BD ，则∠ABD ＝90°，∴∠C ＝∠D ＝90°－32°＝58°(同弧所对的圆周角相等)．三、解答题（本大题共4道小题）19. 【答案】证明：如图，连接OC ，OD ，则OC ＝OD .∵M ，N 分别是半径OA ，OB 的中点， ∴OM ＝ON .∵CM ⊥OA ，DN ⊥OB ，∴∠OMC ＝∠OND ＝90°. 在Rt △OMC 和Rt △OND 中，⎩⎨⎧OC ＝OD ，OM ＝ON ，∴Rt △OMC ≌Rt △OND (HL)， ∴∠MOC ＝∠NOD ，∴AC ︵＝BD ︵.20. 【答案】(1)如图所示：(2)OE AC ∥，12OE AC =．理由如下：∵AD 平分BAC ∠， ∴12BAD BAC ∠=∠， ∵12BAD BOD ∠=∠，∴BOD BAC ∠=∠， ∴OE AC ∥，∵OA OB =，∴OE 为ABC △的中位线， ∴OE AC ∥，12OE AC =．21. 【答案】解：在直线AB 上使QP ＝QO 成立的点P 共有3个． (1)如图①.在△QOC 中，OC ＝OQ ，∴∠OQC ＝∠OCQ . 在△OPQ 中，QP ＝QO ，∴∠QOP ＝∠QPO .又∵∠QPO ＝∠OCQ ＋∠AOC ，且∠AOC ＝30°，∠QOP ＋∠QPO ＋∠OQC ＝180°，∴3∠OCQ ＝120°， ∴∠OCQ ＝40°. 即∠OCP ＝40°.(2)如图②. ∵QO ＝QP ， ∴∠QPO ＝∠QOP .设∠QPO ＝x ，则∠OQC ＝∠QPO ＋∠QOP ＝2x .又∵OC ＝OQ ， ∴∠OCQ ＝∠OQC ＝2x ，∴∠AOC ＝∠OPC ＋∠OCP ＝x ＋2x ＝3x . ∵∠AOC ＝30°，∴3x ＝30°，解得x ＝10°， ∴∠OCP ＝2x ＝20°. (3)如图③.∵QO ＝QP ，∴∠QOP ＝∠QPO . ∵OC ＝OQ ，∴∠OQC ＝∠OCQ .设∠QPO ＝y ，则∠OQC ＝∠OCQ ＝∠QPO ＋∠AOC ＝y ＋30°，∴在△OPQ中，有y＋y＋y＋30°＝180°，解得y＝50°，∴∠OCP＝180°－50°－30°＝100°.综上所述，在直线AB上使QP＝QO成立的点P共有3个，∠OCP的度数分别为40°，20°，100°.22. 【答案】解：(1)设⊙E切BC于点M，连接EM，则EM⊥BC.又线段AE的延长线交BC 于点F，∠AFC≠90°，∴EF>EM，∴点F在△ABC的内切圆⊙E外．(2)证明：∵点E是△ABC的内心，∴∠BAD＝∠CAD，∠ABE＝∠CBE.∵∠CBD＝∠CAD，∴∠BAD＝∠CBD.∵∠BED＝∠ABE＋∠BAD，∠EBD＝∠CBE＋∠CBD，∴∠BED＝∠EBD，∴ED＝BD.(3)如图①，连接CD.设△ABC的外接圆为⊙O.∵∠BAC＝90°，∴BC是⊙O的直径，∴∠BDC＝90°.∵⊙O的直径是6，∴BC＝6.∵E为△ABC的内切圆的圆心，∴∠BAD＝∠CAD，∴BD＝CD.又∵BD2＋CD2＝BC2，∴BD＝CD＝3 2.(4)B，C，E三点可以确定一个圆．如图②，连接CD.∵点E是△ABC的内心，∴∠BAD＝∠CAD，∴BD＝CD.又由(2)可知ED＝BD，∴BD＝CD＝ED，∴B，C，E三点确定的圆的圆心为点D，半径为BD(或ED，CD)的长度．24.2 点和圆、直线和圆的位置关系一、选择题（本大题共8道小题）1. 已知⊙O的半径为5 cm，圆心O到直线l的距离为5 cm，则直线l与⊙O的位置关系为()A．相交B．相切C．相离D．无法确定2. 2019·武汉江岸区期中点P到直线l的距离为3，以点P为圆心，以下列长度为半径画圆，能使直线l与⊙P相交的是()A．1 B．2 C．3 D．43. 2020·武汉模拟在Rt△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝8，AC＝6，以点A为圆心，4.8为半径的圆与直线BC的公共点的个数为()A．0 B．1 C．2 D．不能确定4. 如图，在平面直角坐标系中，过格点A，B，C作一圆弧，点B与图中7×4方格中的格点相连，连线能够与该圆弧相切的格点有()A．1个B．2个C．3个D．4个5.如图，AP为⊙O的切线，P为切点，若∠A＝20°，C、D为圆周上两点，且∠PD C＝60°，则∠OBC等于( )A. 55°B. 65°C. 70°D. 75°6. 如图，在△MBC中，∠MBC＝90°，∠C＝60°，MB＝2 3，点A在MB上，以AB为直径作⊙O与MC相切于点D，则CD的长为()A. 2B. 3 C．2 D．37. 如图，在△ABC中，AB＝10，AC＝8，BC＝6，经过点C且与边AB相切的动圆与CA，CB分别相交于点P，Q，则线段PQ的最小值为()A．5 B．4 2 C．4.75 D．4.88. 一把直尺、含60°角的三角尺和光盘如图所示摆放，A为60°角与直尺的交点，AB＝3，则光盘的直径是()A．3 B．3 3 C．6 D．6 3二、填空题（本大题共8道小题）9. 直角三角形的两条直角边分别是5和12，则它的内切圆半径为.10. 如图，P A，PB是☉O的切线，A，B为切点，点C，D在☉O上.若∠P=102°，则∠A+∠C=.11. 设⊙O 的半径为3，点O 到直线l 的距离为d ，若直线l 与⊙O 至少有一个公共点，则d 的取值范围是________．12. 如图，AB是⊙O 的直径，⊙O 交BC 于点D ，DE ⊥AC ，垂足为E ，要使DE是⊙O 的切线，则图中的线段应满足的条件是____________．13. 如图，在△ABC 中，∠A ＝60°，BC ＝5 cm.能够将△ABC 完全覆盖的最小圆形纸片的直径是________cm.14. 已知l 1∥l 2，l 1，l 2之间的距离是3 cm ，圆心O 到直线l 1的距离是1 cm ，如果圆O 与直线l 1，l 2有三个公共点，那么圆O 的半径为________cm.15. 如图，AB 是⊙O的直径，OA ＝1，AC 是⊙O 的弦，过点C 的切线交AB 的延长线于点D.若BD ＝2－1，则∠ACD ＝________°.16. 如图所示，在半圆O 中，AB 是直径，D是半圆O 上一点，C 是AD ︵的中点，CE⊥AB于点E，过点D的切线交EC的延长线于点G，连接AD，分别交CE，CB于点P，Q，连接AC，有下列结论：①∠BAD＝∠ABC；②GP＝GD；③点P是△ACQ的外心．其中正确的结论是________(只需填写序号)．三、解答题（本大题共4道小题）17. 在△ABC中，AB＝AC＝10，BC＝16，⊙A的半径为7，判断⊙A与直线BC 的位置关系，并说明理由．18. 如图，AC是⊙O的直径，PA切⊙O于点A，PB切⊙O于点B，且∠APB＝60°.(1)求∠BAC的度数；(2)若PA＝1，求点O到弦AB的距离．19. 已知直线l与⊙O，AB是⊙O的直径，AD⊥l于点D.(1)如图①，当直线l与⊙O相切于点C时，求证：AC平分∠DAB；(2)如图②，当直线l与⊙O相交于点E，F时，求证：∠BAF＝∠DAE.20. 如图，直线AB经过⊙O上的点C，直线AO与⊙O交于点E和点D，OB与⊙O交于点F，连接DF，DC.已知OA＝OB，CA＝CB.(1)求证：直线AB是⊙O的切线；(2)求证：∠CDF＝∠EDC；(3)若DE＝10，DF＝8，求CD的长．人教版九年级数学24.2 点和圆、直线和圆的位置关系培优训练-答案一、选择题（本大题共8道小题）1. 【答案】B2. 【答案】D3. 【答案】B4. 【答案】C[解析] 如图，连接AB，BC，作AB，BC的垂直平分线，可得点A，B，C所在的圆的圆心为O′(2，0)．只有当∠O′BF＝∠O′BD＋∠DBF＝90°时，BF与圆相切，此时△BO′D≌△FBE，EF＝DB＝2，此时点F的坐标为(5，1)．作过点B，F的直线，直线BF经过格点(1，3)，(7，0)，此两点亦符合要求．即与点B的连线，能够与该圆弧相切的格点是(5，1)或(1，3)或(7，0)，共3个．5. 【答案】B【解析】连接OP ，如解图，则OP ⊥AP .∵∠D ＝60°，∴∠COP ＝120°，∵∠A ＝20°，∠APO ＝90°，∴∠AOP ＝70°，∴∠AOC ＝50°，∵OB ＝OC ，∴∠OBC ＝180°－50°2＝65°.解图6. 【答案】C[解析] 在Rt △BCM 中，∠MBC ＝90°，∠C ＝60°，∴∠BMC ＝30°，∴BC ＝12MC ，即MC ＝2BC.由勾股定理，得MC2＝BC2＋MB2.∵MB ＝2 3， ∴(2BC)2＝BC2＋12，∴BC ＝2.∵AB 为⊙O 的直径，且AB ⊥BC ，∴BC 为⊙O 的切线．又∵CD 也为⊙O 的切线，∴CD ＝BC ＝2.7. 【答案】D[解析] 如图，设PQ 的中点为F ，⊙F 与AB 的切点为D ，连接FD ，FC ，CD .∵AB ＝10，AC ＝8，BC ＝6， ∴∠ACB ＝90°， ∴PQ 为⊙F 的直径．∵⊙F 与AB 相切，∴FD ⊥AB ，FC ＋FD ＝PQ ，而FC ＋FD ≥CD ，∴当CD 为Rt △ABC 的斜边AB 上的高且点F 在CD 上时，PQ 有最小值，为CD 的长，即CD 为⊙F 的直径．∵S △ABC ＝12BC ·AC ＝12CD ·AB ，∴CD ＝4.8.故PQ 的最小值为4.8.8. 【答案】D[解析] 设光盘的圆心为O ，连接OA ，OB ，则OB⊥AB ，∠OAB ＝12×(180°－60°)＝60°. ∵AB ＝3，∴OA ＝6，OB ＝3 3， ∴光盘的直径是6 3.故选 D.二、填空题（本大题共8道小题）9. 【答案】2 [解析]直角三角形的斜边==13，所以它的内切圆半径==2.10. 【答案】219°[解析]连接AB ，∵P A ，PB 是☉O 的切线， ∴P A=PB. ∵∠P=102°，∴∠P AB=∠PBA=(180°-102°)=39°. ∵∠DAB +∠C=180°，∴∠P AD +∠C=∠P AB +∠DAB +∠C=180°+39°=219°.11. 【答案】0≤d≤312. 【答案】BD ＝CD或AB ＝AC (答案不唯一)[解析] (1)连接OD .要使DE 是⊙O 的切线，结合DE ⊥AC ，只需OD ∥AC ，根据O 是AB 的中点，只需BD ＝CD 即可；(2)根据(1)中探求的条件，要使BD ＝CD ，则连接AD ，由于∠ADB ＝90°，只需AB ＝AC ，根据等腰三角形的三线合一即可．13. 【答案】10 33 如图，能够将△ABC 完全覆盖的最小圆形纸片是△ABC 的外接圆⊙O.连接OB ，OC ，则∠BOC ＝2∠A ＝120°.过点O 作OD ⊥BC 于点D ，则∠BOD ＝12∠BOC ＝60°.∴∠OBD ＝30°，∴OB ＝2OD.由垂径定理，得BD ＝12BC ＝52 cm ，在Rt △BOD 中，由勾股定理，得OB2＝OD2＋BD2，即(2OD)2＝OD2＋(52)2，解得OD ＝56 3 cm.∴OB ＝5 33cm ，∴能够将△ABC 完全覆盖的最小圆形纸片的直径是10 33 cm.14. 【答案】2或4 [解析] 设圆O 的半径为r cm 如图①所示，r －1＝3，得r ＝4；如图②所示，r ＋1＝3，得r ＝2.15. 【答案】112.5 [解析] 如图，连接OC.∵CD 是⊙O 的切线，∴OC ⊥CD.∵BD ＝2－1，OA ＝OB ＝OC ＝1，∴OD ＝2，∴CD ＝OD2－OC2＝（2）2－12＝1，∴OC ＝CD ，∴∠DOC ＝45°.∵OA ＝OC ，∴∠OAC ＝∠OCA ，∴∠OCA ＝12∠DOC ＝22.5°，∴∠ACD ＝∠OCA ＋∠OCD ＝22.5°＋90°＝112.5°.16. 【答案】②③ [解析] ∵在半圆O 中，AB 是直径，D 是半圆O 上一点，C 是AD ︵的中点，∴AC ︵＝DC ︵，但不一定等于DB ︵，∴∠BAD 与∠ABC 不一定相等，故①错误．如图，连接OD ，则OD ⊥GD ，∠OAD ＝∠ODA .∵∠ODA ＋∠GDP ＝90°，∠OAD ＋∠GPD ＝∠OAD ＋∠APE ＝90°， ∴∠GPD ＝∠GDP ，∴GP ＝GD ，故②正确．补全⊙O ，延长CE 交⊙O 于点F .∵CE ⊥AB ，∴A 为FC ︵的中点，即AF ︵＝AC ︵.又∵C 为AD ︵的中点，∴CD ︵＝AC ︵，∴AF ︵＝CD ︵，∴∠CAP ＝∠ACP ，∴AP ＝CP .∵AB 为⊙O 的直径，∴∠ACQ ＝90°，∴∠ACP ＋∠PCQ ＝90°，∠CAP ＋∠PQC ＝90°，∴∠PCQ ＝∠PQC ，∴PC ＝PQ ，∴AP ＝PQ ，即P 为Rt △ACQ 的斜边AQ 的中点，∴点P 为Rt △ACQ 的外心，故③正确．三、解答题（本大题共4道小题）17. 【答案】解：⊙A 与直线BC 相交．理由：过点A 作AD ⊥BC 于点D ，则BD ＝CD ＝8.∵AB ＝AC ＝10，∴AD ＝6.∵6＜7，∴⊙A 与直线BC 相交．18. 【答案】解：(1)∵PA 切⊙O 于点A ，PB 切⊙O 于点B ，∴PA ＝PB ，∠PAC ＝90°.∵∠APB ＝60°，∴△APB 是等边三角形，∴∠BAP ＝60°，∴∠BAC ＝90°－∠BAP ＝30°.(2)过点O 作OD ⊥AB 于点D ，如图所示，则AD ＝BD ＝12AB.由(1)得△APB是等边三角形，∴AB＝PA＝1，∴AD＝1 2.在Rt△AOD中，∵∠BAC＝30°，∴OD＝12OA.由勾股定理，得OA2＝OD2＋AD2，即(2OD)2＝OD2＋(1 2)2，∴OD＝36，即点O到弦AB的距离为36.19. 【答案】证明：(1)如图①，连接OC.∵直线l与⊙O相切于点C，∴OC⊥l.又∵AD⊥l，∴AD∥OC，∴∠DAC＝∠ACO.∵OA＝OC，∴∠ACO＝∠CAO，∴∠DAC＝∠CAO，即AC平分∠DAB.(2)如图②，连接BF.∵AB是⊙O的直径，∴∠AFB＝90°，∴∠BAF＝90°－∠B.∵∠AEF＝∠ADE＋∠DAE＝90°＋∠DAE，又由圆内接四边形的性质，得∠AEF＋∠B＝180°，∴90°＋∠DAE＋∠B＝180°，∴∠DAE＝90°－∠B，∴∠BAF＝∠DAE.20. 【答案】解：(1)证明：如图，连接OC.∵OA＝OB，AC＝CB，∴OC⊥AB.又∵点C在⊙O上，∴直线AB是⊙O的切线．(2)证明：∵OA＝OB，AC＝CB，∴∠AOC＝∠BOC.∵OD＝OF，∴∠ODF＝∠OFD.∵∠AOB＝∠ODF＋∠OFD＝∠AOC＋∠BOC，∴∠BOC＝∠OFD，∴OC∥DF，∴∠CDF＝∠OCD.∵OD＝OC，∴∠ODC＝∠OCD，∴∠CDF＝∠EDC.(3)如图，过点O作ON⊥DF于点N，延长DF交AB于点M. ∵ON⊥DF，∴DN＝NF＝4.在Rt△ODN中，∵∠OND＝90°，OD＝5，DN＝4，∴ON＝OD2－DN2＝3.由(2)知OC∥DF，∴∠OCM＋∠CMN＝180°.由(1)知∠OCM＝90°，∴∠CMN＝90°＝∠OCM＝∠MNO，∴四边形OCMN是矩形，∴CM＝ON＝3，MN＝OC＝5.在Rt△CDM中，∵∠DMC＝90°，CM＝3，DM＝DN＋MN＝9，∴CD＝DM2＋CM2＝92＋32＝310.24.3正多边形和圆一、选择题1．如图，四边形ABCD是⊙O的内接四边形，AB为⊙0直径，点C为劣弧BD 的中点，若∠DAB=40°，则∠ABC=（）．A．140°B．40°C．70°D．50°2．如图，圆O是△ABC的外接圆，连接OA、OC，∠OAC＝20°，则∠ABC的度数为（）A．140°B．110°C．70°D．40°3．如图，已知△ABC为⊙O的内接三角形，AB＞AC．E为BAC的中点，过E 作EF⊥AB于F．若AF＝1，AC＝4，∠C＝60°，则⊙O的面积是（）A．8πB．10πC．12πD．18π4．如图，四边形ABCD 内接于O ，9AB =，15AD =，120BCD ∠=︒，弦AC 平分BAD ∠，则AC 的长是（）A ．73B ．83C ．12D ．135．如图，AB 为⊙O 的直径，点C 为圆上一点，∠BAC ＝20°，将劣弧AC 沿弦AC 所在的直线翻折，交AB 于点D ，则弧AD 的度数等于（）A ．40°B ．50C ．80°D ．1006．如图，等边△ABD 与等边△ACE ，连接BE 、CD ，BE 的延长线与CD 交于点F ，下列结论：（1）BE=CD ；（2）AF 平分∠EAC ；（3）∠BFD=60°；（4）AF+FD=BF 其中正确的有（）A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个7．正方形ABCD 中，对角线AC 、BD 交于O ，Q 为CD 上任意一点，AQ 交BD 于M ，过M作MN ⊥AM 交BC 于N ，连AN 、QN ．下列结论：①MA=MN ；②∠AQD=∠AQN ； ③S △AQN =12S 五边形ABNQD ；④QN 是以A 为圆心，以AB 为半径的圆的切线．其中正确的结论有（）A ．①②③④B ．只有①③④C ．只有②③④D ．只有①② 8．如图，在菱形ABCD 中，点P 是BC 边上一动点，连结AP ，AP 的垂直平分线交BD 于点G ，交 AP 于点E ，在P 点由B 点到C 点的运动过程中，∠APG 的大小变化情况是( )A ．变大B ．先变大后变小C ．先变小后变大D ．不变9．如图，矩形ABCD 为⊙O 的内接四边形，AB ＝2，BC ＝3，点E 为BC 上一点，且BE ＝1，延长AE 交⊙O 于点F ，则线段AF 的长为（）A ．755B ．5C ．5+1D ．35210．在四边形ABCD 中，M 、N 分别是CD 、BC 的中点，且AM ⊥CD ，AN ⊥BC ，已知∠MAN=74°，∠DBC=41°，则∠ADB 度数为（）．A ．15°B ．17°C ．16°D ．32°二、填空题11．如图，C 为半圆O 上一点，AB 为直径，且AB 2a =，COA 60∠=．延长AB 到P ，使1BP AB 2=，连CP 交半圆于D ，过P 作AP 的垂线交AD 的延长线于H ，则PH 的长度为________．12．如图，边长为4的正方形ABCD内接于⊙O，点E是弧AB上的一动点（不与点A、B重合），点F是弧BC上的一点，连接OE，OF，分别与交AB，BC于点G，H，且∠EOF=90°，连接GH，有下列结论：①弧AE=弧BF；②△OGH是等腰直角三角形；③四边形OGBH的面积随着点E位置的变化而变化；④△GBH周长的最小值为4+22．其中正确的是_____．（把你认为正确结论的序号都填上）13．如图，在Rt△ABC中，∠BAC＝90°，BC＝5，AB＝3，点D是线段BC上一动点，连接AD，以AD为边作△ADE∽△ABC，点N是AC的中点，连接NE，当线段NE最短时，线段CD的长为_____．14．如图，四边形ABCD内接于⊙O，∠1+∠2=64°，∠3+∠4=__________°.15．如图，边长一定的正方形ABCD，Q为CD上一个动点，AQ交BD于点M，过M作MN⊥AQ交BC于点N，作NP⊥BD于点P，连接NQ，下列结论：①AM＝MN；②MP＝12BD；③BN＋DQ＝NQ；④AB BNBM2是_____．三、解答题16．如图，四边形ABCD 是O 的内接四边形，42BC =，45BAC ∠=，75ABC ∠=，求AB 的长．17．如图，已知∠MON=120°，点A ，B 分别在OM ，ON 上，且OA =OB =a ，将射线OM 绕点O 逆时针旋转得到OM′，旋转角为α（0120α≤<︒︒且60α≠︒），作点A 关于直线OM′的对称点C ，画直线BC 交于OM′与点D ，连接AC ，AD ．有下列结论：有下列结论：①∠BDO + ∠ACD = 90°；②∠ACB 的大小不会随着a 的变化而变化；③当 30︒=α时，四边形OADC 为正方形；④ACD ∆23a ．其中正确的是________________．(把你认为正确结论的序号都填上） 18．我们定义：有一组邻边相等且有一组对角互补的凸四边形叫做等补四边形（1）概念理解①根据上述定义举一个等补四边形的例子：②如图1，四边形ABCD 中，对角线BD 平分∠ABC ，∠A +∠C ＝180°，求证：四边形ABCD是等补四边形（2）性质探究：③小明在探究时发现，由于等补四边形有一组对角互补，可得等补四边形的四个顶点共圆，如图2，等补四边形ABCD内接于⊙O，AB＝AD，则∠ACD∠ACB（填“＞”“＜”或“＝“）；④若将两条相等的邻边叫做等补四边形的“等边”，等边所夹的角叫做“等边角”，它所对的角叫做“等边补角”连接它们顶点的对角线叫做“等补对角线”，请用语言表述③中结论：（3）问题解决在等补四边形ABCD中，AB＝BC＝2，等边角∠ABC＝120°，等补对角线BD 与等边垂直，求CD的长．19．定义：在凸四边形中，我们把两组对边乘积的和等于对角线的乘积的四边形称为“完美四边形”（1）在正方形、矩形、菱形中，一定是“完美四边形”的是______．（2）如图1，在△ABC中，AB=2，BC=52，AC=3，D为平面内一点，以A、B、C、D四点为顶点构成的四边形为“完美四边形”，若DA，DC的长是关于x的一元二次方程x2-(m+3)x+14(5m2-2m+13)=0(其中m为常数)的两个根，求线段BD的长度．（3）如图2，在“完美四边形”EFGH中，∠F=90°，EF=6，FG=8，求“完美四边形”EFGH面积的最大值．20．如图，O 是ABC 的外接圆，ABC 的外角DAC ∠的平分线交O 于点E ，连接CE 、BE .（1）求证：BE CE =；（2）若60CAB ∠=︒，23BC =，求劣弧BC 的长度.21．（1）已知：如图1，AB 是O 的直径，点P 为O 上一点（且点P 不与A 、B 重合）连接PA ，PB ，APB ∠的角平分线PC 交O 于点C ． ①若86PA PB ==，，求AB 的长 ②求证：2PA PB PC +=（2）如图2，在正方形ABCD 中，52AB 2=，若点P 满足3PC =，且90APC ∠=︒，请直接写出点B 到AP 的距离.22．如图(1) ，折叠平行四边形ABCD ，使得,B D 分别落在,BC CD 边上的,B D ''点，,AE AF 为折痕(1)若AE AF =，证明:平行四边形ABCD 是菱形; (2)若110BCD ︒∠= ，求B AD ''∠的大小;(3)如图(2) ，以,AE AF 为邻边作平行四边形AEGF ，若AE EC =，求CGE ∠的大小23．在平面直角坐标系xOy 中，已知(0,2)A ，动点P 在3y x =的图像上运动（不与O 重合），连接AP ，过点P 作PQ AP ⊥，交x 轴于点Q ，连接AQ ．（1）求线段AP 长度的取值范围；（2）试问：点P 运动过程中，QAP ∠是否问定值？如果是，求出该值；如果不是，请说明理由．（3）当OPQ ∆为等腰三角形时，求点Q 的坐标．【参考答案】1．C 2．B 3．C 4．B 5．D 6．C 7．A 8．D 9．A 10．C 113 12．①②④ 13．411014．64 15．①②③④ 16．317．①②④18．（1）①正方形；②略；（2）③＝；④等补四边形的“等补对角线”平分“等边补角”；（3）CD 的值为2或4． 19．（1）正方形、矩形；（2）3；（3）49． 20．（1）略；（2）43π21．（1）①10AB =，②略；（2）72或12 22．（1）略；（2）30°；（3）45°.23．（1）3AP ≥；（2）QAP ∠为定值，QAP ∠=30°；（3）1(234,0)Q +，2(234,0)Q -，3(23,0)Q -，423(,0)3Q24.4 弧长和扇形面积一、选择题（本题共计 10 小题，每题 3 分，共计30分，） 1. 如图是一圆锥的侧面展开图，其弧长为，则该圆锥的全面积为A.B.C.D.2. 一扇形面积是，半径为，则该扇形圆心角度数是（） A.B.C.D.3. 圆锥的底面半径为，母线长为，则该圆锥的侧面积为（） A.B.C.D.4. 如图，在边长为的正方形内部，以各边为直径画四个半圆，则图中阴影部分的面积是（）A. B. C. D.5. 如果圆柱的底面直径为，母线长为，那么圆柱的侧面展开图的面积等于（）A. B. C. D.6. 一个扇形占其所在圆的面积的，则该扇形圆心角是（）A. B. C. D.无法计算7. 如图，圆锥的底面半径，高，则这个圆锥的侧面展开图的圆心角是（）A. B. C. D.8. 一个圆锥的底面圆的周长是，母线长是，它的侧面展开图的圆心角的度数是（）A. B. C. D.9. 已知一个圆锥的侧面积是，它的侧面展开图圆心角为，则这个圆锥的底面半径为A. B. C. D.10. 如图，边长为米的正方形池塘的周围是草地，池塘边、、、处各有一棵树，且米．现用长米的绳子将一头羊拴在其中的一棵树上．为了使羊在草地上活动区域的面积最大，应将绳子拴在（）A.处B.处C.处D.处二、填空题（本题共计10 小题，每题3 分，共计30分，）11. 如果圆柱的母线长为，底面半径为，那么这个圆柱的侧面积是________．12. 一个圆锥的侧面展开图是一个圆心角为，面积为的扇形，则这个圆锥的高是________．13. 一个圆柱体底面积直径是高的倍，如果底面积半径是分米，则它的表面积是________平方分米．14. 一个扇形的圆心角是，面积为，那么这个扇形的弧长为________．15. 用一个圆心角为的扇形作一个圆锥的侧面，若这个圆锥的底面半径恰好等于，则这个圆锥的母线长为________．16. 已知圆锥的底面周长为，母线长为，那么这个圆锥的侧面积是________（结果保留）．17. 如图，已知的半径，弦，且，点在上，则图中的阴影部分的面积是________．18. 如图，为的弦，点为的中点，，当点、在上运动一周时，点所走过的路径与围成的图形面积是________．19. 如图所示，已知的半径，，则所对的弧的长为________．20. 现有圆周的一个扇形彩纸片，该扇形的半径为，小红同学为了在“六一”儿童节联欢晚会上表演节目，她打算剪去部分扇形纸片后，利用剩下的纸片制作成一个底面半径为的圆锥形纸帽（接缝处不重叠），那么剪去的扇形纸片的圆心角为________．三、解答题（本题共计6 小题，共计60分，）21. 如图，扇形的圆心角，半径，若将此扇形围成一个圆锥的侧面，求圆锥的底面面积的半径．22. 如图，圆锥的底面半径为，高为，求这个圆锥的侧面积和表面积．23. 如图，圆锥的底面半径，高．求这个圆锥的表面积．取24. 如图，在中，，，以腰为直径作半圆，分别交，于点，．求，的长．25. 有一直径为圆形纸片，从中剪出一个圆心角是的最大扇形（如图所示）．（1）求阴影部分的面积（2）用所剪的扇形纸片围城一个圆锥，该圆锥的底面圆的半径是多少？26. 如图，一个圆锥的高为，侧面展开图是半圆．求圆锥的母线长与底面半径之比；求的度数；求圆锥的侧面积（结果保留）．参考答案与试题解析一、选择题（本题共计10 小题，每题 3 分，共计30分）1.【答案】B【解答】解：设圆锥的底面圆的半径为，扇形的半径为，根据题意得，解得，，解得，所以该圆锥的全面积．故选．2.【答案】A【解答】解：设扇形圆心角的度数为，∴，∴．即扇形圆心角度数为．故选．3.【答案】C【解答】圆锥的侧面展开图为扇形，由扇形面积公式可以得出此圆锥侧面积为：＝．4.【答案】D【解答】解：如图所示，．故选．5.【答案】A【解答】解：圆柱的侧面积，故选．6.【答案】B【解答】解：∵一个扇形占其所在圆的面积的，∴该扇形的圆心角占它所在圆的圆心角的，即．故选．7.【答案】C【解答】解：圆锥的母线长，设这个圆锥的侧面展开图的圆心角为，根据题意得，解得，即这个圆锥的侧面展开图的圆心角为．故选．8.【答案】C【解答】解：圆锥侧面展开图的扇形面积半径为，弧长为，代入扇形弧长公式，即，解得，即扇形圆心角为度．故选．9.【答案】【解答】此题暂无解答10.【答案】B【解答】解：①；②；③；④，故选二、填空题（本题共计10 小题，每题 3 分，共计30分）11.【答案】【解答】解：这个圆柱的侧面积．故答案为：．12.【答案】【解答】解：设母线长为，底面圆的半径为，，解得：，底面圆的周长为：，解得：，∴这个圆锥的高是：．故答案为：．13.【答案】【解答】解：∵一个圆柱体底面直径是高的倍，如果底面半径是分米，∴高为分米，底面周长为：（分米），则其侧面积为：（平方分米），上下两底面积为：（平方分米）．故它的表面积是：平方分米．14.【答案】【解答】解：设这个扇形的半径是．根据扇形面积公式，得，解得（负值舍去）．故半径为．弧长是：．故答案为．15.【答案】【解答】解：设圆锥的母线长为，根据题意得：，解得：.故答案为：.16.【答案】【解答】解：圆锥的侧面积．17.【答案】【解答】解：连接，，∵，∴，∵，∴是等边三角形，∴，，∴，故答案为：．18.【答案】【解答】解：如图，连接、，点所走过的路径为小圆，∵点为的中点，，∴，且，∴点所走过的路径与围成的图形面积是，故答案为：．19.【答案】【解答】解：所对的弧的长，故答案为：．20.【答案】【解答】解：解得：，∵扇形彩纸片是圆周，因而圆心角是∴剪去的扇形纸片的圆心角为．剪去的扇形纸片的圆心角为．故答案为．三、解答题（本题共计 6 小题，每题10 分，共计60分）21.【答案】圆锥的底面圆的半径为．【解答】解：设圆锥的底面圆的半径为，根据题意得，解得．22.【答案】解：∵圆锥的底面半径为，高为，∴圆锥的母线长为，∴.∵圆锥的底面积，∴．【解答】解：∵圆锥的底面半径为，高为，∴圆锥的母线长为，∴.∵圆锥的底面积，∴．23.【答案】解：在中，，，由勾股定理知，侧面积，底面积，∴圆锥的表面积．【解答】解：在中，，，由勾股定理知，侧面积，底面积，∴圆锥的表面积．24.【答案】解：连接，∵，，∴，∴的长，连接、，∵为圆的直径，∴，又，∴，∴，∴的长．【解答】解：连接，∵，，∴，∴的长，连接、，∵为圆的直径，∴，又，∴，∴，∴的长．25.【答案】解：（1）连接，，∵，，∴是圆的直径，，∵圆的直径为，则，故．∴阴影；（2）的长，则，解得：．故该圆锥的底面圆的半径是．【解答】解：（1）连接，，∵，，∴是圆的直径，，∵圆的直径为，则，故．∴阴影；（2）的长，则，解得：．故该圆锥的底面圆的半径是．26.【答案】解：设此圆锥的高为，底面半径为，母线长，∵，∴；由中图所示，∵，，∴，，∴，同理,则；由中图可知，，∴，即，解得，∴，∴圆锥的侧面积为．【解答】解：设此圆锥的高为，底面半径为，母线长，∵，∴；由中图所示，∵，，∴，，∴，同理,则；由中图可知，，∴，即，解得，∴，∴圆锥的侧面积为．。

九年级下册数学课件(沪科版)圆周角定理及推论

四边形ABCD的对角线，完成下列填空：
∠1= ∠4 .
D
∠2= ∠8 .
78
∠3= ∠6 . ∠5= ∠7 .
A1 2 34
(
O
6 5
C
B
D 思考：如图，AC是圆O的直径，
则∠ADC = 90°， ∠ABC= 90°.
A
O
C
B
推论2：半圆或直径所对的圆周角是直角；90°的圆周角所对的弦是直径.
例2 如图，AB为⊙O的直径，弦CD交AB于点P，∠ACD = 60°，∠ADC=70°. 求∠APC的度数.
任意两点，连接AB，AC，BD，CD.∠BAC与∠BDC相
等吗？请说明理由.
相等，∵ BAC 1 BOC，
D
2
BDC 1 BOC， 2
∴∠BAC=∠BDC.
问题2 如图，若 CD EF，∠A与∠B相等吗？
相等，
AB
CD EF，COD EOF.
A 1 COD，B 1 EOF，
证明：∵ ACB 1 AOB， 2
BAC 1 BOC， 2
∠AOB=2∠BOC，
A
O C
∴∠ACB=2∠BAC.
B
7. 如图，在△ABC中，AB=AC，以AB为直径的圆交
BC于D，交AC于E.
(1) BD与CD的大小有什么关系?为什么?
解：BD=CD. 理由如下：连接AD，
A
∵AB是圆的直径，点D在圆上，
解：连接BC，则∠ACB=90°，
∠DCB =∠ACB－∠ACD = 90°－60°=30°.
A 又∵∠BAD=∠DCB=30°， ∴∠APC =∠BAD +∠ADC =30°+70°=100°.

2圆周角第1课时圆周角定理课件沪科版九年级数学下册

A.30°
B.40°
C.50°
D.60°
学习目标
自主学习
合作探究
当堂检测
课堂总结
(
5.如图,四边形ABCD的四个顶点在☉O上,AB为☉O的直径,C为 BD 的中点. 若∠A=40°,则∠B= 70° .
学习目标
自主学习
合作探究
当堂检测
课堂总结
定理：一条弧都所对的圆周角等于等于它所对的圆心角的一半．
应用格式： ∵AB是直径，∴∠AC1B=90°. ∵∠AC1B=90°，∴AB是直径.
C1
C2
C3
习
合作探究
当堂检测
课堂总结
1.下列图形中的角是圆周角的有( B )
A.0个
B.1个
C.2个
D.3个
学习目标
自主学习
合作探究
当堂检测
课堂总结
2.如图,点A,B,C在☉O上,若∠ACB=35°,则∠AOB的度数是( B )
推论1：在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，相等的圆周角所对的弧也相等. 推论2：半圆或直径所对的圆周角是直角；90°的圆周角所对的弦是直径.
A.75°
B.70°
C.65°
D.35°
(
3.如图,点A,B,C,D在☉O上,若∠AOC=140°,B是 AC 的中点,
则∠D的度数( D )
A.70°
B.55°
C.35.5° D.35°
学习目标
自主学习
合作探究
当堂检测
课堂总结
4.如图,在☉O中,点A,B,C在圆上,若∠OAB=50°,则∠C的度数为( B )
课堂总结
复习： O.
1.什么叫圆心角?

九年级数学下册第24章圆 24.3 圆周角 23.3.1 圆周角定理及其推论同步练习(含解析)

第1课时圆周角定理及其推论知识点 1 圆周角的定义1．下列四个图中，∠α是圆周角的是()ABCD图24－3－1知识点 2 圆周角定理2．如图24－3－2，CD是⊙O的直径，圆周角∠C和圆心角∠AOB所对的弧都是________，∵OA＝OC，∴∠A＝________，∴∠AOB＝______∠C.图24－3－23．如图24－3－3，点A，B，C在⊙O上，∠AOB＝72°，则∠ACB的度数为()图24－3－3A. 28° B．54°C．18° D．36°4．如图24－3－4，△ABC是⊙O的内接三角形，连接OB，OC，若∠BAC和∠BOC互补，则∠BAC的度数是()图24－3－4A．40° B．50°C．60° D．70°5．如图24－3－5，在⊙O中，弦AC＝2 3，B是圆上一点，且∠ABC＝45°，则⊙O的半径R＝________．图24－3－56．2018·某某如图24－3－6，点A，B，C都在⊙O上，OC⊥OB，点A在劣弧BC上，且OA＝AB，则∠ABC＝________°.图24－3－6知识点 3 圆周角定理的推论7．如图24－3－7，AB是⊙O的直径，C是⊙O上异于A，B的一点，∠B＝30°，则∠A 的度数为()图24－3－7A．40° B．50° C．60° D．70°8．2018·某某如图24－3－8，AB为⊙O的直径，CD是⊙O的弦，∠ADC＝35°，则∠CAB 的度数为()图24－3－8A ．35°B ．45°C ．55°D ．65°9．如图24－3－9，已知AB 是⊙O 的弦，半径OC 垂直于AB ，D 是⊙O 上一点，且点D 与点C 位于弦AB 的两侧，连接AD ，CD ，OB ，若∠BOC ＝70°，则∠ADC ＝________°.图24－3－910．如图24－3－10，在⊙O 中，AB ︵＝CD ︵，AB 与CD 相交于点E ，∠DCB ＝28°，求∠AEC 的度数．图24－3－1011．2017·贵港如图24－3－11，A ，B ，C ，D 是⊙O 上的四个点，B 是AC ︵的中点，M 是半径OD 上任意一点．若∠BDC ＝40°，则∠AMB 的度数不可能是()图24－3－11A ．45°B ．60°C ．75°D ．85°12．如图24－3－12，⊙O 的直径BD ＝4，∠A ＝60°，则BC 的长为()图24－3－12A. 3 B ．2 C ．2 3 D ．4 313．2018·某某如图24－3－13，已知⊙O 的半径为5，弦AB ，CD 所对的圆心角分别是∠AOB ，∠COD ，若∠AOB 与∠COD 互补，弦CD ＝6，则弦AB 的长为()图24－3－13A ．6B ．8C ．5 2D ．5 314．2017·如图24－3－14，AB 为⊙O 的直径，C ，D 为⊙O 上的点，AD ︵＝CD ︵，若∠CAB ＝40°，则∠CAD ＝________°.图24－3－1415．2017·某某如图24－3－15，△ABC 内接于⊙O ，∠ACB ＝90°，∠ACB 的平分线交⊙O 于点D .若AC ＝6，BD ＝5 2，则BC 的长为________．图24－3－1516．如图24－3－16，半径为5的⊙A 经过原点O 和点C (0，4)，B 是⊙A 上一点，则tan ∠OBC 为________．图24－3－1617．如图24－3－17，已知AB是⊙O的直径，弦CD⊥AB，垂足为E，连接AD，AB＝9，AD＝6，求弦CD的长．图24－3－1718．如图24－3－18，以⊙O的直径BC为一边作等边三角形ABC，交⊙O于点D，E.求证：BD＝DE＝EC.图24－3－1819．如图24－3－19，△ABC 内接于⊙O ，已知AB ＝c ，BC ＝a ，AC ＝b ，⊙O 的半径为R . (1)求证：a sin A ＝b sin B ＝csin C ＝2R ；(2)若a ＝5，∠A ＝60°，求⊙O 的半径R .图24－3－19教师详解详析1．C [解析] 根据圆周角的定义：顶点在圆上，并且两边都与圆还有另一个公共点的角叫做圆周角，即可求得答案．2.AB ︵∠C2 3．D4．C [解析] ∵∠BAC 和∠BOC 互补，∠BOC ＝2∠BAC ，∴∠BAC ＋2∠BAC ＝180°，∴∠BAC ＝60°.故选C .5.6[解析] ∵∠ABC ＝45°，∴∠O ＝90°， ∴AC 2＝AO 2＋CO 2，∴(23)2＝R 2＋R 2，解得R ＝ 6.6．15[解析] ∵OA ＝OB ，OA ＝AB ，∴OA ＝OB ＝AB ，即△OAB 是等边三角形，∴∠AOB ＝60°.∵OC ⊥OB ，∴∠COB ＝90°，∴∠COA ＝90°－60°＝30°，∴∠ABC ＝15°.7．C [解析] ∵AB 是⊙O 的直径，∴∠C ＝90°.又∵∠B ＝30°，∴∠A ＝60°.故选C .8．C [解析] 由圆周角定理得∠ABC ＝∠ADC ＝35°，∵AB 为⊙O 的直径，∴∠ACB ＝90°，∴∠CAB ＝90°－∠ABC ＝55°.故选C .9．35[解析] 连接OA.∵OC ⊥AB ，∴AC ︵＝BC ︵， ∴∠AOC ＝∠BOC ，∴∠ADC ＝12∠BOC ＝35°.10．解：∵AB ︵＝CD ︵，∴AB ︵－BC ︵＝CD ︵－BC ︵，即AC ︵＝BD ︵，∴∠ABC ＝∠DCB ＝28°， ∴∠AEC ＝∠ABC ＋∠DCB ＝56°.11．D [解析] ∵B 是AC ︵的中点，∴∠ADB ＝∠BDC ＝40°，∠AOB ＝2∠BDC ＝80°.又∵M 是OD 上一点，∴∠ADB ＝40°≤∠AMB ≤∠AOB ＝80°.则不符合条件的只有85°.12．C [解析] ∵BD 为⊙O 的直径，∴∠BCD ＝90°. ∵∠D ＝∠A ＝60°，∴sin D ＝sin 60°＝BC4，∴BC ＝4×32＝2 3. 13．B [解析] 如图，延长AO 交⊙O 于点E ，连接BE ，则∠AOB ＋∠BOE ＝180°. 又∵∠AOB ＋∠COD ＝180°， ∴∠BOE ＝∠COD ，∴BE ＝CD ＝6. ∵AE 为⊙O 的直径，∴∠ABE ＝90°， ∴AB ＝AE 2－BE 2＝102－62＝8.14．25[解析] 连接CB ，BD.∵AB 是⊙O 的直径，C ，D 为⊙O 上的点，∴∠ACB ＝90°.∵∠CAB ＝40°，∴∠CBA ＝50°，∴∠CBD ＝∠DBA ＝12∠CBA ＝25°，∴∠CAD ＝∠CBD ＝25°.15．8[解析] 连接AD ，∵∠ACB ＝90°， ∴AB 是⊙O 的直径．∵∠ACB 的平分线交⊙O 于点D ， ∴∠ACD ＝∠BCD ＝45°，∴AD ＝BD ＝5 2. ∵AB 是⊙O 的直径，∴△ABD 是等腰直角三角形，∴AB ＝10， ∴BC ＝102－62＝8.16.2 2121[解析] 作直径CD ，在Rt △OCD 中，CD ＝10，OC ＝4，∴OD ＝102－42＝2 21，∴tan ∠OBC ＝tan ∠ODC ＝42 21＝2 2121.17．解：连接BD ，则∠ADB ＝90°. ∵AB ＝9，AD ＝6，∴BD ＝3 5. ∵sin A ＝BD AB ＝DEAD ，∴DE ＝2 5.∴CD ＝2DE ＝4 5.18．证明：如图，连接CD ，BE. ∵BC 是⊙O 的直径， ∴∠BDC ＝∠BEC ＝90°. ∵△ABC 是等边三角形， ∴∠ABC ＝∠ACB ＝60°， ∴∠DCB ＝∠EBC ＝30°， ∴∠DCE ＝30°， ∴∠DCB ＝∠DCE ＝∠EBC ， ∴BD ︵＝DE ︵＝EC ︵，∴BD ＝DE ＝EC.19．解：(1)证明：如图，作直径BD ，连接CD.∵BD 是⊙O 的直径，∴∠BCD 是直角，∴sin D ＝BCBD.∵∠D ＝∠A ，BC ＝a ，BD ＝2R ，∴asin A＝2R.同理，作直径CE ，可得bsin B ＝2R ，作直径AF ，可得c sin C ＝2R ，∴a sin A ＝b sin B ＝csin C＝2R. (2)由(1)知，asin A＝2R ，当a ＝5，∠A ＝60°时，2R ＝5sin 60°，∴R ＝5 33.。

九年级数学下册第24章圆24.3圆周角23.3.2圆内接四边形同步练习含解析沪科版

第 2 课时圆内接四边形知识点 1 圆内接多边形的看法1．以下说法正确的选项是 ( )A ．圆内接四边形是指四个极点都在这个圆内的四边形B ．圆内接多边形的各个极点在圆上或圆内C ．经过四边形各个极点的圆叫做这个四边形的内接圆D ．圆内接五边形是指五个极点都在这个圆上的五边形 2．以下多边形必定有外接圆的是 ( )A ．平行四边形B ．三角形C ．五边形D．六边形2圆内接四边形的性质24－ 3－ 20，四边形 ABCD 是⊙ O 的内接四边形，若∠ A ＝ 70°，则∠ C 的度数是(图 24－ 3－20B ． 110°D． 130°4．如图 24－3－ 21，四边形 ABCD 是圆内接四边形， E 是 BC 的延长线上一点，若∠ BAD＝ 105°，则∠ DCE 的度数是 ()图 24－ 3－ 21A ． 115°B．105°C ． 100° D．95°5．2018·邵阳如图 24－ 3－ 22 所示，四边形为⊙ O 的内接四边形， ∠＝ 120°，ABCDBCD则∠ BOD 的度数是 ()图 24－ 3－22A ． 80°B ． 120°C ． 100°D．90°6．2017·广东如图 24－3－ 23，四边形 ABCD 内接于⊙ O ，DA ＝ DC ，∠ CBE ＝50°，则∠DAC A ． 100°C ． 120°知识点 3．如图)图 24－ 3－23 A． 130°B．100°C． 65°D．50°7．教材例 2 变式如图 24－ 3－ 24，在圆内接四边形ABCD中，若∠ A，∠ B，∠ C的度数之比为 4∶ 3∶ 5，则∠D的度数是 ________．图 24－ 3－248．如图 24－ 3－ 25，圆内接四边形ABCD的两组对边的延长线分别订交于点E，F，若∠ A＝55°，∠E＝ 30°，则∠F＝ ________° .图 24－ 3－259．教材练习第 1 题变式如图24－3－26，四边形ABCD是⊙ O的内接四边形，若∠ABO ＋∠ ADO＝50°，则∠ BCD的度数是________．图 24－ 3－2610．教材习题 24.3 第 10 题变式已知：如图 24－ 3－ 27，⊙O1和⊙O2订交于A，B两点，经过点 A 的直线 CD与⊙ O1交于点 C、与⊙ O2交于点 D，经过点 B 的直线 EF与⊙ O1交于点 E、与⊙ O2交于点 F，连接 CE，DF.若∠ C＝110°，则∠ D的度数为________．图 24－ 3－2711．如图 24－ 3－ 28，四边形ABCD是圆内接四边形，AD，BC的延长线订交于点P，∠APB的均分线交 CD于点 E，交 AB于点 F.求证：∠ CEF＝∠ BFE.图 24－ 3－2812．如图 24－ 3－ 29，在圆内接四边形ABCD中， AD与 BC的延长线订交于点P，BD与 AC 订交于点 E.则图中的相似三角形有()图 24－ 3－29A．5 对B．4对C．3 对D．2对13．已知△ABC内接于⊙O，OD⊥AC于点D，假如∠COD＝ 32°，那么∠B的度数为 ()A． 16°B． 32°C． 16°或 164° D ．32°或 148°14．教材练习第 2 题变式如图 24－3－ 30，四边形内接于⊙，是⊙O 的直径，ABCD O BCAD∥ BC， AC与 BD订交于点 P，若∠ ABD＝70°，则∠ ADC的度数是________．图 24－ 3－ 30︵︵15． 2017·盐城如图24－3－31，将⊙ O沿弦AB折叠，点C在 AmB上，点 D在AB上，若∠ACB＝70°，则∠ ADB＝________°.图 24－ 3－3116． 2017·凉山州如图24－3－32，已知四边形ABCD内接于半径为4 的⊙O中，且∠C ＝2∠A，则BD＝ ________．图 24－ 3－ 3217．如图 24－ 3－ 33，四边形ABCD内接于⊙ O，点 P在 BC的延长线上，且PD∥ AC.求证： PC·AB＝ AD·CD.图 24－ 3－3318．如图 24－ 3－ 34，⊙C经过坐标原点，且与两坐标轴分别交于点 A 与点 B，点 A 的坐标为 (0 ， 4) ，M是圆上一点，∠BMO＝120°.求⊙ C的半径及圆心C的坐标．图 24－ 3－3419．如图 24－ 3－ 35，在△ABC中，∠C＝ 60°，以AB为直径的⊙O分别交AC，BC于点D，E，已知⊙ O的半径为2 3.(1) 求证：△CDE∽△CBA；(2)求 DE的长．图 24－ 3－3520．如图 24－ 3－ 36，AB是⊙O的直径，D，E为⊙O上位于AB异侧的两点，连接BD并延长至点 C，使得 CD＝ BD，连接 AC交⊙ O于点 F，连接 AE， DE， DF.(1) 求证：∠E＝∠C；(2) 若∠E＝55°，求∠BDF的度数；2︵(3)设 DE交 AB于点 G，若 DF＝4，cos B＝3， E是 AB的中点，求 EG· ED的值．图 24－ 3－36教师详解详析1．D2．B3．B[解析]依据圆内接四边形的对角互补，可得∠C＝ 180°－∠ A＝ 110°.4．B[解析]因为四边形 ABCD是圆内接四边形， E 是 BC延长线上一点，因此∠DCE是圆内接四边形 ABCD的外角，因此∠ DCE＝ 180°－∠ BCD＝∠ BAD＝ 105° .5．B[解析 ]∵四边形 ABCD为⊙ O的内接四边形，∴∠ A＝ 180°－∠ BCD＝ 60°，由圆周角定理得∠ BOD＝ 2∠ A＝ 120° .6．C1 [解析]∵∠ CBE＝ 50°，∴∠ D＝∠ CBE＝ 50° . ∵ DA＝ DC，∴∠ DAC＝∠ DCA＝2×(180 °－ 50° ) ＝ 65° .7． 120° [ 解析 ] ∵∠ A，∠ B，∠ C 的度数之比为4∶ 3∶ 5，∴设∠ A＝ 4x，则∠ B＝ 3x，∠ C＝ 5x.∵四边形ABCD是圆内接四边形，∴∠ A＋∠ C＝ 180°，即 4x＋5x＝ 180°，解得 x＝ 20°，∴∠ B＝ 3x＝60°，∴∠ D＝ 180°－ 60°＝ 120°.8． 409．130° [ 解析 ] 连接 AO，则∠ ABO＝∠ BAO，∠ ADO＝∠ DAO，∴∠ BAD＝∠ BAO＋∠DAO ＝∠ ABO＋∠ ADO＝ 50°，∴∠ BCD＝180°－ 50°＝ 130° .10． 70°[ 解析 ]连接AB，则∠ ABF＝∠ C＝110°，∴∠ D＝180°－110°＝70° .11．证明：∵ PF 均分∠ APB，∴∠ APF＝∠ BPE.又∵∠ CEF＝∠ ECP＋∠ BPE，∠ BFE＝∠ A＋∠ APF，∠ A＝∠ ECP，∴∠ CEF＝∠ BFE.12．B[ 解析 ]∵∠ BAE＝∠ CDE，∠ ABE＝∠ DCE，∴△ ABE∽△ DCE.∵∠ DAE＝∠ CBE，∠ ADE＝∠ BCE，∴△ ADE∽△ BCE.∵∠ P＝∠ P，∠ PAC＝∠ PBD，∴△ PAC∽△ PBD.∵∠ P＝∠ P，∠ PDC＝∠ PBA，∴△ PDC∽△ PBA.应选 B.13．D[ 解析 ]如图，∵△ OAC是等腰三角形，OD⊥ AC，∴ OD是∠ AOC的均分线，∴∠AOC＝ 2∠ COD＝ 64° .1①当点 B 在优弧 AC上时，由圆周角定理知，∠B＝2∠ AOC＝ 32°；②当点 B在如图点 E的地点时，由圆内接四边形的对角互补知，∠ E＝180°－∠ B＝148°.应选 D.14．100° [ 解析 ] 因为夹在两条平行弦之间的弧相等，∴∠ PBC ＝∠ PCB.又∵ BC 是⊙ O的直径，∠ ABD ＝ 70°，∴∠ APB ＝ 20°，则∠ PBC ＝∠ PCB ＝ 1∠ APB ＝ 10°，∴∠ ABC ＝80°， 2 ∴∠ ADC ＝ 100°.15．110 [ 解析 ] 如图，设点 D ′是点 D 折叠前的地点，连接 AD ′， BD ′，则∠ ADB ＝∠ AD ′B. 在圆内接四边形 ACBD ′中，∠ ACB ＋∠ AD ′B ＝ 180°，因此∠ AD ′B ＝ 180°－ 70°＝110°，因此∠ ADB ＝ 110° .16． 4 3 [ 解析 ] 连接 OD ， OB ，过点 O 作 OF ⊥ BD ，垂足为 F.∵ OF ⊥ BD ，∴ DF ＝ BF ，∠ DOF ＝∠ BOF. ∵四边形 ABCD 内接于⊙ O ， ∴∠ A ＋∠ C ＝ 180° .∵∠ C ＝ 2∠A ，∴∠ A ＝ 60°， ∴∠ BOD ＝ 120°，∴∠ BOF ＝60° .∵ OB ＝ 4，∴ BF ＝OB · sin ∠ BOF ＝ 4× sin 60°＝ 2 3， ∴ BD ＝ 2BF ＝ 4 3. 17．证明：连接 BD.∵四边形 ABCD 内接于⊙ O ， ∴∠ PCD ＝∠ DAB.又∵ PD ∥ AC ，∴∠ P ＝∠ ACB ＝∠ BDA ， ∴△ DPC ∽△ BDA ，∴ PC ∶ AD ＝CD ∶ AB ，即 PC ·AB ＝AD ·CD.18．解：∵∠ AOB ＝ 90°，∴ AB 为⊙ C 的直径．∵四边形 AOMB 是圆内接四边形，∠ BMO ＝ 120°，依据圆内接四边形的对角互补获得∠ OAB ＝ 60°，∴∠ ABO ＝ 30° .∵点 A 的坐标为 (0 ，4) ，∴ OA ＝ 4，∴ AB ＝ 2OA ＝ 8，∴⊙ C 的半径为 4. 由勾股定理得 BO ＝ 4 3.如图，过点 C 作 CE⊥ y 轴，垂足为E，依据三角形的中位线定理得CE＝1BO＝ 23， AE2＝ OE＝2，∴圆心 C的坐标为 (－23，2) ．19．解： (1) 证明：∵四边形ABED为⊙ O的内接四边形，∴∠ CED＝∠ A( 或∠ CDE＝∠ B)．又∵∠ C＝∠ C，∴△ CDE∽△ CBA.(2)方法 1：连接 AE.DE CE由(1)得＝ .AB AC∵AB 是⊙ O的直径，∴∠AEB＝∠ AEC＝ 90° .在 Rt△AEC中，∵∠C＝60°，∴∠CAE＝30°，DE CE1∴ ＝＝，∴ DE＝2 3.AB AC2方法 2：连接 DO， EO.∵AO＝ DO＝EO＝ BO，∴∠ CAB＝∠ ODA，∠ B＝∠ OEB.∵∠ A＋∠ B＝ 180°－∠ C＝ 120°，∴∠ ODA＋∠ OEB＝ 120° .∵∠ A＋∠ B＋∠ ADE＋∠ DEB＝ 360°，∴∠ ODE＋∠ OED＝ 360°－∠ A－∠ B－∠ ODA－∠ OEB＝ 360°－ 120°－ 120°＝ 120°，∴∠ DOE＝ 60°，∴△ ODE为等边三角形，∴DE＝ OB＝2 3.20．解： (1) 证明：如图，连接AD，∵AB 是⊙O的直径，∴∠ ADB＝ 90°，即 AD⊥ BC.又∵ CD＝ BD，∴AD垂直均分 BC，∴AB＝ AC，∴∠ B＝∠ C.又∵∠ B＝∠ E，∴∠ E＝∠ C.(2)∵四边形 AEDF是⊙ O的内接四边形，∴∠ AFD＝ 180°－∠ E＝ 125°，∴∠ CFD＝ 180°－∠ AFD＝ 55°，∴∠ CFD＝∠ E.又∵∠ E ＝∠ C ＝ 55°，∴∠ BDF ＝∠ C ＋∠ CFD ＝ 110° .(3) 如图，连接 OE ， ∵∠CFD ＝∠ AED ＝∠ C ，∴ BD ＝ CD ＝DF ＝ 4.2 ∵在 Rt △ ABD 中， cos B ＝， BD ＝ 4，3∴ AB ＝ 6.︵∵ E 是 AB 的中点， AB 是⊙ O 的直径，∴∠ AOE ＝ 90° .1∵ AO ＝ OE ＝2AB ＝ 3，∴ AE ＝3 2.︵∵ E 是 AB 的中点，∴∠ ADE ＝∠ EAB ，又∠ AEG ＝∠ DEA ， ∴△ AEG ∽△ DEA ，AE ED ∴ EG ＝ AE ，即 EG ·ED ＝ AE 2＝ 18.。

九年级数学下册第24章圆24.3圆周角第1课时圆周角定理及推论练习沪科版

第1课时圆周角定理及推论1.如图，已知圆心角∠BOC ＝78°，则圆周角∠BAC 的度数是( ) A ．156°B ．78°C ．39°D ．12°2.如图，AB 是⊙O 的直径，∠ABC＝30°，则∠BAC 的度数为( ) A ．90°B ．60°C ．45°D ．30°3.如图，在⊙O 中，若C 是的中点，则图中与∠BAC 相等的角有（） A.1个 B.2 个 C.3个 D.4个4.如图，AB 、CD 是⊙O 的两条弦，连接AD 、BC ，若∠BAD=60°，则∠BCD 的度数为（）A.40°B.50°C.60°D.70°5.如图，在⊙O 中，∠AOB 的度数为m ，C 是ACB ︵上一点，D ，E 是AB ︵上不同的两点(不与A ，B 两点重合)，则∠D＋∠E 的度数为( )A ．mB ．180°－m2C ．90°＋m2D ．m26.如图，已知EF 是⊙O 的直径，把∠A 为60°的直角三角板ABC 的一条直角边BC 放在直线EF 上，斜边AB 与⊙O 交于点P ，点B 与点O 重合．将三角板ABC 沿OE 方向平移，使得点B 与点E 重合为止．设∠POF＝x °，则x 的取值范围是( )A ．30≤x ≤60B ．30≤x ≤90C ．30≤x ≤120D ．60≤x ≤1207.如图，AB 是 ⊙O 的直径，BC ⌒ =BD⌒ ,∠A=25°，则∠BOD= .8.如图，已知点E 是圆O 上的点，B ，C 是AD ︵的三等分点，∠BOC＝46°，则∠AED 的度数为________．9.如图，在⊙O 中，F ，G 是直径AB 上的两点，C ，D,E 是半圆上的三点，如果弧AC 的度数为60°，弧BE 的度数为20°，∠CFA =∠DFB ，∠DGA =∠EG B ．求∠FDG 的大小10.如图，以⊙O 的直径BC 为一边作等边△ABC,AB 、AC 交⊙O 于D 、E,求证：BD=DE=EC11.如图,AB 为半圆O 的直径,弦AD 、BC 相交于点P,若CD=3,AB=4,求tan∠BPD 的值.12.如图，⊙C 经过坐标原点，且与两坐标轴分别交于点A 与点B ，点A 的坐标为（0，4），M 是圆上一点，∠BMO=120°．（1）求证：AB 为⊙C 直径．（2）求⊙C 的半径及圆心C 的坐标．13.如图，在锐角△ABC中，AB＞AC，AD⊥BC于点D，以AD为直径的⊙O分别交AB，AC 于点E，F，连接DE，DF.(1)求证：∠EAF＋∠EDF＝180°.(2)已知P是射线DC上一个动点，当点P运动到PD＝BD时，连接AP，交⊙O于点G，连接DG.设∠EDG＝∠α，∠APB＝∠β，那么∠α与∠β有何数量关系？试证明你的结论(在探究∠α与∠β的数量关系时，必要时可直接运用(1)的结论进行推理与解答)．。

九年级数学下册第24章圆24.3圆周角第1课时圆周角定理及其推论同步练习含解析沪科版

第 1 课时圆周角定理及其推论一、选择题1．以下四个图中，∠α 是圆周角的是()链接听课例 1归纳总结A B C D图 K－ 7－12．2018·衢州如图K－ 7－ 2，点A，B，C在⊙O上，∠ACB＝35°，则∠AOB的度数是 ()图 K－ 7－2A．75° B ．70° C ．65° D ．35°3．如图 K－ 7－3，在⊙中，︵︵＝20°，则∠的度数是 ()＝，∠O AB AC ADC AOB图 K－ 7－3A．40° B ．30° C ．20° C ．10°4．小宏用三角板检查某些工件的弧形凹面是否是半圆，以下工件的弧形凹面必定是半圆的是()图 K－ 7－45．如图 K－ 7－ 5，△ABD的三个极点在⊙O上， AB是直径，点C在⊙ O上，且∠ ABD＝52°，则∠BCD的度数为链接听课例 2归纳总结 ()图 K－ 7－5A．32° B ．38° C ．52° D ．66°6．2017·泰安若图K－ 7－6，△ABC内接于⊙O，若∠A＝α，则∠OBC的度数为 ()图 K－ 7－6A．180°－ 2α B ． 2αC．90°＋α D ．90°－α7．如图 K－ 7－7，点A，B，C，P在⊙O上，CD⊥OA，CE⊥OB，垂足分别为D，E，∠ DCE ＝40°，则∠P的度数为 ()图 K－ 7－7A．140°B．70°C．60°D．40°8．△ABC为⊙O的内接三角形，若∠AOC＝160°，则∠ ABC的度数是()A．80° B ．160°C．100° D ．80°或100°9．2018·合肥包河区月考如图K－ 7－ 8，AB是半圆的直径，点O 为圆心， OA＝5，弦AC＝8， OD⊥ AC，垂足为 E，交⊙ O于点 D，连接 BE.设∠ BEC＝α，则tanα的值为()图 K－ 7－831321332A. B. C. D.31313210．2018·马鞍山期末如图K－ 7－9，在⊙O 上有定点C和动点，且位于直径的两P AB侧，过点 C作 CP的垂线与 PB的延长线交于点Q.已知⊙ O的直径为10，tan ∠ABC＝4，则 CQ 3长的最大值为 ()图 K－ 7－9152520A．5B.2 C.4 D.3二、填空题11．2017·扬州如图K－ 7－10，已知⊙O是△ABC的外接圆，连接AO，若∠ B＝40°，则∠ OAC＝________°.图 K－7－1012．如图 K－ 7－ 11，A，B，C是半径为 6 的⊙O上的三个点，若∠BAC＝45°，则弦BC＝________．图 K－7－11︵︵13．2017·北京如图 K－ 7－ 12，AB为⊙O的直径，C，D为⊙O上的点，AD＝CD. 若∠CAB＝40°，则∠CAD＝________°.链接听课例 3归纳总结图 K－7－1214．如图 K－ 7－ 13，半径为 5 的⊙A中，弦BC，ED所对的圆心角分别是∠BAC，∠EAD，已知 DE＝3，∠ BAC＋∠ EAD＝180°，则 BC的长为________.链接听课例3归纳总结图 K－7－13三、解答题︵15．如图 K－7－ 14，△ABC的外接圆是⊙O，D是AC上的任意一点，连接BD交 AC于点P.(1)图中相等的角有哪些？ ( 除对顶角外 )(2)请你写出图中全部的相似三角形，并证明此中的一对．图 K－7－1416．如图 K－7－ 15，⊙O的直径AB＝ 10，C为直径AB下方半圆上一点，∠ACB的均分线交⊙ O于点 D，连接 AD， BD.(1)判断△ ABD的形状，并说明原由；(2)若弦 AC＝6，求 BC的长．图 K－7－1517．2017·巢湖月考如图K－ 7－ 16①，BC是⊙O的直径，点 A 在⊙ O上， AD⊥ BC，垂足︵︵为 D， AE＝AB， BE分别交 AD，AC于点 F，G.(1)判断△ FAG的形状，并说明原由；(2)如图②，若点 E 和点 A 在 BC的双侧， BE， AC的延长线交于点 G，AD的延长线交 BE 于点 F，其他条件不变，(1) 中的结论还成立吗？请说明原由．图 K－7－16规律研究如图 K－ 7－ 17，⊙O的半径为 1，A，P，B，C是⊙O上的四个点，∠APC＝∠ CPB＝60°.(1)判断△ ABC的形状；(2)试一试究线段 PA， PB，PC之间的数目关系，并证明你的结论；︵(3)当点 P 位于 AB的什么地点时，四边形 APBC的面积最大？求出最大面积．图 K－7－17详解详析[ 课堂达标 ]1．[ 答案]B2． [ 解析 ] B∵∠ ACB＝35°，∴∠ AOB＝2∠ ACB＝70°.应选 B.3． [ 解析 ] A等弧所对的圆周角是其圆心角的一半，故∠AOB＝ 2∠ ADC＝40°. 4． [ 解析 ] A90°的圆周角所对的弧是半圆．5．[ 解析 ] B∵AB是⊙ O的直径，∴∠ ADB＝90°.∵∠ ABD＝52°，∴∠ A＝90°－∠ ABD＝38°，∴∠ BCD＝∠ A＝38°.应选 B.6． [ 解析 ] D如图，连接OC.∵△ ABC内接于⊙ O，∠ A＝α，∴∠ BOC＝ 2∠ A＝2α.180°－∠ BOC∵ OB＝OC，∴∠ OBC＝∠ OCB＝＝90°－α .应选 D.27． [ 解析 ] B∵ CD⊥ OA，CE⊥ OB，垂足分别为D， E，∠ DCE＝40°，∴∠ DOE＝180°－ 40°＝ 140°，1∴∠ P＝2∠ DOE＝70°. 应选 B.8． [ 解析 ] D如图，∵∠ AOC＝160°，11∴∠ ABC＝2∠ AOC＝2×160°＝ 80°，11∠AB′C＝2(360 °－∠ AOC)＝2×(360 °－ 160°) ＝100°.∴∠ ABC的度数是 80°或 100°.应选 D.9．[ 解析] C如图，连接 BC.∵ AB是半圆 O的直径，∴∠ ACB＝90°，则 BC＝22 AB－ AC＝22依据垂径定理，得1BC 6310 －8＝ 6.CE＝ AC＝ 4，∴ tan α＝＝＝ .2CE 4210．[ 解析 ] B∵CP⊥ CQ，AB 是直径，∴∠ ACB＝∠ PCQ＝90°. 又∵∠ A＝∠ P，∴∠ QCP 4CP＝ 10 时， CQ的长最大，最大＝∠ ABC，∴ tanQ＝ tan ∠ ABC＝＝，则当 CP是直径，即CQ 315值为2.11．[ 答案 ] 50[ 解析 ] 连接 OC，依据“同弧所对的圆周角等于它所对圆心角的一半”，可得∠ AOC＝ 2∠B＝80°. 由 OA＝ OC，依据“等边相同角” 及“三角形内角和定理”可以求得∠ OAC＝50°.12．[ 答案 ] 62[ 解析 ] 连接 OB， OC，∵∠ BAC＝45°，∴∠ BOC＝ 2∠ BAC＝90°.∵ OB＝OC＝ 6，22∴ BC＝ OB＋ OC＝ 6 2.13．[ 答案 ] 25[ 解析 ] ∵ AB为⊙ O的直径，∠ CAB＝40°，︵︵∴BC＝80°，∴ AC＝180°－ 80°＝ 100°.︵︵︵∵AD＝CD，∴ AD＝50°，∴∠ CAD＝25°.故答案为 25.14．[ 答案 ]91[ 解析 ]如图，延长CA交⊙ A 于点 F，连接 BF.∵∠ BAC＋∠ DAE＝180°，∠ BAC＋∠ BAF＝180°，∴∠ DAE＝∠ BAF，∴BF＝DE＝ 3.∵ CF是⊙ A 的直径，∴∠ CBF＝90°，∴BC＝ CF2－ BF2＝ 102－32＝ 91.15．解： (1) 依据圆周角定理，可知：∠CAD＝∠ CBD，∠ BAC＝∠ BDC，∠ ADB＝∠ ACB，∠ ABD＝∠ ACD.(2) 图中的相似三角形有：△ APD∽△ BPC，△ ABP∽△ DCP.证明以下：依据圆周角定理，可知：∠ADB＝∠ ACB，∠ CAD＝∠ CBD，∴△ APD∽△ BPC.依据圆周角定理，可知：∠ABD＝∠ ACD，∠ BAC＝∠ BDC，∴△ ABP∽△ DCP.16．解： (1) △ ABD是等腰直角三角形．原由以下：∵ AB为⊙ O的直径，∴∠ ADB＝90°.∵ CD是∠ ACB的均分线，︵︵∴AD＝BD，∴AD＝BD，∴△ ABD是等腰直角三角形．(2)∵AB为⊙O的直径，∴∠ ACB＝ 90° .2 2在 Rt△ ABC中， BC＝ AB－ AC＝ 8.17．解： (1) △ FAG是等腰三角形．原由以下：∵ BC为⊙ O的直径， AD⊥BC，∴∠ BAD＋∠ CAD＝90°，∠ C＋∠ CAD＝90°，∴∠ BAD＝∠ C.︵︵∵AE＝AB，∴∠ ABE＝∠ E＝∠ C，∴∠ ABE＝∠ BAD.∵∠ BAD＋∠ CAD＝90°，∠ ABE＋∠ AGB＝90°，∴∠ CAD＝∠ AGB，∴FA＝FG，∴△ FAG是等腰三角形．(2)成立．原由以下：∵ BC为⊙ O的直径， AD⊥BC，∴∠ BAD＋∠ CAD＝90°，∠ C＋∠ CAD＝90°，∴∠ BAD＝∠ C.︵︵∵AE＝AB，∴∠ ABE＝∠ C，∴∠ ABE＝∠ BAD.∵∠ BAD＋∠ CAD＝90°，∠ ABE＋∠ AGB＝90°，∴∠ CAD＝∠ AGB，∴FA＝FG，∴△ FAG是等腰三角形．[ 涵养提高 ][ 解析 ] (1) 利用圆周角定理可得∠BAC＝∠ CPB，∠ABC＝∠ APC，而∠ APC＝∠ CPB＝60°，因此∠ BAC＝∠ ABC＝60°，从而可判断△ABC的形状；(2) 在 PC上截取 PD＝ PA，则△ APD是等边三角形，此后证明△APB≌△ ADC，获得 BP＝CD，即可证得结论；(3)过点 P 作 PE⊥ AB，垂足为 E，过点 C作 CF⊥ AB，垂足为 F，把四边形 APBC的面积转︵化为两个三角形的面积进行计算．当点P 为 AB的中点时， PE＋ CF＝ PC，从而得出最大面积．解： (1) 在⊙ O中，︵︵∵∠ BAC与∠ CPB都是 BC所对的圆周角，∠ABC与∠ APC都是 AC所对的圆周角，∴∠ BAC＝∠ CPB，∠ ABC＝∠ APC.又∵∠ APC＝∠ CPB＝60°，∴∠ ABC＝∠ BAC＝60°，∴△ ABC为等边三角形．(2)PC ＝ PA＋ PB.证明以下：如图①，在PC上截取 PD＝ PA，又∵∠ APC＝60°，∴△ APD是等边三角形，∴AD＝AP＝ PD，∠ ADP＝60°，即∠ ADC＝120°.又∵∠ APB＝∠ APC＋∠ CPB＝120°，∴∠ ADC＝∠ APB.∠APB＝∠ ADC，在△ APB和△ ADC中，∠ ABP＝∠ ACD，AP＝ AD，∴△ APB≌△ ADC(AAS)，∴ BP＝ CD.又∵ PD＝ PA，∴ PC＝ PA＋PB.︵(3)当 P 为 AB的中点时，四边形 APBC的面积最大．原由以下：如图②，过点P 作 PE⊥AB，垂足为E，过点 C 作 CF⊥ AB，垂足为 F.11∵S△APB＝2AB·PE， S△ABC＝2AB·CF，1∴S 四边形APBC＝2AB·(PE＋ CF)．︵当 P 为AB的中点时， PE＋ CF＝ PC， PC为⊙ O的直径，∴此时四边形APBC的面积最大．∵⊙ O的半径为1，∴其内接等边三角形的边长AB＝3，1∴ S 四边形APBC＝2×2× 3＝ 3.。

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24.3 第1课时圆周角定理及其推论一、选择题1．下列四个图中，∠α是圆周角的是( ) 链接听课例1归纳总结A B C D图K －7－12．2018·衢州如图K －7－2，点A ，B ，C 在⊙O 上，∠ACB ＝35°，则∠AOB 的度数是( )图K －7－2 A ．75° B．70° C．65° D ．35°3．如图K －7－3，在⊙O 中，AB ︵＝AC ︵，∠ADC ＝20°，则∠AOB 的度数是( )图K －7－3A ．40° B．30° C．20° C．10°4．小宏用三角板检查某些工件的弧形凹面是不是半圆，下列工件的弧形凹面一定是半圆的是( )图K －7－45．如图K －7－5，△ABD 的三个顶点在⊙O 上，AB 是直径，点C 在⊙O 上，且∠ABD ＝52°，则∠BCD 的度数为链接听课例2归纳总结( )图K －7－5A ．32° B．38° C．52° D．66°6．2017·泰安如图K －7－6，△ABC 内接于⊙O ，若∠A ＝α，则∠OBC 的度数为( )图K －7－6A ．180°－2αB ．2αC ．90°＋αD ．90°－α7．如图K －7－7，点A ，B ，C ，P 在⊙O 上，CD ⊥OA ，CE ⊥OB ，垂足分别为D ，E ，∠DCE ＝40°，则∠P 的度数为( )图K －7－7A ．140°B ．70°C ．60°D ．40°8．△ABC 为⊙O 的内接三角形，若∠AOC ＝160°，则∠ABC 的度数是( ) A ．80° B．160°C ．100° D．80°或100°9．2018·合肥包河区月考如图K －7－8，AB 是半圆的直径，点O 为圆心，OA ＝5，弦AC ＝8，OD ⊥AC ，垂足为E ，交⊙O 于点D ，连接BE .设∠BEC ＝α，则tan α的值为( )图K －7－8A.31313 B.21313 C.32 D.2310．2018·马鞍山期末如图K －7－9，在⊙O 上有定点C 和动点P ，且位于直径AB 的两侧，过点C 作CP 的垂线与PB 的延长线交于点Q .已知⊙O 的直径为10，tan ∠ABC ＝43，则CQ长的最大值为( )图K －7－9A ．5 B.152 C.254 D.203二、填空题11．2017·扬州如图K －7－10，已知⊙O 是△ABC 的外接圆，连接AO ，若∠B ＝40°，则∠OAC ＝________°.图K －7－1012．如图K －7－11，A ，B ，C 是半径为6的⊙O 上的三个点，若∠BAC ＝45°，则弦BC ＝________．图K －7－1113．2017·北京如图K －7－12，AB 为⊙O 的直径，C ，D 为⊙O 上的点，AD ︵＝CD ︵.若∠CAB ＝40°，则∠CAD ＝________°.链接听课例3归纳总结图K －7－1214．如图K －7－13，半径为5的⊙A 中，弦BC ，ED 所对的圆心角分别是∠BAC ，∠EAD ，已知DE ＝3，∠BAC ＋∠EAD ＝180°，则BC 的长为________.链接听课例3归纳总结图K －7－13三、解答题15．如图K －7－14，△ABC 的外接圆是⊙O ，D 是AC ︵上的任意一点，连接BD 交AC 于点P .(1)图中相等的角有哪些？(除对顶角外)(2)请你写出图中所有的相似三角形，并证明其中的一对．图K －7－1416．如图K －7－15，⊙O 的直径AB ＝10，C 为直径AB 下方半圆上一点，∠ACB 的平分线交⊙O 于点D ，连接AD ，BD .(1)判断△ABD 的形状，并说明理由； (2)若弦AC ＝6，求BC 的长．图K －7－1517．2017·巢湖月考如图K －7－16①，BC 是⊙O 的直径，点A 在⊙O 上，AD ⊥BC ，垂足为D ，AE ︵＝AB ︵，BE 分别交AD ，AC 于点F ，G .(1)判断△FAG 的形状，并说明理由；(2)如图②，若点E 和点A 在BC 的两侧，BE ，AC 的延长线交于点G ，AD 的延长线交BE 于点F ，其余条件不变，(1)中的结论还成立吗？请说明理由．图K －7－16规律探究如图K －7－17，⊙O 的半径为1，A ，P ，B ，C 是⊙O 上的四个点，∠APC ＝∠CPB ＝60°.(1)判断△ABC 的形状；(2)试探究线段PA ，PB ，PC 之间的数量关系，并证明你的结论；(3)当点P 位于AB ︵的什么位置时，四边形APBC 的面积最大？求出最大面积．图K －7－17详解详析[课堂达标] 1．[答案] B2．[解析] B ∵∠ACB ＝35°，∴∠AOB ＝2∠ACB ＝70°.故选B.3．[解析] A 等弧所对的圆周角是其圆心角的一半，故∠AOB ＝2∠ADC ＝40°. 4．[解析] A 90°的圆周角所对的弧是半圆． 5．[解析] B ∵AB 是⊙O 的直径， ∴∠ADB ＝90°.∵∠ABD ＝52°，∴∠A ＝90°－∠ABD ＝38°， ∴∠BCD ＝∠A ＝38°. 故选B.6．[解析] D 如图，连接OC. ∵△ABC 内接于⊙O ，∠A ＝α， ∴∠BOC ＝2∠A ＝2α.∵OB ＝OC ，∴∠OBC ＝∠OCB ＝180°－∠BOC2＝90°－α.故选D.7．[解析] B ∵CD ⊥OA ，CE ⊥OB ，垂足分别为D ，E ，∠DCE ＝40°， ∴∠DOE ＝180°－40°＝140°， ∴∠P ＝12∠DOE ＝70°.故选B.8．[解析] D 如图，∵∠AOC ＝160°， ∴∠ABC ＝12∠AOC ＝12×160°＝80°，∠AB′C＝12(360°－∠AOC)＝12×(360°－160°)＝100°.∴∠ABC 的度数是80°或100°.故选D.9．[解析] C 如图，连接BC.∵AB 是半圆O 的直径，∴∠ACB ＝90°，则BC ＝AB 2－AC2＝102－82＝6.根据垂径定理，得CE ＝12AC ＝4，∴tan α＝BC CE ＝64＝32.10．[解析] B ∵CP ⊥CQ ，AB 是直径，∴∠ACB ＝∠PCQ ＝90°.又∵∠A ＝∠P ，∴∠Q ＝∠ABC ，∴tanQ ＝tan ∠ABC ＝CP CQ ＝43，则当CP 是直径，即CP ＝10时，CQ 的长最大，最大值为152.11．[答案] 50[解析] 连接OC ，根据“同弧所对的圆周角等于它所对圆心角的一半”，可得∠AOC ＝2∠B ＝80°.由OA ＝OC ，根据“等边对等角”及“三角形内角和定理”可以求得∠OAC ＝50°.12．[答案] 6 2 [解析] 连接OB ，OC ， ∵∠BAC ＝45°，∴∠BOC ＝2∠BAC ＝90°. ∵OB ＝OC ＝6，∴BC ＝OB 2＋OC 2＝6 2. 13．[答案] 25[解析] ∵AB 为⊙O 的直径，∠CAB ＝40°， ∴BC ︵＝80°，∴AC ︵＝180°－80°＝100°. ∵AD ︵＝CD ︵，∴AD ︵＝50°， ∴∠CAD ＝25°. 故答案为25.14．[答案] 91[解析] 如图，延长CA 交⊙A 于点F ，连接BF.∵∠BAC ＋∠DAE ＝180°，∠BAC ＋∠BAF ＝180°，∴∠DAE ＝∠BAF ， ∴BF ＝DE ＝3.∵CF 是⊙A 的直径， ∴∠CBF ＝90°，∴BC ＝CF 2－BF 2＝102－32＝91.15．解：(1)根据圆周角定理，可知：∠CAD ＝∠CBD ，∠BAC ＝∠BDC ，∠ADB ＝∠ACB ，∠ABD ＝∠ACD. (2)图中的相似三角形有：△APD ∽△BPC ，△ABP ∽△DCP. 证明如下：根据圆周角定理，可知：∠ADB ＝∠ACB ，∠CAD ＝∠CBD ， ∴△APD ∽△BPC.根据圆周角定理，可知：∠ABD ＝∠ACD ，∠BAC ＝∠BDC ，∴△ABP ∽△DCP.16．解：(1)△ABD 是等腰直角三角形．理由如下： ∵AB 为⊙O 的直径， ∴∠ADB ＝90°.∵CD 是∠ACB 的平分线， ∴AD ︵＝BD ︵，∴AD ＝BD ，∴△ABD 是等腰直角三角形． (2)∵AB 为⊙O 的直径， ∴∠ACB ＝90°.在Rt △ABC 中，BC ＝AB 2－AC 2＝8.17．解：(1)△FAG 是等腰三角形．理由如下： ∵BC 为⊙O 的直径，AD ⊥BC ，∴∠BAD ＋∠CAD ＝90°，∠C ＋∠CAD ＝90°， ∴∠BAD ＝∠C.∵AE ︵＝AB ︵，∴∠ABE ＝∠E ＝∠C ，∴∠ABE ＝∠BAD.∵∠BAD ＋∠CAD ＝90°，∠ABE ＋∠AGB ＝90°， ∴∠CAD ＝∠AGB ， ∴FA ＝FG ，∴△FAG 是等腰三角形． (2)成立．理由如下：∵BC 为⊙O 的直径，AD ⊥BC ，∴∠BAD ＋∠CAD ＝90°，∠C ＋∠CAD ＝90°， ∴∠BAD ＝∠C. ∵AE ︵＝AB ︵，∴∠ABE ＝∠C ， ∴∠ABE ＝∠BAD.∵∠BAD ＋∠CAD ＝90°，∠ABE ＋∠AGB ＝90°， ∴∠CAD ＝∠AGB ， ∴FA ＝FG ，∴△FAG 是等腰三角形． [素养提升] [解析] (1)利用圆周角定理可得∠BAC ＝∠CPB ，∠ABC ＝∠APC ，而∠APC ＝∠CPB ＝60°，所以∠BAC ＝∠ABC ＝60°，从而可判断△ABC 的形状；(2)在PC 上截取PD ＝PA ，则△APD 是等边三角形，然后证明△APB ≌△ADC ，得到BP ＝CD ，即可证得结论；(3)过点P 作PE ⊥AB ，垂足为E ，过点C 作CF ⊥AB ，垂足为F ，把四边形APBC 的面积转化为两个三角形的面积进行计算．当点P 为AB ︵的中点时，PE ＋CF ＝PC ，从而得出最大面积．解：(1)在⊙O 中，∵∠BAC 与∠CPB 都是BC ︵所对的圆周角，∠ABC 与∠APC 都是AC ︵所对的圆周角， ∴∠BAC ＝∠CPB ，∠ABC ＝∠APC. 又∵∠APC ＝∠CPB ＝60°， ∴∠ABC ＝∠BAC ＝60°， ∴△ABC 为等边三角形．(2)PC ＝PA ＋PB.证明如下：如图①，在PC 上截取PD ＝PA ，又∵∠APC ＝60°，∴△APD 是等边三角形，∴AD ＝AP ＝PD ，∠ADP ＝60°，即∠ADC ＝120°. 又∵∠APB ＝∠APC ＋∠CPB ＝120°， ∴∠ADC ＝∠APB.在△APB 和△ADC 中，⎩⎪⎨⎪⎧∠APB ＝∠ADC ，∠ABP ＝∠ACD ，AP ＝AD ，∴△APB ≌△ADC(AAS)，∴BP ＝CD.又∵PD ＝PA ，∴PC ＝PA ＋PB.(3)当P 为AB ︵的中点时，四边形APBC 的面积最大．理由如下：如图②，过点P 作PE ⊥AB ，垂足为E ，过点C 作CF ⊥AB ，垂足为F.∵S △APB ＝12AB·PE，S △ABC ＝12AB·CF，∴S 四边形APBC ＝12AB·(PE＋CF)．当P 为AB ︵的中点时，PE ＋CF ＝PC ，PC 为⊙O 的直径， ∴此时四边形APBC 的面积最大． ∵⊙O 的半径为1，∴其内接等边三角形的边长AB ＝3，∴S 四边形APBC ＝12×2×3＝ 3.。